s-faktor und niederenergie-astrophysik · 2007. 11. 13. · niederenergie-astrophysik. form der...
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SS--Faktor Faktor und und
NiederenergieNiederenergie--AstrophysikAstrophysik
Form der Funktion Form der Funktion f(Ef(E))
3 / 21~ exp EEkT kT
⎞ ⎞⎛ ⎛−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠
( )~ exp 2γ−
01( ) E SE
σ =
MaxwellMaxwell--BoltzmannBoltzmann
GamowGamow--FaktorFaktor
AbhAbhäängigkeit des WQngigkeit des WQBei kleinen EnergienBei kleinen EnergienSS00 nuklnukl. S. S--FaktorFaktor
111
222
333
( ) ( ) ( )0
( ) 1 2 3 dEσ∞
= × ×∫E v
Wirkungsquerschnittklassisch:
quant. mech.(für E klein)
= + 2( )p Tr rσ π
= = ∼22 1
Ekπσ πRR
für den -Zerfallα
rR0 RC
Eα
V(r)
21 2
00
2 124
2
~
~
RC
R
Z Z em E drr
G
T e
e e
απεα
γ
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
∫
=
21 2
00
2 124
2
~
~
RC
R
Z Z em E drr
G
T e
e e
απεα
γ
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
∫
= Gamov FaktorGγ ⎫
−⎬⎭ Gamov Faktor
Gγ ⎫
−⎬⎭
wichtigwichtig
( )0
2 21 21
0
2
0
2 1 2 4
2 2 4
CR
R
Z Z emG xE
Z Z em E drr α
α γπεπε
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝= ⋅
⎠∫ ( )0
2 21 21
0
2
0
2 1 2 4
2 2 4
CR
R
Z Z emG xE
Z Z em E drr α
α γπεπε
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝= ⋅
⎠∫
( )0 0
arccos (1 )
C
x x x xx R R E Vα
γ = − −
= =
( )0 0
arccos (1 )
C
x x x xx R R E Vα
γ = − −
= =ErinnereErinnere
12
21log ~ log ~ ~
GT e
t GZE
α α
α
λ λ λ
λ
−= ⋅ =
12
21log ~ log ~ ~
GT e
t GZE
α α
α
λ λ λ
λ
−= ⋅ =
RR
ResonanterZustandResonanterZustand
γγ
3 3 aa 1212C + 7.275 MeVC + 7.275 MeV
288 288 keVkeV
RRIst der Ist der
mysterimysteriööseste seste und und
faszinierendste faszinierendste Prozess in der Prozess in der
gesamten Physik!!gesamten Physik!!
Mit zweiMit zwei„„prprääzise getuntenzise getunten““Resonanzen gelingt Resonanzen gelingt der Sprung der Sprung üüber ber
MasseMasse--55und Masseund Masse--88
Gamow-Faktor & S-FaktorGamow-Faktor & S-Faktor
für niedrige Energien E << EC kann T-Koeffizient genähert werden:
Wirkungsquerschnitt proportional zur Tunnelwahrscheinlichkeit
zusammen:
S-Faktor enthält die übrigen reinen Kern-Effektefür nicht-resonante Reaktionen: S-Faktor langsam veränderliche Funktion der Energie, im Gegensatz zu WQdaher S-Faktor viel besser geeignet für Extrapolation von gemessenen WQ in den astrophysikalischen Energiebereich
für niedrige Energien E << EC kann T-Koeffizient genähert werden:
Wirkungsquerschnitt proportional zur Tunnelwahrscheinlichkeit
zusammen:
S-Faktor enthält die übrigen reinen Kern-Effektefür nicht-resonante Reaktionen: S-Faktor langsam veränderliche Funktion der Energie, im Gegensatz zu WQdaher S-Faktor viel besser geeignet für Extrapolation von gemessenen WQ in den astrophysikalischen Energiebereich
πη= −exp( 2 )T ηπε
=2
1 2
04Z Z e
vGamow-Faktor
( )σ πη= − ⋅1 exp( 2 ) ( )EE
S E
( )σ πη∝ −exp( 2 )E ( )σ π∝ ∝2 1EE
Sommerfeld-Parameter η
aber auch (s.o.)
nuklearer oder astrophysikalischer S-Faktor
bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!
S-FaktorS-Faktor
ansteigend, da 1) Näherungsformel2) elektronisches Screening
00 300300
Der Gamow PeakDer Gamow PeakNormierte Reaktionsrate mit dieser Näherung:
b2: Gamow-Energie EG
S(E) = S(E0) = const
Normierte Reaktionsrate mit dieser Näherung:
b2: Gamow-Energie EG
S(E) = S(E0) = const
∞⎞⎛ ⎡ ⎤⎞⎛= − −⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫
1 2 3 2
1 20
8 1 ( )exp E bv S E dEkT kT E
σπµ
( )1 2 21 22 /b e Z Z= µ π
1
1 20
0
2 3 2(8 1 exp) E bv dE
kT kT ES E
∞⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫σπµ
Gamow-PeakGamow-Peak
Der Gamow PeakDer Gamow PeakMaximum bei
Beispiel: T6 = 15 (Sonne) effektive Brennenergie:p + p: E0 = 5,9 keV (3/2kT = 1,3 keV)p + 14N: E0 = 26,5 keV16O + 16O: E0 = 237 keV
maximaler Wert des Integranden Einsetzen von E0
Reaktionsrate proportional zur Intensitätstarke Abhängigkeit von der Coulombbarriere
Maximum bei
Beispiel: T6 = 15 (Sonne) effektive Brennenergie:p + p: E0 = 5,9 keV (3/2kT = 1,3 keV)p + 14N: E0 = 26,5 keV16O + 16O: E0 = 237 keV
maximaler Wert des Integranden Einsetzen von E0
Reaktionsrate proportional zur Intensitätstarke Abhängigkeit von der Coulombbarriere
2 32 2 2 1 3
0 1 2 61.22 ( )2bkTE Z Z T keV⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
µ
03exp exp( )maxE
IkT
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠τ 03E
kT=τ
bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!
Problem bei Messung unter LaborbedingungenProblem bei Messung unter LaborbedingungenE0, ist die Brennenergie und liegt i.a. immer noch weit
entfernt von Energien, bei denen direkte Messung des WQ oder auch des S-Faktors bei Laborbedingungen möglich ist (WQ zu klein!!)
Standardlösung: S(E) über weiten Energienereichmessen, dann in Niederenergiebereich extrapolieren
WQ dann erschließbar
E0, ist die Brennenergie und liegt i.a. immer noch weit entfernt von Energien, bei denen direkte Messung des WQ oder auch des S-Faktors bei Laborbedingungen möglich ist (WQ zu klein!!)
Standardlösung: S(E) über weiten Energienereichmessen, dann in Niederenergiebereich extrapolieren
WQ dann erschließbar
( ) 1 exp ( )( 2 )E SE
E= − ⋅σ πη
Beispiel: SonneBeispiel: Sonnep-p Zyklus: p + p d + e+ + ν
Sonnentemperatur: ca. 15 x 106 K kT = 0.83 keV = EP
Coulombwall: EC ~ 0,5 MeV
Typische Werte:
für p+p:
Dichte :
Reaktionsrate p+p:
Lebenserwartung der Sonne:
p-p Zyklus: p + p d + e+ + ν
Sonnentemperatur: ca. 15 x 106 K kT = 0.83 keV = EP
Coulombwall: EC ~ 0,5 MeV
Typische Werte:
für p+p:
Dichte :
Reaktionsrate p+p:
Lebenserwartung der Sonne:
Gamow PeakMaxwell-Verteilung
σ(E)
kT = 0.83 keV ~5--15 keV
~10 keV
Energie
Rela
tive W
ah
rsch
ein
lich
keit
350~ 10 secmv −σ
3~ 100 gcm
ρ
2 1331~ 3,6 10sec
R N vm
= ⋅σ
10~ 10 a
Reaktionen ohne!! Resonanzen:Reaktionen ohne!! Resonanzen:
relevanter Energierelevanter Energie--bereich der Sonnebereich der Sonne
Einfluss von ResonanzenEinfluss von ResonanzenReaktionen mit Resonanzen bilden einen angeregtenZwischenzustand mit der Energie Er
Wellenfunktion hat komplexen Energieeigenwert, da Zustand instabil
Zustand zerfällt
Wellenfunktion wird entwickelt nach ebenen Wellen
Amplitude a(E) ist die Fouriertransformation von Ψ(t):
Reaktionen mit Resonanzen bilden einen angeregtenZwischenzustand mit der Energie Er
Wellenfunktion hat komplexen Energieeigenwert, da Zustand instabil
Zustand zerfällt
Wellenfunktion wird entwickelt nach ebenen Wellen
Amplitude a(E) ist die Fouriertransformation von Ψ(t):
( ) exp2r
i it E tΓ⎡ ⎤⎛ ⎞Ψ = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2( ) exp tt Γ⎛ ⎞Ψ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1( ) exp2
iEtt a E dE∞
−∞
⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫π
( ) 1 ( )exp2
iEta E t dt∞
−∞
−⎛ ⎞= Ψ ⎜ ⎟⎝ ⎠∫π
Einfluss von ResonanzenEinfluss von ResonanzenEinsetzen von Ψ(t) liefert dann:
schmale Resonanzen im WQ ändern die Brenntemperatur massiv
das Brennen findet bei der Resonanzenergie statt
Wirkungsquerschnitte in der Nähe von Er können sehr hoch sein
Einsetzen von Ψ(t) liefert dann:
schmale Resonanzen im WQ ändern die Brenntemperatur massiv
das Brennen findet bei der Resonanzenergie statt
Wirkungsquerschnitte in der Nähe von Er können sehr hoch sein
( )2
221( )
4r
a EE E
∝Γ− + Breit-Wigner FormelBreit-Wigner Formel
Einfluss von Resonanzen (unterhalb und oberhalb der Reaktionsschwelle)Einfluss von Resonanzen (unterhalb und oberhalb der Reaktionsschwelle)
Reaktionen mit ResonanzenReaktionen mit Resonanzen1515N(p,N(p,γγ))1616OO
Ausbruch aus dem Ausbruch aus dem CNOCNO--ZyklusZyklus
15N
13C 15O
14N
13N
12C α4.96 MeV
2.75 MeV
e+,ν
p
pγ
7.3 MeV
p
γ7.55 MeV
p
γ1.94 MeV
2.22 MeV
e+,ν
CNO-Zyklus
Energie26.7 MeV
Ausbruch aus Ausbruch aus dem dem
CNOCNO--ZyklusZyklus
((p,p,αα))
((p,p,γγ))
Reaktionen mit ResonanzenReaktionen mit Resonanzen