scert telangana...i uÀtÂvÀ 7£ÉÃ vÀgÀuÀw ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛpÀ c©üªÀÈ¢Þ...

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

ÊÜáPÜRÙæà! ¯ÊÜáWÝXÁáà D ÓÜãaÜ®æWÜÙÜá . . .±ÜsÜÂ ±ÜâÓÜ¤PÜ¨ÜÈÉ ±ÜÅ£ »ÝÊÜ®æ £ÙÜáÊÜÚPæWÝX ÓÜí¨Ü»Üì CÆÉÊæà E¨ÝÖÜÃÜOæWÜÙÜá CÆÉÊæà ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜá CÆÉÊæà BoWÜÙÜáÊæã¨ÜÇÝ¨ÜÊÜâWÜÚWæ ÓÜíŸí—Ô¨Ü bñÜÅWÜÙÜá/±ÜoWÜÙÜá PæãvÜÇÝX¨æ. ÓÜí¨Ü»ÜìÊÜ®Üá° ±Üo¨æãí©Wæ/ bñÜÅWÜÙæãí©Wæ K©»ÝÊÜ®æ¿á®Üá° A¥ÜìÊÜÞwPæãÙÜÛÆá ±ÜÅ¿á£°ÓÜ¸æàPÜá.»ÝÊÜ®æWÜÙÜ®Üá° A¥æìçÔPæãÙÜÛÆá ¯ÊÜì×ÓÜá£¤ÃÜáÊÜ aÜoáÊÜqPæWÜÙÜÈÉ ±ÝÇæãYÙÜáÛ£¤ÃÜáÊÜ ÓÜí¨Ü»Üì¨ÜÈÉ ¯ÊÜáWæ ŸÃÜáÊÜA®ÜáÊÜÞ®ÜWÜÙÜ®Üá° ñÜPÜÒ|Êæà ¯ÊÜá¾ ÎPÜÒPÜÃÜ®Üá° PæàÚ £Ú¨Üá PæãÙÜÛ¸æàPÜá.»ÝÊÜ®æ A¥ÜìÊÝX¨æ Gí¨Üá £Ú¨ÜáPæãÙÜÛÆá “CÊÜâ ÊÜÞwÄ” ¿áÈÉ®Ü ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá° ¯àÊÜâ ÓÜÌíñÜÊÝX ¹wÓÜ¸æàPÜá. Jí¨ÜáÊæàÙæ ¹wÓÜÆá PÜÐÜrÊÝ¨ÜÃæ ÊÜÞ¨ÜÄ ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá° ±ÜÄÎàÈÔ A¥ÜìÊÜÞwPæãÙÜÛ¸æàPÜá. CÆÉÊæà ÎPÜÒPÜÃÜ®Üá°, ̄ ÊÜá¾ Óæ°à×ñÜÃæãí©WæaÜbìÔ ±ÜÄÖÝÃÜÊÜ®Üá° £Ú¨ÜáPæãÙÜÛ¸æàPÜá.“±ÜÅ¿á£°ÔÄ” ÎàÑìPæ PæÙÜWæ CÃÜáÊÜ ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜá ̄ ÊÜá¾ BÇæãàaÜ®æWÜÙÜ®Üá° aÜáÃÜáPÜáWæãÚÛÓÜÆá E±ÜÁãàWÜÊÝWÜáñÜ¤Êæ. Aí¨ÜÃæ¯ÊÜáWæ BÇæãàaÜ®Ý ®æç±Üâ|ÂWÜÙÜ®Üá° A¼ÊÜê©œ ÊÜÞvÜáñÜ¤Êæ. CÊÜâWÜÙÜ®Üá° ÓÜÌñÜ@ÊÝX ÓÝ—ÓÜÇÝWÜ©¨ÝªWÜ ÓÜÖÜ±ÝtWÜÙæãí©Wæ ÓæàÄWÜáí±ÜâWÜÙÝX ÓÝ—ÓÜáÊÜâ¨ÜPæR ±ÜÅ¿á£°ÓÜ¸æàPÜá. CÆÉÊæà ÎPÜÒPÜÃæãí©Wæ aÜbìÔ ±ÜÄÖÝÃÜÊÜ®Üá° £Ú¨ÜáPæãÙÜÛ¸æàPÜá.“BÇæãàbÔÄ& aÜbìÔÄ”®ÜÈÉ®Ü aÜoáÊÜqPæWÜÙÜá ¯ÊÜá¾ »ÝÊÜ®æ¿á®Üá° ÊÜáñÜ¤ÐÜár BÙÜÊÝX ËÓÜõñÜÊÝX A¥ÜìÊÜÞwPæãÙÜÛÆáÓÜÖÝ¿á±ÜvÜáñÜ¤Êæ. B¨ÜªÄí¨Ü CÊÜâWÜÙÜ®Üá° ¯ÊÜá¾ Óæ°à×ñÜÃæãí©Wæ ÓæàÄ aÜbìÓÜáñÝ¤, ±ÜÅÎ°ÓÜáñÝ¤ A¥ÜìÊÜÞwPæãÙÜÛ¸æàPÜá.A«ÝÂ¿á¨Ü Pæã®æWæ Pæãor A»ÝÂÓÜWÜÙÜÈÉ®Ü ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜá ̄ àÊÜâ A«ÝÂ¿á¨ÜÈÉ PÜÈñÜáPæãívÜ GÇÝÉ »ÝÊÜ®æWÜÙÜWæ ÓÜíŸí«ÜÔ¨ÜÊÜâ.D ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙæÆÉÊÜä Jí¨æà Ë«ÜÊÝXÃÜáÊÜâ©ÆÉ™, CÊÜâWÜÙÜ®Üá° ¯àÊÜâ ÓÜÌñÜ@ ÊÜá®æPæÆÓÜÊÝX CÆÉÊæà ËÃÝÊÜá ÓÜÊÜá¿á¨ÜÇÝÉWÜÈà¹wÓÜŸÖÜá¨Üá.“CÊÜâ ÊÜÞwÄ, ±ÜÅ¿á£°ÔÄ ”WÜÙÜÈÉ®Ü ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá° ÊÜÞñÜÅ ±ÝsÜÍÝÇæ¿áÈÉ ÎPÜÒPÜÃÜ ÓÜÊÜáPÜÒÊÜá¨ÜÈÉ Ááà ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá°¹wÓÜ¸æàPÜá.±ÜsÜÂ±ÜâÓÜ¤PÜ¨ÜÈÉ GÈÉ Áãàg®æWÜÙÜ®Üá° PæãqrÃÜáÊÜÃæãà AÈÉ ̄ àÊÜâ ÓÜÊÜáãÖÜWÜÙÝX PæÆÓÜ ÊÜÞvÜ¸æàPÝXÃÜáñÜ¤¨æ. B¨ÜÃæ CÊÜâWÜÙÜÊÜÃÜ©WÜÙÜ®Üá° ÊÜÂQ¤WÜñÜÊÝX ŸÃæ¨Üá PæãvÜ¸æàPÝXÃÜáñÜ¤¨æ.»ÝÊÜ®æWÜÙÜ®Üá° A¥ÜìÊÜÞwPæãÙÜÛÆá ¯ÊÜì×ÓÜáÊÜ aÜoáÊÜqPæWÜÙÜá, A»ÝÂÓÜWÜÙÜÈÉÃÜáÊÜ ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá° , ¯ÊÜá¾ ±ÜÅ£ÓÜ³í¨Ü®æWÜÙÜ®Üá°±ÜsÜÂ±ÜâÓÜ¤PÜ¨ÜÈÉ ŸÃæ¿á¸æàPÝX¨ÜªÃæ AÊÜâWÜÙÜ®Üá° AÈÉÁáà ŸÃæÀáÄ.¯àÊÜâ ¿ÞÊÜ ©®Ü¨ÜÈÉ ¹wÓÜ¸æàPÝ¨Ü ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá° B©®ÜÊæà ±Üä£ìÊÜÞw ¯ÊÜá¾ ÎPÜÒPÜÃÜ ÖÜ£¤ÃÜ ñÜ±Ü³¨æà ÓÜÄ±ÜwÔPæãÙÜÛ¸æàPÜá.±ÜsÜÂ ±ÜâÓÜ¤PÜ¨ÜÈÉ ̄ àÊÜâ A¥æçìÔPæãívÜ »ÝÊÜ®æWÜÚWæ ÓÜíŸí—Ô¨Ü ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜ®Üá° ÍæàSÃÜOæÊÜÞw ÓÜÌíñÜÊÝWæ ¹wÔ ̄ ÊÜá¾ ÎPÜÒPÜÄWæÓÜÖÜ±ÝtWÜÚWæ ñæãàÄÔÄ. GÆÉÃÜã ÓæàÄ AÊÜâWÜÙÜ®Üá° ¹wÔÄ.WÜ~ñÜ »ÝÊÜ®æWÜÚWæ ÓÜíŸí—Ô¨Ü ±ÜsÜÂ±ÜâÓÜ¤PÜ¨ÜÈÉ Pæãor BoWÜÙÜá, ±ÜiÇ…Õ™, BÓÜQ¤PÜÃÜÊÝ¨Ü ËÐÜ¿áWÜÙÜ®Üá° A¥ÜìÊÜÞwPæãívÜáAíñÜÖÜÊÜâWÜÙÜ®Üá° ÊÜáñÜ¤ÐÜár ÍæàSÄÔ ¹wÓÜ¸æàPÜá.WÜ~ñÜ¨ÜÈÉ ¯àÊÜâ ÊÜááSÂÊÝX ÓÜÊÜáÓÝÂ ÓÝ«Ü®æ, PÝÃÜ|WÜÙÜ®Üá° £ÚÓÜáÊÜâ¨Üá, ÓÝ«Ü®æWÜÙÜá ÊÜÞvÜáÊÜâ¨Üá, WÜ~ñÜ ¸ÝÐæ¿áÈÉ ÊÜÂPÜ¤±ÜwÓÜáÊÜâ¨Üá, WÜ~ñÜ »ÝÊÜ®æWÜÙÜá A¥ÜìÊÜÞwPæãÙÜáÛÊÜâ¨Ü®Üá° ËË«Ü ÓÜí¨Ü»ÜìWÜÙÜÈÉ , ËÐÜ¿áWÜÙÜÈÉ ̄ ñÜÂ iàÊÜ®Ü¨ÜÈÉ A®ÜáÓÜí«Ý®ÜÊÜÞvÜáÊÜâ¨Üá, ±ÜÅ£¯—ñÜÌWÜÙÜíñÜÖÜ ÓÝÊÜá¥ÜÂìWÜÙÜ®Üá° ÓÝ—ÓÜ¸æàPÜá.ÊæáàÈ®Ü WÜ~ñÜ ÓÝÊÜá¥ÜìÂWÜÙÜ®Üá° ÓÝ—ÓÜáÊÜâ¨ÜÃÜÈÉ »ÝÊÜ®æWÜÙÜ®Üá° A¥æìçÔPæãÙÜáÛÊÜâ¨ÜÃÜÈÉ ¿ÞÊÜâ¨æà ÓÜÊÜáÓæÂWÜÙÜá G¨ÜáÃÝ¨ÜÃæÎPÜÒPÜÃÜ ÊÜÞWÜì¨ÜÍÜì®Ü ñæWæ¨ÜáPæãÙÜÛ¸æàPÜá.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

I

UÀtÂvÀ 7£ÉÃ vÀgÀUÀw

¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀ C©üªÀÈ¢Þ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæZÀÄgÀuÁ À̧«Äw

I

PÁ£ÀÆ£À£ÀÄß UËgÀ«¹

ºÀPÀÄÌUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉzÀÄPÉÆ½î

²PÀët¢AzÀ ̈ É¼É¬Äj

«£ÀAiÀÄ²Ã®gÁV £ÀqÉzÀÄPÉÆ½î

Mathematics Class-VII (Kannada Medium)

¥ÀæzsÁ£À ¤ªÀðºÀuÁ¢üPÁj²æÃªÀÄw ©. ±ÉÃµÀÄPÀÄªÀiÁj¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, J¸ï.¹.E.Dgï.n, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

ªÀåªÀºÁgÀ ¤ªÁðºÀPÀgÀÄqÁ|| £À£ÀÆßgÀÄ G¥ÉÃAzÀgï gÉrØ¥ÉÆæÃ¥sȨ́ Àgï PÀjPÀÄ®ªÀiï ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀ « s̈ÁUÀ

J¸ï.¹.E.Dgï.n., ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

¥ÀæzsÁ£À ªÀåªÀºÁgÀ ¤ªÁðºÀPÀgÀÄ

²æÃ ©. À̧ÄzsÁPÀgÀ, ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ,

À̧PÁðj ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀ ªÀÄÄzÀæt, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

À̧ºÁAiÀÄPÀ ¤ªÁðºÀPÀgÀÄ²æÃ PÉ. AiÀiÁzÀVj, G¥À£Áå À̧PÀgÀÄ,J¸ï.¹.E.Dgï.n, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

À̧A¥ÁzÀPÀgÀÄ²æÃªÀÄw ©. ±ÉÃµÀÄPÀÄªÀiÁj, ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, J¸ï.¹.E.Dgï.n, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.²æÃ PÉ. §æºÀäAiÀÄå, ¥ÉÆæÃ¥sÉ¸Àgï, J¸ï.¹.E.Dgï.n, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.²æÃ ¦. D¢£ÁgÁAiÀÄt, jmÉÊqÀð ¯ÉPÀÑgÀgï, £ÀÆå¸ÉÊ£ïì PÁ¯ÉÃeï, C«ÄÃgÀ¥ÉÃmï, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

²æÃ PÉ. §æºÀäAiÀÄå, ¥ÉÆæÃ¥sȨ́ Àgï,J¸ï.¹.E.Dgï.n, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

² æ Ã PÁP À Ä¼ Àª Àg ÀA gÁe É ÃAz Àgï g Ér Ø ,PÉÆÃDrð£ÉÃlgï, J¸ï.¹.E.Dgï.n. ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

PÉÆÃDrð£ÉÃlgï

ZÉÊªÀÄð£ï, UÀtÂvÀ DzsÁgÀ ¥ÀvÀæ, UÀtÂvÀ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ, ¥ÁoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀ C©üªÀÈ¢Þ PÀ«Än¥ÉÆæÃ¥sȨ́ Àgï. «. PÀ£Àß£ï, UÀtÂvÀ - ̧ ÀASÁå±Á À̧Ûç « s̈ÁUÀ, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï «±Àé«zÁå®AiÀÄ.

ªÀÄÄRå À̧®ºÉzÁgÀgÀÄqÁ|| ºÉZï.PÉ. ¢ªÁ£ï, «zÁå ¸À®ºÁzÁgÀgÀÄ, «zÁå s̈ÀªÀ£ï ¸ÉÆ¸ÉÊn, j¸ÉÆÃ¸Àð ¸ÉAlgï,

GzÀAiÀÄ¥ÀÄgÀ, gÁd¸ÁÜ£À.

ªÀÄÄzÀæt

ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ̈ Ü, Öæç Ü̈ÃÝ¸Ý¨…SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

II ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ¨Ü EbñÜ ËñÜÃÜOæ 2019&20

© Government of Telangana, Hyderabad.

First Published 2012

New Impressions 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019

All rights reserved.

No part of this publication may be reproduced,stored in a retrieval system, or transmitted, inany form or by any means without the priorpermission in writing of the publisher, nor beotherwise circulated in any form of binding orcover other than that in which it is publishedand without a similar condition including thiscondition being imposed on the subsequentpurchaser.

The copy right holder of this book is theDirector of School Education, Hyderabad,Telangana.

This Book has been printed on 70 G.S.M. MaplithoTitle Page 200 G.S.M. White Art Card

Telangana

Telangana

–– o ––

ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ̈ Ü EbñÜ ËñÜÃÜOæ 2019&20

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

III

qÁ|| ¦.gÀªÉÄÃ±ï, G¥À£Áå À̧PÀgÀÄ, À̧PÁðj L.J.J¸ï.E, £É®ÆègÀÄ.

²æÃ JA. gÁªÀiÁAd£ÉÃAiÀÄ®Ä, G¥À£Áå À̧PÀgÀÄ, qÀAiÀÄmï, «PÁgÁ¨Ázï, gÀAUÁgÉrØ.

²æÃ n.«. gÁªÀiï PÀÄªÀiÁgï, ªÀÄÄRåUÀÄgÀÄUÀ¼ÀÄ, dqï.¦.ºÉZï.J¸ï., ªÀÄÄ®ÄªÀÄÄr, £É®ÆègÀÄ.

²æÃ ¦. C±ÉÆÃPï, ªÀÄÄRåUÀÄgÀÄUÀ¼ÀÄ, dqï.¦.ºÉZï.J¸ï., PÀÄªÀiÁj, D¢¯Á¨Ázï.

²æÃ ¦. DAxÉÆÃ¤ gÉrØ, ªÀÄÄRåUÀÄgÀÄUÀ¼ÀÄ, Ȩ́Amï ¦Ãlgïì ¥ËæqsÀ±Á É̄, Dgï.J£ï.¥ÉÃl, £É®ÆègÀÄ.

²æÃ J¸ï. ¥Àæ̧ Ázï¨Á§Ä, ¦.f.n, J.¦.n.qÀ§Æèöå.Dgï ±Á É̄, ZÀAzÀæ±ÉÃRgÀ¥ÀÄgÀA, £É®ÆègÀÄ.

²æÃ f.«.©. À̧ÆAiÀÄð£ÁgÁAiÀÄtgÁdÄ, À̧ºÀ²PÀëPÀgÀÄ, ªÀÄÄ¤¹¥À̄ ï ¥ËæqsÀ±Á É̄, PÀ̧ Áà, «dAiÀÄ£ÀUÀgÀA.

²æÃ J¸ï. £ÀgÀ¹AºÀªÀÄÆwð, À̧ºÀ²PÀëPÀgÀÄ, dqï.¦.ºÉZï.J¸ï, ªÀÄÄ¢ªÀwð¥Á É̄A,£É®ÆègÀÄ.

²æÃ ¦. À̧ÄgÉÃ±ïPÀÄªÀiÁgï, À̧ºÀ²PÀëPÀgÀÄ, f.ºÉZï.J¸ï, «dAiÀÄ£ÀUÀgÀ PÁ É̄ÆÃ¤, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

²æÃ PÉ.«. À̧ÄAzÀgïgÉrØ, À̧ºÀ²PÀëPÀgÀÄ, dqï.¦.ºÉZï.J¸ï, vÀPÀÌ²¯Á C®A¥ÀÄgï ªÀÄAqÀ®, ªÀÄºÀ§Æ¨ï£ÀUÀgï.

²æÃ f.ªÉAPÀmÉÃ±ÀégÀÄ®Ä, À̧ºÀ²PÀëPÀgÀÄ, dqï.¦.ºÉZï.J¸ï, ªÉÃªÀÄÄ®PÉÆÃl, ¥ÀæPÁ±ÀA.

²æ ¹.JZï.gÀªÉÄÃ±ï, À̧ºÀ²PÀëPÀgÀÄ,AiÀÄÄ.¦.J¸ï, £ÁUÁgÀA ªÀÄAqÀ®, UÀÄAlÆgÀÄ.

²æÃ ¦.r.J¯ï. UÀt¥Àw ±ÀªÀÄð, ̧ ÀºÀ²PÀëPÀgÀÄ, f.ºÉZï.J¸ï, d«Ä¸ÁÛ£ï¥ÀÄgï, ªÀiÁtÂPÉÃ±Àégï£ÀUÀgÀ, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

²æÃ PÁPÀÄ¼ÀA gÁeÉÃAzÀgï gÉrØ, PÉÆÃDrð£ÉÃlgï, J¸ï.¹.E.Dgï.n.ºÉÊzÀgÁ¨Ázï.

±ÉÊPÀëtÂPÀ À̧ºÁAiÀÄ À̧«Äw À̧zÀ̧ ÀågÀÄ

²æÃªÀÄw £À«ÄævÁ ¨ÁvÁææ, «zÁå s̈ÀªÀ£ï Ȩ́Æ Ȩ́Ên À̧A¥À£ÀÆä® PÉÃAzÀæ, GzÀAiÀÄ¥ÀÄgï, gÁd¸ÁÜ£À.

²æÃ EAzÀæªÉÆÃºÀ£ï, «zÁå s̈ÀªÀ£ï Ȩ́Æ Ȩ́Ên À̧A¥À£ÀÆä® PÉÃAzÀæ, GzÀAiÀÄ¥ÀÄgï, gÁd¸ÁÜ£À.

²æÃ AiÀÄ±ÀªÀAvï PÀÄªÀiÁgï zÀªÉ, «zÁå s̈ÀªÀ£ï Ȩ́Æ Ȩ́Ên, À̧A¥À£ÀÆä® PÉÃAzÀæ, GzÀAiÀÄ¥ÀÄgï, gÁd¸ÁÜ£À.

²æÃªÀÄw ¥ÀzÀä¦æAiÀÄ ²gÁ°, UÀtÂvÀ À̧ªÀÄÆºÀ PÉÃAzÀæ, j¶ªÁå° ±Á É̄, avÀÆÛgÀÄ.

PÀÄ|| JA. CZÀð£Á, UÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ À̧ASÁå±Á À̧Ûç « s̈ÁUÀ, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï «±Àé«zÁå®AiÀÄ

²æÃ ±ÀgÀuïUÉÆÃ¥Á¯ï, UÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ À̧ASÁå±Á À̧Ûç « s̈ÁUÀ, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï «±Àé«zÁå®AiÀÄ

²æÃ ¦. agÀAfÃ«, UÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ À̧ASÁå±Á À̧Ûç « s̈ÁUÀ, ºÉÊzÀgÁ¨Ázï «±Àé«zÁå®AiÀÄ

²æÃ C§âgÁdÄ Q±ÉÆÃgï, J¸ï.f.n, JA.¦.AiÀÄÄ.¦.J¸ï, ZÀªÀÄ¼ÀîªÀÄÆr, UÀÄAlÆgÀÄ.

PÀ£ÀßqÀ C£ÀÄªÁzÀPÀgÀÄ

²æÃ ¹. £ÁUÀgÁd, J¸ï.J., dqï.¦.ºÉZï.J¸ï. PÀÈµÀÚ, f¯Áè ªÀÄºÀ§Æ§£ÀUÀgï.

²æÃ Ȩ́ÆÃªÀÄ£ÁxÀ gÉrØ, J¸ï.J., dqï.¦.ºÉZï.J¸ï. PÀÈµÀÚ, f¯Áè ªÀÄºÀ§Æ§£ÀUÀgï.

²æÃ ºÉZï.PÉ. gÀAUÁgÁªÀÅ, J¸ï.J., JªÀiï.¦.AiÀÄÄ.¦.J¸ï., vÀAUÀrÎ.

gÉÃSÁavÀæ ªÀÄvÀÄÛ «£Áå À̧ À̧«Äw

²æÃ PÉ. ̧ ÀÄzsÁPÀgÁZÁj, ªÀÄÄRå ²PÀëPÀgÀÄ, AiÀÄÄ.¦.J¸ï. ¤Ã°PÀÄwð ªÀÄAqÀ® ªÀÄj¥ÉÃqÀ, f¯Áè ªÀgÀAUÀ̄ ï.

¸ÀzÀ¸ÀågÀÄ

¥ÀoÀ å¥ÀÄ¸À ÛP À C©üªÀÈ¢Þ ¸À«Äw

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

IV ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ¨Ü EbñÜ ËñÜÃÜOæ 2019&20

ªÀÄÄ£ÀÄßr.

¥ÀoÀåªÀ̧ ÀÄÛ gÀZÀ£Á ZËPÀlÄÖ (SCF-2011) ªÀÄPÀÌ¼À ±Á¯Á fÃªÀ£ÀªÀÅ zÉÊ£ÀA¢£À fÃªÀ£ÀPÉÌÀ̧A§A¢ü¹gÀ̈ ÉÃPÉAzÀÄ w½ À̧ÄvÀÛzÉ. ±Á É̄ÉUÉ ¥ÀæªÉÃ±À ¥ÀqÉzÀ ¥Àæw ªÀÄUÀÄªÀÅ 14 ªÀµÀðzÀªÀgÉUÉ ¤UÀ¢ü

¥Àr¹zÀ CªÀ±ÀåPÀ PË±À®åUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ É̄Ã É̈ÃPÉAzÀÄ RTE-2009 w½ À̧ÄvÀÛzÉ. ²PÀëtzÀUÀÄtªÀÄlÖªÀ£ÀÄß PÁAiÀÄÄÝPÉÆ¼Àî®Ä ¥Àæw «µÀAiÀÄzÀ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ±ÉæÃtÂUÀ¼À£ÀÄß C©üªÀÈ¢Þ UÉÆ½ À̧̄ ÁVzÉ.²PÀëtzÀ ªÀÄÆ® PÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß C¼ÀªÀr À̧®Ä gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ ZËPÀlÄÖ -2011£ÀÄß DzsÀj¹¥ÀoÀåPÀæªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀUÀ¼À£ÀÄß C©üªÀÈ¢ÞUÉÆ½ À̧̄ ÁVzÉÀ.

¥ÁæxÀ«ÄPÀ ºÀAvÀªÀ£ÀÄß ¥ÀÆgÉÊ¹zÀ £ÀAvÀgÀ ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ »jAiÀÄ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ ºÀAvÀPÉÌ ¥ÀæªÉÃ±À¥ÀqÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. F ºÀAvÀªÀÅ ¥ËæqsÀ²PÀët ºÀAvÀPÉÌ ¤uÁðAiÀÄPÀ PÉÆArAiÀiÁVzÉ. ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ vÀªÀÄUÉ¤ÃqÀ̄ ÁzÀ ̧ ÀÜ¼À, ̧ ÀªÀÄAiÀÄ ̧ ÀévÀAvÀæUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ vÀªÀÄä »jAiÀÄjAzÀ ¥ÀqÉzÀ eÁÕ£À¢AzÀºÉÆ À̧ eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß, ºÉÆ À̧ «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj±ÉÆÃ¢ü̧ ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ £ÉÆÃrzÉÝÃªÉ. ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ¤¶ÌçAiÀÄgÁVgÀzÉÃ PÀ°PÉAiÀÄ°è ZÀlÄªÀnPÉ¬ÄAzÀ vÉÆqÀV PÉÆAqÁUÀÀÀ ªÀiÁvÀæ ̧ ÀÈd£À ²Ã®vÉAiÀÄ£ÀÄßªÀÄPÀÌ¼À°è É̈¼Ȩ́ À§ºÀÄzÀÄ. F ºÀAvÀzÀ ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ PÀÄvÀÆºÀ®, D À̧QÛ, ¥Àæ²ß À̧Ä«PÉ, vÁQðPÀvÉ,DzsÁgÀUÀ½UÁV ºÀÄqÀÄPÀÄªÀÅzÀÄ, ¸ÁºÀ̧ ÀUÀ½UÉ PÉÊºÁPÀÄªÀ UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÁÛgÉ. UÀtÂvÀzÀ¸ÁªÀðPÁ°PÀ vÀvÀéUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄ£À¹ìUÉ £ÁlÄªÀAvÉ ̈ ÉÆÃ¢ü¹zÁUÀ ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ UÀtÂvÀzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄßZÉ£ÁßV w½AiÀÄÄªÀÅzÀ®èzÉÃ, À̧ªÀÄ Ȩ́åUÀ½UÉ vÀªÀÄäzÉÃ DzÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ¼À£ÀÄß À̧AvÉÆÃµÀPÀgÀªÁVPÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÁÛgÉ.

ªÀÄPÀÌ½UÉ vÀªÀÄäzÉÃ PÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß gÀÆ¦¹PÉÆ¼ÀÄîªÀ ̧ ÁªÀÄxÀåðªÀ£ÀÄß ̈ É¼É¹PÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀgÉÆA¢UÉ,UÀtÂvÀzÀ ̧ ÁgÀªÀ£ÀÄß w½AiÀÄÄªÀ PÁAiÀÄðªÀ£ÀÄß C©üªÀÈ¢ÞUÉÆ½ À̧ÄªÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ¥ÁægÀA©ü¹zÉÝÃªÉ.UÀtÂvÀzÀ ¥ÀæªÀÄÄR PÉëÃvÀæUÀ¼À ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼ÁzÀ ̧ ÀASÁå¥ÀzÀÞw, CAPÀUÀtÂvÀ, ©ÃdUÀtÂvÀ, gÉÃSÁUÀtÂvÀ,PÉëÃvÀæUÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ À̧ASÁå±Á À̧ÛçUÀ¼À£ÀÄß F «µÀAiÀÄ É̈ÆÃzsÀ£É¬ÄAzÀ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ±ÉæÃtÂUÀ¼À°è ¤UÀ¢ü¥Àr À̧̄ ÁzÀ À̧ªÀÄ Ȩ́å ©r À̧ÄªÀ, vÁQðPÀ aAvÀ£É, UÀtÂvÀzÀ s̈ÁµÉAiÀÄ°è «µÀAiÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄßªÀåPÀÛ¥Àr À̧ÄªÀÅzÀÄ.. ««zsÀ jÃwAiÀÄ°è zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj À̧ÄªÀ, ¤vÀåfÃªÀ£ÀzÀ°è UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß§¼À̧ ÀÄªÀ PË±À®åUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

ªÀÄPÀÌ¼À£ÀÄß ‘ªÀiÁr£ÉÆÃqÀÄ’ ‘¥ÀæAiÀÄwß À̧Ä’ ªÀÄvÀÄÛ ‘AiÉÆÃd£É’ UÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ̧ ÀtÚ ̧ ÀtÚ UÀÄA¥ÀÄUÀ¼À°èZÀað¹ C£ÀÄ s̈ÀªÀ ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä PËvÀÄPÀ É̈¼É¹PÉÆ¼Àî®Ä ºÁUÀÆ D É̄ÆÃa À̧®Ä À̧ÆPÀÛ CªÀPÁ±ÀºÁUÀÆ ¥Áæw¤zsÀå ¤ÃqÀÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ F ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀ ¥ÉæÃgÉÃ¦ À̧ÄvÀÛzÉ. vÀgÀUÀwAiÀÄ F ̧ ÀAzÀ̈ sÀðUÀ¼À°è²PÀëPÀgÀ ̧ ÀºÁAiÀÄ Cw CªÀ±ÀåPÀ, ªÀÄPÀÌ½UÉ ̧ ÀªÀÄ Ȩ́åUÀ¼À£ÀÄß ©r À̧®Ä ºÉaÑ£À CªÀPÁ±ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ¤ÃqÀ§ºÀÄzÁVzÉ. F ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀªÀÅ ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ C£ÁªÀ±ÀåPÀ ̧ ÀªÀÄ¸ÁåvÀäPÀ ̧ ÀAeÉÕUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ ̧ ÀASÉåUÀ½AzÀ¥ÀæAiÀiÁ À̧ ¥ÀqÀzÉÃ, UÀtÂvÀzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV À̧®Ä «¥ÀÄ® CªÀPÁ±À ¤ÃqÀÄªÀ

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

V

ªÀÄÆ®PÀ CªÀgÀzÉÃ gÀÆ¥ÀÄgÉÃSÉÀUÀ¼À£ÀÄß ¤«Äð¹PÉÆ¼Àî®Ä ºÁUÀÆ PÀ°PÉAiÀÄ°è ̧ ÀQæAiÀÄªÁV ¥Á É̄ÆÎ¼Àî®ÄGvÉÛÃf À̧ÄvÀÛzÉ. ¥Àæw PÀ°PÁ PÉëÃvÀæzÀ°è£À ªÀÄPÀÌ¼À PÀ°PÁ ¥ÀæUÀwAiÀÄ£ÀÄß ¤gÀAvÀgÀ ªÁå¥ÀPÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£ÀzÀªÀÄÆ®PÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À UÉÆ½ À̧ÄªÀAvÉ F ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀzÀ CzsÁåAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÆÃf À̧̄ ÁVzÉ.

F ¥ÀoÀå ¥ÀÄ À̧ÛPÀªÀ£ÀÄß C©üªÀÈ¢ÞUÉÆ½ À̧ÄªÀ vÀAqÀªÀÅ C£ÀÄ s̈À« ²PÀëPÀgÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. ±Á É̄ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄPÀÌ¼À »vÀzÀÈ¶Ö¬ÄAzÀ UÀtÂvÀ PÀ°PÉAiÀÄ°è C£ÉÃPÀ À̧A±ÉÆÃzsÀ£É £ÀqÉ¹gÀÄªÀ ºÁUÀÆ¤gÀAvÀgÀªÁV ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀ gÀa À̧ÄwÛgÀÄªÀ ªÀåQÛUÀ¼À£ÀÄß F vÀAqÀªÀÅ M¼ÀUÉÆArzÉ. UÀtÂvÀzÀ «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄßªÀåPÀÛ¥Àr À̧ÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ ªÀÄPÀÌ¼À°è UÀtÂvÀzÀ ̈ sÀAiÀÄªÀ£ÀÄß ºÉÆÃUÀ̄ Ár À̧®Ä F vÀAqÀ ¥ÀæAiÀÄwß À̧ÄvÀÛzÉ.

¥ÀoÀå ¥ÀÄ À̧ÛPÀzÀ F ºÉÆ À̧ «£Áå À̧ªÀ£ÀÄß gÀÆ¥ÀÄUÉÆ½ À̧®Ä ̧ ÀºÀPÀj¹zÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¤¥ÀÄtgÀÄ,«±Àé«zÁå¤®AiÀÄUÀ¼À G¥À£Áå À̧PÀgÀÄ, ̧ ÀA±ÉÆÃzsÀPÀgÀÄ, ̧ ÀPÁðgÉÃvÀgÀ ̧ ÀAWÀ ̧ ÀA Ȩ́ÜUÀ¼ÀÄ, ¥ÀArvÀgÀÄ,É̄ÃRPÀgÀÄ, avÀæ«£Áå À̧PÁgÀjUÉ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸ÁªÀÄxÀåðUÀ¼À£ÀÄß UÀ½ À̧ÄªÀAvÉ ªÀiÁqÀ®Ä ºÁUÀÆ F

¥ÀoÀåPÀæªÀÄªÀ£ÀÄß C¼ÀªÀr À̧®Ä ²PÀëPÀgÀÄ UÀjµÀ× ¥ÀæAiÀÄvÀß ªÀiÁqÀÄªÀgÉAzÀÄ £ÀA©zÉÝÃ£É.

«µÀAiÀÄ ªÀ̧ ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß C©üªÀÈ¢Þ ¥Àr À̧ÄªÀÅzÀÄ MAzÀÄ ¤gÀAvÀgÀªÁzÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀiÁVzÀÄÝEzÀjAzÀ F ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀªÀ£ÀÄß E£ÀÆß GvÀÛªÀÄUÉÆ½ À̧§ºÀÄzÉAzÀÄ £ÀA©zÉÝÃªÉ. ¥ÀoÀå ¥ÀÄ À̧ÛPÀ¥ÀjµÀÌgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ C©üªÀÈ¢ÞUÁV gÀavÀªÁzÀ, ̧ ÀA Ȩ́ÜAiÀiÁzÀ J¸ï.¹.E.Cgï.n, AiÀÄÄ ¥ÀoÀå¥ÀÄ À̧ÛPÀªÀ£ÀÄßwzÀÄÝ¥ÀrUÉÆ½ À̧®Ä, GvÀÛªÀÄUÉÆ½ À̧®Ä CUÀvÀåªÁzÀÀ ̧ À®ºÉ ̧ ÀÆZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß DºÁé¤ À̧ÄvÀÛzÉ.

¸ÀÜ¼À : ºÉÊzÀgÁ¨Ázï¢£ÁAPÀ : 28 d£ÀªÀj 2012

²æÃªÀÄw ©. ±ÉÃµÀÄPÀÄªÀiÁj¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ

J¸ï.¹.E.Cgï.n,ºÉÊzÀgÁ¨Ázï

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

VI ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ¨Ü EbñÜ ËñÜÃÜOæ 2019&20

PREAMBLE

THE PEOPLE OF INDIA, having solemnly resolved to constitute India into aSOVEREIGN SOCIALIST SECULAR DEMOCRATIC REPUBLIC and tosecure to all its citizens:

JUSTICE, social, economic and political;

LIBERTY of thought, expression, belief, faith and worship;

EQUALITY of status and of opportunity; and to promote among them all

FRATERNITY assuring the dignity of the individual and the unity andintegrity of the Nation;

IN OUR CONSTITUENT ASSEMBLY this twenty - sixth day of November,1949, do HEREBY ADOPT, ENACT AND GIVE TO OURSELVES THISCONSTITUTION.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

VII

P À æ .¸ ÀA CzsÁåAiÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄÄV¸ÀÄªÀ CªÀ¢ü ¥ÀÄl ¸ÀASÉå

UÀtÂvÀ7£ÉÃ vÀgÀUÀw

1. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ dÆ£ï, dÄ É̄Ê 1-24

2. ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÀÄ, zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÀÄ dÄ É̄Ê DUÀµÀÄÖ 25-57 ªÀÄvÀÄÛ s̈ÁUÀ®§Ý À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ

3. ¸ÁªÀiÁ£Àå À̧«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ DUÀµÀÄÖ 58 -67

4. gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ DUÀµÀÄÖ 68 - 85

5. wæ̈ sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ DUÀµÀÄÖ, Ȩ́¥ÀÖA§gï 86 - 107

¸É¥À ÖA§gï, CPÉÆÖÃ§gï,£ Àª ÀA§gï

6. C£ÀÄ¥ÁvÀÀ -G¥ÀAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ 117 - 149

7. zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À ¤ªÀðºÀuÉ £ÀªÀA§gï, r Ȩ́A§gï 150 - 172

8. wæ̈ sÀÄdUÀ¼À À̧ªÀð À̧ªÀÄvÉ r Ȩ́A§gï 173 - 192

9. wæ̈ sÀÄdUÀ¼À gÀZÀ£É r Ȩ́A§gï, d£ÀªÀj 193 - 202

10. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ d£ÀªÀj 203 - 221

11. WÁvÁAPÀUÀ¼ÀÄ d£ÀªÀj, ¥sÉ§æªÀj 222 - 237

12. ZÀvÀÄ s̈ÀÄðdUÀ¼ÀÄ ¥sÉ§æªÀj, ªÀiÁZïð 238 - 256

13. «¹ÛÃtð ªÀÄvÀÄÛ À̧ÄvÀÛ¼ÀvÉ ªÀiÁZïð 257 - 278

14. JgÀqÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ DAiÀiÁªÀÄUÀ¼ÀDPÀÈwUÀ¼ÀÄ

15. À̧ªÀÄ«Äw ªÀiÁZïð, K¦ǣ ï 291 - 303

ªÀiÁZïð 279 - 290SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

VIII ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ¨Ü EbñÜ ËñÜÃÜOæ 2019&20

d£ÀUÀt ªÀÄ£À C¢ü£ÁAiÀÄPÀ dAiÀÄ ºÉÃ |s̈ÁgÀvÀ ¨sÁUÀå «zsÁvÁ ||

¥ÀAeÁ§ ¹Azsï UÀÄdgÁvÀ ªÀÄgÁoÁ |zÁæ«qÀ GvÀÌ® ªÀAUÁ ||

«AzsÀå »ªÀiÁZÀ® AiÀÄªÀÄÄ£Á UÀAUÁ |GZÀÒ® d®¢ü vÀgÀAUÁ ||

vÀªÀ ±ÀÄ s̈À £ÁªÉÄÃ eÁUÉÃ |vÀªÀ ±ÀÄ s̈À D²µÀ ªÀiÁUÉÃ ||UÁºÉÃ vÀªÀ dAiÀÄUÁxÁ |

d£ÀUÀt ªÀÄAUÀ¼ÀzÁAiÀÄPÀ dAiÀÄ ºÉÃ |s̈ÁgÀvÀ s̈ÁUÀå «zsÁvÁ||

dAiÀÄ ºÉÃ dAiÀÄ ºÉÃ dAiÀÄ ºÉÃ ||dAiÀÄ dAiÀÄ dAiÀÄ dAiÀÄ ºÉÃ ||

gÁµÀÖçVÃvÉ-gÀ«ÃAzÀæ£ÁxÀ oÁUÀÆgï

¥ÀæweÉÕ

¥ÉÊrªÀÄjæ ªÉAPÀl ¸ÀÄ§âgÁªÀÅs̈ÁgÀvÀ zÉÃ±À £À£Àß ªÀiÁvÀÈ s̈ÀÆ«Ä, s̈ÁgÀwÃAiÀÄgÉ®ègÀÆ £À£Àß ¸ÀºÉÆÃzÀgÀgÀÄ.

ªÉÊ«zsÀåªÀÄAiÀÄ ̧ ÀA¸ÀÌøwAiÀÄ ®PÀëtªÀÅ £À£ÀUÉ CwÃªÀ ºÉªÉÄä vÀA¢zÉ. F zÉÃ±ÀzÀ G£ÀßvÀ¸ÀA¸ÀÌøwAiÀÄ ªÀÄlÖªÀ£ÀÄß vÀ®Ä¥À®Ä £Á£ÀÄ ¥ÁæªÀiÁtÂPÀ ¥ÀæAiÀÄvÀßªÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀÄvÉÛÃ£É.

£Á£ÀÄ £À£Àß zÉÃ±ÀªÀ£ÀÄß ¦æÃw¸ÀÄvÉÛÃ£É. ¸ÀÄ¸ÀA¥À£ÀßªÁzÀ £À£Àß zÉÃ±ÀªÀ£ÀÄß, £À£ÀßvÀAzÉ vÁ¬ÄUÀ¼À£ÀÄß, G¥ÁzsÁåAiÀÄgÀ£ÀÄß J®è »jAiÀÄgÀ£ÀÆß UËgÀ«¸ÀÄvÉÛÃ£É.¥ÀæwAiÉÆ§âgÉÆqÀ£É ªÀÄAiÀiÁðzÉ¬ÄAzÀ £ÀqÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÉÛÃ£É.

£À£Àß zÉÃ±ÀzÀ §UÉÎ, £À£Àß ¥ÀæeÉUÀ¼À §UÉÎ, ¸ÉÃªÁ ¤µÉ× ¥ÀqÉ¢gÀÄªÉ£ÉAzÀÄ ¥ÀæweÉÕªÀiÁrwÛzÉÝÃ£É. CªÀgÀ ±ÉæÃAiÉÆÃ©üªÀÈ¢ÞUÀ¼ÉÃ £À£Àß D£ÀAzÀPÉÌ ªÀÄÆ®.SC

ERT T

ELAN

GANA

SCER

T TEL

ANGA

NA

1¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (INTEGERS) 1

1.0 ¥ÀjZÀAiÀÄ£ÀªÀÄä À̧ÄvÀÛ®Æ EgÀÄªÀ ¥Àj À̧gÀzÀ°è ªÀ̧ ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß 1,2,3,....JAzÀÄ JtÂPÉ ªÀiÁqÀÄvÉÛÃªÉ C®èªÉÃ ºÁUÉ JtÂPÉ ªÀiÁqÀ®ÄG¥ÀAiÉÆÃV À̧ÄªÀ À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß "¸Áé s̈Á«PÀ À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ" CxÀªÁJtÂPÉ À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

(i) Cw aPÀÌ ¸Áé̈ sÁ«PÀ À̧ASÉå JµÀÄÖ?

(ii) 100, 1000 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆLzÀÄ ¸Áé̈ sÁ«PÀ À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(iii) ¸Áé s̈Á«PÀ À̧ASÉåUÀ¼À UÀÄA¦£À°è PÉÆ£É À̧ASÉåAiÀÄ£ÀÄßºÉÃ¼À§°ègÁ?

(iv) AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸Áé s̈Á«PÀ À̧ASÉåUÀ¼À ªÀÄzsÉå EgÀÄªÀ ªÀåvÁå À̧ªÉµÀÄÖ?

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄA¦UÉ ‘0’ AiÀÄ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀAvÉ K¥ÀðqÀÄªÀ ºÉÆ¸À UÀÄA¦£ÀÀ̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ. CAzÀgÉ 0,1,2,3,4,.....

6£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è IÄt À̧ASÉåUÀ¼À §UÉÎ PÀ°vÀÄPÉÆArzÉÝÃªÉ. F IÄt À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. EzÀ£ÀÄß Z CPÀëgÀ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ. FCzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt ®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÄÃ É̄ ««zsÀ ¥ÀæQæAiÉÄUÀ¼À§UÉÎ w½zÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt.£ÁªÀÅ FUÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß À̧ASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ UÀÄgÀÄw À̧ÄªÀÅzÀ£ÀÄß w½zÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt..

(i) ªÉÄÃ°£À À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ EgÀÄªÀ À̧ASÉåUÀ¼À°è CwzÉÆqÀØ À̧ASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

(ii) ªÉÄÃ°£À À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ EgÀÄªÀ À̧ASÉåUÀ¼À°è CwaPÀÌ À̧ASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

(iii) -3QÌAvÀ 1 zÉÆqÀØzÉÃ£Á ? KPÉ?.

(iv) -3QÌAvÀ -6 zÉÆqÀØzÉÃ£Á ? KPÉ?.

(v) 4,6,-2,0,-5 UÀ¼À£ÀÄß DgÉÆÃºÀuÉ (KjPÉ ) PÀæªÀÄzÀ°è §gÉ¬Äj.

(vi) 0, 1, ªÀÄvÀÄÛ 0, -1 gÀ ªÀÄzsÉå EgÀÄªÀ ªÀåvÁå À̧ªÀ£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ ¥Àj²Ã°¹£ÉÆÃr.

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

2 ñæÆíWÝ| ÓÜPÝìÃÜ¨Ü EbñÜ ËñÜÃÜOæ 2019&20

C s̈Áå À̧ -1

1. PÉ¼ÀV£À À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ UÀÄwð¹zÀ À̧ASÉåUÀ¼À°è zÉÆqÀØ, aPÀÌ À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

2. PÉ¼ÀUÉ PÉÆlÖ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À ªÀÄzsÀåzÀ°ègÀÄªÀ J¯Áè ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄCªÀÅUÀ¼À°è zÉÆqÀØ, aPÀÌ À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß UÀÄwð¹ §gÉ¬Äj.(i) –5, –10 (ii) 3, –2 (iii) –8, 5

3. PÉ¼ÀV£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß DgÉÆÃºÀt (KjPÉ) PÀæªÀÄzÀ°è §gÉ¬Äj.(aPÀÌ À̧ASÉå¬ÄAzÀ zÉÆqÀØ À̧ASÉåUÉ )

(i) –5, 2, 1, –8 (ii) –4, –3, –5, 2 (iii) –10, –15, –74. PÉ¼ÀV£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß CªÀgÉÆÃºÀt ( E½PÉ) PÀæªÀÄzÀ°è §gÉ¬Äj.

(zÉÆqÀØ À̧ASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ À̧ASÉåUÉ)(i) –2, –3, –5 (ii) –8, –2, –1 (iii) 5, 8, –2

5. 6, -4, 0 ªÀÄvÀÄÛ 4 UÀ¼À£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ UÀÄwð¹.6. PÉ¼ÀV£À À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr, EªÀÅUÀ¼À DzsÁgÀ¢AzÀ G½zÀ À̧ASÉå

UÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

7. PÉ¼ÀV£À À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ s̈ÁgÀvÀzÀ°è£À LzÀÄ £ÀUÀgÀUÀ¼À MAzÀÄ ¢£ÀzÀ GµÉÆÚÃUÀævÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆnÖzÉ.

ªÉÄÃ°£À ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ DzsÁgÀ¢AzÀ PÉÃ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛj¹. ªÉÄÃ°£À ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ DzsÁgÀ¢AzÀ PÉÃ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛj¹. ªÉÄÃ°£À ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ DzsÁgÀ¢AzÀ PÉÃ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛj¹. ªÉÄÃ°£À ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ DzsÁgÀ¢AzÀ PÉÃ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛj¹. ªÉÄÃ°£À ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ DzsÁgÀ¢AzÀ PÉÃ¼ÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛj¹.(i) UÀÄwð¹zÀ £ÀUÀgÀUÀ¼À GµÉÆÚÃUÀævÉAiÀÄ£ÀÄß w½¹.(ii) AiÀiÁªÀ £ÀUÀgÀzÀ GµÉÆÚÃUÀævÉ UÀjµÀÖ (ºÉZÀÄÑ) ªÁVzÉ ?(iii) AiÀiÁªÀ £ÀUÀgÀzÀ GµÉÆÚÃUÀævÉ PÀ¤µÀÖªÁVzÉ ?(iv) AiÀiÁªÀ £ÀUÀgÀUÀ¼À GµÉÆÚÃUÀævÉUÀ¼ÀÄ 00 VAvÀ PÀrªÉÄ EzÉ ?(v) AiÀiÁªÀ £ÀUÀgÀUÀ¼À GµÉÆÚÃUÀævÉUÀ¼ÀÄ 00 VAvÀ ºÉZÀÄÑ EªÉ ?

1.1 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ - ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ»A¢£À vÀgÀUÀwAiÀÄ°è ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ̧ ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£ÀUÀ¼À §UÉÎ w½zÀÄPÉÆArzÉÝÃªÉ. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀUÀÄuÁPÁgÀ, ¨sÁUÁPÁgÀzÀ §UÉÎ w½zÀÄPÉÆ¼ÀÄîªÀ ªÀÄÄAZÉ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨Áj ¸ÀAPÀ®£À ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ¥ÀæQæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt.1.1.1 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧APÀ®£À

PÉ¼ÀV£À À̧APÀ®£ÀUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹4 + 3 = 7 4 + (–1) = 34 + 2 = 6 4 + (–2) = 24 + 1 = 5 4 + (–3) = 14 + 0 = 4

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

0 4 8-5-9

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

PÀ̧ Ë° ªÀÄ£Á° £ÉÊ¤mÁ¯ï Hn ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


ªÉÄÃ°£À À̧APÀ®£ÀUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉAiÀÄ°è AiÀiÁªÀ PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧Ä«j ? 4 PÉÌ PÀÆqÀÄªÀÀ̧ASÉåUÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV 1 gÀAvÉ PÀrªÉÄ AiÀiÁUÀÄwÛzÁÝUÀ (3,2,1,0-1,-2,-3) ¥sÀ°vÁA±À À̧ºÀ PÀæªÀÄªÁV

1 gÀAvÉ PÀrªÉÄ AiÀiÁUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹. CzÀ£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ À̧ºÁAiÀÄ¢AzÀ ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt.4 PÉÌÀ 3 £ÀÄß PÀÆrzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ 4 jAzÀ 3 ¸ÁÜ£ÀUÀ¼ÀÄ §®UÀqÉUÉ ZÀÀ° À̧ÄvÀÛªÉ.

EzÉÃ «zsÀªÁV 4PÉÌ 2, 1 UÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ K£À£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧Ä«j? EzÀjAzÀ ¥Àæw À̧AzÀ̈ sÀðzÀ°è À̧ºÀÀ̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ §®UÀqÉUÉ ZÀ° À̧ÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.

FUÀ +4PÉÌ -1 £ÀÄß PÀÆrzÀgÉ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ ? ªÉÄÃ°£À À̧APÀ®£À eÉÆÃqÀuÉ¬ÄAzÀ 4+ (-1) =3JAzÀÄ JAzÀÄUÉÆvÀÄÛ. DzÀÝjAzÀ ̧ ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ 1 ̧ ÁÜ£À JqÀUÀqÉUÉ ZÀ° À̧̈ ÉÃPÉAzÀÄ CxÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ.

EzÉÃ «zsÀªÁV 4PÉÌ -2, -3 UÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ K£À£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧Ä«j? ¥Àæw À̧AzÀ̈ sÀðzÀ°è À̧ºÀÀ̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ JqÀUÀqÉUÉ ZÀ° À̧ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.

MAzÀÄ ̧ ÀASÉåUÉ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ ̧ ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ §® ̈ sÁUÀPÉÌ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄßPÀÆrzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ JqÀ̈ sÁUÀPÉÌ ZÀ° À̧ÄvÀÛzÉ"

¥ÀæAi ÀÄwß¹j:-¥À æAi ÀÄwß¹j:-¥À æAi ÀÄwß¹j:-¥À æAi ÀÄwß¹j:-¥À æAi ÀÄwß¹j:-1. 9 + 7 = 16 9 + 1 =

9 + 6 = 15 9 + 0 =9 + 5 = 9 + (–1) =9 + 4 = 9 + (–2) =9 + 3 = 9 + (–3) =9 + 2 =

(i) 9+2, 9+(-1), 9+(-3) À̧APÀ®UÀ¼À£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ À̧Æa¹. (ii) MAzÀÄ À̧ASÉåUÉ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß À̧APÀ®£À ªÀiÁrzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ

ªÉÄÃ É̄ AiÀiÁªÀ PÀqÉUÉ ZÀ° À̧ÄvÀÛzÉ (iii) MAzÀÄ À̧ASÉåUÉ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß À̧APÀ®£À ªÀiÁrzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ

ªÉÄÃ É̄ AiÀiÁªÀ PÀqÉUÉ ZÀ° À̧ÄvÀÛzÉ.? 2. À̧AVÃvÀ “AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ D À̧ASÉåUÀ½VAvÀ ºÉZÀÄ”Ñ

JAzÀÄ s̈Á«¹zÁÝ¼É DPÉAiÀÄ s̈ÁªÀ£É À̧vÀåªÉÃ£Á ? ¤£Àß GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß À̧ªÀÄyð À̧ÄªÀ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

C s̈Áå À̧ - 2

1. PÉ¼ÀV£À À̧APÀ®£ÀUÀ¼À£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ À̧ºÁAiÀÄ¢AzÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 5 + 7 (ii) 5 + 2 (iii) 5 + (–2) (iv) 5 + (–7)

2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj .

(i) 7 + 4 (ii) 8 + (–3) (iii) 11 + 3

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6

+3

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

-1

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5

6 (–1)–

(iv) 14 + (–6) (v) 9 + (–7) (vi) 14 + (–10)(vii) 13 + (–15) (viii) 4 + (–4) (ix) 10 + (–2)(x) 100 + (–80) (xi) 225 + (–145)

1.1.2. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÀåªÀPÀ®£À :-PÉ¼ÀV£À ªÀåªÀPÀ®£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹.6 – 3 = 36 – 2 = 46 – 1 = 56 – 0 = 66 – (–1) = 76 – (–2) = 86 – (–3) = 96 – (–4) = 10

ªÉÄÃ°£À ªÀåªÀPÀ®£À eÉÆÃqÀuÉAiÀÄ°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹¢ÝÃgÁ ? 6 jAzÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀiÁqÀÄªÀ ̧ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV 1 gÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁzÁUÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ PÀæªÀÄªÁV 1 gÀAvÉ ºÉZÁÑUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄßUÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ. EzÀ£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt

6 jAzÀ 3 £ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ JqÀUÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ 6 jAzÀ 3¸ÁÜ£ÀUÀ¼ÀÄZÀ°¸ÀÄvÀÛzÉ.

EzÉÃ «zsÀªÁV 6 jAzÀ 2, 1 UÀ¼À£ÀÄß ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ UÀÄwð¹j.¥Àæw¸Áj JqÀUÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ ZÀ° À̧ÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.

À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ 6 jAzÀ -1 £ÀÄß ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁrzÁUÀ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ ? ªÉÄÃ°£ÀªÀåªÀPÀ®£À eÉÆÃqÀuÉ¬ÄAzÀ 6-(-1) =7 JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ CzÀjAzÀ ̧ ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ MAzÀÄ¸ÁÜ£À §®UÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ ZÀ° À̧̈ ÉÃPÉAzÀÄ CxÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ.

EzÉÃ «zsÀªÁV 6 jAzÀ -2, -3, -4 UÀ¼À£ÀÄß ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁrzÁUÀ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ? ¥ÀæwÀ̧AzÀ̈ sÀðzÀ°è À̧ºÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ §®UÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ ZÀ° À̧ÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.

“ MAzÀÄ À̧ASÉå¬ÄAzÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁrzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄JqÀUÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ, IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁrzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ §®UÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌZÀ°¸ÀÄvÀÛªÉ” É.

¥ÀæAiÀÄwß¹j:-1. 8 – 6 = 2

8 – 5 = 38 – 4 =8 – 3 =8 – 2 =

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5

6–3

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


8 – 1 =8 – 0 =8 – (–1) =8 – (–2) =8 – (–3) =8 – (–4) =(i) 8-6, 8-1, 8-(-2), 8-(-4) UÀ¼À£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ UÀÄwð¹.(ii) MAzÀÄ À̧ASÉå¬ÄAzÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄

¤ÃªÁzÀgÉ AiÀiÁªÀ PÀqÉÉ ZÀ° À̧ÄwÛÃj ?(iii) MAzÀÄ À̧ASÉå¬ÄAzÀ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ

ªÉÄÃ É̄ ¤ÃªÁzÀgÉ AiÀiÁªÀ PÀqÉÉ ZÀ° À̧ÄwÛÃj?2. jZÁ “MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ ¥sÀ°vÁA±À

D ¸ÀASÉåUÀ½VAvÀ aPÀÌzÀÄ ” JAzÀÄ ¨sÁ«¹zÁÝ¼É. DPÉ ¨sÁªÀ£ÉUÉ ¤ÃªÀÅKQÃ s̈À« À̧ÄwÛÃgÁ? ¤ªÀÄä GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß À̧ªÀÄyð À̧ÄªÀ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

C¨sÁå¸À-3

1. PÉ¼ÀV£À ªÀåªÀPÀ®£ÀUÀ¼À£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ UÀÄwð¹.¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 7 – 2 (ii) 8 – (– 7) (iii) 3 – 7

(iv) 15 – 14 (v) 5 – (– 8) (vi) (–2) (–1)

2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß É̄QÌ À̧Ä.

(i) 17 – (–14) (ii) 13 – (– 8) (iii) 19 – (– 5)

(iv) 15 – 28 (v) 25 – 33 (vi) 80 – (– 50)

(vii) 150 – 75 (viii) 32 – (– 18)

3. ‘-6’£ÀÄß IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆtð À̧ASÉåAiÀÄ ªÀåvÁå À̧ªÁV JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

1.1.3 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ §UÉÎ w½zÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt3+3+3+3= 4 × 3(4 ¨Áj 3 ) JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛEzÀ£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ PÉ¼ÀV£À «zsÀªÁV vÉÆÃj À̧§ºÀÄzÀÄ.

4 × 3 JAzÀgÉ ‘0’ ¬ÄAzÀ §®PÉÌ ªÀÄÄR ªÀiÁr MAzÀÄ ¨ÁjUÉ 3 ºÉeÉÓAiÉÄAvÉ fVAiÀÄÄvÁÛ 4 ¨ÁjÀ̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ §®UÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ ZÀ°¹zÀgÉ 4 × 3=12 DUÀÄvÀÛzÉ.

£Á«ÃUÀ 4 × (–3) £ÀÄß À̧ASÉågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ ºÉÃUÉ À̧Æa À̧§ºÀÄzÉÆÃ ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt

4 × (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –12

6 7 8 9 10 11 12 13543210-1

3 3 3 3

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


EzÀ£ÀÄß À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ F «zsÀªÁV À̧Æa À̧§ºÀÄzÀÄ.

4 × (–3) JAzÀgÉ ‘0’ ¬ÄAzÀ JqÀPÉÌ ªÀÄÄRªÀiÁr MAzÀÄ ¨ÁjUÉ 3 gÀAvÉ fVAiÀÄÄvÁÛ 4 ¨ÁjÀ̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ JqÀUÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌ ZÀ°¹zÀgÉ 4 × (–3) = -12 DUÀÄvÀÛzÉ.

EzÉÃ «zsÀªÁV 5 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) = –20EzÀ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À «zsÀªÁV À̧Æa À̧ÄvÉÛÃªÉ.

5 × –4 JAzÀgÉ ‘0’ ¬ÄAzÀ MAzÀÄ ¨ÁjUÉ 4 gÀAvÉ 5 ¨Áj À̧ASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ É̄ JqÀUÀqÉ s̈ÁUÀPÉÌZÀ°¹zÀgÉ 5 × –4 = –20 DUÀÄvÀÛzÉ.CzÉÃ jÃw 2 × –5 = (–5) + (–5) = –10

3 × –6 = (–6) + (–6) + (–6) = –184 × –8 = (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = –32

EªÀÅ ©r¹.1.F PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¹: (i) 2 × –6 (ii) 5 × –4 (iii) 9 × –4

–4 × 3 £ÀÄß UÀÄtÂ̧ ÉÆÃt !DzÀgÉ PÉ¼ÀV£À eÉÆÃqÀuÉ PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹

4 × 3 = 12 3 × 3 = 9 2 × 3 = 6 1 × 3 = 3 0 × 3 = 0–1 × 3 = –3–2 × 3 = –6–3 × 3 = –9–4 × 3 = –12

ªÉÄÃ°£À UÀÄtPÁgÀUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉAiÀÄ°è UÀÄtPÀªÀÅ PÀæªÀÄªÁV 1 gÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁzÀAvÉ (4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4) UÀÄt ®§ÝªÀÅ PÀæªÀÄªÁV 3 gÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.F PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß C£ÀÄ À̧j¹ –4 × 3 = –12 JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.DzÀgÉ 4 × –3 = –12 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛ.DzÀÝjAzÀ –3 × 4 = 3 × –4 = –12ªÉÄÃ°£À UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°è IÄt a£Éí §zÀ̄ ÁªuÉªÁUÀÄwÛzÁÝUÀ UÀÄt®§ÝzÀ a£ÉíAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹j.ªÉÄÃ°£À eÉÆÃqÀuÉAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹4 × –5 = –5 × 4 = –202 × –5 = –5 × 2 = –10 JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.3 × –2 =8 × –4 =6 × –5 =

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-7-8-9-10-11-12-13

-3 -3 -3 -3

40-4-8-12-16-20

-4 -4 -4 -4 -4

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


F UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹zÁUÀ “MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ IÄt¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.’’

1.1.3 (C) JgÀqÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ

-3,-4 UÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¹zÀgÉ ®§ÝªÀÅ K£ÀÄ §gÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ £ÉÆÃqÉÆÃt !

F PÉ¼ÀV£À UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉ PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt–3 × 4 = –12–3 × 3 = –9–3 × 2 = –6–3 × 1 = –3–3 × 0 = 0–3 × –1 = 3–3 × –2 = 6–3 × –3 = 9–3 × –4 = 12

F ªÉÄÃ°£À £ÀªÀÄÆ£ÉUÀ½AzÀ UÀÄtÂ̧ ÀÄªÀ À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV 1 gÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁzÀAvÉ (4,3,2,1,0,-1,-2,-3, -4) UÀÄt®§ÝªÀÅ PÀæªÀÄªÁV 3 gÀµÀÖAvÉ ºÉZÁÑUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.

FUÀ -4 ªÀÄvÀÄÛ -3 £ÀÄß UÀÄtÂ̧ ÉÆÃt

PÉ¼ÀV£À UÀÄuÁPÁgÀ ®§ÝUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹, ©lÖ À̧Ü¼À vÀÄA©j.

– 4 × 4 = –16– 4 × 3 = –12–4 × 2 = –8–4 × 1 = –4–4 × 0 = 0–4 × –1 = ——–4 × –2 = ——–4 × –3 = ——

F ªÉÄÃ°£À £ÀªÀÄÆ£ÉUÀ½AzÀ UÀÄtÂ̧ ÀÄªÀ À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV 1 gÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁzÀAvÉ UÀÄt®§ÝªÀÅPÀæªÀÄªÁV 4 gÀµÀÖAvÉ ºÉZÁÑUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤ À̧§ºÀÄzÀÄ.

ªÉÄÃ°£À JgÀqÀÄ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉ¬ÄAzÀ –3 × –4 = –4 × –3 = 12EzÉÃ «zsÀªÁV

–3 × –1 = 3 –4 × –1 = 4

–3 × –2 = 6 –4 × –2 = 8

–3 × –3 = 9 –4 × –3 = 12SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


DzÀÝjAzÀ, JgÀqÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

PÀÈvÀå-1

PÉ¼ÀV£À ¥ÀnÖAiÀÄ°è ªÉÆzÀ® PÀA§ ¸Á°£À®è£À ¥Àæw À̧ASÉåAiÀÄ£ÀÄß, ªÉÆzÀ® CqÀØ ¸Á°£À°è£À ¥ÀæwÀ̧ASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹ ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß s̈ÀwðªÀiÁr

× 3 2 1 0 –1 –2 –3

3 9 6 3 0 –3 –6 –9

2 6 4 2 0

1

0

–1 –3 –2 –1 0 1 2 3

–2

–3

(i) JgÀqÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ£Á ?(ii) JgÀqÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ£Á?(iii) MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ, MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ

IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ£Á?1.1.3(D) JgÀqÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀJgÀqÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÉAzÀÄ w½zÀÄ PÉÆArzÉÝÃªÉ. FUÀªÀÄÆgÀÄ, £Á®ÄÌ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ®§ÝªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.F PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹(i) (–2) × (–3) = 6(ii) (–2) × (–3) × (–4) = [(–2) × (–3)] × (–4) = 6 × (–4) = – 24(iii) (–2) × (–3) × (–4) × (–5) = [(–2) × (–3) × (–4)] × (–5) = (–24) × (–5) = 120(iv) [(–2) × (–3) × (–4) × (–5) × (–6)] = 120 × (–6) = –720ªÉÄÃ°£À ®§ÝUÀ½AzÀ AiÀiÁªÀ AiÀiÁªÀ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤ À̧ §ºÀÄzÀÄ.(i) JgÀqÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ.(ii) ªÀÄÆgÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ®§ÝªÀÅ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ.(iii) £Á®ÄÌ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ.(iv) LzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ®§ÝªÀÅ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ.

FUÉAiÉÄÃ DgÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ£Á ? CxÀªÁ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ£Á?PÁgÀt w½¹.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


¥ÀæAiÀÄwß¹j:-

(–1) × (–1) = ——

(–1) × (–1) × (–1) = ——

(–1) × (–1) × (–1) × (–1) = ——

(–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = ——

ªÉÄÃ°£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹zÀgÉ (i) ªÀÄvÀÄ Û (iii) UÀÄuÁPÁgÀUÀÀ¼À°è IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À̧ ÀASÉåÀ̧j À̧ASÉå (2 ªÀÄvÀÄÛ 4) DzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À ®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ. (ii) ªÀÄvÀÄÛ (iv) £À°è IÄt

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧ASÉå Ȩ́̈ À À̧ASÉå, DzÀjAzÀ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ IÄt¥ÀÆtðAPÀ.DzÀÝjAzÀ“UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°è IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸Àj ¸ÀASÉåAiÀiÁzÀgÉ ®§ÝªÀÅzsÀ£À ¥ÀÆtðAPÀ ºÁUÉIÄt¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧ASÉå Ȩ́̈ À À̧ASÉåAiÀiÁzÀgÉ ®§ÝªÀÅ IÄt¥ÀÆuÁðAPÀ”

C s̈Áå À̧ -4

1. ©lÖ À̧Ü¼ÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j :-(i) (–100) × ( –6) = .....................(ii) (–3) × .......... = 3(iii) 100 × (–6) = .....................(iv) (–20) × (–10) = .....................(v) 15 × (–3) = .....................

2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÝUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.(i) 3 × (–1) (ii) (–1) × 225(iii) (–21) × (–30) (iv) (–316) × (–1)(v) (–15) × 0 × (–18) (vi) (–12) × (–11) × (10)(vii) 9 × (–3) × (–6) (viii) (–18) × (–5) × (–4)(ix) (–1) × (–2) × (–3) × 4 (x) (–3) × (–6) × (–2) × (–1)

3. ²ÃvÀ°ÃPÀgÀt¢AzÀ 40ºC ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ PÉÆÃuÉAiÀÄ GµÉÆÚÃUÀævÉAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw UÀAmÉUÉ 5ºCgÀAvÉ PÀrªÉÄ ªÀiÁqÀ̄ ÁVzÉ. ²ÃvÀ°ÃPÀgÀt ¥ÁægÀA©ü¹zÀ 10 UÀAmÉAiÀÄ £ÀAvÀgÀ PÉÆÃuÉAiÀÄGµÉÆÚÃUÀævÉ JµÀÄÖ ?

4. MAzÀÄ vÀgÀUÀw ¥ÀjÃPÉëUÉ 10 ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ PÉÆnÖzÉ. ¥ÀjPÉëAiÀÄ°è §gÉzÀ À̧jAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀPÉÌ ‘3’CAPÀUÀ¼ÀÄ, vÀ¥ÁàzÀ GvÀÛgÀPÉÌ (-1) CAPÀUÀ¼ÀÄ, GvÀÛgÀ §gÉAiÀÄ¢zÀÝgÉ ‘0’ CAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¤UÀ¢¥Àr¸À¯ÁVzÉ.(i) UÉÆÃ¦ §gÉzÀ GvÀÛgÀUÀ¼À°è 5 À̧jAiÀiÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ 5 vÀ¥ÁàzÀ GvÀÛgÀUÀ½zÀÝgÉ CªÀ¤UÉ

§AzÀ CAPÀUÀ¼ÉµÀÄÖ ?(ii) gÉÃµÀä §gÉzÀ 10 GvÀÛgÀUÀ¼À°è 7 À̧jAiÀiÁVzÀÝgÉ DPÉ ¥ÀqÉzÀ CAPÀUÀ¼ÉµÀÄÖ ?(iii) gÀ²ä §gÉzÀ 10 GvÀÛgÀUÀ¼À°è 4 vÀ¥ÀÄà, 3 À̧jAiÀiÁVzÀÝgÉ DPÉ ¥ÀqÉzÀ CAPÀUÀ¼ÉµÀÄÖ ?

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


5. M§â ªÁå¥Áj CQÌAiÀÄ ªÀiÁgÁl¢AzÀ ¥Àæw ¨Á À̧ÄªÀÄw CQÌAiÀÄ aÃ®PÉÌ gÀÆ. 10 ¯Á s̈À ªÀÄvÀÄÛ¨Á À̧ÄªÀÄw C®èzÀ CQÌAiÀÄ aÃ®PÉÌ gÀÆ. 5 £ÀµÀÖªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¢zÁÝ£É.

(i) MAzÀÄ wAUÀ¼À°è ªÁå¥Áj 3000 ¨Á À̧ÄªÀÄw CQÌAiÀÄ aÃ®UÀ¼ÀÄ, 5000 ¨Á À̧ÄªÀÄw C®èzÀCQÌAiÀÄ aÃ®UÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁjzÀgÉ JµÀÄÖ ¯Á s̈ÀªÉÇÃCxÀªÁ £ÀµÀÖªÉÇÃ w½¹.

(ii)¨Á¸ÀÄªÀÄw C®èzÀ 6400 CQÌAiÀÄ aÃ®UÀ¼À£ÀÄßªÀiÁjzÁUÀ ¯Á s̈ÀªÁUÀ°, £ÀµÀÖªÁUÀ° §gÀzÀºÁUÉEgÀ̈ ÉÃPÉAzÀgÉ JµÀÄÖ ̈ Á À̧ÄªÀÄw CQÌAiÀÄ aÃ®UÀ¼À£ÀÄßªÀiÁgÀ¨ÉÃPÀÄ?

6. ©lÖ À̧Ü¼ÀUÀ¼À°è À̧jAiÀiÁzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß vÀÄA© ºÉÃ½PÉUÀ¼À£ÀÄß À̧jªÀiÁrj.

(i) (–3) × —————— = 27 (ii) 5 × —————— = –35

(iii) —————— × (–8) = –56 (iv) —————— × (–12) = 132

1.1.4 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À s̈ÁUÁPÁgÀ

s̈ÁUÁPÁgÀªÀÅ UÀÄuÁPÁgÀzÀ « É̄ÆÃªÀÄ ¥ÀæQæAiÉÄ.¸Áé s̈Á«PÀ À̧ASÉåUÀ¼À°ès̈ÁUÁPÁgÀ ¥ÀæQæAiÉÄUÉ Ȩ́ÃjzÀ PÉ®ªÉÇAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt

3 × 5 = 15 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛ.DzÀÝjAzÀ 15 ÷ 5 = 3 CxÀªÁ 15 ÷ 3 = 5EzÉÃ «zsÀªÁV 4 × 3 = 12DzÀÝjAzÀ 12 ÷ 4 = 3 CxÀªÁ 12 ÷ 3 = 4CAzÀgÉ ¸Áé s̈Á«PÀ À̧ASÉåUÀ¼À°è ¥Àæw UÀÄuÁPÁgÀPÉÌ JgÀqÀÄ s̈ÁUÀPÁgÀ ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄEgÀÄvÀÛªÉAzÀÄºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÀÆ À̧ºÀ ¥Àæw UÀÄuÁPÁgÀ ºÉÃ½PÉUÉ À̧j©Ã¼ÀÄªÀ s̈ÁUÁPÁgÀ ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ§gÉAiÀÄ§ºÀÄzÁ?

PÉ¼ÀV£À ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹ ©lÖ À̧Ü¼À vÀÄA©j.

UÀÄuÁPÁgÀ ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ s̈ÁUÁPÁgÀ ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ

2 × (–6) = (–12) (–12) ÷ (–6) = 2 , (–12) ÷ 2 = (–6)

(–4) × 5 = (–20) (–20) ÷ (5) = (–4) , (–20) ÷ (–4) = 5

(–8) × (–9) = 72 72 ÷ (–8) = (–9) , 72 ÷ (–9) = (–8)

(–3) × (–7) = _______ ______ ÷ (–3) = _____ , __________________

(–8) × 4 = __________ __________________ , __________________

5 × (–9) = __________ __________________ , __________________

(–10) × (–5) = __________________ , __________________SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


ªÉÄÃ°£À GzÁºÀuÉUÀ¼À£ÀÄß JZÀÑjPÉ¬ÄAzÀ C s̈Àå¹¹ ªÀÄvÀÄÛ a£ÉíUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹, £ÁªÀÅ »ÃUÉAzÀÄwÃªÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÀÄ.

“MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ s̈ÁV¹zÁUÀ CxÀªÁ MAzÀÄzs À£À ¥ÀÆtðAPÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ ¨sÁUÀ®§ÝªÀÅ IÄt¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ”.

EªÀÅ ªÀiÁr :-

1. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ©r¹.

(i) (–100) ÷ 5 (ii) (–81) ÷ 9 (iii) (–75) ÷ 5 (iv) (–32) ÷ 2(v) 125 ÷ (–25) (vi) 80 ÷ (–5) (vii) 64 ÷ (–16)

¥ÀæAiÀÄwß¹j :-

(–48) ÷ 8 = 48 ÷ (–8) JAzÀÄ ºÉÃ¼À§°ègÁ ?¸ÁzsÀ£É :-

(–48) ÷ 8 = –6 ªÀÄvÀÄÛ 48 ÷ (–8) = –6CzÀÝjAzÀ (–48) ÷ 8 = 48 ÷ (–8)

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß À̧j £ÉÆÃrj.

(i) 90 ÷ (–45) ªÀÄvÀÄÛ (–90) ÷ 45 (ii) (–136) ÷ 4 ªÀÄvÀÄÛ 136 ÷ (–4)

F PÉ¼ÀV£À s̈ÁUÁPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß À̧ºÀ UÀªÀÄ¤¹j

(–12) ÷ (–6) = 2; (–20) ÷ (–4) = 5; (–32) ÷ (–8) = 4; (–45) ÷ (–9) = 5

DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛÃAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ s̈ÁV¹zÀgÉ, s̈ÁUÀ®§ÝªÀÅ

zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÉAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.

EªÀÅ ªÀiÁrj

1. PÉ¼ÀV£À s̈ÁUÁPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁr

(i) –36 ÷ (–4) (ii) (–201) ÷ (–3) (iii) (–325) ÷ (–13)

1.2 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ6 £ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ ( 0,1,2,3, . . . . . .) UÀÄt ®PÀët §UÉÎ PÀ°vÀÄ

PÉÆÃArzÉÝÃªÉ. F vÀgÀUÀwAiÀÄ°è {0,+1, +2, .. . . . . } ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt ®PÀët §UÉÎ w½zÀÄPÉÆÃ¼ÉÆîÃt.

(i) ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À DªÀÈvÀ UÀÄt ( ( ( ( (Closure Property)

PÉ¼ÀV£À ¥ÀnÖAiÀÄ°è À̧APÀ®£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹ vÀÄA©j.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁgÁA±À

5 + 8 = 13 ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ6 + 3 =13 + 0 =10 + 2 =0 + 6 = 6 ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ ¥ÀÆtð À̧ASÉå

AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼ÉÃ£Á ? EzÀÄ À̧vÀåªÉAzÀÄ ¤ÃªÀÅ UÀæ» À̧ÄwÛÃj. DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ½UÉ DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

DzÀgÉ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧APÀ®£ÀPÉÌ DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢ªÉAiÉÄÃ E®èªÉÇÃ ? F PÉ¼ÀV£À À̧APÀ®£ÀUÀ¼À£ÀÄßUÀªÀÄ¤¹ vÀÄA©j.

ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁgÁA±À6 + 3 = 9 ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ–10 + 2 =–3 + 0 =–6 + 6 = 0(–2) + (–3) = –57 + (–6) = ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ

JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥ÀÆuÁðAPÀ DVgÀÄvÀÛzÀAiÉÄÃ ?JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ C®èªÉAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÉÆA¢UÉ ºÉÃ¼À§°ègÁ?EzÀÄ C¸ÁzsÀå. DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧APÀ®£ÀPÉÌ À̧ºÀ DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

a ªÀÄvÀÄÛ b,UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ a + b PÀÆqÁ ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ

(ii) ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄt (Commutative property)F PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹ vÀÄA©j.

ºÉÃ½PÉ 1 ºÉÃ½PÉ 2 ¸ÁgÁA±À

4 + 3 = 7 3 + 4 = 7 4 + 3 = 3 + 4 = 7

3 + 5 = 5 + 3 =

3 + 0 = 0 + 3 =

JgÀqÀÄ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼À PÀæªÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ̧ ÀàgÀ §zÀ̄ Á¬Ä¹zÁUÀ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ§zÀ̄ ÁªÀuÉ UÀªÀÄ¤¹¢ÃÝgÁ? §zÀ̄ ÁªÀuÉ UÀ½zÀÝgÉ ¥ÀÆtð ̧ ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄ¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è.DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼À À̧APÀ®£ÀPÉÌ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄªÀÅ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ.SC

ERT T

ELAN

GANA

SCER

T TEL

ANGA

NA


F PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹ vÀÄA©j.

ºÉÃ½PÉ1 ºÉÃ½PÉ 2 ¸ÁgÁA±À

5 + (–6) = –1 (–6) + 5 = –1 5 + (–6) = (–6) + 5 = –1

–9 + 2 = 2 + (–9) =

–4 + (–5) = (–5) + (–4) =

JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß ¥ÀgÀ̧ ÀàgÀ §zÀ̄ Á¬Ä¹zÁUÀ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ§zÀ̄ ÁªÀuÉ UÀªÀÄ¤¹¢ÝÃgÁ? §zÀ̄ ÁªÀuÉUÀ½zÀÝgÉ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄ¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è.DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧APÀ®£ÀzÀ°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ.

a ªÀÄvÀÄÛ b AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉgÉgÉgÉgÉ ,a + b = b + a

(iii) À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄt (Associative property)

F PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹

(i) (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

5 + 4 = 2 + 7

9 = 9

(ii) (–2 + 3) + 5 = –2 + (3 + 5)

1 + 5 = –2 + 8

6 = 6

(iii) (–2 + 3) + (–5) = 2 + [3 + (–5)]

1 + (–5) = 2 + (-2)

–4 = –4

(iv) [(–2) + (–3)] + (-5) = –2 + [(–3) + (–5)]

–5 + (–5) = –2 + (–8)

–10 = –10

¥Àæw À̧AzsÀ̈ sÀðzÀ°è À̧APÀ®£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ À̧ªÀiÁ£ÀªÁVzÉAiÉÄÃ ? EzÀÄ À̧vÀåªÉAzÀÄ UÀæ» À̧ÄvÉÛÃªÉ.DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À À̧APÀ®£ÀPÉÌ À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ.

a, b ªÀÄvÀÄÛ c, AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀg É É É É É (a + b) + c = a + (b + c)SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


¥ÀæAiÀÄwß¹j :1. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß À̧vÀåªÉÇÃ, C À̧vÀåªÉÇÃ ¥ÀjÃQë¹

(i) (2 + 5) + 4 = 2 + (5 + 4)(ii) (2 + 0) + 4 = 2 + (0 + 4)

2. ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ½UÉ À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ?ªÀÄvÉÛ JgÀqÀÄGzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ «ªÀj¹.

(iv) À̧APÀ®£ÀzÀ C£À£Àå£ÁA±À (Additive identity) PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹

–2 + 0 = –25 + 0 = 58 + 0 =

–10 + 0 =¥ÀÆuÁðAPÀPÉÌ ‘0’ AiÀÄ£ÀÄß PÀÆrzÀgÉ CzÉÃ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÁVgÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? ¥sÀ°vÁA±À CzÉÃ¥ÀÆuÁðAPÀ. DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ ‘0’ AiÀÄ£ÀÄß, À̧APÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV a, AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁzÀgÉ a+0 = 0 + a= a

¥ÀæAiÀÄwß¹j :- 1.PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è PÀÆrj.

(i) 2 + 0 =(ii) 0 + 3 =(iii) 5 + 0 =(iv) CzÉÃjÃw, AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ½UÉ‘0’AiÀÄ£ÀÄß PÀÆrj.‘0’ AiÀÄÄ ¥ÀÆtð

À̧ASÉåUÀ½UÉ À̧APÀ®£À C£À£ÀåvÁA±ÀªÉÃ£Á?

(v) À̧APÀ®£ÀzÀ « É̄ÆÃªÀÄ(((((Additive Inverse) 3 PÉÌ AiÀiÁªÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ ¥sÀ°vÁA±À ̧ ÀAPÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±À ‘0’ DUÀÄvÀÛzÉ? F PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

3 + (–3) = 07 + (–7) = 0(–10) + 10 = 0

F «zsÀªÁV J¯Áè ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÀÆ EAvÀºÀ eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß K¥Àðr À̧§ºÀÄzÉÃ? ªÉÄÃ°£À eÉÆÃrUÀ¼À°è¥Àæw À̧ASÉåAiÀÄ£ÀÄß JgÀqÀ£É À̧ASÉåUÉ À̧APÀ®£ÀzÀ « É̄ÆÃªÀÄ J£ÀÄßvÁÛgÉ.‘a’ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ DzÀgÉ a + (–a) = 0 DAzÀgÉ –a JA§ÄzÀÄ ‘a’ £À À̧APÀ®£ÀzÀ

« É̄ÆÃªÀÄ. ‘a’ ªÀÄvÀÄÛ (–a) ¥ÀgÀ̧ ÀàgÀ MAzÀPÉÆÌAzÀÄ À̧APÀ®£ÀzÀ « É̄ÆÃªÀÄUÀ¼ÀÄ.SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


1.2.2 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÀÄ /UÀÄtUÀ¼ÀÄ : : : : :(Properties of integers under multiplication )

(i) DªÀÈvÀ UÀÄt (Closure property )PÉ¼ÀV£À ¥ÀnÖAiÀÄ°è UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹ vÀÄA©j.

ºÉÃ½PÉ ¸ÁgÁA±À

9 × 8 = 72 UÀÄt®§ÝªÀÅ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ

10 × 0 =

–15 × 2 =

–15 × 3 = –45

–11 × –8 =

10 × 10 =

5 × –3 =JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ®§ÝªÀÅ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ eÉÆvÉUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄÄªÉAiÀiÁ? §gÉAiÀÄ®Ä¸ÁzsÀå«®è. DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ UÀÄuÁPÁgÀzÀ CrAiÀÄ°è DªÀÈvÀ ¤AiÀÄªÀÄ ªÀwð À̧ÄvÀÛzÉ.

‘a’ ªÀÄvÀÄÛ ‘b’UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ axb AiÀÄÄ À̧ºÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ

¥ÀæAiÀÄwß¹j :-

1. (i) 2 × 3 = _______

(ii) 5 × 4 = _______

(iii) 3 × 6 = _______

(iv) CzÉÃ «zsÀªÁV AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¹zÁUÀ§gÀÄªÀ UÀÄt®§ÝªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥ÀÆtð À̧ASÉåAiÉÄÃ£Á?

(ii) ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ : (Commutative property)

¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼À°è UÀÄuÁPÁgÀ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉAiÉÄAzÀÄ UÉÆvÀÄÛ.¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÀÆ F ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉAiÀiÁ?

ºÉÃ½PÉ 1 ºÉÃ½PÉ 2 ¸ÁgÁA±À

5 × (–2) = –10; (–2) × 5 = –10 5 × (–2) = (–2) × 5 = –10

(–3) × 6 = 6 × (–3) =

–20 × 10 = 10 × (–20) =

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


ªÉÄÃ°£À J¯Áè ̧ ÀAzsÀ̈ sÀðUÀ¼À°è EzÀÄ ̧ ÀvÀå. JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ®èªÉAzÀÄ EgÀÄªÀ MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉ PÉÆr. ̧ ÁzsÀåªÁUÀÄªÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀPÉÌ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ À̧j ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ.

‘a’ ªÀÄvÀÄÛ ‘b’ UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ axb = bxa

(iii) À̧ºÀ ªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ : (Associative property)

2, -3, -4 gÀ UÀÄtPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt.EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÉ¼ÀV£À «zsÀªÁV UÀÄtÂ̧ ÉÆÃt

[2 × (–3)] × (–4) ªÀÄvÀÄÛ 2 × [(–3) × (–4)]

EzÀjAzÀ

[2 × (–3)] × (–4) ªÀÄvÀÄÛ 2 × [(–3) × (–4)]

= (–6) × (–4) = 2 × 12

= 24 = 24ªÉÆzÀ®£É ¸ÀAzsÀ¨sÀðzÀ°è ªÉÆzÀ¯ÉgÉqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀUÀÄtÂ̧ À̄ ÁVzÉ, JgÀqÀ£É ̧ ÀAzsÀ̈ sÀðzÀ°è PÉÆ£É JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß ªÉÆzÀ® ̧ ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ̧ À̄ ÁVzÉ.F JgÀqÀÄ À̧AzsÀ̈ sÀðUÀ¼À°è PÉÆ£ÉUÉ UÀÄt®§ÝªÀÅ À̧ªÀiÁ£ÀªÁVzÉ.DzÀÝjAzÀ [ 2 x (- 3) ] x (-4 ) = 2 x [(- 3) ] x (-4 )]ªÉÄÃ°£À JgÀqÀÄ À̧AzÀ̈ sÀðUÀ¼À°è ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄA¥ÀÄ¼À£ÁßV ªÀiÁr UÀÄtÂ¹zÁUÀ UÀÄt®§ÝªÀÅ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÄÃ É̄ ¥Àæ̈ sÁªÀ ©ÃjzÉAiÉÄÃ ? E®è. UÀÄt®§ÝzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ §zÀ̄ ÁªÀuÉ E®è.DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ À̧ºÀ ªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ. ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀUÀÄt®§Ý J£ÀÄßªÀÅzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄA¥ÀÄUÀ¼ÁV ªÀiÁr UÀÄtÂ̧ ÀÄªÀÅzÀ ªÉÄÃ É̄ DzsÁgÀ ¥ÀqÀÄªÀÅ¢®è.

a,b,c UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ, (axb)xc = ax (bxc)

EªÀÅ ªÀiÁrj1. [(–5) × 2)] × 3 = (–5) × [(2 × 3)]? À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÀAiÉÄÃ ?

2. [(–2) × 6] × 4 = (–2) × [(6 × 4)]? À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÀAiÉÄÃ ? ¥ÀæAiÀÄwß¹j :

1. (5 × 2) × 3= 5 × (2 × 3)

2. ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ½UÉ UÀÄuÁPÁgÀ À̧ºÀ ªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ ªÀwð¹vÀÛzÉAiÉÄÃ?PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉ UÀ¼ÉÆA¢UÉ À̧j£ÉÆÃrj.

(iv) « s̈ÁdPÀ ¤AiÀÄªÀÄ (Distributive property) 9 × (10 + 2) = (9 × 10) + (9 × 2) JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛ.

CzÀÝjAzÀ, ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ½UÉ UÀÄuÁPÁgÀ, À̧APÀ®£ÀzÀ ªÉÄÃ¯É « s̈ÁdPÀ ¤AiÀÄªÀÄ ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉJA§ÄzÀÄ À̧vÀå.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ À̧ºÀ F ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÀAiÉÄÃ ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt.

(i) –2 × (1 + 3) = [(–2) x 1] + [(–2) × 3]

–2 × 4 = –2 + (–6)

–8 = –8

(ii) –1 × [3 + (–5)] = [(–1) × 3] + [(–1) × (–5)]

–1 × (–2) = –3 + (+5)

2 = 2

–3 × (–4+2) = [(–3) × (–4)] + [–3 × (2)]£ÀÄß À̧j£ÉÆÃrj. ªÉÄÃ°£À JgÀqÀÄ À̧AzÀÀ̈ sÀðzÀ°èJqÀUÀqÉ EgÀÄªÀ ̈ É̄ É, §®UÀqÉ ̈ É̄ ÉUÉ ̧ ÀªÀÄªÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ UÀÄuÁPÁgÀ ̧ ÀAPÀ®£ÀUÀ¼ÀªÉÄÃ É̄ « s̈ÁUÀ ¤AiÀÄªÀÄ À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ.

a,b, ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ a × (b + c) = a × b + a × c(v) UÀÄuÁPÁgÀ C£À£ÀåvÁA±À (Multiplicative identity)

2 × 1 = 2

–5 × 1 = –5

–3 × 1 = _____

–8 × 1 = _____

1 × –5 = _____

ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß ‘1’jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ ¥ÀÆuÁðAPÀzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ§zÀ̄ ÁªÀuÉ E®è. DzÀÝjAzÀ ‘1’ £ÀÄß ¥ÀÆuÁAPÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ C£À£ÀåvÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

‘a’ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁzÀgÉ a × 1 = 1 × a = a

(vi) ‘0’ ( Ȩ́Æ£Éß) ¬ÄAzÀ UÀÄuÁPÁgÀ (Multiplication by zero)AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¥ÀÆtð À̧ASÉåAiÀÄ£ÀÄß ‘0’ ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ ®§ÝªÀÅ ‘0’ DzÀgÉ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À «µÀAiÀÄzÀ°è À̧vÀåªÉÃ£Á ? ¥Àj²Ã°¹.

(–3) × 0 = 0

0 × (–8) = ——

9 × 0 = ——

ªÉÄÃ°£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹zÁUÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ Ȩ́Æ£ÉßUÀ¼À UÀÄt®§Ý Ȩ́Æ£ÉßAiÉÄÃ

‘a’ AiÀiÁªÀÅzÉÃ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁzÀgÉ a × 0 = 0 × a = 0

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ À̧APÀ®£À C£À£ÀåvÁA±À ‘0’

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


C s̈Áå À̧ - 5

1. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß À̧j£ÉÆÃrj.

(i) 18 × [7 + (–3)] = [18 × 7] + [18 × (–3)]

(ii) (–21) × [(–4) + (–6)] = [(–21) × (–4)] + [(–21) × (–6)]

2. (i) a MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ DzÀgÉ ( -1) X a £À É̈̄ É JµÀÄÖ ?(ii) (-1) PÉÌ AiÀiÁªÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ UÀÄt®§ÝªÀÅ 5 DUÀÄvÀÛzÉ ?

3. À̧jAiÀiÁzÀ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À É̈̄ É PÀAqÀÄ »r¬Äj .

(i) 26 × (–48) + (–48) × (–36) (ii) 8 × 53 × (–125)

(iii) 15 × (–25) × (–4) × (–10) (iv) (–41) × 102

(v) 625 × (–35) + (–625) × 65 (vi) 7 × (50 – 2)

(vii) (–17) × (–29) (viii) (–57) × (–19) + 57

1.2.3 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÀåªÀPÀ®£À ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÀÄ /UÀÄtUÀ¼ÀÄ: (Properties of integers under subtraction)

(i) DªÀÈvÀ UÀÄt (Closure under subtraction)

PÉ¼ÀV£À MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ PÀ¼ÉÉzÁUÀ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ§gÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ ? EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃrj.

9 – 7 = _____

7 – 10 = _____

2 – 3 = _____

–2 – 3 = _____

–2 – (–5) = _____

0 – 4 = _____

K£À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹¢ÝÃj ? ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ DªÀÈvÀ UÀÄt À̧jºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ

a ªÀÄvÀÄÛ b AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ a – b PÀÆqÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÉÃ.(ii) ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄt (Commutativity under subtraction)MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt!

6, -4 UÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ6 – (–4) = 6 + 4 = 10 ªÀÄvÀÄÛ– 4 – (6) = – 4 – 6 = –10

DzÀÝjAzÀ 6 – (– 4) ≠ – 4 – (6)

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ CrAiÀÄ°è ¥ÀjªÀwð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀÅ¢®è.

¥ÀæAiÀÄwß¹j :

AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ LzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄUÀÄtªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹

1.2.4 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À s̈ÁUÁPÁgÀ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÀÄ (UÀÄtUÀ¼ÀÄ) (Properties of integers under division)

(i) DªÀÈvÀ UÀÄt (Closure Property) :-PÉ¼ÀV£À ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹, vÀÄA©j.

ºÉÃ½PÉ ¸ÁgÁA±À ºÉÃ½PÉ ¸ÁgÁA±À

(–8) ÷ (–4) = 2 ¥sÀ°vÁA±À ¥ÀÆuÁðAPÀ (–8) ÷ 4 = 8

4−

= –2

(–4) ÷ (–8) = 48

−−

=12 ¥sÀ°vÁA±À ¥ÀÆuÁðAPÀ C®è 4 ÷ (–8) =

4 18 2

−=

−

¥ÀnÖAiÀÄ°è K£À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹¢ÝÃj ? ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ ̈ sÁUÁPÁgÀzÀ CrAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ªÀwð À̧ÄªÀÅ¢®è.

¥ÀæAiÀÄwß¹j AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ LzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ s̈ÁUÁPÁgÀzÀ CrAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß À̧j £ÉÆÃrj

(ii) ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ (Commutative Property) :¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ½UÉ s̈ÁUÁPÁgÀzÀ CrAiÀÄ°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ«®è. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ F¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã° Ȩ́ÆÃt. ¥ÀnÖPÉAiÀÄ°è£À GzÁºÀgÀuÉ DzsÁgÀªÁV (–8) ÷ (–4) ≠ (–4) ÷ (–8) JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

CzÉÃ jÃw (–9) ÷ 3, 3 ÷ (–9) UÀ¼ÀÄ À̧ªÀiÁ£ÀªÉÃ£Á? (–30) ÷ (6), (–6) ÷ (–30) UÀ¼ÀÄ À̧ªÀiÁ£ÀªÉÃ£Á?

DzÀÝjAzÀ, ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ s̈ÁUÁPÁgÀ CrAiÀÄ°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ C£Àé¬Ä À̧ÄªÀÅ¢®è.

¥ÀæAiÀÄwß¹j :AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ LzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß À̧j £ÉÆÃrj

(iii) Ȩ́Æ£Éß¬ÄAzÀ s̈ÁUÁPÁgÀ (Division by Zero) :

MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ s̈ÁUÀUÀ¼ÁV, ªÀÄÆgÀÄ s̈ÁUÀUÀ¼ÁV ........... « s̈Àf À̧ §ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉȨ́Æ£Éß ̈ sÁUÀUÀ¼ÁV « s̈Àf À̧ÄªÀÅzÀÄ J£ÀÄßªÀÅzÀPÉÌ CxÀð«®èzÀÄÝ. ̧ ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ±ÀÆ£ÉåÃvÀgÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀs̈ÁV¹zÁUÀ s̈ÁUÀ®§Ý ‘0’ DUÀÄvÀÛzÉSC

ERT T

ELAN

GANA

SCER

T TEL

ANGA

NA


a MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ DzÀgÉ a ÷ 0 ¤ªÀða À̧̄ ÁUÀÄªÀÅ¢®è,a MAzÀÄ ±ÀÆ£ÉåÃvÀgÀ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁzÀgÉ 0 ÷ a = 0

(iv) +1 jAzÀ s̈ÁUÁPÁgÀ (Identity in division)

PÉ¼ÀV£À s̈ÁUÁPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹, ©lÖ À̧Ü¼À vÀÄA©j.

(–8) ÷ 1 = (–8) (11) ÷ 1 = +11 (–13) ÷ 1 = _____ (–25) ÷ 1 = _______

ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ MAzÀÄ zsÀ£À CxÀªÁ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß 1 jAzÀ s̈ÁV¹zÁUÀ¥sÀ°vÁA±À CzÉÃ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀgÉ -1 jAzÀ s̈ÁV¹zÁUÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ IÄt¥ ÀÆuÁðAP ÀªÁV , IÄt ¥ ÀÆuÁðAP À z s À £ À ¥ ÀÆuÁðAP ÀªÁV §z À¯ÁU À Äv À Ûz É .1£ÀÄß ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À s̈ÁUÁPÁgÀPÉÌ C£À£ÀåvÁA±À J£ÀÄßvÁÛgÉ.

a MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ DzÀgÉ a ÷ 1 = a.

AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß (-1) jAzÀ s̈ÁV¹zÁUÀ K£ÀÄ §gÀÄvÀÛzÉ. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß£ÉÆÃr w½¹.

(–8) ÷ (–1) = 8 11 ÷ (–1) = –11 13 ÷ (–1) = _____ (–25) ÷ (–1) = _____

AiÀiÁªÀÅzÉÃ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß (-1) jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ CzÉÃ ¥ÀÆuÁðAPÀ C®è JAzÀÄw½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

¥ÀæAiÀÄwß¹j : -

1. a, AiÀiÁªÀÅzÉÃ MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÁzÀgÉ(i) a ÷ 1 = 1?(ii) a ÷ (–1) = –a? ‘a’ UÉ É̈ÃgÉ É̈ÃgÉ É̈̄ ÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ À̧j£ÉÆÃrj.

(iii) À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ ( Associative property) :-16,4, -2 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ

[(–16) ÷ 41] ÷ (–2) = (–16) ÷ [4 ÷ (–2)] ¸ÀjAiÉÄÃ ?

[(–16) ÷ 4] ÷ (–2) = (–4) ÷ (–2) = 2

(–16) ÷ [4 ÷ (–2)] = (–16) ÷ (–2) = 8

DzÀÝjAzÀ [(–16) ÷ 4] ÷ (–2) ≠ (–16) ÷ [4 ÷ (–2)]

DzÀÝjAzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ s̈ÁUÁPÁgÀ CrAiÀÄ°è À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ C£Àé¬Ä À̧ÄªÀÅ¢®è.


AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ s̈ÁUÁPÁgÀCrAiÀÄ°è À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß À̧j £ÉÆÃrj.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


C s̈Áå À̧ - 61. PÉ¼ÀV£À ©nÖ À̧Ü¼ÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j

(i) –25 ÷ ........ = 25

(ii) ........ ÷ 1 = –49

(iii) 50 ÷ 0 = .....................

(iv) 0 ÷ 1 = .....................

1.3 IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÄÃ É̄ PÉ®ªÀÅ À̧ªÀÄ Ȩ́åUÀ¼ÀÄ:

GzÁºÀgÀuÉ 1: MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è ¥Àæw À̧jAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀPÉÌ (+5) CAPÀUÀ¼ÀÄ. vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀPÉÌ (-2)CAPÀUÀ¼ÀÄ PÉÆnÖzÉ. (i)gÁ¢üPÀ J¯Áè ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛgÀUÀ¼À£À£ÀÄß §gÉzÀgÉ 10 ̧ ÀjAiÀiÁVªÉ.30 CAPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀqÉ¢zÁÝ¼É. (ii) dAiÀÄ À̧ºÀ J¯Áè ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀgÉ,4 À̧jAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀUÀ½ªÉ, DzÀgÉ (-12) CAPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀqÉ¢zÁÝ¼É, DzÀgÉ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°ègÁ¢üPÀ, dAiÀÄ JµÀÄÖ vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¢zÁÝgÉ?

¥ÀjºÁgÀ : (i) MAzÉÆAzÀÄ À̧jAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀPÉÌ CAPÀUÀ¼ÀÄ = 510 À̧jAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀUÀ½UÉ PÉÆlÖ MlÄÖ CAPÀUÀ¼ÀÄ = 5 × 10 = 50gÁ¢üPÀ ¥ÀqÉzÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ = 30vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ½UÉ ¥ÀqÉzÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ = 30 – 50 = –20

¥Àæw vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀPÉÌ ¤UÀ¢ ¥Àr¹zÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ = (–2)

DzÀÝjAzÀ gÁ¢üPÀ¼À vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ¼À À̧ASÉå = (–20) ÷ (–2)= 10

(ii) 4 À̧jAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀPÉÌ PÉÆlÖ CAPÀUÀ¼ÀÄ = 5 × 4 = 20

dAiÀÄ ¥ÀqÉzÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ = –12

vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ½UÉ PÉÆlÖ CAPÀUÀ¼ÀÄ = –12 – 20 = –32

¥Àæw vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀPÉÌ ¤UÀ¢ ¥Àr¹zÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ = (–2)

DzÀÝjAzÀ dAiÀÄ¼À vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ¼À À̧ASÉå = (–32) ÷ (–2) = 16

GzÁºÀgÀuÉ 2: M§â CAUÀrAiÀÄªÀ£ÀÄ MAzÉÆAzÀÄ ¥É£Àß£ÀÄß ªÀiÁgÀÄªÀÅzÀjAzÀ ` 1 ¯Á s̈ÀªÀ£ÀÄß,MAzÉÆAzÀÄ ºÀ¼ÉAiÀÄ ¥É¤ì̄ ï ªÀiÁgÀÄªÀÅzÀjAzÀ 40 ¥ÉÊ Ȩ́ £ÀµÀÖªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄwÛzÁÝ£É.

(i) ̀ 5 £ÀµÀÖªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀ wAUÀ¼À°è ªÀiÁjzÀ ¥É£ÀÄßUÀ¼ÀÀ̧ASÉå 45 DzÀgÉ JµÀÄÖ ¥É¤ì̄ ïUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁjzÁÝ£É

?

(ii) £ÀAvÀgÀzÀ wAUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¯Á¨sÀªÁUÀ°,£ÀµÀÖªÁUÀ° E®è. CªÀ£ÀÄ 70 ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁjzÀÝgÉ, JµÀÄÖ ¥É¤ì¯ïUÀ¼À£ÀÄßªÀiÁjgÀÄvÁÛ£É.

¥ÀjºÁgÀ : (i) MAzÉÆAzÀÄ ¥É£ÀÄß ªÀiÁgÀÄªÀzÀjAzÀ §gÀÄªÀ ¯Á s̈À = ` 145 ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁgÀÄªÀzÀjAzÀ §gÀÄªÀ ¯Á s̈À = 1 × 45 = ` 45,

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


MlÄÖ £ÀµÀÖ =` 5,CAzÀgÉ -5¥ÀqÉzÀ ¯Á s̈À + ºÉÆA¢zÀ £ÀµÀÖ = MlÄÖ £ÀµÀÖ

ºÉÆA¢zÀ £ÀµÀÖ = MlÄÖ £ÀµÀÖ- ¥ÀqÉzÀ ¯Á s̈À

= –5 – (45) = (–50) = – ̀ 50 = – 5000 ¥ÉÊ Ȩ́UÀ¼ÀÄ

MAzÉÆAzÀÄ ¥É¤ì̄ ïUÀ¼ÀÀ ªÉÄÃ É̄ £ÀµÀÖ = 40 ¥ÉÊ¸ÉUÀ¼ÀÄ CAzÀgÉ –40 ¥ÉÊ Ȩ́UÀ¼ÀÄ

MlÄÖ ªÀiÁjzÀ ¥É¤ì̄ ïUÀ¼À À̧ASÉå = (–5000) ÷ (–40) = 125 ¥É¤ì̄ ïUÀ¼ÀÄ.

(ii) £ÀAvÀgÀ wAUÀ¼À°è 70 ¥É£ÀÄßUÀ½AzÀ¥ÀqÉzÀ ¯Á s̈À =1x70 = ` 70 CAzÀgÉ +70

¥ÀqÉzÀ ¯Á s̈À MlÄÖ

¥É£ÀÄßUÀ½AzÀ ®©ü¹zÀ ¯Á s̈À + ¥É¤ì̄ ïUÀ½AzÀ ºÉÆA¢zÀ £ÀµÀÖ = 0

¥É¤ì̄ ïUÀ½AzÀ ºÉÆA¢zÀ £ÀµÀÖ = – ¥É£ÀÄßUÀ½AzÀ ®©ü¹zÀ ¯Á s̈À

¥É¤ì̄ ïUÀ½AzÀ ºÉÆA¢zÀ £ÀµÀÖ = ` 70 CxÀªÁ -7000 ¥ÉÊ¸ÀUÀ¼ÀÄ.

ªÀiÁjzÀ MlÄÖ ¥É¤ì¯ïUÀ¼À À̧ASÉå =(–7000) ÷ (–40) = 175 ¥É¤ì̄ ïUÀ¼ÀÄ.

C s̈Áå À̧ -7

1. MAzÀÄ vÀgÀUÀwUÉ PÉÆlÖ ¥Àæ±Áß ¥ÀwæPÉAiÀÄ°è 15 ¥Àæ±ÉßUÀ½ªÉ. ¥Àæw ̧ ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀPÉÌ 4 CAPÀUÀ¼ÀÄ.¥Àæw vÀ¥ÁàzÀ GvÀÛgÀPÉÌ (-2) CAPÀUÀ¼ÀÄ ¤UÀ¢ ¥Àr À̧̄ ÁVzÉ. (i) ̈ sÁgÀw J¯Áè ¥Àæ±ÉßÉUÀ½UÉ GvÀÛj¹zÀgÉ9 ªÀiÁvÀæªÉÃ ̧ ÀjAiÀiÁVªÉ. (ii) DPÉAiÀÄ ̧ ÉßÃ»vÉ 5 ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛgÀ UÀ¼À£ÀÄß §gÉzÁUÀJ¯Áè ̧ ÀjAiÀiÁVªÉ.CªÀjUÉ §AzÀ CAPÀUÀ¼ ÉµÀÄ Ö?

2. MAzÀÄ ¹ªÉÄAlÄ PÀA¥É¤ ©½§tÚzÀ ¹ªÉÄAlÄ aÃ®ªÀ£ÀÄß ` 9 ¯Á s̈ÀPÉÌ §Æ¢ §tÚzÀ¹ªÉÄAlÄ aÃ®ªÀ£ÀÄß ` 5 £ÀµÀÖPÉÌ ªÀiÁjzÁÝgÉ.

(i) MAzÀÄ wAUÀ¼À°è 7000 aÃ® ©½§tÚzÀ ¹ªÉÄAlÄ, 6000 aÃ® §Æ¢§tÚzÀ¹ªÉÄAlÄ ªÀiÁjzÀgÉ D wAUÀÀ¼À°è ¥ÀqÉzÀ ¯Á s̈À CxÀªÁ £ÀµÀÖ JµÀÄÖ ?

(ii) 5400 aÃ® §Æ¢ §tÚzÀ ¹ªÉÄAlÄ ªÀiÁjzÀ wAUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¯Á s̈ÀªÁUÀ°Ã,£ÀµÀÖªÁUÀ° §gÀ¢zÀÝ°è JµÀÄÖ ©½ ¹ªÉÄAlÄ aÃ®UÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁjgÀ̈ ÉÃPÀÄ?

3. ²æÃ £ÀUÀgï £À°è ªÀÄzsÁåºÀß 12 UÀAmÉ À̧ªÀÄAiÀÄzÀ°è 10o C GµÉÆÚÃUÀævÉ £ÀªÉÆÃzÁVzÉ. ¥ÀæwUÀAmÉUÉ 2oC gÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁUÀÄwÛÀÛzÀÝgÉ.(i) JµÀÄÖ UÀAmÉ À̧ªÀÄAiÀÄzÀ°è GµÉÆÚÃUÀævÉ OoC QÌAvÀºÉZÀÄÑ 8oC VAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄvÀÛzÉ ? (i) CgÀÜgÁwæ 12 UÀAmÉ À̧ªÀÄAiÀÄzÀ°è GµÉÆÚÃUÀævÉÀ JµÀÄÖPÀAqÀÄ »r¬Äj?

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


4. MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëÃAiÀÄ°è ¥Àæw ̧ ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀPÉÌ (+3) CAPÀUÀ¼ÀÄ, vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀPÉÌ (-2) CAPÀUÀ¼ÀÄ,GvÀÛgÀ §gÉAiÀÄ¢zÀÝgÉ 0 CAPÀUÀ¼ÀÄ ¤UÀ¢ ¥Àr¸À¯ÁVzÉ.

(i) gÁ¢üPÀ §gÉzÀ GvÀÛgÀUÀ¼À°è 12 ¸ÀjAiÀiÁVªÉ DUÀ DPÉAiÀÄ CAPÀUÀ¼ÀÄ 20 DzÀgÉ DPÉ §gÉzÀvÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ¼ÉµÀÄÖ ? (ii) ªÉÆÃ»¤UÉ (-5) CAPÀUÀ¼ÀÄ §A¢ªÉ. DPÉ §gÉzÀ GvÀÛgÀUÀ¼À° 13vÀ¥ÀÄà GvÀÛgÀUÀ½zÀÝgÉ ¸ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ ?

5. MAzÀÄ UÀtÂAiÀÄ°è K¥ÁðlÄ ªÀiÁrzÀ J°ªÉÄÃlgÀÄ ¤«ÄµÀPÉÌ 6 «ÄÃ ªÉÃUÀ¢AzÀ PÉ¼ÀUÉE½AiÀÄÄvÀÛzÉ. ¨sÀÆ ªÀÄlÖQAvÀ 10 «ÄÃ. JvÀÛgÀ¢AzÀ ºÉÆgÀl J°ªÉÃlgÀÄ -350 «ÄÃ. ªÀgÉUÉ¥ÀæAiÀiÁtÂÃ¸À®Ä »rAiÀÄÄªÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄ ªÉµÀÄÖ ?

£É£À¦£À°èqÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ :

1. N ( ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ) = 1, 2, 3, 4, 5 . . .

W (¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ) = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . .

Z (¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ) = .............., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .

ºÁUÉAiÉÄÃ Z= 0, 1, 23 .................JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

2 ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ ¸ÀASÉåUÉ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ §®¨sÁUÀPÉÌ,IÄt¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ JqÀ¨sÁUÀPÉÌ ZÀ°¸ÀÄvÁÛgÉ.

3. ¸ÀASÉågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ ̧ ÀASÉå¬ÄAzÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÀgÉ JqÀ¨sÁUÀPÉÌ, IÄt¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉÃzÀgÉ §® ¨sÁUÀPÉÌ ZÀ°¸À¨ÉÃPÀÄ.

4. (i) zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ CxÀªÁ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß zsÀ£À¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ UÀÄt®§ÝªÀÅ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ.

(ii) JgÀqÀÄ IÄt ¥ÀÆtðAPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ.

(iii) MAzÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸Àj¸ÀASÉå AiÀiÁzÀgÉ UÀÄt®§ÝªÀÅzsÀ£À ¥ÀÆuÁðAP,À ºÁUÉAiÉÄÃ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀiÁzÀgÉ CzÀgÀUÀÄt®§ÝªÀÅ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÁUÀÄvÀÛzÉ.

5 (i) MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ ̈ sÁV¹zÀgÉ ̈ sÁUÀ®§ÝªÀÅIÄt ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

(ii) MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆtðAPÀªÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ,¨sÁUÀ®§ÝªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA


(iii) MAzÉÃ aºÉß EgÀÄªÀ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ CxÀªÁ ̈ ÁUÁPÁgÀªÁUÀ°ªÀiÁrzÀgÉ ¥sÀ°vÁA±À zsÀ£À À̧ASÉå. É̈ÃgÉ É̈ÃgÉ aºÉßUÀ¼ÁzÀgÉ IÄt À̧ASÉå

6. ¥ÀÆtð À̧ASÉåUÀ¼À ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÀÄ.

7. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½UÉ UÀÄuÁPÁgÀÀ ªÀÄvÀÄÛ À̧AÀPÀ®£ÀzÀÀ ªÉÄÃ É̄ « s̈ÁdPÀ ¤AiÀÄªÀÄ À̧j ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ.aªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀgÉ,

a×(b +c) = a×b + a×c.

8. a MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ DzÀgÉ,

(i) a ÷ 0 ¤ªÀða À̧̄ ÁUÀÄªÀÅ¢®è.

(ii) 0 ÷ a = 0 ( a ≠ 0 DzÁUÀ)

(iii) a ÷ 1 = a

¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À(+) ªÀåªÀPÀ®£À(-) UÀÄuÁPÁgÀ(×) ¨sÁUÁPÁgÀ(÷)

DªÀÈvÀ UÀÄt ×

¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄt × ×

À̧ºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄt × ×

C£À£ÀåvÁA±À « É̄ÆÃªÀÄ - -

«¯ÉÆÃªÀÄ - × -

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

25©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÀÄ, zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ s̈ÁUÀ®§Ý À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ

©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÀÄ, zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛs̈ÁUÀ®§Ý À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ 2

2.0 ¥ÀjZÀAiÀÄ

©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ ¤vÀå fÃªÀ£ÀzÀ C£ÉÃPÀ À̧ªÀÄ Ȩ́åUÀ¼À£ÀÄß ¸Á¢ü̧ ÀÄªÀÅzÀÄ £ÀªÀÄUÉUÉÆvÀÄÛ. À̧ªÀÄ ©ü£ÀßgÁ², «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁªÀ «zsÀªÁV UÀÄwð À̧̈ ÉÃPÀÄ, CªÀÅUÀ¼À À̧APÀ®£À,ªÀåªÀPÀ®£À ºÉÃUÉ ªÀiÁqÀ̈ ÉÃPÉA§ÄzÀ£ÀÄß »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è PÀ°vÀÄPÉÆArzÉÝÃªÉ. £ÁªÀÅ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄßªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨Áj ¥ÀÄ£À±ÀÑgÀuÉ ªÀiÁrPÉÆAqÀÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ s̈ÁUÁPÁgÀ PÀ°vÀÄPÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀgÀeÉÆvÉUÉ zÀ±ÀªÀiÁA±À ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À §UÉÎ w½zÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt. CzÉÃ «zsÀªÁV ̈ sÁUÀ®§Ý ̧ ÀASÉåUÀ¼À (Rationalnumbers) §UÉÎ ¥ÀjZÀAiÀÄ ªÀiÁr PÉÆ¼ÉÆîÃt.

PÉ¼ÀUÉ PÉÆlÖ avÀæUÀ¼À°è §tÚ ºÁQgÀÄªÀ ̈ sÁUÀUÀ¼ÀÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À°è ̧ ÀÆa À̧®ànÖªÉ. EzÀgÀ°è AiÀiÁªÀs̈ÁUÀUÀ¼ÀÄ ̧ ÀjAiÀiÁVªÉ w½¹j.

avÀæ 1 avÀæ 2 avÀæ 3

12

12

13

ºËzÀÄ/C®è ºËzÀÄ/C®è ºËzÀÄ/C®è

PÁgÀt ..................... PÁgÀt ..................... PÁgÀt .....................

ªÉÄÃ°£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã° À̧ÄªÀ PÀæªÀÄzÀ°è À̧ªÀiÁ£À s̈ÁUÀUÀ¼ÀÄ EgÀÄªÀ avÀæUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹gÀÄwÛÃj.CAvÀºÀ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄ ¤£Àß Ȩ́ßÃ»vÀ¤UÉ PÉÆlÄÖ À̧j£ÉÆÃr JAzÀÄ ºÉÃ½.

E°è ‘£ÉÃºÁ’ 12 £ÀÄß ««zsÀ avÀæUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ «zsÀªÁV vÉÆÃj¹zÁÝ¼ÉÆÃ UÀªÀÄ¤¹j.

J¯Áèè avÀæUÀ¼À°è µÉÃqï ªÀiÁrzÀ s̈ÁUÀUÀ¼ÀÄ 12 £ÀÄß À̧Æa À̧ÄvÀÛªÉ JAzÀÄ s̈Á« À̧ÄwÛ¢ÝÃgÁ? ºÁUÁzÀgÉ

µÉÃqï ªÀiÁqÀzÀ s̈ÁUÀ AiÀiÁªÀ ©ü£ÀßgÁ² À̧Æa À̧ÄvÀÛzÉ.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA



««zsÀ jÃwAiÀÄ avÀæUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀÄ, CªÀÅUÀ¼À°è 34 ,

14 ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß µÉÃqï ªÀiÁrj.

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ AiÀiÁªÀ «zsÀªÁV ̧ ÀÆa¹¢ÝÃgÉÆÃ ¤ªÀÄä ̧ ÉßÃ»vÀjAzÀ ¥Àj²Ã°¹ £ÉÆÃr, À̧j£ÉÆÃrj.

À̧ªÀÄ CxÀªÁ ±ÀÄzÀÞ ©ü£ÀßgÁ² ªÀÄvÀÄÛ «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ² (Proper and Improper fractions) :¤ÃªÀÅ »AzÉ ±ÀÄzÀÝ, «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À §UÉÎ w½zÀÄ PÉÆAr¢ÝÃj. ±ÀÄzÀÞ ©ü£ÀßgÁ² J£ÀÄßªÀÅzÀÄ

MAzÀÄ À̧AUÀæºÀzÀ À̧ªÀÄ s̈ÁUÀUÀ¼À°è MAzÀÄ s̈ÁUÀªÁV UÀÄwð À̧ÄvÉÛÃªÉ.±ÀÄzÀÝ ©ü£ÀßgÁ²UÉ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆr.

32 J£ÀÄßªÀÅzÀÄ ±ÀÄzÀÝ ©ü£ÀßgÁ²AiÉÄÃ ? EzÀÄ ±ÀÄzÀÝ ©ü£ÀßgÁ² ºËzÉÆÃ, C®èªÉÇÃ ºÉÃUÉ ̧ Àj£ÉÆÃqÀÄ«j?

«µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÉÃ£ÀÄ? CzÀgÀ°è MAzÀÄ K£ÀAzÀgÉ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ DA±À bÉÃzÀPÉÌÀ̧ªÀÄ E®èªÉÃ bÉÃzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ EzÀÝgÉ CAxÀ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ² J£ÀÄßvÁÛgÉ. EzÀgÀ É̈̄ É

MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ. ¥Àæw «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß «Ä±Àæ ©ü£ÀßgÁ²AiÀiÁV ¥ÀjªÀwð À̧§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ

32 JA§ «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß

112 JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. EzÀÄ MAzÀÄ

«Ä±Àæ ©ü£ÀßgÁ². EzÀgÀ°è MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ s̈ÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ©ü£ÀßgÁ² s̈ÁUÀ M¼ÀUÉÆArgÀÄvÀÛzÉ.©ü£ÀßgÁ² s̈ÁUÀ AiÀiÁªÁUÀ®Æ MAzÀÄ ±ÀÄzÀÝ ©ü£ÀßgÁ²AiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ. EªÀÅ ªÀiÁrj:

1. ±ÀÄzÀÝ, «µÀªÀÄ, «Ä±Àæ ©ü£ÀßgÁ²UÀ½UÉ MAzÉÆAzÀPÉÌ LzÀÄGzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß§gÉ¬Äj.

©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À ºÉÆÃ°PÉ :

À̧eÁw ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁªÀ «zsÀªÁV ºÉÆÃ°PÉ ªÀiÁr¢ÝÃgÉÆÃ eÁÕ¦¹PÉÆ½î. GzÁºÀgÀuÉUÉ 15 ªÀÄvÀÄÛ3

5 ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ°è 35 zÉÆqÀØzÀÄ. ºÉÃUÉ? CzÉÃ «zsÀªÁV JgÀqÀÄ «eÁw ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁªÀ

«zsÀªÁV ºÉÆÃ°PÉ ªÀiÁr¢ÝÃgÉÆÃ eÁÕ¦¹PÉÆ½î. GzÁºÀgÀuÉUÉ 57 ªÀÄvÀÄÛ

34 UÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î.

57 ,

34 UÀ¼À£ÀÄß À̧eÁw ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÁV §zÀ̄ Á¬Ä¹ ºÉÆÃ°PÉ ªÀiÁqÉÆÃt.

5 4 20 , ........7 4 28× = ºÁUÉAiÉÄÃ

3 7 21...4 7 28× =

5 207 28= ªÀÄvÀÄÛ

3 214 28= UÀ½AzÀ

DzÀÝjAzÀ 5 37 4< DUÀÄvÀÛzÉ.


124 ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹. EzÀ£ÀÄß vÉÆÃj À̧ÄªÀÅzÀPÉÌ JµÀÄÖ AiÀÄÆ¤mï

avÀæUÀ¼ÀÄ CªÀ¸ÀgÀ.

SCER

T TEL

ANGA

NA

SCER

T TEL

ANGA

NA

27©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÀÄ, zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ s̈ÁUÀ®§Ý À̧ASÉåUÀ¼ÀÄ

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁrj :

1.35 ªÀÄvÀÄÛ .

47 ©ü£ÀßgÁ²UÀ½UÉ LzÉÊzÀÄ À̧ªÀiÁ£À ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj

2. 58 ,

35 gÀ°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ zÉÆqÀØzÀÄ ?

3. PÉ¼ÀV£À ©ü£ÀßgÁ² eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß PÀ¤µÀÖ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉzÀÄ, AiÀiÁªÀ eÉÆÃrUÀ¼ÀÄ ̧ ÀªÀiÁ£ÀªÉÇÃ w½¹j.

(i)38 ªÀÄvÀÄÛ

3751000 (ii)

1854 ªÀÄvÀÄÛ

2369

(iii)6

10 ªÀÄvÀÄÛ 600

1000 (iv)1727 ªÀÄvÀÄÛ

2545

¤ÃªÀÅ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À ̧ ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß 6£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è w½¢gÀÄwÛÃj. FUÀ £ÁªÀÅ PÉ®ªÀÅÉ̄PÀÌUÀ¼À£ÀÄß ̧ Á¢ü̧ ÉÆÃt.

GzÁ-1 :- gÀfAiÀiÁ ªÀÄ£É UÉ® À̧zÀ°è 37 s̈ÁUÀ ¥ÀÆwð ªÀiÁrzÁÝ¼É. gÉÃSÁ

49 gÀ s̈ÁUÀ

¥ÀÆwðªÀiÁrzÁÝ¼É. AiÀiÁgÀÄ PÀrªÉÄ ªÀÄ£ÉUÉ® À̧ªÀ£ÀÄß ¥ÀÆwðªÀiÁrzÁÝgÉ.

¥ÀjºÁgÀ : À̧ªÀÄ Ȩ́å ¸ÁzsÀ£ÉUÉ 37 £ÀÄß

49 gÀ eÉÆvÉUÉ ºÉÆÃ° À̧̈ ÉÃPÀÄ.

F ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß À̧eÁw ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÁV §zÀ̄ Á¬Ä¹zÁUÀ,37 =

2763 ;

49 =

2863 DUÀÄvÀÛzÉ

3 47 9< DVzÉ.

EzÀjAzÀ, gÀfAiÀiÁ PÀrªÉÄ ªÀÄ£ÉUÉ® À̧ ¥ÀÆwð ªÀiÁrzÁÝ¼ÉAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.GzÁ-2 : ±ÀAPÀgÀ£À PÀÄlÄA§ªÀÅ wAUÀ½£À ªÉÆzÀ® 15 ¢£ÀUÀ¼À°è

132 Q,U�

scert telangana...i uÀtÂvÀ 7£ÉÃ vÀgÀuÀw ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛpÀ c©üªÀÈ¢Þ...

Documents