sapata 24 04 2013
TRANSCRIPT
Insert picture(s) here
Engenharia de Estruturas .
Turma: 2013/1
Disciplina: Fundações
Insert picture(s) here
TENSÕES DE CONTATO EM FUNDAÇÕES
SUPERFICIAIS-SAPATA
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Agradecimentos
• O material didático apresentado a seguir apenas foi possível
graças ao apoio dos Professores Élvio Mosci Piancastelli e José
Ernani da Silva Silveira, ambos profissionais renomados na
Engenharia Geotécnica Nacional.
• Os slides que seguem são adaptações das notas de aulas:
- Curso de Estruturas de Fundação
- Fundações Superficiais
- Fundações em Estacas
3
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
1. DEFINIÇÃO E TIPOS
Fundação superficial ( rasa ou direta) é definida pela NBR-
6122/2010 - Projeto e Execução de Fundações - como sendo:
o “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno
pelas tensões distribuídas sob a base da fundação (tensões de
contato[1]), e a profundidade de assentamento em relação ao
terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor
dimensão da fundação”.
4
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
1. DEFINIÇÃO E TIPOS
As fundações superficiais, segundo a NBR 6122/2010, dividem-se nos seguintes
tipos:
• Sapata: “elemento de fundação superficial, de concreto armado, dimensionado de
modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de
armadura especialmente disposta para esse fim”.
• Bloco: “elemento de fundação superficial de concreto, dimensionado de modo que
as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo concreto, sem
necessidade de armadura”.
• Radier: “elemento de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares
de uma estrutura, distribuindo os carregamentos”.
Sapata Bloco Radier
5
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
1. DEFINIÇÃO E TIPOS
• Sapata associada: “sapata comum a mais de um pilar”.
• Sapata corrida: “sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de
pilares ao longo de um mesmo alinhamento”.
Apesar de não descrito pela NBR 6122/2010, mas por ser muito utilizado em
edificações de um ou dois andares, convém incluir:
• Bloco corrido: “bloco sujeito à ação de uma carga distribuída linearmente”.
Sapata associada Sapata corrida Bloco corrido
6
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
Fundação rígida: quando a superfície de contato, inicialmente plana, continua plana
após o deslocamento do solo (recalque).
Fundação flexível: quando ela deixa de ser plana.
OBS: Pelas situações mostradas na Figura 2-1, pode-se deduzir que, para as mesmas condições de
solo e superfície de contato, a altura da fundação é que definirá se ela será rígida ou flexível.
Figura 2.1 - Fundações Superficiais Rígidas e Flexíveis
7
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
(Equação 2-1)
No caso em questão, como interessa a interação entre a fundação e o solo, deve-se
relacionar a rigidez da fundação com a do solo, conforme definido pela equação 2-1, ou
seja, relacionar a flecha da fundação superficial com o recalque do solo.
Em análise estrutural, o coeficiente de rigidez é definido como a relação entre uma
ação (carga) e um deslocamento provocado, ou seja:
kA
D
onde:
k = coeficiente de rigidez;
A = ação (carga concentrada, distribuída ou momento);
D = deslocamento (linear ou rotação).
8
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
Dentro do exposto, considerada como uma placa, uma fundação direta pode ter sua
rigidez definida numericamente pela expressão (Pires, A.C.X.):
(Equação 2-2)
Como pode ser verificado pela Equação 2.2, a rigidez de uma fundação superficial é
função do seu material (Ec), da sua geometria (m, n, I) e do tipo de solo (Es)
subjacente.
onde:
K = coeficiente de rigidez;
Ec = módulo de deformação longitudinal (ou de
elasticidade) do concreto;
Es = módulo de deformabilidade, ou edométrico (ou de
elasticidade) do solo;
m = dimensão da placa na direção da flexão analisada;
n = dimensão da placa ortogonal à dimensão “m”;
h = espessura da placa;
I = momento de inércia da seção transversal = ( );
KE I
E m n
c
s3
9
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
Para fundações superficiais retangulares, com superfície de contato de dimensões “a
b”, conforme Figura 2-2, a aplicação da equação 2-2 fornece:
(Equação 2-3a)
(Equação 2-3b)
flexão na direção de “a” KE
E
h
aa
c
s
12
3
flexão na direção de “b” KE
E
h
bb
c
s
12
3
Figura 2-2 - Dimensões de Fundações Superficiais Retangulares
10
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
A norma alemã - DIN 4018 - considera:
• estrutura rígida se K ≥ 0,5;
• estrutura flexível se 0 ≤ K ≤ 0,5.
Para que se tenham fundações rígidas, ou seja, K ≥ 0,5, as Equações 2-3 conduzem a:
(Equação 2-4a)
(Equação 2-4B)
Observa-se que é critério comum denominar como “a” a maior dimensão da sapata.
Assim sendo, salvo raríssimas exceções, basta a utilização da Equação 2-4a para a
definição da rigidez da sapata.
11
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
O valor do módulo de deformação longitudinal do concreto (Ec) pode ser obtido pela
expressão abaixo, conforme a NBR-6118/2003-2007:
[em MPa] (Equação 2-5)
Por ter sido utilizado nos exemplos do item 2.1, observa-se que, pela NBR 6118/1976, o
valor de Ec era dado pela fórmula
[em kgf/cm2] (Equação 2-6)
35000.219,0 ckc fE
ckc fE 600.585,0
12
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
O módulo de deformabilidade do solo (Es) pode ser obtido, com base no SPT, através
das correlações dadas pela Tabela 2-1 (Silveira, J.E.S.).:
TIPO DE SOLO Módulo Deformabilidade (Es) - kgf/cm2
Areia com pedregulhos 33,0 N
Areia 27,0N
Areia siltosa 21,0 N
Areia argilosa 16,5 N
Silte arenoso 22,5 N
Silte 17,5 N
Silte argiloso 12,5 N
Argila arenosa 21,0 N
Argila siltosa 10,0 N ( N = valor do SPT )
Tabela 2-1 - Valores do Módulo de Deformabilidade do Solo ( Es )
13
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
Apesar da formulação apresentada acima (Equações 2-4) não corresponder exatamente
à situação real, ela indica valores capazes de bem orientar o dimensionamento de
fundações superficiais.
Como exemplo dessa não fidelidade, cita-se o fato dela não considerar as dimensões dos
pilares, o que implica na obtenção de coeficientes de rigidez (K) inferiores aos reais, o
que conduz a uma altura de fundação acima da realmente necessária, quando se projeta
uma fundação rígida.
Para a consideração das dimensões do pilar (ao bo - Figura 2-2) pode-se, nas equações
2-3 e 2-4, como critério do autor, substituir as dimensões da fundação (a x b) por:
(Equação 2-7a)
(Equação 2-7b)
a a apor
o
b b bpor
o
14
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.1-EXEMPLOS SOBRE FUNDAÇÕES RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
2.1 Calcular a altura mínima para uma sapata rígida de dimensões 3x2m,
fck=30 MPa, assentada sobre argila siltosa com SPT igual a 5..
onde a =maior dimensão da sapata
Para a sapata ser rígida h≥31cm
cmh
E
E
Eah
c
c
s
31000.261
50300.6
.kgf/cm 50 = 5 10 = E
kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0
6
3
3
2
s
2
3
3
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
15
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.2 Calcular a altura mínima para uma sapata rígida de dimensões 3x2m,
fck=30MPa, assentada sobre areia c/ pedregulhos, com SPT igual a 20.
onde a =maior dimensão da sapata
Para a sapata ser rígida h≥74cm
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
cmh
E
E
Eah
c
c
s
74000.261
660300.6
.kgf/cm 660 = 2033 = E
kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0
6
3
3
2
s
2
3
3
16
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.3 Calcular a altura mínima para uma sapata rígida de dimensões 6x2m,
fck=30MPa, assentada sobre argila siltosa com SPT igual a 5..
onde a =maior dimensão da sapata
Para a sapata ser rígida h≥63cm
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
cmh
E
E
Eah
c
c
s
63000.261
50600.6
.kgf/cm 50 = 5 10 = E
kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0
6
3
3
2
s
2
3
3
17
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.4 Calcular a altura mínima para uma sapata rígida de dimensões 6x2m,
fck=30MPa, assentada sobre areia c/ pedregulhos, com SPT igual a 20.
onde a =maior dimensão da sapata
Para a sapata ser rígida h≥149cm
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
cmh
E
E
Eah
c
c
s
149000.261
660600.6
.kgf/cm 660 = 2033 = E
kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0
6
3
3
2
s
2
3
3
18
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.5 Calcular a altura mínima para uma sapata rígida de dimensões 3x2m,
fck=30MPa, assentada sobre rocha sã.
onde a =maior dimensão da sapata
Para a sapata ser rígida h≥1.090cm (inviável)
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
cmh
E
E
E
Eah
c
c
c
s
090.1000.261
000.261600.6
kgf/cm 261.000 = E
kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0
6
3
3
2
s
2
3
3
19
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.6 Comparar os resultados dos exemplos 2-1 a 2-4, objetivando obter a
relação entre a altura da sapata e a sua maior dimensão em planta, para que
ela seja rígida.
Resumo dos resultados dos exemplos 2-1 a 2-4 (para a sapata ser rígida):
cmhcmKgfE
cmhcmKgfE
cmhcmKgfE
cmhcmKgfE
s
s
s
s
149/660 20SPT ped.c/ (areia resistente solo 6m,x 2Sapata
63/50 5)SPTsiltosa (argila fraco solo 6m,x 2Sapata
74/660 20)SPT ped.c/ (areia resistente solo 3m,x 2Sapata
31/50 5)SPTsiltosa (argila fraco solo 3m,x 2Sapata
2
2
2
2
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
20
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Portanto sendo a= maior dimensão da sapata, tem-se:
Solo fraco:
Substituindo-se, conforme Equação 2-7a, “a” por “a - ao”, tem-se:
Solo resistente:
Substituindo-se, conforme Equação 2-7a, “a” por “a - ao”, tem-se:
(Equação 2-8)
aha
h10,010,0
600
63
300
31
aha
h25,025,0
600
149
300
74
10
oaah
4
oaah
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
21
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
2.2- RIGIDEZ SEGUNDO A NBR 6118/ 2003-2007:
Segundo o item 22.4.1 da NBR 6118/2003-2007, uma sapata será rígida se
atender às duas equações a seguir. Caso contrário ela deverá ser considerada
flexível.
(Equação 2-9a)
(Equação 2-9b)
Considerando a Equação 2-4, pode-se verificar que as Equações 2.9 garantem
ser rígidas sapatas apoiadas em solo com SPT ≤ 48, ou seja, solos com tensão
admissível próxima de 10 kgf/cm².
Salienta-se que a máxima tensão admissível normalmente adotada em projetos
é 5 kgf/cm², correspondente a um SPT da ordem de 25 golpes.
2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS
3
oaah
3
obbh
22
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
3. TENSÕES DE CONTATO - FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS
FLEXÍVEIS
No cálculo das tensões de contato (tensões no solo imediatamente sob a
fundação), o fator de maior relevância é a rigidez da fundação.
No caso de fundações superficiais flexíveis, a tensão de contato em um ponto
qualquer depende de seu recalque (deslocamento vertical). A expressão que
relaciona tensão com deslocamento é definida pela Equação 5.1.
(Equação 3-1)
Onde:
σ = tensão de contato em determinado ponto.
s = deformação do solo naquele ponto (recalque).
Cr = coeficiente de recalque do solo (unidade, p.ex., kgf/cm²/cm = kgf/cm³).
rCs.
23
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
3. TENSÕES DE CONTATO - FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS
FLEXÍVEIS
Normalmente, evita-se projetar fundações superficiais
flexíveis. Entretanto, quando a fundação é assentada
sobre rocha, não há como contornar o problema, sendo
a fundação flexível, visto que a altura a ser adotada
para torná-la rígida é inviável (ver exemplo 2-5).
Nesse caso específico (fundação sobre rocha), a
NBR6122/96 recomendava que, no cálculo estrutural,
fosse adotado o diagrama de tensões mostrado na
Figura 3-2.
Figura 3-1 - Fundações Flexíveis
Figura 3-2 - Distribuição de Tensões de
Contato para Fundações Apoiadas em
Rocha
24
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
3. TENSÕES DE CONTATO - FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS
FLEXÍVEIS
No caso de fundações rígidas - Figura 3-3 -, pelo fato da superfície de contato permanecer
plana, a tensão em determinado ponto sob a base será função, além do carregamento e da
geometria da fundação, principalmente, de sua posição em relação ao centro de gravidade
da seção da base.
Salienta-se que, nas expressões dadas a seguir, não existem termos relativos às
características do solo suporte, dando a falsa impressão deles não influírem. Deve-se
lembrar, entretanto, que para se definir a fundação como rígida, o tipo e a resistência do
solo foram considerados (ver exemplos 2-1 a 2-5).
As equações da resistência dos materiais, referentes a tensões normais e tensões normais
na flexão, podem ser utilizadas nos cálculos.
Figura 3.3 - Fundações Rígidas
25
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
As tensões de contato de fundações superficiais rígidas podem ser calculadas utilizando-se
as equações da resistência dos materiais, referentes às tensões normais e tensões
normais na flexão.
Condição necessária para a utilização daquelas equações é a de não haver deslocamentos
relativos entre os pontos da superfície de contato, ou seja, que essa superfície permaneça
plana (o que ocorre apenas nas fundações superficiais rígidas).
A equação básica:
(Equação 4-1)
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
xI
My
I
M
A
N
y
y
x
x
yx ,
26
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A Figura 4-1 ilustra o descrito. Nela, os pontos I, II, III e IV são aqueles onde as pressões
são calculadas, visto que são locais onde ocorrem os valores máximo e mínimo.
Observa-se que os momentos “Mx” e “My”, podem também ser expressos em função da
carga normal (N) com excentricidades “ey” e “ex”, respectivamente, conforme Figura 4-2.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-1 - Parâmetros da Equação 4.1
Figura 4-2 - Momentos Expressos como Excentricidades da Carga Normal (N)
27
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Antes de continuar com o estudo da equação 4-1, convém comentar sobre a origem das
excentricidades da carga normal atuante na fundação, que são, como já visto, equivalentes
a momentos fletores aplicados na fundação.
As excentricidades podem ser classificadas como:
• Excentricidades Geométricas: quando devidas a pilares, mesmo aqueles solicitados
apenas por carga normal, cujo centro de carga não coincide com o centro de gravidade da
superfície de contato (pilar excêntrico).
• Excentricidades Estruturais: quando o pilar, mesmo concêntrico com a superfície de
contato, apresentar, pelo cálculo estrutural, reações horizontais ou reações momentos.
A Figura 4-3 ilustra os dois tipos de excentricidades.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-3 - Origem das Excentricidades da Carga Normal na Fundação
28
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Voltando à equação 4-1, é importante observar que ela só pode ser aplicada quando as
dimensões “lx” e “ly” e as excentricidades “ex”e “ey”, definidas na Figura 4-2, atenderem à
inequação:
(Equação 4-2)
A restrição imposta pela equação 4-2 garante que, ao se calcular as tensões no solo pela
equação 4-1, só sejam encontradas tensões de compressão, visto que é impossível existir
tensões de tração entre a fundação e o solo.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
e ex
x
y
yl l
1
6
29
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Em termos de geométricos, a equação 4-2 limita a excentricidade da carga normal ao
paralelogramo indicado na Figura 4-4, denominado “núcleo central”.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-4 - Campo de Validade da Equação 4-1 - Núcleo Central
30
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Em função da combinação de valores de carga normal e momentos, ou então, da posicão
da excentricidade dentro do núcleo central, podem ser obtidos, com a aplicação da
equação 4-1, diagramas de tensões de contato com as configurações indicadas na Figura
4-5.
Quando as excentricidades não atenderem à equação 14-2, as tensões no solo devem ser
calculadas conforme um dos dois subitens seguintes.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-5 - Configurações do Diagrama de Tensões de Contato pela Equação 9
31
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
4.1. EXCENTRICIDADE EM RELAÇÃO A APENAS UM DOS EIXOS
PRINCIPAIS DE INÉRCIA
a) Quando ex ≠ 0 e ey = 0, o diagrama de tensões é o indicado na Figura 4-6.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-6 - Diagrama de Tensões no Solo para ex ≠ 0 e ey = 0
32
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
b) Quando ey ≠ 0 e ex = 0, o diagrama de tensões é o da Figura 4-7.
Observa-se que as limitações impostas para 3 ex’ e 3 ey’ (Figuras 4-6 e 4-7) garantem a
área mínima comprimida da sapata.
A NBR 6122/2010 (em vigor), passou a exigir que, no mínimo 2/3 área da sapata esteja
comprimida (3e’x ≥ 2lx/3 e 3e’y ≥ 2ly/3).
A exigência de que mais de 50% da área da sapata estivesse comprimida (3e’x ≥ lx/2 e
3e’y ≥ ly/2) era citada na versão de agosto/1984 da NBR-6122.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-7 - Diagrama de Tensões no Solo para ey ≠ 0 e ex = 0
33
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
4.2. EXCENTRICIDADES EM RELAÇÃO AOS DOIS EIXOS PRINCIPAIS DE
INÉRCIA
A determinação do diagrama de pressões no solo é, neste caso, mais complexa.
Quatro situações distintas podem ocorrer, dependendo da posição (região) onde se
localizar a carga normal excêntrica. A Figura 4-8 indica essas quatro regiões.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Para limite de 2/3 da sapata comprimida - NBR-6122/2010 (EM VIGOR)
34
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
OBS.: caso a maior dimensão da sapata (“a”) esteja na direção do eixo “y”, trocar “a” por
“b”, na Figura 4-8 e em todas as expressões a seguir.
Salienta-se, na Figura 4-8, que existem quatro regiões 1, duas regiões 2 e duas regiões 3.
Para cada região, os diagramas de tensão no solo podem ser obtidos como a seguir
descrito (Pires, A.C.X.).
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Curiosidade: Para limite de 50% da sapata
comprimida – Até 2010
Figura 4-8 - As Quatro Regiões da Excentricidade
Externas ao Núcleo Central)
35
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
4.2.1. Região 1
A Figura 4-9 mostra a posição da linha neutra (lugar geométrico dos pontos de tensão nula)
para os casos em que a excentricidade da carga normal cai nessa região.
onde:
(Equação 4-3)
(Equação 4-4
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-9 - Região 1 - Posição da Linha Neutra
12
12 2
2
xx e
a
e
aat
12
12 2
2
yy e
b
e
bbs
36
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A tensão máxima é dada pela expressão:
(Equação 4-3)
onde:
As tensões nos pontos I e III podem ser obtidas através das relações:
(Equação 4-6)
Obs.: deve-se lembrar de que as tensões no solo são proporcionais às distâncias dos
pontos considerados à linha neutra (LN).
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
23,221169,312max
ba
N
e
a
e
b
x y
I
I
III
III
max
maxd d d
37
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Se desejado, maior precisão pode ser obtida pela geometria analítica, através das
seguintes expressões:
Equação da reta (a’x + b’y + c’ = 0) que passa por dois pontos P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2):
(Equação 4-3)
Obs.: os pontos P1 e P2 a serem considerados, correspondem, na Figura 4-9, às extremidades do
segmento que define a linha neutra, ou seja, P1 (-a/2 ; -s) e P2 (t ;b/2).
Distância de um ponto, P (xp, yp), à reta a’x + b’y + c’ = 0 :
(Equação 4-8)
Obs.: O ponto P corresponde ao ponto no qual se quer calcular a tensão no solo.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
y yy y
x xx x
1
2 1
2 11
d
a x b y c
a b
p p
, , ,
, ,2 2
38
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
4.2.2. Região 2
A Figura 4-10 mostra a posição da linha neutra para os casos em que a excentricidade da
carga normal cai nessa região.
onde:
(Equação 4-3)
(Equação 4-9)
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-10 - Região 2 - Posição da Linha Neutra
ta a
e
a
exx
12
122
2
tgb e
t e
y
x
1 3
2
2
39
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A tensão máxima é dada pela expressão:
(Equação 4-10)
A tensão no ponto I pode ser obtida através da relação:
(Equação 4-11)
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
maxN
a tg
a t
a t
12 2
122 2
I
I
max
maxd d
40
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
4.2.3. Região 3
A Figura 4-11 mostra a posição da linha neutra para os casos em que a excentricidade da
carga normal cai nessa região.
onde:
(Equação 4-4)
(Equação 4-12)
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
Figura 4-11 - Região 3 - Posição da Linha Neutra
sb b
e
b
eyy
12
122
2
tga e
s e
x
y
1 3
2
2
41
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A tensão máxima é dada pela expressão:
(Equação 4-13)
A tensão no ponto I pode ser obtida através da relação:
(Equação 4-14)
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
maxN
b tg
b s
b s
12 2
122 2
III
III
max
maxd d
42
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
4.2.4. Região 4
Com a excentricidade nesta região, o cálculo das tensões conduziria a um
diagrama de tensões com área comprimida inferior a 2/3 da área total da
fundação (NBR-6122/2010).
Portanto, pelo motivo já citado (item 4.1), quando a excentricidade cair nessa
região, as dimensões da fundação devem ser alteradas de forma que a carga
normal excêntrica fique nas regiões 1, 2 ou 3, claro, no caso de ser inviável que
ela seja posicionada dentro do núcleo central.
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
43
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Para que seja garantido que a carga normal excêntrica não cairá na região 4
(segundo a NBR-6122/2010), basta que as excentricidades “ex” e “ey” atendam à
inequação:
(Equação 4-15)
Por curiosidade, comenta-se que para o limite de 50% de área comprimida,
preconizado na NBR-6122/1984, a equação 4-15 se transformaria em:
(Equação 4-16)
4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA
TEORIA DA ELASTICIDADE
96,12
122
y
y
x
xee
ll
e ex
x
y
yl l
2 21
9
44
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Apenas como curiosidade, mostra-se, a seguir, o que a NBR 6122/1966 (não
mais em vigor) preconizava no item 6.3.1.3:
“No dimensionamento de uma fundação solicitada por carga excênctrica (V),
pode-se considerar a área efetiva (A) da fundação, conforme indicado na Figura
5-1 [4] . Nesta área efetiva atua uma pressão uniformemente distribuida ( ),
obtida pela equação:
[4] Figura 2, na NBR 6122.
(Equação 5-1)[5] ” [5] numeração do autor.
5. TENSÕES DE CONTATO PELA NBR 6122/1996 (NÃO MAIS
EM VIGOR
V
A
45
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Preconizava ainda, no item
6.3.1.4:
“A pressão uniformemente
distribuída (σ) deve ser
comparada à pressão admissível
com a qual deve ser feito o
dimensionamento estrutural da
fundação.”
5. TENSÕES DE CONTATO PELA NBR 6122/1996 (NÃO MAIS
EM VIGOR
Figura 5-1 - Área Efetiva de Fundação com Carga Excêntrica
46
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6.1 Calcular as tensões de contato para o bloco de fundação mostrado na figura.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
SOLUÇÃO: Pela equação temos.
Essa tensão é uniformemente distribuída em toda a
superfície de contato.
2
2
,
/67,2
/2675,12
800
cmkgf
mKNba
N
A
Nyx
47
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6.2 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura que está assentada sobre a rocha
e é solicitada por uma carga de 1500 KN.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
SOLUÇÃO: Pela equação temos.
22 /75,3/375
22
1500cmkgfmKN
ba
N
22 /5,7/75037522 cmkgfmKNmédio
48
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6.3 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura que está assentada sobre a rocha
e é solicitada por uma carga de 900 KN em um momento, em torno de ‘y’ de 180 KN.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
SOLUÇÃO: Pela equação temos.
A carga excêntrica cai dentro do núcleo central.
ma
mN
Me
y
x 5,06
3
620,0
900
180
²/9,0²/9060150
²/1,2²/21060150
²)/(601502
3
12
32
180
23
900
,
,
3,
mkgfmKN
mkgfmKN
mKNxI
M
ba
N
IIIII
IVI
y
y
yx
49
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6.4 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura sabendo que as solicitações são:
N= 1200KN, Mx= 180 KN.m e My= 300 KN.m.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
Cálculo da excentricidades.
Verificando a validade das equações tem-se:
.
mN
Me
mN
Me
xy
y
x
15,01200
180
25,01200
300
167,06
1158,0
2
15,0
3
25,0
6
1
y
y
x
x
I
e
I
e
50
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
2
2
2
2
,
/39010090200
/19010090200
/1010090200
/21010090200
10090200
mKN
mKN
mKN
mKN
IV
III
II
I
yx
2
min
2
max
/10
/390
mKN
mKN
LOGO:
2
3
12
32
300
2
2
12
23
180
23
120033,
x
I
My
I
M
A
N
y
y
x
xyx
51
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6.5 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura sabendo que as solicitações são:
N= 1200KN, Mx= 0 KN.m e My= 720 KN.m.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
Cálculo da excentricidades.
Verificando a validade das equações tem-se:
.
mN
Me
mN
Me
xy
y
x
01200
0
6,01200
720
167,06
12,0
2
0
3
6,0
?)(!6
1
y
y
x
x
I
e
I
e
52
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Como a excentricidade localiza-se sobre o eixo dos ‘x’ são válidas as relações seguintes.
Sendo
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
²/4440,29,03
200.12
1'3
2
)(5,12
3
2
17,29,03'3
9,06,02
3
2
1'6,0
max mKNe
N
okmx
me
mex
ee
yx
x
xxx
53
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
6.6 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura sabendo que as solicitações são:
N= 1200KN, Mx= 180 KN.m e My= 600 KN.m.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
Cálculo da excentricidades.
Verificando a validade das equações tem-se:
.
mN
Me
mN
Me
xy
y
x
15,01200
180
5,01200
600
167,06
124,0
2
15,0
3
5,0
?)(!6
1
y
y
x
x
I
e
I
e
54
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
É sempre bom conferir se não está na região 4.
Cálculo da posição da linha neutra e da tensão máxima.
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
mse
b
e
bbs
mte
a
e
aat
yy
xx
37,41215,0
²2
15,0
2
12
212
²
12
72,2125,0
²3
5,0
3
12
312
²
12
22
22
9
1333,0
2
15,0
3
5,0
?)(!9
1
22
22
y
y
x
x
I
e
I
e
55
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo da tensão máxima.
Cálculo de σI e σIII:
6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
²/501242,023,2242,0211242,069,312242,023
1200
242,02
15,0
3
5,0
23,221169,312
max
max
mKN
b
e
a
esendo
ba
N
IV
yx
IV
0
²/146
²/316
33,3
501
97,010,2max
max
II
III
I
IIII
III
III
I
I
mKN
mKN
ddd
56
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
O dimensionamento geométrico de fundações superficiais consiste na definição da
geometria de sua superfície de contato (base = a x b), para que as tensões
transmitidas ao solo não ultrapassem sua tensão admissível ( ou ) e para que a
área comprimida seja maior ou igual ao mínimo exigido.
7.1. FUNDAÇÃO ISOLADA PARA PILAR SOLICITADO POR CARGA NORMAL.
A área da base é diretamente definida através do primeiro termo da Equação 4-1, a saber:
(Equação 7-1)
Para fundação de base retangular, a expressão, transforma-se em :
(Equação 7-2)
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
N
A
A a bN
s adm
,
57
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Na definição das dimensões “a”e “b” da fundação, deve-se observar, conforme
Figura 7-1:
a) o centro de carga do pilar deve coincidir com o centro de gravidade da superfície
de contato;
b) nenhuma das dimensões deve ser menor do que 60cm (NBR-6122);
c) apesar de não haver qualquer menção na NBR-6122, é cultura difundida que,
sempre que possível, a relação entre os lados do retângulo (a/b) seja menor ou
igual a 2,5;
d) sempre que possível, os quatro balanços da fundação devem ser iguais (La =Lb),
pois isso conduz a um dimensionamento mais econômico.
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
58
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cabe, nesse momento, comentar sobre a carga normal (N) que solicita a fundação. Para que
haja filosofia única de cálculo, em qualquer situação de solicitação, a carga normal (N) a ser
considerada no projeto deve ser igual a:
(Equação 7-3)
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
N P PP PPpilar fund solo .
Figura 7-1 - Fundação com Carga Centrada -Condições para Determinação de a x b
onde:
Ppilar = carga normal do pilar;
PPfund. = peso próprio da fundação;
PPsolo = peso próprio do solo sobre a
fundação.
59
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
7.2. FUNDAÇÃO ASSOCIADA PARA PILARES SOLICITADOS POR CARGAS
NORMAIS.
Todas as considerações feitas nos itens “7.1.a” até “7.1.c” são válidas, desde que no item
“7.1.a” a expressão “centro de carga do pilar” seja substituída pela expressão “centro de carga
dos pilares”.
Com o parágrafo anterior, quer-se dizer que o centro de gravidade da fundação deve coincidir
com o centro de carga dos pilares, conforme ilustra a Figura 7-2
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
Figura 7-2 - Fundação com Carga Excêntrica - Condições para
Determinação de a x b
60
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Observa-se que na determinação das dimensões “a” e “b” da sapata, devem ser
utilizadas as cargas máximas de todos os pilares.
Observa-se, ainda, que, após a definição das dimensões conforme descrito acima,
as tensões no solo sob a mesma deverão ser calculadas considerando todas as
combinações possíveis de cargas máximas e mínimas dos pilares.
Tais cálculos, necessariamente, deverão ser feitos com base no descrito no item
7.3, pois a carga normal resultante será excêntrica.
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
61
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
7.3. FUNDAÇÃO SOLICITADA POR CARGA NORMAL EXCÊNTRICA
Quando a fundação é solicitada, além de carga normal, por momentos fletores, as
dimensões da base são obtidas por tentativas, empregando-se a equação 4-1, ou
as dos itens 4.1 e 4.2.
O procedimento de cálculo consiste em:
• definição preliminar das dimensões da fundação (a x b), de forma a atender às limitações
dadas na Figura 7-3, que ilustra o caso de excentricidade geométrica;
• cálculo das tensões de contato;
• comparação da tensão máxima de contato com a tensão admissível no solo;
• novo ciclo de cálculo, caso a tensão máxima supere a admissível.
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
62
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A NBR 6122/2010 define que, apenas nas hipóteses nas quais o vento seja o
carregamento principal, é permitido majorar a tensão admissível no solo de 30%.
Após o dimensionamento geométrico a definição final do projeto da fundação
depende apenas do dimensionamento estrutural, que será visto em itens adiante.
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
Figura 7-3 - Fundação com Carga Excêntrica -Condições para Determinação de a x b
63
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
7.4. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
Muito bons exemplos de dimensionamento geométrico para fundações superficiais solicitadas
por cargas não excêntricas podem ser encontradas no livro “Exercícios de Fundações” de
Urbano Alonso Rodrigues e na apostila “Curso de Estruturas de Fundações - 1a Parte” -
Escola de Engenharia da UFMG, de José Ernani da Silva Silveira.
A seguir, alguns exemplos de dimensionamento geométrico de fundações diretas solicitadas
por cargas excêntricas.
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
64
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Exemplo 7.4.1: Definir a seção da superfície de contato de uma sapata submetida a uma
carga normal de 20tf, momento de tfm, sabendo que a tensão admissível no solo é de 15tf/m²
.
Cálculo de ‘a’ para excentricidade ex ficar no limite do núcleo central(N.C):
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
mN
Me
mtfMM
y
x
y
325,020
5,6
.5,6
ma
ma
ea
x
95,1
325,066
65
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
1º tentativa:
Supondo que a=2,5
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
mbN
b adt
s
ref 153,05,215
12
²/28,1
²/2,14
64,682
5,2.
12
5,21
5,6
15,2
20
,
,
3
mtf
mtf
IIIII
IVI
66
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Exemplo 7.4.2: Definir a seção da superfície de contato de uma sapata submetida a uma
carga normal de 120tf, dois momentos perpendiculares de 12tfm e 9tfm, sabendo que a
tensão admissível no solo é de 205tf/m².
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
mN
MemtfM
mN
MemtfM
xyx
y
xy
075,0120
99
10,0120
1212
mbamA refrefref 23²620
120
67
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
1º tentativa. Adotando a=3,5 e b=2,5
2º tentativa. Adotando a=3,0 e b=2,5
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
²/90,8
²/52,18
35,246,271,132
5,3
12
5,35,2
12
2
5,2
12
5,25,3
9
5,25,3
120
max
max
33
mt
mt
²/90,9
²/1,22
2,388,20,162
0,3
12
0,35,2
12
2
5,2
12
5,20,3
9
5,20,3
120
max
max
33
mt
mt
68
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
3º tentativa. Adotando a=3,3 e b=2,5
7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
0
²/28,9
²/80,19
64,262,254,142
5,3
12
3,35,2
12
2
5,2
12
5,23,3
9
5,23,3
120
minmax
max
max
33
e
mt
mt
adm
69
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Como já visto, os blocos são projetados de forma que as tensões de tração sejam resistidas
pelo próprio concreto.
Definidas as dimensões da superfície de contato, pelo dimensionamento geométrico, o
dimensionamento estrutural do bloco de fundação consiste apenas na definição de sua altura.
A Figura 8-1 mostra as seções transversais mais utilizadas para esse elemento estrutural.
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
Figura 8-1 - Seções Transversais Mais Utilizadas para Blocos
70
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Os blocos, pela teoria da elasticidade, são dimensionados de forma que o ângulo - em
radianos -, conforme Figura 8-1, atenda à equação:
(Equação 8-1)
onde: β= ângulo, em radianos, conforme mostrado na Figura 8-1;
σadm= tensão admissível do terreno;
σct= tensão admissível de tração no concreto
Cálculo de σct segundo a NBR 6118/2003-2007:
com fck em MPa.
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
tg adm
ct
1
323
2
125,04,12,1
3,07,0fck
fckct
71
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Por curiosidade, apresenta-se o que era preconizado antes da NBR 6118/2003-2007, a saber:
(Equação 8-1)
resistência característica do concreto à tração, dada, pela
NBR 6118/1976 por:
para
ou
para
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
MPaf tk
ct 8,05,2
ftk
ff
tkck
10f PMPack 18
f f MPatk ck 0 06 0 7, , f MPack 18
72
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Salienta-se que, sempre, deve-se ter:
(Equação 8-2)
Definido o valor de “”, a altura “h” é obtida com base nas expressões:
(Equação 8-2),
(Equação 8-3)
Para a altura “h’, deve ser adota o maior dos dois valores entre “h1” e “h2”.
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
45o
h tga ao
12
h tgb bo
22
73
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
O dimensionamento de um bloco econômico é obtido quando se tem h1 igual a h2, o que
implica no atendimento da relação:
ou seja
(Equação 8-2)
Através da Tabela 8-1, elaborada com base na Equação 8-1, pode-se obter rapidamente o
valor de “”, a partir da relação “adm / ct ”.
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
a a b bo o
2 2
a b a bo o
Tabela 8-1 - Valores de Beta () em Função de adm ct
74
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
8.1. EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DE BLOCO
Exemplo 8.1.1:
Dimensionar bloco de fundação para um pilar com carga de 70tf(seção 20x40cm),
considerando que a tensão admissível no solo seja de Kgf/cm².
Aplicando a equação 8.1
Concreto fck=15MPa
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
OKMPa
cmkgff
cmkgffck
f
ct
tRct
tR
8,0
²/65,2
15
5,2
²/1510
150
10
75
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Considerando apenas a carga do pilar N=P pilar- 70000 kyf.
Resolvendo o sistema obtem-se:
Observa-se que a tensão no solo será:
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
cmba
cmba
202040
²000.352
000.70
cmbcmb
cmacma
adot
adot
180178
200198
2/94,1180200
000.70cmkgfs
76
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo da altura:
Verificando o peso do bloco:
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
cmhcmtgtgh adot
ct
adm
95922
20180º49
2
40200º49
º49333,06
2
tfPPbloco 5,72,295,08,12
77
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificando o peso do solo sobre o bloco:
Supondo o embutimento do bloco igual a 2m em somo com Ɣ=1,5t/m²
Cálculo da porcentagem da PP bloco + PP terra em relação a Ppilar.
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
tfPP
mhoembutimenth
terra
blocoterra
5,55,105,12,04,08,10,2
05,195,02
%6,18186.070
13
70
135,55,7
pilar
terrabloco
pilar
terrabloco
PP
PPPP
tfPP
tfPPPP
78
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Portanto verifica-se que o peso do bloco e da terra sobre ele são significativos em relação a
carga do pilar.
Um bom procedimento de cálculo é o seguinte:
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
º49
195
215
202040
²000.422
84000
84000000.702,12,1
com
cmb
cma
cmba
cmba
kgfPN pilar
cmtgtgh 1002
20195º49
2
40215º49
79
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificando a carga real normal: (h terra=2-1=1)
Cálculo do escalonamento do bloco:
H=100cm 4 espelhos de 25cm
Deve-se observar que o escalonamento deve ser tal que nenhuma reentrância se situe na
área definida pelos ângulos.β, conforme figura 8.1
Portanto a largura máxima de cada degrau deve ser calculada da seguinte forma:
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
cmP
cmtgtg
eP
P
etg
adot 20
7,21º49
25max
max
tf
PPPPP terrablocopilar
4,852,62,9705,112,04,095,115,2
2,2195,115,270
80
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificação da carga normal final. (N).
8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS
tfN
mtfmmtfmPPPPPN terrablocopilar
840,90,570
)/5,1³01,6(³)/2,2³29,2(70 3
PLANTA VISTA
81
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Definidas as dimensões da superfície de contato, pelo dimensionamento geométrico, o
dimensionamento estrutural de uma sapata, independentemente do método de cálculo
utilizado, consiste na definição de sua altura e das seções transversais de suas armaduras
(flexão, cisalhamento ou punção).
Inicialmente, ou seja, antes do dimensionamento a ser estudado, é conveniente que se
entenda claramente o conceito de “bielas comprimidas”.
Observem-se as duas vigas em balanço mostradas na Figura 9-1.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
Figura 9-1 - Vigas em Balanço - Flexão e Cisalhamento
82
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Constata-se que a diferença básica entre as duas vigas da figura consiste na ausência de
estribos na viga B, que ocorre em função da existência de uma única biela comprimida.
A viga B, na verdade, funciona como uma “mão francesa”, sendo dimensionada, portanto,
como uma treliça - o método das bielas comprimidas -, ao contrário da viga A que é
dimensionada à flexão e ao cisalhamento.
Balanços como o da viga B são chamados de “consolos curtos”, e se diferenciam dos demais
balanços pelo fato de obedecerem à relação:
(Equação 9-1)
Uma sapata cujas dimensões satisfaçam à equação 9-1 pode, por analogia, ser calculada
pelo método das bielas.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
L d altura util L 2
83
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A Figura 9-2 mostra a simbologia adotada para cada dimensão da sapata e as correlações
necessárias para que ela possa ser dimensionada pelo método das bielas.
Portanto, para poder ser utilizado o método das bielas, a altura útil da sapata deve atender,
simultaneamente a:
(Equação 9-2a)
(Equação 9-2b)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
Figura 9-2 - Método das Bielas - Relações Geométricas Necessárias (altura útil “d”)
a ad
a ao o
4 2
b bd
b bo o
4 2
84
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Salienta-se que os dois limites superiores da altura útil (d) da sapata, dados pelas
equações 9-2a e 9-2b, são pouco destacados na bibliografia técnica. Todavia, o
seu não atendimento pode causar surpresas desagradáveis, em função do
surgimento de elevadas tensões de tração bem acima da face inferior da sapata,
exigindo dois níveis de armadura.
Por não se tratar exatamente de um consolo curto, a altura útil “d” da sapata deverá
atender, também, ao dimensionamento à punção.
Entretanto, com o critério definido pela NBR 6118/2010 para uma sapata ser rígida,
o cálculo da punção é desnecessária (ver item 2.2)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
85
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Montoya, Messeguer e Morán recomendam que o rodapé (ho) e a inclinação () da sapata
(Figura 9-2) atendam às relações:
(Equação 9-3)
(Equação 9-4)
O ângulo de 30º corresponde, normalmente, ao ângulo de talude natural do concreto fresco.
Em sapatas com armadura de pequena bitola, tem-se projetado, sem problemas de
detalhamento, rodapé mínimo de 20 cm.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
hh
cmo 3
30
30o
86
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Observa-se que vários autores, limitavam inferiormente o valor da altura útil pela prática
fórmula a seguir, atribuída a Caquot:
(Equação 9-5)
A Figura 9-3 mostra o sistema de forças que formam a treliça interna, idealizada no método
das bielas, na direção do lado “a” da sapata.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cd
f
f
Pd
85,044,1
Figura 9-3 - Forças que Compõem a Treliça Interna Idealizada
87
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Os triângulos de forças e geométrico indicados na Figura 9-3, permitem escrever:
(Equação 9-6)
(Equação 9-6)
onde:
P = carga do pilar.
Ta = força total de tração na direção do lado “a” da sapata.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
tgT
P
a a
d
a
o
2
4 4
T
P a a
da
o
8
88
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A armadura total de tração na direção do lado “a” é dada por:
(Equação 9-8)
Analogamente, considerando a treliça na direção do lado “b” da sapata tem-se:
(Equação 9-9)
(Equação 9-10)
A armadura total de tração na direção do lado “b” é dada por:
(Equação 9-11)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
AsT
fAs b ha
a
yda min
140 001
,,,
tgT
P
b b
d
b
o
2
4 4
T
P b b
db
o
8
onde:
Tb = força total de tração na
direção do lado “b” da sapata.
AsT
fb
b
yd
1 4,
89
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Para a utilização do método nos casos de carga normal excêntrica, é preciso uniformizar o
diagrama de tensões no solo.
O critério mostrado na Figura 9-4 é bastante razoável, sendo, também, um dos mais utilizados
para obras em geral.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
Figura 9-4 - Método das Bielas - Uniformização do Diagrama de Tensões no Solo
90
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A NBR-6122/1984 admitia, para efeito de dimensionamento estrutural, a uniformização
mostrada na Figura 9-5.
Tal critério de uniformização pode ser bem menos conservador do que o primeiro,
dependendo das relações existentes entre os valores das três tensões envolvidas.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
Figura 9-5 - Método das Bielas - Uniformização de Tensões pela NBR-6122/84
91
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A figura geométrica definida por uma sapata com superfície de contato retangular é a
combinação de um paralelepípedo e um obelisco de base retangular, conforme Figura 9-6.
O seu volume (paralelepípedo + obelisco) é dado pela seguinte expressão (ver Figura 9-6):
(Equação 9-12)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
Figura 9-6 - Sapata – Paralelepípedo + Obelisco de Base Retangular
V a b hh h
ab a a b b a boo
o o o o
6
92
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
9.1 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS PELO MÉTODO DE BIELAS
9.1.1 Dimensionar pelo método de bielas, sapata para um pilar com carga normal de
100tf(25x40), sabendo que o solo possui σadm = 2,3kgf/cm².
Solução:
Concreto fck=15MPa
Aço CA50
Cálculo da carga normal
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
tfPPPPPN terrablocopilar 115100%15100
93
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Para sapata mais econômica.
Entretanto bmax é limitado pela a distância a divisa.
As dimensões das sapatas serão:
a= 260cm e b=195cm
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmb
cma
cmba
cmba
216
231
³000.503,2
000.115
152540
cmacmb 4,256195
000.501952)5,2100(max
94
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Carga normal a ser utilizada no dimensionamento.
Observa-se no dimensionamento da sapata, a carga normal utilizada é a carga do pilar, ou
seja, 100.000kgf.
Cálculo da altura util mínima(d)
- Em função das dimensões.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmbb
d
cmaa
d
5,424
25195
4
554
40260
4
0
0
95
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
-Em função da punção.
a) Pela forma de Caquot (equação 9-8), sendo Ɣf=1,4 e =Ɣc1,4
b) Pela NBR 6118(equação 9-5)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmfcd
Pfd 56
4,1/15085,0
1000004,144,1
85,044,1
kgfPF
ab
dgbadgba
p 300.86000.100)137,01()1(
137,01952604
²55)2540(554)25404(
4
².44 0000
96
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Como a sapata terá altura variável, tem-se para α=30º.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmhcmhcmd
cm
cm
cm
d
Capobtidovalorcmd
d
adot
quotp
706856363
63
5,42
55
/634929,1
29,1
cm
bafck
Fba
d
p
p
4928,6
25402150
300.8662,24²25404
28,6
262,24
²4 0000
97
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo das armaduras:
a)
Verificando a fissuração pelo tirante fictício do CEB.
Altura do tirante (ht) = 5 + 7,5 x 1,25 = 14,4cm
Largura do tirante (bt) = 2 x 7,5 x 1,25 = 18,75cm > espaçamento = 17cm
bt (todas as barras)= b = 195cm
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
17/5,1212²1,1415,1/000.50
436504,14,1
650.43638
)40260(000.100
8
)( 0
ccmf
TA
kgfd
aaPT
yd
as
a
a
98
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
11/5,1218²6,,22
²7,1370195001,0
²6,2260,11,1460,1
60,12,0
/15/
91,12,0
/%50,0100
1954,14
1,14
min
5,125,12
5,12
2
5,12
1
%
ccmA
cmA
cmAR
RmmW
ptabelaMPafckp
RmmW
ptabela
a
a
s
s
fisssfiss
r
r
r
99
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificando o uso de ø16: Asa=14,1 cm² => 7ø16@31
Observa-se que quanto maior o diâmetro, maior o consumo de aço em peso.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
15/1613
²5,2581,11,1481,1
8,12,0
/15/
17,22,0
/%39,0100
2417
6,1
24)1(31246,15,72
17165,75
1616
16
2
16
1
%
c
cmAR
RmmW
ptabelaMPafckp
RmmW
ptabela
cmbarrabcmoespaçament
cmh
fisssfiss
r
r
r
t
t
a
100
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
b)
Verificando as fissuras
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
19/1014²9,1015,1/000.50
337304,14,1
730.33638
)40195(000.100
8
)( 0
ccmfyd
TA
kgfd
bbPT
bs
b
b
43,12,0
/15/
70,12,0
/%43,0100
155,12
8,0
15)1(191515,72
5,1215,75
10
2
10
1
10
RmmW
ptabelaMPafckp
RmmW
ptabela
cmbarrabcmoespaçament
cmh
r
r
r
t
t
101
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Definição geral da geometria.
-já calculados: a=260cm b=195cm h=70cm
- Calculo de h0.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmbdireçãobalanço
cmadireçãobalanço
equação
finasarmadurasparaadmitidoécmhobs
cmh
h
852/)25195(""
1102/)40260(""
)49(º30
.20:
303
0
0
11/1023²2,18
²2,1870260001,0
²6,1543,19,1043,11010
ccmA
cmA
cmAR
b
mim
a
S
S
fisssfiss
102
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificando o valor de h0. para inclinação máxima (α=30º)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmh
cm
cmh
hequaçãopela
cmtagtagLhhcasono
tagLhhL
hhtag
adot
b
30
30
5,233
70
3:39
21º308570º30:
0
0
00
min
103
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificação da carga na fundação.
Detalhamento:
Obs: O detalhamento das barras deve atender a NBR 6118, os critérios a serem citados no
item 10 também devem ser atendidos aqui.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
)(1156,1138,78,5100 OKtftfPPPPPN terrasapatapilar
104
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
9.1.2 Dimensionar pelo método de bielas, sapata com as dimensões e solicitaçoes dadas na
figura.
Concreto fck=15MPa
Aço CA50
Solução:
Cálculo das tensões divididas às carga do pilar.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
xy
xy
92,203,252,9
12
³8,25,1
0,8
12
³5,18,2
6,1
5,18,2
40
105
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
²/1,154,192,275,003,252,9
²/0,74,192,275,003,252,9
²/9,34,192,275,003,252,9
²/1,124,192,275,003,252,9
mtf
mtf
mtf
mtf
IV
III
II
I
²/5,1115,092,275,003,252,9
²/6,1015,092,275,003,252,9
²/6,715,092,275,003,252,9
²/4,815,092,275,003,252,9
mtf
mtf
mtf
mtf
D
C
B
A
106
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo da carga normal equivalente as cargas do pilar
- Considerando o lado direito da sapata (maiores tensões no solo):
- Considerando o quarto quadrante(maiores tensões no solo):
A carga equivalente a ser adotada no dimensionamento é 52tf.
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
tfba
mtf
mtf
mtf
equivequiv
equiv
IV
medio
IVDAI
0,505,18,28,11
²/8,11
²/1,101,153
2
3
2
²/8,114
1,155,114,81,12
''
'
,,,
tf
mtf
equiv
medio
525,18,24,12
²/4,124
1,155,110,106,13
'
107
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo da altura útil
- Em função das dimensões.
-Em função da punção.
a)Pela forma de Caquot
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmd
cmd
5,324
20150
5,624
30280
cmd 414,1/15085,0
520004,144,1
108
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
b) Pela NBR 6118(equação 9-5)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmhcmh
cmd
d
cmd
kgfPF
adot
p
p
p
7068563
443429,1
29,1
3428,6
20302150
4357662,24²20304
576.43000.52)162,01()1(
162,01502004
²5,62)2030(5,624)20304(
109
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo das armaduras:
a)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmbarrabespaç
cmh
ccmfyd
TA
kgfd
aaPT
t
t
as
a
a
8,18)1(23.8,1825,15,72
4,1425,15,75
23/5,127²3,815,1/000.50
257944,14,1
794.25638
)30280(000.52
8
)( 0
110
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
14/5,1211²9,13
²5,1070150001,0
²9,1368,13,868,1
68,12,0
/15/
91,12,0
/%46,0100
8,184,14
25,1
min
5,12
5,12
2
5,12
1
%
ccmA
cmA
cmAR
RmmW
ptabelaMPafckp
RmmW
ptabela
a
a
s
s
fisssfiss
r
r
r
111
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
b)
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
18/5,1216²6,19
²6,1970280001,0
²2,768,13,4
68,1
²3,415,1/000.50
412.134,14,1
412.13638
)20150(000.52
8
)(
min
5,13
5,12
0
ccmA
cmA
cmA
RpequenobemécomoA
cmfyd
TA
kgfd
bbPT
b
b
fissb
fckb
b
s
s
s
fisss
bs
b
112
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
- Calculo de h0.
Dados para detalhamento:
9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS
MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS
cmtgh
para
cmL
cmL
b
a
33º306570
º30
652/)20150(
1252/)30280(
min
0
cmh
cmh
cmb
cma
33
70
150
280
0
cmcobrimento
CAAço
cA
cA
b
a
s
s
3
50
18/5,1216
14/5,1211
113
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
No dimensionamento de sapatas pela teoria da flexão, referência utilizada por
diversos autores é o Boletim 73 - Fascículo 4 - “Recommandations particulières au
calcul et à l’execution des semelles de fondation”- do CEB - Comité Euro-
Internacional du Béton.
Os procedimentos descritos neste item, salvo observação explícita em contrário
(que inclui sombreamento), são os preconizados naquele boletim.
O texto será, portanto, resumo de seu conteúdo e , às vezes, transcrições, que,
pelo grande número, não serão colocadas entre aspas.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
114
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.1. DOMÍNIO DE APLICAÇÃO
Os métodos de cálculo e dimensionamento descritos referem-se a sapatas que apresentam
as características geométricas mostradas na Figura 10-1.
Convém destacar o valor mínimo da altura da sapata:
(Equação 10-1)
.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-1 - Domínio do Método - Relações Geométricas
hLmax.
2
115
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
No caso de sapatas com altura variável, a resistência ao esforço cortante deve ser verificada
em todas as seções e o revestimento ser suficiente na zona de ancoragem.
Se as condições geométricas acima não forem satisfeitas, a sapata pode ser considerada
como viga ou placa, e calculada de acordo com a teoria correspondente.
Se a altura da sapata for maior do que o dobro de todos os balanços (L) da sapata, ela deverá
ser calculada como bloco de fundação, e as recomendações deste item não são aplicáveis.
Matematicamente, tal limitação é expressa por:
(Equação 10-2)
.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
h L blocomax. 2
116
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.2. BASES DE CÁLCULO
O diagrama de pressões no solo é plano, e não admite esforços de tração.
As forças horizontais que porventura solicitem a sapata devem ser equilibradas
unicamente pelas forças de atrito na superfície de contato.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
117
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.3. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR
10.3.1. Seções de Referência S1
Os momentos fletores que determinarão as armaduras inferiores são calculados em relação a
seções de referência denominadas S1 , situadas além da face do pilar, conforme ilustrado na
Figura 10-2.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-2 - Seções de Referência S1 para Momentos Fletores
118
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A altura útil (d1 ) das seções S1 são medidas junto às faces do pilar, coincidindo, portanto com
a chamada altura útil da sapata (d - altura útil máxima).
Essa altura não deve exceder a 1,5 vezes a dimensão do balanço na direção perpendicular à
da seção de referência (direção de instalação da armadura que está sendo calculada). A
expressão matemática dessa limitação é:
(Equação 10-3)
Comparando-se as equações 10-3 e 9-2a e 9-2b, verifica-se que o CEB admite, para as
sapatas, altura superior à admitida no método das bielas
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
min1 5,1 Ldd
119
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.3.2. Área da Seção Transversal da Armadura Inferior
Os momentos fletores em cada direção são calculados em relação à seção S1
correspondente, considerando-se a reação do solo em toda a área da sapata definida pela
seção S1 e suas bordas. Essas seções (S1 ) devem ser consideradas, em cada direção, do
lado onde ocorrem as maiores tensões no solo. A Figura 10-3 ilustra o descrito.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-3 - Momentos Fletores
120
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Definidos os momentos fletores nas duas direções, as áreas das seções transversais das
armaduras são calculadas como vigas à flexão simples, a partir das características
geométricas das seções de referência S1 (a x d1 ou b x d1). Essas seções transversais
devem ser, no mínimo, iguais a:
(Equação 10-4)
(Equação 10-5)
Se a armadura não for normal à seção de referência S1 , sua contribuição na resistência aos
momentos fletores deve ser avaliada segundo recomendações referentes às lajes.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
hbAas 001,0
min,
haAbs
001,0min,
121
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A relação entre as áreas das armaduras nas duas direções deve ser menor do que 1/5.
Se o peso próprio da sapata e o peso de terra sobre ela tiverem sido considerados na
determinação das tensões no solo, eles devem ser descontados na avaliação dos momentos.
Caso resulte em algum momento negativo, a sapata deverá ser dotada de armadura superior,
conforme Figura 10-4.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-4 - Peso Próprio e Terra –
Momento Negativo –
Armadura Superior
122
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.4. DISPOSIÇÃO DA ARMADURA INFERIOR
As armaduras inferiores devem ser prolongadas, sem redução de seção, sobre toda a
extensão da sapata.
Nas sapatas de base quadrada, as armaduras inferiores podem ser uniformemente
distribuídas, paralelamente aos seus lados.
Um acréscimo de resistência ao esforço cortante pode ser procurado nas sapatas - placa,
localizando-se maior densidade de armadura em faixas paralelas aos lados do quadrado,
centradas sob o pilar e com largura conforme Figura 10-5.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-5 - Sapatas / Placa - Base Quadrada - Resistência a Cortante
123
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado maior (“a”) deve ser
uniformemente distribuida. A armadura paralela ao lado menor (“b”) deve ser colocada de
modo que uma maior fração da seção total fique situada numa faixa central, sob o pilar,
conforme mostrado na Figura 10-6.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-6 - Sapatas Retangulares - Distribuição da Armadura Paralela ao Lado Menor
124
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Se o balanço (L) da sapata for menor do que sua altura (h), a armadura inferior
deve ser totalmente ancorada na vizinhança das bordas da sapata, devendo o
comprimento de ancoragem ser medido a partir da extremidade da parte relilínea
das barras, conforme Figura 10-7.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-7 - Ancoragem da Armadura Longitudinal - L ≤ h
125
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Se o balanço (L) da sapata exceder sua altura (h), a armadura inferior deve ser
totalmente ancorada à partir da seção situada à distância “h” da face do pilar
(Figura 10-8).
Conforme já dito, em nenhum caso a armadura pode ser interrompida antes de ter atingido a
borda da sapata.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-8 - Ancoragem da Armadura Longitudinal - L h
126
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.5. CONDIÇÕES DE ADERÊNCIA DA ARMADURA
A relação a ser verIficada é:
(Equação 10-6a)
onde:
V1d = esforço cortante de cálculo relativo à seção de referência S1 (por unidade de
comprimento);
d = altura útil da sapata;
n = número de barras por unidade de comprimento;
p = perímetro de uma barra = (sendo = diâmentro de uma barra);
(fcd em kgf/cm2).
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
V d n pd bu1 0 9 ,
bu b cdf 18 11 23, ,*
127
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
A equação 10-6a pode, então ser escrita como:
(Equação 10-6b)
A adoção de tensão de aderência (bu bu ) inferior (30%) à adotada para vigas
e lajes ( ) é justificada pelo fato de haver concentração de cargas sob o
pilar, e admitir-se, no cálculo da força cortante (V1d), distribuição uniforme da
carga em toda a largura da sapata
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
V d n fd cd1
230 9 11 , ,
1 6 23, fcd
128
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.6. RESISTÊNCIA AO ESFORÇO CORTANTE
10.6.1. Esforço Cortante de Referência
O esforço cortante de referência - Vd - é igual à resultante das forças verticais atuantes
na sapata, entre a seção de referência - S2 - e a borda da sapata paralela e mais próxima
à ela. Numa mesma direção, deve-se verificar o cortante nos dois balanços, e analisar o
maior deles.
10.6. 2. Seção de Referência S2
10.6.2.1. Caso Geral
A seção de referência - S2 - é perpendicular à superfície de contato da sapata, e situa-se
a uma distância, medida da face do pilar, igual à metade da altura útil (d/2).
Sua largura - b2 - é dada por:
(Equação 10-7)
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
b b do2 onde:
bo = dimensão do pilar paralela a S2.;
d = altura útil da sapata, (altura útil máxima -
junto ao pilar).
129
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
No caso de sapata sob parede, a largura “b2” é tomada igual à unidade de largura da
sapata, para a qual é avaliado o esforço cortante de referência “Vd”.
A altura útil - d2 - da seção de referência “S2”é igual à altura útil da sapata medida na seção
S2 considerada. Ela não deve ser maior do que 1,5 vezes a aba “t2” da sapata, medida a
partir de “S2”. A Figura 10-9 ilustra o descrito.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-9 - Seção de Referência - S2
130
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.6.2.2. Caso das Sapatas Alongadas
Define-se como alongadas as sapatas nas quais o comprimento do balanço (L) é maior do
que 1,5 vezes a dimensão da sapata medida transversalmente ao balanço.
Nesse caso, a seção de referência S2 , relativa ao esforço cortante Vd , fica situada na face do
pilar, perpendicularmente à direção do balanço. A Figura 10-10 ilustra o descrito.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Figura 10-10 - Sapatas Alongadas - Seção de Referência - S2
131
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.6.3. Esforço Cortante Limite
O esforço cortante na seção S2 não deve ultrapassar os seguinte valores:
(Equação 10-8)
(Equação 10-9)
onde:
= taxa de armadura longitudinal na seção S2 =
= área da armadura longitudinal correspondente à largura b2 ;
c = 1,4 ; unidades = kgf e cm.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
Vb d
fdc
ck,lim
15 2 2
Vb d
fdc
ck,lim,
15 2 2
A
b d
s*
2 2
As*
132
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.6.3. Esforço Cortante Limite
O segundo limite (equação 10-9), que resulta do primeiro (equação 10-8) colocando-se
= 0,01, é indicado por prudência, visto que não se dispõe de resultados de ensaios em
sapatas com > 1%.
Todavia, porcentagens elevadas de armadura não são freqüentes, mas, sendo o caso, o
critério de aderência (item 10-5) será decisivo.
Os valores limites do esforço cortante Vd,lim podem ser majorados quando se dispuser de
armadura de cisalhamento.
10.7. ARMADURAS SECUNDÁRIAS
A princípio, armaduras secundárias não são exigidas nas sapatas.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
133
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10.8. EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS PELA TEORIA DA
FLEXÃO
10.8.1
Calcular as armaduras e fazer as verificações estruturais necessarias para a sapata da figura
e demais dados abaixo.
H=70cm
H0=30cm
d= 63cm
Concreto fck=15MPa
Aço CA50
Ppilar= 100tf
Ppsap=5,8tf
Ppterra=7,8tf(para embut.=1,5m e Ɣs=1,5tf/m³
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
134
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Solução:
Calculo da armadura inferior:
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
cmL
cmL
b
a
852/25195
1102/40260
)(5,127855,163
)(552
110
270 max
okcmd
okcmL
h
135
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Tensão no solo devido a Ppilar:
Momentos fletores na secção S1
a) Armadura na direção de a (Asa)
Com Ma=13,25tfm/m, bf=100cm d= 63cm
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
²/7,1995,16,2
110mtfs
mtfmM
mtfmM
b
a
/80,72
²89,07,19
/25,132
²16,17,19
18/5,1211
²7,1395,17
²0,70514,0 /
cA
cmA
cmAk
sa
sa
msa
136
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificação da abertura de fissuras:
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
11/5,12189,21
²7,137095,1001,0²9,2160,17,1360,1
60,12,0
15
91,12,0
%49,010095,14,14
7,13
195)(
1875,1825,15,72
4,1425,15,75
min
5,12
1
5,12
1
5,12
1
%
ccmA
cmAcmAR
Rmmw
tabelaMPafck
Rmmw
tabela
cmbrastodasasbarbt
oespaçament
cmh
sa
ssa
k
k
r
t
137
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
b) Armadura na direção de b(Asb)
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
21/1013²5,10
²6,205,4/²05,40302,0
:
63
100
/8,7
/
ccmA
cmAmcmAR
setem
cmd
cmb
mtfmM
com
sb
sbs
f
b
mb
138
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificação de abertura de fissuras.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
11/10232,18
²2,1870260001,0²1543,15,1043,1
43,12,0
15
70,12,0
%43,0100155,12
8,0
15)(
211525,15,72
5,1215,75
min
10
10
2
10
1
%
ccmA
cmAcmAR
Rmmw
tabelaMPafck
Rmmw
tabela
cmbarraumabt
oespaçament
cmh
sb
ssbfiss
R
R
r
t
fiss
139
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Disposição da armadura inferior:
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
22/19232/
1923195260
95,122
1023
11/5,1218
180702402195
12
1
0
sbssb
ssb
sb
sa
AAA
Aba
bA
A
cA
hacmb
140
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
armadura superior:
Pela figura ao lado observa-se que não ocorrerão momentos negativos na sapata.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
²/4,227,27,19
95,16,2
8,78,5
95,16,2
100
mtf
PPP
ba
P
s
terrasappilar
s
141
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificação na aderência da armadura.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
)(611,101²4,1/1501,1114,323639,0²1,19,0
586,459926097,1
1023
)(562,79²4,1/1501,125,114,318639,0²1,19,0
561,4411619597,1
5,1218
)610(²1,19,0
33
1
33
1
31
OKkgffcdnd
kgfV
A
bdedireção
OKkgffcdnd
kgfxxV
A
adedireção
bequaçãofcdndV
d
sa
d
sa
d
142
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verificação do esforço cortante.
(punções)
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
kgfVkgfV
kgfV
x
xxV
kgftfV
V
com
fckdb
V
alongadaénãosapataaqueseobserva
cmdbb
OKcmd
cmd
dd
d
d
d
d
c
d
771,27160.30
771,27
1505,51195
9,21
4,1
5,518815
160.3016,30
785,095,17,19
01,0
...15
)(
886325
)(5,785,515,78110
4023
63
lim,
lim,
lim,
22lim,
02
2
143
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Verifica-se portanto que o criterio do boletim 73 do
CEB é mais rigoroso que o da NBR6118, mas não
deve deixar de dizer que ele é mais realista.
Como Vd está um pouco acima de Vd antes de se
optar por aumentar a altura da sapata deve-se
afinar a ponta do lápis, corrigindo arredondamentos
feitos ao longo do cálculo inicial.
No caso em questão, basta reparar que o ‘d’-63cm
utilizando nos cálculos é menor que o real.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
144
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
kgfVkgfV
kgfVV
kgftfV
V
cmdbb
OKcmd
cmdcmd
earmadura
cmcobrimento
cmh
dd
dd
d
d
110.29690.29
110,291505,53195
9,21
4,1
5,535,9015
690.2969,29
773,095,17,19
5,905,6525
)(3,775,533,77110
404,25
4,654,652
25,10,1370
5,1210
3
70
lim,
lim,lim,
02
2
145
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Dados para detalhamento.
10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS
RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO
50
15
3
30
70
0
açoCA
MPafck
cmcobrimento
cmh
cmh
146
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Para a situação indicada na figura dimensionar a viga de equilíbrio, sabe-se que
σadm = 3kgf/cm², fck=15Mpa e aço CA-50.
Consideração inicial: tomar-se a σadm = 2,5kgf/cm² para reserva de pesos próprios.
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
147
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Pilar 1
-definição de “b”
Fazendo a=2b e ∆P1 = 0 tem-se:
Pilar P2
Observa-se que para o calculo de
R1 e R2 usou-se a projeção da viga
de equilíbrio.
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
45,125
8,51
8,512
4,1660
)(5,242,23,1
15,3
15,312,33,125
4,101
4,1014,1685
4,1685,2
55,085
85,255,040,3
55,02
2,0
2
30,1
30,125
852
2
1
1
aaa
tfR
idealb
a
ma
tfR
tfP
md
me
mbbb
148
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Cálculo da viga
Ao contrario do efeito do cálculo de R1 e R2,
para o cálculo dos esforços solicitantes
deve-se usar os vãos reais da V.E.
O ângulo da V.E. com a horizontal:
tgα1= 110/330=0,333 α1 18,44º
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
149
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
cm
cm
cm
cm
4,300º44,18cos
285
0,137º44,18cos
130
0,58º44,18cos
55
1,21º44,18cos
20
4,358º44,18cos
340
Observa-se que o peso próprio da V.E. será
considerada apenas qdo do cálculo da armadura
inferior.
Diagrama de cortantes.
Diagrama de momentos.
m22,074
16,4x
68,4tf =0,21) (74+0,21) (404,7-
tfm
tfm
tfm
9,82
21,07,404
8,392
22,07422,0319,24,16
03,38319,24,16
2
2
150
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Dimensionamento da viga(junto a P1)
-Largura
-Altura
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
cmb
cmPdediagonal
cmPdediagonal
adot 45
4,35225
3,40²35²20
2
1
cmd
tfmM
flexãopela
60
376,0454,1
15085,0
4,1000.980.3
8,39
min
151
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Armadura negativa de flexão (junto a P1)
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
cmdd
cmdd
ZZpara
cmkgffcdZ
tocisalhamenpelo
adot
wud
wu
120815,15,1
818,2645
400.694,1
²/8,264,1/15025,025,0
min
min
min
²/914,1/15085,0
120
45
8,39
cmkgffc
cmd
cmb
tfmM
152
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Raios de laços( item 4.1.6.2-c)
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
60,181,102,2²/150
5,177,1
0,22,0%83,010012045
2,114
²2,11
25,1
1
16
1
20
1
25,1
1
16
1
20
1
%
RRRcmkgffck
RR
Rmmwtabela
cmA
TprofessordotabelaPela
Rr
s
NB
okcmrcmr
bcmrcmr
bcmrcmr
w
w
3021556,1/100
2056,1
100
150
50002
5
25,17,035,0
4422277,1/128
2077,1
128
150
50002
5
6,17,035,0
642322/161
202
161
150
50002
5
27,035,0
25,1
16
20
153
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
-armadura de cisalhamento (junto a P1)
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
cmh
h
cmA
cmA
camadasduasadotcmA
adot
s
s
s
fiss
fiss
fiss
130
12825,23120
5,1214²5,1756,12,11
1610²8,1977,12,11
208²4,2222,11
min
5,12
16
20
cd
wuwd
w
ZZ
okcmkgfZcmkgfZ
cmd
cmb
tfV
12045
400.6961,1
)²(/8,264,1/15025,0²/1812045
400.694,1
120
45
4,69
154
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
²/4,173,37,20
²/3,315027,0
27,012045
5,1715225,01
cmtfmZ
cmkgfZ
d
c
)4(5,17/102
5,17004,045/2,3
²2,38,0410/
0040,04350
4,17
ramosc
S
cmAduploestriboc
sb
A
sb
AZ
e
e
ew
ee
ew
e
e
dee
155
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Dimensionamento da viga junto a P2
-Largura
bwadot= 45cm
-Altura: pelo cisalhamento
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
)4(20/102
²/7,1404045
400.1661,1
501040
40192
19²/8,2645
400.164,1min
min
ramosc
cmkgfZ
cmh
cmd
cmdcmkgfd
ZZ
d
adot
adot
wuwd
156
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Armadura positiva.
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
cmd
cmb
mkgfM
mkgfM
mkgfPPmedio
viga
40
45
.1462
.14628/²4,31012
.1012250045,02
50,030,1
inf
162²4,35045%15,0
164²8,813045%15,0
²2,1
²/91
50
130
min
min
cmA
cmA
cmA
cmkgffc
h
s
h
s
s
157
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
Armadura de pele
Dados para detalhamento
Cobrimento=3cm
Concreto:fck≥15Mpa
Aço CA-50-A
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
peledesncmhcmA
cmA
h
s
h
s
pele
pele
60(82²1,15045%05,0
86²9,213045%05,0
50
130
158
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
159
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO
cm
cm
cm
cm
4,300º44,18cos
285
0,137º44,18cos
130
0,58º44,18cos
55
1,21º44,18cos
20
4,358º44,18cos
340
Observa-se que o peso próprio da V.E. será
considerada apenas qdo do cálculo da armadura
inferior.
Diagrama de cortantes.
Diagrama de momentos.
m22,074
16,4x
68,4tf =0,21) (74+0,21) (404,7-
tfm
tfm
tfm
9,82
21,07,404
8,392
22,07422,0319,24,16
03,38319,24,16
2
2
160
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES
12. BIBLIOGRAFIA:
[1] ABNT - NBR 6122/2010 - "Projeto e Execução de Fundações".
[2] ABNT - NBR 6118/2003 - "Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado".
[3] Boletim 73 - Fascículo 4 - “Recommandations particulières au calcul et à l’execution des semelles de fondation” -
CEB - Comité Euro-Internacional du Béton
[4] Montoya, P. J.; Mèseguer, A.G. & Cabrè, F. M. - "Hormigón Armado" - 2 Vols. , G. Gili, 1978.
[5] Santos, Lauro Modesto - “Edifícios de Concreto Armado - Fundações” -Apostila.
[6] Pires, Antônio Carlos Xavier - “Dimensionamento Estrutural de Fundações”, UFRS, Escola de Engenharia, Depto.
de Engenharia Civil, Porto Alegre, 1986, 79p.
[7] Silveira, J.E.S. - “Curso de Estruturas de Fundações” - 1a Parte, UFMG, Escola de Engenharia, Depto. de
Engenharia de Estruturas, Belo Horizonte, Fev/2002, 96pg.
[8] Pfeil, W. - "Pontes em Concreto Armado" - Livros Técnicos e Científicos, 1979.
[9] Tepedino, J. M. - "Fissuração" - Apostila - EEUFMG - Cotec, 1984.
[10] Tepedino, J. M. - "Flexão Simples" - Apostila - EEUFMG - Cotec, 1984.
[11] Tepedino, J. M. - "Cisalhamento" - Manual de Projetos - EPC - Engenharia , Projeto Consultoria Ltda, 1980.
161