คณติศาสตร ์ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1

ผูเรียบเรียงนางกนกวลี อุษณกรกุล

นางสาวปาจรีย วัชชวัลคุ

ดร. สุเทพ บุญซอน

ผูตรวจนางจินดา อยูเปนสุข

นายรณชัย มาเจริญทรัพย

นายสุกิจ พุทธชาติเสวี

บรรณาธิการรศ.ดร. อําพล ธรรมเจริญ

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน

ม.1เล่ม 1

สงวนลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติปที่พิมพ 2561

พิมพครั้งที่ 1 จํานวนพิมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-757-3

รหัสสินคา 2116013

นักวิทยาศาสตร์ได้ประดิษฐ์และพัฒนาเครื่องวัดอุณหภูมิขึ้นมา เรียกว่า เทอร์โมมิเตอร์

ที่ท�าจากหลอดแก้วซึ่งภายในบรรจุของเหลวประเภทปรอทหรือแอลกอฮอล์ โดยของเหลวภายใน

หลอดแก้วจะหดตัวเมื่อได้รับความเย็นและขยายตัวเมื่อได้รับความร้อน นอกจากนี้บนหลอดแก้ว

จะมีสเกลที่ระบุตัวเลขส�าหรับบอกระดับอุณหภูมิต่างๆ อีกด้วยเช่น อุณหภูมิโดยเฉลี่ยในเดือน

กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2560 ณ เมืองหลวงของประเทศต่างๆ ในทวีปเอเชีย ซึ่งแสดงอุณหภูมิด้วย

เทอร์โมมิเตอร์ดังรูปต่อไปนี้

จากรูปแสดงอุณหภูมิจะได้ว่า

1. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศร้อนที่สุดคือกรุงเทพฯประเทศไทย

2. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศหนาวที่สุดคือโตเกียวประเทศญี่ปุน

3. อุณหภูมิของกรุงเทพฯสูงกว่าอุณหภูมิของจาการ์ตาอยู่2�C

4. อุณหภูมิของจาการ์ตาสูงกว่าอุณหภูมิของโตเกียวอยู่20�C

5. อุณหภูมิของโตเกียวต�่ากว่าอุณหภูมิของไทเปอยู่10�C

6. อุณหภูมิของไทเปต�่ากว่าอุณหภูมิของฮานอยอยู่3�C

นักเรียนจะพบว่าตัวเลขที่แสดงระดับอุณหภูมิณเมืองหลวงของประเทศต่างๆ ได้แก่29,

27,7,17และ20เป็น“จ�านวนนับ”ซึ่งเรียงจากมากไปหาน้อยได้ดังนี้29,27,20,17และ7

ควรรูก้่อนเรียน

กรุงเทพฯประเทศไทย

ที่มา:https://www.timeanddate.com/weather

จาการ์ตาประเทศอินโดนีเซีย

ไทเปประเทศไต้หวัน

โตเกียวประเทศญี่ปุน

ฮานอยประเทศเวียดนาม

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

3

ลำาดับที่ของรูป 1 2 3 4 5 ... n

จำานวนของรูปสามเหลี่ยม 1 2 3 4 5 ... n

จงเขียนรูปถัดไปอีก 3 รูป ของแบบรูปต่อไปนี้

วิธีทำา พิจารณาแบบรูปที่กำาหนดให้จะพบว่า

รูปที่1มีจำานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้งสามรูป

รูปที่2 มีจำานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้ง3รูปและมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ด้านซ้ายและด้านขวาด้านละ1รูป

รูปที่3 มีจำานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้ง3รูปและมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ด้านซ้ายและด้านขวาด้านละ2รูป

จะเห็นว่าจำานวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เพิ่มขึ้นด้านซ้ายและด้านขวาจะน้อยกว่า

ลำาดับที่ของรูปอยู่1

ตัวอย่างที่ 5

รูปที่1 รูปที่2 รูปที่3

จากตารางจะพบว่าจำานวนของรูปสามเหลี่ยมเป็นจำานวนนับ1,2,3,4,...ซึ่งจำานวน

ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับจำานวนที่เป็นลำาดับที่ของรูปหรือกล่าวได้ว่าจำานวนของรูปสามเหลี่ยมมี

ความสัมพันธ์กับลำาดับท่ีของรูป ในกรณีท่ียังไม่ได้กำาหนดลำาดับท่ีของรูปจะสามารถบอกลำาดับท่ี

ของรูปในรูปท่ัวไปได้โดยนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษเช่นnแทนลำาดับที่ของรูปนั้น

จากตัวอย่างนี้จะเขียนความสัมพันธ์ระหว่างลำาดับที่ของรูปกับจำานวนของรูปสามเหลี่ยม

ได้ว่าจำานวนของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับnเรียกnว่าตัวแปรความสัมพันธ์ที่มีตัวแปรnทำาให้

สามารถบอกจำานวนของรูปสามเหลี่ยมเมื่อทราบลำาดับที่ของรูปหรือค่าของ n ได้ เช่น ลำาดับที่

ของรูปที่100หรือn=100จะมีรูปสามเหลี่ยม100รูปเป็นต้น

ถ้านบัจำานวนก้านไม้ขดีของแต่ละรปูในแบบรปูแล้วพจิารณาว่าจำานวนก้านไม้ขดีทีน่บัได้เป็นแบบรปู

หรือไม่

ถ้าให้nแทนลำาดับที่ของรูปนักเรียนสามารถบอกจำานวนของก้านไม้ขีดเมื่อทราบลำาดับที่ของรูปได้

หรือไม่

Thinking Time

185

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1จัดท�ำขึ้นส�ำหรับใช้ประกอบกำรเรียนกำรสอนชั้นมัธยมศึกษำปีที่1 โดยด�ำเนินกำรจัดท�ำให้สอดคล้อง

ตำมมำตรฐำนกำรเรียนรู้และตัวชี้วัดกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์(ฉบับปรับปรุงพ.ศ.2560)

ตำมหลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช2551 ทุกประกำร เพื่อส่งเสริมทักษะ

ท่ีจ�ำเป็นส�ำหรบักำรเรยีนรูใ้นศตวรรษที่21ทัง้ทกัษะด้ำนกำรคดิวเิครำะห์กำรคดิอย่ำงมวีจิำรณญำณ

กำรแก้ปัญหำกำรคดิสร้ำงสรรค์กำรใช้เทคโนโลยีกำรส่ือสำรและกำรร่วมมือเพือ่ให้ผูเ้รยีนรูเ้ท่ำทนั

กำรเปลี่ยนแปลงของระบบเศรษฐกิจสังคมวัฒนธรรมและสภำพแวดล้อมสำมำรถแข่งขันและ

อยู่ร่วมกับประชำคมโลกได้

หนังสือเรียนกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษำปีที่1นี้

คณะผู้เรียบเรียงได้จัดแบ่งออกเป็น2เล่มดังนี้

Thinking Timeค�ำถำมกระตุ้นให้ผู้เรียนคิดต่อยอดจำกเนื้อหำที่เรียน

ควรรู้ก่อนเรียน ทบทวนควำมรู้เดิมเพื่อเชื่อมโยงเข้ำสู่เนื้อหำใหม่

ตัวชี้วัด • เข้าใจจ�านวนตรรกยะและความสัมพันธ์ของจ�านวนตรรกยะและใช้สมบัติของจ�านวนตรรกยะในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง (ค 1.1 ม.1/1)

สาระการเรียนรู้แกนกลาง• จ�านวนเต็ม•สมบัติของจ�านวนเต็ม

ระบบจ�านวนเต็มหน่วยการเรียนรู้ที่

1

ทวปีแอนตาร์กตกิา เป็นทวปีท่ีมีอากาศหนาวเยน็ท่ีสุดในโลก

โดยมีอุณหภูมิเฉลี่ยอยู่ระหว่าง 5 ํC ในฤดูร้อน จนถึง -80 ํC ใน

ฤดหูนาว อณุหภมูสิงูสดุทีไ่ด้บนัทกึไว้ เมือ่เดอืนมนีาคม พ.ศ. 2558

อยู่ที่ 17.5 ํC และอุณหภูมิตํ่าสุดที่ได้บันทึกไว้เมื่อเดือนสิงหาคม

พ.ศ. 2553 อยู่ที่ -94.7 ํC1

จากสถานการณ์

ข้างต้น นักเรียนคิดว่า

อณุหภมูิที่ได้บนัทึกไว้ของทวีปแอนตาร์กติกา

ต่างกนัอย่างไร

Q.

1 Antarctica sets record for coldest temperature on Earth. Retrieved October 17, 2017, from http://www.pbs.org/newshour/nation/antarctica-sets-record-for-coldest-temperature-on-earth

ค�ำถำมประจ�ำหน่วย กำรเรียนรู้ ที่ครอบคลุมตัวชี้วัดสูงสุดในหน่วยกำรเรียนรู้

สำระกำรเรียนรู้แกนกลำง ขอบข่ำยเนื้อหำในหน่วยกำรเรียนรู้

ตัวชี้วัด ที่สอดคล้องกับเนื้อหำในหน่วยกำรเรียนรู้

กิจกรรม คณิตศาสตร์

1.การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ(-2)+(-3)

-1 -1

-1 -1 -1

ดังนั้น(-2)+(-3)=-5

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) 2+4 2) 6+3 3) (-3)+(-4) 4) (-5)+(-2)

2. การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ5+(-2)

1 1 1 1 1

-1 -1

ดังนั้น5+(-2)=3

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) 7+(-3) 2) (-5)+8 3) 4+(-9) 4) (-8)+2

ให้นกัเรยีนจบัคูก่บัเพือ่นแล้วช่วยกนัหาผลบวกของจÓนวนเตม็โดยใช้บตัรตวัเลข 1 และ -1

-1 -1 -1 -1 -1

1 1 1 1 1 -1 -1

1 1 1

จ�านวนตรงข้ามบวกกันเท่ากับศูนย์

ข้อตกลง 1) ให้ 1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน1และ -1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน-1

2) ใช้บัตรตัวเลขแสดงจ�านวนเต็มต่างๆ เช่น

1 1 1 หมายถึง1+1+1=3

-1 -1 -1 หมายถึง(-1)+(-1)+(-1)=-3

1 -1 หมายถึง1+(-1)=0

14 การหาผลบวกของจ�านวนเต็มโดยใช้บัตรตัวเลข

กิจกรรมคณิตศำสตร ์เพื่อส่งเสริมกำรเรียนรู้แบบActiveLearning

QR Code รองรับกำรเรียนรู้ผ่ำนสื่อดิจิทอล

H.O.T.S. ค�ำถำมท้ำทำยกำรคิดขั้นสูง

ตำมทฤษฎีกำรเรียนรู้ของบลูม(Bloom’sTaxonomy)

คณิตศำสตร์ในชีวิตจริง เชื่อมโยงควำมรู้คณิตศำสตร์ไปใช้ในชีวิตจริง

สรุปแนวคิดหลัก โดยรวมของทั้งหน่วยกำรเรียนรู้เพื่อทบทวนควำมรู้ให้แก่ผู้เรียน

แบบฝึกทักษะประจ�ำหน่วย กำรเรียนรู้ เพื่อประเมินควำมรู้ควำมเข้ำใจของผู้เรียนประจ�ำหน่วยกำรเรียนรู้

คณิตศาสตรใ์นชีวิตจริง

ก�รแพร่เชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่(HongKongFlu)โดยก�รจ�ม

ไข้หวัดใหญ่ฮ่องกง(HongKongFlu)เป็นกำรแพร่ระบำดของเชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่เอช3

เอ็น2โดยมีต้นก�ำเนิดมำจำกเกำะฮ่องกงซึ่งสำมำรถติดเชื้อไวรัสนี้ได้จำกกำรจำมของผู้ปวยได้

• กำรจำม1ครั้งจะมีจ�ำนวนละอองเกิดขึ้นประมำณ40,000ละอองโดยละอองมีขนำด

เส้นผ่ำนศนูย์กลำง0.5ถงึ5ไมโครเมตรและจะเตม็ไปด้วยเช้ือไวรสัถ้ำบคุคลนัน้อยูใ่นระยะตดิต่อ

• ละอองที่ออกมำจะมีควำมเร็วประมำณ150กิโลเมตรต่อชั่วโมงหรือประมำณ42เมตร

ต่อวินำที

• ระยะกำรกระจำยตัวของละอองไปได้ไกลถึง30เมตร

• เชือ้ของไวรสัไข้หวดัใหญ่ทีอ่อกมำกบัละอองน�ำ้ทีเ่กดิจำกกำรจำมเมือ่เข้ำไปสูต่วัคนภำยใน

ไม่กี่ชั่วโมง ไวรัสตัวนี้ก็สำมำรถลุกลำมถึงปอดอย่ำงรวดเร็ว ถ้ำเป็นเชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่ทั่วไป

จะใช้เวลำ2-3วันแต่ไวรัสตัวนี้จะใช้เวลำภำยในไม่กี่ชั่วโมงหรือแค่1-2วันผู้ปวยจะมีอำกำร

ทรุดลงอย่ำงรุนแรงซึ่งเป็นสำเหตุให้คนไข้เสียชีวิตได้ดังนั้น เพื่อปองกันกำรติดเชื้อไวรัสจึงควร

ล้ำงมือทุกครั้งเมื่อจับต้องสิ่งของต่ำงๆ เช่น ลูกบิดประตู ปุมกดลิฟต์ ธนบัตร พื้นผิวโต๊ะ และ

เฟอร์นิเจอร์เป็นต้น

ที่มำ:http://pr.moph.go.th/iprg/include/admin_hotnew/show_hotnew.php?idHot_new=98667

จำกข้อมูลข้ำงต้นให้นักเรียนตอบค�ำถำมต่อไปนี้ในรูปสัญกรณ์วิทยำศำสตร์

1) ละอองหนึ่งละอองมีขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงกี่เมตร(1ไมโครเมตร=10-6เมตร)

2) ถ้ำผู้ปวยคนหนึ่งจำมติดต่อกัน7ครั้งจะมีจ�ำนวนละอองที่เกิดขึ้นประมำณกี่ละออง

136

ข้อควรระวัง อธิบำยในสิ่งที่ผู้เรียนมักเข้ำใจผิดหรือคลำดเคลื่อน

คณิตน่ำรู้ เสริมควำมรู้หรือข้อสังเกตที่ได้จำกเนื้อหำ

ลองท�ำดูเพื่อให้ผู้เรียนได้ฝึกท�ำจนเกิดควำมช�ำนำญ

นำา94มาลบออกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ x3 + 94 - 94 = 5

4 - 94

หรือ x3 = -4

4

x3 = -1

นำา3มาคูณทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ x3 × 3 = (-1) × 3

หรือ x = -3

ตรวจสอบคำาตอบ

แทนxด้วย-3ใน 2x3 + 94 = 2(-3)3 + 94 =(-2)+94

= 14

และ x3 + 54 = (-3)3 + 54 = (-1) + 54

= 14 ทำาให้สมการเป็นจริง

ดังนั้นคำาตอบของสมการ2x3 + 94 = x3 + 54คือ -3 ตอบ

นักเรียนคิดว่า

1) ถ้าa,b,cและdเป็นจำานวนเต็มซึ่งa+b=5,b+c=10,b+d=12

และc+d=16แล้วa,b,cและdมีค่าเท่ากับเท่าใด

2) ถ้าa,b,cและdเป็นจำานวนเต็มซึ่งa×b=6,b×c=15,b×d=18

และc×d=30แล้วa,b,cและdมีค่าเท่ากับเท่าใด

คาํถามทาทายการคดิขัน้สูง

ในตัวอย่างที่21นักเรียน

สามารถแก้สมการได้อีก

วิธีหนึ่งโดยการนำาค.ร.น.

ของตัวส่วนมาคูณทั้งสอง

ข้างของสมการเพื่อทำาให้

ตัวส่วนหมดไป

คณิตน่ารู้

จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 7x5 - 13 =

x5 +

23

2) 4x - 54 = 6-x3

ลองทําดู

214

จงพิจำรณำเลขยกก�ำลังต่อไปนี้

สัญลักษณ์ 34 อ่ำนว่ำ“สำมยกก�ำลังสี่”หรือ“สำมก�ำลังสี่”

34มี3เป็นฐำนและมี4เป็นเลขชี้ก�ำลัง

34แทน3×3×3×3

34=81

(-2)4 อ่ำนว่ำ“ลบสองทั้งหมดยกก�ำลังสี่”หรือ“ลบสองทั้งหมดก�ำลังสี่”

(-2)4มี-2เป็นฐำนและมี4เป็นเลขชี้ก�ำลัง

(-2)4แทน(-2)×(-2)×(-2)×(-2)

(-2)4=16

(-3)3 อ่ำนว่ำ“ลบสำมทัง้หมดยกก�ำลงัสำม”หรอื“ลบสำมทัง้หมดก�ำลงัสำม”

(-3)3มี-3เป็นฐำนและมี3เป็นเลขชี้ก�ำลัง

(-3)3แทน(-3)×(-3)×(-3)

(-3)3=-27

(12)2 อ่ำนว่ำ“เศษหนึ่งส่วนสองทั้งหมดยกก�ำลังสอง”หรือ“เศษหนึ่ง

ส่วนสองทั้งหมดก�ำลังสอง”

(12)2มี12เป็นฐำนและมี2เป็นเลขชี้ก�ำลัง

(12)2แทน(12) × (12)

(12)2=14

(- 35)3 อ่ำนว่ำ“ลบเศษสำมส่วนห้ำทั้งหมดยกก�ำลังสำม”หรือ“ลบเศษสำม

ส่วนห้ำทั้งหมดก�ำลังสำม”

(- 35)3มี-35เป็นฐำนและมี3เป็นเลขชี้ก�ำลัง

(- 35)3แทน(- 35) × (- 35) × (- 35)

(- 35)3=-27125

-24 =(-2)×(-2)×(-2)×(-2) -24=-(2×2×2×2)

=16 =-16

✘ ✔¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ

109

สรุปแนวคิดหลัก

เส้นจํานวน

-3 -2 -1 0 1 2 3

บนเส้นจ�านวนจ�านวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าจ�านวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ

จํานวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์ เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ

•เขียนแทนจ�านวนตรงข้ามของaด้วยสัญลักษณ์-aเช่น

จ�านวนตรงข้ามของ3เขียนแทนด้วย-3

จ�านวนตรงข้ามของ-3เขียนแทนด้วย-(-3)

•เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของaด้วยสัญลักษณ์∙a∙เช่น

ค่าสัมบูรณ์ของ3เขียนแทนด้วย∙3∙

ค่าสัมบูรณ์ของ-3เขียนแทนด้วย∙-3∙

การบวกและการลบจํานวนเต็ม

1) การบวกจํานวนเต็ม

ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า

a+b = a+b

(-a)+(-b) = -(a+b)

a+(-b) = a-b เมื่อa≥ b

a+(-b) = -(b-a) เมื่อb> a

(-a)+b = -(a-b) เมื่อa≥ b

(-a)+b = b-a เมื่อb> a

จํานวนเต็ม

ศูนย์0

จ�านวนเต็มบวก1,2,3,…

จ�านวนเต็มลบ-1,-2,-3,…

37

● ●●

●

● ●

●●

●

●

แบบฝึกทักษะประจ�าหน่วยการเรียนรู้ท่ี 5

1. จากแบบรูปที่กำาหนดในแต่ละข้อจงหาจำานวนในลำาดับที่10และเขียนความสัมพันธ์ระหว่าง

ลำาดับที่กับจำานวนในลำาดับที่n

1) 2,4,8,16,...

3) 1,8,27,64,...

2) 14,11,8,5,...

4) 23, 34, 45, 56 , ...

2. จงหาจำานวนอีกห้าจำานวนถัดไปของแบบรูปที่กำาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 4,7,10,13,...

3) 17,15,13,11,...

5) -9,-12,-15,-18,...

2) 3,7,11,15,...

4) 8,4,2,1,...

6) 43 ,2,

83, 103 , ...

3. จงเขียนรูปสามรูปถัดไปของแต่ละแบบรูปต่อไปนี้

1)

2)

4. ขนาดการรับประทานยาขนานหนึ่ง คิดเทียบกับนำ้าหนักตัวของคนคือ ยา 2 มิลลิกรัมต่อ

นำ้าหนักตัว15กิโลกรัม(รับประทานยาได้ไม่เกิน10มิลลิกรัม)

1) จงเขียนตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณยาที่รับประทานกับนำ้าหนักตัวของคน

2) ถ้าให้kแทนนำ้าหนักหน่วยเป็นกิโลกรัมของคนที่รับประทานยาจงเขียนความสัมพันธ์

ระหว่างปริมาณของยาที่รับประทานกับkซึ่งแทนนำ้าหนักตัวของคน

3) คนที่มีนำ้าหนัก60กิโลกรัมต้องรับประทานยาขนานนี้กี่มิลลิกรัม

5. กำาหนดความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางที่รถยนต์วิ่งได้กับเวลาที่ใช้ถ้าให้tแทนเวลาที่ใช้

ก. ระยะทางเท่ากับ40+10t ข. ระยะทางเท่ากับ40-10t

ค. ระยะทางเท่ากับ10+40t ง. ระยะทางเท่ากับ40t-10

จงใช้ความสัมพันธ์ที่กำาหนดให้แต่ละข้อหาค่าของระยะทางเมื่อt=2

224

แนะแนวคิดเทคนิคต่ำงๆ ที่ชี้แนะวิธีกำรแก้โจทย์ทำงคณิตศำสตร์

แบบฝึกทักษะ 5.5ระดับ พื้นฐาน

ระดับ กลาง

1. จงเขียนข้อความต่อไปนี้ในรูปของตัวแปรที่กำาหนด

1) bหารด้วย6

3) สามเท่าของyคูณด้วย10

2) สี่เท่าของxบวกด้วย6 4) aเท่าของ10รวมกับbเท่าของ20

2. จงเขียนสมการแทนข้อความที่กำาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) สองเท่าของจำานวนหนึ่งเท่ากับ16กำาหนดให้xแทนจำานวนหนึ่ง 2) จำานวนหนึ่งมากกว่า15อยู่80กำาหนดให้yแทนจำานวนหนึ่ง

3) รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้านยาวยาว12เซนติเมตรและมีเส้นรอบรูปยาว

40เซนติเมตรถ้าให้xแทนความยาวของด้านกว้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้

3. อ้อมมีผลไม้กองหนึ่งเป็นส้ม27ของผลไม้ทั้งหมดถ้ามีส้ม14ผลผลไม้กองนี้มีกี่ผล

4. เศษสี่ส่วนเก้าของจำานวนหนึ่งมากกว่า2อยู่10จงหาจำานวนนั้น

5. ผลรวมของสองเท่าของจำานวนเต็มจำานวนหนึ่งกับ12มีค่าเท่ากับ26จงหาจำานวน

จำานวนนั้น

6. เมื่อ6ปีที่แล้วบุตรมีอายุเป็นหนึ่งในสามของอายุบิดาถ้าปัจจุบันบุตรมีอายุ18ปี

อยากทราบว่าปัจจุบันบิดามีอายุกี่ปี

7. จุ๊บแจงมีเงินเหรียญทั้งหมด24 เหรียญ มีเหรียญบาทจำานวน5 เท่าของเหรียญสิบบาท

ถ้าจำานวนเหรยีญทัง้หมดคดิเป็นเงิน75บาทอยากทราบว่ามีเหรยีญบาทและเหรยีญสิบบาท

อย่างละกี่เหรียญ

8. แม่ค้าซือ้มะม่วงอกร่องและมะม่วงเขยีวเสวยมาขายรวมกนั

60 กิโลกรัม มะม่วงอกร่องกิโลกรัมละ60 บาท มะม่วง

เขียวเสวยกิโลกรัมละ50บาทถ้าอัตราส่วนระหว่างมะม่วง

อกร่องต่อมะม่วงเขียวเสวยเป็น6:7 แม่ค้าซื้อมะม่วง

แต่ละชนิดมาขายอย่างละกี่กิโลกรัม

ระดับ ท้าทาย

อัตราส่วน a ต่อ b คือ

a : b หรือ ab

แนะแนวคิด

221

แบบฝึกทักษะ แบ่งระดับควำมยำกง่ำยเหมำะสมกับระดับกำรเรียนรู้ของผู้เรียน

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 - 5

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 - 4

ค�ำแนะน�ำในกำรใช้สื่อ

องค์ประกอบต่ำงๆ ในแต่ละหน่วย

สำรบัญ

ระบบจ�ำนวนเต็ม 21.1จ�ำนวนเต็ม 4 1.2กำรเปรียบเทียบจ�ำนวนเต็ม 4 1.3จ�ำนวนตรงข้ำมและค่ำสัมบูรณ์ 7 1.4กำรบวกและกำรลบจ�ำนวนเต็ม 10 1.5กำรคูณและกำรหำรจ�ำนวนเต็ม 181.6สมบัติของจ�ำนวนเต็ม 281.7กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับจ�ำนวนเต็มไปใช้ในชีวิตจริง 32

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 36 สรุปแนวคิดหลัก 37 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 39

จ�ำนวนตรรกยะ 402.1เศษส่วน 42 2.2ทศนิยม 672.3จ�ำนวนตรรกยะและสมบัติของจ�ำนวนตรรกยะ 94 คณิตศาสตรในชีวิตจริง 100 สรุปแนวคิดหลัก 101 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 2 104

เลขยกก�ำลัง 1063.1กำรเขียนเลขยกก�ำลังที่มีเลขชี้ก�ำลังเป็นจ�ำนวนเต็มบวก108 3.2กำรคูณและกำรหำรเลขยกก�ำลังเมื่อเลขชี้ก�ำลังเป็น จ�ำนวนเต็มบวก 1123.3กำรเขียนจ�ำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ 126 3.4กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับเลขยกก�ำลังไปใช้ในชีวิตจริง 132

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 136 สรุปแนวคิดหลัก 137 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 3 138

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

1

2

3 บรรณำนุกรม 226

มิติสัมพันธ์ของรูปเรขำคณิต 140

4.1หน้ำตัดของรูปเรขำคณิตสำมมิติ 142 4.2กำรอธิบำยภำพสองมิติที่ได้จำกกำรมองด้ำนหน้ำ ด้ำนข้ำงและด้ำนบนของรูปเรขำคณิตสำมมิติ 1504.3รูปเรขำคณิตสำมมิติที่ประกอบขึ้นจำกลูกบำศก์ 158

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 170 สรุปแนวคิดหลัก 171 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 4 173

สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว 176

5.1แบบรูปและควำมสัมพันธ์ 178 5.2ค�ำตอบของสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1945.3สมบัติของกำรเท่ำกัน 200 5.4กำรแก้สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว 2065.5กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ไปใช้ในชีวิตจริง 218

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 222 สรุปแนวคิดหลัก 223 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 5 224

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

4

5

คณิตศำสตร์ ชั้นมัธยมศึกษำปที่ 1 เล่ม 1

ตัวชี้วัด • เข้าใจจ�านวนตรรกยะและความสัมพันธ์ของจ�านวนตรรกยะและใช้สมบัติของจ�านวนตรรกยะในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์และปญหาในชีวิตจริง (ค 1.1 ม.1/1)

สาระการเรียนรูแกนกลาง• จ�านวนเต็ม•สมบัติของจ�านวนเต็ม

ระบบจํานวนเต็มหน่วยการเรียนรู้ที่

1 นักวิทยาศาสตร์ได้ประดิษฐ์และพัฒนาเครื่องวัดอุณหภูมิขึ้นมา เรียกว่า เทอร์โมมิเตอร์

ที่ท�าจากหลอดแก้วซึ่งภายในบรรจุของเหลวประเภทปรอทหรือแอลกอฮอล์ โดยของเหลวภายใน

หลอดแก้วจะหดตัวเมื่อได้รับความเย็นและขยายตัวเมื่อได้รับความร้อน นอกจากน้ีบนหลอดแก้ว

จะมีสเกลที่ระบุตัวเลขส�าหรับบอกระดับอุณหภูมิต่างๆ อีกด้วยเช่น อุณหภูมิโดยเฉลี่ยในเดือน

กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2560 ณ เมืองหลวงของประเทศต่างๆ ในทวีปเอเชีย ซึ่งแสดงอุณหภูมิด้วย

เทอร์โมมิเตอร์ดังรูปต่อไปนี้

จากรูปแสดงอุณหภูมิจะได้ว่า

1. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศร้อนที่สุดคือกรุงเทพฯประเทศไทย

2. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศหนาวที่สุดคือโตเกียวประเทศญี่ปุน

3. อุณหภูมิของกรุงเทพฯสูงกว่าอุณหภูมิของจาการ์ตาอยู่2�C

4. อุณหภูมิของจาการ์ตาสูงกว่าอุณหภูมิของโตเกียวอยู่20�C

5. อุณหภูมิของโตเกียวต�่ากว่าอุณหภูมิของไทเปอยู่10�C

6. อุณหภูมิของไทเปต�่ากว่าอุณหภูมิของฮานอยอยู่3�C

นักเรียนจะพบว่าตัวเลขที่แสดงระดับอุณหภูมิณเมืองหลวงของประเทศต่างๆ ได้แก่29,

27,7,17และ20เป็น“จ�านวนนับ”ซึ่งเรียงจากมากไปหาน้อยได้ดังนี้29,27,20,17และ7

ทวปีแอนตารกตกิา เปนทวีปท่ีมีอากาศหนาวเย็นท่ีสดุในโลก

โดยมีอุณหภูมิเฉลี่ยอยู่ระหว่าง 5 �C ในฤดูร้อน จนถึง -80 �C ใน

ฤดหูนาว อณุหภมูสิงูสดุทีไ่ด้บนัทกึไว้ เมือ่เดอืนมนีาคม พ.ศ. 2558

อยู่ท่ี 17.5 �C และอุณหภูมิต�่าสุดที่ได้บันทึกไว้เมื่อเดือนสิงหาคม

พ.ศ. 2553 อยู่ที่ -94.7 �C1

จากสถานการณ

ข้างต้น นักเรียนคิดว่า

ÍسËÀÙÁÔ·Õèä´ŒºÑ¹·Ö¡äÇŒของทวีปแอนตารกติกา

µ‹Ò§¡Ñ¹อย่างไร

Q.

ควรรูก้อนเรียน

กรุงเทพฯประเทศไทย

ที่มา:https://www.timeanddate.com/weather

จาการ์ตาประเทศอินโดนีเซีย

ไทเปประเทศไต้หวัน

โตเกียวประเทศญี่ปุน

ฮานอยประเทศเวียดนาม

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

°C

50 50

50 50

40 40

40 40

30 30

30 30

20 20

20 20

10 10

10 100 0

1 Antarctica sets record for coldest temperature on Earth.RetrievedOctober17,2017,fromhttp://www.pbs.org/newshour/nation/antarctica-sets-record-for-coldest-temperature-on-earth 3

1.2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม พิจารณาต�าแหน่งของจ�านวนเต็มบนเส้นจ�านวนจะเห็นว่า

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2อยู่ทางขวาของ-3แสดงว่า2มากกว่า-3ใช้สัญลักษณ์2>-3

-5อยู่ทางซ้ายของ-3แสดงว่า-5น้อยกว่า-3ใช้สัญลักษณ์-5<-3

จากเส้นจ�านวนจะเห็นว่า

• จ�านวนเต็มบวกทุกจ�านวนจะอยู่ทางขวาของศูนย์

ซึ่งเพิ่มขึ้นทีละ1และมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด

•จ�านวนเต็มลบทุกจ�านวนจะอยู่ทางซ้ายของศูนย์

ซึ่งลดลงทีละ1และมีค่าน้อยลงเรื่อยๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด

“ศูนย์”ไม่เป็นทั้งจ�านวนเต็มบวก

และจ�านวนเตม็ลบ และศนูย์อาจ

จะไม่แสดงความไม่มีค่าเสมอไป

เช่น อุณหภูมิ 0 องศา คือ

การแสดงระดับของอุณหภูมิที่

จุดเยือกแข็ง

ค³Ôตน่ารู้

จงเติมเครื่องหมาย > หรือ < ลงใน

1) -7 5 2) -2 -4

วิธีท�า -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

จากเส้นจ�านวน

1) -7อยู่ทางซ้ายของ5แสดงว่า-7<5

2) -2อยู่ทางขวาของ-4แสดงว่า-2>-4 ตอบ

จงหาจ�านวนเต็มอีก 3 จ�านวนต่อจากแบบรูปที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้

1) -1,-3,-5,-7,… 2) -9,-6,-3,…

วิธีท�า 1) -1,-3,-5,-7,…จะสังเกตว่าการเรียงของจ�านวนที่ก�าหนดให้แต่ละคู่

ที่อยู่ติดกันลดลงทีละ2

ดังนั้นจ�านวนเต็มอีก3จ�านวนคือ-9, -11, -13

2) -9,-6,-3,…จะสังเกตว่าการเรียงของจ�านวนที่ก�าหนดให้แต่ละคู่ที่อยู่ติดกัน

เพิ่มขึ้นทีละ3

ดังนั้นจ�านวนเต็มอีก3จ�านวนคือ 0, 3, 6 ตอบ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

จงเติมเครื่องหมาย > หรือ < ลงใน

1) 9 -3 2) -6 -2

จากแบบรูปที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้ จงหาจ�านวนเต็มอีก 3 จ�านวนต่อจากแบบรูปที่ก�าหนดให้

1) -2,-5,-8,-11,… 2) -12,-7,-2,…

ลองทําดู

ลองทําดู

1.1 จํานวนเต็ม ในระดับชั้นประถมศึกษานักเรียนรู้จักจ�านวนมาแล้วได้แก่0และ1,2,3,4,…ซึ่งเรียก

จ�านวน1,2,3,4,…ว่าจ�านวนนบัหรอืเรยีกอกีชือ่หนึง่ว่า“จ�านวนเตม็บวก”แต่ในชวีติประจ�าวนั

นกัเรยีนจะพบว่ามีการใช้ตัวเลขแสดงระดับอณุหภมูิเช่นอณุหภมูทิีป่กกิง่ประเทศจนีเท่ากบั-10�C

อ่านว่าลบสบิองศาเซลเซยีสซึง่เป็นอณุหภมูติ�า่กว่าจุดเยือกแขง็นกัคณิตศาสตร์จึงก�าหนดตัวเลข

แสดงจ�านวนอกีชนดิหนึง่เป็นจ�านวนทีม่ค่ีาน้อยกว่าศูนย์เช่น-1,-2,-3,-4,…ขึน้มาและเรียกว่า

“จ�านวนเต็มลบ”

ดังนั้นจ�านวนเต็มประกอบด้วยจ�านวนเต็มบวกจ�านวนเต็มลบและศูนย์

นักเรียนสามารถแสดงจ�านวนเต็มโดยใช้เส้นจ�านวนได้ดังนี้

ศูนย์

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

จ�านวนเต็มบวกจ�านวนเต็มลบ

จากหัวข้อที่ 1.1 นักเรียนทราบแล้วว่า จ�านวนเต็มบวกอยู่ทางขวาของศูนย์ และจ�านวน

เต็มลบอยู่ทางซ้ายของศูนย์ดังนั้น

บนเส้นจ�านวนจ�านวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าจ�านวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ

4 5

1. จํานวนตรงขาม จงพิจารณาจ�านวนเต็มบนเส้นจ�านวนต่อไปนี้

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

จ�านวนตรงข้าม

จ�านวนตรงข้าม

จากเส้นจ�านวนจะเห็นว่า

3และ-3อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ3หน่วยเท่ากัน

5และ-5อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ5หน่วยเท่ากัน

แสดงว่า3เป็นจ�านวนตรงข้ามของ-3และ-3เป็นจ�านวนตรงข้ามของ3

5เป็นจ�านวนตรงข้ามของ-5และ-5เป็นจ�านวนตรงข้ามของ5

เรียก3และ-3ว่าเป็นจ�านวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน

5และ-5ว่าเป็นจ�านวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน

เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ เขียนแทนจ�านวนตรงข้ามของaด้วยสัญลักษณ์-a

เช่น จ�านวนตรงข้ามของ3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์-3

จ�านวนตรงข้ามของ-3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์-(-3)

จงพิจารณาเส้นจ�านวนต่อไปนี้

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

จากเส้นจ�านวนพบว่าจ�านวนตรงข้ามของ-3คือ3

ดังนั้น-(-3)=3

2. คาสัมบูรณ

ค่าสมับรูณของจ�านวนเตม็เป็นระยะห่างระหว่างจ�านวนเตม็นัน้กบัศนูย์บนเส้นจ�านวน

จ�านวนตรงข้ามของ0

คือ0

ค³Ôตน่ารู้

1.3 จํานวนตรงขามและคาสัมบูรณแบบฝึกทักษะ 1.2ระดับ พื้นฐาน

1. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ

1) -2เป็นจ�านวนเต็ม

3) 32 เป็นจ�านวนเต็มบวก

5) 1.8เป็นจ�านวนเต็ม

2) 93 เป็นจ�านวนเต็ม

4) 0เป็นจ�านวนเต็มบวก

6) จ�านวนนับเป็นจ�านวนเต็มบวก

2. จงเติมเครื่องหมาย>หรือ<ลงใน ให้ถูกต้อง

1) 7 -4

3) -3 -12

2) -125 3

4) -12 -10

3. จงหาจ�านวนเต็มอีก5จ�านวนต่อจากแบบรูปที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้

1) -4,-3,-2,-1,0,…

3) -7,-10,-13,…

2) -6,-3,0,3,…

4) 1,-1,-3,…

ระดับ กลาง

ระดับ ท้าทาย

4. จงเรียงล�าดับจ�านวนที่ก�าหนดให้จากมากไปน้อย

1) 3,9,-4,7,2

3) 2,-4,8,-6,10,-11

5) 8,-6,-5,-1,1,-10

2) -22,22,-3,4,0

4) 9,8,-8,7,1,-2,10

6) 1,-11,-10,9,8,-7,7

5. จงเรียงล�าดับจ�านวนที่ก�าหนดให้จากน้อยไปมาก

1) 11,-6,5,0,-14,-2

3) -12,9,-15,4,-10

5) 1,3,-3,10,-11,12

2) 30,0,-100,20,-70,-10

4) -12,0,-7,48,-56,9

6) 7,-7,6,5,-5,4,3

6. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จจงอธิบายพร้อมยกตัวอย่าง

1) ถ้าaเป็นจ�านวนเต็มลบแล้วไม่สามารถหาจ�านวนเต็มลบที่น้อยกว่าaได้

2) ถ้าaเป็นจ�านวนเต็มแล้วไม่สามารถหาจ�านวนเต็มที่มากกว่าaได้

6 7

ในหัวข้อที่ผ่านมา นักเรียนทราบแล้วว่าจ�านวนตรงข้ามของ 3 เท่ากับ -3 ให้นักเรียน

ลองพิจารณาระยะห่างระหว่าง3กับ0และระยะห่างระหว่าง-3กับ0โดยใช้เส้นจ�านวนต่อไปนี้

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

3หน่วย 3หน่วย

จากเส้นจ�านวนจะเห็นว่า

3อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ3หน่วยจะกล่าวว่าค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3

-3อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ3หน่วยจะกล่าวว่าค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3

เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของaด้วยสัญลักษณ์∙a∙

เช่น ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3เขียนได้เป็น∙3∙=3

ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3เขียนได้เป็น∙-3∙=3

ค่าสัมบูรณ์ของ0เท่ากับ0เขียนได้เป็น∙0∙ =0

ค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นจ�านวนเต็มบวก และค่าสัมบูรณ์

ของศูนย์เท่ากับศูนย์เสมอ

จงหาค่าต่อไปนี้

1) ∙17∙ 2) ∙-17∙ 3) -∙17∙ 4) -∙-17∙

วิธีท�า 1) ∙17∙=17

2) ∙-17∙=17

3) -∙17∙=-17

4) -∙-17∙=-17 ตอบ

ตัวอย่างที่ 3

จงหาค่าต่อไปนี้

1) ∙5∙ 2) ∙-15∙ 3) -∙24∙ 4) -∙-19∙

ลองทําดู

แบบฝึกทักษะ 1.3ระดับ พื้นฐาน

ระดับ กลาง

1. จงเขียนจ�านวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนต่อไปนี้

1) 4

4) -10

7) 511

2) 7

5) -56

8) -635

3) -2

6) -108

9) -702

2. จงหาค่าต่อไปนี้

1) -∙-3∙

4) ∙-9∙

2) ∙-3∙

5) -∙22∙

3) -∙-4∙

6) -∙-24∙

3. จงเติมเครื่องหมาย> <หรือ=ลงใน ให้ถูกต้อง

1) ∙4∙ ∙-8∙

3) ∙-33∙ ∙33∙

5) ∙-2∙ -∙-5∙

7) -∙-48∙ -∙-50∙

2) ∙-38∙ ∙-40∙

4) ∙-6∙ -∙6∙

6) -∙-9∙ ∙9∙

8) -∙-795∙ -∙-793∙

4. จงเติมค�าตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง

1) ค่าสัมบูรณ์ของ28และ-28เท่ากับ………………………………….

2) ค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ-50เท่ากับ50

3) ค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ………………………………….เท่ากับ132

4) 178เป็นค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ………………………………….

5) ………………………………….เป็นค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ-479

6) ………………………………….เป็นค่าสัมบูรณ์ของ2,810และ………………………………….

5. จงหาค่าของจ�านวนต่อไปนี้

1) -(-17)

4) -(-89)

2) -(-42)

5) -(16)

3) -(-54)

6) -(560)

8 9

3) การบวกจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบ และการบวกจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวก

(1) พิจารณาการหาผลบวกของ5กับ-2โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้

3หน่วย -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

เริ�ม จบ

ดังนั้น5+(-2)=3

พิจารณาการหาผลบวกของ5กับ-2โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ5เท่ากับ5หรือ∙5∙ =5

ค่าสัมบูรณ์ของ-2เท่ากับ2หรือ∙-2∙=2

จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ5ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-2นั่นคือ

∙5∙-∙-2∙=5-2แล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ3เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-3)+(-13) 2) [(-6)+(-2)]+(-8)

วิธีท�า 1) (-3)+(-13) =-(∙-3∙+∙-13∙)

=-(3+13)

=-16

2) [(-6)+(-2)]+(-8)=-(∙-6∙+∙-2∙)+(-8)

=-(6+2)+(-8)

=(-8)+(-8)

=-(∙-8∙+∙-8∙)

=-16 ตอบ

ตัวอย่างที่ 4

1. การบวกจํานวนเต็ม 1) การบวกจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวก หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า การบวกจ�านวนนับด้วยจ�านวนนับ

พิจารณาการหาผลบวกของ5กับ3โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

8หน่วย

เริ�ม จบ

ดังนั้น5+3=8

การบวกจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวกจะได้ผลบวกเป็นจ�านวนเต็มบวก

2) การบวกจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบ

พิจารณาการหาผลบวกของ-5กับ-3โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

8หน่วย

เริ�มจบ

ดังนั้น(-5)+(-3)=-8

พิจารณาการหาผลบวกของ-5กับ-3โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-5เท่ากับ5หรือ∙-5∙=5

ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3หรือ∙-3∙=3

จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ -5 บวกด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -3 แล้วเขียนผลบวก

เป็นจ�านวนเต็มลบจะได้ผลบวกเท่ากับ-8เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน

การบวกจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาบวกกันแล้วเขียนผลบวกเป็นจ�านวนเต็มลบ

1.4 การบวกและการลบจํานวนเต็ม

เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 5 หน่วย แล้วนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 หน่วย จะไปสิ้นสุดที่ 8

เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางซ้าย 5 หน่วย แล้วนับต่อไปทางซ้ายอีก 3 หน่วย จะไปสิ้นสุดที่ -8

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-9)+(-16) 2) [(-11)+(-21)]+(-8)

ลองทําดู

เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 5 หน่วย แล้วนับลดไปทางซ้าย 2 หน่วย จะสิ้นสุดที่ 3

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

จะได้ว่า(-a)+(-b)=-(a+b)

ค³Ôตน่ารู้

10 11

(2) พิจารณาการหาผลบวกของ-4กับ6โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2หน่วย

เริ�ม จบ

ดังนั้น(-4)+6=2

พิจารณาการหาผลบวกของ-4กับ6โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4 ค่าสัมบูรณ์ของ6เท่ากับ6หรือ∙6∙=6

จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ6ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-4นั่นคือ

∙6∙-∙-4∙=6-4แล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ2เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน

(3)พิจารณาการหาผลบวกของ3กับ-7โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 54หน่วย

เริ�มจบ

ดังนั้น3+(-7)=-4

พิจารณาการหาผลบวกของ3กับ-7โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3หรือ∙3∙ =3 ค่าสัมบูรณ์ของ-7เท่ากับ7หรือ∙-7∙=7

จะเหน็ว่าถ้าน�าค่าสมับรูณ์ของ-7ลบด้วยค่าสมับรูณ์ของ3แล้วเขยีนผลลพัธ์เป็น

จ�านวนเต็มลบซึ่งเท่ากับ-4เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน

(4)พิจารณาการหาผลบวกของ-6กับ3โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 43หน่วย

เริ�มจบ

ดังนั้น(-6)+3=-3

เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางซ้าย 4 หน่วย แล้วนับเพิ่มไปทางขวา 6 หน่วย จะสิ้นสุดที่ 2

พิจารณาการหาผลบวกของ-6กับ3โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-6เท่ากับ6หรือ∙-6∙=6

ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3หรือ∙3∙=3

จะเหน็ว่าถ้าน�าค่าสมับรูณ์ของ-6ลบด้วยค่าสมับรูณ์ของ3แล้วเขยีนผลลพัธ์เป็น

จ�านวนเต็มลบซึ่งเท่ากับ-3เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน

การบวกจ�านวนเตม็บวกด้วยจ�านวนเตม็ลบและการบวกจ�านวนเตม็ลบด้วยจ�านวนเตม็

บวกให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนที่น้อยกว่า

แล้วเขียนผลลัพธ์เป็นจ�านวนเต็มตามจ�านวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

(5) กรณีที่ค่าสัมบูรณ์เท่ากัน สามารถเลือกจ�านวนใดเป็นตัวตั้งก็ได้ ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้

จะมีค่าเท่ากับศูนย์เสมอเช่น (-5)+5=∙-5∙-∙5∙=0

5+(-5)=∙5∙-∙-5∙=0

เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 3 หน่วย แล้วนับลดไปทางซ้าย 7 หน่วย จะสิ้นสุดที่ -4

เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางซ้าย 6 หน่วย แล้วนับเพิ่มไปทางขวา 3 หน่วย จะสิ้นสุดที่ -3

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) 25+(-11) 2) (-16)+9

วิธีท�า 1) 25+(-11) =∙25∙-∙-11∙ =25-11

=14

2)(-16)+9 =-(∙-16∙-∙9∙) =-(16-9)

=-7 ตอบ

ตัวอย่างที่ 5

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) 12+(-23) 2) (-9)+17

ลองทําดู

ค³Ôตน่ารู้

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ แล้ว a+(-b)=a-b เมื่อa≥b

a+(-b)=-(b-a) เมื่อb>a

(-a)+b=-(a-b) เมื่อa≥b

(-a)+b=b-a เมื่อb>a

12 13

กิจกรรม คณิตศาสตร์

1. การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ(-2)+(-3)

-1 -1

-1 -1 -1

ดังนั้น(-2)+(-3)=-5

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) 2+4 2) 6+3 3) (-3)+(-4) 4) (-5)+(-2)

2. การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ5+(-2)

1 1 1 1 1

-1 -1

ดังนั้น5+(-2)=3

จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้

1) 7+(-3) 2) (-5)+8 3) 4+(-9) 4) (-8)+2

ให้นกัเรยีนจบัคูก่บัเพือ่นแล้วช่วยกนัหาผลบวกของจÓนวนเตม็โดยใช้บตัรตวัเลข 1 และ -1

-1 -1 -1 -1 -1

1 1 1 1 1 -1 -1

1 1 1

จ�านวนตรงข้ามบวกกันเท่ากับศูนย์

ข้อตกลง 1) ให้ 1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน1และ -1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน-1

2) ใช้บัตรตัวเลขแสดงจ�านวนเต็มต่างๆ เช่น

1 1 1 หมายถึง1+1+1=3

-1 -1 -1 หมายถึง(-1)+(-1)+(-1)=-3

1 -1 หมายถึง1+(-1)=0

2. การลบจํานวนเต็ม จงพิจารณาผลลบและผลบวกของจ�านวนเต็มต่อไปนี้

3-2 = 1และ3+(-2)=1

จะเห็นว่า 3-2 = 3+(-2)

4-2 = 2และ4+(-2)=2

จะเห็นว่า 4-2 = 4+(-2)

การลบจ�านวนเต็มใช้ข้อตกลงดังนี้

ตัวตั้ง-ตัวลบ=ตัวตั้ง+จ�านวนตรงข้ามของตัวลบ

นั่นคือ ถ้าก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ

a-b=a+จ�านวนตรงข้ามของb

หรือ a-b=a+(-b)

จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้

1) 3-7 2) (-2)-4 3) 5-(-2) 4) (-3)-(-8)

วิธีท�า 1) 3-7 =3+จ�านวนตรงข้ามของ7

=3+(-7)

=-4

2) (-2)-4 =(-2)+จ�านวนตรงข้ามของ4

=(-2)+(-4)

=-6

3) 5-(-2) =5+จ�านวนตรงข้ามของ-2

=5+2

=7

4) (-3)-(-8) =(-3)+จ�านวนตรงข้ามของ-8

=(-3)+8

=5 ตอบ

ตัวอย่างที่ 6

จงหาผลลัพธ์ของ(-33)+78-96

Thinking Time

จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้

1) 15-28 2) (-6)-3 3) 3-(-10) 4) (-12)-(-4)

ลองทําดู

14 15การหาผลบวกของจํานวนเต็มโดยใชบัตรตัวเลข

2. การลบจ�านวนเต็มด้วยจ�านวนเต็มลบ

ตัวอย่างที่ 3จงหาผลลบของ3-(-2)

1 1 1

-1 -1

ดังนั้น3-(-2)=5

ตัวอย่างที่ 4จงหาผลลบของ(-3)-(-4)

-1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 ดังนั้น(-3)-(-4)=1

จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้ 1) 7-(-2) 2) 4-(-5) 3) (-4)-(-8) 4) (-9)-(-5)

ให้นกัเรยีนจบัคูก่บัเพือ่นแล้วช่วยกนัหาผลลบของจÓนวนเตม็โดยใช้บตัรตวัเลข 1 และ -1

1 1 1

1 1

-1 -1 -1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1

ข้อตกลง เมื่อใช้บัตรตัวเลขแสดงจ�านวนเต็มต่างๆ เราสามารถหาจ�านวนตรงข้ามได้เช่น

-1 -1 -1 1 1 1

-(-3) =31. การลบจ�านวนเต็มด้วยจ�านวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 1จงหาผลลบของ4-6

1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1

ดังนั้น4-6=-2

ตัวอย่างที่ 2จงหาผลลบของ(-5)-2

-1 -1 -1 -1 -1

-1 -1

ดังนั้น(-5)-2=-7

จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้ 1) 7-4 2) 3-6 3) (-2)-4 4) (-5)-4

4-6สามารถเขียนเป็น4+(-6)ได้

(-5)-2สามารถเขยีนเป็น(-5)+(-2)ได้

จ�านวนตรงข้ามบวกกันเท่ากับศูนย์

1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1

3-(-2)สามารถ

เขียนเป็น3+2ได้

(-3)-(-4)สามารถ

เขียนเป็น(-3)+4ได้

แบบฝึกทักษะ 1.4ระดับ พื้นฐาน

ระดับ กลาง

1. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) (-5)+17

4) 54+(-46)

7) 15-(-9)

2) (-12)+(-25)

5) 7-16

8) (-4)-(-18)

3) (-60)+28

6) (-12)-23

9) (-28)-(-11)

5. จงเติมจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงในตารางต่อไปนี้โดยที่สัญลักษณ์ที่เหมือนกัน

เป็นจ�านวนเดียวกัน

ข้อ ช่องที่ 1 ช่องที่ 2

1

2

3

4

+

( + ) + -

( - ) -

+

+ ( + ) -

- ( - )

1) จงหาค่าผลลัพธ์จากตารางในช่องที่1และช่องที่2

2) จงเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากตารางในช่องที่1และช่องที่2

2. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 55+(-19)+30

4) 23-46-11

2) 34+(-27)+(-51)

5) (-25)-(-17)-15

3) (-61)+(-9)+(-32)

6) 35-(-18)+(-21)

3. จงเติมจ�านวนลงใน ให้ถูกต้อง

1) 5- =12

4) (-8)+ =6

2) 7- =-13

5) +7=3

3) (-9)- =-15

6) +(-13)=-14

4. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) ∙6+(-8)∙ 4) -∙-38∙+(-51)

2) -∙(-5)+17∙ 5) -∙-59∙+∙28∙

3) ∙(-13)-(-7)∙ 6) 46-∙-25∙

ระดับ ท้าทาย

กิจกรรม คณิตศาสตร์

-

-

-

16 17

1.5 การคูณและการหารจํานวนเต็ม

1. การคูณจํานวนเต็ม

1) การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวก นักเรียนสามารถหาผลคูณได้โดยใช้

การบวกจ�านวนเต็มบวกซ�้าๆ เช่น

2×9=9+9=18

3 ×4=4+4+4=12

5×3=3+3+3+3+3=15

7×7=7+7+7+7+7+7+7=49

การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวกจะได้ผลคูณเป็นจ�านวนเต็มบวก

2) การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบ นักเรียนสามารถหาผลคูณได้โดยใช้

การบวกจ�านวนเต็มลบซ�้าๆ เช่น

2×(-3)=(-3)+(-3)=-6

3 ×(-4)=(-4)+(-4)+(-4)=-12

5×(-2)=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-10

พิจารณาการหาผลคูณของ3กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3หรือ∙3∙ =3

ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4

จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ 3 คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -4 แล้วเขียนผลคูณเป็น

จ�านวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเท่ากับ -12 เช่นเดียวกับการหาผลคูณโดยใช้การบวกจ�านวนเต็มลบ

ซ�้าๆ

การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาคูณกันแล้วเขียนผลคูณเป็นจ�านวนเต็มลบ

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) 3 × (-5)

3) 9 × (-11)

2) 5 × (-3)

4) 11 × (-9)

วิธีท�า 1) 3 ×(-5) =-(∙3∙ × ∙-5∙)

=-(3 ×5)

=-15

2) 5×(-3) =-(∙5∙ × ∙-3∙)

=-(5× 3)

=-15

3) 9×(-11)=-(∙9∙ × ∙-11∙)

=-(9× 11)

=-99

4) 11 ×(-9)=-(∙11∙ × ∙-9∙)

=-(11 ×9)

=-99 ตอบ

ตัวอย่างที่ 7

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) 8 ×(-12) 2) 6 ×(-4)

ลองทําดู

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

จะได้ว่าa×(-b)=-(a×b)

ค³Ôตน่ารู้

3) การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวก นักเรียนไม่สามารถหาผลคูณโดยใช้

การบวกจ�านวนซ�้าๆ ได้ดังนั้นจึงน�าสมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณมาช่วยในการหาผลคูณเช่น

(-3)×4=4×(-3)=-12

พิจารณาการหาผลคูณของ-3กับ4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3หรือ∙-3∙=3

ค่าสัมบูรณ์ของ4เท่ากับ4หรือ∙4∙=4

18 19

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-1)× 3

3) (-3)×2

2) (-2)×5

4) (-4)×6

วิธีท�า 1) (-1)× 3 =-(∙-1∙ × ∙3∙)

=-(1 × 3)

=-3

2) (-2)×5 =-(∙-2∙ × ∙5∙)

=-(2×5)

=-10

3) (-3)×2 =-(∙-3∙ × ∙2∙)

=-(3 ×2)

=-6

4) (-4)×6 =-(∙-4∙ × ∙6∙)

=-(4 ×6)

=-24 ตอบ

ตัวอย่างที่ 8

4) การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบ

พิจารณาการหาผลคูณของ-3กับ-4ดังนี้

เนื่องจาก (-4)+4 = 0

น�า-3คูณเข้าทั้งสองข้าง (-3) × [(-4)+4] = (-3) × 0

จากสมบัติการแจกแจง [(-3) × (-4)]+[(-3) × 4]= 0

นั่นคือ [(-3) × (-4)]+(-12) = 0

แสดงว่า(-3) × (-4)กับ-12ต้องเป็นจ�านวนตรงข้ามกันซึ่งจ�านวนตรงข้ามของ-12

คือ12

ดังนั้น(-3) × (-4)=12

พิจารณาการหาผลคูณของ-3กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3หรือ∙-3∙=3

ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4

จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ-3คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-4จะได้ผลคูณเป็นจ�านวน

เต็มบวกซึ่งเท่ากับ12เช่นเดียวกับการหาผลคูณโดยใช้สมบัติการแจกแจง

การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาคูณกันจะได้ผลคูณเป็นจ�านวนเต็มบวก

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-4)×6

2) (-8)×7

ลองทําดู

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

จะได้ว่า(-a)×b=-(a×b)

ค³Ôตน่ารู้

จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ -3 คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของ 4 แล้วเขียนผลคูณเป็น

จ�านวนเต็มลบจะได้ผลคูณเท่ากับ-12เช่นเดียวกับการหาผลคูณโดยใช้สมบัติการสลับที่ส�าหรับ

การคูณ

การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวกให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาคูณกันแล้วเขียนผลคูณเป็นจ�านวนเต็มลบ

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-4)×(-3)

3) (-8)×(-11)

2) (-6)×(-5)

4) (-23)×(-5)

วิธีท�า 1) (-4)×(-3) =∙-4∙ × ∙-3∙

=4 × 3

=12

2) (-6)×(-5) =∙-6∙ × ∙-5∙

=6×5

=30

ตัวอย่างที่ 9

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

จะได้ว่า(-a)×(-b)=a×b

ค³Ôตน่ารู้

20 21

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) [2×(-2)]× 3 2) 6×[3×(-2)]

วิธีท�า 1) [2×(-2)]× 3 =-(∙2∙ × ∙-2∙) × 3

=-(2×2)× 3

=(-4)× 3

=-(∙-4∙ × ∙3∙)

=-12

2) 6 ×[3×(-2)] =6 ×[-(∙3∙ × ∙-2∙)]

=6 ×[-(3 ×2)]

=6 ×(-6)

=-(∙6∙ × ∙-6∙)

=-36 ตอบ

ตัวอย่างที่ 10

นักเรียนคิดว่าผลคูณของ

2×(-2)×3เหมือนกับ

ผลคูณในตัวอย่างที่10หรือไม่

เพราะเหตุใด

Thinking Time

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) [5 ×(-2)] × 3

2) 4 ×[5 × (-3)]

ลองทําดู

จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-3) ×(-12) 2) (-7) ×(-6)

ลองทําดู

2. การหารจํานวนเต็ม

ในหน่วยการเรียนรู้น้ีนักเรียนจะเรียนการหารจ�านวนเต็มด้วยจ�านวนเต็มท่ีเป็นการหาร

ลงตัวโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหารดังนี้

ตัวตั้ง=ตัวหาร×ผลหาร

1) การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวก

พจิารณาการหาผลหารของ12กบั4โดยใช้ความสมัพนัธ์ของการคณูและการหารดงันี้

เนื่องจาก 12 = 4× 3

ดังนั้น 12÷4 = 3

การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวกจะได้ผลหารเป็นจ�านวนเต็มบวก

2) การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบ

พิจารณาการหาผลหารของ-12กับ-4โดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหาร

ดังนี้

เนื่องจาก -12 = (-4)× 3

ดังนั้น (-12)÷(-4) = 3

พิจารณาการหาผลหารของ-12กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-12เท่ากับ12หรือ∙-12∙=12

ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4

จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ -12 หารด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -4 จะได้ผลหารเป็น

จ�านวนเต็มบวก ซึ่งเท่ากับ 3 เช่นเดียวกับการหาผลหารโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและ

การหาร

การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาหารกันจะได้ผลหารเป็นจ�านวนเต็มบวก

3) (-8)×(-11) =∙-8∙ × ∙-11∙

=8× 11

=88

4) (-23)×(-5) =∙-23∙ × ∙-5∙

=23×5

=115 ตอบ

22 23

3) การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวก

พิจารณาการหาผลหารของ -12 กับ 4 โดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหาร

ดังนี้

เนื่องจาก -12 = 4×(-3)

ดังนั้น (-12)÷4 = -3

พิจารณาการหาผลหารของ-12กับ4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ-12เท่ากับ12หรือ∙-12∙=12

ค่าสัมบูรณ์ของ4เท่ากับ4หรือ∙4∙ =4

จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ-12หารด้วยค่าสัมบูรณ์ของ4แล้วเขียนผลหารเป็น

จ�านวนเต็มลบจะได้ผลหารเท่ากับ-3เช่นเดียวกับการหาผลหารโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณ

และการหาร

การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวกให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาหารกันแล้วเขียนผลหารเป็นจ�านวนเต็มลบ

จงหาผลลัพธ์ของ(-72)÷(-3)÷(-4)

Thinking Timeจงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-42) ÷(-7) 2) (-75) ÷(-5)

ลองทําดู

จงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-30)÷(-5) 2) (-144)÷(-8)

วิธีท�า 1) (-30)÷(-5) =∙-30∙ ÷ ∙-5∙

=30÷5

=6

2) (-144)÷(-8) =∙-144∙ ÷ ∙-8∙

=144 ÷8

=18 ตอบ

ตัวอย่างที่ 11

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

จะได้ว่า(-a)÷(-b)=a÷b

ค³Ôตน่ารู้

4) การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบ

พิจารณาการหาผลหารของ 12 กับ -4 โดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหาร

ดังนี้

เนื่องจาก 12 = (-4)×(-3)

ดังนั้น 12÷(-4) = -3

พิจารณาการหาผลหารของ12กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของ12เท่ากับ12หรือ∙12∙=12

ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4

จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ12หารด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-4แล้วเขียนผลหารเป็น

จ�านวนเต็มลบจะได้ผลหารเท่ากับ-3เช่นเดียวกับการหาผลหารโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณ

และการหาร

การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง

มาหารกันแล้วเขียนผลหารเป็นจ�านวนเต็มลบ

จงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-36)÷ 3 2) 45÷(-5)

วิธีท�า 1) (-36)÷ 3 =-(∙-36∙ ÷ ∙3∙)

=-(36÷ 3)

=-12

2)45÷(-5) =-(∙45∙ ÷ ∙-5∙)

=-(45÷5)

=-9 ตอบ

ตัวอย่างที่ 12

ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

จะได้ว่า (-a)÷b=-(a÷b)

และ a÷(-b)=-(a÷b)

ค³Ôตน่ารู้

จงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้

1) (-54) ÷6 2) 108 ÷(-6)

ลองทําดู

24 25

แบบฝึกทักษะ 1.5

1. จงหาผลคูณในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 3 ×17

3) (-6)×7

5) (-2)× 3 ×15

2) 8×(-9)

4) (-7)×(-5)

6) 3×(-6)×2

2. จงหาผลหารในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 65÷5

3) (-57)÷ 3

5) 60÷(-4)

2) (-38)÷(-2)

4) 132÷(-11)

6) (-48)÷(-8)

3. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) (-2)+(3×15)

3) [(-5)×6]×(-4)

5) (-12)÷[4-(-2)]

7) [(-48)÷(-3)]-7

9) (-78)+14× 4

11) 63÷(-9)+(-2)×(-10)

2) [(-5)+(-2)]×(-3)

4) 8×[(-4)×(-7)]

6) [(-12)+2]÷(-5)

8) (-5)+[54÷(-6)]

10) 40+(-36)÷9

12) (-8)×(-5)-(-36)÷9

4. จงเติมจ�านวนลงใน ให้ถูกต้อง

1) 2×(-3)× =-48

3) ×(-4) ×(-3)=-60

5) ÷8 =-83

7) 180 ÷ ×(-22)=132

2) (-3)× ×(-2)=24

4) ÷(-2) =-72

6) (-672) ÷ =96

8) ÷7 ×9 =-675

5. จงเตมิจ�านวนลงในตารางให้ถกูต้องเมือ่ก�าหนดจ�านวนท่ีอยูใ่นแนวนอนเป็นตวัตัง้และจ�านวน

ที่อยู่ในแนวตั้งเป็นตัวหาร

6. จงเติมจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงในตารางต่อไปนี้โดยที่สัญลักษณ์ที่เหมือนกัน

เป็นจ�านวนเดียวกัน

ข้อ ช่องที่ 1 ช่องที่ 2

1

2

3

4

×

( × ) ×

÷

( ÷ ) ÷

×

× ( × ) ÷

÷ ( ÷ )

1) จงหาค่าผลลัพธ์จากตารางในช่องที่1และช่องที่2

2) จงเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากตารางในช่องที่1และช่องที่2

12 -12

-6 -2

4

-12 3

3

ตัวตั้งตัวหาร

ระดับ ท้าทาย

ระดับ พื้นฐาน

ระดับ กลาง

26 27

1.6 สมบัติของจํานวนเต็ม

1. สมบัติของหนึ่งและศูนย 1) สมบัติของศูนย

(1) จ�านวนเต็มใดๆ บวกด้วยศูนย์ หรือศูนย์บวกด้วยจ�านวนเต็มใดๆ จะได้ผลบวก

เท่ากับจ�านวนนั้นเช่น 3+0 = 0+3=3

(-5)+0 = 0+(-5)=-5

a+0=0+a=aเมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ

(2) จ�านวนเต็มใดๆ คูณด้วยศูนย์หรอืศนูย์คณูด้วยจ�านวนเตม็ใดๆ จะได้ผลคณูเท่ากบั

ศูนย์เช่น 3×0 = 0×3 =0

(-5)×0 = 0×(-5) =0

a×0=0×a=0เมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ

(3) ศูนย์หารด้วยจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะได้ผลหารเท่ากับศูนย์เช่น

03 = 0

0(-7) = 0

0a=0เมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่เท่ากับ0

(4) ถ้าผลคูณของจ�านวนเต็มสองจ�านวนใดๆ เท่ากับศูนย์ แล้วจ�านวนใดจ�านวนหนึ่ง

ต้องเท่ากับศูนย์กล่าวคือถ้า aและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ และa×b=0แล้วa=0

หรือb=0

2) สมบัติของหนึ่ง

(1) จ�านวนเตม็ใดๆ คณูด้วยหนึง่หรอืหนึง่คณูด้วยจ�านวนเตม็ใดๆ จะได้ผลคณูเท่ากบั

จ�านวนนั้นเช่น 1×3 = 3×1 = 3

1 ×(-5) = (-5)×1 = -5

1 ×a=a×1=aเมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ

ถ้าaแทนจ�านวนเต็มใดๆ

แล้วa0 ไม่มีความหมาย

ทางคณิตศาสตร์

ค³Ôตน่ารู้

(2) จ�านวนเต็มใดๆ หารด้วยหนึ่งจะได้ผลหารเท่ากับจ�านวนนั้นเช่น

3 ÷1 = 3

(-5)÷1 = -5

a÷1=aเมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ

จงหาผลลัพธของจ�านวนต่อไปนี้

1) (18-17) × (-9) 2) 6÷[(-4)+5]

วิธีท�า 1) (18-17) × (-9) =1× (-9) 2)6÷[(-4)+5] =6÷ 1

=-9 =6 ตอบ

ตัวอย่างที่ 13

2. สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม

1) สมบัติการสลับที่

(1) การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวน เราสามารถสลับท่ีระหว่างตัวตั้งและตัวบวกได้

โดยที่ผลบวกยังคงเท่ากันเช่น 3+(-5) = (-5)+3=-2

ถ้าaและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้วa+b=b+a

(2) การคณูจ�านวนเตม็สองจ�านวนเราสามารถสลบัทีร่ะหว่างตวัตัง้และตวัคณูได้โดยที่

ผลคูณยังคงเท่ากันเช่น 3×(-5) = (-5)×3=-15

ถ้าaและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้วa×b=b×a

2) สมบัติการเปลี่ยนหมู่

(1) สมบัติการเปลี่ยนหมู ่ส�าหรับการบวก เมื่อมีจ�านวนเต็มสามจ�านวนบวกกัน

นักเรียนสามารถบวกจ�านวนเต็มคู่แรกหรือคู่หลังก่อนได้โดยที่ผลบวกสุดท้ายยังคงเท่ากันเช่น

[2+(-7)]+(-3) = 2+[(-7)+(-3)]=-8

จงหาผลลัพธของจ�านวนต่อไปนี้

1) (12- 11) × (-7) 2) 9 ÷[23+(-22)]

ลองทําดู

28 29

ถ้าa,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้ว(a+b)+c=a+(b+c)

(2) สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส�าหรับการคูณเมื่อมีจ�านวนเต็มสามจ�านวนคูณกันนักเรียน

สามารถคูณจ�านวนเต็มคู่แรกหรือคู่หลังก่อนได้โดยที่ผลคูณสุดท้ายยังคงเท่ากันเช่น

[2×(-7)]×(-3) = 2×[(-7)×(-3)]=42

ถ้าa,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้ว(a×b)×c=a×(b×c)

3) สมบัติการแจกแจงเป็นสมบัติที่เกี่ยวข้องระหว่างการบวกและการคูณเช่น 3 ×[4+(-6)] = (3×4)+[3×(-6)] =-6

[(-2)+8]×(-3) = [(-2)×(-3)]+[8×(-3)] =-18

ถ้าa,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้วa×(b+c)=(a×b)+(a×c)

และ(b+c)×a=(b×a)+(c×a)

จงหาผลบวกของ (-18) + 31 + (-34)

วิธีท�า (-18)+31+(-34) =(-18)+(-34)+31 (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการบวก)

=[(-18)+(-34)]+31 (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส�าหรับการบวก)

=(-52)+31

=-21 ตอบ

จงหาผลคูณของ (-3) × (-5) × 4

วิธีท�า (-3) × (-5) × 4 =(-3) × [(-5) × 4] (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส�าหรับการคูณ)

=(-3) × (-20)

=60 ตอบ

ตัวอย่างที่ 14

ตัวอย่างที่ 15

จงหาผลบวกของ (-27) + 35 + (-42)

จงหาผลคูณของ (-7) × 5 × (-6)

ลองทําดู

ลองทําดู

จงหาผลคูณของ 123 × (-15)

วิธีท�า 123 × (-15) =123 × [(-10)+(-5)]

=[123×(-10)]+[123×(-5)] (สมบัติการแจกแจง)

=(-1,230)+(-615)

=-1,845 ตอบ

ตัวอย่างที่ 16

1. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 0+(-23)

5) 1×(-11)

2) (-9)-0

6) (-49)÷ 1

3) (-58)×0

7) 1×a3

4) 0÷(-36)

8) (a×b)÷ 1

2. จงเติมจ�านวนเต็มใดๆ ใน และ เพื่อท�าให้แต่ละประโยคต่อไปนี้เป็นจริง

1) +13=13+(-29)

2) (-5)× =7×(-5)

3) (6+2)+(-3)= +[2+(-3)]

4) ( ×7)×(-4)=8×[7×(-4)]

5) (-5)+ =(-2)+

6) (-4)×(32× )=( ×32)×(-7)

7) (8×11)+(8× )= ×[11+(-5)]

3. จงหาผลคูณในแต่ละข้อต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของจ�านวนเต็ม

1) 18×74 2) 138×(-65) 3) 123×996

แบบฝึกทักษะ 1.6

จงหาผลคูณของ 213 × (-26)

ลองทําดู

ระดับ พื้นฐาน

ระดับ กลาง

30 31

1.7 การนําความรูเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชในชีวิตจริง ในชีวิตประจ�าวันมีการน�าความรู้เกี่ยวกับจ�านวนเต็มและสมบัติของจ�านวนเต็มไปใช้ เช่น

การซือ้สิง่ของต่างๆ และการแสดงจ�านวนเงนิทีข่าดทนุจากการค้าขายโดยใช้จ�านวนเต็มลบเป็นต้น

ซึ่งนักเรียนจะได้ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้

รจนาซื้อดินสอ ไม้บรรทัด วงเวียน และปากกาเปนเงิน 12 บาท 27 บาท 28 บาท และ 13 บาท

ตามล�าดับ จงหาว่ารจนาซื้อสินค้าทั้งหมดกี่บาท

วิธีท�า รจนาซื้อสินค้าทั้งหมดเป็นเงิน12+27+28+13บาท

=12+28+27+13บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการบวก)

=(12+28)+(27+13)บาท

=40+40บาท

=80บาท

ดังนั้นรจนาซื้อสินค้าทั้งหมด80บาท ตอบ

พ่อค้าขายส้ม ฝรั่ง และเงาะได้ก�าไร 242 บาท 256 บาท และ 268 บาท ตามล�าดับ แต่การ

ขนส่งท�าให้มะม่วงบางส่วนเกิดรอยช�้า จึงต้องลดราคาท�าให้ขายมะม่วงขาดทุน 246 บาท

อยากทราบว่าพ่อค้าขายผลไม้ทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท

วิธีท�า ให้จ�านวนเต็มบวกแสดงจ�านวนเงินที่แม่ค้าขายผลไม้ได้ก�าไรและจ�านวนเต็มลบ

แสดงจ�านวนเงินที่แม่ค้าขายผลไม้ขาดทุน

พ่อค้าขายผลไม้ทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไร242+256+268+(-246)บาท

=242+268+256-246บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการบวก)

=(242+268)+(256-246)บาท

=510+10บาท

=520บาท

ดังนั้นพ่อค้าขายผลไม้ทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไร520บาท ตอบ

มินตราซื้อเสื้อราคาขายส่งตัวละ 179 บาท จ�านวน 95 ตัว มินตราซื้อเสื้อทั้งหมดกี่บาท

วิธีท�า วิธีคิดราคาเสื้ออาจคิดได้หลายวิธีเช่น

วิธีที่ 1 มินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน95 × 179บาท

=179 × 95บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณ)

=179 × (100-5)บาท

=(179 × 100)-(179 × 5)บาท (สมบัติการแจกแจง)

=17,900-895บาท

=17,005บาท

ดังนั้นมินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน17,005 บาท

วิธีที่ 2 มินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน95 × 179บาท

=179 × 95บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณ)

=(180-1) × 95บาท

=(180 × 95)-(1 × 95)บาท (สมบัติการแจกแจง)

=17,100-95บาท

=17,005บาท

ดังนั้นมินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน17,005บาท ตอบ

ตัวอย่างที่ 17

ตัวอย่างที่ 18

ตัวอย่างที่ 19

สุชาติเลี้ยงไก่ เปด ห่าน และวัวจ�านวน 107 ตัว 85 ตัว 32 ตัว และ 23 ตัว ตามล�าดับ

จงหาว่าสุชาติเลี้ยงสัตวทั้งหมดกี่ตัว

แม่ค้าขายขนมทองหยิบ ทองหยอด และฝอยทองได้ก�าไร 525 บาท 417 บาท และ 415 บาท

ตามล�าดับ แต่ช่วงบ่ายฝนตกส่งผลให้ขายขนมถ้วยฟูขาดทุน 207 บาท อยากทราบว่าแม่ค้า

ขายขนมไทยทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท

ลองทําดู

ลองทําดู

สินีขายสมุด 256 เล่ม ราคาเล่มละ 37 บาท สินีได้รับเงินทั้งหมดกี่บาท

ลองทําดู

32 33

ขวัญข้าวซื้อสมุดปกแข็ง ราคาโหลละ 157 บาท จ�านวน 95 โหล สมุดปกอ่อนราคาโหลละ

106 บาท จ�านวน 90 โหล ขวัญข้าวต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

วิธีท�า คิดเงินจากสมุดปกแข็งและสมุดปกอ่อนจ�านวน90โหลก่อนและคิดเงินจาก

สมุดปกแข็งที่เหลืออีก5โหลแล้วน�าเงินมาบวกกัน

จะได้จ�านวนเงินเท่ากับ[(90× 157)+(90× 106)]+(5× 157)บาท

=[(157× 90)+(106× 90)]+(157× 5)บาท(สมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณ)

=[(157 + 106)× 90]+785บาท (สมบัติการแจกแจง)

=[263 × (9× 10)]+785บาท

=[(263 × 9)× 10]+785บาท (สมบตักิารเปลีย่นหมูส่�าหรบัการคณู)

= (2,367 × 10)+785บาท

=23,670+785 บาท

=24,455บาท

ดังนั้นขวัญข้าวต้องจ่ายเงินทั้งหมด24,455บาท ตอบ

ตัวอย่างที่ 20

วีณาซื้อปากกาน�้าเงินราคาโหลละ 192 บาท จ�านวน 68 โหล ดินสอราคาโหลละ 146 บาท จ�านวน 60 โหล วีณาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

ลองทําดู

1. นักเรียนคิดว่า

1) ท�าไมจึงควรใช้สมบัติการสลับที่ เพื่อเปลี่ยนอันดับที่ของการบวกจ�านวนเต็ม

ต่อไปนี้ก่อนหาผลบวก(-75)+(-173)+(-20)

2) เพราะอะไรจึงสลับที่จ�านวนเต็มสองจ�านวนนั้น

2. ค่าสมับรูณ์ของผลรวมของจ�านวนเต็มสองจ�านวนทีแ่ตกต่างกนัและมีเคร่ืองหมาย

เหมือนกันเท่ากับ 8 ถ้าสินีบอกว่ามีจ�านวนเต็มสามคู่ที่ตรงกับค�าอธิบายดังกล่าว นักเรียน

เห็นด้วยหรือไม่เพราะเหตุใด

คาํถามท้าทายการคดิขัน้สงู

แบบฝึกทักษะ 1.7ระดับ พื้นฐาน

ระดับ กลาง

1. แม่ค้าร้านอาหารแห่งหนึ่งซ้ือกุ้ง ปลา ปู และเนื้อไก่อย่างละ 25 กิโลกรัม 86 กิโลกรัม

18กโิลกรมัและ94กโิลกรมัตามล�าดบัอยากทราบว่าแม่ค้าซือ้อาหารสดทัง้หมดกีก่โิลกรมั

2. พ่อมีไม้4ท่อนท่อนแรกยาว229เซนติเมตรท่อนที่สองยาว134เซนติเมตรท่อนที่สาม

ยาว221เซนติเมตรและท่อนที่สี่ยาว178เซนติเมตรถ้าพ่อน�าไม้ทั้งสี่ท่อนมาวางต่อกัน

จะมีความยาวทั้งหมดกี่เซนติเมตร

3. นิธิศขายจาน ชาม และแก้วเซรามิคได้ก�าไร 1,567 บาท 1,482 บาท และ 973 บาท

ตามล�าดับ แต่นิธิศท�าถ้วยเซรามิคแตกเสียหายบางส่วน ท�าให้ขายถ้วยเซรามิคขาดทุน

642บาทอยากทราบว่านิธิศขายสินค้าเซรามิคทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท

4. สมปองขายแก้วน�้า368ใบราคาใบละ45บาทสมปองได้รับเงินทั้งหมดกี่บาท

5. ธิดาซื้อเสื้อตัวละ89บาทจ�านวน4ตัวและกระโปรงตัวละ90บาทจ�านวน3ตัว

ธิดาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

6. ปกปองต้องการซื้อเสื้อตัวละ198บาทจ�านวน5ตัวและกางเกงตัวละ280บาทจ�านวน

3ตัวปกปองซื้อของทั้งหมดกี่บาท

7. รสิาซือ้เงาะราคากโิลกรมัละ45บาทจ�านวน5กโิลกรมัและซือ้ส้มราคากโิลกรมัละ65บาท

จ�านวน5กิโลกรัมริสาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

8. หน่อยซื้อกระเปาราคา268บาทจ�านวน8ใบและถุงเท้าราคาคู่ละ32บาทจ�านวน8คู่

หน่อยต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

9. แม่คา้ซื้อนมรสหวานมา7ลังในหนึง่ลังมี48กลอ่งถ้าแมค่้าน�านมรสหวานมาขายกล่องละ

12บาทแม่ค้าจะได้รับเงินกี่บาทเมื่อขายนมรสหวานหมด7ลัง

10. วนิดามีพวงกุญแจตุกตาอยู่ 563 ชิ้น ขายไปแล้วยังเหลือพวงกุญแจตุกตาอีก 345 ชิ้น

ถ้าวนิดาขายพวงกุญแจตุกตาชิ้นละ85บาทวนิดาจะได้รับเงินกี่บาท

11. พ่อค้ามีข้าวสาร470กิโลกรัมแบ่งบรรจุใส่ถุงถุงละ5กิโลกรัมถ้าพ่อค้าขายข้าวสารถุงละ

239บาทพ่อค้าจะได้รับเงินทั้งหมดกี่บาท

34 35

ในชวิีตจรงิเราได้น�าความรูเ้กีย่วกบัจ�านวนเตม็และสมบตัขิองจ�านวนเตม็มาใช้ในสถานการณ์

ต่างๆ เช่น

คณิตศาสตรใ์นชีวิตจริง

สถานการณที่ 1 วายฝุากเงนิทีธ่นาคารพาณชิย์แห่งหนึง่ทกุเดอืนเดอืนละ1,355บาทจ�านวน

12เดือนซึ่งได้ดอกเบี้ยร้อยละ0.5ต่อป1ถ้าในวันที่1ของเดือนที่13วายุถอนเงินออกมาจาก

บัญชีธนาคารจ�านวน12,500บาทอยากทราบว่าวายุเหลือเงินในบัญชีธนาคารกี่บาท

สถานการณที่ 2 ร้านขายรองเท้าแห่งหนึ่งแม่ค้าติดราคาขายรองเท้าไว้คู่ละ399บาทถ้าซื้อ

2คู่แม่ค้าลดราคาให้25บาทดาวิกาต้องการซื้อรองเท้า5คู่เพื่อน�าไปฝากเพื่อน3คนคนละ

1คู่และอีก2คู่ส�าหรับตนเองอยากทราบว่าดาวิกาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

สรุปแนวคิดหลัก

เส้นจ�านวน

-3 -2 -1 0 1 2 3

บนเส้นจ�านวนจ�านวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าจ�านวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ

จ�านวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ

•เขียนแทนจ�านวนตรงข้ามของaด้วยสัญลักษณ์-aเช่น

จ�านวนตรงข้ามของ3เขียนแทนด้วย-3

จ�านวนตรงข้ามของ-3เขียนแทนด้วย-(-3)

•เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของaด้วยสัญลักษณ์∙a∙เช่น

ค่าสัมบูรณ์ของ3เขียนแทนด้วย∙3∙

ค่าสัมบูรณ์ของ-3เขียนแทนด้วย∙-3∙

การบวกและการลบจ�านวนเต็ม

1) การบวกจ�านวนเต็ม

ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า

a+b = a+b

(-a)+(-b) = -(a+b)

a+(-b) = a-b เมื่อa≥b

a+(-b) = -(b-a) เมื่อb>a

(-a)+b = -(a-b) เมื่อa≥b

(-a)+b = b-a เมื่อb>a

จ�านวนเต็ม

ศูนย์0

จ�านวนเต็มบวก1,2,3,…

จ�านวนเต็มลบ-1,-2,-3,…

1 อัตราดอกเบี้ยเงินฝากส�าหรับบุคคลธรรมดาของธนาคารพาณิชย.สืบค้นเมื่อ17ตุลาคม2560,จากhttp://www.bot.or.th/thai/statistics/_layouts/application/interest_rate/in_rate.aspx

36 37

2) การลบจ�านวนเต็ม

ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ

a-b=a+จ�านวนตรงข้ามของbนั่นคือa-b=a+(-b)

การคูณและการหารจ�านวนเต็ม ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ

1) การคูณจ�านวนเต็ม

a×b = a×b

a×(-b) = -(a×b)

(-a)×b = -(a×b)

(-a)×(-b) = a×b

2) การหารจ�านวนเต็ม

a÷b = a÷b

(-a)÷(-b) = a÷b

(-a)÷b = -(a÷b)

a÷(-b) = -(a÷b)

สมบัติของจ�านวนเต็ม ก�าหนดให้a,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ

1) สมบัติของศูนย

a+0 = 0+a=a

a×0 = 0×a=0

2) สมบัติของหนึ่ง

a×1 = 1×a=a

a÷1 = a

3) สมบัติการสลับที่

a+b = b+a

และa×b=b×a

4) สมบัติการเปลี่ยนหมู่

(a+b)+c = a+(b+c)

(a×b)×c = a×(b×c)

5) สมบัติการแจกแจง

a×(b+c) = (a×b)+(a×c)

และ(b+c)×a = (b×a)+(c×a)

แบบฝึกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1

1. จงเขียนจ�านวน3จ�านวนต่อจาก-20โดยเพิ่มขึ้นทีละ4

2. จงเติมเครื่องหมาย<หรือ>ในช่องว่างที่ก�าหนดให้เพื่อท�าให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง

1) -7 -2

3) -1,243 -1,234

2) -11 -14

4) -24,872 -24,882

3. จงเติมจ�านวนใดๆ ใน และ เพื่อท�าให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง

1) (-3)+ =(-4)+(-3)

2) (-2)×(-3) = ×(-2)

3) (-3)+[ +(-4)] =[(-3)+5]+(-4)

4) ×(3+4) =[(-7)×3]+[(-7)× ]

5) ×13 =[(-2)×8]+[(-2)×2]+( × 3)

4. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) [(-5)-(-7)]×(-1)

3) [-∙-8∙+∙-5∙]-(-2)

2) [-(-12)-8]÷(-4)

4) [-∙(-3)-(-6)∙ ×(-8)]×[-∙(-4)-(-1)∙]

5. จงหาผลลบของ-[56-(-23)]-(-12)

6. จงหาผลลัพธ์ของ(-45)-(-53)+(-73)

7. จงหาผลลัพธ์ของ∙(-35)+(-49)∙-[27-12[(-6)+9]]

8. จงหาผลลัพธ์ของ[-∙24-32∙-∙19+(-36)∙]÷[-(6-14)]

9. จงหาผลลัพธ์ของ (-12)-[(-13)-(-15)](-12)×(-13)×(-15)-(-12)

10. สินีขายผักบุ้งจีนฟกเขียวและมะระจีนได้ก�าไร542บาท345บาทและ568บาท

ตามล�าดบัแต่มมีะเขอืเทศสดีาบางส่วนเน่าเสยีจงึท�าให้ขายมะเขอืเทศสดีาขาดทนุ125บาท

อยากทราบว่าสินีขายผักทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท

11. กุลธิดาซื้อหนังสือเล่มละ82บาทจ�านวน8เล่มและกรอบรูปอันละ139บาท

จ�านวน8อันกุลธิดาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท

12. ลินดาขายตุกตาหมีราคาตัวละ785บาทจ�านวน15ตัวลินดาจะได้รับเงินกี่บาท

38 39