satu untuk - · pdf filetidak hanya ada dalam dunia matematika tetapi banyak dijumpai di...

i

SATU UNTUK 3ragam prosedur tripel PYTHAGORAS

DarmawijoyoBiMPoME 2011

Unit Perpustakaan PPs Universitas Sriwijaya

2012

i

SATU UNTUK 3ragam prosedur tripel PYTHAGORAS

DarmawijoyoBiMPoME 2011

Unit Perpustakaan PPs Universitas Sriwijaya

2012

ii

SATU UNTUK 3: ragam prosedur tripel PYTHAGORAS

Tim Penulis

Ketua:DarmawijoyoAnggotaMoch. Lutfianto Dewi HamidahShahibul Ahyan Farida NursyahidahMuhammad Ridhoni Christi MatitaputtyNavel O. Mangelep Hermina DisnawatiSaliza Safta Assiti Novita SariHak Cipta © 2012 pada penulisDilarang memperbanyak sebagian atau seluruh buku ini dalambentuk apapun tanpa izin tertulis dari penulisEdisi PertamaCetakan pertama, Juli 2012PenerbitUnit Perpustakaan PPs Universitas SriwijayaJalan Padang Selasa No. 524Telp. (0711)354222 (hunting), Faks (0711) 310320Palembang, Sumatera Selatan, Indonesia, 30129Desain Sampul: Shahibul Ahyan & Dewi Hamidah

Perpustakaan Nasional Katalog dalam Terbitan

Tim PenulisSATU UNTUK 3: ragam prosedur tripel PYTHAGORAS-Ed. 1, Cet. 1. –Palembang: Pascasarjana Unsri, 2012v + 118 hlm; 15,5 x 21 cm.Daftar pustaka : 119 – 120

ISBN: 978-602-99428-6-6

1. SATU UNTUK 3: ragam prosedur tripel PYTHAGORAS 1. Judul

iii

KATA PENGANTAR

Kajian tentang tripel Pythagoras tidak dapat terlepas darikajian ilmu bilangan. Hal ini ditunjukkan dengan banyaknya ahli ilmubilangan yang mengkaji tripel Pythagoras. Beberapa ilmuwan pentingdalam sejarah pembuktian tripel Pythagoras antara lain Euclid,Fermat, dan Fibonacci.Mempelajari sejarah tripel Pythagoras merupakanpengalaman yang unik dan menarik karena memberikan gambaranbagaimana sebuah rumus sederhana dapat dikaji dari beberapasudut pandang yang berbeda. Bahkan saat ini banyak kajianmatematika yang berhubungan dengan topik Pythagoras. Selain itu,Pythagoras merupakan salah satu topik yang dipelajari mulai darilevel sekolah menengah hingga pendidikan tinggi. Sehingga sangatpenting untuk mendokumentasikan kajian sejarah dan pembuktiandalam membentuk tripel Pythagoras dari beberapa ilmuwan tersebutdalam bentuk sebuah buku.Buku yang berjudul “SATU UNTUK 3: ragam prosedur tripelPYTHAGORAS” ini merupakan hasil kajian mendalam mengenaisejarah dan bukti pembentukan tripel Pythagoras menurut beberapailmuwan yang dilakukan oleh para mahasiswa Bilingual Master

Programme on Mathematics Education (BiMPoME) 2011 pada matakuliah History of Mathematics yang diampu oleh Dr. Darmawijoyo.Bahasa yang digunakan dalam buku ini juga sudah disesuaikan agardapat dengan mudah dipahami oleh para pembaca.

iv

Selanjutnya, kami mengucapkan syukur kepada Tuhan YMEatas segala rahmat dan karunia-Nya, serta tidak lupa kami sampaikanterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam prosesterselesainya buku ini. Dengan kehadiran buku ini diharapkan dapatturut memperkaya khasanah kajian matematika yang semakin harisemakin berkembang dan memotivasi kami untuk terus berkaryadalam memberikan sumbangsih bagi perkembangan matematika diIndonesia.Palembang, Juli 2012Tim Penulis

v

DAFTAR ISI

Kata pengantar ......................................................................................... iiiDaftar Isi .................................................................................................... vPendahuluan : Tentang Buku Ini .......................................... 1Bagian Pertama : Catatan Euclid untuk Pythagoras ............ 5Bagian Kedua : Bilangan Fibonacci dan Tripel Pythagoras 17Bagian Ketiga : Semai Benih Pohon Pythagoras ............... 29Bagian Keempat : Tripel Pythagoras dengan FaktorisasiBilangan Prima .............................................. 41Bagian Kelima : Metode Deret Platonik .............................. 59Bagian Keenam : Magic Tripel Pythagoras ............................ 67Bagian Ketujuh : Penjelmaan Bilangan BergambarMembentuk Tripel Pythagoras .................. 75Bagian Kedelapan : Metode Dua-Unit Pecahan ......................... 85Bagian Kesembilan : Satu Pecahan Campuran MembentukTripel Pythagoras ......................................... 95Bagian Kesepuluh : Penemuan Terakhir Fermat untukPythagoraas .................................................. 107Daftar Pustaka ..................................................................................... 119Tentang Penulis ................................................................................... 121

Pendahuluan: Tentang Buku Ini 1

Pendahuluan:

TENTANG BUKU INI

Buku yang kami tulis ini berjudul “SATU UNTUK 3: ragamprosedur tripel PYTHAGORAS”. Secara khusus buku ini mengupastentang sejarah tripel Pythagoras dan bukti penemuan bilangan tripelPythagoras berdasarkan kajian beberapa ahli, diantaranya Euclid,Fermat, dan Fibonacci. Pembahasan dalam buku ini dibagi ke dalam10 bagian dengan ciri khas masing-masing.Bagian pertama pada buku ini berjudul Catatan Euclid untuk

Pythagoras. Pada bagian ini dijelaskan tentang catatan Euclidmengenai penemuan tripel Pythagoras menggunakan formula Euclidyang cukup unik. Dengan mengetahui nilai m dan n yang mempunyaikarakter tertentu dan mengaplikasikannya ke dalam formula Euclidmaka akan dapat ditemukan semua triple Pythagoras primitif dantwin primitif yang selanjutnya dapat digunakan untuk menemukantripel Pythagoras non primitif.Bagian kedua berjudul Bilangan Fibonacci dan Tripel

Pythagoras. Dalam bagian ini dijelaskan bagaimana menentukantripel Pythagoras dari 4 bilangan sebarang menggunakan aturanFibonacci. Jika tidak ada Fibonacci, mungkin saja saat ini kita tidakmengenal yang namanya bilangan nol. Fibonaccilah, matematikawan

Satu Untuk 3: ragam prosedur tripel Pythagoras2

pertama yang mengenalkan dan menggunakan sistem bilanganHindu-Arabic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Selain itu, bilangan Fibonaccitidak hanya ada dalam dunia matematika tetapi banyak dijumpai dialam sekitar pada hewan, tumbuh-tumbuhan bahkan manusiasekalipun. Bunga mawar, matahari, kaktus, cemara, binatangmollusca dan telinga manusia merupakan contoh konkrit adanyabilangan Fibonacci di alam.Selanjutnya, Semai Benih Pohon Pythagoras adalah judulbagian ketiga buku ini. Pada bagian ini dikupas mengenaipembentukan tripel Pythagoras yang sangat unik. Metode ini dinilaiberbeda dengan metode lain, karena dalam metode ini tidak hanyamembantu menemukan tripel Pythagoras, tetapi jugamengikutsertakan nilai estetika di dalamnya. Nilai estetika tersebutdapat dilihat dari pengaturan masing-masing tripel Pythagorasdalam bentuk pohon yang sangat unik. Tiap satu tripel Pythagorasakan bercabang atau mempunyai anak sebanyak 3 tripel Pythagorasyang lain melalui kaidah tertentu dan begitu seterusnya, sehinggaterbentuklah sebuah pohon yang disebut pohon Pythagoras.Bagian keempat berjudul Tripel Pythagoras dengan

Faktorisasi Prima. Kajian dalam bagian ini merupakan suatutemuan generalisasi tripel Phytagoras dalam melengkapi formulaEuclid untuk tripel Pythagoras yang primitif maupun komposit.Diawali dengan peranan jari-jari lingkaran dalam segitiga danhubungannya dengan formula Euclid selanjutnya diakhiri denganmenghitung jumlah tripel Pythagoras yang primitif maupun komposit

Pendahuluan: Tentang Buku Ini 3

dengan menggunakan faktorisasi bilangan prima dari suatu bilanganbulat pada jari-jari.Metode Deret Platonik merupakan judul bagian kelima dalambuku ini. Bagian ini berisi tentang salah satu prosedur dalam mencaritripel Pythagoras yang dikenal dengan nama metode deret platonik.Meskipun metode ini dikenal dengan nama Plato, namun padadasarnya metode ini merupakan gabungan dari metode Plato danPythagoras. Keunikan dari metode ini adalah untuk mendapatkantripel Pythagoras cukup menentukan sisi terpendek denganmengambil sembarang bilangan ganjil atau genap yang lebih dari 2.Bagian keenam buku ini berjudul Magic Tripel Pythagoras.Pada bagian ini dibahas mengenai keajaiban metode untukmenemukan tripel Pythagoras. Karena metode ini lain dari yang lain,yaitu hanya dengan diketahui satu bilangan saja, kita akan dapatmenentukan dua bilangan lain dalam tripel Pythagoras itu. Hal iniyang membedakan dengan metode lainnya.Bagian ketujuh buku ini berjudul Penjelmaan Bilangan

Bergambar Membentuk Tripel Phytagoras. Yang dibahas padabagian ini adalah square number (bilangan kuadrat) yaitu bilangangambar dengan bentuk geometrinya adalah persegi. Dari keteraturanbilangan kuadrat yang unik tersebut, ternyata dapat digunakan untukmenemukan sebuah formula yang dapat digunakan untuk mencaritripel Pythagoras.


Metode Dua Unit Pecahan adalah judul bagian kedelapanbuku ini. Pada bagian ini dijelaskan mengenai cara mencari tripelPythagoras dengan mengambil dua bilangan ganjil berurutan (misal,1 dan 3) atau dua bilangan genap berurutan (misal, 2 dan 4). Keduabilangan ganjil berurutan atau genap berurutan dijadikan sebagaibilangan pecahan kemudian dijumlahkan sedemikian hingga denganlangkah-langkah yang sederhana akan dapat membentuk tripelPythagoras.Bagian kesembilan buku ini berjudul Satu Pecahan Campuran

Membentuk Tripel Pythagoras. Bagian ini membahas tentangbagaimana satu pecahan campuran dapat membentuk tripelPythagoras. Tidak semua pecahan campuran bisa digunakan untukmembentuk tripel Pythagoras, namun ada beberapa aturan yangdigunakan untuk membuat pecahan campuran sehingga dapatmenghasilkan tripel Pythagoras. Selain itu, dalam bab ini dijelaskanjuga mengenai pola-pola yang terbentuk dari pecahan campuransehingga pembentukan tripel Pythagoras dapat dilakukan denganmudah.Bagian kesepuluh buku ini berjudul Penemuan Terakhir

Fermat untuk Pythagoras. Pada bagian ini dibahas mengenaiFermat's Last theorem, yaitu sebuah teorema yang ditemukan olehseorang pengacara dan matematikawan amatir, Pierre de Fermat.Teorema yang awalnya tampak sederhana tetapi menjadi masalahbesar dalam dunia matematika. Dan dengan menggunakan teoremaini, dapat ditemukan tripel Pythagoras.

Bagian Pertama: Catatan Euclid untuk Pythagoras 5

Bagian Pertama:

CATATAN EUCLID UNTUK PYTHAGORAS

Pythagoras

Pythagoras lahir antara 580-572 sebelum Masehi dan

meninggal antara 500-490 sebelum Masehi. Pythagoras dan siswa-

siswanya percaya bahwa segala sesuatu berkaitan dengan

matematika dan bilangan-bilangan hampir ada dan dapat dijumpai

dalam realita kehidupan sehari-hari. Sangat sedikit yang dapat

diketahui tentang Pythagoras karena tak satupun tulisannya yang

bertahan. Sebenarnya banyak keberhasilan dalam tindakannya yang

mungkin dilakukan bersama para siswanya. Pythagoras mendirikan

sebuah tempat peribadatan rahasia yang disebut Pythagoreans.

Tempat tersebut dibuka untuk laki-laki maupun perempuan dan

mereka tinggal dalam struktur kehidupan yang terdiri dari

pengajaran agama, makan bersama, olah raga, membaca dan filosofi

belajar.

Teorema Pythagoras yang dikenal berbunyi sebagai berikut:

“pada setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi

hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki-kakinya”.

Menurut sejarah, tidak ada bukti bahwa Pythagoras telah bekerja

untuk membuktikan teorema tersebut, untuk penyebutan teorema

Satu Untuk 3: ragam prosedur tripel Pythagoras 6

tersebut dengan nama Pythagoras terjadi setelah lima abad

kematiannya. Keberhasilan lain yang dapat dilihat dari Pythagoras

adalah memasukkan sistem analisis pada musik berdasarkan pada

proporsional interval dari 1 ke 4, pada sistem bilangan basis 10,

identifikasi bilangan kuadrat dan akar kuadrat, pengetahuan bahwa

bumi itu bulat, dan pengetahuan bahwa semua planet mempunyai

sebuah orbit dimana planet-planet tersebut bergerak mengelilingi

sebuah titik pusat.

Teorema Pythagoras dapat mempunyai lebih banyak bukti dari

pada teorema matematika yang lain. Seperti dapat dijumpai pada

sebuah buku yang berjudul Pythagorean Proposition karangan Elisha

Scott Loomis yang menyebutkan ada 367 bukti teorema Pythagoras.

Selanjutnya, bukti Euclid dapat ditemukan pada buku yang berjudul

Elements.

Catatan Sejarah Euclid dalam Tripel Pythagoras

Gambar 1.1 Euclid


Euclid, bersama Archimedes dan Apollonius merupakan

matematikawan terbesar dalam sejarah riwayat kehidupan Euclid

tidak terdokumentasi secara jelas bahkan hampir tak ada keterangan

terperinci mengenai kehidupan Euclid. Ia pernah tercatat sebagai

guru di Iskandariah, Mesir, sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia

lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap bahkan kita tidak tahu di

benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Dia menulis buku tentang

geometri yang terkenal sampai sekarang dan menjadikan rujukan

bagi ilmu geometri modern disamping menulis buku yang lain.

Diantara bukunya yang paling terkenal adalah “The Element”

Keistimewaan buku “The Elements” tidak terletak pada rumus-rumus

matematika, namun pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan

permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam

perencanaan penyusunan buku. Dalam buku ini, pemilihan dalil-dalil

serta perhitungan-perhitungannya dilakukan dengan sangat cermat

sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Buku “The

Elements” merupakan pengembangan dari bidang geometri aljabar

serta teori penjumlahan.

Gambar 1.2 Buku “The Element” pertama versi Inggris


The Element Euclid juga mengkaji tentang tripel Phytagoras.

Kajian Euclid tentang tripel Pythagoras menjadikan jalan bagi

ilmuwan-ilmuwan lain dalam menemukan pembuktian tentang tripel

Pythagoras. Ilmuwan lain yang mengkaji tentang tripel Phytagoras

diantaranya adalah Fermat dan Fibonacci.

Pembentukan Tripel Pythagoras menurut Rumus Euclid

Tripel Pythagoras terdiri atas tiga bilangan bulat positif, a, b,

dan c, sedemikian hingga a2 + b2 = c2. Seperti telah diketahui, contoh

yang paling familiar dari tripel Pythagoras adalah 3, 4, dan 5 karena

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Contoh yang lain adalah [5, 12, 13], [8, 15,

17], dan [20, 48, 52]. Dengan demikian sangatlah mudah untuk

mengetahui bahwa ada tak hingga Tripel Pythagoras yang dapat

dibentuk dengan mengalikan bilangan bulat positif k dengan bilangan

tripel Pythagoras yang diketahui untuk mendapatkan bilangan tripel

Pythagoras yang lain. Atau dengan kata lain, jika [a,b,c] adalah tripel

Pythagoras maka [ka, kb, kc] juga merupakan tripel Pythagoras.

Sebagai contoh, karena [3, 4, 5] adalah tripel Pythagoras maka [2x3,

2x4, 2x5] = [3, 8, 10] dan [3x3, 3x4, 3x5] = [9, 12, 15] juga merupakan

tripel Pythagoras.

Sebuah cara yang efektif untuk membentuk tripel Pythagoras

berdasarkan rumus Euclid dapat ditemukan dalam bukunya yang

berjudul “The Elements”. Rumus tersebut menyatakan bahwa jika m


dan n adalah dua bilangan bulat positif dengan m > n, maka a = m2 –

n2, b = 2mn, c = m2 + n2 adalah tripel Pythagoras.

Sebagai contoh, misal m = 5 dan n = 3, maka a = 52 – 32 =16; b =

2(5 x 3) = 30; dan c = 52 + 32 = 34. Diketahui bahwa 162 + 302 = 342

karena 256 + 900 = 1156. Contoh lain adalah seperti yang

ditunjukkan pada tabel 1.1 berikut:

Tabel 1.1 Contoh tripel Pythagoras yang dibentuk dengan rumus Euclid

M N a = m2 –

n2 b = 2mn

c = m2 + n2

Pythagorean Tripel

6 4 20 48 52 20, 48, 52 5 3 16 30 34 16, 30, 34 4 2 12 16 20 12, 16, 20

Konstruksi tersebut selalu dapat membentuk tripel Pythagoras

seperti ditunjukkan sebagai berikut:

a2 + b2 = (m2 – n2)2 + (2mn)2

= m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2

= m4 + 2m2n2

= (m2 + n2)2

= c2

Pembuktian itu menunjukkan bahwa jika m dan n dipilih

dengan menggunakan rumus Euclid maka hasilnya adalah berupa

tripel Pythagoras.


Tripel Pythagoras dapat digunakan untuk membentuk sudut

siku-siku. Karena bilangan-bilangan pada segitiga adalah bilangan

bulat, jika bilangan tripel Pythagoras digunakan sebagai panjang dari

sisi-sisi segitiga maka dapat membentuk segitiga siku-siku.

Tripel Pythagoras Primitif

Sebuah tripel Pythagoras disebut primitif jika a, b, dan c relatif

prima. Bilangan-bilangan bulat disebut relatif prima jika FPB dari

bilangan-bilangan tersebut adalah sama dengan 1. Selanjutnya untuk

membentuk tripel Pythagoras primitif menggunakan rumus Euclid

ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, antara lain:

1. a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2

2. m > n

3. FPB (m,n) = 1, dan

4. selisih dari m dan n merupakan bilangan ganjil.

Jika diperhatikan kembali pada tabel 1.1 tentang contoh tripel

Pythagoras yang dibentuk dari rumus Euclid, dapat dilihat bahwa

tripel Pythagoras yang terbentuk bukan merupakan tripel

Pythagoras primitif karena bilangan-bilangan yang terbentuk itu

dapat dibagi dengan 2. Selain itu, dapat dilihat juga bahwa m dan n

yang dipilih keduanya merupakan bilangan ganjil atau genap semua,

sehingga membentuk a, b, c bernilai genap semua. Untuk membentuk

tripel Pythagoras primitif kedua syarat terakhir haruslah dipenuhi,

yaitu FPB (m,n) = 1, dan selisih dari m dan n merupakan bilangan

ganjil.


Berikut ini disajikan 16 tripel Pythagoras primitif dengan nilai

c ≤ 100, antara lain:

[3, 4, 5] [5, 12, 13] [7, 24, 25] [8, 15, 17]

[9, 40, 41] [11, 60, 61] [12, 35, 37] [13, 84, 85]

[16, 63, 65] [20, 21, 29] [28, 45, 53] [33, 56, 65]

[36, 77, 85] [39, 80, 89] [48, 55, 73] [65, 72, 97]

Dengan menggunakan definisi tripel Pythagoras yang telah

dituliskan sebelumnya, jika [a, b, c] adalah tripel Pythagoras maka

[ka, kb, kc] juga merupakan tripel Pythagoras. Dengan mengalikan

tripel Pythagoras primitif dengan bilangan bulat positif yang sama

yaitu k maka akan dapat diperoleh tripel Pythagoras sebanyak tak

hingga.

Setiap tripel Pythagoras primitif dapat dibentuk dengan

menggunakan rumus Euclid. Dimulai dari sembarang tripel

Pythagoras primitif a, b, dan c. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa

ada bilangan bulat positif m, n (dengan m>n) dan sedemikian hingga

dengan menggunakan m, n dapat dihasilkan tripel Pythagoras

primitif a, b, dan c. Diketahui bahwa FPB [a, b, c] = 1. Jika sembarang

dari dua bilangan a, b, dan c mempunyai faktor bersama d, dapat

ditulis dalam bentuk 𝑑 𝑎 dan 𝑑 𝑏 maka selanjutnya dapat diperoleh

𝑑2 𝑎2 dan 𝑑2 𝑏2 . Karena 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 akibatnya 𝑑2 haruslah

membagi 𝑐2 sehingga d juga membagi c. Diperoleh kontradiksi

dengan asumsi semula bahwa a, b, c merupakan tripel Pythagoras

primitif. Oleh karena itu, tidak ada dua bilangan dari a, b, dan c yang

mempunyai FPB lebih dari 1.


Tidak semua a, b, dan c berupa bilangan ganjil, karena jumlah

dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Demikian juga nilai a, b,

dan c tidak dapat semua bernilai genap, karena 2 akan menjadi faktor

bersama, sedangkan yang akan dibentuk adalah tripel Pythagoras

primitif. Sehingga tidak mungkin ada tepat dua bilangan dari a, b, dan

c yang merupakan bilangan genap, karena alasan di atas (misalnya d

= 2), jika 2 adalah faktor dari a dan b maka 2 juga merupakan faktor

dari c. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa hanya ada tepat satu

bilangan genap dari a, b, dan c dan selain itu merupakan bilangan

ganjil.

Untuk membuktikan kasus tersebut, dapat dimisalkan bahwa c

genap, a dan b ganjil. Maka dapat ditulis a = 2x + 1, b = 2y + 1, dan c =

2z, dimana x, y, dan z adalah bilangan bulat positif. Dengan

menggunakan teorema Pythagoras dapat diperoleh perhitungan

sebagai barikut:

2𝑥 + 1 2 + 2𝑦 + 1 2 = 2𝑧 2

⟺ 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 + 4𝑦2 + 4𝑦 + 1 = 4𝑧2

⟺ 4 𝑥2 + 𝑥 + 𝑦2 + 𝑦 − 𝑧2 + 1 = −2

Hasil perhitungan tersebut mengimplikasikan bahwa 4 adalah

pembagi 2, yang mana jelas bahwa implikasi itu salah. Sehingga jika

dipunyai tripel Pythagoras primitif, dan c sebagai hipotenusa tidak

bisa berupa bilangan genap. Oleh karena itu, salah satu dari a atau b

haruslah merupakan bilangan genap, dan kedua bilangan lainnya

haruslah bilangan ganjil.


Tanpa menghilangkan generalisasinya, misalkan b sebuah

bilangan genap, dengan a dan c ganjil. Sekarang diperoleh c2 – a2 = (c-

a)*(c+a) dan dapat ditulis ulang dalam bentuk persamaan b2 = c2 – a2

dalam bentuk sebagai berikut.

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2

⟺ 𝑏2 = 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎

⟺ 𝑏

2

2

= 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎

2

Perhatikan bahwa karena b genap dan a dan c ganjil, 𝑏

2, 𝑐−𝑎

2, dan

𝑐+𝑎

2

semua adalah bilangan bulat positif. Kita dapat menetapkan bahwa

FPB dari 𝑐−𝑎

2 dan

𝑐+𝑎

2 adalah 1. Jika d adalah sebarang pembagi

bersama dari dua bilangan tersebut, maka d dapat membagi

jumlahnya, c, dan selisihnya, a. Kita mengetahui bahwa FPB dari a

dan c adalah 1 maka d harus membagi 1, jadi d=1. Ini memberikan

kita perkalian dari dua bilangan bulat, 𝑐−𝑎

2 dan

𝑐+𝑎

2, yang mempunyai

FPB 1, dan perkalian kuadrat 𝑏

2 2. Satu-satunya cara yang dapat

terjadi adalah jika masing-masing dikuadratkan. Artinya, ada

bilangan bulat positif m dan n sedemikian hingga,

𝑚2 = 𝑐 + 𝑎 2

2,

𝑛2 = 𝑐 − 𝑎 2

2,

𝑚𝑛 =𝑏

2

Kita misalkan 𝑚 = (𝑐+𝑎)

2 dan 𝑛 =

(𝑐−𝑎)

2.


Kemudian m>n, karena m2 = n2 + a > n2, dan n > 0, karena c > a.

Sebagai tambahan, karena m2 dan n2 mempunyai FPB 1, seperti

halnya m dan n juga mempunyai FPB 1.

Selanjutnya, m dan n tidak dapat keduanya ganjil, atau m2–n2=a

akan menjadi genap, yang mana hal itu tidak akan terjadi karena

keduanya genap karena 2 tidak dapat menjadi pembagi bersama.

Artinya bahwa satu dari m dan n adalah genap. Oleh karena itu m – n

adalah ganjil. Sekarang penyelesaian tiga persamaan di atas untuk a,

b, dan c, kita menemukan bahwa untuk membentuk tripel Pythagoras

primitif kita dapat menggunakan rumus Euclid.

𝑎 −𝑚2 − 𝑛2

𝑏 = 2𝑚𝑛

𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2

m > n > 0 adalah bilangan bulat

m – n ganjil dan FPB dari m dan n adalah 1.

Contoh: Mulai dengan tripel Pythagoras primitif a = 7, b = 24, c = 25,

dan misalkan m = (25+7)

2= 16 = 4 dan 𝑛 =

(25−7)

2= 9 = 3. Maka m

> n > 0, dan bilangan tersebut relatif prima. Dengan menggunakan m

= 4 dan n = 3, dan mengaplikasikan rumus Euclid diperoleh 7, 24, dan

25.

Ada tiga tipe tripel Pythagoras, yaitu: tripel Pythagoras

primitif, tripel Pythagoras primitif twin, dan tripel Pythagoras


komposit. Definisi dari masing-masing jenis tripel Pythagoras

tersebut adalah sebagai berikut.

1. Tripel Pythagoras primitif (P) adalah sebuah tripel Pythagoras (a,

b, c) dimana tidak ada faktor bersama untuk semua bilangan bulat

positif a, b, dan c.

2. Tripel Pythagoras primitif twin (PT) adalah sebuah tripel

Pythagoras (a, b, c) dimana panjang kaki terpanjang mempunyai

selisih satu dengan hipotenusanya.

3. Tripel Pythagoras komposit (K) adalah sebuah tripel Pythagoras

(a, b, c) dimana terdapat faktor sekutu untuk semua tiga bilangan

positif integer a, b, dan c.

Berikut disajikan kemungkinan-kemungkinan tripel

Pythagoras dengan panjang hipotenusa < 100 yang dibentuk dari m

dan n dengan menggunakan rumus Euclid.

Tabel 1.2 Tabel tripel Pythagoras yang dibentuk dari m dan n

M N a = m2-n2 b = 2mn c = m2+n2 Tipe Tripel Pythagoras

2 1 3 4 5 PT 3 1 8 6 10 K 3 2 5 12 13 PT 4 1 15 8 17 P 4 2 12 16 20 K 4 3 7 24 25 PT 5 1 24 10 26 K 5 2 21 20 29 P 5 3 16 30 34 K 5 4 9 40 41 PT 6 1 35 12 37 P


6 2 32 24 40 K 6 3 27 36 45 K 6 4 20 48 52 K 6 5 11 60 61 PT 7 1 48 14 50 K 7 2 45 28 53 P 7 3 40 42 58 K 7 4 33 56 65 P 7 5 24 70 74 K 7 6 13 84 85 PT 8 1 63 16 65 P 8 2 60 32 68 K 8 3 55 48 73 P 8 4 48 64 80 K 8 5 39 80 89 P 9 1 80 18 82 K 9 2 7 36 85 P 9 3 72 54 90 K 9 4 65 72 97 P

Bagian Kedua: Bilangan Fibonacci dan Tripel Pythagoras 17

Bagian Kedua:

BILANGAN FIBONACCI DAN TRIPEL

PYTHAGORAS

Asal-Usul Bilangan Fibonacci Fibonacci merupakan salahsatu matematikawan yang sangatterkenal dan akan selalu dikenangsepanjang masa. Betapa tidak,Fibonacci telah memberikankontribusi yang sangat besar danpenting terhadap perkembanaganilmu pengetahaun khususnya padabidang matematika. Jika tidak adaFibonacci, mungkin saja kita tidakakan pernah mengenal bilangan 0 (zero) dan mengalami kesulitandalam melakukan berbagai perhitungan.Fibonacci memiliki nama lengkap Leonardo di Pisa atauLeonardo Pisano, lahir pada tahun 1170 di Pisa Italia dan meninggaldunia pada tahun 1250. Kadang-kadang, dia dipanggil dengan namaBigollo yang berarti “traveler” atau pelancong sesuai dengan

Gambar 2.1 Fibonaccisumber: www.google.com

Satu Untuk 3: ragam tripel Pythagoras18

kesehariannya yang sering travelling ke berbagai negara. Dia seringmengikuti ayahnya yang bertugas di Afrika Utara. Bigollo lebihdikenal dengan nama Fibonacci karena berasal dari keluargaFibonacci (Fibonacci = Fillus Bonacci (bahasa Latin) yang berartianaknya Bonacci).Fibonacci dikenal sebagai matematikawan Eropa paling pentingpada abad pertengahan karena kontribusinya yang sangat besardalam memperkenalkan penggunanan sistem bilanagn Hindu –Arabicke dunia Barat. Ayahnya Guglielmo Bonaccio, yang adalah seorangdiplomat membawa Fibonacci ke Aljazair, Afrika Utara, untukmelakukan pekerjaan akuntansi. Pada waktu itu, Fibonaccimenemukan bahwa orang bijaksana di negeri tersebut tidakmenggunakan bilangan Romawi I, II, III tetapi 1,2,3. Selain itu, merekamenggunakan nol dan memiliki pemahaman yang baik tentangsesuatu yang disebut nilai tempat. Nol tidak ada dalam sistembilangan Romawi di Eropa. Fibonacci dengan cepat menyadari betapapenting dan efektifnya penggunaan angka 0,1, 2, 3,. . . dalammelakukan perhitungan dan segera dia memperkenalkan sistemHindu- Arabic ke dunia Barat. Setelah dia kembali ke Italia, dia mulaimenulis beberapa buku diantaranya yang sangat terkenal yaitu Liber

abaci (1202) atau Book of the Abacus juga biasa disebut Book of

Calculating. Pada bab 12 buku tersebut terdapat sebuahpermasalahan yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawanlain yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak. Pertanyaan


sederhana tapi diperlukan kejelian dalam berpikir. Inilah masalahyang terdapat pada buku tersebut:A certain man put a pair of rabbits in a placesurrounded by a wall. How many pairs of rabbits can beproduced from that pair in a year if it is supposed thatevery month each pair begets a new pair which from thesecond month on becomes productive?Bila diterjemahkan kira-kira pertanyaannya begini, berapabanyak pasangan kelinci yang beranak-pinak selama satu tahun jikadiawali dari sepasang kelinci dan kelinci tersebut tumbuh jadi dewasadan bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan sehingga setiap

bulan kedua masing-masing kelinci betina (induk dan anaknya)selalu melahirkan sepasang kelinci baru?Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahunmelalui barisan bilangan 1 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , . . . dan biladinotasikan menjadi f1, ,f2, f3, f4 ,f5 ,f6, f7, f8,. . . . Nah, barisanbilangan inilah yang dinamakan dengan barisan bilangan Fibonacci,diambil dari namaya sendiri. Bagaimana caranya sehingga diperolehbarisan bilangan Fibonacci tersebut? Bila kita perhatikan polabilangan diatas, dengan mudah kita mengetahui bahwa bilanganketiga merupakan penjumahan dari dua bilangan sebelumnya.Misalnya (2= 1+1, 3=2+1, 5= 3+2, dan seterusnya). Kembali kepermasalahan tadi, berarti kita diminta untuk menentukan nilai darif12. Perhatikan ilustrasi di bawah ini:


Gambar 2.2 sumber : http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5num 1Bulan pertama : 1 pasang kelinci (keadaan semula)Bulan kedua : masih 1 pasang kelinci karena kelinci tadi belummelahirkan kelinci baruBulan ketiga : ada 2 pasang kelinci karena kelinci pertama sudahmelahirkan 1 pasang kelinci baruBulan keempat : ada 3 pasang kelinci karena kelinci pertama sudahmelahirkan lagi dan kelinci baru mulai tumbuhdewasaBulan kelima : ada 5 pasang kelinci karena ada 2 pasang kelinciyang melahirkan yaitu kelinci pertama dan kelinciyang tumnuh dewasa/kelinci keduaBegitu seterusnya, sehingga banyaknya pasangan kelinci tiap bulantersebut digambarkan dengan barisan bilangan 1 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,21 , . . . (jawaban atas pertanyaan Fibonacci, silahkan pembacamenjawabnya sendiri.


Bilangan Fibonacci di Alam

Bilangan atau barisan Fibonaccisering dijumpai di alam bahkan sangatdekat dengan kehidupan kita sehari-hari. Mulai dari tumbuh-tumbuhan,hewan, dan bagian tubuh manusiaseperti telinga merupakan buktikonkrit adanya bilangan Fibonacci.Mungkin sebagian besar dari kita tidak pernah meluangkanwaktu untuk memeriksa jumlah atau susunan kelopak pada bunga.Jika kita melakukannya beberapa hal menarik akan kita temukan.Pertama kita akan menemukan bahwa jumlah kelopak pada bungasering merupakan suatu deret bilanagn Fibonacci. Beberapa contohbunga Fibonacci (karena mengandung deret bilangan Fibonacci)adalah bunga mawar, bunga Lily, bunga Pink yang terdiri atas Pink

trillium (memiliki 3 kelopak) dan Pink clemantis (memiliki 7 kelopak).Bilangan Fibonacci ternyata tidak hanya ditemukan pada kelopakbunga melainkan juga pada susunan daun tanaman danpola/susunan biji bunga matahari, cemara, kaktus, dan lain-lain yangsemuanya itu bila diperhatikan dengan seksama membentukFibonacci Spiral. Selain pada bunga, Fibonacci Spiral banyakditemukan pada hewan-hewan mollusca. Mungkin ada benarnya, bilaada orang berkata bahwa bilangan Fibonacci merupakan bilangan

Gambar 2.3Sumber:http://www.mathsisfun.com 1


Sang Pencipta. Berikut beberapa contoh bilangan Fibonacci ditumbuh-tumbuhan dan hewan:

Bunga mawar Bunga Pink clemantis

Bunga matahari Cangkang molusccaGambar 2.4 Sumber: www.google.comHubungan antara Bilangan Fibonacci dan Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras “mengandung” bilangan Fibonacci

Dapatkah kita membuat segitiga dari 3 bilangan Fibonacciberbeda? Bila kita perhatikan barisan bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21,… maka dengan mudah kita mengatakan bahwa “tidak

ada segitiga yang sisi-sisinya terbentuk dari 3 bilangan Fibonacci


berbeda” Mengapa? Ya, hal ini terjadi karena jika kita mengikutipola (baca: aturan) bilangan Fibonnaci, kita akan mendapatkandua sisi segitiga yang pendek tidak bertemu pada satu sudut ataudengan kata lain dua sisi segitiga yang pendek bila dihubungkantidak akan bertemu pada satu titik sudut. Misalkan sisi segitigatersebut a,b,c dimana a<b<c maka dengan menggunakan aturanFibonnaci c=a+b artinya dua sisi yang lebih pendek harusditambahkan untuk mendapatkan sisi terpanjang. Bila c sebagaisisi terpanjang dijadikan sebagai sisi alas, dan masing – masing sisia dan b dihubungkan pada kedua ujung sisi c maka sisi a dan b itutidak akan pernah bertemu. Lebih jelasnya perhatikan ilustrasiberikut: dimana c=a+b dan c sebagai sisi alas segitiga.a a b

c cGambar 2.5 Segitiga tidak sempurnaHal ini terjadi karena untuk semua segitiga, sisi terpanjangpasti lebih pendek dibandingkan penjumlahan dua sisi yang lain.Dengan kata lain jumlah dua sisi pada segitiga selalu lebih panjangdaripada 1 sisi yang lain. Hal inilah yang kita kenal dengan“ketidaksamaan segitiga”. Penulis berasumsi bahwa hal tersebutsudah diketahui oleh pembaca sehingga disini tidak perludibuktikan lagi tentang ketidaksamaam segitiga.


Dengan menggunakan formula dari Euclid (lihat bagianpertama) dimana a = m2 - n2, b=2mn dan c= m2 +n2, m > n dangenerator m dan n sebagai bilangan Fibonacci berurutan maka kitaakan menemukan bahwa pada setiap segitiga Pythagoras, sisiterpanjang (hypotenusa) merupakan bilangan Fibonacci. Fibonaccisebagai bilangan terbesar pada tripel Pythagoras, dapat dilihatpada tabel berikut ini:Tabel 2.1 Tripel Pythagoras menggunakan bilangan Fibonaccim N a =m2 -n2 b = 2mn c = m2 +n22 1 3 4 5 (F5)3 2 5 12 13 (F7)5 3 16 30 34 (F9)8 5 39 80 89 (F11)13 8 105 208 233 (F13)21 13 272 546 610 (F15)34 21 715 1428 1597 (F17)55 34 1869 3740 4181 (F19)89 55 4896 9790 10946 (F21)144 89 12815 25632 28657 (F23)377 144 121393 108576 162865 (F25)


521 377 129312 392834 413570 (F27)665 521 170784 692930 713666 (F29)... ... ... ... ...Fi+1

Fi F(i-1)F(i+2) 2FiF(i+1) F2i+1

Dari tabel di atas jelas terlihat bahwa bilangan terbesar padatripel Pythagoras merupakan bilangan Fibonacci. Fakta menariklainnya dan masih menjadi pertanyaan terbuka (misteri) hinggasaat ini bahwa hanya terdapat 2 macam tripel Pythagoras yanghypotenusa dan salah satu sisi siku-sikunya merupakan bilanganFibonacci. Kedua tripel tersebut yaitu 3,4,5 dan 5,12,13(perhatikan bilangan yang ditandai dengan warna kuning di atas)Fibonacci-type series of 4 numbers membentuk Tripel

PythagorasDengan mengambil 2 bilangan sebarang k dan l kemudianmengikuti aturan Fibonacci kita akan mendapatkan tripelPythagoras dari 4 bilangan yang ada. Sebarang bilangan pertamadan kedua, kita berinama k dan l, sehingga bilangan ketiga dankeempat adalah k+l dan k+2l. Ambil k= 1 dan l =3, diperoleh:


Tabel 2.2 Nilai k = 1, dan l = 3k l k+l k+2l1 3 4 7

Selanjutnya, mari kita ikuti prosedur berikut:a. Dari 4 bilangan di atas, kalikan kedua bilangan yang ditengah(3 x 4 = 12).b. Hasil perkalian tadi, dikali dengan 2 sehingga hasilnya: 12 x 2= 24, 24 ini menjadi salah satu bilangan pada tripelPythagoras.c. Kalikan bilangan pertama dan keempat (1 x 7 = 7), 7merupakan bilangan terkecil pada tripel Pythagoras.d. Jumlahkan kuadrat dua bilangan yang ditengah (32 + 42 = 9 +16 =25). 25 merupakan bilangang tripel Pythagoras terbesaratau hypotenusa pada segitiga Pythagoras.Jadi kita sudah mendapatkan tripel Pythagoras 7, 24, 25.Dengan mengikuti prosedur di atas, dengan mudah kitamendapatkan bilangan tripel Pythagoras. Apa yang menjadi dasar

berlakunya algoritma diatas? Kita tahu bahwa dengan formulam,n kita dapat menemukan semua primitive Pythagoras tetapitidak semua non-primitive dapat ditemukan melalui formula ini.Formula m,n yang dimaksud yaitu: m2 – n2 ,2 mn, m2 + n2 ; m,n €Z+, m>n. Dengan menggunakan formula ini, maka Fibonacci-type


series of 4 numbers ini mendapatkan sisi-sisi pada segitigaPythagoras sebagai berikut:a. 2 x hasil perkalian bilangan ditengah = 2mnb. Hasil perkalian bilangan pertama dan keempat = (m – n) (m +n) = m2 – n2c. Jumlah kuadrat bilangan ditengah = m2 + n2 . Dengan demikian,dasarnya tetap mengacu pada teorema Euclid khususnyaformula m dan n.Tabel 2.3 Tripel Pythagoras terbentuk dari Fibonacci-type series of 4 numbers

Kita juga sudah mengetahui (dari bagian pertama) bahwa,formula m,n tidak dapat menemukan semua tripel Pythagoras yangkomposit. Metode Fibonacci-type series of 4 numbers ini equivalen

i F(i) F(i+1) F(i+2) F(i+3) A b C1 1 1 2 3 4 3 52 1 2 3 5 12 5 133 2 3 5 8 30 16 344 3 5 8 13 80 39 895 5 8 13 21 208 105 2336 8 13 21 34 546 272 6107 13 21 34 55 1428 715 15978 21 34 55 89 3740 1869 41819 34 55 89 144 9790 4896 10946


dengan formula m,n. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwametode inipun hanya mampu menemukan semua tripel primitifdan tidak dapat menemukan semua tripel Pythagoras komposit.Meskipun demukian, metode ini memiliki kelebihan dimana kitasecara bebas menentukan bilangan pertama dan kedua (k dan l)tidak hanya terbatas bilangan Fibonacci saja.

Bagian Ketiga: Semai Benih Pohon Pythagoras 29

Bagian Ketiga:

SEMAI BENIH POHON PYTHAGORAS

Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif [a,b,c] yang

merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku, atau dengan kata lain,

ketiga angka tersebut memenuhi persamaan a2 + b2 = c2. Jika d adalah

faktor persekutuan terbesar dari a, b, c, maka 𝑎

𝑑,𝑏

𝑑,𝑐

𝑑 = 𝑎′, 𝑏′, 𝑐′

disebut tripel Pythagoras primitif, dan ketika d>1 maka tripel

Pythagoras nonprimitif [a,b,c] sama dengan perkalian dari d[a’,b’,c’].

Oleh karena itu, kajian tentang tripel Pythagoras yang paling sering

adalah difokuskan pada kajian mengenai tripel Pythagoras primitif.

Kajian mengenai tripel Pythagoras ini merupakan kajian yang

sudah terjadi pada jaman kuno. Daftar perluasan tripel Pythagoras

primitif telah ditemukan pada sebuah tablet circa 1800 BC. Dapat

diketahui penemuan itu sudah sangat kuno, namun demikian kajian

tentangnya masih terbuka lebar, dan banyak penelitian atau

penemuan selanjutnya terkait pengembangan mengenai tripel

Pythagoras.


Sejarah Pohon Pythagoras

Pohon Pythagoras pada pertama kali dikaji oleh B. Bergern

pada tahun 1934. Bergern mengklasifikasikan primitif tripel

Pythagoras dengan menggunakan ternary tree. Setiap tripel

Pythagoras primitif memiliki tiga anak yang dinamakan left child,

middle child dan right child.

Gambar 3.1 Pohon Pythagoras

Pada tahun 1963, F.J.M. Barning membuat klasifikasi pohon

Pythagoras dengan menggunakan aturan matrik. Sehingga dengan

menggunakan aturan matrik, susunan tripel Pythagoras berbentuk

ternary tree dapat dibuat. Pembuatan aturan matriks itu yang ada di

pembahasan bab ini.

A. Hall, mengembangkan kajian tentang pohon Pythagoras

dengan menggunakan algoritma UAD. UAD merupakan singkatan


dari Up, Along, Down. Dengan menggunakan UAD maka tripel

Pythagoras primitif dapat dibentuk menjadi ternary tree. Berikut

skema UAD untuk membentuk pohon Pythagoras dengan generator

m, n.

Gambar 3.2 Skema UAD

Kajian Geometri Sudut Setengah Alfa terhadap Teorema

Pythagoras

Menurut kajian geometri, dapat

dibuat segitiga siku-siku ABC seperti

terlihat pada gambar 4.3 di samping,

yaitu dengan panjang kaki masing-

masing a dan b, serta panjang sisi

hipotenusanya adalah c dan sudut salah

satu kakinya adalah sebesar 2α.

Selanjutnya dibuat perpanjangan sisi

sepanjang c hingga diperoleh segitiga siku-siku baru ADC dengan

panjang kakinya adalah (c+a) dan b.

D B C

A

Gambar 3.3 Segitiga siku-siku ADC


E

Karena segitiga ABD adalah segitiga yang dibuat sebagai

segitiga samakaki maka sudut kaki-kakinya sama besar. Jika

diperhatikan pada segitiga tersebut, sudut 2α merupakan sudut luar

segitiga ABD yang merupakan jumlah dari sudut segitiga yang tidak

berpelurus dengannya, yaitu: ∠𝐵𝐷𝐴 + ∠𝐵𝐴𝐷 = 2𝛼, karena

∠𝐵𝐷𝐴 = ∠𝐵𝐴𝐷 maka ∠𝐵𝐷𝐴 = 1

2(2𝛼) = 𝛼. Jadi, besar sudut kaki

segitiga yang baru adalah sebesar α. Sehingga diperoleh tangen

setengah sudut 𝛼 adalah 𝑏

𝑎+𝑐.

Sama halnya jika segitiga ABC

tersebut sisi CA diperpanjang seperti

tampak pada gambar 4 di samping, yaitu

dengan panjang kaki masing-masing a

dan b, serta panjang sisi hipotenusanya

adalah c dan sudut salah satu kakinya

adalah sebesar 2β. Selanjutnya dibuat

perpanjangan sisi CA sepanjang c hingga

diperoleh segitiga siku-siku baru BCE

dengan panjang kakinya adalah (c+b)

dan a.

Karena segitiga BAE adalah segitiga yang dibuat sebagai

segitiga samakaki maka sudut kaki-kakinya sama besar. Jika

diperhatikan pada segitiga tersebut, sudut 2α merupakan sudut luar

segitiga BAE yang merupakan jumlah dari sudut segitiga yang tidak

berpelurus dengannya, yaitu: ∠𝐴𝐵𝐸 + ∠𝐵𝐸𝐴 = 2𝛽, karena

B C

A

Gambar 3.4 Segitiga siku-siku BCE


∠𝐴𝐵𝐸 = ∠𝐵𝐸𝐴 maka ∠𝐵𝐸𝐴 = 1

2(2𝛽) = β. Jadi, besar sudut kaki

segitiga yang baru adalah sebesar β. Sehingga diperoleh tangen

setengah sudut 𝛽 adalah 𝑎

𝑏+𝑐.

Jika panjang sisi-sisi a, b, c merupakan bilangan bulat atau

rasional maka nilai tangen setengah sudut juga rasional dan dapat

dinyatakan sebagai suku terkecil.

Fibonacci Boxes (FB)

Dua buah bentuk pecahan yang direduksi/diubah dalam

bentuk paling sederhana yaitu 𝑞

𝑝,𝑞′

𝑝′ merupakan dua buah kolom dari

matriks berordo 2 x 2, dengan pembilang sebagai komponen pada

baris pertama dan penyebut sebagai komponen baris ke dua. Bentuk

pecahan yang telah direduksi dengan nilai penyebut terbesar

diletakkan pada kolom kedua. Angka-angka tersebut akan

ditunjukkan sepertti di bawah ini sebagai parameter yang

menunjukkan variasi dari solusi parametrik. Berikut ini disajikan

beberapa contoh.

𝑞 𝑞′

𝑝 𝑝′ →

1 12 3

, 2 13 5

, 1 34 5

, 3 14 7

, 2 35 7

(a,b,c) (3,4,5) (5,12,13) (15,8,17) (7,24,25) (21,20,29)


Pada matriks yang pertama dengan komponen 1, 1, 2, 3

merupakan Fibonacci box yang dibentuk dari empat suku pertama

pada barisan Fibonacci yang selanjutnya dapat digunakan untuk

menentukan komponen pada matriks lainnya. Fibonacci box tersebut

juga dapat diperoleh dari mensubstitusikan nilai tripel pitagoras

primitif yang paling kecil yaitu [3, 4, 5] dengan a = 3, b = 4, dan c = 5

ke dalam tangen setengah sudut yang telah diperoleh pada kajian

secara geometri sebelumnya, yaitu: 𝑏

𝑎+𝑐 dan

𝑎

𝑏+𝑐. Diperoleh

4

3+5=

4

8=

1

2=

𝑞

𝑝 dan

3

4+5=

3

9=

1

3=

𝑞′

𝑝′ , sehingga diperoleh komponen

𝑞 𝑞′

𝑝 𝑝′ =

1 12 3

.

Selanjutnya, pada contoh ke tiga pada barisan contoh di atas

diperoleh: (17−8)

15=

9

15=

3

5 dan

(17−15)

8=

2

8=

1

4.

Beberapa sifat dapat dilihat dari beberapa contoh yang

ditunjukkan tersebut. Ada sebuah bilangan genap dan itu selalu

berada di kolom pertama. Hasil dari perkalian kolom merupakan

panjang kaki-kaki dari segitiga siku-siku. Selanjutnya, untuk lebih

jelasnya, hasil perkalian kolom kedua sama dengan panjang kaki

yang bernilai ganjil, dan hasil perkalian kolom pertama adalah

setengah dari panjang kaki yang bernilai genap. Panjang hipotenusa

segitiga adalah permanen/tetap yaitu diperoleh dari hasil

penjumlahan perkalian diagonalnya. Selain itu, dapat juga diperoleh

dari selisih perkalian dua kolom.


17 = (1 x 5) + (3 x 4) = (4 x 5) – (1 x 3).

Selanjutnya, perkalian dua diagonal dan perkalian dua baris

merupakan jari-jari dari empat lingkaran, lingkaran dalam dan tiga

lingkaran luar dari segitiga siku-siku. Jari-jari terpanjang (hasil

perkalian baris kedua) adalah jumlah dari jari-jari ketiga lingkaran

yang lain. Hasil perkalian dari keempat bilangan tersebut merupakan

luas segitiga siku-siku.

Untuk tripel [5, 12, 13] di atas, jari-jari adalah 2, 15 (hasil

perkalian baris) dan 3, 10 (hasil perkalian diagonal) dan luasnya

diperoleh 1 x 2 x 3 x 5 = 1

2 (5 x 12). Tentu saja 2 x 15 = 3 x 10 = 1 x 2

x 3 x 5. Fakta paling dasar tentang Fibonacci Box ini adalah jumlah

dan selisih dari bilangan pada kolom pertama memberikan kolom

kedua, yaitu q’ = p – q dan p’ = p + q. Itu adalah persamaan-

persamaan kunci. Misalkan kita mengubah bentuk 2 x 2 ke dalam

bentuk 4-tuple, K = [q’, q, p, p’], dengan menambahkan baris kedua

ke dalam kebalikan baris pertama. Persamaan kunci sekarang

menyatakan bahwa 4-tuple, K, memenuhi aturan Fibonacci.

Barisan K menduduki 2 x 2 box seperti bentuk huruf “C”,

berhitung searah jarum jam dari atas berputar ke arah kanan.

5 38 13

3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13

Gambar 3.5 “Fibonacci Box” (FB)


Contoh tersebut merupakan “Fibonacci box” (FB) yang dibuat

dari empat suku Fibonacci yang berurutan dan itu membentuk tripel

primitif [39, 80, 89].

Fibonacci Box (FB) yang secara unik ditentukan dengan dua

bilangan di dalamnya, oleh karena itu kesamaan ini benar sebuah

tripel. Sebagai contoh ambil sebuah kolom, tripel Pythagoras

primitifnya adalah T = [p2 – q2, 2pq, p2 + q2] jika kita mengambil

kolom pertama atau 1

2 T jika kita mengambil kolom kedua. Itu

merupakan dua solusi standar.

Berdasarkan aturan pola yang tampak pada beberapa contoh

yang telah dituliskan di atas, dapat diperoleh simpulan bahwa secara

umum tripel Pythagoras dapat dihasilkan dengan formula berikut:

[q’p’, 2pq, qp’ + q’p] = [q’p’, 2pq, pp’ - qq’] dengan p, p’, q, dan q’ masing-

masing adalah komponen matriks berordo 2 x 2 yaitu 𝑞 𝑞′

𝑝 𝑝′ .

Eqyptian Fractions dan Tripel Pythagoras

Satu aplikasi mengejutkan adalah menggunakan semua

empat parameter untuk menuliskan Eqyptian Fractions (EFs).

Perbandingan antara keliling dan luas adalah

2

𝑞𝑞′=

1

𝑞𝑞′+

1

𝑞𝑝 ′+

1

𝑞′𝑝+

1

𝑝𝑝 ′. Jumlah penyebut (jari-jari) pada sisi

kanan merupakan keliling. Mengurangkan 1

𝑞𝑞′ dari kedua sisi untuk


mendapatkan tiga suku EF. Kemudian mengurangkan 1

𝑝𝑝 ′, dua

suku yang masih adalah 1

𝑞′𝑝+

1

𝑞𝑝 ′, memberikan perbandingan

hipotenusa dengan luas.

Pohon Pythagoras

Gambar 3.6 Pohon Pythagoras Barning-Hall

Dengan menggunakan Fibonacci Box (FB), dapat dengan

mudah dideskripsikan pohon Pythagoras. Dalam pohon tersebut

mempunyai level pertama (L = 0) yang terdiri dari hanya tripel

Pythagoras [3, 4, 5] atau kotak Fibonacci itu terdiri dari K=[1,1,2,3].

Selanjutnya, setiap satu kotak matriks tersebut akan menghasilkan

tiga buah anak pada level selanjutnya. Urutan anak-anak yang

terbentuk tersebut diberi nama left child (anak kiri), middle child

(anak tengah), dan right child (anak kanan).


Pada pohon Pythagoras Barning-Hall, perputaran kolom pada

kotak matriks yaitu dengan pengubahan dua bilangan. Jika M adalah

Fibonacci Box yang primitif, maka M1, M2, M3 dapat diperoleh dari

perputaran kolom kedua, kedua kolom, dan kolom pertama. Hasilnya

bukan merupakan FB, tetapi terdapat Mi unik yang mempunyai baris

pertama yang sama. Dengan kata lain, membuang komposisi baris

kedua lalu menghitung ulang. Hal ini dapat mendefinisikan tiga anak

pohon.

Selanjutnya, definisi tiga anak pohon tersebut secara serta

merta mengikuti definisi bahwa perkalian baris pertama dari anak

pohon sama dengan perkalian yang lain dari induknya. Untuk

perkalian baris pertama pada anak kiri, tengah, dan kanan adalah

tepat merupakan perkalian dari induk yang meliputi diagonal utama,

baris kedua, dan diagonal terbalik.

Misalkan kita mempunyai sembarang tripel Pythagoras

primitif, dengan Fibonacci Box primitifnya. Maka langsung saja

membalik proses memutar kolom, dan menunjukkan bahwa tripel itu

mempunyai tempat yang unik pada pohon. Menemukan selisih positif

dari setiap baris, menempatkan hasilnya pada kolom pertama (nilai

terbesar harus diletakkan pada bagian atas), lalu melengkapi

kotaknya. Barning dan Hall keduanya menggunakan metode yang

berbeda, dengan metode transformasi matrik. Jika setiap tripel

Pythagoras primitif ditulis sebagai vector kolom, anak yang diperoleh

adalah dengan mengalikan bagian kiri dengan tiga matriks.


Perbedaan ketiga matriks tersebut hanya terletak pada tanda sebagai

barikut.

−1 2 2−2 1 2−2 2 3

, 1 2 22 1 22 2 3

, 1 −2 22 −1 22 −2 3

Kita tidak mengikutsertakan detail yang mengonfirmasi

kostruksi dan tetap menghasilkan pohon yang sama. Dimulai dari

bagian atas, lalu diikuti bagian kiri, tengah dan kanan dengan arah

menurun, satu diantaranya bekerja mengikuti famili dari tripel yang

dibentuk oleh Plato, Fermat, dan Pythagoras.

Untuk Hall, pohon Pythagorasnya sama, kecuali pohon itu

diputar 900 dan tumbuh dari kiri ke kanan. Sedangkan untuk Barning,

pohon Pythagorasnya tidak diputar, tetapi bagian kiri dan tengah

ditukar.

Bagian Keempat: Tripel Pythagoras dengan Faktorisasi Bilangan Prima 41

Bagian Keempat:

TRIPEL PHYTAGORAS DENGAN FAKTORISASI

BILANGAN PRIMA

Sejarah Singkat dari Kajian Stephen B. Currry

Banyak ilmuwan matematika yang tertarik meneliti dan

mengkaji lebih dalam tentang keunikkan dari tripel Pythagoras

diantaranya Knott Ron yang mengkaji tentang keunikan bilangan

Fibonacci dengan tripel Pythagoras, Michel Stifel; barisan bilangan

pecahan campuran yang membentuk twin primitif Pythagoras dan

juga para ilmuan matematika lainnya. Berdasarkan keterkaitan

antara jari-jari lingkaran dalam segitiga dengan tripel Pythagoras

maka pada bab ini akan difokuskan pada faktorisasi bilangan prima

dalam suatu nilai r (jari-jari lingkaran dalam pada segitiga siku-siku)

yang diketahui dalam menentukan banyaknya tripel phytagoras yang

primitif maupun yang non-primitif (komposit).

Sehubungan dengan keunikan dari tripel Pythagoras ini,

seorang ilmuwan matematika dari Amerika, Stephen B Curry (2005),

juga seorang guru besar pada Departemen Matematika Alabama

School of Fine Arts, mengemukakan bahwa tidak semua tripel

Pythagoras yang non-primitif dapat digeralisasikan dengan

menggunakan m dan n (formula Eucid). Pernyataan ini dibuktikan


dengan mencari nilai m dan n yang memenuhi tipel Pythagoras

(12,9,15). Jelas dari tripel ini dapat ditentukan salah satu sisi siku-

siku yaitu b=12=2mn. Hal ini berarti ada dua nilai m dan n yang

memenuhi yaitu untuk m=6, n=1 dan m=3 dan n=2. Padahal, untuk

m=6, n=2 terbentuk tripel (12, 35, 37), sedangkan untuk m=3 dan n=2

terbentuk tripel (12, 5, 13), (lihat bagian pertama). Berdasarkan

kelemahan dari formula Euclid inilah maka dilakukan kajian

terhadap jari-jari lingkaran dalam segitiga (JLDS) dan generalisasi

tripel Pythagoras. Diakhir bab ini kita dapat menghitung jumlah

primitif dan non-primitif tripel Phytagoras dengan melakukan

faktorisasi bilangan prima dari suatu bilangan bulat pada jari-jari.

Bukti Jari – Jari dalam Lingkaran Segitiga (LJDS) adalah bilangan

bulat.

Dalam geometri Euclid, lingkaran didefenisikan sebagai

himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang

disebut jari-jari, dari suatu titik

tertentu, yang disebut pusat. Jari-

jari pada suatu lingkaran bisa

merupakan bilangan rasional. Oleh

karena dalam pembahasan tripel

Phytagoras kita menggunakan

bilangan asli yang mewakili ketiga

sisi pada segitiga siku-siku maka

C

A

Gambar 4.1 Lingkaran dalam

segitiga siku-siku dengan jari-jari r

B

http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_Euklid

http://id.wikipedia.org/wiki/Titik

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bidang&action=edit&redlink=1


perlu kita buktikan terlebih dahulu bahwa jari-jari lingkaran dalam

ini merupakan bilangan bulat. Berikut pembuktiannya:

Dengan berasumsi bahwa terdapat sebuah segitiga siku-siku

dengan ketiga sisinya adalah bilangan bulat posistif, maka lingkaran

yang berada didalam segitiga merupakan lingkaran dengan besar

jari-jari lingkaran dalam adalah suatu bilangan bulat positif r. Untuk

membuktikan r pada jari-jari lingkaran dalam segitiga itu adalah

bilangan bulat positif maka berikut ini ada beberapa pembuktiannya.

Berdasarkan gambar 4.1, perhatikan bahwa panjang sisi c atau

hipotenusa dapat diperoleh dari jumlah sisi a – r dan b –r, sehingga

diperoleh: c = (a – r) + (b – r), dan menghasilakan 𝑟 =𝑎+𝑏−𝑐

2. Oleh

karena telah dijelaskan terlebih dahulu bahwa nilai r ini merupakan

generalisasi dari nilai m dan n pada formula Euclid, maka dengan a =

m2 – n2, b = 2mn, dan h = m2 + n2, dimana m > n, akan diperoleh :

𝑟 = 𝑚2 − 𝑛2 + 2𝑚𝑛 − 𝑚2 + 𝑛2

2

𝑟 =2𝑚𝑛 − 2𝑛2

2

𝑟 = 𝑚 − 𝑛 𝑛 ..... (pers. 1)

dengan m, n = 1, 2, 3, ....

Oleh karena dari formula Euclid diberikan, m > n, maka

terbukti r merupakan bilangan bulat positif.

B


Alternatif bukti bahwa r sebagai bilangan bulat dengan

menggunakan rumus segitiga dan generalisasi nilai m dan n pada

formula Euclid, sehingga diperoleh:

Luas segitiga ABC = Luas segitiga AIB + Luas segitiga BIC + Luas

segitiga AIC.

Sehingga, 1

2 𝑎𝑏 =

1

2 𝑟𝑐 +

1

2 𝑟𝑎 +

1

2 𝑟𝑏 ..... (Pers. 2)

Kemudian dari (2) subtitusi formula Euclid, diperoleh:

𝑟 =𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =

𝑚2 − 𝑛2 2𝑚𝑛

(𝑚2 − 𝑛2 + 2𝑚𝑛 + 𝑚2 + 𝑛2

= 2𝑚𝑛 𝑚 − 𝑛

2𝑚 𝑚 + 𝑛

= 𝑛 (𝑚 − 𝑛)

Dengan demikian, 𝑟 = 𝑛 (𝑚 − 𝑛) adalah bilangan bulat.

Selain kedua bukti diatas kita juga dapat membuktikan r

sebagai bilangan bulat positif dengan membuat asumsi dasar terlebih

dahulu.

Asumsinya dengan memisallkan T adalah sebuah segitiga siku-

siku dengan sisi-sisnya adalah sebuah tripel Phytagoras {a,b,c},

dimana ketiga sisisnya merupakan bilangan bulat. Akan kita tunjukan

bahwa r dari T adalah bilangan bulat.


Bukti :

Dengan memperhatikan gambar 4.1 di atas, maka jelas

terdapat segitiga-segitiga yang kongruen dengan 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑟 dan

diperoleh

𝑟 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). Jika 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 ketiga-tiganya genap, maka

terbentuk tripel yang non-primitif dengan demikian a + b – c adalah

genap dan positif. Jika a genap dan b ganjil, c pasti ganjil, selanjutnya

a+b adalah bilangan ganjil, sehingga a+b–c adalah bilangan genap dan

positif. Dengan demikian terbukti bahwa r adalah bilangan bulat

positif.

Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga (JLDS) Membentuk tripel

Pythagoras.

Telah kita buktikan bahwa r adalah bilangan bulat positif dan

memperoleh suatu persamanan r = n(m-n). Selanjutnya kita akan

menunjukan bahwa r dapat digunakan untuk menggeneralisasi tripel

Pythagoras yang primitif maupun yang bukan primitif (komposit).

Oleh karena dalam membuktikan bahwa r dapat mengeneralisasi

tripel Pythagoras berdasarkan suatu faktorisasi bilangan prima,

maka proses pembuktian ini juga dapat menggunakan dasar teori

bilangan. Dalam bab ini penulis hanya melakukan generalisasi dari

kajian teorema dan lemma yang telah dibuktikan oleh Stephen.


JLDS dan Tripel Pythagoras

Berdasarkan pers. 1 yang kita miliki, 𝑟 = 𝑛(𝑚 − 𝑛) dapat kita

gunakan selanjutnya untuk memperoleh sebuah tripel Pythagoras

yang terbentuk dari JLDS 𝑟, maka terlebih dahulu kita harus

menentukan sembarang bilangan bulat positif 𝑟. Selanjutnya kita

membuat faktorisasi prima dari 𝑟 ini. Faktorisasi prima ini sangat

berperan dalam menghitung banyaknya faktor suatu bilangan

ataupun banyaknya pasangan bilangan yang terbentuk. Peranan

penting lainnya dari faktorisasi prima ini adalah menentukan

banyaknya tripel primitif yang terbentuk.

Sementara itu nilai 𝑛 dan 𝑚 − 𝑛 dapat kita tentukan

berdasarkan 𝑟 dengan melihat pasangan bilangan yang memberikan

hasil kali sama dengan 𝑟, perhatikan beberapa contoh berikut ini:

1. Jika kita mengambil 𝑟 = 1 maka hanya ada satu pasangan

bilangan yang menghasilkan 1 yaitu 1 . 1, sehingga nilai 𝑛 = 1 dan

𝑚 − 𝑛 = 1. Oleh karena hasil penjumlahan 𝑛 + 𝑚 − 𝑛 = 𝑚,

maka kita peroleh nilai m = 1 + 1 = 2.

2. Jika kita mengambil r = 6 maka akan terdapat 4 pasangan

bilangan yang hasil kalinya 6. Pasangan bilangan tersebut yaitu:

{(1.6), (6.1), (3.2), (2.3)}. Nah, sekarang kita masukan pasangan-

pasangan bilangan tersebut sebagai nilai m dan n. Dengan

mengambil n = 1 maka n – m = 6 dan i = 7. Dengan mengikuti cara

yang sama nilai n, m – n dan m pada tiga pasang bilangan lainnya.


Sekarang yang menjadi pertanyaan, bagaimana kita

menentukan banyaknya pasangan bilangan yang tebentuk dari suatu

r. Berikut caranya:

1. Pertama buatlah terlebih dahulu faktorisasi dari r. (r = 8 = 23 )

2. Dari faktorisasi yang terbentuk, jumlahkan angka yang menjadi

pangkat r dengan 1 kemudian kalikan semua hasil penjumlahan

tersebut. (3+1 = 4, jadi terdapat 4 pasangan bilangan yang dapat

dibentuk dari r = 8)

Pasangan-pasangan bilangan yang terbentuk dapat pembaca

tentukan sendiri dengan tetap menggunakan bilangan-bilangan yang

ada pada faktorisasi atau dengan menggunakan strategi Intelligent

Guessing and Testing. Cara menghitung banyaknya pasangan bilangan

ini sama dengan cara menghitung banyaknya faktor dari suatu

bilangan yang akan kita terapkan pada pembahasan selanjutnya.

Setelah kita memperoleh nilai m dan n maka dengan mudah

kita dapat menentukan ketiga sisi pada segitiga siku-siku dengan

generalisasi nilai r tadi. Ketiga sisi ini pastilah merupakan tripel

phytagoars dan terbentuk dari formula Euclid

𝑎 = 𝑚2 − 𝑛2, 𝑏 = 2𝑚𝑛, dan 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2. Untuk lebih jelasnya,

perhatikan tabel 4.1 di bawah ini.


Tabel 4.1 Beberapa contoh tripel Pythagoras yang digeneralisasi dari JLDS (1 r 8).

Banyak

faktor

𝐫 Faktori-

sasi 𝐧 𝐦 − 𝐧 𝐦 𝐚 = 𝐦𝟐 − 𝐧𝟐 𝐛 = 𝟐𝐦𝐧 𝐜 = 𝐦𝟐 + 𝐧𝟐 Ket.

1 1 1 1 1 2 3 4 5 P

2 2 2 2 1 3 5 12 13 P

2 2 1 2 3 8 6 10 K

2 3 3 1 3 4 15 8 17 P

3 3 3 1 4 7 24 25 P

3

4 22 1 4 5 24 10 26 K

4 22 2 2 4 12 16 20 K

4 22 4 1 5 9 40 41 P

2 5 5 1 5 6 35 12 37 P

5 5 5 1 6 11 60 61 P

4

6 2.3 1 6 7 48 14 50 K

6 2.3 2 3 5 21 20 29 P

6 2.3 6 1 7 13 84 85 P

6 2.3 3 2 5 16 30 34 K

2 7 7 1 7 8 63 16 65 P

7 7 7 1 8 15 112 113 P

4

8 22 2 4 6 32 24 40 K

8 22 4 2 6 20 48 52 K

8 22 1 8 9 80 18 82 K

8 22 8 1 9 17 144 145 P

Dari tabel 4.1 di atas, maka sebuah kesimpulan sederhana yang

dapat kita ambil dari bahwa dari bilangan bulat positif dari r yang

merupakan JLDS ini dapat mengeneralisasikan semua tripel

pythagoras yang primitif (P) dan komposit (K) dengan terlebih

dahulu melakukan faktorisasi bilangan prima pada nilai r. Kemudian


dengan menggunakan formula Euclid maka akan terbentuk tripel

Pythagoras yang primitif dan komposit.

Banyaknya Tripel Primitif dari r yang berbentuk 𝐫 = 𝟐𝐤

Hal menarik lainnya dari kajian ini yaitu kita dapat melihat

bahwa dari r yang digeneralisasi dengan m dan n akan menghasilkan

suatu tripel primitif yang selalu tunggal. Harus kita perhatikan bahwa

syarat ketertunggalan ini dipenuhi oleh nilai r yang berbentuk r=2k ,

dengan k 1.

Karena selanjutnya juga kita akan membicarakan primitif

Pythagoras maka terlebih dahulu kita akan mereview apa yang

dikatakan Euclid jika suatu tripel disebut sebagai primitif tripel

Pytagoras. Suatu bentuk tripel Pythagoras dikatakan primitif

menurut Euclid jika

1. 𝑚 > 𝑛 > 0

2. 𝑚 dan 𝑛 adalah relatif prima

3. 𝑚 − 𝑛 adalah ganjil

Setelah pembaca kini merasa yakin dengan apa yang

dimaksudkan dengan primitif kita akan kembali memperhatikan

asumsi kita diatas bahwa ada syarat ketertunggalan dari suatu nilai r

yang berbentuk r=2k , dengan k 1 dan syarat untuk memperoleh

nilai n diberikan oleh r yaitu n =r juga nilai m diberikan dari nilai n

+1.


Untuk membuktikan pernyataan ketertunggalan diatas benar

maka kita akan mengajak pembaca untuk melihat beberapa contoh

yang dengan melihat tripel primitif dari tabel 4.1 di atas.

1. Misalkan kita ambil k = 1 maka dari syarat ketertunggalan kita

peroleh r = 2, n=2, dan m=3 , dipeoleh tripel pythagoras {5, 12

dan 13}.

2. Selanjutnya, jika kita misalkan k=2 dan r = 4, kita peroleh n = 4,

dan m = 5. Tripel Pythagoras yang terbentuk adalah {40,9,41},

dan tripel ini merupakan primitif Pythagoras yang tunggal dari

JLDS dengan r = 4.

3. Jika kita memisalkan k = 3, kita peroleh n = 8, dan m = 9. Tripel

Pythagoras yang terbentuk adalah {17,144,145}, dan tripel ini

merupakan primitif Pythagoras yang tunggal dari JLDS dengan r

= 8.

Berdasarkan syarat ketertunggalan di atas maka kita telah

buktikan bahwa untuk suatu nilai r yang berbentuk r=2k , dengan k

1 sehingga n =r dan m=n +1, kita peroleh primitif Pythagoras yang

tunggal.

Menghitung Banyaknya Tripel Pythagoras Primitif yang

Terbentuk dari r pada JLDS

Dalam menghitung banyaknya tripel Pythagoras primitif ini,

faktorisasi bilangan prima sangat penting untuk dilakukan terlebih

dahulu, karena melalui faktorisasi prima suatu bilangan, kita dapat


menemukan banyaknya tripel Pythagoras primitif dengan

memperhatikan t yang diperoleh dari banyaknya faktor bilangan

prima setelah 2𝑘. Untuk lebih jelasnya pembaca harap

memperhatikan contoh-contoh berikut ini:

1. Misalkan kita mengambil nilai r = 2 maka faktorisasi primanya

{2} dan kita peroleh nilai t = 0 sehingga banyaknya primitif tripel

yang akan terbentuk yaitu: 20 = 1 {5,12,13}.

2. Misalkan r = 5, faktorisasi primanya = {5}, maka kita peroleh nilai

t=1 sehingga banyaknya primitive tripel Pythagoras yang akan

terbentuk adalah 21 = 2; {35,12,27} dan {11,60,61}

3. Misalkan r = 6, faktorisasi primanya = {2.3}, maka kita peroleh

nilai t=1 sehingga banyaknya primitif tripel Pythagoras yang

akan terbentuk adalah 21 = 2, tripelnya: {21,20,29} dan

{13,84,85}

4. Misalkan r =7, faktorisasi primanya = {7}, maka kita peroleh nilai

t=1 sehingga banyaknya primitive tripel hytagoras yang akan

teebentuk adalah 21 = 2, {63,16,65} dan {15,12,13}

5. Misalkan r = 8, faktorisasi primanya = {23}, maka kita peroleh

nilai t=0 sehingga banyaknya primitive tripel hytagoras yang

akan teebentuk adalah 20 = 1; {17,144,145}.

Dari beberapa contoh diatas dapat kita simpulkan bahwa

untuk menghitung banyaknya tripel Pythagoras primitif yang

terbentuk dari suatu r pada JLDS, maka pertama kita membuat

faktorisasi prima dari r di mana 𝑟 = 2k ∙ p1

q1 ∙ p2

q2 ∙ … ∙ pt

qt , dan dengan


memperhatikan nilai t maka banyaknya tripel Pythagoras primitif

yang terbentuk adalah sebanyak 2t.

Dengan mengetahui banyaknya tripel Pythagoras primitif ini

akan sangat membantu kita dalam menghitung jumlah tripel

Pythagoras yang non-primitif (komposit).

Kesimpulan kita di atas dapat kita buktikan dengan

memperhatikan contoh berikut ini:

Misalkan r = 90, maka faktorisasi primanya adalah 90 = 2. 32. 5,

perhatikan bahwa terdapat 2 bilangan prima selain 2 dari faktorisasi

90 sehingga diperoleh t = 2 dan akan terbentuk 22 primitif tripel

Pythagoras. Oleh karena nilai n harus mempunyai/mengandung

faktor 2 dan kombinasi faktor lainnya yang berasal dari faktorisasi

90, maka primitif tripel Pythagoras yang terbentuk dari r = 90 dapat

kita buat dengan menggunakan/menerapkan persamaan 1 yang telah

kita miliki sebelumnya dan nilai n diperoleh dari kombinasi faktor 2

dengan faktor prima lainya dari faktorisasi r, dan oleh karena r =

n(m-n), maka nilai m = n + (m-n) selanjutnya dengan menggunakan

formula Euclid kita peroleh tripel Pythagoras. Banyaknya primitif

tripel Pythagoras dari r =90 daat dilihat pada tabel 4.2 dibawah ini.

Tabel 4.2 Primitif tripel Pythagoras dari r = 90

𝒏 𝒎 − 𝒏 𝒎 𝒂 = 𝒎𝟐 − 𝒏𝟐 𝒃 = 𝟐𝒎𝒏 𝒄 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐

2 45 47 2205 188 2213

2. 32 5 23 828 205 853

2. 5 9 19 380 261 461

2. 32. 5 1 91 16380 181 16381


Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung banyaknya

primitif tripel dengan diberikan suatu nilai r dan kita juga telah

menunjukan bagaimana menemukan semua tripel dengan

generalisasi nilai n menggunakan faktorisasi prima dari nilai r.

Menghitung Banyaknya Tripel Pythagoras Komposit yang

Terbentuk dari r pada JLDS

Sekarang, kita akan melakukan investigasi terhadap tripel

Pythagoras komposit dan jari-jarinya. Tujuannya adalah untuk

menemukan semua tripel Pythagoras yang sisi-sisinya adalah

bilangan bulat dan JLDS adalah bilangan bulat r. Kita ketahui bahwa

tripel Pythagoras (a, b, c) dan jari-jari lingkaran dalam seigitiga siku-

siku r = ½ (a + b - c). Dari hubungan tersebut bahwa untuk k bilangan

bulat positif, segitiga siku-siku dengan sisi ka, kb, dan kc akan

memiliki jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku sebesar kr.

Misalnya, tripel Pythagoras (3, 4, 5) memiliki r = 1, maka (3r, 4r, 5r)

memiliki jari-jari r.

Untuk menemukan semua segitiga siku-siku dengan panjang

sisinya merupakan suatu bilangan bulat dan diberikan oleh JLDS r,

kita harus memperhatikan kembali faktorisasi prima dari r dan

menemukan semua faktor dari r termasuk 1. Untuk setiap faktor t

dari r, kita akan menemukan semua primitif tripel Pythagoras dengan

JLDS r. Selanjutnya kita akan mengalikan panjang setiap sisi dari

tripel tadi dengan 𝑟

𝑡, dan kita klaim bahwa himpunan tripel segitiga


yang terbentuk adalah tripel Pythagoras dengan panjang sisi-sisnya

suatu bilangan bulat pada JLDS r.

Algoritma yang mendasari pernyataan berikut:

Misalkan t adalah faktor dari r sehingga diperoleh r = k. t, dan ada T

yang merupakan primitif tripel Pythagoras dengan panjang sisi a, b,

dan c sedemikian sehingga T memiliki JLDS t. Kemudian segitiga kT

dengan sisi-sinya ka, kb dan kc memiliki JLDS r. Dengan demikian

untuk semua segitiga tripel Pythagoras berlaku metode ini dengan

syarat diberikan JLDS r.

Disisi lain, jika T adalah sebuah segitiga dengan JLDS r, maka T

itu bisa tripel primitif ataupun bukan primitif. Jika T itu primitif maka

r adalah faktor dari T sendiri. Jika T sebuah segitiga dengan sisi-

sisinya a, b dan c adalah tripel yang bukan primitif, maka panjang

sisi-sisinya memiliki sebuah gcd dengan k>1. Terdapat segitiga lain

kita sebut T’ dengan sisi-sinya 𝑎′ =𝑎

𝑘, 𝑏′ =

𝑏

𝑘, 𝑑𝑎𝑛 𝑐′ =

𝑐

𝑘 , yang

merupakan tripel Pythagoras primitif dengan JLDS 𝑟

𝑘 suatu bilangan

bulat positif yang menjadi faktor dari r.

Contoh 1:

Sebuah r yang diberikan oleh r = k.t dimana k>1, dari suatu

segitiga T dengan tripel {12,9, 15} dengan r = 3.1

Diperoleh T’ : 𝑎′ =𝑎

𝑘, 𝑏′ =

𝑏

𝑘, 𝑐′ =

𝑐

𝑘,

𝑎′ =12

3, 𝑏′ =

9

3, 𝑐′ =

15

3.


T’ = {4,3,5} ,

Jadi, untuk menemukan semua tripel Pythagoras, kita jangan

melupakan faktorisasi prima dari r tersebut, dan menemukan semua

faktor positif dari r termasuk 1. Misalkan t adalah sebuah faktor dari

r, maka r = k. t, dan T adalah tripel Pythagoras primitif dengan sisi a,

b, dan c, sehingga T memiliki jari-jari t. Kemudian segitiga kT dengan

sisi-sisi ka, kb, dan kc memiliki jari-jari r. Dengan kata lain, jika T

adalah sebuah tripel Pythagoras dengan jari-jari dalam r, sehingga T

primitif atau non-primitif. Jika T primitif, kita dapat menemukannya

dari algoritma sebelumnya (menggunakan faktorisasi prima.

Sedangkan jika T non-primitif, panjang sisi memiliki gcd dan k > 1.

Untuk lebih jelas perhatikan contoh berikut ini:

Contoh 2 :

Misalkan dari r = 90, kita akan menentukan banyaknya tripel

Phytagoras yang komposit.

Penyelesaian:

Pertama-tama kita membuat faktorisasi prima dari 90 yaitu 90

= 2. 32. 5. Selanjutnya kita mencari banyaknya faktor dari nilai r

tersebut. Dengan menggunakan rumus mencari jumlah faktor suatu

bilangan maka kita peroleh jumlah faktor dari 90 adalah sebanyak 12

dengan faktor-faktornya kita nyatakan dengan

𝑥 = {1, 2, 3, 5, 6, 9,10, 15, 18, 30, 45, 90}. Selanjutnya kita mencari

banyaknya primitif tripel Pythagoras dari masing-masing nilai 𝑥 (

nilai 𝑥 yang memilki padanan dengan 𝑟). Untuk lebih jelas perhatikan

tabel 5.3 di bawah ini.


Tabel 4.3 Banyaknya primitif tripel Pythagoras dari r =90

Faktor dari 90

(𝑥)

Faktorisasi

dari 𝑥

Banyaknya tripel primitif

dari r = 90

1 1 1

2 2 1

3 3 2

5 5 2

6 2. 3 2

9 32 2

10 2. 5 2

15 3. 5 4

18 2. 32 2

30 2. 3. 5 4

45 32. 5 4

90 2. 32. 5 4

Jumlah 30

Berdasarkan tabel di atas, maka jelas dapat kita perhatikan

bahwa banyaknya tripel Pythagoras yang primitif dari 90 adalah 4

dan banyaknya tripel Phytagoras yang komposit dari 90 adalah 26.

Sebagai contoh untuk 𝑥 = 1, kita peroleh tripel yang primitif {3,4,5}

dan membentuk tripel yang komposit dari r = 90 yaitu

{360,270,450}. Untuk 𝑥 = 2, kita peroleh tripel yang primitif

{12,5,13} dan membentuk tripel yang komposit dari r = 90 pada

JLDS yaitu {540,225,585}, dan selanjutnya. Pembaca dapat

membuktikan ke-24 tripel Pythagoras yang komposit lainnya dengan

r pada RDLS = 90.


Dengan demikian, dalam mengintegrasikan formula Euclid

dengan jari-jari lingkaran dalam segitiga (JLDS) r, maka kita dapat

menemukan semua dari tripel Pythagoras dengan jari-jari lingkaran

dalam segitiga adalah r yang bernilai bilangan bulat positif. Selain itu

juga, kita dapat menghitung banyaknya tripel Pythagoras yang

primitif dan komposit dengan menggunakan JLDS dengan jari-jari r.

Bagian Kelima: Metode Deret Platonik 59

Bagian Kelima:

METODE DERET PLATONIK................................................

Sejarah Deret Platonik

Deret Platonik merupakan salah satu teorema segitiga

aritmatika rasional pertama dari zaman kuno yang dimulai sebagai

penyelidikan populer dalam analisis tak tentu oleh matematikawan

Yunani kuno . Walaupun hanya dikenal menggunakan nama Plato,

sebenarnya Plato dan Pythagoras dianggap telah memberikan

kontribusi terhadap pembangunan itu sesuai komentar Proclus

dalam Proposisi ke-47 buku pertama dari Euclid 's Elemen yang

dicantumkan pada web site NationMaster.com, sebagai berikut:

“Certain methods for the discovery of triangles of this kind are handed down, one which they refer to Plato, and another to Pythagoras. (The latter) starts from odd numbers. For it makes the odd number the smaller of the sides about the right angle; then it takes the square of it, subtracts unity and makes half the difference the greater of the sides about the right angle; lastly it adds unity to this and so forms the remaining side, the hypotenuse....

But the method of Plato argues from even numbers. For it takes the given even number and makes it one of the sides about the right angle; then, bisecting this number and squaring the half, it adds unity to the square to form the hypotenuse, and subtracts unity from the square to form


the other side about the right angle. ... Thus it has formed the same triangle as that which was obtained by the other method. Pada deret ini, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2

menghasilkan pasangan yang sesuai yang diperlukan untuk

pembentukan sebuah segitiga siku-siku. Hal ini menjadikannya men

arik untuk dibahas sampai saat ini.

Deret Platonik dalam Mencari Tripel Pythagoras

Seperti yang telah dijelaskan di atas bahwa pengembangan

tripel Pythagoras dengan menggunakan Deret Platonik dipengaruhi

oleh Plato dan Pythagoras. Plato mengembangkan persamaan untuk

mencari tripel Pythagoras dengan melihat beberapa bagian kecil dari

triple Pythagoras itu seperti berikut:

3, 4, 5

5, 12, 13

7, 24, 25

9, 40, 41

11, 60, 61

13, 84, 85

Pada kasus tersebut, Plato menganggap bahwa selisih antara

hipotenusa dan sisi terpanjang adalah 1. Dia mencoba untuk

menemukan semua tripel Pythagoras yang memiliki karakteristik

tersebut dengan memisalkan sisi terpendek adalah x, dan sisi

terpanjang adalah y, sehingga hipotenusanya adalah y + 1.


Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka

(𝑦 + 1)2 = 𝑦2 + 𝑥2

⟺ (𝑦2 + 2𝑦 + 1) = 𝑦2 + 𝑥2

⟺ 2𝑦 + 1 = 𝑥2

⟺ 𝑦 =𝑥2 − 1

2

Jadi sisi terpanjang pada tripel Pythagoras adalah

𝑦 =𝑥2−1

2, x > 2 sehingga hipotenusa y + 1 =

𝑥2−1

2+ 1 =

𝑥2−1+2

2=

𝑥2+1

2.

Untuk mendapatkan sebuah tripel pythagoras, y harus

merupakan bilangan bulat. Artinya 𝑥2 − 1 pasti bilangan genap.

Akibatnya 𝑥2 pasti bilangan ganjil. Karena 𝑥2 merupakan bilangan

ganjil maka x adalah bilangan ganjil.

Dapat disimpulkan bahwa untuk x bilangan ganjil maka

didapatkan tripel Pythagoras (x, y, z) sebagai berikut:

𝒙,𝒚,𝒛 = 𝒙,𝒙𝟐 − 𝟏

𝟐,𝒙𝟐 + 𝟏

𝟐

Gambar 5.1 Tripel Pythagoras untuk x merupakan bilangan ganjil

𝑦 =𝑥2 − 1

2

x 𝑧 =

𝑥2 + 1

2


Berdasarkan rumus yang diperoleh di atas, maka untuk

mencari tripel Pythagoras kita hanya cukup menentukan satu sisi (x)

bilangan ganjil kemudian menggunakannya (substitusi) ke rumus

lainnya. Sebagai contoh apabila kita mengambil x=5 sebagai sisi

terpendek dalam tripel Pythagoras yang dicari, maka sisi terpanjang

adalah 𝑦 =𝑥 2−1

2=

52−1

2= 12 dan hipotenusanya 𝑧 =

𝑥 2+1

2=

52+1

2= 13, atau

kita hanya cukup menjumlahkan y dengan 1 untuk mendapatkan

hipotenusa (z) karena selisih antara sisi terpanjang dan hipotenusa

adalah 1. Sehingga diperoleh tripel Pythagoras ( x, y, z) = (5, 12,

13).

Tabel 5.1 Tripel Pythagoras untuk x < 50; x = bilangan ganjil.

x 𝒚 =𝒙𝟐 − 𝟏

𝟐 𝒛 = 𝒙 + 𝟏

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

13 84 85

15 112 113

17 144 145

19 180 181

21 220 221

23 264 265

25 312 313

27 364 365

29 420 421


31 480 481

33 544 545

35 612 613

37 684 685

39 760 761

41 840 841

43 924 925

45 1012 1013

47 1104 1105

49 1200 1201

Berbeda halnya dengan Plato, Pythagoras mengembangkan

persamaan untuk mencari tripel Pythagoras menggunakan sisi

terpanjang dan hipotenusa yang memiliki selisih 2, seperti dibawah

ini:

6, 8, 10

8, 15, 17

20, 99, 101

Pada kasus tersebut, Pythagoras memisalkan sisi terpendek

adalah x, dan sisi terpanjang adalah y, sehingga hipotenusanya adalah

y + 2. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka

(𝑦 + 2)2 = 𝑦2 + 𝑥2

⟺ (𝑦2 + 4𝑦 + 4) = 𝑦2 + 𝑥2

⟺ 4𝑦 + 4 = 𝑥2

⟺ 𝑦 =𝑥 − 4

4


⟺ 𝑦 =𝑥2

4− 1

⟺ 𝑦 = 𝑥

2

2

− 1

Jadi, sisi terpanjang pada tripel Pythagoras adalah 𝑦 = 𝑥

2

2−

1, x > 2 sehingga hipotenusa y + 2 = 𝑥

2

2− 1 + 2 =

𝑥

2

2+ 1.

Untuk mendapatkan sebuah tripel Pythagoras, y harus

merupakan bilangan bulat positif. Artinya 𝑥2

4 harus bilangan bulat

positif dimana x adalah bilangan genap. Dapat disimpulkan bahwa

untuk x bilangan genap maka didapatkan tripel Pythagoras (x, y, z)

sebagai berikut:

𝒙,𝒚,𝒛 = 𝒙, 𝒙

𝟐 𝟐

− 𝟏, 𝒙

𝟐 𝟐

+ 𝟏

Gambar 5.2 Tripel Pythagoras untuk x merupakan bilangan genap

Berdasarkan rumus yang diperoleh di atas, seperti cara

sebelumnya maka untuk mencari tripel Pythagoras kita hanya cukup

mengambil salah satu sisi (x) bilangan genap kemudian

x 𝑧 =

𝑥

2

2

+ 1

𝑦 = 𝑥

2

2

− 1


menggunakannya (substitusi) ke rumus lainnya. Sebagai contoh

apabila kita mengambil x=8 sebagai sisi terpendek dalam tripel

Pythagoras yang dicari, maka sisi terpanjang adalah 𝑦 = 𝑥

2

2− 1 =

8

2

2− 1 = 15 dan hipotenusanya 𝑧 =

𝑥

2

2+ 1 =

8

2

2+ 1 = 17, atau kita

hanya cukup menjumlahkan y dengan 2 untuk mendapatkan

hipotenusa (z) karena selisih antara sisi terpanjang dan hipotenusa

adalah 2. Sehingga diperoleh tripel Pythagoras x, y, z = 8, 15, 17.

Tabel 5.2 Tripel Pythagoras untuk x ≤ 50; x = bilangan genap.

x 𝒚 = 𝒙

𝟐 𝟐

− 𝟏 𝒛 = 𝒚 + 𝟐

4 3 5

6 8 10

8 15 17

10 24 26

12 35 37

14 48 50

16 63 65

18 80 82

20 99 101

22 120 122

24 143 145

26 168 170

28 195 197

30 224 226

32 255 257

34 288 290

36 323 325


38 360 362

40 399 401

42 440 442

44 483 485

46 528 530

48 575 577

50 624 626

Dari kedua teknik yang telah dikemukakan di atas maka dapat

dilihat bahwa metode yang dikembangkan oleh Plato dan Pythagoras

dalam menentukan tripel Pythagoras saling melengkapi. Dimana

Plato mengembangkan metode dengan menggunakan bilangan ganjil

sebagai sisi terpendek, sedangkan Pythagoras menggunakan bilangan

genap sebagai sisi terpendek. Kedua teknik inilah yang dikenal

sampai saat ini dengan nama Metode Deret Platonik.

Bagian Keenam: Magic Tripel Pythagoras 67

Bagian Keenam:

MAGIC TRIPEL PYTHAGORAS

Satu Sisi Diketahui

Bilangan tripel Pythagoras mempunyai daya tarik tersendiri

bagi para matematikawan maupun para pencinta matematika.

Semakin sering menelusuri atau memperhatikan urutan bilangan

tripel Pythagoras, semakin banyak fakta-fakta menarik yang didapat,

bahkan tidak jarang menemukan masalah matematika yang masih

menjadi misteri (unsolved problem). Untuk mendapatkan bilangan

tripel Pythagoras tidaklah terlalu sukar, karena banyak buku teks

tingkat SMP menyajikan rumus bakunya. Umumnya, di sekolah

diajarkan bagaimana menemukan tripel Pythagoras bila dua sisi telah

diketahui. Pada kesempatan ini, penulis ingin menyajikan cara

sederhana untuk menemukan bilangan tripel Pythagoras bila hanya

satu sisi saja yang diketahui. Hal ini dilakukan untuk membantu

pembaca yang mungkin masih mengalami kesulitan dalam

menghitung bilangan untuk mendapatkan tripel Pythagoras dari 2

bilangan yang secara bebas ditentukan.


Menggunakan Formula Euclid dan Plato

Seperti yang telah dijelaskan pada bab-bab sebelumnya, salah

satu rumus untuk menemukan bilangan tripel Pythagoras adalah

formula dari Euclid dimana a = 2mn, b = m2 - n2 dan c = m2 +n2 dengan

m > n. Dari formula ini, kita akan menggunakan formula untuk sisi a

saja yaitu a = 2mn. Sisi a disini bisa bilangan ganjil, bisa juga bilangan

genap. Untuk itu, kita membagi ke dalam 2 kasus yaitu untuk a ganjil

dan untuk a genap.

Formula Euclid untuk Bilangan Ganjil

Jika a ganjil, kalikan a dengan 2 kemudian carilah semua

pasangan faktor (m,n) dari a lalu gunakan formula Euclid untuk

menemukan 2 bilangan yang lain.

Contoh:

Misalkan a = 35. Tiga puluh lima dikali 2 memberikan hasil

70. 70 = 2mn, sehingga 35 = mn. Pasangan faktor dari 35 adalah

(35,1) dan (7,5). Dengan demikian kita akan mendapatkan

bilangan tripel Pythagoras berikut:

1. a = 70/2 = 35; b = (352 - 12)/2 = 612; c = (352 + 12)/2 = 613;

2. a = 70/2 = 35; b = (72 - 52)/2 = 12; c = (72 + 52)/2 = 37.

Untuk mendapatkan tripel Pythagoras dengan formula di

atas kita membutuhkan dua variabel m dan n. Akan tetapi dengan


mensubstitusi m = n + 1 ke dalam formula Euclid, dengan n = {1, 2,

3, …}, maka akan diperoleh:

𝑎 = 2𝑛 + 1

𝑏 = 2𝑛2 + 2𝑛

𝑐 = 𝑏 + 1

Dengan ini, kita hanya membutuhkan satu variabel untuk

dapat menemukan tripel Pythagoras.

Formula Plato untuk Bilangan Genap

Jika a genap, maka a = 2mn, mn = a/2. Carilah semua

pasangan faktor dari mn, kemudian substitusikan ke persamaan

Euclid, sehingga akan diperoleh beberapa kemungkinan tripel

Pythagoras yang dibentuk.

Contoh:

Misalkan a = 36, maka mn = 18. Faktor dari 18 adalah :

(18,1), (9,2), dan (6,3). Dengan mensubstitusi faktor tersebut ke

dalam formula Euclid, maka tripel Pythagoras yang didapat adalah

sebagai berikut:

1. a = 36; b = (182 – 12) = 323; c = (182 + 12) = 325;

2. a = 36; b = (92 – 22) = 77; c = (92 + 22) = 85;

3. a = 36; b = (62 – 32) = 27; c = (62 + 32) = 45.


Sama halnya dengan tripel Pythagoras untuk bilangan ganjil

diketahui, dengan cara ini, kita juga membutuhkan dua variabel

agar dapat membentuk tripel. Untuk bilangan genap, rumusan ini

dapat disederhanakan dengan menggunakan formula Plato.

Adapun formula Plato yang digunakan yaitu:

𝑎 = 2𝑚

𝑏 = 𝑚2 − 1

𝑐 = 𝑚2 + 1

Dengan menggunakan formula di atas, dimana m = 2n dan n

= {1, 2, 3, …}, maka diperoleh:

𝑎 = 4𝑛

𝑏 = 4𝑛2 − 1

𝑐 = 4𝑛2 + 1

Dari formula baru ini, dapat terlihat bahwa kita hanya

membutuhkan satu variabel saja untuk dapat menemukan tripel

Pythagoras.

Magic Tripel Pythagoras

Cara ini masih menggunakan formula Euclid sebagai dasarnya.

Namun, cara ini akan tampak lebih menarik bagi pbeberapa orang

yang masih awam tau anak-anak dikarenakan terdapat unsur

permainan yang akan membuat mereka takjub tentang bagaimana

menemukan tripel Pythagoras jika hanya satu sisi diketahui.


Magic Tripel Pythagoras ini juga dibagi ke dalam 2 kasus, yaitu

kasus ganjil dan kasus genap. Berikut rumusan lengkapnya :

Magic Tripel Pythagoras untuk Bilangan Ganjil

Rumus “magic” ini akan menarik jika diberikan di awal

proses belajar mengenai tripel Pythagoras. Pebelajar akan dibuat

tercengang dengan betapa mudahnya menemukan tripel

Pythagoras dengan hanya satu sisi saja yang diketahui.

Pertama-tama, untuk sisi pertama, minta siswa untuk

memikirkan satu bilangan ganjil yang lebih dari 1. Lalu pebelajar

diminta untuk mengkuadratkan bilangan tersebut. Kemudian,

pebelajar diminta untuk menemukan dua bilangan berurutan

yang jika dijumlahkan maka hasilnya adalah kuadrat dari bilangan

ganjil pertama yang mereka pikirkan. Untuk selanjutnya, ketiga

bilangan yang mereka temukan sudah pasti dapat membentuk

tripel Pythagoras.

Dengan “keajaiban” ini, pebelajar akan merasa tertantang

untuk mencari tahu apa yang ada di balik rahasia dari

perhitungan yang mereka lakukan untuk menemukan tripel

Pythagoras. Mengapa hal ini dapat terjadi? Ternyata hal ini masih

berdasar pada formula Euclid. Untuk setiap formula Euclid, kita

bagi dengan 2n2 untuk mendapatkan bentuk yang lebih

sederhana. Maka akan diperoleh formula berikut :


𝑎 = 𝑚

𝑛

𝑏 = 1

2

𝑚

𝑛

2

− 1

𝑏 = 1

2

𝑚

𝑛

2

+ 1

Telah disebutkan di atas bahwa bilangan pertama yang

dipikirkan adalah bilangan ganjil, maka a = m/n = 2k + 1. Jika kita

substitusi ke ketiga persamaan di atas, maka akan diperoleh :

𝑎 = 2𝑘 + 1

𝑏 = 1

2 2𝑘 + 1 2 − 1

𝑐 = 1

2 2𝑘 + 1 2 + 1

Untuk selanjutnya, dengan k bilangan asli dan 2k+1

merupakan bilangan ganjil (Y), maka persamaan di atas menjadi :

𝑎 = 𝑌

𝑏 = 𝑌2 − 1

2

𝑐 = 𝑌2 + 1

2

Jika memperhatikan rumusan di atas, maka “keajaiban” dari

trik yang diberikan kepada pebelajar di awal menjadi mudah

dipahami.


Magic Tripel Pythagoras untuk Bilangan Genap

“Keajaiban” yang tidak jauh berbeda juga terjadi pada

bilangan genap. Pertama-tama, pebelajar diminta untuk

memikirkan sebuah bilangan genap yang lebih dari atau sama

dengan 4, yang merupakan bilangan tripel Pythagoras pertama.

Lalu langkah kedua adalah membagi bilangan tersebut dengan 2,

kemudian kuadratkan hasilnya. Untuk menemukan dua bilangan

Pythagoras yang lain, pebelajar hanya perlu mengurangkan hasil

pengkuadratan tersebut dengan 1, dan menambahkan hasil

pengkuadratan tersebut dengan 1. Mudah bukan?

Apa yang ada dibalik “keajaiban” ini ternyata lagi-lagi masih

berdasar pada formula Euclid. Berikut penjelasannya.:

Untuk setiap formula Euclid, bagi dengan n2 untuk

mendapatkan bentuk yang lebih sederhana. Maka akan diperoleh :

𝑎 = 2 𝑚

𝑛

𝑏 = 𝑚

𝑛

2

− 1

𝑐 = 𝑚

𝑛

2

+ 1

Jika kemudian m/n = k, maka persamaan di atas dapat ditulis :

𝑎 = 2𝑘

𝑏 = 𝑘2 − 1

𝑏 = 𝑘2 + 1


Seperti telah disebutkan sebelumnya bahwa a adalah

bilangan genap (X), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

X = 2k atau k = X/2.

Dengan mensubstitusi k, maka akan didapat urutan tripel

Pythagoras sebagai berikut :

𝑎 = 𝑋

𝑏 = 𝑋

2

2

− 1

𝑐 = 𝑋

2

2

+ 1

Kesimpulan

Pada umumnya, untuk dapat membentuk tripel Pythagoras,

dibutuhkan dua sisi yang diketahui untuk dapat menemukan sisi

ketiga pada tripel tersebut. Namun, dengan “Magic Tripel

Pythagoras” ini, kita cukup mengetahui salah satu sisi pada tripel

Pythagoras untuk menemukan kedua sisi lainnya. Metode ini, jika

disajikan sebagai awalan pada pembelajaran tripel Pythagoras di

sekolah menengah, akan menjadi sangat menarik bagi siswa. Siswa

akan tertantang untuk menemukan apa yang ada di balik “keajaiban”

dari metode ini.

Bagian Ketujuh: Penjelmaan Bilangan Bergambar Membentuk Tripel Pythagoras 75

Bagian Ketujuh:

PENJELMAAN BILANGAN BERGAMBAR

MEMBENTUK TRIPEL PYTHAGORAS

Sejarah Penemuan Figurate NumberStudi matematika mengenai figurate number dikatakan berasaldari Pythagoras yang mungkin berdasarkan pada orang-orangBabylon dan Mesir kuno. Untuk mengenerate figurate number ini,Pythagoras menggunakan gnomon. Gnomon adalah benda yangletaknya dimiringkan yang digunakan untuk membuat bayanganpada sundial1. Hal ini dinyatakan bahwa Anaximander, yang hidupsezaman dengan Pythagoras, memperkenalkan gnomon pada bangsaYunani dari Babylonia. Sebagaimana yang kita ketahui saat ini,gnomon adalah sebutan untuk bilangan yang dibentuk oleh selisihantara bilangan kuadrat yang berurutan. Dikatakan bahwaPythagoras menyelediki figurate number dan pola yang terkait.Kemungkinan ia merepresentasikan bilangan kuadrat berurut 1, 4, 9,16, 25 sebagai batu yang dikelompokkan seperti pada gambar.Sayangnya tidak ada sumber terpercaya tentang penemu figurate

1 sundial adalah alat penunjuk waktu dengan bantuan bayangan sinar matahari


number ini karena semua tulisan tentang Pythagoras berasal dariabad sebelumnya.Gambar 7.1 Bilangan kuadrat berurut menunjukkan gnomon

Apa itu Bilangan Gambar ?

A figurate number is a number that can be represented by a

regular geometrical arrangement of equally spaced points (Eric,MathWorld—A Wolfram Web Resource). Jadi dapat dipahami bahwabilangan gambar (figurate number) adalah angka yang dapat diwakilioleh suatu pengaturan geometris yang teratur pada titik-titik yangjaraknya sama. Jika bentuk susunan atau pengaturan geometrinyaadalah regular polygon maka bilangannya disebut bilangan poligon(polygonal number). Bentuk geometri bilangan ini dapat berupasegitiga, persegi, segilima, segienam, dan bentuk-bentuk lainnya.


Pola bilangan equilateral triangle

Dari pola gambar tersebut, banyaknya bilangan equilateral

triangle ke-n dapat diformulasikan dengan = ( ) Pola bilangan square


Dari pola tersebut, banyaknya bilangan square ke-n dapatdiformulasikan dengan = Pola bilangan pentagonal

Dari pola tersebut, banyaknya bilangan pentagonal ke-n dapatdiformulasikan dengan = ( − )Salah satu contoh dari bilangan gambar (figurate number)adalah bilangan kuadrat (square number) yaitu 1, 4, 9, 16, 25, dst. Jikakita merepresentasikannya dalam bentuk geometri menjadi:


Jika kita melihat figurate number dari pola di atas, dapatdikatakan bahwa setiap bilangan kuadrat dapat direpresentasikansebagai penjumlahan bilangan ganjil berurutan. Lebih spesifik lagiterlihat bahwa 22 sama dengan jumlah dua bilangan bulat ganjilpertama, 32 sama dengan jumlah tiga bilangan bulat ganjil pertama,dst. Pola diatas dapat dituliskan menjadi :22 = 12 + 332 = 22 + 542 = 32 + 752 = 42 + 962 = 52 + …Sehingga dapat disimpulkan bahwa n2 sama dengan penjumlahan nbilangan bulat ganjil pertama. Akan dibuktikan menggunakan induksimatematika.Bukti:Pola bilangan: 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2

1. Benar untuk n = 1

(2n-1) = n2

(2.1-1) = 12

1= 1

2. Akan dibuktikan benar untuk n = k+1

1+3+5+7+…+(2n-1) = 1+3+5+7+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)= 1+3+5+7+…+(2k-1) + (2k+2-1)


= 1+3+5+7+…+ (2k-1) + (2k+1)= 1+3+5+7+…+ (2k-1) + (2k+1)= k2+2k+1= (k+1)2 (terbukti)Untuk menghubungkan pola tersebut ke dalam bentukPythagoras, dibutuhkan tiga bilangan kuadrat, apabila ada bilangan(n+1) maka bentuk kuadratnya adalah (n+1)2 = n2 + 2n + 1. Daribentuk tersebut diperoleh dua bilangan kuadrat yaitu n2 dan (n+1)2,sehingga kita membutuhkan satu bilangan kuadrat lagi agar dapatmemenuhi kaidah Pythagoras. Dari bentuk (n+1)2 = n2 + 2n + 1, dapatdibuat ekspresi numerik untuk merepresentasikan bilangan kuadrat,seperti yang dapat kita lihat pada tabel berikut.Tabel 7.1 Ekspresi numerik dari bentuk (n+1)2 = n2 + 2n + 11 (0+1)2 02 + 2(0) + 14 (1+1)2 12 + 2(1) + 19 (2+1)2 22 + 2(2) + 116 (3+1)2 32 + 2(3) + 125 (4+1)2 42 + 2(4) + 1... ... ...(n+1)2 (n+1)2 n2 + 2(n) + 1

Apabila diperhatikan, tidak untuk semua n yang berlaku 2(n)+1merupakan bilangan kuadrat tetapi hanya pada nilai n tertentu. Olehkarena itu, agar kaidah Pythagoras berlaku maka haruslah


diasumsikan bahwa 2n+1 merupakan bilangan kuadrat atau dapatdituliskan sebagai 2n+1 = b2 dengan b adalah bilangan bulat positif.Apabila dituliskan dalam bentuk kaidah Pythagoras menjadi :

Jika 2n+1 = b2, maka = ( )( − ). Oleh karena n merupakanbilangan bulat positif, maka b harus merupakan bilangan bulat ganjilyang lebih dari satu (b > 1, b positive odd integer). Dengan demikian,diperoleh bilangan tripel Pythagoras (a, b, c).Berikut akan diberikan contoh untuk mrngenerate tripelPytagoras dengan menggunakan formula yang telah diperoleh.1. Diambil sebarang bilangan bulat ganjil b, b > 1, misal b = 7 maka := ( + 1)( − 1)2= (7 + 1)(7 − 1 )2= 8 62= 482= 24


Sehingga kita dapat menghitung b2 = 72 = 49 dan n2 = 242 = 576kemudian (n+1)2 = (24+1)2 = 252 = 625. Akan dibuktikanmenggunakan kaidah Pythagoras :b2 + c2 = 72 + 242= 49 + 576= 625= 252= a2Dengan demikian, untuk b = 7 dihasilkan tripel Pythagoras (7, 24,25)2. Diambil sebarang bilangan bulat ganjil b, b > 1, misal b = 15 maka:= ( + 1)( − 1)2= (15 + 1)(15 − 1 )2= 16 142= 2242= 112Sehingga kita dapat menghitung b2 = 152 = 225 dan n2 = 1122 =12544 kemudian (n+1)2 = (112+1)2 = 1132 = 12769. Akandibuktikan menggunakan kaidah Pythagoras :b2 + c2 = 152 + 1122= 225 + 125544


= 12769= 1132= a2Dengan demikian, untuk b = 7 dihasilkan tripel Pythagoras (15,112, 113)3. Diambil sebarang bilangan bulat ganjil b, b > 1, misal b = 21 maka:= ( + 1)( − 1)2= (21 + 1)(21 − 1 )2= 22 202= 4402= 220Sehingga kita dapat menghitung b2 = 212 = 441 dan n2 = 2202 =48400 kemudian (n+1)2 = (220+1)2 = 2212 = 48841. Akandibuktikan menggunakan kaidah Pythagoras :b2 + c2 = 212 + 2202= 441 + 48400= 48841= 2212= a2Dengan demikian, untuk b = 21 dihasilkan tripel Pythagoras (21,220, 221)


Sepuluh nilai b pertama yang menghasilkan tripel Pythagorasdisajikan pada tabel berikut.Tabel 7.2 Tripel Pythagoras yang diperoleh dari figurate number

Apabila diperhatikan nilai a dan c dari tripel Pythagorastersebut diatas memiliki selisih satu, dan ini disebut dengan istilah“twin Pythagoras”. Semua tripei Pythagoras yang dihasilkan dariprosedur ini merupakan “primitif Pythagoras”.

b n (n+1)2 n2 2n+1 a b c3 4 25 16 9 4 3 55 12 169 144 25 12 5 137 24 625 576 49 24 7 258 40 1681 1600 81 40 8 4111 60 3721 3600 121 60 11 6113 84 7225 7056 169 84 13 8515 112 12769 12544 225 112 15 11317 144 21025 20736 289 144 17 14519 180 32761 32400 361 180 19 18121 220 48841 48400 441 220 21 221

Bagian Kedelapan: Metode Dua-Unit Pecahan 85

Bagian Kedelapan:

METODE DUA-UNIT PECAHAN

Metode dua-unit pecahan merupakan salah satu metode dari

sekian banyak metode untuk menghasilkan tripel Pythagoras.

Metode ini terbagi menjadi dua jenis, yaitu metode dua-unit pecahan

dari dua bilangan ganjil yang berurutan dan metode dua-unit

pecahan dari dua bilangan genap berurutan. Metode ini sangat

sederhana yaitu hanya dengan menjumlahkan dua unit pecahan dari

dua bilangan ganjil yang berurutan atau dua bilangan genap yang

berurutan dalam mencari tripel Pythagoras. Untuk lebih jelasnya,

berikut akan dibahas mengenai metode dua unit pecahan dari dua

bilangan ganjil yang berurutan dan dari dua bilangan genap yang

berurutan secara terpisah (Knott, 2011).

Metode Dua-Unit Pecahan dari Dua Bilangan Ganjil yang

Berurutan

Pada metode ini didefinisikan bahwa jumlah pecahan dengan

pembilang 1 dan penyebut bilangan ganjil berurutan adalah bagian

dari tripel Pythagoras, atau dapat dirumuskan bahwa

1

𝑥+

1

𝑦=

𝑏

𝑎 dengan x dan y merupakan bilangan ganjil berurutan akan


menghasilkan pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan

anggota dari tripel Pythagoras.

Berikut contoh tahapan untuk menentukan tripel Pythagoras

dengan metode dua-unit pecahan dari dua bilangan ganjil berurutan:

1. Ambil dua bilangan ganjil berurutan, misalnya 3 dan 5.

2. Tentukan kebalikannya, yaitu 1

3 dan

1

5

3. Jumlahkan dua bilangan pada tahap kedua.

1

3+

1

5=

8

15

4. Bilangan pembilang dan penyebut dari hasil penjumlahan

tersebut merupakan bagian dari Tripel Pythagoras, yaitu 8 dan

15.

5. Hipotenusanya 𝑐 = 82 + 152

= 64 + 225

= 289

= 17

Jadi tripel Pythagorasnya adalah 8, 15 dan 17.

Contoh dengan bilangan ganjil berurutan yang lain:

1. Dua bilangan ganjil berurutan, misalnya 5 dan 7.

2. Kebalikannya, yaitu 1

5 dan

1

7


1

5+

1

7=

12

35

4. Dua bilangan dari tripel Pythagoras, yaitu 12 dan 35.



= 144 + 1225 = 1369 = 37


Contoh dengan bilangan ganjil berurutan yang lain:

1. Dua bilangan ganjil berurutan, misalnya 7 dan 9.


7 dan

1

9


1

7+

1

9=

16

63



= 256 + 3969 = 4225 = 65


Berikut ini disajikan beberapa contoh lain dari metode ini.

x y 𝟏

𝒙+

𝟏

𝒚=

𝒃

𝒂

Hipotenusa (c)

Tripel Pythagoras

1 3 1

1+

1

3=

4

3 5 3, 4, 5

3 5 1

3+

1

5=

8

15 17 3, 5, 17

5 7 1

5+

1

7=

12

35 37 5, 7, 37

7 9 1

7+

1

9=

16

63 65 7, 9, 65

9 11 1

9+

1

11=

20

99 101 20, 99, 101

11 13 1

11+

1

13=

24

143 145 24, 143, 145


13 15 1

13+

1

15=

28

195 197 28, 195, 197

15 17 1

15+

1

17=

32

255 257 32, 255, 257

17 19 1

17+

1

19=

36

323 325 36, 323, 325

19 21 1

19+

1

21=

40

399 401 40, 399, 401

21 23 1

21+

1

23=

44

483 485 44, 483, 485

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Berdasarkan tabel di atas a dan b merupakan bilangan

terpendek dan terpanjang pada tripel Pythagoras. Dengan

memperhatikan pola bilangan dari hubungan antara kolom

hipotenusa (c) dan nilai a, dapat disimpulkan sementara bahwa

hipotenusa dari tripel Pythagoras didapat dari 𝑎 + 2. Untuk

membuktikan bahwa nilai a, b, dan c merupakan tripel Pythagoras,

misalkan a=2n+1 dan b = 2n-1, 𝑛 > 0. Jumlah dari dua unit pecahan

dari dua bilangan ganjil berurutan tersebut, yaitu:

1

𝑥+

1

𝑦=

1

2𝑛 − 1+

1

2𝑛 + 1=

2𝑛 + 1 + 2𝑛 − 1

4𝑛2 − 1=

4𝑛

4𝑛2 − 1=

𝑏

𝑎

Maka nilai 𝑎 = 4𝑛2 − 1, 𝑏 = 4𝑛.

Karena 𝑐 = 𝑎 + 2, maka

𝑐 = 4𝑛2 − 1 + 2 = 4𝑛2 + 1……… (𝑃𝑒𝑟𝑠. 1)

Untuk membuktikan bahwa a, b, dan c adalah tripel Pythagoras,

substitusikan nilai 𝑎 = 4𝑛2 − 1, 𝑏 = 4𝑛 ke teorema Pythagoras.


𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

= 4𝑛2 − 1 2 + 4𝑛 2

= 16𝑛4 − 8𝑛2 + 1 + 16𝑛2

= 16𝑛4 + 8𝑛2 + 1

= 4𝑛2 + 1 2

𝑐 = 4𝑛2 + 1 …… . . (𝑃𝑒𝑟𝑠. 2)

Nilai c pada (Pers. 1) dan (Pers. 2) sama, berarti a, b, dan c = a +

2 memenuhi teorema Pythagoras dan disebut sebagai tripel

Pythagoras. Dengan kata lain, metode dua unit-pecahan dari dua

bilangan ganjil berurutan telah terbukti dapat menghasilkan tripel

Pythagoras.

Metode Dua-Unit Pecahan dari Dua Bilangan Genap yang

Berurutan

Seperti pada metode dua unit pecahan dari dua bilangan ganjil

berurutan, hanya saja bilangan yang diambil bukan bilangan ganjil

melainkan dua bilangan genap berurutan. Berikut contoh tahapan

untuk menentukan tripel Pythagoras dengan metode dua-unit

pecahan dari dua bilangan genap berurutan:

1. Ambil dua bilangan genap berurutan, misalnya 2 dan 4.

2. Tentukan kebalikannya, yaitu 1

2 dan

1

4


1

2+

1

4=

6

8=

3

4


4. Bilangan pembilang dan penyebut dari hasil penjumlahan

tersebut merupakan bagian dari Tripel Pythagoras, yaitu 3 dan 4.

Pada metode ini, hasil penjumlahan harus merupakan bilangan

pecahan yang paling sederhana.

5. Hipotenusanya 𝑐 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5


Contoh dengan bilangan genap berurutan yang lain:

1. Dua bilangan genap berurutan, misalnya 4 dan 6.


4 dan

1

6


1

4+

1

6=

10

24=

5

12



= 25 + 144 = 169 = 13


Pada metode ini didefinisikan bahwa jumlah pecahan dengan

pembilang 1 dan penyebut bilangan genap berurutan adalah bagian

dari tripel Pythagoras, atau dapat dirumuskan bahwa

𝟏

𝒌+

𝟏

𝒍=

𝒒

𝒑 dengan k dan l merupakan bilangan genap berurutan akan

menghasilkan pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan

anggota dari tripel Pythagoras. Berikut beberapa contoh dari metode

ini:


k l 𝟏

𝒌+

𝟏

𝒍=

𝒒

𝒑

Hipotenusa (r)

Tripel Pythagoras

2 4 1

2+

1

4=

3

4 5 3, 4, 5

4 6 1

4+

1

6=

5

12 13 5, 12, 13

6 8 1

6+

1

8=

7

24 25 7, 24, 25

8 10 1

8+

1

10=

9

40 41 9, 40, 41

10 12 1

10+

1

12=

11

60 61 11, 60, 61

12 14 1

12+

1

14=

13

84 85 13, 84, 85

14 16 1

14+

1

16=

15

112 113 15, 112, 113

16 18 1

16+

1

18=

17

144 145 17, 144, 145

18 20 1

18+

1

20=

19

180 181 19, 180, 181

20 22 1

20+

1

22=

21

220 221 21, 220, 221

22 24 1

22+

1

24=

23

264 265 23, 264, 265

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Berdasarkan tabel di atas p dan q merupakan bilangan

terpendek dan terpanjang pada tripel Pythagoras. Dengan

memperhatikan pola bilangan dari hubungan antara kolom

hipotenusa (r) dan nilai p, dapat disimpulkan sementara bahwa


hipotenusa dari tripel Pythagoras didapat dari p+1. Untuk

membuktikan bahwa nilai p, q, dan r merupakan triple Pythagoras,

misalkan p=2n dan q = 2n+2, 𝑛 > 0. Jumlah dari dua unit pecahan

dari dua bilangan genap berurutan tersebut, yaitu

1

𝑘+

1

𝑙=

1

2𝑛+

1

2𝑛 + 2

=2𝑛 + 2 + 2𝑛

4𝑛2 + 4𝑛

=4𝑛 + 2

4𝑛2 + 4𝑛

=2 2𝑛 + 1

2 2𝑛2 + 2𝑛

=2𝑛 + 1

2𝑛2 + 2𝑛

=𝑞

𝑝

Maka nilai 𝑝 = 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑞 = 2𝑛 + 1.

Karena 𝑟 = 𝑝 + 1, maka

𝑟 = 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 ……… (𝑃𝑒𝑟𝑠. 3)

Untuk membuktikan bahwa p, q, dan r adalah tripel

Pythagoras, substitusikan nilai 𝑝 = 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑞 = 2𝑛 + 1 ke Teorema

Pythagoras.

𝑟2 = 𝑝2 + 𝑞2

= 2𝑛2 + 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 2

= 4𝑛4 + 8𝑛3 + 4𝑛2 + 4𝑛2 + 4𝑛 + 1

= 4𝑛4 + 8𝑛3 + 8𝑛2 + 4𝑛 + 1

= 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 2

𝑐 = 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 …… . . (𝑃𝑒𝑟𝑠. 4)


Nilai r pada (Pers. 3) dan (Pers. 4) sama, berarti p, q, dan r = p +

1 memenuhi teorema Pythagoras dan disebut sebagai tripel

Pythagoras. Dengan kata lain, metode dua unit-pecahan dari dua

bilangan genap berurutan telah terbukti dapat menghasilkan tripel

Pythagoras.

Bagian Kesembilan: Satu Pecahan Campuran Membentuk Tripel Pythagoras 95

Bagian Kesembilan:

SATU PECAHAN CAMPURAN MEMBENTUK

TRIPEL PYTHAGORAS

Aturan Pecahan CampuranPembelajaran bilangan pecahan sudah mulai diajarkan sejakSekolah Dasar (SD). Siswa SD sudah diperkenalkan bagaimanamengubah bilangan dalam bentuk desimal maupun bilangan dalambentuk persen menjadi bentuk bilangan pecahan, begitu jugasebaliknya. Beberapa bilangan pecahan yang dikenal adalah pecahanbiasa dan pecahan campuran.Bilangan pecahan campuran merupakan pecahan yang terdiridari bilangan bulat dan bilangan pecahan biasa. Misalnya, 1 , 6 , 9 ,dan lain sebagainya. Dimana, 1, 6, dan 9 pada pecahan campurantersebut merupakan bilangan bulat dan , , merupakan bilanganpecahan biasa.Dalam pembentukan tripel Pythagoras (a, b, c), tidak semuabilangan pecahan campuran bisa digunakan untuk menentukan tripelpythagoras. Pecahan campuran yang dapat digunakan untukmenentukan tripel Pythagoras harus memenuhi beberapa aturan,


diantaranya adalah dengan menggunakan aturan-aturan yangdiperkenalkan oleh Michael Stifel.Michael Stifel lahir di Esslingen Jerman pada 1487. Diamerupakan seorang biksu sekaligus Profesor matematika di JenaUniversity. Banyak karya yang telah dibuat, salah satunya adalahtentang bagaimana bilangan pecahan campuran dapat digunakanuntuk menentukan tripel Pythagoras yaitu dalam bukunya yangberjudul “Recreations in Mathematics and Natural Philosophy” yangdipublikasikan oleh Jacques Ozanam (1814, 25). Berikut ini adalahpetikan dari buku tersebut yang dijadikan sebagai aturan dalampembuatan bilangan pecahan campuran agar bisa digunakan untukmenentukan tripel Pythagoras:

“Take a progression of whole and fractional numbers, as1 , 2 , 3 , 4 , &c., the properties of which are ; 1st, The

whole numbers are those of the common series, and have

unity for their common difference. 2nd, The numerators of

the fractions, annexed to the whole numbers, are also the

natural numbers. 3rd, The denominators of these fractions

are the odd numbers 3, 5, 7, &c”.Dari petikan buku tersebut, dapat diketahui bahwa terdapattiga sifat yang digunakan sebagai aturan dalam pembuatan bilanganpecahan campuran yaitu:


1. Bilangan bulat pada pecahan campuran merupakan bilangan asli,dan memiliki beda 1 (satu) antara jumlah bilangan bulat danbilangan pada pembilang dengan penyebut pada bilanganpecahan campuran tersebut.2. Bilangan pada pembilang pecahan campuran merupakanbilangan asli juga, seperti bilangan bulatnya.3. Bilangan pada penyebut pecahan campuran merupakan bilanganganjil ≥ 3, yaitu 3, 5, 7, 9, dan seterusnya.Dari aturan-aturan di atas dapat diketahui bahwa antarabilangan bulat dan pembilang pada pecahan campuran tersebutadalah sama yaitu berupa bilangan asli. Sedangkan penyebut padabilangan pecahan campuran tersebut adalah bilangan ganjil, dimanasecara umum bilangan ganjil dapat ditulis sebagai 2x+1; dimana x ≥1, sehingga secara umum pecahan campuran yang dibentukmenggunakan aturan-aturan di atas dapat ditulis menjadi:+ ; dimana x ≥ 1

Menentukan Tripel Pythagoras dari Pecahan CampuranSelanjutnya, untuk menghitung dan menentukan tripelPythagoras menggunakan aturan pecahan campuran tersebut,dilakukan beberapa prosedur berikut ini:1. Ubahlah pecahan campuran tersebut menjadi pecahan biasa;


2. Penyebut dari pecahan biasa yang terbentuk adalah sisi siku-sikuterpendek pada tripel Pythagoras (a);3. Pembilang dari pecahan biasa yang terbentuk adalah sisi siku-siku terpanjang pada tripel Pythagoras (b);4. Hipotenusa (c) dihitung dengan cara menjumlahkan sisi siku-sikuterpanjang dengan satu atau c = b + 1.Contoh 1: Misalnya bilangan asli x = 1, maka akan terbentuk pecahancampuran:

+ = 1 + = 1 .Langkah-langkahnya:a. Pecahan campuran di atas diubah menjadi pecahan biasa,sehingga: 1 =b. Penyebut pecahan biasa tersebut adalah sisi siku-siku terpendektripel Pythagoras (a), sehingga a = 3.c. Pembilang pecahan biasa di atas adalah siku-siku terpanjangtripel pythagoras (b), sehingga b = 4.d. Hipotenusa (c) = b + 1 = 4 + 1 = 5.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk dari x = 1 adalah (3, 4, 5).Contoh 2: Misalnya bilangan asli x = 4, maka akan terbentuk pecahancampuran:+ 2 + 1 = 4 + 49 = 449


Langkah-langkahnya:a. Pecahan campuran di atas diubah menjadi pecahan biasa,sehingga: 4 =b. Penyebut pecahan biasa tersebut adalah sisi siku-siku terpendektripel Pythagoras (a), sehingga a = 9.c. Pembilang pecahan biasa di atas adalah siku-siku terpanjangtripel Pythagoras (b), sehingga b = 40.d. Hipotenusa (c) = b + 1 = 40 + 1 = 41.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk dari x = 4 adalah (9, 40, 41).Contoh 3: Misalnya bilangan asli x = 9, maka akan terbentuk pecahancampuran:+ 2 + 1 = 9 + 919 = 9 919Langkah-langkahnya:a. Pecahan campuran di atas diubah menjadi pecahan biasa,sehingga: 9 =b. Penyebut pecahan biasa tersebut adalah sisi siku-siku terpendektripel Pythagoras (a), sehingga a = 19.c. Pembilang pecahan biasa di atas adalah siku-siku terpanjangtripel Pythagoras (b), sehingga b = 180.d. Hipotenusa (c) = b + 1 = 544 + 1 = 181.


Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk dari x = 9 adalah (19, 180,181).Contoh 4: Misalnya bilangan asli x = 16, maka akan terbentukpecahan campuran:+ 2 + 1 = 16 + 1633 = 161633Langkah-langkahnya:a. Pecahan campuran di atas diubah menjadi pecahan biasa,sehingga: 16 =b. Penyebut pecahan biasa tersebut adalah sisi siku-siku terpendektripel Pythagoras (a), sehingga a = 33.c. Pembilang pecahan biasa di atas adalah siku-siku terpanjangtripel Pythagoras (b), sehingga b = 544.d. Hipotenusa (c) = b + 1 = 544 + 1 = 545.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk dari x = 16 adalah (33, 544,545). Sebagai latihan, Anda bisa mencari tripel Pythagoras lainnyamenggunakan bilangan asli yang berbeda dari contoh di atas sesuaidengan langkah-langkah tersebut. Misalnya, menentukan tripelpythagoras menggunakan tanggal, bulan, tahun kelahiran Anda, danlain sebagainya.


Pola Tripel Pythagoras dari Pecahan CampuranBerdasarkan aturan yang dibentuk oleh Michael Stifel di atas,Chris Evans (1991) mengembangkan suatu metode untukmenemukan pola dari a, b, dan c, yaitu:1. Pola dari panjang sisi siku-siku terpendek (a)Dari aturan yang dibentuk oleh Michael Stifel dalammembuat bilangan pecahan campuran, jelas bahwa a selalu akanmembentuk bilangan ganjil ≥ 3, sehingga penyebut bilanganpecahan yaitu 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... Sehingga, secara umum, sisisiku-siku terpendek (a) menjadi a = 2x + 1; dimana x = 1, 2, 3, ...2. Pola dari panjang sisi siku-siku terpanjang (b)Jika bilangan campuran yang dibentuk diubah menjadipecahan biasa, seperti 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,… menjadi, , , , , , ,… maka, terlihat bahwa pembilang daribarisan bilangan pecahan biasa tersebut membentuk barisan 4,12, 24, 40, 60, 112, dan seterusnya, dimana bilangan-bilangantersebut adalah bilangan kelipatan 4, yaitu 4 = 1 x 4, 12 = 3 x 4,24= 6 x 4, 40 = 10 x 4, 60 = 15 x 4, 84 = 21 x 4, 112 = 28 x 4, danseterusnya.Kalau bilangan-bilangan yang dikalikan dengan 4 tersebutdisusun menjadi sebuah barisan, akan terbentuk barisan 1, 3, 6,10, 15, 21, 28, dan seterusnya, dimana barisan bilangan tersebut


merupakan barisan bilangan segitiga, seperti pada gambarberikut.

Gambar 9.1 Barisan bilangan segitiga sampai x = 6Dimana diketahui bahwa bilangan segitiga diformulasikan( ), dengan x≥1 (lihat pada bab 8). Karena pembilang daripecahan biasa tersebut di atas atau panjang sisi siku-sikuterpanjang tripel Pythagoras (b) merupakan 4 kali bilangansegitiga, maka b menjadi:= 4 ( ) = 2 ( + 1), dimana x = 1, 2, 3, ...

3. Pola dari hipotenusa (c)Karena c = b + 1, maka c dapat diperoleh denganmensubstitusikan b = 2x (x + 1), sehingga: c = 2x (x+1) + 1;dengan x = 1, 2, 3, ...Dari pola tersebut, maka tripel Pythagoras (a, b, c) dapatditentukan dengan cara hanya menentukan satu bilangan asli tanpamembentuknya menjadi pecahan campuran dan pecahan biasaterlebih dahulu, yaitu dengan menggunakan formula:


a = 2x + 1, b = 2x(x+1), c = 2x(x+1) + 1; dimana, x≥1Contoh:1. Misalkan x = 2, maka dapat ditentukan tripel Pythagoras a, b, danc adalah:

a = 2x + 1= (2 x 2) + 1= 4 + 1= 5. b = 2x(x+1)= (2 x 2) x (2 + 1)= 4 x 3= 12. c = 2x(x+1) + 1= ((2 x 2) x (2 + 1)) + 1= (4 x 3) + 1= 12 + 1= 13.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (5, 12, 13).2. Misalkan x = 5, maka dapat ditentukan tripel Pythagoras a, b, danc adalah: a = 2x + 1= (2 x 5) + 1= 10 + 1=11.


b = 2x(x+1)= (2 x 5) x (5 + 1)= 10 x 6= 60. c = 2x(x+1) + 1= ((2 x 5) x (5 + 1)) + 1= (10 x 6) + 1= 60 + 1= 61.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (11, 60, 61).3. Misalkan x = 8, maka dapat ditentukan tripel Pythagoras a, b, danc adalah: a = 2x + 1= (2 x 8) + 1= 16 + 1=17. b = 2x(x+1)= (2 x 8) x (8 + 1)= 16 x 9= 144. c = 2x(x+1) + 1= ((2 x 8) x (8 + 1)) + 1= (16 x 9) + 1= 144 + 1


= 145.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (17, 144, 145).4. Misalkan x = 11, maka dapat ditentukan tripel Pythagoras a, b,dan c adalah: a = 2x + 1= (2 x 11) + 1= 22 + 1=23. b = 2x(x+1)= (2 x 11) x (11 + 1)= 22 x 12= 264. c = 2x(x+1) + 1= ((2 x 11) x (11 + 1)) + 1= (22 x 12) + 1= 264 + 1= 265.Jadi, tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (23, 264, 265).Sebagai latihan, Anda bisa menentukan tripel Pythagoraslainnya menggunakan bilangan asli yang berbeda berdasarkan poladi atas. Misalnya, menentukan tripel Pythagoras menggunakantanggal, bulan, tahun kelahiran Anda, dan lain sebagainya.

Bagian Kesepuluh: Penemuan Terakhir Fermat untuk Pythagoras 107

Bagian Kesepuluh:

PENEMUAN TERKAHIR FERMAT UNTUK

PYTHAGORAS

Sekilas Tentang Fermat

Pierre de Fermat lahir padatanggal 17 Agustus 1601 (adasumber lain yang mengatakankalau ia lahir pada tahun 1607 dan1608) di Beaumont-de-Lomagne,Tarn-et-Garonne, Perancis.Ayahnya adalah seorang saudagarkulit sekaligus konsul di tempatkelahirannya. Fermat mempunyaisatu saudara laki-laki serta duaorang saudara perempuan.Tidak banyak yang mengetahui tentang latar belakangpendidikannya, namun diyakini kalau awalnya ia bersekolah di biaralokal. Ia kemudian masuk ke University of Touolouse sebelum pindahke Bordeaux pada tahun 1620an. Dan baru di Bordeaux-lah iamemulai penelitiannya di bidang matematika. Salah satu hasilnya

Gambar 10.1 Pierre de Fermat


Bagian Kesepuluh:

PENEMUAN TERKAHIR FERMAT UNTUK

PYTHAGORAS

Sekilas Tentang Fermat

Pierre de Fermat lahir padatanggal 17 Agustus 1601 (adasumber lain yang mengatakankalau ia lahir pada tahun 1607 dan1608) di Beaumont-de-Lomagne,Tarn-et-Garonne, Perancis.Ayahnya adalah seorang saudagarkulit sekaligus konsul di tempatkelahirannya. Fermat mempunyaisatu saudara laki-laki serta duaorang saudara perempuan.Tidak banyak yang mengetahui tentang latar belakangpendidikannya, namun diyakini kalau awalnya ia bersekolah di biaralokal. Ia kemudian masuk ke University of Touolouse sebelum pindahke Bordeaux pada tahun 1620an. Dan baru di Bordeaux-lah iamemulai penelitiannya di bidang matematika. Salah satu hasilnya

Gambar 10.1 Pierre de Fermat


adalah ia melakukan perbaikan pada hasil karya Apollonius of Perga(seorang astronom asal Yunani), De Locis Planis, danmemberikannya kepada salah satu matematikawan di sana padatahun 1629. Tidak hanya itu, ia juga berjasa dalam mengembangkanfungsi maxima dan minima (maximum dan minimum) danmemberikannya kepada Étienne d’Espagnet. Dari Bordeaux, iakemudian pindah ke Orléans dan belajar hukum perdata diUniversitas di sana. Ia kemudian memperoleh sarjana bidang hukumdan pada tahun 1631 mendapatkan gelar councillor pada High Courtof Judicature di Toulouse. Ia menikah dan mempunyai lima oranganak. Meskipun ia adalah seorang pengacara yang sibuk, namunkecintaannya pada matematika tidak pernah luntur. Bidang yang iagemari adalah geometri analisis dan dianggap sebagai “BapakGeometri Analitis”.Fermat meninggal tanggal 12 Januari 1665 di Castres, Tarn,Perancis. Berkat jasa-jasanya, namanya diabadikan pada sekolahtinggi tertua dan paling bergengsi di Toulouse, Lycée Pierre deFermat. Pematung Perancis, Théophile Barrau, juga membuat patungmarmer yang bernama Hommage à Pierre Fermat sebagai pengenangkepada Fermat dan sekarang diletakkan di Capitole of Toulouse.

Penemuannya yang paling terkenal adalah Last Theorem, dankarya tersebut ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendikssuatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkankaryanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan


kecuali mereka melakukan sesuatu. Putranya, Samuel, mengambilalih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya,komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untukmenerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengancara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan.Teorema Terakhir Fermat

Pada abad ke-17, Fermat menyelidiki masalah berikut: Untuknilai n berapa sehingga persamaan berikut memiliki penyelesaianbilangan bulat+ =

Kita tahu bahwa dengan teorema Pythagoras persamaantersebut memiliki penyelesaian berupa bilangan bulat jika n =2. Fermat menduga bahwa tidak ada solusi bila n lebih besar dari 2,meskipun dia tidak meninggalkan bukti. Di tepi bukunya, Fermatmenuliskan bahwa hubungan ini tidak mungkin, tapi dia tidakmemiliki cukup ruang pada halaman bukunya untuk menuliskannya.Dugaannya tersebut sekarang dikenal sebagai Fermat’s Last

Theorem . Hal ini mungkin tampak sederhana, tetapi menjadimasalah besar dalam dunia matematika. Sampai akhirnya pada tahun1993, Andrew Wiles dari Princeton University dapat membuktikanteorema tersebut. Apakah tripel Pythagoras banyaknya tak


terhingga? Jawabannya adalah “YA” untuk alasan yang sederhana,karena misalnya saja untuk setiap bilangan bulat d,(3d)2 + (4d)2 = (5d)2

Tripel tersebut tidak menarik, jadi kita akan berkonsentrasihanya pada tripel yang tidak memiliki common factors (faktorpesekutuan). Primitif Tripel Pythagoras adalah tripel dari bilangan-bilangan bulat positif (a, b, c) yang tidak memiliki faktor pesekutuanserta memenuhi persamaan a2 + b2 = c2.Teorema Tripel Pythagoras akan didapatkan setiap PrimitifTripel Pythagoras (a, b, c) dengan a ganjil dan b genap melalui rumus:

2,

2,

2222 tsc

tsbsta

Dimana s > t ≥ 1 merupakan bilangan-bilangan ganjil yangtidak memiliki faktor persekutuan.Bukti:1. Pertama kita asumsikan bahwa a, b, c adalah co-prime1 danmemenuhi pesamaan a2 + b2 = c2.2. Hal kedua yang penting adalah di tentukannya bahwa c haruslahganjil.

a) Asumsikan bahwa c adalah genap.


b) Kemudian, terdapat Z sedemikian hingga c = 2*Zc) Serta, c2 dapat terbagi oleh 4 karena c2 = (2*Z)2 = 4*(Z2)d) Karena a, b, dan c merupakan bilangan co-prime1 sertadiasumsikan c adalah bilangan genap maka a dan b keduanyaharus ganjil. (Sebab, apabila salah satu a atau b genap, makadua bilangan tersebut akan memiliki minimal 2 faktorpersekutuan yaitu 1 dan 2)e) Dikarenakan keduanya ganjil, maka berarti terdapat X, Ysedemikian hingga

a = 2*X +1b = 2*Y +1

f) Namun a2 + b2 tidak dapat terbagi oleh 4 dikarenakana2 + b2 = (2*X+1)2 + (2*Y+1)2

= 4X2 + 4X + 1 + 4Y2 + 4Y + 1= 4 (X2 + X + Y2 + Y) + 2

1 co-prime adalah bilangan-bilangan yang tidak memiliki faktor pesekutuankecuali 1.


g) Hal tersebut mengakibatkan kontradiksi sehingga asumsipada poin 2 a) ditolak.3. Dikarenakan c adalah ganjil, sehingga salah satu dari a atau bharuslah genap karena suatu bilangan ganjil selalu merupakanhasil penjumlahan dari suatu bilangan ganjil dengan suatubilangan genap.

Misal a ganjil dan b genap maka :c2 = a2 + b2

= (2*X+1)2 + (2*Y)2= 4X2+4X+1 + 4Y2= 2 (2X2+2Y2+2X) + 1

4. Karena kita selalu dapat menukar a dengan b, masalah kitasekarang adalah untuk menemukan semua solusi untuk semuabilangan terhadap persamaan a2 + b2 = c2 dengan a ganjil, bgenap, dan a, b, c tidak memiliki faktor persekutuan.5. Sekarang, kita tahu bahwa: a2 = c2 – b2 = (c – b)(c + b)6. Berikut merupakan beberapa contoh, dimana kita selalumengambil a ganjil dan b genap:

32 = 52 – 42 = (5 – 4)(5 + 4) = 1 . 9


452 = 532 – 282 = (53 – 28)(53 + 28) = 25 . 81772 = 852 – 362 = (85 – 36)(85 + 36) = 49 . 121652 = 972 – 722 = (97 – 72)(97 + 72) = 25 . 169

7. Dari contoh di atas, dugaan awal adalah bahwa c – b dan c + bselalu bilangan ganjil kuadrat. Bagaimana kita

membuktikannya?

8. Pertama, kita amati bahwa (c – b) dan (c + b) terlihat sepertitidak memiliki faktor persekutuan.9. Andaikan bahwa d adalah faktor persekutuan dari (c – b) dan(c + b), maka d dapat membagi (c – b) maupun (c + b).10. Kemudian, d juga dapat membagi (c + b) + (c – b) = 2c dan(c + b) – (c – b) = 2b.11. Namun b dan c tidak memiliki faktor persekutuan dikarenakan(a, b, c) adalah primitif, mengakibatkan d haruslah sama dengan1 atau 2.12. Akan tetapi d juga dapat membagi (c – b)(c + b) = a2, dan aadalah bilangan ganjil, dengan demikian d adalah 1.13. Dengan kata lain, satu-satunya bilangan yang dapat membagikedua bilangan (c – b) maupun (c + b) adalah 1, dan(c – b)(c + b) = a2.


14. Satu-satunya cara hal tersebut dapat terjadi hanya jika (c – b)dan (c + b) adalah keduanya merupakan bilangan kuadrat.15. Sehingga, sekarang kita dapat menuliskan c + b = s2 dan c – b =t2 dimana s > t ≥ 1 dan merupakan bilangan ganjil yang tidakmemiliki faktor persekutuan.

a) c + b + c – b = s2 + t22c = s2 + t2

2

22 tsc

b) c + b – (c – b) = s2 – t22b = s2 – t2

2

22 tsb

dan karena stbcbca ))((

Dengan demikian,2

,2

,2222 ts

cts

bsta

QED.


Berikut merupakan beberapa contoh dari Tripel Pythagoras yangdiperoleh menggunakan aturan Fermat.1) Jika s = 3, dan t = 1Maka :a = s.t= 3.1= 3b = −

= −= 4c === 5Jadi tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (3, 4, 5)2) Jika s = 5, dan t = 3Maka :a = s.t= 5.3= 15b = −


= −= 8c === 17Jadi tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (15, 8, 17)3) Jika s = 9, dan t = 5Maka :a = s.t= 9.5= 45b = −

= −= 28c === 53Jadi tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (45, 28, 53)4) Jika s = 11, dan t = 7Maka :


a = s.t= 11.7= 77b = −= −= 36c === 85Jadi tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (77, 36, 85)

5) Jika s = 121, dan t = 41Maka :a = s.t= 121.41= 4961b = −= −= 6480c ==


= 8161Jadi tripel Pythagoras yang terbentuk adalah (4961, 6480,8161).

Daftar Pustaka 119

DAFTAR PUSTAKA

Chaniago, J. A.. (2010). Tripel Pythagoras Satu Peubah. Diaksestanggal 13 April 2012, darihttp://jhonabdi.wordpress.com/author/jhonabdi/.Curry, Stephen B.. (2005). Right Triangle with Inradius r. AlabamaJournal of Mathematics. Department of Mathematics AlabamaSchool of Fine Arts, 1-8. North Birmingham. Diakses padatanggal 12 April 2012 darihttp://ajmonline/org/2005/curry/pdf,Jones, D.. (2004), Math Magic: Number Sense Revealed, diaksespada tanggal 20 April 2012, dari http://www.math-magic.com/trig/triples.htm#top.Knott, R.. (2011). A Simple Two-Unit-Fraction Method ofGenerating PTs. Diakses pada tanggal 23 Februari 2012, darihttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Pythag/pythag.html.Knott, R.. (2011). Dalam Methods of Generating PythagoreanTriangles, diakses pada tanggal 13 April 2012, darihttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Pythag/pythag.html#genmeths.Muhammad, M., (2010), Tripel Pythagoras dengan Satu Peubah.Diakses pada tanggal 20 Maret 2012, darihttp://mahathirshare.blogspot.com/2010/10/triple-pythagoras.html.NationMaster.com. Encyclopedia-Platonic sequence. (n.d.). Diaksespada tanggal 23 Maret 2012, darihttp://www.nationmaster.com/encyclopedia/Platonic-sequence.


Ozanam, Jecques. (1814). Recreations in mathematics and natural.e. 5.;phylosophy. G. Kearsley.Richardson, Bill. (1999). The Inradius of a Right Triangle WithIntegral Sides. Wichita State University, Department ofMathematics, Statistics and Physic.Diakses pada tanggal 14 April 2012, darihttp://www.math.wichita.edu/~richardson/inradius.html.Tattarsall, J.J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapter.New York: Cambbridge University Press.Wikipedia. (2012). Formula for Generating Pythagorean Triples.diakses pada tanggal 14 April 2012, darihttp://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples#Generating_triples_when_one_side_is_knownnrich.maths.org/1309/index.___. (2012). Formulas for Generating Pythagorean Triples. Diaksespada tanggal 27 Februari 2012, darihttp://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples.___. (2012). Michael Stifel. Diakses pada tanggal 27 Februari 2012,dari http://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel.___. (2012). Pythagorean Triples. Diakses pada tanggal 27 Februari2012, dari http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Pythag/pythag.html.

Tentang Penulis 121

TENTANG PENULIS

Darmawijoyo adalah staf pengajar di FKIP UniversitasSriwijaya. Beliau lulus dari FKIP Universitas Sriwijaya tahun 1990dan melanjutkan studi S-2 di Jurusan Matematika ITB hingga lulustahun 1995. Kemudian Beliau memperdalam studinya di TU Delf,Negeri Belanda dengan mengambil program Master dalam bidangMatematika dan program Doktor dalam bidang Matematika Terapanhingga lulus tahun 2003.Saat ini Beliau mengajar di Jurusan Pendidikan Matematika,Jurusan Matematika Murni, dan Fakultas Ilmu Komputer UniversitasSriwijaya. Di samping sebagai pengajar, Beliau juga menjabat sebagaiKepala Program Diploma Ilmu Komputer Universitas Sriwijaya danKepala Forum Komunikasi dan Konsultasi Universitas Sriwijaya.Kemudian, kami yang terdiri dari 10 orang ini adalahmahasiswa Bilingual Master Programme on Mathematics Education(BiMPoME) 2011 Universitas Sriwijaya. BiMPoME 2011 Universitas


Sriwijaya telah menyatukan kami yang berasal dari berbagaiperguruan tinggi di Indonesia, yaitu STKIP PGRI Sidoarjo (Moch.Lutfianto), STKIP HAMZANWADI Selong NTB (Shahibul Ahyan),Universitas Lambung Mangkurat Banjarmasin (Muhammad Ridhoni),Universitas Negeri Manado (Navel O. Mangelep), STKIP PGRI Ngawi(Dewi Hamidah), IKIP PGRI Semarang (Farida Nursyahidah),Universitas Pattimura Ambon (Christi Matitaputty), Undana Kupang(Hermina Disnawati), Universitas PGRI Palembang (Novita Sari), danUniversitas Muhammadiyah Palembang (Saliza Safta Assiti).Selama mengikuti kuliah History of Mathematics yang diampuoleh Dr. Darmawijoyo, kami mengkaji lebih mendalam tentang tripelPythagoras dari sisi historisnya, mulai dari awal ditemukan sampaipada perkembangannya. Beberapa kajian tersebut dikumpulkanmenjadi satu yang kemudian terbentuk sebuah buku yang Andapegang ini yaitu buku yang berjudul “SATU UNTUK 3: ragamprosedur tripel PYTHAGORAS”. Mudah-mudahan buku ini bisabermanfaat buat semua kalangan.

satu untuk - · pdf filetidak hanya ada dalam dunia matematika tetapi banyak dijumpai di...

Documents