secant ﻊﻃﺎﻘﺘﻣ ﻂﺧ شور

3/10/2015

1

Advanced Numerical Methods 67

Secantروش خط متقاطع

است مشکل موارد برخی در توابع تحلیلی مشتق محاسبه.

می شود زده تقریب محدود تفاضل روش از استفاده با مشتق روش این در.

1

( )

( )i

i i

i

f xx x

f x



معادله ریشه محاسبه است مطلوب f(x) = e-x-x و سکانت روش از استفاده با x0 :اولیه حدس هاي = 0 , x1=1.0

x0 = 0 f(x0 ) =1.00000

x1 = 1.0 f(x1) = -0.63212

x2 = 1 - (-0.63212)(1 - 0)/(-0.63212-1) = 0.61270

f(x2) = -0.07081

x3 = 0.61270 - (-0.07081)(0.6127-1)/(-0.07081+0.63212) = 0.56384

f(x3) = 0.00518

ea = abs[(0.56384-0.61270)/(0.56384)] x 100 = 8.67%

)()(

))((

01

01112

xfxf

xxxfxx

)()(

))((

1

11

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx

3/10/2015

2



براي نسبی خطاي درصد مقایسه ریشه یافتن در مختلف روش هاي

f(x) معادله = e-x-x


Secantمقایسه روش مکان اشتباه با روش

3/10/2015

3


براي مطالعه

) Brent(روش برنت ویژگی با را کردن نصف روش تضمینی همگرایی ویژگی که ترکیبی الگوریتمی

ترکیب معکوس، دوم درجه میانیابی و سکانت روش هاي در بالا همگرایی سرعت.است کرده


سیستم معادلات غیرخطی

:مثال

3/10/2015

4


روش تکرار ساده–سیستم معادلات غیرخطی

i xi yi

0 1.50000 3.50000

1 2.21429 -24.37516

2 -0.20910 429.709

حل همگرا نمی شود.



2/11 )10( iii yxx

2/11 )3/)57(( iii xyy

i xi yi

0 1.50000 3.50000

1 2.17945 2.86051

2 1.94053 3.04955

3 2.02046 2.98340

4 1.993027 3.005705

حل همگرا می شود.

3/10/2015

5



انتخاب شکل مناسب برايx=f(x,y) وy=g(x,y) از اهمیت خاصی برخوردار.است

شرط همگرایی

حدس انتخاب با که است ممکن .است وابسته اولیه حدس به روش این .شود واگرا مساله حل ناصحیح،


رافسون- روش نیوتن–سیستم معادلات غیرخطی

روش نیوتن

روش نیوتن دستگاه معادلات

با حل این دستگاه

3/10/2015

6



شکل ماتریسی معادلات

ji

ji

jiji

jiji

j

i

1j

1i

y,xv

y,xu

1

y

y,xv

x

y,xvy

y,xu

x

y,xu

y

x

y

x



:مثال

3/10/2015

7


Mullerروش مولر

Secant Muller



یافتن ضرایب سهمی

3/10/2015

8



کدام ریشه را باید انتخاب کنیم؟. این معادله دو ریشه دارد



مقدارx3 کنیم که به اي را انتخاب میx2 نزدیک تر باشد.

If b>0 then choose +If b<0 then choose -

If Root > x1 then choose x1,xr,x0

If Root < x1 then choose x2,xr,x1

.انتخاب می شود bعلامت مشابه با علامت

می شود در تکرار بعدي کدام نقاط کنار گذاشته.

آن دو نقطه اي که نزدیک ترین فاصله را با ریشه جدید دارند

.انتخاب می شوند

3/10/2015

9



معادله ریشه محاسبه است مطلوب f(x) = x3-13x-12 مولر روش از استفاده با x2 :اولیه حدس هاي و = 4.5 , x1=5.0 , x0=5.5

x1x0 , x2x1 , x3x2

75.545.0

48625.20

5.0xxh 010 5.0xxh 121

75.695.0

875.8248

151

75.6975.54

a 25.4775.54)5.0(15 b 625.20c

976487.3

54461.3125.47

20.62525.4x3


حل معادلات غیر خطی: 1پروژه

رابطه Colebrook به صورت آشفته جریان در زبر کانال اصطکاك ضریب محاسبه براي 108 تا 4000 بین رینولدز اعداد محدوده در f محاسبه است مطلوب .شود می تعریف زیر

.مساله صورت در شده مشخص قطر به زبري نسبت مقادیر براي

0.0, 0.00001, 0.0008, 0.02d d d d

:حل روش هايکردن نصف روش-1شده اصلاح اشتباه مکان و اشتباه مکان روش هاي-2x=g(x) ساده تکرار روش -3دوم و اول مرتبه رافسون-نیوتون روش هاي -4سکانت روش -5مولر روش -6

3/10/2015

10



تغییرات نمودار حالت، هر در f کنید رسم رینولدز حسب بر را.

نمایید مقایسه مودي دیاگرام نتایج با را خود نتایج توانید می مقایسه جهت.

نتایج خصوص در و مقایسه هم با را شود می همگرایی به منجر روش هر که تکراري تعداد .کنید بحث

کنید مقایسه هم با را ها روش همگرایی سرعت.

در و مقایسه همگرایی سرعت بر را اولیه حدس انتخاب اثر سکانت و نیوتن هاي روش براي .کنید بحث نتایج خصوص

کنید بررسی نیوتن و ساده تکرار هاي روش در را همگرایی شرط.



باشد فهرست و عنوان حاوي باید شده تهیه گزارش.

بنویسید منظم صورت به را خود گزارش.

باشد مشخص شفاف صورت به باید گزارش در مساله صورت.

دهید ارائه جدول یا و منحنی قالب در مناسب صورت به را نتایج.

بیاورید گزارش در کامل طور به را مساله خواسته هاي.

کنید ارسال گزارش همراه به را برنامه فایل.

کنید معرفی شفاف به طور را برنامه اصلی متغیرهاي.

کنید استفاده برنامه نویسی در معنی دار متغیرهاي از.

بنویسید برنامه مدولار به صورت کنید سعی.

3/10/2015

11


برازش منحنی

Curve Fitting


مقدمه

هاي برازش منحنی روش اهمیت برازش منحنی در مهندسی

3/10/2015

12


مقدمه

.گیري را مطابق جدول زیر در نظر بگیرید تعدادي داده حاصل از اندازه

:مقدار میانگین

Average

:انحراف معیار

Standard Deviation

واریانس

Variance

نسبت بین انحراف معیار به : ضریب اختلاف.مقدار متوسط است


توزیع نرمال

ها در محدوده مقدار متوسط است دهد که بیشتر تعداد توزیع داده این نمودار نشان می

دهد؟ ها در نمودار چه روي می در صورت افزایش تعداد داده

3/10/2015

13


Linear Regressionبرازش خطی

6جند جمله اي مرتبه



نقاط با توجه به تعریف خطا، چیست؟ بهترین روش براي گذراندن خط راست از مجموعه

.مجموع خطاها را کمینه کنیم -1.مجموع خطاي مطلق را کمینه کنیم -2.بیشینه خطا را کمینه کنیم - 3

مقدار واقعی

مقدار خطا یا باقی مانده

مقدار تقریبی

3/10/2015

14



واقع در شده برازش خط بهترین .بگیرید نظر در را نمودار روي در نقطه دو :1 حالت خط وسط نقطه از که خطی هر که صورتی در .گذرد می نقطه دو هر از که است خطی.دارد را خطا کمترین نیز می گذرد نقطه دو اتصال



که خطی هر فوق، مثال نقطه 4 براي زیرا .نیست مناسب هم حالت این :2 حالت کمینه را خطاها قدرمطلق مجموع کند، عبور شده داده نشان خط چین دو بین از

.رسید نخواهیم واحد جواب به معیار این با بنابراین .می کند

3/10/2015

15



.می باشد زیاد خطاي با اي نقطه تاثیر تحت زیرا .نیست مناسب نیز معیار این :سوم حالت

معیار مناسب چیست؟


برازش خطی–روش حداقل مربعات

هدف بدست آوردن ضرایب در .معادله خطی است

3/10/2015

16


مثال

هاي حاضر معادله برازش خطی و مقدار خطا را محاسبه کنید براي داده.


مقدار خطا در برازش خطی

3/10/2015

17



و تعیین ضریب توان می متوسط، مقدار و داده اختلاف مربع مجموع تعریف به توجه با :نمود محاسبه را همبستگی ضریب

r2: Coefficient of Determinationr: Correlation Factor

دهد؟ باشد، چه روي می Sr=0با توجه به این تعریف زمانی که بهترین برازش چه خصوصیاتی دارد؟



آید از رابطه زیر به دست می خطاي معیار برآوردمقدار:

تفاوت خطاي معیار برآورد و انحراف از معیار چیست؟

Standard Error of Estimate

Sy/xSy

3/10/2015

18


سازي معادلات غیر خطی خطی

براي توان می موارد برخی در تغییر از استفاده با مشخص، توزیعی خطی به صورت رابطه اي متغیر، در و نمود استخراج ها داده براي

براي را خطی برازش نهایت،.کرد حساب جدید هاي داده


)مدل نمایی(سازي معادلات غیر خطی خطی

خطی سازي

3/10/2015

19


)مدل توانی(سازي معادلات غیر خطی خطی

خطی سازي



خطی سازي

3/10/2015

20



کنید برازش زیر جدول داده هاي بر توانی معادله یک توانی تبدیل از استفاده با.

داده هاي روي بر خطی برازش با :می رسیم زیر خطی معادله به شده تبدیل

secant ﻊﻃﺎﻘﺘﻣ ﻂﺧ شور

Documents