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© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

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SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS

7.1 Introducción

Este capítulo se centra en el diseño de filtros pasivos. Estamos particularmente interesa-dos en el diseño de bipuertas, circuitos de cuatro terminales con entrada salida simple.

Nos centraremos particularmente en la síntesis de filtros LC. Juegan un papel muy impor-tante en el diseño de filtros porque ofrecen varias ventajas: (a) transmiten las señales sin disiparenergía (por tanto, favorecen buenas relaciones señal/ruido; (b) las rápidas transiciones de mag-nitud y fase que se consiguen con la resonancia son muy adecuadas para la implementación defiltros; (c) pueden transmitir señales modificando únicamente sus características de fase o ret-raso; (d) las bipuertas LC doblemente terminadas pueden hacerse bastante insensibles a varia-ciones en los parámetros.

Aunque actualmente hay disponibles otras técnicas de filtrado, tales como filtros RC ac-tivos y filtros SC, los filtros LC aún juegan un papel importante en sistemas de comunicaciones,especialmente en aplicaciones a alta frecuencia, donde la operación de los dispositivos activosse aleja mucho de su comportamiento ideal.

Además, el estudio de la operación de los filtros LC resulta útil para comprender el con-cepto de filtrado, la importancia de la resonancia, la creación y función de los ceros de trans-misión, etc.

Por otra parte, muchos de los diseños de filtros RC activos y SC están basados en unasimulación activa de filtros pasivos LC. Esta aproximación se beneficia de la muy baja sensibi-lidad de la banda pasante de los filtros escalera LC a las tolerancias de los elementos.

El diseño de estas bipuertas conduce naturalmente a la implementación de impedancias oadmitancias, que son los bloques básicos del circuito. En primer lugar abordaremos las propie-dades fundamentales de las funciones de punto (impedancias o admitancias) físicamente realiz-ables.


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7.2 Monopuertas

El teorema básico para comprender las propiedades de monopuertas físicamente realiza-bles es el teorema de Tellegen que en su forma especial dice:

1 (7.1)

de donde se obtiene que impedancias y admitancias de monopuertas RLCM tienen la forma:

2 (7.2)

donde

(7.3)

7.2.1 Realizabilidad de monopuertas

La cuestión básica a responder es: dada una impedancia Z(s) o admitancia Y(s), ¿es posi-ble encontrar una implementación para ella utilizando únicamente elementos pasivos R, L, C yM? La respuesta es: Una función de impedancia Z(s) es realizable utilizando únicamente ele-mentos concentrados RLCM (todos ellos son positivos) si y solo si Z(s) es una función racionalreal positiva, es decir, si se cumplen las siguientes condiciones:

a) Z(s) es una función racional real de s:

(7.4)

1. Referir la derivación al apéndice 7.1.

2. Referir la derivación al apéndice 7.1

Vk s( )Jk∗

s( )

k 1=

N

∑ 0=

Z s( ) 1I1 s( ) 2----------------- Fo s( ) 1

s---Vo s( ) sMo s( )+ +=

Y s( ) 1V1 s( ) 2------------------- Fo s( ) 1

s∗

-------Vo s( ) s∗Mo s( )+ +=

Fo s( ) Rk Jk2

k 2=

N

∑ 0≥≡

Vo s( ) 1Ck------ Jk

2

k 2=

N

∑ 0≥≡

Mo LkJkJk∗

Mkl

l 2=l k≠

N

∑ Jk∗Jl+

k 2=

N

∑ 0≥≡

Z s( )a0 a1s a2s2 … ansn+ + + +

b0 b1s b2s2 … bmsm+ + + +--------------------------------------------------------------------=

7.2 Monopuertas

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donde los coeficientes ai y bj son reales por lo que Z(s) es real si lo es s.b) Si s tiene parte real no negativa, también la tiene Z(s). Es decir, a cualquier punto del

semiplano derecho cerrado del plano s le corresponde un punto del semiplano derechocerrado del plano Z.

La condición b es muy difícil de utilizar de forma práctica por lo que se pueden formularun conjunto de condiciones equivalentes:

a) Idéntica a la condición a) anterior.b) Para todo ω real:

(7.5)

c) Todos los polos de Z(s) están en el semiplano izquierdo cerrado (dentro o en el eje jω)del plano s. Todos los polos del eje jω deben ser simples, con residuos reales positivos.Dado que s=0 y s→∞ también se encuentran en el eje jω, también debe cumplirse paraellos.

7.2.2 Propiedades de las inmitancias LC

En las monopuertas LC Rk=0 y por tanto F(s)=0. Por tanto, la forma general de impedan-cias y admitancias es:

(7.6)

donde |I1|2, |V1|2, Vo y Mo son funciones de s, reales y no negativas para cualquier valor de s,real o complejo.

Veamos las propiedades de los ceros de Z(s). Si suponemos que I1 es finito, en un cero sz:

(7.7)

luego

(7.8)

Dado que Vo≥0 y Mo≥0, sz2 es un número real no positivo por lo que los ceros son imaginarios

puros (complejo conjugados para dar coeficientes reales). Las únicas excepciones son ceros enω=0 y ω→∞. Además, dado que los ceros de Z(s) son polos en el eje jω de Y(s), que es unafunción real positiva, todos los ceros de Z(s) deben ser simples.

Re Z jω( ) 0≥

Z s( ) 1I1

2---------Vo s( )

s------------- sMo s( )+=

Y s( ) 1V1

2-----------Vo s( )

s∗

------------- s∗Mo s( )+=

Vo sz( )sz

--------------- szMo sz( )+ 0=

sz2 Vo sz( )

Mo sz( )-----------------–=



Puede hacerse un argumento similar para los ceros de Y(s) (o polos de Z(s)). Por tanto,numerador N(s) y denominador D(s) tienen la forma general:

(7.9)

donde el factor s, que representa un cero en ω=0, puede estar o no presente.Puede observarse que estos polinomios contienen únicamente potencias pares o impares

de s. Potencias pares de s se hacen reales cuando s=jω y potencias impares se hacen imaginarias.Por tanto, si N(s) y D(s) contienen solamente potencias impares o solamente potencias paresZ(jω) es real. Pero de (7.6) se deduce que Z(jω) debe ser imaginaria pura. Por tanto, N(s) y D(s)no pueden ser impares o pares al mismo tiempo; uno debe ser par y el otro debe ser impar. Lasdos posibilidades son:

(7.10)

Luego Z(s) es una función impar de s: Z(−s)=−Z(s).Consideremos la expansión parcial en fracciones de Z(s):

(7.11)

No puede haber términos en s de orden mayor ya que no puede haber polos múltiples para s→∞y no puede existir un término sin s ya que destruiría el carácter impar de Z(s).

Si consideramos la suma de los términos correspondientes a polos complejos conjugados:

(7.12)

Los residuos de los polos imaginarios de las funciones reales positivas son reales y positivos.Por tanto, puede escribirse Z(s) como:

(7.13)

y cambiando la notación:

(7.14)

donde K∞, K0 y Ki también deben ser no negativos.Si hacemos s=jω:

P s( ) s s2 ω12+( ) s2 ω2

2+( )…=

Z s( ) N s( )D s( )-----------

s s2 ωz1

2+( ) s2 ωz2

2+( )…

s2 ωp1

2+( ) s2 ωp2

2+( )…---------------------------------------------------------= = Z s( )

s2 ωz1

2+( ) s2 ωz2

2+( )…

s s2 ωp1

2+( ) s2 ωp2

2+( )…----------------------------------------------------------=

Z s( ) k1sk 1–s-------

kp1s jωp1–-------------------

k'p1s jωp1+-------------------

kp2s jωp2–-------------------

k'p2s jωp2+------------------- …+ ++ ++ +=

kpis jωpi–------------------

k'pis jωpi+------------------+

kpi k'pi+( )s jωpi kpi k'pi–( )+

s2 ωpi2+

----------------------------------------------------------------------=

Z s( ) k1sk 1–s-------

2kp1s

s2 ωp12+

--------------------2kp2s

s2 ωp22+

-------------------- …+++ +=

Z s( ) K∞sK0s------

K1s

s2 ω12+

-----------------K2s

s2 ω22+

----------------- …Kns

s2 ωn2+

-----------------+ +++ +=

7.2 Monopuertas


(7.15)

La función entre corchetes se denomina reactancia de la monopuerta LC:

(7.16)

La derivada muestra que X(ω) es una función creciente monótona de ω:

(7.17)

donde todos los términos son positivos para cualquier valor finito de ω:

(7.18)

Sabemos que todos los polos y ceros de Z(s), y por tanto de X(ω) están en el eje jω. Sisuponemos dos ceros consecutivos sin un polo entre ellos, se tiene la situación de la Fig.7.1a,que viola la condición (7.18). Análogamente ocurre si suponemos dos polos consecutivos sinun cero entre ellos, como se muestra en la Fig.7.1b. Luego la única posibilidad es que polos yceros de X(ω) se encuentren entrelazados tal como se muestra en la Fig.7.1c.

En resumen:1) Z(s) es el cociente de N(s) impar y D(s) par o viceversa.2) La diferencia del grado de N(s) y D(s) es uno ya que Z(s) y Y(s) pueden tener única-

mente un polo simple para s→∞.3) En s=0 hay un cero, si Ko=0, o un polo, si Ko>0.4) En s→∞ hay un cero, si K∞=0, o un polo, si K∞>0.5) Z(s) tiene polos y ceros simples, entrelazados en el eje jω.6) Los residuos de todos los polos son reales y positivos.

7.2.3 Síntesis de Foster para monopuertas LC

La expansión parcial en fracciones posibilita una implementación directa de Z(s). Dadoque las constantes K∞, Ko y Ki son positivas, puede identificarse cada término de la expansióncon un elemento o una asociación de dos elementos, tal como se muestra en la Fig.7.2.

Z jω( ) j K∞ωK0ω------–

K1ω

ω12 ω–

2-------------------K2ω

ω22 ω–

2------------------- …+ ++=

X ω( ) K∞ωK0ω------–

K1ω

ω12 ω–

2-------------------K2ω

ω22 ω–

2------------------- …+ ++≡

ω∂∂ X ω( ) K∞

K0

ω2------K1 ω1

2 ω2+( )

ω12 ω2–( )

2-------------------------------K2 ω2

2 ω2+( )

ω22 ω2–( )

2------------------------------- …+ ++ +=

ω∂∂ X ω( ) 0> ω ∞<

ω∂∂ X ω( ) K∞ 0≥→ ω ∞→



Dado que Z(s) es igual a la suma de todos estos términos, deben conectarse las impedan-cias en serie para conseguir la impedancia Z(s) total, tal como se muestra en la Fig.7.3. Esta im-plementación se denomina Foster 1.

Hemos visto que la expansión de Y(s) tiene la misma forma general de Z(s):

Fig. 3.1 Temes

Figura 7.1: (a), (b) situaciones imposibles; (c) característica posible.

(c)

7.2 Monopuertas


(7.19)

Puede identificarse cada término de (7.19) con una admitancia de la Fig.7.4.Y(s) vendrá dado por la conexión en paralelo de las admitancias que implementan cada

sumando, tal como se muestra en la Fig.7.5.Las realizaciones de Foster proporcionan los circuitos más económicos posibles para una

impedancia Z(s) dada. Estos circuitos se denominan canónicos.3

Fig. 3.3 Temes

Figura 7.2: Impedancias correspondientes a los términos individuales de la expansiónparcial en fracciones de una impedancia LC.

Fig.3.4 Temes

Figura 7.3: Realización Foster 1 de una impedancia LC.

Y s( ) K′∞sK′0s--------

K′1s

s2 ω′12+

-------------------K′2s

s2 ω′22+

------------------- …+++ +=



3. Es fácil demostrar que en la expansión parcial en fracciones de Z(s) el término correspondiente al poloen s→∞ disminuye el orden de la impedancia restante en 1 y se necesita un único elemento para imple-mentar ese término. Lo mismo ocurre con el término correspondiente al polo en s=0. Para cada uno de losrestantes términos, correspondientes a pares de polos en el eje imaginario, se necesitan dos elementos paraimplementarlos y el orden de la impedancia restante se ve reducida en 2.

Fig. 3.5 Temes

Figura 7.4: Admitancias correspondientes a los términos individuales de la expansiónparcial en fracciones de una admitancia LC:

Fig.3.6 Temes

Figura 7.5: Realización Foster 2 de una admitancia LC:

7.2 Monopuertas


7.2.4 Síntesis de Cauer para monopuertas LC

Hemos visto en la síntesis de Foster que por cada eliminación de un polo o un par de ellos,correspondiente a un término de la expansión en fracciones se reduce el orden de la función Z(s).Esa reducción es de 1 para polos en s=0 y s→∞; y 2 para polos imaginarios. Una vez que seimplementa un término, la impedancia Z´(s) que queda sigue teniendo las mismas propiedadesde realizabilidad de Z(s). Entonces, en lugar de expandir Z´(s) e implementar otro término, seobtiene Y´(s)=1/Z´(s) y se efectúa una eliminación de polos en ella. Esto corresponde a la im-plementación de un término en la realización de Foster 2. Como consecuencia de esta elimi-nación aún quedará una admitancia Y’’(s). Hacemos la transformación inversa, Z’’(s)=1/Y’’(s),y se aplica sobre ella un paso de la realización Foster 1. El mismo proceso se aplica sucesiva-mente hasta eliminar todos los polos, resultando el circuito de la Fig.7.6(a). Los polos que seeliminan son: s=0, s=jω’1, s=jω1, s→∞, etc. El circuito resultante tiene la forma general de laFig.7.6(b) por lo que se llaman realizaciones en escalera. Originada por la eliminación sucesivade polos en Z(s) y Y(s), por propia construcción es una realización canónica y es siempre real-izable.

Las realizaciones de Cauer son dos formas especiales de la realización en escalera. La re-alización Cauer 1 sigue el esquema anterior pero eliminando únicamente polos en s→∞. Sisuponemos que Z(s) tiene en un polo en infinito:

Fig. 3.9 Temes

Figura 7.6: Circuito escalera: (a) forma especial; (b) forma general.



(7.20)

Cuando se elimina el polo Z2(s) tendrá un cero en s→∞, por lo que Y2(s) tendrá un polo en lamisma posición. Se repite el proceso anterior sucesivamente:

(7.21)

Ya que cada eliminación de polo requiere un elemento para su implementación y reduce ungrado el orden de Z(s) esta realización es también canónica.

Si Z(s) tiene un cero en s→∞ en lugar de un polo se empieza la eliminación de polo porla admitancia en lugar de por la impedancia.

El circuito resultante de la realización Cauer 1 es el que se muestra en la Fig.7.7. Si Z(s)tieen un cero en infinito en lugar de un polo, el primer elemento será un condensador en paraleloen lugar de un inductor en serie.

Las ecuaciones de la realización Cauer 1 pueden agruparse en una sola:

Z1 s( ) Z s( ) K∞s Z2 s( )+ K∞s 1Y2 s( )-------------+= = =

Y2 s( ) K′∞2s Y3 s( )+ K′∞2s 1Z3 s( )-------------+= =

Z3 s( ) K∞3s Z4 s( )+ K∞3s 1Y4 s( )-------------+= =

Fig3.10 Temes

Figura 7.7: Realizaciones de Cauer de una impedancia LC.

7.3 Bipuertas pasivas


(7.22)

Esta forma se denomina expansión continua en fracciones de Z(s) alrededor de ∞. Si Z(s) tiendea 0 para s tendiendo a ∞, el primer término estará ausente.

La realización de Cauer 2 consiste en la eliminación de los polos en s=0 de la función deimpedancia y admitancia alternativamente. El resultado es una expansión continua en frac-ciones alrededor de 0:

(7.23)

Para N>3 las realizaciones de Foster y Cauer conducen a circuitos diferentes.


Hasta ahora se ha visto que hay muchas realizaciones equivalentes para una inmitanciadada. Las distintas implementaciones aparecen en forma de circuitos escalera con ramas en serieo paralelo, en resonancia (cortocircuito o circuito abierto) para s=0, s=∞ o s=jωi. Hemos vistoque cuando en la realización en escalera se desea una resonancia en una rama en serie hay queeliminar un polo de impedancia y cuando se desea resonancia en una rama en paralelo hay queeliminar un polo de la admitancia.

Es de esperar que una resonancia paralela en una rama en serie cause un cero detransmisión porque la impedancia en serie de esa rama será un circuito abierto a la frecuenciade resonancia y por tanto separa la entrada de la salida. Asimismo, una resonancia serie en unarama en paralelo corresponderá a un polo de la admitancia que se convertirá en un cortocircuitoa la frecuencia de resonancia, cortando la transmisión de señal entre entrada y salida, yconstituyendo por tanto un cero de transmisión también.

Ya que en una estructura en escalera hay un único camino de la señal entre entrada ysalida, se deduce que únicamente se puede generar un cero de transmisión mediante un polo deimpedancia o un polo de admitancia. Ya que las inmitancias LC sólo tienen polos y ceros en eleje jω se deduce que una estructura LC sólo puede tener ceros de transmisión en el eje jω.

Pero en una bipuerta LC no es la inmitancia lo que se da como especificación sino lafunción de transferencia de una bipuerta LC operando entre dos terminaciones resistivas, como

Z s( ) K∞s 1

K′∞2s 1

K∞3s 1K′∞4s …+--------------------------+

----------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------+=

Z s( )K0s------

1K′02

s---------- 1K03

s-------- 1K′04

s---------- …+-----------------------+

--------------------------------------+--------------------------------------------------------+=



se muestra en la Fig.7.8, por lo que primero ha de derivarse una inmitancia de síntesis apropiadaa partir de la característica de transferencia.

7.3.1 Parámetros de inmitancia. Condiciones de realizabilidad

Una bipuerta se compone de una puerta de entrada y una puerta de salida, como se muestraen la Fig.7.8. Dicha bipuerta puede caracterizarse mediante:

4 (7.24)

o

(7.25)

siendo

(7.26)

y

(7.27)

por lo que pueden obtenerse fácilmente una de la otra si el determinante de la matriz es no nulo.A partir del teorema de Tellegen se obtiene que las condiciones de realizabilidad de una

bipuerta pasiva son:a) Todos los elementos zij de Z deben ser funciones racionales reales de s con z12=z21.b) La expresión

(7.28)

debe ser una función real positiva para todo a1 y a2.Análogamente para Y(s).

4. Referir el desarrollo al apéndice 7.2

Fig.5.1 Temes

Figura 7.8: Bipuerta LC doblemente terminada.

Fig.2.1 Schauman

V Z I⋅=

I Y V⋅=

Z s( )z11 z12

z21 z22

= Yy11 y12

y21 y22

=

Z Y 1–=

Z s( ) z11a12 2z12a1a2 z22a2

2+ +=



Haciendo a1=0 o a2=0 se deduce que z11, z22, y11, y22 deben ser reales positivas, lo cuales lógico ya que son funciones de inmitancia de una puerta con la otra puerta cortocircuitada oen circuito abierto.

z12 no puede tener polos en el semiplano derecho ya que aparecerían en Z, z11, o z22 y esasson funciones reales positivas. Cualquier polo en el eje jω será simple por lo que se puedenexpandir en fracciones:

(7.29)

De las condiciones de realizabilidad se obtienen un conjunto de condiciones muy útiles: lascondiciones de los residuos:

(7.30)

que debe cumplirse para todos los polos del eje jω de zij. En particular, deberá cumplirse paratodos los polos de las bipuertas LC

7.3.2 Parámetros de transducción

Cuando hasta ahora nos hemos referido a la función de transferencia H(s) no se han tenidoen cuenta las resistencias Rs y RL entre las que el filtro ha de operar, como se ha mostrado en laFig.7.8. Esta aproximación es aceptable en filtros activos, en los que la resistencia de la fuentepuede considerarse parte del filtro y la resistencia de carga suele no tener influencia porque lasalida del filtro normalmente es la salida de un amplificador operacional que puede considerarseuna fuente ideal de tensión. Estas resistencias han de tenerse en cuenta en filtros LC ya quetransforman el circuito en RLC y por tanto afecta la transferencia de potencia de la fuente a lacarga.

Consideremos pues las propiedades de transmisión de potencia de filtros LC doblementeterminados5. En bipuertas doblemente terminadas el generador puede suministrar únicamenteuna potencia finita a la bipuerta:

(7.31)

La potencia máxima disponible a la entrada de la bipuerta se consigue para Zin(jω)=Rs:

5. La transmisión de potencia no tiene sentido para bipuertas sin terminaciones resistivas o terminación sim-ple, ya que o bien el generador es una fuente de tensión o intensidad ideal sin limitación de potencia, o la carga es un abierto o un corto por lo que no se necesita potencia para mantener una tensión o intensidad distinta de cero.

zij s( )kij

s jω1–---------------- otros terminos+=

k11 0≥ k22 0≥ k11k22 k122– 0≥

P1 I1 jω( ) 2Re Zin jω( ){ }Vs

2

Rs Zin jω( )+ 2------------------------------------Re Zin jω( ){ }= =



(7.32)

Mantener una tensión V2 en la resistencia de carga RL requiere una potencia:

(7.33)

Obviamente P1=P2 ya que el filtro LC no tiene pérdidas.Definimos entonces la función de transferencia mediante el cociente de la transferencia

de potencia P2/Pmax:

(7.34)

o

(7.35)

Puede observarse que esta función de transferencia difiere de la considerada como relaciónentrada-salida de la bipuerta únicamente por una constante que depende de Rs, RL y como sedefine la tensión de entrada. Este cociente proporciona una buena medida de la eficiencia detransmisión de potencia de la bipuerta. Para P2/Pmax=1 toda la potencia que el generador puedesuministrar se transmite a la carga.

Ya que en nuestro circuito sin pérdidas P1=P2 igualando (7.31) y (7.33) se obtiene:

(7.36)

que no es más que una forma alternativa de la ecuación de Feldtkeller. ρ es el coeficiente dereflexión en la entrada del filtro LC con carga RL:

(7.37)

|ρ(jω)| es una medida de Pr (|ρ(jω)|2=Pr/Pmax), la potencia reflejada en la entrada debido aldesapareamiento entre Rs y Zin. El signo ± se debe a la extracción de la raíz cuadrada y seresolverá más adelante. Luego:

PmaxVs

2

4Rs---------=

P2V2

2

RL-----------=

H jω( ) 2 4RsRL--------- V2

Vs------

2=

H s( )4RsRL---------

V2Vs------ N s( )

D s( )-----------= =

H jω( ) 2 4RsRe Zin jω( ){ }

Rs Zin jω( )+ 2----------------------------------------- 1 Rs Zin– jω( )Rs Zin jω( )+------------------------------

2– 1 ρ jω( ) 2–= = =

ρ s( )Rs Zin s( )–Rs Zin s( )+--------------------------±=



(7.38)

que concuerda bastante bien con la idea intuitiva de la Fig.7.9.

La función característica se define como:

(7.39)

que utilizando la definición de potencias resulta:

(7.40)

Luego la función característica da el cociente de las potencias reflejadas y transmitidas.Estas ecuaciones pueden utilizarse para obtener la impedancia de entrada de un filtro LC

para una función de transferencia dada H(s)=N(s)/D(s). El coeficiente de reflexión:

(7.41)

donde se ha utilizado el polinomio de reflexión cero F(s):

(7.42)

y despejando Zin de la ecuación (7.37) se obtiene:

(7.43)

Puede observarse que la ambigüedad del signo únicamente representa reemplazar Zin por 1/Zinque conduce a un circuito dual.

P1 Pr+ Pmax=

Fig.6.3 Temes

Figura 7.9: Flujo de potencia en una bipuerta doblemente terminada.

K jω( ) 2 ρ jω( ) 2

H jω( ) 2---------------------=

K jω( ) 2 PrPmax-----------

PmaxP2

-----------PrP2------= =

ρ jω( ) 2 1 H jω( ) 2– D jω( ) 2 N jω( ) 2–D jω( ) 2----------------------------------------------- ε2 F jω( ) 2

D jω( ) 2---------------------= = =

ρ s( ) εF s( )D s( )-----------± F̂ s( )

D s( )-----------±= =

Zin s( ) RsD s( ) F̂ s( )+−

D s( ) F̂ s( )±-----------------------------=



7.3.3 Relación entre los parámetros de transducción e inmitancia

Las propiedades de transmisión de una bipuerta doblemente terminada suele especificarseen términos de los parámetros de transducción H(s) o K(s). Sin embargo, veremos que larealización toma los parámetros de inmitancia de la bipuerta como punto de partida. Por tanto,es imprescindible establecer la relación entre ellos y ser capaz de obtener los parámetros deinmitancia a partir de H(s) o K(s).

Si consideramos de nuevo el circuito de la Fig.7.8 podemos escribir:

(7.44)

Sustituyendo en (7.24) se obtiene:

(7.45)

Resolviendo estas dos ecuaciones para I1 e I2 se obtiene:

(7.46)

Por tanto,

6 (7.47)

La impedancia de entrada es:

(7.48)

Sustituyendo (7.46) se obtiene:

6. Para parámetros de admitancia se obtiene:

V1 Vs I1Rs–=

V2 I2RL–=

z11I1 z12I2+ Vs I1Rs–= z12I1 z22I2+ I2RL–=

I1 Vsz22 RL+

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------=

I2 V– sz12

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------=

H s( ) 2RsRL------

V2Vs------ 2

RsRL------

I2RL–Vs

--------------2 RsRLz12

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------= = =

H s( )

2RsRL

----------------y12

y122 y11

1Rs-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞– y221

RL------+⎝ ⎠

⎛ ⎞--------------------------------------------------------------=

ZinV1I1------

Vs I1Rs–I1

----------------------VsI1----- Rs–= = =



(7.49)

El coeficiente de reflexión es:

(7.50)

Con el coeficiente de reflexión y la función de transferencia puede obtenerse la funcióncaracterística:

(7.51)

Las ecuaciones anteriores expresan los parámetros de transducción en función de losparámetros de impedancia. Obtener los parámetros de impedancia en función de los parámetrosde transducción H(s) y K(s) requiere resolver dos ecuaciones con tres incógnitas. Pero sabemosque las zij son funciones impares de s, por lo que podemos separar 1/H(s) y K(s) en sus partesimpar y par:

(7.52)

Tenemos ahora 4 ecuaciones y 3 incógnitas. Vamos a sumar y restar las ecuaciones:

(7.53)

De la primera ecuación se obtiene:

Zinz11 Rs+( ) z22 RL+( ) z12

2–z22 RL+-------------------------------------------------------------- Rs– z11

z122

z22 RL+-------------------–= =

ρ s( )Rs Zin–Rs Zin+-------------------

Rs z11–( ) RL z22+( ) z122+

Rs z11+( ) RL z22+( ) z122–

--------------------------------------------------------------= =

K ρH----

Rs z11–( ) RL z22+( ) z122+

2 RsRLz12--------------------------------------------------------------= =

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

p

Rsz22 RLz11+

2 RsRLz12---------------------------------= 1

H----⎝ ⎠⎛ ⎞

i

z11z22 z122–( ) RsRL+

2 RsRLz12---------------------------------------------------=

KpRsz22 RL– z11

2 RsRLz12------------------------------= Ki

z11z22 z122–( ) RsRL+–

2 RsRLz12------------------------------------------------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

RsRLz12

----------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi–

z11z22 z122–

RsRLz12---------------------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp+

RsRL------

z22z12-------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp–

RLRs------

z11z12-------=



(7.54)

Sustituyendo en la tercera y cuarta ecuación en (7.53) se obtiene:

(7.55)

Si se sustituyen estos valores en la segunda ecuación de (7.53) concuerda perfectamente.Los parámetros de admitancia pueden obtenerse de forma dual o bien a partir de los

parámetros de impedancia.Pueden escribirse de forma más usable estas expresiones teniendo en cuenta que el

numerador de H(s) y denominador de K(s) debe ser una función racional impar o par de s, yaque z11, z12 y z22 son funciones impares. Por tanto, si N(s) es par:

(7.56)

Análogamante si N(s) es impar (ver apéndice). Sustituyendo (7.56) en (7.54) y (7.55) resulta siN(s) es par:

(7.57)

Análogamente si N(s) es impar (ver apéndice).

7.3.4 Realización de escaleras LC doblemente terminadas

A la hora de realizar una escalera LC doblemente terminada a partir de los parámetros deimpedancia o admitancia se plantean distintas preguntas como: ¿qué parámetro escoger comoimpedancia de síntesis? ¿como realizarla de forma que el filtro tenga los ceros de transmisión,determinados en parte por el numerador de z12, correctos?, ¿cómo asegurar que la impedanciaen la segunda puerta z22 se realiza simultáneamente con z11 y z12?

Ya que la inmitancia de síntesis debe representar a la escalera completa seleccionaremosuna de las dos funciones (entre z11, z22, y11, y22) que sean de mayor orden.

Para contestar a la segunda pregunta recordamos que los ceros de transmisión se realizanmediante polos de impedancia (circuito abierto) en una rama en serie de la escalera, o polos deadmitancia (cortocircuito) en una rama en paralelo. Esto quiere decir que en algún momento del

z12RsRL

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-----------------------=

z11 Rs

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp–

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-------------------------= z22 RL

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp+

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-------------------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

p

Dp s( )N s( )--------------= 1

H----⎝ ⎠⎛ ⎞

i

Di s( )N s( )-------------=

Kp s( )F̂p s( )N s( )-------------= Ki s( )

F̂i s( )N s( )------------=

z11 RsDp F̂p–

Di F̂i+------------------= z22 RL

Dp F̂p+

Di F̂i+-------------------= z12

RsRLN

Di F̂i+--------------------=



proceso de realización de la inmitancia de síntesis, ésta debe tener un polo o cero que coincidacon un cero de transmisión, cosa que no ocurrirá de forma automática en la mayoría de los casos.Este problema se resuelve mediante la técnica de desplazamiento de cero o eliminación parcialde polos.

Supongamos una impedancia de síntesis, por ejemplo, z11(s) con un cero en s=0 y un poloen s=∞. Por tanto,

(7.58)

y K∞ es el residuo. En la Fig.7.10 se representa la reactancia (z11(ω)=jx11(ω)). Si tal como seha realizado en el tema 7 se elimina este polo de z11 la función restante:

(7.59)

ya no tiene polo en s=∞ ya que este polo se ha eliminado completamente. Si nos fijamos en eldiagrama de la Fig.7.10(a) podemos observar que el cero en ω=ω2 se ha movido a la posiciónmarcada con un triángulo y el cero en ω=ω4 se ha desplazado a infinito.

Si en lugar de eliminar totalmente el polo en infinito se elimina solo parcialmente restandoun término Ks donde K<K∞, la función restante,

(7.60)

tiene todavía un polo en infinito con residuo K1=K∞−K>0. En este caso los ceros ω2 y ω4 sedesplazarán a las posiciones marcadas con un cuadrado en la Fig.7.10(a). Obsérvese que no sedesplaza el cero en el origen y los polos en ω1 y ω3.

Consideremos ahora la inversa de la impedancia de síntesis 1/z11(s). Se intercambiaránpolos y ceros. La Fig.7.10(b) muestra la correspondiente reactancia que ahora tiene un polo ens=0:

(7.61)

siendo K0 el residuo.Si se elimina este polo completamente la admitancia restante tiene ahora un cero en s=0

ya que el cero en ω1 se mueve al origen como se muestra en la Fig.7.10(b). El cero en ω3 sedesplaza a la posición marcada con un triángulo. Si se elimina el polo solo parcialmenterestando a la admitancia un término K/s con K<K0, la admitancia restante aún tiene un polo enel origen con residuo K1=K0−K>0 y los ceros en ω1 y ω3 se mueven a las posiciones señaladascon un cuadrado. Puede observarse que el cero en infinito y los polos en ω2 y ω4 no se hanmovido.

En la Fig.7.10(c) puede observarse que algo similar ocurre si se elimina completa oparcialmente un polo interno, por ejemplo s=jω3.

z11s ∞→lim s( ) sK∞=

z1 z11 K∞s–=

z1 z11 Ks–=

1z11 s( )--------------

s 0→lim

K0s------=



De la discusión anterior pueden obtenerse las siguientes conclusiones:

Fig.2.9 Schauman

Figura 7.10: Funciones de reactancia para ilustrar la eliminación parcial y total de polosen: (a) infinito, (b) cero, (c) interno.



1) Los ceros de inmitancia se mueven hacia la localización de los polos eliminados totalo parcialmente y en su desplazamiento nunca cruzan un polo adyacente.

2) La magnitud del desplazamiento del cero depende del valor de K, de en qué proporciónse ha eliminado el polo.

3) Cuanto más cercano está un cero al polo eliminado parcialmente mayor es en generalla distancia que se desplaza.

4) Ya que la eliminación parcial de un polo no reduce el orden de la función de inmitanciacuesta un elemento adicional si se elimina en s=0 o s=∞ y dos elementos si se eliminaparcialmente un polo interno.

Veamos entonces cómo podemos realizar un cero de transmisión en ωz. Se eliminaparcialmente un polo, normalmente en el origen o en infinito y ocasionalmente un polo interno,de la inmitancia de síntesis o de su inversa de manera que un cero de dicha inmitancia sedesplace hasta coincidir con la posición del cero de transmisión en ωz. La función restante seinvierte y el nuevo polo en ωz se elimina completamente realizándose de esta forma el cero detransmisión en ωz. Ya que lo ceros se desplazan hacia el polo eliminado, el cero de transmisióndebe estar entre el cero a desplazar y el polo que se elimina parcialmente.

Supongamos que z11(s) con polos en s=0 y s=∞ se escoge como inmitancia de síntesis. Sise ha de desplazar un cero de z11 a mayores frecuencias de manera que la función restante sea0 en jωz, se elimina parcialmente el polo en ∞ y el residuo parcial K se obtiene de:

(7.62)

Si el cero de z11 se ha desplazar a frecuencias más bajas se elimina parcialmente el polo en 0 yel residuo parcial viene dado por:

(7.63)

Para llevar a cabo este proceso sistemáticamente es conveniente hacer un diagrama polo/ceroque muestre las posiciones relativas de polos y ceros en el eje jω.

Los polos de z12 están contenidos en los polos de z11 por lo que el procedimiento haimplementado los polos y ceros de z12. Por tanto, la z12 implementada no puede diferir de laprescrita más que por una constante multiplicativa K, que puede obtenerse analizando el circuitoobtenido. Este problema puede subsanarse colocando en cascada un transformador de valor K:1,tal como se ilustra en la Fig.7.11.

Hemos visto, pues, que con la eliminación parcial de polos y desplazamiento de ceros sepuede sintetizar z11 y z12 excepto una constante. Pero, cómo podemos asegurar que laimpedancia z22 se ha realizado correctamente?

Conviene introducir algunas definiciones. Un polo se denomina compartido si estápresente en las tres zij con residuo distinto de cero. Un polo se denomina privado si aparece sólo

z11 s( ) Ks–[ ]jωz0= K⇒

z11 jωz( )jωz

--------------------=

z11 s( ) Ks----–

jωz

0 K jωzz11 jωz( )=⇒=



en z11 o z22. Un polo se denomina compacto si la condición de residuo se verifica con el signo= y no compacto si se verifica con el signo >.

La solución a nuestro problema viene dada por el teorema de Bader:"Si en el desarrollo de la escalera cada eliminación parcial de un polo a una frecuencia

dada ωk es seguido por una eliminación total de un polo a la misma frecuencia, entonces losparámetros de impedancia o admitancia del circuito implementado tendrán únicamente poloscompartidos compactos."

Puede demostrarse que si no se lleva a cabo la eliminación total del polo en ωk, lainmitancia z22 realizada tendrá un polo privado en ω=ωk si ωk no es polo de los parámetros deimpedancia o admitancia; o los parámetros realizados tendrán un polo no compacto en ω=ωk siωk es polo de los parámetros de impedancia o admitancia. Según (7.47), ambos casos conducena un cero de transmisión en ωk.

Existe un segundo teorema de Bader que también tiene gran importancia:"Si ninguna de las impedancias en serie o admitancias en paralelo tiene un polo en un polo

ωp de los parámetros de impedancia z (o y), entonces los parámetros de impedancia z (o y)implementados tienen un polo compacto en ω=ωp."

Por tanto, si se ha seguido el teorema de Bader, la z22 realizada no tiene polos privados ysatisface la condición de residuo en todos sus polos con el signo =. Por otra parte, la z22 prescritaes realizable por lo que todos sus polos satisfarán la condición de residuo con el signo ≥. Portanto, el residuo en cada polo de z22 prescrita es como mínimo igual de grande que la sintetizada.Por tanto, podemos escribir la siguiente relación entre la z22 prescrita y la realizada:

Fig.6.10 Temes

Figura 7.11: Implementando la z12 prescrita.

Kz12realz12presc------------------=

K:1

K2Z

K2RL



(7.64)

Por tanto, sintetizando Z en serie con la segunda puerta realizará la bipuerta sin afectar a z12 yz11, como puede observarse en la Fig.7.11.

El transformador ideal puede eliminarse sin más que trasladar la impedancia Z y RL al ladoprimario. Para que la impedancia vista por el resto del circuito sea la misma las impedancias Zy RL deben multiplicarse por K2.7 El resultado se muestra en la Fig.7.11. El transformador encircuito abierto se ha eliminado. El resultado es únicamente un cambio en la constantemultiplicativa de V2 y del nivel de impedancia en la segunda puerta pero esto carece deimportancia en la mayoría de las aplicaciones.

En resumen, el conjunto de pasos para obtener un filtro escalera LC doblementeterminado a partir de las especificaciones en el dominio de la frecuencia son:

1) Obtener la función de transferencia a partir de las especificaciones mediante algunatécnica de aproximación de filtros.

2) Obtener los parámetros de inmitancia de la bipuerta a partir de los parámetros de trans-ducción. Elegir como inmitancia de síntesis una entre z11, z22, y11, y22, y que tenga elmismo orden que H(s).

3) Para las inmitancias de síntesis y transferencia elegidas dibujar diagramas polo/cerocon la posición relativa de polos, ceros y ceros de transmisión.

4) Mover un cero de la inmitancia de síntesis hasta hacerlo coincidir con un cero de trans-misión mediante la eliminación parcial de un polo en el origen o en infinito. Normal-mente no es necesario eliminar un polo interno. No olvidar que los polos eliminadosparcialmente deben ser normalmente eliminados completamente más adelante.

5) Invertir el resto de la inmitancia de síntesis y eliminar completamente el polo obtenidoen la localización del cero de transmisión.

6) Repetir los pasos 4) y 5) hasta que la inmitancia de síntesis se reduce a 0.7) Analizar la escalera resultante a una frecuencia conveniente (normalmente ω=0 o ω=∞)

para encontrar la constante K:

(7.65)

7. Para ver esta relación basta considerar que:

La impedancia que se ve desde la entrada es:

z22presz22real

Z+= donde ZΔk22

i( )

s jωi–---------------i( )∑=

v2 Ri2–=

v1i1-----

Kv2i2– K⁄--------------- K2R= =

Kz12realz12presc------------------= o K

y12realy12presc------------------=



Si K≠1 utilizar un transformador o cambiar la resistencia de carga para hacer la correc-ción necesaria.

8) Implementar la z22 restante en serie con la segunda puerta.9) Supongamos que denotamos la frecuencia y los elementos de un filtro prototipo paso

de baja mediante s, LLP y CLP.Si el filtro objetivo es paso de alta, la transformación LP→HP es:

(7.66)

y tendremos la transformación de elementos:

(7.67)

El filtro paso de alta se obtiene reemplazando cada inductor LLP por un condensadorCHP=1/LLP y cada condensador CLP por un inductor LHP=1/CLP.Si el filtro objetivo es paso de banda la transformación LP→BP es:

(7.68)

y la transformación de elementos será:

(7.69)

El filtro paso de banda se obtiene sustituyendo cada inductor LLP por la combinaciónen serie de LBPs=LLP/B y CBPs=B/LLPωo

2; y cada condensador CLP por la combinaciónen paralelo de CBPp=CLP/B y LBPp=B/CLPωo

2.Si el filtro objetivo es rechazo de banda la transformación LP→BR es:

(7.70)

y la transformación de elementos será:

s 1p---=

sLLP1p---LLP→ 1

pCHP-------------=

sCLP1p---CLP→ 1

pLHP-------------=

sp2 ωo

2+pB------------------=

sLLP LLPp2 ωo

2+pB------------------→ p

LLPB---------

LLPωo2

pB----------------+ pLBPs

1pCBPs

--------------+= =

sCLP CLPp2 ωo

2+pB------------------→ p

CLPB---------

CLPωo2

pB----------------+ pCBPp

1pLBPp

--------------+= =

s pBp2 ωo

2+------------------=

7.4 Realización de filtros pasa todo LC


(7.71)

El filtro rechazo de banda se obtiene sustituyendo cada inductor LLP por la com-binación en paralelo de CBRp=1/BLLP y LBRp=BLLP/ωo

2 y cada condensador CLP porla combinación en serie de LBRs=1/BCLP y CBRs=BCLP/ωo

2.10)Finalmente habrá que desnormalizar los elementos si es necesario.Puede ocurrir que los valores finales obtenidos de L y C tengan un rango de variación

entre el menor y el mayor muy grande, lo cual no es muy conveniente para implementación. Enese caso se pueden utilizar una serie de transformaciones que reducen esas relaciones de valoresa unas más prácticas.

Finalmente, hacer notar que hemos realizado eliminación parcial de polos y ceros,normalmente en s=0 o s=∞, para desplazar un cero a la posición del cero de transmisión yentonces una eliminación total del polo para realizar ese cero. Dicha eliminación parcial delpolo crea un cero de transmisión en esa posición si no hay una eliminación total posterior. Si lahay, esta eliminación total creará un cero de transmisión. Por tanto, para poder realizar elproceso de implementación la función de transferencia debe tener un cero de transmisión ens=∞ (en el caso de paso de baja y paso de banda) y/o s=0 (en el caso de paso de alta y paso debanda).


Se ha visto con anterioridad que los ceros de una función pasa todo están localizados enel semiplano derecho del plano s y que son imágenes especulares de los polos:

(7.72)

También sabemos que el polinomio de transmisión cero N(s) debe tener todos los cerosen el eje jω para ser realizable como escalera LC. Podemos concluir que las funciones pasa todono son realizables con escaleras LC. Una estructura adecuada para implementarlos es laestructura simétrica "lattice" de la Fig.7.12 donde las impedancias LC Z1 y Z2 satisfacen larelación8:

8. La estructura es simétrica, tanto la resistencia del generador como la de carga son Ro.

sLLP LLPpB

p2 ωo2+

------------------→ 1

p 1LLPB-------------

ωo2

pBLLP----------------+

--------------------------------------- 1

pCBRp

1pLBRp

--------------+------------------------------------= =

sCLP CLPpB

p2 ωo2+

------------------→ 1

p 1BCLP-------------

ωo2

pBCLP-----------------+

----------------------------------------- 1

pLBRs

1pCBRs

--------------+-----------------------------------= =

H s( ) D s–( )D s( )

---------------=



(7.73)

El análisis de dicha estructura muestra los siguientes parámetros de impedancia:

(7.74)

Utilizando (7.47) se obtiene que la función de transferencia H(s)=V2/V1 es:

(7.75)

De la misma forma la impedancia de entrada resulta:

Z1 s( )Z2 s( ) Ro2=

Fig.2.15 Schauman

Figura 7.12: Estructura lattice sin pérdidas de resistencia constante.

Ia

Ib

z11V1I1------

I2 0=

V1Ia Ib+---------------

I2 0=

12--- Z1 Z2+( ) z22= = = =

z12V2I1------

I2 0=

IaZ2 IbZ1–Ia Ib+---------------------------

I2 0=

12--- Z2 Z1–( )= = =

H s( )V2V1------

2Roz12

z11 Ro+( ) z22 Ro+( ) z122–

--------------------------------------------------------------Ro Z2 Z1–( )

Z12-----

Z22----- Ro+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞2 1

4--- Z2 Z1–( )2–-------------------------------------------------------------------------= = = =

Ro Z2 Z1–( )

Ro2 Z1Z2 Z2Ro Z1Ro+ + +

-------------------------------------------------------------Ro Z2 Z1–( )

2Ro2 Z2Ro Z1Ro+ +

----------------------------------------------Z2 Z1–

2Ro Z2 Z1+ +---------------------------------= = = =

Ro2

Z1------ Z1–

2Ro Z1Ro

2

Z1------+ +

----------------------------------Ro

2 Z12–

Z12 Ro

2 2RoZ1+ +----------------------------------------

Ro Z1–Ro Z1+------------------

1Z1Ro------–

1Z1Ro------+

---------------= = = =



(7.76)

La impedancia de entrada es independiente de la frecuencia. Por ello, este circuito se denomina"lattice" de resistencia constante.

Z1 y Z2 son impedancias LC por lo que Z1(jω)/Ro es imaginario puro y (7.75) será elcociente de dos números complejos conjugados. Por tanto, la magnitud |H(jω)|=1. Enconsecuencia, el circuito "lattice" LC de resistencia constante es un filtro pasa todo cuyaimpedancia de entrada es igual a la resistencia de carga para todas las frecuencias.

Se deduce una interesante propiedad: una conexión en cascada de varias "lattices" deresistencia constante tiene una función de transferencia en tensión que es simplemente elproducto de las funciones de transferencia de los bloques individuales:

(7.77)

ya que cada celda ve únicamente una resistencia de carga Ro.Por tanto, si se ha realizado una escalera LC con una resistencia de carga RL y tenemos

que corregir su fase o retraso, se puede reemplazar RL por una "lattice" o una cascada de"lattices" terminadas en RL. La operación de la escalera LC no se ve afectada ya que su cargano varía.

Veamos ahora la realización de una función pasa todo de orden n:

(7.78)

Si n es par el polinomio Dn(s) se puede factorizar en términos de la forma:

(7.79)

y si n es impar en factores de este tipo y un factor de primer orden:

(7.80)

Por tanto, la función de transferencia global puede escribirse como:

Zin z11z12

2

z22 Ro+-------------------–Z12-----

Z22-----

14--- Z2 Z1–( )2

Z12-----

Z22----- Ro+ +

-------------------------------–+= = =

Z1Z2Z2Ro

2------------Z1Ro

2------------+ +

Z12-----

Z22----- Ro+ +

------------------------------------------------- Ro= =

VoV1------

V2V1------

V3V2------= …

VnVn 1–------------

VoVn------

Hn s( )Dn s–( )Dn s( )

-----------------=

s2 sωiQi----- ωi

2+ +

s σ+



(7.81)

Por tanto, H1 y H2i pueden realizarse separadamente y obtener Hn mediante la cascada de todasellas. Se reduce el problema a implementar funciones pasa todo de primer y segundo orden.Supondremos que está normalizado: Ro=1.

Para la función de primer orden:

(7.82)

Comparando con (7.75):

(7.83)

La realización de esta función se muestra en la Fig.7.13(a). La Fig.7.13(b) es un equivalente contierra común que puede analizarse y comprobar que es un circuito equivalente.

Para el caso de la función de segundo orden:

(7.84)

Por tanto, Z1 y Z2 son:

Hn s( ) σ s–σ s+------------

s2 sωi Qi⁄– ωi2+

s2 sωi Qi⁄ ωi2+ +

------------------------------------------i∏ H1 s( ) H2i s( )

i∏= =

H1 s( ) σ s–σ s+------------ 1 s σ⁄–

1 s σ⁄+-------------------= =

Z1 s( ) 1Z2 s( )------------- s

σ---= =

Figura 7.13: Estructura pasa-todo de primer orden de resistencia constante: (a) latticede 4 elementos; (b) circuito equivalente con tierra común.

(a) (b)

H2i s( )s2 sωi Qi⁄– ωi

2+

s2 sωi Qi⁄ ωi2+ +

------------------------------------------

1sωi Qi⁄

s2 ωi2+

------------------–

1sωi Qi⁄

s2 ωi2+

------------------+---------------------------= =



(7.85)

cuya realización se muestra en la Fig.7.14(a). El circuito de la Fig.7.14(b) es un circuitoequivalente de tierra común.

Z1 s( ) 1Z2 s( )-------------

sωi Qi⁄

s2 ωi2+

------------------= =

Figura 7.14: Estructura pasa-todo de segundo orden de resistencia constante: (a) latticede 8 elementos; (b) circuito equivalente con tierra común.

(a)

(b)

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