sebenta de alga

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Isabel Cabral Cec Perdigo lia a Carlos Saiago

ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANAL ITICA

2006/2007 (Verso Provisria) a o

Indice

0 Preliminares 0.1 0.2 0.3 0.4 Notaes envolvendo conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co O conjunto dos nmeros complexos: algumas denies e resultados . . . . . u co Propriedades da adio e da multiplicao em R e em C . . . . . . . . . . . . ca ca Propriedades de operaes envolvendo conjuntos arbitrrios . . . . . . . . . . co a

1 1 3 6 10

1 Matrizes 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaes com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co Inversa de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transposio de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Conjugada/Transconjugada de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 17 28 32 35

Transformaes elementares sobre linhas de uma matriz. Matrizes elementares 37 co Matrizes em forma de escada. Caracter stica de uma matriz . . . . . . . . . . Caracterizaes das matrizes invert co veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solues de alguns dos exerc co cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 47 53

2 Sistemas de Equaes Lineares co Solues de alguns dos exerc co cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

55 71

3 Determinantes

73

Solues de alguns dos exerc co cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Espaos Vectoriais c 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

103

Espaos vectoriais: Denio, exemplos e propriedades . . . . . . . . . . . . . 103 c ca Subespaos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 c Dependncia e independncia linear e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Sequncias geradoras e sequncias independentes . . . . . . . . . . . . . . . . 132 e e Bases do espao soma de dois subespaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 c c Solues de alguns dos exerc co cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5 Aplicaes Lineares co 5.1 5.2 5.3 5.4

159

Aplicaes lineares: Denio, exemplos e propriedades . . . . . . . . . . . . 159 co ca Imagem de uma aplicao. Ncleo de uma aplicao linear . . . . . . . . . . . 166 ca u ca Composio de aplicaes. Aplicaes invert ca co co veis/bijectivas . . . . . . . . . . 178 Matriz de uma aplicao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 ca Solues de alguns dos exerc co cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6 Valores e Vectores Prprios o 6.1 6.2 6.3

197

Valores, vectores e subespaos prprios de uma matriz . . . . . . . . . . . . . 197 c o Matrizes diagonalizveis: Denio e caracterizaes . . . . . . . . . . . . . . 204 a ca co Valores e vectores prprios de um endomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . 210 o Solues de alguns dos exerc co cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

iv

Cap tulo 0

Preliminares0.1 Notaes envolvendo conjuntos co

Sejam A e B conjuntos. Se A e B tm os mesmos elementos escrevemos A = B. Caso e contrrio, escrevemos A = B. Utilizamos a notao A B, e lemos A est contido em B a ca a ou A subconjunto de B, para representar que todo o elemento do conjunto A tambm e e e elemento do conjunto B, isto , e x x A = x B.

Caso contrrio, escrevemos A B. Neste caso, dizemos que A no est contido em B ou a a a que A no subconjunto de B o que equivale a armar que existe pelo menos um elemento a e de A que no pertence ao conjunto B, isto , a e x Usamos a notao A ca x A x B.

B com o signicado A B A = B.

Tem-se A = B se, e s se, AB e BA, o pelo que utilizaremos frequentemente uma das implicaes anteriores para demonstrar que co dois conjuntos so iguais. a Alguns conjuntos podem ser obtidos a partir de outros atravs de operaes sobre estes, e co das quais as mais conhecidas so a unio e a interseco de conjuntos. A unio (tambm a a ca a e

2 designada por reunio) dos conjuntos A e B, que se denota por AB, o conjunto cujos a e elementos so os que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A e B, isto , a e A B = {x : x A x B}. A interseco dos conjuntos A e B, que se denota por AB, o conjunto formado pelos ca e elementos comuns a A e a B, ou seja, A B = {x : x A x B}. Dados dois conjuntos A e B podemos ainda denir o complementar de B em A, que denotaremos por A \ B ou A B, que o conjunto cujos elementos so os elementos de A e a que no pertencem a B, isto , a e A \ B = {x : x A x B}.

Ao longo do texto utilizaremos alguns conjuntos, bem conhecidos, de nmeros, que seguidau mente referimos com a respectiva notao. ca Conjunto dos nmeros naturais u N = {1, 2, 3, . . .}. Conjunto dos nmeros inteiros u Z = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Conjunto dos nmeros racionais u Q={ Conjunto dos nmeros reais u R. Sendo W {Z, Q, R} utilizamos os conjuntos W+ = {x W : x > 0}, W = {x W : x < 0} Notemos que N Z Q R. e W+ = {x W : x0}, 0 W = {x W : x0}. 0 m : m, n Z , n = 0}. n

3 Os nmeros e, u 2 e so exemplos de nmeros reais que no so racionais. a u a a

Podemos visualizar o conjunto R comeando por pensar numa recta a que chamaremos c eixo real e por marcar nessa recta dois pontos que representem o nmero 0 e o nmero 1. u u

0

1

` A distncia entre tais pontos chamaremos a unidade de medida. a Obtemos facilmente uma correspondncia biun e voca entre cada nmero real e cada ponto u da recta, isto , uma correspondncia tal que a cada ponto da recta ca a corresponder e e um e um s nmero real e reciprocamente, convencionando, por exemplo, que cada nmero o u u positivo (respectivamente, negativo) representado por um ponto ` direita (respectivamente, e a a ` esquerda) do zero a uma distncia deste igual ao seu valor absoluto ou mdulo multiplicado a o pela unidade de medida. Assim, por exemplo, aos nmeros 3 , u 2 seguintes.s2 3 2 1 0 1 2

e 2 correspondem os pontos assinalados com

s1 2

s1 2

0.2

O conjunto dos n meros complexos: algumas denies u co e resultados

Consideremos agora a equao ca x2 + 1 = 0. Sabemos que se R ento 2 R+ e, portanto, 2 + 1 1. Assim a equao anterior no a ca a 0 tem ra zes em R. Recordemos um outro conjunto importante de nmeros, conhecido por conjunto dos nmeros u u complexos e representado habitualmente por C = {a + bi : a, b R} onde i, designada por unidade imaginria, satisfaz a condio a ca i2 = 1.

4 Seja z = a + bi, com a, b R. A a chamamos a parte real de z e escrevemos a = Re(z). A b chamamos a parte imaginria de z e escrevemos b = Im(z). Se b = 0 temos z = a R. a Se a = 0 temos z = bi e dizemos que z imaginrio puro. Assim, podemos dizer que e a todos os nmeros reais so tambm nmeros complexos (so aqueles cuja parte imaginria u a e u a a igual a 0), pelo que a cadeia de incluses referida anteriormente pode ser completada: e o N Z Q R C.

A melhor maneira de visualizar o conjunto C pensar nos pontos de um plano, o plano e complexo. Traando no plano um sistema de dois eixos perpendiculares, e identicando o c nmero complexo a + bi com o ponto de coordenadas (a, b), obtm-se uma correspondncia u e e biun voca entre C e o conjunto dos pontos do plano. yTb

sa + bi

EO a

x

Todo o nmero complexo z = a + bi alm de se poder representar nesta forma, designada u e por forma algbrica de z, tambm pode ser representado numa outra forma, por vezes e e mais conveniente, designada por forma polar ou trigonomtrica de z. Seja z um nmero e u complexo no nulo, identicado com um ponto do plano complexo. a yTb

O

Bsz = a + bi |z| Ea

x

A distncia de z ` origem O, habitualmente designada por mdulo de z e representado por a a o |z|, a2 + b2 , isto , e e |z| = a2 + b2 .

5 Notemos que se designa por conjugado de z o nmero u z = a bi. Como zz = (a + bi)(a bi) = a2 + b2 , tem-se zz = |z|2 . A medida do ngulo que a semi-recta que vai de O para z faz com a parte positiva do eixo a real designa-se argumento de z e representado por arg(z). Cada nmero complexo no e u a nulo tem uma innidade de argumentos, diferindo uns dos outros por mltiplos inteiros de u 2. Sendo |z| = e arg(z) = , como Re(z) = cos e Im(z) = sen , podemos escrever z = (cos + i sen ), que a forma polar ou trigonomtrica de z. Utiliza-se a abreviatura cis para repree e sentar cos + i sen . Se z1 = 1 cis 1 e z2 = 2 cis 2 so tais que z1 = z2 ento 1 = 2 mas, quanto aos a a argumentos, s se pode concluir que 1 2 um mltiplo inteiro de 2. o e u Calculando o produto de dois nmeros complexos z1 = 1 cis 1 e z2 = 2 cis 2 obtm-se u e z1 z2 = (1 cis 1 )(2 cis 2 ) = 1 2 cis(1 + 2 ).

Por induo sobre n, podemos ento concluir facilmente que se tem ca a ( cis )n = n cis(n), para todo n N, conhecida por frmula de De Moivre. o Utilizando tal frmula vejamos que todo o nmero w tem, em C, n ra o u zes de ndice n, ou equivalentemente, que existem z1 , . . . , zn C tais quen zi = w.

Consideremos a equao, em z, ca z n = w,

6 ou equivalentemente, considerando z = cis e w = cis , n cis(n) = cis . Assim n = o que equivalente a e = n1

e

n = 2k, k Z, + 2k , k Z. n

e

=

Ento w pode tomar exactamente os seguintes valores, em nmero de n, a u n cis1

+ 2k n

, k = 0, 1, . . . , n 1.

(Escrevemos k = 0, 1, . . . , n 1, porque se conclui que as ra zes s tm n valores distintos e o e que se obtm para estes valores de k.) e zes em R, tem em C A equao x2 + 1 = 0, ou equivalentemente x2 = 1, que no tem ra ca a duas ra zes: i e i. Um conhecido teorema, que no demonstraremos, arma mais: a Qualquer equao de grau n, com n maior ou igual a 1, tem exactamente n ra ca zes em C.

0.3

Propriedades da adio e da multiplicao em R e em C ca ca

Recordemos que em R est denida uma operao designada por adio e denotada por a ca ca +, que quaisquer que sejam os nmeros reais a e b faz-lhe corresponder, um, e um s, u o nmero real representado habitualmente por a + b e que se designa por soma de a com b. u Tal operao de adio tem as seguintes propriedades: ca ca (i) A adio em R comutativa, isto , ca e e a,bR (ii) A adio em R associativa, isto , ca e e a,b,cR (a + b) + c = a + (b + c). a + b = b + a.

(iii) Existe elemento neutro para a adio em R, isto , ca e uR aR Tem-se, como sabemos, u = 0. a + u = u + a = a.

7 (iv) Todo o elemento de R tem um oposto para a adio, tambm designado por oposto ca e aditivo ou simtrico, isto , e e aR a R Tem-se, como sabemos, a = a. Utilizamos ainda a notao a b para representar a + (b). ca Em R est tambm denida uma operao designada por multiplicao e denotada por a e ca ca ou por , que quaisquer que sejam os nmeros reais a e b faz-lhes corresponder um, u e um s, nmero real representado habitualmente por ab, ab ou simplesmente por ab, e o u que se designa por produto de a por b. Tal operao de multiplicao tem as seguintes ca ca propriedades: (i) A multiplicao em R comutativa, isto , ca e e a,bR ab = ba. a + a = a + a = 0.

(ii) A multiplicao em R associativa, isto , ca e e a,b,cR (ab)c = a(bc).

(iii) Existe elemento neutro para a multiplicao em R, isto , ca e vR aR Tem-se, como sabemos, v = 1. (iv) Todo o elemento no nulo de R tem um oposto para a multiplicao, tambm a ca e designado por oposto multiplicativo ou inverso, isto , e aR\{0} a Como sabemos, tem-se a =1 a R

av = va = a.

aa = a a = 1.

tambm representado por a1 . ea b

Se b = 0, utilizamos a notao ca

para representar a 1 . b

Envolvendo as operaes de adio e de multiplicao em R temos a propriedade distributiva co ca ca da multiplicao em relao ` adio, ` esquerda (respectivamente, ` direita), que estabelece ca ca a ca a a a,b,cR a(b + c) = ab + ac

8 (respectivamente, a,b,cR (a + b)c = ac + bc ).

A adio e a multiplicao de nmeros complexos denem-se, respectivamente, da seguinte ca ca u forma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i, com a, b, c, d R. De facto, so as denies que naturalmente surgem considerando propriea co dades idnticas `s anteriormente referidas da adio e de multiplicao em R, conjuntamente e a ca ca com a igualdade i2 = 1. Estas operaes gozam das mesmas propriedades algbricas que as correspondentes no conco e junto dos nmeros reais: comutatividade, associatividade e distributividade da multiplicao u ca relativamente ` adio. Os nmeros complexos 0 = 0 + 0i e 1 = 1 + 0i so os elementos a ca u a neutros para a adio e a multiplicao, respectivamente. O inverso do nmero complexo ca ca u a + bi = 0 e 1 a bi a bi a b = = 2 = 2 + 2 i. 2 2 a + bi (a + bi)(a bi) a +b a +b a + b2

Faamos ainda referncia a uns conjuntos, e a algumas operaes neles denidas, que se c e co revelaro muito importantes para o nosso estudo e que constituem, de facto, generalizaes a co do que referimos anteriormente nesta seco. ca Seja K {R, C}. Pensemos no conjunto de todos os pares (ordenados) de elementos de K, habitualmente representado por K K, ou abreviadamente, K2 = {(a, b) : a, b K}. Sabemos que para quaisquer (a, b) K2 e (c, d) K2 se tem (a, b) = (c, d) se, e s se, a = c e b = d. o Podemos denir uma adio, em K2 , da seguinte forma ca (a,b),(c,d)R2 (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

que, vericamos facilmente, ser comutativa, associativa, ter elemento neutro (o par ordenado (0, 0)) e em que todo o elemento tem oposto, para essa adio (o oposto do par (a, b) o par ca e (a, b)).

9 Consideremos agora uma outra operao, que associa a cada K e a cada par (a, b) K2 ca um elemento de K2 , da seguinte forma K (a,b)K2 (a, b) = (a, b)

e a que chamaremos multiplicao por escalar , em K2 . ca Imaginamos, facilmente, como ser a adio e a multiplicao por um escalar em a ca ca K3 = {(a1 , a2 , a3 ) : a1 , a2 , a3 K}, a cujos elementos chamamos ternos de elementos de K e, mais geralmente, para qualquer n N, em Kn = {(a1 , . . . , an ) : a1 , . . . , an K} a cujos elementos chamamos n-uplos de elementos de K. Mais especicamente, n-uplos de reais se K = R ou n-uplos de complexos se K = C. Se (a1 , . . . , an ) Kn e (b1 , . . . , bn ) Kn ento teremos a (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) se, e s se, o ai = bi , para todo i {1, . . . , n}.

As operaes correspondentes de adio e multiplicao por um escalar so, respectivamente, co ca ca a (a1 ,...,an ),(b1 ,...,bn )Kn e K (a1 ,...,an )Kn (a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an ). (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn )

Note que estamos a representar pelo mesmo s mbolo a operao de adio em K e a operao ca ca ca de adio em Kn , uma vez que no h ambiguidade. O mesmo sucede ` multiplicao por ca a a a ca escalar entre um escalar e um elemento de K e entre um escalar e um elemento de Kn .Exerc cio 0.1 Seja K {R, C}. Mostre que: (a) Quaisquer que sejam (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ), (c1 , . . . , cn ) Kn , temos: (i) (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (b1 , . . . , bn ) + (a1 , . . . , an ); (ii) ((a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn )) + (c1 , . . . , cn ) = (a1 , . . . , an ) + ((b1 , . . . , bn ) + (c1 , . . . , cn )); (iii) (a1 , . . . , an ) + (0, . . . , 0) = (0, . . . , 0) + (a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an ); (iv) (a1 , . . . , an ) + (a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an ) + (a1 , . . . , an ) = (0, . . . , 0). (b) Quaisquer que sejam , K e (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) Kn , temos: (i) (ii) (iii) (iv) ((a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn )) = (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ); ( + )(a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an ) + (a1 , . . . , an ); ()(a1 , . . . , an ) = ((a1 , . . . , an )); 1(a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an ).

Exerc cio 0.2 Em relao ao exerc anterior escreva as propriedades (b)(ii) e (b)(iii), ca cio considerando que a adio em Kn representada por e a multiplicao por escalar, em ca e ca Kn , representada por . e

10

0.4

Propriedades de operaes envolvendo conjuntos arbitrrios co a

Seja A um conjunto no vazio. Dizemos que uma operao binria em A se uma a e ca a e aplicao de A2 em A, isto , a cada par (a, b) de elementos de A faz corresponder um, e um ca e s, elemento de A que habitualmente denotado por ab. o e A adio e a multiplicao em R e em C so operaes binrias. Por exemplo, em Z+ , em Z ca ca a co a 0 ca e em R+ a adio usual uma operao binria. A multiplicao usual no uma operao ca e ca a ca a e 0 binria em Z , mas binria em Z+ e em R+ . a e a 0 0Exerc cio 0.3 Indique se uma operao binria: e ca a (a) A adio em Q. ca (b) A multiplicao em Q. ca (c) A multiplicao em Z+ . ca (d) A multiplicao em Z . ca 0 (e) A adio usual de polinmios no conjunto dos polinmios de grau igual a 2, ca o o na varivel x, com coecientes em R. a (f) A adio usual de polinmios no conjunto dos polinmios de grau ca o o inferior ou igual a 2, na varivel x, com coecientes em R, denotado haa bitualmente por R2 [x]. (g) O que sucede se, em (f), substituirmos 2 por n N, arbitrrio, e R por a K {R, C}?

Seja uma operao binria em A. Dizemos que: ca a (i) A operao comutativa (em A) se ca e a,bA (ii) A operao associativa (em A) se ca e a,b,cA (ab) c = a (bc) . ab = ba.

(iii) Existe elemento neutro para a operao (em A) se ca uA aA au = ua = a.

Notemos que o elemento neutro, quando existe, unico. De facto, se u e u fossem ambos e elementos neutros para a operao (em A) ter-se-ia ca uu = u , por u ser elemento neutro e uu = u, por u ser elemento neutro.

11 Logo u=u. Se uma operao binria em A, com elemento neutro u, dizemos que aA tem oposto e ca a (para a operao ) se existe a A tal que aa = a a = u. ca Quando a operao associativa, se existe oposto de aA ele unico. De facto, se v e v ca e e fossem ambos opostos de a, isto , se se vericasse e av = va = u e simultaneamente av = v a = u ento concluir a amos que v = vu = v av = (va) v = uv = v .

Dizemos que A, com a operao binria , um grupo, ou simplesmente, que (A, ) um ca a e e grupo se, em A, a operao associativa, tem elemento neutro e todo o elemento de A tem ca e oposto, isto , alm das propriedades (ii) e (iii) verica-se: e e (iv) aA vA av = va = u.

Dizemos que A, com a operao binria , um grupo comutativo se um grupo e a ca a e e operao comutativa, isto , se se vericam as propriedades (i), (ii), (iii) e (iv). ca e eExerc cio 0.4 Indique quais das propriedades (i) a (iv) so satisfeitas pelas operaes a co binrias seguidamente referidas e nos conjuntos indicados: a (a) A adio, em R+ . ca 0 (b) A multiplicao, em Z \ {0}. ca (c) A adio, em R2 [x], sendo R2 [x] o conjunto dos polinmios, na varivel x, ca o a com coecientes em R, com grau inferior ou igual a 2. (d) A multiplicao, em R \ {0}. ca

Cap tulo 1

Matrizes1.1 Generalidades

Seja K {R, C}. Aos elementos de K (reais ou complexos) chamaremos escalares.

Denio 1.1 Chama-se matriz de tipo mn, sobre K, a qualquer aplicao de ca ca {1, . . . , m} {1, . . . , n} em K.

Como cada uma dessas aplicaes ca perfeitamente determinada se conhecermos o eleco mento, unico, de K correspondente a cada par (i, j), com i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n, usual e indicar tais imagens num quadro com m linhas e n colunas em que a imagem do par (i, j) o elemento de K que se encontra na linha i e coluna j. Assim, surge frequentemente, a e seguinte denio de matriz. ca

Denio 1.2 Sejam m, n N. Chama-se matriz do tipo mn, sobre K, a qualquer ca quadro que se obtenha dispondo mn elementos de K segundo m linhas e n colunas, isto , a qualquer quadro da forma eP Q

A=

A11 T T A 21 T T . T . T . R Am1

A12 A22 . . . Am2

.. .

A1n A2n . . . Amn

U U U U, com U U S

Aij K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Os escalares Aij dizem-se os elementos da matriz A.

14

Para cada i, i = 1, . . . , m, e para cada j, j = 1, . . . , n, dizemos que Aij o elemento e de A situado na linha i e na coluna j. Tal elemento tambm referido como a entrada e e (i, j) de A ou como o elemento (i, j) de A. Chamamos linha i de A, com i {1, . . . , m}, ao elemento de Kn , isto , ao n-uplo e (Ai1 , Ai2 , . . . , Ain ). Chamamos coluna j de A, com j {1, . . . , n}, ao elemento de Km , isto , ao m-uplo (A1j , A2j , . . . , Amj ). e

Notao 1.3 ca

O conjunto das matrizes do tipo mn sobre K ser representado por a

Mmn (K). Se m = n tambm se utiliza a notao Mn (K). e ca E frequente denotarmos a entrada (i, j) de uma matriz A por Aij . A matriz A Mmn (K) da denio pode ser apresentada abreviadamente na forma ca A = [Aij ]mn , ou, simplesmente, A = [Aij ] se o tipo da matriz for bvio pelo contexto o ou no for importante para a questo em estudo. a a4 5

Exemplo 1.4

Seja A =

1 1

i 0

2 + 3i 3

. Tem-se A M23 (C), a linha 2 de A e

(1, 0, 3) e a coluna 3 de A (2 + 3i, 3). e

A denio de igualdade de matrizes surge de forma natural. ca

Denio 1.5 Dizemos que as matrizes A, B Mmn (K) so iguais, e escrevemos ca a A = B, se Aij = Bij , para i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Note que s podem ser iguais matrizes que sejam do mesmo tipo e sero iguais se, alm o a e disso, os elementos que ocupam a mesma posio em ambas as matrizes, a que chamaremos ca elementos homlogos, forem iguais. oP

Exemplo 1.6

As matrizes A =

T T R

1 2 i

0 1 1

a

Q

P

U i U, S 0

B =

T T 2 R b

1

0 1 1

U i U S 0

3

Q

M33 (C) so a

iguais se, e s se, a = 3 e b = i. o

Vejamos alguma terminologia e notaes bsicas envolvendo matrizes. co a

15

Denio 1.7 Seja A Mmn (K). ca A diz-se uma matrizlinha se m = 1. A diz-se uma matrizcoluna se n = 1. A diz-se uma matriz quadrada se m = n. Neste caso diz-se que A quadrada de e ordem n ou, simplesmente, que A uma matriz de ordem n. e

P

Exemplo 1.8h i

A=

Q 1 T U T 3 U R S 2

uma matriz-coluna. B = e4

h

i

1

35

uma matriz-linha. C = e uma matriz (quadrada) e

2

uma matriz-linha e uma matriz-coluna. D = e

2 1

3 1

de ordem 2.

Denio 1.9 Seja A uma matriz de ordem n, isto , uma matriz da forma ca eP

A=

A11 T T A 21 T T T . T . R . An1

A12 A22 . . . An2

.. .

Q

A1n A2n . . . Ann

U U U U. U U S

Aos elementos A11 , A22 , . . . , Ann chamamos os elementos diagonais de A. Chamamos diagonal principal de A ao n-uplo (A11 , A22 , . . . , Ann ). Dizemos que A triangular superior se e Aij = 0 ou seja, se A tem a formaP T T T T T T R

para

i > j,Q

A11 0 . . . 0

A12 A22 . . . 0

.. .

A1n A2n . . . Ann

U U U U. U U S

Dizemos que A triangular inferior se e Aij = 0 ou seja, se A tem a formaP T T A 21 T T T . . T . R An1

para

i < j,Q

A11

0 A22 . . . An2

.. .

0 0 . . . Ann

U U U U. U U S

16

Dizemos que A uma matriz diagonal se e Aij = 0 ou equivalentemente, Aij = 0 para i>j e Aij = 0 para i < j. para i = j,

Assim, dizer que A uma matriz diagonal equivale a armar que A simultaneamente e e triangular superior e triangular inferior ou, ainda, que A tem a formaP T T T T T T R Q

A11 0 . . . 0

0 A22 . . . 0

.. .

0 0 . . . Ann

U U U U. U U S

Uma matriz diagonal em que todos os elementos diagonais so iguais diz-se uma a matriz escalar . Um matriz escalar , pois, uma matriz da forma eP T T T T T T R Q

0 . . . 0

0 . . . 0

.. .

0 0 . . .

U U U U. U U S

` A matriz escalar de ordem n cujos elementos diagonais so todos iguais a 1 chamamos a matriz identidade de ordem n e representamos por In . 1, Notemos que In = [ij ], sendo ij o s mbolo de Kronecker ( ij = 0, se i = j se i = j

).

P

Exemplo 1.10

A matriz A =5

3 T T 0 R 0

0 2 0

U 1 U S 4

1

Q

triangular superior e a diagonal principal e

de A (3, 2,4 e 4). A matriz B =4

2 0

0 3

uma matriz diagonal, mas no uma matriz escalar. As matrizes e a eP

C=

2 0

0 2

5

e I3 =

1 T T 0 R 0

0 1 0

0

Q

U 0 U S 1

so matrizes escalares. a

17Exerc cio 1.1 Considere as seguintes matrizes: 1 A=R 2 1P

1 1 1

0 1 3

Q P 1 3 0 S, B = R 0 1 0

0 2 0

Q P Q 0 1 0 S, C = R 1 S, D = 3 1 2 Q P 4 0 S, H = R 1 5 6 2

1

4

1

E=

P 0 T 0 T 2 , F =R 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Q P 0 1 0 U U, G = R 2 0 S 3 0

0 0 4

Q 0 0 S e I= 0

1 0

0 1

!

.

Indique: (a) O tipo de cada matriz. (b) Quais das matrizes so quadradas. a (c) Quais das matrizes so triangulares inferiores. a (d) Quais das matrizes so diagonais. a (e) Quais das matrizes so escalares. a

Exerc cio 1.2 Escreva a matriz A M33 (R) tal que: 1, 0, X 1, & 1, = 1,V `

(a) Aij =

se i > j se i = j . se i < j se i + j par e . se i + j e mpar

(b) Aij

1.2

Operaes com matrizes co

Vejamos algumas operaes envolvendo matrizes. co Comecemos pela operao de adio em Mmn (K), que faz corresponder a cada par ca ca de matrizes de Mmn (K) uma, e uma s, matriz de Mmn (K) denida como se segue. o

Denio 1.11 Sejam A, B Mmn (K). Chamamos soma das matrizes A e B, e ca denotamos por A + B, a matriz de Mmn (K) cuja entrada (i, j) Aij + Bij , isto , e e (A + B)ij = Aij + Bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

4

Exemplo 1.12

Sendo A =

2 0

3 5

0 1

5

4

eB =

3 2

1 0

4 3

5

4

tem-se A+B =

1 2

2 5

4 4

5

.

Vejamos que a adio em Mmn (K) tem propriedades idnticas `s da adio em K {R, C} ca e a ca que recordmos na Seco 0.2 do Cap a ca tulo 0. Proposio 1.13 Mmn (K), com a adio usual de matrizes, um grupo comutativo, isto ca ca e , vericam-se as propriedades: e

18 1. A,BMmn (K) A+B =B+A (comutatividade da adio em Mmn (K)). ca Dizemos ento apenas soma das matrizes A e B. a 2. A,B,CMmn (K) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adio em Mmn (K)). ca 3. 0mn Mmn (K) AMmn (K) A + 0mn = 0mn + A = A

(existncia de elemento neutro da adio em Mmn (K)), denotado por 0mn ). e ca 4. AMmn (K) AMmn (K) A + (A) = (A) + A = 0mn A). Demonstrao: caDemonstra-se cada igualdade mostrando que a matriz do primeiro membro (membro da esquerda) e a matriz do segundo membro (membro da direita) da igualdade so do mesmo tipo (isto , tm o mesmo nmero de linhas e o mesmo nmero de a e e u u colunas) e os seus elementos homlogos so iguais. o a Demonstramos apenas a propriedade 2, deixando as restantes como exerc cio. Sejam A, B, C Mmn (K). Note-se que (A + B) + C e A + (B + C) so ambas a matrizes do tipo mn. De acordo com a denio de adio de matrizes, tem-se ca ca (A + B) + Cij

(existncia de oposto para a adio, de todo o elemento A Mmn (K), denotado por e ca

= (A + B)ij + Cij = (Aij + Bij ) + Cij

e A + (B + C)ij

= A + (B + C)ij = Aij + (Bij + Cij ) .

Como Aij , Bij e Cij so elementos de K e em K a adio associativa, conclu a ca e mos que os elementos homlogos (A + B) + C oij

e A + (B + C)

ij

so iguais, para a

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Logo (A + B) + C = A + (B + C).

Note que, de acordo com o referido na Seco 0.4: ca O elemento neutro para a adio em Mmn (K) unico. Trata-se, obviamente, da ca e matriz de Mmn (K) com todos os elementos nulos, que designamos por matriz nula de Mmn (K). O oposto para a adio, de A Mmn (K), unico. Vericamos facilmente que ca e (A)ij = Aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

19 Notao 1.14 ca Se A, B Mmn (K), representamos por A B a matriz A + (B).

Vejamos agora a operao de multiplicao de um escalar por uma matriz . ca ca Trata-se de uma operao que associa a cada elemento de K e a cada elemento de Mmn (K) ca um elemento de Mmn (K) denido da seguinte forma.

Denio 1.15 Sejam K e A Mmn (K). Chamamos produto do escalar ca pela matriz A, e denotamos por A, a matriz de Mmn (K) cujo elemento (i, j) e Aij , isto , e (A)ij = Aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Vejamos as principais propriedades da operao de multiplicao de um escalar por uma ca ca matriz.

Proposio 1.16 Sejam A, B Mmn (K) e , K. Tem-se ca 1. (A + B) = A + B. 2. ( + )A = A + A. 3. ()A = (A). 4. 1A = A. 5. ()A = (A) = (A).

Demonstrao: caVamos demonstrar a propriedade 2. As restantes cam como exerc cio. Sejam A Mmn (K) e , K. Como A Mmn (K), A Mmn (K) conclu mos que (A + A) Mmn (K) tal como a matriz (+)A. Veriquemos que os elementos homlogos das matrizes ( + )A e A + A so iguais. o a Tem-se ( + )Aij

= ( + )Aij

e (A + A)ij = (A)ij + (A)ij = Aij + Aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

20Como, em K, a multiplicao distributiva em relao ` adio, sabemos que ca e ca a ca ( + )Aij = Aij + Aij . Logo ( + )A = A + A.

Notemos que para demonstrar a igualdade (A) = (A) da propriedade 5, teremos apenas que demonstrar que A + (A) = 0mn .

Exerc cio 1.3 Considere as matrizes de elementos reais A= Determine: (a) (A + B) + C. (b) 2A + (2C + 2B). (c) A B. (d) 2A 3(B + C). 3 1 1 1 0 1!

, B=

1 1

0 2

4 1

!

e C=

0 2

0 2

1 1

! .

Exerc cio 1.4 Dadas as matrizes A e B de elementos reais Q P P 1 1 1 0 0 e B=R 1 1 A=R 0 1 0 S 1 1 0 0 1 determine X M33 (R), tal que X + A = 2(X B).

Q 1 1 S, 1

Vejamos agora como se dene a multiplicao de matrizes. A primeira ideia que provaca velmente nos ocorre considerar que s se pode multiplicar uma matriz A por uma matriz e o B se ambas pertencem a Mmn (K) e a matriz resultante ser a matriz de Mmn (K) que se a obtm multiplicando os elementos homlogos de A e de B. Tal multiplicao designa-se por e o ca multiplicao de Hadamard e a matriz resultante, designada por produto de Hadamard ca de A por B, frequentemente denotada por A 5B. Por exemplo, o produto de Hadamard e 4 5 4 4 5 das matrizes A =1 2 0 0 3 1 3 3 5 2 1 4 3 10 0 0

eB=

a matriz A B = e

3

12

. (Veja

as propriedades desta operao.) ca No entanto, a maioria da documentao de Algebra Linear quando refere a operao de ca ca multiplicao de matrizes designa uma operao bastante mais complicada de efectuar que ca ca a multiplicao de Hadamard. ca

21 A razo de ser de tal denio s ser compreendida mais tarde, no cap a ca o a tulo das Aplicaes co Lineares. Denio 1.17 Sejam A Mmn (K) e B Mnp (K). Dene-se produto da matriz ca A pela matriz B, e representa-se por AB, a matriz de Mmp (K) tal que (AB)ij = Ai1 B1j + + Ain Bnj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p. Assim, (AB)ij =k=1 n

Aik Bkj .

Como se pode ver pela denio, o produto AB, isto , o produto da matriz A pela ca e matriz B (por esta ordem), apenas est denido se o nmero de colunas de A igual ao a u e nmero de linhas de B. Neste caso, o nmero de linhas de AB igual ao nmero de linhas u u e u de A e o nmero de colunas de AB igual ao nmero de colunas de B. O elemento (i, j) u e u de AB obtm-se a partir dos elementos da linha i de A e dos elementos da coluna j de B, e conforme indicado na denio. Esquematicamente, tem-se e caP P Q T T UT UT Ain ST . T . R . Q U U U U U U S

B1j B2j . . . Bnj

. . .

T T Ai1 R

Ai2

P

=

T T R

Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj

Q

U U. S

4

Exemplo 1.18

1. Sejam A =4

0 3

1 0

2 5

5

P

eB=

9 T T 8 R 1

8 2 0

U 6 U. S 4

7

Q

Ento a5

AB =4

09 + 1 (8) + 2 (1) 39 + 0 (8) + 5 (1) 5 10 2 14 22 24 41

08 + 1 (2) + 20 38 + 0 (2) + 50

07 + 16 + 24 37 + 06 + 54

=

.

Note que, neste caso, o produto BA no est denido, visto o nmero de colunas de B a a u ser diferente do nmero de linhas de A. uP T Q

2. Sejam A =

h

i

0

1

2

eB=T R AB =h

U 8 U. S 1

9

Ento ai

09 + 1 (8) + 2 (1)Q P

=

h

i

10Q

e

P

BA = T R

T

90 80 10

91 81 11

U 82 U S 12

92

=T R

T

0 0 0

9 8 1

U 16 U. S 2

18

224

3. Sejam A =4

1 1 5

2 2

5

4 4

,B=10 5

4 2 20 10

6 3 5

5

4

eC= e

2

6

5

AB =

0 0

0 0

,

BA =

AC =

1 3 4 5 0 0 0 0

. Tem-se .

Note que, neste caso, se tem (a) AB = BA; (b) AB = 0 com A = 0 e B = 0; (c) AB = AC, com A = 0 e B = C.

Exerc cio 1.5 Sejam Q 0 R 1 S M31 (R). B= 3 P

A=

1

2

1

M13 (R)

e

Determine, se poss vel, AB e BA.

Exerc cio 1.6 Considere as matrizes de elementos reais 2 , B=

A=

1

2 0

1 2

!

1 , C=R 0 2

P

Q 1 1 S e D= 0

1 1

1 1

1 0

! .

Determine, se poss vel, o produto: (a) AB; (b) BA; (c) CD; (d) DC.

Exerc cio 1.7 Sejam A Mmn (K) e B Mnp (K). Justique que, para calcular o produto AB, necessrio efectuar mpn multiplicaes e mp(n 1) adies, envolvendo e a co co elementos de K.

Exerc cio 1.8

(a) Considere as matrizes A = ! 1 1 M22 (R). Determine AB e BA. 2 2 ! 4 2 0 (b) Considerando as matrizes A = , C = 2 1 3 determine CA.

4 2

2 1!

!

,

B

=

3 0

M22 (R),

(c) Utilizando as al neas anteriores conclua que existem matrizes A, B e C, quadradas, da mesma ordem, tais que: (i) AB = BA; (ii) AB = 0 com A = 0 e B = 0; (iii) BA = CA, com A = 0 e B = C.

23Exerc cio 1.9 Considere as matrizes de elementos reais 1 A1 = R 0 1 3 B1 = R 1 1P P

2 0 1 1 1 1

Q 3 0 S, 1 Q 1 1 S, 1

2 A2 = R 1 1 1 B2 = R 0 1P

P

1 1 1

Q 0 1 S, 2

A3 =P

1 2

1 1 1 1 1

3 1

!

,Q 0 0 S, 0

0 A4 = R 0 0 1 B4 = R 1 4P

P

1 1 2

Q 1 2 S, 2

Q 1 0 S, 1

1 B3 = R 1 1

Q 2 1 S. 2

Determine Ai Bi , i = 1, 2, 3, 4.

Exerc cio 1.10 Mostre que se A Mmn (K) tem a propriedade AX = 0, para toda a matrizcoluna X Mn1 (K), ento A = 0mn . a Sugesto: Considere X = Ei , i = 1, . . . , n, sendo Ei Mn1 (K) a matrizcoluna a com todos os elementos nulos excepto o da linha i que igual a 1. e

Exerc cio 1.11 Sendo A = [Aij ] Mnn (K) designa-se por trao de A, e representa-se c por tr A, o elemento de K denido por tr A =n i=1

Aii .

Justique que: (a) tr (A + B) = tr A + tr B, quaisquer que sejam A, B Mnn (K). (b) tr (A) = tr A, quaisquer que sejam K e A Mnn (K). (c) tr (AB) = tr (BA), quaisquer que sejam A Mmn (K) e B Mnm (K). (d) No existem matrizes A, B Mnn (K) tais que a AB BA = In .

Vejamos as propriedades da multiplicao de matrizes. ca

Proposio 1.19 Seja A Mmn (K) e sejam B, C matrizes do tipo adequado de forma a ca que as operaes indicadas estejam denidas. Tem-se co

1. (AB)C = A(BC) (associatividade da multiplicao). ca 2. A(B + C) = AB + AC (distributividade, ` esquerda, da multiplicao em relao ` adio), a ca ca a ca (B + C)A = BA + CA (distributividade, ` direita, da multiplicao em relao ` adio). a ca ca a ca 3. (AB) = (A)B = A(B), para qualquer escalar de K.

24 4. AIn = Im A = A. 5. A multiplicao de matrizes no comutativa. ca a e 6. AB = 0 (A = 0 ou B = 0), isto , pode ter-se AB = 0 com A = 0 e B = 0. e 7. (AB = AC e A = 0) B = C, (BA = CA e A = 0) B = C.

Demonstrao: caInverteremos a ordem da demonstrao por assim ser crescente a ordem de dica culdade da mesma. Comecemos por observar que as propriedades 5, 6 e 7 esto j a a demonstradas (veja-se 3 do Exemplo 1.18 e (iii) do Exerc 1.8). cio 4. Demonstremos apenas a igualdade AIn = A uma vez que a demonstrao da igualdade Im A = A idntica. ca e e Como A e AIn pertencem ambas a Mmn (K) teremos apenas de demonstrar que Aij = (AIn )ij . 1 se i = j Recorde que In = [ij ], com ij = . Assim 0 se i = jn

(AIn )ij =k=1

Aik kj = Aij jj = Aij 1 = Aij ,

conforme se pretendia demonstrar. 3. Demonstremos a igualdade (AB) = (A)B. Sejam A Mmn (K) e B Mnp (K). Observe-se que as matrizes (AB) e (A)B pertencem ambas a Mmp (K) pelo que falta apenas demonstrar que (AB)ij

= (A)Bij

.

Pela denio de produto de um escalar por uma matriz e posteriormente pela ca forma como est denido o produto de matrizes, tem-se an

(AB)ij

= (AB)ij = k=1

Aik Bkj .

25Por outro lado, pela denio de produto de matrizes e posteriormente pela deca nio de produto de um escalar por uma matriz, tem-se can n

(A)Bij

=k=1

(A)ik Bkj =k=1

Aik Bkj .

Como , Aik e Bkj so elementos de K e em K a multiplicao distributiva em a ca e relao ` adio, podemos pr em evidncia e obter, conforme pretend ca a ca o e amos,n

(A)Bij

=k=1

Aik Bkj .

2. Sejam A Mmn (K) e B, C Mnp (K). Vejamos que A(B +C) = AB +AC. Como A Mmn (K) e B + C Mnp (K), a matriz A(B + C) Mmp (K). Dado que AB Mmp (K) e AC Mmp (K) ento AB + AC Mmp (K). a Logo A(B + C) e AB + AC pertencem ambas a Mmp (K). Da denio de produto de matrizes sabemos que o elemento (i, j) da matriz ca A(B + C), A(B + C)ij

, e

n k=1

Aik (B + C)kj . Como, pela denio de soma ca

de matrizes, se tem (B + C)kj = Bkj + Ckj , conclu mos quen

A(B + C)ij

=k=1

Aik (Bkj + Ckj ).

Por outro lado,n n

(AB + AC)ij = (AB)ij + (AC)ij =k=1

Aik Bkj +k=1

Aik Ckj .

Utilizando, por esta ordem, as propriedades distributiva da multiplicao em ca relao ` adio, comutativa e associativa da adio em K, tem-se ca a ca can n n

A(B + C)ij

=k=1

Aik (Bkj + Ckj ) =k=1

Aik Bkj +k=1

Aik Ckj

=

(AB)ij + (AC)ij = (AB + AC)ij .

Logo A(B + C) = AB + AC. (Analogamente se mostra que, para A, B Mmn (K) e C Mnp (K), se tem (A + B)C = AC + BC.) 1. Sejam A Mmn (K), B Mnp (K) e C Mpq (K). Como AB Mmp (K) e BC Mnq (K) ento (AB)C e A(BC) so ambas matrizes de Mmq (K). Da a a denio de produto de matrizes sabemos ainda que o elemento (i, j) da matriz ca (AB)C, (AB)Cij

, e

p k=1

(AB)ik Ckj . Como (AB)ik =p n

n s=1

Ais Bsk , con-

clu mos que (AB)Cij

=k=1 s=1

Ais Bsk

Ckj .

26De modo anlogo, an p

A(BC)ij

=s=1

Aisk=1

Bsk Ckj

.

Utilizando as propriedades distributiva da multiplicao em relao ` adio, asca ca a ca sociativa da multiplicao e da adio e comutativa da adio em K, tem-se ca ca cap n p n

(AB)Cij

=k=1 s=1 p n

Ais Bsk

Ckj =k=1 s=1 p n

(Ais Bsk ) Ckj Ais (Bsk Ckj )

=k=1 s=1 n

Ais (Bsk Ckj ) =s=1 k=1 p

=s=1

Aisk=1

Bsk Ckj

= A(BC)ij

.

Logo (AB)C = A(BC).

Exerc cio 1.12 Justique que Im e In so as unicas matrizes que vericam as igualdades a Im A = A = AIn , para toda a matriz A Mmn (K). Exerc cio 1.13 Sejam A, B Mnn (K). Designa-se por comutador de A e B a matriz, que se representa habitualmente por [A, B], denida da seguinte forma: [A, B] = AB BA. Mostre que: (a) [A, B] = [B, A]. (b) A, [B, C] + B, [C, A] + C, [A, B] = 0.

Como vimos, em Mnn (K), a multiplicao de matrizes no comutativa. Tal signica ca a e que existem A, B Mnn (K) tal que AB = BA. Contudo, pode haver matrizes A, B Mnn (K) tais que AB = BA. Neste caso, dizemos que A e B comutam. E o que sucede, por exemplo, se considerarmos A Mnn (K) arbitrria e tomarmos B = 0nn ou B = In a ou B = A. Seja A Mmn (K). Pela forma como est denida a multiplicao de matrizes cona ca clu mos que o produto de A por A, pode ser calculado se, e s se, n = m. Consideremos o ento a seguinte denio. a ca

Denio 1.20 Seja A Mnn (K). Chamamos potncia de expoente k de A ca e (k N0 ) ` matriz de Mnn (K), que representamos por Ak , denida, por recorrncia, a e do seguinte modo: Ak = In , se k = 0 Ak1 A, se k N .

27 Proposio 1.21 Quaisquer que sejam A Mnn (K) e k, l N0 , tem-se ca 1. Ak Al = Ak+l . 2. (Ak ) = Akl . Demonstrao: caDemonstramos a propriedade 1, cando a propriedade 2 como exerc cio. Vamos demonstrar por induo em l. Sejam A Mnn (K) e k N0 . ca Se l = 0, temos Ak Al = Ak A0 = Ak In = Ak = Ak+0 = Ak+l . Hiptese de Induo: Ak Al = Ak+l . o ca Demonstremos que Ak A(l+1) = Ak+(l+1) . Atendendo ` deniao anterior e como a multiplicao de matrizes associativa, a c ca e temos Ak A(l+1) = Ak (Al A) = (Ak Al )A. Pela hiptese de induo (Ak Al )A = Ak+l A e, de acordo com a denio anterior, o ca ca Ak+l A = A(k+l)+1 . Ento, a Ak A(l+1) = A(k+l)+1 = Ak+(l+1) . Logo, para quaisquer k, l N0 tem-se Ak Al = Ak+l .l

Como a multiplicao de matrizes no comutativa, conclu ca a e mos que podem existir matrizes A, B Mnn (K) tais que (AB)2 = A2 B 2 . Por exemplo, para4 5 4 5

A= tem-se4

1 0

1 1

e

B=

1 1

2 0

,

A2 =

1 0

2 1

5

4

, B2 =

3 1

2 2

5

4

, AB =

0 1

2 0

5

4

e A2 B 2 =

1 1

2 2

5

4

=

2 0

0 2

5

= (AB)2 .

Exerc cio 1.14 Mostre que para as matrizes A = M22 (R) se tem: (a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . (b) (A B)2 = A2 2AB + B 2 . (c) A2 B 2 = (A B)(A + B).

0 0

1 1

!

,B =

1 0

1 0

!

28Exerc cio 1.15 Sejam A, B Mnn (K) tais que AB = BA. Mostre que: (a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . (b) (A B)2 = A2 2AB + B 2 . (c) A2 B 2 = (A B)(A + B). (d) (AB)k = Ak B k , para qualquer k N0 .

Exerc cio 1.16 Seja A Mnn (K) tal que A2 = 0. Justique que A(In + A)k = A, para qualquer k N.

Exerc cio 1.17 Uma matriz A Mnn (K) diz-se involutiva se A2 = In e idempotente se A2 = A. Mostre que: Q P 1 0 0 0 T 0 1 0 0 U U M44 (K) involutiva, quaisquer que sejam e (a) M = T R a b 1 0 S c d 0 1 a, b, c, d K. (b) Se N Mnn (K) involutiva ento e a 1 (In + N ) 2 so idempotentes e a (In + N ) (In N ) = 0. (c) Toda a matriz involutiva se pode escrever como diferena de duas matrizes c idempotentes, cujo produto a matriz nula. e e 1 (In N ) 2

Exerc cio 1.18 Se A Mnn (K) idempotente (isto , A2 = A) ento e e a (A + In )k = In + (2k 1)A, para qualquer k N.

1.3

Inversa de uma matriz quadrada

Conforme recordmos na Seco 0.3 do Cap a ca tulo 0, se uma operao binria denida e ca a num conjunto A, com elemento neutro u, dizemos que aA tem oposto (para a operao ) ca se existe a A tal que aa = a a = u.

Em Mnn (K) a multiplicao de matrizes uma operao binria, com elemento neutro, ca e ca a In . Tem-se, pois, a seguinte denio. ca

29

Denio 1.22 Seja A Mnn (K). Dizemos que A invert , ou que tem ca e vel inversa, se A tem oposto para a multiplicao de matrizes, isto , se existir uma ca e matriz B Mnn (K), tal que AB = BA = In .

Conforme observmos na Seco 0.3 do Cap a ca tulo 0, uma tal matriz, quando existe, e unica.

Teorema 1.23 Se A Mnn (K) uma matriz invert e vel ento existe uma, e uma s, a o matriz B tal que AB = BA = In .

Denio 1.24 Se A Mnn (K) uma matriz invert ca e vel, a unica matriz B tal que AB = BA = In designa-se por a inversa de A e denotada por A1 . e

Sabemos que em K {R, C} a multiplicao comutativa, o que vimos no suceder em ca e a Mnn (K). Outra propriedade que sendo vlida em K no vlida em Mnn (K) a de em a a e a e K \ {0} todo o elemento ter oposto para a multiplicao. De facto, em Mnn (K), ca A = 0 A invert vel.4

Por exemplo, a matriz A =4

0 1

0 2

5

M22 (R) no tem inversa porque, para qualquer a

B=

a c

b d

5

M22 (R), se tem4

AB =

0 1

0 2

54

a c

b d

5

4

=

0 a + 2c

0 b + 2d

5

= I2 ,

e o mesmo se passa com qualquer matriz de Mnn (K) que tenha uma linha ou uma coluna nula.4

Exemplo 1.25

Suponhamos que pretendemos demonstrar que a matriz4

1 1

2 1

5

ine

vert vel, sendo a sua inversa a matriz de vericar que4 54 5

1 1

2 1

5

. Pela denio anterior teremos apenas ca4 54 5

1 1

2 1

1 1

2 1

= I2

e

1 1

2 1

1 1

2 1

= I2 .

30Exerc cio 1.19 Seja A Mnn (K) tal que A2 = In . Mostre que A invert e vel e indique a sua inversa.

Exerc cio 1.20 Seja A Mnn (K) tal que A2 +A+In = 0, com K e K\{0}. Mostre que A invert e vel e indique a sua inversa.

O resultado seguinte estabelece que se soubermos que A Mnn (K) uma matriz e invert ento para demonstrar que a sua inversa B basta vericar apenas que um dos vel a e produtos AB ou BA In . e

Teorema 1.26 Seja A Mnn (K) uma matriz invert vel. 1. Se B Mnn (K) tal que AB = In ento B = A1 e, portanto, BA = In . e a 2. Se B Mnn (K) tal que BA = In ento B = A1 e, portanto, AB = In . e a

Demonstrao: ca1. Como A invert e vel, A1 existe (e unica). Da igualdade e AB = In resulta, A1 (AB) (A1 A)B In B B = A1 In = A1 = A1 = A1 ,

como pretend amos demonstrar. Da denio de inversa resulta ento que A1 A = ca a BA = In . 2. Tem uma demonstrao inteiramente anloga ` anterior, partindo da igualdade ca a a BA = In e seguidamente multiplicando ambos os membros, ` direita, por A1 . a

Teorema 1.27

1. Se A Mnn (K) invert ento A1 invert e (A1 ) e vel a e vel

1

= A.

2. Se A, B Mnn (K) so invert a veis ento AB invert e (AB)1 = B 1 A1 . a e vel 3. Mais geralmente, se s N e A1 , . . . , As Mnn (K) so invert a veis ento A1 As a e invert e (A1 As )1 = As 1 A1 1 . vel

31 Demonstrao: ca1. A demonstrao trivial se atendermos ` denio de inversa e ` sua unicidade. ca e a ca a

2. Demonstremos que (AB)(B 1 A1 ) = In Como (AB)(B 1 A1 ) = A(BB 1 )A1 = AIn A1 = AA1 = In e (B 1 A1 )(AB) = B 1 (A1 A)B = B 1 In B = B 1 B = In , conclu mos o que pretend amos. e (B 1 A1 )(AB) = In .

3. A demonstrao faz-se por induo sobre s e utilizando a propriedade 2. ca ca (Exerc cio.)

Exerc cio 1.21 D exemplo de matrizes A, B Mnn (K) tais que: e (a) A e B so invert a veis e A + B no invert a e vel. (b) A + B invert e vel e nem A nem B so invert a veis.

Exerc cio 1.22 Sejam A, B, B Mnn (K) e K \ {0}. Mostre que: (a) Se A invert e vel ento A invert a e vel e indique a sua inversa. (b) Se A invert e vel ento A invert a e vel e indique a sua inversa. (c) Se A e AB so invert a veis ento B invert a e vel. (d) Se B e AB so invert a veis ento A invert a e vel. (e) Se A invert e vel e AB = AB ento B = B . a (f) Se A invert e vel e BA = B A ento B = B . a

Exerc cio 1.23 Justique que o conjunto das matrizes invert veis de Mnn (K), com a multiplicao usual de matrizes, um grupo. ca e

Exerc cio 1.24 Mostre que se A Mnn (K) tal que In + A invert e e vel ento as a matrizes (In + A)1 e In A comutam. Sugesto: Comece por vericar que, para qualquer A Mnn (K), as matrizes a (In + A) e (In A) comutam.

32Exerc cio 1.25 Sejam A, B Mnn (K). Dizemos que A semelhante a B se existe e P Mnn (K), invert vel, tal que B = P 1 AP. Justique que: (a) Toda a matriz semelhante a si prpria. e o (b) Se A semelhante a B ento B semelhante a A. (Dizemos ento que A e e a e a B so semelhantes.) a (c) Se A semelhante a B e B semelhante a C Mnn (K) ento A e e a e semelhante a C. (d) A unica matriz semelhante a uma matriz escalar ela prpria. e o (e) Se P Mnn (K) invert e vel e B = P 1 AP ento B k = P 1 Ak P , para a qualquer k N. (Assim, se A semelhante a B ento Ak semelhante a e a e B k , para todo k N.) (f) Se A semelhante a B e A invert e e vel ento B invert a e vel. (g) Se A semelhante a B e A invert e e vel ento Ap semelhante a B p , para a e todo p Z. s Notao: Para s N, As signica A1 = (As )1 . ca

Adiante estudaremos processos para justicar que uma matriz quadrada invert sem e vel apresentar a sua inversa.

1.4

Transposio de matrizes ca

Denio 1.28 Seja A Mmn (K). Chamamos matriz transposta de A, e repreca sentamos por A , a matriz de Mnm (K) tal que A = Aji , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. igual ao elemento da linha j e coluna i e igual ` coluna e a

ij

(O elemento da linha i e coluna j de A

de A. Notemos que tal corresponde a armar que a linha i de A i de A, i = 1, . . . , n, ou equivalentemente, a coluna j de A j = 1, . . . , m.)

igual ` linha j de A, e a

A transposio de matrizes goza das propriedades seguidamente enunciadas. ca

Proposio 1.29 Sejam K e A, B matrizes sobre K de tipos adequados para que as ca operaes indicadas tenham sentido. Tem-se co 1. A = A.

2. (A + B) = A + B .

33 3. (A) = A . 4. (AB) = B A . 5. Ak = Ak

, para todo k N.

6. Se A invert ento A invert e e vel a e vel1

A Demonstrao: ca

= A1

.

A demonstrao das propriedades 1, 2 e 3 no oferecem diculdade, sendo deixadas ca a como exerc cio. 4. Sejam A Mmn (K) e B Mnp (K). Ento (AB) a iguais, isto , que e (AB)ij

e B A

pertencem

ambas a Mpm (K). Vejamos que os elementos homlogos de (AB) e B A so o a = B A .

ij

Tem-sen n

B A

ij

=k=1 n

B

ik

A

kj

=k=1

(B)ki (A)jk .

=k=1

(A)jk (B)ki = (AB)ji = (AB)

ij

Logo (AB) = B A . 5. A demonstrao faz-se por induo sobre k e utilizando a propriedade 4. ca ca (Exerc cio.) 6. Basta vericar que A A1 = In = A1 A1 A . = In = In e analo-

Utilizando a propriedade 4, tem-se A gamente se demonstra que A1

= A1 A

A = In .

Denio 1.30 Uma matriz A diz-se simtrica se A = A ca e A = A .

e hemisimtrica se e

Da denio resulta que s podem ser simtricas ou hemisimtricas matrizes que sejam ca o e e quadradas.

34P

Exemplo 1.31P T T i R 2

A matriz1 i 0 3U 3 U S 0

2

Q

1 T T 2 R 3

2 0 4

3

Q

P

U e 4 U simtrica. Se 5

A matriz

0 T T i R 2

i 0 3

U e 3 U hemisimtrica. Se 0

2

Q

A matriz

no simtrica nem hemisimtrica. a e e e

Exerc cio 1.26 Indique quais das matrizes 0 0P

A=

0 0

!

1 , B=R 2 3

P

Q P 2 1 S, C = R 2 3 4 3

2 0 4

Q 3 4 S 5 Q 3 4 S. 0

1 D = R 2 3

2 0 4

Q P 3 0 S e E = R 2 4 5 3

2 0 4

so simtricas ou hemisimtricas. a e e

Exerc cio 1.27 Sejam A Mpn (K) e B, C Mnm (K). Mostre que [A(B + C)] =B A +C A .

Exerc cio 1.28 Seja A Mnn (K). Mostre que se A simtrica ento, para todo e e a k N, Ak simtrica. e e

Exerc cio 1.29 Sejam A, B Mnn (K) e K. Mostre que: (a) Se A e B so simtricas ento A + B simtrica. a e a e e (b) Se A e B so simtricas e AB = BA ento AB simtrica. a e a e e (c) Se A simtrica ento A simtrica. e e a e e (d) Se A invert e vel e simtrica ento A1 simtrica. e a e e

Exerc cio 1.30 Justique as armaes: co (a) A unica matriz A Mnn (K) que simultaneamente simtrica e e e hemisimtrica a matriz nula. e e (b) Se A Mnn (K) simtrica ento o mesmo sucede a Ak , para todo k N. e e a

Exerc cio 1.31 Seja A Mmn (K). (a) Mostre que as matrizes AA e A A so simtricas. a e

(b) D um exemplo que mostre que os dois produtos, referidos em (a), podem e ser diferentes, mesmo que A seja quadrada.

Exerc cio 1.32

(a) Seja A Mnn (K). Prove que:

(i) A + AT simtrica; e e (ii) A AT hemisimtrica. e e (b) Prove que qualquer matriz de Mnn (K) soma de uma matriz simtrica e e com uma matriz hemisimtrica. e P Q 1 2 3 (c) Seja A = R 4 5 6 S M33 (R). Determine matrizes B simtrica e C e 7 8 9 hemisimtrica tais que B + C = A. e

35

1.5

Conjugada/Transconjugada de uma matriz

Nesta seco consideramos K = C. ca

Denio 1.32 Seja A Mmn (C). Dene-se a conjugada de A e representa-se ca por A a matriz que se obtm de A substituindo cada elemento pelo seu conjugado. e Tem-se, pois, A Mmn (C) e Aij

= Aij .

4

Exemplo 1.33

A conjugada de A =

1 7 + 3i

9 2i 8i

5

4

a matriz A = e

1 7 3i

9 + 2i 8i

5

.

Proposio 1.34 Sejam A, B Mmn (C), C Mnp (C) e C. Tm-se as seguintes ca e propriedades. 1. A = A. 2. A + B = A + B. 3. A = A. 4. AC = A C. 5. Ak = A . 6. Se m = n e A for uma matriz invert ento A vel a 7. A =A .1 k

= A1 .

Demonstrao: caExerc cio.

A matriz A mente por A .

designa-se por transconjugada da matriz A e representa-se habitual-

Denio 1.35 Uma matriz A diz-se herm ca tica se A = A e hemiherm tica se A = A .

36Exerc cio 1.33 Estabelea as propriedades anlogas `s da proposio anterior para a c a a ca transconjugada de uma matriz.

Exerc cio 1.34 Justique que se A, B Mnn (K) comutam (isto , se AB = BA) e ento o mesmo sucede a a (a) A1 e B 1 , se A e B so invert a veis. (b) A (c) Ak eB . e B s , para todo k N e todo s N.

Exerc cio 1.35 O que pode armar sobre os elementos da diagonal principal de uma matriz (a) Herm tica? (b) Hemiherm tica?

Exerc cio 1.36 Justique que, para A Mmn (C), as matrizes A A e AA so a herm ticas.

Exerc cio 1.37 Sejam A, B Mnn (C) matrizes herm ticas. Justique que: (a) A + B herm e tica. (b) AB herm e tica se, e s se, AB = BA. o (c) Ak herm e tica, para todo k N. (d) Se A invert e vel ento A1 herm a e tica. (e) Se e so nmeros reais ento A + B herm a u a e tica. (f) A A , iA e iA so hemiherm a ticas. (g) AB + BA herm e tica e AB BA hemiherm e tica.

Exerc cio 1.38 Justique as armaes: co (a) A unica matriz de Mnn (C) simultaneamente herm tica e hemiherm tica a matriz nula. e (b) Qualquer que seja a matriz A Mnn (C), A + A herm e tica e A A e hemiherm tica. (c) Toda a matriz A Mnn (C) se pode escrever na forma A = B + C com B herm tica e C hemiherm tica. (d) Se C Mnn (C) hemiherm e tica ento iC e iC so herm a a ticas. (e) As matrizes B e C referidas em (c) so unicas. a Sugesto: Atenda a (a). a (f) Toda a matriz A Mnn (C) se pode escrever na forma A = B + iD com B e D herm ticas.

37

1.6

Transformaes elementares sobre linhas de uma matriz. co Matrizes elementares

Denio 1.36 Seja A Mmn (K). Chamamos transformao elementar soca ca bre as linhas de A a uma transformao de um dos seguintes tipos: ca I Troca entre si de duas linhas da matriz A (isto , troca da linha i com a linha e j, com i = j, i, j {1, . . . , m}); II Multiplicao de uma linha da matriz A por um escalar no nulo; ca a III Substituio de uma linha da matriz A pela sua soma com outra linha de A ca multiplicada por um escalar.

Substituindo na denio anterior linha por coluna obtemos as correspondentes deca nies de transformaes elementares sobre colunas dos tipos I, II e III. co co Recordemos que se A = [Aij ] Mmn (K), se deniu linha i de A como sendo um elemento de Kn , isto , o n-uplo de elementos de K, e (Ai1 , Ai2 , . . . , Ain ). No Cap tulo 0, referimos tambm a forma de adicionar n-uplos e de multiplicar um escalar e por um n-uplo. Chamamos mltiplo de uma linha de A a um n-uplo que resulte da u multiplicao de um escalar por essa linha. ca Notao 1.37 Adoptaremos as seguintes notaes: ca co li lj , para representar que se efectuou a troca das linhas i e j, com i = j. li , para representar que a linha i foi multiplicada por K \ {0}. li + lj , para representar que se adicionou ` linha i a linha j, i = j, multiplicada por a K. A T B, para representar que a matriz B se obteve de A efectuando a transformao ca

elementar T (de tipo no especicado). a A (linhas) B, para representar que a matriz B se obteve de A efectuando um nmero u

nito k, com k0, de transformaes elementares nas linhas (de tipos no especicaco a dos).

38 Exemplo 1.381 T A =T 3 R 0 P 1 T 1 T l3 R 0 3 0P

0 2 1 0 1 0

P P Q 1 0 2 1 U T U T 0 Ul2 + (3)l1 T 0 2 6 U 1 l2 T 0 S R S2 R 0 0 1 0 0 P P Q Q 2 1 0 2 U T U T T 3 Ul2 + 3l3 T 0 1 0 Ul1 + (2)l3 R S R S 1 0 0 1

2

Q

0 1 1 1 0 0

P 1 U T 3 Ul3 + (1)l2 T 0 S R 0 0 Q 0 0 U 1 0 U. S 0 1

2

Q

0 1 0

U 3 U S 3

2

Q

Podemos ento escrever aP

A=T R

T

1 3 0

0 2 1

2

Q

P

U T 0 U(linhas)T 0 S R 0 0

1

0 1 0

0

Q

U 0 U. S 1

Denio 1.39 Chamamos matriz elementar de Mnn (K), sobre linhas, de tipo I, ca II ou III, a toda a matriz que se obtm de In por aplicao de uma unica transformao e ca ca elementar nas suas linhas, de tipo I, II, ou III, respectivamente.

Substituindo na denio anterior linhas por colunas, obtemos a correspondente ca denio de matriz elementar de Mnn (K), sobre colunas. ca So matrizes elementares de M33 (R), sobre linhas, as matrizes: aP

Exemplo 1.40 1.

E=T RP

T

0 1 0

1 0 0 0 5 0 7 1 0

0

Q

U 0 U, S 1

pois I3 l E. l1 2

2.

E=

1 T T 0 R 0P

0

Q

U 0 U, S 1

pois I3 5l E.2

3.

E=

1 T T 0 R 0

0

Q

U 0 U, S 1

pois I3 l E. +7l1 2

Teorema 1.41 Seja A Mmn (K). 1. Se Im T E,

sendo T uma transformao elementar sobre linhas, ento ca a A T EA.

39 2. Se In E , T

sendo T uma transformao elementar sobre colunas, ento ca a A AE . T

Demonstrao: caFica como exerc cio. (Considere separadamente os casos em que E uma matriz e elementar de tipo I, II ou III, sobre linhas ou sobre colunas.)

De acordo com o teorema anterior, cada transformao elementar efectuada sobre as ca linhas (respectivamente, colunas) de uma matriz de Mmn (K) corresponde a multiplicar a matriz ` esquerda (respectivamente, ` direita) por uma matriz elementar. Tal matriz elemena a tar a que resulta da matriz identidade efectuando-lhe exactamente a mesma transformao e ca elementar.Exerc cio 1.39 Seja A M35 (K). Determine as matrizes elementares que, multiplicadas ` esquerda de A, produzem em A cada uma das seguintes transformaes: a co (a) Troca da primeira com a terceira linhas; (b) Multiplicao da primeira linha por 6; ca (c) Adio de ca1 5

da segunda linha ` terceira linha. a

Como consequncia do Teorema 1.41, resulta: e

Proposio 1.42 Toda a matriz elementar E Mnn (K) invert e tem-se, quaisquer ca e vel que sejam i, j {1, . . . , n}: 1. Se i = j e In li E lj

ento a

In li E 1 . lj

2. Se K \ {0} 3. Se i = j, K Demonstrao: ca

e e

In l Ei

ento a

In E 1 . 1 l i

In li +lj E

ento a

In l E 1 . +()li j

Seja E Mnn (K). 1. Suponhamos que i, j {1, . . . , n}, com i = j, e In li E , isto , E a e e lj

matriz elementar que se obtm de In trocando as linhas i e j. Pelo Teorema 1.41, e tem-se EE = In .

40Logo, E invert e E 1 = E. e vel 2. Suponhamos que K \ {0} , In l E i e In 1 E , ou seja, E e li

a matriz elementar que se obtm de In multiplicando a linha i por e E a e e matriz elementar que se obtm de In multiplicando a linha i por e Teorema 1.41, tem-se E E = In Logo, E invert e E = E 1 . e vel 3. Fica como exerc cio. e EE = In .1 .

Ainda pelo

1.7

Matrizes em forma de escada. matriz

Caracter stica de uma

Denio 1.43 Chamamos piv de uma linha no nula de uma matriz ao elemento ca o a no nulo mais ` esquerda dessa linha. a a

Denio 1.44 Seja A Mmn (K). Dizemos que A est em forma de escada ca a (abreviadamente, denotado por f.e.) se A = 0mn ou se satisfaz as duas condies co seguintes: 1. Para todo r {1, . . . , m 1}, se a linha r de A nula ento a linha r + 1 de e a A tambm nula (isto , se A tem uma linha nula ento a linha seguinte, se e e e a existir, tambm nula). e e 2. Se s {1, . . . , m 1}, a linha s de A no nula e Ast o piv da linha s ento e a e o a As+1,j = 0, para qualquer j {1, . . . , t} (isto , ` medida que o e a ndice de linha aumenta, tambm aumenta o e ndice de coluna dos pivs das linhas no nulas). o a

Exemplo 1.45

Esto em forma de escada, por exemplo, matrizes com o seguinte aspecto: aP

0 T T 0 R 0

0 0

0 0

U U, S 0

Q

P

T T 0 R 0

0

U U S

Q

P

ou

Q T U T 0 U, R S 0

41 em que, por , se representam os pivs e em que representa elementos que podem tomar o qualquer valor. As matrizesP T T 0 R 0 P Q

1

0 2 3

1

Q

U 5 U, S 0

0 T T 0 T T T 0 R 0

0 1 0 0

0 3 6 0

U 0 U U U 4 U S 0

0

P

e

T T 0 R 0

0

0 1 0

0 3 6

U 0 U S 4

7

Q

no esto em forma de escada. Porqu? a a e

Dizemos, ento, numa linguagem informal, que uma matriz est em forma de escada se, a a quando tiver linhas nulas e no nulas, as nulas aparecem depois das no nulas e quanto `s a a a linhas no nulas, se as houver, podemos constituir com os pivs uma escada com degraus a o de altura 1 e largura arbitrria. aExerc cio 1.40 Indique se esto em forma de escada cada uma das seguintes matrizes: a (a) In . P Q 0 0 0 T 5 1 4 U U (b) T R 0 1 3 S. 0 0 2 0 5 0 0 . (c) Q P 0 1 0 (d) R 0 0 1 S. 0 0 1

Proposio 1.46 Dada A Mmn (K) poss ca e vel obter a partir de A uma matriz em forma de escada, efectuando um nmero nito k, com k0, de transformaes elementau co res sobre linhas. Abreviadamente A (linhas) A

(f.e.).

Embora no demonstremos esta armao, vamos apresentar um processo prtico de, a ca a a partir de uma matriz A Mmn (K) e efectuando um nmero nito de transformaes u co elementares sobre linhas, obtermos uma matriz em forma de escada. Este processo tambm e e designado por condensao da matriz A. ca Note que se A j est em forma de escada ento o nmero de transformaes elementares a a a u co para transformar A numa matriz em forma de escada pode ser tomado igual a zero. Processo para reduo de uma matriz A Mmn (K) ` forma de escada. ca a Se A = 0mn ento A j est em forma de escada. a a a Suponhamos ento que A = 0mn . a

42 Passo 1: Por troca de linhas (isto , efectuando apenas transformaes elementares do tipo I), e co se necessrio, obtemos uma matriz B cuja linha 1 tem, entre todas as linhas da matriz, a um piv com o ndice de coluna m nimo. Seja tal elemento B1t . Obtemos uma matriz da forma B=P T T T T T T R

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

B1t B2t . . . Bmt

B1,t+1 B2,t+1 . . . Bm,t+1

Q

B1n B2n . . . Bmn

U U U U, U U S

onde B1t = 0 (e em que, para t = 1, no existem as t 1 colunas nulas ` esquerda). a a Passo 2: Para cada linha i de B, i = 2, . . . , m, substitui-se a linha i pela sua soma com o produtoBit co de B1t pela linha 1 (transformaes elementares do tipo III). Obtemos uma matriz

da forma C=

P T T T T T T R

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

B1t 0 . . . 0

B1,t+1 C2,t+1 . . . Cm,t+1

Q

B1n C2n . . . Cmn

U U U U, U U S

onde B1t = 0. Passo 3: Se a matriz C estiver em forma de escada, o processo termina e est encontrada uma a matriz em forma de escada. Caso contrrio, despreza-se a linha 1 da matriz C e aplica-se os passos 1 e 2 ` matriz a a resultante do tipo (m 1)n.P Q

Exemplo 1.47

Seja A =

T T 0 T T T 0 R 0

0

0 4 2 1

0 9 1 2

0 3 5 1

U 4 U U U 2 U S 1

0

M45 (R). Utilizando o procedimento

anterior, determinemos uma matriz em forma de escada a partir da matriz A.P

0 T T 0 A =T T T 0 R 0 P 0 T T 0 T l3 + (2)l2 T T 0 R 0

0 4 0 1 1 0 0 0

0 9 2 2 2 1 0 0

0 3 2 1 1 1 0 0

P 0 U T 4 U T 0 U T Ul1 l4 T T 0 3 U S R 1 0 Q 1 U 0 U U U (f.e.). 3 U S 0

Q

0

1 4 0 0

2 9 2 0

1 3 2 0

P 0 U T T 4 U T 0 U Ul2 + (4)l1 T T 0 3 U S R 0 0

Q

Q

1

1 0 0 0

2 1 2 0

1 1 2 0

1

U 0 U U U 3 U S 0

P

Exemplo 1.48

Seja A =

0 T T 1 R 2

0 0 0

0 2 4

2 1 0

6

Q

U 0 U S 6

M35 (R).

43 Podemos, por exemplo, obter, a partir de A, atravs de transformaes elementares sobre e co linhas, as seguintes matrizes B e C em forma de escada.P Q P Q P Q

A =T RP

T

0 1 2

0 0 0 0 0 0

0 2 4 2 0 0

2 1 0 1 2 0

1 T T l3 + ()l2 R 0 0

U T 0 Ul1 l2 T 0 0 S R 6 2 0 Q 0 U 6 U = B (f.e.). S 0

6

1

0

2 0 4

1 2 0

U T 6 Ul3 + (2)l1 T 0 S R 6 0

0

1

0 0 0

2 0 0

1 2 2

U 6 U S 6

0

P

A =T RP

T

0 1 2

0 0 0 0 0 0

0 2 4 4 0 0

2 1

2 T l3 + 2l2 T 0 R 0

U T 0 Ul1 l3 T 1 0 S R 0 6 0 0 Q 0 6 U 1 3 U = C (f.e.). S 0 0

6

Q

P

2

0

4 2 0

0 1 2

U T 0 Ul2 + ( 1 )l1 T 0 2 S R 6 0

6

Q

P

2

0 0 0

4 0 0

0 1 2

U 3 U S 6

6

Q

Por outro lado, se multiplicarmos qualquer linha no nula de B ou C por um escalar a no nulo, obtemos ainda matrizes em forma de escada que resultaram de A atravs de a e transformaes elementares sobre linhas. co

Constatamos assim, que a partir da mesma matriz A podemos obter, em geral, por transformaes elementares sobre linhas, diferentes matrizes em forma de escada. coExerc cio 1.41 Efectuando transformaes elementares sobre linhas, obtenha a partir co de cada uma das seguintes matrizes de elementos reais uma matriz em forma de escada: P Q 1 2 1 R 2 1 0 S. (a) A = 1 0 1 P Q 2 4 2 6 0 8 4 7 5 S. (b) B = R 4 2 4 2 1 5 P Q 2 2 1 R 2 2 1 S. (c) C = 1 1 2

Denio 1.49 Seja A Mmn (K) uma matriz em forma de escada. Dizemos que ca A est em forma de escada reduzida (abreviadamente, denotado por f.e.r.) se a A = 0mn ou se todos os pivs so iguais a 1 e todos os restantes elementos das o a colunas dos pivs so nulos. o a

44 Exemplo 1.50 zida. A matrizP

A matriz identidade, de qualquer ordem, est em forma de escada redua1 0 0 5 0 0 3 0 0 0 1 0 5Q

0 T T 0 R 0

U 1 U S 0

est em forma de escada reduzida. a

Exerc cio 1.42 Indique se esto em forma de escada reduzida cada uma das seguintes a matrizes: (a) In . P 0 1 2 0 5 (b) R 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 P 0 1 2 0 5 (c) R 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 . (d) P Q 1 R 0 S. (e) 0Q S. Q S.

Proposio 1.51 Dada A Mmn (K) poss ca e vel obter a partir de A uma unica matriz em forma de escada reduzida, efectuando um nmero nito k, com k0, de transformaes u co elementares sobre linhas. Abreviadamente, A (linhas) A

(f.e.r.), com A unica.

Embora no demonstremos a Proposio 1.51, vamos indicar um processo prtico para a ca a e obter a forma de escada reduzida de A Mmn (K), tambm designada por forma de Hermite de A. Processo para reduo de uma matriz A Mmn (K) ` forma de escada ca a reduzida. Se A = 0mn ento A j est em forma de escada reduzida. a a a Suponhamos que A = 0mn . Pelo processo descrito anteriormente podemos obter uma matriz B Mmn (K), em forma de escada, tal que A (linhas) B (f.e.).

Passo 1: Seja Bsk o piv com maior o ndice de linha. (Note que Bsk = 0 e, se existirem linhas abaixo da linha s, essas linhas so todas nulas.) a Para garantir que o piv passa a 1, multiplica-se a linha s por o elementar do tipo II).1 Bsk

(transformao ca

45 Seja C a matriz obtida. Para cada linha i de C, com i = 1, . . . , s 1, substitui-se a linha i pela sua soma com o produto de Cik pela linha s (transformaes elementares co do tipo III). (Note que tal corresponde a anular os elementos da coluna do piv, com o ndice de linha inferior ao do piv. Os que tm o e ndice de linha superior j so nulos a a por a matriz C estar em forma de escada.) Obtemos uma nova matriz D que continua em forma de escada e em que as entradas da coluna k so todas nulas ` excepo do piv Dsk que igual a 1. a a ca o e Passo 2: Se a matriz D estiver em forma de escada reduzida, o processo termina e est encona trada uma matriz em forma de escada reduzida. Caso contrrio, desprezam-se as linhas de a ndice superior ou igual a s de D e aplica-se o passo 1 ` matriz do tipo (s 1)n resultante. aP Q

Exemplo 1.52

Consideremos a matriz A =

T T 0 T T T 0 R 0

0

0 4 2 1Q

0 9 1 2

0 3 5 1

U 4 U U U 2 U S 1

0

M45 (R) do Exem-

plo 1.47. Nesse exemplo, vimos queP

A

0 T T 0 T T (linhas) T 0 R 0

1 0 0 0

2 1 0 0

1 1 0 0

1

U 0 U U U 3 U S 0

= B (f.e.).

Utilizando o procedimento anterior, determinemos a forma de escada reduzida de B.P Q P Q P Q T T 0

0

1 0 0 0 1 0 0 0

2 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 3 1 0 0

1

R 0 0 P 0 T T 0 T l1 + (2)l2 T T 0 R 0

B =T T T

U T 0 U T 0 U 1T U 3 l3 T T 0 3 U S R 0 0 Q

0

1 0 0 0

2 1 0 0

1 1 0 0

1

U T 0 U T 0 U T Ul1 + 1l3 T T 0 1 U S R 0 0

0

1 0 0 0

2 1 0 0

1 1 0 0

U 0 U U U 1 U S 0

0

0 U 0 U U U 1 U S 0

(f.e.r.).

Exerc cio 1.43 Efectuando transformaes elementares sobre linhas, obtenha a forma co de escada reduzida de cada uma das seguintes matrizes: P Q 1 2 1 R 2 1 0 S. (a) A = 1 0 1 P Q 2 4 2 6 0 8 4 7 5 S. (b) B = R 4 2 4 2 1 5 P Q 2 2 1 (c) C = R 2 2 1 S. 1 1 2

46 Apresentada sem demonstrao, a proposio seguinte tem grande importncia. ca ca a Proposio 1.53 Seja A Mmn (K). Quaisquer matrizes em forma de escada que se ca obtenham de A efectuando um nmero nito k, com k0, de transformaes elementares u co sobre linhas tm o mesmo nmero de linhas no nulas. e u a

Denio 1.54 Seja A Mmn (K). Ao nmero de linhas no nulas de qualquer ca u a matriz em forma de escada obtida a partir de A efectuando um nmero nito de u transformaes elementares sobre linhas chamamos caracter co stica de A e denotamos por r(A).

Da proposio e da denio anteriores resulta pois: ca ca Proposio 1.55 As transformaes elementares sobre linhas no alteram a caracter ca co a stica, isto , se A Mmn (K) e e A (linhas) B

ento r(A) = r(B). a Demonstrao: caNote que, efectuando um nmero nito k, com k0, de transformaes elementares u co sobre linhas, poss e vel obter a partir de B uma matriz C em forma de escada reduzida, isto , e A (linhas) B (linhas) C (f.e.r.).

Se l o nmero de linhas no nulas de C ento e u a a r(A) = l = r(B).

Da denio de caracter ca stica resulta trivialmente que se A Mmn (K) ento r(A) m. a Tem-se, ainda, r(A)n. De facto, tal trivial se r(A) = 0 (isto , se A = 0mn ). Se r(A) > 0 e e (isto , se A = 0mn ), como na forma de escada os pivs tm e o e ndices de coluna, dois a dois distintos, conclu mos ainda que r(A) n. Logo, para A Mmn (K), tem-se r(A) m isto , e r(A) min{m, n}. e r(A) n,

47 Exemplo 1.56P

Tem-se r(0mn ) = 0 e r(In ) = n.2 5U a 4 U ento r(A) = 2. S 0 0 Q 1 U a 2 U ento r(B) = 1, pois S 3

Se A =

Se B =

1 T T 0 R 0 P 1 T T 2 R 3

3

Q

P

B=

1 T T 2 R 3

P 1 U+(2)l T l 2 Ul2 +(3)l1 T 0 S3 1R 0 3

1

Q

1

Q

U 0 U S 0

(f.e.).

Exerc cio 1.44 Considere as matrizes de elementos reais P P Q 2 0 1 0 1 1 T 1 3 0 2 1 S, A2 = T A1 = R 2 R 3 2 1 0 1 1 1 P Q P 1 4 2 2 1 0 A3 = R 2 3 1 S e A4 = R 0 1 1 1 1 1 Determine a caracter stica de Ai , i = 1, 2, 3, 4.

1 1 1 1 Q 1 1 S. 2

Q 0 2 U U, 1 S 0

Exerc cio 1.45 Sejam L = caracter stica de: (a) Jn . (b) (n 2)In + Jn .

1

1

M1n (K) e Jn = L L. Determine a

Exerc cio 1.46 Discuta, segundo os valores de matrizes de elementos reais: P Q P 1 0 1 1 T 0 1 S, B = T A = R 1 1 R 1 1 2 0 =R 0 3P

e , a caracter stica das seguintes 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0Q 1 1 U U, 0 S 1 Q 0 U U. 1 S 1

C,

0 0

P Q T 1 2 S e D, = T R 1 1 1

Exerc cio 1.47 Seja 1 T T 2 A=R 3P

2 3 1

2 3 1

Q 3 1 U U M44 (K). S 2

Discuta, segundo os valores de , a caracter stica de A para: (a) K = R. (b) K = C.

1.8

Caracterizaes das matrizes invert co veis

Na Seco 1.3 foi apresentada a denio de matriz invert ca ca vel. Utilizando apenas a denio ca no , em geral, imediato reconhecer, na prtica, se uma dada matriz ou no invert a e a e a vel.

48 Pensemos, por exemplo, na matrizP

A=T R

T

1 2 1

0 2 0

1

Q

U 2 U S 0

M33 (R).

O resultado seguinte permite, em particular, decidir se uma dada matriz quadrada ou e no invert atravs da sua caracter a vel e stica.

Teorema 1.57 Seja A Mnn (K). As armaes seguintes so equivalentes: co a 1. A invert e vel. 2. r(A) = n. 3. In a forma de escada reduzida de A. e 4. A pode escrever-se como produto de matrizes elementares.

Demonstrao: caVamos demonstrar que 1 2 3 4 1. 12 Suponhamos que A invert e vel. Seja B uma matriz em forma de escada obtida a partir de A efectuando um nmero nito de transformaes elementares sobre u co linhas. Seja t o nmero de transformaes elementares efectuadas. De acordo u co com o Teorema 1.41, cada operao elementar sobre as linhas de uma matriz ca corresponde a multiplicar a matriz, ` esquerda, por uma matriz elementar. Assim, a podemos escrever B = Et E1 A, sendo E1 , . . . , Et matrizes elementares. Como toda a matriz elementar invert e vel, como A invert e pelo Teorema 1.27 e vel o produto de matrizes invert veis invert e vel, conclu mos que B invert e vel. Como observmos na Seco 1.3, se uma matriz tem alguma linha nula ento no a ca a a invert e vel. Assim a matriz B no tem linhas nulas. Como B est em forma de a a escada e tem n linhas no nulas conclu a mos que r(A) = n. 23

49Suponhamos que r(A) = n e seja C a forma de escada reduzida de A, obtida por transformaes elementares sobre linhas. Notemos que, pela Proposio 1.55, se co ca tem r(C) = n e, portanto, todas as linhas de C so no nulas. Como C est na forma de escada a a a reduzida, todos os n pivs de C so 1 e os restantes elementos dessas n colunas o a so zeros. Como C tem, no total, n colunas, conclu a mos pois que C = In . 34 Se In a forma de escada reduzida de A ento poss obter In a partir de A e a e vel efectuando um nmero nito de transformaes elementares sobre linhas. Logo u co In = (Es E1 )A, sendo E1 , . . . , Es matrizes elementares. Como E1 , . . . , Es so invert a veis conclu mos que Es E1 invert e que e vel (Es E1 ) Tem-se ento a A = E1 1 Es 1 . Como, pela Proposio 1.42, a inversa de uma matriz elementar , ainda, uma ca e matriz elementar, conclu mos que a matriz A se pode escrever como produto de matrizes elementares. 41 Se A se pode escrever como produto de matrizes elementares, como tais matrizes so invert a veis e o produto de matrizes invert veis invert e vel, conclu mos que A e invert vel.1

= A.

Apresentamos seguidamente um processo para determinar a inversa de uma matriz invert vel, utilizando apenas transformaes elementares sobre linhas. co

Seja A Mnn (K) uma matriz invert vel. Pelo resultado anterior, se A invert ento a forma de escada reduzida de A In e vel a e e, portanto, existem A0 , A1 , . . . , As Mnn (K) tais que A = A0 T A1 T As1 T As = In1 2 s

50 sendo T1 , . . . , Ts transformaes elementares sobre linhas. co Tem-se, pois, In = (Es E1 )A onde Ei , i = 1, . . . , s, a matriz elementar que se obtm de In efectuando a mesma e e transformao elementar Ti que permitiu obter Ai de Ai1 . ca Temos A1 = Es E1 = (Es E1 ) In . Conclu mos ento que se efectuarmos em In a mesma sequncia de transformaes a e co elementares que permitiram obter In de A obtemos A1 . Assim, se A Mnn (K) uma matriz invert podemos calcular A1 pelo processo e vel seguinte: Efectuamos transformaes elementares sobre linhas de modo a obter In a co partir de A (o que corresponde a transformar A na sua forma de escada reduzida). Se, a partir de In , efectuarmos a mesma sequncia de transe formaes elementares sobre linhas, a matriz que, no nal, obtemos A1 . co e Notemos que estes dois caminhos podem ser percorridos simultaneamente. Abreviadamente, [A | In ] (linhas) [In | A1 ].P Q

Exemplo 1.58P

Seja A = T RT T R

T

1 2 1P

0 2 0

1

U 2 U S 0

M33 (R).1Q

1 2 1

0 2 0

1

Temos A =

1 U+(2)l T l 2 U 2 l3 +l1 1 T 0 S R 0 0

Q

0 2 0

U 0 U S 1

(f.e.).

Como r(A) = 3 = ordem de A, conclu mos que A invert e vel. Determinemos A1 .

P

[A |

T I3 ] =T R P

1 2 1

0 2 0 0 1 0 1 0 1

1 2 0

1 0 0 1 1 1

0 1 0 01 2

T 1 T l 2 2R 0 0

1

0

P 1 0 1 1 0 0 U+(2)l T l 0 U 2 l3 +l1 1 T 0 2 0 2 1 0 S R 1 0 0 1 1 0 1 Q P 0 1 0 0 0 0 U T 0 Ul1 + (1)l3 T 0 1 0 1 1 S R 2 1 0 0 1 1 0

0

Q

Q U U S

1

Q

U 0 U. S 1

51 Logo A1 =

P

0 T T 1 R 1

01 2

1

Q

0

U 0 U. S 1

Exerc cio 1.48 Indique: (a) Uma condio necessria e suciente para que uma matriz diagonal seja ca a invert vel. (b) D1 , sendo D Mnn (K) uma matriz diagonal invert vel.

Exerc cio 1.49 Considere as matrizes P Q P 3 1 0 1 1 R 1 S M33 (R), B = R 2 2 1 1 A= 2 1 1 0 1 P 1 1 ! T 2 2 1 1+i T C= M22 (C) e D = R 1 1 i 1 2 0

Q 0 2 S M33 (R), 1 Q 1 2 1 1 U U M44 (R). 0 1 S 2 2

Indique quais destas matrizes so invert a veis e determine a respectiva inversa.

Exerc cio 1.50 Seja A =

1 2

1 0

!

M22 (R).

(a) Mostre que A invert e vel e determine A1 . (b) Exprima A e A1 como produto de matrizes elementares.

Exerc cio 1.51 Seja A Mmn (K). Mostre que existe uma matriz invert vel C Mmm (K), tal que CA est em forma de escada reduzida. a

Exerc cio 1.52 Sejam A Mmm (K) e B Mmn (K). Mostre que se A invert e vel, ento r(AB) = r(B). a

1 Exerc cio 1.53 Mostre que a matriz M = R 0 1 vert vel e determine M 1 .

P

1+i i 1

Q i 1 2i S M33 (C) ine i

Exerc cio 1.54 Calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes de Mnn (K): 1 T 0 T (a) A = T 0 R 0 1 T 0 T (b) B = T 0 R 0P P

a 1 0 0 2 1 0 0

a2 a 1 0 3 2 1 0

Q an n1 a U U an2 U. S

1Q n n1 U U n 2 U. S

1

52Exerc cio 1.55 Justique que, para n2, a matriz 0 T 1 T T 1 C=T T R 1P

1 0 1

1 1 0

1

1

.. .

Q 1 1 U U 1 U U Mnn (K) U S

0

invert e vel e determine a sua inversa.

53 Solucoes de alguns dos exerc cios propostos1.3 (a) (b) (c)h h4 1 5 2 1 1 8 2 10 4 2 2 2 1 4 2 1 0

@

r(C,) =@

2, se = 0 ou = 0 3, se = 0 e = 0 3, se = 0 e R 4, se = 0 e R@

i i Q

r(D, ) =

(d)P

3 2 15 11 2 2

T 1.4 X = T 2 R

3 2

2 3 2

2

1.47

(a) r(A) =@

1, se {1, 1} 4, caso contrrio a

U 2 U S 300 0 1 2 1 3 6 3

(b) r(A) =! P

1, se {1, 1, i, i} 4, caso contrrio aQ S

1.5 AB = [ 1 ], BA = 1.6 (a) [ 2 5 ] (c) (d) 1.82 2 1 1 1 0 2 2 2

1.49 B 1 = C 1 =

!

h

3 5 R2 5 2 5

1 5 1 5 1 5

2 5 2 5 3 5

i 1+i 1 i 01 2 1 2 1 2

i

1

2 1 2

P 612

11 2 1 2 1 2

(a) AB = (b) CA =

0 0 612 00

, BA = 36

36

T D1 = R

1 2 2 1 5 2 2

Q U S

3 21 2

0 0

1.9 A1 B1 = A2 B2 = A3 B3 = A4 B4 = 1.14

2 2 6 0 0 0 5 1 1 h2 2 i 0 2 331 0 3 2 4 0 ! 3 1 9 5 6 2

!

1.50

(a)

0 1 2 1 1 2

! !

1.53 M 1 =

2+2i 2i 12i 2i 2 2+i 1 1 1

41

1.541 001

(a)

A1

=

(a) (A + B)2 =

A2 + 2AB + B 2 = (b) (A B)2 = 1 4 01 A2 2AB + B 2 = (c) A2 B 2 = 1 0 0 1 (A B)(A + B) = 1.32 1.43 (a) B = (a) (b) (c)h10 0 h1 0 0 h1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0

1 201

(b) B 1 =4

a 0 0 0 5 0 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 0 1 4 1 2 1 0 0 0 5 0 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1

1 201

1.55 C 1 =

1 n1

2n 1 1 1 1 2n 1 1 1 1 1 2n

5

1 2 0 1 1 2 i 0 1 2 1 0

h1 i

3 35 579

i h0 5 7 , C = 1

0 0 1 1 0 3 i 0 1 1 0 0 0 i 0 1 0

1.44 r(A1 ) = 3, r(A2 ) = 3, r(A3 ) = 2, r(A4 ) = 3 1.45 (a) r(Jn ) = 1

V b 0, se n = 1 b ` b b X

(b) r ((n 2)In + Jn ) =

1, se n = 2 n, se n > 2

@

1.46 r(A ) =@

2, se = 2 3, se = 2 3, se = 2 4, se = 2

r(B ) =

Cap tulo 2

Sistemas de Equaes Lineares coA determinao do conjunto de solues dos sistemas de equaes lineares constitui um tema ca co co de estudo relevante dentro da Matemtica Aplicada e particularmente em muitos tpicos de a o Engenharia. A complexidade de muitos sistemas, com elevado nmero de equaes e de incgnitas, u co o apenas permite resolv-los com o aux de um computador. e lio Existem diversos algoritmos que permitem encontrar, caso existam, solues dum sistema, co recorrendo eventualmente a mtodos numricos de aproximao. e e ca Neste cap tulo apresentamos, utilizando a linguagem das matrizes, um processo de resoluo de sistemas, baseado num algoritmo conhecido por mtodo de eliminao de Gauss. ca e ca

Denio 2.1 Uma equao linear nas incgnitas x1 , . . . , xn , sobre K, uma ca ca o e equao do tipo ca a1 x1 + + an xn = b (2.1)

onde a1 , . . . , an e b so elementos de K. a E usual chamar a b o segundo membro ou termo independente da equao. ca Dizemos que (1 , . . . , n ) Kn uma soluo da equao (2.1) se substituindo xi e ca ca por i , i = 1, . . . , n, se obtm uma proposio verdadeira, isto , (1 , . . . , n ) soluo e ca e e ca da equao (2.1) se ca a1 1 + + an n = b.

56

Denio 2.2 Um sistema de equaes lineares uma coleco nita de equaes ca co e ca co lineares, todas nas mesmas incgnitas. o Sejam m, n N e consideremos o sistema a11 x1 + a x + 21 1 (S) am1 x1 + com aij , bi K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Dizemos que (S) um sistema de m equaes lineares, nas n incgnitas e co o x1 , . . . , xn , sobre K. Se b1 = b2 = = bm = 0 dizemos que (S) um sistema homogneo. e e Dizemos que (1 , . . . , n ) Kn uma soluo do sistema (S) se substituindo em (S) e ca xi por i , i = 1, . . . , n, se obtm m proposies verdadeiras, isto , se e co e a11 1 + + a1n n = b1 a21 1 + + a2n n = b2 am1 1 + + amn n = bm , ou, de outra forma, a11 1 + a + 21 1 am1 1 + + + a1n n a2n n = = b1 b2 .

+ +

a1n xn a2n xn

= =

b1 b2

+ amn xn = bm

+ amn n = bm

O sistema (S) diz-se imposs vel se no existe nenhuma soluo de (S), ou equivalena ca temente, se o conjunto das solues do sistema (S) o conjunto vazio. co e Caso contrrio, isto , se (S) admite pelo menos uma soluo, diz-se que (S) um a e ca e sistema poss . vel Um sistema poss diz-se determinado se tem uma, e uma s, soluo e indetervel o ca minado se tem mais do que uma soluo. ca

Notemos que:

(i) Se representarmos por C o conjunto das solues do sistema (S) anterior e por Ci , co i = 1, . . . , m, o conjunto das solues da i-sima equao de (S) ento co e ca a C = C1 C2 Cm .

57 (ii) Se (S) um sistema homogneo ento (0, 0, . . . , 0) Kn uma soluo do sistema, a e e a e ca que chamaremos a soluo nula. ca e vel, podendo ser determinado se tiver Logo, um sistema homogneo sempre poss e apenas a soluo nula ou indeterminado se alm dessa soluo tiver outra. ca e ca

Exemplo 2.3

1. Alm de (0, 0), tambm (2, 1) soluo do sistema homogneo nas e e e ca e

incgnitas x1 e x2 , sobre R, o x1 + 2x2 = 0

2x1 4x2 = 0 pois 2 + 2 1 = 0 . 2 (2) 4 1 = 0 O conjunto de solues do sistema co e C = {(1 , 2 ) R2 : 1 = 22 } = {(22 , 2 ) : 2 R}. Trata-se, pois, de um sistema homogneo indeterminado. e 2. (0, 0, 0) soluo de duas das equaes do sistema nas incgnitas x1 , x2 , x3 , sobre R, e ca co o 2x1 3x2 + x3 = 0 4x1 + x2 x3 = 0 x1 2x2 + 2x3 = 1 mas, como no soluo da outra equao, no soluo do sistema. a e ca ca a e ca

O nosso objectivo neste cap tulo dar uma resposta completa aos problemas seguintes: e (P1 ) Dado um sistema de equaes lineares, indicar se o sistema imposs ou poss e, no co e vel vel caso de ser poss vel, se determinado ou indeterminado, sem determinar o conjunto de e solues. co Chamaremos a este problema a discusso do sistema. a (P2 ) Dado um sistema de equaes lineares, determinar o conjunto das suas solues (que co co ser o conjunto vazio se o sistema for imposs a vel). Chamaremos a este problema a resoluo do sistema. ca

58 Neste estudo ser-nos-o muito uteis as matrizes, conforme explicamos seguidamente. a

Denio 2.4 Dado um sistema de equaes lineares, nas incgnitas x1 , . . . , xn , sobre ca co o K, isto , um sistema e a11 x1 + + amn xn = bm + a1n xn = b1 ,

(S)

am1 x1 +

chamaremos forma matricial do sistema (S) a AX = B ondeP Q U U, S P Q U U U S P Q U U U. S

A=T Ram1

T

a11

a1n amn

X=

T T T R

x1 . . . xn

e

B=

T T T R

b1 . . . bm

Frequentemente referimo-nos apenas ao sistema (S) Dizemos que: A Mmn (K) a matriz simples do sistema, e X Mn1 (K) a matriz das incgnitas e e o B Mm1 (K) a matriz dos termos independentes. e Chamaremos matriz ampliada do sistema (S) ` matriz de Mm(n+1) (K) cuja coluna a i, i = 1, . . . , n, igual ` coluna i de A e cuja coluna n + 1 igual ` coluna (nica) de e a e a u B. Tal matriz ser denotada por a [A | B]. AX = B.

Exemplo 2.5

O sistema de equaes lineares nas incgnitas x1 , x2 , x3 , sobre R, co o x1 + x2 x3 2x + x 1 2 x1 x3 3x1 + x2 x3 = 0 = 1 = 1 = 2

59 pode ser escrito na forma matricialP T T 2 T T T 1 R 3

1

1 1 0 1P

Q P U x1 UT 0 UT UR x2 1 U S x 3 1

1

Q U U S

P

Q

=T T T

T U T 1 U U U, 1 U R S 2

0

e a sua matriz ampliada e

Q

T T 2 T T T 1 R 3

1

1 1 0 1

1 0 1 1

0

U 1 U U U. 1 U S 2

Proposio 2.6 Dado um sistema ca (S) AX = B,

(1 , . . . , n ) Kn uma soluo de (S) se, e s se, e ca oP

AT TR

T

1 . . . n

Q U U U S

= B.

Demonstrao: ca

P

Sejam A = [aij ] Mmn (K) e B = T TR

T

b1 . . . bm

Q U U U S

Mm1 (K).

Como, por denio, (1 , . . . , n ) soluo de (S) se, e s se, ca e ca o a11 1 + + a1n n = b1 , am1 1 + + amn n = bm tal equivale a armar queP T T R QP 1 UT . UT . ST . R n Q U U U S Q U U U S P Q U U U, S

a11 am1

a1n amnP T AT T R

=T TR

T

b1 . . . bm

isto , e

1 . . . n

= B.

Denio 2.7 Sejam (S) e (S ) sistemas de equaes lineares sobre K. Dizemos que ca co (S) e (S ) so equivalentes se tm o mesmo conjunto de solues. a e co

60 Proposio 2.8 Sejam A Mmn (K) e B Mm1 (K). Se P Mmm (K) uma matriz ca e invert ento os sistemas vel a (S) e (S ) so equivalentes. a Demonstrao: caSuponhamos que (1 , . . . , n ) Kn soluo de (S). Tem-se, ento, e ca aP T AT T R

AX = B

(P A)X = P B

1 . . . n

Q U U U S

=B

e, portanto, P

P

T T AT R

1 . . . n

Q U U U S

= P B.

Como a multiplicao de matrizes associativa, obtemos ca eP T (P A) T T R

1 . . . n

Q U U U S

= P B.

Tal signica que (1 , . . . , n ) soluo de (S ). e ca Reciprocamente, suponhamos que (1 , . . . , n ) soluo de (S ), isto , que e ca eP T (P A) T T R Q U U U S

1 . . . n

= P B.

Como P invert e vel, multiplicando na igualdade anterior, ambos os membros, ` a esquerda por P 1 obtemos P R T P 1 (P A) T T Q U U U S

1 . . . n

= P 1 (P B) .

Podemos ento concluir que aP

P 1 P A ou equivalentemente,

T T T R

1 . . . n

Q U U U S

= P 1 P B

P

AT TR

T

1 . . . n

Q U U U S

= B.

Logo, (1 , . . . , n ) soluo do sistema (S). e ca Demonstrmos ento que (S) e (S ) tm o mesmo conjunto de solues. a a e co

61 Proposio 2.9 Seja ca AX = B um sistema de equaes lineares. co Se atravs de um nmero nito de transformaes elementares sobre as linhas da matriz e u co ampliada [A | B] obtivermos a matriz [A | B ], isto , se e [A | B] (linhas) [A | B ]

ento os sistemas a AX = B so equivalentes. a e AX =B

Demonstrao: caBasta atender a que [A | B ] = Es E1 [A | B] onde E1 , . . . , Es so matrizes elementares. a Como as matrizes elementares so invert a veis e o produto de matrizes invert veis , ainda, invert e vel, conclu mos que P = Es E1 invert e vel. Assim, como [A | B ] = P [A | B] = [P A | P B],

de acordo com a proposio anterior, os sistemas ca AX = B e (P A)X = P B (isto , A X = B ) e so equivalentes. a

A proposio anterior ser-nos- muito util para responder aos problemas anteriormente ca a referidos. Nomeadamente: (P1 ) Discusso de um sistema. a (P2 ) Resoluo de um sistema. ca

62 Proposio 2.10 Sejam A Mmn (K) e B Mm1 (K). Tem-se ca r ([A | B]) = r(A) pelo que r(A) r ([A | B]). Demonstrao: caSe A = 0 ento r(A) = 0 r([0 | B]) = r(B) 1 pelo que o resultado vlido. a e a Suponhamos que A = 0. Seja [A | B ] uma matriz em forma de escada obtida