samouczek metody elementów...

Grzegorz DzierżanowskiMarta Sitek

SamouczekMetodyElementówSkończonychdla studentów Budownictwa

Część I Statyka konstrukcji prętowych

OFICYNA WYDAWNICZAPOLITECHNIKI WARSZAWSKIEJWARSZAWA 2012

Preskrypt na prawach rêkopisu

© Copyright by Grzegorz Dzierżanowski i Marta Sitek, Warszawa 2012

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą

urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym nie może być

umieszczany ani rozpowszechniany w internecie bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich

ISBN 978-83-7814-014-6

Księgarnia internetowa Oficyny Wydawniczej PW www.wydawnictwopw.pl

tel.: 22 825-75-18, 22 234-75-03; fax 22 234-70-60; e-mail: [email protected]

Oficyna Wydawnicza PW, ul. Polna 50, 00-644 Warszawa. Wydanie I. Zamówienie nr 157/2012

Druk i oprawa: Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Warszawskiej, tel. 22 234-40-26

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Na czym polega Metoda Elementów Skończonych ? . . . . . . . . 101.1. Równania liniowej statyki w zapisie macierzowym . . . . . . . . . . 101.2. Dyskretny model obliczeniowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Pojęcie elementu skończonego. Aproksymacja przemieszczeń 131.2.2. Agregacja elementów skończonych. Równanie równowagi

konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. Przykład zastosowania MES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1. Algorytm obliczeń MES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2. Przykład działania algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. Pytania i zadania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Konstrukcje prętowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1. Równania statyki pręta ramy przestrzennej . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1. Równania równowagi w wersji przemieszczeniowej . . . . . . 322.1.2. Równania prętów smukłych i prętów średniej grubości . . . . 37

2.2. Elementy skończone w teorii prętów smukłych . . . . . . . . . . . . 402.2.1. Element ramy przestrzennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2. Element pręta ściskanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.3. Element belki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.4. Element ramy płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.5. Element rusztu o węzłach sztywnych . . . . . . . . . . . . . 49

2.3. Elementy skończone w teorii prętów średniej grubości . . . . . . . . 512.3.1. Dwuwęzłowy element belkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2. Trójwęzłowy element belkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Całkowanie numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5. Pytania i zadania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1. Konstrukcje z prętów smukłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.1. Kratownica płaska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4

3.1.2. Słup o zmiennym przekroju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.3. Belka – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.4. Belka – 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.5. Łuk paraboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.1.6. Rama płaska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1.7. Rama płaska z prętami kratowymi . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.8. Ruszt o węzłach sztywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.9. Rama przestrzenna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2. Konstrukcje z prętów średniej grubości . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.1. Belka – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.2. Belka – 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.3. Łuk paraboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Wstęp

Konstrukcje inżynierskie poddane działaniu obciążeń ulegają odkształce-niom, którym towarzyszą siły wewnętrzne. Jednym z zadań stawianych przedprojektantem jest obliczenie tych wielkości i porównanie ich z wartościamidopuszczalnymi. W wielu przypadkach wiąże się to z koniecznością wielo-krotnej analizy statycznej lub dynamicznej przy zmieniających się danychpoczątkowych. Rozmaitość typów ustrojów budowlanych i teorii opisującychich odpowiedź na zadane obciążenie wymaga od inżynierów budownictwaznajomości różnych metod obliczeniowych, których zastosowanie często jestograniczone do jednego rodzaju konstrukcji i wąskiej klasy obciążeń. Celowewydaje się więc poznanie i zrozumienie techniki obliczeniowej umożliwiają-cej efektywną analizę wytrzymałościową ustroju budowlanego i obejmującejswoim zasięgiem praktycznie każde zagadnienie inżynierskie. Jedną z takichtechnik jest Metoda Elementów Skończonych (MES). Programy komputero-we MES są najpopularniejszymi obecnie narzędziami wspomagającymi pro-jektowanie. Rozwiązania otrzymane za ich pomocą są w przeważającej więk-szości przybliżone, a jednak są akceptowalne w zastosowaniach praktycz-nych. Potrzeba zastosowania MES, lub metody pokrewnej, jest szczególniewidoczna w obliczeniach konstrukcji, których opis matematyczny jest dośćskomplikowany, np. konstrukcji z wielu materiałów, konstrukcji o złożonymkształcie, itp.Równania Metody Elementów Skończonych można wyobrazić sobie jako

zdania formułowane w języku algebry liniowej. Co za tym idzie, należy przy-jąć, że wyrazami w słowniku MES są macierze i wektory symbolizujące cechykonstytutywne materiału, obciążenia konstrukcji oraz stowarzyszone z nimiprzemieszczenia, naprężenia i odkształcenia. Istotną cechą tych wyrazów izdań jest ich uniwersalność, co z kolei stwarza możliwość zastosowania wopisie zachowania dowolnej konstrukcji budowlanej.

6

Inżynierowie-projektanci korzystają z szerokiej gamy oprogramowaniaMES. Nie byłoby zatem celowe omawianie funkcjonalności wybranego syste-mu obliczeniowego, ponieważ to zadanie powinien wypełnić dołączany zwy-kle do programu podręcznik użytkownika. W założeniu autorów, niniejszeopracowanie ma pomóc Czytelnikowi w zrozumieniu idei leżącej u podstawmodelowania skończenieelementowego, samodzielnej implementacji algoryt-mu MES w dowolnym środowisku programistycznym, a także interpretacjiwyników obliczeń dostarczanych przez program komputerowy.Tekst jest skierowany przede wszystkim do studentów Budownictwa. Za-

kres omawianego w skrypcie materiału jest ograniczony do najważniejszychpojęć z zakresu MES i odpowiada programowi 45-godzinnego kursu „Me-chanika Konstrukcji 3” prowadzonego na 2. semestrze studiów II stopniana Wydziale Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej dla studentówspecjalności „Inżynieria produkcji budowlanej”. Autorzy mają jednak na-dzieję, że treści zawarte w opracowaniu będą przydatne studentom innychprzedmiotów, specjalności lub kierunków studiów.Skrypt składa się z dwóch części. Część I poświęcona jest wprowadzeniu

idei MES, jako narzędzia służącego do otrzymywania rozwiązań przybliżo-nych. Szczegółowo omawia się w niej elementy skończone stosowane przymodelowaniu konstrukcji prętowych smukłych i średniej grubości w popu-larnych programach komercyjnych. Część II dotyczy zastosowania MES wodniesieniu do zagadnień statyki konstrukcji dwuwymiarowych (tarcz i płyt)oraz rozszerza rozważania o niektóre, istotne z inżynierskiego punktu widze-nia zadania modelowania skończenieelementowego. Taki podział omawiane-go materiału jest uzasadniony kolejnością wykładów z zakresu MechanikiKonstrukcji w programie studiów na kierunku „Budownictwo”. Elementar-na teoria deformacji prętów jest omawiana na studiach I stopnia (inżynier-skich). Co za tym idzie, równania tej teorii są naturalną podstawą, na którejmożna oprzeć rozważania dotyczące przybliżonych metod obliczeniowych, wszczególności Metody Elementów Skończonych. Rozumienie zagadnień teoriikonstrukcji powierzchniowych ujętych w programie studiów II stopnia (ma-gisterskich) ułatwi Czytelnikowi śledzenie materiału drugiej części skryptu.Układ części I jest następujący: rozdział 1 poświęcono omówieniu idei

Metody Elementów Skończonych, przy czym matematyczna ścisłość wywo-du nie jest tu najistotniejsza. Wprowadzając pojęcia z zakresu MES, auto-rzy odwołują się do znanych Czytelnikowi formuł, starając się jednocześnieujednolicić ich zapis korzystając z języka algebry macierzy.W rozdziale 2 przypomniane są równania statyki pręta ramy przestrzen-

nej w teorii prętów smukłych i średniej grubości. Na tej podstawie omówione

Wstęp 7

są typowe elementy skończone dostępne w bibliotekach komercyjnych syste-mów MES. Na końcu obu rozdziałów zamieszczony jest zestaw pytań i zadańkontrolnych wraz z odpowiedziami.Rozdział 3 zawiera przykłady zastosowania MES w analizie statycznej

układów prętowych smukłych i średniej grubości, zaś w rozdziale 4 zamiesz-czono zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika.Spis literatury obejmuje jedynie pozycje wydane w języku polskim. Zda-

niem autorów taki wybór jest uzasadniony, ponieważ zbiór lektur w po-czątkowym okresie studiów nad dowolnym zagadnieniem powinien zawieraćteksty nie stwarzające dodatkowych trudności językowych.Na stronie internetowej Zakładu Mechaniki Budowli i Zastosowań Infor-

matyki Politechniki Warszawskiej, pod adresem http://mk.il.pw.edu.pl/index.php/materialy-pomocnicze/mk3-ipb.html dostępne są proceduryMAPLE ilustrujące niektóre zadania rozwiązane w skrypcie.Przy opracowaniu materiału przyjęto założenie, że Czytelnik I części

skryptu zna pojęcia wykładane w ramach przedmiotów programu studiów Istopnia na kierunku „Budownictwo”. W szczególności zakłada się, że posłu-guje się on programem symbolicznych obliczeń matematycznych w zakresiealgebry macierzy oraz umie formułować i rozwiązywać zagadnienia omawia-ne na przedmiotach Wytrzymałość Materiałów i Mechanika Konstrukcji. Wsamodzielnej numerycznej implementacji algorytmu MES pomocna będzierównież znajomość podstaw programowania wyniesiona z zajęć Informatyki.Teoretyczną podstawę części II stanowią pojęcia i metody obliczeniowe teoriikonstrukcji powierzchniowych wykładane na 1. semestrze studiów II stopniaw ramach przedmiotu Teoria Sprężystości. Znajomość wymienionych wy-żej zagadnień pozwoli na opracowanie własnych procedur obliczeniowych iporównanie rozwiązań otrzymanych metodami komputerowymi z rozwiąza-niami analitycznymi, co w opinii autorów jest bardzo istotnym elementemw zrozumieniu materiału zawartego w każdym kursie MES.

Oznaczenia

Metoda Elementów Skończonych (MES) operuje oznaczeniami symboli-zującymi wektory i macierze. Mogą być one odniesione do całej konstrukcji(wektory i macierze globalne) lub do pojedynczego elementu skończonego(wektory i macierze lokalne). Konieczne jest zatem ustalenie znacznikówsłużących jednoznacznemu rozpoznaniu i przyporządkowaniu wielkości al-gebraicznych. Poniżej nakreślone zostały jedynie ogólne zasady znakowaniastosowane w tekście. Znaczenie poszczególnych symboli wektorów i macierzysą objaśnione w dalszej części skryptu, przy okazji omawiania kolejnych za-gadnień formułowanych w języku MES. Na początkowym etapie programo-wania MES pomocne będą również rysunki ilustrujące podział konstrukcji naelementy skończone, orientację lokalnych układów współrzędnych względemukładu globalnego, czy różnice w globalnej i lokalnej numeracji węzłów.

Wektory i macierze globalne

Opis wielkości algebraicznych o zasięgu globalnym, bądź wspólnych dlawszystkich elementów konstrukcji, nie wymaga dodatkowego znacznika.

Wektory i macierze lokalne odniesione do węzłów

Przyjęto konwencję znakowania wektorów i macierzy o zasięgu lokalnymza pomocą dolnych indeksów oddzielonych przecinkami. Ustalenie zasięguwymaga podania w indeksie dolnym numeru elementu – e oraz numeru węzław obszarze elementu – j. Indeks „e, j” należy zatem czytać następująco:

Oznaczenia 9

węzeł o lokalnym numerze „j” w elemencie o numerze „e”. Na przykład:

q10 – wektor przemieszczeń elementu o numerze 10,

q10,2 – wektor przemieszczeń węzła o lokalnym numerze 2,w elemencie o numerze 10,

Q010,2 – wektor zastępczych sił węzłowych w lokalnym węźle nr 2w elemencie o numerze 10,

K10 – macierz sztywności elementu o numerze 10.

Wektory lokalne odniesione do punktów pozawęzłowych

Niektóre używane w tekście symbole algebraiczne odnoszą się do punk-tów pozawęzłowych, np. środka elementu, bądź punktu całkowania. W tymprzypadku obowiązuje system indeksowania identyczny do objaśnionego po-wyżej, przy czym lokalny numer węzła zastępuje się lokalnym numerempunktu pozawęzłowego.

Rozdział 1

Na czym polega MetodaElementów Skończonych ?

1.1. Równania liniowej statyki w zapisiemacierzowym

Materiał omówiony w tej części skryptu obejmuje zadania statyczne.Zagadnienia związane z zastosowaniem MES w przypadkach obciążeń geo-metrycznych bądź termicznych są poruszane w części II.Niech Ω oznacza obszar konstrukcji, p – wektor obciążeń, u – wektor

przemieszczeń, ε – wektor odkształceń, zaś σ – wektor naprężeń lub siłwewnętrznych. Ponadto, niech wektor q określa wartości narzucone na skła-dowe wektora u na brzegu obszaru Ω, oznaczanego symbolem Γ. W tymsensie, o przemieszczeniach mówi się, że są kinematycznie dopuszczalne.Znaczenie występujących w języku MES wielkości wektorowych i ma-

cierzowych wynika z teorii opisującej rozważane zagadnienie inżynierskie.Przykładowo, w teorii belek smukłych przyjmuje się

p(x) = [q(x)] ,

u(x) = [w(x)] ,

ε(x) = [κ(x)] ,

σ(x) = [M(x)] ,

(1.1)

1.1. Równania liniowej statyki w zapisie macierzowym 11

gdzie x ∈ Ω jest współrzędną mierzoną wzdłuż osi prętów. W teorii tarcz wpłaskim stanie naprężenia te same wektory przybierają postać

p(x, y) = [px(x, y), py(x, y)]T ,

u(x, y) = [u(x, y), v(x, y)]T ,

ε(x, y) = [εx(x, y), εy(x, y), γxy(x, y)]T ,

σ(x, y) = [Nx(x, y), Ny(x, y), Nxy(x, y)]T ,

(1.2)

przy czym (x, y) ∈ Ω są współrzędnymi dowolnego punktu tarczy. Oznacze-nia stosowane w wyrażeniach (1.1), (1.2) powinny być Czytelnikowi znane zkursów Wytrzymałości Materiałów i Mechaniki Konstrukcji.Składowe wektorów p, u, ε, σ łączą następujące ogólne związki liniowej

statyki:— związek geometryczny

ε = Du, (1.3)

gdzie D jest właściwą dla rozpatrywanej teorii macierzą operatorów róż-niczkowych;

— związek konstytutywny

σ = E ε, (1.4)

gdzie E jest macierzą cech materiałowych (macierzą konstytutywną),oraz

— warunek równowagi (zapisany w formie równania prac wirtualnych)

∫

ΩuTp dx+

∫

ΓqTQ ds =

∫

ΩεTσ dx, (1.5)

gdzie u, ε są wektorami przemieszczeń i odkształceń wirtualnych zwią-zanymi równaniem (1.3), q jest wektorem wartości brzegowych funkcjiwirtualnych przemieszczeń, zaś Q – wektorem sił brzegowych. Równanie(1.5) odnosi się do początkowej (nieodkształconej) konfiguracji Ω, co jestuzasadnione założeniem o niezbyt dużych przemieszczeniach konstrukcjiw porównaniu z jej wymiarami.

Uzupełniając opis równań (1.3), (1.4) warto przypomnieć, że macierze Doraz E przybierają postaci

D =

[− d2

dx2

], E = [EJ ] , (1.6)

12 1. Na czym polega Metoda Elementów Skończonych ?

w teorii belek smukłych, oraz

D =

∂

dx0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

, E =Eh

1− ν2

1 ν 0

ν 1 0

0 01− ν2

, (1.7)

w teorii tarcz izotropowych pracujących w płaskim stanie naprężenia (PSN).Występujące w wyrażeniu (1.5) wielkości określone przymiotnikiem „wir-

tualny” należy rozumieć jako „teoretycznie możliwy”, bądź „mogący zaist-nieć”. Wektory u, q oraz ε są zatem niezależne od rzeczywistego obcią-żenia p i mogą być dobierane dowolnie w ramach ograniczeń nałożonychprzez związek geometryczny (1.3) oraz wymóg zgodności przemieszczeń zwarunkami brzegowymi. Wynika stąd, że kinematycznie dopuszczalne prze-mieszczenia i stowarzyszone z nimi odkształcenia mogą być traktowane jakowielkości zmienne w równaniu prac wirtualnych, zaś obciążenia i wynika-jące z nich naprężenia jako wielkości ustalone. Jeżeli zatem równanie (1.5)ma być spełnione zawsze, czyli dla dowolnych u, q oraz ε, to składowe p, Qoraz σ muszą być ze sobą sprzężone dodatkową zależnością, tzw. warunkiemstatycznej dopuszczalności sił wewnętrznych. Przybiera on postać układurównań różniczkowych, nazywanych lokalnymi równaniami równowagi. Ichjednoznaczne rozwiązanie jest możliwe jeżeli spełnione są dodatkowo wa-runki brzegowe narzucone na składowe wektora σ. Oznacza to, że określeniestatycznie dopuszczalnych sił wewnętrznych na podstawie lokalnych rów-nań równowagi jest równoważne zagadnieniu wyznaczenia całki szczególnejniejednorodnego równania różniczkowego.W teorii belek smukłych, lokalne równanie równowagi zapisuje się jako

d2

dx2M + q = 0, (1.8)

zaś w teorii tarcz PSN

∂

∂xNx +

∂

∂yNxy + px = 0,

∂

∂xNxy +

∂

∂yNy + py = 0.

(1.9)

Warunek statycznej dopuszczalności sił wewnętrznych w konstrukcjachprętowych jest szczegółowo omówiony w rozdz. 2. Zagadnienia tarczowe sąomawiane w II części skryptu.

1.2. Dyskretny model obliczeniowy 13

Uwzględnienie związków (1.3), (1.4) w wyrażeniach (1.8), (1.9) pozwalaz kolei na otrzymanie formuł różniczkowych, w których niewiadomymi sąskładowe wektora przemieszczeń u. Na przykład, równanie opisujące funkcjęugięcia smukłej belki zginanej przybiera postać

d4

dx4w − q

EJ= 0, (1.10)

zaś związki określające funkcje przemieszczeń tarczy izotropowej w płaskimstanie naprężenia zapisuje się jako

Eh

1− ν2[∂

∂x

(∂u

∂x+ ν

∂v

∂y

)+1− ν2

∂

∂y

(∂u

∂y+∂v

∂x

)]+ px = 0,

Eh

1− ν2[1− ν2

∂

∂x

(∂u

∂y+∂v

∂x

)+

∂

∂y

(ν∂u

∂x+∂v

∂y

)]+ py = 0.

(1.11)

1.2. Dyskretny model obliczeniowy

1.2.1. Pojęcie elementu skończonego.Aproksymacja przemieszczeń

Znalezienie rozwiązania lokalnych równań równowagi w każdym punkcieleżącym w obszarze konstrukcji jest możliwe jedynie w nielicznych przypad-kach. Co za tym idzie, ścisła analiza układu kontynualnego Ω jest w ogólnościniemożliwa w ramach przyjętych założeń i wymaga uproszczenia.

W tym rozdziale opisany jest sposób przybliżonego określenia funkcji ww równaniu (1.10) oraz u, v w równaniach (1.11) za pomocą najpopular-niejszej, przemieszczeniowej wersji Metody Elementów Skończonych. Stoso-wanie MES wymaga zdefiniowania skończonej liczby niezależnych parame-trów (tzw. kinematycznych stopni swobody) określających przemieszczeniawybranych punktów konstrukcji (tzw. węzłów). Połączenie węzłów liniamiwprowadza podział kontinuum na fragmenty (tzw. elementy skończone), któ-re dość dobrze wypełniają cały obszar Ω (por. rys. 1.1), przy czym kształt iwymiary elementów nie muszą być jednakowe. Punkty węzłowe mogą rów-nież występować w obszarze elementu skończonego, lecz oddziaływania mię-dzy elementami sąsiadującymi są możliwe jedynie w węzłach wspólnych.Obciążenia i warunki brzegowe przemieszczeń można definiować także tylkow węzłach.


a)

b) c)

1 3

3

1

2

4

5

6

7

8

14

9

10

11 12

13

15

16

17

18

2

Rysunek 1.1. a) belka podzielona na elementy skończone, b) tarcza PSN przedpodziałem na elementy skończone, c) tarcza z rys. b) podzielona na elementy skoń-czone. Kropkami oznaczono wybrane w obszarze konstrukcji punkty węzłowe.

Nietrudno stwierdzić, że podstawowym w rozumieniu MES, najmniej-szym fragmentem dyskretnego modelu konstrukcji jest element o skończo-nych wymiarach. Dla porównania warto przypomnieć, że w klasycznym uję-ciu kontynualnym znanym z teorii sprężystości, za najmniejszy fragmentprzyjmuje się cząstkę o wymiarach nieskończenie małych.Warunki równowagi dyskretnego modelu obliczeniowego zapisuje się w

postaci układu równań algebraicznych ze skończoną liczbą niewiadomych.Rozwiązanie układu jest równoważne obliczeniu przemieszczeń stowarzyszo-nych ze stopniami swobody konstrukcji, a więc ogranicza się do wyznaczeniaprzybliżonych wartości funkcji przemieszczeń w wybranych na wstępie punk-tach węzłowych.Na podstawie powyższego, dość lapidarnego opisu idei MES można wnio-

skować, że gęstość siatki wezłów, ich rozmieszczenie w obszarze Ω oraz liczbastopni swobody są istotnymi czynnikami wpływającymi na dokładność roz-wiązania przybliżonego. Tak jest w istocie, a współcześnie stosowane progra-my komputerowe bazujące na MES i moc maszyn obliczeniowych pozwalająna rozwiązywanie układów równań algebraicznych z liczbą niewiadomychsięgającą kilkudziesięciu milionów.Poprawny dobór funkcji aproksymacyjnych (tj. opisujących przemiesz-

czenia konstrukcji w sposób przybliżony) jest jednym z najistotniejszychzagadnień w teorii MES. Polega ono na określeniu wektorów ue w obszarzekażdego elementu skończonego, a następnie na „sklejeniu” składowych tych


wektorów wzdłuż krawędzi łączących elementy sąsiadujące. Funkcje aprok-symujące przybierają zwykle postać wielomianu, którego stopień zależny jestod wymiaru wektora brzegowych wartości przemieszczeń qe. Na przykład,w teorii kratownic funkcje aproksymacyjne są wielomianami stopnia 1, zaśw teorii ram z prętów smukłych stopień wielomianu jest równy 3. Kwestiata jest szczegółowo omówiona w rozdz. 2.Niech ne oznacza liczbę elementów skończonych w przyjętej dyskretyzacji

kontinuum, Ω,Ωe – obszar konstrukcji i obszar e-tego elementu skończone-go, uh – wektor przybliżonych przemieszczeń Ω, ue – wektor przybliżonychprzemieszczeń elementu skończonego o numerze e, gdzie e = 1, . . . , ne, zaśqe – wektor przemieszczeń jego węzłów, nazywany w teorii MES wektoremstopni swobody elementu, bądź wektorem lokalnych stopni swobody. Prze-mieszczenia dowolnego punktu wewnątrz Ωe określa się postulując macierzfunkcji aproksymacyjnych (macierz funkcji kształtu) Ne w wyrażeniu

ue(x) =

Ne(x)qe x ∈ Ωe,0 x ∈ Ω \Ωe.

(1.12)

Co za tym idzie, uh przybiera w obszarze Ω postać

uh =ne∑

e=1

ue. (1.13)

Równanie równowagi (1.5) odniesione do pojedynczego (e-tego) elementuskończonego zapisuje się jako

qTe

(Qe +Q

0e

)=∫

ΩeεTe σe dx, (1.14)

przy czym zgodnie z ideą MES, całkę po brzegu Γ zastąpiono iloczynemskalarnym wektorów przemieszczeń i sił węzłowych

∫

ΓeqTeQe ds ≈ qTeQe. (1.15)

Symbolem

Q0e =∫

ΩeNTe pe dx (1.16)

oznaczono wektor zastępczych obciążeń węzłowych elementu o numerze e.Zrozumienie różnicy między wektorami Q0e i Qe nie powinno sprawiać kło-potu. Składowe Q0e są ekwiwalentem obciążenia działającego w obszarze Ωe,


natomiast Qe ma sens fizyczny wektora reakcji w węzłach łączących e-tyelement skończony z elementami sąsiednimi.Korzystając z (1.3), (1.4) oraz (1.12), wyrażenie (1.14) można przekształ-

cić do postaci

qTeQe = qTe

[(∫

ΩeBTe EeBe dx

)qe −Q0e

], (1.17)

gdzieBe = DNe (1.18)

jest macierzą, której składowymi są pochodne funkcji kształtu, zaś

Ke =∫

ΩeBTe EeBe dx (1.19)

oznacza macierz sztywności elementu skończonego.Równanie (1.17) musi być spełnione dla dowolnego wektora qe, a zatem,

po wykorzystaniu (1.18) w związkach (1.3) oraz (1.4) otrzymuje się formuły

εe = Be qe,

σe = EeBe qe,

Qe = Ke qe −Q0e,(1.20)

stanowiące komplet równań liniowej statyki dowolnie wybranego obszaru Ωezajmowanego przez element skończony o numerze e.Nietrudno zauważyć, że składowe macierzy sztywności Ke są zależne

od przyjętej do opisu przemieszczeń wewnątrz e-tego elementu skończo-nego macierzy funkcji kształtu Ne. Jej składowe postuluje się niezależnieod lokalnych równań równowagi w postaci przemieszczeniowej, por. (1.10)oraz (1.11). Mimo to, w nielicznych przypadkach można wykazać, że funkcjekształtu spełniają te równania w sposób ścisły przy założeniu, że obciążeniedziałające w obszarze elementu skończonego jest zerowe, tzn. p = 0.Składowe wektorów odkształcenia i sił wewnętrznych wewnątrz elementu

skończonego nie muszą być wyznaczone dokładnie pomimo przyjęcia ścisłychfunkcji kształtu w opisie przemieszczeń pręta. Wynika to z zastąpienia obcią-żenia rzeczywistego p działającego w obszarze Ωe statycznie równoważnymwektorem obciążeń węzłowych Q0e.Teoria aproksymacji w ścisłym, matematycznym ujęciu operuje pojęciem

podprzestrzeni Vh ⊂ V , gdzie V jest przestrzenią wszystkich kinematyczniedopuszczalnych pól przemieszczeń, zaś Vh jej skończeniewymiarową pod-przestrzenią, której elementami są funkcje postaci (1.13). Pożądaną cechą


rozwiązania przybliżonego, otrzymanego na podstawie analizy MES, jestzbieżność do rozwiązania ścisłego przy zagęszczeniu siatki podziału obszaruΩ na podobszary Ωe. Żądanie to można wyrazić w postaci uh → u przyh → 0, gdzie h jest typowym wymiarem obszaru Ωe przy podziale regu-larnym. Osiągnięcie tak postawionego celu jest możliwe dzięki zastosowaniuw dyskretyzacji Ω tzw. elementów dostosowanych, których funkcje kształtuspełniają następujące kryteria:

a) ciągłości przemieszczeń w obszarze elementów i odpowiedniej klasy ichzgodności na brzegach (kryterium zgodności),

b) zerowania się odkształceń stowarzyszonych z przemieszczeniami odpo-wiadającymi ruchom sztywnym elementów (kryterium ruchu sztywnego),

c) obecności składników odpowiadających za stałe odkształcenia.

W dalszej części pracy omawiane będą elementy skończone dostępne w bi-bliotekach popularnych programów inżynierskich. Pełne sprawdzenie kryte-riów dostosowania wykracza jednak poza ramy tego skryptu. ZainteresowaniCzytelnicy powinni sięgnąć do bardziej zaawansowanych pozycji literatury.

1.2.2. Agregacja elementów skończonych.Równanie równowagi konstrukcji

Opis większości zagadnień mechaniki w ujęciu MES wymaga określeniawspólnego dla całej konstrukcji, globalnego układu współrzędnych (X,Y,Z)oraz związanych z elementami skończonymi układów lokalnych (xe, ye, ze),e = 1, . . . , ne, por. rys. 1.2.Wprowadzone w poprzednim rozdziale wielkości: qe – wektor lokalnych

stopni swobody (przemieszczeń węzłów elementu skończonego o numerze e),Q0e – wektor lokalnych zastępczych obciążeń węzłowych, Qe – wektor lokal-nych sił (reakcji) węzłowych oraz Ke – macierz sztywności elementu skoń-czonego określa się w układzie lokalnym elementu o numerze e, ponieważ sąwielkościami uwzględniającymi indywidualne cechy danego fragmentu kon-strukcji.Układ globalny jest natomiast środowiskiem, w którym definiuje się: r –

wektor globalnych stopni swobody (przemieszczeń wszystkich węzłów kon-strukcji), R0 – wektor zastępczych obciążeń węzłowych zebranych z elemen-tów skończonych uzupełnionych o obciążenia zdefiniowane bezpośrednio wukładzie globalnym (wektor R00), R – wektor reakcji więzów zewnętrznychoraz K – globalną macierz sztywności (macierz sztywności konstrukcji).


Ponadto, w układzie globalnym określa się więzy narzucone na prze-mieszczenia węzłów, a także formułuje i rozwiązuje równanie równowagikonstrukcji.Składowe wektorów i macierzy występujących w opisie MES zmienia-

ją wartości wraz ze zmianą układu odniesienia. Poprawna reprezentacjatych wielkości algebraicznych w różnych układach wymaga zatem określeniawspólnej dla każdego elementu skończonego reguły transformacji. Pociąga toza sobą konieczność wyznaczenia dla każdego elementu skończonego pewnejpomocniczej macierzy – tzw. macierzy transformacji.Niech v = [v1 v2 v3]T oznacza wektor, którego składowe są określone w

układzie globalnym (X,Y,Z). Reprezentację tego wektora w układzie lokal-nym (xe, ye, ze) związanym z elementem skończonym o numerze e wyznaczasię według schematu

(X,Y,Z) −→ (xe, ye, ze),

v −→ cev,(1.21)

gdzie ce jest macierzą kosinusów kierunkowych o składowych

ce =

cos(X,xe) cos(Y, xe) cos(Z, xe)cos(X, ye) cos(Y, ye) cos(Z, ye)cos(X, ze) cos(Y, ze) cos(Z, ze)

, (1.22)

przy czym cos(·, ·) oznacza kosinus kąta między osią układu globalnego i osiąukładu lokalnego.

Z

Y

X

x1

z 1

y1

x3

z 3

y3

x2

z 2

y2

Rysunek 1.2. Globalny układ współrzędnych (X,Y, Z) i układy lokalne (xe, ye, ze),e = 1, 2, 3, w prętach ramy przestrzennej.


Składowe macierzy kosinusów kierunkowych ce wykorzystuje się przyokreślaniu macierzy transformacji Ce, jednak jej postać nie jest uniwer-salna. Zależy ona od typu stopni swobody właściwych dla rozpatrywanegozagadnienia oraz liczby węzłów w elemencie skończonym. Macierz Ce należyzatem ustalać osobno dla elementu każdego rodzaju.Algorytm MES przewiduje również określenie dla każdego elementu skoń-

czonego w modelu obliczeniowym tzw. macierzy alokacji oznaczanej symbo-lem Ae. Wynikiem jej działania jest korelacja lokalnych stopni swobody,właściwych dla danego elementu skończonego, ze stopniami swobody zdefi-niowanymi globalnie dla całej konstrukcji.Ogromna większość składowych macierzy alokacji przybiera wartości ze-

rowe, a pozostałe (nieliczne) są równe 1. Obiekty o takiej budowie nosząnazwę macierzy rzadkich. Specjalne techniki przechowywania danych oraznowoczesne algorytmy numeryczne pozwalają na znaczne zmniejszenie ob-szaru pamięci operacyjnej potrzebnej do zapamiętania i wykonania operacjina macierzach rzadkich oraz, co za tym idzie, przyspieszenie działania pro-gramów obliczeń inżynierskich. Należy więc stwierdzić, że stosowanie w algo-rytmie MES jednakowych metod numerycznych w odniesieniu do macierzygęstych i rzadkich nie jest dobrym zwyczajem programistycznym. Jednak,zdaniem autorów, znajomość technik przyspieszających działanie procedurobliczeniowych nie jest konieczna na początkowym etapie studiów w zakre-sie MES. Szczegółowe omówienie problematyki macierzy rzadkich wykraczaznacznie poza ramy podstawowego kursu Metody Elementów Skończonych.Czytelnicy zainteresowani tym zagadnieniem powinni sięgnąć do pozycji li-teratury z zakresu metod numerycznych algebry liniowej.Przyjmując, że macierze Ce orazAe są znane, można wyznaczyć globalny

wektor zastępczych obciążeń węzłowych oraz globalną macierz sztywnościkonstrukcji według wzorów

R0 =ne∑

e=1

ATeCTeQ0e +R

00,

K =ne∑

e=1

ATeCTeKeCeAe,

(1.23)

przy czym R00 oznacza wektor obciążeń zdefiniowanych bezpośrednio wwęzłach. Niech R oznacza wektor reakcji więzów zewnętrznych. Równania

Kr = R0 +R (1.24)

orazKr = R0, (1.25)


są równoważnymi równaniami równowagi konstrukcji. Symbole K oraz R0

w równaniu (1.25) oznaczają kolejno globalną macierz sztywności i globalnywektor zastępczych obciążeń węzłowych z uwzględnieniem warunków brze-gowych. Warto zauważyć, że równanie (1.24) odniesione do całej konstrukcjima budowę identyczną z równaniem (1.20)3, które dotyczy jednego elemen-tu skończonego. W standardowej procedurze MES korzysta się z równania(1.25) w celu obliczenia przemieszczeń, a następnie wyznacza się składoweR na podstawie (1.24).Wektory qe w układach lokalnych (xe, ye, ze), e = 1, . . . , ne określa się

według wzoru

qe = CeAer. (1.26)

Na podstawie znanych z kursu Algebry Liniowej reguł mnożenia wekto-rów i macierzy można zauważyć, żea) liczba wierszy macierzy Ce musi być zgodna z wymiarem wektora qe,b) liczba kolumn macierzy Ce musi być zgodna z liczbą wierszy Ae,c) liczba kolumn macierzy Ae musi być zgodna z wymiarem wektora r,co oznacza, żed) liczba kolumn Ae jest równa liczbie globalnych stopni swobody,e) liczba wierszy Ae oraz liczba kolumn Ce są równe sumie globalnych stop-ni swobody wybranych do opisu przemieszczeń węzłów e-tego elementuskończonego,

f) liczba wierszy Ce jest równa liczbie lokalnych stopni swobody e-tegoelementu skończonego.Macierz transformacji elementów skończonych określa się uwzględniając

orientację lokalnych układów współrzędnych względem układu globalnego.Sposób przyjęcia macierzy alokacji elementów jest natomiast ściśle związanyz numeracją węzłów w modelu obliczeniowym. Czytelnik powinien zatemprześledzić jak największą liczbę zamieszczonych w skrypcie przykładów izadań w celu zrozumienia zasad budowy tych macierzy.

1.3. Przykład zastosowania MES

1.3.1. Algorytm obliczeń MESKorzystając z rozważań zamieszczonych w tym rozdziale można sformu-

łować następujący algorytm MES:

1.3. Przykład zastosowania MES 21

1. Podziel konstrukcję na elementy skończone i zaznacz węzły.Przyjmij lokalne układy współrzędnych (xe, ye, ze) oraz układglobalny (X,Y,Z).

2. Ustal liczbę składowych wektora przemieszczeń r w układzieglobalnym.

3. Ustal liczbę składowych wektorów qe w układach lokal-nych. Zapisz macierze Ae, Ce dla każdego elementu.

4. Wyznacz wektory zastępczych obciążeń węzłowych Q0e orazmacierze sztywności Ke w poszczególnych elementach.

5. Wyznacz globalną macierz sztywności K, globalny wektorzastępczych obciążeń węzłowych R0 uzupełniony o obciążeniadziałające bezpośrednio w węzłach. Określ macierz K orazwektor R0 uwzględniając warunki brzegowe przemieszczeń(więzy konstrukcji).

6. Rozwiąż równanie równowagi konstrukcji ze względu na r.7. Oblicz reakcje więzów zewnętrznych (podpór) R.8. Oblicz wektory qe opisujące przemieszczenia węzłów w ukła-dach lokalnych.

9. Określ przemieszczenia ue, odkształcenia εe i siły wewnętrzneσe w wybranych punktach elementów skończonych.

1.3.2. Przykład działania algorytmuPrzykład 1.1. Oblicz wartości sił w prętach kratownicy na rys. 1.3.

X

Y

x1

x2 x3

x4

y1

y2

y3

y4

1 2

43

1 2 3 4

5P

2P

6l

4l 2l 4l2l

Rysunek 1.3. Kratownica 4-prętowa z podziałem na elementy skończone.


Podział konstrukcji na elementy skończone, a także numeracja węzłów ielementów oraz osie układów lokalnych (xe, ye) i układu globalnego (X,Y )są pokazane na rys. 1.3. Przykład dotyczy kratownicy płaskiej, a zatem opisprzemieszczeń węzłów uwzględnia jedynie przesunięcia względem osi X orazY , co tłumaczy pominięcie osi Z oraz ze w układach współrzędnych. Wektorprzemieszczeń r przybiera postać

r = [r1 . . . r10]T . (1.27)

Zastosowana w opisie konstrukcji numeracja węzłów pozwala określić ma-cierze alokacji w postaci

A1 =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1

,

A2 =

0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1

,

A3 =

0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1

,

A4 =

0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1

.

(1.28)

Zasadę budowy macierzy Ae najłatwiej zrozumieć analizując wzór (1.26) wodniesieniu do kolejnych elementów. Przykładowo, dla e = 3 otrzymuje się

A3r = [r5 r6 r9 r10]T . (1.29)

Łatwo stwierdzić, że powyższe działanie skutkuje wyborem tych składowychwektora r, które są potrzebne do opisu przemieszczeń węzłów elementu 3.


Lokalny opis przemieszczeń pręta kratownicy nie uwzględnia przesunięćprostopadłych do osi. Macierze kosinusów kierunkowych i macierze transfor-macji określone są wyrażeniami

ce = [cos(X,xe) cos(Y, xe)] ,

Ce =

[ce 0

0 ce

]=

[cos(X,xe) cos(Y, xe) 0 00 0 cos(X,xe) cos(Y, xe)

],

(1.30)

C1 =

[0, 707 0, 707 0 00 0 0, 707 0, 707

],

C2 =

[0, 316 0, 949 0 00 0 0, 316 0, 949

],

C3 =

[−0, 316 0, 949 0 00 0 −0, 316 0, 949

],

C4 =

[−0, 707 0, 707 0 00 0 −0, 707 0, 707

].

(1.31)

Dalsze zastosowanie wzoru (1.26) prowadzi do

q3 = C3A3r =

=

[cos(X,x3) r5 + cos(Y, x3) r6cos(X,x3) r9 + cos(Y, x3) r10

]=

[−0, 316 r5 + 0, 949 r6−0, 316 r9 + 0, 949 r10

]. (1.32)

Sprawdzenie tego wzoru dla pozostałych prętów kratownicy pozostawionoCzytelnikowi.Ustroje kratowe charakteryzują się obciążeniem przyłożonym bezpośred-

nio w węzłach. Należy zatem przyjąć Q0e = 0 dla każdego elementu skończo-nego. Co za tym idzie, globalny wektor obciążeń węzłowych R0 przybierapostać

R0 = [0 0 0 0 0 0 0 0 2P P ]T . (1.33)

Macierz sztywności elementu kratownicy wyprowadzono w rozdz. 2.2.2w postaci

Ke =

12EAe

ae−12EAe

ae

−12EAe

ae

12EAe

ae

, (1.34)


gdzie ae oznacza połowę długości elementu o numerze e, zaś sztywność ele-mentu na odkształcenia podłużne oznaczono symbolem EAe. W dalszymciągu obliczeń przyjęto

EA1 = . . . = EA4 = EA = const . (1.35)

Wyznaczenie postaci macierzy K1, . . . ,K4 nie wymaga dalszych objaśnień,łatwo zatem obliczyć składowe globalnej macierzy sztytwności K wykorzy-stując formułę (1.23)2.Porównując rys. 1.3 oraz 1.4 nietrudno zauważyć, że

r1 = . . . = r8 = 0, (1.36)

z uwagi na zadane w węzłach 1, . . . , 4 warunki brzegowe.

X

Y1 2

43

1 2 3 4

5

P

2P

r1

Rr2

2

1

R

r3

Rr4

4

3

R

r5

Rr6

6

5

R

r7

Rr8

8

7

R

r9

r10

Rysunek 1.4. Interpretacja fizyczna składowych wektora r (globalnych stopni swo-body) i wektora R (reakcji więzów zewnętrznych) kratownicy z rys. 1.3.

Wyrażenie (1.24) można rozpisać w postaci układu 10 niezależnych li-niowo równań i znaleźć jego jednoznaczne rozwiązanie ze względu na nie-wiadome r9, r10 oraz R1, . . . , R8, przy czym

R =[R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 0 0

]. (1.37)

Sposób postępowania w MES jest nieco inny. Uwzględnienie warunkówbrzegowych w analizowanym zadaniu można interpretować jako formalną zmatematycznego punktu widzenia modyfikację macierzy K polegającą na


wpisaniu Kij = 0 w wierszach i kolumnach o numerach od 1 do 8 (odpo-wiadających zerowym przemieszczeniom w warunku brzegowym (1.36)), anastępnie na przyjęciu Kii = 1, i = 1, . . . , 8. Otrzymuje się w ten sposób

K =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0, 149EA

l0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 403EA

l

. (1.38)

Wprowadzenie informacji o warunkach brzegowych zadania do wektora R0

polega na wpisaniu R0i = 0, i = 1, . . . , 8, co prowadzi do

R0 = R0. (1.39)

Rozwiązaniem równania równowagi (1.25) jest

r = K−1R0 =

0 . . . 0︸︷︷︸8

13, 387Pl

EA2, 484

Pl

EA

T

. (1.40)

Składowe wektora R w (1.37) określają reakcje więzów w globalnymukładzie współrzędnych i przybierają wartości

R1 = −0, 935P, R2 = −0, 935P,

R3 = −0, 329P, R4 = −0, 988P,

R5 = −0, 094P, R6 = 0, 281P,

R7 = −0, 642P, R8 = 0, 642P.

(1.41)

Sprawdzenie warunków globalnej równowagi kratownicy pozostawiono Czy-telnikowi.


Przemieszczenia węzłów obserwowane w układach lokalnych wynoszą

q1 =

[0

11, 221

]Pl

EA, q2 =

[0

6, 588

]Pl

EA,

q3 =

[0

−1, 873

]Pl

EA, q4 =

[0

−7, 709

]Pl

EA,

(1.42)

zaś siły węzłowe w układach lokalnych opisują wektory

Q1 =

[−1, 3221, 322

]P, Q2 =

[−1, 0421, 042

]P,

Q3 =

[0, 296

−0, 296

]P, Q4 =

[0, 908

−0, 908

]P.

(1.43)

Obliczone wartości wskazują, że pręty 1, 2 są rozciągane, zaś pręty 3, 4– ściskane. Odkształcenia prętów są równe

ε1 = 1, 322P

EA, ε2 = 1, 042

P

EA,

ε3 = −0, 296P

EA, ε4 = −0, 908

P

EA.

(1.44)

1.4. Pytania i zadania kontrolne

Zadania

1.1 Dany jest wektor a i macierze B, C w postaci

a =

37−5

, B =

10 8 −3 −62 −1 9 −7−6 0 4 5

, C =

6 −3 1−3 5 −21 −2 9

.

Wyznacz aT , BT , C−1. Sprawdź, czy wykonalne są działania Ba, BTa,BC, CB. Rozwiąż równanie Cx = a ze względu na x.

1.2 Zapisz w formie macierzowej związki (1.3) oraz (1.4) w odniesieniu dopręta ściskanego.

1.4. Pytania i zadania kontrolne 27

1.3 Zapisz w formie macierzowej związki (1.3) oraz (1.4) w odniesieniu dopręta skręcanego. Wyniki porównaj z rozwiązaniem zadania 1.2.

1.4 Zapisz macierze kosinusów kierunkowych ce elementów skończonychramy przestrzennej z rys. 1.2.

1.5 Przyjmij macierz funkcji kształtu pręta kratownicy w postaci

N =[12

(1− x

a

)12

(1 +

x

a

)],

gdzie x ∈ [−a, a] jest lokalną współrzędną wzdłuż osi pręta, zaś aoznacza połowę jego długości. Oblicz macierze sztywności elementówskończonych kratownicy oraz globalną macierz sztywności z przykładu1.1. Obliczenia wykonaj za pomocą programu wspomagającegoobliczenia matematyczne.

1.6 Przyjmij macierz funkcji kształtu elementu kratownicy jak w zadaniu1.5. Korzystając z rozwiązania przykładu 1.1 zapisz wyrażenia opisującefunkcje u1, . . . , u4. Sprawdź wartości odkształcenia prętów zapisane w(1.44) korzystając ze wzoru ε = Du.

1.7 Dla kratownicy płaskiej z rys. 1.5 zdefiniuj wektory r, R0 oraz R izapisz warunki brzegowe. Wyznacz macierze transformacji Ce i alokacjiAe wszystkich elementów skończonych.

2l

2l

l3l

2P

P

Rysunek 1.5. Płaska kratownica 8-prętowa.


1.8 Przyjmując q w postaci (1.42) sprawdź poprawność obliczeń wektorówQe oraz εe, e = 1, . . . , 4 w przykładzie 1.1.

Odpowiedzi

1.1 Działania BTa orazCB są wykonalne, zaś Ba oraz BC – niewykonalne,

aT =[3 7 −5

], BT =

10 2 −68 −1 0−3 9 4−6 −7 5

,

C−1 =1172

41 25 125 53 91 9 21

, x =

1172

293401−39

.

1.2 Niech u = u(x) oznacza funkcję przemieszczeń wzdłuż osi pręta, ε = ε(x)– odkształceń podłużnych, N = N(x) – sił podłużnych, a EA = EA(x)– sztywność na odkształcenia podłużne. Szukane macierze przybierająpostać

u = [u], ε = [ε], σ = [N ],

D =[d

dx

], E = [EA].

1.3 Niech θ = θ(x) oznacza funkcję kąta skręcenia przekroju poprzeczne-go pręta, Mx = Mx(x) –momentu skręcającego, a GK0 = GK0(x) –sztywność na skręcanie. Szukane macierze przybierają postać

u = [θ], ε = [θ′], σ = [Mx],

D =[d

dx

], E = [GK0].

1.4

c1 =

0 0 11 0 00 1 0

, c2 =

0 1 01 0 00 0 −1

, c3 =

1 0 00 −1 00 0 −1

.


1.5

K1 = K4 =

√212

EA

l

[1 −1−1 1

],

K2 = K3 =

√1020

EA

l

[1 −1−1 1

],

K =1100

EA

l

5, 89 5, 89 0 0 0 . . .

5, 89 5, 89 0 0 0 . . .

0 0 1, 58 4, 74 0 . . .

0 0 4, 74 14, 2 0 . . .

0 0 0 0 1, 58 . . .

0 0 0 0 −4, 74 . . .

0 0 0 0 0 . . .

0 0 0 0 0 . . .

−5, 89 −5, 89 −1, 58 −4, 74 −1, 58 . . .

−5, 89 −5, 89 −4, 74 −14, 2 4, 74 . . .

. . . 0 0 0 −5, 89 −5, 89

. . . 0 0 0 −5, 89 −5, 89

. . . 0 0 0 −1, 58 −4, 74

. . . 0 0 0 −4, 74 −14, 2

. . . −4, 74 0 0 −1, 58 4, 74

. . . 14, 2 0 0 4, 74 −14, 2

. . . 0 5, 89 −5, 89 −5, 89 5, 89

. . . 0 −5, 89 5, 89 5, 89 −5, 89

. . . 4, 74 −5, 89 5, 89 14, 9 0

. . . −14, 2 5, 89 −5, 89 0 40, 3

.


1.6 Niech x ∈ [−a, a]. Szukane funkcje przybierają postać

u1(x) = 5, 61(1 +

x

a

)Pl

EA, u2(x) = 3, 29

(1 +

x

a

)Pl

EA,

u3(x) = −0, 89(1 +

x

a

)Pl

EA, u4(x) = −3, 85

(1 +

x

a

)Pl

EA.

1.7 Przyjmując numerację stopni swobody jak na rys. 1.6 otrzymuje się

r = [0 0 r3 0 r5 r6 r7 r8 r9 r10]T ,

R0 = [0 0 0 0 0 0 2P 0 P 0]T ,

R = [R1 R2 0 R4 0 0 0 0 0 0]T .

Niech osie elementów będą zwrócone od węzła o mniejszym numerze dowęzła o numerze większym, por. rys. 1.6. Przykładowo, w elemencie 1 ośx1 biegnie od węzła 1 do 2, w elemencie 3 – od węzła 1 do 4, w elemencie6 – od węzła 2 do 4. Szukane macierze Ce przybierają postać

C1 = −C4 =[1 0 0 00 0 1 0

],

C2 = C3 =

[0 1 0 00 0 0 1

],

C5 =

[0, 894 0, 447 0 00 0 0, 894 0, 447

],

C6 =

[−0, 894 0, 447 0 00 0 −0, 894 0, 447

],

C7 =

[0, 832 0, 555 0 00 0 0, 832 0, 555

],

C8 =

[−0, 447 0, 894 0 00 0 −0, 447 0, 894

].


2P

P

1 2

34

5

R R

R

2 4

1

X

Y

r

r

r

r

r

3

5

7

9

10

r

r

r

r4

6

8

2

r1 1

23

4

5

6

7 8

Rysunek 1.6. Numeracja elementów, stopnie swobody węzłów oraz reakcje więzówzewnętrznych kratownicy z rys. 1.5

Macierze alokacji Ae mają wymiary 4 × 10, a ich składowe są równe 0lub 1. Poniżej podano indeksy (i, j), tj. numery wierszy (i) oraz kolumn(j) odpowiadające składowym równym 1:

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4); A2 : (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6);

A3 : (1, 1), (2, 2), (3, 7), (4, 8); A4 : (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8);

A5 : (1, 1), (2, 2), (3, 5), (4, 6); A6 : (1, 3), (2, 4), (3, 7), (4, 8);

A7 : (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10); A8 : (1, 5), (2, 6), (3, 9), (4, 10).

1.8 Wskazówka:W obliczeniach skorzystaj ze wzorów (1.20) i rozwiązania zadania 1.5.

Rozdział 2

Konstrukcje prętowe

2.1. Równania statyki pręta ramyprzestrzennej

2.1.1. Równania równowagi w wersjiprzemieszczeniowej

Stosowany w tej pracy opis przemieszczeń i odkształceń elementów kon-strukcji prętowych opiera się na znanych z kursów Wytrzymałości Materia-łów i Mechaniki Konstrukcji założeniach dotyczących prętów o osi prostejlub nieznacznie zakrzywionej. Przyjmuje się więc, że wartości przemieszczeńi odkształceń pozwalają na stosowanie związków teorii liniowej. Dodatkowo,dla uproszczenia zakłada się, że pole przekroju poprzecznego pręta jest stałena całej jego długości. Ponadto, w odniesieniu do materiału przyjmuje się,że jest on jednorodny i izotropowy w obszarze pojedynczego elementu. Takiezałożenia są uzasadnione w modelowaniu MES. Uwzględnienie zmiennościprzekroju pręta, bądź niejednorodności materiału jest możliwe np. po przyję-ciu siatki elementów o różnych cechach geometrycznych i konstytutywnych.Rysunek 2.1 przedstawia składowe wektora przemieszczenia

u = [u v w θ ϕy ϕz]T , (2.1)

przekroju pręta ramy przestrzennej określone w lokalnym (tzn. związanym zwybranym prętem), prawoskrętnym układzie współrzędnych (x, y, z), gdzie

2.1. Równania statyki pręta ramy przestrzennej 33

x jest osią pręta przed jego deformacją, zaś y, z są głównymi osiami bez-władności przekroju.Zakłada się, że u jest funkcją zmiennej x ∈ (0, l), gdzie l oznacza długość

pręta nieodkształconego. Składowe wektora przemieszczenia są kinematycz-nie dopuszczalne, a więc są ciągłe w obszarze pręta i odpowiadają warun-kom brzegowym (np. znanym przemieszczeniom więzów zewnętrznych) lubsą zgodne z przemieszczeniami innych prętów zbiegających się we wspólnymwęźle ramy.

x

y

z

u

v

w

q

j

j

y

z

Rysunek 2.1. Składowe wektora u w przekroju pręta ramy przestrzennej. Podwójnąstrzałką oznaczono kąty obrotu o zwrocie zgodnym z regułą prawej dłoni.

x

y

z

N Mx

My

Ty

Tz

Mz

Rysunek 2.2. Składowe wektora σ w przekroju pręta ramy przestrzennej. Podwójnąstrzałką oznaczono momenty o zwrocie zgodnym z regułą prawej dłoni.

34 2. Konstrukcje prętowe

a) b)

x x

z

y z

y

a a

a a

w v

u u

w’ v’

jy

jz

Rysunek 2.3. Położenie przekroju α wynikające z deformacji pręta: a) ślad na płasz-czyźnie x− z, b) ślad na płaszczyźnie x − y. Przerywaną linią zaznaczono stycznądo odkształconej osi pręta. Znak

⊙oznacza ślad osi zwróconej „od płaszczyzny

rysunku do Czytelnika”, natomiast⊗symbolizuje orientację osi „od Czytelnika za

płaszczyznę rysunku”.

Pokazane na rys. 2.3 odkształcenia pręta w ustalonym punkcie x opisujewektor

ε =[ε βy βz θ′ ϕ′y ϕ′z

]T, (2.2)

gdzie f ′ ≡ ddxf . Składowe

ε = u′,

βy = v′ − ϕz ,βz = w′ + ϕy,

(2.3)

oznaczają kolejno funkcje odkształcenia podłużnego i odkształceń postacio-wych pręta. Co za tym idzie, macierz operatorów różniczkowych łączącawektory u i ε we wzorze (1.3) przybiera postać

D =

d

dx0 0 0 0 0

0d

dx0 0 0 −1

0 0d

dx0 1 0

0 0 0d

dx0 0

0 0 0 0d

dx0

0 0 0 0 0d

dx

(2.4)

Składowe ε są stowarzyszone z siłami przekrojowymi

σ = [N Ty Tz Mx My Mz]T , (2.5)


wyrażonymi w formie całek z funkcji naprężeń działających w przekrojupręta, por. [Jastrzębski i in. (1985)1, cz. 1, rozdz. 3.4].Macierz konstytutywna pręta z materiału izotropowego dana jest jako

E =

EA 0 0 0 0 00 kGA 0 0 0 00 0 kGA 0 0 00 0 0 GK0 0 00 0 0 0 EJy 00 0 0 0 0 EJz

. (2.6)

Symbole użyte w opisie składowych E oznaczają: E – moduł Younga, G =E

2(1+ν) – moduł Kirchhoffa, ν – współczynnik Poissona, A – pole przekrojupoprzecznego pręta, K0 – moment oporu przekroju przeciw skręcaniu, Jy, Jz– momenty bezwładności przekroju, k – współczynnik korekcyjny związanyz wpływem sił poprzecznych na ugięcia. Wystarczającą dokładność obliczeńuzyskuje się przyjmując k = 10(1+ν)12+11ν w przypadku przekrojów prostokątnych

oraz k = 6(1+ν)7+6ν w przypadku przekrojów kołowych, por. [Gere, Timoshenko(1984)2, rozdz. 7.12]. Zagadnienie wpływu sił poprzecznych na ugięcia belekjest także omówione w [Jastrzębski i in. (1985)1, cz. 1, rozdz. 8.5, 9.10].Niech

p = [p qy qz mx my mz]T (2.7)

oznacza wektor obciążeń działających w obszarze pręta. Kolejność i sensfizyczny składowych p są zgodne z konwencją przyjętą w definicji u.Uwzględnienie (2.1), (2.2), (2.3) oraz (2.5) w (1.14) prowadzi do równania

równowagi pręta ramy przestrzennej∫ a

−a

[Nu′ + Ty(v′ − ϕz) + Tz(w′ + ϕy) +Mxθ′ +Myϕ′y +Mzϕ′z

]dx =

= qT (Q+Q0), (2.8)

przy czym w powyższym zapisie pominięto symbol „e” oraz przyjęto, żedługość pręta l = 2a. Lokalny układ współrzędnych (x, y, z) ma początek wśrodku rozpiętości pręta, por. rys. 2.4.Zastosowanie wzoru całkowania przez części

∫ a

−af g′ dx =

[f g]a−a−∫ a

−af ′ g dx (2.9)

1 Jastrzębski P., Mutermilch J., Orłowski W.: Wytrzymałość materiałów, Arkady,Warszawa, 1985.

2 Gere J.M., Timoshenko S.P.: Mechanics of Materials (second edition), PWS-KENTPublishing Company, Boston, 1984.


w odniesieniu do lewej strony (2.8) skutkuje przeformułowaniem równaniarównowagi pręta do postaci

∫ a

−a

[N ′u+ T ′y v + T

′zw +Mxθ + (M

′y + Tz)ϕy + (M

′z − Ty)ϕz

]dx =

= qT (QΓ −Q−Q0), (2.10)

przy czym

q =[u1 v1 w1 θ1 ϕy1 ϕz1 u2 v2 w2 θ2 ϕy2 ϕz2

]T (2.11)

oznacza wektor brzegowych wartości przemieszczeń składowych wektora u.Dla uproszczenia zapisu w (2.10) zastosowano oznaczenie

[uT σ

]a−a= qTQΓ, (2.12)

gdzieQΓ określa brzegowe wartości σ. W świetle dotychczasowych rozważańłatwo zauważyć, że na brzeg elementu prętowego składają się dwa jego wę-zły: początkowy, o współrzędnej x1 = −a i końcowy, o współrzędnej x2 = a.Korzystając z (1.20)3, w przypadku elementu dwuwęzłowego można zapi-sać QΓ = K q, ale należy pamiętać, że ten zapis traci sens w przypadkuelementów innych niż dwuwęzłowe.Składowe wektora u opisujące wirtualne przemieszczenia w obszarze prę-

ta mogą przybierać dowolne wartości, wymagana jest jedynie ich zgodność(w odpowiednim sensie) ze składowymi q w węzłach. Warunek statycznejdopuszczalności σ jest spełniony, jeżeli zachodzi

N ′ = 0,

T ′y = 0,

T ′z = 0,

M ′x = 0,

M ′y − Tz = 0,M ′z + Ty = 0,

(2.13)

w obszarze pręta orazQΓ = Q+Q

0 (2.14)

na jego brzegu.


Uwzględniając (1.4), (2.2) oraz (2.3) w formułach (2.13) otrzymuje sięlokalne równania równowagi pręta ramy przestrzennej w postaci przemiesz-czeniowej

u′′ = 0,

v′′ − ϕ′z = 0,w′′ + ϕ′y = 0,

θ′′ = 0,

EJy ϕ′′y − kGA(w′ + ϕy) = 0,

EJz ϕ′′z + kGA(v

′ − ϕz) = 0,

(2.15)

w których niewiadomymi jest 6 funkcji przemieszczeń osi pręta.Z równań (2.15) można wybrać związki opisujące następujące szczególne

zagadnienia równowagi:— (2.15)1 opisuje równowagę pręta kratownicy,— (2.15)2, (2.15)6 – belki zginanej w płaszczyźnie X − Y ,— (2.15)3, (2.15)5 – belki zginanej w płaszczyźnie X − Z,— (2.15)4 – pręta skręcanego,— (2.15)3, (2.15)4 i (2.15)5 – pręta rusztu o węzłach sztywnych obciążonegoprostopadle od płaszczyzny X − Y ,

— (2.15)1, (2.15)3 i (2.15)5 – pręta ramy zginanej w płaszczyźnie X − Z.

2.1.2. Równania prętów smukłych i prętówśredniej grubości

Dotychczasowe rozważania nie były obarczone dodatkowymi założeniamiwiążącymi 6 składowych funkcji przemieszczeń w wektorze u. Taki poziomogólności odpowiada w teorii prętów hipotezie kinematycznej Timoshenki.Odnosi się ona do prętów średniej grubości, tzn. takich, dla których 110 ¬ hl ¬15 , gdzie h oznacza wymiar przekroju poprzecznego w płaszczyźnie zginania,a l jest długością pręta.Klasyczna teoria prętów zginanych opisuje natomiast tzw. pręty smukłe,

czyli takie, dla których hl¬ 110 . W analizie tego typu prętów znajduje zasto-

sowanie hipoteza kinematyczna Bernoulliego, według której odkształceniapostaciowe przekroju są zerowe, a więc

βy = βz = 0, (2.16)


a co za tym idziev′ − ϕz = 0,w′ + ϕy = 0,

(2.17)

por. (2.3). Uwzględnienie związków (2.17) w wektorze ε oraz w równaniukonstytutywnym (1.4) sprawia, że równania określające siły poprzeczne Tyoraz Tz tracą sens, zaś formuły opisujące momenty zginające My, Mz przy-bierają postać

My = EJy κy,

Mz = EJz κz,(2.18)

gdzieκy = −w′′,κz = v′′

(2.19)

określają krzywizny pręta zginanego odpowiednio w płaszczyznach x − zoraz x − y przy założeniu, że ugięcia pręta nie są zbyt duże (ściślej, jeśliw′ ≪ 1, v′ ≪ 1). Warto zauważyć, że związki konstytutywne określające Noraz Mx pozostają bez zmian, a zatem po przyjęciu hipotezy Bernoulliegoprzemieszczenia i odkształcenia pręta opisują wektory

u = [u v w θ]T , (2.20)

orazε =[ε κy κz θ′

]T ; (2.21)

macierz operatorów różniczkowych przybiera postać

D =

d

dx0 0 0

0 0 − d2

dx20

0d2

dx20 0

0 0 0d

dx

; (2.22)

siły wewnętrzne dane są wektorem

σ = [N My Mz Mx]T , (2.23)

zaś macierz konstytutywna jest dana jako

E =

EA 0 0 00 EJy 0 00 0 EJz 00 0 0 GK0

(2.24)


co w konsekwencji implikuje równanie równowagi pręta smukłego

∫ a

−a

(Nu′ +Myκy +Mzκz +Mxθ′

)dx = qT (Q+Q0). (2.25)

Rozumowanie analogiczne do zastosowanego wobec równania (2.8) po-zwala na wyznaczenie lokalnych równań równowagi pręta smukłego. Dwu-krotne zastosowanie wzoru całkowania przez części, a następnie wykorzysta-nie związków (2.13)5, (2.13)6 prowadzi do

∫ a

−a

(N ′u+M ′′z v +M

′′y w +M

′xθ)dx = qT (QΓ −Q−Q0). (2.26)

Wektor q przybiera postać

q = [u1 v1 w1 θ1 − w′1 v′1 u2 v2 w2 θ2 − w′2 v′2]T , (2.27)

przy czym zapis f ′i należy rozumieć jako wartośćdfdxw węźle o numerze i.

Kinematyczne więzy narzucone na odkształcenia pręta smukłego powodują,że składowe wektora q nie są niezależne.Uwzględnienie założenia o statycznej dopuszczalności σ w równaniu rów-

nowagi (2.26) pozwala zapisać lokalne warunki równowagi w teorii prętówsmukłych

N ′ = 0,

M ′′y = 0,

M ′′z = 0,

M ′x = 0.

(2.28)

Po uwzględnieniu (2.18) oraz (2.19) w równaniach (2.28)2, (2.28)3 opi-sujących zginanie pręta otrzymuje się

wIV = 0,

vIV = 0.(2.29)

Reasumując, formuły (2.15)1, (2.15)4 oraz (2.29) są przemieszczeniowymirównaniami równowagi smukłego pręta ramy przestrzennej.


2.2. Elementy skończone w teorii prętówsmukłych

2.2.1. Element ramy przestrzennejNiech

q = [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12]T , (2.30)

określa stopnie swobody dwuwęzłowego elementu skończonego z rys. 2.4.

yx

z

q1q2

q3

q4q5

q6

q7q8

q9

q10q11

q12

a

a

Rysunek 2.4. Element skończony ramy przestrzennej z lokalnym układem współ-rzędnych i stopniami swobody w węzłach

Porównanie składowych wektora q ze składowymi wektora (2.27) pozwa-la zidentyfikować następujące warunki brzegowe funkcji składowych wektorau, por. (2.20):

u : q1 = u1, q7 = u2,

v : q2 = v1, q6 = v′1, q8 = v2, q12 = v′2,

w : q3 = w1, q5 = −w′1, q9 = w2, q11 = −w′2,θ : q4 = θ1, q10 = θ2.

(2.31)

Formuły opisujące przemieszczenia pręta postuluje się w postaci wielo-mianowej:

u(ξ) = A1 +A2ξ, Ai = Ai(q1, q7),

v(ξ) = B1 +B2ξ +B3ξ2 +B4ξ3, Bi = Bi(q2, q6, q8, q12),

w(ξ) = C1 + C2ξ +C3ξ2 + C4ξ3, Ci = Ci(q3, q5, q9, q11),

θ(ξ) = D1 +D2ξ, Di = Di(q4, q10),

(2.32)

2.2. Elementy skończone w teorii prętów smukłych 41

przy czym ξ = xa, ξ ∈ (−1, 1) jest tzw. współrzędną bezwymiarową. Elemen-

tarne rachunki prowadzą do wniosku, że funkcje te spełniają przemieszcze-niowe równania równowagi (2.15)1, (2.15)4 oraz (2.29), w związku z czymrozwiązanie zadania statyki omawianego elementu skończonego poddanegodziałaniu obciążeń na jego brzegu jest ścisłe w ramach przyjętych założeń.Przy sprawdzeniu należy pamiętać, że f ′(x) = d

dxf(x) = 1

addξf(aξ).

Przemieszczenia przekrojów elementu opisuje związek

u = Nq, (2.33)

przy czym wektor u ma postać (2.20), a macierz N elementu skończonegosmukłego pręta ramy przestrzennej jest określona przez

N =

N1 0 0 0 0 0 N4 0 0 0 0 00 N2 0 0 0 N3 0 N5 0 0 0 N60 0 N2 0 −N3 0 0 0 N5 0 −N6 00 0 0 N1 0 0 0 0 0 N4 0 0

,

(2.34)gdzie

N1(ξ) =12(1− ξ),

N4(ξ) =12(1 + ξ),

(2.35)

por. rys. 2.5,

N2(ξ) =12

(1− 32ξ +12ξ3),

N5(ξ) =12

(1 +32ξ − 12ξ3),

(2.36)

por. rys. 2.6 oraz

N3(ξ) =14a(1− ξ − ξ2 + ξ3

),

N6(ξ) = −14a(1 + ξ − ξ2 − ξ3

),

(2.37)

por. rys. 2.7.


1

1

N1( )x

N4( )x

1

1

-1

-1 x

x

x,

x,

Rysunek 2.5. Funkcje kształtu N1 oraz N4 smukłego pręta ramy przestrzennej.Funkcje określają przemieszczenia u oraz θ przekrojów pręta wzdłuż jego osi sto-

warzyszone odpowiednio ze stopniami swobody q1, q7 oraz q4, q10.

z

x1-1

1

N2( )x

z

1N5( )x

1-1 x

x,

x,

Rysunek 2.6. Funkcje kształtu N2 oraz N5 smukłego pręta ramy przestrzennej od-niesione do płaszczyzny x− z. Funkcje określają ugięcia w płaszczyźnie x− z oraz

x− y stowarzyszone odpowiednio ze stopniami swobody q3, q9 oraz q2, q8.


z

x1-1

N3( )x

z

N6( )x

1-1 x

x,

x,

1

1

a

a

Rysunek 2.7. Funkcje kształtu N3 oraz N6 smukłego pręta ramy przestrzennej od-niesione do płaszczyzny x− z. Funkcje określają ugięcia w płaszczyźnie x− z orazx− y stowarzyszone odpowiednio ze stopniami swobody q5, q11 oraz q6, q12.

Związek geometryczny pręta smukłego ramy przestrzennej dany jest for-mułą (1.20)1, przy czym

D =

1a

d

dξ0 0 0

0 0 − 1a2

d2

dξ20

01a2

d2

dξ20 0

0 0 01a

d

dξ

, (2.38)

a więc

B =

−B1 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 00 0 −B2 0 B3 0 0 0 B2 0 B4 00 B2 0 0 0 B3 0 −B2 0 0 0 B40 0 0 −B1 0 0 0 0 0 B1 0 0

,

(2.39)


gdzie

B1(ξ) =12a, B2(ξ) =

32a2

ξ,

B3(ξ) =12a(−1 + 3 ξ), B4(ξ) =

12a(1 + 3 ξ).

(2.40)

Macierz sztywności elementu skończonego smukłego pręta ramy prze-strzennej dana wyrażeniem

K = a∫ 1

−1BTEB dξ (2.41)

por. (1.19) przybiera postać

K =

[k11 k12kT12 k22

], (2.42)

przy czym

k11 =12

EA

a0 0 0 0 0

0 3EJz

a30 0 0 3

EJz

a2

0 0 3EJy

a30 −3 EJy

a20

0 0 0GK0

a0 0

0 0 −3 EJya2

0 4EJy

a0

0 3EJz

a20 0 0 4

EJz

a

, (2.43)

k12 =12

− EAa

0 0 0 0 0

0 −3 EJza3

0 0 0 3EJz

a2

0 0 −3 EJya3

0 −3 EJya2

0

0 0 0 − GK0a

0 0

0 0 3EJy

a20 2

EJy

a0

0 −3 EJza2

0 0 0 2EJz

a

,

(2.44)


k22 =12

EA

a0 0 0 0 0

0 3EJz

a30 0 0 −3 EJz

a2

0 0 3EJy

a30 3

EJy

a20

0 0 0GK0

a0 0

0 0 3EJy

a20 4

EJy

a0

0 −3 EJza2

0 0 0 4EJz

a

. (2.45)

Wektor zastępczych obciążeń węzłowych Q0 wyznacza się ze wzoru

Q0 = a∫ 1

−1N(ξ)Tp dξ, (2.46)

por. (1.16), przy czym, przy założeniu mx = my = mz = 0,

p = [p qy qz 0]T . (2.47)

W ten sposób otrzymuje się

Q0 =[pa qya qza 0 − 1

3qza2 13qya2 . . .

. . . pa qya qza 013qza2 − 1

3qya2]T. (2.48)

Macierz transformacji C stowarzyszona z rozważanym elementem skoń-czonym przybiera postać

C =

c 0 0 0

0 c 0 0

0 0 c 0

0 0 0 c

, (2.49)

gdzie macierz c jest dana wyrażeniem (1.22), zaś 0 oznacza macierz o wy-miarach 3× 3, której wszystkie składowe są równe zeru.Poniżej podane wektory oraz macierze występujące w opisie dwuwę-

złowych elementów skończonych konstrukcji z prętów smukłych określa sięprzez wybranie odpowiednich składowych z wektorów i macierzy opisującychelement skończony smukłego pręta ramy przestrzennej.


2.2.2. Element pręta ściskanego

yx

z

q1

q7

a

a

Rysunek 2.8. Element skończony kratownicy

u = [u], (2.50)

q = [q1 q7]T , (2.51)

N = [N1 N4] , (2.52)

oraz

p = [p], (2.53)

Q0 = [pa pa]T , (2.54)

lecz w przypadku pręta kratownicy przyjmuje się p = 0. Ponadto,

B =[− 12a

12a

], (2.55)

E = [EA], (2.56)

K =12

EA

a−EA

a

−EAa

EA

a

, (2.57)

oraz

C =

[cos(X,x) cos(Y, x) 0 00 0 cos(X,x) cos(Y, x)

]. (2.58)


2.2.3. Element belki

yx

z

q3

q5

q9

q11a

a

Rysunek 2.9. Element belki zginanej w płaszczyźnie X − Z

u = [w], (2.59)

q = [q3 q5 q9 q11]T , (2.60)

N =[N2 −N3 N5 −N6

](2.61)

oraz

p = [qz], (2.62)

Q0 =[qza − 1

3qza2 qza

13qza2]T. (2.63)

Ponadto,

B =14a2[−6ξ −a(2− 6ξ) 6ξ a(2 + 6ξ)

], (2.64)

E = [EJy], (2.65)

oraz

K =12

3EJy

a3−3 EJy

a2−3 EJy

a3−3 EJy

a2

−3 EJya2

4EJy

a3EJy

a22EJy

a

−3 EJya3

3EJy

a23EJy

a33EJy

a2

−3 EJya2

2EJy

a3EJy

a24EJy

a

. (2.66)

Macierz transformacji C jest macierzą jednostkową o wymiarach 4 × 4jeżeli układ lokalny (x, z) jest zgodny z układem globalnym (X,Z).


2.2.4. Element ramy płaskiej

yx

z

q1

q3

q5

q7

q9

q11a

a

Rysunek 2.10. Element ramy płaskiej zginanej w płaszczyźnie X − Z

u = [u w]T , (2.67)

q = [q1 q3 q5 q7 q9 q11]T , (2.68)

N =

[N1 0 0 N4 0 0

0 N2 −N3 0 N5 −N6

], (2.69)

oraz

p = [p qz]T , (2.70)

Q0 =[pa qza − 1

3qza2 pa qza

13qza2]T. (2.71)

Ponadto,

B =14a2

[−2a 0 0 2a 0 0

0 −6ξ −a(2− 6ξ) 0 6ξ a(2 + 6ξ)

], (2.72)

E =

[EA 0

0 EJy

], (2.73)


K =12

EA

a0 0 −EA

a0 0

0 3EJy

a3−3 EJy

a20 −3 EJy

a3−3 EJy

a2

0 −3 EJya2

4EJy

a0 3

EJy

a22EJy

a

−EAa

0 0EA

a0 0

0 −3 EJya3

3EJy

a20 3

EJy

a33EJy

a2

0 −3 EJya2

2EJy

a0 3

EJy

a24EJy

a

(2.74)

oraz

C =

cos(X,x) cos(Z, x) 0 0 0 0cos(X, z) cos(Z, z) 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos(X,x) cos(Z, x) 00 0 0 cos(X, z) cos(Z, z) 00 0 0 0 0 1

. (2.75)

2.2.5. Element rusztu o węzłach sztywnych

yx

z

q3

q4q5

q9

q10q11a

a

Rysunek 2.11. Element rusztu o węzłach sztywnych obciążonego prostopadle dopłaszczyzny X − Y


u = [w θ]T , (2.76)

q = [q3 q4 q5 q9 q10 q11]T , (2.77)

N =

[N2 0 −N3 N5 0 −N60 N1 0 0 N4 0

], (2.78)

oraz

p = [qz 0]T , (2.79)

Q0 =[qza 0 − 1

3qza2 qza 0

13qza2]T. (2.80)

Ponadto,

B =14a2

[−6ξ 0 −a(2− 6ξ) 6ξ 0 a(2 + 6ξ)

0 −2a 0 0 2a 0

], (2.81)

E =

[EJy 0

0 GK0

], (2.82)

K =12

3EJy

a30 −3 EJy

a2−3 EJy

a30 −3 EJy

a2

0GK0

a0 0 −GK0

a0

−3 EJya2

0 4EJy

a3EJy

a20 2

EJy

a

−3 EJya3

0 3EJy

a23EJy

a30 3

EJy

a2

0 −GK0a

0 0GK0

a0

−3 EJya2

0 2EJy

a3EJy

a20 4

EJy

a

,

(2.83)

2.3. Elementy skończone w teorii prętów średniej grubości 51

oraz

C =

1 0 0 0 0 00 cos(X,x) cos(Y, x) 0 0 00 cos(X, y) cos(Y, y) 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 cos(X,x) cos(Y, x)0 0 0 0 cos(X, y) cos(Y, y)

. (2.84)

2.3. Elementy skończone w teorii prętówśredniej grubości

2.3.1. Dwuwęzłowy element belkowyElement skończony belki omówiony w rozdziale 2.2.3 nie może być wy-

korzystany w modelowaniu konstrukcji z prętów średniej grubości, ponieważw tym przypadku funkcje w, ϕy oraz v, ϕz są aproksymowane niezależnie,a więc w ogólności nie są prawdziwe związki (2.17). Składowe wektora

q = [q3 q5 q9 q11]T , (2.85)

określają stopnie swobody dwuwęzłowego elementu skończonego z rys. 2.9.Można je zinterpretować jako warunki brzegowe funkcji w oraz ϕy wedługschematu

w : q3 = w(−1), q9 = w(1),

φy : q5 = ϕy(−1), q11 = ϕy(1).(2.86)

Wielomianowe formuły opisujące przemieszczenia w obszarze elementumają zatem postać

w(ξ) = A1 +A2ξ, Ai = Ai(q3, q9),

ϕy(ξ) = B1 +B2ξ, Bi = Bi(q5, q11).(2.87)

Dalsze rachunki pokazują, że funkcje kształtu są określone wzorami (2.35),por. rys. 2.5. Funkcje te opisują przemieszczenia pręta jedynie w sposóbprzybliżony, ponieważ nie rozwiązują przemieszczeniowych równań równo-wagi pręta średniej grubości (2.15).Macierz funkcji kształtu omawianego elementu skończonego przybiera

postać

N =

[N1 0 N2 00 N1 0 N2

]. (2.88)


W obliczeniach składowych wektora odkształceń elementu korzysta się zoperatorów różniczkowych zapisanych w macierzy

D =

d

a dξ1

0d

a dξ

(2.89)

właściwej dla teorii prętów średniej grubości, otrzymując w ten sposób

B =12a

[−1 a(1− ξ) 1 a(1 + ξ)0 −1 0 1

]. (2.90)

Macierz konstytutywna dana jest jako

E =EJ

αa2

[1 00 αa2

], (2.91)

gdzie

α =EJ

kGAa2, (2.92)

przy czym J = Jy.Macierz sztywności wyznaczona ze wzoru (2.41) przybiera zatem postać

K =EJ

6αa3

3 −3a −3 −3a−3a (4 + 3α)a2 3a (2− 3α)a2−3 3a 3 3a−3a (2− 3α)a2 3a (4 + 3α)a2

. (2.93)

Przyjęcie wektora obciążeń w obszarze elementu w postaci

p = [qz 0]T , (2.94)

i skorzystanie ze wzoru (2.46) prowadzi do

Q0 = [qza 0 qza 0]T . (2.95)

Macierz transformacji C omawianego elementu jest macierzą jednostko-wą o wymiarach 4× 4 przy założeniu zgodności układów (x, z) oraz (X,Z).

2.3. Elementy skończone w teorii prętów średniej grubości 53

2.3.2. Trójwęzłowy element belkowy

yx

z

q1

q3

q2

q4

q5

q6a

a

Rysunek 2.12. Trójwęzłowy element belki średniej grubości w płaszczyźnie X − Z

z

x1-1

1

N1( )x

z

z

1

1

N3( )x

N2( )x

1

1

-1

-1

x

x

x,

x,

x,

Rysunek 2.13. Funkcje kształtu trójwęzłowego elementu średniej grubości


Macierz funkcji kształtu elementu trójwęzłowego w teorii zginania prętaśredniej grubości przybiera postać

N =

[N1 0 N2 0 N3 0

0 N1 0 N2 0 N3

], (2.96)

gdzie, por. rys. 2.13,

N1(ξ) = −12ξ(1− ξ),

N2(ξ) = 1− ξ2,

N3(ξ) =12ξ(1 + ξ).

(2.97)

Macierz B przybiera postać

B =12a

[ −(1− 2ξ) −aξ(1− ξ) −4ξ . . .

0 −(1− 2ξ) 0 . . .

. . . 2a(1 − ξ2) 1 + 2ξ aξ(1 + ξ)

. . . −4ξ 0 1 + 2ξ

]. (2.98)

Obliczenia analogiczne do omówionych w rozdziale 2.3.1 prowadzą dowyznaczenia macierzy sztywności

K =EJ

30α a3

k11 k12 k13

kT12 k22 k23

kT13 kT23 k33

, (2.99)

gdzie

k11 =

[35 −15a−15a (8 + 35α)a2

], k12 =

[ −40 −20a20a (4− 10α)a2

],

k13 =

[5 5a

−5a −(2− 5α)a2

], k22 =

[80 0

0 16(2 + 5α)a2

],

k23 = k12, k33 =

[35 15a

15a (8 + 35α)a2

].

(2.100)

2.4. Całkowanie numeryczne 55

Wektor zastępczych obciążeń węzłowych przybiera postać

Q0 =13[qza 0 4 qza 0 qza 0]

T . (2.101)

Macierz transformacji C omawianego elementu jest macierzą jednostko-wą o wymiarach 6× 6.

2.4. Całkowanie numeryczne

Użyteczną techniką służącą obliczeniu składowych macierzy sztywnościoraz wektora zastępczych sił węzłowych jest tzw. całkowanie numeryczne.Dzięki zastosowaniu tej techniki, komercyjne programy komputerowe MESautomatycznie wyznaczają składowe Ke oraz Q0e, e = 1, . . . , ne w trakcieanalizy elementu skończonego, co pozwala na znaczną redukcję ilości da-nych, jakie użytkownik systemu MES musi zapewnić w celu prawidłowegoprzeprowadzenia obliczeń. Całkowanie numeryczne można zastosować w od-niesieniu do funkcji podcałkowej jednej lub wielu zmiennych. Przyjmuje sięprzy tym, że każda ze zmiennych jest zawarta w przedziale (−1, 1).Formuła Gaussa-Legendre’a pozwala obliczyć całkę funkcji jednej zmien-

nej według wzoru ∫ 1

−1f(ξ) dξ ≈

ni∑

i=1

wif(ξi) (2.102)

gdzie ni jest liczbą punktów całkowania (tzw. punktów Gaussa), wi i f(ξi)oznaczają wagę oraz wartośc funkcji podcałkowej w i-tym punkcie całkowa-nia. Współrzędne punktów całkowania oraz wartości wag dla ni = 1, 2, 3 sąpodane w tabeli 2.1.Przyjmując, że na pewnym etapie obliczeń numerycznych konieczne jest

wyznaczenie całki F =∫f , procedurę całkowania numerycznego można za-

tem zapisać w postaci algorytmu składającego się z następujących kroków:

1. przyjęcie liczby punktów całkowania ni, ich współrzędnych ξi oraz współ-czynników wagowych wi,

2. obliczenie f(ξi), tj. wartości funkcji podcałkowej w punktach całkowania,3. obliczenie

∑i wif(ξi).

Przykładowo, wyznaczając składowe macierzy sztywności elementu skończo-nego, wzór (1.19) zastępuje się wyrażeniem

Ke ≈ni∑

i=1

wiBTe (ξi)EeBe(ξi) (2.103)


Tabela 2.1. Współrzędne punktów całkowania i wagi przy całkowaniu numerycz-nym funkcji jednej zmiennej

ni ξi wi

1 ξ1 = 0 w1 = 2

2 ξ1 = −1√3

w1 = 1

ξ2 =1√3

w2 = 1

3 ξ1 = −√155

w1 =59

ξ2 = 0 w2 =89

ξ3 =

√155

w3 =59

Istotną własnością punktów całkowania jest to, że obliczone w nich war-tości odkształceń i sił wewnętrznych są obarczone najmniejszym błędem.

2.5. Pytania i zadania kontrolne

Zadania

2.1Wyznacz wektor zastępczych obciążeń węzłowych Q0 elementu skończo-nego belki smukłej przy obciążeniu liniowym jak na rys. 2.14.

a

x, x

za

1 2

p0

p( )x

Rysunek 2.14. Obciążenie przęsłowe p(ξ) elementu belkowego w zad. 2.1

2.2 Zapisz funkcje ugięcia elementów dwuwęzłowych belki smukłej wB(ξ) iśredniej grubości wT (ξ). Wyznacz wartość ugięcia w środku rozpiętościelementów zakładając, że: a) w2 = 1, b) ϕy2 = 1a , por. rys. 2.15.


x, x

z

j =0

2

1j =1/a

2

a

x, x

a

1

x, x

z

j =0

2

1

w =0

w =0

1

1

j =02

w =1

w =1

2

2

a

x, x

a

1a)

b)

Rysunek 2.15. Przemieszczenia elementu w zad. 2.2: a) w2 = 1, b) ϕ2 = 1a .

2.3 Wyznacz reakcje więzów w belce smukłej stowarzyszone z przemieszcze-niem w1 = 1 przyjmując model jednoelementowy o węzłach jak na rys.2.16.

w =11

2

l= a2

1

X

Z

r R2 2, r R4 4,

r R1 1, r R3 3,

Rysunek 2.16. Przemieszczenie podpory w1 = 1 w belce smukłej w zadaniu 2.3.

2.4 Oblicz składowe macierzy sztywności dwuwęzłowego elementu w teoriibelek smukłych korzystając z techniki całkowania numerycznegoprzyjmując ni = 2. Wynik porównaj z (2.66).

2.5 Oblicz składowe macierzy sztywności dwuwęzłowego elementu w teoriibelek średniej grubości korzystając z techniki całkowania numerycznegoprzyjmując: a) ni = 1, b) ni = 2. Wyniki porównaj z (2.93).

2.6 Oblicz składowe macierzy sztywności trójwęzłowego elementu w teoriibelek średniej grubości korzystając z techniki całkowania numerycznegoprzyjmując: a) ni = 2, b) ni = 3. Wyniki porównaj z (2.99).


Odpowiedzi

2.1 Obciążenie dane jest funkcją

p(ξ) =12(1 + ξ)p0,

więc wektor obciążeń zastępczych przybiera postać

Q0 =p0a2

30

[9 −4 21 6

]T.

2.2 a) element belki smukłej:

wB(ξ) =12(1 +32ξ − 12ξ3),

element belki średniej grubości:

wT (ξ) =12(1 + ξ).

W punkcie ξ = 0 obie funkcje przybierają jednakową wartośćwB(0) = wT (0) = 0, 5.

b) element belki smukłej:

wB(ξ) =14(1 + ξ − ξ2 − ξ3), wB(0) = 0, 25,

element belki średniej grubości:

wT (ξ) = 0, wT (0) = 0.

2.3

R1 =3EJl3

, R2 = 0, R3 = −3EJl3

, R4 = −3EJl2

.

2.4 Całkowanie numeryczne i analityczne prowadzi do wyniku (2.66).


2.5 a) ni = 1:

Knum =EJ

2αa3

1 −a −1 −a−a a2(1 + α) a a2(1− α)−1 a 1 a

−a a2(1− α) a a2(1 + α)

,

b) przyjmując ni = 2 otrzymuje się macierz identyczną z (2.93).

2.6 a) ni = 2:

Knum =EJ

18αa3

21 −9a −24 . . .

−9a a2(4 + 21α) 12a . . .

−24 12a 48 . . .

−12a 4a2(1− 6α) 0 . . .

3 −3a −24 . . .

3a a2(−2 + 3α) −12a . . .

. . . −12a 3 3a

. . . 4a2(1− 6α) −3a a2(−2 + 3α)

. . . 0 −24 −12a

. . . 16a2(1 + 3α) 12a 4a2(1− 6α)

. . . 12a 21 9a

. . . 4a2(1− 6α) 9a a2(4 + 21α)

,

b) przyjmując ni = 3 otrzymuje się macierz identyczną z (2.99).

Rozdział 3

Przykłady

3.1. Konstrukcje z prętów smukłych

3.1.1. Kratownica płaskaOblicz przemieszczenia węzłów oraz odkształcenia i naprężenia w prę-

tach kratownicy z rys. 3.1 przyjmując następujące dane: długość l = 10m,promień przekroju poprzecznego prętów r = 10 cm, moduł Younga E =200GPa, P = 105 kN.

Rysunek 3.1. Kratownica 11-prętowa.

3.1. Konstrukcje z prętów smukłych 61

Rysunek 3.2. Numeracja węzłów i elementów skończonych.

Tabela 3.1. Dane określające elementy skończone kratownicy z rys. 3.2

nr nr węzła nr węzła wsp. węzła wsp. węzła dług.elem. początk. końc. początk. końc. elem.1 1 2 (0, 0) (l, 0) l

2 1 4 (0, 0) (0, l) l

3 1 5 (0, 0) (l, l) l√2

4 2 3 (l, 0) (2l, 0) l

5 2 5 (l, 0) (l, l) l

6 2 6 (l, 0) (2l, l) l√2

7 3 6 (2l, 0) (2l, l) l

8 4 2 (0, l) (l, 0) l√2

9 4 5 (0, l) (l, l) l

10 5 3 (l, l) (2l, 0) l√2

11 5 6 (l, l) (2l, l) l

Numeracja węzłów i elementów kratownicy jest pokazana na rys. 3.2.Pozostałe dane syntetycznie zestawiono w tabeli 3.1. W dalszych oblicze-niach przyjęto zasadę, że oś lokalna jest skierowana od węzła o mniejszymnumerze w kierunku węzła o numerze większym.Składowe globalnego wektora przemieszczeń r zdefiniowano na rys. 3.3.

Więzy zewnętrzne odbierają możliwość przemieszczenia węzłów nr 1 i 6 wkierunku osi X i Y , co oznacza że r1 = r2 = r11 = r12 = 0. Co za tym

62 3. Przykłady

idzie, reakcje więzów R1, R2, R11 oraz R12 przybierają w ogólności wartościniezerowe.Obciążenie w węźle nr 5 ma zwrot przeciwny do globalnej osi współ-

rzędnych Y , a więc R04 = −P . Pozostałe składowe wektora R0 są równezeru.

Rysunek 3.3. Składowe globalnego wektora przemieszczeń kratownicy.

Agregacja macierzy sztywności konstrukcji wymaga określenia macierzytransformacji i alokacji wszystkich elementów skończonych. Przykładowo,macierze transformacji C1, . . . ,C3 przybierają postać

C1 =

[1 0 0 00 0 1 0

], C2 =

[0 1 0 00 0 0 1

],

C3 =

√22

[1 1 0 00 0 1 1

],

(3.1)

Większość składowych macierzy alokacji jest równa zeru. Poniżej podanesą indeksy składowych przybierających wartość 1 w macierzach A1, . . . ,A3

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),

A2 : (1, 1), (2, 2), (3, 7), (4, 8),

A3 : (1, 1), (2, 2), (3, 9), (4, 10).

(3.2)

Wyznaczenie pozostałych macierzy transformacji i alokacji oraz globalnejmacierzy sztywności K pozostawiono Czytelnikowi.


Po uwzględnieniu warunków brzegowych zadania i rozwiązaniu równaniarównowagi otrzymuje się wektor przemieszczeń węzłów o składowych

r = [0 0 0, 043 − 0, 20 0, 073 − 0, 029 . . .

. . . 0, 086 − 0, 041 0, 045 − 0, 14 0 0]T mm. (3.3)Położenie węzłów i prętów kratownicy odkształconej przedstawia rys. 3.4.

Rysunek 3.4. Położenie węzłów i prętów kratownicy odkształconej

Odkształcenia i naprężenia w prętach kratownicy opisują wektory

ε = [0, 43 − 0, 41 − 0, 47 0, 29 0, 62 0, 78 . . .

. . . 0, 29 0, 58 − 0, 41 − 0, 41 − 0, 45]T 10−5, (3.4)

σ = [0, 87 − 0, 82 − 0, 93 0, 58 1, 24 1, 57 . . .

. . . 0, 58 1, 17 − 0, 82 − 0, 82 − 0, 90]T MPa. (3.5)

3.1.2. Słup o zmiennym przekrojuNaszkicuj wykres siły podłużnej w słupie o liniowo zmiennym polu prze-

kroju poprzecznego. Słup jest obciążony osiowo siłą skupioną P oraz cięża-rem własnym γ, por. rys. 3.5. W obliczeniach przyjmij hB = 2hA, l = 10hAoraz A(X) = h(X)b, gdzie b jest wielkością stałą oraz

h(X) = hA +hB − hA

lX.

64 3. Przykłady

Rysunek 3.5. Słup o zmiennym przekroju ściskany siłą P i ciężarem własnym γ.

Rysunek 3.6. a) model uproszczony słupa, b) model dyskretny.

Ścisłe modelowanie słupa wymagałoby wprowadzenia elementu skończo-nego o zmiennym przekroju. Wystarczająco dobre przybliżenie wynikówmożna jednak uzyskać wykorzystując element skończony pręta ściskanego,omówiony w rozdz. 2.2.2. Proporcje wymiarów przekroju poprzecznego dodługości elementu nie mają znaczenia w modelowaniu prętów ściskanych.W zadaniu zastosowano siatkę podziału na cztery elementy skończone o


następujących szerokościach przekroju

h1 = 0, 5 [h(0) + h(0, 25l)] = 1, 125hA,

h2 = 0, 5 [h(0, 25l) + h(0, 5l)] = 1, 375hA,

h3 = 0, 5 [h(0, 5l) + h(0, 75l)] = 1, 625hA,

h4 = 0, 5 [h(0, 75l) + h(l)] = 1, 875hA.

(3.6)

Każdy z elementów skończonych ma długość równą le = l4 . Numerację

elementów i węzłów przedstawiono na rys. 3.6. Niewiadomymi w zadaniu sąprzemieszczenia r1, . . . , r5, por. rys. 3.6b).Macierze transformacji wszystkich elementów skończonych są macierza-

mi jednostkowymi o wymiarach 2 × 2, zaś macierze alokacji przybierająpostać

A1 =

[1 0 0 0 00 1 0 0 0

], A2 =

[0 1 0 0 00 0 1 0 0

],

A3 =

[0 0 1 0 00 0 0 1 0

], A4 =

[0 0 0 1 00 0 0 0 1

].

(3.7)

W wyniku agregacji macierzy sztywności Ke, e = 1, . . . , 4 otrzymuje się

K =

4EA1

l−4EA1

l0 0 0

−4EA1l4E(A1 +A2)

l−4EA2

l0 0

0 −4EA2l

4E(A2 +A3)

l−4EA3

l0

0 0 −4EA3l

4E(A3 +A4)

l−4EA4

l

0 0 0 −4EA4l

4EA4

l

(3.8)

Globalna macierz sztywności K jest w tym zadaniu pasmowa. Wynika toz tego, że elementy skończone w modelu są połączone szeregowo. Wartorównież zauważyć, że wyrazy Kii, i = 1, . . . , 5 są sumami wyrazów leżących

66 3. Przykłady

na głównych przekątnych macierzy sztywności elementów sąsiadujących zesobą. Sprawdzenie tego faktu pozostawiono Czytelnikowi.Obciążenie słupa siłą skupioną należy uwzględnić w wektorze R0 jako

R01 = P . Obciążenie węzłowe od ciężaru własnego γ wyznacza się oddzielniedla każdego elementu ze wzoru (1.16), przy czym obciążenie pe = [γAe],e = 1, . . . , 4. Dla elementu o numerze e otrzymuje się wektor

Q0e =

[0, 125

0, 125

]γAel. (3.9)

Składowe wektorów zastępczych obciążeń węzłowych alokuje się w od-powiednich wyrazach wektora R0 według zależności (1.23)1. Wektor całko-witych obciążeń węzłowych przybiera postać

R0 = 0, 125 [γA1l + 8P γ(A1 +A2)l . . .

. . . γ(A2 +A3)l γ(A3 +A4)l γA4l]T . (3.10)

Słup jest utwierdzony w punkcie B, a zatem warunek brzegowy zapisujesię jako r5 = 0. Co za tym idzie, wektor reakcji więzówRma jedną niezerowąskładową R5 6= 0.Warunki brzegowe zadania uwzględnia się zastępując piątą kolumnę i pią-

ty wiersz macierzy sztywności K składowymi zerowymi, a następnie przyj-mując K5,5 = 1 oraz R05 = 0. Rozwiązaniem układu równań równowagi jestwektor

r =1Eb

[41γbh2A + 6, 9P 37, 9γbh2A + 4, 7P . . .

. . . 29, 6γbh2A + 2, 9P 16, 9γbh2A + 1, 3P 0]T. (3.11)

Wektor reakcji więzów wyznaczony z zależności (1.24) ma reprezentację

R =[0 0 0 0 −(15γbh2A + P )

]T. (3.12)

Rozwiązanie określają wzory, por. [Jastrzębski i in. (1985)1, str. 159],

Nγ(x) =

[hAx+

(hB − hA)x22l

]bγ, NP (x) = P. (3.13)

1 patrz str. 35


Siły węzłowe wyznacza się korzystając ze wzoru (1.20)3 otrzymując wten sposób

Q1 =

[P

−2, 81γbh2A − P

],

Q2 =

[2, 81γbh2A + P

−6, 25γbh2A − P

],

Q3 =

[6, 25γbh2A + P

−10, 31γbh2A − P

],

Q4 =

[10, 31γbh2A + P

−15γbh2A − P

].

(3.14)

Rysunek 3.7 przedstawia wykresy sił podłużnych od obu obciążeń otrzy-mane ze wzoru (1.20)2. Skoki w wartościach sił uzyskanych za pomocą MESujawnione na wykresie 3.7a) są kompensowane obciążeniem zastępczym Qe,e = 1, . . . , 4, wyznaczonym na podstawie (3.9). Lepsze odwzorowanie funkcjiNγ(x) można uzyskać zagęszczając siatkę podziału konstrukcji na elementyskończone. Funkcja NP (x) jest przedstawiona w sposób ścisły.

Rysunek 3.7. a) wykresy siły podłużnej ciężaru własnego γ (linią ciągłą oznaczonowykres NMES, zaś linią przerywaną wykres ścisły), b) wykres siły podłużnej od siły

P (w tym przypadku wykres NMES pokrywa się z wykresem ścisłym).

3.1.3. Belka – 1Narysuj wykres momentów zginających belkę smukłą przyjmując podział

na dwa elementy skończone jak na rys. 3.8a).

68 3. Przykłady

q

l l

a)

b)

1 2

Z

X

r R2 2, r R4 4, r R6 6,

r R1 1, r R3 3, r R5 5,

Rysunek 3.8. Belka dwuprzęsłowa obciążona równomiernie na jednym przęśle; a)podział belki na dwa elementy skończone, b) składowe wektora przemieszczeń r

oraz wektora reakcji R.

Macierz sztywności elementu skończonego belki smukłej podano w rozdz.2.2.3. Przybiera ona postać

Ke =12

3EJe

a3−3 EJe

a2−3 EJe

a3−3 EJe

a2

−3 EJea2

4EJe

a3EJe

a22EJe

a

−3 EJea3

3EJe

a23EJe

a33EJe

a2

−3 EJea2

2EJe

a3EJe

a24EJe

a

, (3.15)

przy czym Je oznacza moment bezwładności przekroju belki obliczony wzglę-dem lokalnej osi y, zaś a jest połową długości elementu skończonego.Wektory zastępczych obciążeń węzłowych są dane wyrażeniami

Q01 = [0 0 0 0]T ,

Q02 =[qa − 1

3qa2 qa

13qa2]T,

(3.16)

przy czym warto przypomnieć, że składowe Q02 są znanymi z Metody Prze-mieszczeń formułami na przywęzłowe momenty i siły wyjściowe w belce obu-stronnie utwierdzonej obciążonej w sposób równomierny.Osie obu układów lokalnych mają kierunki i zwroty zgodne z osiami

układu globalnego konstrukcji, w związku z czym nie zostały zaznaczone narysunku. Element skończony przyjęty do rozważań jest elementem dwuwę-


złowym. Macierze transformacjiC1 orazC2 są w tym przypadku macierzamijednostkowymi

C1 = C2 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (3.17)

Globalny wektor stopni swobody belki przybiera postać

r = [r1 r2 r3 r4 r5 r6]T . (3.18)

Macierze alokacji dane są jako

A1 =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

,

A2 =

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

,

(3.19)

co oznacza że wektory lokalnych stopni swobody wyznaczone według wzoru(1.26) przybierają postać

q1 = C1A1r = [r1 r2 r3 r4]T ,

q2 = C2A2r = [r3 r4 r5 r6]T .

(3.20)

Składowe globalnej macierzy sztywności i globalnego wektora zastęp-czych obciążeń węzłowych oblicza się według formuł (1.23). Przy założeniuEJ1 = EJ2 = EJ otrzymuje się

K =

32EJ

a3−32EJ

a2−32EJ

a3−32EJ

a20 0

2EJ

a

32EJ

a2EJ

a0 0

3EJ

a30 −3

2EJ

a3−32EJ

a2

s 4EJ

a

32EJ

a2EJ

a

y32EJ

a332EJ

a2

m 2EJ

a

, (3.21)

70 3. Przykłady

R0 =[0 0 qa − 1

3qa2 qa

13qa2]T. (3.22)

Oprócz zastępczych sił pochodzących od obciążenia, w węzłach działająreakcje więzów zewnętrznych dane wektorem

R = [R1 R2 R3 0 R5 0]T . (3.23)

Niewiadomymi w rozpatrywanym zagadnieniu są 4 składowe wektoraR oraz 6 składowych wektora r. Liczba niewiadomych ulega redukcji pouwzględnieniu warunków brzegowych

r1 = r2 = r3 = r5 = 0. (3.24)

Równanie (1.24) ma jednoznaczne rozwiązanie ze względu na niewiadomer4, r6 oraz R1, R2, R3, R5, zaś równoważne równanie (1.25) otrzymuje się pouwzględnieniu warunków brzegowych zadania w postaci (3.24). Prowadzi todo formalnej z matematycznego punktu widzenia modyfikacji macierzy Koraz wektora R0 do postaci

K =

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0

s 4EJ

a0

EJ

a

y 1 0

m 2EJ

a

, (3.25)

R0 =[0 0 0 − 1

3qa2 0

13qa2]T, (3.26)

czyli na wpisaniu zer w wierszach i kolumnach macierzy K oraz w miejscewyrazów wektora R0 odpowiadających zablokowanym stopniom swobody,a następnie na zastąpieniu zer na 1, 2, 3 i 5 miejscu głównej przekątnej Kskładowymi o wartości 1.Rozwiązaniem równania równowagi w postaci (1.25) belki jest wektor

r = K−1R0 =

[0 0 0 − 0, 018 ql

3

EJ0 0, 03

ql3

EJ

]T, (3.27)


przy czym w rozwiązaniu uwzględniono a = 12 l.Przemieszczenia węzłów elementów skończonych określają wzory (3.20),

siły węzłowe w elementach oblicza się następująco

K1 q1 −Q01 =[0, 107ql − 0, 036ql2 − 0, 036ql − 0, 071ql2

]T,

K2 q2 −Q02 =[−0, 571ql 0, 071ql2 − 0, 429ql 0

]T,

(3.28)

zaś wektor reakcji więzów zewnętrznych wyznacza się ze wzoru

R = K r−R0 =[0, 107ql − 0, 036ql2 − 0, 679ql 0 − 0, 429ql 0

]T. (3.29)

Korzystając ze wzoru (1.20)2 wyznacza się funkcję sił wewnętrznych wobszarze elementu skończonego. Wykres momentów zginającychMMES przy-biera postać pokazaną na rys. 3.9, ale łatwo zauważyć, że w obszarze ele-mentu 2 jest to wykres błędny, ponieważ nie uwzględnia działąjącego w tymelemencie obciążenia. Związana z tym nieciągłość wykresu momentówMMESw środkowym punkcie podparcia oraz różny od zera moment zginającego wpodporze przegubowej są kompensowane zastępczym obciążeniem Q02.

0,036

0,071

0,012

0,0830,048

ql2[ [ Mmax =0,092

0,492 l

M

Rysunek 3.9. Wykresy momentów zginających belkę z rys. 3.8. Linią ciągłą ozna-czono wykres MMES, zaś linią przerywaną wykres ścisły, na którym dodatkowo

zaznaczono wartość maksymalną Mmax.

Niech 0, 1, 2 oznaczają kolejno: punkt środkowy o współrzędnej ξ0 = 0oraz punkty o współrzędnych ξ1 = −

√33 i ξ2 =

√33 w elemencie skończonym

nr 2. Wartość momentu zginającego MMES(ξ0) = 0, 048ql2 jest wyznaczonajedynie w sposób przybliżony i znacznie odbiega od wartości ścisłej. Podobneobliczenia w dwu pozostałych punktach prowadzą natomiast do wyniku bar-dzo bliskiego ścisłemu, tj. MMES(ξ1) = 0, 027ql2 oraz MMES(ξ2) = 0, 068ql2.Ten fakt tłumaczy się następująco: na podstawie rozwiązania zadania 2.4 wi-dać, że w przypadku elementu belki smukłej macierzK otrzymana w wynikucałkowania analitycznego jest identyczna z macierzą otrzymaną na drodzecałkowania numerycznego z dwoma punktami Gaussa o współrzędnych ξ1 i

72 3. Przykłady

ξ2, por. tabela 2.1. Ponadto, jak zauważono w rozdz. 2.4, obliczenia składo-wych wektora odkształceń i naprężeń w punktach całkowania są obarczonenajmniejszym błędem.

3.1.4. Belka – 2Narysuj wykres momentów zginających belkę smukłą. W obliczeniach

przyjmij podział belki na trzy elementy skończone, jak na rys. 3.10a).

q

l 0.5l 0.5l

a)

1 32

Z

X

b)r R2 2, r R4 4, r R8 8,r R6 6,

r R1 1, r R3 3, r R7 7,r R5 5,

Rysunek 3.10. Belka dwuprzęsłowa; a) podział belki na trzy elementy skończone,b) składowe wektora przemieszczeń r oraz wektora reakcji R.

Model obliczeniowy belki otrzymano wstawiając dodatkowy węzeł wśrodku rozpiętości obciążonego przęsła, a zatem globalny wektor stopni swo-body przybiera postać

r = [r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8]T . (3.30)

Macierze transformacji C1 = C2 = C3 i w tym przypadku są danewzorem (3.17). Poniżej podane są indeksy niezerowych składowych macierzyalokacji

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),

A2 : (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6),

A3 : (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8),

(3.31)

co oznacza że wektory lokalnych stopni swobody wyznaczone według wzoru(1.26) przybierają postać

q1 = [r1 r2 r3 r4]T ,

q2 = [r3 r4 r5 r6]T ,

q3 = [r5 r6 r7 r8]T .

(3.32)


Macierze sztywności elementów skończonych K1, K2, K3 wyznacza siękorzystając z (3.15), przyjmując l1 = l, l2 = l3 = 12 l. Wyznaczenie składo-wych macierzy K pozostawiono Czytelnikowi.Wektory R0 oraz R przybierają postać

R0 =[0 0

14ql − 1

48ql2

12ql 0

14ql148ql2]T,

R = [R1 R2 R3 0 0 0 R7 0]T ,

(3.33)

przy czym R0 jest rozumianą w sensie wzoru (1.23)1 sumą trzech wektorów

Q01 = [0 0 0 0]T ,

Q02 = Q03 =[14ql − 1

48ql2

14ql148ql2]T.

(3.34)

Warunki brzegowe są dane wzorem (3.24). Po ich uwzględnieniu otrzy-muje się zmodyfikowane postaci globalnej macierzy sztywności K i wektoraobciążeń węzłowych R0, których nie przytacza się w tym przykładzie zachę-cając Czytelnika do samodzielnego ich określenia. Rozwiązaniem równaniarównowagi jest wektor

r =

[0 0 0 − 0, 018 ql

3

EJ0, 009

ql4

EJ− 0, 003 ql

3

EJ0 0, 03

ql3

EJ

]T, (3.35)

siły węzłowe w elementach dane są wektorami

Q1 =[0, 107ql − 0, 036ql2 − 0, 107ql − 0, 071ql2

]T,

Q2 =[−0, 571ql 0, 071ql2 0, 071ql 0, 089ql2

]T,

Q3 =[−0, 071ql − 0, 089ql2 − 0, 429ql 0

]T,

(3.36)

a wykres MMES przybiera postać pokazaną na rys. 3.11.

0,036

0,071

0,05

0,0210,11

ql2[ [ Mmax =0,092

0,492 l

M

Rysunek 3.11. Wykresy momentów zginających belkę z rys. 3.10. Linią ciągłą ozna-czono wykres MMES, zaś linią przerywaną wykres ścisły, na którym dodatkowo

zaznaczono wartość maksymalną Mmax.

74 3. Przykłady

Dokładniejsza analiza obu rozwiązań MES i rozwiązania analitycznegopokazuje, że istotne cechy wykresu momentów zginających belkę uwydatnia-ją się wraz z zagęszczeniem siatki węzłów w obszarze działania obciążenia.Widać jednak, że prawidłowe obliczenie sił wewnętrznych w całym obszarzekonstrukcji nie jest w ogólności możliwe. Jest to efektem zastąpienia rze-czywistego obciążenia belki siłami i momentami skupionymi działającymiw punktach węzłowych siatki modelu skończenieelementowego. Dlatego teżobliczenia sił wewnętrznych ogranicza się do wybranych punktów wewnątrzelementu skończonego (tzw. punktów całkowania), w których są one obar-czone najmniejszym błędem.Omówiony powyżej, dość prosty przykład zastosowania MES dobrze ilu-

struje przybliżony charakter rozwiązań zadań formułowanych w ujęciu skoń-czenieelementowym i wskazuje na konieczność zagęszczania siatki podziałuna elementy skończone w niektórych obszarach konstrukcji. Wskazanie tychobszarów przed przystąpieniem do obliczeń często wymaga od użytkownikasystemu MES gruntownej wiedzy teoretycznej z zakresu analizowanego za-gadnienia, jednak warto zauważyć, że nowoczesne pakiety obliczeniowe ofe-rują mechanizmy adaptacyjne służące do automatycznego dobierania siatkiMES. Tego typu automatyzacja stanowi osobny, bardzo istotny fragmentobecnych badań nad rozwojem Metody Elementów Skończonych i nie będzieomawiana w ramach tej pracy. Czytelnik zainteresowany tematyką adaptacjisiatek MES powinien więc sięgnąć do obszerniejszych opracowań.

3.1.5. Łuk parabolicznyDany jest łuk paraboliczny smukły i małowyniosły o wymiarach: wynio-

słość f = l, rozpiętość L = 8l, obciążony siłą P skupioną, jak na rys. 3.12.Wyznacz przemieszczenie poziome i kąt obrotu przekroju w punkcie B przyj-mując podział łuku na 2, 4 oraz 8 elementów skończonych. W obliczeniachprzyjmij, że l2EA = 20EJ .

Rysunek 3.12. Łuk paraboliczny obciążony siłą skupioną w środku rozpiętości.


Do obliczeń wykorzystano dwuwęzłowe elementy skończone pręta smu-kłego ramy płaskiej omówione w rozdz. 2.2.4. Wyniki uzyskane za pomocąMES zawsze będą przybliżone bez względu na liczbę elementów w modelu,ponieważ konstrukcja o osi zakrzywionej jest modelowana prętami o osi pro-stoliniowej. Można jednak przyjąć taką siatkę podziału, by uzyskać dość do-kładne wartości przemieszczeń. Zadanie rozwiązano stosując siatki podziałuna n = 2, 4, 8 elementów skończonych, patrz rys. 3.13.

Rysunek 3.13. Modele dyskretne łuku z rys. 3.12 przy podziale na a) n = 2,b) n = 4, c) n = 8 elementów skończonych.

W przyjętym globalnym układzie współrzędnych (X,Z) równanie osiłuku dane jest wzorem

Z(X) = −4fL2X(L−X) = − X

16l(8l −X) . (3.37)

Współrzędne punktów węzłowych w modelach na rys. 3.13 wyznacza siękorzystając ze wzoru (3.37). Przykładowo, położenie węzłów z rys. 3.13b)na płaszczyźnie (X,Z) pokazano w tabeli 3.2

76 3. Przykłady

Tabela 3.2. Współrzędne węzłów modelu łuku z rys. 3.13b).

numer węzła współrzędna X współrzędna Z1 0 02 2l −0, 75l3 4l −l4 6l −0, 75l5 8l 0

Macierze transformacji dane są wzorem (2.75). Składowe Ce elementu onumerze e można określić na podstawie współrzędnych jego węzłów. Niech(Xi, Zi) oraz (Xk, Zk) oznaczają kolejno współrzędne węzła początkowego ikońcowego elementu o numerze e wyznaczone w układzie globalnym. Kosi-nusy kierunkowe układu lokalnego (xe, ze) oblicza się według formuł

cos(X,xe) = cos(Z, ze) =Xk −Xi√

(Xk −Xi)2 + (Zk − Zi)2,

cos(Z, xe) = − cos(X, ze) =Zk − Zi√

(Xk −Xi)2 + (Zk − Zi)2.

(3.38)

Przykładowo, dla elementów modelu na rys. 3.13b) otrzymuje się

e = 1 : cos(X,x1) = 0, 936 , cos(Z, x1) = 0, 351 ,

e = 2 : cos(X,x2) = 0, 992 , cos(Z, x2) = 0, 124 ,

e = 3 : cos(X,x3) = 0, 992 , cos(Z, x3) = −0, 124 ,e = 4 : cos(X,x4) = 0, 936 , cos(Z, x4) = −0, 351 .

(3.39)

Przyjęta numeracja węzłów powoduje, że macierze alokacji Ae, e =1, . . . , 4 mają dość prostą konstrukcję. Niech ui symbolizuje przesunięciewęzła i względem osi X, wi – przesunięcie węzła i względem osi Z, ϕi – ob-rót przekroju w węźle i względem osi Y prostopadłej do płaszczyzny łuku.Co za tym idzie, składowe globalnego wektora przemieszczeń r są określoneza pomocą stopni swobody i-tego węzła według schematu

r3i−2 = ui, r3i−1 = wi, r3i = ϕi. (3.40)

Element rozpięty między węzłami k oraz k + 1, gdzie k = 1, . . . , 4, cha-rakteryzuje się 6 stopniami swobody. Odpowiadają one składowym r3k−2,r3k−1, r3k, r3k+1, r3k+2 oraz r3k+3 wektora r. Uwzględniając i ∈ 1, 2, . . . , 5w (3.40) łatwo zauważyć, że dim r = 15, a więc macierz alokacji dowolnego


elementu jest wymiaru 6 × 15. Jej składowe przybierające wartość 1 mająindeksy (1, 3k − 2), (2, 3k − 1), (3, 3k), (4, 3k + 1), (5, 3k + 2), (6, 3k + 3).Przykładowo, element 3 łączy węzły 3 i 4 (k = 3). Indeksy niezerowychskładowych macierzy A3 to: (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10), (5, 11) oraz (6, 12).W tabeli 3.3 zebrano wartości przemieszczeń punktu B oznaczone sym-

bolami un i ϕn przy podziale łuku na n elementów skończonych. Błędy obli-czeń, określone jako ǫu =

∣∣1− unu

∣∣, ǫϕ =∣∣∣1− ϕnϕ

∣∣∣, porównano z wartościami

ścisłymi przemieszczeń u = 6, 718P l3

EJ, ϕ = 4, 083P l

2

EJ. Wielkości te nietrudno

wyznaczyć korzystając ze wzoru Maxwella-Mohra.

Tabela 3.3. Porównanie wartości przemieszczeń (γ = EJPl3).

n unγ ǫu[%] ϕnγ l ǫϕ[%]2 5,449 18,9 4,123 1,04 6,395 4,8 4,091 0,28 6,637 1,2 4,084 0,01

Można zauważyć, że bardzo dobrą dokładność obliczenia ǫu, nieznacznieprzekraczającą 1%, uzyskano dopiero przy najgęstszej siatce podziału na 8elementów skończonych. Wartość kąta ψ nie odbiega natomiast znacznie odwartości ścisłej i już przy podziale na dwa elementy skończone uzyskanobłąd ǫϕ nieprzekraczający 1%.Wykonanie szczegółowych obliczeń pozostawiono Czytelnikowi.

3.1.6. Rama płaskaNaszkicuj wykresy sił normalnych oraz momentów zginających w ramie

pokazanej na rys. 3.14. Wartości momentów zginających w przekrojach owspółrzędnych ξ0 = 0, ξ1 = −

√33 , ξ2 =

√33 porównaj z otrzymanymi Metodą

Sił. W obliczeniach przyjmij następujące dane: A = 91 cm2, J = 8090 cm4,l = 5m, E = 200 GPa, ν = 0.3 oraz obciążenie q = 10 kN/m.Przyjęto model obliczeniowy trójelementowy, w którym każdy pręt jest

dwuwęzłowym elementem skończonym ramy płaskiej (patrz rozdz. 2.2.4).Siatka podziału na elementy skończone jest przedstawiona na rys. 3.15. Każ-dy z 4 węzłów konstrukcji ma 3 stopnie swobody, a więc liczba składowychwektora niewiadomych przemieszczeń węzłowych r wynosi 12. Długości ele-mentów wynoszą

l1 =√2l, l2 = l3 = l. (3.41)

78 3. Przykłady

Rysunek 3.14. Rama płaska z obciążeniem ciągłym.

Rysunek 3.15. a) siatka skończenieelementowa, lokalne układy współrzędnych;b) przemieszczenia węzłowe.


Konstrukcja leży w płaszczyźnie X − Z globalnego układu współrzędnych.Każdy z elementów skończonych jest inaczej zorientowany w stosunku doosi układu. Macierze transformacji elementów mają postać

Ce =

[ce 00 ce

], (3.42)

gdzie ce jest macierzą kosinusów kierunkowych e-tego elementu skończonego,przy czym

ce =

[cos(X,xe) cos(Z, xe)cos(X, ze) cos(Z, ze)

](3.43)

są określone jako

c1 =

[0, 707 −0, 7070, 707 0, 707

], c2 =

[1 00 1

], c3 =

[0 1−1 0

]. (3.44)

Macierze alokacji elementów skończonych składają się z dużej liczby wy-razów zerowych. Jedynie 6 składowych każdej z macierzy Ae, e = 1, 2, 3przybiera wartość 1. Można je zidentifikować w następujący sposób:

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),

A2 : (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8), (6, 9),

A3 : (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10), (5, 11), (6, 12).

(3.45)

Macierze sztywności elementów skończonych oblicza się ze wzoru (2.74)podstawiając odpowiednie wartości a = le2 . Globalna macierz sztywności Kma wymiary 12× 12. Jej wyznaczenie pozostawiono Czytelnikowi.Obciążenie q = const . w obszarze elementu 2 ma kierunek i zwrot zgodny

z lokalną osią współrzędnych z2. Wektor zastępczych obciążeń węzłowychQ02elementu 2 wyznacza się na podstawie wzoru (2.71), zaś wektor obciążeńwęzłowych w układzie globalnym otrzymuje się po transformacji i alokacjiskładowych wektora Q02

Q02 = [25 kN − 20, 83 kNm 25kN 20, 83 kNm]T (3.46)

jako R0 = AT2CT2Q02.

Rozważana rama jest podparta przegubowo, co oznacza, że na przemiesz-czenia węzłów 1 i 4 narzucono więzy r1 = r2 = r10 = r11 = 0. Uwzględnie-nie tych zależności w równaniu równowagi pozwala obliczyć pozostałe prze-mieszczenia węzłowe. Rozwiązaniem układu równań równowagi jest wektor

r = [0 0 − 0, 4 rad 1, 3 cm 1, 3 cm − 0, 01 rad . . .

. . . 1, 3 cm 0, 01 cm 0, 2 rad 0 0 − 0, 5 rad]T . (3.47)

80 3. Przykłady

Rysunek 3.16. Siły wewnętrzne w ramie z rys. 3.14 obliczone za pomocą MES.

Wartości reakcji więzów zewnętrznych wynoszą

R1 = 9, 03 kN R2 = −12, 5 kN,R10 = −9, 03 kN R11 = −37, 5 kN.

(3.48)

Wykresy sił podłużnych i momentów zginających uzyskane za pomocąMES pokazano na rys. 3.16. Skok wartości M w węzłach konstrukcji jestkompensowany zastępczymi momentami skupionymi zapisanymi w wektorzeQ02. Funkcje opisujące moment zginający w poszczególnych prętach ramywyznacza się ze wzoru (1.20)2. Przybierają one postać

M1(ξ) = 8, 67(1 + ξ), M2(ξ) = 6, 92 − 31, 2ξ, M3(ξ) = −22, 6(1 − ξ),(3.49)

a ich wartości są wyrażone w kNm. Wyznaczenie wartości M w punktachokreślonych w poleceniu oraz porówanie i analizę wyników uzyskanych zapomocą MES i Metody Sił pozostawiono Czytelnikowi.


Sprawdzenie równowagi globalnej konstrukcji daje wyniki

ΣFX = 0 : R1 +R10 = 0,

ΣFZ = 0 : ql +R2 +R11 = 0,

ΣMY = 0 : 1, 5ql +R1l +R10l +R112l = 0,

(3.50)

przy czym Y oznacza oś globalnego układu współrzędnych prostopadłą dopłaszczyzny ramy.

3.1.7. Rama płaska z prętami kratowymiOblicz moment w utwierdzeniu A oraz przemieszczenie poziome punktu

B w ramie z prętami kratowymi jak na rys. 3.17. W obliczeniach przyj-mij, że sztywność EAs prętów kratowych spełnia zależność l2EAs = 10EJ .Otrzymane wyniki porównaj z rozwiązaniem uzyskanym Metodą Sił przyzałożeniu EJ

EAl2→ 0 w prętach zginanych.

Rysunek 3.17. Rama płaska z prętami kratowymi.

Model skończenieelementowy konstrukcji pokazany jest na rys. 3.18. Łą-czy on elementy skończone ramy płaskiej (e = 1, 2, 3) oraz kratownicy(e = 4, 5). Pręty ramy płaskiej (zginane) mają 6 stopni swobody, natomiastpręty kratownicy (ściskane/rozciągane) – 2 stopnie swobody. W przyjętejdyskretyzacji każdy pręt jest dwuwęzłowym elementem skończonym.Wektor globalnych stopni swobody r składa się z 18 składowych, które

pokazano na rys. 3.19. Węzły 4, 5, 6 łączą elementy ramowe oraz krato-we. Rotacyjne stopnie swobody w tych węzłach są więc przypisane tylko

82 3. Przykłady

do elementów 1, 2, 3, nie uwzględnia się ich w aproksymacji przemieszczeńelementów 4 i 5. Globalne stopnie swobody (składowe wektora r) przypo-rządkowane do każdego elementu skończonego zapisano w tabeli 3.4.

Rysunek 3.18. Model skończenieelementowy ramy z rys. 3.17.

Rysunek 3.19. Interpretacja fizyczna składowych globalnego wektora przemieszczeńr ramy z rys. 3.17.


Tabela 3.4. Przyporządkowanie globalnych stopni swobody do węzłów poszczegól-nych elementów skończonych.

nr globalne stopnie swobody globalne stopnie swobodyelementu w węźle początkowym w węźle końcowym1 r1, r2, r3 r10, r11, r122 r4, r5, r6 r13, r14, r153 r7, r8, r9 r16, r17, r184 r10, r11 r13, r145 r13, r14 r16, r17

Macierze Ce mają następujące wymiary:— 6× 6, jeżeli e = 1, 2, 3 (elementy ramowe),— 2× 4, jeżeli e = 4, 5 (elementy kratowe).Wymiary macierzy alokacji Ae to odpowiednio 6× 18 oraz 4× 18. Macierzesztywności elementów skończonych są dane wzorami (2.74) oraz (2.57). Wy-znaczenie jawnej postaciKe, e = 1, . . . , 5 oraz globalnej macierzy sztywnościK pozostawiono Czytelnikowi. Zapis macierzy K1, K2, K3 będzie bardziejprzejrzysty po wprowadzeniu bezwymiarowego parametru β = EJ

EAa2.

Konstrukcja jest poddana działaniu obciążenia przęsłowego q, prostopa-dłego do elementu nr 1. Wektor zastępczych obciążeń węzłowych Q01 obliczasię zgodnie ze wzorem (2.71), a następnie transformuje do globalnego układuwspółrzędnych i alokuje w wektorze R0.Na podstawie warunków brzegowych

r1 = . . . = r9 = 0 (3.51)

można stwierdzić, że niezerowymi składowymi wektora R są odpowiadającetym stopniom swobody reakcje R1, . . . , R9.Poszukiwane poziome przemieszczenie punktu B odpowiada składowej

r16 wektora r rozwiązującego równanie równowagi (1.25). Jej wartość wynosi

r16 =7, 93

1 + 1, 32βql4

EJ. (3.52)

Moment w utwierdzeniu A odpowiada składowej R6 wektora reakcji Rwyznaczanego na podstawie (1.24) i wynosi

R6 =0, 6641 + 1, 32β

ql2. (3.53)

Przyjęcie β = 0 prowadzi do wyników możliwych do uzyskania metodamiklasycznymi Mechaniki Konstrukcji, np. Metodą Sił.

84 3. Przykłady

3.1.8. Ruszt o węzłach sztywnychWyznacz przemieszczenia węzłów i funkcję ugięcia pręta nr 1 w ruszcie

o węzłach sztywnych z prętów smukłych obciążonym siłą P , patrz rys. 3.20oraz 3.21. Sprawdź równowagę węzła 3. W obliczeniach przyjmij Jy = K0 =J , G = E.

Rysunek 3.20. Ruszt o węzłach sztywnych obciążony siłą skupioną.

Rysunek 3.21. Model dyskretny rusztu o węzłach sztywnych.

Model obliczeniowy konstrukcji składa się z 8 węzłów i 8 elementów skoń-czonych. Do rozwiązania zadania wybrano dwuwęzłowe elementy skończone


pręta smukłego omówione w rozdz. 2.2.5. Na rys. 3.21 pokazano numeracjęelementów i węzłów, globalny układ współrzędnych (X,Y,Z) oraz dwa przy-kładowe układy lokalne (x1, y1, z1), (x7, y7, z7). Ruszt leży w płaszczyźnieX − Y a obciążenie siłą P jest do tej płaszczyzny prostopadłe.Macierze transformacji elementów nr 1 i 7 przybierają postać

C1 =

1 0 0 0 0 00 0, 966 −0, 259 0 0 00 0, 259 0, 966 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0, 966 −0, 2590 0 0 0 0, 259 0, 966

,

C7 =

1 0 0 0 0 00 0, 5 0, 866 0 0 00 −0, 866 0, 5 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0, 5 0, 8660 0 0 0 −0, 866 0, 5

.

(3.54)

Macierze alokacji wszystkich elementów skończonych mają wymiary 6×24. Budowa macierzy Ae jest szczegółowo omówiona w innych przykładach,poniżej podano jedynie indeksy wyrazów przybierających wartość 1 w ma-cierzach alokacji elementów nr 1, 7

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 7), (5, 8), (6, 9),A7 : (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10), (5, 11), (6, 12).

(3.55)

Macierz sztywności elementu skończonego rusztu o węzłach sztywnychzapisano wzorem (2.83). Charakterystyki geometryczne przekrojów prętówrusztu oraz ich cechy fizyczne są stałe w całej konstrukcji, co oznacza żemacierze sztywności elementów zależą jedynie od długości prętów. Obliczeniemacierzy Ke oraz K pozostawiono Czytelnikowi.Symboliczny zapis więzów narzuconych na przemieszczenia węzłów rusz-

tur1 = . . . = r6 = r19 = . . . = r24 = 0 (3.56)

wskazuje jednocześnie składowe wektora reakcji R o wartościach różnych odzera. Siła skupiona P w węźle 4 o kierunku osi Z i zwrocie przeciwnym do tejosi określa składową R010 = −P wektora obciążeń węzłowych R0. Pozostałeskładowe tego wektora są równe 0.

86 3. Przykłady

Rozwiązaniem układu równań równowagi rusztu jest wektor

r = [0 0 0 0 0 0 . . .

. . . − 0, 08 l − 0, 125 0, 155 − 0, 320 l − 0, 160 0, 236 . . .

. . . − 0, 064 l − 0, 133 0, 066 − 0, 201 l − 0, 212 0, 04 . . .

. . . 0 0 0 0 0 0]TPl2

EJ. (3.57)

Funkcję ugięcia pręta nr 1 wyznacza się z wykorzystaniem wzoru aprok-symacyjnego u1 = Nq1, przy czym macierz funkcji kształtu N jest zgodnaz (2.78), a wektor przemieszczeń węzłowych elementu nr 1, obliczony jakoq1 = C1A1r jest dany w postaci

q1 = [0 0 0 − 0, 08 l − 0, 161 0, 117]TPl2

EJ. (3.58)

Funkcja w(ξ), pokazana na rys. 3.22, przybiera postać

w(ξ) = (0, 035ξ3 + 0, 015ξ2 − 0, 075ξ − 0, 055)Pl3

EJ. (3.59)

Rysunek 3.22. Funkcja ugięcia elementu nr 1.

Sprawdzenie równowagi sił w węźle 3, wymaga uprzedniego określenia siłwewnętrznych w prętach 1, 3 i 7. Wyznacza się je zgodnie z formułą (1.20)3.Siły Qe, e = 1, 3, 7, mają kierunki zgodne z lokalnymi układami współ-rzędnych, dlatego należy je transformować do układu globalnego. Równaniarównowagi węzła przybierają postać macierzową

CT1Q1,2 +CT3Q3,1 +C

T7Q7,1 = 0. (3.60)

Sprawdzenie równań równowagi węzła pozostawiono Czytelnikowi.


3.1.9. Rama przestrzennaDana jest przestrzenna, statycznie wyznaczalna rama wspornikowa z prę-

tów smukłych obciążona siłami skupionymi P i Q jak na rys. 3.23. Narysujwykresy funkcji przemieszczeń pręta 3. Wyznacz siły wewnętrzne w prętachkonstrukcji i narysuj odpowiednie wykresy. W obliczeniach przyjmij P =10kN, Q = 20kN, l = 5m Jy = Jz = K0 = 8090 cm4, G = E = 200GPa.

Rysunek 3.23. Rama przestrzenna z prętów smukłych.

Rysunek 3.24. Skończenieelementowy model ramy przestrzennej z zaznaczonymiukładami współrzędnych.

88 3. Przykłady

Rysunek 3.25. Fizyczna interpretacja składowych wektora r.

Konstrukcję podzielono na trzy dwuwęzłowe elementy skończone, zob.rys. 3.24. Fizyczną interpretację globalnego wektora przemieszczeń r przed-stawia rys. 3.25. Wymiar zadania określa liczba globalnych stopni swobody.W każdym z czterech węzłów siatki jest 6 stopni swobody, a zatem wektorr ma 24 składowe.Macierze alokacji Ae wszystkich elementów skończonych mają wymiary

12× 24, przy czym lokalne stopnie swobody elementu 1 odpowiadają prze-mieszczeniom globalnym r1, . . . , r12, elementu 2: r7, . . . , r18, a elementu 3:r13, . . . , r24. Zapisanie tych macierzy pozostawiono Czytelnikowi.Macierze transformacji Ce elementów skończonych określa się za pomocą

wzoru (2.49). Macierze kosinusów kierunkowych poszczególnych elementówprzybierają postać

c1 =

0 −0, 707 −0, 7071 0 00 −0, 707 0, 707

, c2 =

1 0 00 1 00 0 1

,

c3 =

0 1 0−1 0 00 0 1

.

(3.61)

Wykorzystanie wyżej zapisanych macierzy pozwala wyznaczyć globalną ma-cierz sztywności K.


Niezerowe składowe wektora obciążeń węzłowych R0 to R01 = −Q orazR03 = P . Różne od zera składowe wektora reakcji R, czyli R19, . . . , R24, sąstowarzyszone z warunkami brzegowymi r19 = . . . = r24 = 0.Rozwiązaniem równania równowagi ramy jest wektor

r = [−0, 545 cm − 0, 307 cm 0, 011 rad 0, 034 cm − 0, 06 cm . . .

. . . 0, 068 rad 0, 026 cm − 0, 155 cm − 0, 142 rad 0, 023 cm . . .

. . . − 0, 039 cm 0, 046 rad 0, 026 cm 0 − 0, 013 rad . . .

. . . 0, 008 cm − 0, 015 cm 0, 015 rad 0 0 0 0 0 0]T . (3.62)

Wektor przemieszczeń węzłów pręta nr 3 przybiera zatem postać

q3 = [0 − 0, 026 cm − 0, 013 rad − 0, 015 cm − 0, 008 cm 0, 015 rad . . .

. . . 0 0 0 0 0 0]T . (3.63)

Rysunek 3.26. Wykresy funkcji składowych wektora przemieszczeń u3: a) funkcjaugięcia w płaszczyźnie (x3, y3), b) funkcja ugięcia w płaszczyźnie (x3, z3), c) funkcja

kąta skręcenia pręta.

Co za tym idzie, niezerowe składowe wektora u3 są określone formułami

v(ξ) = 0, 003 (ξ3 − 3ξ2 + 3ξ − 1),w(ξ) = 0, 002 (ξ3 − 3ξ2 + 3ξ − 1),θ(ξ) = 0, 008 (1 − ξ).

(3.64)

90 3. Przykłady

Rysunek 3.27. Wykresy sił wewnętrznych w ramie przestrzennej z rys. 3.23.

Wykresy funkcji przemieszczeń przedstawia rys. 3.26, zaś wykresy siłwewnętrznych są pokazane na rys. 3.27.Niezerowe reakcje więzów zewnętrznych wynoszą

R19 = Q, R21 = −P, R23 = (Q− P )l. (3.65)

3.2. Konstrukcje z prętów średniej grubości 91

3.2. Konstrukcje z prętów średniejgrubości

3.2.1. Belka – 1Wyznacz wartości ugięcia oraz momentów zginających i sił poprzecznych

w wybranych przekrojach belki z rys. 3.28. Obliczenia wykonaj zakładającpodział konstrukcji na 3 elementy trójwęzłowe w teorii belek średniej grubo-ści, korzystając z techniki całkowania numerycznego i przyjmując następu-jące dane: l = 30m, q = 100 kN/m, współczynnik Poissona materiału belki– ν = 0, 5, moduł Younga – E = 12GPa. Przekrój belki jest prostokątem owymiarach h = 300 cm, b = 100 cm.

q

0.5l0.5l0.5l 0.5l0.5l0.5l

1 32

X

Rysunek 3.28. Schemat statyczny trójprzęsłowej belki średniej grubości.

Podział konstrukcji na 3 elementy trójwęzłowe ustala liczbę składowychglobalnego wektora przemieszczeń r równą 14. Fizyczną interpretację skła-dowych r pokazano na rys. 3.29.Lokalne układy współrzędnych są zorientowane zgodnie z układem glo-

balnym, a więc macierze transformacji Ce, e = 1, 2, 3 są macierzami jednost-kowymi o wymiarach 6×6. Dzięki przyjętej na rys. 3.29 numeracji globalnychstopni swobody, składowe macierzy alokacji przybierających wartość 1 sąindeksowane według następującego schematu:

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),

A2 : (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (5, 9), (6, 10),

A3 : (1, 9), (2, 10), (3, 11), (4, 12), (5, 13), (6, 14).

(3.66)

Przyjmując liczbę punktów całkowania równą 2 w każdym elemencieskończonym otrzymuje się macierze sztywności elementów K1 = K2 =K3 wpostaci znanej z rozwiązania zadania 2.6a). Zgodnie ze wzorami przytoczo-nymi w rozdz. 2.1.1, dla przekroju prostokątnego o podanych wymiarach i

92 3. Przykłady

założonej wartości współczynnika Poissona można przyjąć, że α = 0, 012.Dalsze obliczenia prowadzące do wyznaczenia macierzy K pozostawionoCzytelnikowi.

r10r2 r6 r14r12r4 r8

r9r1 r5 r13r11r3 r7

Rysunek 3.29. Interpretacja fizyczna składowych wektora r belki z rys. 3.28.

Wektor sumarycznych obciążeń węzłowych określa się za pomocą wzoru(1.23)1, przy czym R00 = 0, Q01 = Q

02 = 0, a Q

03 jest dane przez (2.101).

Po uwzględnieniu warunków brzegowych r1 = r5 = r9 = r13 = 0 otrzy-muje się równanie równowagi w postaci (1.25), którego rozwiązaniem jestglobalny wektor przemieszczeń r. Wartości ugięcia belki w środkach rozpię-tości przęseł wynoszą:

r3 = 3mm, r7 = −9, 3mm, r11 = 20mm. (3.67)

Wartości momentów zginających i sił poprzecznych w poszczególnychelementach, obliczone w punktach całkowania o współrzędnych ξ1 = −

√33 ,

ξ2 =√33 wynoszą

element 1: M(ξ1) = 305 kNm, T (ξ1) = 48 kN,

M(ξ2) = 1137 kNm, T (ξ2) = 48 kN,

element 2: M(ξ1) = −115 kNm, T (ξ1) = −245 kN,M(ξ2) = −4368 kNm, T (ξ2) = −245 kN,

element 3: M(ξ1) = 2826 kNm, T (ξ1) = 1063 kN,

M(ξ2) = 6247 kNm, T (ξ2) = −668 kN.

(3.68)

Moment na podporze między elementami 1 i 2 jest równyM1−2 = 1442 kNm,natomiast na podporze między elementami 2 i 3 – M2−3 = −5926 kNm.Wartości sił wewnętrznych uzyskano wykorzystując wzory (1.20)1,2.


3.2.2. Belka – 2Wyznacz wartości momentów zginających w utwierdzeniach i w środ-

ku rozpiętości belki z rys. 3.30 oraz naszkicuj funkcję ugięcia. Obliczeniawykonaj zakładając podział konstrukcji na elementy dwu- i trójwęzłowe wteorii belek średniej grubości. Skorzystaj z techniki całkowania numeryczne-go przyjmując dane z zadania 3.2.1.

q

0.5ll l l0.5l

1 3 42

X

Rysunek 3.30. Schemat statyczny 4-przęsłowej belki średniej grubości.

Konstrukcję podzielono na 4 elementy skończone, przyjmując że pręty1, 2, 4 są dwuwęzłowe, a pręt 3 – trójwęzłowy. Fizyczną interpretację skła-dowych r pokazano na rys. 3.31. Liczba składowych globalnego wektoraprzemieszczeń r wynosi 12.Lokalne układy współrzędnych są zorientowane zgodnie z układem glo-

balnym, a więc macierze transformacji są macierzami jednostkowymi, przyczym Ce, e = 1, 2, 4 mają wymiary 4×4, zaś macierz C3 – 6×6. Dzięki przy-jętej na rys. 3.31 numeracji globalnych stopni swobody, składowe macierzyalokacji przybierających wartość 1 są indeksowane według schematu:

A1 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),

A2 : (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6),

A3 : (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (5, 9), (6, 10),

A4 : (1, 9), (2, 10), (3, 11), (4, 12).

(3.69)

Przyjmując 1 punkt całkowania w elementach 1,2, oraz 4 otrzymuje sięmacierze sztywności elementów K1 = K2 = K4 w postaci znanej z rozwiąza-nia zadania 2.5a). Przyjęcie 2 punktów całkowania w elemencie 3 prowadzido macierzy K3 podanej w rozwiązaniu zadania 2.6a). Podobnie jak w zada-niu 3.2.1 przyjmuje się α = 0, 012. Wyznaczenie macierzy K pozostawionoCzytelnikowi.

94 3. Przykłady

r10r2 r8 r12r4 r6

r9r1 r7 r11r3 r5

Rysunek 3.31. Interpretacja fizyczna składowych wektora r belki z rys. 3.30.

Wektor sumarycznych obciążeń węzłowych określa się za pomocą wzoru(1.23)1, przy czym R00 = 0, Q01 = Q

02 = Q

04 = 0, a Q

04 jest dane przez

(2.101).Po uwzględnieniu warunków brzegowych r1 = r2 = r11 = r12 = 0 otrzy-

muje się równanie równowagi w postaci (1.25), którego rozwiązaniem jestglobalny wektor przemieszczeń r. Zgodnie z przyjętą dyskretyzacją, funkcjaugięcia belki ma postać pokazaną na rys. 3.32. Analizując wykres w(X)należy pamiętać o tym, że w teorii prętów średniej grubości funkcje ką-ta obrotu przekroju ϕy oraz ugięcia w są niezależne, a więc w ogólnościϕy(X) 6= dwdX (X). Spełnienie warunku brzegowego utwierdzenia wymaga ze-rowania się wartości obu funkcji przy X = 0 oraz X = 4l. Sporządzenierysunku funkcji kąta obrotu przekroju pozostawiono Czytelnikowi.

28,5 65,4 34,960,9

w [cm]

l 2l 3l 4l X0

Rysunek 3.32. Funkcja ugięcia belki z rys. 3.30.

Wartość momentów zginających w skrajnej lewej podporze wynosi M =−2532 kNm, w środku rozpiętości belki: M = 26250 kNm, zaś w skrajnejprawej podporze: M = −51186 kNm.

3.2.3. Łuk parabolicznyPowtórz obliczenia z zadania 3.1.5 przyjmując skończenieelementowy

model łuku składający się z 4 dwuwęzłowych elementów średniej grubości.


Rozważania dotyczące elementów średniej grubości w rozdz. 2.3 ograni-czono do przypadku zginania. Założenia odnoszące się do odkształceń po-staciowych pręta nie mają wpływu na opis deformacji podłużnej, a zatemrozszerzenie zastosowania prętów średniej grubości na przypadek jednocze-snego zginania i ściskania/rozciągania nie jest kłopotliwe.Macierz sztywności elementu skończonego przybiera postać

Ke =EJe

(ae)3

10(ae

l

)20 0 −10

(ae

l

)20 0

012α

− ae2α

0 − 12α

− ae2α

0 − ae2α

(ae)2(1 + α)2α

0ae

2α(ae)2(1− α)2α

−10(ae

l

)20 0 10

(ae

l

)20 0

0 − 12α

ae

2α0

12α

ae

2α

0 − ae2α

(ae)2(1− α)2α

0ae

2α(ae)2(1 + α)2α

,

(3.70)przy czym do wyznaczenia Ke wykorzystano technikę całkowania numerycz-nego przyjmując 1 punkt całkowania w środku elementu, patrz Tabela 2.1.Na wyrażenie podcałkowe BTEB składają się:— macierz konstytutywna

E =

20EJ

l20 0

0EJ

αa20

0 0 EJ

(3.71)

uwzględniająca zapisaną w poleceniu przykładu 3.1.5 zależność sztywno-ści na odkształcenia podłużne EA od sztywności zgięciowej EJ oraz

96 3. Przykłady

— macierz pochodnych funkcji kształtu

B =12a

−1 0 0 1 0 0

0 −1 a(1− ξ) 0 1 a(1 + ξ)

0 0 −1 0 0 1

. (3.72)

Zapis wektorów u, q oraz macierzy N, D dwuwęzłowego elementu śred-niej grubości ramy płaskiej pracującej w płaszczyźnie X − Z pozostawionoCzytelnikowi. Sposób wyznaczenia macierzy transformacji i alokacji omó-wiono w przykładzie 3.1.5.Przyjmując dane: l = 10m, P = 100 kN, współczynnik Poissona materia-

łu belki – ν = 0, 5, moduł Younga – E = 12GPa oraz prostokątny przekrójłuku o wymiarach h = 200 cm, b = 50 cm otrzymuje się następujące wyniki:— w teorii prętów średniej grubości (α = 0, 047)

u = 15, 2 cm, ǫu = 9, 5%,

ϕ = 0, 01 rad, ǫϕ < 1%,(3.73)

— w teorii prętów smukłych (por. Tabela 2.1)

u = 16 cm, ǫu = 4, 8%,

ϕ = 0, 01 rad, ǫϕ < 1%.(3.74)

Rozdział 4

Zadania do samodzielnegorozwiązania

4.1 Wyznacz przemieszczenie pionowe przegubu (węzeł nr 1) w belce smu-kłej o zmiennej sztywności jak na rys. 4.1.

Rysunek 4.1. Belka przegubowa o zmiennej sztywności.

4.2 Wyznacz przemieszczenie węzła nr 14 kratownicy płaskiej od obciążeniaP . W obliczeniach przyjmij EA = const .

Rysunek 4.2. Kratownica płaska.

98 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania

4.3 Dana jest konstrukcja ramowo-kratowa pokazana na rys. 4.3. Narysujwykres momentów zginających oraz wyznacz wartość siły podłużnej wpręcie kratowym. Porównaj wyniki z klasycznym rozwiązaniem otrzyma-nym Metodą Sił i uzasadnij różnicę w wartościach sił wewnętrznych. Wobliczeniach przyjmij: P = 10kN, l = 0, 3m, E = 12GPa oraz przekrojepoprzeczne: kwadratowy b = h = 20 cm dla prętów zginanych i kołowyo promieniu r = 1cm dla prętów kratowych.

Rysunek 4.3. Konstrukcja ramowo-kratowa.

4.4 Sprawdź równowagę węzła nr 1 w ramie z prętów smukłych. Dane: q =5kN, A = 91 cm2, J = 8090 cm4, l = 0, 25m, E = 200GPa.

Rysunek 4.4. Rama płaska.

99

4.5 Narysuj funkcję ugięcia pręta 1 − 2 pod obciążeniem ciągłym i równo-miernym w ruszcie z rys. 4.5. W celu uproszczenia obliczeń przyjmij:Jy = K0 = J , G = E.

Rysunek 4.5. Ruszt o węzłach sztywnych.

4.6 Wyznacz przemieszczenia węzłów ramy przestrzennej. W obliczeniachprzyjmiij, że q = 0, 1 kN, A = 18, 8 cm2, K0 = 174 cm4, Jy = Jz =0, 5K0, l = 0, 5m, E = 200GPa, ν = 0, 3.

Rysunek 4.6. Rama przestrzenna.


4.7 Narysuj wykresy sił podłużnych i momentów zginających w smukłejkonstrukcji łukowej o stałej sztywności EJ . W obliczeniach przyjmijpodział każdego łuku na 4 elementy skończone oraz A = 34 cm2, J =864 cm4, l = 1m, P = 10kN, E = 200GPa.

Rysunek 4.7. Konstrukcja łukowa.

4.8 Dana jest belka średniej grubości o przekroju prostokątnym, obciążonasiłą P . Wyznacz wartości sił wewnętrznych w punktach całkowania. Wobliczeniach przyjmij podział na dwa elementy skończone trójwęzłowez całkowaniem w dwóch punktach Gaussa oraz P = 5kN, b = 0, 1m,h = 0, 3m, l = 1m, E = 12GPa, ν = 0, 3.

Rysunek 4.8. Belka średniej grubości obciążona siłą skupioną.

4.9Wyznacz wykres ugięcia w i kąta obrotu przekroju ϕy w belce średniejgrubości z rys. 4.9. W obliczeniach przyjmij równomierny podział na trzyelementy dwuwęzłowe z jednym punktem całkowania oraz q = 10kNm,b = 10 cm, h = 30 cm, l = 1m, E = 12GPa, ν = 0, 3.

Rysunek 4.9. Belka średniej grubości obciążona równomiernie.

101

4.10 Naszkicuj funkcje ugięcia prętów ramy i wyznacz wartość momentu wutwierdzeniu. W obliczeniach przyjmij podział konstrukcji na dwuwęzło-we elementy skończone średniej grubości o przekroju kołowym z jednympunktem całkowania oraz q = 20kN, l = 3m, d = 60 cm, E = 205GPa,ν = 0, 3.

Rysunek 4.10. Rama z prętów średniej grubości.

Odpowiedzi

4.1 Przyjmij podział belki na co najmniej dwa elementy skończone o różnychsztywnościach EJe. Ustalając składowe wektora r pamiętaj o niezależ-ności kątów obrotu przekrojów z obu stron węzła 1, por. rys. 4.11.Przemieszczenie pionowe przegubu wynosi w1 = − 148M0l

2

EJ.

Rysunek 4.11. Podział na elementy skończone i składowe wektora r.

4.2 Macierze transformacji i alokacji elementów kratownicy można usyste-matyzować odpowiednio numerując węzły i przyjmując, że lokalne osiexe są zwrócone od węzłów o niższym numerze do węzłów o numerze wyż-szym, patrz przykład 1.3.2 na str. 21. W konsekwencji można wyróżnićcztery grupy elementów o jednakowych macierzach Ce i Ae. Reprezen-tantami tych grup są elementy o numerach: 1, 13, 20 i 26, por. rys.4.12.Przemieszczenia węzła 14 wynoszą odpowiednio: u14 = 18 P lEA (składowapozioma), v14 = −152 P lEA (składowa pionowa).


Rysunek 4.12. Numeracja węzłów i reprezentatywnych elementów skończonych.

4.3 Obliczenia można uprościć przyjmując schemat połówkowy z rys. 4.13.

Rysunek 4.13. Wykres momentów zginających i wartość siły podłużnej w prę-cie kratowym. W nawiasach podano wyniki obliczeń uzyskanych Metodą Sił.

4.4 Obciążenie międzywęzłowe p3 = [p qz]T , gdzie p = −q cos β sin β,

qz = q cos2 β. Składowe wektorów Qe odpowiadające węzłowi nr 1 iodniesione do globalnego układu współrzędnych wyznacza się podobniejak w zadaniu 3.1.8 na str. 84.

Rysunek 4.14. Składowe wektorów Qe, e = 1, 2, 3 odpowiadające węzłowi 1

odniesione do układu (X,Y, Z).

103

4.5 w1−2(ξ) =(−1, 660 − 0, 689ξ + 0, 217ξ2 + 0, 239ξ3

) ql4

EJ.

Rysunek 4.15. Funkcja ugięcia pręta 1− 2.

4.6 r = [0 0 0 − 0, 028 rad 0, 053 rad 0, 032 rad . . .. . . 0 0, 041m −0, 069m −0, 026 rad 0, 053 rad 0, 032 rad . . .. . . 0, 091m −0, 104m 0 − 0, 001 rad 0, 033 rad 0, 032 rad . . .. . . 0, 170m −0, 104m 0 0 0, 033 rad 0, 032 rad]T .

4.7 W celu uproszczenia obliczeń przyjęto schemat połówkowy.

Rysunek 4.16. a) Model obliczeniowy z podziałem na elementy skończone; b)wykres momentów zginających; c) wykres sił podłużnych.

4.8 Funkcje sił wewnętrznych i ich wartości w elemencie 1:

M(ξ) = −0, 96 − 2, 40ξ kNm, T (ξ) = −15, 05 + 52, 35ξ2 kN,M(−

√33 ) = 1, 19 kNm, T (−

√33 ) = 2, 40 kN,

M(√33 ) = −1, 58 kNm, T (

√33 ) = 2, 40 kN;

104

w elemencie 2:

M(ξ) = −1, 30 + 1, 30ξ kNm, T (ξ) = 2, 12 − 14, 16ξ2 kN,M(−

√33 ) = −2, 05 kNm, T (−

√33 ) = −2, 60 kN,

M(√33 ) = −0, 55 kNm, T (

√33 ) = −2, 60 kN.

4.9

Rysunek 4.17. Funkcje a) ugięcia; b) kąta obrotu.

4.10Moment w utwierdzeniu przybiera wartość M = 63kNm.

Rysunek 4.18. Podział ramy na elementy skończone.

Rysunek 4.19. Funkcje ugięcia prętów a) pochyłego, b) poziomego.

Bibliografia

[1] Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami uję-cia komputerowego, PWN, Warszawa, 2009.

[2] Bielski J.: Wprowadzenie do inżynierskich zastosowań metody ele-mentów skończonych, Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Kra-ków, 2010.

[3] Borowicz T. Buczkowski M., Szaniec W.: Metoda elementów skończo-nych: podstawy rozwiązywania konstrukcji prętowych, WydawnictwaPolitechniki Świętokrzyskiej, Kielce, 2000.

[4] Branicki Cz. (red.): Mechanika budowli: ujęcie komputerowe (t. 1–4),Arkady, Warszawa, 1991.

[5] Chmielewski T., Górski P., Kaleta B.: Zbiór zadań z mechaniki bu-dowli: metoda przemieszczeń i metoda elementów skończonych, Wy-dawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2002.

[6] Cichoń Cz., Cecot W., Krok J., Pluciński P.: Metody komputerowe wliniowej mechanice konstrukcji: wybrane zagadnienia, WydawnictwaPolitechniki Krakowskiej, Kraków, 2010.

[7] Grabarski A., Wróbel I.: Wprowadzenie do metody elementów skoń-czonych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa,2008.

[8] Grądzki R.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych, Wy-dawnictwa Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2002.

[9] Kacprzyk Z., Maj M., Pawłowska B., Sokół T.: Poradnik Meto-dy Elementów Skończonych, Wydawnictwo Zakładu Mechaniki Bu-dowli i Zastosowań Informatyki Politechniki Warszawskiej, War-szawa 2011. (książka w wersji elektronicznej do pobrania ze stronyhttp://wektor.il.pw.edu.pl/~kmbizi/index.php/wydawnictwo

/category/3-e-book)

106

[10] Król K.: Metoda elementów skończonych w obliczeniach konstrukcji,Wydawnictwa Politechniki Radomskiej, Radom, 2007.

[11] Łodygowski T., Kąkol W.: Metoda elementów skończonych w wybra-nych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich, Wydawnic-twa Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1994.

[12] Radwańska M.: Metody komputerowe w wybranych zagadnie-niach mechaniki konstrukcji: podręcznik dla studentów wyższychszkół technicznych, Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Kraków,2010.

[13] Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów skończonych w me-chanice konstrukcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,Warszawa, 2005.

[14] Starosolski W.: Wybrane zagadnienia komputerowego modelowaniakonstrukcji inżynierskich, Wydawnictwa Politechniki Śląskiej, Gliwi-ce, 2003.

[15] Szmelter W., Dacko M., Dobrocinski S., Wieczorek M.: Metoda ele-mentów skończonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa, 1979.

[16] Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w mechanice, PWN,Warszawa, 1980.

[17] Środka W.: Trzy lekcje metody elementów skończonych: materiałypomocnicze do przedmiotu wytrzymałość materiałów, WydawnictwaPolitechniki Wrocławskiej, Wrocław 2004.

[18] Wrana B.: Ustroje prętowe: metoda elementów skończonych: statykaliniowa, Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Kraków, 1993.

[19] Zagrajek T., Krzesiński G., Marek P.: Metoda elementów skończo-nych w mechanice konstrukcji: ćwiczenia z zastosowaniem systemuANSYS, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa,2006.

[20] Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warsza-wa, 1972.

samouczek metody elementów...

Documents