scalari e vettori - farmacia.uniba.it · grandezze scalari e vettoriali tra le grandezze misurabili...
TRANSCRIPT
![Page 1: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/1.jpg)
VETTORI
![Page 2: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/2.jpg)
Grandezze scalari e vettoriali
Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad un numero e alla corrispondente unità di misura, vengono fissati anche direzione e verso
Grandezze Fisiche
Scalari : definite da
numero e unità di misura
Vettoriali : definite da
Modulo (valore numerico e
unità di misura)
direzione
verso
![Page 3: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/3.jpg)
I VETTORI
Un vettore viene indicato con la notazione:
v (lettera che individua la grandezza vettoriale in
grassetto)
oppure
v (lettera che individua la grandezza vettoriale con
una freccia sopra)
Il modulo di un vettore, cioè il suo valore numerico (o
intensità) viene invece indicato con |v| oppure |v|
oppure semplicemente v
![Page 4: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/4.jpg)
I VETTORI
Rappresentazione grafica di una grandezza vettoriale:
Freccia la cui lunghezza indica l’intensità o modulo e
la cui direzione e verso (individuato dalla punta della
freccia) coincidano con quelli della grandezza vettoriale
che rappresenta
direzione
modulo
verso
![Page 5: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/5.jpg)
Esempi di scalari e vettori
![Page 6: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/6.jpg)
Modulo di V = |V|=OP
Vy = yP
Vx = xP
P(xp,yp)
x
y
Rappresentazione dei VETTORI nel PIANO
O
V
Vy
Vx xP
yP
![Page 7: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/7.jpg)
Rappresentazione dei VETTORI nello spazio
y
x
z
V
O
P 0 (0,0,0)
P (xP, yP, zP)
Modulo di V = lunghezza del segmento OP
xP
yP
zP
![Page 8: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/8.jpg)
Rappresentazione dei VETTORI nello spazio
y
x
z
V
Vz = zP
Vy = yP
Vx = xP
V (Vx,Vy,Vz)
Vx
Vz
Vy
Componenti di V lungo i tre assi cartesiani
=
Proiezioni di OP sui tre assi cartesiani
![Page 9: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/9.jpg)
VETTORI NEL PIANO
Modulo di V = OP
Vy = yP
Vx = xP
P
x
y
Per esprimere un vettore in termini di componenti nei
piano facciamo un breve richiamo di trigonometria….
![Page 10: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Sin, Cos, Tan
R
sα s R
a
RICHIAMO
P (xP,yP)
P
P
P
P
x
y
R
x
R
y
a
a
a
tan
cos
sin yP
xP
![Page 11: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/11.jpg)
11
22 bac
a cosca
a sincba
a
a tan
cos
sin
a
b
a tanab
RICHIAMO
122 aa sencos
![Page 12: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/12.jpg)
VETTORI NEL PIANO
Modulo di V = OP
Componenti di V:
Vy = yP
Vx = xP
P
x
y
Equivalentemente
Vx = V cosa Vx = V sinb
Vy = V sina Vy = V cosb
b
a
Vx xP
yP
Vy
V Vy
![Page 13: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/13.jpg)
VETTORI NEL PIANO : -V
Il vettore U=-V ha
stesso modulo di V,
stessa direzione, ma
verso opposto.
Da cui segue :
Uy = -yP
Ux = -xP
P
x
y
V
P
x
y
U= -V
xp
-xp
yp
-yp
![Page 14: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/14.jpg)
I vettori sono enti che hanno delle specifiche
operazioni di somma e prodotto.
Si definiranno :
- Somma (e differenza) tra vettori
- Prodotto tra un vettore ed uno scalare
- Prodotto scalare tra vettori
- Prodotto vettoriale
![Page 15: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/15.jpg)
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
![Page 16: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/16.jpg)
Somma tra vettori
Metodo 1
Metodo 2:
Per determinare il vettore
somma di a e b si possono
usare due metodi :
Metodo 1 : Costruire un parallelogramma
Il vettore somma c = a+ b
giace sulla diagonale maggiore
Metodo 2 :
Unire la punta di un vettore con
la coda dell’ altro
Unire la coda libera del primo
con la punta libera del secondo
a
b
a b
b
![Page 17: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/17.jpg)
SOMMA DI DUE VETTORI A e B
A (AX, A
Y, A
Z) B (B
X, B
Y, B
Z)
C = A + B di componenti C (CX, C
Y, C
Z )
CX = A
X + B
X
CY = A
Y + B
Y
CZ = A
Z + B
Z
Si definisce il vettore somma C:
![Page 18: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/18.jpg)
CX
C A
B
Y
X O
C= A+B = vettore somma =
diagonale del parallelogramma
avente per lati i vettori A e B
BX AX
AY
In un piano XY
A
B
A+B
Somma di due vettori: componenti nel
piano cartesiano
![Page 19: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/19.jpg)
A
A1
A4
A3
A2
A = A1+ A2+ A3+…. AN vettore che congiunge
il primo estremo di A1 con il secondo estremo di AN
A1 A2 A3
A4
SOMMA DI N VETTORI A1, A
2, A
3,… A
N
![Page 20: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/20.jpg)
somma dei vettori A e B A
B B
A A B
A+B
A
B AB
DIFFERENZA DI DUE VETTORI A e B:
![Page 21: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/21.jpg)
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
![Page 22: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/22.jpg)
PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE
Sia A un vettore ed m uno scalare. Si definisce B come
prodotto di m per A
![Page 23: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/23.jpg)
RAPPRESENTAZIONE DI UN VETTORE TRAMITE VERSORE
Un vettore nello spazio lo si può scrivere come multiplo
di un vettore di modulo unitario, chiamato versore
direzione
Modulo = 1
verso
Versore u
v = m u
![Page 24: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/24.jpg)
ALTRA RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL
PIANO
P
x
y
vx
vy
P
x
y
i
j
yx vvv
v
ji
yx vvv
vx
vy
![Page 25: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/25.jpg)
i j k versori
degli assi coordinati
k j
i
i (1,0,0 ) j (0,1,0 ) k (0,0,1)
Versore = vettore di lunghezza unitaria
Rappresentazione tramite versori
![Page 26: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/26.jpg)
A
Z
X
Y AXi AYj
AZk
A = AX i + AY j + AZ k
Scomposizione lungo gli assi cartesiani
![Page 27: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/27.jpg)
RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL PIANO
P
x
y
A = AX i + AY j
i j
Ax
Ay
![Page 28: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/28.jpg)
SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO
DUE DIREZIONI ORIENTATE r ED s
determinazione di due vettori
paralleli a r ed s la cui somma è A
A
r
s As Ar
A = Ar + A
s
![Page 29: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/29.jpg)
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
![Page 30: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/30.jpg)
PRODOTTO SCALARE
Il risultato è uno SCALARE
a A
B
A B = 0
A 0
B = 0
A B
A A = A A cos 0 =A2
![Page 31: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/31.jpg)
i i = 1 j j = 1 k k = 1
i j = 0 j k = 0 i k = 0
proprietà commutativa
A B = B A
proprietà distributiva
A ( B + C) = A B + A C
Proprietà del prodotto scalare
![Page 32: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/32.jpg)
A B = (AX i + AY j + AZ k) (BX i + BY j + BZ k) =
= AX BX + AY BY + AZ BZ
A A = A2 = AX2 + AY
2 + AZ2
Prodotto scalare in componenti cartesiane
![Page 33: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/33.jpg)
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
![Page 34: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/34.jpg)
C = A B
A
B C
modulo di C : C = A B sen
direzione di C : perpendicolare al piano definito da A e B
verso di C : definito dalla regola della vite destrorsa
o dalla regola della mano destra
oppure C = A B
A B
C
B A
C
C vettore
Prodotto vettoriale di due vettori
![Page 35: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/35.jpg)
a
b
Regola della vite : direzione perpendicolare
al piano e verso pari allo spostamento della
vite se ruotata da a a b
Regola della mano destra
1. Supponete che la vostra mano
destra sia il piano in cui sono
disegnati i vettori;
2. Considerate le prime 3 dita
della mano destra: pollice, indice
e medio;
3. Orientate l’indice secondo la
direzione di a e il medio secondo
la direzione di b;
4. Orientare il pollice in modo che
sia perpendicolare al piano
formato dalle altre 2 dita
5. La direzione e il verso deI
vettore prodotto sono quelli del
pollice;
Regole per determinare il verso di C=AxB
a x b
![Page 36: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/36.jpg)
proprietà anticommutativa
A B = B A
proprietà distributiva
A ( B + C ) = A B + A C
i i = 0 j j = 0 k k = 0
Proprietà del prodotto vettoriale
![Page 37: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/37.jpg)
ESERCIZI
![Page 38: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/38.jpg)
Richiamo trigonometria 38
Sin, Cos, Tan
R
sα s R
a
P (xP,yP)
P
P
P
P
x
y
R
x
R
y
a
a
a
tan
cos
sin yP
xP
![Page 39: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/39.jpg)
Richiamo trigonometria 39
22 bac
a cosca
a sincba
a
a tan
cos
sin
a
b
a tanab
122 aa sencos
![Page 40: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/40.jpg)
Richiamo trigonometria
090
2
160
2
245
2
330
10
cos
cos
cos
cos
cos
190
2
360
2
245
2
130
00
sen
sen
sen
sen
sen
90
360
145
3
130
00
tg
tg
tg
tg
tg
![Page 41: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/41.jpg)
Richiamo di trigonometria
Noto il valore di sen, cos o tg di un angolo, possiamo
determinare l’angolo tramite le funzioni inverse
(i.e. la funzione inversa del seno sen-1arcsen, analogamente
cos-1 arccos, tg-1 arctg)) :
)arctg(tg
)arcsen(sen
)arccos(cos
bb
aa
![Page 42: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/42.jpg)
Esercizio 1
Scomporre un vettore di modulo 100 in due
componenti ad angolo retto, una delle quali forma un
angolo di 30° con la direzione del vettore. Risolvere
graficamente e con il calcolo
![Page 43: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/43.jpg)
Soluzione
![Page 44: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/44.jpg)
Esercizio 2
Dati i due vettori scritti in forma cartesiana
a = (4.0 ) i – (3.0) j e b = (6.0 ) i + (8.0) j
determinare:
1) modulo e direzione di a (rispetto ad i);
2) modulo e direzione di b;
3) modulo e direzione di a+b;
4) modulo e direzione di b-a;
5) modulo e direzione di a-b;
6) l’angolo fra la direzione di b-a e a-b
![Page 45: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/45.jpg)
Risposta ad 1) e 2)
![Page 46: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/46.jpg)
Risposta 3)
![Page 47: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/47.jpg)
Risposta 4)
![Page 48: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/48.jpg)
Risposta 5)
![Page 49: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/49.jpg)
Risposta 6)
![Page 50: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/50.jpg)
Esercizio 3
Un automobilista percorre 5 miglia verso Ovest,
quindi 4 miglia in direzione Nord-Est e infine 3
miglia verso Nord.
Qual è lo spostamento risultante? Quanto cioè si è
allontanato dal punto di partenza?
![Page 51: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/51.jpg)
![Page 52: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/52.jpg)
![Page 53: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/53.jpg)
Esercizio 4
![Page 54: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/55.jpg)
![Page 56: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/56.jpg)
Prodotti tra vettori
Scalare
Vettoriale
![Page 57: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/57.jpg)
Esercizio 5
![Page 58: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/58.jpg)
![Page 59: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/59.jpg)
Esercizio 6
Il vettore a ha modulo 8.08 e punta verso l’asse x
negativo. Il vettore b ha modulo 4.51 e punta a +45°
rispetto all’asse x positivo.
o Determinare le componenti x ed y di ciascun vettore.
o La somma dei 2 vettori in modulo, direzione e verso;
o Il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale.
![Page 60: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/61.jpg)
![Page 62: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/63.jpg)
Esercizio 6
Sono dati 3 vettori:
o a di modulo 66.0 che forma un angolo di 28° rispetto al
semiasse positivo delle x;
o b di modulo 40.0 che forma un angolo di 124° rispetto al
semiasse positivo delle x;
o c di modulo 46.8 che punta verso l’asse negativo delle y .
Determinare :
le componenti dei tre vettori;
Il vettore risultante a+b+c in modulo, direzione e verso
![Page 64: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/65.jpg)
![Page 66: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/67.jpg)
Esercizio 7
Un uomo si sposta di 24 metri nella direzione 30°
nord rispetto ad est, poi di 28 metri nella direzione
37° nord rispetto a est, infine di 20 metri nelle
direzione 50° sud rispetto a ovest.
Determinare il vettore spostamento totale in
modulo, direzione e verso.
![Page 68: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/68.jpg)
![Page 69: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/69.jpg)
![Page 70: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/70.jpg)
Esercizio 8
Un aereo viaggia alla velocità di vr = 400 Km/h
verso Est, poi si trova in una zona in cui spira un
forte vento da Nord, con velocità vv = 80 Km/h .
Calcolare quale velocità ( in modulo e direzione)
dovrà assumere l’aereo in questo caso per non
perdere la rotta.
![Page 71: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/73.jpg)
Esercizio 9
Un motoscafo da corsa si muove in direzione E 30º N
alla velocità di 25 miglia/h in un corso d’acqua in cui
la corrente è tale che il moto risultante avviene nella
direzione E 50º N alla velocità di 30 miglia/h.
Trovare la velocità della corrente (in modulo e
direzione).
![Page 74: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/76.jpg)
![Page 77: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/77.jpg)
Esercizio 10
Un vagoncino delle montagne russe parte e si muove
di 60 m orizzontalmente. Poi sale di 40 m secondo
una direzione inclinata di 30° rispetto all’orizzontale
e quindi sale ancora di 25 m secondo una direzione
inclinata di 45°.
1. Determinare lo spostamento totale del carrello.
2. Quanto distante in orizzontale si trova il carrello
rispetto alla partenza? Ed in verticale?
![Page 78: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/78.jpg)
![Page 79: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/79.jpg)
![Page 80: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/80.jpg)
Esercizio 11
Un’imbarcazione si sposta per 50 miglia verso Nord,
poi percorre altre 50 miglia verso Ovest e infine 25
miglia verso Sud. Che angolo, misurato dalla
direzione Est, avrebbe dovuto seguire l’imbarcazione
alla partenza per raggiungere direttamente la
destinazione?
![Page 81: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/81.jpg)
![Page 82: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/83.jpg)
Esercizio 12
Durante una partita di calcio, il portiere P, dal centro della propria porta, rilancia la palla al terzino T che si trova ad una distanza d = 30m dalla sua linea di fondo e s = 20m dalla sua sinistra. Il terzino poi passa la palla all’attaccante A che si trova a una distanza h = 80m dalla linea di fondo ed a 15m a destra del proprio portiere:
1. Quale direzione e verso deve imprimere alla palla l’attaccante per centrare la porta avversaria se il campo di calcio è lungo 100m?
2. Quale spostamento ha compiuto la palla nel momento in cui entra nella porta avversaria? E quanto spazio ha percorso?
![Page 84: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013114/5c6b097509d3f247048b5ee8/html5/thumbnails/85.jpg)