sayısal kontrol - ee.tek.firat.edu.tr
TRANSCRIPT
![Page 1: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/1.jpg)
Sayısal Kontrol
Sistemleri
Prof. Dr. Muammer GÖKBULUT
![Page 2: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/2.jpg)
t
x(t)
0 t
x(t)
0
A
1t
x(t)
0
A
Hatırlatma: Analog (Sürekli Zaman) Sinyaller ve SistemlerAnalog (sürekli zaman) Temel Test Sinyalleri: Basamak, impuls, rampa
G(s)U(s) Y(s)
• Doğrusal ve zamanla değişmeyen analog sistemlerin matematiksel modelleri
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtxdt
d
)t(u5dt
)t(du4)t(y3
dt
)t(dy2
dt
)t(yd2
2
3s2s
5s4
)s(U
)s(Y)s(G
2
Diferansiyel denklem
Durum denklemi
Transfer fonksiyonu
![Page 3: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/3.jpg)
G(s)U(s) Y(s)
Örnek: Verilen sistemin birim rampa cevabını bulunuz.
2
1
)(
)()(
ssU
sYsG
G(s)U(s) Y(s)
Örnek: Verilen sistemin birim basamak cevabını bulunuz.
2s3s
1
)s(U
)s(Y)s(G
2
![Page 4: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/4.jpg)
Kontrolör
Referans giriş
r(t)
Sistem girişi
u’(t)
Sistem çıkışı
y(t)
+
-
Sistem
Geri beslemebirimi
Yükseltici-Dönüştürücü
Kontrolsinyali
Hatasinyali
e(t) u(t)
Bozucu girişb(t)
Birimler:
Kontrolör,
Kontrol edilen sistem,
Geri besleme birimi ya da algılayıcı,
Yükseltici/dönüştürücü birim
Sinyaller:
Referans giriş
Hata sinyali,
Kontrol sinyali,
Sistem girişi ve çıkışı
Kapalı Çevrim Kontrol Sistemi : Analog-Sürekli Zaman
![Page 5: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/5.jpg)
Referans
giriş
r(k)
Sistem
çıkışı
y(t)
Algılayıcı
+
-
YükselticiSayısal
Denetleyici
Hata
e(k)
Denetim
sinyali
v(t)
Sistem
girişi
u(t)
Sistem
ADC
DAC
Sayısal kontrol sistemlerinde genellikle denetlenen sistem analog (sürekli zaman)
bir sistem iken denetleyici sayısal (ayrık zaman) bir birimdir.
Tutma
Örnekleme
1.1 Kapalı Çevrim Sayısal Kontrol Sistemi
![Page 6: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/6.jpg)
1.2 Ayrık Zaman Temel Test Sinyalleri: Basamak, impulse, rampa
Basamak / birim basamak sinyaller:
Rampa / birim rampa sinyaller:
İmpuls / birim impulse sinyaller:
Örnek: Bilgisayar programlama dillerinde,MATLAB gibi, buradaki temel test sinyallerinasıl tanımlanır.?
0k
A
x(k)
x(k)
k
A
0
x(k)
k0 12 10
10
![Page 7: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/7.jpg)
1.3 Sürekli Zaman Sinyallerin Ayrıklaştırılması / Örnekleme
Örnekleme Yuvarlatma Kodlama
Analog sinyal
Sayısal sinyal
Ayrık zaman sinyal
Yuvarlatılmış sinyal
Analog-dijital dönüştürücü (ADC)
0 0 0
111110101100011010001000
Bilgisayar/
Mikroişlemci
![Page 8: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/8.jpg)
t2e)t(f
Sürekli zaman üstel fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.
ka)k(f
Analog ya da sürekli zaman sinyallerin örneklenerek ayrıklaştırılması: t=kT
![Page 9: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/9.jpg)
)25.0(10)( 1.0 kSinekf k
)5(10)( 2 tSinetf t
Sönümlü sinüsoidal bir fonksiyonun ayrıklaştırılması.Sönümlü sinüsoidal fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.
T=?
![Page 10: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/10.jpg)
t10te)t(f
1-) Verilen sinyali ayrıklaştırarak grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız. T=?
![Page 11: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/11.jpg)
1.4 Sayısal (Ayrık zaman) Sistemler
• Statik / Dinamik sistem ya da bellekli /belleksiz sistem
• Doğrusal / doğrusal olmayan sistem
• Zamanla değişen / zamanla değişmeyen sistem
• Ayrık zaman sistem, ayrık zaman u(k) giriş sinyalini alarak ayrık
zamanda tanımlı bir giriş-çıkış ilişkisi verir.
• Ayrık zaman sistemlerde, sinyallerin o anki, önceki ve sonraki
değerleri kullanılabilir.
)k(ue)k(y k2.0
1)k(u2)k(y
)k(u)1k(y8.0)k(y
)k(u2.0ke)k(y
)1k(u)k10(Sin)k(y
![Page 12: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/12.jpg)
Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma
a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.
b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa
cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.
)1k(u5.0)k(u)k(y
u(k)T
u(k-1)
Bellek elemanı)k(u2.0ke)k(y 1-) 2-)
![Page 13: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/13.jpg)
Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma
a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.
b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa
cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.
c-) Cevapları bulan MATLAB programı yazınız.
)k(u)1k(y8.0)k(y
u(k)T
u(k-1)
Bellek elemanı
3-)
![Page 14: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/14.jpg)
Kararlılık: Sınırlı girişe karşı sınırlı çıkış veren sistemler SGSÇ kararlıdır.
Ayrık zaman Sistemlerde Kararlılık
)1k(u5.0)k(u)k(y
)k(u)1k(y2)k(y
kararlıisebkyiçinaku )()(
Örnekler: Kararlı olup olmadıklarını gösteriniz.
)k(u2.0ke)k(y
![Page 15: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/15.jpg)
• Sayısal Türev: Bir sinyalin herhangi bir noktadaki türevi sinyalin o noktadakieğimidir.
Bir f(t) sinyalinin türevi y(t) ile gösterilirse bu sinyalin herhangi bir t (yada k, kT)noktasındaki eğimi, sinyalin o noktadaki teğetinin zaman ekseni ile yaptığı açıkullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
tan)()( tfdt
dty
1.4 Sürekli zaman sistemlerin ayrıklaştırılması
Fonksiyonun eğimi, farklı yaklaşımlarla bulunabilir.
Bunlardan ileri fark, geri fark ve merkezi fark olarak bilinen yöntemler yaygın
olarak kullanılmaktadır.
t
f(t)
k
.f(k)
![Page 16: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/16.jpg)
• İleri fark yönteminde fonksiyonun bir gelecekteki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek: Verilen fonksiyonun sayısal türevini bulunuz.
t
f(t)
k
.f(k)
k+1
f(k+1) .
İleri Fark Yöntemi
)t(fdt
d)t('f)t(yisee)t(f t2
![Page 17: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/17.jpg)
• Geri fark yönteminde fonksiyonun bir önceki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek:
Geri Fark Yöntemi
t
f(t)
k-1
.f(k-1)
k
f(k) .
)t(fdt
d)t('f)t(yisee)t(f t2
![Page 18: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/18.jpg)
Merkezi Fark Yöntemi (Bilineer Dönüşüm-Tustin Algoritması)
Merkezi fark yönteminde ise fonksiyonun bir önceki ve bir gelecekteki örneklenmiş değerleri
kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek:
t
f(t)
k-1
.f(k-1)
k
f(k) .
k+1
f(k+1) .)t(f
dt
d)t('f)t(yisee)t(f t2
![Page 19: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/19.jpg)
Sayısal İntegral
• Bir sinyalin herhangi bir andaki integrali (belirli-sınırlı integrali) bu sinyalin o ana kadar taradığı alanın toplamıdır. Bir f(t) fonksiyonun integrali y(t) ile gösterilirse t anındaki integral,
• Bir fonksiyonun herhangi bir t anındaki taradığı alanı bulmak için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Burada en çok kullanılan sol kenar, sağ kenar ve yamuk yöntemleri verilmiştir.
t
0t
)0t(ydt)t(f)t(y
![Page 20: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/20.jpg)
Sayısal İntegral
t
f(t)
k
.
k-1
f(k-1)
f(k)
y(k-1)
Alan
y(k)integrali
t
f(t)
k
.
k-1
f(k-1)
f(k)
y(k-1)
Alan
y(k)integrali
t
f(t)
k
.
k-1
f(k-1)
f(k)
y(k-1)
Alan
y(k)integrali
Sol Kenar kuralı Sağ kenar kuralı Yamuk Kuralı:
t
0t
t2 dt)t(f)t(yisee)t(f
Örnek
![Page 21: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/21.jpg)
Örnekler
)t(vdt
dC)t(i
1-) Kapasitansı C=0.1 F olan bir kondansatöre birim rampa gerilim uygulanmıştır. Değişik
yöntemlerle kondansatörün akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız.
![Page 22: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/22.jpg)
2-) Endüktansı L=0.2 H olan bir bobine uygulanan gerilim aşağıda verilmiştir. Değişik
yöntemlerle bobinin akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB program yazınız.
t
0
dt)t(vL
1)t(i
t10e5)t(v
![Page 23: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/23.jpg)
• Sürekli zamanda doğrusal-zamanla değişmeyen-dinamik sistemlerin matematikselmodelleri diferansiyel denklemlerle tanımlanırken,
• Ayrık zaman doğrusal-zamanla değişmeyen-bellekli sistemlerin modelleri ise farkdenklemleri ile tanımlanır.
)mk(ub)1k(ub...)k(u)nk(ya)1k(ya...)k(y m1n1
1.5 Fark Denklemleri
Burada, k=0 için y(-1), y(-2),……y(-n) başlangıç koşullarıdır.
)k(ub)1k(ub...)mk(u)k(ya)1k(ya...)nk(y 0101
Burada, k=0 için y(n-1), y(n-2),……,y(1), y(0) başlangıç koşullarıdır.
İleri farklar şeklinde yazılan fark denklemi:
Geriye farklar şeklinde yazılan fark denklemi:
Örnek:
Örnek:
![Page 24: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/24.jpg)
2)0(y,)1k(u)k(y5.0)1k(y
2)2(y,4)1(y,)1k(u3)k(u)2k(y)1k(y2)k(y
Fark denklemleri, başlangıç koşulları hesaplanmak koşuluyla
ileri ya da geri yönde ötelenebilir.
Birim basamak giriş için 2 örnek ileriye öteleyiniz.
Birim rampa giriş için bir örnek geriye öteleyiniz.
![Page 25: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/25.jpg)
1)2(y,0)1(y,)1k(u2)k(u)2k(y4.0)1k(y5.0)k(y
Fark Denklemlerinin Blok Şema ile Gösterimi veArdışıl (iteratif) ya da Bilgisayarla Çözümü
u(k)T
u(k-1)
Bellek elemanı
Örnek: Verilen fark denkleminin a-) blok şemasını çiziniz. b-) k=0,1,2
örnek için birim basamak cevabını bulunuz yani denklemi ardışıl çözünüz.
c-) MATLAB programını yazınız.
![Page 26: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/26.jpg)
Örnek: Verilen fark denkleminin a-) blok şemasını çiziniz. b-) k=0,1,2
örnek için birim basamak cevabını bulunuz yani denklemi ardışıl çözünüz.
c-) MATLAB programını yazınız.
u(k)T
u(k-1)
Bellek elemanı
0)1(y,6.0)0(y,)k(u2.0)1k(u)1k(y8.0)k(y)1k(y
![Page 27: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/27.jpg)
0)0(y)t(u3)t(y2dt
)t(dy
Örnek: Verilen diferansiyel denklemi,
a-) Geri fark yöntemi ile ayrıklaştırınız. T=0.1 alınabilir.
b-) Fark denkleminin blok şemasını çiziniz.
Diferansiyel denklemlerin ayrıklaştırılması
Fark denklemleri, diferansiyel denklemlerin ileri, geri ya da merkezi fark yöntemi kullanılarak ayrıklaştırılması ile de elde edilebilir.
![Page 28: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/28.jpg)
c-) Fark denkleminin birim basamak cevabını k=0,1,2 örnek için hesaplayınız.
d-) Birim basamak cevabını bulan MATLAB programı yazınız ve analog ve
sayısal çözümleri karşılaştırınız.
)t(u3)t(y2dt
)t(dy
![Page 29: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/29.jpg)
Örnekler: İleri fark yöntemi ayrıklaştırarak blok şemasını çiziniz. T=0.1s
dt
)t(du4)t(y2
dt
)t(yd2
2
![Page 30: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/30.jpg)
Örnek: Seri RLC devresinin birim basamak gerilim kaynağı için cevabını (akımını)
sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız. R=2, L=0.1 H, C=0.2 F, T=0.1
saniye alınız.
![Page 31: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/31.jpg)
Fark Denklemlerinin Analitik Çözümü
Homojen çözüm ve özel çözümün toplamından meydana gelir.
n21 r...rr
0arardaya0ra...ra1 n1n
1nn
n1
1
Homojen çözüm yh(k):
Karakteristik denklem
KD’ in kökleri reel ve ayrık ise
KD’ in kökler reel ve katlı ise
KD’in kökleri kompleks ise
knn
k22
k11 rA...rArA)k(yh
jbar,jbar 21
n21 r,...r,r
k1
1nn
k12
k11 rkA...krArA)k(yh
)a/b(tan,ba),k(SinA)k(CosA)k(yh 122k
2
k
1
)k(u)nk(ya...)1k(ya)k(y n1
![Page 32: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/32.jpg)
Diferansiyel denklemlerde olduğu gibi kaynak fonksiyonunun türüne bağlı olan, bir de
özel çözüm vardır.
)k(Cosdaya)k(Sin
k
)a(
1.K
n
k
k
özel çözümKaynak
)k(CosC)k(SinC)k(yö
k.Ck.C)k(yö
)a.(C)k(yö
1.C)k(yö
21
1n2
n1
k
k
• Özel çözümün aynısı, homojen çözümde de varsa her defasında özel çözüm k ile
çarpılmalıdır.
• Özel çözüm yö(k), fark denkleminde yerine yazılarak C katsayıları bulunmalıdır.
• Toplam çözüm olduğundan başlangıç koşulları uygulanarak homojen
çözümün A katsayıları bulunmalıdır.
)k(yö)k(yh)k(y
Özel çözümü
![Page 33: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/33.jpg)
0)2(y,1)1(y,)k(u)2k(y04.0)1k(y4.0)k(y
Örnek: Verilen fark denkleminin birim basamak giriş için cevabını analitik olarak bulunuz.
Çözüm:
kkk )1(5625.1)2.0(k05.0)2.0(1625.0)k(y
![Page 34: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/34.jpg)
0)1(y,0)0(y,)5.0()1k(y2.0)k(y9.0)1k(y k
Örnek: Verilen fark denklemini, analitik olarak çözünüz.
Çözüm:
kkk )5.0(k10)4.0(k40)5.0(40)k(y
![Page 35: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/35.jpg)
1)1(y,)k(u)1k(y5.0)k(y
Örnek: Verilen fark denkleminin birim rampa cevabını analitik olarak bulunuz.
Çözüm:
2k2)5.0(5.2)k(y k
![Page 36: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/36.jpg)
Örnek: Verilen durum denkleminin ayrık zaman karşılığını bulunuz. (İleri Fark yöntemi ile)
u(t) 0
1
)t(x
)t(x
20
21
)t(x
)t(x
2
1
2
1
)t(u5)t(x
)t(x 01)t(y
2
1
Analog Durum Denklemlerin Ayrıklaştırılması ve Ayrık Zaman Durum Denklemleri
Analog durum denklemleri ayrıklaştırılırsa ayrık zaman durum denklemleri elde edilebilir.
)k(Du)k(Cx)k(y
)k(uB)k(xA)1k(x dd
Ayrık zaman durum denklemleri
)t(Du)t(Cx)t(y
)t(Bu)t(Ax)t(x
Analog durum denklemleri İleri Fark
![Page 37: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/38.jpg)
...z)k(y)z(Y)k(yZ k
0k
Örneklenmiş bir sinyalin Z dönüşümü de aşağıdaki gibi alınabilir.
k
0k
z)kT(y)z(Y)kT(yZ
Doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde Laplace
dönüşümünden yararlanıldığı gibi, doğrusal fark
denklemlerinin çözümünde de z dönüşümünden yararlanılır. Z
dönüşümü fark denklemlerini cebirsel hale getirir. Tek yönlü Z
Dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır.
Bölüm 2
Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Temelleri
2.1 z -Dönüşümü
![Page 39: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/39.jpg)
Z-dönüşümüne dikkat edilirse sonsuza giden bir seridir ve
seriler belirli koşullarda belirli bir değere yakınsar. Bu nedenle z-
dönüşümü bulunurken serilerin yakınsaklığını da belirlemek gerekir.
Çoğu seriler, aşağıdaki açılıma uygundur ve bu serilerin
yakınsaklığı aşağıdaki ifade ile belirlenebilir.
1q,q1
1q...qqq1q
0n
n32n
Serilerin Yakınsaklığı
0n
1nn
q1
q1q
k
0k
z)k(y)z(Y)k(yZ
![Page 40: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/40.jpg)
0 1 2 3 4….
1
f(k)
k
0k
kz).k(f)z(F
1z
z
z1
1)z(F
1
k)1()k(f
1|z| 1
Örnek: Birim basamak fonksiyonunun Z dönüşümü
![Page 41: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/41.jpg)
. . . .
k
1 2 3 . . .
f(k)
Örnek: Ayrık zaman üstel fonksiyonun z dönüşümünü alınız.
az
z
z.a1
1)z(F
1
k)a()k(f
0k
kz).k(f)z(F
![Page 42: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/42.jpg)
Örnek: Geriye ötelenmiş birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.
1.z...00z).11(z)10(...z)1k()z(F0k
110k
Örnek: İleri ötelenmiş birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.
1.z...0z0...z).10(z)11(...0z).1k()z(Fk
0)1(k
Örnek: Ayrık zaman birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.
0
10 1...01...).1()0().()(k
k zzzkzF
Örnek: Yukarıdaki sonuçlara göre İki geriye ötelenmiş birim
basamak fonksiyonun z dönüşümü nedir?.
(k)
k
1
0
![Page 43: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/43.jpg)
0
4321 ...4320).()(k
k zzzzzkfzF
k)k(f
0 1 2 3 4….
f(k)
k
Önceki seriden farklıdır
(1)
ve sağ taraf parantezine alınırsa,
221
1
)1()1()(
z
z
z
zzF
1
11
1
1)()1(
zzzFz
Örnek: Birim rampa fonksiyonunun z dönüşümü
1z
1z İle çarptıktan sonra (1) den çıkarılır
![Page 44: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/44.jpg)
j2
ee)k(f)wk(Sin)k(f
jwkjwk
Örnek: Sinüsoidal fonksiyonunun z dönüşümü
jwjw ez
z
ez
z
j2
1)z(F
Seriye açılarak da Z dönüşümü bulunabilir ancak üstel ifadelerin
Z dönüşümü bilindiğine göre,
1)w(zCos2z
)w(zSin)z(F
2
Euler bağıntısı
![Page 45: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/45.jpg)
Fonksiyon f(k) Z Dönüşümü F(z)
)wk(Cos
)wk(Sin
)a(
k
k
)k(u
)k(
k
2
1zCoswa2z
)wCosz(z
1wzCos2z
wzSinaz
z
)1z(
)1z(z
)1z(
z1z
z
1
2
2
3
2
Bazı Ayrık Fonksiyonların z- Dönüşümleri
![Page 46: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/46.jpg)
Analog Fonksiyon
f(t)
z- Dönüşümü
F(z)
)wkT(Cos
)wkT(Sin
e
kT
bkT
1wTzCos2z
)wTCosz(z
1wTzCos2z
wTzSinez
z
)1z(
zT
2
2
bT
2
)wt(Cos
)wt(Sin
e
t
bt
Bazı Örneklenmiş Fonksiyonların z- Dönüşümleri
Örneklenmiş Fonksiyon
f(kT)
![Page 47: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/47.jpg)
1-) Toplama-Çıkarma ve sabit çarpan
)z(bY)z(aY)k(by)k(ay 2121
Bazı Önemli z – Dönüşüm Teoremleri
2) İlk Değer Teoremi 3) Son Değer Teoremi
)z(YLim)k(yLim)0(yz0k
)z(Y)1z(Lim)k(yLim)(y1zk
)5.0z/(z)z(F
Örnek: İlk ve son değerlerini bulunuz.
16.04zCos6.1z
4zSin4.0)z(F
2
![Page 48: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/48.jpg)
4) Karmaşık Dönüşüm (üstel ile çarpma)
a
zF)z(F)k(fa)k(f 11
k
5) Rampa ile çarpma
)z(F)dz
dz()z(F)k(fk)k(f n
1n
k)8.0(k5)k(f
Örnek:Verilen fonksiyonun z dönüşümünü bulunuz.
2
k
)az(
za)z(Fise)a(k)k(f
Genel hali
![Page 49: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/49.jpg)
?)z(F)k10(Cos)5.0()k(f k
22
2k
22
k
awTzaCos2z
wTzaSinz)z(Fise)wk(Cos)a()k(f
awTzaCos2z
wTzaSin)z(Fise)wk(Sin)a()k(f
Sonuç
Örnek:
![Page 50: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/50.jpg)
n
1k
knn z)k(yz)z(Yz)nk(y
6) Geciktirme:
)z(Yz)nk(y n
7) Öngörme:
)z(Yz)nk(y n
1n
0k
knn z)k(yz)z(Yz)nk(y
İki yönlü dönüşüm
Bir yönlü dönüşüm
İki yönlü dönüşüm
Bir yönlü dönüşüm
Z{y(k-2)} ?
Z{y(k+2)} ?
y(-1)=1, y(-2)=-4 olsun.
y(0)=-2, y(1)=3 olsun.
![Page 51: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/51.jpg)
Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi
çözümünü bulunuz.
k)5.0()k(uve0)2(y,1)1(y
)k(u)2k(y64.0)1k(y6.1)k(y
Fark denklemlerinin z-dönüşümü: z bölgesi çözümü
2
2
2
3
)8.0z(
z64.0z6.1
)8.0z)(5.0z(
z)z(Y
)z(U)}2(y)1(yz)z(Yz{64.0)}1(y)z(Yz{6.1)z(Y 121
![Page 52: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/52.jpg)
NOT: Denkleme dikkat edilirse önceki örnekte verilen fark denkleminin
k=k+2 yazılarak 2 ileri ötelenmiş halidir.
Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi
çözümünü bulunuz.
02.4)1(y,6.2)0(y
)2k(u)k(y64.0)1k(y6.1)2k(y
)1(zu)0(uz)z(Uz)z(Y64.0)]0(zy)z(zY[6.1)1(zy)0(yz)z(Yz 2222
2
2
2
3
)8.0z(
z64.0z6.1
)8.0z)(5.0z(
z)z(Y
k)5.0()k(u
![Page 53: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/53.jpg)
2.2 Ters z – Dönüşümü
Ters z-dönüşümünde genellikle kısmi kesirlere ayırma yöntemikullanılır.
Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Verilen karmaşık ifade basit
kesirlerine ayrılarak her bir basit kesrin ters z-dönüşümü
bulunur.
Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse basit terimlerin z-
dönüşümlerinin payında her zaman z çarpanı vardır. Bu
nedenle, Z bölgesinde verilen bir F(z) ifadesi, öncelikle
F(z)/z
haline getirilerek basit kesirlerine ayrılmalıdır.
![Page 54: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/54.jpg)
1-) Kökler reel ve ayrık ise
)5.0z).(1z(
z)z(F
Örnek
![Page 55: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/55.jpg)
)2).(1(
1)(
zzzEÖrnek
![Page 56: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/56.jpg)
)1.()2(
2)(
2
3
zz
zzzX
)k(u322k2
9)k(x kk
Örnek
Kökler reel ve çakışık ise,
![Page 57: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/57.jpg)
Karmaşık Kök DurumuKarmaşık kök durumunda da basit kesirlere ayırma yöntemi
kullanılabilir. Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse
karmaşık kökler sinüsoidal fonksiyonlarda ortaya çıkmaktadır. Bu
nedenle, karmaşık kökü olan z-bölgesindeki fonksiyonlar saf
sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal fonksiyonlara benzetilebilir.
Bu amaçla aşağıdaki z-dönüşümleri tekrar hatırlanabilir.
22
k
22
k
2
2
awazCos2z
)waCosz(z)z(Fise)wk(Cosa)k(f
awazCos2z
wazSin)z(Fise)wk(Sina)k(f
1wzCos2z
)wCosz(z)z(Fise)wk(Cos)k(f
1wzCos2z
wzSin)z(Fise)wk(Sin)k(f
![Page 58: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/58.jpg)
)k2
sin()k(fise1z
z)z(F)1
2
Örnekler:
)k2
cos()k(fise1z
z)z(F)2
2
2
NOT: sin(wk) ve cos(wk) dönüşümlerini hatırla:
![Page 59: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/59.jpg)
?)k(fise1zz
z)z(F)3
2
2
)k3
(Sin577.0)k3
(Cos)k(f
![Page 60: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/60.jpg)
?)k(f4z2z
z)z(F)4
2
2
kSinkCoskf kk
3
2)2(
3
1
3
2)2()(
![Page 61: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/61.jpg)
?)())((
)(2
kfjbazjbaz
zzF
Çözüm:
jbaz
K
jbaz
K
jbazjbaz
zzzF
*
))((/)(
Burada, karmaşık kökler kutupsal olarak, rz 2,1
Basit kesir katsayıları ise kutupsal olarak, K
Karmaşık Kök Durumu: Basit kesirlerine ayrılarak
Hesaplanırsa,
)()()()(2)( SinkSinCoskCosrKkf k
![Page 62: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/62.jpg)
42)(
2
2
zz
zzF
Çözüm:31
*
3142/)(
2jz
K
jz
K
zz
zzzF
120)1
3(tan,231r 122
305775.0,305775.0 * KKK
)()()()(2)( SinkSinCoskCosrKkf k
)30()120()30().120()2().5775.0.(2)( SinkSinCoskCoskf k
)120(5775.0)120()2()( kSinkCoskf k
Örnek:
![Page 63: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/63.jpg)
)8.08.1)(5.0(
2)(
2
2
zz
zzzF
Örnek: Ters z- dönüşümünü alınız.
4.02.04.02.05.0)8.04.0)(5.0(
2/)(
*
2 jz
K
jz
K
z
A
zz
zzzF
Çözüm:
)()()()(2)5.0()( SinkSinCoskCosrKAkf kk
![Page 64: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/64.jpg)
2)0(y,0)k(y)1k(y
Örnek: Verilen fark denklemini z dönüşümü ile çözünüz.
,...2,1,0k,12)k(y k
2.3 Fark Denklemlerinin z–Dönüşümü ile Çözümü
)0)z(Y)]0(zy)z(zY
Çözüm
![Page 65: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/65.jpg)
Örnek: Başlangıç koşulları verilen aşağıdaki fark denklemini zdönüşümü ile çözünüz.
1)1(x,0)0(x,0)k(x2)1k(x3)2k(x
kk )2()1()k(x
Çözüm
0)z(X2)]0(zx)z(zX[3)1(zx)0(xz)z(Xz 22
![Page 66: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/66.jpg)
0k0)k(x,1)2k(x)1k(x2)k(x2
Örnek: Başlangıç koşulları verilen aşağıdaki fark denklemini zdönüşümü ile çözünüz.
502
1
1 2
2
.zz
zz
z
z)z(X
)k4
(Sin2
1
2
1)k
4(Cos
2
1
2
11)k(x
kk
)z(U)z(Xz)z(Xz2)z(X2 21 Çözüm
![Page 67: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/67.jpg)
• Başlangıç koşulları sıfır alınmak kaydıyla z-bölgesinde çıkışın girişe oranıdır.
)mk(ub..)k(ub)nk(ya)1k(ya)k(y m0n1
2.4 Transfer Fonksiyonu
nn
11
mm
110
za...za1
zb...zbb
)z(U
)z(Y)z(G
G(z)Y(z)U(z)
)k(ub..)mk(ub)k(ya)1nk(ya)nk(y m0n1
n1n
1n
m1m
1m
0
a......zaz
b......zbzb
)z(U
)z(Y)z(G
![Page 68: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/68.jpg)
?G(z) )1k(u2)k(u)1k(y3)k(y4)1k(y
Örnek: Fark denklemi verilen sistemin transfer fonksiyonunu
bulunuz.
Örnek: Transfer fonksiyonu verilen sistemin fark denklemini çıkarınız.
5z4z
3z
)z(U
)z(Y)z(G
2
![Page 69: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/69.jpg)
)z(U)z(G)z(Y
)3.0z)(2.0z(
1z)z(G
Örnek: TF verilen sistemin z-dönüşümünü kullanarak birim basamak
cevabını bularak cevap eğrisini çiziniz. Kalıcı durumdaki kazancı
belirleyiniz.
2.4.1 Transfer Fonksiyonunun Verilen Sistemin verilen bir giriş
için Cevabını Bulma ve kalıcı durum kazancı
Kalıcı durum kazancı:
)z(GK Lim1z
dc
G(z)
Y(z)U(z)
kk 3.057.182.01557.3)k(y
![Page 70: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/70.jpg)
)2.0z()5.0z(
5.0z)z(G
2
Örnek:TF verilen sistemin birim impulse cevabını bularak grafiğini
çiziniz.
G(z)Y(z)U(z)
kkk 5.09.285.0k34.132.09.38)k(10)k(y
![Page 71: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/71.jpg)
)2.0z(
z)z(G
Örnek: TF verilen sistemin birim rampa cevabını bularak grafiğini çiziniz.
139.0k833.02.0139.0)k(y k
![Page 72: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/72.jpg)
2.4.2 Transfer Fonksiyonunun kutupları, sıfırları, z-düzlemi, birim çember ve kararlılık
Örnekler
az
z)z(G
)09.0z6.0z)(1z(
)2z(z)z(G
2
Örnek: TF verilen sistemin
kutup ve sıfırlarını z-düzleminde
göstererek kararlı olup
olmadığını belirleyiniz.
![Page 73: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/73.jpg)
89.0zz
z2.0z)z(G
2
2
Örnek: TF verilen sistemin kutup ve sıfırlarını z-düzleminde
göstererek kararlı olup olmadığını belirleyiniz.
![Page 74: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/74.jpg)
z-düzleminin sağ yarı ve sol yarı birim çember içerisindeki
kutupların cevaba etkileri
)4.0z)(5.0z(
z)z(G
Örnek: Verilen sistemini birim impulse cevabını bularak sağ yarı ve
sol yarı birim çember içerisindeki kutupların cevaba etkisini
belirleyiniz. Uygun olan birim yarı çember hangisidir?
G(z)Y(z)U(z)
![Page 75: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/75.jpg)
Birinci dereceden ayrık zaman sistemler ve
sürekli zaman sistemlerle benzerliği
5.0z
1)z(G
5.0s
1)s(G
Örnek: Verilen sistemlerin birim basamak cevaplarını, ilk değer,
son değer teoremi ve kalıcı durum kazancını hesaplayarak
çiziniz. Zaman sabitesi ?
![Page 76: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/76.jpg)
İkinci dereceden ayrık zaman sistemler ve
sürekli zaman sistemlerle benzerliğiÖrnek: Verilen sistemlerin birim basamak cevaplarını, ilk değer, son
değer teoremi ve kalıcı durum kazancını hesaplayarak yaklaşık
olarak çiziniz. Aşırı, kritik, düşük sönümlü sistem ?
41.0z8.0z
4.0z)z(G
2
5s2s
10)s(G
2
![Page 77: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/77.jpg)
2.5 Blok Şemalar ve Sadeleştirilmesi
Kontrol sistemlerinde birden fazla sistem (transfer fonksiyonu ) geri
beslemeli bir yapı içerisinde değişik şekillerde bağlanabilir.
Dolayısıyla indirgenerek (sadeleştirilerek) tek bir blok haline getirilerek
incelenmesi gerekir.
Sürekli zaman kontrol sistemlerinin analizinde geçerli olan blok şema
indirgeme kuralları, ayrık zamanda da geçerlidir.
Örnekler: Seri, paralel ve geri beslemeli bloklar.
![Page 78: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/78.jpg)
4.0z
1)z(H,
6.0z
z)z(G
Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin birim impulse
cevabını z-dönüşümü yardımıyla bularak cevap eğrisini çiziniz.
NOT: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sistemi, çeşitli G(z) ve H(z) ler ve çeşitli
referans girişler (impulse, basamak ve rampa gibi) için cevapları incelenebilir.
![Page 79: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/79.jpg)
1)z(H,)8.0z(z
)1z(5.0)z(G
Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin ilk değer, son değer
teoremi, kalıcı durum kazancı ve sistemin kutuplarının yeri gibi bilgileri
hesaplayarak birim basamak cevabını yaklaşık olarak çiziniz.
![Page 80: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/80.jpg)
G2
R YG1
+-
G3
H2
H1
+
-
Karmaşık blok şemaların sadeleştirilmesi: Blok şemayı
sadeleştiriniz. a-) ara sinyallerini yazıp yok ederek b-) Sinyal
taşıyarak.
![Page 81: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/81.jpg)
2.6 Sinyal Akış Şemaları ve Sadeleştirilmesi
Sürekli zaman kontrol sistemlerinin analizinde geçerli olan sinyal akış
şeması kuralları, sinyalleri ve sistemleri ayrık zamanda tanımlamak
koşuluyla ayrık zamanda da geçerlidir.
Örnekler: Sinyal akış şemasının blok şema karşılığını çiziniz.
R 1 Yo oo oo oo oo o
G1 G2 G3 G4
-H1 -H2
G5
-H3
X
![Page 82: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/82.jpg)
Örnekler: Sinyal blok şemanın sinyal akış şema karşılığını çiziniz.
![Page 83: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/83.jpg)
Örnek: Verilen sinyal akış şemasını, ara sinyallerini yazıp yok
ederek indirgeyiniz (sadeleştiriniz.)
![Page 84: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/84.jpg)
R 1 Y
X2
o oo oo oo oo oX1 X3 X4
G1 G2 G3 G4
-H1 -H3
-H2
Örnekler: Sinyal akış şemalarını sadeleştiriniz.
R 1 Yo oo oo oo oo o
G1 G2 G3 G4
-H1 -H2
G5
-H3
X
Kazanç formülü
Ayrık zaman sinyal akış şemaları da kazanç formülü ile sadeleştirilebilir.
![Page 85: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/85.jpg)
2.7 Ayrık Zaman Durum Denklemleri:İteratif ya da bilgisayarlı Çözümü
)k(u1.0
0
)k(x
)k(x
2.02.0
1.01
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
k
21
1)k(u
,5)0(x,2)0(x
Örnek: Verilen durum denklemini iteratif olarak çözünüz.
0k için
Çözüm:
1k için
)()()(
)()()1(
kDukCxky
kBukAxkx
![Page 86: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/86.jpg)
)z(BU)AzI())0(x)AzI(z)z(X 11
Durum denklemlerinin z-dönüşümü ile çözümü: Durum
değişkenlerinin başlangıç değeri x(0) vektörü olsun.
)()()(
)()()1(
kDukCxky
kBukAxkx
![Page 87: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/87.jpg)
u(k) 0
5
)k(x
)k(x
01
23
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
0
2x(0)
)2()k(u k
)2z(
z5)2z(
z5
z2
z2
)z(X
22
Örnek: Verilen durum denklemini z-dönüşümü yardımıyla çözünüz.
![Page 88: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/88.jpg)
2.7.3 Durum Denkleminden
Transfer Fonksiyonuna Dönüşüm
)()()(
)()()1(
kDukCxky
kBukAxkx
DB)AzI(C)z(U
)z(Y)z(G
)z(UDB)AzI(C)z(Y
1
1
![Page 89: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/89.jpg)
4u(k)(k)x
(k)x 32)k(y,)k(u
1
2
)k(x
)k(x
04
23
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
2
1
8z3z
5z19z4
)z(U
)z(Y)z(G
2
2
Örnek
G(z)=?
![Page 90: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/90.jpg)
)(2)(5)1()2(2)3(3 kukykykyky
)k(u
3
20
0
)k(x
)k(x
)k(x
3
2
3
1
3
5100
010
)1k(x
)1k(x
)1k(x
3
2
1
3
2
1
)k(x
)k(x
)k(x
001)k(y
3
2
1
2.7.4 Fark Denkleminden Durum Denklemine DönüşümVerilen fark denkleminin durum denklemini çıkarınız. NOT: giriş sadece u(k)
![Page 91: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/91.jpg)
)k(u4)k(y3)1k(y2)2k(y
)k(x
)k(x 01)k(y),k(u
4
0
)k(x
)k(x
23
10
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
2
1
Örnek:Aşağıdaki fark denkleminin durum denklemini çıkarınız.
![Page 92: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/92.jpg)
5.02
12)(
23
2
zzz
zzzG
Kanonik Yöntem
Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını (durum
diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.
2.7.5 Transfer Fonksiyonundan Durum Denklemlerini Elde Etme
)k(x
)k(x
)k(x
121)k(y),k(u
0
0
1
)k(x
)k(x
)k(x
010
001
5.012
)1k(x
)1k(x
)1k(x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
![Page 93: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/93.jpg)
)1z)(8.0z)(5.0z(
)2z(z)z(G
2
Seri Yöntem
Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını (durum
diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.
![Page 94: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/94.jpg)
)8.0z(
6.0z
)5.0zz(
z)z(G
2
Paralel Yöntem
Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını
(durum diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.
![Page 95: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/95.jpg)
-6
T
2
5
T
3
T
4
-2
2.7.6 Blok Diyagramından Durum Denklemi: D.Denklemini yazınız
![Page 96: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/96.jpg)
T T T
-2
-3
-1
1
Örnek: Durum Denklemini yazınız.
![Page 97: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/97.jpg)
3.1 Ayrıklaştırma Yöntemlerinin Laplace Karşılığı ve Kararlılığı
T
)k(x)1k(x)t(x
T
zs
1 sTz 1
İleri Fark Yöntemi ya da Sol Kenar Kuralı
Ya da
Bölüm 3: Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Analizi
Im(s)
Re(s)
Kararlı bölge
Kararlı bölge
Re(z) 1
Im(z)
0)Re( s 01
Re
T
z
jyxz
101
xT
x
İleri fark yönteminin kararlılığı:
İçin
![Page 98: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/98.jpg)
Geri Fark Yöntemi ya da Sağ Kenar Kuralı
T
)1k(x)k(x)t(x
Tz
1zs
0Tz
1zRe
22
2
2
1
2
1
yx
Im(s)
Re(s)
Kararlı bölge
Re(z)
Im(z)
Geri Fark Yönteminin kararlılığı
Ts1
1z
0)Re( s
![Page 99: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/99.jpg)
Merkezi Fark Yöntemi ya da Yamuk Kuralı (Bilineer Dönüşüm)
)1k(x)k(x2
T)1k(y)k(y,dt)t(x)t(y
s2
T1
s2
T1
z
Yamuk kuralı (bilineer dönüşüm) ile ayrıklaştırmanın kararlılığı;
Im(s)
Re(s)
Kararlı bölge
Re(z)
Im(z) 01z
1z.
T
2Re
122 yx
s ve z dönüşümleri karşılaştırılarak1z
1z
T
2s
![Page 100: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/100.jpg)
Örnek: Verilen sistemleri farklı yöntemlerle dönüştürünüz.
a-) s ve z düzlemlerindeki kutup-sıfır yerlerini ve kararlılıklarını değerlendiriniz.
b-) hem analog hem de ayrıklaştırdığınız sayısal sistemin birim
basamak cevabını bulunuz. NOT: Uygun örnekleme peryodunu seçiniz.
5.0z
z)z(G
2s
1)s(G
![Page 101: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/101.jpg)
4s2s
1)s(G
2
1zz
z5.0)z(G
2
Örnek: Verilen sistemleri farklı yöntemlerle dönüştürünüz.
a-) s ve z düzlemlerindeki kutup-sıfır yerlerini ve kararlılıklarını değerlendiriniz.
b-) hem analog hem de ayrıklaştırdığınız sayısal sistemin birim
basamak cevabını bulunuz. NOT: Uygun örnekleme peryodunu seçiniz.
![Page 102: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/102.jpg)
100s16s
100)s(G
2
Örnek: İkinci dereceden bir sistemin çeşitli yöntemlerle ayrıklaştırılmış
karşılıkları.
.s05.0T
0 0.5 10
0.5
1
1.5
t
0 0.5 10
0.5
1
1.5
0 0.5 10
0.5
1
1.5
t
t
İleri fark
Geri fark
Merkezi fark
45.0z2.1z
25.0)z(G
21
1z8.2z05.2
z25.0)z(G
2
2
2
453.0z282.1z
0427.0z085.0z0427.0)z(G
2
2
3
![Page 103: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/103.jpg)
3.2 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinde
Kararlılık Analizi
• Ayrık zaman sistemlerin kararlı olabilmesi için karakteristik
denkleminin köklerinin birim çember içinde olması gerektiği
bilinmektedir.
• Birim çember dışında bulunan herhangi bir kutup sistemi
kararsız yapar.
• Yüksek dereceden sistemlerin köklerini bulma zorluğu
nedeniyle bunun yerine Routh-Hurwitz ya da Jury kriteri ile
ayrık zaman sistemlerin kararlılığı belirlenebilir.
• Routh-Hurwitz kriteri ayrık zaman sistemlerin kararlılık
analizine doğrudan uygulanamaz. Ancak, bilineer dönüşüm
kullanılarak verilen ayrık zaman sistemin sürekli zaman
karşılığı yaklaşık olarak bulunabilir ve bulunan analog
sisteme Routh-Hurwitz kriteri uygulanabilir.
• Burada Jury kriterini açıklamak yeterli olacaktır.
![Page 104: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/104.jpg)
JURY Kriteri ile Kararlılık Analizi
0...)( 11
10
nnnn azazazazP
Sistemin karakteristik denklemi P(z) elde edilirse aşağıdaki Jury
tablosu oluşturulabilir.
Jury tablosundaki katsayılar, aşağıdaki determinantlarla bulunur.
10
1nn0 aa
aab
10
2n1n0 bb
bbc
20
2nn1 aa
aab
![Page 105: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/105.jpg)
JURY Kararlılık Kriteri
a0>0 olmak koşuluyla n. dereceden bir sistemin kararlı
olabilmesi için aşağıdakilerden sıra ile n+1 adet koşulun
sağlanması gerekir.
NOT: Şartlardan biri sağlanmazsa sistem kararsızdır. P(-1)=0 ya
da P(1)=0 olduğunda diğer şartlar sağlanıyorsa marjinal
kararlıdır (yani z=1 de kutbu vardır), aksi halde kararsızdır.
![Page 106: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/106.jpg)
008.03.007.02.1)( 234 zzzzzP
Örnek: Karakteristik denklemi verilen sistemin kararlılığını
JURY kriteri ile inceleyiniz.
94.0c315.0c,994.0b176.1b075.0b204.0b 203210
![Page 107: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/107.jpg)
02.01.01.1)( 23 zzzzP
Örnek: Karakteristik denklemi verilen sistemin kararlılığını
JURY kriteri ile inceleyiniz.
96.0b12.0b 20
![Page 108: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/108.jpg)
3679.0z3679.1z
)2642.0z3679.0(K)z(G
2p
Örnek: Kapalı çevrim kontrol sisteminin kararlı olabilmesi için
K’ nın alabileceği değer aralığını JURY kriteri ile belirleyiniz
0K3925.2
R(z) E(z) Y(z)+
-
U(z)K Gp(z)
177.5K3925.2 0K
38.26K
![Page 109: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/109.jpg)
3.3 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Tipi
ve Kalıcı Durum Hataları
Şekildeki birim geri beslemeli kontrol sisteminde açık çevrim transfer
fonksiyonu G(z)H(z), kutup ve sıfırları cinsinden aşağıdaki gibi
yazılabilir.
)pz()1z(
)zz(K
)z(H)z(G
ir
j
Burada, zj- açık çevrim sistemin sıfırları, pi-açık çevrim sistemin
kutuplarıdır ve r ise sistemin tipini gösterir. Analog sistemlerde olduğu
gibi sayısal kontrol sistemlerinde de kalıcı durum hataları, sistemin
tipine göre değerlendirilebilir.
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
![Page 110: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/110.jpg)
Konum hata katsayısı ve basamak hatası
)z(R)z(H)z(G1
1)1z(lim)z(E)1z(lime
1z1zss
)z(R)z(H)z(G1
1)z(E
Hata fonksiyonu,
Sistem tipine göre basamak hatası yorumları?
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
Y (z)
Son değer teoremi:
kK sse
![Page 111: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/111.jpg)
Hız hata katsayısı ve rampa hatası:
Sistem tipine göre rampa hatası yorumları?
)z(R)z(H)z(G1
1)1z(lim)z(E)1z(lime
1z1zss
Son değer teoremi:
vK sse
![Page 112: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/112.jpg)
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemlerinin tipini ve ilgili kalıcı
durum hatalarını bulunuz. E=R-Y’
1)z(H,2.0z2.1z
1.0z)z(G)b
1z
8.0)z(H,
5.0z
z)z(G)a
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
Y (z)
![Page 113: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/113.jpg)
Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin ilk değer, son değer
teoremi, sistem tipi ve kalıcı durum hatası, sistemin aşırı-kritik-düşük
sönümü gibi bilgileri hesaplayarak birim basamak cevabını yaklaşık
olarak çiziniz.
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)1)z(H,
1z5.1z
)5.0z(z)z(G
2
![Page 114: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/114.jpg)
Ayrık zaman transfer fonksiyonu verilen ya da sürekli zamandaki transfer
fonksiyondan ayrıklaştırılarak elde edilen bir sisteme sayısal PI, PD ya da
PID bağlanarak çeşitli referans girişler için cevapları analog kontrol
sistemlerdekine benzer şekilde bulunabilir.
4.1 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Tasarım Esasları
R(s) Y(s)+
-G(s)
E(s)
Örnek: Sürekli zaman sistemlerden hatırlatma:
Verilen ikinci dereceden sürekli zaman kontrol sisteminin birim basamak cevabını
inceleyiniz. İlk değer ve son değer teoremi, kalıcı durum kazancı, aşırı, kritik, düşük
sönüm durumu ve kalıcı durum hatası, yükselme, yerleşme süresi, maksimum aşma
vs. belirleyiniz.
1s2s
4)s(G
2
![Page 115: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/115.jpg)
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
81.0z8.1z
04.0)z(G
2
Örnek: Önceki örnekte verilen sürekli zaman sistemin T=0.1 s örnekleme
peryodu ile ve ileri fark yöntemi ile ayrıklaştırılmış karşılığı aşağıda
verilmiştir. Kontrol sisteminin birim basamak cevabını inceleyiniz.
Sönüm oranı ve doğal frekans ve dolayısıyla yükselme ve yerleşme süresi ile
maksimum aşmayı ayrık zaman sistemin transfer fonksiyonundan tanımlamak
mümkün mü?
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
![Page 116: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/116.jpg)
1
)()(
z
azKzGc
PI kontrolörlerin, genel olarak sistemin tipini artırarak kalıcı durum hatalarını
iyileştirdiği bilinmektedir.
Sayısal PI kontrolörler, analog PI kontrolörler ayrıklaştırılarak elde edilebilir.
Örnek: a-) zaman bölgesinden PI kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman
denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.
Sayısal PI Kontrolörler
4.2 Ayrık Zaman PID Kontrolörler
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
![Page 117: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/117.jpg)
b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PI kontrolörü
ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz ve sayısal PI kontrolörün MATLAB
programını yazınız.
1
)()(
z
azKzGc
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
![Page 118: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/118.jpg)
)az(K)z(Gc
PD Kontrolör: Kontrol sisteminin geçici rejim kriterlerinden özellikle
maksimum aşmayı düzelttiği bilinmektedir.
Sayısal PD kontrolörler, analog PD kontrolörler ayrıklaştırılarak elde
edilebilir.
z
)az(K)z(Gc
Sayısal PD Kontrolörler
Örnek: a-) zaman bölgesinden PD kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman
denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
![Page 119: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/119.jpg)
b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PD kontrolörü
ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz. MATLAB programını yazınız.
)az(K)z(Gc
z
)az(K)z(Gc
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
![Page 120: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/120.jpg)
PID Kontrolör: Kontrol sisteminin geçici+kalıcı rejim kriterlerini (aşma-
yerleşme-yükselme zamanı) + kalıcı durum hatası düzeltir.
Sayısal PID kontrolörler, analog PID kontrolörler ayrıklaştırılarak elde
edilebilir.
)1z(
)az)(az(K)z(G 21c
c
Sayısal PID Kontrolörler
Örnek: a-) zaman bölgesinden PID kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman
denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.
b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PID kontrolörü
ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz.
![Page 121: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/121.jpg)
• Kontrol edilecek sistemler genellikle sürekli zaman (analog)
sistemlerdir. Günümüzde kontrolörler ise bilgisayar ya da
mikrokontrolörler vs. gibi genellikle sayısal birimlerdir.
4.3 Sayısal Kontrol Sistemi Tasarımı
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)PID
programıTutma
T Örnekleme
Buna göre Sayısal kontrolörlerin tasarımında iki yaklaşım izlenebilir.
1. Kontrolör, önce analog olarak tasarlanır ve sonra ayrıklaştırılarak bilgisayarprogramları ile gerçekleştirilir. Kontrolörü ayrıklaştırmak için merkezi farkyöntemi tercih edilir. Kısaca,
|)(
)()(
zFs
cc sGzG
![Page 122: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/122.jpg)
2. Önce sistem ayrıklaştırılır ve sonra kontrolör ayrık zamanda
tasarlanabilir. Sistemi ayrıklaştırmak için ileri, geri ve merkezi farktan
başka çeşitli yöntemler kullanılabilir.
Bu tasarım yaklaşımı ile diğer ayrıklaştırma yöntemlerinden bazıları
sonraki bölümlerde açıklanacaktır.
Analog sistem
Fark Denklemi
Program
Analog PID tasarla
Ayrıklaştır
Sistemi ayrıklaştır
Ayrık kontrolör tasarla
![Page 123: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/123.jpg)
Örnek: Şekilde verilen sayısal kontrol sisteminde sönüm oranı
ve sönümsüz doğal frekansı olacak şekilde PI kontrolörü
tasarlayınız, ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız.
NOT: İkinci dereceden standart sisteme benzeterek PI tasarlayabilirsiniz.
10wn
2s
1)s(Gp
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
8.0
4.3.1 Analog Sisteme Analog Kontrolörü Tasarlayıp
Sonra Ayrıklaştırma Yöntemi
s
)14.7s(14)s(Gc
![Page 124: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/124.jpg)
|1z
1z
T
2s
cs
)14.7s(14)z(G
1z
)474.0z(19)z(Gc
ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız. T=0.1
![Page 125: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/125.jpg)
Örnek: Şekilde verilen sayısal kontrol sisteminde sönüm oranı
ve sönümsüz doğal frekansı olacak şekilde PD kontrolörü
tasarlayınız, ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız.
NOT: İkinci dereceden standart sisteme benzeterek PD tasarlayabilirsiniz.
10wn
)2s(s
25)s(Gp
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
8.0
![Page 126: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/126.jpg)
![Page 127: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/127.jpg)
R(z) Y(z)+
-Gp(z)
E(z)Gc(z)
100s16s
100)s(T
2ref
Örnek: Verilen sayısal sistem için kontrol sisteminin kutuplarının sönüm oranı
ve doğal frekansı olacak şekilde bir sayısal PI kontrolör
tasarlayınız. Analog referans transfer fonksiyonunu, sayısala
dönüştürerek sayısal kontrolörü tasarlayabilirsiniz.
4.0z
6.0)z(Gp
8.0 10wn
45.0z2.1z
25.0)z(T
2ref
İleri fark ile T=0.05
4.3.2 Analog Sistemi Ayrıklaştırarak Sayısal Bölgede
Kontrolör Tasarımı
12s
12)s(Gp
İleri fark ile T=0.05
![Page 128: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/128.jpg)
1z
)25.0z(334.0)z(Gc
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
![Page 129: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/129.jpg)
R(z) Y(z)+
-Gp(z)
E(z)Gc(z)
100s16s
100)s(T
2ref
Örnek: Verilen sayısal sistem için kontrol sisteminin kutuplarının
sönüm oranı ve doğal frekansı olacak şekilde bir
sayısal PD kontrolör tasarlayınız.
8.0 10wn
45.0z2.1z
25.0)z(T
2ref
İleri fark ile T=0.05
9126.0z9.1z
05.0)z(G
2p
5s2s
20)s(G
2p
İleri fark ile T=0.05
![Page 130: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/130.jpg)
0 50
0.5
1
1.5
)66.0z(14)z(Gc
![Page 131: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/131.jpg)
Referans
giriş
r(k)
Sistem
çıkışı
y(t)
Algılayıcı
+
-
YükselticiSayısal
Denetleyici
Hata
e(k)
Denetim
sinyali
v(t)
Sistem
girişi
u(t)
Sistem
ADC
DAC
Tutma
Örnekleme
5.1 Örnekleme ve Tutma
Bölüm 1 de blok şeması verilen aşağıdaki kapalı çevrim sayısal kontrol
sistemlerinin analiz ve tasarımında Örnekleme ve Tutma işlemleri önemli
bir yer tutar.
Bölüm 5
Örneklenmiş Verili Kontrol Sistemleri
![Page 132: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/132.jpg)
Şekildeki gibi sürekli zaman bir sinyalin T örnekleme peryodu ile
örneklendiğini ve sıfırıncı dereceden bir tutma devresi ile sürekli
zamana geri dönüştürüldüğünü yani orijinal analog sinyalin geri elde
edilmeye çalışıldığını kabul edelim. Tutma devreleri yüksek dereceden
olabilir ancak burada sadece sıfırıncı dereceden tutma ele alınacaktır.
Örnekleme ve Tutma
![Page 133: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/133.jpg)
Sıfırıncı dereceden tutucu ile tutulmuş sinyal, darbe zincirleridir.
Bu sinyal, ötelenmiş basamaklarla tanımlanır ve LD alınırsa,
0k
kTsTs e)kT(xes
1
s
1)s(X
![Page 134: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/134.jpg)
Buna göre ikinci terim ayrılarak X*(s) ile gösterilirse,
0
)()(*
k
kTsekTxsX
Örneklenmiş sinyalin Laplace Dönüşümü ortaya çıkar. Diğer taraftan
örneklenmiş sinyallerin Z-dönüşümü,
0k
kTsTs e)kT(xes
1
s
1)s(X
sTez
0k
kz)kT(x)z(X
olduğu görülür ve standart z- dönüşümü olarak bilinir.
Olduğundan örneklenmiş sinyalin LD (yıldızlanmış sinyal) ile z-
dönüşümü alınmış sinyal arasındaki ilişkinin
)s(Gs
e1
)s(X
)s(Xh
Ts
*
Birinci terim ayrılırsa tutma devresinin transfer fonksiyonu elde edilir.
![Page 135: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/135.jpg)
Sonuç olarak örnekleme ve sıfırıncı dereceden tutma devresi
aşağıdaki blok şema ile gösterilebilir.
Buna göre bir analog sistemin önüne örnekleme ve sıfırıncı dereceden
tutma (zoh) yerleştirilirse artık sistem sayısaldır ve bu sistemi zoh
yöntemi ile sayısal karşılığı,
)(1
)( sGps
eZzG
sT
Dönüşümü ile bulunur ve bu yönteme zoh ile ayrıklaştırma yöntemi
denir. İleride açıklanacaktır.
Buradan, zoh yöntemi ile ayrıklaştırmada, zaman bölgesinde ya da s-
bölgesinde verilen bir fonksiyonun yıldızlı dönüşümü ve sonra da z-
dönüşümü alınabilir.
![Page 136: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/136.jpg)
te)t(f
TT1ze
*
ez
z
ez1
1)s(F)z(F sT
Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü ve z
dönüşümünü bulunuz.
0
)()(*
k
kTsekTxsX
Zaman bölgesinde verilen sinyal örneklenerek yıldızlı dönüşümü oradan da
z- dönüşümünü almak için aşağıdaki eşitlik elde edilmişti.
Zaman Bölgesinden Yıldızlı Dönüşüm ve z-dönüşümü
Not: örnekleyerek z- dönüşümünün doğrudan yazılabileceğine dikkat ediniz. Ancak
yıldızlı dönüşüm alarak z- dönüşümüne geçiniz.
![Page 137: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/137.jpg)
t)t(x Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü
ve z dönüşümünü bulunuz.
2)1(
1)(
Ts
Ts
eTesG
2)1(
)(
z
zTzG
Not: örnekleyerek z- dönüşümü doğrudan yazılabilir ancak yıldızlı dönüşüm alarak z-
dönüşümüne geçiniz.
![Page 138: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/138.jpg)
)wt(Cos)t(x
Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü
ve z dönüşümünü bulunuz.
Not: örnekleyerek z- dönüşümünün doğrudan yazılabileceğine dikkat ediniz. Ancak
yıldızlı dönüşüm alarak z- dönüşümüne geçiniz.
![Page 139: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/139.jpg)
Örnek: Şekildeki gibi bir analog sistemini girişine ADC ve DAC
bağlanırsa sistemin blok şeması nasıl çizilebilir ?
2s
1)s(Gp
Olur ve buradan G(z) bulunursa bu yönteme zoh ile ayrıklaştırma
yöntemi denir.
Dolayısıyla öncelikle Laplace bölgesinde verilen sürekli zaman
bir fonksiyonun yıldızlı ve z- dönüşümünün bulunuşu bilinmelidir.
)2s(s
1)e1(Z
2s
1
s
e1Z)z(G)s(Gp
s
e1Z)z(G sT
sTsT
Bu durumda
![Page 140: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/140.jpg)
5.2 Laplace Bölgesinden Yıldızlı ve z- DönüşümüYukarıda, zaman bölgesindeki ifadesi bilinen sürekli zaman bir sinyalin
örneklenmişinin Laplace dönüşümü (yıldızlı dönüşümü) alınabilmekte ve
yıldızlı dönüşümden de z dönüşümüne geçilebilmektedir.
Laplace dönüşümü verilen bir sürekli zaman sinyalin, yıldızlı dönüşümü
rezidü teoremi kullanılarak aşağıdaki gibi alınabilir.
)(1
1)(Rezidü )(
sTeEsE
Burada, Rezidü katsayısı, basit kesirlere ayırma işlemindeki katsayılara
karşılık gelmektedir. İse fonksiyonun kutuplarıdır. Buna göre basit bir
fonksiyonun yıldızlı ve z- dönüşümü,
Sonuç olarak, zaman bölgesinde veya Laplace bölgesinde verilen sürekli
zaman bir sinyalin örneklenmişinin Laplace dönüşümü ve oradan z-
dönüşümü, hem zaman bölgesinden hem de s- bölgesinden alınabilir.
T21T2)2s(T ez
z
ze1
1)z(E
e1
1)s(Eise
2s
1)s(E
![Page 141: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/141.jpg)
ez
z
2
1
ez
z
1z
z
2
1)z(E
T2T
Örnek:Laplace dönüşümü verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü ve
z dönüşümünü bulunuz.
)2s)(1s(s
1)s(E
?)z(Eve?)s(E
Reel ve ayrık kök durumu
![Page 142: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/142.jpg)
2
1)(
ssG
Örnek: Laplace bölgesi ifadesi verilen fonksiyonun yıldızlı
dönüşümünü ve z dönüşümünü bulunuz.
m katlı kökler için ve katlı kökler olmak üzere yıldızlı ve z-dönüşümü,
i
sTm emsG
)(1
1-m
1
1
d
d
)!1(
1)(
i
Tm ezmzG
11
1-m
1
1
d
d
)!1(
1)(
Reel ve katlı kök durumu
221
1
2 )1()1()(
)1()(
z
Tz
z
TzzG
e
TesG
Ts
Ts
i
![Page 143: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/143.jpg)
Karmaşık kök durumu
4s
2)s(G
2
Örnek: Laplace bölgesi ifadesi verilen fonksiyonun yıldızlı
dönüşümünü ve z dönüşümünü bulunuz. Euler bağıntısı:
Karmaşık basit kesirlerine ayrılarak reel ayrık köklerdeki gibi elde edilebilir.
)x(jSin)x(Cose
)x(jSin)x(Cosejx
jx
![Page 144: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/144.jpg)
5.3 s ve z- Düzlemleri Arasındaki İlişki
js 2,1
T)jw(sT2,1 eez
s-düzleminde olarak verilen karmaşık bir noktanın z-düzlemindeki
yeri,
jw
x
jy
![Page 145: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/145.jpg)
z-düzleminde jbaz olarak verilen karmaşık bir noktanın
s-düzlemindeki yeri,
rz
T1ww
,T
rlnw
2n
n
jw
x
jy
![Page 146: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/146.jpg)
Örnek: Verilen analog transfer fonksiyonunu zpm ile analogdan sayısala
dönüştürünüz, G(z)=?. T=0.1
Sıfır-Kutup Eşleştirme Yöntemi (zpm)
sTez bağıntısından yararlanarak bir sistemin kutup ve sıfırları ayrı
ayrı dönüştürülürse sıfır-kutup eşleştirme zpm yöntemi ile dönüşüm
denir.
NOT: zpm yönteminde kalıcı durum kazançları da eşitlenmelidir vs. ancak
burada ayrıntısına girilmeyecektir.
)5s2s(s
1s)s(G
2
![Page 147: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/147.jpg)
9.0z6.0z
2.0z)z(G
2
Örnek: Verilen sayısal transfer fonksiyonunu zpm ile sayısaldan analoğa
dönüştürünüz, G(s)=? . T=0.1
![Page 148: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/148.jpg)
Şekilde s-düzlemindeki çeşitli noktaların z-düzlemindeki
karşılıkları verilmiştir. Buradan, s-düzlemindeki sanal eksenin
yani kritik kararlılık sınırının, z-düzleminde birim çembere
karşılık geldiği görülmektedir. Dolayısıyla z düzleminde birim
çemberin içi kararlılık bölgesidir. S-düzleminde kutuplar sola
doğru uzaklaştıkça bağıl kararlılık artarken z-düzleminde
kutuplar merkeze (orjine) yaklaştıkça kararlılık artar.
![Page 149: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/149.jpg)
632.0zz
264.0z368.0)z(G,
1ss
1)s(G
22
Örnek: verilen sistemlerin ζ, wn ve t değerlerini karşılaştırınız.
Sayısal sistem, analog sistemin T=1 saniye ile örneklenmiş karşılığıdır.
Bu karşılığın bulunuşu ileride açıklanacaktır.
![Page 150: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/150.jpg)
• Ayrık zaman kontrol sistemlerinin zaman bölgesi analizi,
sürekli zaman sistemleri ayrık zamana dönüştürme
yöntemleri (geri, ileri ya da merkezi fark yöntemi ile
örnekleme-tutma yöntemi gibi) kullanılarak yapılabilir.
• Örnekleme-tutma yöntemi ile ayrıklaştırma yapılırken
(örneklenmiş veri kontrol sistemleri de denir) önceki
bölümde incelenen örnekleme ve tutma devrelerinin
modellerine dikkat etmek gerekir.
• Bu amaçla, yıldızlı dönüşüm alınırken dikkat edilmesi
gereken bazı özellikleri aşağıda verilmiştir.
*A**A) 1
*B.*AAB*B.A)3*
**C.AB**C.B.A)4
*C.*B.*A**C.*B.A)5
*B.*A*)*B.A()2
5.4 Açık çevrim ayrık zaman kontrol sistemleri
![Page 151: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/151.jpg)
Örnek: Şekilde verilen açık çevrim sürekli zaman sistemin,
a-) Sürekli zamanda,
b-) İleri fark yöntemi ile ayrıklaştırarak,
T=0.1 s 1
1
s)s(Gp
U(s) Y(s)
![Page 152: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/152.jpg)
1
1
s)s(Gp
U(s) Y(s)
s
e)s(G
sT
h
1T
U*(s) )s(U
c-) Örnekleme ve tutma yöntemi (zoh) ile ayrıklaştırarak, birim basamak
cevabını bulunuz.
kTe)k(y 1
![Page 153: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/153.jpg)
Önceki örnekte bir analog sistemin örnekleme tutma yöntemi ile
ayrıklaştırma şekli verilmiştir. Aşağıda, seri bağlı iki sistemin farklı
örnekleme noktaları için ayrıklaştırma esasları incelenmiştir.
)z(G)z(G)z(U
)z(Y)z(GT 21
Örnek: Şekilde seri bağlı iki analog sistemin her ikisi de girişlerinden
örnekleme-tutma devreleri ile ayrıklaştırılmıştır. Varsa eşdeğer i
bulunuz.
Çeşitli Açık Çevrim Kontrol Sistemlerinin Analizi
)z(GT
![Page 154: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/154.jpg)
Örnek: Seri bağlı iki analog sistem sadece girişinden örneklenirse,
)z(GG)z(U
)z(Y)z(GT 21
?)z(GT
![Page 155: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/155.jpg)
Örnek: Seri bağlı iki analog sistem ara sinyalden örneklenirse,
)z(UG).z(G)z(Y 12
?)z(GT
![Page 156: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/156.jpg)
4s
2)s(2Gp,
1s
1)s(1Gp
Örnek: Verilen analog sistemlerin sadece girişinden örneklendiğini ve
tutulduğunu dikkate alarak ayrıklaştırınız ve birim basamak cevabını
bulunuz. T=0.1 s
![Page 157: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/157.jpg)
Örnek Şekilde verilen açık çevrim sistemin birim basamak cevabını bulunuz.
Denetleyicinin modeli aşağıdaki fark denklemi ile tanımlanmıştır.
)k(e)k(e)k(u 12
1
1)(
ssG p
,...,,k,ee
)e()k(u)k(
e
e)k(y kT
T
T
T
T
321121
![Page 158: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/158.jpg)
Kapalı çevrim ayrık zaman kontrol sistemleri incelenirken bazı
kurallara dikkat edilerek varsa transfer fonksiyonları, transfer
fonksiyonları yoksa çıkış ifadeleri elde edilebilir.
Aksi halde bu sistemlerin analizinde zorluklarla karşılaşılabilir.
1-) Her bir örnekleyicinin giriş ve çıkışına sinyal isimleri verilir.
Örneğin giriş u ise çıkışı u* olur.
2) Her bir örnekleyicinin girişi ve sistemin çıkışı örnekleyici
çıkışları ve sistem girişi cinsinden yazılır.
3-) Bu denklemlerden “*”’ lı dönüşümü alınarak transfer
fonksiyonu ya da çıkış ifadesi elde edilebilir.
5.5 Kapalı Çevrim Örneklenmiş Verili Kontrol Sistemleri
Kurallar
![Page 159: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/159.jpg)
)z(GH
)z(G
)z(R
)z(Y)z(T
)s(*GH
)s(*G
)s(*R
)s(*Y)s(*T
11
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminde hata sinyali E(s)
örneklenmiştir (örnekleme-tutma). Varsa eşdeğer transfer fonksiyonunu yoksa
çıkış ifadesini bulunuz.
R(s) Y(z)+
-Gp(s)
E(s)Gh(s)
H(s)
T
E*(s)
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s)
H(s)
![Page 160: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/160.jpg)
])46.0(1[667.0)k(y k
Örnek: Verilen kapalı çevrim sisteminde hata sinyali E(s) örneklenmiştir
(örnekleme-tutma). Birim basamak cevabını bulunuz ve analog sistemin birim
basamak cevabı ile karşılaştırınız. T=0.1 s.
2s
4)s(Gp
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s) R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s)Gh(s)
T
E*(s)
82.0z
36.0)z(G
46.0z
36.0
)z(G1
)z(G)z(T
1z
z.
46.0z
36.0R.TY
![Page 161: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/161.jpg)
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı çevrim
transfer fonksiyonunu bulunuz.)
)s(*G)s(*GH
)s(*G)s(*G
)s(*R
)s(*Y)s(*T
c
c
1 )z(G)z(GH1
)z(G)z(G
)z(R
)z(Y)z(T
c
c
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s) Sayısal kontrolörADC DAC
H(s)
![Page 162: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/162.jpg)
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı çevrim
transfer fonksiyonunu bulunuz.)
R(z)Y(s)
+
-Gp(s)
E(z) Sayısal kontrolör
ADC
DAC
H(s)
![Page 163: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/163.jpg)
Örnekler: Aşağıdaki kapalı çevrim kontrol sistemlerinin varsa transfer
fonksiyonlarını yoksa çıkış ifadelerini bulunuz.
R(s)Y(s)
+
-Gp(s)
E(s)ADC DAC
H(s)
Gc(s)
![Page 164: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/164.jpg)
R(s) +
-
E1(s) E1*(s) G1(s)
+
- T
E2(s) E2*(s) G2(s)
Y(s)
H(s)
T
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı
çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz.)
)s(*HG)s(*G).s(*G
)s(*G).s(*G
)s(*R
)s(*Y)s(*T
221
21
1
)z(HG)z(G).z(G
)z(G).z(G
)z(R
)z(Y)z(T
221
21
1
![Page 165: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/165.jpg)
![Page 166: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/166.jpg)
Ayrık zaman kontrol sistemlerin köklerin yer eğrisinin çiziminde, analog
sistemlerdeki kurallar geçerlidir. Bunlar tekrarlanırsa,
• Bilindiği gibi KYE, kontrol sisteminin AÇTF’ undan yararlanarak
çizilir. KYE, açık çevrim transfer fonksiyonundaki K kazancının
değişimine göre kapalı çevrim kutuplarının değişimini gösteren
eğrilerdir.
6.1 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin KYE
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
K
5.0z
1)z(H
,1z
z)z(G
Örnek: Verilen sistemin KYE çiziniz.
![Page 167: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/167.jpg)
)z(H)z(G
1K
için0K)1k2()z(H)z(G
Açı ve Genlik Koşulu
KYE çiziminde ve kontrolör tasarımında açı ve genlik koşulu
son derece önemlidir.
Açı Koşulu
Genlik Koşulu
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
![Page 168: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/168.jpg)
Örnek: z=0.5+j0.5 noktası, verilen sistemin KYE üzerinde midir?
Üzerinde ise KYE’ ni bu noktadan geçirecek olan K kazanç değeri
nedir?
1z
1)z(H,
4.0z
7.0z)z(G
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
![Page 169: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/169.jpg)
2-) K>0 için; seçilen sx test noktasının sağ tarafında gerçek eksen üzerinde
tek sayıda kutup ve sıfır varsa o nokta KYE üzerindedir. Bu sonuç açı
koşulu uygulanarak kolayca görülebilir.
1-) Bir sistemin KYE’ nin dal sayısı, AÇTF’ nun kutuplarının sayısı kadardır ve
KYE,
• K=0 için AÇTF’ nun kutuplarında başlar, K=sonsuz için sıfırlarında sona erer.
Örnek: Verilen sistem için iki kuralı uygulayınız.
1z
1)z(H,
4.0z
7.0z)z(G
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
KYE Çizim kuralları
![Page 170: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/170.jpg)
0dz/dKve)z(H)z(G
1K
3-) Gerçek eksenden ayrılış ve gerçek eksene varış noktaları
aşağıdaki denklemin kökleri arasındadır.
Örnek: Verilen sistem için 3. kuralı uygulayınız.
1z
1)z(H,
4.0z
7.0z)z(G
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
![Page 171: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/171.jpg)
4-) KYE dallarının yaklaştığı asimptotlar varsa bu asimptotların
açıları,
mn
k
)12(
mn
zipjn
j
m
i
1 1
)Re()Re(
ve asimptotların
gerçek ekseni kestiği noktalar,
Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.
8.0z
1)z(H,
5.0zz
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
![Page 172: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/172.jpg)
5-) KYE dallarının karmaşık kutuplardan ayrılış ve karmaşık sıfırlara
varış açıları,
Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.
8.0z
1)z(H,
5.0zz
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
Açısı bulunacak kutba (ya da sıfıra) açı koşulu uygulanarak bulunur.
![Page 173: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/173.jpg)
6-) KYE’ nin birim çemberi kesme noktaları Jury kriterinden
bulunabilir. Jury kriterinin marjinal kararlılık koşulu uygulanır.
Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.
8.0z
1)z(H,
5.0zz
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
![Page 174: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/174.jpg)
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminin KYE çiziniz
25.0z
)4z(K)z(H)z(KG)2
)5.0z)(1z(
K)z(H)z(KG)1
2
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
![Page 175: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/175.jpg)
6.2 Tasarım Yaklaşımları
Önceki bölümlerde sayısal kontrol sistemlerinin tasarımında
aşağıdaki iki yaklaşımın izlenebileceği belirtilmiş ve ilk yaklaşımla
kontrolör tasarımı Bölüm 4’ ün sonunda açıklanmıştı.
1-) Analog bölgede analog olarak kontrolör tasarlanır ve sonra
analog kontrolör ayrık zamana çevrilerek sayısal ortamda
programlanır.
2-) Doğrudan Ayrık Zamanda Kontrolör Tasarımı: Kontrolör, ayrık
zamanda tasarlanır. Yani kontrol edilecek sistem ve kontrol talepleri
ayrık zamana dönüştürülür. Ayrık zaman kontrolörün parametreleri
ayrık zamanda hesaplanır.
Burada ilk yaklaşım, Bölüm 4 de açıklandığından ikinci yaklaşımla
tasarım açıklanacak ve ayrıca KYE ile tasarım örnekleri verilecektir.
![Page 176: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/176.jpg)
Doğrudan Ayrık Zamanda Kontrolör Tasarımı
• Kontrol edilecek sistem ayrıklaştırılır. Uygun bir örnekleme
peryodu seçilmelidir. Uygun örnekleme frekansı, sistemin
sönümlü doğal frekansının 20 katından az olursa istenen
performans elde edilemeyebilir.
• Sisteme bağlanacak sayısal kontrolörün transfer fonksiyonu
belirlenir.
• Ayrık zamandaki kontrol sisteminin karakteristik denklemi
bulunur.
• Laplace bölgesinde verilen kontrol kriterleri (sönüm oranı-
doğal frekans ya da yükselme süresi, yerleşme süresi,
maksimum aşma gibi ) z bölgesine dönüştürülür. Dolayısıyla
referans sistemin karakteristik denklemi elde edilir.
• Kontrol kriterlerini karşılayacak şekilde kontrolör parametreleri
hesaplanır. Burada, referans sisteme benzetilerek ya da KYE
ile kontrolör parametreleri hesaplanabilir.
• Tasarlanan sayısal kontrolör programlanır.
ns w20w
![Page 177: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/177.jpg)
Örnek: verilen sistem için doğrudan sayısal bölgede PI tasarlayınız.
2s
1)s(Gp
8010 .,sn/radwn
1
)()(
z
azKzGc
1-) Önce sistem ayrıklaştırılarak z-bölgesindeki sayısal kontrol sistemi
elde edilir. T=?
2-) Sisteme bağlanacak sayısal PI.8187.0z
09.0)z(G
T=0.1 için
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s) Sayısal kontrolörADC DAC
R(z) Y(z)+
-G(z)Gc(z)
![Page 178: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/178.jpg)
01994.074.02 zz
5-) Karakteristik denklemler eşitlenirse,
1
2775028
z
).z()z(Gc
3-) Sayısal kontrol sisteminin karakteristik denklemi:
4-) Laplace bölgesinde verilen kontrol kriterleri (sönüm oranı-doğal
frekans) z bölgesine dönüştürülür.
![Page 179: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/179.jpg)
)4s)(1s(
2)s(Gp
Örnek: verilen sistem için doğrudan sayısal bölgede PD tasarlayınız.
8010 .,sn/radwn
6.0z58.1z
0072.0z0085.0)z(G
2
T=0.1 için
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s) Sayısal kontrolörADC DAC
![Page 180: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/180.jpg)
![Page 181: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/181.jpg)
6.3 Köklerin Yer Eğrisi (KYE) ile Sayısal Kontrolör Tasarımı
Kontrol sisteminin geçici rejim kriterlerini karşılamak amacıyla KYE ile
kontrolör tasarlamak için aşağıdaki kurallar uygulanabilir.
1-) Analog sistem ayrıklaştırılır.
2-) Ayrık zaman kontrolörün transfer fonksiyonu ile birlikte kontrol
sisteminin AÇTF bulunur.
3-) Verilen kontrol isteklerinden (en büyük aşma, yükselme, yerleşme
zamanı ya da sönüm katsayısı ve doğal frekans gibi) yararlanarak
arzu edilen baskın kutupların z-düzlemindeki yeri belirlenir.
4-) Kontrolörlü sistemin KYE’ nin, arzu edilen baskın kutuplardan
geçmesi için açı koşulu kullanılarak denetleyicinin sisteme eklemesi
gereken faz açısı belirlenir.
5-) Bu faz açısını karşılayacak şekilde kontrolör sıfırının değeri
hesaplanır.
6-) Kontrollü sistemin KYE’ nin arzu edilen baskın kutuplardan
geçmesini sağlayacak şekilde genlik koşulundan yararlanarak
kontrolör kazancı belirlenir.
![Page 182: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/182.jpg)
R(z) +
- Gc(z)
Gh(s)
s
e Ts1
)s(s 1
1
Y(s)
T = 0.1sn
Örnek: Verilen sistemde yerleşme süresini 0.5 saniyeden küçük ve
maksimum aşmayı % 10 dan küçük yapacak şekilde KYE ile PD
kontrolörü tasarlayınız.
9.0z9.1z
0047.0z0048.0)z(G
2
![Page 183: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/183.jpg)
![Page 184: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/184.jpg)
R(z) +
-
1
z
a)K(z
Gh(s)
s
e Ts1
5s2s
12
Y(s)
T = ?
Denetleyici
Örnek: Verilen sistemde sönüm oranı 0.8 ve sönümsüz doğal frekans 10
olacak şekilde KYE ile PI kontrolörü tasarlayınız. Uygun örnekleme
frekansını seçiniz.
82.0z77.1z
0044.0z0047.0)z(G
2
T=0.1 için
![Page 185: Sayısal Kontrol - ee.tek.firat.edu.tr](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013015/61d07e260f6aa964ea621428/html5/thumbnails/185.jpg)