scegliere razionalmente: matematica, logica e...

Scegliere razionalmente:

matematica, logica e democrazia

Hykel Hosni

Centro di Ricerca Matematica E. de Giorgi, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italyhttp://homepage.sns.it/hosni/

10 luglio 2009

Hykel Hosni () Scegliere razionalmente:matematica, logica e democrazia10 luglio 2009 1 / 21

Scegliere razionalmente

1 Scelte individuali e scelte sociali

2 Razionalita individuale

3 Dall’interesse personale al bene

collettivo


Decisione individuale

No, no... allora non vengo. Che dici vengo? Mi si nota di piu sevengo e me ne sto in disparte o se non vengo per niente?


Decisione sociale

qual e una buona soluzione al problema dello sbarco dei migranti?


Scelte razionali

Individuali: l’agente si comporta in modo da soddisfare i propriobiettivi individuali

Sociali: la decisione presa da un individuo deve soddisfare gliobiettivi della collettivita

Domande chiaveIn cosa possono o devono consistere gli obiettivi dellacollettivita?

Qual e il rapporto tra gli obiettivi individuali e quelli dellacollettivita?

Come si risolvono i conflitti tra l’interesse privato e il benecollettivo?


Volonta generale

La volonta generale soltanto puo dirigere le forze delloStato secondo il fine per cui questo e stato istituito, cio ilbene comune; infatti, se l’opposizione degli interessiparticolari ha reso necessaria l’istituzione della societa,questa a sua volta e stata resa possibile dalla concordanzadi quei medesimi interessi. Proprio cio che vi e di comune inquesti diversi interessi forma il vincolo sociale, e se non vifosse qualche punto sul quale tutti gli interessi siaccordassero, nessuna societa potrebbe esistere. Orbene eunicamente sulla base di questo interesse comuneche la societa deve essere governata.

(J.-J. Rousseau, Il contratto sociale, II, 1)






collettivo


Interesse individuale

IdeaUn agente e razionale se nelle situazioni di scelta individuale sicomporta in modo da massimizzare il proprio interesse personale

Un risultato fondamentale della teoria matematica delle decisionirazionali dovuto a Von Neumann e Savage ci dice che una condizionenecessara affinche un agente possa massimizzare il proprio interessepersonale consiste nel disporre di preferenze consistenti.


Il costo delle preferenze

inconsistenti

+ 1 Euro = + 1 Euro = + 1 Euro =



inconsistenti

+ 1 Euro =

+ 1 Euro = + 1 Euro =



inconsistenti

+ 1 Euro = + 1 Euro =

+ 1 Euro =



inconsistenti

+ 1 Euro = + 1 Euro = + 1 Euro =


Interesse e profitto

Agente razionale Secondo la teoria delle decisioni un agente erazionale quando massimizza il proprio interessepersonale

Homo economicus l’interesse personale e identificato con ilprofitto, quindi uno dei sensi in cui puo essereinterpretata la razionalita economica e quello dellamassimizzazione del profitto personale

La razionalita individuale non implica l’individualismo inteso comerealizzazione dell’interesse personale a discapito della societa!


Profitto personale e bene collettivo

La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individuale. Sidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .] Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro.

(B. de Finetti, Decisione, in Enciclopedia Einaudi, 1977)






collettivo


Kenneth Arrow

(New York City 1921 - )Premio nobel per l’economia 1972


La teoria della scelta sociale

Assunzioni

gli individui di una societa hanno preferenze razionali(consistenti)

tipicamente individui distinti hanno profili di preferenza distinti

ProblemaDefinire funzione di bene sociale che aggreghi i profili individuali inun unico profilo interpretato come la preferenza della collettivita

IdeaIn questo modo e possibile formulare in modo rigoroso il concetto divolonta collettiva e studiare le proprieta matematiche dei meccanismidi aggregazione delle preferenze individuali rispondenti a criteri digiustizia, democrazia e equita.


Elezioni come meccanismo di

aggregazione

Un meccanismo o procedura elettorale

1 raccoglie le preferenze degli individui

2 le aggrega producendo quello che viene interpretato come lavolonta collettiva

Il diritto/dovere del voto e giustamente considerato uno dei cardinidella societa democratica, ma in se il diritto voto (per quantouniversale) non garantisce che l’esito delle urne rispecchi la volontadei singoli individui.


Elezioni USA 2000

George W. Bush e stato dichiarato legalmente il vincitore, manessuno sa chi ha vinto davvero1

non si puo avere la certezza che tutti i voti vengano contati

l’annuncio della vittoria di un candidato a urne aperte influenzail voto degli elettori

Ma anche risolvendo gli aspetti pratici, la teoria matematica dellevotazioni ci dice che le procedure elettorali possono portare adubitare della legittimita della maggioranza dei risultati elettorali incui figurano piu di due candidati!

1Donald Saari, Chaotic Elections! A mathematician looks at voting, AmericanMathematical Society, 2001


Profili collettivi inconsistenti

Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} abbiano avuto i seguenti profilidi preferenza sui candidati {b, g , n} (Bush, Gore e Nader) nelleelezioni USA del 2001.

E’ possibile che si verifichi il seguente scenario:

b ≺1 g ≺1 n (1)

g ≺2 n ≺2 b (2)

n ≺3 b ≺3 g (3)

FattoL’aggregazione a maggioranza semplice e incoerente:

b ≺ g , g ≺ n e n ≺ b


Profili collettivi inconsistenti

Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} abbiano avuto i seguenti profilidi preferenza sui candidati {b, g , n} (Bush, Gore e Nader) nelleelezioni USA del 2001.E’ possibile che si verifichi il seguente scenario:

b ≺1 g ≺1 n (1)

g ≺2 n ≺2 b (2)

n ≺3 b ≺3 g (3)

FattoL’aggregazione a maggioranza semplice e incoerente:

b ≺ g , g ≺ n e n ≺ b


La spiegazione matematica

Teorema di Arrow (1951)

Dato un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali(distinte), l’unica funzione di aggregazione razionale delle preferenzeindividuali e quella dittatoriale.

Un risultato strettamente correlato e:

Gibbard-Satterthwaite (1974)

Per un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali, seun meccanismo di aggregazione e a prova di voto strategico allora edittatoriale.


Quindi siamo spacciati?

Fortunatamente no!

Teorema di May (1952)

Date esattamente due alternative sociali e un numero dispari divotanti, l’unico meccanismo di aggregazione razionale delle preferenzeindividuali e il voto a maggioranza semplice.

Questi (insieme ad altri fondamentali) risultati ci offrono unagiustificazione logico-matematica diretta a incentivare laformulazione binaria dei problemi di decisione sociali.


Quindi siamo a posto?

Sfortunatamente no!

La soluzione ottimale problemi di decisione sociale, e in particolare lascelta del miglior sistema elettorale, dipendono non soltanto dalle sueproprieta matematiche, ma anche da un insieme molto complicato difattori culturali, sociali e storici.

Conclusione preliminareLa matematica e fondamentale a patto che non venga presa tropposul serio


La Statistica (Trilussa)

Sai ched’e la statistica? E na’ cosache serve pe fa un conto in generalede la gente che nasce, che sta male,che more, che va in carcere e che sposa.

Ma pe me la statistica curiosae dove c’entra la percentuale,pe via che, lı,la media e sempre egualepuro co’ la persona bisognosa.

Me spiego: da li conti che se fannoseconno le statistiche d’adessorisurta che te tocca un pollo all’anno:

e, se nun entra nelle spese tue,t’entra ne la statistica lo stessoperch’ c’ un antro che ne magna due.


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