Matemática aplicada 3 M. A. Alfonso Velásquez

Método de la Secante

En la implementación del método de Newton-Raphson un problema potencial es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. Para estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás.

Esta técnica es similar a la del método de Newton-Raphson (ver figura), en el sentido de que una aproximación de la raíz se predice extrapolando una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo el método de la secante usa una diferencia dividida en lugar de una derivada para estimar la pendiente. Mediante una diferencia finita dividida:

De la formula de Newton )´()(

1i

iii pf

pfpp −=+

sustituimos

1

11 )()(

)(

−

−+

−−

−=

ii

ii

iii

pppfpf

pfpp

simplificando

( )

)()()(

1

11

−

−+ −

−−=

ii

iiiii pfpf

pppfpp

La ecuación anterior es la fórmula para el método de la secante. Observe que el método

requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que f(x) cambie de signo entre los valores dados, este método no se clasifica como un método cerrado.

Para construir el algoritmo, y facilitar las operaciones sustituimos:

( )01

0111 qq

ppqpp−−

−=

Facultad de Ingeniería

f(x)

x

ALGORITMO: Para encontrar una solución a dada la función continua y unas aproximación inicial

: ENTRADA aproximaciones iniciales ; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N0. SALIDA solución aproximada o mensaje de fracaso. Paso 1 Tome i = 2; , Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 6;

Paso 3 tome ( )

01

0111 qq

ppqpp−−

−= ;

Paso 4 Si entonces

SALIDA p =. . . .

PARE.

Paso 5 Tome i = i + 1;

Paso 6 Tome ; ;

; Paso 7 SALIDA “El método fracaso después de N0, procedimiento terminado sin éxito” PARAR. Ejemplo 1: Use el método de la Secante para aproximar una solución de: ; Con las condiciones Algoritmo: ENTRADA: SALIDA solución aproximada o mensaje de fracaso. Paso 1 Tome i = 2 ; ;

Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 6;

Paso 3 tome

( ) 30434782.1)7(16

12162 =−−−

−=p

Paso 4 Si no cumple,

Paso 5 Tome = 3;

Paso 6 Tome ; Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 6; Tabulando con la ayuda de un programa:

No p TOL<10 - 4

0 1.0 1 2.0 2 1.30434783 0.695652 3 1.35791230 0.053564 4 1.36901333 0.011101 5 1.36880746 0.000205 6 1.36880811 0.00000065

Paso 4

SALIDA P = 1.36880811; PARAR.

Ejemplo 2: La siguiente fórmula se aplica a un vertedero con contracciones

2/13 )()2.0(33.3 HHBQ −=

donde: Q = cantidad de agua que pasa por el vertedor en pies3/s B = ancho del vertedor en pies H = carga sobre la cresta del vertedor en pies

Si se sabe que B = 5 y Q = 33, calcule el valor de H en [ ]2,1 , con Tol < 10 – 5, usando el método de la Secante.

Algoritmo:

ENTRADA: , SALIDA solución aproximada o mensaje de fracaso; Paso 1 Tome i = 2

; Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 6.

Paso 3 tome

( ) 86223427476.1

)016.17(32584669.101232584669.102 =

−−−

−=p

Paso 4 Si no cumple

Paso 5 Tome = 3.

Paso 6 Tome . Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 6. Tabulando con la ayuda de un programa:

No p TOL<10 - 5

0 1.0 1 2.0 2 1.62234275 0.37765 3 1.65035222 0.028009 4 1.65140469 0.001052 5 1.65140118 0.0000035

Paso 4

SALIDA P = 1.65140118 PARAR.

EJERCICIOS PARA REPASAR

Resuelva las siguientes ecuaciones usando el método de la Secante, deje una iteración a mano y luego tabule los resultados en una tabla como el ejemplo. Use hojas tamaño carta y engrápelas. Fecha de entrega por confirmarse el día y lugar de la semana entrante.

1) [ ] 52 10,2,1,0ln)2( −<=−− tolxx

2) 52 10;53,03 −<≤≤=− tolxxex

3) , para