1

Distribusi Sampling(Distribusi Penarikan Sampel)

1. Pendahuluan Bidang Inferensia Statistik membahas generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/

peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarangmenyangkut populasi.

Sensus = pendataan setiap anggota populasi Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan

sampel Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:

1. mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang2. ketelitian pekerjaan yang melibatkan sampel lebih tinggi dibanding

pekerjaan yang melibatkan populasi3. populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus

misal : dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semuadonat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual?

Sampel yang baik Sampel yang representatifBesaran/ciri sampel (Statistik Sampel) memberikangambaran yang tepat mengenai besaran/ciri populasi(Parameter Populasi)

Masih ingat beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? Perhatikan tabelberikut:

Ukuran/Ciri Statistik Sampel Parameter Populasi

Rata-Rata x : myuSelisih 2 Rata-rata x x1 2 : nilai

mutlak 1 2 : nilai

mutlakStandar Deviasi = SimpanganBaku

s : sigma

Varians = Ragam s² ²Proporsi p p atau : phi atau pSelisih 2 proporsi

21 pp : nilaimutlak

1 2 : nilaimutlak

catatan : pada Nilai Mutlak, nilai negatif diabaikan misal : 3 - 7 = -4 = 4atau gunakan asumsi 1p adalah nilai yang selalu lebih besar dari 2p atau

21 pp

Sampel yang baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut :1. keacakannya (randomness)2. ukuran3. teknik penarikan sampel (sampling) yang sesuai dengan kondisi atau sifat

populasi

2

Sampel Acak = Contoh Random dipilih dari populasi di mana setiap anggotapopulasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota sampel.

Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi :a. Sampel Besar jika ukuran sampel (n) 30b. Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30

Beberapa Teknik Penarikan Sampel : Probabilitas dan Non-Probabilitas Sampel

Probabililitas Sampel

a. Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling)Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, programkomputer.

Berdasarkan Penarikan Sampel Acak sederhana, dikenal beberapa teknik penarikansampel Probabilitas (Probability sampoles), yaitu:

b. Penarikan Sampel Sistematik (Systematic Sampling)Tetapkan interval lalu pilih secara acak anggota pertama sampel

Contoh : Ditetapkan interval = 20Secara acak terpilih : Anggota populasi ke-7 sebagai anggota ke-1 sampelmaka :Anggota populasi ke-27 menjadi anggota ke-2 sampelAnggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3 sampel, dst.

c. Penarikan Sampel Berlapis (Stratified Sampling)Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampelsecara acak.

Perhatikan !!!!Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen). Anggota dalam suatukelas akan (cenderung) sama (homogen).

Contoh :Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang sama) akandiambil 150 orang sebagai sampel, dilakukan pendataan tentang tingkatkepuasan, maka sampel acak dapat diambil dari :

Kelas Eksekutif : 50 orangKelas Bisnis : 50 orangKelas Ekonomi : 50 orang

d. Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling)Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompokSampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota

3

Perhatikan !!!!Antar Kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam suatu kelasakan (cenderung) berbeda (heterogen).

Contoh :Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap kelas terdiri dari100 orang. Populasi mahasiswa kelas 2, Ekonomi-UGD = 40 100 = 4000.Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel yangdiperlukan = 600 orang, maka sampel dapat diambil dari 6 kelas.... Dari 40 kelas,ambil secara acak 6 kelas.

e. Penarikan Sampel Area (Area Sampling) = Multistage SamplePrinsipnya sama dengan Cluster Sampling.Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administratif.

Contoh: Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat dilakukan denganmemilih secara acak KOTAMADYA tempat pengambilan sampel, misalnyaterpilih, Kodya Bogor, Sukabumi dan Bandung.

Sampel acak menjadi dasar penarikan sampel dalam kelompok sampel probablitasSelanjutnya, pembahasan akan menyangkut Penarikan Sampel Acak.

Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

a. Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian: setelah didata, anggotasampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel

b. Penarikan sampel dengan pemulihan: bila setelah didata, anggota sampeldikembalikan ke dalam ruang sampel.

Non-Probabilitas SampelSampel diambil tidak berdasarkan konsep keacakan. Ukuran sampel biasanya kecil.Beberapa jenis non-probabilitas sampel, adalah:

a. Sampel Kuota (Quota)Ukuran kelompok sampel (gerombol atau strata) ditetapkan secara proporsionalsesuai ukuran populasi

b. Sampel Purposive = Judgmental SamplePengambilan sampel dilakukan untuk tujuan pendataan kasus (a) ekstrem (khusus)vs. tipikal (umum), (b) sampel homogen vs. heterogen. Pendapat pakar menjadipertimbangan

c. Sampel Bola Salju (Snowball Sampel)Penarikan sampel dimulai dengan hanya satu (atau beberapa) kasus, yangdibiarkan bergulir sehingga terkumpul data yang lebih banyak

4

d. Sampel Self-selectionPeneliti membuka kesempatan (dengan mengumumkan penarikan sampel dimedia massa) responden mendaftar menjadi anggota sampel

e. Sampel Convenience = haphazard samplePada populasi yang sangat besar dan cenderung homogen, peneliti dapat menariksampel sedapatnya. Hal ini meminimalkan biaya dan kendala teknis.

Distribusi Penarikan Sampel = Distribusi Sampling Jumlah Sampel Acak yang dapat diambil dari suatu populasi adalah sangat banyak. Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel. Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung

dari sampel yang kita ambil. Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi peluang

yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling =Distribusi Penarikan Sampel

Statistik sampel yang paling populer dipelajari adalah Rata-Rata ( x )

2. Distribusi Sampling 1 Nilai Rata-Rata

Beberapa notasi :n : ukuran sampel N : ukuran populasix : rata-rata sampel : rata-rata populasis : standar deviasi sampel : standar deviasi populasix : rata-rata dari semua rata-rata sampel x : standar deviasi antar semua rata-rata sampel = standard error = galat baku

Dalil 1

JIKASampel: berukuran = n 30 diambil DENGAN PEMULIHAN darirata-rata = x

Populasi berukuran = N Terdistribusi NORMAL Rata-rata = ; simpangan baku =

MAKADistribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

x = dan

x n dan nilai z

xn

5

Dalil 2

JIKASampel: berukuran = n 30 diambil TANPA PEMULIHAN darirata-rata = x

Populasi berukuran = N Terdistribusi NORMAL Rata-rata = ; simpangan baku =

MAKA

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

x = dan

x nN nN

1 dan nilai

zx

nN nN

( / )1

N nN1

disebut sebagai FAKTOR KOREKSI populasi terhingga.

Faktor Koreksi (FK) akan menjadi penting jika sampel berukuran n diambil daripopulasi berukuran N yang terhingga/ terbatas besarnya

Jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang sangat besar maka

FK akan mendekati 1 N nN

1

1 , hal ini mengantar kita pada dalil ke-3 yaitu

DALIL LIMIT PUSAT = DALIL BATAS TENGAH = THE CENTRAL LIMITTHEOREM

Dalil 3 DALIL LIMIT PUSAT

JIKASampel: berukuran = n diambil darirata-rata = x

Populasi berukuran = N yang BESAR distribusi : SEMBARANG Rata-rata = ; simpangan baku =

MAKADistribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

x = dan

x n dan nilai z

xn

6

Dalil Limit Pusat berlaku untuk :- penarikan sampel dari populasi yang sangat besar,- distribusi populasi tidak dipersoalkan

Beberapa buku mencatat hal berikut : Populasi dianggap BESAR jika ukuran sampel

KURANG DARI 5 % ukuran populasi ataunN 5%

Dalam pengerjaan soal DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA perhatikan asumsi-asumsi dalam soal sehingga anda dapat dengan mudah dan tepat menggunakan dalil-daliltersebut!

Contoh 1:

PT AKUA sebuah perusahaan air mineral rata-rata setiap hari memproduksi 100 jutagelas air mineral. Perusahaan ini menyatakan bahwa rata-rata isi segelas AKUA adalah250 ml dengan standar deviasi = 15 ml. Rata-rata populasi dianggap menyebar normal.

1. Jika setiap hari diambil 100 gelas AKUA sebagai sampel acak DENGANPEMULIHAN, hitunglah:

a. standard error atau galat baku sampel tersebut?b. peluang rata-rata sampel akan berisi kurang dari 253 ml?

2. Jika sampel diperkecil menjadi 25 gelas, hitunglah :a. standard error atau galat baku sampel tersebut?b. peluang rata-rata sampel akan berisi lebih dari 255 ml?

Jawab:1. Diselesaikan dengan DALIL 1 karena PEMULIHAN

Diselesaikan dengan DALIL 3 karena POPULASI SANGAT BESAR

N = 100 000 000 x = = 250 = 15 n = 100

P( x < 253) = P(z < ?)

GALAT BAKU =

x n

15100

1510

15.

z

253 250

153

152 0

. ..

Jadi P( x < 253) = P(z < 2.0) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772

7

2. Diselesaikan dengan DALIL 3 karena POPULASI SANGAT BESAR

N = 100 000 000 x = = 250 = 15 n = 25

P( x > 255) = P(z > ?)

GALAT BAKU =

x n

1525

155

3 0.

z

255 250

3 05

3 0167

. ..

Jadi P( x > 255 ) = P(z > 1.67) = 0.5 - 0.4525 = 0.0475

Contoh 2 :

Dari 500 mahasiswa FE-GD diketahui rata-rata tinggi badan = 165 cm dengan standardeviasi = 12 cm, diambil 36 orang sebagai sampel acak. Jika penarikan sampel dilakukanTANPA PEMULIHAN dan rata-rata tinggi mahasiswa diasumsikan menyebar normal,hitunglah :

a. galat baku sampel?b. peluang sampel akan memiliki rata-rata tinggi badan kurang dari 160 cm?

Diselesaikan dengan DALIL 2 TANPA PEMULIHANN = 500 x = = 165 = 12 n = 36

CatatannN

36500

= 0.072 = 7.2% > 5% Dalil Limit Pusat tidak dapat

digunakan

P( x < 160) = P(z < ?)

FK =N nN

1

500 36500 1

464499

0 929 0 964. ... . ...

GALAT BAKU

x n x FK =

1236

0 964 . ...= 2 x 0.964... = 1.928...

z

160 1651928

2 59. ...

. ...

P( x < 160) = P(z < -2.59) = 0.5 - 0.4952 = 0.0048

8

3. Distribusi Sampling Bagi Beda 2 Rata-rata

Dalil 4

JIKADua (2) Sampel berukuran n1 dan n2 diambil darirata-rata = x1 dan x2 Dua (2) Populasi berukuran BESAR

Rata-rata 1 dan 2 Ragam 1

2 dan 22

MAKADistribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

x x1 2 1 2 dan standard error =

x x n n1 212

1

22

2 dan

nilai zz

x x

n n

1 2 1 2

12

1

22

2

Beda atau selisih 2 rata-rata = 1 2 ambil nilai mutlaknya atau tetapkan bahwa1 > 2

Melibatkan 2 populasi yang BERBEDA dan SALING BEBAS Sampel-sampel yang diambil dalam banyak kasus (atau jika dilihat secara akumulatif)

adalah sampel BESAR

Contoh 4:Diketahui rata-rata IQ populasi mahasiswa Eropa = 125 dengan ragam = 119 sedangkanrata-rata IQ populasi mahasiswa Asia = 128 dengan ragam 181. Diasumsikan keduapopulasi berukuran besarJika diambil 100 mahasiswa Eropa dan 100 mahasiswa Asia sebagai sampel, berapapeluang terdapat perbedaan IQ kedua kelompok akan kurang dari 2?

Jawab :

Parameter populasi ke-1 (Mhs. Eropa) populasi ke-2 (Mhs. Asia)

Rata-rata () 125 = 2 128 = 1Ragam (²) 119 = ²2 181 = ²1

Beda 2 Rata-rata = x x1 2 1 2 = 128 - 125 = 3

9

Sampel : n1 = 100 n2 = 100

P( x x1 2

1

Pendugaan Parameter1 Pendahuluan

• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel,Misal :

1. x digunakan sebagai penduga bagi µ2. s digunakan sebagai penduga bagi σ3. p p atau $ digunakan sebagai penduga bagi π

• Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karenahampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.

• Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval☺ Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t)☺ Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri)☺ Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan =

1 - α☺ α kemudian akan dibagi ke dua sisi, α/2 di atas batas atas dan α/2 di

bawah batas bawah

• Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t

☺ Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175)Nilai α dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain:

Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9α = 10 % → α/2 = 5 % → z z5 0 05 1 645% . .= =

Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95%α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99%α = 1 % → α/2 = 0.5 % z z0 5% 0 005 2 575. . .= =

Contoh Distribusi z untuk SK 95 %

Luas = 0.5

-z0.025 = -1.96 z0.025 = 1.96""" """

Nilai z ini diketahui dari luas daerah tidakterarsir ini dalam Tabel Normal (z)

Luas = 0.95 × ½ = 0.4750.

Luas daerah terarsir =0.05 × ½ = 0.0025

Luas daerah terarsir =0.05 × ½ = 0.0025

2

☺ Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177)

Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel.Perhatikan derajat bebas (db).Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177)

Misal : Selang kepercayaan 95 %; db = 13 → 1 - α = 95%α = 0.5 % → α/2 = 2.5 % t tabel (db=13;α/2 = 2.5%) = 2.160

Contoh Distribusi t untuk SK 95 % ; db = 13

Selang Kepercayaan yang baik?Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi.

Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalahTidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya.

Contoh 1: Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semuaselang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik?

A. Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahunB. Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahunC. Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahunD. Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun

Jawab : D, karena................................

Luas = 0.5

-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160""" """

Nilai t ini diketahui dari nilai α/2 dan dbdalam Tabel t

Luas daerah terarsir =0.05 × ½ = 0.0025

Luas daerah terarsir =0.05 × ½ = 0.0025

-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160

3

• Bentuk Umum Selang Kepercayaan

Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas

• Untuk Sampel Berukuran Besar :

Statistik - ( zα /2 ×Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( zα /2 × Std Error Sampel)

atauParameter = Statistik ± ( zα /2 ×Standard Error Sampel)

• Untuk Sampel Berukuran Kecil :Statistik - ( t db( ; / )α 2 × Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( t db( ; / )α 2 ×Std Error

Sampel)atau

Parameter = Statistik ± ( t db( ; / )α 2 × Standard Error Sampel)

2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata

2.1. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)

• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui• Jika nilai simpangan baku populasi σ tidak diketahui → gunakan simpangan baku

sampel (s)

Selang Kepercayaan 1

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi adalah :

x z x z - n

< < + n

α α

σµ

σ2 2×

×

Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s

• Ukuran Sampel bagi pendugaan µ

Pada Derajat Kepercayaan (1-α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah

[ ] n z= ×α σ/22

Ε

n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling)jika σ tidak diketahui, gunakan sE : error maksimal → selisih x dengan µ; E dinyatakan dalam persen (%)

4

Contoh 2:Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku= 0.3.

a. Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

x = 2.6s = 0.3

x zs

x zs

- n

< < +n0 025 0 025. .

×

×

µ

2.6 - 1.96 36

) < < 2.6 + 1.96 36

)×

×

0 3 0 3. .µ

2.6 - 0.098 < µ < 2.6 + 0.098 2.502 < µ < 2.698

b. Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z z0 5 0 005 2 575. % . .= = (selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)

c. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidaklebih dari 6 %?

E = 6 % = 0.06 s = 0.3

Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

[ ] n z= α σ/22

Ε [ ] = ×1 960.062. 0.3

= ( . )9 8 2 = 9604. = 97

d. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidaklebih dari 6 %? (Kerjakan sebagai latihan)

5

2.2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel kecil (n < 30)dan nilai simpangan baku populasi (α) tidak diketahui → gunakan simpangan bakusampel (s)

Selang Kepercayaan 2

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :

x ts

x ts

db db - n < < +

n ( ; ) ( ; )α αµ2 2×

×

db = derajat bebas = n-1

Contoh 3:9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standardeviasi 1.8 hari.

Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun untukseluruh mahasiswa!

Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025

x = 10 s = 1.8 db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306

x ts

x ts

db db - n < < +

n ( ; ) ( ; )α αµ2 2×

×

10 - 9

< < 10 + 9

2 30618

2 30618

..

..

×

×

µ

10 - 1.3836 < µ < 10 + 1.3836 8.6164 < µ < 11.3836

3. Pendugaan Beda 2 Rata-rata

3.1 Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar dan nilai ragam populasi( σ1

2 dan σ22 ) diketahui dan jika nilai ragam populasi ( σ1

2 dan σ22 ) tidak

diketahui → gunakan ragam sampel ( s12 dan s2

2 )

6

Selang Kepercayaan 3

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ µ1 2− adalah :

x xn n

x xn n1 2 1 2

- - z < - < - + z α ασ σ

µ µσ σ

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

σ12 dan σ2

2 tidak diketahui → gunakan s12 dan s2

2

Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2

Contoh 4:64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikandengan ragam = 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan merekamakan 28 kg ikan dengan ragam = 7.

Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiapbulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris

x1 = 48 x2 = 28 x x1 2− = |48 - 28| = 20n1 = 64 n2 = 56

s12 = 8 s2

2 = 7Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

x xn n

x xn n1 2 1 2

- - z < - < - + z α ασ σ

µ µσ σ

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

20 - + 7

56 < < +

7

56 196

8

6420 196

8

641 2. .×

− + ×

µ µ

20 - 0.98 < |µ µ1 2− | < 20 + 0.98 19.02 < |µ µ1 2− | < 20.98

3.2. Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecildan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( σ1

2 ≠σ22 ) dan

tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s12 dan s2

2 )

7

Selang Kepercayaan 4

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ µ1 2− | adalah:

x xs

n

s

nx x

s

n

s

ndb db1 2 1 2- - t < - < - + t ( ; ) ( ; )α αµ µ2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

der

ajat bebas (db) =

( )

( ) ( ) ( ) ( )

sn

sn

sn

snn n

12

1

22

2

12

1

22

2

2

21

221 1

+

− + −

db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling)Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2

Contoh 5:12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter( x2 22= ) teh dengan Ragam = 16. ( s2

2 16= )10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter( x1 36= ) teh dengan Ragam = 25. ( s1

2 25= )

Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung :

a. derajat bebas bagi distribusi t

db = ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sn

sn

sn

snn n

12

1

22

2

12

1

22

2

2

21

221 1

+

− + − = [ ] [ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2510

1612

2

2510

2 1612

210 1 12 1

+

− + −=

= [ ] [ ]( . . )

( . ) ( . )

2 5 1333

2 5 9 1333 11

2

2 2

+

+= [ ] [ ]

14 6944

0 6944 01616

. ...

. . ...+=

14 6944

08560

. ...

. ... = 17.165 = 18

b. Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yangdiminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris

Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005db = 18

Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878

8

x xs

n

s

nx x

s

n

s

ndb db1 2 1 2- - t < - < - + t

( ; ) ( ; )α αµ µ

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

36 22 225

10

16

1236 22 2

25

10

16

121 2− × +

− × +

- .878 < - < + .878 µ µ

14 - 5.53 < |µ µ1 2− | < 14 + 5.63 8.37 < |µ µ1 2− | < 19.63

3.3 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecildan nilai kedua ragam populasi sama ( σ1

2 =σ22 ) dan tidak diketahui

→ gunakan ragam sampel gabungan (sgab2 )

Selang Kepercayaan 5

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ µ1 2− | adalah:

x xn n

x xn ndb db1 2 gab 1 2 gab

- - t s < - < - + t s

( ; ) ( ; )α αµ µ2 21 1 1 1

1 21 2

1 2

× × +

× × +

sn s n s

n ngab2 1 1

22 2

2

1 2

1 1

2=

− −+ −

( ) ( ) + dan s sgab gab=

2 dan derajat bebas (db) = n n1 2 2+ −

Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2

Contoh 6:

12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter( x2 22= ) teh dengan Ragam = 16. ( s2

2 16= )10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter( x1 36= ) teh dengan Ragam = 25. ( s1

2 25= )

Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung :

a. derajat bebasb. Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampelc Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang

diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris.a. db = n n1 2 2+ − = 10 +12 - 2 = 20

9

b. sn s n s

n ngab2 1 1

22 2

2

1 2

1 1

2=

− −+ −

( ) ( ) + =

( ) ( ).

9 25 11 16

20

401

2020 05

× + ×= =

s sgab gab=2

= 20 05 4 477. . ...=

c. Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005db = 20

Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845

x xn n

x xn ndb db1 2 gab 1 2 gab

- - t s < - < - + t s ( ; ) ( ; )α αµ µ2 21 1 1 1

1 21 2

1 2

× × +

× × +

36 22 2 4 4771

10

1

1236 22 2 4 477

1

10

1

121 2− × × +

− × × +

- .845 < - < + .845 . ... . ...µ µ

14 - 5.45 < |µ µ1 2− | < 14 + 5.45 8.55 < |µ µ1 2− | < 19.45

3.4 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampel-sampel kecil

Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan.

Selang Kepercayaan 6:

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ µ1 2− | adalah:

d ts

nd t

s

ndbd

dbd− ×

< − < + ×

; / ; /α α

µ µ2 1 2 2

derajat bebas (db) = n-1

Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 x1

n : banyak pasangan datadi : x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n

10

d : rata-rata dIn

dd i

∑=

s d2

: ragam nilai d sd d

ndi2

2

1=

−−

∑ ( )

s d : simpangan baku d2dd ss =

Contoh 7: Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.

Banyak Produk yangrusak

Nama Shift malam(x1)

Shift Pagi(x2)

di d (di - d ) (di - d )²

A 10 3 7 8 -1 1B 15 5 10 8 2 4C 9 4 5 8 -3 9D 12 2 10 8 2 4

Σ di=32 Σ(di - d )²=18

n = 4 dd

ni=

∑= =

32

48

sd d

ndi2

2

1=

−−

∑ ( )= =

18

36 dan s sd d=

2 = =6 2 449. ...

Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah:Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005db = n-1 = 4-1 = 3 Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841

d ts

nd t

s

ndbd

dbd− ×

< − < + ×

; / ; /α α

µ µ2 1 2 2

8 58412 449

48 5841

2 449

41 2− ×

< − < + ×

.. ...

.. ...

µ µ

8 7 15 8 7 151 2− < − < +. ... . ..µ µ

0 85 15151. .< −

11

4. Pendugaan Proporsi

• Pengertian proporsiπ = proporsi populasip = proporsi "sukses" dalam sampel acak

1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak

Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood"kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood"

4.1 Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakanDistribusi z.

Selang Kepercayaan 7:

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π adalah :

p zp q

n p z

p q

n - < < +α απ

2 2×

×

×

×

ingat→ 1 - p = q

• Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsiUkuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-α) dengan Error (galat) maksimal= E

nz p q

E=

× ×

α /22

2

n di ceiling!

n : ukuran sampelE : error maksimal → selisih p dengan π

Contoh 8:Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.

a. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukaiseafood

Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =p = 160/500 = 0.32 q = 1 - p = 0.68

12

p zp q

n p z

p q

n - < < +α απ

2 2×

×

×

×

0.32 - < < 0.32 + 1 960 32 0 68

5001 96

0 32 0 68

500..

. ...

. .×

×

×

×

π

0.28 < π < 0.36

b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2%

nz p q

E=

× ×

α /22

2

=

196 0 32 0 68

0 02

2

2

. . .

.

× ×

= 2089.8304 = 2090

4.2. Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar

Selang Kepercayaan 8

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π π1 2− adalah :

p pp q

n

p q

np p

p q

n

p q

n1 2 1 2- - z

< - < - + z

α απ π

2 2

1 1

1

2 2

21 2

1 1

1

2 2

2

××

+×

×

×+

×

Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan p p1 2>

Contoh 9:Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p2 =0.70)Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru( q1 0 25= . )

Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabayayang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.

kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.

p2 = 0.70 → q p2 21= − = 1 - 0.70 = 0.30q1 0 25= . → p q1 11= − = 1 - 0.25 = 0.75

p p1 2− = |0.75 - 0.70| = 0.05

Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z z5 0 05 1 645% . .= =

13

p pp q

n

p q

np p

p q

n

p q

n1 2 1 2- - z

< - < - + z

α απ π

2 2

1 1

1

2 2

21 2

1 1

1

2 2

2

××

+×

×

×+

×

0 05800 1000

0 05800 10001 2

. . - 1.6450.75 0.25 0.7 0.3

< - < + 1.6450.75 0.25 0.7 0.3

××

+×

×

×+

×

π π

0 05 0 051 2. . - (1.645 0.02108...) < - < + (1.645 0.02108...)× ×π π

0 05 0 051 2. . - 0.03467... < - < + 0.03467...π π

0.01532... < - < 0.08467...π π1 2

selesai