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SCHWINGUNGEN – WELLEN Schwingungen – ResonanzWellenelektrischer Schwingkreis – elektromagnetische Wellen
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Schwingungen 5 1 SchwingungenWellen 5.1 Schwingungen
• Federpendel• Federpendel Auslenkung x, Masse m, Federkonstante kH Bewegungsgleichung:
2
2
d ( )( )H
x tm k x t Bewegungsgleichung:
Ansatz über Kräfte auf MasseTrägheitskraft = rücktreibende Kraft
( ) sin( )x t x t
2 ( )d Ht
Kreisfrequenz Schwingungsfrequenz f=0/2
0 0 0( ) sin( )x t x t
0 Hk m Sc gu gs eque f 0/ Periodendauer T=1/f
Amplitude x0• Energie
Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie = konstant2k x
2
proportional Quadrat der Auslenkung0
0, 2H
ges
k xE
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SchwingungenWellen
• gedämpfte Schwingung• gedämpfte Schwingung z.B. Reibungskraft (proportional v=dx/dt)
2d ( ) d ( )( )
x t x tm k x t2 ( )
d dHm k x tt t
0 0( ) sin( )tx t x e t
Abklingkoeffizient..., ‐zeit.......A=1/ =2m/ Frequenz verschoben: 2
0 01 ( 2 )m Energie nimmt exponentiell ab mit Abklingzeit E=m/
/0( ) EtE t E e
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SchwingungenWellen
• Erzwungene Schwingung• Erzwungene Schwingung periodische äußere Kraft << 0: Masse folgt immer der Antriebskraft
0( ) cos( )F t F t 0: Masse folgt immer der Antriebskraft
>> 0: Massenträgheit überwiegt, ( ) ( )/ Hx t F t k
Reibung und Rückstellkraft spielen keine Rolle
≈ 0: Masse nimmt dauernd Energie auf,
2( ) ( )/( )x t F t m 0: asse t daue d e g e au ,nur Reibung begrenzt Amplitude
00
Fx Resonanz,
Masse schwingt mit frequenzabhängiger
0 22 2 2 2 2
0
xm
max. Amplitude bei2 20 2R
4
Masse schwingt mit frequenzabhängigerPhase relativ zu Antrieb 2 2
0tan ( )m
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SchwingungenWellen
• Überlagerung von Schwingungen• Überlagerung von Schwingungen Addition der Schwingungen
(Addition von Sinusschwingungen) "Schwebung"
1 2( ) ( ) ( )( ) i (( ) /2) i (( ) /2)
x t x t x tt t
• Gekoppelte SchwingungenB P d l E i ht P d l 1 f 2
0,1 0,2 1 2 1 2( )sin(( ) /2)sin(( ) /2)x x t t
z.B. Pendel: Energie geht von Pendel 1 auf 2 2 unterschiedliche "Schwingungsmoden"
(Freiheitsgrade) Molekülschwingungen (C02)
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SchwingungenWellen
• Grund Oberschwingung• Grund‐, Oberschwingung transversale oder longitudinale
Auslenkung gekoppelter Massen Saite Orgelpfeife
transversal: transversal:Saite, Wasseroberfläche,Balken
longitudinal:Schall in Luft, Druckwellen in Wasser, etc.
festes Ende: Knoten (keine Auslenkung)( g) offenes Ende: Bauch (max. Auslenkung) "Randbedingungen"
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Schwingungen 5 2 WellenWellen 5.2 Wellen
• Ausbreitung von Auslenkungen:• Ausbreitung von Auslenkungen: während T=1/f breitet sich Wellen um eine
Wellenlänge aus: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phasenlage: /T f c
02 2
( , ) sinA x t A t x
Wellenlänge..., Wellenvektor...k=2/
0 sin( )A t kx
e e ä ge..., e e e to ... / Wellenfront: Linien gleicher
PhaseÜ Überlagerung möglich
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Schwingungen Ausbreitung einer WelleWellen Ausbreitung einer Welle
• Interferenz:• Interferenz: Überlagerung von Wellen (Addition) Verstärkung: Wellen mit gleicher Phasenlage (=0)
Auslöschung:( , ) sin( ) sin( ) 2 sin( )A x t A t kx A t kx A t kx
Auslöschung: bei entgegengesetzter Auslenkung (=)( , ) sin( ) sin( )
i ( ) i ( ) 0A x t A t kx A t kx
A t k A t k
• Prinzip von Huygens J d i W ll t P kt i d
sin( ) sin( ) 0A t kx A t kx
Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis‐/Kugelwelle. Überlagerung aller
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Kugelwellen ergibt neue Wellenfront
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SchwingungenWellen
Beispiel für HuygensschesPrinzip
R fl i• Reflexion• Einfallswinkel = Ausfallswinkel
• Brechung• Brechungsgesetz 2 2sin k c
• Brechungsgesetz1 1sin k c
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SchwingungenWellen
• Beugung• Beugung Schall kann auch hinter Hindernis
wahrgenommen werden (ohne Reflexion – Baum auf Wiese)Effekt hängt von Wellenlänge ab
Beugung an Kante: Beugung an Kante: Eindringtiefe
Beugung an Spalt (Breite b):D...Abstandx D
abwechselnd helle, dunkle Bereichedunkel bei
B Gi (S l b d b)
min2
sin , ,..., ,...n
b b b Beugung an Gitter (Spaltbstand a>>b)
Maxima bei
• wichtig u.a. in Optik bei Auflösungs‐maxsin
na
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wichtig u.a. in Optik bei Auflösungsvermögen optischer Geräte
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Schwingungen DopplereffektWellen Dopplereffekt
• bewegte Quelle (Geschwindigkeit v)• bewegte Quelle (Geschwindigkeit v) nächste Wellenfront wird von anderer Position ausgelöst Abstand der Wellenfronten kürzer in Bewegungsrichtung und größerAbstand der Wellenfronten kürzer in Bewegungsrichtung und größer
entgegen der Bewegungsrichtung beobachtete Wellenlänge B und Frequenz fB
ä d t üb W ll lä /F fgeändert gegenüber Wellenlänge S /Frequenz fSder Quelle
v f 1 vf f
Tonhöhe ändert sich, wenn z.B.: Einsatzfahrzeug mit Sirene vorbeifährt
B S sv f 1 vcB Sf f
umgekehrt tritt der Effekt natürlich auch auf, wenn sich der Beobachter relativ zur Signalquelle bewegt
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g q g
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Schwingungen 5 3 Akkustik SchallWellen 5.3. Akkustik – Schall
• Mechanische Druck‐Wellen in MedienMechanische Druck Wellen in Medien kein Schall in Vakuum
• Ausbreitung von Schall abhängig von Kräften zwischen Atomen siehe auch Elastizität! ..Dichte, d~Druck*cp/cV, Kompressibilitäts‐/Elastizitätsmodul
• Festkörper: transversal/longitudinale Wellen
2 /c d
• Festkörper: transversal/longitudinale Wellen c1500Gewebe/3000Knochen, poröses Gestein/5100Aluminium, Eisen/6000Marmor,Stahl
• Flüssigkeiten: longitudinale Druckwellen c1400…1500Wasserg g Wasser
• Gasen: longitudinale Druckwellen, abhängig von cp/cV (Zahl der Freiheitsgrade) c343Luft,20°C/981Helium
• Energiedichte w kinetische Energie der Teilchen mit Geschw. vS h ll i t P
2 2max 2 akw mv f P cA
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• Schalleistung PakSchallintensität (Leistung pro Fläche A) I=Pak/ASchall(intensitäts)pegel L=10 lg (I/I0) I0…Int bei Hörschwelle
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Schwingungen UltraschalluntersuchungenWellen Ultraschalluntersuchungen
• Schallfrequenzen: Infraschall (<16Hz) Ultraschall (>> 22kHz)• Schallfrequenzen: Infraschall (<16Hz) ‐ Ultraschall (>> 22kHz)• Reflexion an Grenzflächen (mit unterschiedl. "Impedanz", bzw. Dichte)
Z4∙10‐4L ft/1,42F tt/1,48W /1,63M k l/6,12K h in 106 kgm‐2s‐1Z 4 10 Luft/1,42Fett/1,48Wasser/1,63Muskel/6,12Knochen in 10 kgm s
• Echo‐Verfahren: kurze Pulse, Messung der Laufzeit
2 1 2 1R Z Z Z Z
• Doppler‐US: Analyse von f gibt Auskunft über bewegte Flüssigkeiten• Absorption (Schall regt Schwingungen in Medium an, exponentielle Abnahme)
Streuung (abhängig von Größe von Inhomogenitäten)
Eindringtiefe begrenzt, von Frequenz abhängig
0( ) expI x I x
Frequenz: 2–15 MHz
Wellenlänge (in Muskulatur): 0,78–0,1 mm
Eindringtiefe (einfach): 12–1 6 cm
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Eindringtiefe (einfach): 12 1,6 cm
Ortsauflösung lateral: 3,0–0,4 mm
Ortsauflösung axial: 0,8–0,15 mm
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SchwingungenWellen
Seismik: • geol. Untersuchungen • Erdbeben globale Tomographie aus LaufzeitmessungenErdbeben, globale Tomographie aus Laufzeitmessungen
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Schwingungen 5 4 Elektrischer SchwingkreisWellen 5.4. Elektrischer Schwingkreis
• LC Schwingkreis• LC‐Schwingkreis Wechsel zwischen
Verformungsenergie – kinetischer Energie el. Energie des Kondensators – Energie des
magnetischen Feldes
• Schwingkreis Hertzscher Dipol• Schwingkreis – Hertzscher DipolÜbergang zu Antenne Dipol:
keine Abstrahlung in Achsenrichtung
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SchwingungenWellen
• Dipolstrahlung• Dipolstrahlung
Polarisation:
zusätzlich noch zirkulare Polarisation, bzw. jede Überlagerung
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j g gdieser beiden Schwingungsarten
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SchwingungenWellen
• Abstrahlung• Abstrahlung elektromagnetischer Strahlung Radiowellen, Fernsehsender,Radiowellen, Fernsehsender,
Mikrowelle, Mobilfunk, (Infrarot‐) Wärmestrahlung, Licht UV‐Licht RöntgenLicht, UV‐Licht, Röntgen, ‐Strahlung
sichtbares Spektrum
c
17
8mit 2,997925 10 m sc
c
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Schwingungen AnhangWellen Anhang
Schallgeschwindigkeit
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