sammendrag og formler - minskole.no · nye mega 8– sammendrag og formler regn ut verdien av 5 a +...
TRANSCRIPT
1Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE
linje
stråle
linjestykke
VINKLER
VINKELBEIN OG TOPPUNKT
En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen har toppunktetsitt i A. En vinkel har to vinkelbein. Når vi står i vinkelenstoppunkt og ser utover i vinkelen, har vi venstre vinkelbeinpå vår venstre side og høyre vinkelbein på vår høyre side.
A
venstre vinkelbein
høyre vinkelbein
FORSKJELLIGE VINKLER
A SPISS VINKEL
En vinkel som er mindre enn 90°,kaller vi en spiss vinkel.
B RETT VINKEL
En vinkel som er 90°, kaller vi en rettvinkel. Ofte skriver vi inne ved toppunktet for å markere at det er en rett vinkel.
C STUMP VINKEL
En vinkel som er mellom 90° og 180°,kaller vi en stump vinkel.
D LIKE VINKEL
En vinkel som er 180°, kaller vi enlike vinkel.
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8A Kapittel A BOKMÅL
GEOMETRI
2Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
BETEGNELSER PÅ VINKLER
Vinkelen med toppunkt i A kan skrives som:vinkel A, ∠A , eller ∠BAC eller ∠CAB
Vinkelen med toppunkt i B kan skrives som:vinkel B, ∠B , eller ∠ABC eller ∠CBA
Vinkelen med toppunkt i C kan skrives som:vinkel C, ∠A , eller ∠ACB eller ∠BCA
A B
C
OVERSIKT OVER VINKELKONSTRUKSJONER
90
135
45
75
60 30
67 12
120
BOKMÅL
3Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
NORMALKONSTRUKSJONER
MIDTNORMALEN TIL ET LINJESTYKKE
NORMALEN TIL EN LINJE GJENNOM ET PUNKT PÅ LINJA
NORMALEN FRA ET PUNKT TIL EN LINJE
A B
A BPl
A B
l
P
BOKMÅL
4Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
PARALLELLKONTRUKSJON
TREKANTER MED SPESIELLE NAVN
C
A B
C
A B
C
A B60˚ 60˚
60˚ 4 cm
4 cm
4 cm
C
A B
6 cm
4 cm
6 cm
C
A BD
VINKELSUMMEN I EN TREKANT
I en trekant er summen av alle tre vinklene alltid 180°
RETTVINKLET TREKANTEn trekant med en vinkel på 90° kaller vi en rettvinklet trekant.
LIKESIDET TREKANTEn trekant der alle tre sidene er like lange,kaller vi en likesidet trekant. I en likesidettrekant er alle vinklene like store, altså 60°.
LIKEBEINT TREKANTEn trekant der to av sidene er like lange, kaller vi en likebeint trekant.
I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinjalike store. Normalen fra toppunktet ned pågrunnlinja deler grunnlinja i to like store deler.AC = BCAD = BD = AB∠ A = ∠ B
1__2
BOKMÅL
5Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Vi har fire regningsarter
Multiplikasjon:
24 . 8 = 192
faktor faktor produkt
Subtraksjon:
24 – 8 = 16
ledd ledd differanse
Divisjon:
24 : 8 = 3
dividend divisor kvotient
Addisjon:
24 + 8 = 32
ledd ledd sum
OVERSLAGSREGNING
Ved overslagsregning runder vi av alle tallene iregnestykket slik at vi klarer utregningen i hodet.
Overslagsregning ved addisjon
Ved addisjon kan det ofte være lurt å runde av detene tallet oppover og det andre tallet nedover
Eksempel: 56 + 36 ≈ 60 + 30 Overslaget blir 90.
Overslagsregning ved subtraksjon
Ved subtraksjon kan det ofte være lurt å runde avbegge tallene oppover eller begge tallene nedover
Eksempel: 78 – 56 ≈ 80 – 60 Overslaget blir 20.
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8A Kapittel B BOKMÅL
TALL OG TALLREGNING
6Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
OVERSLAGSREGNING VED MULTIPLIKASJON
Ved multiplikasjon kan det ofte være lurt å runde avdet ene tallet oppover og det andre tallet nedover.
Eksempel: 4,5 · 5,3 ≈ 5 · 5 Overslaget blir 25.
OVERSLAGSREGNING VED DIVISJON
Ved divisjon kan det ofte være lurt å runde av beggetallene oppover eller begge tallene nedover. Rundalltid av slik at divisjonen går opp.
Eksempel: 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4
Overslaget blir 3.
NAVN PÅ TALL
NATURLIGE TALL
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12… osv. kaller vi de naturlige tallene.
HELE TALL
…–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … osv. kaller vi de hele tallene.
PARTALL
Hele tall som kan deles på 2 kalles partall.
…–6, –4,–2, 0, 2, 4, 6, … osv. er partall.
Hele tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8 er partall.
BOKMÅL
7Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
ODDETALL
Hele tall som ikke kan deles på 2, kaller vi oddetall.
…–7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9 … osv. er oddetall.
Hele tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9 er oddetall.
PRIMTALL
Tall som bare er delelige med seg selv eller 1, kaller vi primtall.
De første primtallene er
2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19, 23, 29, 33, 37, 41, 43, 47, ….
PrimtallsfaktoriseringNår vi skriver et tall som et produkt der alle faktorene er primtall, sier vi at viprimtallsfaktoriserer tallet.
Eksempel på primtallsfaktorisering:
9 = 3·324 = 2·2·2·3
Desimaltall
Tallene med komma i, for eksempel 7,3 kalles desimaltall.Desimaltallene ligger mellom de hele tallene på tallinja.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7,3
BOKMÅL
8Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Å REGNE MED DESIMALTALL
ADDISJON MED DESIMALTALL
MULTIPLIKASJON MED DESIMALTALL DIVISJON MED DESIMALTALL
NEGATIVE TALL
Tall som – 3, –15, – , –2,5 osv. kaller vi negative tall.
På tallinja finner vi de negative tallene til venstre for 0.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
EKSEMPEL
Regn ut: 5,3 + 2,6 =
Vi setter detopp slik:
5,3+ 2,6= 7,9
Pass på atkommaene står rett under hverandre.
EKSEMPEL
Regn ut: 1,5 – 0,25 =
Vi setter detopp slik:
1,50– 0,25= 1,25
10
EKSEMPEL
Regn ut: 5,62 · 3,4 =
Vi setter dette opp slik:125,62 · 3,4
, 2248168619,108
Det er til sammen tretall etter kommaet her.
Kommaet settes treplasser fra høyre i svaret.
EKSEMPEL
Vi flytter kommaet så mange plasser til høyre i
begge tallene at det tallet vi skaldividere med, blir et helt tall.
4,5 : 0,3 =
Vi setter opp stykket slik:45 : 3 = 1531515
0
3–––4
BOKMÅL
9Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
EKSEMPLER PÅ REGNING MED POSITIVE OG NEGATIVE TALL
ADDISJON OG SUBTRAKSJON
5 + 7 = 12
5 – 7 = – 2
5 + (–7) = 5 – 7 = –2
(–5) + 7 = –5 + 7 = 2
5 – (–7) = 5 + 7 = 12
(–5) + (–7) = – 5 –7 = –12
(–5) – (–7) = – 5 +7 = 2
MULTIPLIKASJON OG DIVISJON
5 · 7 = 35
5 · (–7) = –35
(–5) · 7 = –35
(–5) · ( –7) = 35
= 5
= –5
= –5
= 5
35––––––
7–35––––––––––
735––––––
–7–35––––––––––
–7
BOKMÅL
10Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
BRØK
HVILKEN BRØK ER STØRST?
Når to brøker har like tellere, er den brøken størst, som har den minste nevneren. Når to brøker har samme nevner, er den brøken størst, som har den største telleren.
Å UTVIDE EN BRØK
Å utvide en brøk vil si å multiplisere teller og nevner i brøken med samme tall. Brøken forandrer da ikke verdi.
Eksempel:
= =
Å FORKORTE EN BRØK
Når vi forkorter en brøk dividerer vi med samme tall i teller og nevner.Brøken endrer da ikke verdi.
Eksempel:
= =
1–––2
1 · 3––––––––––––
2 · 33–––6
3–––6
3 : 3––––––––––––
6 : 31–––2
brøkstrek
teller
brøk
nevner
13
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8A Kapittel C BOKMÅL
BRØK OG PROSENT
11Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
BRØK OG DESIMALTALL
EN BRØK KAN SKRIVES SOM ET DESIMALTALL
Eksempel:
Brøkstrek er det samme som divisjonstegn.
Vi utfører divisjonen og får
5 : 7 = 0,714
= 0,714
ET DESIMALTALL KAN SKRIVES SOM EN BRØK
Eksempel:Desimaltallet 0,4 kan skrives på brøkform.
0,4 =
0,23 =
PROSENT
1% betyr 1 av 100 eller
BRØKFORM – DESIMALFORM OG PROSENTFORM
Eksempel:
= 0,5 = 50% = 0,23 = 23%
Å REGNE MED PROSENT
35 % av 350 kr er = 140 kr
72 elever av 240 elever utgjør = 0,30 = = 30%
5–––7
23 kr · 35–––––––––––––––––––––––––––
100
5–––7
4––––––
10
23–––––––––––
100
1––––––––––
100
1–––2
23–––––––––––
100
72–––––––––––
24030–––––––––––
100
BOKMÅL
12Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Mellom tall og variabler sløyfer vi ofte multiplikasjonstegnet mellom tallet og variabelen.
4 · a skrives 4a8 · b skrives 8b
Vi har også en bestemmelse om at 1 · a = 1a = a.
Det vanligste er å bruke formen a.
VI SETTER INN VERDIER FOR VARIABLENE
Regn ut verdien av 5a når a = 3.
5a = 5 · 3 = 15
Regn ut verdien av –5a når a = 3.
–5a = (–5) · 3 = 15
Regn ut verdien av 5a når a = –3.
5a = 5 · (–3) = 15
Regn ut verdien av –5a når a = 3.
–5a = (–5) · (–3) = 15
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel E BOKMÅL
ALGEBRA
13Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = 2.
5a + 3b = 5 · 6 + 3 · 2 = 30 + 6 = 36
Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = –2.
5a + 3b = 5 · 6 + 3 · (–2) = 30 – 6 = 24
Regn ut verdien av 5a + 3b når a = –6 og b = 2.
5a + 3b = 5 · (–6) + 3 · 2 = –30 + 6 = –24
Regn ut verdien av 5a + 3b når a = –6 og b = –2.
5a + 3b = 5 · (–6) + 3 · (–2) = –30 – 6 = –36
Regn ut verdien av 5a – 3b når a = 6 og b = 2.
5a – 3b = 5 · 6 – 3 · 2 =30 – 6 = –36
BOKMÅL
14Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Regn ut verdien av 5a + 3b + 7 når a = 6 og b = 2.
Dette uttrykket inneholder to ledd med variabler og ett ledd uten variabel.7 er en konstant i dette uttrykket.
Vi kan regne det slik:
5a + 3b + 7 = 5 · 6 + 3 · 2 + 7 = 30 + 6 + 7 = 42
REGNEREGLER FOR VARIABLER
Med variabler har vi samme regneregler med pluss og minus som med tall:
5a + 2a = 7a
5a – 2a = 3a
Når vi skal forenkle, trekke sammen eller regne ut et regneuttrykk som inneholder en eller flere variabler og konstanter, må vi trekke sammen like ledd.
Trekk sammen:
2a + 4b + a + 6 + 3b – 2 + 6a =
2a + 4b + a + 6 + 3b – 2 + 6a =2a + a + 6a + 4b + 3b + 6 – 2 =9a + 7b + 4
BOKMÅL
15Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
REGEL
LIGNINGER
En ligning består av:
x + 3 = 8
VI LØSER EN LIGNING OG SETTER PRØVE PÅ SVARET
Løs ligningen og sett prøve:
x + 12 = 38
Løsning:
x + 12 = 38x + 12 – 12 = 38 – 12
x = 26
Prøve:
VS = HS = 38x + 12 =26 + 12 =38
VS = HS = 38 for x = 26x = 26 er løsning av ligningen.
Vi kan addere eller subtrahere like mye på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner
En venstre side En høyre sideEt likhetstegn
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel F BOKMÅL
LIGNINGER OG ULIKHETER
16Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Løs ligningen og sett prøve:
6x = 84
Løsning:
6x = 84
=
x = 14
Prøve:
VS = HS = 846x =6 · 14 =84
VS = HS = 84 for x = 14x = 14 er løsning av ligningen.
REGEL
Vi kan dividere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.
6x–––––––
684–––––––
6
BOKMÅL
17Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
REGEL
Vi kan multiplisere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.
Løs ligningen og sett prøve:
= 5
Løsning:
= 5
= 5 · 4
x = 20
Prøve:
VS = HS = 5
=
=
5
VS = HS = 5 for x = 20x = 20 er løsning av ligningen.
x––––4
x––––4
x · 4––––––––—–
4
x––––4
20––––––
4
BOKMÅL
18Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Vi subtraherer samme tall påhver side av likhetstegnet.
3x––––––
335––––––
3 Vi dividerer med samme tall på hver side av likhetstegnet.
VI BRUKER FLERE REGLER I SAMME LIGNING
Vi skal løse ligningen 3x + 2 = 17og sette prøve på ligningen.
Vi kan løse det slik:
3x + 2 = 173x + 2 – 2 = 17 – 2
3x = 15
=
x = 5
Prøve:
VS = HS = 173x + 2 =3 · 5 + 2 =15 + 2 = 17
VS = HS = 17 for x = 5x = 5 er løsning av ligningen.
BOKMÅL
19Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
ULIKHETER
ULIKHETSTEGN
2 < 5 leser vi «2 er mindre enn 5».
5 > 2 leser vi «5 er større enn 2».
x < 8 leser vi «x er mindre enn 8».
x < 8 betyr at x kan være 7, 6, 5, 4, 3… hvis x skal være et helt tall.
x ≤ 8 leser vi «x er mindre enn eller lik 8».
x ≤ 8 betyr at x kan være 8, 7, 6, 5, 4, 3… hvis x skal være et helt tall.
x > 8 betyr at x kan være 9, 10, 11, 12… hvis x skal være et helt tall.
x ≥ 8 betyr at x kan være 8, 9, 10, 11, 12… hvis x skal være et helt tall.
BOKMÅL
20Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Å LØSE EN ULIKHET
Løs ulikheten x + 4 > 7 og marker løsningen på tallinja.
Vi kan løse denne oppgaven slik:
x + 4 > 7x + 4 – 4 > 7 – 4
x > 3
Alle x > 3 er løsning av ulikheten x + 4 > 7.
På tallinja blir dette slik:
x + 4
x + 4 – 4
7 – 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BOKMÅL
7
21Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
Løs ulikheten 3x < 15 og marker løsningen på tallinja.
Oppgaven kan løses slik:
3x < 15
<
x < 5
På tallinja blir dette slik:
3x––––––
315––––––
3
3x––––––
315––––––
3
3x
15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BOKMÅL
22Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
KOORDINATSYSTEMET
Et koordinatsystem består avto tallinjer som står normalt på hverandre.
Plasseringen et punkt har i koordinatsystemet, angir vi ved å oppgi koordinatene til punktet.
Punktet P har i koordinatene (2,3)Koordinatene oppgis som et tallparmed komma mellom i en parentes.Vi leser det slik: «Punktet P harkoordinatene to-tre».
Førsteaksen,x-akse
Andreaksen, y-akse
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Førsteaksen,x-akse
Andreaksen, y-akse
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
P
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel G BOKMÅL
FUNKSJONER OG GRAFER
23Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
EN FUNKSJON KAN VÆRE PÅ TABELLFORM, SOM FORMEL OG SOM GRAF
VI LAGER FORMEL
Anne går og leverer brev for et firma. Hun får 2 kr perbrev. Vi kaller antall brev for x og det hun får betalt i kr,for y. Formelen som viser sammenhengen mellom antall brev hun deler ut, og det hun får betalt, blir da
y = 2x
VI LAGER VERDITABELL
Hvis vi skal lage en grafisk framstilling av funksjonen for x = 1, 2, 3, 4, 5, lager vi en verditabell med disseverdiene for x.
Det vil si at vi setter inn disse verdiene for x i formelen for funksjonenen etter tur:
Verditabell
Helt til høyre i verditabellen får vi koordinatene som skal føres inn i koordinatsystemet. I dette tilfellet kan det bare bli positive verdier av x og y. Vi trenger derfor bare den positive delen av koordinatsystemet.
x 2 · x y (x,y)
12345
2 · 12 · 22 · 32 · 4 2 · 5
246810
(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)
BOKMÅL
24Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
VI LAGER GRAFEN TIL FUNKSJONEN
Andreaksen y kroner
Førsteaksenx brev
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
BOKMÅL
25Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
REGEL
REGEL
REGEL
Sannsynligheten for en hendelse eller et utfall kan ikke være mindre enn 0 og ikke større enn 1.
A Når alle mulige utfall i et eksperiment har like storsannsynlighet, er den teoretiske sannsynligheten forett av utfallene lik
B Når vi ønsker å finne sannsynligheten for fleregunstige utfall, har vi at sannsynligheten er lik
Dette gjelder når det er samme sannsynlighetfor hvert enkelt utfall.
1antall mulige utfall
antall gunstige utfallantall mulige utfall
SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel H BOKMÅL
SANNSYNLIGHET
26Nye Mega 8 – Sammendrag og formler
REGEL
Sannsynligheten kan uttrykkes som brøk,desimaltall eller prosent.
REGEL
Sannsynligheten for en hendelse kan ikke være mindre enn0 og ikke større enn 1.
Sannsynligheten 1 innebærer at hendelsen alltid inntreffer.
Sannsynligheten 0 innebærer at hendelsen aldri inntreffer.
0 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0 11–––5
2–––5
3–––5
4–––5
BOKMÅL