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Sec 2.3
Funciones cuadráticas
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Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación que se
puede escribir de la forma
ax2 + bx + c = 0, a 0,
donde a, b, y c son números reales.
Una ecuación cuadrática escrita de esta forma se
dice que está en la forma general.
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Funciones cuadráticas
Una función , f , es una función cuadrática si
f(x) = ax2 + bx + c ,
donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0.
La gráfica de una función cuadrática, f , es una parábola.
f(0) es el int-y de la gráfica de f.
Noten: f(0) = c, o sea (0,c) es el int-y.
Si b = 0 y c ≠ 0 , entonces f(x) = ax2 + c .
La gráfica es una parábola con intercepto en y en (0, c)
.
Si b = 0 y c = 0 , entonces f(x) = ax2 .
La gráfica es una parábola con con intercepto en y en
(0, 0) .
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Funciones cuadráticas
Identificar a, b, c y el int-y de las siguientes funciones cuadráticas.
f(x) = 2x2 + 3x + 10
a = 2 b=3 c=10
f(0) = 10
g(x) = 4x2 – 5x + 9
a = 4 b=-5 c=9
g(0) = 9
h(x) = 7x – 5x2 – 30
a = -5 b=7 c=-30
h(0) =-30
p(w) =1.34w – 21.054 – 0.5w2
a = -0.5 b= 1.34 c= -21.054
p(0) = -21.054
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Funciones cuadráticas
Los ceros de una función cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c, a 0,
1. son los interceptos en x de la gráfica de f .
2. son soluciones de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0.
3. pueden ser valores reales o imaginarios.
4. pueden ser 2, 1 ó 0 (en cantidad)
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Funciones cuadráticas
Gráficas de funciones cuadráticas:
Dos interceptos en x
(la función tiene dos ceros)
Un intercepto en x
(la función tiene un cero)
NO hay intercepto en x
(la función NO tiene
ceros reales)
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Revisión de factorización de ecuaciones
cuadráticas
Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resuelven mediante la factorización, un método que expresa una ecuación como el producto de sus factores.
Ejemplo: Factorizar 3x2 – 9x
Se factoriza removiendo el factor común mayor de ambos términos:
3x2 y 9x tienen un factor común ( o máximo común divisor) de 3x.
Factorizamos 3x2 – 9x = 3x( - )
3x(x - )
3x(x - 3)
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Revisión de factorización
Factores que sumen 19
Factorizar: 6x2 + 19x + 10 Modelo: ax2 + bx + c (a = 6 b = 19 c = 10)
(a)(c) = (6)(10) = 60
Hallamos los factores de 60
Escribimos la ecuación original usando 4x y 15x
6x2 + 19x + 10 = (6x2 + 4x) + (15x + 10)
2x (3x + 2) + 5(3x + 2)
(2x + 5) (3x + 2)
6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2)
(1)(60) (3)(20) (4)(15) (2)(30) (5)(12) (6)(10)
1+60=61 3+ 20= 23 5+12=17 2+30=32 4+15= 19
6+10= 16
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Revisión de factorización
Factores que sumen 5
Factorizar: 2x2 + 5x – 25 Modelo: ax2 + bx + c (a = 2 b = 5 c = -25)
(a)(c) = (2)(-25) = -50
Hallamos los factores de - 50
Escribimos la ecuación original
2x2 + 5x – 25 = (2x2 - 5x) + (10x - 25)
x (2x - 5) + 5 (2x - 5)
(x + 5) (2x - 5)
2x2 +5x – 25 = (x + 5) (2x - 5)
(1)(-50) (2)(-25) (-2)(25) (-1)(50) (5)(-10) (-5)(10)
1+-50=-49 2 + -25= -23 5+ -10= -5 -1+50=49 -2 + 25= 23
-5+ 10= 5
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Resolver ecuaciones cuadráticas
Para resolver una ecuación cuadrático necesitamos recordar
El principio de productos que dan cero:
Si ab = 0 , entonces a = 0 o b = 0,
Si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0.
Ejemplo: Resolver 6x2 + 19x + 10 = 0
Ya vimos que 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2).
Aplicando el principio
6x2 + 19x + 10 = 0
(2x + 5) (3x + 2)=0
2x + 5 =0 3x + 2 = 0
x =
2
5
3
2x =
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Ejemplo
Solución
Resolver 2x2 x = 3.
2x2 x 3
2x2 x 3 0
x 1 2x 3 0
x 1 0 or 2x 3 0
x 1 or 2x 3
x 1 or x 3
2
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Principios para resolver ecuaciones
El Principio de la raiz cuadrada
Si x2 = k, entonces
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Ejemplo
Resolver 2x2 10 = 0.
Solución
2x2 10 0
2x2 10
x2 5
x 5 or x 5
5 .Las soluciones: y 5
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La Fórmula Cuadrática
Las soluciones de ax2 + bx + c = 0, a 0, son dadas
por
Esta fórmula se puede usar para resolver
CUALQUIER ecuación cuadrática.
x b b2 4ac
2a.
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Ejemplo
Solución:
3x2 + 2x 7 = 0 a = 3, b = 2, c = 7
Resolver 3x2 + 2x = 7. Aproximar la solución a tres lugares decimales.
Las soluciones aproximadas son –1.897 y 1.230.
x 2 22 4 3 7
2 3 2 4 84
62 88
6
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Discriminante
El valor b2 4ac, se conoce como el discriminante.
Para ax2 + bx + c = 0, donde a, b, and c son números:
b2 4ac = 0 Una solución real;
b2 4ac > 0 Dos soluciones reales diferentes;
b2 4ac < 0 NO tiene soluciones reales.
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Discriminante
Determinar el número de solucones reales en cada
caso:
1) f(x) = x² − 2x + 1
2) g(x) = 3x2 + 4x – 9
3) h(x) = ½ x2 +9x – 4