saggitarius a - ufscminerva.ufsc.br/~natalia/teaching/fsc5122-2018-2/aula06... · 2018. 9. 17. ·...
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Saggitarius A∗
Free Multi-Width Graph Paper from http://incompetech.com/graphpaper/multiwidth/
Regressão linearQual é a melhor reta que representa esse conjunto de pontos?
Podemos defini-la matematicamente!
Regressão linear
di
Queremos encontrar a reta que tenha a mínima distância possível de cada um dos i pontos experimentais
y
x
Regressão linear
y
x
di
Reta: Y = A + BX
Distância de um ponto à reta: di = Y(xi) − yi
= A + B xi − yi
Regressão linear
y
x
di
Distância de um ponto à reta: di = Y(xi) − yi
= A + B xi − yi
Distância de todos os pontos à reta: ∑ di = ∑ A + B xi − yi
Regressão linear
y
x
di > 0
Distância de todos os pontos à reta: ∑ di = ∑ A + B xi − yidi < 0
Regressão linear
y
x
di > 0
Distância de todos os pontos à reta: ∑ di = ∑ A + B xi − yi
Módulo? ∑ |di| = ∑ |A + B xi − yi|
di < 0
“Desvio padrão”
−4 −4
+4+4
∑ |di|/N = 4
−6−2
+1
+7
∑ |di|/N = 4
−4 −4
+4+4
−6−2
+1
+7
√∑ di2/N = 4,74
√∑ di2/N = 4
“Desvio padrão”
Método dos mínimos quadrados
di
Minimizamos a soma quadrática das distâncias: D = ∑ di2 = ∑ (A + B xi − yi)2
y
x
Método dos mínimos quadrados
di
Minimizamos a soma quadrática das distâncias: D(A, B) = ∑ di2 = ∑ (A + B xi − yi)2
y
x
Método dos mínimos quadrados
diD(A, B) = ∑ (A + B xi − yi)2
Vamos achar A, B que minimizam D.
y
x
Equação dos Mínimos Quadrados
Y
X
iésimo ponto (xi;yi)
ponto da melhor reta(xi;Ymr)
di
di é a distância, na vertical, entre a melhor retae o iésimo ponto experimental
melhor retaY = A + BX
di = Ymr - yi
Ymr = A + Bxi
a condição para obtenção da melhor reta é:
mínimodN
ii =∑
=1
2
di = A + Bxi - yi
di2 = (A + Bxi – yi).(A + Bxi – yi)
22222 222 iiiiiii yyBxxBAyABxAd +−+−+=
)).((2iiiii yBxAyBxAd −+−+=
Como xi e yi são valores fixos ( pontos experimentais ), a melhor reta é obtida ajustando os valores de A e de B ⇒ ),(
1
2 BAfdN
ii =∑
=
mínimoser1
2∑=
N
iid ⇒
01
2
=∂
∂∑=
A
dN
ii
01
2
=∂
∂∑=
B
dN
ii
∑∑∑∑∑∑∑=======
+−+−+=N
ii
N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
N
i
N
ii yyxBxByAxABAd
1
2
11
22
111
2
1
2 222
2NA
∑∑∑∑∑∑======
+−+−+=N
ii
N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii yyxBxByAxABNAd
1
2
11
22
11
2
1
2 222
0)(211
1
2
=−+=∂
∂
∑∑∑
==
=N
ii
N
ii
N
ii
yxBNAA
d⇒
N
yxBA
N
ii
N
ii ∑∑
==
+−= 11 I
0)(211
2
1
1
2
=−+=∂
∂
∑∑∑∑
===
=N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
yxxBxAB
d⇒ ∑∑∑
===
−=N
ii
N
iii
N
ii xAyxxB
111
2 II
substituindo a eq.I na eq.II :
∑∑ ∑
∑∑=
= =
==""""
#
$
%%%%
&
'−
−=N
ii
N
i
N
iiiN
iii
N
ii x
N
xByyxxB
1
1 1
11
2 III
multiplicando III por N :2
1 1111
2 ∑ ∑∑∑∑= ====
"#
$%&
'+−=
N
i
N
iii
N
ii
N
iii
N
ii xByxyxNxNB
rearranjando : ∑∑∑∑∑∑∑=======
−=##
$
%
&&
'
(#$
%&'
(−=#
$
%&'
(−
N
ii
N
ii
N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii yxyxNxxNBxBxNB
111
2
11
22
11
2
isolando B:2
11
2
111
!"
#$%
&−
−=
∑∑
∑∑∑
==
===
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii
N
iii
xxN
yxyxNB
substituindo B na equação I:N
yxBA
N
ii
N
ii ∑∑
==
+−= 11
e rearranjando adequadamente, teremos:( )2
11
2
1111
2
!"
#$%
&−
−=
∑∑
∑∑∑∑
==
====
N
ii
N
ii
N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
xxN
yxxyxA
Método dos mínimos quadrados
N = Σxi = (Σxi)2 = Σxi2 = Σyi = Σxi yi =
1/f (10-3 s) 1,00 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0
λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556
Método dos mínimos quadrados
N = 6 Σxi = Σ(1/fi) = 1,00 x 10-3 + 1,25 x 10-3 + …+ 10,0 x 10-3 = 21,42 x 10-3 s (Σxi)2 = 4,588164 x 10-4 s2 Σxi2 = (1,00 x 10-3)2 + (1,25 x 10-3)2 + …+ (10,0 x 10-3)2 = 1,366014 x 10-4 s2 Σyi = 0,3405 + 0,4340 + … + 3,4556 = 7,3911 m Σxi yi = (1,00 x 10-3 x 0,3405) + …+ (10,0 x 10-3 x 3,4556) = 4,714885 x 10-2 s m
1/f (10-3 s) 1,00 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0
λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556
Método dos mínimos quadrados
2
11
2
111
!"
#$%
&−
−=
∑∑
∑∑∑
==
===
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii
N
iii
xxN
yxyxNB
( )2
11
2
1111
2
!"
#$%
&−
−=
∑∑
∑∑∑∑
==
====
N
ii
N
ii
N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
xxN
yxxyxA
Método dos mínimos quadrados
A = [(1,366014 x 10–4 x 7,39115) – (21,42 x 10–3 x 4,714885 x 10-2 )]/ [(6 x 1,366014 x 10–4) – 4,588164 x 10–4] = - 8,1420724 x 10–4 m = –0,0008 m
B = [(6 x 4,714885 x 10-2 ) – (21,42 x 10-3 x 7,3911]/ [(6 x 1,366014 x 10-4) – 4,588164 x 10-4] = 345,23987 m/s = 345 m/s
2
11
2
111
!"
#$%
&−
−=
∑∑
∑∑∑
==
===
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii
N
iii
xxN
yxyxNB
( )2
11
2
1111
2
!"
#$%
&−
−=
∑∑
∑∑∑∑
==
====
N
ii
N
ii
N
iii
N
ii
N
ii
N
ii
xxN
yxxyxA
Método dos mínimos quadrados
A = [(1,366014 x 10–4 x 7,39115) – (21,42 x 10–3 x 4,714885 x 10-2 )]/ [(6 x 1,366014 x 10–4) – 4,588164 x 10–4] = - 8,1420724 x 10–4 m = –0,0008 m
B = [(6 x 4,714885 x 10-2 ) – (21,42 x 10-3 x 7,3911]/ [(6 x 1,366014 x 10-4) – 4,588164 x 10-4] = 345,23987 m/s = 345 m/s
1/f (10-3 s) 1,00 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0
λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556
Mesma precisão de yi
Significativos de xi e yi
Universidade Federal de Santa Catarina
Licenciatura Em Física a Distância
Laboratório de Física I – FSC 9301
Professor Flavio Renato Ramos de Lima
Professor José Ricardo Marinelli
Fazendo regressão linear na calculadora.* *(Os conceitos básicos são os mesmos para qualquer calculadora MAS os comandos específicos aqui mostrados são para a calculadora Casio FX‐82MS, para algumas calculadoras, alguns comandos serão ligeiramente diferentes.)
Calculadora: Regressão linear ou método dos mínimos quadrados
Exemplo de pesos para correção do gráfico (valor total do gráfico = 10 pontos)
* Escalas
- Falta variável/unidade: -1 p por eixo
- Marcas de escala em excesso: -1 p por eixo
- Escala proibida: -2 p por eixo
- Gráfico pequeno? (<50%): -1 p
- Precisão correta das escalas?: -1 p por eixo
* Casos omissos: Decidam com coerência.
* Pontos exp. e melhor reta
- Pontos pouco visíveis: -1 p
- Pontos mal alocados: -1 p por ponto mal alocado
- Faltam pontos da melhor reta: -2 p
- Melhor reta incoerente com pontos: Verificar onde está erro.
- Gráfico poluído: -1 p
-Leitura difícil/falta capricho: -1 p
Agora você é o carrasco e vai corrigir o gráfico de seu colega!
Saggitarius A∗
PATETICE DOS COMENTARIOs
LONGE PERToPROXIMIDADE DE um gatINHO
UM GATINHO!
XKCD.COM
Tipos de papelpapel milimetrado
loglog ou dilog
semilog ou monolog
eixo linear
Papel milimetrado
eixo linear
eixo logarítmico
Papel semilog ou monolog
eixo linear
eixo logarítmico
Papel loglog ou dilog
eixo logarítmico
Escolha do papelCritério: Curva que representa pontos experimentais deve ser uma reta.
Y = A + B XY
X
Papel semilog ou monologEquações do tipo:
Y = A eBX ou Y = A 10BX ou Y = A 2BX
eixo log
Y
XA, B: constantes desconhecidas
eixo linear
Papel loglog ou dilogEquações do tipo:
Y = A Xn
eixo log
Y
XA, n: constantes desconhecidas
eixo log
eixo logarítmico
Papel semilog ou monolog
eixo linear
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
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� u
d
d
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
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0,564cm
s
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d
d
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6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
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0,564cm
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log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
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6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
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0,564cm
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log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
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+
+
+
0,100 1,000 10,000
1,00
10,00
d
+
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
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+
+
+
+
+
+
d
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
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0,564cm
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Free Multi-Width Graph Paper from http://incompetech.com/graphpaper/multiwidth/
Traçado da curva1. Não precisa passar
sobre todos os pontos (às vezes não passa por ponto algum)
2. Não precisa começar no primeiro ponto nem terminar no último ponto
3. Deve ser traçada levando em conta a tendência dos pontos experimentais (nunca ligar ponto a ponto)
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
C 5,51
� u
+
+
+
+
+
+
d
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
C 5,51
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+
+
+
+
+
+
d
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
C 5,51
� u
Obtenção das grandezas procuradas
+
+
+
+
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
d
B =�Y
�X=
Y2 � Y1
X2 �X1
B =log d2 � log d1log t2 � log t1
A = Y1 �BX1
A = log d1 �B log t1
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
C 5,51
� u
d
d
6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:
t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50
Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:
bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,
bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e
número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:
log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b
log30,000 log1,000 1,477121255�
�
0,564cm
s
log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881
C 5,51
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