sadrˇzaj - pmf.untz.ba · sadrˇzaj i dio drugi 4 kardinalni brojevi.....73 4.1 ekvipotentnost...

Sadrzaj

I DIO DRUGI

4 Kardinalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1 Ekvipotentnost skupova 744.2 Konacni i beskonacni skupovi 784.3 Prebrojivi skupovi 804.4 Neprebrojivi skupovi 864.5 Hipoteza continuuma 904.6 Aritmetika kardinalnih brojeva 904.7 Jos o kardinalima 97

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Knjige 99

Clanci i skripte 99

Indeks pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

I

4 Kardinalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1 Ekvipotentnost skupova4.2 Konacni i beskonacni skupovi4.3 Prebrojivi skupovi4.4 Neprebrojivi skupovi4.5 Hipoteza continuuma4.6 Aritmetika kardinalnih brojeva4.7 Jos o kardinalima

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99KnjigeClanci i skripte

Indeks pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

DIO DRUGI

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor je roden u Sankt Peterburgu 03.03.1845 kaonajstarije od sestoro djece, od oca koji je bio danski protestant i bavio se trgovinom i majkakoja je bila katolkinja i dolazila iz porodice istaknutih muzicara. Matematicki talent djecakpokazuje jos prije njegovog 15. rodendana dok se obrazovao u privatnim i javnim skolamau Darmstadtu i Wiesbadenu. Svoje dalje skolovanje, uprkos protivljenju oca koji je zelioda sin postane inzenjer, Cantor je usmjerio prema matematici. Nakon kratkog boravka naUniverzitetu u Cirihu 1863 godine, Cantor se prebacuje u Berlin gdje nastavlja skolovanje.Tamo je ucio od K. T. Weierstrassa, E. Kummera i L. Kroneckera.

Nakon sto je proveo jedan semestar na Sveucilistu u Gottingenu 1866. godine, iducegodine George je napisao svoju doktorsku disertaciju pod naslovom ”De aequationibussecundi gradus indeterminatis”. Nakon toga kratko predaje na Berlinskoj skoli za djevojke,a onda odlazi na Sveuciliste u Halle, gdje je ostao do kraja svog zivota, prvo kao predavac,od 1872. kao vanredni profesor i od 1879. (u dobi od 34 godine) kao redovni profesor. Zudioje za profesorskim radnim mjestom na Berlinskom univerzitetu, ali Kroneckeru se to nijesvidalo. Nije posve jasno jesu li krivi osobna antipatija ili cisto profesionalna razmatranja.Kronecker nije vjerovao u Cantorov profesionalni rad i aktivno je uticao na sprijecavanjuobjavljivanja njegovih djela.

U tom dobu Cantor je poceo graditi svoju teoriju skupova. Tada dolazi i do otkrica(uprosceno) da skup svih podskupova odredenog skupa sadrzi vise elemenata od izvornogskupa. To je sasvim ocito za konacne skupove, ali revolucionarnost ove tvrdnje je da se

primjenjuje i na beskonacne skupove. U konacnici, to znaci da postoji vise beskonacnosti od jedne. Do tada nitko nije mogao zamisliti ”vecu” beskonacnostod broja prirodnih brojeva. Cantor je dokazao da realnih brojeva ima ”vise” od prirodnih brojeva. Prirodno, pitao se je li broj realnih brojeva ”isti” kao ibroj svih podskupova skupa prirodnih brojeva. To se do dan danas ne zna i mi to znamo kao Hipotezu kontinuuma.

Cantor se sprijateljio s Dedekindom i zahvaljujuci njemu uspio je slomiti Kroneckerov otpor i objaviti svoj rad u strucnom casopisu. Iz ovog vremena(1878.) dolazi jos jedna poznata njegova tvrdnja (opet pojednostavljena): broj tocaka na liniji je ”isti” kao i broj tacaka u kvadratu ili u kocki, bilo koje(brojive) dimenzije. To je u tom trenutku tako paradoksalna tvrdnja da ni sam Cantor nije vjerovao svojim dokazima. Napisao je Dedekindu ”... da gavidim pred sobom, ali ne mogu vjerovati”.

4. Kardinalni brojevi

Tek mislioci Stare Grcke pocinju odvajati pojam broja od pojma kojim se nesto ”samo” broji.Poznato je da je Pitagora zajedno sa svojim pitagorejcima smatrao da ”Brojevi upravljaju svemirom”,da se sve zakonitosti svijeta mogu objasniti brojevima. U traganjima o zakonitostima brojeva,izdvajani su neki sa posebnim svojstvima: prosti brojevi (brojevi djeljivi samo jedinicom i samimsobom), blizanci brojevi (prosti brojevi koji se razlikuju za 2), savrseni brojevi (brojevi jednakizbiru svojih djelitelja, osim samog sebe), prijateljski brojevi (parovi brojeva od kojih je svaki jednakzbiru djelitelja onog drugog broja, osim samog broja). Ipak, pojam beskonacnosti ne postoji umatematici Starog vijeka. Tako Euklid u svom izucavanju prostih brojeva kaze da ”prostih brojevaima vise od bilo koje zadate kolicine brojeva”.

Znacajan doprinos u prici o beskonacnom dao je Nikola Kuzanski1 u svom djelu De doctaignorantia (”O ucenom neznanju”) iz 1440. godine, koja ce dati rezultata tek u XVI vijeku. Prvomoderno shvatanje pojma beskonacnosti nalazimo kod G. Gallilea koji primjecuje da ”pojmovimanji, veci i jednako nisu primjenljivi na beskonacnost”, a pravo shvatanje tog pojma imamo tek sapojavom Newtona i Leibnitza i njihovih radova iz kojih ce proisteci matematicka analiza.

Naivni pristup pojmu kardinalnog broja jeste ”prebrojavanje” elemenata nekog skupa. Kodskupova sa konacno mnogo elemenata ovaj pristup je moguc i ogleda se u principu bukvalnogprebrojavanja. Njegova primjena se vidi u Dirichletovom principu (”pigeonhole principle”- principgolubinjaka), a sastoji se u sljedecem: ako imamo n kaveza u golubinjaku i ako u golubinjak doletin+1 golub, onda ce u bar jednom kavezu morati biti bar dva goluba.

Naravno, u slucaju skupova sa beskonacno mnogo elemenata ove stvari ce se ocekivanozakomplikovati. Za to nam je odlican primjer Hilbertovog paradoksa. Naime, Hilbert je 1920.postavio pricu koja na misteriozan nacin ilustruje beskonacnost. Zamislimo hotel sa beskonacnomnogo soba (Hilbertov hotel) numerisanih redom prirodnim brojevima, koji je u potpunostipopunjen. Jedan dan na recepciji se pojavi gost koji trazi slobodnu sobu. Recepcioner Hilbertovoghotela je brzo reagovao i javio svim gostima da se presele u susjednu sobu (gost iz sobe 1. da ideu sobu broj 2, iz sobe 2. u sobu 3. itd.). Tako je recepcioner uspio osloboditi sobu broj 1. u kojuje smjestio novopridoslog gosta. Malo veci problem se pojavio kada se ispred Hilbertovog hotela

1Nicolaus Cusanus 1401-1464 , njemacki kardinal i filozof

74 Poglavlje 4. Kardinalni brojevi

pojavio Hilbertov autobus (autobus sa beskonacno mnogo putnika) koji su trazili smjestaj u hotelu.Taj problem je recepcioner rjesio tako sto je svakom gostu hotela javio da se iz svoje sobe preseli usobu sa duplo vecim rednim brojem (gost iz sobe 1. u sobu 2., iz sobe 2. u sobu 4. itd). Na taj nacinje oslobodio sve sobe sa neparnim brojevima i u njih smjestio sve nove goste. Pravi problem jerecepcioneru bio kad je cuo da su svi Hilbertovi hoteli (kojih je bilo beskonacno mnogo) zatvorenii da su se svi njihovi gosti uputili njemu. I ovaj problem recepcioner je rjesio, ali uz malu pomocmatematicara.

Najpoznatiji pristup pojmu kardinalnog broja jeste preko pojma ekvipotentnih skupova. Prematom pristupu, svaka klasa skupova predstavlja kardinalni broj (koji odgovara tim skupovima). Dakle,svakom skupu cemo na jednoznacan nacin pridruziti njegov kardinalni broj i dva skupa ce imatiisti kardinalni broj ako i samo ako su ekvipotentni. Mnogo stroziji pristup proizilazi iz stava dasvi objekti sa kojima radimo (pa i kardinali) su skupovi, a time bi kardinale trebalo uvesti kaospecijalne ordinale.

4.1 Ekvipotentnost skupovaDefinicija 4.1.1 Za skupove A i B kazemo da su ekvipotentni i pisemo A∼ B, ako i samo akopostoji bijekcija f : A→ B.

� Primjer 4.1 Posmatrajmo skupove N = {1,2,3, ...} i 2N = {2,4,6, ...}. Neka je f : N→ 2N,zadato sa f (n) = 2n (n ∈ N).Neka je y ∈ 2N, tada je y paran broj, to jest oblika je y = 2k, za neko k ∈ N, a to znaci da vrijedif (k) = 2k = y. Dakle, za svako y ∈ 2N, postoji k ∈ N, takav da je f (k) = y, pa je preslikavanje fsurjekcija.Neka su m,n∈N takvi da je m 6= n. Tada brojevi 2m i 2n pripadaju skupu 2N i ocigledno je 2m 6= 2n.Dakle, za m,n ∈ N, m 6= n vrijedi f (m) = 2m 6= 2n = f (n). Zakljucujemo da je preslikavanje f iinjektivno, sto zajedno sa pokazanom surjektivnoscu znaci da je f bijektivno preslikavanje.Dakle skupovi N i 2N su ekvipotentni, to jest vrijedi N∼ 2N. (Primjetimo da je 2N⊂ N.) �

� Primjer 4.2 Neka je X = {a,b,c,d} skup kaveza u golubinjaku i Y = {1,2,3,4,5} skup golubova.Jasno je da ne postoji bijekcija izmedu skupova X i Y jer postujuci drugu osobinu preslikavanja(jedan original se moze slikati samo u jednu sliku), niti jedno preslikavanje sa skupa X u skup Y nemoze biti surjektivno, pa dakle vrijedi X � Y ili interpretirano, u bar jedan kavez moraju uci dvagoluba. �

Teorem 4.1.1 Neka je U univerzum svih posmatranih skupova. Relacija ”biti ekvipotentan” jerelacija ekvivalencije na U .

Dokaz : Da bi dokazali izrecenu tvrdnju, treba dokazati da data relacija ima osobine refleksivnosti,simetricnosti i tranzitivnosti.Za proizvoljan A ∈U mozemo posmatrati identicno preslikavanje idA : A→ A, idA(x) = x, koje jeocigledna bijekcija, pa dakle vrijedi A∼ A, to jest ”∼” je refleksivna.Neka su A,B ∈U i neka postoji bijekcija f : A→ B. f je izomorfizam, pa postoji g : B→ A, takvoda je f ◦g = idB. Ali tada je i g izomorfizam, to jest bijekcija, a to znaci da vrijedi B∼ A. Dakle,”∼” je simetricna relacija.Neka su sada A,B,C ∈U i neka postoje bijekcije f : A→ B i g : B→C. Tada je i preslikavanjeh = g◦ f : A→C bijektivno (Teorem ??), a to znaci A∼C, pa je ”∼” tranzitivna.

Na osnovu svega ovoga zakljucujemo da je ”∼” relacija ekvivalencije. �

Teorem 4.1.2 Neka su A, B, C i D skupovi takvi da je A∼ B i C∼D. Ako je A∩C =∅= B∩D,

4.1 Ekvipotentnost skupova 75

tada je (A∪C)∼ (B∪D).

Dokaz : Neka su A, B, C i D skupovi takvi da je A ∼ B i C ∼ D i neka je A∩C = ∅ = B∩D.Zbog ekvipotentnosti skupova imamo da postoje bijekcije f : A→ B i g : C→ D. Definisimo sadafunkciju h : A∪C→ B∪D na sljedeci nacin

h(x) ={

f (x) ; x ∈ Ag(x) ; x ∈C

Zbog bijektivnosti funkcija f i g jednostavno se pokazuje da je i h bijektivna funkcija, a to znaci daje (A∪C)∼ (B∪D). �

Teorem 4.1.3 Neka su A, B, C i D skupovi takvi da je A∼ B i C∼D. Tada je (A×C)∼ (B×D).

Dokaz : Za vjezbu! Uputstvo: Funkcija F : A×C→ B×D, F(x,y) = ( f (x),g(y)), gdje su f i godgovarajuce bijekcije. �

Kako svaka relacija ekvivalencije ”razbija” (dekompozira) skup na kom je definisana nadisjunktne klase ekvivalencija, jasno je onda da jednu klasu ekvivalencije cine skupovi koji sumedusobno ekvipotentni.

Definicija 4.1.2 Svakoj klasi ekvivalencije relacije ”∼” pridruzujemo broj koga nazivamokardinalni broj. Svaki skup iz iste klase ima isti kardinalni broj i u tom slucaju govorimo okardinalnom broju skupa, sto cemo zapisivati sa card(·).

Dakle, za dva skupa A i B kazemo da imaju isti kardinalni broj, card(A) = card(B), ako i samoako vrijedi A∼ B. Gornjom definicijom smo uveli pojam kardinalnog broja, ali smo takode uvelii relaciju jednakosti na kardinalnim brojevima. Ona je relacija ekvivalencije, a nama bi trebala ineka vrsta uredenja medu kardinalnim brojevima. Zato uvedimo jos jednu relaciju nad kardinalnimbrojevima.

Definicija 4.1.3 Skup A ima kardinalni broj manji ili jednak od kardinalnog broja skupa B, uoznaci card(A)≤ card(B), ako i samo ako postoji B′ ⊆ B, takav da je

card(A) = card(B′) .

� Primjer 4.3 U primjeru sa kavezima i golubovima posmatrajmo Y ′= {1,2,3,4}⊂Y = {1,2,3,4,5}.Tada mozemo posmatrati pridruzivanje a 7−→ 1, b 7−→ 2, c 7−→ 3 i d 7−→ 4, to jest smjestimo goluba1 u kavez a, goluba 2 u kavez b, goluba 3 u kavez c i goluba 4 u kavez d. Jasno je da je ovopridruzivanje injektivno i surjektivno izmedu skupa kaveza X = {a,b,c,d} i skupa golubovaY ′ = {1,2,3,4}, te je card(X) = card(Y ′), te prema Definiciji 4.1.3 vrijedi card(X)≤ card(Y ). �

Sljedece tvrdenje nam daje karakterizaciju novouvedene relacije.

Lema 4.1.4 Neka su A i B proizvoljni skupovi. Tada je card(A)≤ card(B) ako i samo ako postojiinjektivno preslikavanje f : A→ B.

Dokaz : Neka je card(A) ≤ card(B). Na osnovu Definicije 4.1.3, to znaci da postoji B′ ⊆ Btakav da je card(A) = card(B′), a to znaci da su skupovi A i B′ ekvipotentni, pa postoji bijekcijag : A→ B′. Neka je i : B′→ B inkluzivno preslikavanje. Svaka inkluzija je injektivno preslikavanje,pa je i f = i◦g injektivno preslikavanje i pri tome f : A→ B.

Neka je sada f : A → B injekcija. Posmatramo li skup f (A) ⊆ B, onda je preslikavanjef : A→ f (A), koje dobijemo tako da suzimo kodomen preslikavanja f na skup f (A), i surjekcija,to jest ono je bijektivno preslikavanje. Ovo opet znaci da su skupovi A i B′ = f (A) ekvipotentni ipri tome je B′ ⊆ B, pa vrijedi card(A)≤ card(B). �

Primjetimo da ako vrijedi X ⊆ Y , onda mozemo posmatrati inkluzivno preslikavanje i : X → Y ,


i(x) = x, a kako je inkluzivno preslikavanje injektivno, onda vrijedi card(X) ≤ card(Y ). Ovoiskazujemo sljedecom tvrdnjom.

Lema 4.1.5 Ako je X ⊆ Y , onda je card(X)≤ card(Y ).

U dokazima narednih tvrdenja bit ce nam potrebna dva pojma koji nisu bitno vezani za teorijuskupova, te ih zbog toga necemo ni definisati formalno. Za preslikavanje f : X → X kazemo da imasvojstvo fiksne tacke ako postoji x∗ ∈ X , takav da je f (x∗) = x∗. Za ovakav x∗ onda kazemo da jefiksna tacka preslikavanja f . Za preslikavanje f : X → X kazemo da je uzlazno ako za proizvoljneA,B ∈ P(X), iz A⊆ B slijedi f (A)⊆ f (B).

Lema 4.1.6 Svako injektivno preslikavanje je uzlazno preslikavanje.

Dokaz : Neka je f : X → X i A,B⊆ X takvi da je A⊆ B. Ako je f injektivno preslikavanje tadase razliciti originali preslikavaju u razlicite slike, te ce ocigledno vrijediti f (A) = { f (x) | x ∈ A} ⊆{ f (x) | x ∈ B}= f (B). �

Lema 4.1.7 Neka je X proizvoljan skup i P(X) njegov partitivni skup. Ako je f : P(X)→ P(X)uzlazno preslikavanje, tada f ima svojstvo fiksne tacke.

Dokaz : Oznacimo saL = {Y ∈ P(X)| Y ⊆ f (Y )} .

Ovaj skup nije prazan jer bar ∅ pripada L (prazan skup je podskup bilo kog skupa). Definisimodalje skup K na sljedeci nacin

K = ∪L = ∪{Y | Y ∈ L} ∈ P(X) .

Kako je L neprazan, na osnovu aksioma unije, skup K postoji.Za proizvoljno Y ∈ L je Y ⊆K, a onda zbog uzlaznosti preslikavanja f imamo da je f (Y )⊆ f (K).

Kako je Y ∈ L, onda je Y ⊆ f (Y ), pa dakle imamo da je za svako Y ∈ L, Y ⊆ f (K). Onda i njihovaunija ima istu osobinu, to jest

K = ∪{Y | Y ∈ L} ⊆ f (K) . (4.1)

S druge strane, kako su K, f (K) ∈ P(X) i zbog K ⊆ f (K), na osnovu uzlaznosti preslikavanjaimamo f (K)⊆ f ( f (K)). Ovo onda znaci da je f (K) ∈ L, pa je tim prije zadovoljeno

f (K)⊆ ∪L = K . (4.2)

Iz (4.1) i (4.2) imamo da vrijedi f (K) = K, to jest f ima svojstvo fiksne tacke. �Iskazimo sada jedan od najvaznijih teorema teorije skupova, koji predstavlja kljucni rezultat

koji dozvoljava poredenje beskonacnosti. Ona je prvi put iskazana 1895. od strane Cantora u oblikukonjukture, a 1896. neovisno su je dokazali Bernstein2 i Schroder.3

Teorem 4.1.8 — Cantor-Bernstein-Schroder. Ako za proizvoljne skupove X i Y vrijedi

card(X)≤ card(Y ) i card(Y )≤ card(X) ,

onda vrijedi card(X) = card(Y ).

Dokaz : Neka vrijedicard(X)≤ card(Y ) i card(Y )≤ card(X) ,

2Felix Bernstein 1878-1956 , njemacki matematicar3Ernst Schroder 1841-1902 , njemacki matematicar

4.1 Ekvipotentnost skupova 77

to znaci da postoje injektivna preslikavanja

f : X → Y i g : Y → X .

Da bi pokazali ekvipotentnost skupova X i Y , moramo pronaci neko bijektivno preslikavanje sa Xna Y .

Posmatrajmo kao prvo preslikavanje h : P(X)→ P(X), zadato sa

A⊆ X , h(A) = X \g(Y \ f (A)) .

Neka su A,B⊆ X takvi da je A⊆ B. Tada imamo

A⊆ B ⇒ f (A)⊆ f (B)

⇒ Y \ f (A)⊇ Y \ f (B)

⇒ g(Y \ f (A))⊇ g(Y \ f (B))

⇒ X \g(Y \ f (A))⊆ X \g(Y \ f (B))

⇒ h(A)⊆ h(B) .

Dakle, preslikavanje h je uzlazno preslikavanje, pa na osnovu Leme 4.1, h ima fiksnu tacku, to jestpostoji K ⊆ X , takav da je h(K) = K, odnosno

K = X \g(Y \ f (K)) .

XY

Kf (K)

g(Y \ f (K)Y \ f (K)

g

f

Za ovako odreden skup K, definisimo sada funkciju φ : X → Y , zadatu sa

φ(x) ={

f (x) ; x ∈ Kg−1(x) ; x ∈ X \K

Zbog izbora skupa K jasno je da je ovo preslikavanje injektivno. Osim toga je

φ(X) = φ(K)∪φ(X \K) = f (K)∪g−1(X \K) = f (K)∪ (Y \ f (K)) = Y ,

pa zakljucujemo da je φ i surjektivno preslikavanje. Dakle, pronasli smo bijekciju φ : X → Y , pavrijedi card(X) = card(Y ). �

U iskazu gornjeg teorema dali smo joj ime ”Cantor-Bernstein-Schroder”, ali njeno tradicionalnoime (najcesce koristeno) je ”Bernstein-Schroder”, dok cemo se mi u daljem tekstu na nju pozivatisa imenom ”Cantor-Bernstein” teorem.

� Primjer 4.4 Neka je A = [0,4] i B = [0,2]∪ [3,4].Ocigledno je B⊆ A, pa vrijedi

card(B)≤ card(A) . (4.3)

Posmatrajmo preslikavanje f : A→ B, zadato sa f (x) = 12 x. f je ocigledno injektivno preslikavanje

(kao linearno preslikavanje) pa na osnovu Leme 4.1.4 je

card(A)≤ card(B) . (4.4)

Iz (4.3) i (4.4), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemo card(A) = card(B). �


Teorem 4.1.9 Neka su X ,Y i Z proizvoljni skupovi za koje vrijedi X ⊆Y ⊆ Z. Ako je card(X) =card(Z), onda vrijedi card(X) = card(Y ) = card(Z).

Dokaz : Kao sto je napomenuto iza Leme 4.1.4, iz X ⊆ Y slijedi da je

card(X)≤ card(Y ) . (4.5)

Isto tako iz Y ⊆ Z imamo card(Y )≤ card(Z), a zbog pretpostavke card(X) = card(Z), onda vrijedi

card(Y )≤ card(X) = card(Z) . (4.6)

Iz (4.5) i (4.6), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemo da vrijedi card(X) = card(Y ).�

Spomenimo na ovom mjestu jos jedan vazan ekvivalent aksiomi izbora, a koji se tice uvedenerelacije ”≤” nad kardinalnim brojevima.

Teorem (Hartogov teorem). Ako su α i β kardinalni brojevi, tada je α ≤ β ili α ≥ β .

4.2 Konacni i beskonacni skupoviDefinicija 4.2.1 Za skup X kazemo da je beskonacan ako i samo ako postoji element α koji nepripada skupu X , tako da vrijedi

card(X ∪{α}) = card(X) .

Ako skup nije beskonacan onda kazemo da je konacan.

� Primjer 4.5 Posmatrajmo skup prirodnih brojeva, N= {1,2,3, ...}. Oznacimo sa N0 = N∪{0}.Neka je f : N0→ N, zadato sa f (n) = n+ 1. Za proizvoljan m ∈ N je m− 1 iz N0 i pri tome jef (m−1) = (m−1)+1 = m, pa je preslikavanje f surjektivno. Osim toga, za n1,n2 ∈ N0, takveda je n1 6= n2, je f (n1) = n1 +1 6= n2 +1 = f (n2), te je preslikavanje f i injektivno. Dakle, f jebijektivno preslikavanje, a to znaci card(N) = card(N0). Na osnovu gornje definicije, skup N jedakle beskonacan skup (ovdje je α = 0). �

Sljedecim teoremom dajemo jednu karakterizaciju beskonacnih skupova.

Teorem 4.2.1 Skup je beskonacan ako i samo ako je ekvipotentan svom pravom podskupu.

Dokaz : Neka je A beskonacan skup. Tada postoji α /∈ A, takav da je card(A) = card(A∪{α}).To opet znaci da postoji bijekcija f : A∪{α}→ A. Ali tada je i preslikavanje

f |A : A→ A\{ f (α)}

takode bijekcija, a to znaci da je A ekvipotentan skupu A \ { f (α)}, medutim ocigledno je A \{ f (α)} ⊂ A.

Neka je sada A ekvipotentan svom pravom podskupu A′. Tada ocigledno postoji x0 ∈ A\A′ ipri tome vrijedi

A′ ⊂ A′∪{x0} ⊆ A .

Zbog A∼ A′, na osnovu Leme 4.1.9 imamo

card(A′) = card(A′∪{x0}) = card(A) .

4.2 Konacni i beskonacni skupovi 79

Neka je α proizvoljan, takav da α /∈ A. Zbog pretpostavke A∼ A′, onda je i A∪{α} ∼ A′∪{α}.Kako je card(A′∪{x0}) = card(A′∪{α}), zakljucujemo da je card(A∪{α}) = card(A′∪{x0}) =card(A), a ovo upravo znaci beskonacnost skupa A. �

Prethodnu tvrdnju mozemo koristiti i kao karakterizaciju konacnih skupova. Naime, iskoristimoli kontrapoziciju implikacije s lijeva u desno gornjeg tvrdenja, mozemo zakljuciti da ako skup nijeekvipotentan niti jednom svom pravom podskupu, da onda on mora biti konacan skup. Ipak cemosljedecom tvrdnjom dati nesto korisniju karakterizaciju konacnih skupova.

Teorem 4.2.2 Skup je konacan ako i samo ako je svako injektivno preslikavanje tog skupa usamog sebe ujedno i surjekcija.

Dokaz : Neka je X konacan skup i neka je f : X → X injektivno preslikavanje. Pretpostavimoda f nije surjektivno preslikavanje, to jest neka je f (X) ⊂ X . Oznacimo sa X ′ = f (X). Tada jef : X → X ′ bijekcija, pa zakljucujemo da su X i X ′ ekvipotentni skupovi, a to na osnovu Teorema4.2.1 znaci da je X beskonacan skup. To je kontradikcija sa konacnoscu skupa X , pa zakljucujemoda f mora biti surjektivno preslikavanje.

Neka je sada svaka injekcija sa X u X ujedno i surjekcija. Pretpostavimo da je X beskonacanskup. To znaci da je X ekvipotentan nekom svom pravom podskupu X ′, to jest postoji bijekcijag : X → X ′. Posmatrajmo sada preslikavanje f = i ◦ g : X → X , gdje je i : X ′ → X inkluzivnopreslikavanje. Kako je svako inkluzivno preslikavanje injektivno i kako je g takode injektivno(g je bijekcija), onda je i njihova kompozicija, dakle preslikavanje f , injektivno. Zbog polaznepretpostavke f je tada i surjektivno preslikavanje te vrijedi f (X) = X . Ali tada imamo

X = f (X) = (i◦g)(X) = i(g(X)) = g(X) = X ′ ,

sto je kontradikcija sa pretpostavkom da je X ′ pravi podskup od X . Dakle, X ne moze bitibeskonacan skup, sto znaci da je on konacan skup. �

Teorem 4.2.3 Neka je A beskonacan skup i neka je A⊆ X . Tada je i X beskonacan skup.

Dokaz : Neka je A beskonacan skup i A⊆ X . Zbog beskonacnosti, A je ekvipotentan svom pravompodskupu, to jest postoji A′ ⊂ A, tako da je A′ ∼ A, odnosno postoji bijekcija f : A→ A′. Oznacimosa X ′ = X \A∪A′. Zbog A′ ⊂ A, jasno je X ′ ⊂ X . Posmatrajmo sada preslikavanje F : X → X ′

zadato sa

F(x) ={

f (x) ; x ∈ Ax ; x ∈ X \A

Iz same konstrukcije preslikavanja F jasno je da je to bijektivno preslikavanje (pokazati!), a toznaci da je X ekvipotentan svom pravom podskupu X ′, pa je X beskonacan skup. �

Slicnu (dualnu) tvrdnju gornjoj tvrdnji mozemo iskazati za konacne skupove, koja je u toj formiprakticno posljedica gornje teoreme.

Teorem 4.2.4 Ako je A konacan skup i ako je X ⊆ A, onda je i X konacan skup.

Dokaz : Neka je A konacan i X ⊆ A. Pretpostavimo da X nije konacan, to jest neka je X beskonacanskup. To bi prema Teoremu 4.2.3 znacilo da je i A beskonacan skup sto bi bila kontradikcija. Dakle,X mora biti konacan skup. �

Teorem 4.2.5 Za proizvoljan prirodan broj n, skup An = {1,2,3, ...,n} je konacan skup.

Dokaz uraditi za vjezbu!


Teorem 4.2.6 Za razlicite prirodne brojeve m i n, skupovi Am i An nisu ekvipotentni.

Dokaz : Pretpostavimo da postoje m,n ∈ N, m 6= n, takvi da je Am ∼ An. Ne gubeci na opstosti,neka je m < n. Tada je ocigledno Am ⊂ An i dakle, An je ekvipotentan svom pravom podskupu stobi znacilo da je An beskonacan skup, a to prema Teoremi 4.2.5 nije moguce. �

Teorem 4.2.7 Neka je X proizvoljan konacan skup. Tada, ili je X =∅ ili postoji n ∈ N, tako daje X ∼ An.

Na osnovu gornje teoreme konacne skupove mozemo preciznije okarakterisati. Naime, neka je Xkonacan skup i neka je X 6=∅. Tada je za neko n ∈ N, X ∼ An, to jest postoji bijekcija f : An→ X .Ako stavimo da je f (1) = x1, f (2) = x2, ..., f (n) = xn, imamo da je skup X zadat sa svojimelementima

X = {x1,x2, ...,xn} .

Osim toga svaki se konacan skup nalazi u onoj klasi ekvivalencije relacije ”∼ ” u kojoj se nalazinjemu odgovarajuci An. Tada za konacan skup X koji je ekvipotentan sa An, kazemo da mu jekardinalni broj jednak n, to jest

card(X) = card(An) = n , n ∈ N .

Specijalno, uzimamo da vrijedi card(∅) = 0. Iz gornjeg imamo da su svi prirodni brojeviukljucujuci nulu, kardinalni brojevi. Za njih se veze i uobicajeno shvatanje kardinala kao ”brojaelemenata skupa”, sto u generalnom shvatanju pojma kardinalnih brojeva nije prihvatljivo. Takvekardinalne brojeve nazivamo konacni kardinali, a kao sto cemo vidjeti u daljem, postoje takodei beskonacni kardinali, koji su naravno vezani za beskonacne skupove. Zavrsimo ovu sekciju sajednim tvrdenjem vezanim za konacne kardinale.

Teorem 4.2.8 Za proizvoljan cijeli broj n≥ 0, ako skup X ima n elemenata, tada njegov partitivniskup P(X) ima 2n elemenata.

Dokaz : Dokaz cemo izvesti matematickom indukacijom. Kao prvo definisimo jednomjesni predikatovisan o n ∈ N∪{0}

P(n) : Skup sa n elemenata ima 2n podskupova.

Za n = 0 je tvrdnja P(0) tacna jer jedini skup sa 0 elemenata je prazan skup, a njegov jedini podskupje opet prazan skup. Dakle, skup sa 0 elemenata ima 20 = 1 podskup.Neka je za proizvoljno cjelobrojno n ≥ 0 tacna tvrdnja P(n), to jest skup sa n elemenata ima 2n

podskupova (induktivna hipoteza). Neka je X skup koji ima n+ 1 element. Kako je n+ 1 ≥ 1,postoji bar jedan element u X . Izaberimo z ∈ X i fiksirajmo ga. Uocimo odma da svaki podskupod X ili sadrzi ili ne sadrzi element z. Svakom podskupu A⊆ X \{z} (koji ne sadrzi z) odgovaraskup A′ = A∪{z} (koji sadrzi z). Dakle, podskupova od X koji ne sadrze element z ima isto tolikokoliko ima podskupova koji sadrze element z. Ovo onda znaci da podskupova od X ima duplo visenego podskupova od X \{z}. Skup X \{z} ima n elemenata pa prema induktivnoj hipotezi on oma2n podskupova. Ovo opet znaci da X ima 2 ·2n = 2n+1 podskupova. Prema tome tcna je i tvrdnjaP(n+1). Na osnovu principa matematicke indukcije zakljucujemo da je P(n) tacno za proizvoljnocjelobrojno n≥ 0. �

4.3 Prebrojivi skupoviKao sto smo to vec imali prilike vidjeti ranije, vrijedi N ∼ 2N, to jest skup prirodnih brojeva jeekvipotentan svom pravom dijelu, pa prema Teoremu 4.2.1 jos jednom potvrdujemo da je on kao

4.3 Prebrojivi skupovi 81

takav beskonacan skup. Kardinalni broj skupa N oznacavamo simbolom ”ℵ0” i citamo ”alef nula”(Znak ”ℵ” je prvo slovo hebrejske azbuke i cita se ”alef” (aleph)). Dakle,

card(N) = ℵ0 ,

je kardinalni broj koga pridruzujemo svim skupovima koji su ekvipotentni skupu prirodnih brojevai on predstavlja nas prvi beskonacni kardinalni broj. Naime, kako je za svaki prirodni broj n,An ⊂ N, to je card(An) = n≤ℵ0 = card(N). Kako jos vrijedi An � N, jasno je da n 6= ℵ0. Ovonam prirodno namece potrebu za jos jednom relacijom medu kardinalnim brojevima.

Definicija 4.3.1 Neka su X i Y proizvoljni skupovi.

card(X)< card(Y )de f⇐⇒ card(X)≤ card(Y ) ∧ card(X) 6= card(Y ) .

Gornju definiciju smo mogli iskazati i na nacin da postoji injektivno preslikavanje f : X → Y , a dapri tome vrijedi X � Y . Kako vrijedi

∅⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ ·· · ⊂ An ⊂ ·· · ⊂ N ,

koristeci se ovim, i Teoremom 4.2.6 imamo da za odgovarajuce kardinalne brojeve vrijedi veza

0 < 1 < 2 · · ·< n < · · ·< · · · ,

ali za ℵ0 mozemo za sada samo tvrditi da je n<ℵ0, za svako n∈N. Prvi beskonacni kardinalni brojvezali smo za skup prirodnih brojeva pa za njega vezemo i posebnu klasu skupova.

Definicija 4.3.2 Za skup X kazemo da je prebrojiv ako je X ∼ N, to jest ako vrijedi

card(X) = card(N) = ℵ0 .

Za skup X kazemo da je najvise prebrojiv ako je card(X)≤ℵ0.

Termin ”prebrojiv” dolazi iz sljedeceg rezonovanja. Kako je X ∼ N, postoji bijekcija f : N→ X ,tako da je f (n) = xn ∈ X , pa je dakle

X = {x1,x2, ...,xn, ...} ,

to jest elemente skupa X mozemo prikazati u obliku niza.

Teorem 4.3.1 Skup X je konacan ako i samo ako je card(X)< ℵ0.

Dokaz : ”=⇒”Neka je X konacan skup. Na osnovu Teorema 4.2.7 je X = ∅ ili postoji n ∈ N takav da jeX ∼ An. Ako je X = ∅ jasno je card(X) = 0 < ℵ0. Neka je zato X ∼ An za neko n ∈ N. Toznaci da postoji bijekcija f : X → {1,2,3, ...,n}. Ali tada je preslikavanje f ∗ : X → N zadato saf ∗(x) = f (x), injektivno preslikavanje (prosirenjem kodomena ”unistili” smo surjektivnost) pavrijedi card(X)≤ℵ0. Ako pretpostavimo da postoji bijekcija g : X → N, to bi onda preslikavanjeg◦ f−1 : {1,2,3, ...,n}→ N bilo bijektivno (kao kompozicija dva bijektivna preslikavanja) sto jeocigledno nemoguce, pa zakljucujemo da je card(X) 6= ℵ0. Na osnovu Definicije 4.3.1 je ondacard(X)< ℵ0.”⇐=”Neka je card(X) < ℵ0. Ako je X = ∅ onda je konacan, a ako nije prazan skup onda postojiinjektivno preslikavanja f : X → N i ne postoji bijekcija sa X u N. Pretpostavimo da je skupX beskonacan. Zbog injektivnosti preslikavanja f je onda i D2( f ) beskonacan skup. Tada jepreslikavanje g : D2( f )→ N, zadato sa

g(n) = card({x ∈ D2( f ) | x≤ n}) ,


bijekcija (pokazati!), a onda je i g◦ f kao kompozicija bijektivnih preslikavanja bijekcija i pri tomeg◦ f : X → N, sto bi bilo kontradikcija. Dakle, skup X je konacan skup. �

Na osnovu gornje tvrdnje sada definitivno mozemo tvrditi poredak do sada nam poznatihkardinala,

0 < 1 < 2 · · ·< n < · · ·< ℵ0 .

Teorem 4.3.2 Svaki podskup prebrojivog skupa je ili konacan ili prebrojiv skup.

Dokaz : Neka je X prebrojiv skup i neka je A⊆ X .Ako je A konacan skup, tvrdnja je tacna. Zato pretpostavimo da je A beskonacan skup i pokazimoda on mora biti prebrojiv.

Zbog prebrojivosti skupa X , postoji bijekcija f : N→ X . Skup A je podskup od X i beskonacanje, pa mozemo sprovesti sljedecu konstrukciju:Neka je i1 ∈ N najmanji prirodni broj za koga vrijedi f (i1) ∈ A. Dalje neka je i2 ∈ N prvi prirodnibroj za koga je i2 > i1 i f (i2) ∈ A. Nastavljajuci ovakav postupak, neka je in+1 > in i f (in+1) ∈ A,formiramo niz prirodnih brojeva i1 < i2 < · · ·< in < · · · , za koje je f (in) ∈ A, n ∈ N. Oznacimosada

g(n) = f (in) , n ∈ N .

Jasno je da g : N→ A i na osnovu konstrukcije, g je bijektivno preslikavanje (jer je f bijekcija), ato znaci da je card(A) = card(N) = ℵ0. �

Teorem 4.3.3 Ako je X beskonacan skup, tada je card(X) ≥ ℵ0 i postoji Y ⊆ X takav da jecard(Y ) = ℵ0.

Dokaz : Neka je X beskonacan skup i neka je x0 ∈ X proizvoljan. Definisimo funkciju f : N→ Xna sljedeci nacin: f (1) = x0. Kako je X beskonacan, postoji x1 ∈ X \ {x0} i stavimo f (2) = x1.Opet zbog beskonacnosti skupa X postoji x2 ∈ X \{x0,x1} i neka je f (3) = x2. Nastavimo ovimrazmisljanjem rekurzivno, postoji xn ∈ X \{x0,x1, ...,xn−1} i neka je f (n+1) = xn. Ocigledno zbognacina izbora, razlicitim originalima odgovaraju razlicite slike pa je nase preslikavanje injektivno,odnosno vrijedi card(N) = ℵ0 ≤ card(X). Pri tome je N∼ D2( f ) = Y , a ocigledno je Y ⊆ X . �

Teorem 4.3.4 Konacna unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Dokaz : Neka su Xi (i ∈ N) prebrojivi skupovi. Posmatramo li uniju dva prebrojiva skupa X1∪X2,na osnovu Teorema 4.3.10 ovo mozemo shvatiti kao uniju beskonacnog i prebrojivog skupa, pavrijedi

card(X1∪X2) = card(X1) = ℵ0 .

Neka je sada za proizvoljno n ∈ N, X1 ∪X2 ∪ ·· · ∪Xn prebrojiv skup. Tada ponovo na osnovuprethodne teoreme vrijedi

card

(n⋃

i=1

Xi∪Xn+1

)= card

(n+1⋃i=1

Xi

)= ℵ0 .

�Vrijedi cak i opstije.

Teorem 4.3.5 Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Dokaz : Neka je {Xi | i ∈ N} prebrojiva familija prebrojivih skupova (card(Xi) = ℵ0, i ∈ N). Za

pokazati da je∞⋃

i=1

Xi prebrojiv skup, dovoljno je naci neko injektivno preslikavanje f :∞⋃

i=1

Xi→ N.


Posmatrajmo nove skupove definisane na sljedeci nacin:

Y1 = X1

Y2 = X2 \X1

Y3 = X3 \ (X1∪X2)

............................................

Yn = Xn \ (X1∪X2∪·· ·∪Xn−1)

............................................

Za n 6= m, neka je n < m, imamo da ako neko x ∈ Yn tada zbog Yn = Xn \ (X1 ∪X2 ∪ ·· · ∪Xn−1)zakljucujemo da x ∈ Xn, ali tada x /∈Ym jer Ym = Xm \ (X1∪X2∪·· ·∪Xn∪·· ·∪Xm−1). Dakle vrijediYn∩Ym =∅, za n 6= m.

Kako je za proizvoljno n ∈ N ocigledno Yn ⊆ Xn, tada je∞⋃

i=1

Yi ⊆∞⋃

i=1

Xi. S druge strane, ako

x ∈∞⋃

i=1

Xi, tada za bar jedno i ∈ N, x ∈ Xi. Neka je n0 najmanji prirodni broj za koga je x ∈ Xn0 .

Zbog definicije skupova Yi, tada x ∈ Yn0 , a samim tim x ∈∞⋃

i=1

Yi. Dakle,∞⋃

i=1

Xi ⊆∞⋃

i=1

Yi, pa vrijedi

jednakost ovih skupova,∞⋃

i=1

Yi =∞⋃

i=1

Xi .

Kako je svaki Yi podskup prebrojivog skupa Xi (i ∈ N), jasno je da su i skupovi Yi prebrojivi, a toonda znaci da za svako i ∈ N, postoji injektivno preslikavanje fi : Yi→ N.Oznacimo proste brojeve redom: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 . . ., pn . . . i definisimo preslikavanje

f :∞⋃

i=1

Yi→ N, na sljedeci nacin: za x ∈∞⋃

i=1

Yi, ako x ∈ Yn, onda neke je f (x) = p fn(x)n .

Naprimjer, ako x ∈ Y3, tada je f3(x) prirodan broj ( f3 : Y3→ N). Neka je f3(x) = 32, tada je f (x) = 332.

Primjetimo takode da za x∈⋃

∞i=1 Yi postoji tacno jedno i∈N za koga je x∈Yi (zbog disjunktnosti skupova Yi), tako da je preslikavanje

f dobro definisano.

Neka su sada x,y ∈∞⋃

i=1

Yi, tako da je x 6= y. Razlikujmo dva slucaja

a) Ako x ∈ Yn i y ∈ Ym, za n 6= m, tada je zbog pn 6= pm,

f (x) = p fn(x)n 6= p fm(y)

m = f (y) .

b) Ako x i y pripadaju istom skupu Yn, tada je fn(x) 6= fn(y) jer je fn injekcija, pa ce opet vrijediti

f (x) = p fn(x)n 6= p fn(y)

n = f (y) .

Dakle, preslikavanje f je injektivno te je∞⋃

i=1

Yi =∞⋃

i=1

Xi prebrojiv skup, sto je i trebalo pokazati. �

Teorem 4.3.6 Skup N×N je prebrojiv.

Dokaz : Posmatrajmo funkciju f : N×N→ N, zadatu sa

f (n,m) = 2n3m .


Neka su (n1,m1),(n2,m2) ∈ N×N i neka vrijedi f (n1,m1) = f (n2,m2). To znaci da je 2n13m1 =2n23m2 . Bez umanjenja opstosti, neka je n1 ≥ n2. Djeleci posljednju jednakost sa 2n2 , dobijamo

2n1−n23m1 = 3m2 .

Desna strana je neparan broj, a da bi to bila i lijeva strana, zbog umnoska 2n1−n2 , mora bitin1−n2 = 0, to jest mora biti n1 = n2. Ali to onda daje 3m1 = 3m2 , pa mora biti i m1 = m2. Dakle,vrijedi (n1,m1) = (n2,m2), pa je preslikavanje f injektivno, na osnovu cega je onda

card(N×N)≤ card(N) . (4.7)

Posmatrajmo sada preslikavanje g : N→ N×N, zadato sa g(n) = (n,1). Ako je za neke n,m ∈ N,g(n) = g(m), to znaci jednakost uredenih parova (n,1) = (m,1), sto opet daje n = m. Dakle,preslikavanje g je injektivno te vrijedi

card(N)≤ card(N×N) . (4.8)

Iz (4.7) i (4.8), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme, zakljucujemo

card(N×N) = card(N) = ℵ0 .

�Kao direktnu posljedicu ovog tvrdenja imamo sljedece tvrdenje.

Posljedica 4.3.7 Direktni proizvod konacno mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Teorem 4.3.8 Skup cijelih brojeva Z je prebrojiv skup.

Dokaz : Skup Z se moze prikazati u sljedecem obliku

Z= N∪{0}∪ (−N) ,

gdje je−N= {−n| n ∈ N}. Preslikavanje f :N→−N, zadato sa f (n) =−n je bijekcija, pa vrijedicard(−N) = card(N) = ℵ0.Kako je N beskonacan skup, vrijedi

card(N∪{0}) = card(N) = ℵ0 .

Skup Z je sada kao unija dva prebrojiva skupa i sam prebrojiv skup. �

Teorem 4.3.9 Skup racionalnih brojeva Q je prebrojiv skup.

Dokaz : Prikazimo skup Q u obliku

Q=Q−∪{0}∪Q+ ,

gdje su Q− i Q+ skupovi negativnih i pozitivnih racionalnih brojeva respektivno. Preslikavanjef :Q+→Q−, zadato sa f (q) =−q je bijekcija, pa vrijedi card(Q−) = card(Q+). Kako jeN⊂Q+

i N beskonacan skup, to je i Q+ beskonacan skup, a onda vrijedi

card(Q+∪{0}) = card(Q+) .

Dakle, za dokaz gornje cinjenice dovoljno je pokazati da vrijedi card(Q+) = ℵ0.


Kako se svaki pozitivan racionalan broj moze na jedinstven nacin prikazati kao kolicnik dvarelativno prosta prirodna broja, to jest za q ∈ Q+, postoje jedinstveni m,n ∈ N, m i n relativnoprosti, tako da je

q =mn,

definisimo preslikavanje f :Q+→ N×N, zadato sa

q =mn∈Q+ , f (q) = (m,n) .

Za m1n1, m2

n2∈Q+, ako je f (m1

n1) = f (m2

n2), to znaci da je

(m1,n1) = (m2,n2) ,

a iz jednakosti dva uredena para zakljucujemo da je m1 = m2 i n1 = n2, to jest m1n1

= m2n2

, pa je finjektivno preslikavanje. Na osnovu Leme 4.1.4 ovo znaci da je card(Q+)≤ card(N×N) = ℵ0.S druge strane, iz N ⊂ Q+ imamo da je ℵ0 = card(N) ≤ card(Q+). Sada na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme imamo card(Q+) = ℵ0. Iz svega recenog vrijedi

card(Q) = ℵ0 .

�

Teorem 4.3.10 Neka je X beskonacan skup, a Y prebrojiv ili konacan skup. Tada vrijedi

card(X ∪Y ) = card(X) .

Dokaz : Neka je X beskonacan skup i Y prebrojiv skup. Ne gubeci na opstosti, pretpostavimo da suskupovi X i Y disjunktni (u suprotnom sljedece razmisljanje bi sproveli na skupovima X i X \Y ).Kako je X beskonacan skup, prema Teoremu 4.3.3 postoji prebrojiv skup A⊆ X . Prema Teoremu4.3.4 je i skup Y ∪A prebrojiv, te vrijedi Y ∪A∼A ili drugacije receno, postoji bijekcija g :Y ∪A→A.Posmatrajmo sada preslikavanje f : X ∪Y → X , zadato na sljedeci nacin,

f (x) ={

x ; x ∈ X \Ag(x) ; x ∈ Y ∪A

Za x1,x2 ∈ X ∪Y , x1 6= x2, razmatrajmo sljedece varijante:Ako su x1,x2 ∈ X \A, tada je f (x1) = x1 6= x2 = f (x2).Ako su x1,x2 ∈A ili x1,x2 ∈Y , tada je f (x1)= g(x1) 6= g(x2)= f (x2) jer je g injektivno preslikavanje.Dakle, f je injektivno preslikavanje. Kako vrijedi

f (X ∪Y ) = f (((X \A)∪A)∪Y ) = f (X \A)∪g(Y ∪A) = (X \A)∪ (Y ∪A) = X ,

f je i surjekcija. Dakle, na osnovu svega f je bijekcija i vrijedi X ∪Y ∼ X .Na slican nacin se dokazuje slucaj ako je Y konacan skup.

�Gornjim teoremom tvrdimo da ako beskonacnom skupu ”dodamo” konacan ili prebrojiv skup,

njegova kardinalnost se nece promjeniti. Ovo smo mogli iskazati i u sljedecoj slicnoj formi.

Teorem 4.3.11 Neka je X beskonacan skup i Y ⊆ X neki njegov konacan podskup. Tada vrijedi:

X ∼ X \Y .

Dakle, ako beskonacnom skupu ”oduzmemo” neki njegov konacan dio, karidnalnost se necepromjeniti.


4.4 Neprebrojivi skupoviU dosadasnjem izlaganju upoznali smo sve konacne kardinale (n ∈ N0) i jedan beskonacni kardinal(ℵ0). Naravno da je smisleno zapitati se da li postoje i neki drugi beskonacni kardinali? Odgovorje potvrdan, sto ce proizilaziti iz sljedeceg tvrdenja.

Teorem 4.4.1 — Cantor. Za proizvoljan skup X vrijedi card(X)< card(P(X)).

Dokaz : Neka je X =∅. Tada je P(X) = {∅} i pri tome vrijedi

0 = card(∅)< card({∅}) = 1 .

Neka je sada X 6=∅. Posmatrajmo preslikavanje f : X → P(X), definisano sa

f (x) = {x} , x ∈ X .

Jasno je da vrijedix,y ∈ X , x 6= y ⇒ {x} 6= {y} ,

to jest f (x) 6= f (y), pa je f injektivno preslikavanje. To znaci da je onda

card(X)≤ card(P(X)) . (4.9)

Pretpostavimo sada da postoji bijektivno preslikavanje F : X → P(X). Skup

A = {x ∈ X | x /∈ F(x)} ,

je prema aksiomu specifikacije dobro definisan skup. On takode nije ni prazan skup. Zaista, kako∅ ∈ P(X), zbog surjektivnosti preslikavanja F , postoji x0 ∈ X takav da je F(x0) = ∅ (sta vise,postoji tacno jedan takav). Tada ocigledno za takav x0 ∈ X vrijedi x0 /∈∅= F(x0), to jest x0 ∈ A.Kako je A ∈ P(X), opet zbog surjektivnosti preslikavanja F , mora postojati b ∈ X takav da jeF(b) = A. Pretpostavimo da je b ∈ A! To bi onda znacilo da b /∈ F(b), a zbog F(b) = A to biznacilo da b /∈ A. Pretpostavimo zato da b /∈ A! Ako bi to bilo, to bi znacilo da je b ∈ X i b ∈ F(b),to jest b ∈ A. Jasno je da je konstruisani skup B kontradiktoran, a njegovu konstrukciju nam jeomogucilo postojanje bijekcije F . Dakle, ne postoji bijektivno preslikavanje sa X na P(X), tevrijedi

card(X) 6= card(P(X)) . (4.10)

Iz (4.9) i (4.10), na osnovu Definicije 4.3.1 imamo card(X)< card(P(X)). �Dakle, kardinalni broj partitivnog skupa je strogo veci od kardinalnog broja samog skupa. Time

je potvrdeno da beskonacnih kardinala, osim ℵ0, zaista ima jos. Sta vise, ima ih beskonacno mnogojer vijedi

ℵ0 = card(N)< card(P(N))< card(P(P(N)))...

Jedan od tih beskonacnih kardinalnih brojeva za nas je posebno interesantan. Prije nego sto gauvedemo, dokazimo sljedece tvrdenje.

Teorem 4.4.2 Za proizvoljne a,b ∈ R, a < b vrijedi R∼ (a,b).

Dokaz : Posmatrajmo preslikavanje f : (−1,1)→ R, definisano sa f (x) = tan πx2 . Iz poznavanja

elementarnih funkcija znamo da je funkcija f bijekcija, dakle R∼ (−1,1).Neka je sada (a,b)⊆R proizvoljan interval. Uvedimo preslikavanje g : (−1,1)→ (a,b), zadato

sa g(x) = a−b2 x+ a+b

2 . Funkcija g je linearna funkcija, dakle bijekcija, pa vrijedi (−1,1)∼ (a,b).Iz tranzitivnosti relacije ∼, zakljucujemo R∼ (a,b). �

4.4 Neprebrojivi skupovi 87

x

y

−1 1

(a) Funkcija f (x) = tan πx2 .

x

y

−1 1

b

a

(b) Funkcija g(x) = a−b2 x+ a+b

2 .

Slika 4.1: Grafovi funkcija koristenih za dokaz R∼ (a,b)

Kako je N⊂ R i N beskonacan skup, to je na osnovu Teorema 4.2.3 i R beskonacan skup, a naosnovu gornjeg teorema je takav i proizvoljan interval (a,b).Iz same definicije beskonacnih skupova tada onda vrijede i sljedeca tvrdenja,

card((a,b)) = card([a,b)) = card((a,b]) = card([a,b]) ,

jer je [a,b) = (a,b)∪{a} i [a,b] = (a,b)∪{a,b}.

Teorem 4.4.3 Skup realnih brojeva nije prebrojiv.

Dokaz : Zbog ekvipotentnosti skupaR sa proizvoljnim intervalom, dovoljno je pokazati neprebrojivostskupa (0,1).Pretpostavimo da je (0,1) prebrojiv skup. To bi znaci da ga mozemo zapisati nabrajajuci njegoveelemente, to jest (0,1) = {x1,x2, ...,xn, ...}.Svaki se element x ∈ (0,1) moze zapisati u obliku beskonacnog decimalnog broja

x = 0,a1a2.... , ai ∈ {0,1,2, ...,9} ,

pri cemu nisu skoro sva decimalna mjesta jednaka 0 (termin ”skoro svi” znaci da pocev od nekogkonacnog mjesta svi naredni elementi imaju datu osobinu), naprimjer umjesto 0,5 = 0,500...mozemo pisati 0,5 = 0,4999.... Dakle, sve elemente skupa (0,1) mozemo poredati u niz

x1 = 0,x11x12x13...x1n...

x2 = 0,x21x22x23...x2n...

x3 = 0,x31x32x33...x3n...

.....................................

xn = 0,xn1xn2xn3...xnn...

.....................................

Konstruisimo sada broj y = 0,y1y2....yn... na sljedeci nacin; neka je

yi =

{1 ; xii 6= 12 ; xii = 1


Jasno je da se y razlikuje od bilo kog xi upravo u i-toj decimali, ali pri tome je y ∈ (0,1). Dakle,y /∈ {x1,x2, ...,xn, ...} pa dakle imamo kontradikciju (konstruisali smo broj iz (0,1) koji se ne nalaziu navedenom nizu).

Pretpostavka da je (0,1) prebrojiv skup dovela nas je u kontradikciju te on nije prebrojiv skup,a samim tim ni skup R nije prebrojiv jer je (0,1)⊂ R.Ovaj nacin dokazivanja se naziva Cantorov dijagonalni postupak. �

Uvedimo sada oznakucard(R) = c ,

cime uvodimo oznaku za novi beskonacni kardinalni broj koga nazivamo continuum. Zbog N⊂ Rje ℵ0 ≤ c, a na osnovu gornjeg teorema je ℵ0 6= c. Dakle vrijedi

Posljedica 4.4.4 ℵ0 < c.

Za dokaz sljedece vazne tvrdnje trebat ce nam pomocni stav.

Lema 4.4.5 Za proizvoljan skup X vrijedi,

card(P(X)) = card({0,1}X) ,

gdje je {0,1}X = { f | f : X →{0,1}}.Dokaz : Neka je A⊆ X proizvoljan skup. Funkciju χA : X →{0,1}

χA(x) ={

1 ; x ∈ A0 ; x /∈ A

nazivamo karakteristicna funkcija skupa A.Posmatrajmo sada preslikavanje f : P(X)→{0,1}X , definisano sa

A⊆ X , f (A) = χA .

Kako je proizvoljna funkcija φ iz {0,1}X ustvari neka karakteristicna funkcija, to jest φ = χB zaneko B⊆ X , jasno je da je f surjekcija.Neka su sada A,B⊆ X i f (A) = f (B). Tada je χA = χB, a to znaci sljedece:Ako je x ∈ A, onda iz χA(x) = 1 = χB(x), zakljucujemo da x ∈ B, odnosno A⊆ B.Isto tako iz x ∈ B i χB(x) = 1 = χA(x), zakljucujemo da x ∈ A, to jest B⊆ A.Zajedno, gornje nam daje da vrijedi A = B, a to onda znaci injektivnost preslikavanja f . Dakle, fje bijektivno preslikavanje pa vrijedi

P(X)∼ {0,1}X .

�

Definicija 4.4.1 Neka je card(A) = a i card(B) = b. Stepen ab definisemo kao card(AB), tojest

ab = card(AB) = (card(A))card(B) .

Teorem 4.4.6 c = 2ℵ0 .

Dokaz : Posmatrajmo preslikavanje f : R→ P(Q), zadato sa

x ∈ R , f (x) = {q ∈Q| q < x} ∈ P(Q) .

Neka su x′,x′′ ∈ R takvi da je x′ 6= x′′. Neka je npr. x′ < x′′. Ocigledno vrijedi{q ∈Q| q < x′

}⊆{

q ∈Q| q < x′′},

4.4 Neprebrojivi skupovi 89

a zbog poznatog stava da se izmedu svaka dva realna broja nalazi racionalan broj, postoji q0 ∈Q,takav da je x′ < q0 < x′′. Ovo znaci da je q0 ∈ f (x′′) i q0 /∈ f (x′). Dakle, vrijedi f (x′) 6= f (x′′), aovo onda znaci da je f injektivno preslikavanje. Na osnovu Leme 4.1.4 imamo

card(R) = c≤ card(P(Q)) ,

a kako jecard(P(Q)) = card({0,1}Q) = (card({0,1}))card(Q) = 2ℵ0 ,

imamo

c≤ 2ℵ0 . (4.11)

Posmatrajmo sada preslikavanje F : {0,1}N→ [0,1), zadato sa

f ∈ {0,1}N , F( f ) = 0, f (1) f (2) f (3)... f (n)...

Neka su sada f1, f2 ∈ {0,1}N proizvoljne i neka je F( f1) = F( f2). Ovo znaci jednakost

0, f1(1) f1(2)... f1(n)...= 0, f2(1) f2(2)... f2(n)... ,

a kako je to jednakost decimalnih zapisa, jednake moraju biti odgovarajuce cifre tih zapisa,

f1(1) = f2(1), f1(2) = f2(2), . . . , f1(n) = f2(n), . . .

Medutim, ovo nije nista drugo do jednakost ovih preslikavanja, to jest vrijedi

(∀n ∈ N) f1(n) = f2(n) ⇐⇒ f1 = f2 .

Dakle, preslikavanje F je injektivno, pa zakljucujemo

card({0,1}N)≤ card([0,1)) = c .

Kako jecard({0,1}N) = (card({0,1}))card(N) = 2ℵ0 ,

imamo

2ℵ0 ≤ c . (4.12)

Iz (4.11) i (4.12), na osnovu Cantor-Bernsteinovog teorema zakljucujemo jednakost

c = 2ℵ0 .

�Nesto slicno Teoremu 4.3.11 vrijedi i za neprebrojive skupove.

Teorem 4.4.7 Neka je X neprebrojiv skup i Y ⊆ X konacan ili prebrojiv. Tada vrijedi,

X ∼ X \Y .

Dokaz : Kako je X = (X \Y )∪Y , pretpostavka da je X \Y prebrojiv bi dovela do toga da je Xkao unija dva najvise prebrojiva skupa i sam najvise prebrojiv skup, sto je suprotno pretpostavci oneprebrojivosti skupa X . �

� Primjer 4.6 Kako je R\Q= I, zbog neprebrojivosti skupa realnih brojeva i prebrojivosti skuparacionalnih brojeva zakljucujemo na osnovu gornje teoreme da je skup iracionalnih brojeva (I)neprebrojiv skup.

Ako sa A oznacimo skup svih realnih algebarskih brojeva (brojeva konstruktibilnih lenjirom isestarom, naprimjer

√2), jednostavno se pokazuje da je on prebrojiv skup, a prema gornjoj teoremi

je card(R\A) = c. Ovo znaci da nekostruktibilnih brojeva ima ”mnogo vise” od algebarskih, atakve brojeve nazivamo transcendentni brojevi (npr. π i e). �


4.5 Hipoteza continuumaZa do sada uvedene kardinale imamo sljedece relacije,

0 < 1 < 2 < · · ·< n < · · ·< ℵ0 < c < · · ·

Pri tome je ℵ0 = card(N) i c = card(R). Ocekivana oznaka za kontinuum bila je ℵ1, obzirom dasmo prvi beskonacni kardinal oznacili sa ℵ0. Zasto to nismo ucinili tako, objasnit cemo narednimrazmatranjem.

Neka je sada X proizvoljan beskonacan podskup od R. Zbog njegove beskonacnosti, sigurnopostoji injekcija f : N→ X , pa tada vrijedi

ℵ0 ≤ card(X) .

Kako je uz to X ⊆ R, onda jecard(X)≤ c .

Dakle, za ovakav skup X vrijediℵ0 ≤ card(X)≤ c .

Postavlja se pitanje, da li se u gornjoj vezi znakovi ”≤” mogu zamjeniti sa znakom ”<”? Drugacijereceno, da li postoji skup sa kardinalnim brojem k, takav da vrijedi

ℵ0 < k < c ?

Pretpostavka o nepostojanju takvog kardinala (ili odgovarajuceg skupa) poznata je pod nazivomHipoteza continuuma i to je jedan od Hilbertovih problema, koji na zalost do danas jos nije rijesen.Cohen je 1963 ”rjesio” dati problem, a odgovor je glasio ”takav skup postoji i ne postoji”. Naime,danas postoje dvije teorije skupova, ona koja kaze da takav skup ne postoji i ona koja postojanjetog skupa ne iskljucuje. Obje teorije su ispravne jer do danas niti jedna od ove dvije pretpostavkenije dovela do nesaglasnosti neke od tih dviju teorija.

Dakle, odgovor na pitanje zasto nismo pisali c = ℵ1 je sada jasan jer ne znamo da li je cprvi sljedbenik od ℵ0. Ovaj problem je postavljen u samom pocetku razvoja teorije skupovakao Cantorova hipoteza contnuuma, a glasila je: Ako je X beskonacan podskup skupa R tadapostoji bijekcija sa X na N ili sa X na R. Parafrazirano, ovo je znacilo: ”Da li je 2ℵ0 = ℵ1?”.Generalizovana hipoteza continuuma glasi: niti za jedan beskonacan skup X ne postoji kardinalnibroj izmedu card(X) i card(P(X)).

4.6 Aritmetika kardinalnih brojevaPrvo definisimo osnovne operacije sa kardinalnim brojevima, a to su uobicajeno sabiranje, mnozenjei stepenovanje.

Definicija 4.6.1 Neka su X i Y disjunktni skupovi ciji su kardinalni brojevi a i b. Zbiromkardinalnih brojeva a i b, uoznaci a+b, nazivamo kardinalni broj unije skupova X i Y ,

a+bde f= card(X ∪Y ) .

Gornja definicija ne zavisi od izbora skupova. Naime, neka su X ,X ′,Y,Y ′ skupovi takvi daje X ∩Y = ∅, X ′ ∩Y ′ = ∅, X ∼ X ′ i Y ∼ Y ′. Tada postoje bijekcije f : X → X ′ i g : Y → Y ′.Posmatramo li preslikavanje h : X ∪Y → X ′∪Y ′, zadato sa

h(x) ={

f (x) ; x ∈ Xg(x) ; x ∈ Y

4.6 Aritmetika kardinalnih brojeva 91

jasno je da je h bijekcija jer su takve f i g, a to onda znaci da je X ∪Y ∼ X ′∪Y ′. Dakle, zbir neovisi o izboru skupova.

Operaciju zbira dva kardinalna broja mozemo generalizovati na zbir proizvoljno mnogo istih.Naime, ako je {Xi | i ∈ I} proizvoljna familija medusobno disjunktnih skupova takvih da jecard(Xi) = ai (i ∈ I), tada je

∑i∈I

ai = card

(⋃i∈I

Xi

).

Korektnost i ove definicije je bazirana na cinjnici da ako su {Xi | i ∈ I} i {X ′i | i ∈ I} dvije familijedisjunktnih skupova, takvih da je Xi ∼ X ′i (i ∈ I), tada je

⋃i∈I

Xi ∼⋃i∈I

X ′i .

Teorem 4.6.1 Neka su α , β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada vrijedi:1. α +β = β +α .2. α +(β + γ) = (α +β )+ γ .

Dokazi gornja dva tvrdenja se svode na pravilno koristenje uvedenih operacija, osnovnihskupovnih relacija i nalazenje prostih bijektivnih preslikavanja, stoga su ostavljeni citaocu zavjezbu. Oni predstavljaju zakon komutativnosti i asoscijativnosti operacije sabiranja. Ti zakonivrijede i za generalizaciju zbira na proizvoljnu kolekciju kardinalnih brojeva.Generalizovani zakon komutativnosti Neka su ai (i ∈ I) kardinalni brojevi i neka je f : I → Ibijektivno preslikavanje. Tada vrijedi

∑i∈I

ai = ∑i∈I

a f (i) .

Generalizovani zakon asocijativnost Neka su skupovi I j ( j ∈ J) neprazni i disjunktni i pri tomeneke je ∪ j∈JI j = I. Tada za kardinalne brojeve ai (i ∈ I) vrijedi

∑i∈I

ai = ∑j∈J

∑i∈I j

ai .

Teorem 4.6.2 Neka je α proizvoljan beskonacan kardinalni broj. Tada vrijedi1. (∀n ∈ N) α +n = α .2. α +ℵ0 = α .

Dokaz : Neka je A beskonacan skup, takav da je card(A) = α . 1. Za n ∈ N proizvoljan jecard(An) = n, pa na osnovu definicije sabiranja imamo α +n = card(A∪An). Na osnovu Teorema4.3.10, vrijedi card(A∪An) = card(A), a to upravo znaci α +n = α .2. Na isti nacin kao i gore imamo α +ℵ0 = card(A∪N), ali zbog Teorema 4.3.10 je card(A∪N) =card(A), pa tvrdnja vrijedi. �

Definicija 4.6.2 Neka su X i Y skupovi ciji su kardinalni brojevi a i b. Proizvodom kardinalnihbrojeva a i b, u oznaci a ·b, nazivamo kardinalni broj produkta skupova X i Y ,

a ·b de f= card(X×Y ) .

Slicno kao kod zbira, neka su X ,X ′,Y,Y ′ skupovi takvi da je X ∼ X ′ i Y ∼ Y ′. Posmatramo lipreslikavanje k : X×Y → X ′×Y ′, zadato sa

k(x,y) = ( f (x),g(y)) ,

zakljucujemo da je X×Y ∼ X ′×Y ′ te proizvod ne ovisi o izboru skupova.I za proizvod vrijede zakoni komutativnosti i asocijativnosti.


Teorem 4.6.3 Neka su α , β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada vrijedi:1. α ·β = β ·α .2. α · (β · γ) = (α ·β ) · γ .

Dokaz ostavljen za vjezbu!Zakon asocijativnosti za mnozenje nam omogucava generalizovati operaciju mnozenja proizvoljno

mnogo kardinalnih brojeva, to jest ako je {Xi | i ∈ I} familija skupova takvih da je card(Xi) = ai,tada je

∏i∈I

ai = card

(∏i∈I

Xi

).

Zakonom distributivnosti uspostavljamo vezu izmedu operacija sabiranja i proizvoda.

Teorem 4.6.4 Neka su α , β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada vrijedi:

α · (β + γ) = α ·β +α · γ .

Dokaz : Uputstvo: Koristiti se skupovnom jednakoscu A× (B∪C) = A×B∪A×C, uz polaznupretpostavku o disjunktnosti skupova B i C. �

Distributivni zakon vrijedi i za generalizovane zbirove i tada on glasi

∑i∈I

ai ·∑j∈J

b j = ∑(i, j)∈I×J

ai ·b j ,

a kao specijalan slucaj imamo (∑i∈I

ai

)·b = ∑

i∈I(ai ·b) .

Zakon distributivnosti nam omogucava da operaciju mnozenja svedemo na operaciju sabiranja.Naime, neka su a i b kardinalni brojevi i neka je I takav da je card(I) = b. Tada je

∑i∈I

a = a+a+ · · ·+a︸︷︷︸b puta

= a ·b . (4.13)

Da ovo zaista mozemo uraditi pokazimo sljedecim rezonovanjem. Naka je A skup takav da jecard(A) = a. Za proizvoljno i ∈ I formirajmo skup Ai = A×{i}. Jasno je da su na ovaj nacinkonstruisani skupovi medusobno disjunktni i da je card(Ai) = card(A) = a za svako i ∈ I. Nijetesko uvjeriti se da vrijedi ⋃

i∈I

Ai = A× I ,

odakle onda direktno slijedi jednakost (4.13).U radu sa realnim (prirodnim, cijelim, racionalnim i dr.) brojevima vrijedi pravilo

a+b = a+ c ⇐⇒ b = c .

U opstem slucaju za kardinalne brojeve to pravilo ne vrijedi. Naime, posmatramo li ℵ0, 2 i 3 kaokardinalne brojeve, zbog cinjenice da je unija prebrojivog i konacnog skupa opet prebrojiv skup,imamo da je

ℵ0 +2 = ℵ0 = ℵ0 +3 ,

iz cega ne mozemo zakljuciti jednakost 2 = 3. Naime, sabiranje kardinalnih brojeva nema osobinukancelativnosti, to jest u opstem slucaju ne vazi osobina

a+b = a+ c =⇒ b = c .


Zbog ovakvog ponasanja operacije sabiranja, uvodenje operacije oduzimanje kardinalnih brojevanije moguce. Naime, ako su a i b kardinalni brojevi takvi da je a≤ b, jednacina a+ x = b nemajednoznacno rjesenje u opstem slucaju. Tako imamo da ako je ℵ0 + x = c, onda je x jednoznacnoodredeno i jednako je c, ali ako je c+ x = c, tada x moze biti bilo koji kardinalni broj ne veci od c.U prvom slucaju je x = c−ℵ0 = c. U drugom slucaju je x = c− c iz cega je jasno da ne postojic− c. Dakle, ako je a+ x = b u opstem slucaju razlika b−a nije definisana.

Isto tako, u opstem slucaju ne vrijedi pravilo

a ·b = a · c =⇒ b = c ,

sto pokazujemo istim primjerom kao kod sabiranja. Naime, ℵ0 ·2 = ℵ0 ·3 = ℵ0, ali nije 2 = 3.Izdvojimo nekoliko osobina sabiranja i mnozenja kardinalnih brojeva, a ticu se nekih specijalnih

skupova.

Teorem 4.6.5 Neka je α proizvoljan kardinalni broj. Tada vrijedi:1. α +0 = α .2. α ·1 = α .3. 0 ·α = 0.

Dokaz : Neka je A skup takav da je card(A)=α . Ranije smo uveli da je card(∅)= 0 i card({∅})=1. Sada imamo:

1. Na osnovu definicije zbira je α +0 = card(A∪∅). Na osnovu aksioma unije je A∪∅= A,to onda vrijedi A∪∅∼ A, to jest card(A∪∅) = card(A).

2. Na osnovu definicije mnozenja imamo α ·1 = card(A×{∅}). Posmatrajmo preslikavanjef : A×{∅}→ A, zadato sa f (x,∅) = x. Ono je ocigledno bijekcija pa je card(A×{∅}) =card(A).

3. Prema definiciji proizvoda je 0 ·α = card(∅×A). Prema aksiomu praznog skupa imamo daza svako x, x /∈∅, a to onda znaci da je ∅×A =∅. Dakle, vrijedi card(∅×A) = card(∅).

�Definicija 4.6.3 Neka su X i Y neprazni skupovi ciji su kardinalni brojevi a i b. Stepenomkardinalnih brojeva a i b, u oznaci ab, nazivamo kardinalni broj skupa XY ,

ab de f= card(XY ) .

Specijalno, a0 = 1 i 0a = 0.

Pokazimo da i ova operacija nad kardinalnim brojevima ne ovisi o izboru skupova. Nekasu X ,X ′,Y,Y ′ skupovi takvi da je X ∼ X ′ i Y ∼ Y ′. Ovo znaci da postoje bijekcije α : X ′→ X iβ : Y → Y ′. Podsjetimo se XY = { f | f : X → Y}. Neka je sada f ∈ X ′Y

′proizvoljna. Posmatrajmo

preslikavanje h f : Y → X , zadato sa h f (x) = (α ◦ f ◦β )(x) = α( f (β (x))) (x∈Y ). Nije tesko vidjetida preslikavanje F : X ′Y

′ → XY odredeno sa F( f ) = h f je bijekcija, a to znaci da X ′Y′ ∼ XY .

U slucaju kada su n i m konacni kardinali (prirodni brojevi) gornja definicija stepena opravdava cinjenicu da svih mogucih

preslikavanja skupa sa n elemenata u skup sa m elemenata ima nm (broj svih varijacija sa ponavljanjem n-te klase od m elemenata).

Pozivajuci se na Lemu 4.4.5 i definisanu operaciju stepenovanja sada mozemo generalizovatitvrdnju Teorema 4.2.8. Naime, za proizvoljan skup X vrijedi

card(P(X)) = 2card(X) .

Sta vise, na osnovu Cantorovog teorema imamo da za proizvoljan kardinalni broj α vrijedi α < 2α .Pravila za stepenovanje kardinalnih brojeva navodimo sljedecim tvrdenjem.


Teorem 4.6.6 Neka su α , β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada vrijedi:1. αβ+γ = αβ ·αγ .2. (α ·β )γ = αγ ·β γ .3.(αβ)γ

= αβ ·γ .

Definicijom smo uveli sta je 0a i a0. Iskazimo jos dvije specijalne situacije za stepenovanje.

Teorem 4.6.7 Neka je α proizvoljan kardinalni broj. Tada vrijedi:1. α1 = α .2. 1α = 1.

Dokaz : Neka je A skup takav da je card(A) = α . Iz cinjenice da je card(∅) = 0 i card({∅}) = 1imamo:

1. Na osnovu definicije stepenovanja imamo α1 = card(A{∅}). Razlicitih preslikavanja sajednoclanog skupa ({∅}) u proizvoljan skup A ima tacno onoliko na koliko nacina mozemotom jednom elementu pridruziti jedan element skupa A. Dakle, ocigledno je A{∅} ∼ A, tojest card(A{∅}) = card(A).

2. 1α = card({∅}A

)i 1 = card({∅}). Kako je {∅}A = { f | f : A→{∅}} = { f}, to jest

imamo jednoclan skup (ukupno preslikavanja koja imaju osobinu da svakom elementu izA pridruzuje upravo i samo ∅ ima tacno jedno), to vrijedi card

({∅}A

)= card({ f}) =

card({∅}).�

Teorem 4.6.8 Vrijede sljedeca tvrdenja:1. (∀n ∈ N) ℵ0 ·n = ℵ0.2. (∀n ∈ N) ℵn

0 = ℵ0.

Dokaz :1. Neka je n ∈ N proizvoljan. ℵ0 ·n = ℵ0 · (1+1+ · · ·+1)︸︷︷︸

n−puta

. Koristeci osobinu 5. Teorema 4.6.4,

dalje imamoℵ0 ·n = ℵ0 ·1+ℵ0 ·1+ · · ·+ℵ0 ·1︸︷︷︸

n−puta

.

Kako je ℵ0 ·1 = ℵ0 (osobina 3. Teorem 4.6.7), dalje imamo

ℵ0 ·n = ℵ0 +ℵ0 + · · ·+ℵ0︸︷︷︸n−puta

= card(N∪N∪·· ·∪N︸︷︷︸n−puta

) .

Na osnovu Teorema 4.3.4 je card(N∪N∪·· ·∪N) = ℵ0, te konacno imamo

ℵ0 ·n = ℵ0 .

2. Za n = 1, na osnovu Teorema 4.6.7 pod 1. je ℵ10 = ℵ0. Za n = 2 imamo ℵ2

0 = ℵ0 ·ℵ0 =card(N×N), a na osnovu Teorema 4.3.6 je card(N×N) = ℵ0, cime je tvrdnja i u ovom slucajutacna. Neka je sada za neko n ∈ N tacno ℵn

0 = ℵ0. Tada je prema pravilima stepenovanjaℵ

n+10 = ℵn

0 ·ℵ0. Prema induktivnoj pretpostavci i dokazanom za n = 2 zakljucujemo da jeℵ

n+10 = ℵ0 ·ℵ0 = ℵ0. Na osnovu principa matematicke indukcije tvrdenje je dokazano. �

Teorem 4.6.9 Za proizvoljno n ∈ N je cn = c.


Dokaz : Dokaz izvedimo matematickom indukcijom. Za n = 1, na osnovu Teorema 4.6.7 pod 1. jec1 = c. Za n = 2 imamo,

c · c = 2ℵ0 ·2ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 = 2card(N∪N) = 2ℵ0 = c .

2. Neka je tvrdnja tacna za neko n ∈ N, to jest neka je cn = c. Tada je cn+1 = cn · c, a na osnovuinduktivne hipoteze je onda cn+1 = c · c = c. �

Spomenimo sada jos jedan rezultat vezan za aksiom izbora, to jest ekvivalent aksiomu izbora.

Teorem 4.6.10 — Teorem Tarskog. Za svaki beskonacni kardinal α vrijedi α2 = α .

Teorem 4.6.11 Za sve kardinalne brojeve α 6= 0 i β 6= 0 od kojih je bar jedan beskonacan vrijedi

α +β = α ·β = max{α,β} .

Dokaz : Neka su α 6= 0 i β 6= 0 kardinali od kojih je bar jedan beskonacan. Prema aksiomu izboramozemo izabrati veci od njih, i neka je to bez umanjenja opstosti α = max{α,β}. Ocigledno je

α ≤ α +β . (4.14)

Kako je α ≥ 1 tada imamo

α +β ≤ α · (α +β ) = α ·β +α ·α ≤ α ·α +α ·α = 2 ·α ·α .

Koristeci teorem Tarskog4 imamo

α +β ≤ 2 ·α2 = 2 ·α ≤ α ·α = α2 ,

iz cega definitivno zakljucujemo

α +β ≤ α . (4.15)

Iz (4.14) i (4.15), na osnovu Cantor-Bernsteinovog teorema imamo

α = α +β .

Jasno je da vrijedi α ≤ α ·β . Ponovo koristeci teorem Tarskog imamo

α ·β ≤ α ·α = α2 = α ,

pa opet na osnovu Cantor-Bernsteinovog teorema zakljucujemo da vrijedi α = α ·β . �Oparacije sa kardinalnim brojevima ponasaju se u odnosu na nestroge nejednakosti u potpunosti

jednako kao odgovarajuce operacije na skupu N.

Teorem 4.6.12 Neka su α , β i γ proizvoljni kardinalni brojevi i neka je α ≤ β . Tada vrijedi:1. α + γ ≤ β + γ .2. α · γ ≤ β · γ .3. αγ ≤ β γ .4. γα ≤ γβ .

4Alfred Tarski 1901-1983, poljsko-americki logicar i matematicar


Medutim, u odnosu na stroge nejednakosti operacije sa kardinalnim brojevima se u opstemslucaju ne ponasaju kao odgovarajuce operacije na N. Naime, ako su a, b i c proizvoljni kardinali,u opstem slucaju ne vrijede implikacije:

a < b =⇒ a+ c < b+ c ,

a < b =⇒ a · c < b · c ,

a < b =⇒ ac < bc ,

a < b =⇒ ca < cb .

Ovo mozemo potvrditi konkretnim primjerom. Neka su a = 2, b = 3 i c = ℵ0. Dakle, a < b alitada imamo

2+ℵ0 = ℵ0 = 3+ℵ0 ,

2 ·ℵ0 = ℵ0 = 3 ·ℵ0 ,

2ℵ0 = c = 3ℵ0 , (naredna tvrdnja pod 2.)

ℵ20 = ℵ

30 .

Sta vise, i kod generalizovanih zbirova i proizvoda iz ai < bi (i ∈ I), ne vrijedi ∑i∈I

ai < ∑i∈I

bi niti

∏i∈I

ai < ∏i∈I

bi. Naime, neka su ai = 2 i bi = 3 za svako i ∈ N. Tada imamo

∞

∑i=1

ai = 2+2+2+ · · ·+2+ · · ·= ℵ0 = 3+3+3+ · · ·+3+ · · ·=∞

∑i=1

bi ,

a takode i∞

∏i=1

ai = 2 ·2 ·2 · · ·2 · · ·= 2ℵ0 = c = 3ℵ0 = 3 ·3 ·3 · · ·3 · · ·=∞

∏i=1

bi .

Ipak u opstem slucaju neke osobine vezane za uvedene operacije i strogu nejednakost vrijede.

Teorem 4.6.13 Neka su a,b,c i d proizvoljni kardinalni brojevi, takvi da je a < b i c < d. Tadavrijedi:

1. a+ c < b+d .2. a · c < b ·d .3. ac < bd .

Jedan od najznacajnijih rezultata veze izmedu stroge nejednakosti i operacija sa kardinalimaiskazan je narednom tvrdnjom.

Teorem 4.6.14 — Konigov teorem. Neka su ai i bi (i ∈ I) kardinalni brojevi za koje vrijediai < bi za svako i ∈ I. Tada vrijedi

∑i∈I

ai < ∏i∈I

bi .

Ako bi uslov ai < bi u Konigovoj teoremi zamjenili sa uslovim ai ≤ bi (i ∈ I), tada cak nemozemo tvrditi ni nejednakost ∑

i∈Iai ≤∏

i∈Ibi. To nam potvrduje primjer, ako su ai = 1 = bi (i ∈ N),

tada je∞

∑i=1

ai = 1+1+1+ · · ·+1+ · · ·= ℵ0 > 1 = 1 ·1 ·1 · · ·1 · · ·=∞

∏i=1

bi .

4.7 Jos o kardinalima 97

Teorem 4.6.15 Vrijede relacije:1. nℵ0 = (ℵ0)

ℵ0 = cℵ0 = c, za n≥ 2.2. nc = (ℵ0)

c = cc = 2c, za n≥ 2.

Dokaz :1. Kako vrijedi 2≤ n≤ℵ0 ≤ c, koristeci relaciju 3. prethodnog teorema imamo

2ℵ0 ≤ nℵ0 ≤ (ℵ0)ℵ0 ≤ cℵ0 ,

a kako je 2ℵ0 = c icℵ0 =

(2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 = c ,

zakljucujemo da u gornjim nejednakostima svuda moraju stajati jednakosti.2. Ponovo iz 2≤ n≤ℵ0 ≤ c, koristeci relaciju 4. gornjeg teorema imamo

2c ≤ nc ≤ℵc0 ≤ cc . (4.16)

Zbogcc =

(2ℵ0)c

= 2ℵ0·c = 2c ,

zakljucujemo da u (4.16) svuda moraju biti jednakosti. �

Teorem 4.6.16 Neka je α > 1 kardinalni broj i β proizvoljan beskonacni kardinal. Ako jeα ≤ β tada je αβ = 2β .

Dokaz : Jasno je α < 2α . Odatle je onda αβ ≤ (2α)β = 2αβ . Prema Teoremu 4.6.11 je αβ = β ,pa zakljucujemo da je αβ ≤ 2β .S druge strane je 2≤ α , te je 2β ≤ αβ . Dakle, vrijedi αβ = 2β . �

4.7 Jos o kardinalimaKardinalni broj skupa je jedan nacin da ”mjerimo” skupove. Ako je skup konacan, to je brojelemenata skupa, ali to ne mozemo primjeniti kao mjeru za beskonacne skupove. Kardinalnebrojeve mozemo sabirati, mnoziti i stepenovati, sto smo demonstrirali u prethodnoj sekciji. Sta vise,kardinalne brojeve mozemo i porediti, sa uvedenim relacijama ”≤” i ”<”. Trivijalno je vidljivoda je svaki kardinalni broj manji ili jednak od samog sebe (α ≤ α). Cantor-Bernsteinov teoremnam daje da za kardinalne brojeve α i β , ako je α ≤ β i β ≤ α , da mora biti α = β . Ako su α ,β i γ kardinalni brojevi za koje je α ≤ β i β ≤ γ , tada je i α ≤ γ . Iz ovoga je jasno da je relacija”≤” refleksivna, antisimetricna i tranzitivna, dakle relacija poretka. Sta vise, Hartogov teorem namgovori da je to relacija totalnog uredenja.

Ono sto je indikativno u prethodnom tekstu je cinjenica da ne koristimo terminologiju ”definisaneoperacije na skupu kardinalnih brojeva” niti ”relacija poretka na skupu kardinalnih brojeva”. Dakle,da li postoji skup kardinalnih brojeva?Pretpostavimo da takav skup postoji. Tada bi on imao svoj kardinalni broj, recimo κ . U tom slucajuκ bi morao biti strogo veci od bilo kog clana tog skupa, to jest od bilo kog kardinalnog broja. Aliκ je i sam kardinalni broj te bi morao biti veci od samog sebe!? Ovo je naravno nemoguce, akonsekvenca toga je da ne postoji skup svih kardinala. Inace, ovo je poznati Cantorov paradoks okardinalima.

Dakle, mozemo samo govoriti o klasi kardinalnih brojeva. U tom kontekstu klasa svihkardinalnih brojeva je dobro uredena relacijom ”≤”. Sta vise, svaka klasa kardinalnih brojeva imanajmanji element.

Bibliografija

Knjige

B. Russell: The Principles of Mathematics, Cambridge University Press, 1903. (http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/)D. Kurepa: Teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb, 1951.K. Kuratowski, A. Mostowski: Set Theory, North-Holland, 1967.S. Presic i drugi: Problem postojanja u matematici, Matematicki Institut, Beograd, 1979.Z. Sikic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.Z. Sikic: Kako je stvarana novovjekovna matematika, Skolska knjiga, Zagreb, 1989.K. Devlin: The Joy of Sets, Springer-Verlag, 1993.M. Clark: Paradoxes from A to Z, Routledge Taylor & Francis Group, Frst published 2002.J. Thomas: Set Theory, Third Millennium Edition, Springer Monographs in Mathematics, Berlin,New York, Springer-Verlag 2003.S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State University, 2005.R. M. Sainsbury: Paradoxes, Cambridge University Press, 3rd edition 2009.T. Bedurftig, R. Murawski: Philosopie der Mathematik 2. erweirterte Auflage, Walter de GruyterGmbH & Co. KG. Berlin/Boston, 2012.C. C. Pinter: A book of Set Theory, Dover Publications, INC. Mineola, New York 2014.

Clanci i skripte

G. Cantor: Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal fur diereine und angewandte Mathematik, Berlin, 1874.M. Males, Teorija skupova skripta, Split, 2003.S. Milicic: Teorija skupova predavanja, 2005.M. Vukovic: Teorija skupova predavanja, Zagreb 2006.N. Koceic Bilan: Teorija skupova predavanja, Split, 2009.H. D. Ebbinghaus, C. G. Fraser, A. Kanamori: ERNST ZERMELO Collected Works, Volume I


Band I, Springer Heidelberg Dordrecht London New York, 2010.R. Andre: Axioms and Set Theory, A first course in Set Theory, University of Waterloo, Ontario2014.

Indeks pojmova

Symbolsℵ0 – alef nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Q – skup racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 84R – skup realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Z – skup cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84c – continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88card(·) – kardinalni broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Aalef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81alef nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81algebarski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bbijekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ccontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Eekvipotentni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ffiksna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

HHilbert D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Hipoteza continuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Iinjekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Jjednakost kardinala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Kkancelativnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92karakteristicna funkcija skupa . . . . . . . . . . . . . . 88kardinalni broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91stepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 93zbir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Pparadoks

Cantorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Hilbertov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Rrelacija ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Sskup

beskonacan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84konacan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78najvise prebrojiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81neprebrojiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87prebrojiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81prirodni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

TTeorem

Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Cantor-Bernstein-Sroder . . . . . . . . . . . . . . 76Hartog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

102 INDEKS POJMOVA

Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

transcendentni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Uuzlazno preslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

sadrˇzaj - pmf.untz.ba · sadrˇzaj i dio drugi 4 kardinalni brojevi.....73 4.1 ekvipotentnost...

Documents