sebaran beta
TRANSCRIPT
8.5 SEBARAN BETA
Nama sebaran ini dihubungkan dengan fungsi gamma, yang didefenisikan untuk
parameter α >0 dan β>0. Sedangkan fungsi beta itu sendiri didefenisikan sebagai berikut;
B(α, β) = dx
Atau dapat ditulis dengan fungsi gamma :
B(α, β) =
D.8.9 Defenisi : Suatu sebaran dinyatakan sebaran beta jika untuk parameter α >0
dan β>0 fungsi padatnya :
F(x) =
Dari defenisi di atas dapat diturunkan suatu teorema yaitu:
T.8.13 Teorema : Rataan dan varians sebaran beta adalah :
dan
Bukti:
=
=
=
=
E (X ) =
=
=
=
=
= -
= -
=
=
Bentuk kurva tergantung dari α dan β. Jika :
1. α<1 dan β≥1 kurva berbentuk J terbalik
2. β<1 dan α≥1 kurva berbentuk J
3. α, β<1, kurva berbentk U
4. α dan β >1 maka kurva berbentuk lonceng dengan satu modus x=(α-1)/( α+β-2)
5. α = β maka kurva simetrik
8.6 SEBARAN STDENT T
Dari suatu sebran sample acak berukuran n≥30 nilai (varians populasi peubah
aaknya) dapat ditaksir dengan pendekaan nilai S (varians sample acak) dan sebaran
statistic secara pendekatan menyebar normal baku Z
Bila n<30 nilai S berubah cukup besar dari sample ke sample dan tidak menyebar
normal baku. Anggaplah suatu sample acak berasal dari peubah acak normal, dan
misalkanlah statistia t dinyatakan t = dan dengan Z = ,V= (n-1) S / maka
T =
D.8.10 Defenisi : Suatu sebaran yang komponennya Z peubah acak normal, dan V
peubah acak chi kwadrat berderajat bebas v, dimana Z dan V bebas,
sehingga peubah acaknya :
T =
Disebut sebaran student t.
Pada sebaran ini v tergantung pada n yaitu besar sample, dimana v = n – 1. Dari defenisi
ini dapat diturunkan suatu teorema yaitu :
T.8.14 Teorema : Sebaran t dengan peubah acak T = mempunyai fungsi
padat : h(t) = ,-∞ < t < ∞
Bukti :
Z menyebar normal baku sehingga f (z) =
V menyebar chi kwadrat sehingga f (V) =
Karena Z dan V bebas maka sebaran bersamanya adalah :
g(z,v) = f (z) . f (V)
=
= , -∞ < z < ∞, 0 < v < ∞
Dengan menggunakan transformasi dari g(z,v) ke h(t, u) dimana u = V dan t = ,
atau dapat ditulis z = t sehingga dapat diperoleh determinan Jacobinya yaitu :
J = = dan batas – batasnya menjadi , -∞ < t < ∞, 0 < u <
∞.
Maka diperoleh :
h(t, u) = , -∞ < t < ∞, 0 < u < ∞
= , -∞ < t < ∞, 0 < u < ∞
= , -∞ < t < ∞, 0 < u < ∞
Maka f(t) yang dimaksut adalah fungsi marginal dari h(t, u), sehingga dengan
mengintegralkan h(t, u) terhadap u akan diperoleh fungsi padat f(t),
f(t) = = = =
= du
= du
Misalkan : p = atau dapat ditulis u = 2p maka
du = 2 dp, selanjutnya jika u = 0 → p = .0 = 0dan jika
u = ∞ → p = .∞ = ∞, dengan demikian f(t) menjadi :
f (t) =
=
=
=
Dari defenisi fungsi γ maka diperoleh : , sehingga
f(t) = , -∞ < t < ∞, v>0
= , -∞ < t < ∞, v>0
= 0,untuk t selainnya
Kurva sebaran t, berbentuk lonceng, setangkup terhadap rata-ratanya t = 0,
seperti kurva sebaran normal. Kurva sebaran t berbeda-beda satu sama lain
karena nilai T dan variasinya tergantung pada besaran berubah-ubah x an S
yang ditentukan nilai n >1. Jika n → ∞ atau sama arti dengan v = ∞, maka
sebaran t menjadi sebaran normal.
Contoh :
Seorang laboratoran ahli fisika yakni bahwa rataan penggunaan benang
gantungan bandul pada percobaan supaya jangan terdapat kekeliruan sekitar
800 jam. Dia akan etap menggunakan benang – benang sejenis apabila hanya
5% dari benang yang digunakan tidak memenuhi syarat lagi. Pada suatu saat
ahli tersebut ragu karena makin sering terdapat kekeliruan dalam penarikan
keputusan, lalu ia memiih sample n = 50 benang, ternyata rataan lama benang
bias terpakai dengan baik adalah = 792 jam dan S = 55 jam. Apakah ahli
tersabut masih mempertahankan penggunaan benang sejenis?
Jawab :
Ahli akan bertahan menggunakan benang bila kekeliruan adalah 5 % ini berarti
bahwa apabila nilai t berada di antara t dan t dengan derajat bebas 49, yaitu
-2,01< t < 2,01.
Rataan sample = 792 jam sehingga nilai t = = -1,029 niai t berada di
antara -2,01< t < 2,01. Kesimpulannya ahli tersebut masih bertahan menggunakan
benang sejenis dalam percobaan bandul.
X = 800
T
t = -2,01 0 t = 2,01
t = -1,029
8.7 SEBARAN F
Sebaran kontinulain yang cukup penting dalam Statistik adalah sebaran F yang
diturunkan dari dua peubah acak yang masing-masing menyebar chi kwadrat. Kedua
peubah acak ini mempunyai dua buah nilai deajat bebas, sehingga sebaran baru F juga
akan dibicarakan dalam dua derajat bebas.Peubah acak F merupakan hasil perbandingan
antara dua hasil bagi peubah dengan derajat bebasnya sebagaimana didefenisikan sebagai
berikut:
D.8.11 Defenisi : Misalkan x dan y dua peubah acak bebas menyebar chi kwadrat
dengan derajat bebas v ,v berturut-turut, sebaran yang peubah acaknya :
F = disebut sebaran F.
Dari defenisi di atas dapat diturunkan suatu teorema seperti berikut :
T.8.15 Teorema : Sebaran F mempunyai fungsi padat h(f; v ,v ) =
a. ,f > 0
b. 0, untuk f lainnya
v ,v adalah derajat bebas.
Bukti :
0,025 0,025
X dan Y menyebar chi kwadrat ditunjukan dengan
f(x) =
g(y) =
Karena X dan Y adalah peubah acak bebas maka sebaran bersamanya adalah :
Φ(x,y) = .
= , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞
Jika Φ(x,y ditransformasikan ke fungsi baru yaitu h(f,w) diman w = y dan
f = (x/ v )/(y/ v ) atau x = (v / v )fw, maka determinan jacobinya adalah:
J = = w
Maka diperoleh hasil transformas sebagai berikut :
h(f,w) =
=
=
=
=
Sebaran F atau fungsi h(f) adalah sebaran marginal dari h(f,w), sehingga
h(f) = +
= + =
=
Selanjutnya substitusi z = dan dw = dz diperoleh :
h(t) =
=
=
=
Dari defenisi fungsi gamma = sehingga h(f) menjadi
h(t) = , 0 < f < ∞
= , 0 < f < ∞
= , 0 < f < ∞
= , 0 < f < ∞
= , 0 < f < ∞
= , 0 < f < ∞
Kurva sebaran F tidak simetrik dan tergantung pada derajat bebas v dan v .
Catatan : Ada penulis menunjukan f dengan derajat bebas v dan v dengan symbol
f (v ,v ) atau sedang dalam tulisan ini digunakan atau
T.8.16 Teorema :
Bukti :
Jika X dan Y sample acak yang menyebar chi kwadrat dengan derajat bebas v
dan v berturut maka menurut defenisi D.8.11 F’ = juga menyebar F
dengan derajat bebas v ,v .
Contoh :
T.8.17 Teorema : Jika dan berturut varians sample acak berukuran
dan , diambil dari dua poulasi normal dengan varians dan
,maka :
Menyebar F dengan derajat bebas -1 dan -1
Bukti : Menurut teorema T.8.10.b. berlaku
menyebar khi kwadrat dengan derajat bebas -1
menyebar khi kwadrat dengan derajat bebas -1
Sehingga menurut defenisi D.8.11.
, menyebar F dengan derajat bebas
-1 dan =1
Contoh :
Bila dan menyatakan varians sample acak ukuran =25 dan = 31,
diambil dari dua populasi normal masing-masing dengan varians = 10 dan
= 15 .Hitunglah P( / )>1,26.
Jawab :
EVALUASI
1. Dari dua sample acak normal didapat = 1 dengan = 16 dan = 0,5
dengan = 16. Periksalah apakah pengambilan sample tersebut representatif
apabila syarat untuk itu peluang dari ( / >f)<0,05.
Jawab:
Dari table sebaran F diperoleh yang berarti P(F>2,40) = 0,05 sedangkan
dari perhitungan F = 2 < 2,4 sehingga P(F > 2) > 0,05 yang bertentangan dengan syarat
yang ditentukan. Jadi sample yang diambil tidak reprensentatif.s