schwingungen. was ist eine schwingung? quelle:
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Schwingungen
Was ist eine Schwingung?
Quelle: http://www.elsenbruch.info/ph12_down/schwing_well.pdf
Harmonische Schwingung - gleichförmige Kreisbewegung
Quelle: http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/
Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine zur Kreisebene normale Ebene stellt eine harmonische Schwingung dar.
Bezeichnungen
Die harmonische Schwingung hat einen sinusförmigen Verlauf:
s(t) = A sin() =A sin(t )
Winkelgeschwindigkeit bzw. Kreisfrequenz: = /t =t s(t) Elongation: s(t)=A sin()=A sin(t) (ohne Phasenverschiebung: =0 ) A Amplitude (maximale Elongation) Phasenkonstante
Elongation
s
Momentane Auslenkung aus der Ruhelage
AmplitudeElongation
BezeichnungenKreisfrequenz – Frequenz - Periodendauer :
T Schwingungsdauer/Periodendauer in Sekundenf Frequenz: Anzahl der Schwingungen pro Sekunde 1/T Für eine Schwingung gilt = /t = 2/T = 2*1/T = 2f
= 2f
Periodendauer
Der Winkel im Bogenmaß
X = Bogen/Radius = b/r
b = 2 r π α/360 = r π α/180
Winkel – s/t-Diagramm
-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 3π
-A
A
Hookesches Gesetz
Fx F ist proportional zu xoderF = k xk: Federkonstante
F = k x: ist eine lineare Funktion
Hookesches Gesetz – harmon. Schwingung
FadenpendelPeriodendauer T
Fadenpendel
FT =m.g.sin ϕ =m.g.x/l=k.x(gilt für kleine ϕ)
T = 2πg
l f= l
gT
1
21
T: Periodendauerl: Pendellängeg: Erdbeschleunigungf: Eigenfrequenz
Wie lässt sich damit g bestimmen?
FederpendelPeriodendauer T
Fadenpendel
FF =-k(x-x0)=k.s(wobei s = x-x0)
T = 2πk
m f= m
kT
1
21
T: Periodendauerk: Federkonstanteg: Erdbeschleunigungf: Eigenfrequenz
Die Bewegungsgleichungender harmon. Schwingung
s(t) = A sin() =A sin(t)
v=Δs/Δt -> differentiell geschrieben: s‘ = ds/dt = A cos(t)
a=Δv/Δt -> differentiell geschrieben: v‘ = dv/dt =- A 2 sin(t)
Überlagerung von Schwingungenp: 72
Bei Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz entsteht wieder eine harmonische Schwingung durch Addition der Elongationen.http://www.peter-junglas.de/fh/publications/physik-applets/applets/kap_8/applet10/addtwocosequal.htm
Überlagerung von Schwingungenp: 72
Bei einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz und einer Phasenverschiebung um 180° kommt es zur Auslöschung.http://www.rendtel.de/Unterricht/Schwingungen/ueber1.html
Überlagerung von Schwingungenp: 72
Bei einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit geringfügigem Frequenzunterschiedkommt es zur Schwebung.
Schwebungsfrequenz: f = Φ2 – Φ1Anwendung: Stimmen von Instrumenten
Satz von Fourier
• Jeder periodische Vorgang läßt sich eindeutig aus harmonischen Funktionen (Sinus- oder Cosinusfunktionen) zusammensetzen.
y = cosx -1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - …
Geogebra Online: http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html
Schwingungen in einer Ebene
• Zwei verschiedene Schwingungsrichtungen
LISSAJOUS-Figuren
Rückkopplung
• Gedämpfte Schwingungen• Erzwungene Schwingung• Resonanz: Erregerfrequenz = Eigenfrequenz• Beispiele:
Pendel einer StanduhrErdbebenStoßdämpfer