sebenta calculo

Universidade da Beira Interior

Departamento de Matematica

Calculo I

Folhas de Apoio e Exercıcios

2007/2008

Indice

1 Sucessoes de Numeros Reais 1

1.0.1 Sucessoes Limitadas. Sucessoes Monotonas. Subsucessoes. . . 2

1.0.2 Sucessoes Convergentes. Limites de Sucessoes. Propriedades

dos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.0.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Series 15

2.1 Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Algumas Series Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Propriedades das Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Series de Termos Nao Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.4 Series Alternadas. Convergencia Absoluta. . . . . . . . . . . . 24

2.1.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Preliminares 35

3.1 Conjuntos Limitados. Maximo, Mınimo, Supremo e Infimo. . . . . . . 35

3.2 Nocoes Topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Funcoes Reais de Variavel Real 41

4.0.1 Funcao Exponencial e Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.0.2 Funcoes Trigonometricas e Trigonometricas Inversas . . . . . . 46

iii

iv INDICE

4.0.3 Funcoes Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1 Limites Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Calculo Diferencial em R 65

5.1 Derivada de Funcoes Reais de Variavel Real . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Teoremas Fundamentais do Calculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Aplicacoes dos Teoremas Fundamentais do Calculo Diferencial . . . . 77

5.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.2 Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3.3 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3.4 Assımptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Calculo Integral em R 95

6.1 Primitivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.1 Primitivas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.1.2 Primitivacao de Funcoes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1.3 Primitivacao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.4 Primitivacao por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2 Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2.1 Propriedades dos Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2.2 Teoremas Fundamentais do Calculo Integral . . . . . . . . . . 108

6.2.3 Aplicacoes Geometricas do Calculo Integral . . . . . . . . . . 110

6.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

INDICE v

Bibliografia 126

Capıtulo 1

Sucessoes de Numeros Reais

Definicao 1.1. Chama-se sucessao de numeros reais a toda a aplicacao de N em

R, ou seja,

f : N → R

n 7→ f(n) ≡ un

usualmente representada por (un)n∈N, ou simplesmente (un). A expressao que define

a sucessao, un, chamamos termo geral da sucessao e ao conjunto {un : n ∈ N} =

{u1, u2, . . . , un, . . .} chamamos conjunto dos termos da sucessao.

Nota 1.1. Na Definicao de sucessao de numeros reais consideramos N, mas todos os

resultados apresentados podem ser adaptados para o caso de termos N0, ou mesmo

um subconjunto infinito de N0.

Exemplo 1.1. Sao exemplo de sucessoes de numeros reais as sucessoes de termo geral

un = n, un = (−1)n e un =n

n + 1.

As sucessoes podem ser definidas pelo seu termo geral, ou definidas por re-

correncia. Ou seja, e dado a conhecer alguns dos primeiros termos da sucessao

1

2 CAPITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS

e o termo de ordem n e definido usando os anteriores. Por exemplo

un =

u1 = 1

un+1 = 3 + 2un

, vn =

u1 = 1

u2 = 5

un = 3 + 2un−1 − un−2

Definicao 1.2. Dadas duas sucessoes de numeros reais (un) e (vn), definimos a soma

de sucessoes (u + v)n, a diferenca de sucessoes (u − v)n e o produto de sucessoes

(u.v)n como sendo as sucessoes cujo termo geral e dado por un + vn, un− vn e unvn,

respectivamente. No caso em que vn 6= 0 para todo o n ∈ N, podemos ainda definir

o quociente de sucessoes(u

v

)n

como sendo a sucessao cujo termo geral eun

vn

.

1.0.1 Sucessoes Limitadas. Sucessoes Monotonas. Subsu-

cessoes.

Definicao 1.3. Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Dizemos que (un) e uma

sucessao limitada inferiormente se existe a ∈ R tal que a < un, para todo o n ∈ N.

Dizemos que (un) e uma sucessao limitada superiormente se existe b ∈ R tal que

un < b, para todo o n ∈ N.

Dizemos que (un) e uma sucessao limitada se o for inferiormente e superiormente;

o que e equivalente a dizer que exite c ∈ R tal que |un| < c, para todo o n ∈ N.

Exemplo 1.2. A sucessao de termo geral un = n2 − 4n + 3 e limitada inferiormente,

mas nao superiormente, pois un > −1, para todo o n ∈ N.

A sucessao de termo geral un = 1− n e limitada superiormente, mas nao inferi-

ormente, pois un 6 0, para todo o n ∈ N.

A sucessao de termo geral un =(−1)n

ne limitada, pois −1 6 un 6 1

2, para todo

o n ∈ N.

A sucessao de termo geral un = (−1)nn nao e limitada, nem inferiormente, nem

superiormente.

3

Definicao 1.4. Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Quanto a monotonia,

podemos dizer que (un) e uma:

– sucessao crescente se un 6 un+1, para todo o n ∈ N.

– sucessao estritamente crescente se un < un+1, para todo o n ∈ N.

– sucessao decrescente se un > un+1, para todo o n ∈ N.

– sucessao estritamente decrescente se un > un+1, para todo o n ∈ N.

Exemplo 1.3. A sucessao de termo geral un = 2n e estritamente crescente, ja que

un+1 − un = 2n+1 − 2n = 2n(2− 1) = 2n > 0.

A sucessao de termo geral un = 3− n e estritamente decrescente, ja que un+1 −un = 3− (n + 1)− (3− n) = 3− n− 1− 3 + n = −1 < 0.

A sucessao de termo geral un = (−1)n nao e monotona.

Definicao 1.5. Dadas duas sucessoes de numeros reais (un) e (vn), dizemos que

(vn) e uma subsucessao de (un) se existir uma sucessao estritamente crescente (wn)

tal que vn = uwn , para todo o n ∈ N.

Observacao 1.1. Para que a Definicao anterior faca sentido, e ainda necessario que

wn ∈ N, para todo o n ∈ N; ou seja, (wn) tem de ser aquilo a que podemos chamar

de sucessao de numeros naturais.

Exemplo 1.4. Consideremos a sucessao de termo geral un = 2n, e temos a sucessao

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . .

Se tomarmos a sucessao crescente de termo geral wn = 2n e considerarmos vn = uwn

obtemos a sucessao

4, 8, 12, . . . ,

que e uma subsucessao de (un). E de notar que a sucessao

2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, . . .


e a sucessao

2, 6, 10, 8, 4, 12, . . .

nao sao subsucessoes de (un).

1.0.2 Sucessoes Convergentes. Limites de Sucessoes. Pro-

priedades dos Limites.

Definicao 1.6. Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Dizemos que (un) converge

para a ∈ R, ou que (un) tende para a ∈ R, e escrevemos lim un = a ou un → a, se

para cada δ > 0 existe uma ordem p ∈ N tal que |un − a| < δ, para todo o n > p.

Simbolicamente, podıamos escrever

∀δ>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ |un − a| < δ) .

(un) e uma sucessao convergente se existe a ∈ R tal que lim un = a.

Uma ideia intuitiva e dizer que a sucessao (un) converge para a ∈ R se escolhido

um numero real δ > 0 existe sempre uma ordem a partir da qual todos os termos

un sao valores aproximados de a.

Nota 1.2. Dizer que |un − a| < δ e equivalente a ter un ∈]a− δ, a + δ[.

Definicao 1.7. Uma sucessao nao convergente diz-se uma sucessao divergente.

Exemplo 1.5. Consideremos a sucessao de termo geral un =an + 1

n, com a ∈ R,

vamos ver que un → a. Tomemos δ > 0, e temos que

|un − a| =∣∣∣∣an + 1

n− a

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a +1

n− a

∣∣∣∣ =1

n<

1

p< δ,

basta para isso tomar p >1

δ. Assim a sucessao (un) converge para a.

A sucessao de termo geral un = (−1)n e divergente.

5

Proposicao 1.8. Sejam (un) e (vn) duas sucessoes de numeros reais convergentes

para a e b, respectivamente. Entao:

1. a sucessao de termo geral un + vn converge para a + b.

2. a sucessao de termo geral un − vn converge para a− b.

3. a sucessao de termo geral Kun converge para Ka, onde K ∈ R.

4. a sucessao de termo geral unvn converge para ab.

5. a sucessao de termo geralun

vn

converge paraa

b, onde vn 6= 0 para todo o n ∈ N

e b 6= 0.

6. a sucessao de termo geral k√

un converge para k√

a, onde k ∈ N.

7. a sucessao de termo geral |un| converge para |a|.

Prova: Vamos ver a primeira afirmacao, todas as outras saiem por processos analogos.

Tomemos δ > 0 qualquer, fixo. Assim, existe p, q ∈ N tais que

|un − a| < δ

2, para todo o n > p

e

|vn − b| < δ

2, para todo o n > q.

Tomemos r = max{p, q} e temos

|(un + vn)− (a + b)| 6 |un − a|+ |vn − b| < δ

2+

δ

2= δ, para todo o n > r.

¤

Teorema 1.9. O limite de uma sucessao convergente e unico.

Prova: Vide [1].


¤

Teorema 1.10. O limite de uma sucessao constante e a propria constante.

Prova: E imediato.

¤

Teorema 1.11. Toda a sucessao convergente e limitada.

Prova: Seja (un) uma sucessao convergente para a ∈ R. Entao, para δ = 1 existe

p ∈ N tal que

|un − a| < 1, para todo o n > p.

Consideremos o conjunto finito U = {u1, u2, . . . , up, a − 1, a + 1} e sejam c e d o

mınimo e maximo de U , respectivamente. Entao, todos os termos de (un) pertencem

ao intervalo [c, d] e portanto, a sucessao e limitada.

¤

Nota 1.3. A recıproca do Teorema anterior nao e verdadeira, e exemplo disso a

sucessao de termo geral un = (−1)n, pois e limitada, mas nao convergente.

Teorema 1.12. Toda a sucessao monotona e limitada e convergente.

Prova: Consideremos que a sucessao (un) e crescente e limitada. Seja U o conjunto

dos termos da sucessao (un), o qual e limitado, pelo que tem supremo, seja a ∈ Rtal que un 6 a.

Tomemos δ > 0, entao existe p ∈ N tal que a − δ < up. Como a sucessao e

crescente, para todo o n > p temos a− δ < up 6 un.

Concluımos assim que a− δ < un < a + δ, ou seja a sucessao (un) e convergente

para a.

¤

7

Nota 1.4. A recıproca do Teorema anterior nao e verdadeira, e exemplo disso a

sucessao de termo geral un = (−1)n 1

n, pois e convergente, mas nao monotona.

Observacao 1.2. Na realidade, no Teorema anterior nao e preciso exigir tanto. Se

a sucessao for crescente e limitada superiormente entao e convergente. Se a sucessao

for decrescente e limitada inferiormente entao e convergente.

Definicao 1.13. Dizemos que a sucessao de numeros reais (un) e um infinitesimo

se un → 0.

Teorema 1.14. O produto de um infinitesimo por uma sucessao limitada e um

infinitesimo.

Prova: Consideremos que a sucessao (un) e um infinitesimo e que a sucessao (vn)

e limitada. Assim, existe c ∈ R tal que |vn| < c, para todo o n ∈ N.

Tomemos δ > 0 e temos que existe p ∈ N tal que |un| < δ

c. Assim,

|unvn| = |un||vn| < δ

cc = δ,

ou seja, a sucessao (u · v)n e um infinitesimo.

¤

Exemplo 1.6. Consideremos as sucessoes de termos gerais un = (−1)n e vn =1

n. A

sucessao (vn) e um infinitesimo, a sucessao (un) nao e convergente, no entanto, e

limitada. Assim, temos que a sucessao de termo geral unvn = (−1)n 1

ne convergente.

Teorema 1.15. Qualquer subsucessao de uma sucessao convergente e ainda con-

vergente para o mesmo limite.

Prova: Vide [1].

¤


Exemplo 1.7. Pelo Teorema anterior e facil concluir que a sucessao de termo geral

un = (−1)n e divergente, visto que se fosse convergente todas as suas subsucessoes

teriam de ter o mesmo limite. De facto, se tomarmos a subsucessao dos termos pares

temos a subsucessao de termo geral vn = 1, enquanto que se tomarmos os termos

ımpares temos a subsucessao de termo geral wn = −1.

Teorema 1.16. (Criterio da Sucessao Enquadrada) Sejam (un), (vn) e (wn)

sucessoes de numeros reais tais que existe uma ordem p tal que, para todo o n > p

se tem un 6 wn 6 vn. Suponha-se ainda que (un) e (vn) convergem para o mesmo

a ∈ R. Entao, (wn) converge para a.

Prova: Tomemos δ > 0, fixo. Assim, existem p, q ∈ N tais que

|un − a| < δ, para todo o n > p

e

|vn − a| < δ, para todo o n > q.

Seja r = max{p, q}, entao

a− δ < un 6 wn 6 vn < a + δ, para todo o n > r,

ou seja, a sucessao (wn) e convergente.

¤

Exemplo 1.8. Consideremos a sucessao de termo geral wn = cn, com 0 < |c| < 1.

Seja d =1

|c| > 1, logo d = 1 + h e temos

0 < |wn| = |cn| = |c|n =1

dn=

1

(1 + h)n6 1

1 + nh,

onde utilizamos a chamadada desigualdade de Bernoulli, (1 + h)n > 1 + nh para

h > 0. Assim, pelo Teorema anterior, com un = 0 e vn =1

1 + nh, temos que un → 0

9

e vn → 0 de onde concluımos que wn converge para 0.

Definicao 1.17. Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Dizemos que (un) e um:

– infinitamente grande positivo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal

que un > k, para todo o p > n. Simbolicamente

∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ un > k) .

Neste caso escrevemos lim un = +∞ ou un → +∞.

– infinitamente grande negativo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal

que un < −k, para todo o p > n. Simbolicamente

∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ un < −k) .

Neste caso escrevemos lim un = −∞ ou un → −∞.

– infinitamente grande em modulo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal

que |un| > k, para todo o p > n. Simbolicamente

∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ |un| > k) .

Neste caso escrevemos lim |un| = +∞ ou |un| → +∞.

Exemplo 1.9. A sucessao de termo geral un = n2 + 1 e um infinitamente grande

positivo. De facto, dado k > 0 temos un = n2 + 1 > p2 + 1 > k, basta para isso

tomar p >√

k − 1.

A sucessao de termo geral un = 1 − n e um infinitamente grande negativo. De

facto, dado k > 0 temos un = 1− n < 1− p < −k, basta para isso tomar p > k + 1.

A sucessao de termo geral un = (−1)nn e um infinitamente grande em modulo.

De facto, dado k > 0 temos |un| = |(−1)nn| = |n| = n > p > k, basta para isso

tomar p > k.

Nota 1.5. Quando a sucessao de numeros reias (un) e um infinitamente grande


(positivo/negativo/em modulo) nao se diz que (un) converge para (±)∞, mas sim

que (un) tem limite (±)∞.

Proposicao 1.18. Sejam (un) e (vn) duas sucessoes de numeros reais, tais que

lim un = +∞ e lim vn = +∞, entao

lim(un + vn) = lim un + lim vn = +∞.

ou seja, simbolicamente, temos (+∞) + (+∞) = +∞. Da mesma forma, quando

(wn) e uma sucessao de numeros reais tal que lim wn = a ∈ R, tambem temos os

seguintes resultados:

(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞

(+∞) + a = +∞ , (−∞) + a = −∞

(+∞)× (+∞) = +∞ , (+∞)× (−∞) = −∞ , (−∞)× (−∞) = +∞

a× (+∞) =

+∞, se a > 0

−∞, se a < 0a× (−∞) =

−∞, se a > 0

+∞, se a < 0

a

0+=

+∞, se a > 0

−∞, se a < 0

a

0−=

−∞, se a > 0

+∞, se a < 0

a+∞ =

+∞, se a > 1

0, se 0 < a < 1a−∞ =

0, se a > 1

+∞, se 0 < a < 1

+∞a =

+∞, se a > 0 ou a = +∞0, se a < 0 ou a = −∞

0a =

0, se a > 0 ou a = +∞+∞, se a < 0 ou a = −∞

Observacao 1.3. (Indeterminacoes) Para alem das situacoes referidas na Pro-

posicao anterior, existem ainda outras em que a partida nao podemos determinar

qual o resultado do limite, a essas situacoes chamamos de indeterminacoes e sao

11

elas:0

0

∞∞ 0.∞ ∞−∞ 1∞ ∞0 00.

Teorema 1.19. (Regra da Exponencial) Sejam a ∈ R e (un) uma sucessao de

numeros reais infinitamente grande positivo, temos que:

– se a > 1, a sucessao de termo geral aun e um infinitamente grande positivo.

– se a = 1, a sucessao de termo geral aun = 1 converge para 1.

– se −1 < a < 1, a sucessao de termo geral aun e um infinitesimo.

– se a 6 −1, a sucessao de termo geral aun nao tem limite.

Teorema 1.20. (Numero de Nepper) Seja (un) uma sucessao de numeros reais

infinitamente grande em modulo e K ∈ R, entao

lim

(1 +

K

un

)un

= eK .

Mais, se (vn) e uma sucessao de numeros reais convergente para a ∈ R, entao

lim

(1 +

vn

un

)un

= ea.

1.0.3 Exercıcios

Exercıcio 1.1. Considere as sucessoes de termo geral

un =2n + 1

ne vn = cos

(nπ

4

)− sen

(nπ

4

).

Calcule os 5 primeiros termos de cada uma e represente-os geometricamente.

Exercıcio 1.2. Seja (un) a sucessao de termo geral un =n + (−1)n

n + 1.

1. Determine os 4 primeiros termos de (un).

2. Indique, justificando, o valor logico das seguintes afirmacoes:

(a) ∃p∈N : up =24

26.


(b) 0 6 un 6 1, ∀n∈N.

Exercıcio 1.3. Considere a sucessao de termo geral un = 4 + (−1)n. Determine os

4 primeiros termos e mostre que e limitada.

Exercıcio 1.4. Estude a monotonia das sucessoes de termo geral un = 3n + 5 e

vn =1√

n2 + n.

Exercıcio 1.5. Considere a sucessao (un) dada por

u1 = 2

un+1 = un − (un)2 , ∀n>1

.

Estude a monotonia de (un).

Exercıcio 1.6. Seja (un) uma sucessao de numeros reais, tal que

un+1 < un e un > 1, para todo o n ∈ N

A sucessao e convergente? Justifique.

Exercıcio 1.7. Considere as sucessoes (un) e (vn) de termo geral un =2n− 5

n2, com

n > 5 e vn =

(1

2

)n

.

1. Mostre que as sucessoes sao decrescentes.

2. As sucessoes sao limitadas? Justifique.

3. Justifique que (un) e convergente.

4. Estude a convergencia de (vn).

Exercıcio 1.8. Considere a sucessao un =n + 1

n + 2− 3.

1. Mostre que a sucessao e monotona.

2. Mostre que −7

36 un < −2 para todo o n ∈ N.

3. A sucessao e convergente? Justifique.

13

Exercıcio 1.9. Determine o limite das sucessoes de termo geral:

1. an =1− n

2n + 2

2. bn =2n2 + 3

3n + 1

3. cn =3n3 + n2 + 1

2n3 − n− 2

4. dn =

√n

4n + 1

5. en =

√3n2 + 1 +

√n

3√

n + 1

6. fn =1

n+

(5

4

)n

7. gn =4√

n5 + 2− 3√

n2 + 15√

n4 + 2−√n3 + 1

8. hn = e−n + en

9. in =n + 2

n2 + 1sen

nπ

2

10. jn =sen2(n + 1)

2n + 3

11. kn =n3 + 1 + cos n

n2 + 1

12. ln =(−1)n + n

n + 1

13. αn =(−2)n + 3n

(−2)n+1 + 3n+1

14. βn = ln(√

2n2 + 1−√n2 − 1)

15. γn = n(√

n2 + 1−√

n−1)

Exercıcio 1.10. Determine o limite das sucessoes de termo geral:

1. an =

(1 +

2

n

)n

2. bn =

(1− 2

n2

)n

3. cn =

(n− 5

n + 2

)n+3

4. dn =

(n + 5

2n + 1

)n+4

5. en =

(n2 + 2

2n2 − 3

)n2+2

6. fn =

(1 +

2

n

)√n

7. gn =

(n− 1

n + 2

)2n+1

8. hn =

(n2 + 2n− 3

n2 − n + 2

)n2−3n+2

Exercıcio 1.11. Estude a convegencia da sucessao de termo geral

un =1√

n2 + 1+

1√n2 + 2

+ . . . +1√

n2 + n.

Capıtulo 2

Series

2.1 Series Numericas

Seja (un) uma sucessao de numeros reais. O conceito de serie pretende extender a

operacao de soma a uma infinidade de termos, precisamente os termos da sucessao.

Definicao 2.1. Dada uma sucessao de numeros reais (un) chamamos sucessao das

somas parciais de (un) a sucessao

s1 = u1 , s2 = u1 + u2 , s3 = u1 + u2 + u3 , . . . ,

ou seja, a sucessao cujo termo geral e dado por

sn =n∑

k=1

uk = u0 + u1 + u2 + . . . + un,

a soma dos primeiros n termos da sucessao (un).

Definicao 2.2. Dada uma sucessao de numeros reais, (un), definimos a serie de

termo geral (un) como sendo

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . ,

15

16 CAPITULO 2. SERIES

a qual representamos por∞∑

k=1

un ou por∑

un.

Definicao 2.3. Dizemos que∑

un e uma serie convergente se a respectiva sucessao

das somas parciais for convergente. Neste caso, chamamos soma da serie ao limite

da sucessao das somas parciais, e escrevemos S = limn 7→∞

sn = limn 7→∞

n∑

k=1

sk.

Definicao 2.4. Dizemos que uma serie e divergente se a respectiva sucessao das

somas parciais for divergente.

Definicao 2.5. Dizemos que duas serie sao da mesma natureza se sao ambas con-

vergentes ou ambas divergentes. Entendemos por estudo da natureza de uma serie

o estudo da convergencia ou divergencia da serie.

Nota 2.1. Em algumas situacoes poderao susgir series do tipo∞∑

n=0

un, ou ate mesmo

∞∑n=p

un, onde p e um qualquer numero inteiro. Basta nas definicoes acima considerar

as mudancas de variavel k = n + 1 e k = n− p + 1, respectivamente.

Exemplo 2.1. A serie∞∑

n=4

1

n2e igual a serie

∞∑

k=1

1

(k + 3)2.

Observacao 2.1. E facil concluir que dados p1, p2 ∈ N, a serie∞∑

n=p1

un e∞∑

n=p2

un tem

a mesma natureza. Ou seja, a natureza de uma serie nao se altera se alterarmos um

numero finito de termos.

Exemplo 2.2. Seja (un) a sucessao de numeros reais tal que un = 0 para todo o n ∈ N,

entao∑

un e convergente e tem soma nula. Seja (vn) a sucessao de numeros reais

tal que vn = 0 para todo o n > p com p ∈ N, entao∑

un e convergente e tem soma

igual a sp = u1 + u2 + . . . + up.

2.1.1 Algumas Series Notaveis

Vamos agora estudar algumas series que pela sua simplicidade e por serem bem

conhecidas chamaremos de notaveis. Este estudo tera grande importancia, visto

2.1. SERIES NUMERICAS 17

que os resultados obtidos serao aplicados no estudo da natureza de series algo mais

complexas.

Exemplo 2.3. (Serie Geometrica) Seja R ∈ R e consideremos a serie∞∑

n=0

Rn, a R

chamamos razao da serie.

Supondo que |R| 6= 1, temos que

sn =n∑

k=0

Rk = 1 + R + R2 + R3 + . . . + Rn =1−Rn+1

1−R.

– Se |R| < 1, temos que lim Rn+1 = 0 e entao lim sn =1

1−R. Assim, neste caso

a serie e convergente e tem soma S =1

1−R.

– Se |R| > 1, temos que lim |sn| = +∞ e, neste caso a serie e divergente.

Supondo que |R| = 1, temos tambem 2 casos.

– Se R = 1, temos sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1 e entao lim sn = +∞. Logo a

serie e divergente.

– Se R = −1, temos sn =

0, se n e ımpar

1, se n e pare entao lim sn nao existe. Logo a

serie e divergente.

Nota 2.2. E facil ver que para a serie∞∑

n=p

Rn, com p ∈ N as conclusoes acerca da

natureza da serie sao as mesmas, e que para |R| < 1 a soma da serie eRp

1−R.

A serie geometrica de razao1

2, ou seja,

∞∑n=1

(1

2

)n

e convergente e tem soma 1.

Exemplo 2.4. (Serie de Mengoli ou Serie Telescopica) Seja (un) uma sucessao

de numeros reais e consideremos uma serie da forma∞∑

n=1

(un − un+1). A sucessao

das somas parciais tem termo geral

Sn = (u1 − u2) + (u2 − u3) + . . . + (un − un+1) = u1 − un+1.

Assim, lim Sn = lim u1−un+1 = u1− lim un+1, pelo que a serie considerada converge


se e so se a sucessao (un) converge, e nesse caso, a soma da serie e S = u1 − lim un.

Mais geralmente, designamos tambem por serie de Mengoli uma serie da forma∞∑

n=p

(un − un+q) que converge se e so se a sucessao (un) converge e nesse caso tem

soma up + up+1 + . . . + up+q−1 − q lim un.

Por exemplo, a serie∞∑

n=3

(2n

n + 1− 2n + 4

n + 3

)e convergente e tem soma igual a

u3 + u4 − 2 lim un =6

4+

8

5− 2× 2 = − 9

10.

Exemplo 2.5. (A Serie Harmonica) Consideremos a serie∞∑

n=1

1

na qual designamos

por serie harmonica. Consideremos ainda a respectiva sucessao das somas parciais

e tomemos a subsucessao dessa com termos com ındice da forma 2n, ou seja, a

subsucessao (S2n):

S2 = 1 +1

2>

1

2

S4 = 1 +1

2+

1

3+

1

4= S2 +

1

3+

1

4> S2 + 2× 1

4> 2× 1

2

S8 = S4 +1

5+

1

6+

1

7+

1

8> S4 + 4× 1

8> 3× 1

2

. . .

Em geral, temos S2n >k

2, como lim

k

2= ∞, concluımos que lim Sn = ∞, ou seja, a

serie harmonica diverge.

Exemplo 2.6. (Serie de Dirichelet) Seja α ∈ R e consideremos a serie∞∑

n=1

1

nα.

Temos que:

– se α > 1, a serie e convergente.

– se α 6 1, a serie e divergente.

Quando α = 1, obtemos a serie harmonica,∞∑

n=1

1

n, que como ja vimos e diver-

gente.

Por exemplo, a serie∞∑

n=1

1

n2e convergente, ao passo que a serie

∞∑n=1

1√n

e diver-

gente.


2.1.2 Propriedades das Series

Proposicao 2.6. Sejam∑

un e∑

vn duas series convergentes com somas U e

V , respectivamente. Entao a serie∑

(un + vn) e convergente e tem soma U + V .

Mais, se α ∈ R, entao a serie∑

αun e tambem convergente e tem soma αU .

Observacao 2.2. Se∑

un e uma serie convergente e∑

vn e uma serie divergente,

entao∑

(un + vn) e uma serie divergente.

Observacao 2.3. Se∑

un e∑

vn sao duas series divergentes, entao∑

(un + vn)

pode ser uma serie divergente ou convergente. E exemplo disso a situacao seguinte.

Exemplo 2.7. Consideremos as series∞∑

n=1

1

ne

∞∑n=1

−1

n + 1, que como sabemos sao

ambas divergentes.

Mas a serie∞∑

n=1

1

n− 1

n + 1e uma serie de Mengoli com an =

1

ne lim un = 0, pelo

que e convergente. Mais, ate conhecemos a sua soma, S = u1 − lim un = 1.

Proposicao 2.7. Se∑

un e uma serie convergente, entao lim un = 0.

Observacao 2.4. A recıproca da Proposicao anterior e falsa, ou seja, lim un = 0 ;∑

un seja convergente. Por exemplo, a serie harmonica, em que lim un = lim1

n= 0

e a serie e divergente.

Observacao 2.5. Nalgumas situacoes podera ser conveniente ter presente a contra-

recıproca da Proposicao anterior, ou seja, se lim un 6= 0 entao a serie∑

un e

divergente.

Exemplo 2.8. A serie∑(

1 +1

n

)n

e divergente, ja que lim

(1 +

1

n

)n

= e 6= 0.

2.1.3 Series de Termos Nao Negativos

Muitas vezes nao e possıvel estudar a natureza da serie fazendo um calculo directo

no limite da sucessao das somas parciais. Mas existem alguns metodos que permitem

determinar a natureza de uma serie. Nesta seccao vamos apresentar alguns desses


metodos que se aplicam aquilo a que chamamos de series de termos nao negativos,

ou seja,∞∑

n=0

un , com un > 0, para todo o n ∈ N0 .

E claro que estes metodos tambem se aplicam a situacoes em que todos os ter-

mos sao negativos, fazendo uma pequena adaptacao. E de notar que os metodos

(criterios) apresentados nao servem para calcular o valor da soma da serie, apenas

para determinar a natureza da mesma.

Numa serie de termos nao negativos,∑

un temos que a sucessao das somas

parciais e crescente, visto que sn+1 − sn = un > 0. Assim, temos que a serie e

convergente se e so se (sn) for uma sucessao limitada (ja que e monotona).

Proposicao 2.8. (Criterio da Comparacao) Sejam∑

un e∑

vn duas series

de termos nao negativos tais que, a partir de certa ordem se tenha un 6 vn. Entao

1. se∑

vn e convergente entao∑

un e convergente.

2. se∑

un e divergente entao∑

vn e divergente.

Prova: Podemos supor que un 6 vn para todo o n ∈ N, pois estamos apenas a

alterar um numero finito de termos, e portanto a natureza da serie nao se altera.

Sejam (sun) e (sv

n) as respectivas sucessoes das somas parciais, temos que

sun = u1 + u2 + . . . + un 6 v1 + v2 + . . . + vn = sv

n.

Se a serie∑

vn e convergente, (svn) e uma sucessao tambem convergente e logo

limitada. Entao a sucessao (sun) e tambem limitada e logo convergente (ja que e

monotona). Concluımos assim que a serie∑

un e convergente.

O outro caso e completamente analogo.

¤


Exemplo 2.9. Consideremos as sucessoes de termo geral un =1

(n + 1)!e vn =

(1

2

)n

.

Como∑

vn e a serie geometrica de razao1

2, logo e convergente. Alem disso,

(n + 1)! > 2n ⇒ 1

(n + 1)!6 1

2n⇒ un 6 vn, para todo o n ∈ N, de onde concluımos

que∑

un e uma serie convergente, usando o Criterio da Comparacao.

Exemplo 2.10. Consideremos as sucessoes de termo geral un =1

ne vn =

1

n− 1.

Como un < vn para todo o n ∈ N e∑

un e uma serie divergente, concluımos que∑

vn e uma serie divergente, pelo Criterio da Comparacao.

Da Proposicao anterior, e possıvel obter um resultado bastante mais abrangente,

o seguinte Corolario.

Corolario 2.9. (Criterio do Limite) Sejam∑

un e∑

vn duas series de termos

nao negativos, com vn 6= 0 para todo o n ∈ N. Se existir limun

vn

= L, temos que

1. Se L for finito e nao nulo, as series tem a mesma natureza.

2. Se L = 0 e∑

vn e convergente entao∑

un e convergente.

3. Se L = +∞ e∑

vn e divergente entao∑

un e divergente.

Prova: Consequencia quase imediata da Proposicao anterior. Vide [1].

¤

Exemplo 2.11. Consideremos a serie∑ 2n2 + 1

n5 + 3n2 − 1e vamos usar o Criterio do

Limite, comparando esta serie com a serie∑ 1

n3,

lim

2n2 + 1

n5 + 3n2 − 11

n3

= lim2n5 + n3

n5 + 3n2 − 1= 2 6= 0,

de onde concluımos que a serie considerada tem a mesma natureza do que a serie∑ 1

n3, ou seja, e convergente.





n2,

lim

2n2 + 1

n5 + 3n2 − 11

n2

= lim2n4 + n2

n5 + 3n2 − 1= 0,

de onde concluımos que como a serie∑ 1

n3e convergente e o limite e 0, entao a

serie considerada e convergente.




n,

lim

2n2 + 1

n5 + 3n2 − 11

n

= lim2n3 + n

n5 + 3n2 − 1= 0,

mas como a serie∑ 1

ne divergente, nada podemos concluir acerca da serie consi-

derada.

Proposicao 2.10. (Criterio de d’Alembert ou da Razao) Seja∑

un uma

serie de termos positivos (un > 0) tal que limun+1

un

= L. Temos que

1. Se L > 1 a serie e divergente.

2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da serie.

3. Se L < 1 a serie e convergente.

Prova: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certa

ordem se temun+1

un

< R =Rn+1

Rn⇒ un+1

Rn+1<

un

Rn.


Assim, a sucessao de termo geralun

Rne decrescente e como

un

Rn> 0 para todo o

n ∈ N, a sucessao( un

Rn

)e limitada. Assim, concluımos que

( un

Rn

)e convergente,

digamos para c. Como a serie∑

Rn e convergente, quer seja c = 0 ou c > 0, pelo

Criterio do Limite concluımos que∑

un e convergente.

O outro caso e analogo.

¤

Exemplo 2.14. Consideremos a serie∑

un, onde un =cnn!

nn, com c > 0. Vamos

aplicar o Criterio de d’Alembert para determinar a natureza da serie. Temos que

un+1

un

= c(n + 1)!

n!

nn

(n + 1)n+1= c

(n

n + 1

)n

= c1(

1 +1

n

)n ,

de onde concluımos que limun+1

un

=c

e. Assim, se c > e a serie e divergente; se

0 < c < e a serie e convergente.

Proposicao 2.11. (Criterio de Cauchy ou da Raiz) Seja∑

un uma serie de

termos nao negativos tal que lim n√

un = L. Temos que

1. Se L > 1 a serie e divergente.

2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da serie.

3. Se L < 1 a serie e convergente.

Prova: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certa

ordem se tem

n√

un < R ⇒ un < Rn.

Como a serie∑

Rn e convergente, pelo Criterio de Comparacao concluımos que∑

un e convergente.

O outro caso e analogo.

¤



un com un =

(n + k

n

)n2

. Como

lim n√

un = lim

(n + k

n

)n

= lim

(1 +

k

n

)n

= ek,

pelo Criterio de Cauchy, a serie diverge se ek > 1 ⇔ k > 0, a serie converge se

ek < 1 ⇔ k < 0.

Proposicao 2.12. Dada uma serie de termos nao negativos, qualquer uma outra

que resulte desta por reordenamento dos seus termos tem a mesma natureza.

Nota 2.3. E necessario ter algum cuidado, pois o mesmo ja nao acontece numa serie

generica, ou seja, numa serie que tambem tenha termos negativos, como veremos

mais adiante.

2.1.4 Series Alternadas. Convergencia Absoluta.

Vamos agora estudar a natureza de algumas series que apresentam termos negativos.

Comecamos com um caso particular em que os termos sao alternadamente posi-

tivos e negativos.

Definicao 2.13. Uma serie alternada e uma serie da forma

∞∑n=0

(−1)nun = u0 − u1 + u2 − u3 + u4 − u5 + . . . ,

em que un > 0 para todo o n ∈ N0.

Proposicao 2.14. (Criterio de Leibnitz) Seja (un) uma sucessao decresente de

termos positivos. A serie∞∑

n=0

(−1)nun e convergente se e so se un e um infinitesimo.

Prova: Vide [1].

¤


Exemplo 2.16. Consideremos a serie∞∑

n=0

(−1)nun, onde un =1

nαcom α ∈ R. Temos

que un > 0 para todo o n ∈ N e a sucessao (un) e decrescente. Para α > 0, un

e um infinitesimo de onde concluımos que a serie considerada e convergente, pelo

Criterio de Leibnitz. Para α 6 0, un nao tende para 0 de onde concluımos que a

serie diverge, pelo Criterio de Leibnitz.

Em particular, a chamada serie harmonica alternada∞∑

n=0

(−1)n 1

ne convergente.

Nota 2.4. No Criterio de Leibnitz o facto de un tender para 0 nao assegura a con-

vergencia da serie alternada, e mesmo necessario que un tambem seja decrescente.

Basta pensar na serie∑

(−1)nun, com un =1√n

+(−1)n

n, e facil ver que lim un = 0,

mas nao podemos concluir que a serie convirja, pelo Criterio de Leibnitz. De facto

a serie considerada diverge, uma vez que∑

(−1)nun =∑

(−1)n 1√n

+∑ 1

n, onde

a primeira serie e convergente (aplicando o Criterio de Leibnitz) e a segunda serie e

divergnte.

Definicao 2.15. Consideremos a serie∑

un, a serie∑

|un| chamamos serie dos

modulos de∑

un. No caso em que∑

|un| e uma serie convergente, dizemos que∑

un e uma serie absolutamente convergente. Se a serie∑

un converge, mas a

respectiva serie dos modulos diverge, dizemos que∑

un e uma serie simplesmente

convergente.

Exemplo 2.17. A serie∑

(−1)n 1

ne simplesmente convergente, pois ja vimos que e

convergente, mas∑∣∣∣∣(−1)n 1

n

∣∣∣∣ =∑ 1

ne divergente.

Exemplo 2.18. A serie∑

(−1)n 1

2ne absolutamente convergente, uma vez que temos

∑ ∣∣∣∣(−1)n 1

2n

∣∣∣∣ =∑ 1

2na serie geometrica de razao

1

2, e portanto, convergente.

Nota 2.5. Qualquer serie convergente de termos nao negativos e tambem absoluta-

mente convergente.

Proposicao 2.16. Se a serie∑

un e absolutamente convergente, entao∑

un e

convergente. Ou seja, se∑

|un| e convergente, entao∑

un e convergente; e temos


que∣∣∣∑

un

∣∣∣ 6∑

|un|.

Prova: Vide [1].

¤


nkn, com k ∈ R e vamos estudar a con-

vergencia simples e absoluta. E claro que para k = 0 temos a serie nula e portanto

absolutamente convergente. Para k 6= 0, tomemos a serie dos modulos∑

n|k|n e

pelo Criterio de d’Alembert temos

limun+1

un

= lim(n + 1)|k|n+1

n|k|n = |k| lim n + 1

n= |k|,

de onde concluımos que: se |k| < 1, a serie∑

n|k|n converge, ou seja, a serie∑

nkn converge absolutamente; se |k| > 1, a serie∑

n|k|n diverge, mas a serie∑

nkn pode ser simplesmente convergente ou divergente.

No entanto, como para |k| > 1 temos que o termo geral nkn nao e um infinitesimo,

pelo que a serie considerada e divergente.

Proposicao 2.17. Dada uma serie absolutamente convergente, qualquer uma ou-

tra que resulte desta por reordenamento dos seus termos e tambem absolutamente

convergente e tem a mesma soma.

Observacao 2.6. A Proposicao anterior nao e verdadeira para series simplesmente

convergentes, como podemos ver no exemplo seguinte.

Exemplo 2.20. Vamos apresentar um exemplo em que a serie nao e absolutamente

convergente e que fazendo uma reordenacao dos termos temos uma serie com uma

soma diferente.

Consideremos∞∑

n=0

(−1)n 1

n + 1a qual converge simplesmente pelo Criterio de


Leibnitz. Seja S a soma desta serie e entao temos

S =∞∑

n=0

(−1)n 1

n + 1= 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+ . . .

=

(1− 1

2

)+

(1

3− 1

4

)+

(1

5− 1

6

)+ . . .

=∞∑

n=0

(1

2n + 1− 1

2n + 2

)

=

(1− 1

2+

1

3− 1

4

)+

(1

5− 1

6+

1

7− 1

8

)+ . . .

=∞∑

n=0

(1

4n + 1− 1

4n + 2+

1

4n + 3− 1

4n + 4

)

e podıamos dizer que

S

2+ S =

1

2

∞∑n=0

(1

2n + 1− 1

2n + 2

)+

∞∑n=0

(1

4n + 1− 1

4n + 2+

1

4n + 3− 1

4n + 4

)=

=∞∑

n=0

(1

4n + 2− 1

4n + 4+

1

4n + 1− 1

4n + 2+

1

4n + 3− 1

4n + 4

)=

=∞∑

n=0

(1

4n + 1

1

4n + 3− 1

2n + 2

)=

= 1 +1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+ . . . = S

o que e absurdo, pelo que nao podemos trocar a ordem dos termos da referida serie,

ja que a mesma nao e absolutamente convergente.


un e∑

vn duas series absolutamente convergentes,

com somas U e V , respectivamente. Entao o produto das series,(∑

un

).(∑

vn

)

e ainda uma serie absolutamente convergente com soma UV.

Prova: Vide [1].

¤

Nota 2.6. A Proposicao anterior refere-se a serie que resulta de fazer o produto de

outras duas series, o que usualmente se chama de produto de Cauchy. Nao confundir


com a serie cujo termo geral e o produto dos termos gerais de outras duas series, ou

seja, com∑

(unvn), a qual se refere a proxima Proposicao.


un e∑

vn duas series absolutamente convergentes.

Entao a serie cujo termo geral e o produto dos termos gerais, ou seja,∑

unvn, e

ainda uma serie absolutamente convergente.

Prova: A sucessao (un) converge para 0, logo e limitada, pelo que existe c ∈ R tal

que |un| 6 c ⇒ |unvn| 6 c|vn|. Como∑

vn e absolutamente convergente,∑

|vn|e convergente o que implica que

∑c|vn| e convergente. Pelo Criterio da Com-

paracao concluımos que∑

|unvn| e convergente, ou seja,∑

unvn e absolutamente

convergente.

¤

Observacao 2.7. Na Proposicao anterior e mesmo necessario que as series∑

un e∑

vn sejam absolutamente convergentes. De facto, se tivermos un =(−1)n

n13

e vn =

(−1)n

n23

, as series∑

un e∑

vn convergem simplesmente, uma vez que convergem

pelo Criterio de Leibnitz, mas em modulo obtemos duas series de Dirichelet, ambas

divergentes. Mas a serie∑

unvn diverge, visto que temos a serie harmonica, ja que

unvn =1

n.

2.1.5 Exercıcios

Exercıcio 2.1. Use a definicao de serie numerica para estudar a natureza das se-

guintes series. Em caso de convergencia calcule a sua soma.

1.∞∑

n=1

a, com a ∈ R

2.∞∑

n=1

(−1)n

3.∞∑

n=1

1

(2n− 1)(2n + 1)

4.∞∑

n=1

ln

(1 +

1

n

)

5.∞∑

n=2

ln

(1− 1

n2

)

6.∞∑

n=1

2n + 3n

6n


Exercıcio 2.2. Use a condicao necessaria de convergencia para verificar que as

seguintes series sao divergentes.

1.∞∑

n=1

n + 1

n + 2

2.∞∑

n=1

(−2)n

3.∞∑

n=1

√n tg

1√n

4.∞∑

n=1

√n + 1

n

Exercıcio 2.3. Determine a natureza das seguintes series, e em caso de convergencia

determine a sua soma.

1.∞∑

n=1

2−n

2.∞∑

n=1

2

3n−1

3.∞∑

n=1

π2n−1

7n+2

4.∞∑

n=0

(2n−1

6n+ e−n

)

5.∞∑

n=0

32n−1

23n+1

6.∞∑

n=1

(−1)n63n47−2n

7.∞∑

n=2

1

(n− 1)(n + 1)

8.∞∑

n=1

1

4n2 − 1

9.∞∑

n=1

2

n(n + 1)(n + 3)

10.∞∑

n=1

(cos

π

n− cos

π

n + 3

)

11.∞∑

n=1

√n + 1−√n√

n2 + n

12.∞∑

n=1

(n√

n− n+3√

n + 3)

Exercıcio 2.4. Calcule os racionais correspondentes as seguintes dızimas:

(a) 3, 6666 . . . (b) 2, 18181818 . . . (c) 0, 9999 . . . (d) 1, 57141414 . . .

Exercıcio 2.5. Determine a natureza das series usando o Criterio de Comparacao

ou do Limite.


1.∞∑

n=1

1

n2 + 1

2.∞∑

n=1

5n2 + 2n + 3

n3 + 4n

3.∞∑

n=1

n√

3n + 1

n(n + 2)

4.∞∑

n=1

1

(2n− 1)22n−1

5.∞∑

n=1

1

ln(n + 1)

6.∞∑

n=1

1

n2 + ln n

7.∞∑

n=1

ln n

n

8.∞∑

n=1

√n ln n

n2 + 1

9.∞∑

n=1

senπ

2n

10.∞∑

n=1

tgπ

4n

11.∞∑

n=1

1 + cos n

2n

12.∞∑

n=1

2n

1 + 3n

Exercıcio 2.6. Estude a natureza da serie∞∑

n=1

an

1 + bnno caso em que:

(a) 0 < a < b (b) 0 < b 6 a < 1 (c) 1 6 b 6 a

Exercıcio 2.7. Determine a natureza das series usando o Criterio de d’Alembert.

1.∞∑

n=1

2× 5× . . .× (3n− 1)

1× 5× . . .× (4n− 3)

2.∞∑

n=1

3× 5× 7× . . .× (2n− 1)

n!7n

3.∞∑

n=1

n2n

en

4.∞∑

n=1

nn

n!3n

5.∞∑

n=1

(n + 1)!

e3n

6.∞∑

n=1

10n × 2× n!

(2n)!

7.∞∑

n=1

((2n)!)2

n!(3n)!

8.∞∑

n=1

en(n + 1)2n+3

(n + 1)!3n

Exercıcio 2.8. Determine a natureza das series usando o Criterio de Cauchy.


1.∞∑

n=1

(2 +

1

n

)n

2.∞∑

n=1

(n+1

n

)n2

3n

3.∞∑

n=1

e−n2

4.∞∑

n=1

n

2n

5.∞∑

n=1

(n

2n + 1

)n

6.∞∑

n=1

2nnn

(3 + 9n)n

7.∞∑

n=1

32n

(3n− 2

3n

)3n2

8.∞∑

n=1

1

lnn(n + 1)

Exercıcio 2.9. Determine a natureza das seguintes series.

1.∞∑

n=1

1

n2 + 4n + 3

2.∞∑

n=1

√n + 1

n3

3.∞∑

n=1

(n + 2

n + 4

)n

4.∞∑

n=1

(n

2n + 1

)n

5.∞∑

n=1

(n + 2

n

)n

6.∞∑

n=1

arctg(n3)√n + n2

7.∞∑

n=1

2n

3n + n

8.∞∑

n=1

3n

2n + n3

9.∞∑

n=1

2n31−2n

10.∞∑

n=1

3n − 2n

4n + 3nn

11.∞∑

n=1

n + 1

n2n

12.∞∑

n=1

n

3n+1

13.∞∑

n=1

1

n!

14.∞∑

n=1

2n(2n)!

3n(2n + 1)!

15.∞∑

n=1

(n!)2

3n(2n)!

16.∞∑

n=1

(2n)!

n2n + 2n

17.∞∑

n=1

n5n

(n

n + 2

)2n2

18.∞∑

n=1

4n

1 + arctg n

19.∞∑

n=1

ln n

n3

20.∞∑

n=1

n sen1

n

Exercıcio 2.10. Determine a natureza das series usando o Criterio de Leibnitz.


1.∞∑

n=1

(−1)n

√n

2.∞∑

n=1

(−1)n n + 1

n

3.∞∑

n=2

(−1)n 2n + 1

n2 − n

4.∞∑

n=1

cos(nπ)

3n + 1

5.∞∑

n=1

cos(nπ) sen1

n

6.∞∑

n=1

(−1)nn2

n + 1sen

π

2n

7.∞∑

n=1

(−1)n tg1√n

8.∞∑

n=1

(−1)n+1 ln n

n

Exercıcio 2.11. Determine se as series sao absolutamente convergente, simples-

mente convergentes ou divergentes.

1.∞∑

n=1

(−1)n n

n + 2

2.∞∑

n=1

1

(n + 3)!

3.∞∑

n=1

(−1)n n3 sen n

1 + n!

4.∞∑

n=1

e−n ln n

5.∞∑

n=1

1

(4 + (−1)n)2n

6.∞∑

n=1

(−1)n−1 2n− 1

n(n + 1)

7.∞∑

n=1

(−1)n n!

(n + 2)!

8.∞∑

n=1

cos(nπ)

3n + 1

9.∞∑

n=1

n cos(nπ)

3n + 2

10.∞∑

n=1

(−1)nn2

n + 1sen

π

2n

11.∞∑

n=1

sen nπ4

3n2 + n

12.∞∑

n=1

sen(

π4

+ nπ)

3n + 1

13.∞∑

n=1

(−1)n n3 sen n

1 + n!

14.∞∑

n=1

sen(√

n + tg 1n

)

n2

Exercıcio 2.12. Considere as seguintes afirmacoes. Justifique as verdadeiras e

apresente um contra-exemplo para as falsas.

1. Se as series∑

un e∑

vn divergem, entao a serie∑

un+vn tambem diverge.

2. Se as series∑

(un)2 e∑

(vn)2 convergem, entao a serie∑

unvn tambem

converge.


3. Se un → 0, entao u1 − u1 + u2 − u2 + u3 − u3 + . . .converge.

4. Se∑

|un| converge e vn → 1, entao∑

unvn converge.

5. Se∑

un converge e vn → 1, entao∑

unvn converge.

6. Se∑

un converge, entao∑ un

n2converge.

7. Se∑

un converge, entao∑

(un)2 converge.

8. Se∑

|un| converge, entao∑

(un)2 converge.

9. Se∑

un diverge, entao un → 0.

10. Se∑

un converge, entao nun → 0.

11. Se∑

nun, com un > 0, converge, entao∑ n2 + 1

nun tambem converge.

12. Se∑

nun, com un > 0, converge, entao∑

un tambem converge.

13. Se un → +∞, entao∑ un

un + 1diverge.

Capıtulo 3

Preliminares

3.1 Conjuntos Limitados. Maximo, Mınimo, Su-

premo e Infimo.

Definicao 3.1. Sejam a, b ∈ R e A um subconjunto de R. Dizemos que a e majo-

rante de A se a > x, para todo o x ∈ A. Dizemos que b e minorante de A se b 6 x,

para todo o x ∈ A. Representamos o conjunto dos majorantes de A por M(A) e o

conjunto dos minorantes de A por m(A).

Definicao 3.2. Seja A um subconjunto de R. Dizemos que A e majorado (ou limi-

tado superiormente) se admitir majorantes. Dizemos que A e minorado (ou limitado

inferiormente) se admitir minorantes. Se A e majorado e minorado, dizemos que A

e limitado.

Definicao 3.3. Seja A um subconjunto majorado de R. Dizemos que α ∈ R e o

supremo de A se α for o menor dos majorantes de A, ou seja, se α 6 a para todo o

a ∈ M(A), e representamos por sup(A).

Se alem disso α ∈ A, dizemos que α e o maximo de A e representamos por

max(A).

Definicao 3.4. Seja A um subconjunto minorado de R. Dizemos que β ∈ R e o

35

36 CAPITULO 3. PRELIMINARES

ınfimo de A se β for o maior dos minorantes de A, ou seja, se β > b para todo o

b ∈ m(A), e representamos por inf(A).

Se alem disso β ∈ A, dizemos que β e o mınimo de A e representamos por

min(A).

Exemplo 3.1. Consideremos o conjunto A = [0, 1[. Temos que

M(A) = [1, +∞[ , m(A) =]−∞, 0] , sup(A) = 1 , inf(A) = 0 ,

o maximo de A nao existe e min(A) = 0.

Teorema 3.5. Em R, todo o conjunto majorado nao vazio tem supremo e todo o

conjunto minorado nao vazio tem ınfimo.

3.2 Nocoes Topologicas

Definicao 3.6. Sejam a ∈ R e ε ∈ R+. Definimos a vizinhanca de centro a e raio ε

ou vizinhanca ε de a como sendo o intervalo ]a− ε, a+ ε[ e representamos por Vε(a),

ou seja, temos

Vε(a) = {x ∈ R : |x− a| < ε} = {x ∈ R : a− ε < x < a + ε}.

Definicao 3.7. Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Dizemos que a e um ponto

interior a A se existir uma vizinhanca de a contida em A, ou seja,

∃ε>0 : Vε(a) ⊂ A.

Ao conjunto dos pontos interiores de A chamamos interior de A e representamos

por int(A). Dizemos que a e um ponto exterior a A se existir uma vizinhanca de a

contida em AC (o complementar de A, R \A), ou seja,

∃ε>0 : Vε(a) ⊂ AC .

3.2. NOCOES TOPOLOGICAS 37

Ao conjunto dos pontos exteriores de A chamamos exterior de A e representamos

por ext(A). Dizemos que a e um ponto fronteiro a A se toda a vizinhanca de a

intersecta A e AC , ou seja,

∀ε>0 : Vε(a) ∩ A 6= ∅ ∧ Vε(a) ∩ AC 6= ∅.

Ao conjunto dos pontos fronteiros de A chamamos fronteira de A e representamos

por fr(A).

Observacao 3.1. Para qualquer subconjunto A de R, temos as seguintes afirmacoes

int(A) ∩ ext(A) = ∅ int(A) ∩ fr(A) = ∅ ext(A) ∩ fr(A) = ∅int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A) = R int(A) ⊂ A ext(A) ⊂ AC

int(A) = ext(AC) ext(A) = int(AC) fr(A) = fr(AC)

Nota 3.1. int(∅) = fr(∅) = ext(R) = fr(R) = ∅ ext(∅) = int(R) = R.

Exemplo 3.2. Seja A = [0, 1[, entao int(A) =]0, 1[, ext(A) =] − ∞, 0[∪]1, +∞[ e

fr(A) = {0, 1}.

Exemplo 3.3. Seja A = Q, entao int(A) = ∅, ext(A) = R \Q e fr(A) = Q.

Definicao 3.8. Seja A um subconjunto de R, dizemos que a e um ponto aderente

a A se para todo o ε > 0 tivermos Vε(a)∩A 6= ∅. Ao conjunto dos pontos aderentes

a A chamamos aderencia de A ou fecho de A e representamos por A.

Observacao 3.2. Para qualquer subconjunto A de R, temos que A = int(A)∪ fr(A)

e portanto, int(A) ⊂ A ⊂ A.

Definicao 3.9. Seja A um subconjunto de R, dizemos que A e conjunto aberto se

int(A) = A e dizemos que A e conjunto fechado se A = A.

Observacao 3.3. Seja A um qualquer subconjunto de R, temos que

1. A e fechado se e so se A = A ⇔ int(A) ∪ fr(A) = A ⇔ fr(A) ⊂ A


2. A e aberto se e so se AC e fechado.

3. A e fechado se e so se AC e aberto.

Exemplo 3.4. Seja A = [0, 1], como int(A) ∪ fr(A) = A, temos que A e um conjunto

fechado.

Exemplo 3.5. Seja A = [0, 1[, A nao e um conjunto aberto, nem fechado.

Exemplo 3.6. Os conjuntos R e ∅ sao simultaneamente abertos e fechados.

Definicao 3.10. Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Dizemos que a e um

ponto de acumulacao de A se toda a vizinhanca de A intersecta A \ {a}, isto e,

Vε(a)∩ (A \ {a}) 6= ∅ para todo o ε > 0, ou seja, em qualquer vizinhanca de a existe

pelo menos um elemento de A diferente de a. Ao conjunto de todos os pontos de

acumulacao chamamos derivado de A, o qual representaremos por A′.

Dizemos que a e um ponto isolado de A se existe uma vizinhanca de A que nao

intersecta A \ {a}, isto e, existe ε > 0 tal que Vε(a) ∩ (A \ {a}) = ∅.

Observacao 3.4. Para qualquer A subconjunto de R, temos que

1. A = A ∪ A′

2. Um ponto fronteiro a A pode ou nao pertencer a A; e o mesmo acontece com

um ponto aderente a A e com um ponto de aumulacao de A.

3. Se a ∈ int(A), entao a e um ponto de acumulacao de A.

Exemplo 3.7. Seja A =]0, 1[∪{3}, entao A′ = [0, 1] e 3 e um ponto isolado.

3.3 Exercıcios

Exercıcio 3.1. Determine os majorantes, minorantes, supremo, ınfimo, maximo e

mınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos

1.

{x ∈ R :

x2 − 3x + 2

x2 + x + 1> 0

}

3.3. EXERCICIOS 39

2.

{x ∈ R :

√2x + 1

x2 + 4x + 3> 0

}

3. {x ∈ R : 2x > |x + 3|}

4. {x ∈ R : |2x + 1| > |x + 2|}

5. {x ∈ R : 3|x| − |x− 2| 6 9}.

6.

{x ∈ R : x =

(−1)n

n + 4∧ n ∈ N

}∪ [2, 3].

Exercıcio 3.2. Determine o interior, exterior e fronteira dos seguintes conjuntos

1. [−1, 1]

2. ]− 2, 3] ∪ {6}

3. {x ∈ R : |x2 − 1| 6 1}

4. {x ∈ R : x2(x− 1) > 0}

5. {x ∈ R : 2x2 − 3x > 5}

6.

{x ∈ R : x =

1

n∧ n ∈ N

}

Exercıcio 3.3. Determine a aderencia e o derivado dos seguintes conjuntos, indi-

cando quais sao abertos ou fechados.

1. {x ∈ R : (x2 − 1) + x < 7}

2. {x ∈ R :√

x2 − 16 < 2− x}

3. {x ∈ R : |x− 5| > 1}

4.

{x ∈ R :

∣∣∣∣1− 2x

2x− 3

∣∣∣∣ > 2

}

5. {x ∈ R : |x− 3| − 2|x + 5| < 3}

6. {x ∈ R : x + |x| < 1}

7.

{x ∈ R : x =

1

n∧ n ∈ N

}

8. {x ∈ R : x = cos(nπ) ∧ n ∈ N}

Exercıcio 3.4. Seja A o conjunto dos termos da sucessao de termo geral un =

sennπ

4e B =

[−1

2, 1

]. Determine o supremo, o ınfimo, a fronteira e o derivado de

A ∪B.

Capıtulo 4

Funcoes Reais de Variavel Real

Definicao 4.1. Dados dois conjuntos A e B, chamamos a f funcao definida com

valores de A para B a toda a correspondencia entre A e B que a cada elemento de A

faz corresponder um e um so elemento de B, e representamos f : A → B. Tambem

escrevemos x 7→ f(x) para indicar que ao elemento x ∈ A fazemos corresponder o

elemento f(x) ∈ B, ao elemento f(x) chamamos imagem de x.

Ao conjunto A chamamos domınio de f e ao conjunto B chamamos conjunto de

chegada de f . Chamamos contradomınio de f ao conjunto das imagens, ou seja, ao

conjunto dos elementos que sao imagem pela funcao f dos elementos do domınio, o

qual e naturalmente subconjunto de B e pode ser representado por

f(D) = {f(x) ∈ B : x ∈ D} ⊂ B.

Dizemos que f e uma funcao real de variavel real quando A e B sao subconjuntos

de R.

Definicao 4.2. Dada uma funcao f : D ⊂ R → R, chamamos grafico da funcao f

ao conjunto {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D , y = f(x)}.

Definicao 4.3. Dada uma funcao f : D ⊂ R → R, dizemos que f e uma funcao

limitada se existe M ∈ R+ tal que |f(x)| 6 M , para todo o x ∈ D. Por outras

41

42 CAPITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL

palavras, f e uma funcao limitada se f(D) e um conjunto limitado. Tambem dizemos

que f e uma funcao majorada/minorada se f(D) o for enquanto conjunto.

De modo analogo, ao supremo/ınfimo/maximo/mınimo do conjunto f(D) cha-

mamos supremo/ınfimo/maximo/mınimo de f .

Definicao 4.4. Dada uma funcao f : D ⊂ R→ R, dizemos que

• f e crescente se sempre que x < y tivermos f(x) 6 f(y).

• f e decrescente se sempre que x < y tivermos f(x) > f(y).

• f e estritamente crescente se sempre que x < y tivermos f(x) < f(y).

• f e estritamente decrescente se sempre que x < y tivermos f(x) > f(y).

• f e monotona se e crescente ou decrescente.

• f e estritamente monotona se e estritamente crescente ou estritamente decres-

cente.

Definicao 4.5. Dada uma funcao f : R→ R, dizemos que

• f e par se f(−x) = f(x) para todo o x ∈ R.

• f e ımpar se f(−x) = −f(x) para todo o x ∈ R.

Nota 4.1. O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo das ordenadas,

enquanto que o grafico de uma funcao ımpar e simetrico em relacao a origem.

Definicao 4.6. Dada uma funcao f : R→ R, dizemos que f e uma funcao periodica

de perıodo T ∈ R se f(x + T ) = f(x) para todo o x ∈ R.

Nota 4.2. O grafico de uma funcao periodica de perıodo T repete-se de T em T

espacos.

Definicao 4.7. Seja f : D ⊂ R → R, aos elementos x ∈ D tais que f(x) = 0

chamamos zeros de f .

43

Definicao 4.8. Dada uma funcao f : D ⊂ R→ B ⊂ R, dizemos que

• f e injectiva se para todo o x, y ∈ D tais que x 6= y tivermos f(x) 6= f(y).

• f e sobrejectiva se para todo o y ∈ B existe x ∈ D tal que f(x) = y.

• f e bijectiva se for injectiva e sobrejectiva.

Definicao 4.9. Sejam f : A ⊂ R→ B ⊂ R e g : C ⊂ R→ D ⊂ R duas funcoes tais

que f(A)∩C 6= ∅. Definimos a funcao composta de g com f , a funcao designada por

g◦f , cujo domınio e U = {x ∈ A : f(x) ∈ C} e para cada x ∈ U , (g◦f)(x) = g(f(x)).

x f(x) g(f(x))f g

g ◦ f

Definicao 4.10. Dada uma funcao injectiva f : D ⊂ R → R, definimos a funcao

inversa de f , como sendo g : f(D) ⊂ R → R tal que (g ◦ f)(x) = x para todo o

x ∈ D; assim, f(x) = y ⇔ x = g(y). Representaremos a funcao inversa de f por

f−1.

Nota 4.3. O grafico de f−1 resulta do grafico de f fazendo uma simetria em relacao

a recta y = x.

Definicao 4.11. Sejam f : D ⊂ R→ R e S subconjunto de D. Definimos a restricao

de f a S, a qual representamos por f|S, a funcao de S em R tal que f|S(x) = f(x)

para cada x ∈ S.

4.0.1 Funcao Exponencial e Logarıtmica

Definicao 4.12. Seja a ∈ R+ \{1}, chamamos funcao exponencial de base a a funcao

real de variavel real

f : R → R

x 7→ ax


O domınio e R e o contradomınio e R+. A funcao e injectiva, e o seu grafico depende

de a. Graficos de algumas funcoes exponenciais com base maior que 1:

x

y

1

h(x) = 4x

g(x) = 3x

f(x) = 2x

Graficos de algumas funcoes exponenciais com base menor que 1:

x

y

1–

g(x) =(

19

)x

f(x) =(

13

)x

Como qualquer funcao exponencial de base a ∈ R+ \{1} e injectiva, admite

funcao inversa.

Exemplo 4.1. Graficos das funcoes exponenciais de base e e e−1:

x

y

1–

g(x) = e−x f(x) = ex

45

Definicao 4.13. Seja a ∈ R+ \{1}, chamamos funcao logarıtmica de base a a funcao

real de variavel real

f : R+ → R

x 7→ loga x

O domınio e R+ e o contradomınio e R, sendo que tem um zero em x = 1. A funcao

e injectiva, e o seu grafico depende de a. Grafico da funcao logarıtmica com base

maior que 1

x

y

1

f(x) = loga(x), a > 1

|

Grafico da funcao logarıtmica com base menor que 1

x

y

1

f(x) = loga(x), a < 1

|

Observacao 4.1. Temos que y = ax se e so se loga y = x, ou seja, a funcao

logarıtmica de base a e a inversa da funcao exponencial de base a.

Nota 4.4. Em particular, quando a = e, chamamos logaritmo nepperiano ao loga-

ritmo de base e e temos y = ex se e so se ln y = x.


Exemplo 4.2. Grafico de f(x) = log(x) e g(x) = ln(x).

x

y

1

g(x) = ln(x)

f(x) = log(x)

|

Observacao 4.2. Sejam x, y ∈ R+ e a, b ∈ R+ \{1}, temos as seguintes propriedades

1. loga(xy) = loga x + loga y

2. loga

(x

y

)= loga x− loga y

3. loga xk = k loga x para todo o k ∈ R

4. loga x = loga b · logb x

4.0.2 Funcoes Trigonometricas e Trigonometricas Inversas

Consideremos a funcao

f : R → R

x 7→ sen x

a qual tem domınio R e contradomınio [−1, 1] e e uma funcao ımpar, ja que sen(−x) =

− sen x, e o grafico vem

Claramente que a funcao seno nao e injectiva e como tal, a partida, nao admite

inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restricoes para as quais a funcao

seno admite inversa.

47

Seja A =[−π

2,π

2

]e consideremos a restricao da funcao seno a este intervalo,

f|A, a qual designamos por restricao principal. A funcao f|A e injectiva, pelo que

podemos tomar a sua funcao inversa

(f|A

)−1: [−1, 1] →

[−π

2,π

2

]

x 7→ arcsen x

funcao essa que a cada x faz corresponder o arco cujo seno e x, tem por domınio

[−1, 1] e contradomınio[−π

2,π

2

]e o grafico vem

Nota 4.5. Para cada x ∈[−π

2,π

2

]temos y = sen x ⇔ arcsen y = x.

Nota 4.6. Restringindo a funcao seno a qualquer intervalo da forma[kπ − π

2, kπ +

π

2

],

com k ∈ Z, obterıamos uma funcao injectiva e podıamos entao falar da funcao que

a cada x ∈ [−1, 1] faz corresponder o arco cujo seno e x, nessa restricao.

Consideremos agora a funcao

g : R → R

x 7→ cos x

a qual tem domınio R e contradomınio [−1, 1] e e uma pfuncao par, ja que cos(−x) =

cos x, e o grafico vem

Claramente que a funcao cosseno nao e injectiva e como tal, a partida, nao admite

inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restricoes para as quais a funcao

cosseno admite inversa.

Seja B = [0, π] e consideremos a restricao da funcao cosseno a este intervalo,

g|B, a qual designamos por restricao principal. A funcao g|B e injectiva, pelo que


(g|B

)−1: [−1, 1] → [0, π]

x 7→ arccos x


funcao essa que a cada x faz corresponder o arco cujo cosseno e x, tem por domınio

[−1, 1] e contradomınio [0, π] e o grafico vem

Nota 4.7. Para cada x ∈ [0, π] temos y = cos x ⇔ arccos y = x.

Nota 4.8. Restringindo a funcao cosseno a qualquer intervalo da forma [kπ, kπ +π],


a cada x ∈ [−1, 1] faz corresponder o arco cujo cosseno e x, nessa restricao.

Consideremos o conjunto T ={

x ∈ R : x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

}e a funcao

h : T → R

x 7→ tg x

a qual tem domınio T e contradomınio R e o grafico vem

Claramente que a funcao tangente nao e injectiva e como tal, a partida, nao

admite inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restricoes para as quais a

funcao tangente admite inversa.

Seja C =]−π

2,π

2

[e consideremos a restricao da funcao tangente a este intervalo,

h|C , a qual designamos por restricao principal. A funcao h|C e injectiva, pelo que


(h|C

)−1: R →

]−π

2,π

2

[

x 7→ arctg x

funcao essa que a cada x faz corresponder o arco cuja tangente e x, tem por domınio

R e contradomınio]−π

2,π

2

[e o grafico vem

Nota 4.9. Para cada x ∈]−π

2,π

2

[temos y = tg x ⇔ arctg y = x.

Nota 4.10. Restringindo a funcao tangente a intervalos da forma]kπ − π

2, kπ +

π

2

[,


a cada x ∈ R faz corresponder o arco cuja tangente e x, nessa restricao.

49

Consideremos o conjunto U = {x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z} e a funcao

i : U → R

x 7→ cotg x

a qual tem domınio U e contradomınio R e o grafico vem

Claramente que a funcao cotangente nao e injectiva e como tal, a partida, nao

admite inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restricoes para as quais a

funcao cotangente admite inversa.

Seja D =]0, π[ e consideremos a restricao da funcao cotangente a este intervalo,

i|D, a qual designamos por restricao principal. A funcao i|D e injectiva, pelo que


(i|D

)−1: R → ]0, π[

x 7→ arccotg x

funcao essa que a cada x faz corresponder o arco cuja cotangente e x, tem por

domınio R e contradomınio ]0, π[ e o grafico vem

Nota 4.11. Para cada x ∈]0, π[ temos y = cotg x ⇔ arccotg y = x.

Nota 4.12. Restringindo a funcao cotangente a intervalos da forma ]kπ, kπ+π[, com

k ∈ Z, obterıamos uma funcao injectiva e podıamos entao falar da funcao que a cada

x ∈ R faz corresponder o arco cuja tangente e x, nessa restricao.

Observacao 4.3. Recordemos algumas formulas trigonometricas que relacionam

as funcoes acima definidas. Comecemos pela chamada formula fundamental da

trigonometria cos2 x + sen2 x = 1. Temos ainda as seguintes formulas:


• tg x =sen x

cos x

• 1 + tg2 x =1

cos2 x

• sen(x± y) = sen x cos y ± sen y cos x

• sen(2x) = 2 sen x cos x

• sen x± sen y = 2 senx± y

2cos

x± y

2

• cos x− cos y = −2 senx + y

2sen

x− y

2

• cosx

2= ±

√1 + cos x

2

• cotg x =cos x

sen x

• 1 + cotg2 x =1

sen2 x

• cos(x± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y

• cos(2x) = cos2 x− sen2 x

• cos x + cos y = 2 cosx + y

2cos

x− y

2

• senx

2= ±

√1− cos x

2

• tgx

2= ±

√1− cos x

1 + cos x

4.0.3 Funcoes Hiperbolicas

Definicao 4.14. Definimos a funcao seno hiperbolico da seguinte forma

f : R → R

x 7→ senh x =ex − e−x

2

O seu domınio e contradomınio e R, trata-se de uma funcao ımpar, pois senh(−x) =

− senh x e o seu grafico vem da seguinte forma

Definicao 4.15. Definimos a funcao cosseno hiperbolico da seguinte forma

f : R → R

x 7→ cosh x =ex + e−x

2

O seu domınio e R e o contradomınio e [1, +∞[, trata-se de uma funcao par, pois

cosh(−x) = cosh x e o seu grafico vem da seguinte forma

Observacao 4.4. Podemos verificar que temos a igualdade cosh2 x− senh2 x = 1.

4.1. LIMITE 51

4.1 Limite

Definicao 4.16. Consideremos uma funcao f : D ⊂ R → R e a ∈ D′. Dizemos

que o limite da funcao f no ponto a e b se para cada δ > 0 existe ε > 0 tal que

|f(x)− b| < δ, sempre que x ∈ D e 0 < |x− a| < ε, ou seja,

∀δ>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ 0 < |x− a| < ε) ⇒ |f(x)− b| < δ,

e escrevemos limx→a

f(x) = b. A expressao acima pode ainda ser escrita na forma

∀δ>0 ∃ε>0 : x ∈ (D ∩ Vε(a) \ {a}) ⇒ f(x) ∈ Vδ(b).

Nota 4.13. Intuitivamente, a expressao limx→a

f(x) = b significa que se considerarmos

apenas valores de x pertencentes ao domınio e suficientemente proximos de a, os

valores correspondentes f(x) estarao tao proximos de b quanto se queira.

A Definicao anterior pode ainda ser estentida aos casos em que a ou b, ou ambos

sao infinitos das seguintes formas.

Definicao 4.17. Consideremos uma funcao f : D ⊂ R → R e suponhamos que D

nao e majorado (minorado). Dizemos que o limite da funcao f quando x tende para

+∞ (−∞)e b se para cada δ > 0 existe K > 0 tal que |f(x)− b| < δ, sempre que

x ∈ D∩]K, +∞[(x ∈ D∩]−∞,−K[

), ou seja,

∀δ>0 ∃K>0 : (x ∈ D ∧ x > K) ⇒ |f(x)− b| < δ

(∀δ>0 ∃K>0 : (x ∈ D ∧ x < −K) ⇒ |f(x)− b| < δ),

e escrevemos limx→+∞(x→−∞)

f(x) = b.

Definicao 4.18. Consideremos uma funcao f : D ⊂ R→ R e a ∈ D′. Dizemos que

o limite da funcao f no ponto a e +∞ (−∞)se para cada K > 0 existe ε > 0 tal


que f(x) > K(f(x) < −K

), sempre que x ∈ D e 0 < |x− a| < ε, ou seja,

∀K>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ 0 < |x− a| < ε) ⇒ f(x) > K

(∀K>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ 0 < |x− a| < ε) ⇒ f(x) < −K),

e escrevemos limx→a

f(x) = +∞(−∞).

Observacao 4.5. As definicoes para as expressoes

limx→+∞

f(x) = +∞ , limx→−∞

f(x) = +∞ , limx→+∞

f(x) = −∞ e limx→−∞

f(x) = −∞

obtem-se de forma completamente analoga as Definicoes anteriores.

Teorema 4.19. O limite de uma funcao, quando existe, e unico.

Teorema 4.20. Se limx→a

f(x) = b e limx→a

g(x) = c temos que

1. limx→a

(f(x) + g(x)) = b + c.

2. limx→a

(Kf(x)) = Kb, para todo o K ∈ R.

3. limx→a

(f(x) · g(x)) = bc.

4. limx→a

f(x)

g(x)=

b

c, se c 6= 0.

Teorema 4.21. Se limx→a

f(x) = 0 e g e uma funcao limitada numa vizinhanca de a,

entao limx→a

(f(x) · g(x)) = 0.

Teorema 4.22. Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que f(D) ⊂ E. Se

limx→a

f(x) = b e limx→b

g(x) = c entao limx→a

(g ◦ f)(x) = c.

Teorema 4.23. Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D′. Temos que limx→a

f(x) = b se e so

se para toda a sucessao (xn) convergente para a, com xn ∈ D para todo o n ∈ N, a

sucessao (f(xn)) e convergente para b.

4.1. LIMITE 53

Definicao 4.24. Sejam f : D ⊂ R→ R, S subconjunto de D e a ∈ S ′. Dizemos que

o limite da funcao f relativo a S quando x tende para a e b se o limite da restricao

de f a S quando x tende para a e b, e escrevemos limx→ax∈S

f(x) = b ou limx→a,x∈S

f(x) = b.

Da Definicao anterior decorrem ainda as seguintes definicoes.

Definicao 4.25. Na Definicao anterior, no caso em que S = {x ∈ D : x < a},dizemos que o limite a esquerda da funcao f quando x tende para a e b e escrevemos

limx→a−

f(x) = b ou f(a−) = b.

Definicao 4.26. Na Definicao anterior, no caso em que S = {x ∈ D : x > a},dizemos que o limite a direita da funcao f quando x tende para a e b e escrevemos

limx→a+

f(x) = b ou f(a+) = b.

Teorema 4.27. Sejam f : D ⊂ R→ R e a ∈ D′. Temos que limx→a

f(x) existe se e so

se os limites laterais (o limite a esquerda e a direita) em a existirem e forem iguais.

4.1.1 Limites Notaveis

Para as funcoes estudadas anteriormente existem alguns limites que por surgirem

algumas vezes, por servirem para entender melhor o comportamento de tais funcoes,

ou porque se tratam de indeterminacoes, adquirem o tıtulo de ”notaveis”. Alguns

deles sao os que se seguem

• Se a > 1, temos limx→+∞

ax = +∞ e limx→−∞

ax = 0

• Se 0 < a < 1, temos limx→+∞

ax = 0 e limx→−∞

ax = +∞

• Se a > 1, temos limx→+∞

loga x = +∞ e limx→0

loga x = −∞

• Se 0 < a < 1, temos limx→+∞

loga x = −∞ e limx→0

loga x = +∞

• limx→0

ex − 1

x= 1

• limx→+∞

ex

xk= +∞, para todo o k ∈ R


• limx→0

sen x

x= 1

4.2 Continuidade

Definicao 4.28. Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Dizemos que f e uma funcao

contınua no ponto a se limx→a

f(x) = f(a), ou seja, se

∀δ>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ |x− a| < ε) ⇒ |f(x)− f(a)| < δ.

Os pontos onde a funcao nao e contınua dizem-se pontos de descontinuidade.

Dizemos ainda que f e uma funcao contınua a esquerda do ponto a se limx→a−

f(x) =

f(a). Analogamente, dizemos que f e uma funcao contınua a direita do ponto a se

limx→a+

f(x) = f(a).

Proposicao 4.29. Dada uma funcao f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Entao, f e uma

funcao contınua no ponto a se e so se f e uma funcao contınua a esquerda e a

direita do ponto a.

Definicao 4.30. Dada uma funcao f : D ⊂ R → R, dizemos que f e uma funcao

contınua em D (ou apenas contınua) se for contınua em todos os pontos de D. Seja

A ⊂ D, dizemos que f e uma funcao contınua em A se f|A for uma funcao contınua.

Teorema 4.31. Toda a funcao constante e contınua em todos os pontos do seu

domınio.

Teorema 4.32. Sejam f e g duas funcoes contınuas no ponto a, entao f + g, K · f(com K ∈ R), f · g e |f | sao funcoes contınuas no ponto a. Se alem disso, g(a) 6= 0,f

ge tambem contınua no ponto a.

Teorema 4.33. Sejam f : D ⊂ R→ R e g : E ⊂ R→ R tais que f(D) ⊂ E. Se f

e uma funcao contınua no ponto a e g e uma funcao contınua no ponto b = f(a),

entao g ◦ f e uma funcao contınua no ponto a.

4.2. CONTINUIDADE 55

Observacao 4.6. Todas as funcoes definidas nas seccoes das Funcoes Exponenciais,

Logarıtmicas, Trigonometricas e Trigonometricas Inversas sao contınuas em todo o

seu domınio. Tambem as funcoes polinomiais de expoente real sao contınuas em

todo o seu domınio.

Exemplo 4.3. Sejam m ∈ R \{0} e b ∈ R e tomemos a funcao f definida em R

dada por f(x) = mx + b. Vamos ver que f e contınua em todo o seu domınio, R.

Tomemos δ > 0 qualquer, fixo, temos

|f(x)− f(a)| = |mx + b−ma− b| = |m||x− a| < |m|ε < δ,

basta para isso escolher ε <δ

|m| . Assim, limx→a

f(x) = f(a) para todo o a ∈ R, o que

mostra que f e contınua em R.

Exemplo 4.4. Consideremos a chamada funcao de Heaviside, a funcao definida em

R dada por

H(x) =

0 se x < 0

1 se x > 0

Para a 6= 0, existe ε > 0 tal que H(x) e constante em Vε(a) e logo contınua em a.

Para a = 0, tomando δ =1

2, por muito pequeno que escolhamos ε > 0 nunca

vamos obter |H(x) − H(0)| = |H(x) − 1| <1

2visto que qualquer vizinhanca de 0

possui x < 0, nos quais H(x) = 0. Pelo que a funcao de Heaviside nao e contınua

em a = 0.

No entanto, podemos dizer que limx→0−

H(x) = 0 e limx→0+

H(x) = 1, e portanto, a

funcao e contınua a direita de 0.

Exemplo 4.5. Consideremos a chamada funcao de Dirichelet, a funcao definida em

R dada por

d(x) =

0 se x ∈ Q1 se x ∈ R \Q

a qual nao e contınua em qualquer a ∈ R.


De facto, dado a ∈ R e escolhendo qualquer ε > 0, no conjunto Vε(a) existem

sempre numeros racionais e irracionais, pelo que |d(x)− d(a)| > 1.

Alem disso, nem sequer existem nenhum dos limites limx→a−

d(x) ou limx→a+

d(x), para

todo o a ∈ R.

4.2.1 Teoremas Fundamentais

Teorema 4.34. (Teorema de Bolzano ou dos Valores Intermedios) Sejam

I um intervalo de R, f : I ⊂ R→ R uma funcao contınua e a, b ∈ I tais que a < b

e f(a) 6= f(b). Entao f assume todos os valores entre f(a) e f(b), isto e, para cada

k estritamente compreendido entre f(a) e f(b) existe c tal que a < c < b e f(c) = k.

Corolario 4.35. Sejam I um intervalo de R, f : I ⊂ R→ R uma funcao contınua

e a, b ∈ I tais que a < b e f(a) · f(b) < 0. Entao existe c tal que a < c < b e

f(c) = 0.

Nota 4.14. Nos resultados anteriores e mesmo necessario que a funcao esteja definida

num intervalo. De facto, se considerarmos a funcao f : [0, 1] ∪ [2, 3] → R definida

por f(x) = x, apesar de ser uma funcao contınua, nao toma todos os valores entre

f(0) = 0 e f(3) = 3.

Teorema 4.36. Sejam I um intervalo de R e f : I ⊂ R→ R uma funcao contınua.

Entao f(I) e tambem um intervalo.

Teorema 4.37. (Teorema de Weierstrass) Sejam I um intervalo fechado e

limitado de R e f : I ⊂ R → R uma funcao contınua. Entao f(I) e tambem um

intervalo fechado e limitado.

Corolario 4.38. Sejam I um intervalo fechado e limitado de R e f : I ⊂ R → R

uma funcao contınua. Entao f tem maximo e mınimo em I.

Teorema 4.39. Sejam I um intervalo de R e f : I ⊂ R→ R uma funcao injectiva.

Entao f e uma funcao contınua em I se e so se f−1 e uma funcao contınua em

f(I).

4.3. EXERCICIOS 57

4.3 Exercıcios

Exercıcio 4.1. Pretende-se construir uma piscina com 4, 5m de profundidade, a

qual deve ter um volume de 170m3. Sejam x a largura e y o comprimento.

1. Exprima y em funcao de x.

2. Determine a expressao da area de azulejos necessarios para cobrir as paredes

da piscina eescreva essa expressao em termos de x.

Exercıcio 4.2. Pretende-se construir um tanque em forma de cilindro circular com

3m de comprimento, o qual e fechado em cada um dos topos por um hemisferio.

Seja r o raio desse mesmo cilindro.

1. Determine a area da superfıcie do tanque em funcao de r.

2. Determine a area do cilindro de modo que o mesmo tenha 30m3 de volume.

Exercıcio 4.3. Esboce o grafico das seguintes funcoes.

1. f(x) = 2x− 1

2. f(x) = x2 − x + 2

3. f(x) = −x2 + 4

4. f(x) = |x|

5. f(x) = |x− 3|

6. f(x) = |x|+ 4

Exercıcio 4.4. Considere a funcao f(x) = −x2 − 3x + 4 e esboce os graficos das

seguintes funcoes.

1. f(x)

2. f(|x|)

3. |f(x)|

4. |f(|x|)|Exercıcio 4.5. Determine o domınio e o contradomınio das seguintes funcoes

1. f(x) =√

x− 1

2. f(x) =1√

|x− 2| − 1

3. f(x) =2

1 + x4

4. f(x) =|x|x

Exercıcio 4.6. Usando as propriedades vistas anteriormente, calcule


1. ln e

2. loga a onde a ∈ R+ \{1}

3. log√2 32

Exercıcio 4.7. Resolva, em R, as equacoes:

1. loga 64 = −3

2. x25−x − 3.5−x = 0

Exercıcio 4.8. Resolva, em R, as inequacoes:

1.1

2x2 >(

1

8

)3x

2. 1 + log 16x > − log 1

6(x− 5)

Exercıcio 4.9. Determine o domınio das seguintes funcoes

1. f(x) =1

e−2x2+x−3

2. f(x) = e1

−2x2+x−3

3. f(x) = ln

(x− 5

x2 − 10x + 24

)

4. f(x) =1

ln(1− x)+√

x + 2

5. f(x) = ln(1− ln(x2 − 5x + 16))

6. f(x) = ln(|x| − x)

7. f(x) = 3 + ln

(1 + x

1− x

)

8. f(x) = ln

(ex + 1

ex − 1

)

Exercıcio 4.10. Determine o domınio e contradomınio das seguintes funcoes

1. f(x) = 1− 102x−1

2. f(x) = 2 + log 12(4− x2)

Exercıcio 4.11. Considere a funcao f(x) = ex+3 − 1.

1. Determine o domınio e o contradomınio de f .

2. Defina a funcao inversa de f .

4.3. EXERCICIOS 59

Exercıcio 4.12. Resolva as seguintes equacoes e inequacoes

1.4e2x − 4ex − 3

ex + 5= 0

2. lnx x2 = 3

3.

(2

3

)x2

>(√

2

3

)x

4. xex+1 − x < 0

5. 2 ln(x− 1)− ln(x + 1) 6 0

6. ex2−5xx2+1 > 1

Exercıcio 4.13. Determine o domınio das seguintes funcoes

1. f(x) =√

cos x

2. f(x) = 21

sen x

3. f(x) = ln(π

2+ arcsen(x2 − 1)

)

4. f(x) = arccos(|x| − 2)

Exercıcio 4.14. Determine o domınio e o contradomınio das seguintes funcoes

1. f(x) = cos(2x +

π

3

)+ 3

2. f(x) = senπ

3+ 3 tg

x

2

3. f(x) = 3 arcsen(2x− 1)

4. f(x) = 1− 1

2arccos(2x + 1)

5. f(x) = cosπ

3+ 2 arcsen

1

x + 2

Exercıcio 4.15. Determine o domınio, contradomınio e os zeros da funcao f(x) =

−π

3+ arccos(2x).

Exercıcio 4.16. Considere a funcao f(x) = 2 + arcsen(3x + 1).

1. Determine o domınio, o contradomınio e os zeros de f .

2. Calcule f(0) e f

(−1

6

).

3. Determine as solucoes da equacao f(x) = 2 +π

3.

4. Caracterize a funcao inversa de f .

Exercıcio 4.17. Considere a funcao f(x) =2 sen(2x)

cotg x.

1. Determine o domınio e os zeros de f .

2. Mostre que a funcao e par.

3. Resolva a equacao |f(x)| = |2 sen x|.


Exercıcio 4.18. Determine a expressao da funcao inversa, da restricao principal,

das seguintes funcoes.

1. f(x) = cosπ

3+ 2 arcsen

x

2

2. f(x) = 3− 4 sen(x +

π

3

)

Exercıcio 4.19. Considere a funcao f(x) = arcsen1

x + 1, na restricao principal.

1. Determine o domınio e o contradomınio de f .

2. Determine uma expressao para a funcao f−1.

Exercıcio 4.20. Considere as funcoes f(x) =1

cos xe g(x) =

x2 − 1

x2.

1. Determine o domınio de g ◦ f .

2. Mostre que (g ◦ f)(x) = sen2 x, para todo o x pertencente ao domınio de g ◦ f .

3. Calcule (g ◦ f)

(2π

3

).

Exercıcio 4.21. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressoes

1. arcsen

√3

2

2. cos

(arctg

5

12

)3. sen

(arccos

(−1

2

))

4. cos(arcsen x)

5. sen(π + arccos x)

Exercıcio 4.22. Resolva as seguintes equacoes e inequacoes

1.1

2arcsen(3x− 2) = 0

2. e2 cos x+1 = 1

3. arcsen

(−√

3

2

)= x

4. cos(arctg x) =

√2

2

5. ecos(2x) > 1

6.cos x− 2

log 12x + 5

> 0

Exercıcio 4.23. Mostre, por definicao, que limx→−2

(3x + 5) = −1.

4.3. EXERCICIOS 61

Exercıcio 4.24. Calcule os seguintes limites

1. limx→+∞

x2 + 3x

2x2

2. limx→+∞

x3

1 + x

3. limx→+∞

(x3 − 3x2 + 2)

4. limx→0

x2 − 2x

3x3 + x2 + x

5. limx→1+

(1

1− x− 1

1− x3

)

6. limx→+∞

√x− 1

x + 1

7. limx→0

2−√4− x

x

8. limx→0

sen(7x)

x

9. limx→0

1− cos(sen x)

x2

10. limx→+∞

x ln

(1 +

1

x

)

11. limx→0

ex − e2x

x

12. limx→0+

ex+1 − e

x2

13. limx→1

1− x

3 ln(2− x)

14. limx→0

cos x− 1

x

15. limx→a

|x|x

, para a = −1, 0, +∞

16. limx→0

x

sen(3x)

17. limx→0+

tg x− sen x

x3

18. limx→π

2

((π

2− x

)tg x

)

19. limx→2

((x2 − 4

)sen

1

x− 2

)

20. limx→+∞

x sen1

x

21. limx→0

x2 sen 1x

sen x

22. limx→1

5(x− 1)3

e2(x−1)−1

23. limx→0

1− e3x

sen(2x)

24. limx→−∞

(cosh x− senh x)

25. limx→0

arcsen(3x)

x

26. limx→0

arcsen(3x)

arcsen(2x)

27. limx→1

5(x− 1)3

e2(x−1) − 1

28. limx→0

cos x2

sen2 x

29. limx→3

31

x−3

30. limx→1

arctg1

x− 1

31. limx→0

tg(4x)

sen(2x)

32. limx→+∞

x2

(1− cos

1

x

)

Exercıcio 4.25. A velocidade de uma gota de chuva quando cai e dada pela funcao

v(t) = a(1− e−

gta

),

onde g e a aceleracao devido a gravidade e a e a velocidade terminal da gota de


chuva. Calcule limt→+∞

v(t) e interprete o resultado obtido.

Exercıcio 4.26. A Lei de Charles para gases afirma que se a pressao permanece

constante, entao a relacao entre o volume V que um gas ocupa e a sua temperatura

T (em oC) e dada por

V (T ) = V0

(1 +

T

273

),

onde V0 e uma constante positiva. Calcule limT→273+

V (T ) e explique a razao pela qual

apenas faz sentido calcular o limite no ponto 273 a direita.

Exercıcio 4.27. Estude a continuidade das seguintes funcoes.

1. f(x) = ex+1

2. f(x) =x

x2 − 4

3. f(x) =2 + cos x

2− cos x

4. f(x) = tg(2x)

5. f(x) =

|x|+ x

xse x 6= 0

2 se x = 0

6. f(x) =

ln(ex + 1) se x > 0

sen x se x < 0

7. f(x) =

2xe2x se x < 0

(x− 2) ln(x + 1) se x > 0

8. f(x) =

arcsenx

x + 1se x > 0

ex

x+1−1 se x < 0 e x 6= −1

−1 se x = −1

9. f(x) =

ex+2 − e2 se x > 0

x + senh(2x) se x < 0

10. f(x) =

1

2+ ln(e− x) se x 6 0

− 3x

1− e2xse x > 0

Exercıcio 4.28. Para cada uma das seguintes funcoes, determine, caso exista, a

constante k que torna as funcoes contınuas.

4.3. EXERCICIOS 63

1. f(x) =

x2 − x

xse x > 0

k se x 6 0

2. f(x) =

k + x ln x se x > 1

ex−1 − 1

2x− 2se x < 1

3. f(x) =

ex

k2 + e−1se x > k

ek+1 se x < k

4. f(x) =

ex−1 − e1−x

1− xse x 6= 1

k se x = 1

5. f(x) =

e2x − 1

sen(3x)se x ∈ [−π

6, π

6

] \ {0}

k se x = 0

6. f(x) =

3x2 − x3

x2 + kx2se x 6= 0

1

3se x = 0

7. f(x) =

sen1

xse x 6= 0

k se x = 0

8. f(x) =

2− (x− 2) sen1

x− 2se x 6= 2

k se x = 2

Exercıcio 4.29. Considere a funcao f(x) = x2 − 2x. Prove que existe c ∈]0, 6[ tal

que f(c) = 15.

Exercıcio 4.30. Seja f(x) = x3 + x − 5. Prove que f tem um zero no intervalo

[0, 2].

Exercıcio 4.31. Considere a funcao f(x) = 2x3 − 5x + 4.

1. Decida se a afirmacao: existe c ∈ [0, 1] tal que f(x) = 2, e verdadeira ou falsa.

Justifique.

2. Prove que f admite pelo menos um zero no intervalo [−2, 0].

Exercıcio 4.32. Seja f uma funcao contınua no intervalo [0, 2], com f(0) = 5 e

f(2) = −1. Qual o numero mınimo de zeros que f pode ter no intervalo [0, 2]?

Exercıcio 4.33. Seja f uma funcao con´tinua no intervalo [−2, 3], com g(−2) = 2,

g(−1) = −1, g(0) = 2, g(1) = 1, g(2) = −2 e g(3) = 5. Qual o numero mınimo de

zeros que f pode ter no intervalo [−2, 3]?

Exercıcio 4.34. Mostre que a equacao x3 + 4x2 + 2x + 5 = 0 tem pelo menos uma

solucao em R.


Exercıcio 4.35. Em modelos de queda livre, e normal supor que a aceleracao gra-

vitacional g e a constante 9, 8m/s2. Na verdade, g varia com a latitude. Se t for a

latitude (em graus) entao

g(t) = 9, 78049(1 + 0, 005264 sen2 t + 0, 000024 sen4 t

)

e uma formula que aproxima g. Mostre que, de facto, g coincide com 9,8 para

alguma latitude entre as latitudes 35o e 40o.

Exercıcio 4.36. A temperatura T (em oC) para a qual a agua ferve e dada apro-

ximadamente pela formula

T (h) = 100, 862− 0, 0415√

h + 431, 03,

onde h e a altitude (em metros) acima do nıvel do mar. Mostre que a agua ferve a

98oC a uma altitude entre os 4000 e os 4500 metros.

Capıtulo 5

Calculo Diferencial em R

5.1 Derivada de Funcoes Reais de Variavel Real

Definicao 5.1. Sejam f : D ⊂ R→ R uma funcao real de variavel real e a ∈ int(D).

Chamamos razao incremental da funcao f no ponto a a funcao ρ : D \ {a} → R

definida por

ρ(x) =f(x)− f(a)

x− a.

Se existir o limte da funcao ρ no ponto a, a esse limite chamamos derivada da

funcao f no ponto a, o qual designamos por f ′(a), ou seja, temos

f ′(a) = limx→a

ρ(x) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0

f(a + h)− f(a)

h.

A derivada de f no ponto a pode ainda ser representada pordf

dx(a) ou D f(a).

Nota 5.1. Repare-se que a derivada de f no ponto a e o limite em a ∈ int(D) por

valores diferentes, uma vez que a nao pertentce ao domınio de ρ.

Exemplo 5.1. Consideremos a funcao f(x) = sen x. Seja a ∈ R e vamos calcular a

65

66 CAPITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R

derivada de f no ponto a,

f ′(a) = limh→0

sen(a + h)− sen a

h= lim

h→0

2 sena + h− a

2cos

a + h + a

2h

=

= limh→0

senh

2h

2

cos

(a +

h

2

)= cos a.

Exemplo 5.2. Consideremos a funcao f(x) = ex. Seja a ∈ R e vamos calcular a

derivada de f no ponto a,

f ′(a) = limh→0

ea+h − ea

h= lim

h→0

ea(eh − 1)

h= ea lim

h→0

eh − 1

h= ea.

Intuitivamente e simples dar uma interpretacao geometrica do conceito de de-

rivada. Designando por A o ponto (a, f(a)), e por X o ponto (x, f(x)), a funcao

ρ definida anteriormente (a razao incremental) e o declive da recta AX, a qual e

secante ao grafico de f .


Se existir o limte

limx→a−

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0−

f(a + h)− f(a)

h,

a esse limite chamamos derivada a esquerda de f no ponto a e representamos por

f ′(a−).


Se existir o limte

limx→a+

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0+

f(a + h)− f(a)

h,

a esse limite chamamos derivada a direita de f no ponto a e representamos por

f ′(a+).

5.1. DERIVADA DE FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL 67

Como a definicao de derivada resulta da definicao de limite, temos a seguinte

proposicao.

Proposicao 5.4. Sejam f : D ⊂ R → R uma funcao real de variavel real e a ∈int(D). A derivada de f no ponto a existe se so se as derivadas laterais de f no

ponto a existirem e forem iguais.

Observacao 5.1. Podem existir derivadas a esquerda ou a direita de uma deter-

minada funcao num ponto, sem que no entanto exista a derivada da funcao nesse

mesmo ponto.

Exemplo 5.3. Consideremos a funcao f(x) = |x| =

x se x > 0

−x se x < 0. Vamos cal-

cular as derivadas laterais de f(x) no ponto 0.

f ′(0−) = limx→0−

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0−

−x

x= −1

f ′(0+) = limx→0+

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0+

x

x= 1

De onde concluımos que f tem derivada a esquerda e a direita, mas nao tem derivada,

ja que f ′(0−) 6= f ′(0+).

Exemplo 5.4. Consideremos a funcao f(x) =

x sen1

x, x 6= 0

0, x = 0. Como nao existe

nenhum dos limites

limx→0−

x sen 1x− 0

x− 0= lim

x→0−sen

1

x

limx→0+

x sen 1x− 0

x− 0= lim

x→0+sen

1

x

a funcao nao temnenhuma das derivadas laterais no ponto 0; e portanto, nao tem

derivada no ponto 0.

Definicao 5.5. Sejam f : D → R e a ∈ int(D). Dizemos que f e diferenciavel (ou

derivavel) no ponto a, se existir a derivada de f no ponto a e for finita.


Definicao 5.6. No caso em que f e diferenciavel no ponto a, chamamos tangente

ao grafico de f no ponto (a, f(a)) a recta que passa em nesse ponto e tem declive

f ′(a), ou seja, a recta de equacao y = f(a) + (x− a)f ′(a).

Quando f ′(a) = ±∞, chamamos tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) a

recta vertical que passa em nesse ponto, ou seja, a recta de equacao x = a.

Definicao 5.7. Seja f : D → R uma funcao real de variavel real. Dizemos que

f e uma funcao diferenciavel (ou derivavel) em D se for diferenciavel em todos os

pontos de D, e a nova funcao

f ′ : D → R

x 7→ f ′(x)

chamamos funcao derivada de f , a qual indicamos por f ′, D f oudf

dx.

Teorema 5.8. Sejam f : D → R uma funcao real de variavel real e a ∈ int(D). Se

f e diferenciavel no ponto a, entao f e contınua no ponto a.

Observacao 5.2. Uma funcao pode ser contınua sem que no entanto seja dife-

renciavel.

Observacao 5.3. Se a funcao tiver derivada, mas esta nao for finita, a funcao pode

nao ser contınua.

Exemplo 5.5. Consideremos a funcao f(x) = |x|. Ja vimos que admite derivadas

laterais no ponto 0, mas nao derivada no ponto 0, pelo que nao e diferenciavel no

ponto 0. No entanto, f e uma funcao contınua, tal situacao nao contradiz o Teorema

anterior.

Exemplo 5.6. Consideremos a funcao f(x) =

x sen1

x, x 6= 0

0, x = 0. Ja vimos que f

nao admite derivadas laterais no ponto 0, e portanto, nao e diferenciavel no ponto

0. E possıvel mostrar que se trata de uma funcao contınua no ponto 0, tal situacao

tambem nao contradiz o Teorema anterior.


Definicao 5.9. Seja f : D → R uma funcao diferenciavel em D. Se f ′ for uma

funcao diferenciavel em D, podemos definir a segunda derivada de f , f ′′, como sendo

f ′′ = (f ′)′.

Se por sua vez, f ′′ for uma funcao diferenciavel em D, definimos a terceira

derivada de f , f ′′′, como sendo f ′′′ = (f ′′)′.

Se a derivada de ordem n−1, f (n−1) for uma funcao diferenciavel em D, definimos

a derivada de ordem n de f , f (n), como sendo f (n) =(f (n−1)

)′.

Definicao 5.10. Seja f : D → R uma funcao diferenciavel. Dizemos que f e

de classe C1 em D se f ′ for contınua em D, e escrevemos f ∈ C1(D). Dado

n ∈ N, dizemos que f e de classe Cn em D se f (n) for contınua em D, e escrevemos

f ∈ Cn(D). Se f ∈ Cn(D) para todo o n ∈ N, dizemos que f e de classe C∞ em D

e escrevemos f ∈ C∞(D).

Exemplo 5.7. As funcoes f(x) = sen x, g(x) = cos x e h(x) = ex sao de classe C∞

em R, ja que as derivadas de f e g ou sao ± sen x ou ± cos x, logo funcoes contınuas;

e h(n)(x) = ex para todo o n ∈ N, logo uma funcao contınua.

Exemplo 5.8. A funcao f(x) = xn|x|, onde n ∈ N, e de classe Cn em R, mas nao e

de classe Cn+1 em R.

Exemplo 5.9. A funcao

f(x) =

x2 sen1

xse x 6= 0

0 se x = 0

e diferenciavel, no entanto,

f ′(x) =

2x sen1

x− cos

1

xse x 6= 0

0 se x = 0

nao e contınua na origem, ja que limx→0

2x sen1

x− cos

1

xnao existe. Assim, f nao a

pertence a nenhuma classe Ck. em R.


5.1.1 Regras de Derivacao

Teorema 5.11. Sejam f, g : D → R funcoes diferenciaveis no ponto a ∈ int(D).

Entao

• f + g e diferenciavel no ponto a e (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

• f · g e diferenciavel no ponto a e (f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a)

• se g(a) 6= 0,f

ge diferenciavel no ponto a e

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

(g(a))2

Corolario 5.12. Sejam f1, f2, . . . , fn : D → R funcoes diferenciaveis no ponto

a ∈ int(D). Entao,

• a soma f1 + f2 + . . . + fn e uma funcao diferenciavel no ponto a e

(f1 + f2 + . . . + fn)′(a) = f ′1(a) + f ′2(a) + . . . + f ′n(a).

• o produto f1 · f2 · . . . · fn e uma funcao diferenciavel no ponto a e

(f1 · f2 · . . . · fn)′ (a) =

= f ′1(a)f2(a) . . . fn(a) + f1(a)f ′2(a) . . . fn(a) + . . . + f1(a)f2(a) . . . f ′n(a).

Em particular, dado n ∈ N, fn e uma funcao diferenciavel no ponto a e

(fn)′(a) = nfn−1(a)f ′(a).

Teorema 5.13. Sejam f : D → R uma funcao diferenciavel no ponto a ∈ int(D) e

g : E → R uma funcao diferenciavel no ponto b = f(a). Entao g ◦ f e uma funcao

diferenciavel no ponto a e

(g ◦ f)′(a) = g′(b)f ′(a) = g′(f(a))f ′(a).

Exemplo 5.10. Consideremos a funcao h(x) = sen(2x +

π

2

), a qual e a composicao


de g(x) = sen x com f(x) = 2x +π

2, assim

h′(x) = g′(f(x))f ′(x) = cos(2x +

π

2

)· 2.

Exemplo 5.11. Seja f : D → R uma funcao diferenciavel e tomemos g(x) = ex, entao

(g ◦ f)′(x) =(ef

)′(x) = g′(f(x))f ′(x) = ef(x)f ′(x).

Exemplo 5.12. Seja a ∈ R+ \{1}, como ax = ex log a, temos que

(ax)′ =(ex log a

)′= ex log a log a = ax log a.

E por isso, a exponencial de base e e a unica cuja derivada e igual a si propria, daı

ser a exponencial priveligiada.

Exemplo 5.13. Consideremos as funcoes f : D → R e g : E → R diferenciaveis

no seu domınio, com f(x) > 0 para todo o x ∈ D. Seja h(x) a funcao potencia-

exponencial dada por h(x) = f(x)g(x), a qual e diferenciavel em D ∩ E. Como

h(x) = f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) temos que

h′(x) =(eg(x) ln f(x)

)′= eg(x) ln f(x) (g(x) ln f(x))′ =

= f(x)g(x)

(g′(x) ln f(x) + g(x)

f ′(x)

f(x)

)=

= f(x)g(x)g′(x) ln f(x) + f(x)g(x)−1g(x)f ′(x)

Teorema 5.14. Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao diferenciavel e

injectiva. Seja a ∈ I tal que f ′(a) 6= 0, entao f−1 e diferenciavel em b = f(a) e

(f−1

)′(b) =

1

f ′(a)=

1

f ′ (f−1(b)).

Exemplo 5.14. Consideremos f(x) = sen x, de modo a que seja injectiva, conside-


ramos que esta definida na restricao principal, ou seja, no intervalo[−π

2,π

2

]e a

respectiva funcao inversa f−1(x) = arcsen x. Como a derivada f ′(x) = cos x se

anula em x = ±π

2, entao podemos definir a derivada de f−1 para x ∈ [−1, 1] e

x 6= f(±π

2

)= ±1, ou seja, para x ∈]− 1, 1[; e temos que

(f−1

)′(x) = (arcsen x)′ =

1

f ′ (f−1(x))=

1

f ′ (arcsen x))=

1

cos (arcsen x))=

=1√

1− sen2 (arcsen x)=

1√1− x2

.

Proposicao 5.15. Seja f uma funcao diferenciavel no seu domınio. Entao, quando

existirem, temos as seguintes regras de derivacao

1.(

n√

f(x))′

=f ′(x)

n n√

fn−1(x), para todo o n ∈ N.

2.(af(x)

)′= f ′(x)af(x) ln a, para todo o a ∈ R+ \{1}; em particular, quando

a = e temos(ef(x)

)′= f ′(x)ef(x).

3. (loga f(x))′ =f ′(x)

f(x) ln a, para todo o a ∈ R+ \{1}; em particular, quando a = e

temos (ln f(x))′ =f ′(x)

f(x).

4. (sen f(x))′ = f ′(x) cos f(x).

5. (cos f(x))′ = −f ′(x) sen f(x).

6. (tg f(x))′ =f ′(x)

cos2 f(x)= f ′(x) sec2 f(x).

7. (cotg f(x))′ = − f ′(x)

sen2 f(x)= −f ′(x) cosec2 f(x).

8. (arcsen f(x))′ =f ′(x)√

1− f 2(x).

9. (arccos f(x))′ = − f ′(x)√1− f 2(x)

.

10. (arctg f(x))′ =f ′(x)

1 + f 2(x).

5.2. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL 73

11. (arccotg f(x))′ = − f ′(x)

1 + f 2(x).

12. (senh f(x))′ = f ′(x) cosh f(x).

13. (cosh f(x))′ = f ′(x) senh f(x).

5.2 Teoremas Fundamentais do Calculo Diferen-

cial

Teorema 5.16. (Teorema de Rolle) Seja f uma funcao contınua num intervalo

[a, b] (com a < b) e diferenciavel no intervalo ]a, b[. Se f(a) = f(b), entao existe

pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

Nas condicoes do Teorema de Rolle, a existencia de c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0

significa que a tangente ao grafico de f no ponto de abcissa c e horizontal. E claro

que c pode nao ser unico, no sentido em que pode existir c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

Uma interpretacao fısica para o Teorema de Rolle, podera ser a seguinte: se um

ponto P se move sobre uma recta de acordo com a lei s = f(t), (onde s e a abcissa

do ponto num certo referencial, no instante t) e ocupa a mesma posicao em dois

instantes distintos t0 e t1, (t0 < t1), isto e, se f(t0) = f(t1) (e se verifica as restantes

condicoes do Teorema de Rolle), entao a velocidade do ponto P anula-se pelo menos

uma vez entre estes dois instantes.

Corolario 5.17. Entre dois zeros de uma funcao diferenciavel num intervalo existe,

pelo menos, um zero da sua derivada.

Corolario 5.18. Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma funcao dife-

renciavel num intervalo existe, no maximo, um zero da funcao.

Observacao 5.4. Seja f uma funcao nas condicoes do Teorema de Rolle. Se f ′

possuir dois zeros consecutivos nos pontos a e b, e aplicando agora o Teorema de

Bolzano, podemos concluir que:


1. se f(a) · f(b) < 0 entao existe um unico c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.

2. se f(a) · f(b) > 0 entao a funcao f nao se anula no intervalo [a, b].

Teorema 5.19. (Teorema de Lagrange) Seja f uma funcao contınua num in-

tervalo [a, b] (com a < b) e diferenciavel no intervalo ]a, b[. Entao existe pelo menos

um ponto c ∈]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Nas condicoes do Teorema de Lagrange, a existencia de c ∈]a, b[ tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− asignifica que a tangente ao grafico de f no ponto de abcissa c e paralela

a recta que passa nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).

Uma interpretacao fısica para o Teorema de Lagrange, podera ser a seguinte: se

um ponto P se move sobre uma recta de acordo com a lei s = f(t), (onde s e a abcissa

do ponto num certo referencial, no instante t) a razaof(t1)− f(t0)

t1 − t0(e t0 < t1) e a

velocidade media do ponto P no intervalo [t0, t1] (e se verifica as restantes condicoes

do Teorema de Lagrange), entao existe c ∈ [a, b] no qual a velocidade instantanea

f ′(c) coincidiu com a velocidade media. Assim, se num determinado percurso a

velocidade media de um automovel foi de 100km/h, de certeza que em pelo menos

um instante o indicador da velocidade marcou precisamente 100km/h.

Nota 5.2. O Teorema de Rolle e o caso particular do Teorema de Lagrange, em que

f(a) = f(b).

Corolario 5.20. Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo ]a, b[,

entao f e uma funcao constante nesse intervalo.

Observacao 5.5. No Corolario anterior e realmente necessario que I seja um in-

tervalo, pois se considerarmos a funcao f(x) =|x|x

definida em R \{0} e que tem

derivada nula em todos os pontos do seu domınio, concluirıamos que f seria cons-

tante em todo o seu domınio, o que nao e verdade.

No entanto, podemos tirar essa conclusao se considerarmos cada um dos inter-

valos ]−∞, 0[ e ]0, +∞[.

5.2. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL 75

Corolario 5.21. Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis num intervalo I. Se

f ′(x) = g′(x) para todo o x ∈ I, entao a funcao f − g e constante em I.

Corolario 5.22. Seja f : I → R uma funcao com derivada no intervalo I.

1. Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ I, entao f e uma funcao crescente em I.

2. Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ I, entao f e uma funcao estritamente crescente

em I.

3. Se f ′(x) 6 0 para todo o x ∈ I, entao f e uma funcao decrescente em I.

4. Se f ′(x) < 0 para todo o x ∈ I, entao f e uma funcao estritamente decrescente

em I.

Observacao 5.6. No Corolario anterior e realmente necessario que I seja um in-

tervalo, pois se considerarmos a funcao f(x) =1

xdefinida em R \{0} e que tem

derivada f ′(x) = − 1

x2< 0, concluirıamos que f seria decrescente em todo o seu

domınio, o que nao e verdade.

No entanto, podemos tirar essa conclusao se considerarmos cada um dos inter-

valos ]−∞, 0[ e ]0, +∞[.

Uma extensao do Teorema de Lagrange, e o Teorema que se segue.

Teorema 5.23. (Teorema de Cauchy) Sejam f e g duas funcoes contınuas no

intervalo [a, b] (com a < b) e diferenciaveis em ]a, b[ com g′(x) 6= 0 para todo o

x ∈]a, b[. Entao existe c ∈]a, b[ tal que

f ′(c)g′(c)

=f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

Nota 5.3. Repare-se que o Teorema de Cauchy esta bem definido, pois se g(b) −g(a) = 0, ou seja, se g(a) = g(b), pelo Teorema de Rolle, concluirıamos que existe

c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0, o que contraria a hipotese do Teorema de Cauchy.


Nota 5.4. O Teorema de Lagrange e o caso particular do Teorema de Cauchy, em

que g(x) = x.

Teorema 5.24. (Formula de Taylor) Seja f uma funcao n vezes diferenciavel

no ponto a ∈ I. Entao e valida a Formula de Taylor

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + . . . +

fn(a)

n!(x− a)n + Rn(x),

para todo o x ∈ I, onde Rx e uma funcao tal que limx→a

Rn(x)

(x− a)n= 0.

O polinomio f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2 + . . .+

fn(a)

n!(x−a)n e designado

por Polinomio de Taylor, enquanto que a funcao Rn e designada por resto de ordem

n.

Definicao 5.25. Na Formula de Taylor, no caso em que a = 0, obtemos a chamada

Formula de MacLaurin

f(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + . . . +

f (n)(0)

n!xn + Rn(x),

para todo o x ∈ I, onde Rx e uma funcao tal que limx→0

Rn(x)

xn= 0.

Teorema 5.26. (Formula do Resto de Lagrange) Seja f uma funcao n + 1

vezes diferenciavel num intervalo aberto I. Entao, para cada x ∈ I \ {a} existe c

entre a e x (isto e, temos a < c < x ou x < c < a) tal que

f(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+. . .+

f (n)(a)

n!(x−a)n+

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x−a)n+1.

Ao ultimo termo chamamos resto de Lagrange.

Nota 5.5. A Formula de Taylor e de MacLaurin, em muitos casos, e uma forma

util de aproximar uma funcao por meio de polinomios. Tem assim grande interesse

nalgumas aplicacoes, sobretudo de caracter numerico.

5.3. APLICACOES DOS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL77

5.3 Aplicacoes dos Teoremas Fundamentais do Cal-

culo Diferencial

5.3.1 Limites

Teorema 5.27. (Regra de Cauchy) Sejam f e g funcoes diferenciaveis no in-

tervalo aberto ]a, b[ (com a < b) tais que g′(x) 6= 0 para todo o x ∈]a, b[. Se

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0 ou limx→a

f(x) = ±∞ = limx→a

g(x)

e existir limx→a

f ′(x)

g′(x), entao tambem existe lim

x→a

f(x)

g(x)e

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).

Nota 5.6. Na Regra de Cauchy, o ponto a podera ser −∞, assim como b podera ser

+∞.

Nota 5.7. Se as funcoes f ′ e g′ ainda estiverem, elas proprias, nas condicoes da Regra

de Cauchy, entao

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f ′′(x)

g′′(x).

Observacao 5.7. As indeterminacoes do tipo 0×∞ ou ∞−∞ que podem surgir do

calculo do limite de um produto de funcoes f · g ou de uma soma de funcoes f + g,

podem reduzir-se a indeterminacoes do tipo0

0ou

∞∞ usando as transformacoes

seguintes

f · g =f1g

=g1f

e f + g =

1f

+ 1g

1f ·g

.

Observacao 5.8. As indeterminacoes do tipo 1∞, 00 ou ∞0 surgem do calculo do

limite de funcoes do tipo f g e podem reduzir-se a indeterminacoes do tipo 0 ×∞da seguinte forma f g = eln fg

= eg ln f . Da continuidade da funcao exponencial


concluimos que

limx→a

[f(x)]g(x) = elimx→a

g(x) ln(f(x)).

Nota 5.8. Pode existir limx→a

f(x)

g(x)e nao existir lim

x→a

f ′(x)

g′(x), e exemplo disso a seguinte

situacao. Consideremos as funcoes f(x) = x2 sen1

xe g(x) = x. Temos que

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0x sen

1

x= 0,

enquanto que limx→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

(2x sen

1

x− cos

1

x

)nao existe.

5.3.2 Extremos Locais

Definicao 5.28. Consideremos uma funcao f : D → R. Dizemos que f tem um

mınimo local (ou relativo) em a ∈ D se existir ε > 0 tal que f(x) > f(a) para todo

o x ∈ Vε(a) ∩ D. Dizemos que f tem um maximo local (ou relativo) em a ∈ D se

existir ε > 0 tal que f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ Vε(a) ∩D.

Os maximos relativos ou mınimos relativos designam-se por extremos relativos

ou locais.

Teorema 5.29. Seja f : D → R uma funcao com um mınimo relativo no ponto

a ∈ D. Se existirem as derivadas laterais de f no ponto a, entao f ′(a−) 6 0 e

f ′(a+) > 0. Alem disso, se f for diferenciavel no ponto a, entao f ′(a) = 0.

Teorema 5.30. Seja f : D → R uma funcao com um maximo relativo no ponto

a ∈ D. Se existirem as derivadas laterais de f no ponto a, entao f ′(a−) > 0 e

f ′(a+) 6 0. Alem disso, se f for diferenciavel no ponto a, entao f ′(a) = 0.

Definicao 5.31. Seja f : D → R uma funcao diferenciavel. Dizemos que f tem um

ponto crıtico em a ∈ D se f ′(a) = 0.

Observacao 5.9. Se f for uma funcao diferenciavel e tiver um extremo local no

ponto a, entao a e um ponto crıtico de f . O contrario nao e necessariamente verdade,

o que podemos constatar nos exemplos que se seguem.


Exemplo 5.15. Consideremos a funcao f(x) = x2, a qual e diferenciavel em R.

Podemos determinar os pontos crıticos de f , resolvendo a equacao f ′(x) = 0 ⇔2x = 0 ⇔ x = 0, ou seja 0 e o unico ponto crıtico, alem disso e tambem extremo

(mınimo) local, e ate absoluto.

Exemplo 5.16. Consideremos a funcao f(x) = x3, a qual e diferenciavel em R.

Podemos determinar os pontos crıticos de f , resolvendo a equacao f ′(x) = 0 ⇔3x2 = 0 ⇔ x = 0, ou seja 0 e o unico ponto crıtico, mas nao e extremo local.

Exemplo 5.17. Alem dos exemplos anteriores, quando a funcao nao e diferenciavel,

pode no entanto ter extremos, e o que acontece com a funcao f(x) = |x| que tem

mınimo local no ponto 0, mas nao e diferenciavel no mesmo.

Como um ponto crıtico nao e necessariamente um extremo local, e necessario

determinar condicoes em que se possa garantir a existencia de extremos locais, e o

que vamos ver de seguida.

Teorema 5.32. Seja f uma funcao definida num intervalo I e n vezes diferenciavel

no ponto a ∈ int(I), ponto crıtico de f . Seja f (k) a primeira das derivadas sucessivas

que nao se anula em a, onde k > 1, isto e,

f ′(a) = f ′′(a) = . . . = f (k−1)(a) = 0 , f (n)(a) 6= 0.

Entao

• se k e par e f (k)(a) > 0, o ponto a e mınimo local.

• se k e par e f (k)(a) < 0, o ponto a e maximo local.

• se k e ımpar, o ponto a nao e extremo local.

Corolario 5.33. Seja f uma funcao definida num intervalo I e duas vezes diferen-

ciavel no ponto a ∈ int(I), ponto crıtico de f . Entao

• se f ′′(a) > 0, o ponto a e mınimo local.

• se f ′′(a) < 0, o ponto a e maximo local.


5.3.3 Concavidade

Definicao 5.34. Seja f : I → R uma funcao diferenciavel no ponto a ∈ I, temos

que a tangente ao grafico de f no ponto de abcissa a e a recta dada pela equacao

y = f(a) + f ′(a)(x− a). Consideremos a funcao g(x) = f(a) + f ′(a)(x− a).

Dizemos que f tem a concavidade voltada para baixo no ponto a se existir ε > 0

tal que f(x) < g(x) para todo o x ∈ Vε(a).

Dizemos que f tem a concavidade voltada para cima no ponto a se existir ε > 0

tal que f(x) > g(x) para todo o x ∈ Vε(a).

Dizemos que a ∈ int(I) e ponto de inflexao de f se existir ε > 0 tal que, num

dos intervalos ]a− ε, a[ e ]a, a+ ε[ se tenha f(x) < g(x) e no outro f(x) > g(x) para

todo o x ∈ Vε(a).

Teorema 5.35. Seja f : I → R uma funcao duas vezes diferenciavel no ponto

a ∈ I. Entao

• se f ′′(a) > 0 o grafico de f tem a concavidade voltada para cima no ponto a.

• se f ′′(a) < 0 o grafico de f tem a concavidade voltada para baixo no ponto a.

• se a e ponto de inflexao de f , entao f ′′(a) = 0.

Observacao 5.10. Quando f e contınua no ponto a e tem derivada infinita nesse

mesmo ponto, entao a e ponto de inflexao de f .

5.3.4 Assımptotas

Definicao 5.36. Sejam f uma funcao definida em D, a ∈ D e r a recta de equacao

x = a. Dizemos que r e assımptota vertical do grafico de f se

limx→a−

f(x) = ±∞ ou limx→a+

f(x) = ±∞.

Definicao 5.37. Sejam f uma funcao definida em D, o qual contem um intervalo

da forma ]a, +∞[ e r a recta de equacao y = mx + p. Dizemos que r e assımptota


do grafico de f a direita ou quando x → +∞ se

limx→+∞

[f(x)− (mx + p)] = 0.

Definicao 5.38. Sejam f uma funcao definida em D, o qual contem um intervalo

da forma ]−∞, b[ e r a recta de equacao y = mx + p. Dizemos que r e assımptota

do grafico de f a esquerda ou quando x → −∞ se

limx→−∞

[f(x)− (mx + p)] = 0.

Teorema 5.39. As assımptotas a direita e a esquerda do grafico de uma funcao f ,

se existirem, sao unicas.

Teorema 5.40. Sejam f uma funcao definida em D, o qual contem um intervalo da

forma ]a, +∞[. O grafico de f admite uma assımptota a direita se so se existirem e

forem finitos os limites

limx→+∞

f(x)

x= m e lim

x→+∞[f(x)−mx] = p,

e a equacao da assımptota e dada por y = mx + p.

Teorema 5.41. Sejam f uma funcao definida em D, o qual contem um intervalo da

forma ]−∞, b[. O grafico de f admite uma assımptota a esquerda se so se existirem

e forem finitos os limites

limx→−∞

f(x)

x= m e lim

x→−∞[f(x)−mx] = p,

e a equacao da assımptota e dada por y = mx + p.


5.4 Exercıcios

Exercıcio 5.1. Calcule, sempre que possıvel, as derivadas das seguintes funcoes nos

pontos indicados, utilizando a definicao.

1. f(x) =√

x2 + 9, x = 4

2. f(x) =1

x, x = 2

3. f(x) = e2x+5, x = 2

4. f(x) = x2 − 3x, x = 3

5. f(x) = ln x, x = a ∈ Df

6. f(x) =√

x + 1− 4, x = a ∈ Df

7. f(x) =

x3 + 2x2, x > 0

0, x < 0, x = 0

8. f(x) =

x

1 + e1x

, x 6= 0

0, x = 0, x = 0

9. f(x) =

sen x, x ∈[0,

π

2

](

2x

π

)2

, x ∈]π

2, π

] , x =π

2

Exercıcio 5.2. Considere a funcao f(x) =

ex−1, x 6 1

1 + ln x, x > 1.

1. Mostre que f e diferenciavel no ponto 1 e escreva a equacao da recta tangente

ao grafico de f no ponto de abcissa 1.

2. A funcao f e contınua no ponto 1? Justifique.

Exercıcio 5.3. Vereifique as afirmacoes do Exemplo 5.7

5.4. EXERCICIOS 83

Exercıcio 5.4. Um balao metereologico e solto e sobe verticalmente de modo que

a sua distancia s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de voo e dada por

s(t) = 6 + 2t + t2

na qual s(t) e expressa em meteros e t em segundos. Determine a velocidade do

balao quando

1. t = 1, t = 4 e t = 8.

2. no instante em que o balao a 50m do solo.

Exercıcio 5.5. A posicao de uma partıcula e dada pela equacao do movimento

s = f(t) =1

1 + t

onde t e medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade da partıcula

apos 2 segundos.

Exercıcio 5.6. Mostre as igualdades referidas na Proposicao 5.15.

Exercıcio 5.7. Determine a derivada de cada uma das seguintes funcoes.


1. f(x) = (x + 3)5

2. f(x) = 1−xx3+2

+ 2x

3. f(x) =

(ax− 1

x− b

)2

, a, b ∈ R

4. f(x) = sen4(5x)− cos4(5x)

5. f(x) = tg(3x2 − 1)

6. f(x) = ex sen x + e1x

7. f(x) =1− 3x

cos x

8. f(x) = 12ln(cosh(2x))

9. f(x) = arcsen(ln x)

10. f(x) = ecos x + x sen x

11. f(x) = cos2 (ln (tg x))

12. f(x) = arcsen1

x

13. f(x) =sen2 x

sen x2

14. f(x) = x3 arccos√

x2 − 1

15. f(x) = log5(arctg x)

16. f(x) =sen x + cos x

sen x− cos x

17. f(x) = ex cos x

18. f(x) =x5 + 1

ex − 2

19. f(x) = x cosh x

20. f(x) =sen(arccos x2)

2

21. f(x) = sen(tg1− x2

ln x)

22. f(x) = (cos x)√

x

23. f(x) = senh x cosh x

24. f(x) = (sen x)cos(2x)

Exercıcio 5.8. Analise a diferenciabilidade das seguintes funcoes.

1. f(x) = |x2 − 2x|

2. f(x) = |x|3

3. f(x) = x|x− 1|

4. f(x) = e−|x|

5. f(x) =

x2, x 6 0

x, x > 0

6. f(x) =

x− 2

ln(x2), x > 2

arctg(x− 2), x 6 2

5.4. EXERCICIOS 85

7. f(x) =

(1− x) ln(x− 1), x > 1

1− x2

2x + 1, x 6 1, x 6= −1

2

1, x = −1

2

8. f(x) =

x2 sen1

x, x 6= 0

0, x = 0

9. f(x) =

arcsenx

x + 1, x > 0

ex

x+1 − 1, x < 0, x 6= −1

−1, x = −1

Exercıcio 5.9. Determine a recta tangente a funcao f(x) = arcsenx− 1

2, no ponto

de interseccao da funcao com o eixo das abcissas.

Exercıcio 5.10. Determine as rectas tangente e normal a funcao f(x) =√

x, no

ponto de abcissa 4.

Exercıcio 5.11. Considere a funcao f(x) = 1 + 3ex+3 definida em R.

1. Calcule f ′(−3), usando a definicao.

2. Escreva a equacao da recta tangente ao grafico de f cujo declive e 3e.

3. Resolva, em R, a inequacao f ′′(x) + f ′(x) > f(x).

Exercıcio 5.12. Mostre que a recta de equacao y−3x+2π

3= 0 e uma recta tangente

ao grafico da funcao f(x) =π

3− 2 arccos

3x

2e determine o ponto de tangencia.

Exercıcio 5.13. Considere a funcao definida, em R, por g(x) = e√

x+3 +ln(arctg x).

1. Calcule o domınio de g.

2. Calcule a derivada de g no ponto x = 1.

3. Determine a equacao da recta tangente ao grafico de g no ponto x = 1.


Exercıcio 5.14. As funcoes f e g de domınio R, para quaisquer valores reais de x

e de y verificam as seguintes condicoes:

1. f(x + y) = f(x)f(y)

2. f(x) = 1 + xg(x)

3. limx→0

g(x) = 1

Mostre que f ′(x) = f(x).

Sugestao: utilize a definicao de derivada f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h.

Exercıcio 5.15. Seja y = ln(1 + cos x)2. Prove que y′′ + 2 e−y2 = 0.

Exercıcio 5.16. Determine, para a funcao f(x) = x43 , a derivada f (4)(0).

Exercıcio 5.17. Calcule a derivada de ordem n, para o valor de n indicado, das

seguintes funcoes.

1. f(x) = cos x, n = 4

2. f(x) = ln x, n = 6

Exercıcio 5.18. Seja f : R → R a funcao definida por f(x) = x4e−x e g : R → R

uma funcao diferenciavel. Calcule (g ◦ f)′(x).

Exercıcio 5.19. Seja f : R → R a funcao definida por f(x) = arccos(5x + 1) e

g : R→ R uma funcao diferenciavel. Calcule (g ◦ f)′(x).

Exercıcio 5.20. Considere a funcao f : [−2, 0] −→ [−π2, π

2

]definida por f(x) =

arcsen(x + 1). Determine (f−1(x))′dos seguintes modos:

1. Calcule a funcao inversa e de seguida a respectiva derivada.

2. Directamente.

Exercıcio 5.21. Considere a funcao f(x) = ex2−1 + 1.

5.4. EXERCICIOS 87

1. Mostre que em [−1, 1] se verificam as condicoes do Teorema de Rolle.

2. Calcule c ∈]− 1, 1[: f ′(c) = 0.

Exercıcio 5.22. Considere a funcao f(x) = e−x sen x.

1. Verifique que a funcao cumpre as condicoes do Teorema de Rolle no intervalo

[0, π].

2. Mostre que no ponto de abcissaπ

4a recta tangente ao grafico da funcao e

horizontal.

Exercıcio 5.23. Mostre que a equacao x − cos x = 1 tem uma unica solucao no

intervalo [0, π2].

Exercıcio 5.24. Mostre que a equacao 2x3 + 4x + 8 = 3 tem uma unica solucao

real.

Exercıcio 5.25. Considere a funcao f(x) = 3x− 3 + sen(x− 1).

1. Calcule f(1).

2. Prove que f tem um unico zero em R.

Exercıcio 5.26. Prove que a funcao f(x) = x3− 6x2 +9x− 2 tem um e um so zero

no intervalo ]1, 3[.

Exercıcio 5.27. Prove que a equacao 4x3− 6x2 +1 = 0 tem tres solucoes distintas.

Exercıcio 5.28. Seja f uma funcao definida em R por f(x) = arcsen(x + 1). De-

termine o valor intermedio a que se refere o teorema de Lagrange em [−2, 0].

Exercıcio 5.29. Considere a funcao f(x) = ex2−4 + x. Escreva as condicoes que a

funcao deve satisfazer para que no intervalo [−1, 1] se possa aplicar o Teorema de

Lagrange e confirme a sua veracidade.


Exercıcio 5.30. Considere a funcao f : R→ R definida por

f(x) =

3− x2

2, x 6 1

1

x, x > 1

1. Mostre que e possıvel aplicar o Teorema de Lagrange a funcao f no intervalo

[0, 2].

2. Determine os numeros reais c tais que f(2)− f(0) = 2f ′(c).

Exercıcio 5.31. Calcule o valor aproximado de√

145, utilizando o Teorema de

Lagrange.

Exercıcio 5.32. Utilize o Teorema de Lagrange para provar as seguintes desigual-

dades.

1.1

x + 1< ln

x + 1

x<

1

x, x > 0

2. arcsen x > x, x > 0

3. 0 < x− ln(1 + x) < x2, x > 0

Exercıcio 5.33. Uma estrada rectilınea de 50Km liga duas cidades A e B. Prove

que e impossıvel viajar de A a B de automovel, em exactamente uma hora, sem que

o velocımetro registre 50Km/h pelo menos uma vez.

Exercıcio 5.34. Aplique o Teorema de Cauchy as seguintes funcoes:

1. f(x) = (x + 1)2 e g(x) = 3x2 em [1, 3];

2. f(x) = cos(2x) e g(x) = sen x em [−π2, π

2]

Exercıcio 5.35. Considere a funcao h(x) = ln |2x− 1| e q(x) = x2 − 3x.

1. Calcule o domınio da funcao h.

5.4. EXERCICIOS 89

2. Justifique que, embora seja contınua em [1, 2] e diferenciavel em ]1, 2[ nao se

pode aplicar o Teorema de Cauchy a funcao h e q.

Exercıcio 5.36. Desenvolva o polinomio p(x) = x3− 2x2 + 3x + 5 em potencias de

x− 2.

Exercıcio 5.37. Determine o polinomio de Taylor de grau n em x = a das seguintes

funcoes:

1. f(x) = ln x em a = 1 para n = 2.

2. f(x) = sen2(x) em a = 0 para n = 4.

3. f(x) = cos x em a = 0 para n = 3.

4. f(x) =1

xem a = 1 para n = 4.

5. f(x) = ex2em a = 0 para n = 4.

6. f(x) = senh(ln x) em a = 1 para n = 2.

7. f(x) = xe−1x em a = 1 para n = 3.

Exercıcio 5.38. Escreva a formula de MacLaurin de ordem n das seguintes funcoes:

1. f(x) = 4x5 + 5x4 − x3 − x + 1

2. f(x) = sen x para n = 10

3. f(x) =1

1 + xpara n = 4

4. f(x) = ex sen x para n = 4

Exercıcio 5.39. Utilize a Regra de Cauchy para levantar as indeterminacoes dos

seguintes limites.


1. limx→0

sen 4x

2x

2. limx→π

4

esen x − ecos x

sen x− cos x

3. limx→0+

ln(sen x)

ln(tg x)

4. limx→−∞

xe−x2

5. limx→0

(1

sen x− 1

x

)

6. limx→+∞

(ex + x)1x

7. limx→0

3x − 2x

x

8. limx→+∞

ln(1 + x)

1 + 3x

9. limx→π

2

(tg x)cos x

10. limx→+∞

xe1−x

11. limx→−∞

2x 3√

x

12. limx→0+

xx

13. limx→+∞

(1

x2

) 2xx+2

14. limx→1

xtg( π2x)

15. limx→π

2

tg x− 1

2 + 1cos x

16. limx→+∞

[x− ln(3ex − 1)]

Exercıcio 5.40. A velocidade v de um impulso electrico num cabo isolado e dada

por

v = −k( r

R

)2

ln( r

R

)

onde k e uma constante positiva, r e o raio do cabo e R e a distancia do centro do

cabo a parte externa do isolante. Determine

1. limR→r+

v

2. limR→0+

v

Exercıcio 5.41. Prove, utilizando a Regra de Cauchy, que limx→+∞

(1 +

a

x

)x

= ea.

Exercıcio 5.42. Considere a funcao f : R→ R definida por

f(x) =

ln(ex + 1), x > 0

sen x, x < 0

1. Mostre que a recta de equacao y = x e uma assımptota ao grafico de f .

2. Calcule f ′(x).

5.4. EXERCICIOS 91

3. Existe um intervalo fechado contido em [0, +∞[ onde seja possıvel aplicar o

Teorema de Rolle? Justifique.

Exercıcio 5.43. Considere a funcao f(x) =

xex+1, x 6 0x

x− 2, x > 0

1. Determine as assımptotas ao grafico de f .

2. Calcule a expressao de f ′(x).

3. Mostre que ∃c∈]−1,0[ : f ′(c) = 1.

4. Determine os pontos de inflexao de f .

Exercıcio 5.44. Calcule as coordenadas do ponto do grafico f(x) = x3 + 2x + 1

onde e mınimo o declive da recta tangente ao grafico.

Exercıcio 5.45. Mostre que entre todos os rectangulos de perımetro dado, o de

area maxima e o quadrado.

Exercıcio 5.46. Uma droga e injectada na corrente sanguınea e a sua concentracao

apos t minutos e dada por

C(t) =k

a− b(e−bt − e−at)

para constantes positivas a,b e k.

1. Em que instante ocorre a concentracao maxima?

2. O que se pode dizer sobre a concentracao apos um longo perıodo de tempo?

Exercıcio 5.47. Determine o volume maximo de um cilındro circular recto que

pode ser inscrito num cone de 12cm de altura e 4cm de raio da base, se os eixos do

cilindro e do cone coincidem.


Exercıcio 5.48. Uma bateria de voltagem fixa V e resistencia interna fixa r esta

ligada a um circuito de resistencia variavel R. Pela lei de Ohm, a corrente I no

circuito e I =V

R + r. Se a forca resultante e dada por P = I2R, mostre que a forca

maxima ocorre se R = r.

Exercıcio 5.49. Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B distantes 3Km um

do outro e situados em margens opostas de um rio de 1Km de largura. Parte do

oleoduto ficara submersa, de A a C estando C na margem oposta, e a restante parte

acima do solo ligando C a B. Se o custo de operacao do oleoduto sob agua e quatro

vezes o custo da operacao no solo, determine a localizacao de C que minimize o

custo da operacao do oleoduto.(Desprezar a inclinacao do leito do rio.)

Exercıcio 5.50. Estude cada uma das seguintes funcoes. Para tal determine

• O domınio

• Os zeros

• A primeira derivada

• A segunda derivada

• Os extremos

• Os intervalos de monotonia

• As assımptotas

• Os pontos de inflexao

• O sentido da concavidade

De seguida esboce o grafico.

1. f(x) = x3 − 3x2

2. f(x) =x2 − 4

x

3. f(x) =5

1 + 4e−x

4. f(x) = ln(x2 − 1)

5. f(x) = ln | ln x|

6. f(x) = arcsen(1 + x)

7. f(x) = (ex − 1)2

8. f(x) = x− sen x, para x ∈ [0, 2π]

9. f(x) = x−√1− 2x + x2

10. f(x) =

x ln x, x > 0√

1− x, x 6 0

11. f(x) =

e−1−x2, x < 0

e|x−1|−2, x > 0

12. f(x) =

(π − x)e−x, x > 0

(2− x) arctg

(π

2− x

), x < 0

5.4. EXERCICIOS 93

Exercıcio 5.51. Esboce o grafico de uma funcao contınua f que verifique todas as

condicoes indicadas:

1. • f(0) = 1 e f(2) = 3

• f ′(0) = f ′(2) = 0

• f ′(x) < 0 se |x− 1| > 1

• f ′(x) > 0 se x− 1 > 1

• f ′′(x) < 0 se x > 1

• f ′′(x) > 0 se x < 1.

2. • f(0) = 4 e f(2) = f(−2) = 1

• f ′(0) = 0

• f ′(x) < 0 se x > 0

• f ′(x) > 0 se x < 0

• f ′′(x) < 0 se |x| < 2

• f ′′(x) > 0 se |x| < 2.

Capıtulo 6

Calculo Integral em R

6.1 Primitivacao

Definicao 6.1. Seja f : [a, b] → R uma funcao real de variavel real. Dizemos que

a funcao F : [a, b] → R e uma primitiva de f se para toto o x ∈ [a, b] tivermos

F ′(x) = f(x), e escrevemos que F (x) =

∫f(x)dx ou F (x) = P f(x). Dizemos

tambem que f e primitivavel se admitir uma primitiva.

Observacao 6.1. Da Definicao anterior, decorre imediatamente que a funcao F

tem de ser diferenciavel no intervalo [a, b].

Observacao 6.2. Vimos no Capıtulo anterior que se a derivada de duas funcoes

e igual, elas diferem por uma constante. Assim, se F (x) e uma primitiva de f(x),

entao F (x) + K e tambem uma primitiva de f(x), para todo o K ∈ R, uma vez que

(F (x) + K)′ = F ′(x) = f(x).

A expressao F (x) + K chamamos expressao geral das primitivas de f(x) e a

constante K a constante de primitivacao.

Nota 6.1. Dada uma funcao primitivavel, a Observacao anterior justifica o termo

uma primitiva e em detrimento de a primitiva, uma vez que existem infinitas primi-

tivas (tantas quantas os numeros reais).

95

96 CAPITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R

Observacao 6.3. De certa maneira podemos dizer que a derivacao e a primitivacao

sao operacoes inversas uma da outra.

Teorema 6.2. Seja f : [a, b] → R uma funcao real de variavel real primitivavel.

Se F e G sao duas primitivas de f em [a, b], entao F (x) − G(x) = K para todo o

x ∈ [a, b] e para algum K ∈ R.

Proposicao 6.3. Sejam f e g duas funcoes primitivaveis em [a, b]. Entao

1.

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx para todo o k ∈ R \{0}.

2.

∫f(x) + g(x)dx =

∫f(x)dx +

∫g(x)dx.

Exemplo 6.1. Temos que

∫5x2dx = 5

∫x2dx = 5

x3

3.

Exemplo 6.2. Temos que

∫cos x + exdx =

∫cos xdx +

∫exdx = sen x + ex.

Teorema 6.4. Toda a funcao contınua num intervalo [a, b] e primitivavel nesse

mesmo intervalo.

6.1.1 Primitivas Imediatas

Definicao 6.5. Chamamos primitivas imediatas as primitivas que se deduzem di-

rectamente de uam regra de derivacao.

Assim, podemos apresentar algumas primitivas imediatas

1.

∫cdx = cx + K

2.

∫f ′(x)fα(x)dx =

fα+1(x)

α + 1+ K, para todo o α ∈ R \{−1}

3.

∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ K

4.

∫f ′(x)af(x)dx =

af(x)

ln a+ K, para todo o a ∈ R+ \{1}; em particular, quando

a = e temos

∫f ′(x)ef(x)dx = ef(x) + K.

6.1. PRIMITIVACAO 97

5.

∫f ′(x) cos f(x)dx = sen f(x) + K

6.

∫f ′(x) sen f(x)dx = − cos f(x) + K

7.

∫f ′(x)

cos2 f(x)dx = tg f(x) + K

8.

∫f ′(x)

sen2 f(x)dx = − cotg f(x) + K

9.

∫f ′(x)√

1− f 2(x)dx = arcsen f(x) + K = − arccos f(x) + K

10.

∫f ′(x)

1 + f 2(x)dx = arctg f(x) + K = − arccotg f(x) + K

11.

∫f ′(x) senh f(x)dx = cosh f(x) + K

12.

∫f ′(x) cosh f(x)dx = senh f(x) + K

6.1.2 Primitivacao de Funcoes Racionais

Sejam P e Q dois polinomios reais de grau n e m, respectivamente, ou seja, P (x) =

anxn + . . .+a1x+a0 e Q(x) = bmxn + . . .+ b1x+ b0 com aj, bj ∈ R, an 6= 0 e bm 6= 0.

Definicao 6.6. Seja P um polinomio de grau maior do que 1. Dizemos que P

e polinomio redutıvel se existirem polinomios P1 e P2 com graus inferiores aos de

P tais que P (x) = P1(x)P2(x). Dizemos que P e polinomio irredutıvel se nao for

redutıvel.

Observacao 6.4. Todos os polinomios de grau 1 sao irredutıveis, P (x) = a1x− a0.

Observacao 6.5. Um polinomio de grau 2, P (x) = ax2 + bx + c e irredutıvel se

e so se nao tem raızes reais, ou seja, se b2 − 4ac < 0. Assim, os polinomios de

grau 2 irredutıveis sao os polinomios da forma P (x) = (x− α)2 + β2, com α ∈ R e

β ∈ R \{0}, os quais possuem duas raızes complexas conjugadas, α± iβ.


Observacao 6.6. Todos os polinomios nao considerados nas observacoes anteriores

sao redutıveis e escrevem-se como o produto de polinomios irredutıveis da seguinte

forma

P (x) = (x− a1)n1 . . . (x− ap)

np[(x− α1)

2 + β21

]m1 . . .[(x− αq)

2 + β2q

]mq,

onde ai e raız real de P com multiplicidade ni e αj ± βj sao raızes complexas de P

com multiplicidade mj.

Definicao 6.7. Seja f : D → R uma funcao. Dizemos que f e uma funcao racional

se existiram polinomios P e Q tais que f(x) =P (x)

Q(x)e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

Definicao 6.8. Seja f(x) =P (x)

Q(x)uma funcao racional. Dizemos que f e irredutıvel

se P e Q nao tiverem raızes comuns.

Consideremos uma funcao racional irredutıvel f(x) =P (x)

Q(x), podemos ter dois

casos:

1. O grau do polinomio P e maior ou igual do que o grau do polinomio Q.

2. O grau do polinomio P e menor do que o grau do polinomio Q.

No primeiro caso, fazendo a divisao de polinomios vem P (x) = M(x)Q(x)+R(x),

onde M e R sao polinomios, sendo M o quociente da divisao e R o resto da divisao

(o qual tem grau menor do que o grau de Q). Assim, f(x) = M(x) +R(x)

Q(x)de onde

concluımos que ∫f(x)dx =

∫M(x)dx +

∫R(x)

Q(x)dx

como M e um polinomio, o mesmo tem primitiva imediata. Na segunda parcela

temos o segundo dos dois casos que referimos acima.

Vamos agora ver alguns resultados que permitem transformar uma funcao racio-

nal irredutıvel, como referido no segundo caso, na soma de outras funcoes racionais,

as quais serao mais faceis de primitivar.


Teorema 6.9. SejaP (x)

Q(x)uma funcao racional irredutıvel em que o grau do po-

linomio P e menor do que o grau do polinomio Q. Se

Q(x) = a0(x− a)n,

ou seja, Q tem uma raız real a de multiplicidade n, entao e possıvel escrever

P (x)

Q(x)=

An

(x− a)n+

An−1

(x− a)n−1+ . . . +

A1

x− a,

onde Ai sao numeros reais.

Observacao 6.7. Qualquer uma das novas parecelas que surgem da aplicacao do

Teorema anterior tem primitiva imediata:

•∫

Ai

(x− a)idx =

∫Ai(x− a)−idx = Ai

(x− a)−i+1

−i + 1+ K se i 6= 1

•∫

Ai

x− adx = Ai ln |x− a|+ K

Observacao 6.8. Em geral, para cada raız real aj de multiplicidade nj do polinomio

Q, na decomposicao da funcao racionalP (x)

Q(x)surgem as parcelas

Anj

(x− aj)nj+

Anj−1

(x− aj)nj−1+ . . . +

A1

x− aj

.

Teorema 6.10. SejaP (x)

Q(x)uma funcao racional irredutıvel em que o grau do po-

linomio P e menor do que o grau do polinomio Q. Se

Q(x) = a0

[(x− α)2 + β2

]r,

ou seja, Q tem uma raız complexa conjugada α ± iβ de mutiplicidade r, entao e

possıvel escrever

P (x)

Q(x)=

Brx + Cr

[(x− α)2 + β2]r+

Br−1x + Cr−1

[(x− α)2 + β2]r−1 + . . . +B1x + C1

(x− α)2 + β2


onde Bi e Ci sao numeros reais.

Observacao 6.9. Em geral, para cada raız complexa conjugada α ± iβ de multi-

plicidade rj do polinomio Q, na decomposicao da funcao racionalP (x)

Q(x)surgem as

parcelas como as referidas no Teorema anterior.

Exemplo 6.3. Quando o grau do polinomio do numerador e maior ou igual ao grau

do denominador, temos de fazer a divisao de polinomios.

∫x3 + x

x− 1dx =

∫x2 + x + 2 +

2

x− 1dx =

x3

3+

x2

2+ 2x + 2 ln |x− 1|+ K

Exemplo 6.4. Seja a uma constante real.

∫2a

x2 − a2dx =

∫2a

(x− a)(x + a)dx =

∫1

x− a− 1

x + adx =

= ln |x− a| − ln |x + a|+ K = ln

∣∣∣∣x− a

x + a

∣∣∣∣ + K

Exemplo 6.5. Na primitiva que se segue surgem raızes reais simples e raızes reais

com multiplicidade no polinomio do denominador.

∫5x + 1

(x− 1)2(x + 2)dx =

∫2

(x− 1)2+

1

x− 1− 1

x + 2dx =

=

∫2(x− 1)−2 +

1

x− 1− 1

x + 2dx =

= 2(x− 1)−1

−1+ ln |x− 1| − ln |x + 2|+ K =

= − 2

x− 1+ ln

∣∣∣∣x− 1

x + 2

∣∣∣∣ + K

Exemplo 6.6. Na primitiva que se segue surgem raıxes complexas e reais no polinomio


do denominador.

∫10x2 − 25x− 15

(x2 − 4x + 13)(x2 + x− 2)dx =

∫10x2 − 25x− 15

(x2 − 4x + 13)(x− 1)(x + 2)dx =

=

∫2x + 1

x2 − 4x + 13− 1

x− 1− 1

x + 2dx =

=

∫2x− 4

x2 − 4x + 13+

5

x2 − 4x + 13dx−

−∫

1

x− 1dx−

∫1

x + 2dx =

=

∫2x− 4

x2 − 4x + 13dx +

∫5

(x− 2)2 + 9dx−

− ln |x− 1| − ln |x + 2| =

= ln(x2 − 4x + 13) +5

9

∫1

1 +(

x−23

)2dx−

− ln

∣∣∣∣x− 1

x + 2

∣∣∣∣ =

= ln(x2 − 4x + 13) +5

9

113

∫ 1

3

1 +(

x−23

)2dx−

− ln

∣∣∣∣x− 1

x + 2

∣∣∣∣ =

= ln(x2 − 4x + 13) +5

3arctg

x− 2

3− ln

∣∣∣∣x− 1

x + 2

∣∣∣∣ + K

6.1.3 Primitivacao por Partes

Teorema 6.11. Sejam f, g : I → R duas funcoes diferenciaveis no intervalo I. O

produto f ′g e primitivavel em I se e so se o produto fg′ e primitivavel em I. E

numa destas hipoteses temos que

∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx.

Prova: Vamos apenas ver que a igualdade referida no Teorema e verdadeira. Pela


regra de derivacao do produto sabemos que

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) ⇒ f ′(x)g(x) = (f(x)g(x))′ − f(x)g′(x)

de onde concluımos que

∫f ′(x)g(x)dx =

∫(f(x)g(x))′ dx −

∫f(x)g′(x)dx ⇒

∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx.

¤

Nota 6.2. A tecnica de primitivacao enunciada no Teorema anterior chamamos

metodo de Primitivacao por Partes.

Exemplo 6.7. Vamos calcular uma primitiva da funcao h(x) = x ln x usando o

metodo de primitivacao por partes. Consideremos f ′(x) = x e g(x) = ln x e te-

mos que

∫x ln xdx =

x2

2ln x−

∫x2

2

1

xdx =

x2 ln x

2− 1

2

∫xdx =

x2 ln x

2− x2

4+ K.

6.1.4 Primitivacao por Substituicao

Teorema 6.12. Sejam f : I → R uma funcao primitivavel no intervalo I e φ :

J → I uma funcao diferenciavel no intervalo J e bijectiva. Entao f(φ(t))φ′(t) e

primitivavel e ∫f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt|t=φ−1(x)

.

Prova: Vamos apenas ver que a igualdade referida no Teorema e verdadeira. Seja

F uma primitiva de f , entao para todo o x ∈ I, aplicando a regra da derivacao

composta, temos que

(F ◦ φ)′ (t) = F ′ (φ(t)) φ′(t) = f (φ(t)) φ′(t),

de onde concluımos que F ◦ φ(t) =

∫f (φ(t)) φ′(t)dt. Fazendo φ(t) = x obtemos

F (x) =

∫f (φ(t)) φ′(t)dt|t=φ−1(x)

, ou seja, temos a igualdade do Teorema.


¤

Nota 6.3. A tecnica de primitivacao enunciada no Teorema anterior chamamos

metodo de Primitivacao por Substituicao.

Exemplo 6.8. Vamos calcular uma primitiva da funcao h(x) =x3

√x− 1

usando o

metodo de primitivacao por substituicao. Consideremos√

x− 1 = t, ou seja, x =

φ(t) = t2 + 1 e temos que

∫x3

√x− 1

dx =

∫(t2 + 1)3

t2tdt = 2

∫t6 + 3t4 + 3t2 + 1dt =

= 2

(t7

7+ 3

t5

5+ t3 + t

)+ K =

= 2

((√x− 1

)7

7+ 3

(√x− 1

)5

5+

(√x− 1

)3+√

x− 1

)+ K.

Primitivacao de Funcoes Algebricas Irracionais

Vamos ver alguns casos de funcoes para as quais para determinarmos a sua primitiva

temos de efectuar uma substituicao de modo a que surjam funcoes racionais.

Para isso, sera necessario introduzir algumas definicoes.

Definicao 6.13. Seja P : R×R → R uma aplicacao. Dizemos que P e um po-

linomio em duas variaveis se tivermos

P (x, y) = an,mxnym+an−1,mxn−1ym+an,m−1xnym−1+. . .+a1,1xy+a0,1y+a1,0x+a0,0,

onde ai,j ∈ R e m,n ∈ N0. O grau do polinomio P e o maximo do conjunto

{i + j : ai,j 6= 0}.

Definicao 6.14. Seja P : R× . . .× R︸︷︷︸p vezes

→ R uma aplicacao. Dizemos que P e um

polinomio em p variaveis se tivermos

P (x1, . . . , xp) =∑

i1,...,ip

ai1,...,ipxi11 . . . xip

p ,


onde ai1,...,ip ∈ R e i1, . . . , ip ∈ N0. O grau do polinomio P e o maximo do conjunto

{i1 + . . . + ip : ai1,...,ip 6= 0}.

Definicao 6.15. Sejam P e Q dois polinomios a p variaveis. Chamamos funcao

racional em p variaveis a uma aplicacao do tipo

R(x1, . . . , xp) =P (x1, . . . , xp)

Q(x1, . . . , xp),

onde P (x1, . . . , xp) 6= 0.

Vamos entao agora indicar as mudancas de variavel a efectuar para as diferentes

situacoes.

Expressao Substituicao

f(x) = R(x

m1n1 , x

m2n2 , . . . , x

mpnp

)x = tm.m.c.{n1,...,np}

f(x) = R(x,

(ax+bcx+d

)m1n1 ,

(ax+bcx+d

)m2n2 , . . . ,

(ax+bcx+d

)mpnp

)ax+bcx+d

= tm.m.c.{n1,...,np}

f(x) = xα(a + bxβ

)γxβ = t

f(x) = R(x,√

ax2 + bx + c), a > 0

√ax2 + bx + c =

√ax + t

f(x) = R(x,√

ax2 + bx + c), c > 0

√ax2 + bx + c = tx +

√c

f(x) = R(x,√

ax2 + bx + c), α raız de ax2 + bx + c

√ax2 + bx + c = t(x− α)

f(x) =√

a2 − x2 x = a cos t ou x = a sen t

f(x) =√

x2 − a2 x = a sec t ou x = a cosec t

f(x) =√

x2 + a2 x = a tg t ou x = a cotg t

Exemplo 6.9. Para calcular a primitiva

∫x√

x2 + 4dx podemos fazer a substituicao

x = 2 tg t e obtemos

∫x√

x2 + 4dx =

∫2 tg t√

4 tg t + 42 sec2 tdt =

∫4 tg t sec2 t

2√

sec2 ttdt =

∫2 tg t sec tdt =

= −2

∫− sen t cos−2 tdt = −2

cos−3 t

−3+ K =

2 cos−3 t

3+ K =

=2

3cos−3

(arctg

x

2

)+ K.


Exemplo 6.10. Para calcular a primitiva

∫x√

x2 + 4dx podemos no entanto fazer

uma substituicao mais simples x2 + 4 = t e obtemos

∫x√

x2 + 4dx =

∫ √t− 4√

t

1

2√

t− 4dt =

∫1

2√

tdt =

√t + K =

√x2 + 4 + K.

Exemplo 6.11. Para o calculo da primitiva

∫x2√

9− x2dx podemos fazer a substi-

tuicao x = 3 sen t e obtemos

∫x2√

9− x2dx =

∫9 sen2 t

√9− 9 sen2 t · 3 cos tdt = 27

∫sen2 t cos2 tdt =

= 27

∫ (sen 2t

2

)2

dt =27

4

∫sen2 2tdt =

27

4

∫1− cos 4t

2dt =

=27

8

∫1− cos 4tdt =

27

8

(t− sen 4t

4

)=

=27

8arcsen

x

3− 27

32sen

(4 arcsen

x

3

)

Exemplo 6.12. Para o calculo da primitiva

∫x√

3− 2x− x2dx sera necessario efec-

tuar duas substituicoes. Comecamos por fazer a subsituicao x = t− 1 e obtemos

∫x√

3− 2x− x2dx =

∫t− 1√4− t2

dt,

na qual fazemos a subsituicao t = 2 sen u, ou seja,

∫x√

3− 2x− x2dx =

∫2 sen u− 1√4− 4 sen2 u

2 cos udu =

∫2 sen u− 1

2√

1− sen2 u2 cos udu =

=

∫2 sen u− 1du = −2 cos u− u + K =

= −2 cos

(arcsen

t

2

)− arcsen

t

2+ K =

= −√

4− t2 − arcsent

2+ K =

= −√

3− 2x− x2 − arcsenx + 1

2+ K,


onde usamos a igualdade cos2

(arcsen

t

2

)= 1− sen2

(arcsen

t

2

)= 1− t2

4.

Primitivas de Funcoes Transcendentes

Exsitem ainda outras situacoes em que as funcoes que pretendemos primitivar nao

sao polinomiais, no entanto se se enquadrarem nas seguintes situacoes, podemos

efectuar as substituicoes indicadas.

Expressao Substituicao

f(x) = R (sen x, cos x) tg x2

= t

f(x) = R (sen x, cos x) = R (− sen x,− cos x) tg x = t

f(x) = R (ex) ex = t

6.2 Integracao

Dada f uma funcao contınua num intervalo [a, b], o integral de f no intervalo [a, b]

representa o valor da area limitada superiormente pelo grafico de f , inferiormente

pelo eixo das abcissas e pelas rectas x = a e x = b ao qual subtraımos o valor da

area limitada inferiormente pelo grafico de f , superiormente pelo eixo das abcissas

e pelas rectas x = a e x = b. Na definicao que se segue, e dada essa definicao de um

modo formal.

Definicao 6.16. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua e limitada. Dividimos o

intervalo [a, b] em n intervalos iguais [xi−1, xi], em que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Tomemos ci ∈ [xi−1, xi] e definimos o integral definido de f de a ate b se existir o

limite

limn→∞

n∑i=1

(xi − xi−1) f (ci) ,

o qual representamos por

∫ b

a

f(x)dx. Neste caso, dizemos ainda que a funcao f e

integravel em [a, b].

Na realidade, para podermos falar do integral definido de f de a ate b nao sera

6.2. INTEGRACAO 107

necessario que a funcao seja contınua em todo o intervalo, como refere o seguinte

teorema.

Teorema 6.17. Seja f : [a, b] → R uma funcao limitada e contınua excepto num

numero finito de pontos. Entao f e integravel em [a, b] e podemos definir o integral

definido de f de a ate b como na Definicao anterior.

Assim, daqui em diante, quando exigirmos que a funcao seja contınua num in-

tervalo [a, b], aplicando o Teorema anterior, estamos tambem na realidade a admitir

a situacao aı enunciada.

Teorema 6.18. (Teorema do Valor Medio) Seja f : [a, b] → R uma funcao

contınua. Entao existe c ∈ [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).

Nota 6.4. O Teorema anterior garante que existe um rectangulo de base [a, b] e

altura f(c), o qual tem area igual ao integral de f de a ate b.

6.2.1 Propriedades dos Integrais

Proposicao 6.19. Sejam f, g : [a, b] → R duas funcoes contınuas. Temos as se-

guintes propriedades

1.

∫ b

a

cdx = c(b− a), para todo o c ∈ R

2.

∫ b

a

cf(x)dx = c

∫ b

a

f(x)dx, para todo o c ∈ R

3.

∫ b

a

f(x) + g(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx +

∫ b

a

g(x)dx

4.

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx, de onde concluımos que

∫ a

a

f(x)dx = 0

5.

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx, onde c ∈ R.


6. se f(x) > g(x) para todo o x ∈ [a, b], entao

∫ b

a

f(x)dx >∫ b

a

g(x)dx

7.

∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ 6∫ b

a

|f(x)|dx

6.2.2 Teoremas Fundamentais do Calculo Integral

O conceito de primitiva e o resultado que se segue permite calcular integrais de uma

forma muito mais rapida, sem ter de passar pelo calculo de limites e de somatorios.

Teorema 6.20. (Teorema Fundamental do Calculo Integral) Seja f : [a, b] →R uma funcao contınua. Entao a funcao F : [a, b] → R dada por F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

e diferenciavel em [a, b] e F ′(x) = f(x) para todo o x ∈ [a, b], ou seja, F e uma

primitiva de f .

Mais geralmente, se tivermos ψ e φ funcoes diferenciaveis no intervalo [a, b],

entaod

dx

(∫ φ(x)

ψ(x)

f(t)dt

)= f(φ(x))φ′(x)− f(ψ(x))ψ′(x).

Exemplo 6.13. Consideremos que a funcao f e dada por f(x) =

∫ x

2

sen(t2

)dt, entao

a sua derivada e dada por

f ′(x) =d

dx

(∫ x

2

sen(t2

)dt

)= sen

(x2

) · x′ − sen 9 · (3)′ = sen(x2

).

Exemplo 6.14. Consideremos que a funcao f e dada por f(x) =

∫ ex

x3−1

ln2 tdt, entao

a sua derivada e dada por

f ′(x) =d

dx

(∫ ex

x3−1

ln2 tdt

)= ln2 (ex) · (ex)′ − ln2

(x3 − 1

) · (x3 − 1)′

=

= x2ex − 3x2 ln2(x3 − 1

).

Corolario 6.21. (Regra de Barrow) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua e

6.2. INTEGRACAO 109

F : [a, b] → R uma primitiva de f . Entao

∫ b

a

f(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a).

Exemplo 6.15. Aplicando a Regra de Barrow, temos

∫ 2

1

x2dx =

[x3

3

]2

1

=23

3− 13

3=

7

3.

Exemplo 6.16. Aplicando a Regra de Barrow, temos

∫ 2

1

√4− lnx

xdx =

∫ 2

1

(4− lnx)12

1

xdx = −

[2 (4− ln x)

32

3

]e

1

= −2√

3 +16

3.

Da primitivacao por partes e da primitivacao por subsituicao, surgem natural-

mente a integracao por partes e a integracao por substituicao.

Teorema 6.22. (Integracao por Partes) Sejam g ∈ C1([a, b]) e f : [a, b] → R

contınua. Entao

∫ b

a

f ′(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f(x)g′(x)dx.

Exemplo 6.17. Para calcular o integral

∫ 3

0

xexdx podemos utilizar o metodo de

integracao por partes, vamos escolher f ′(x) = ex e g(x) = x, assim temos que

f(x) = ex e g′(x) = 1 e vem que

∫ 3

0

exxdx = [exx]30 −∫ 3

0

ex · 1dx = 3e3 − 0− [ex]30 = 3e3 − e3 + 1 = 2e3 + 1.

Teorema 6.23. (Integracao por Substituicao) Sejam f : [a, b] → R uma funcao

contınua no intervalo [a, b] e φ : [α, β] → [a, b] uma funcao de classe C1 em [α, β],


bijectiva, com φ(t) = x e tal que φ(α) = a e φ(β) = b. Entao

∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f(φ(t))φ′(t)dt.

Exemplo 6.18. Para calcular o integral

∫ 3√

32

32

√9− x2

x2dx podemos utilizar o metodo

de integracao por substituicao, fazendo a substituicao x = φ(t) = 3 sen t, assim

temos que φ′(x) = 3 cos t, φ(t) = 3√

32⇒ 3 sen t = 3

√3

2⇒ sen t =

√3

2⇒ t =

π

3e

φ(t) = 32⇒ 3 sen t = 3

2⇒ sen t = 1

2⇒ t =

π

6e vem que

∫ 3√

32

32

√9− x2

x2dx =

∫ π3

π6

√9− 9 sen2 t

9 sen2 t3 cos tdt =

∫ π3

π6

3√

1− sen2 t

3 sen2 tcos tdt =

=

∫ π3

π6

cos t

sen2 tcos tdt =

∫ π3

π6

cotg2 tdt =

∫ π3

π6

cosec2 t− 1dt =

= [− cotg t− t]π3π6

= − cotgπ

3− π

3+ cotg

π

6+

π

6=

= −√

3

3− π

6+√

3 =2√

3

3− π

6

6.2.3 Aplicacoes Geometricas do Calculo Integral

Nesta seccao vamos ver algumas aplicacoes geometricas do Calculo Integral, nome-

adamente para determinar areas de regioes planas, comprimento de curvas, volumes

de solidos de revolucao e areas de solidos de revolucao.

Areas de Regioes Planas

Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b].

A area da regiao plana limitada pelo grafico da funcao f , pelo eixo das abcissas

e pelas rectas x = a e x = b e dada pelo integral

∫ b

a

|f(x)|dx.

6.2. INTEGRACAO 111

Mais geralmente, se tivermos duas funcoes f e g contınuas no intervalo [a, b], a

area da regiao plana limitada pelo grafico da funcao f , pelo grafico da funcao g e

pelas rectas x = a e x = b e dada pelo integral

∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx.

Exemplo 6.19. A area da regiao plana limitada pela circunferencia x2 + y2 = 4; ou

seja, y = ±√4− x2 com −2 6 x 6 2 e dada pelo integral

∫ 2

−2

∣∣∣√

4− x2 −(−√

4− x2)∣∣∣ dx =

∫ 2

−2

∣∣∣√

4− x2 +√

4− x2

∣∣∣ dx =

= 2

∫ 2

−2

√4− x2dx =

= 2

∫ π

−π

√4− 4 cos2 t (−2 sen t) dt =

= −4

∫ π

−π

2| sen t| sen tdt = 4

∫ π

−π

2 sen2 tdt =

= 4

∫ π

−π

1− cos(2t)dt = 4

[t− sen(2t)

2

]π

−π

=

= 4

(π − sen(2π)

2

)− 4

(−π − sen(−2π)

2

)= 4π

Comprimento de Curvas

Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b], tal que f(a) = A e f(b) = B.

O comprimento da curva dada por y = f(x) entre os pontos (a,A) e (b, B), ou

seja, o comprimento do curva dada pelo grafico de f entre as rectas x = a e x = b e

dado por ∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2dx.

Exemplo 6.20. O comprimento da curva dada pela equacao y = x2 com x ∈ [0, a] e


dado pelo integral

∫ a

0

√1 + (2x)2dx =

∫ a

0

√1 + 4x2dx =

=

∫ arcsenh(2a)

0

√1 + senh2 t

cosh t

2dt =

=1

2

∫ arcsenh(2a)

0

cosh2 tdt =1

2

∫ arcsenh(2a)

0

(et + e−t

2

)2

dt =

=1

8

∫ arcsenh(2a)

0

e2t + 2 + e−2tdt =

=1

8

[e2t

2+ 2t− e−2t

2

]arcsenh(2a)

0

=1

8

(e2 arcsenh(2a)

2+ 2 arcsenh(2a)− e−2 arcsenh(2a)

2

)− 1

8

(1

2− 1

2

)=

=1

8senh (2 arcsenh(2a)) +

arcsenh(2a)

4

Volumes de Solidos de Revolucao

Sejam f e g duas funcoes contınuas no intervalo [a, b], tais que 0 6 g(x) 6 f(x) para

todo o x ∈ [a, b].

Consideremos a regiao plana A limitada pelo grafico da funcao f , pelo grafico

da funcao g e pelas rectas x = a e x = b, ou seja,

A ={(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b , 0 6 g(x) 6 y 6 f(x)

}.

Consideremos agora que a regiao A faz uma rotacao de 2π em torno do eixo das

abcissas, ou seja, da uma volta completa em torno do eixo das abcissas. Desta forma

e criado um solido, ao qual chamamos solido de revolucao, cujo volume e dado por

π

∫ b

a

f 2(x)− g2(x)dx.

6.2. INTEGRACAO 113

De modo analogo, consideremos a regiao plana

B ={(x, y) ∈ R2 : 0 6 g(y) 6 x 6 f(y) , c 6 y 6 d

}.

Consideremos agora que a regiao B faz uma rotacao de 2π em torno do eixo das

ordenadas, ou seja, da uma volta completa em torno do eixo das ordenadas. Desta

forma e criado um solido, ao qual chamamos solido de revolucao, cujo volume e dado

por

π

∫ d

c

f 2(y)− g2(y)dy.

Exemplo 6.21. Consideremos a regiao

D ={(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 , 1 6 y 6 x2

}.

O volume do solido de revolucao quando fazemos uma rotacao em torno do eixo das

abcissas e dado pelo integral

π

∫ 2

1

(x2

)2 − 12dx = π

∫ 2

1

x4 − 1dx = π

[x5

5− x

]2

1

=

= π

(32

5− 2

)− π

(1

5− 1

)=

26π

5

Exemplo 6.22. Consideremos a regiao

D ={(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 , 1 6 y 6 x2

}.

Para calcular o volume do solido de revolucao quando fazemos uma rotacao em torno

do eixo das ordenadas, temos de reescrever a regiao D na forma

D ={(x, y) ∈ R2 : 1 6 y 6 4 ,

√y 6 x 6 2

},


e entao o volume e dado por

π

∫ 4

1

22 − (√

y)2 dy = π

∫ 4

1

4− ydy = π

[4y − y2

2

]4

1

=

= π

(16− 16

2

)− π

(4− 1

2

)=

9π

2

Areas de Superfıcies de Revolucao

Seja f uma funcao contınua e diferenciavel no intervalo [a, b].

Consideremos a curva dada por y = f(x) entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), ou

seja, a curva dada pelo grafico de f entre as rectas x = a e x = b.

Consideremos agora que a essa curva faz uma rotacao de 2π em torno do eixo

das abcissas, ou seja, da uma volta completa em torno do eixo das abcissas. Desta

forma e criada uma suprefıcie de revolucao, cuja area e dada por

2π

∫ b

a

f(x)

√1 + [f ′(x)]2dx.

De modo analogo, consideremos a curva dada por x = g(y) entre os pontos

(g(c), c) e (g(d), d), ou seja, a curva dada pelo grafico de g entre as rectas y = c e

y = d.

Consideremos agora que a essa curva faz uma rotacao de 2π em torno do eixo

das ordenadas, ou seja, da uma volta completa em torno do eixo das ordenadas.

Desta forma e criada uma suprefıcie de revolucao, cuja area e dada por

2π

∫ d

c

g(y)

√1 + [g′(y)]2dy.

Exemplo 6.23. Consideremos a curva dada por y =√

x entre os pontos (4, 2) e (9, 3),

na qual fazemos uma rotacao de 2π em torno do eixo das abcissas, obtendo uma

6.3. EXERCICIOS 115

superfıcie de revolucao, a qual tem area dada pelo integral

2π

∫ 9

4

√x

√1 +

(1

2√

x

)2

dx = 2π

∫ 9

4

√x

√1 +

1

4xdx = 2π

∫ 9

4

√x +

1

4dx =

= 2π

(x + 1

4

) 32

32

9

4

=4π

3

[(37

4

) 32

−(

17

4

) 32

]=

=π

6

(37

32 − 17

32

).

Exemplo 6.24. Repare-se que se fosse pretendido a area da superfıcie de revolucao

gerada pela mesma curva do Exemplo anterior (y =√

x entre os pontos (4, 2) e

(9, 3)), mas na qual fazemos uma rotacao de 2π em torno do eixo das ordenadas, a

mesma vinha dada pelo integral

2π

∫ 3

2

y2

√1 + (2y)2dy = 2π

∫ 3

2

y2√

1 + 4y2dy,

no qual podemos fazer uma substituicao do tipo y =senh t

2.

6.3 Exercıcios

Exercıcio 6.1. Calcule as seguintes primitivas imediatas.


1.

∫x3dx

2.

∫1

xdx

3.

∫− sen xdx

4.

∫cos xdx

5.

∫1

1 + x2dx

6.

∫exdx

7.

∫2x

x2 + 1dx

8.

∫ex+3dx

9.

∫3x2 + 5x + 1dx

10.

∫2x√

x2 + 3dx

11.

∫(x2 + 1)3dx

12.

∫10x cos

(5x2 + 7

)dx

13.

∫arctg x

1 + x2dx

14.

∫ln2 x

xdx

15.

∫cos(ln x)

xdx

16.

∫ex

1 + e2xdx

17.

∫1

3√

1 + xdx

18.

∫e2x + 3

2

1 + 3x + e2xdx

19.

∫− 4

cos2 xdx

20.

∫cos x

sen xdx

21.

∫4x3

x4 + 1dx

22.

∫arcsen2 x√

1− x2dx

23.

∫1

1 + (2x)2dx

Exercıcio 6.2. Calcule as seguintes primitivas quase imediatas.

6.3. EXERCICIOS 117

1.

∫3x

5√

1 + 5x2dx

2.

∫e

1x

x2dx

3.

∫cos

(2x− π

4

)dx

4.

∫1

x ln xdx

5.

∫2x−1dx

6.

∫senh(2x + 1) cosh(2x + 1)dx

7.

∫xe−x2

dx

8.

∫x + 2

x2 + 4xdx

9.

∫ex2+2 sen x (x + cos x) dx

10.

∫cos

√x√

xdx

11.

∫sen (arctan x)

1 + x2dx

12.

∫cos (ln x2)

xdx

13.

∫tg√

x√x

dx

14.

∫sen3 x cos4 xdx

15.

∫2x

cos2 (x2 + 1)dx

16.

∫1

x2 + 2x + 2dx

17.

∫2x + 1

x2 + 1dx

18.

∫1√

9− x2dx

19.

∫x√

7− (x4 − 2x2 + 1)dx

20.

∫cos x cos(2x)dx

Exercıcio 6.3. Calcule as seguintes primitivas utilizando a formula de primitivacao

por partes.

1.

∫xexdx

2.

∫ln xdx

3.

∫arctg xdx

4.

∫arcsen xdx

5.

∫sen(ln x)dx

6.

∫x sen xdx

7.

∫x cos(3x)dx

8.

∫x sen x cos xdx

9.

∫ex2

x3dx

10.

∫ (x2 + 1

)cos xdx

11.

∫ex cos xdx

12.

∫ln (ln x)

xdx

13.

∫x

sen2 xdx

14.

∫3x cos xdx

15.

∫x2−xdx

16.

∫cos2 xdx


Exercıcio 6.4. Calcule as seguintes primitivas utilizando a substituicao indicada.

1.

∫1

x√

x2 − 2dx, x =

1

t

2.

∫ √9− x2dx, x = 3 sen t

3.

∫ln x

x2dx, x = et

4.

∫sen x

2− sen2 xdx, cos x = t

5.

∫x√

x + 1dx, x = t2 − 1

6.

∫x2

√x2 − 4

dx, x = 2 cosh t

7.

∫ √9 + x2dx, x = 3 senh t ou x = 3 tg t

8.

∫1√

x(1− x)dx, x = sen2 t

9.

∫1 + x

1 +√

xdx, t =

√x

10.

∫sen(2x)√1 + sen2 x

dx, t = sen x

Exercıcio 6.5. Calcule as seguintes primitivas utilizando as substituicoes adequa-

das.

1.

∫1√

ex − 1dx

2.

∫ √1− x2dx

3.

∫ln x

x(1− ln2 x

)dx

4.

∫x2ex3

dx

5.

∫sen 4

√x− 1dx

6.3. EXERCICIOS 119

6.

∫sen

√x√

xdx, em R+

7.

∫1

ex + e−xdx

Exercıcio 6.6. Calcule as primitivas das seguintes funcoes racionais.

1.

∫x

(x− 1)(x + 2)(x + 3)dx

2.

∫x

(x− 1)(x + 1)2dx

3.

∫x3 + x + 1

x4 − 2x3 + x2dx

4.

∫x5 + x4 − 8

x3 − 4xdx

5.

∫x2

(x− 1)3dx

6.

∫1

(x2 + x− 2)(x + 5)dx

7.

∫3x2 − 4

(2− x)2(x2 + 4)dx

8.

∫x4

x− 1dx

9.

∫3x + 1

(x3 − x)(x + 5)dx

10.

∫x2 + 1

x2 − 3x + 2dx

11.

∫4x2 + x + 1

x3 − xdx

12.

∫2x3 + 5x2 + 6x + 2

x(x + 1)3dx

13.

∫1

(x + 2)(x2 + 1)dx

14.

∫x2 + 2

(x− 1)(x2 + x + 1)dx

15.

∫2x3 + x + 3

(x2 + 1)2dx

Exercıcio 6.7. Calcule as seguintes primitivas.

1.

∫ (x2 − 2x + 3

)ln xdx

2.

∫x3 − 1

4x3 − xdx

3.

∫sen x− cos x

sen x + 2 cos xdx

4.

∫x2 cos xdx

5.

∫arcsen

√x√

1− xdx

6.

∫x2

(x2 + 1)2dx

7.

∫sen x

sen x + cos xdx

8.

∫x sen x2 cos x2dx

9.

∫x

(5x2 − 3

)7dx

Exercıcio 6.8. Calcule f(x) sabendo que

1. f ′(x) = sen x e f(π) = π

2. f ′(x) = x√

x e f(1) = 2


3. f ′(x) = (x2 − 2x + 3) ln x e f(1) =7

18

4. f ′(x) =x2

(x2 + 1)2e f(0) = 2

5. f ′(x) =1

x ln√

xe f(e) = 1

Exercıcio 6.9. Calcule a primitiva das seguintes funcoes algebricas irracionais e

transcendentes.

1.

∫1√

x + 3√

xdx

2.

∫ √2x + 3

1− 4√

2x + 3dx

3.

∫x

√3√

x2 + 2dx

4.

∫1

x√

x2 − x + 2dx

5.

∫1

x√−x2 + 4x− 3

dx

6.

∫ √1− x2dx

7.

∫1√

(x2 + a2)3dx

8.

∫ √x2 − a2

xdx

9.

∫1

2 cos x + 1dx

10.

∫1

cos2 x− sen2 xdx

11.

∫1

ex + 1dx

Exercıcio 6.10. Seja P (t) a populacao de uma bacteria numa colonia no tempo t

(em minutos). Supondo que P (0) = 100 e que P (t) aumenta a uma taxa (variavel)

de 20e3t, quantas bacterias existem passados 50 dias?

Exercıcio 6.11. Uma partıcula parte da origem e tem uma velocidade (em centımetros

por segundo)

v(t) = 7 + 4t3 + 6 sin(πt)

depois de t segundos. Encontre a distancia percorrida em 200 segundos.

Exercıcio 6.12. A aceleracao (no instante t) de um ponto em movimento sobre

uma recta coordenada e a(t) = sen2 t cos tm/s2. Em t = 0 o ponto esta na origem e

a sua velocidade e 10m/s. Determine a sua posicao no instante t.

6.3. EXERCICIOS 121

Exercıcio 6.13. A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo

de uma recta e v(t) =t

e2tm/s. Se o ponto esta na origem quando t = 0, encontre a

sua posicao no instante t.

Exercıcio 6.14. Calcule os seguintes integrais.

1.

∫ 2

1

x2 − 2x + 3dx

2.

∫ 8

0

√2x + 3

√xdx

3.

∫ 1

√2

2

x arcsen x2dx

4.

∫ 0

−3

1√25 + 3x

dx

5.

∫ 1

0

x

x2 + 3x + 2dx

6.

∫ 1

−1

x4

x + 2dx

7.

∫ 1

0

1

x2 + 4x + 5dx

8.

∫ 1

0

x2

x3 + 1dx

9.

∫ π4

π6

sec2 tdt

10.

∫ e

1

x2 ln xdx

11.

∫ π2

0

sen3 ydy

12.

∫ −3

−2

1

x2 − 1dx

13.

∫ 0

1

ex(ex − 1)2

ex + 1dx (t = ex)

14.

∫ 1

0

y2

y6 + 4dy

15.

∫ 3

−2

3x + |x2 − 4x− 5|dx

16.

∫ √2

1

√4− x2dx (x = 2 sen t)

17.

∫ π4

−π4

tg xdx

18.

∫ 1

0

cosh xdx

19.

∫ −1

1

x2√

4− x2dx (x = 2 sen t)

20.

∫ 1

4

x12

1 + x12

dx (x = t2)

21.

∫ 12

1

et + 4

e2t + 4dt

22.

∫ e

1

sen(ln x)

xdx

23.

∫ √2

2

0

1√1− x2

dx x = sen t

24.

∫ π2

0

x cos(2x)dx

Exercıcio 6.15. Calcule F ′(x), sendo F (x) =

∫ x

2

e−t2dt.

Exercıcio 6.16. Calcule ϕ′(x), sendo ϕ(x) =

∫ 3

x

x2esen tdt.

Exercıcio 6.17. Calcule a derivada em ordem a x, para x 6= 0, das seguintes

funcoes.


1. f(x) =

∫ x

12

cos t2dt

2. f(x) =

∫ x2

arcsen x

sen t

tdt

3. f(x) =

∫ x2+1

ln x

sen tdt

Exercıcio 6.18. Calcule f ′(1) e f ′′(0), sendo f(x) =

∫ x

0

(t + 1)−1

2dt.

Exercıcio 6.19. Determine o valor da constante a, sabendo que f(x) =

∫ a ln x

x

et2dt

e f ′(1) = 0.

Exercıcio 6.20. Considere a funcao f : [1, +∞[→ R definida por f(x) =

∫ x2+x

2

ln t√t + 2

dt.

Prove que 23

f ′(1) = ln 2.

Exercıcio 6.21. Determine os extremos da funcao f(x) =

∫ x

12

t2 ln tdt, quando

x > 12.

Exercıcio 6.22. Considere a funcao f : [0, 1] → R definida por f(x) =

∫ x

x2

et2dt.

1. Calcule f ′(x).

2. Mostre que f tem pelo menos um extremo.

Exercıcio 6.23. Calcule o valor medio da funcao definida por g(x) = x arctg x em

[−1, 1].

Exercıcio 6.24. Calcule os seguintes limites:

1. limx→0

∫ x

0

sen(t3

)dt

x4

2. limx→0

∫ x

0

xe−t2dt

1− e−x2 .

6.3. EXERCICIOS 123

Exercıcio 6.25. Mostre que se f e uma funcao par, entao

∫ a

−a

f(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx.

Exercıcio 6.26. Mostre que se f e uma funcao ımpar, entao

∫ a

−a

f(x)dx = 0.

Exercıcio 6.27. O cosseno integral de Fresnel

C(x) =

∫ x

0

cos(u2

)du

e usado na analise da difracao da luz. Determine:

1. limx→0

C(x)

x

2. limx→0

C(x)− x

x5

Exercıcio 6.28. Agua corre para dentro de um tanque a uma taxa de 2t + 3 litros

por minuto, onde t representa o tempo em horas depois do meio-dia. Se o tanque

esta vazio as 12h e tem a capacidade de 1000 litros, quando estara cheio?

Exercıcio 6.29. Calcule as areas das seguintes regioes do plano.

1. Limitada pela curva y = x2, o eixo das abcissas e as rectas x = 1 e x = 3.

2. Limitada pelo curva y = sen x e o eixo das abcissas quando 0 6 x 6 2π.

3. Limitada pela parabola y = −x2 + 4x e o eixo das abcissas.

4. Limitada pelas curvas y =√

x e y = x2.

5. Limitada pela curva y = ln x, pelo eixo das abcissas e pela recta x = e.

6. Limitada pelas curvas y = ex e y = e−x e pelas rectas x = 0 e x = 1.


7. Limitada pela parabola x = −y2 + 2y + 8, o eixo das ordenadas e as rectas

y = −1 e y = 3.

8. Limitada pela circunferencia de raio r de centro no ponto (0, 0).

9. Limitada pelos graficos das funcoes f(x) = sen x e g(x) = cos x e pelas rectas

x = 0 e x = π.

10. Limitada pelos graficos das funcoes f(x) = arcsen x e g(x) = arccos x e pela

recta x = 0.

11. Limitada pelo eixo das ordenadas e pela parabola com vertice no ponto (1, 0)

e que passa pelos pontos (0, 1) e (0,−1).

12. Limitada pelas circunferencias x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x e pelas rectas y = x

e y = 0.

13. Limitada pelas linhas de equacao xy = 3 e y + x− 4 = 0.

14. Limitada pelo grafico da funcao y = arctg x e pelas rectas de equacao x = 1 e

y = 0.

Exercıcio 6.30. Calcule os comprimentos das seguintes curvas planas.

1. Circunferencia de raio r.

2. Elipse com eixos de comprimento 2 e 4.

3. Curva C determinada pelo grafico da funcao f : [−1, 1] → R definida por

f(x) = cosh x.

4. Curva C determinada pelo grafico da funcao f :[0, π

4

] → R definida por

f(x) = ln(cos x).

5. Arco da curva y =a

2

(e

xa + e−

xa

), quando a > 0 e 0 < x < a.

Exercıcio 6.31. Calcule o volume dos seguintes solidos de revolucao.

6.3. EXERCICIOS 125

1. Uma esfera de raio 2.

2. Um cilindro de raio da base 3 e altura 3.

3. Gerado pela rotacao de 2π em torno do eixo das abcissas da regiao

D = {(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 3 , 0 6 y 6 4x}.

4. Gerado pela rotacao de 2π da regiao do primeiro quadrante, limitada pela

parabola y2 = 8x e pela recta x = 2

(a) Em torno do eixo das abcissas.

(b) Em torno da recta x = 2.

(c) Em torno do eixo das ordenadas.

5. Gerado pela rotacao de 2π em torno do eixo das ordenadas da regiao

A ={(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 ex − 1 , 0 6 x 6 1

}.

6. Gerado pela rotacao de 2π em torno do eixo das abcissas da regiao do plano

definida por x2 + y2 6 4 e 0 6 y 6 x.

7. Gerado pela rotacao de 2π em torno do eixo das abcissas da regiao

A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4 , y > −x , 0 6 y 6 2 , x 6 0

}.

8. Gerado pela rotacao de 2π em torno da recta y = 1 da regiao limitada pelo

grafico da funcao f : [−1, 1] → R definida por f(x) = ex+1, pela rectas x = −1,

x = 1 e y = 1.

Exercıcio 6.32. Seja D a regiao do plano definida por

D ={(x, y) ∈ R2 : y 6 ex , y > −x2 − 1 , |x| < 1

}.


1. Calcule a area da regiao plana D.

2. Seja D1 a parte da regiao D que esta no 3o quadrante. Calcule o volume do

solido de revolucao que se obtem girando D1 em torno do eixo dos yy.

Exercıcio 6.33. Calcule a area das seguintes superfıcies de revolucao.

1. Gerada pela rotacao de 2π em torno do eixo das ordenadas da curva y = x2

entre x = 1 e x = 2.

2. Gerada pela rotacao em torno do eixo das ordenadas do arco x = y3 entre

y = 0 e y = 1.

3. Solido de revolucao gerado pela rotacao de 2π em torno do eixo das abcissas

da regiao

A ={(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 3 , 0 6 y 6 4x

}.

4. Cone de altura 3 e raio da base 4.

Bibliografia

[1] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise Matematica, Fundacao Calouste Gul-

benkian.

[2] Mario Figueira, Fundamentos de Analise Infinitesimal, Departamento de Ma-

tematica da Faculdade de Ciencias da Universidade de Lisboa, 2001.

127

sebenta calculo

Documents