Manuel Fiolhais

Apontamentos das aulas de Fsica II / Complementos de Fsica

Departamento de Fsica de FCTUC

Coimbra, Fevereiro-Junho 2010

Estas notas das aulas tericas das disciplinas de Fsica II, para Eng Biomdica e Complementos de Fsica, para Bioqumica, esto disponveis no WoC da UC.

Agradecimentos

A Rui Vilo, colaborador nas aulas terico-prticas das disciplinas equivalentes em 2002-2003. A Luclia Brito pela cedncia dos seus apontamentos de Fsica Nuclear e Partculas, que serviram de base s notas das aulas 33 a 36.

Bibliografia

H. Benson, University Physics, John Wiley & Sons, Revised edition, New York (1995)

L. Brito, Fsica Nuclear e de Partculas, Departamento de Fsica da FCTUC (2002)

B. H. Brown et al., Medical Physics and Biomedical Engineering, IOP (1999) J. Dias de Deus et al., Introduo Fsica, 2 ed., McGraw-Hill de Portugal,

Lisboa (2000) D. C. Giancoli, Physics for Scientists and Engineers, 3rd ed., Prentice Hall,

New York (2000) F. Grmy e J.-C. Pags, lments de biophysique, Framarion, Paris (1966) D. Halliday e R. Resnick, Fundamentos de Fsica, Livros Tcnicos e

Cientficos, Rio de Janeiro (1985) D. Halliday, R. Resnick e K.S. Krane, Physics, 5th Ed. J.W. Kane, M.M. Sternheim, Physics, 3rd ed. John Wiley & Sons, New York

(1988) J.B. Marion e W.F. Hornyak, General Physics with Bioscience Essays, John

Wiley & Sons, 2nd Ed., New York (1985) F. Sears, M.W. Zemansky e H.D. Young, Fsica, 2 ed., Livros Tcnicos e

Cientficos, Rio de Janeiro (1985) P.A. Tipler, Fsica para cientistas e engenheiros, 3 ed., Editora Guanabara

Koogan Rio de Janeiro (1994)

Programa das disciplinas Fsica II (para Eng Biomdica) / Complementos de Fsica (Lic. Bioqumica)

2 semestre / 2009-2010

1. Introduo ao estudo das ondas. Ondas em meios materiais e ondas electromagnticas. Descrio matemtica de um pulso unidimensional

2. Ondas progressivas. Ondas longitudinais e transversais e polarizao. Ondas sinusoidais e caractersticas gerais das ondas

3. Sobreposio de ondas. Ondas estacionrias. Batimentos 4. Reflexo de ondas e leis da reflexo. Refraco de ondas e leis da refraco 5. O som e sua intensidade. Sons e ultrasons. Nvel de intensidade do som e

audibilidade 6. Efeito Doppler. Fonte em movimento. Receptor em movimento. Velocidades

supersnicas. Aplicaes do efeito Doppler

7. Introduo ao estudo do electromagnetismo. Fora electrosttica e lei de Coulomb 8. Campo electrosttico. Dipolo elctrico. Fora sobre uma carga elctrica e sobre

um dipolo num campo uniforme 9. Energia potencial electrosttica. Potencial. Potencial e linhas equipotencial para

uma carga isolada 10. Potencial criado por um dipolo elctrico. Fora sobre uma carga elctrica num

campo uniforme. Momento das foras num dipolo num campo uniforme e energia potencial do dipolo

11. Fluxo de um vector. Lei de Gauss 12. Resumo das leis da electrosttica. Distribuies contnuas de cargas elctricas.

Campo elctrico criado por uma esfera carregada. Campo elctrico criado por uma distribuio uniforme linear de carga

13. Campo elctrico criado por um plano uniformemente carregado. Condutores e distribuio de carga num condutor em equilbrio electrosttico. Campo elctrico junto de um condutor

14. Condensadores: condensador plano e capacidade de um condensador. Associao de condensadores

15. Energia armazenada num condensador. Dielctricos e seu efeito na capacidade de um condensador

16. Reviso da electrosttica. Introduo ao estudo das correntes elctricas 17. Intensidade da corrente. Resistncia. Lei de Ohm 18. Fora electromotriz. Leis de Kirchhoff 19. Associao de resistncias. Potncia dissipada numa resistncia. Circuitos RC 20. Bioelectricidade: fenmenos elctricos nas clulas. Resistncia e capacidade

membranares. Potencial membranar e bomba de sdio-potssio 21. Circuitos que descrevem alguns fenmenos de bioelectricidade. Descrio

qualitativa do potencial de aco 22. Introduo ao magnetismo: campos magnticos criados por magnetes e por

correntes 23. Foras que campos magnticos exercem sobre cargas elctricas. Fora sobre um

condutor percorrido por uma corrente. Campo criado por uma linha infinita de corrente

24. Fora entre duas correntes paralelas. Momento magntico e fora sobre uma espira de corrente. Lei de Biot-Savart

25. Lei de Ampre. Induo magntica e lei de Faraday. Aplicao: gerador de corrente alternada

26. Indutncia. Circuitos com indutncias: RL e RLC

27. Princpios da ptica geomtrica e leis da reflexo e da refraco. Espelhos planos. Espelhos esfricos e aberraes. Espelhos esfricos de grande raio de curvatura. Imagens dadas por espelhos esfricos

28. Lentes reais e aberraes. Lentes delgadas e imagens dadas por lentes delgadas. Potncia de uma lente

29. O olho humano. Alguns problemas de viso e sua correco.Natureza ondulatria da luz. Espectro electromagntico

30. Princpio de Huygens. Interferncia, experincia de Young e rede de difraco 31. Difraco por uma fenda. Difraco de raios X 32. Lasers: noes bsicas.

33. Constituio do ncleo atmico e istopos. Radioactividade. Lei do decaimento radioactivo

34. Tamanho dos ncleos. Energia de ligao 35. Reaces nucleares. Ciso nuclear. Fuso nuclear 36. Radiaes ionizantes. Grandezas e unidades relativas s radiaes. Aplicaes

1

1 aula

Sumrio: Apresentao do programa das disciplinas de Fsica Geral II e de Complementos de Fsica. Introduo ao estudo das ondas. Descrio matemtica de um pulso unidimensional

Introduo ao estudo das ondas

A Fig. 1.1 mostra ondas numa corda quando se agita a sua extremidade para cima e para baixo. Cada ponto da corda move-se para cima e depois para baixo, novamente para cima, para baixo, e assim sucessivamente

Figura 1.1

o efeito da agitao que se desloca, sem que a corda se desloque como um todo de um stio para o outro! Algo semelhante acontece com as ondas de mar.

Figura 1.2

A Fig. 1.2 representa uma onda de mar que se desloca da esquerda para a direita (mostram-se duas imagens tomadas em instantes diferentes). A bia apenas oscila verticalmente. Uma onda , portanto, a propagao de uma "perturbao". No caso da Fig. 1.1 a "perturbao" o deslocamento vertical dos pontos da corda e no caso da Fig. 1.2 o deslocamento (tambm vertical) dos pontos da superfcie do lquido. As ondas, sejam elas quais foram na corda, no mar, no ar (ondas sonoras) na Terra (ondas ssmicas) precisam de um meio para se propagar. Mas as ondas electromagnticas, no! Propagam-se mesmo no vazio. Apesar de o espao entre o Sol e a Terra ser vazio, a radiao solar constituda por ondas electromagnticas chega Terra. A sua velocidade de propagao a velocidade da luz, que se representa por c, e tem o valor 300 000 km/s. Estudaremos mais pormenorizadamente as ondas electromagnticas mais tarde neste curso. Para j, vamos abordar aspectos genricos relativos a todos os tipos de ondas, independentemente da sua natureza mas tomaremos preferencialmente, a ttulo de exemplo e para tornar as ideias mais concretas, ondas em meios materiais.

2

Quando as ondas se propagam em meios materiais falamos muitas vezes de ondas mecnicas. A velocidade de propagao destas ondas depende da natureza do meio. No ar, por exemplo, as ondas sonoras propagam-se com velocidade de cerca de 340 m/s. Na gua as ondas propagam-se a cerca de 1500 m/s e no ao a mais de 6000 m/s. Se tivermos uma corda sob tenso, a velocidade de propagao das ondas nessa corda depende de dois factores: da tenso na corda, T e da massa por unidade de comprimento, que designamos por . Demonstra-se (no o fazemos aqui) que a velocidade de propagao dada por

T

v = (1.1)

Quanto mais tensa estiver a corda, mais rpida a propagao. Por outro lado, para cordas do mesmo material, a que tiver menor massa por unidade de comprimento, a que propaga a onda com maior velocidade. As maiores velocidades de propagao conseguem-se, pois, em cordas finas e muito tensas.

Descrio matemtica de um pulso unidimensional

Numa onda de matria h partculas que se deslocam da sua posio de equilbrio. Vamos comear por considerar uma perturbao gerada, por exemplo na extremidade de uma corda, onde se produz uma oscilao brusca. A perturbao uma funo do espao e do tempo. Designemos essa perturbao por ),( txy , onde x designa a coordenada ao longo da direco de propagao da onda e t designa o tempo. A funo y representa, por exemplo, o deslocamento vertical em relao posio de equilbrio ( 0=y ). A figura mostra um pulso gerado no instante inicial ( 0=t ), ou seja a funo

)()0,( xfxy = . (1.2)

A varivel x reporta-se ao referencial S que se mostra na figura.

x

yS

Figura 1.3

Um pulso assim pode ser gerado num corda com uma s agitao vertical de vaivm (e no com repetidas agitaes como na Fig. 1.1).

3

Para obtermos a descrio matemtica do pulso consideremos agora um novo referencial mvel, S, que acompanha o pulso: se a velocidade do pulso for v tambm o referencial S se desloca com velocidade v na direco positiva do eixo dos x. No referencial S (de eixos coordenados 'x e 'y ) a perturbao simplesmente descrita por uma funo no depende do tempo )'(' xfy = pois o referencial acompanha a perturbao e esta no muda do ponto de vista do referencial S.

x x'

yS y'S'vt

f(x) f(x')

vr

Figura 1.4

Como relacionar y com y e x com x? A Fig. 1.4 figura permite concluir que essa relao

'yy = e vtxx += ' (1.3)

(esta transformao linear de coordenadas chama-se transformao de Galileu1.). Ora, temos ento ( ) ( )vtxfxfytxy === ''),( ou, resumidamente,

( )vtxftxy =),( . (1.3)

Esta equao descreve um pulso de uma forma qualquer descrita pela funo f que se propaga na direco positiva do eixo dos xx. Se nos deslocarmos de tal forma que

constante= vtx , (1.4)

tambm a funo ser constante: ( ) C= vtxf . De facto, deslocando-nos com a velocidade da onda, estaremos sempre a acompanhar o mesmo ponto (ou fase) do pulso. Tomando a derivada de constante= vtx em ordem ao tempo, encontramos

1 A transformao acima deve ser complementada com a equao 'tt = , ou seja, o tempo flui da mesma

maneira nos dois referenciais. Tal j no acontece na Teoria da Relatividade em que os tempos, no so iguais.

4

vdtdx

= (1.5)

que se designa por velocidade de fase. Uma funo matemtica que dependa de posio e tempo da forma interligada expressa pela Eq. (1.3) descreve uma onda que se propaga da esquerda para a direita. A ideia a reter no que respeita onda pois a seguinte: a perturbao que est a ocorrer aqui e agora vai-se passar alm daqui a algum tempo (quando a perturbao l chegar...). Sempre que uma perturbao se propague, indo ocorrer num ponto distante da mesma maneira que ocorreu aqui embora mais tarde estamos perante um fenmeno de carcter ondulatrio. Mas esta situao ideal! H meios que so dissipativos e, nesse caso, no temos rigorosamente o que acabmos de dizer, j que pode haver uma atenuao da onda medida que ela progride. Regressemos situao ideal em que no h atenuao. E se o pulso se deslocasse da direita para a esquerda? Nesse caso, a funo matemtica que o descreveria seria do tipo

( )vtxftxy +=),( (1.6)

(basta fazer a transformao vv ). Podemos portanto concluir que as funes matemticas que se possam escrever como combinaes lineares de funes do tipo

( )vtxftxy =),( podem representar ondas que progridem no sentido negativo de x (sinal +) ou no sentido oposto (sinal ). Ilustremos o que acabmos de ver com dois exemplos. Pode a funo

( ) [ ]2)1(11

,

++=

vtxtx , onde v um parmetro, descrever um fenmeno ondulatrio?

A resposta negativa, pois sua dependncia espcio-temporal no se reduz a dependncias do tipo vtx . E a funo

( ) 2)(11

,

vtxtxy

+= , (1.7)

ainda com v um parmetro, trata-se ou no de uma onda? A resposta agora afirmativa. Vale a pena, por exemplo, para v = 2 representar as duas funes2 em instantes diferentes, tais como 0=t , 1=t e 2=t .

2 Estamos a usar unidades arbitrrias (do sistema internacional ou outras quaisquer).

5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t = 2

t = 1

t = 0

x

Figura 1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t = 0

t = 2

t = 1

y

x

Figura 1.6

No caso da Fig. 1.5 no h qualquer onda. Mas j se tem uma onda no caso da Fig. 1.6: h um pulso que se propaga para a direita (ler do grfico a velocidade de propagao atendendo posio do pico nos instantes considerados).

1

2 aula

Sumrio: Ondas progressivas. Ondas longitudinais e transversais e polarizao. Ondas sinusoidais e caractersticas gerais das ondas.

Ondas progressivas

Se a agitao que produz um pulso se repetir periodicamente cria-se uma onda persistente que se propaga, por exemplo, da esquerda para a direita (onda progressiva). A onda pode ter uma forma qualquer, mas haver sempre uma repetio no espao e no tempo. A Fig. 2.1 representa uma onda arbitrria num dado instante t. A oscilao espacial qualquer, mas note-se que h uma repetio.

Figura 2.1

Veremos em pormenor, mais frente nesta aula, as caractersticas gerais das ondas. Podemos, contudo, referir desde j uma delas o comprimento de onda indicada na Fig. 2.1: a distncia entre dois pontos na mesma fase de vibrao. Do ponto de vista matemtico, se designarmos por ),( txy a funo de onda, a repetio no espao exprime-se por

...),2(),(),( =+=+= txytxytxy (2.1)

Se nos fixarmos agora num certo ponto do espao o ponto arbitrrio x, por exemplo, o fenmeno ondulatrio caracteriza-se por uma repetio no tempo, como se mostra na Fig. 2.2. O tempo T que um ciclo demora a ser executado chama-se perodo e est representado na mesma figura.

Figura 2.2

Do ponto de vista matemtico a repetio da funo para qualquer ponto x, ao fim do tempo T exprime-se por

2

...)2,(),(),( =+=+= TtxyTtxytxy (2.2)

Ondas longitudinais e transversais e polarizao

Nas ondas de matria, como numa corda vibrante, por exemplo, a perturbao a oscilao das partculas do meio relativamente sua posio de equilbrio. Ora, essa oscilao pode ocorrer de duas maneiras: ou na direco perpendicular direco de perturbao (como na corda oscilante da Fig. 1.1 ou na onda de mar da Fig. 1.2), ou na prpria direco do movimento. No primeiro caso falamos em ondas transversais e no segundo caso em ondas longitudinais. Em geral, no interior dos slidos propagam-se ondas transversais e longitudinais (h ondas ssmicas dos dois tipos). Mas nos gases e lquidos apenas se propagam ondas longitudinais. Um slido pode-se comprimir ou torcer (e por isso h ondas dos dois tipos) mas um fluido no se pode torcer! Apenas pode ser comprimido (ou expandido) e portanto s pode haver ondas longitudinais. Uma onda sonora no ar a propagao de uma perturbao causada num certo stio por exemplo, na laringe junto das cordas vocais quando se fala. A oscilao das partculas do ar cria zonas de compresso e de rarefaco do ar ou seja, zonas onde a presso maior e onde menor do que a presso mdia. O som pois uma onda de presso. A Fig. 2.3 mostra como varia a presso num ponto P em instantes diferentes (as zonas claras so as de menor presso e as escuras as de maior presso).

Figura 2.3

Se a perturbao que d origem onda for pontual, a onda criada ser esfrica (ou circular se a propagao se der em 2 dimenses como na gua de um lago quando se atira uma pedra). A Fig. 2.4 mostra a propagao da onda longitudinal (onda sonora, por exemplo) a partir de um ponto e em todas as direces. As setas indicam as oscilaes das partculas do ar. Essas oscilaes do-se na direco do movimento, quer dizer, para a frente e para trs.

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Figura 2.4

As linhas circulares representadas na figura so os lugares geomtricos dos pontos que esto na mesma fase de oscilao: chamam-se frentes de onda. A distncia entre duas frentes de onda um comprimento de onda. No caso das ondas de mar as frentes de onda so rectas paralelas como mostra a Fig. 2.5. As oscilaes agora so para cima e para baixo e portanto as ondas so transversais. Tambm as ondas electromagnticas so ondas transversais embora no haja partculas a oscilar mas sim campos elctricos e magnticos oscilantes: essa oscilao d-se segundo direces perpendiculares velocidade de propagao da onda.

Figura 2.5

Quando as frentes de onda so paralelas, como na Fig. 2.5, a onda diz-se plana. As linhas (frentes de onda) indicadas nesta figura (ou na Fig. 2.4) no so necessariamente os stios onde, num certo instante, a onda tem um mximo! Essas linhas unem pontos que esto na mesma fase de vibrao: mxima ou qualquer outra, embora quando se olhe para uma onda de mar sejam os pontos de amplitude mxima (ou mnima) os que nos permitem melhor consciencializar representaes como a da Fig. 2.5. H muitos aspectos comuns s ondas transversais e longitudinais mas existe um de que s faz sentido falar para ondas transversais: a chamada polarizao. Nas ondas longitudinais a perturbao ocorre na direco de propagao. Mas nas ondas transversais a perturbao tem lugar numa qualquer direco do plano perpendicular direco de propagao. Se a oscilao transversa se der segundo uma s direco dizemos que a onda polarizada. Um polarizador elimina todas as ondas transversais cuja oscilao no tenha lugar segundo uma dada direco. A Fig. 2.6 mostra o efeito num polarizador. Antes do anteparo com a fenda vertical as perturbaes nas ondas transversais numa corda podem ser segundo uma direco qualquer. O efeito do anteparo (polarizador) o de deixar passar apenas a componente da onda na direco. Depois de passar o anteparo a onda diz-se polarizada. Tambm a luz, sendo uma onda transversal, pode ser polarizada. Essa polarizao tem

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muitas aplicaes prticas. Uma delas nos conhecidos culos para visualizar filmes em 3D. As lentes desses culos so polarizadores de luz.

Figura 2.6 [Fonte: Introduo Fsica, Jorge Dias de Deus e tal., 2 ed., MaGraw-Hill, Lisboa (2000)]

Ondas sinusoidais e caractersticas gerais das ondas

Vimos atrs que perodo e comprimento de onda eram duas caractersticas da onda, a primeira ligada repetio temporal do fenmeno e a outra repetio espacial. Que relao existe entre estas duas grandezas, e T? Consideremos uma onda que se propaga, por exemplo no sentido positivo do eixo dos xx. Vimos na primeira aula que a dependncia em x e t tem de ser da forma )(),( vtxftxy = . Por outro lado as equaes (2.1) e (2.2) permitem escrever

)(),()(),( vTvtxfTtxyvtxftxy +=++== (2.3)

e portanto

vTvtxvtx += (2.4)

donde

vT= ou T

v

= (2.5)

Esta equao permite-nos afirmar que a onda avana a distncia de um comprimento de onda num intervalo de tempo igual ao perodo. As expresses (2.5) que relacionam o parmetro que caracteriza a repetio no espao com o que caracteriza a oscilao no

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tempo resultam afinal da forma da dependncia espcio-temporal numa onda, como se estudou na aula anterior. Quando se faz o estudo das ondas consideramos normalmente ondas sinusoidais. Uma possvel expresso matemtica de uma onda sinusoidal que se propaga da esquerda para a direita com velocidade v :

== t

v

x

TAvtxftxy pi2sin)(),( (2.6)

onde A a amplitude da onda. esta caracterstica da onda que temos presente quando dizemos simplesmente se uma onda grande ou pequena. A expresso da onda sinusoidal (2.6) parece intrincada... Comecemos por reconhecer que a dependncia em

vtx est l, embora numa forma que difere desta unicamente por um factor constante. O T em denominador introduziu-se para tirar dimenses ao argumento do seno: de facto, o perodo o nico parmetro disponvel com a dimenso de um tempo e obviamente o argumento do seno no pode ter dimenses. Finalmente, o factor pi2 simplesmente uma constante. costume definir a chamada frequncia angular a partir do perodo atravs de

Tpi

2

= . (2.7)

Analogamente define-se o nmero de onda atravs de

pi2

=k . (2.8)

Em funo destas quantidades, a expresso matemtica da onda sinusoidal escreve-se

( ) += tkxAtxy sin),( (2.9)

Relativamente a (2.6) acrescentmos agora uma fase na origem, , pois o valor de y em 0=t e 0=x pode no ser zero. As figs. 2.7 e 2.8 mostram ondas sinusoidais, em representao no espao e no tempo, respectivamente. Indicam-se nas figuras a amplitude da onda (A), o comprimento de onda ( ) e o perodo (T).

Figura 2.7

6

Figura 2.8

No quadro seguinte sintetizam-se algumas relaes entre as caractersticas das ondas sonoras e electromagnticas (regio do visvel) como a amplitude e a frequncia com caractersticas que, no dia-a-dia, atribumos ao som e luz

Amplitude +

Frequncia +

Som forte fraco agudo grave Luz intensa fraca azul vermelho

Fazemos notar, por fim, que a reduo do estudo das ondas a ondas sinusoidais no limitativa. De facto, mostra-se, pela anlise de Fourier, que uma funo qualquer se pode escrever como a sobreposio de ondas sinusoidais.

1

3 aula

Sumrio: Sobreposio de ondas. Ondas estacionrias. Batimentos.

Sobreposio de ondas

Se as funes ( )txi , representarem ondas que se propagam segundo a direco do eixo dos xx , a sua dependncia espcio-temporal do tipo ( )tvx ii se a onda se propagar no sentido positivo daquele eixo com velocidade vi, e do tipo ( )tvx ii + se a propagao for em sentido oposto. A funo ( )txy , que exprime um fenmeno ondulatrio uma combinao linear de funes deste tipo:

( ) ( )=i

ii txatxy ,, , (3.1)

sendo ai coeficientes. No final da ltima aula fizemos aluso ao facto de qualquer funo se poder exprimir como uma combinao linear de funes sinusoidais. Nesse caso, as funes de base ( )txi , (3.1) so as funes introduzidas na expresso (2.9) ver 2 aula:

( ) ( ) += tkxAtx sin, (3.2)

Recordamos que os parmetros e k se relacionam directamente com o perodo e comprimento de onda atravs de

2 e

2pipi

== kT

. (3.3)

A velocidade de propagao, que dada por [ver (2.5)] Tv /= , pode ento escrever-se

kv

= . (3.4)

Em suma, a Eq. (3.2) uma onda sinusoidal, de amplitude A, frequncia angular , nmero de onda k e fase na origem , que se propaga no sentido positivo do eixo dos xx com velocidade kv /= . Fixando-nos num qualquer ponto do espao x a dependncia temporal a de um oscilador harmnico simples (ver 31 aula de Fsica Geral I / Elementos de Fsica).

Vamos de seguida estudar alguns exemplos simples de sobreposio de ondas.

1) Ondas com a mesma fase

O primeiro caso particular de (3.1) que estudamos a sobreposio de ondas que apenas diferem na amplitude:

2

( ) += tkxA sin11 e ( ) += tkxA sin22 . (3.5)

A soma algbrica destas duas ondas a onda

( ) ( ) ++=+= tkxAA sin2121 (3.6)

Trata-se de uma onda semelhante s que lhe do origem mas cuja amplitude a soma das amplitudes. As ondas

, 21 e a sua soma esto representadas na Fig. 3.1.

Figura 3.1

2) Ondas em oposio de fase

Consideremos agora

( ) += tkxA sin11 e ( )pi ++= tkxA sin22 . (3.7)

Diz-se que as duas ondas esto em oposio de fase: a fase da segunda difere da primeira em pi radianos. A onda resultante ainda semelhante s duas que lhe do origem mas agora a amplitude a diferena das amplitudes:

( ) ( ) +=+= tkxAA sin2121 (3.8)

A Fig. 3.2 mostra este caso. bvio que se as duas ondas 1 e 2 tiverem a mesma amplitude e estiverem em oposio de fase, anulam-se rigorosamente.

3

Figura 3.2

3) Ondas com diferena de fase arbitrria

Consideremos as ondas

( )tkxA = sin1 e ( ) += tkxAsin2 (3.9)

que apenas diferem na fase. O resultado da sua sobreposio pode ser obtido algebricamente, tendo em conta que

2cos

2sin2sinsin bababa +=+ . (3.10)

Obtm-se ento

+=+=

2sin

2cos221

tkxA (3.11)

que ainda uma onda sinusoidal com a mesma frequncia e comprimento de onda. Se 0= a onda resultante o dobro de cada uma das ondas idnticas que se esto a

somar; se pi = , a onda resultante nula. A Fig. 3.3 mostra as ondas (3.9) e a sua sobreposio (3.11) para um arbitrrio.

4

2

1

Figura 3.3

Ondas estacionrias

Consideremos agora a sobreposio de duas ondas iguais mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesmo perodo e mesma fase (que se considera nula) que se propagam em sentidos opostos. As duas ondas so descritas por

( )tkxA = sin1 e ( )tkxA += sin2 . (3.12)

A sua sobreposio, que se obtm algebricamente fazendo uso de (3.10),

( ) ( )tkxA cossin2= (3.13)

O aspecto mais significativo desta funo de onda o facto de existirem pontos para os quais, independentemente do tempo, a perturbao sempre nula. De facto, para valores de x tais que K,2,,0 pipi =kx a funo nula, para qualquer t. Estes pontos so chamados nodos. A Eq. (3.13) a expresso matemtica de uma onda estacionria.1 Consideremos a onda estacionria confinada a uma regio compreendida entre

0=x e Lx = , tendo-se, para alm de ( ) 0,0 =t que automaticamente verificada, a seguinte condio de fronteira: ( ) 0, =tL , ou seja, a funo nula nas duas extremidades. Em instantes diferentes a funo dada pela Eq. (3.13) apresenta o aspecto que a Fig. 3.4 mostra.

1 Parece primeira vista auto-contraditria a expresso onda estacionria pois a palavra onda tem uma

conotao dinmica ao contrrio da palavra estacionria. Porm esta designao, por oposio de onda progressiva, sugestiva pois na onda estacionria a energia numa regio do espao compreendida entre nodos permanece constante.

5

0 1 2 3

-2

0

2antinodo

nodo

x

Figura 3.4

Se se tratar de uma onda numa corda, para alm dos pontos extremos h pontos do interior da corda que tambm esto fixos so os j referidos nodos. Ao contrrio destes, os pontos que oscilam com amplitude mxima designam-se por antinodos. Para uma onda poder existir numa corda com os extremos fixos o comprimento de onda no pode ser qualquer2. Os comprimentos de onda permitidos obtm-se a partir da condio ( ) 0, =tL . Usando (3.13) obtemos 0sin =kL e portanto

K3, 2, 1, 0, , == nnkL pi (3.14)

donde

Lnkn

pi= (3.15)

ou, atendendo a que pi2

=k ,

n

Ln

2= n = 1, 2, 3. (3.16)

(n = 0 corresponde a ausncia de oscilao). Os diferentes modos de vibrao esto indicados na Fig. 3.5. O modo

fundamental tem comprimento de onda igual a 2L. Os outros modos so designados por harmnicas e tm comprimentos de onda dados por (3.16) com n = 2 (harmnica de segunda ordem), n = 3 (harmnica de terceira ordem, etc.). Na primeira harmnica

2 Para uma dada corda, a velocidade de propagao fixa e dada pela Eq. (1.1). Assim, se o comprimento

de onda no pode ser qualquer tambm o perodo no pode ser qualquer pois vT /= .

6

(harmnica de segunda ordem) o ponto 2/Lx = um nodo; na de terceira ordem os pontos 3/Lx = e 3/2Lx = so nodos. De uma maneira geral os nodos da harmnica

de ordem N localizam-se em NnL

xn = , com Nn ,,0 K= .

terceira harmnica

segunda harmnica

primeira harmnica

modo fundamental

L0

4=L/2

3=2L/3

2=L

1=2L

Fig 3.5

Recordamos que frequncia, f, e o comprimento de onda, , se relacionam atravs de /vf = , com v a velocidade de propagao da onda. Usando (3.16) obtemos as

frequncias da corda vibrante:

nLvfn 2= . (3.17)

A frequncia das harmnicas mltipla da frequncia do modo fundamental. A frequncia da nota musical l 440 Hz. A corda de um instrumento musical (viola, violino, piano, etc.), quando tangida (com os dedos, com o arco, com um martelo, etc.) vibra, sendo o seu movimento uma sobreposio dos modos acima referidos e que so os nicos possveis para essa corda. Mas o som de um instrumento musical em geral no puro no sentido em que, ao modo fundamental, se juntam as harmnicas. Mas quando se toca o l num instrumento musical h de facto uma mistura da frequncia fundamental e das suas harmnicas. Essa sobreposio, que caracterstica do instrumento, determina a caracterstica do som chamado timbre. ainda nesta mesma acepo que se fala em timbre da voz humana. As curvas de cima na Fig. 3.6 representam um mesmo som fundamental e as duas curvas a seguir as segunda e terceira harmnicas que tm amplitudes diferentes no lado esquerdo e no lado direito. Os sons resultantes (curvas de baixo) so diferentes, ou melhor, tm timbres diferentes.

7

Figura 3.6

Estudmos ondas estacionrias em cordas, tendo imposto condio de os extremos da corda estarem fixos. Ora podemos tambm ter ondas estacionrias com a condio de um dos extremos ser, por exemplo, um antinodo. este o caso em vrios instrumentos musicais de sopro em que se cria uma onda (de presso) estacionria num tubo fechado numa das extremidades. Nessa extremidade tem-se um nodo e na extremidade aberta um antinodo.

Batimentos

Consideremos agora as seguintes duas ondas com a mesma amplitude e fase na origem, ambas a propagarem-se da esquerda para a direita com comprimentos de onda prximos (logo com perodos tambm prximos):

( )txkA 111 sin = e ( )txkA 222 sin = (3.18)

com 2

2121

kkkkk += e 2

2121

+= pois os comprimentos de onda e

as frequncias das duas ondas so prximas. Definimos as seguintes quantidades (pequenas):

.

2

221

21

=

= kkk (3.19)

Usando a expresso (3.10) podemos obter algebricamente a soma das duas ondas (3.18) que dada por

( ) ( )tkxtxkA =+= sincos221 (3.20)

(as diferenas k e , embora pequenas, podem no ser desprezveis pelo que a presena do termo co-seno faz sentido, ou seja, no pode ser substitudo pelo factor 1).

8

A expresso (3.20) mostra que ainda temos uma onda sinusoidal progressiva (termo em seno) mas cuja amplitude agora uma funo do espao e do tempo dada por

( )txkA cos2 . A velocidade de propagao da onda, ou melhor, a velocidade de propagao de uma fase da onda , como j sabemos,

kv

=fase .

Devido dependncia da amplitude no espao e no tempo, a onda organiza-se em grupos como mostra a Fig. 3.7, onde se mostra, para um dado instante, as ondas 1 ,

2 e a sua soma . Os grupos de ondas assim formados chamam-se batimentos. Tratando-se de som, os batimentos so caracterizados por aumento e diminuio sucessivos da intensidade do som.

=1+2

2

1

Figura 3.7

Define-se a velocidade de grupo atravs de

kv

=

grupo , (3.21)

a qual no coincide, em geral, com a velocidade de fase. Pode at acontecer que as duas ondas iniciais se propaguem da esquerda para a direita e que a velocidade de grupo seja no sentido oposto... Tomando o limite da expresso anterior quando 0k , a velocidade de grupo a derivada da frequncia angular em ordem ao nmero de onda:

kv

vk

kvk

vd

dd

)(ddd fase

grupofase

grupo +===

(3.22)

As duas velocidades de fase e de grupo s coincidem se a velocidade de propagao da onda no depender do nmero de onda, k, ou, o que significa o mesmo, no depender do comprimento de onda. Nos meios onde tal no acontea (tais meios dizem-se dispersivos), as duas velocidades so diferentes pois o ltimo termo de (3.22) no se anula.

1

4 aula Sumrio: Reflexo de ondas e leis da reflexo. Refraco de ondas e leis da refraco. Reflexo de ondas e leis da reflexo

As frentes de onda so o lugar geomtrico dos pontos que esto na mesma fase de vibrao (ver 2 aula). A distncia entre as frentes de onda o comprimento de onda. A Fig. 4.1 mostra frentes de ondas esfricas (a fonte que produz a onda pontual) e de ondas planas (a fonte que produz a onda longa).

Figura 4.1

Na direco perpendicular s frentes de onda podemos desenhar os raios que indicam a direco de propagao.

Se a onda for sinusoidal, descrita genericamente por

( ) sin, Atxy = (4.1) sendo a fase. Se se tratar de uma onda progressiva que se propaga no sentido positivo do eixo dos xx, a fase dada por += tkx . Os pontos de intercepo dos raios com uma frente de onda esto na mesma fase.

A representao das ondas pelas frentes de onda e/ou pelos raios sugestiva e, embora seja esquemtica suficientemente rica para permitir o estudo de alguns fenmenos ondulatrios. Contam-se entre estes a reflexo e a refraco de ondas.

Vamos comear por estudar a reflexo de ondas, tomando uma onda plana que incide obliquamente numa superfcie reflectora plana (a que chamamos espelho plano no caso da reflexo da luz). A onda pode ser representada pelos raios incidentes i e i, ou pelas frentes de onda. A Fig. 4.2 mostra estes raios incidentes (a vermelho) e tambm os reflectidos (a azul).

2

X

Y

W

T

i

i' r

r'

d

Figura 4.2

Os pontos A e B pertencem a uma mesma frente de onda, logo esto na mesma fase que podemos considerar nula: 0BA == . Tambm os pontos X e Y esto na mesma fase (X um ponto onde se d a reflexo): YX = , tendo-se tkd =X , sendo t o tempo que a frente de onda demora a percorrer a distncia d. Em X, o raio incidente reflectido, emergindo o raio r segundo uma direco que, partida, no conhecemos. Mas essa direco vai ser tambm a direco do raio r que resulta da reflexo de i no ponto W, pois os pontos X e W esto em p de igualdade. Assim, se ii so raios paralelos, tambm rr o so (embora, insistimos, no saibamos segundo que direco se propagam). Logo, os pontos T e W pertencem mesma frente de onda e portanto esto em fase: WT = . Para tal acontecer, o tempo t que a frente em Y demora a chegar a W tem de ser igual ao tempo que a frente em T (j do raio reflectido) demorou a l chegar a partir de X. Explicitamente, as fases em T e Y so

'XTXT tk += e 'YWYW tk += (4.2) Sendo estas duas fases iguais, as distncias percorridas tambm tero de ser iguais:

YWXT = . A Fig. 4.3 representa com mais pormenor a parte de baixo da Fig. 4.2. Como a hipotenusa XW comum aos dois tringulos rectngulos e os catetos YW e XT so iguais, segue-se que os ngulos e representados na figura so tambm iguais.

X

Y

W

T

Figura 4.3

3

Na anlise do fenmeno de reflexo mais vulgar considerar os chamados ngulos de incidncia e de reflexo que so os ngulos que os raios incidente e reflectido fazem com a direco normal no ponto de incidncia. So os ngulos i e r indicados na Fig. 4.4. O ngulo i o complementar de e o ngulo r o complementar de . Conclumos a seguinte lei da reflexo: o ngulo de incidncia igual ao ngulo de reflexo, ou seja

ngulo i = ngulo r. (4.3)

i r

Figura 4.4

Este resultado geral e no faz referncia a aspectos muito especficos que possam ocorrer no ponto de reflexo. A onda luminosa, por exemplo, por reflexo pode mudar a fase de radianos. Mas tais aspectos no comprometem os raciocnios seguidos pois o que acontece em X para o raio i acontece da mesma maneira em W para o raio i. Um outro aspecto que vale a pena referir prende-se com a lei de reflexo das ondas seguir a mesma lei de uma simples reflexo mecnica de uma partcula que incide obliquamente numa parede rgida. Esta similitude levou Newton a desenvolver uma teoria corpuscular para a luz que, no entanto se viria a revelar insatisfatria (no explicava fenmenos de interferncia e difraco, para alm de ter outros problemas). No obstante, sculos mais tarde, Einstein viria a propor uma nova teoria corpuscular para a luz (para explicar o efeito fotoelctrico). S a mecnica quntica viria a tornar compatveis as vises corpuscular e ondulatria (tanto para a luz como para a matria). Refraco de ondas e leis da refraco Estudamos agora a situao em que uma onda incide na interface de dois meios (que se considera plana). Os meios 1 e 2 tm propriedades diferentes, sendo em particular diferentes as velocidades de propagao das ondas: 21 vv . O raio i ao atingir o ponto X da interface propaga-se no meio 2 mudando de direco (que vamos determinar). Tem-se o mesmo desvio para o raio i ao atingir o ponto W (Fig. 4.5) pois os pontos X e W esto em p de igualdade. Logo, um feixe de raios paralelos no meio 1 propaga-se ainda como um feixe de raios paralelos no meio 2. Tal como no caso da reflexo, os pontos X e Y esto em fase, YX = , tal como os pontos T e W, WT = . Se considerarmos fase nula nos pontos X e Y podemos escrever as fases em T e W do seguinte modo

4

= t

v2T

XT e

= t

v1W

YW (4.4)

Para escrever esta expresso, tivemos em conta que a onda mantm a frequncia em qualquer meio onde se propaga, e o raio i demora o tempo t a percorrer a distncia d1 de Y a W , o mesmo tempo que o raio j refractado demora a percorrer a distncia d2 de X a T (assim se garante a mesma fase em T e W).

X

W

i i'

rf rf'

d1Y

Td2

meio 1

meio 2

Figura 4.5

A expresso anterior permite concluir que

21

XTYWvv

= (4.5)

A Fig. 4.6 mostra em pormenor a parte central da Fig. 4.5.

X W

Y

T

Figura 4.6

Se dividirmos ambos os membros de (4.5) pela hipotenusa comum aos dois tringulos rectngulos representados na Fig. 4.6, podemos escrever

5

2

1

sinsin

vv

= (4.6)

Como mostra a Fig. 4.6, o ngulo tambm o ngulo que o raio incidente forma com a direco normal no ponto de incidncia pois igual ao ngulo de incidncia i. Por outro lado, o ngulo tambm o ngulo que o raio refractado forma com a normal o ngulo de refraco R (ver Fig. 4.7).

i

i

Rrf

meio 1

meio 2

Figura 4.7

A expresso anterior pode escrever-se em funo destes dois ngulos. Na situao representada na Fig. 4.7, o ngulo de refraco superior ao ngulo de incidncia, o que significa que a velocidade de propagao da onda no meio 2 maior do que no meio 1. Define-se o ndice de refraco, n, como a razo entre a velocidade de propagao da onda num meio de referncia e no meio em questo. No caso da luz o meio de referncia o vazio e

vcn = , (4.7)

onde c a velocidade da luz no vazio e v no meio em questo. A Eq. (4.6) passa a escrever-se

1

2

sinsin

nn

Ri= (4.8)

que uma lei da refraco. De uma maneira geral, o segundo membro desta equao o ndice de refraco do meio 2 relativamente ao meio 1. Se 12 nn > , o raio refractado aproxima-se da normal e vice-versa. No caso da passagem da luz do ar para a gua, guaar 1 nn

6

r

i r

rf

ar

gua

i

R

r

i r

rf

ar

gua

i

R

Figura 4.8

Quando a onda incide num interface vinda de um meio mais refringente pode ocorrer a chamada reflexo total. Como o prprio nome indica, a onda totalmente reflectida e no h onda refractada. Quando a onda passa de um meio com maior ndice de refraco para um meio com menor ndice de refraco, o raio afasta-se da normal. Esse afastamento mximo quando o ngulo de refraco vale 90. Para um tal ngulo de refraco , o correspondente ngulo de incidncia chama-se ngulo limite.

r

ilim

rf ar

gua

i

Figura 4.9 Por outras palavras, para uma incidncia no ngulo limite, o raio refractado rasante. Para incidncias segundo ngulos superiores deixa de haver raio refractado. O ngulo limite depende dos ndices de refraco dos meios. Tomando na expresso (4.8) R = 90, conclui-se que

=

1

2lim arcsin n

ni (4.9)

sendo o meio 1, aquele onde se propaga a onda (o de ndice de refraco maior). Para a interface gua-ar o ngulo limite cerca de 50. A reflexo total tem a vantagem de a energia no se propagar para um outro meio, mantendo-se no meio 1 no h perda (degradao) de energia. H muitas aplicaes tecnolgicas da reflexo total. Uma delas na fibra ptica que um suporte muito eficiente para a transmisso de informao.

1

5 aula Sumrio: O som e sua intensidade. Sons e ultrasons. Nvel de intensidade do som e audibilidade. O som e sua intensidade Nas aulas anteriores j fizemos referncia ao som, o qual, alis, at nos serviu de exemplo de fenmeno ondulatrio. Em particular, vimos que a onda sonora uma onda longitudinal de presso: num dado instante, a presso ao longo do espao alterna entre mximos e mnimos como mostra qualquer uma das faixas da Fig. 2.3. E, num dado ponto, a presso aumenta e diminui ao longo do tempo, como mostra a sequncia de faixas da mesma figura. Vamos nesta aula estudar mais alguns aspectos ligados ao som.

A parte da Fsica que se ocupa do estudo do som chama-se acstica. H sons muito diferentes produzidos de maneiras muito diferentes. A fala, que resulta da vibrao das cordas vocais, apenas uma delas. O ouvido humano permite ouvir e distinguir sons muito variados. A altura, a intensidade e o timbre do som, permitem-nos distinguir os sons uns dos outros e identificar, por vezes, a sua origem. Do timbre falmos j na aula anterior. As outras duas caractersticas, que esto intimamente ligadas frequncia e amplitude da onda sonora, vo ser abordadas nesta aula mais em pormenor (apesar de tambm j terem sido afloradas nas aulas anteriores).

A Fig. 5.1 mostra uma lmina vibrante.

Figura 5.1

Quando a lmina comea a vibrar ouve-se um som e, modificando o comprimento, l, da parte livre da lmina esse som resultante da vibrao da lmina modifica-se. Essa diferena ocorre porque diferente nmero de oscilaes que a lmina executa por unidade de tempo (nmero de movimentos completos de vaivm efectuados num segundo pela ponta da lmina). Tem portanto a ver com a frequncia (ou com o perodo) do movimento. O funcionamento das nossas cordas vocais semelhante. As cordas vocais possuem msculos que as podem esticar mais ou menos, o que lhes permite vibrar de formas diferentes tanto em frequncia como em amplitude

2

quando fazemos passar ar por elas. Para a produo da voz humana tambm contribuem o nariz e a boca (lbios e lngua), bem como os pulmes.

A oscilao da lmina representada na Fig. 5.1 fora as partculas do ar em volta a oscilar, a perturbao no ar propaga-se e gera-se uma onda sonora. Quando uma onda sonora atinge a membrana do tmpano no nosso ouvido, esta entra em vibrao e desencadeia-se um conjunto de processos que nos permitem percepcionar o som. A onda sonora entra pela orelha e canalizada pelo canal auditivo (ouvido externo) para o tmpano, que vibra. Essa vibrao depois transmitida a um sistema sseo constitudo pelo martelo, bigorna e estribo (ouvido mdio). A vibrao passa ao ouvido interno onde os canais semi-circulares fazem a ligao ao nervo auditivo. A vibrao convertida em impulso elctrico, o qual comunicado ao crebro (Fig. 5.2). O tempo mnimo para que um som seja percepcionado a seguir a outro 0,1 s. Dois sons, para serem distinguidos, tm pois de chegar ao ouvido com um intervalo de tempo superior a 0,1 s.

Figura 5.2

A intensidade a caracterstica que permite distinguir um som forte de um som fraco. Na linguagem comum diz-se que um som forte quando pode ser ouvido a uma distncia grande. Caso contrrio, o som fraco. Quando se tange a corda de uma viola, o som emitido ser tanto mais forte quanto maior for a amplitude da vibrao da corda e, portanto, quanto maior for a fora exercida na corda. O diapaso emite um som mais intenso se for percutido com mais fora e menos intenso se for percutido com menos fora. A lmina da Fig. 5.1 produz um som tanto mais intenso quanto maior for a amplitude da sua oscilao.

A onda sonora associada a um som menos intenso tem uma amplitude menor do que a onda associada a um som mais intenso. No primeiro caso as partculas do ar vibram mais (quer dizer, vibram com uma amplitude maior) do que no segundo caso, originando maiores oscilaes de presso (ou de densidade).

Um som produzido, por exemplo, por um pequeno diapaso propaga-se em todas as direces. A energia emitida por unidade de tempo a partir da fonte distribui-se por reas sucessivamente maiores. Portanto, a mesma energia vai pr a vibrar mais partculas e, por isso, cada partcula vibra menos. Se uma pessoa estiver perto da fonte sonora, o seu tmpano vibrar com amplitude maior do que se estiver longe, causando sensaes bem diferentes.

3

As partes a vermelho, verde e amarelo na Fig. 5.3 representam calotes esfricas (pores de superfcie esfrica), todas com a mesma rea, perpendiculares direco de propagao do som. Para a esfera mais prxima da fonte a rea vermelha uma fraco da superfcie esfrica a maior do que a rea verde (da segunda calote) relativamente superfcie esfrica b; esta fraco , por sua vez, ainda maior do que a rea amarela (calote mais exterior) relativamente superfcie esfrica c. Como por cada uma das superfcies esfricas fechadas a, b e c passa a mesma energia, s calotes vermelha, verde e amarela que tm reas iguais chegam energias sucessivamente menores.

Figura 5.3 Se a fonte no centro emitir a energia E no intervalo de tempo t , a sua potncia

tEP

= . (5.1)

Num mesmo intervalo de tempo, a energia que atravessa cada uma das superfcies esfricas a, b e c da Fig. 5.3 a mesma (admitindo que no h absoro no meio, o que nem sempre acontece). De resto, a energia que, por unidade de tempo, atravessa qualquer superfcie fechada que envolva a fonte ainda a mesma se no houver absoro no meio. A intensidade a energia que, por unidade de tempo, atravessa uma unidade de rea perpendicular direco de propagao:

tSE

SPI

== , (5.2)

onde S a rea da superfcie. Ento, sobre qualquer ponto da superfcie esfrica a de raio ra, a intensidade

2a

a 4 rPI

= . (5.3)

4

Se quisermos saber a energia (Ea) que atravessa a calote vermelha (de rea Sa) num intervalo de tempo , s temos de multiplicar a intensidade (5.3) por esta rea e pelo tempo: = aaa SIE .

A expresso (5.3) mostra que, para uma fonte pontual que emita com uma potncia constante P, a intensidade inversamente proporcional ao quadrado da distncia. Mostra ainda que no Sistema Internacional a intensidade se exprime em watts por metro quadrado (W/m2).

Por outro lado, a energia associada onda depende do quadrado da amplitude da onda, ou seja 2AE . Por exemplo, uma onda sonora com amplitude dupla de outra transporta uma energia que quatro vezes superior. A intensidade, dado que proporcional energia vide (5.2) tambm depende do quadrado da amplitude da onda. No caso da radiao electromagntica, a energia depende do quadrado dos campos elctrico e do campo magntico. Quando se escreve a energia da radiao electromagntica monocromtica como nhE = a dependncia com o quadrado da amplitude est no factor n.

Voltaremos, mais frente nesta aula a falar da intensidade do som. Antes, porm, vamos ver uma outra caracterstica do som: a altura. Sons e ultrasons

Para alm da intensidade e do timbre, a outra caracterstica do som a altura. Na linguagem comum fala-se em som agudo (ou fino) e em som grave (ou grosso). Em acstica o primeiro chama-se som alto e o segundo som baixo. A lmina vibrante da Fig. 3.1 produz um som tanto mais alto quanto mais curta for a sua parte livre pois a lmina mais curta realiza maior nmero de vibraes por unidade de tempo do que a lmina mais longa. A altura do som est directamente relacionada com o nmero de vibraes efectuadas por unidade de tempo (frequncia). Quando a corda mais grossa de uma viola tangida executa menos vibraes por unidade de tempo do que a corda mais fina. A primeira produz um som baixo e a segunda um som alto. a altura do som musical que fixa o seu lugar na escala musical. A nota musical de referncia o l (mais precisamente o l3) cuja frequncia 440 Hz. A onda sonora correspondente produz 440 vibraes por segundo nas partculas do meio onde se propaga. O comprimento de onda no ar l = 340 / 440 0,77 m.

O ouvido humano s sensvel a ondas sonoras com certas caractersticas de intensidade e de altura, quer dizer, h sons audveis e sons no audveis. S so percepcionadas pelo ouvido humano normal ondas sonoras com frequncias compreendidas entre os 20 Hz e os 20 000 Hz, aproximadamente (os sons musicais agradveis tm frequncias inferiores a 5000 Hz; os sons mais altos j se tornam desagradveis). Os sons naquela banda de frequncias dizem-se audveis. Se a frequncia for inferior a 20 Hz os sons so denominados infra-sons. Os ultra-sons, por seu lado, tm frequncia superior a 20 000 Hz. Os ces conseguem ouvir sons numa banda de frequncias mais larga do que o homem: so sensveis a ondas sonoras compreendidas entre 15 Hz e 50 000 Hz. Os morcegos, as baleias e os golfinhos podem ouvir e emitir ondas sonoras com frequncias at 120 000 Hz!

O sonar (nome formado pelas iniciais de sound navigation and ranging) um sistema de localizao e prospeco de obstculos por meio de ondas sonoras, tirando partido da sua reflexo. Uma maneira de conhecer a profundidade do mar num certo stio recorre a este instrumento. De um navio enviam-se ondas sonoras (na zona dos ultra-sons, com frequncias de 40 000 a 50 000 Hz) em direco ao fundo do mar. Estas ondas so reflectidas e detectadas de novo no navio. Pelo tempo t que decorre entre a

5

emisso e a recepo dos ultra-sons ou seja, o seu eco , e uma vez conhecida a velocidade de propagao do som na gua, v, fica a saber-se a profundidade:

2vtd = (5.4)

(notar o factor 2, porque h um percurso de ida e outro de volta). Este mtodo tornou possvel traar, com grande rigor, o mapa do fundo dos oceanos. Certos navios pesqueiros (Fig. 5.4) tambm utilizam o sonar para detectar cardumes (nesse caso so os peixes que reflectem a onda sonora).

Figura 5.4

Nas ecografias, bastante comuns em diagnstico mdico, utilizam-se

ultra-sons com frequncias da ordem do milho de ciclos por segundo (mega-hertz, MHz). Com a ecografia podem obter-se imagens do interior do corpo humano por exemplo dos bebs antes de nascerem (Fig. 5.5),.

Figura 5.5

6

Nvel de intensidade do som e audibilidade

O ouvido humano normal distingue uma gama muito vasta de intensidades. A intensidade sonora mais pequena que pode ser percepcionada de 1012 W/m2, que chamado limiar de audio. Uma intensidade de 1 W/m2 causa dor e uma intensidade de 104 W/m2 causa a ruptura da membrana do tmpano. Numa conversa normal a intensidade do som, quando atinge o tmpano, cerca de 107 W/m2.

A intensidade sonora no , de facto, uma grandeza muito apropriada devido gama muitssimo alargada de valores possveis que vai de 1012 W/m2 a 104 W/m2, ou mais ainda! Como cada potncia de 10 uma ordem de grandeza, tm-se 16 ordens de grandeza! Alm disso, o ouvido humano no avalia de forma directamente proporcional as diferentes intensidades sonoras: por exemplo, um som com o dobro da intensidade de outro causa uma sensao auditiva que no parece ser o dobro. Os sons mais fortes parecem menos intensos do que so de facto.

Por estes motivos criou-se uma outra grandeza fsica, designada por nvel de intensidade sonora, relacionada com a intensidade. O nvel de intensidade sonora mede-se em decibis, unidade que se representa por dB. O limiar de audibilidade (mnimo que se consegue ouvir) corresponde a 0 dB e o limiar de dor (mximo que se consegue aguentar) corresponde a 120 dB. Pode obter-se o nvel de intensidade sonora, em decibis, a partir da intensidade, em watts por metro quadrado. A correspondncia est indicada na Tabela 5.1. Por exemplo, o nvel de intensidade correspondente a 107 W/m2 50 dB.

Intensidade /W/m2 1012 1011 1010 109 103 102 101 100=1 Nvel de intensidade /dB 0 10 20 30 90 100 110 120

Tabela 5.1

A Tabela 5.2 indica os nveis de intensidade (que se medem com sonmetros)

em diversas situaes. Situao

Nvel de intensidade

Limiar de audio 0 dB

Sussurro de folhas 10 dB

Conversa muito baixa 20 dB

Conversa normal 50-60 dB

Trnsito intenso 80 dB

Discoteca / limiar de dor 120 dB

Avio a jacto a 20 m 130 dB

Ruptura do tmpano 160 dB

Tabela 5.2

7

Se designarmos por I0 = 1012 W/m2 a intensidade do limiar de audibilidade, o nvel de intensidade em decibis relaciona-se com a intensidade I de acordo com

[ ]

=

0

Log10 :dB em eintensidad de nvelII (5.5)

(ao nvel de intensidade chama-se, por vezes, simplesmente intensidade).

O ser humano no ouve todas as frequncias da mesma maneira. Alguns tipos de surdez parcial resultam da incapacidade da pessoa ouvir sons com certas frequncias, qualquer que seja o seu nvel de intensidade. Outro tipo de surdez, mais frequente nas pessoas idosas (mas no s), resulta da insensibilidade do aparelho auditivo a sons pouco intensos. Hoje em dia existem prteses auditivas que melhoram consideravelmente a capacidade auditiva.

Um audiograma um grfico que representa o nvel de intensidade em funo da frequncia e que permite averiguar se os ouvidos esto a funcionar bem. Os audimetros, que so os aparelhos utilizados para registar os audiogramas, fazem obviamente parte do equipamento de qualquer otorrinolaringologista. A Fig. 5.6 representa um audiograma de uma pessoa normal. Para uma dada frequncia, vai-se variando o nvel de intensidade desde 0 dB at ao limiar de dor. A curva de baixo do audiograma mostra o nvel de intensidade mnima para que a pessoa possa ouvir o som. A curva de cima tem um valor aproximadamente constante (120 dB). Como se v na figura 3.33, a pessoa consegue ouvir desde frequncias pouco superiores a 20 Hz at frequncias um pouco menores do que 20 000 Hz. Para uma frequncia de cerca de 3000 Hz o ouvido humano normal consegue detectar um som praticamente de 0 dB.

Figura 5.6

1

6 aula Sumrio: Efeito Doppler. Fonte em movimento. Receptor em movimento. Velocidades supersnicas. Aplicaes do efeito Doppler Efeito Doppler Todos conhecem a modificao que ocorre no apito de uma sirene de um veculo de emergncia quando se aproxima ou se afasta de ns: fica mais agudo quando se aproxima e mais grave quando se afasta. Esta alterao da frequncia do som (ou de uma onda em geral), devida ao movimento da fonte em relao ao receptor, conhecida por efeito Doppler, em homenagem ao fsico austraco do sculo XIX Christian Doppler que estudou o fenmeno aprofundadamente. Independentemente da velocidade da fonte e/ou do receptor, a velocidade de propagao de uma onda num meio sempre a mesma. O som, por exemplo, propaga-se no ar a cerca de 340 m/s, qualquer que seja a velocidade da fonte em relao ao ar. No estudo do efeito Doppler que se segue usaremos a seguinte notao: designamos por v a velocidade de propagao da onda no meio ( 340v m/s para a onda sonora no ar em condies PTN); designamos por vF a velocidade da fonte relativamente ao meio (esttico) onde a propagao se d; finalmente, designamos por vR a velocidade do receptor tambm em relao ao meio. Em vez de considerarmos uma onda contnua do tipo sinusoidal, imaginemos antes que uma fonte produz impulsos instantneos com perodo T, que se propagam com velocidade v , como mostra a Fig 6.1.

emissor

012 v

receptor

...

Figura 6.1

Se no houver movimento relativo fonte-receptor, este receber os impulsos com a mesma periodicidade com que so emitidos, ou seja, com perodo T. Designamos por f a frequncia dos impulsos do ponto de vista do emissor e por 'f a frequncia do ponto de vista do receptor. Tem-se, por um lado,

vf = (6.1)

e, por outro lado, 'ff = . Vejamos ento qual a modificao da frequncia que ocorre quando h movimento da fonte e do receptor.

2

Fonte em movimento No instante inicial produzido o impulso I0 que comea a propagar-se com velocidade v [parte a) da Fig. 6.3]. Decorrido um perodo, T, este impulso est distncia vT= do ponto onde foi produzido. Entretanto a fonte, durante um perodo deslocou-se de uma distncia Tvd F= como se mostra na parte b) da Fig. 6.2. ento produzido um novo impulso I1 que se comea a deslocar, tal como I0, com velocidade v. Para simplificar a anlise consideramos que a velocidade da fonte na direco e sentido da velocidade de propagao da onda.

0 v

t = 0

1

t = T

0 v

Fv

Fv

2

t = 2TFv

01v

a)

b)

c)

d '

Figura 6.2 Na situao representada em c) decorreu mais um perodo, tendo a fonte avanado 2d relativamente posio inicial. claro que por causa do movimento da fonte o comprimento de onda (distncia entre dois impulsos sucessivos), que designamos por

' vai ser menor do que o inicial, . Estes comprimentos de onda esto indicados tando na Fig. 6.2 como na Fig. 6.3, onde se mostra em paralelo o caso de fonte parada e de fonte em movimento.

0

0

1

1

2

23

3fonte parada

fonte emmovimento

'

Figura 6.3

3

A relao entre os dois comprimentos de onda

Tvd F' == . (6.2) Como vT= , obtemos

=

vvF1' . (6.3)

Em funo das frequncias '/' vf = e /vf = encontra-se a expresso

fvv

vfF

'

= . (6.4)

Se a velocidade da fonte tiver sentido contrrio ao da velocidade de propagao da onda, o sinal menos em denominador substitudo pelo sinal +:

+=

se-aproxima fonte se-afasta fonte

'F

fvv

vf

(6.5)

Quando a fonte se afasta (sinal +) a frequncia diminui. Quando a fonte se aproxima, a frequncia aumenta. E aumenta tanto mais quanto mais prxima da velocidade de propagao for a velocidade da fonte. Quando as duas velocidades se igualam o emissor acompanha a frente de onda. No caso das ondas sonoras, se a velocidade da fonte for superior velocidade do som, falamos em velocidade supersnica da fonte. Voltaremos a este assunto mais frente. Se a fonte se desloca numa direco que no a da propagao da onda, os raciocnios so semelhantes e nas expresses finais pouco h a mudar. A Fig. 6.4 mostra a propagao de ondas planas segundo uma direco que faz um ngulo com a direco do movimento da fonte. Num perodo, a fonte desloca-se de Tvd F= como vimos atrs. Contudo, a variao do comprimento de onda ' = s afectada pela projeco deste deslocamento na direco de propagao da onda, ou seja, relativamente a (6.2) temos, agora

cos' F Tv= . (6.6)

4

v

'

Fv

Figura 6.4

Por outras palavras, para o efeito Doppler s importa a componente da velocidade da fonte na direco de propagao da onda. A expresso (6.4) passa ento a escrever-se

fvv

vfcos

'F

= . (6.7)

Receptor em movimento Vejamos de seguida o efeito Doppler devido ao movimento do receptor. Poder-se-ia pensar que tanto faz que seja o receptor a aproximar-se (afastar-se) da fonte como esta a afastar-se (aproximar-se) do observador. Embora qualitativamente assim seja, quantitativamente no , devido existncia de um meio imvel onde se d a propagao. No caso luz, como no existe esse meio (no h ter! A luz propaga-se no vazio) s importa o movimento relativo fonteobservador. Mas a tem de se levar em conta um outro efeito (do mbito da Teoria da Relatividade) a juntar ao efeito Doppler que vimos anteriormente, que a chamada dilatao do tempo. Consideremos frentes de onda ou os impulsos mencionados nas figuras anteriores separados do comprimento de onda . Nas circunstncias da Fig. 6.1 em que fonte e receptor esto parados (no s um em relao ao outro mas tambm ambos em relao ao meio onde a propagao se d) num intervalo de tempo t o receptor recebe

tfn = impulsos (relembra-se que a frequncia o nmero de impulso por unidade de

tempo: t

nf

= ). Este nmero, tvn = , aumentado para tvvn +=

R' se o receptor

viajar na direco do emissor (ver Fig. 6.5).

012 v

receptor

Rv

Figura 6.5

5

A nova frequncia, t

nf

='' aquela que medida pelo receptor relaciona-se com a

anterior do seguinte modo:

fvvvvvf RR' +=+= (6.6)

No caso de haver afastamento do receptor relativamente ao emissor, o sinal positivo no numerador substitudo pelo sinal negativo.

+=

se-afastareceptor se-aproximareceptor

' R fvvvf (6.7)

Tal como antes, a frequncia aumenta se houver aproximao e diminui se houver afastamento. Alis, esta expresso e a expresso (6.5) podem ser combinadas numa s:

fvvvvf

F

R'

= (6.8)

devendo proceder-se correcta escolha de sinais: se houver aproximao ff >' . Se houver afastamento, ff

6

Na Fig. 6.7 representa-se o caso em que h movimento da fonte pontual. O receptor em A capta a onda com menor frequncia e em B capta-a com frequncia maior.

vF

Figura 6.7

E se a fonte tiver uma velocidade igual da propagao da onda. Nesse caso a perturbao produzida num stio onde j existe perturbao. No caso do som, esta situao corresponde a um aumento da densidade e da presso sobre uma mesma frente (que a sobreposio, na mesma regio do espao, de vrias frentes). Ainda no caso do som, se a velocidade da fonte for super-snica essa frente parte-se em duas que fazem um ngulo com a direco do movimento como se mostra na Fig. 6.8.

vt

vFt

P P'

Figura 6.8 No intervalo de tempo t a frente de onda produzida em P deslocou-se de uma distncia vt ao passo que a fonte se deslocou de uma distncia maior vF t. O ngulo tal que

7

F

sinvv

= (6.9)

O inverso desta quantidade designada nmero de Mach. A parede do cone (tringulo a duas dimenses) que se forma a onda de choque. Quando um barco a motor vai num rio com velocidade superior da propagao na gua das perturbaes que ele cria surge uma situao anloga representada na Fig. 6.8. com o barco no vrtice P. As ondas de choque so as ondas de grandes dimenses que se propagam em direo s margens do rio.

A Fig. 6.9 mostra a onda de choque produzida por um avio supersnico. O encurvamento da frente de onda devido ao facto de o som no se propagar sempre com a mesma velocidade nas diferentes camadas da atmosfera por estas estarem a diferente presso e temperatura.

Fig. 6.9 [Figura retirada do livro J.B. Marion e W.F. Hornyak, General Physics with Bioscience Essays, John Wiley & Sons, 2nd Ed., New York (1985)]

Aplicaes do efeito Doppler O efeito Doppler pode ser integrado nas tcnicas de imagiologia por ecografia. Como vimos na aula anterior, as imagens por ecografia obtm-se a partir dos tempos que medeiam entre a emisso de um sinal e a recepo do seu eco. Com a ecografia normal obtm-se informao de posio. A medio do efeito Dopper permite obter, alm disso, informao de velocidade. Nos radares da polcia de trnsito usa-se o efeito Dopper para se saber a velocidade de um veculo. A onda electromagntica emitida pelo radar reflectida no veculo e reencaminhada para junto do emissor, onde existe um receptor. A frequncia da onda recebida duplamente modificada relativamente original se o veculo estiver em movimento. Por um lado vista pelo veculo com frequncia modificada de

8

acordo com (6.7). Por outro lado, sendo reemitida por uma fonte em movimento, h uma modificao dada por (6.5). Tambm o efeito Doppler que nos permite saber hoje que o universo est em expanso: a luz proveniente dos objectos astronmicos mais distantes revela um desvio para o vermelho ou red-shift: o comprimento de onda da luz superior ao que seria de esperar se no houvesse recesso. Por exemplo, a cor amarela pode passar a laranja ou a vermelho por efeito Doppler (da o nome red-shift), dependendo da velocidade relativa fonte receptor. Em rigor, no se trata aqui do efeito Dopper cinemtico que estudmos pois este red-shift de que se fala em astrofsica de facto devido dilatao do prprio espao (e no ao movimento dos objectos num espao que j existe...). Um outro aspecto1 interessante do efeito Dopper tem a ver com a modificao da frequncia da luz por aco da presena de matria. Para estudar este efeito, consideremos um foto de frequncia f emitido da superfcie de uma estrela de raio R e massa M. A energia do foto nhfE = . Por outro lado, de acordo com a teoria da relatividade e a famosa relao 2mcE = , o foto, por ter energia, tem inrcia, sendo a

sua massa dada por 2"" chfm = . A energia do foto superfcie da estrela a soma de

nf com a energia potencial gravtica R

mMG "" . A grande distncia da estrela no h

efeito gravitacional e a energia simplesmente 'nf . A conservao de energia (energia superfcie da estrela igual a energia longe da estrela) impe, pois, que

'hfR

MhfGhf = (6.10)

donde

= 21' Rc

GMff . (6.11)

Esta expresso mostra que h uma diminuio da frequncia da luz por efeito gravitacional. A medio desta diferena (ref-shift gravitacional) permite conhecer a razo RM / para uma estrela.

Se a quantidade entre parntesis na expresso (6.11) se anular, o foto no chega a escapar da estrela... Esta um buraco negro. Qual o raio do buraco negro?

Depende da massa! Para o parntesis se anular teremos de ter 2cGMR = . Na verdade

este resultado modificado pela Relatividade Geral mas apenas est incorrecto por um factor 2! O raio de um buraco negro o dobro daquele (raio de Schwarzchild):

2S2

cGMR = . (6.12)

1 Assunto facultativo

1

7 aula Sumrio: Introduo ao estudo do electromagnetismo. Fora electrosttica e lei de Coulomb. Introduo ao estudo do electromagnetismo O Electromagnetismo desenvolveu-se como disciplina independente, a partir do sc. XVIII, embora s tenha ficado estabelecido no sc. XIX depois do trabalho de sntese de Maxwell. O nosso estudo do electromagnetismo comear pela anlise dos efeitos produzidos por cargas elctricas umas sobre as outras. Essas interaces so foras que a Fsica Clssica descreve com grande preciso, embora nada adiante quanto razo por que existem. As interaces ao nvel elementar entre tomos e entre molculas, que determinam o comportamento macroscpico dos sistemas, so em grande medida interaces entre cargas elctricas o que, s por si, atesta a importncia do assunto. Passaremos depois descrio de fenmenos onde intervm correntes elctricas que so movimentos orientados de partculas com carga elctrica. Os campos magnticos tm uma relao directa com as correntes elctricas, como veremos na parte final desta introduo ao electromagnetismo. H muito que se sabe que existem dois tipos de cargas elctricas designadas por positivas e negativas. Esta designao meramente convencional como, de resto, a prpria designao carga elctrica. A carga elctrica uma propriedade dos corpos como o a massa, etc. Faz todo o sentido dizer este objecto tem carga elctrica do mesmo modo que dizemos este objecto tem massa. Os electres so corpsculos indivisveis com carga elctrica negativa. Os protes tm carga elctrica positiva (igual em mdulo do proto) e, sabemos hoje serem compostas por outras partculas. A carga do electro, cujo valor se designa por e e no SI vale

C 10602,1 19=e (7.1) a carga elementar. Nunca se detectaram cargas elctricas que fossem mais pequenas do que esta ou que no fossem mltiplos inteiros desta. Contudo, os constituintes dos protes e neutres chamados quarks tm cargas fraccionrias de acordo com a teoria que descreve o comportamento de protes e neutres. Apesar da comprovao experimental dessa teoria em numerosos aspectos, a observao de um desses quarks num estado isolado (fora do proto ou do neutro a que pertence) nunca foi experimentalmente possvel. De facto, nunca se mediram experimentalmente cargas elctricas que fossem fraces da carga do electro. No SI, a unidade de carga elctrica o coulomb (smbolo C). Esta unidade grande no sentido em que corresponde a um deficit ou excesso de 61018 electres [ver Eq. (7.1)] pelo que o seu submltiplo microcoulomb (C) muito utilizado. Ao nvel macroscpico a matria , geralmente, electricamente neutra. As coisas so feitas de tomos e o nmero de protes (no ncleo desses tomos) igual ao nmero de electres (nas nuvens electrnicas em torno do ncleo); a consequncia da igualdade do nmero de cargas positivas e negativas a neutralidade elctrica da matria. Contudo, pode electrizar-se um corpo o que significa que ele fica com excesso de electres (fica carregado negativamente) ou com deficit de electres (fica carregado negativamente). H vrias formas de electrizar um corpo, sendo uma delas por frico.

2

Quando se carrega um corpo h uma redistribuio de cargas elctricas que envolvem, sobretudo, os electres. Alguns materiais, como os metais, apresentam uma propriedade interessante: muitos dos electres no pertencem a um s tomo, como no caso de um tomo isolado: so livres, deslocam-se no material e pertencem a vrios tomos. Claro que este movimento no pe em causa a neutralidade da matria pois o nmero de cargas negativas no deixa de ser igual ao de cargas positivas. Os materiais com estas caractersticas chamam-se condutores. As cargas elctricas colocadas num destes materiais redistribuem-se muito rapidamente. De acordo com o Princpio de Energia Mnima, essa redistribuio d-se de maneira a que se tenha a menor energia possvel. H outros materiais chamados isoladores em que essa distribuio de carga no ocorre porque no h electres livres. A carga depositada nesses materiais fica no stio onde colocada. Uma propriedade importante das cargas elctricas exercerem entre si interaces ou foras de atraco e de repulso. So foras, cujos pares aco-reaco tm a mesma linha de aco. As cargas elctricas com o mesmo sinal, repelem-se; se tiverem sinal contrrio atraem-se (Fig. 7.1)

+ + +

Figura 7.1 A conservao da carga elctrica um facto experimental de grande importncia para o desenvolvimento da teoria do electromagnetismo. Essa conservao significa que, tal como sucede para outras propriedades de sistemas isolados, como a energia, o momento linear, o momento angular, tambm a carga elctrica se conserva. A carga elctrica antes igual carga elctrica depois qualquer que tenha sido o processo realizado. De resto, uma das primeiras regras que se aprendem para escrever reaces qumicas precisamente a conservao da carga. Tal no significa que o nmero de partculas com carga elctrica se tenha de manter! As cargas elctricas podem aparecer ou desaparecer mas, no cmputo final, a carga elctrica ter de permanecer constante. H reaces em que, por exemplo, um electro e um positro se aniquilam dando origem a dois fotes gama:

2ee + +- . (7.2) Tambm no decaimento beta (que vamos estudar mais tarde no final do semestre), de que exemplo a converso de um neutro num proto num electro e num anti-neutrino, h desaparecimento de um tipo de carga e aparecimento de outro,

++ -epn (7.3)

3

mas a carga total conserva-se: era inicialmente zero e continua nula. Fora electrosttica e lei de Coulomb A fora entre cargas elctricas, que foi obtida experimentalmente na segunda metade do sculo XVIII. Designa-se por lei de Coulomb e exprime-se por

rrqQKF e2=

(7.4)

onde q e Q so as cargas elctricas das duas partculas em interaco; r a distncia entre elas; re o vector unitrio com a direco da linha que une as cargas; e K uma constante que, no SI vale

2 29 CmN 109 =K . (7.5)

tambm habitual escrever esta constante na forma 04

1

=K , sendo

F/m108542,8 120= a permitividade do vazio. A Fig. 7.2 mostra a fora que a carga1

Q exerce na carga q no caso em que as duas cargas tm o mesmo sinal. A fora que a carga q exerce na Q igual em grandeza e direco mas tem o sentido contrrio (e est aplicada em Q, obviamente).

Q

qF

r

re Figura 7.2

O princpio de sobreposio observa-se para as foras entre cargas elctricas: a fora sobre uma carga igual soma (ou fora resultante) das foras que todas as cargas de um sistema exercem sobre ela.

1 A palavra carga usa-se tambm para designar a partcula que possui carga elctrica. Assim, por carga Q entende-se a partcula que possui carga elctrica Q.

4

q1

q2

Q

F

2F

1F

Figura 7.3 Na Fig. 7.3 a fora que actua sobre a carga Q a soma das duas foras 1F

e 2F

devidas s cargas q1 e q2.

Podemos fazer uma aplicao imediata da lei de Coulomb ao movimento clssico de um electro em torno do proto no tomo de hidrognio. Sabendo que o raio da rbita 0,531010 m (raio da primeira rbita de Bohr, que tambm se escreve, muitas vezes como 5,3 embora o angstrom no seja do SI), qual a sua velocidade? Basta identificar a fora coulombiana (Fig. 7.4) que o proto exerce no electro com a fora centrpeta.

F

v

Figura 7.4

Assim, como a carga do electro e a do proto so iguais em mdulo [o valor desta carga dado por (7.1)],

rvm

reK

2

2

2

= . (7.6)

No membro esquerdo tem-se a fora coulombiana e no membro direito a expresso genrica da fora centrpeta, sendo kg 1011,9 31=m a massa do electro. Resolvendo a equao anterior em ordem velocidade,

cmrKev 01,0

2

= . (7.7)

A velocidade do electro cerca de 1% da velocidade da luz.

1

8 aula

Sumrio: Campo electrosttico. Dipolo elctrico e campo elctrico dipolar

Campo electrosttico

Consideremos duas cargas pontuais Q e q separadas de uma distncia r. A fora Fr

que uma carga exerce sobre a outra

rr

QqKF 2=r

. (8.1)

Como sabe uma carga da presena da outra? Ou, mais concretamente, como sabe a carga q da presena da carga Q? O conceito de campo elctrico d uma resposta a esta questo. Dizemos que a carga Q cria um campo elctrico em todo o espao sua volta. Nesta perspectiva, podemos pensar que a segunda carga no interage com a primeira carga (interaco distncia), mas responde directamente ao campo elctrico que existe no stio onde se encontra (interaco local). O campo elctrico desempenha o papel de intermedirio na interaco entre partculas carregadas. Define-se o campo elctrico criado pela carga Q como o vector1

rr

QKE 2=r

. (8.2)

Este vector s depende da grandeza da carga que origina o campo e da distncia entre o ponto onde se quer obter o campo e o ponto onde se encontra a carga. Como mostra a Eq. (8.2) trata-se de um vector radial que aponta para dentro (para a carga) se esta for negativa, ou aponta para fora se a carga for positiva. As duas equaes anteriores permitem concluir que o campo elctrico se obtm dividindo a fora pela carga de prova (ou carga-teste), q:

qFEr

r= . (8.3)

O campo elctrico , portanto, a fora por unidade de carga. A fora que se exerce numa carga q localizada num certo ponto o produto do campo elctrico nesse ponto pela carga elctrica,

EqFrr

= , (8.4)

sendo Er

o campo elctrico nesse ponto. O campo elctrico num ponto P pode resultar da presena de muitas cargas, mas

no da prpria carga-teste, q, situada no ponto P, sobre a qual se est a exercer a

1 Representamos o vector unitrio na direco radial indiferenciadamente por r , como em (8.1), ou por r , como em (8.2).

2

fora que estamos interessados em estudar. Essa carga fica excluda pois uma carga elctrica pontual no exerce fora sobre si mesma! Como vimos na aula anterior, verifica-se o princpio de sobreposio para as foras que um conjunto de cargas elctricas exerce sobre uma dada carga elctrica e a Eq. (8.3) permite concluir que um tal princpio tambm se aplica ao campo elctrico. Suponhamos que h N cargas pontuais de valor Qi numa regio do espao. Cada uma produz o campo elctrico

i2i

ii r

r

QKE =r

(8.5)

e o conjunto produz o campo

N21

N

1iEEEEE ir

Krrrr

+++===

. (8.6)

Na expresso (8.5) cada vector unitrio ir tem origem numa carga diferente e ri a distncia dessa carga ao ponto P onde se pretende obter o campo elctrico Fig. (8.1).

Q1

Q2

Q3

Q4

P

1r

r1

1Er3

Er

2Er

4Er

Er

Figura 8.1

Uma vez conhecido o campo elctrico num determinado ponto, podemos imediatamente obter a fora que actua sobre uma carga colocada nesse ponto pois simplesmente o produto do campo pela carga. O campo elctrico substitui todas as cargas (excepto, claro, aquela sobre a qual queremos conhecer a fora). Muitas vezes conveniente introduzir um sistema de referncia e reportar origem desse referencial o vector posicional do ponto onde se pretende saber o campo e os vectores posicionais das cargas. Na Fig. 8.2 explicitamos estes vectores numa situao em que h uma s carga. Designamos o vector posicional da carga Q por Qr

r, e

o do ponto P por Prr

. O vector posicional do ponto em relao carga QP rrrrrr

= .

3

QP E

r

O

rr

PrrQr

rS

Figura 8.2

O campo elctrico criado em P , em mdulo,

22QP r

QKrr

QKE =

=rr

. (8.7)

A Eq. (8.3) mostra quais so a dimenses da grandeza campo elctrico e, portanto, qual a sua unidade no SI: newtons por coulomb (N/C). De facto no esta a unidade mais usual mas sim o volt por metro, que equivalente. A razo para se usar esta unidade SI s ficar clara na prxima aula quando falarmos de diferena de potencial. Em suma, o campo elctrico criado por uma carga num dado ponto proporcional carga, inversamente proporcional ao quadrado da distncia da carga ao ponto e tem a direco e sentido da linha que une a carga e o ponto; aponta para a carga se esta for negativa e no sentido contrrio se for positiva. A Fig. 8.3 mostra o campo elctrico criado por uma carga positiva Q e pela carga negativa Q.

Q-Q

Figura 8.3

O campo elctrico tem simetria esfrica, diminuindo a sua intensidade com o quadrado da distncia. Uma outra maneira muito til de representar o campo elctrico a partir

4

das linhas de fora2. Estas linhas indicam, em cada ponto, a direco do campo elctrico. As linhas nunca se cruzam pois, num dado ponto, a direco do campo elctrico nica. A intensidade do campo tanto maior quando mais densas forem as linhas. Estas linhas tm origem nas cargas positivas e terminam nas negativas: por isso se diz que as cargas positivas so fontes de campo elctrico; ao invs, as cargas negativas so sumidouros de campo elctrico. A Fig. 8.4 mostra as linhas de fora correspondentes situao representada na Fig. 8.3.

Figura 8.4

Quando falarmos de potencial elctrico, na prxima aula, vamos encontrar uma outra forma de representar o campo elctrico.

Se a carga central na Fig. 8.4 se deslocasse ligeiramente todas as linhas de campo elctrico se alterariam. E se a carga oscilasse tambm o campo que j varia no espao iria variar no tempo para alm de se alterar tambm no espao. Ter-se-ia ento uma onda electromagntica (embora estejamos apenas a referir-nos parte elctrica dessa onda). Naturalmente que qualquer alterao na carga s vai ter efeito na fora que se exerce numa outra carga colocada distncia decorrido algum tempo. A onda no se propaga instantaneamente como vimos em aulas anteriores. Este atraso entre a emisso e a recepo no pode ser descrito no quadro estrito da lei de Coulomb. necessrio juntar a esta outras leis que descrevem os fenmenos elctricos e magnticos.

Dipolo elctrico e campo elctrico dipolar

Um par de cargas de igual valor mas de sinais contrrios, localizadas perto uma da outra, formam um dipolo elctrico. Os dipolos elctricos so muito importantes, por exemplo, em qumica. De facto, muitas molculas apresentam dipolos elctricos. A molcula de gua, embora seja electricamente neutra, tem um pequeno excesso de carga negativa junto dos tomos de oxignio e um correspondente excesso de carga positiva

2 Seria eventualmente mais apropriado dizer linhas do campo em vez de linhas de fora, pois estamos a

falar de campo elctrico e no de fora electrosttica. Contudo, a expresso linhas de fora est consagrada.

5

junto do tomo de hidrognio. Muitas das propriedades de molculas, tais como a da gua, que apresentam dipolos elctricos, bem como as suas interaces com as molculas vizinhas, explicam-se a partir do seu carcter dipolar elctrico. O dipolo elctrico da gua tem a ver com os tomos que constituem a molcula e com a sua geometria. Ora, h molculas que no apresentam dipolos elctricos, como a de O2. Contudo, a presena de um campo elctrico, pode induzir dipolos nessas molculas bem como em tomos: por aco do campo o centro de carga elctrica negativa deixa de coincidir com o centro de carga elctrica positiva. Quando os dois centros de carga no coincidem, forma-se um dipolo elctrico. No lado esquerdo da Fig. 8.5 representa-se esquematicamente um dipolo elctrico. As duas cargas Q e Q esto afastadas de uma distncia l e o ponto P onde se pretende conhecer o campo elctrico tem vector posicional +r

r e

rr

relativamente a cada uma das cargas.

lr

+rr

rr

P

Q

-Q

z

l/2

l/2

E'

E

Figura 8.5

O campo elctrico no ponto P a soma dos campos criados por cada uma das cargas elctricas, ou seja:

=

++

rr 22r

Qr

QKEr

. (8.8)

As linhas de fora esto representadas no lado direito da Fig. 8.5. Sobre um ponto do eixo dos zz o campo elctrico tem a seguinte expresso analtica:

( ) ( ) ( ) k4/2k

2/2/ 22222 lrrpK

lrQ

lrQKE

=

+

=

r (8.9)

(o versor k tem a direco do eixo dos zz). Para escrever a ltima expresso utilizou-se a definio de momento dipolar elctrico:

lQprr

= (8.10)

6

que o produto da carga elctrica Q pelo vector posicional da carga positiva relativamente negativa, l

r.

Quando lr >> , ou seja, longe da regio do dipolo, o denominador da expresso (8.9) reduz-se a r 4 e o campo elctrico sobre o eixo e longe do dipolo fica

pr

KE rr

32

. (8.11)

Notar que o campo elctrico dipolar diminui mais rapidamente do que o campo elctrico de uma s carga (campo monopolar): o primeiro depende de 3/1 r como acabmos de ver e o primeiro vai como 2/1 r como mostra a expresso (8.2). importante sublinhar que a dependncia com 3/1 r se mantm mesmo quando se considera um ponto fora do eixo dos zz, desde que esteja suficientemente afastado do dipolo. Um outro aspecto que importante sublinhar que o campo elctrico dipolar depende da carga Q e da distncia l unicamente atravs do momento dipolar. O que conta o produto Ql e no propriamente cada um deles de forma independente. Em breve reencontraremos o dipolo a propsito do potencial.

1

9 aula

Sumrio: Energia potencial electrosttica. Potencial. Potencial e linhas equipotencial para uma carga isolada.

Energia potencial electrosttica

O facto de uma carga elctrica exercer uma fora sobre outra significa que, em geral, h realizao de trabalho quando h movimento relativo das cargas. Ora, a fora electrosttica s depende da posio, sendo conservativa. Ela , de resto, uma fora central, do tipo da fora entre massas que estudmos nas disciplinas de Fsica Geral I / Elementos de Fsica. H, portanto, uma energia potencial que lhe est associada e no movimento de uma carga elctrica por aco de foras electrostticos h conservao de energia mecnica. Representamos esta energia potencial electrosttica por Ep.

A Fig. 9.1 mostra uma carga q que se desloca de P1 para P2 sob a aco de vrias foras, entre elas a fora F

rexercida pela carga Q .

Figura 9.1

O trabalho realizado pela fora elctrica , como sabemos

lFWrr

=21PP

d , (9.1)

onde lr

d o deslocamento infinitesimal (orientado). Como a fora conservativa, este integral no depende da trajectria mas unicamente das posies inicial e final: P1 e P2. Por definio de energia potencial, o trabalho da fora elctrica o simtrico da variao da energia potencial electrosttica:

( ) ( )[ ]1p2pp rErEEW rr == . (9.2)

De uma maneira geral, o integral (9.1) pode no ser fcil de calcular pois, em cada ponto preciso saber qual o ngulo entre a fora e o deslocamento infinitesimal. Mas h casos em que o integral fica mais simples de calcular. o caso do trabalho da fora

2

que uma carga Q exerce sobre q quando esta se desloca sobre uma trajectria radial. A situao , de resto, semelhante que encontrmos na 16 aula de Fsica Geral I / Elementos de Fsica quando calculmos o potencial associado ao campo gravtico. Consideremos a carga Q localizada na origem, a carga q num ponto genrico A a uma distncia r do centro de foras, e seja B um ponto no infinito, ao qual atribumos energia potencial nula: ( ) 0p =E . Para calcular o trabalho realizado pela fora quando a partcula se desloca de A para B conveniente escolher um percurso radial a ligar os pontos, tal como mostra a Fig. 9.2.

A

lr

d

Fr

q

B

rr

Q

Figura 9.2

O elemento infinitesimal de deslocamento radial rrl edd =r

. A fora 1 ( ) rrfF e=r , e consequentemente rflF dd = rr . A integrao faz-se agora sobre a varivel (muda!) r, desde a distncia r at infinito:

( ) ( )

=

r

rfrEE dpp (9.3)

ou ainda, atendendo ao valor do potencial no ponto de referncia,

( )

=

r

rfrE dp . (9.4)

Se agora inserirmos a fora entre as duas cargas Q e q [ver Eq. (8.1)]

( ) 2r

QqKrf = (9.5) obtemos sucessivamente

( )

=

==

rqQK

rqQK

r

rqQKrEr r

111d2p (9.6)

e, finalmente,

1 Se f > 0 a fora repulsiva (Q e q do mesmo sinal) e se f < 0 a fora atractiva (cargas de sinais

opostos).

3

( ) .pr

QqKrE = (9.7)

Esta a energia potencial electrosttica entre duas cargas elctricas. A energia mecnica da carga q (de massa m) que est sujeita aco da fora que sobre ela exerce a carga fixa Q a soma da energia cintica e da energia potencial gravtica:

r

QqKmvEEE +=+= 2pcm 21

. (9.8)

A energia mecnica uma constante do movimento. A expresso (9.7) semelhante expresso (16.6) da 16 Aula de Fsica Geral I / Elementos de Fsica relativa energia potencial gravtica. Tanto a energia potencial gravtica como a energia potencial electrosttica so directamente proporcionais ao produto das massas (no caso gravtico) ou das cargas e inversamente proporcionais distncia. Se as cargas forem de sinais opostos, a energia potencial (9.7) negativa. Mas se forem do mesmo sinal essa energia positiva. Se duas cargas estiveram infinitamente separadas ( r ) a energia nula; medida que duas cargas do mesmo sinal se aproximam uma da outra a energia cresce e positiva (cargas do mesmo sinal repelem-se). Se, ao invs, as duas cargas forem de sinais opostos o sistema fica mais estvel quando as cargas se aproximam e a energia diminui (cargas de sinal contrrio atraem-se)