Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULUBölüm 3 Örneklenmiş Veri Sistemleri

İbrahim Beklan Küçükdemiral

Yıldız Teknik Üniversitesi

2015

1 / 40

Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir:� Darbe Modülasyonu Şeklinde Örnekleme İşlemi� Örneklenmiş İşaretlerin Frekans Spektrumu� Aliasing Olayı� Örneklenmiş İşaretlerden Orjinal İşaretin İnşası� Blok Diyagram Analizi

2 / 40

Darbe Modülayonu Şeklinde Örnekleme, Giriş

� Önceki bölümlerde saf ayrık sistemlerle ilgilendik ve bu sistemlerinfark denklemlerini elde etmeye, gerçeklemeye çalıştık.

� Bir geri beslemeli kontrol sisteminde saf ayrık sistemler sadecekontrolör bloklarında bulunur.

� Oysa ki kontrol sistemleri bir bütün olarak ele alındığında sürekizaman sistemleri ile birlikte çalışır. Endüstride ele alınan sistemlerintamamına yakını sürekli zaman sistemlerdir.

� Bu durumda sürekli zaman işaretlerinin bilgisayar tarafından elealınmadan önce ayrıklaştırılması gerekir.

3 / 40

Darbe Modülayonu Şeklinde Örneklemer(t) gibi bir sürekli zaman işaretinin bir A/D dönüştürücü yardımı ileörneklendiğini farz edelim. Örnekleme sonucunda yine ayrık değerleralan bir fonksiyon elde edilir (r?(t))

r(t) r?(t)

A/D Donusturucu

T

Yapılan işlem aslında her T anında açılıp kapanan bir darbe katarı(s(t)) ile r(t) nin çarpılmasıdır (Modülasyon):

r?(t) = r(t) · s(t) = r(t)∞∑

k=0

δ(t − kT ) =∞∑

k=0

r(t)δ(t − kT )

4 / 40

Örnekleme İşlemi

r(t)

0T2T · · · t

r?(t) = r(t)s(t)

t

s(t)=∑∞

k=0 δ(t− kT )

0T2T · · ·

s(t)

t

5 / 40

Örneklemenin Matematiksel Modeli

r?(t) = r(t) · s(t) = r(t)∞∑

k=0

δ(t − kT ) =∞∑

k=0

r(t)δ(t − kT )

s(t) sadece kT anlarında sıfırdan farklı olduğundan

r?(t) =∞∑

k=0

r(kT )δ(t − kT )

Amacımız r?(t) ifadesinin frekans özelliklerini incelemek. Bunun içinr?(t) ifadesinin Fourier dönüşümüne ulaşmamız gerekmektedir. BizFourier dönüşümüne Laplace Dönüşümü üzerinden ulaşacağız.

6 / 40

Örneklemenin Matematiksel Modeli

r?(t) =∞∑

k=0

r(kT )δ(t − kT )

Laplace Dönüşümünün lineer bir dönüşüm olması sebebi ile:

R?(s) =∞∑

k=0

r(kT )

∫ ∞

0δ(t − kT )e−stdt

Hatırlatma(Ayıklama Özelliği) (Sifting Property)∫ ∞

0f (t)δ(t − a)dt = f (a)

7 / 40

Örnekleyici Çıkışında Elde Edilen İşaretin LaplaceDönüşümü

R?(s) =∞∑

k=0

r(kT )

∫ ∞

0δ(t − kT )e−stdt =

∞∑

k=0

r(kT )e−kTs

R?(s) =∞∑

k=0

r(kT )(eTs)−k

Gözlem ve Yorumr(kT ) = r(k) = rk bir dizidir. Bu durumda

R?(s) = R(z)|z=eTs

8 / 40

9 / 40

D/A Dönüştürücünün (Z.O.H) Matematiksel ModeliAyrık İşaretin sürekli işarete çevrimi esnasında giriş bir darbe çıkış iseT kadar süre ile değeri sabit tutulan işarettir.

DACr?(t) rh(t)

0t

0 T

1 1

rh(t) = u(t)− u(t − T ) =⇒ Rh(s) =1s− e−Ts

s=

1− e−Ts

s

Rh(s) = H0(s)R?(s) =⇒ H0(s) =Rh(s)

R?(s)= Rh(s)

Sıfırıncı Mertebeden Tutucunun (ZOH) Transfer Fonksiyonu:

=⇒ H0(s) =1− e−Ts

s

10 / 40

Fourier Dönüşümü ve Fourier Serilerif (t) fonksiyonu genel bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun FourierDönüşümü (FT):

F (jω) =

∫ ∞

−∞f (t)e−jωtdt

şeklinde tanımlanır. Şayet f (t) işareti T periyodik ise bu işaret,birbirlerinden 2π

T frekans büyüklüğü kadar farklı sonsuz tane sinüsoidcinsinden ifade edilebilir:

f (t) =∞∑

n=−∞Cne

j(2πn/T )t

Burada Cn katsayıları

Cn =1T

∫ T2

−T2

f (t)e−j(2πn/T )tdt

şeklinde hesaplanır.11 / 40

Örnekleme İşleminin Frekans ÖzellikleriÖrnekleme işlemini hatırlayalım:

r?(t) = r(t) · s(t) = r(t)∞∑

k=0

δ(t − kT ) =∞∑

k=0

r(t)δ(t − kT )

Darbe katarı T periyodik olduğundan, bu katarını sonsuz adet farklıfrekansta salınan sünüsoidler cinsinden ifade etmeye çalışalım. Yani:

s(t) =∞∑

k=0

δ(t − kT ) =∞∑

k=−∞δ(t − kT ) =

∞∑

n=−∞Cne

j(2πn/T )t

Burada

Cn =1T

∫ T2

−T2

∞∑

k=0

δ(t − kT )e−j(2πn/T )tdt

12 / 40

Örnekleme İşleminin Frekans Özellikleri

Cn =1T

∫ T2

−T2

∞∑

k=0

δ(t − kT )e−j(2πn/T )tdt

ifadesinde sonsuz toplamın bir önemi yoktur. Zira entegrasyon −T2 ile

T2 aralığında alınmaktadır ve bu aralıkta tek bir k mevcuttur, k = 0

Cn =1T

∫ T2

−T2

δ(t)e−j(2πn/T )tdt

Cn =1T

s(t) =∞∑

k=0

δ(t − kT ) =∞∑

n=−∞

1Te j(2πn/T )t =

1T

∞∑

n=−∞e j(2πn/T )t

13 / 40

Örnekleme İşleminin Frekans ÖzellikleriÖrnekleme frekansı

ωs =2πT

=⇒ s(t) =1T

∞∑

n=−∞e jnωs t

r?(t) = r(t)× s(t) =1T

{r(t)

∞∑

n=−∞e jnωs t

}

L[r?(t)] =

∫ ∞

−∞

1T

{r(t)

∞∑

n=−∞e jnωs t

}e−stdt

=1T

∞∑

n=−∞

∫ ∞

−∞r(t)e jnωs te−stdt

=1T

∞∑

n=−∞

∫ ∞

−∞r(t)e−(s−jnωs)tdt =

1T

∞∑

n=−∞R(s − jnωs)

14 / 40

Örnekleme İşleminin Frekans Özellikleri...

=⇒ L[r?(t)] = R?(s) =1T

∞∑

n=−∞R(s − jnωs)

Teoremf (t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü F (s) olsun. Bu durumda f (t)fonksiyonunun Fourier Dönüşümü F (jω) ile ifade edilir ve

F (jω) = F (s)|s=jω

=⇒ R?(jω) =1T

∞∑

n=−∞R(jω − jnωs)

15 / 40

Örnekleme İşleminin Frekans Özellikleri...

=⇒ R?(jω) =1T

∞∑

n=−∞R(jω − jnωs)

Bu ifade bize 2 önemli şey söyler:1. Örneklenmiş işaretin frekans spektrumunun genliği, örneklenmemiş

işaretin frekans spektrumunun (R(jω)), 1/T katı kadardır.2. Sonsuz adet toplama

∑∞n=−∞, örneklenmiş verinin frekans

spektrumunun, örneklenmemiş verinin frekans spektrumunun sonsuzadet kopyasından oluştuğunu gösterir. Bu kopyalar frekansekseninde birbirlerinden ωs = 2π

T kadar uzaktadırlar.

16 / 40

Örnek - İyi Senaryo - Doğru Örnekleme

r1(t) işaretini örnekleyelim:

Dogru Ornekleme

İyi bir örnekleme için ωs >BW2

17 / 40

Örnek - Kötü Senaryo- Zayıf Örnekleme

r2(t) işaretini örnekleyelim:

spektrumlarınust uste cakısmasındanolusan yanlısspektrum

Grafikte kesikli çizgi ile gösterilen ω0 frekansında aliasing oluşmaktadır.Bu noktada hem 0 frekans merkezli işaret hemde ωs merkezli işaretinetkileri oluşmaktadır. İki işaret birbirinden ayırd edilememektedir.

18 / 40

Aliasing Olayı -Kovboy Kasabası ©Eski kovboy filmlerini göz önüne alalım ve kasabaya giren bir postaarabasını hatırlayalım.

ω0 = 2Hz

ωs = 3Hz

At arabasıTekerlegi Kamera

Resimleme hızıTeker donus hızı

19 / 40

Aliasing Olayı -Kovboy Kasabası ...Yetersiz bir örnekleme yapıldığı açıktır. Zira aliasing oluşmaması içinkameranın tarama hızı ωs > 4Hz olmalıydı.2Hz frekansı ile dönen tekerlek kamera tarafından örneklenince 5Hz ,8Hz , −1Hz gibi frekanslarda kopyalar oluşturur.

0f

2

|R?(jω)|

5−1−4ωs/2−ωs/2

Alcak Geciren Filtre

Alçak geçiren filtre çıkışında (Ekranda) 1Hz ile ters yöne dönen birtekerlek görünür.20 / 40

İşaretin Yeniden İnşası

Problemin TanımıÖrnekleme işleminin tersidir. Örnekler verildiğinde sürekli işaretinoluşturulması problemidir. Yeterli hızda örneklenmiş bir veri(ωs > 2BW ) yeniden inşa edilebilir (Nyquist-Shannon ÖrneklemeTeoremi).

İdeal Filtre Kullanmak:Örneklenmiş bir veri dizisi r(k) dan r(t) yi elde etmeye çalışalım.Örneklenmiş verinin frekans yanıtı R?(jω) olsun. Bu veri ideal birL(jω) frekans yanıtına sahip bir filtreden geçirilmelidir.

|L(jω)| =

{T − π

T ≤ ω ≤ πT

0 |ω| > πT

21 / 40

İdeal bir AG Filtre ile İşaretin Yeniden İnşası

22 / 40

İdeal bir AG Filtre ile İşaretin Yeniden İnşası

İdeal Filtre Gerçeklenebilir mi?Açıktır ki

R(jω) = L(jω)R?(jω)

L(jω) nın ters Fourier Dönüşümü alınırsa filtrenin darbe yanıtı l(t)elde edilir.

HatırlatmaBir F (jω) ifadesinin ters Fourier Dönüşümü

f (t) =12π

∫ ∞

−∞F (jω)e jωtdω

şeklinde tanımlanır.

23 / 40

İdeal bir AG Filtre ile İşaretin Yeniden İnşası

l(t) =12π

∫ πT

− πT

Te jωtdω

=T

2πe jωt

jt

∣∣∣∣π/T

−π/T

=T

j2πt

(e jπt/T−e

−jπt/T)

=1

πt/Tsin

πt

T

= sincπt

T

24 / 40

İdeal bir AG Filtre ile İşaretin Yeniden İnşasıŞekilde sincπtT fonksiyonunun çiziti gösterilmektedir. Bu işaret t = 0anında filtreye uygulanan bir darbenin yanıtı olduğuna göre, L(jω)gerçeklenemez bir filtredir. (Nedensellik sorunu)

Nedensellikh(t) sistemin darbe(dürtü) yanıtı olsun. Sistem nedenseldir⇐⇒ h(t) = 0 ∀t < 025 / 40

ZOH’ın Aliasing Filtresi Olarak Kullanılması

İdeal birleştirici filtrenin (desampling filter) gerçeklenemez olduğunugördük. Yani bu türden bir filtre asla gerçek zamanlı bir sistemdekullanılamaz. Onun yerine ZOH filtresini kullanmaya çalışacağız.

İddia:ZOH filtesi birleştirici filtre olarak kullanılabilir.

26 / 40

ZOH’ın Aliasing Filtresi Olarak KullanılmasıSıfırıncı Mertebeden Tutucu (Z.O.H) filtresinin transfer fonksiyonu

H0(s) =1− e−sT

s

Filtrenin frekans yanıtı ise

H0(jω) =1− e−jωT

jω

Bu ifadenin payını ve paydasını e jωT/2 ile çarpalım ve genliğinebakalım:

|H0(jω)| =

∣∣∣∣∣e jωT/2 − e−jωT/2

jωe jωT/2

∣∣∣∣∣ = T

∣∣∣∣sinωT/2ωT/2

∣∣∣∣ = T

∣∣∣∣sincωT

2

∣∣∣∣

27 / 40

ZOH’ın frekans yanıtı

28 / 40

Blok Diyagram Analizi

Örneklenmiş veri sistemlerinin blok diyagramlarını ve blokdiyagramlardan yararlanarak transfer fonksiyonlarını inceleyeceğiz.Sürekli Zaman Sistemlerden farklı olarak örneklenmiş veri sistemleriHibrit Sistemlerdir. Bu sistemlere ait blok diyagramlarda 2 olasılıklakarşılaşılır:1. İki sürekli blok ve aralarında bir örnekleyici bulunması durumu2. Aralarında örnekleyici olmayan iki sürekli zaman bloğunun seri

bağlantısıHer iki durumu da ayrı ayrı inceleyeceğiz.

29 / 40

Aralarında Örnekleyici Bulunan 2 CT. Bloğu

Açıktır kiY (s) = H(s)U?(s)

İddia

Y ?(s) = H?(s)U?(s)

30 / 40

Aralarında Örnekleyici Bulunan 2 CT. Bloğu

Y (s) = H(s)U?(s) =⇒ Y ?(s) = {H(s)U?(s)}?

Bir önceki alt bölümden

Y ?(s) =1T

∞∑

n=−∞H(s − jnωs)U?(s − jnωs)

Diğer taraftan : U?(s) = 1T

∑∞k=−∞ U(s − jkωs)

U?(s − jnωs) =1T

∞∑

k=−∞U(s − jkωs − jnωs)

=1T

∞∑

k=−∞U(s − jωs(k + n)︸ ︷︷ ︸

=r

) =1T

∞∑

r=−∞U(s − jrωs)

= U?(s)

31 / 40

Aralarında Örnekleyici Bulunan 2 CT. Bloğu

Bu durumda

Y ?(s) =1T

∞∑

n=−∞H(s−jnωs)U?(s−jnωs) =

1T

∞∑

n=−∞H(s − jnωs)

=H?(s)

U?(s)

=⇒ Y ?(s) = H?(s)U?(s)

32 / 40

Bu sonuç ışığı altında:

U(s) = G (s)E ?(s) =⇒ U?(s) = G ?(s)E ?(s)

2 Sonuç birlikte kullanılırsa:

Y ?(s) = H?(s)U?(s) = H?(s)G ?(s)E ?(s)

Yada literatürde kullanıldığı üzere

Y ? = H?G ?E ?

Önemli Not:Asla G ?E ? 6= (GE )?33 / 40

Önemli Not

Hatırlamak gerekirse bir ayrık dizinin z dönüşümü verildiğinde

R?(s) = R(z)|z=eTs

şeklinde hesaplanır (Bunu görmüştük!!!). R?(s) verildiğinde R(z)ifadesini bulmak için

R(z) = R?(s)|s= 1Tln z

L−1 [U?(s)] =⇒ yoğunluğu u(kT ) olan darbeler dizisi

Z−1 [U(z)] =⇒ uk dizisi

34 / 40

Aralarında örnekleyici olmayan iki sürekli zaman bloğu

Durum şu şekildedir:

Y (s) = H(s)U(s) U(s) = G (s)E ?(s)

Y ?(s) = {HU}?(s)

Y ?(s) = {H(s)G (s)E ?(s)}? = {H(s)G (s)}?E ?(s)

35 / 40

Örnek

Şekilde verilen blok diyagram için transfer fonksiyonunu bulunuz?

E (s) = R(s)− Y (s)

M?(s) = D?(s)E ?(s)

36 / 40

Örnek...

E ?(s) = R?(s)− Y ?(s)

Gh(s) ,1− e−sT

s

G (s) , G (s)Gh(s)

Y ?(s) = G ?(s)M?(s)

Y ?(s) = G ?(s)D?(s)[R?(s)− Y ?(s)]

Y ?(s)

R?(s)=

G ?(s)D?(s)

1 + G ?(s)D?(s)

Y (z)

R(z)=

G (z)D(z)

1 + G (z)D(z)

37 / 40

ÖrnekBir önceki örnekte yer alan blok şemayı ele alalım: G (s) = 1

s+1 ,Örnekleme periyodu, T = 0.5s olsun. Sistemde yer alan kontrolör isebir integratör olsun:

mk = mk−1 + Kek

Bu durumda kontrolör transfer fonksiyonu

M(z) = z−1M(z) + KE (z) =⇒ D(z) =M(z)

E (z)=

K

1− z−1=

Kz

z − 1

G (s) = G (s)Gh(s) =

(1

s + 1

)(1− e−sT

s

)

=⇒ G ?(s) =

(1

s(s + 1)

)? (1− e−sT

)

=⇒ G (z) =0.3935z

(z − 1)(z − 0.6065)

(1− z−1

)=

0.3935z − 0.6065

38 / 40

Örnek (devam)

=⇒ G (z)D(z) =0.3935Kz

(z − 1)(z − 0.6065)

Son olarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu:

Y (z)

R(z)=

G (z)D(z)

1 + G (z)D(z)=

0.3935Kzz2 + (0.3935K − 1.6065)z + 0.6065

Köklerin yer eğrisini çizebilmek için Karakteristik Denklem

1 + K0.3935z

z2 − 1.6065z + 0.6065= 0

şeklinde yazılır ve sürekli zaman yöntemlerin aynısı uygulanır.Ayrık Zamanlı Sistemler için Root Locus Komutu:rlocus(num,den,-1)39 / 40

K nın Değişimine Göre Kapalı Çevrim Kutupların YerEğrisi

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T

0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

1π/T

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T

0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

1π/T

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

40 / 40