seccion 1: cap´ıtulo x 1 1. cap´ıtulo x: produccion y...

Seccion 1: Capıtulo X 1

1. Capıtulo X: PRODUCCION Y COSTES

Ejercicio 1.Senale la afirmacion falsa:

(a) Si la PMg crece, necesariamente la PMe tambien crece.(b) Si la PMg decrece, necesariamente la PMe tambien decrece.(c) Cuando la PMe alcanza su maximo, la PMg decrece.(d) Si la PMe decrece, la PMg tambien decrece.

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Ejercicio 2.

La |RMSTK,L| =dK

dLde una empresa cualquiera es

K + 82L

. Si laempresa utiliza de los factores K = 2 y L = 10, y su coste total esC(pL, pK , x) = 140. ¿A que precios de mercado contrata los factoresde produccion K y L?(a) pL = 1 y pK = 65.(b) pL = 0, 5 y pK = 135.(c) pL = 5 y pK = 45.(d) pL = 10 y pK = 20.



Ejercicio 3.Si la funcion de produccion de una empresa es X = (LK)1/3, la

curva de costes totales sera:(a) Creciente y concava al eje de abscisas.(b) Decreciente.(c) Creciente y proporcional.(d) Creciente y convexa al eje de abscisas.



Ejercicio 4.La curva de costes medios a largo plazo tiene generalmente forma

de U porque:(a) Hay rendimientos a escala permanentemente decrecientes.(b) Hay rendimientos a escala crecientes para todos los volumenes de

produccion.(c) Hay rendimientos a escala crecientes hasta cierto volumen de

produccion y rendimientos decrecientes a partir de dichovolumen de produccion.

(d) Hay rendimientos a escala decrecientes hasta cierto volumen deproduccion y rendimientos crecientes a partir de dicho volumende produccion.



Ejercicio 5.Una empresa competitiva produce un bien X con la funcion de

produccion X = 5LK, donde L es factor trabajo y K es el factorcapital, y contrata estos factores en sus correspondientes mercadoscompetitivos a los precios w = r = 2. Si el objetivo de la empresaes alcanzar una produccion de X = 45 unidades de producto, ¿quecantidad de factores productivos debe contratar?:(a) L = 3; K = 3.(b) L = 9; K = 1.(c) L = 1; K = 9.(d) L = 2, 25; K = 4.



Ejercicio 6.Si una empresa produce 10 unidades de X con los siguientes pro-

cesos productivos, perfectamente divisibles y con rendimientos con-stantes a escala:

P1 L = 2 K = 4P2 L = 4 K = 2P3 L = 3 K = 4P4 L = 3 K = 4, 5P5 L = 2, 5 K = 2, 5

Es falso que:(a) El proceso 2 es tecnicamente eficiente.(b) El proceso 3 es tecnicamente ineficiente.(c) El proceso 4 es tecnicamente eficiente.(d) El proceso 5 es tecnicamente eficiente.



Ejercicio 7.Una empresa dispone de dos procesos de produccion, ambos per-

fectamente divisibles, con rendimientos constantes a escala e indepen-dientes entre sı:

L K XP1 100 120 100P2 128 88 100

Si el precio del trabajo (L) es tres veces el del capital (K) siendopK= 1. Si la empresa minimiza costes, ¿cual es la funcion de costestotales?:(a) C(X) = 4, 2X.(b) C(X) = 5X.(c) C(X) = 4, 72X.(d) C(X) = 2, 5X.



Ejercicio 8.Una empresa competitiva produce a largo plazo segun la funcion

x = AL1/2K1/2. Si los precios de los factores son respectivamentew = r = 2, es falso que:

(a) La funcion de costes a largo plazo es C(x) =4x

A.

(b) La senda de expansion de la produccion es una recta con

pendientedK

dL= 1.

(c) La PMgL es decreciente, aunque la funcion de produccion tienerendimientos a escala constantes, independientemente delparametro A.

(d) A corto plazo si K = 4, la demanda optima de L sera( x

A

)2

.



Ejercicio 9.Una empresa dispone de tres procesos productivos puros perfecta-

mente divisibles, con rendimientos constantes e independientes entresı.

Por cada unidad de producto el primer proceso emplea 1 unidadde trabajo (L) y 3 de capital (K); el segundo, 2,5 de trabajo y 1,5 decapital y, el tercero, 1,75 de trabajo y 1,25 de capital.

L K XP1 1 3 1P2 2, 5 1, 5 1P2 1, 75 1, 25 1

Si el precio del trabajo es 1,5 veces el precio del capital, las can-tidades de trabajo y capital que permiten producir 100 unidades deproducto al menor coste seran:



(a) L = 100, K = 300.(b) L = 250, K = 150.(c) L = 175, K = 125.(d) Cualquier proceso mixto (o combinacion lineal) entre el primero

y el segundo.



Ejercicio 10.Una empresa produce el bien X segun la funcion de produccion X

= 2 L1/4K1/4. Si los precios de los factores L y K son w = r = 10,(a) La funcion de costes medios a largo plazo tiene forma de U.(b) Existen rendimientos crecientes para todos los volumenes de

produccion, y por tanto, la curva de costes medios a largo plazoes decreciente.

(c) En competencia perfecta, para cualquier precio positivo laempresa producira, obteniendo beneficios.

(d) Las funciones de demanda condicionada de los factores son

L(x) = K(x) =X2

2.



Ejercicio 11.Suponga una empresa competitiva que produce a largo plazo con

la funcion de produccion X = A L1/2K1/2, siendo A > 0. Si losprecios de los factores son w = r = 2, entonces es falso que:(a) La pendiente de la senda de expansion es un valor constante,

independiente del valor del parametro A.(b) La funcion de costes medios a largo plazo es constante.(c) La productividad media del trabajo toma un valor maximo

cuando L = 1,2.(d) La senda de expansion es K = L .



Ejercicio 12.A usted, que acaba de entrar como gestor en una empresa, le

informan de que esta dispone de tres procesos productivos puros, per-fectamente divisibles, con rendimientos constantes a escala e indepen-dientes entre sı, de forma que:

L K XP1 2 3 2P2 2 1 1P3 2, 4 1, 8 1, 5

Si el precio del trabajo es la mitad del precio del capital, y sele encarga la tarea de minimizar costes para un volumen dado deproducto:(a) Debera utilizar el proceso 1.(b) Debera utilizar el proceso 2.(c) Debera utilizar el proceso 3.(d) Podra utilizar cualquiera de los procesos.



Ejercicio 13.Una empresa produce a largo plazo el bien X segun la funcion

X = 3LK1/2. Si los precios de los factores son iguales,(a) En el optimo, las cantidades demandadas de factores son tales

que K = 2L.(b) Como los costes medios son decrecientes, los costes marginales

tambien lo son y van por encima de los costes medios.(c) Como para cualquier cantidad producida los costes medios son

superiores a los costes marginales, para cualquier precio positivoen competencia perfecta la empresa no maximiza beneficios.

(d) Ninguna de las otras.



Ejercicio 14.Sea la funcion de produccion de una empresa X = L1/2K1/2.

Entonces, es falso que:(a) Los costes totales, los costes medios y los costes marginales a

largo plazo se representan graficamente como lıneas rectas.(b) La senda de expansion de la produccion a largo plazo es una

lınea recta.(c) Si los precios de los factores son unitarios, la senda de expansion

de la produccion a largo plazo es K = L.(d) La productividad marginal del trabajo se representa

graficamente como una lınea recta.



Ejercicio 15.Una empresa que utiliza 10 unidades de trabajo y 20 de capital

obtiene 40 unidades de producto. En cambio, si utiliza 5 unidades detrabajo y 10 de capital obtiene 15 unidades de producto. Entonces,los rendimientos a escala que presenta la tecnologıa de produccion dela empresa son:(a) Crecientes.(b) Decrecientes.(c) Constantes.(d) De cualquier tipo, puesto que no lo podemos saber.



Ejercicio 16.Si una empresa produce con la funcion X = L1/2 + K, y se sabe

que r= 4w(siendo r y w el precio de los factores K y L), es falso que:(a) La cantidad demandada de trabajo que minimiza el gasto es

L = 4.(b) La cantidad demandada de factor trabajo es independiente de la

cantidad producida.(c) La funcion de costes totales sera C(X)= 4w(X − 1).(d) La funcion de costes marginales sera CMg(X) = 4wX.



Ejercicio 17.Si la funcion de produccion de una empresa es la forma: X =

10L1/3K2/3 su tecnologıa de produccion presentara:(a) Rendimientos Constantes a Escala.(b) Rendimientos Crecientes a Escala.(c) Rendimientos Decrecientes a Escala.(d) No podemos saberlo.



Ejercicio 18.Una empresa que utiliza 2 y 3 unidades de los dos unicos fac-

tores obtiene 9 unidades de producto. En cambio, si utiliza 12 y 18unidades de los factores, obtiene 36 unidades de producto. Entonces,la tecnologıa de produccion de la empresa presenta rendimientos aescala:(a) Decrecientes.(b) Crecientes.(c) Constantes.(d) No se puede afirmar nada al respecto.



Ejercicio 19.Una empresa dispone inicialmente de dos procesos productivos in-

dependientes, perfectamente divisibles y con rendimientos constantesa escala. El primer proceso emplea dos unidades de capital y una detrabajo para producir una unidad de producto, y el segundo, una decapital y dos de trabajo para producir esa misma unidad.

Si la empresa se propone producir 100 unidades y pretende paraello hacer uso de un tercer proceso puro segun el cual debe utilizar lascantidades L = 145, K = 160, este proceso resultara en relacion conlos anteriores:(a) Tecnicamente Eficiente.(b) Tecnicamente Ineficiente.(c) No lo podemos saber sin conocer los precios de los factores.(d) No se puede saber en ningun caso.



Ejercicio 20.La funcion de produccion del bien X es de la forma X = L1/2

K1/2. Si los precios de los factores L y K son respectivamente w =40 y r = 10, la funcion de costes de la empresa sera:(a) C(X) = 40X.(b) C(X) = 60X.(c) C(X) = 80X.(d) Ninguna de las mencionadas.



Ejercicio 21.Suponga una empresa que presenta Rendimientos Crecientes hasta

un determinado volumen de produccion y a partir de el RendimientosDecrecientes. Senale la afirmacion falsa:(a) Su curva de Coste Total a largo plazo presentara respecto del eje

de las cantidades una forma primero concava y a continuacionconvexa.

(b) En la zona en la que los Costes Medios a largo plazo sondecrecientes existen Rendimientos Crecientes.

(c) Para el volumen de produccion en el que el Coste Marginal alargo plazo es mınimo el correspondiente Coste Medio estara ensu zona decreciente.

(d) Para todo nivel de produccion en el que el Coste Marginal alargo plazo este creciendo, existen Rendimientos Decrecientes.



Ejercicio 22.Si una empresa presenta Rendimientos a Escala Constantes para

todo volumen de produccion, senale la afirmacion falsa:(a) Su curva de costes totales tendra la forma C(X) = aX , siendo a

una constante positiva.(b) Para cualquiera que sea el tamano de planta el volumen de

produccion optimo a corto plazo coincidira siempre con elmınimo de los costes totales medios a corto plazo.

(c) Sus curvas de Costes Medios y Marginales a largo plazocoinciden en todos sus puntos.

(d) Para cualquiera que sea el tamano de planta la respectiva curvade Coste Marginal a corto plazo sera necesariamente una rectaparalela al eje de las cantidades.



Ejercicio 23.Considere un empresa a corto plazo con curvas de Costes Marginales

y Medios en forma de U. Senale la afirmacion falsa:(a) Si los Costes Marginales decrecen, tambien decrecen los Costes

Variables Medios y los Totales Medios.(b) En el punto mınimo de los Coste Totales Medios, los Costes

Variables Medios estan creciendo.(c) Si los Coste Marginales crecen, tambien crecen los Costes Totales

Medios.(d) Si los Costes Medios Totales crecen, tambien crecen los Costes

Marginales y los Variables Medios.



Ejercicio 24.Si una empresa utiliza una combinacion de factores L y K para la

cual: |RMSTK,L| < PL/PK y desea minimizar costes, debera:(a) Utilizar mas cantidad de factor L y menos de K.(b) Utilizar mas cantidad de factor K y menos de L.(c) Incrementar en la misma proporcion las cantidades de ambos

factores.(d) Disminuir en la misma proporcion las cantidades de ambos

factores.


Soluciones a los Ejercicios 26

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1(a)Verdadera: Cuando la funcion de produccion de una empresa es

convexa hasta un determinado nivel de produccion y concava a partirde ese nivel, la productividad marginal es creciente hasta dicho nively despues es decreciente. En este caso, la productividad media y laproductividad marginal se relacionan de la siguiente forma:

El nivel de input que maximiza la productividad marginal (z1)JJ II J I Volver J Doc Doc I


es inferior al que maximiza la productividad media (z1). Por con-siguiente, si la productividad marginal crece la productividad mediatambien crece.

�



Ejercicio 1(b)Falsa: Cuando la funcion de produccion de una empresa es con-

vexa hasta un determinado nivel de produccion y concava a partirde ese nivel, la productividad marginal es creciente hasta dicho nively despues es decreciente. En este caso, la productividad media y laproductividad marginal se relacionan de la siguiente forma:

El nivel de input que maximiza la productividad marginal (z1) esinferior al que maximiza la productividad media (z1). Por consigu-



iente, si la productividad marginal decrece la productividad mediapuede crecer o decrecer.

�



Ejercicio 1(c)Verdadera: Cuando la funcion de produccion de una empresa es


El nivel de input que maximiza la productividad marginal (z1) esinferior al que maximiza la productividad media (z1). En el maximo



de la productividad media ambas productividades coinciden ya quedPMe1

dz1=

1z1

(PMg1 − PMe1) = 0 ⇒ PMg1 = PMe1. Por

consiguiente, la productividad marginal corta a la productividad me-dia en su maximo y esto ocurre en el tramo decreciente de la produc-tividad marginal.

�



Ejercicio 1(d)Verdadera: Cuando la funcion de produccion de una empresa es


El nivel de input que maximiza la productividad marginal (z1) esinferior al que maximiza la productividad media (z1). Por consigu-



iente, si la productividad media decrece la productividad marginaltambien decrece.

�



Ejercicio 2(a)Falsa: Las condiciones de primer orden del problema de mini-

mizacion de costes implican que: |RMSTK,L| =pL

pK⇒ K + 8

2L=

pL

pK⇒ 10

20=

pL

pK⇒ pK = 2pL. Sustituyendo esta relacion en la

funcion de costes: C(pL, pK , x) = pLL + pKK ⇒ 140 = pL · 10 + 2 ·pL · 2 ⇒ pL = 10 y pK = 20.

�



Ejercicio 2(b)Falsa: Las condiciones de primer orden del problema de mini-


pK⇒ K + 8

2L=

pL

pK⇒ 10

20=

pL



�



Ejercicio 2(c)Falsa: Las condiciones de primer orden del problema de mini-


pK⇒ K + 8

2L=

pL

pK⇒ 10

20=

pL



�



Ejercicio 2(d)Verdadera: Las condiciones de primer orden del problema de min-

imizacion de costes implican que: |RMSTK,L| =pL

pK⇒ K + 8

2L=

pL

pK⇒ 10

20=

pL



�



Ejercicio 3(a)Falsa: Si la funcion de produccion de una empresa es X = (LK)1/3,

su tecnologıa presenta rendimientos decrecientes a escala: la sumade las elasticidades producto-trabajo (εx,L = 1/3) y producto-capital(εx,K = 1/3) es menor que la unidad ((εx,L + εx,K < 1)). Ello implicaque el coste total medio de produccion es creciente y la curva de costestotales es creciente y convexa al eje de abscisas (concava al eje deordenadas).

�



Ejercicio 3(b)Falsa: Si la funcion de produccion de una empresa es X = (LK)1/3,


�



Ejercicio 3(c)Falsa: Si la funcion de produccion de una empresa es X = (LK)1/3,


�



Ejercicio 3(d)Verdadera: Si la funcion de produccion de una empresa es X =

(LK)1/3, su tecnologıa presenta rendimientos decrecientes a escala: lasuma de las elasticidades producto-trabajo (εx,L = 1/3) y producto-capital (εx,K = 1/3) es menor que la unidad ((εx,L + εx,K < 1)). Elloimplica que el coste total medio de produccion es creciente y la curvade costes totales es creciente y convexa al eje de abscisas (concava aleje de ordenadas).

�



Ejercicio 4(a)Falsa: Si hay rendimientos a escala permanentemente decrecientes,

el coste medio es creciente con respecto al nivel de produccion.

�



Ejercicio 4(b)Falsa: Si hay rendimientos a escala crecientes para todos los volumenes

de produccion, el coste medio es decreciente con respecto al nivel deproduccion.

�



Ejercicio 4(c)Verdadera: Si hay rendimientos crecientes a escala hasta cierto

nivel de produccion y decrecientes a partir de ese nivel, el coste mediosera decreciente hasta ese nivel de produccion y posteriormente seracreciente. Por consiguiente, la curva de costes medios tendra formade U .

�



Ejercicio 4(d)Falsa: Si hay rendimientos decrecientes a escala hasta cierto nivel

de produccion y crecientes a partir de ese nivel, el coste medio seracreciente hasta ese nivel de produccion y posteriormente es decre-ciente. Por consiguiente, la curva de costes medios tendra forma deU invertida.

�



Ejercicio 5(a)Verdadera: Las demandas condicionadas de factores se obtienen a

partir del problema de minimizacion de costes. Las CPO de dicho

problema implican que en el optimo: |RMSTK,L| ≡PMgL

PMgK=

w

r⇒

5K

5L=

22⇒ K = L. Sustituyendo esta relacion en la funcion de

produccion: X(L,K) = 5L2 ⇒ L(X) =(

X

5

)1/2

= K(X). Si se

desean obtener 45 unidades de producto: L∗ =(

455

)1/2

= 3 = K∗.

�



Ejercicio 5(b)Falsa: Las demandas condicionadas de factores se obtienen a partir

del problema de minimizacion de costes. Las CPO de dicho problema

implican que en el optimo: |RMSTK,L| ≡PMgL

PMgK=

w

r⇒ 5K

5L=

22⇒ K = L. Sustituyendo esta relacion en la funcion de produccion:

X(L,K) = 5L2 ⇒ L(X) =(

X

5

)1/2

= K(X). Si se desean obtener

45 unidades de producto: L∗ =(

455

)1/2

= 3 = K∗.

�



Ejercicio 5(c)Falsa: Las demandas condicionadas de factores se obtienen a partir



PMgK=

w

r⇒ 5K

5L=


X(L,K) = 5L2 ⇒ L(X) =(

X

5

)1/2



455

)1/2

= 3 = K∗.

�



Ejercicio 5(d)Falsa: Las demandas condicionadas de factores se obtienen a partir



PMgK=

w

r⇒ 5K

5L=


X(L,K) = 5L2 ⇒ L(X) =(

X

5

)1/2



455

)1/2

= 3 = K∗.

�



Ejercicio 6(a)Verdadera: El proceso 2 es tecnicamente eficiente porque ninguno

de los otros procesos (ni ninguna combinacion de ellos) utiliza paraproducir 10 unidades de Xmenor cantidad de un factor y no mayorcantidad del otro.

�



Ejercicio 6(b)Verdadera: El proceso 3 es tecnicamente ineficiente porque para

producir 10 unidades de X, utiliza las mismas unidades del factorproductivo K (4) que el proceso 1 y un mayor numero de unidades defactor productivo L(3 > 2).

�



Ejercicio 6(c)Falsa: El proceso 4 es tecnicamente ineficiente porque para pro-

ducir 10 unidades de X, utiliza mayor cantidad de ambos factoresproductivos que el proceso 1: L(3 > 2) y K(4, 5 > 4).

�



Ejercicio 6(d)Verdadera: El proceso 5 es tecnicamente eficiente porque ninguno

de los otros procesos (ni ninguna combinacion de ellos) utiliza paraproducir 10 unidades de Xmenor cantidad de un factor y no mayorcantidad del otro.

�



Ejercicio 7(a)Verdadera: Como ambos procesos son tecnicamente eficientes, se

elegira aquel que permita producir con el menor coste posible a losprecios existentes. Para producir 1 unidad de X, el proceso productivo1 utiliza 1 unidad de L y 1,2 unidades de K, por lo que el coste deproduccion es C(X = 1) = pL · 1 + pK · 1, 2 = 3 · 1 + 1 · 1, 2 = 4, 2. Elproceso productivo 2 utiliza 1,28 unidades de L y 0,88 unidades de Kpor lo que el coste de produccion es C(X = 1) = pL ·1, 28+pK ·0, 88 =3 ·1, 28+1 ·0, 88 = 4, 72. Por tanto, a los precios existentes el procesoelegido es el 1 y la funcion de costes es C(X) = 4, 2X.

�



Ejercicio 7(b)Falsa: Como ambos procesos son tecnicamente eficientes, se elegira

aquel que permita producir con el menor coste posible a los preciosexistentes. Para producir 1 unidad de X, el proceso productivo 1utiliza 1 unidad de L y 1,2 unidades de K, por lo que el coste deproduccion es C(X = 1) = pL · 1 + pK · 1, 2 = 3 · 1 + 1 · 1, 2 = 4, 2. Elproceso productivo 2 utiliza 1,28 unidades de L y 0,88 unidades de Kpor lo que el coste de produccion es C(X = 1) = pL ·1, 28+pK ·0, 88 =3 ·1, 28+1 ·0, 88 = 4, 72. Por tanto, a los precios existentes el procesoelegido es el 1 y la funcion de costes es C(X) = 4, 2X.

�



Ejercicio 7(c)Falsa: Como ambos procesos son tecnicamente eficientes, se elegira


�



Ejercicio 7(d)Falsa: Como ambos procesos son tecnicamente eficientes, se elegira


�



Ejercicio 8(a)Verdadera: En el equilibrio de largo plazo |RMSTK,L| =

w

r. Como

|RMSTK,L| ≡PMgL

PMgK=

K

Ly

w

r=

22

= 1, la senda de expansion

viene dada por:K

L=

22⇒ K = L. Sustituyendo esta relacion en

la funcion de produccion se obtienen las demandas condicionadas de

factores: X(L, K) = AL ⇒ L(X) =X

A= K(X). Por tanto, la

funcion de costes es: C(w, r, x) = wL + rK = 2 · x

A+ 2 · x

A=

4x

A.

�



Ejercicio 8(b)Verdadera: La senda de expansion son las combinaciones (K, L)

que verifican: |RMSTK,L| =w

r. Como |RMSTK,L| =

K

L⇒ K

L=

22.

Por tanto, la senda de expansion es: K = L, cuya pendiente esdK

dL=

1.�



Ejercicio 8(c)Verdadera: La productividad marginal de trabajo es decreciente:

PMgL =12AL−1/2K1/2 ⇒ ∂PMgL

∂L= −1

4AL−3/2K1/2 < 0. La

funcion de produccion presenta rendimientos constantes a escala: lasuma de las elasticidades producto- trabajo (εx,L = 1/2) y producto-capital (εx,K = 1/2) es igual a la unidad (εx,L + εx,K = 1).

�



Ejercicio 8(d)Falsa: Si a corto plazo K = 4, la demanda condicionada de trabajo

se obtiene directamente a partir de la funcion de produccion: x =

AL1/2 · 2 ⇒ LC(x) =( x

2A

)2

�



Ejercicio 9(a)Falsa: El proceso 2 es ineficiente tecnicamente porque utiliza mas

unidades de capital y trabajo que el proceso 3 para producir 1 unidadde producto. Como los procesos 1 y 3 son tecnicamente eficientes,se elegira aquel que permita producir con el menor coste posible. Elcoste de produccion de una unidad de X con el proceso 1 es C(X =1) = pL ·1+pK ·3 = 1, 5 ·pK ·1+pK ·3 = 4, 5 pK . Y con el proceso 3:C(X = 1) = pL·1, 75+pK ·1, 25 = 1, 5·pK ·1, 75+pK ·1, 25 = 3, 875 pK .Por tanto, a los precios existentes, el proceso elegido es el 3. Paraproducir X= 100, se demandaran: L = 175 y K = 125.

�



Ejercicio 9(b)Falsa: El proceso 2 es ineficiente tecnicamente porque utiliza mas

unidades de capital y trabajo que el proceso 3 para producir 1 unidadde producto. Como los procesos 1 y 3 son tecnicamente eficientes,se elegira aquel que permita producir con el menor coste posible. Elcoste de produccion de una unidad de X con el proceso 1 es C(X =1) = pL ·1+pK ·3 = 1, 5 ·pK ·1+pK ·3 = 4, 5 pK . Y con el proceso 3:C(X = 1) = pL·1, 75+pK ·1, 25 = 1, 5·pK ·1, 75+pK ·1, 25 = 3, 875 pK .Por tanto, a los precios existentes, el proceso elegido es el 3. Paraproducir X= 100, se demandaran: L = 175 y K = 125.

�



Ejercicio 9(c)Verdadera: El proceso 2 es ineficiente tecnicamente porque utiliza

mas unidades de capital y trabajo que el proceso 3 para producir1 unidad de producto. Como los procesos 1 y 3 son tecnicamenteeficientes, se elegira aquel que permita producir con el menor costeposible. El coste de produccion de una unidad de X con el proceso 1es C(X = 1) = pL ·1+pK ·3 = 1, 5 ·pK ·1+pK ·3 = 4, 5 pK . Y con elproceso 3: C(X = 1) = pL·1, 75+pK ·1, 25 = 1, 5·pK ·1, 75+pK ·1, 25 =3, 875 pK . Por tanto, a los precios existentes, el proceso elegido es el3. Para producir X= 100, se demandaran: L = 175 y K = 125.

�



Ejercicio 9(d)Falsa: El proceso 2 es ineficiente tecnicamente porque utiliza mas

unidades de capital y trabajo que el proceso 3 para producir 1 unidadde producto. Por consiguiente, nunca se elegira una combinacion lin-eal entre el proceso 1 y 2.

�



Ejercicio 10(a)Falsa: La funcion de produccion presenta rendimientos decrecientes

a escala: la suma de las elasticidades producto-trabajo(εx,L = 1/4) y producto-capital (εx,K = 1/4) es menor a la unidad(εx,L + εx,K = 1/2 < 1). Por tanto, la funcion de costes es crecientey concava para todos los niveles de produccion. Y los costes mediosa largo plazo son crecientes.

�



Ejercicio 10(b)Falsa: La funcion de produccion presenta rendimientos decrecientes

a escala: la suma de las elasticidades producto-trabajo(εx,L = 1/4) y producto-capital (εx,K = 1/4) es menor a la unidad(εx,L + εx,K = 1/2 < 1). Por tanto, la funcion de costes a largo plazoes creciente y concava para todos los niveles de produccion. Y loscostes medios a largo plazo son crecientes.

�



Ejercicio 10(c)Verdadera: La funcion de produccion presenta rendimientos de-

crecientes a escala: la suma de las elasticidades producto-trabajo(εx,L = 1/4) y producto-capital (εx,K = 1/4) es menor a la unidad(εx,L + εx,K = 1/2 < 1). Por tanto, los costes medios a largo plazoson crecientes e inferiores a los costes marginales para cualquier nivel

de produccion:dCMe(x)

dx=

CMg(x)− CMe(x)x

> 0. En compe-tencia perfecta, p = CMg, y como el coste medio es inferior al costemarginal, p > CMe ⇒ B > 0.

�



Ejercicio 10(d)Falsa: Las demandas condicionadas de factores se obtienen a par-

tir del problema de minimizacion de costes. Las CPO de dicho prob-

lema implican que en el optimo: |RMST | ≡ PMgL

PMgK=

w

r⇒ K

L=

1010

⇒ K = L. Sustituyendo esta relacion en la funcion de produccion:

X(L,K) = 2L1/2 ⇒ L(X) =(

X

2

)2

= K(X).

�



Ejercicio 11(a)Verdadera: La senda de expansion son las combinaciones (K, L)

que verifican: |RMSTK,L| ≡PMgL

PMgK=

w

r⇒ K

L=

22⇒ K =

L. Por tanto, la senda de expansion viene dada por K = L, cuya

pendiente esdK

dL= 1, que es independiente de A.

�



Ejercicio 11(b)Verdadera: La funcion de produccion presenta rendimientos con-

stantes a escala: la suma de las elasticidades producto-trabajo (εx,L = 1/2)y producto-capital (εx,K = 1/2) es igual a la unidad (εx,L + εx,K = 1)).Por tanto, los costes a largo plazo son proporcionales al nivel de pro-duccion. La funcion de costes es lineal y los costes medios a largoplazo son constantes para cualquier nivel de produccion.

�



Ejercicio 11(c)

Falsa: La productividad media del trabajo es PMeL =X(L,K)

L=

AK1/2

L1/2, que toma el valor maximo cuando L tiende a cero.

�



Ejercicio 11(d)Verdadera: La senda de expansion son las combinaciones (K, L)

que verifican: |RMSTK,L| ≡PMgL

PMgK=

w

r⇒ K

L=

22⇒ K = L.

Por tanto, la senda de expansion viene dada por K = L.�



Ejercicio 12(a)Falsa: Los tres procesos son tecnicamente eficientes por lo que se

elegira aquel que permita producir con el menor coste posible. Paraproducir 1 unidad de X, el proceso productivo 1 utiliza 1 unidad deL y 1,5 unidades de K, por lo que el coste de produccion es C(X =1) = pL · 1 + pK · 1, 5 = pL · 1 + 2 · pL · 1, 5 = 4pL. El proceso2 utiliza 2 unidades de L y 1 unidad de K por lo que el coste deproduccion es C(X = 1) = pL · 2 + pK · 1 = pL · 2 + 2 · pL · 1 = 4pL.El proceso 3 utiliza 1,6 unidades de L y 1,2 unidades de K por lo queel coste de produccion de una unidad de producto es C(X = 1) =pL · 1, 6 + pK · 1, 2 = pL · 1, 6 + 2 · pL · 1, 2 = 4pL. Por tanto, los tresprocesos son igualmente eficientes economicamente por lo que podrautilizar cualquiera de ellos.

�



Ejercicio 12(b)Falsa: Los tres procesos son tecnicamente eficientes por lo que se


�



Ejercicio 12(c)Falsa: Los tres procesos son tecnicamente eficientes por lo que se


�



Ejercicio 12(d)Verdadera: Los tres procesos son tecnicamente eficientes por lo que

se elegira aquel que permita producir con el menor coste posible. Paraproducir 1 unidad de X, el proceso productivo 1 utiliza 1 unidad deL y 1,5 unidades de K, por lo que el coste de produccion es C(X =1) = pL · 1 + pK · 1, 5 = pL · 1 + 2 · pL · 1, 5 = 4pL. El proceso2 utiliza 2 unidades de L y 1 unidad de K por lo que el coste deproduccion es C(X = 1) = pL · 2 + pK · 1 = pL · 2 + 2 · pL · 1 = 4pL.El proceso 3 utiliza 1,6 unidades de L y 1,2 unidades de K por lo queel coste de produccion de una unidad de producto es C(X = 1) =pL · 1, 6 + pK · 1, 2 = pL · 1, 6 + 2 · pL · 1, 2 = 4pL. Por tanto, los tresprocesos son igualmente eficientes economicamente por lo que podrautilizar cualquiera de ellos.

�



Ejercicio 13(a)FALSA: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

2K

Ly

w

r= 1, la senda de expansion vendra

dada por:2K

L= 1 → K =

L

2.

�



Ejercicio 13(b)Falsa: La tecnologıa presenta rendimientos crecientes a escala ya

que la funcion de produccion es Cobb-Douglas y la suma de las elasti-cidades producto-trabajo (εx,L = 1) y producto-capital (εx,K = 1/2)es mayor a la unidad (εx,L + εx,K = 3/2). Por ello, los costes mediosy los costes marginales son decrecientes, siendo estos ultimos inferi-

ores a los costes medios para todo valor positivo de X:dCMe(x)

dx=

CMg(x)− CMe(x)x

< 0.�



Ejercicio 13(c)Verdadera: La tecnologıa presenta rendimientos crecientes a es-

cala ya que la funcion de produccion es Cobb-Douglas y la sumade las elasticidades producto-trabajo (εx,L = 1) y producto-capital(εx,K = 1/2) es mayor a la unidad (εx,L + εx,K = 3/2). Por ello,los costes medios y los costes marginales son decrecientes, siendoestos ultimos inferiores a los costes medios para todo valor posi-

tivo de X:dCMe(x)

dx=

CMg(x)− CMe(x)x

< 0. Los benefi-cios de la empresa para un nivel de producto X y precio P son:B(X, P ) = [P − CMe(X)]X. Como en equilbrio: P = CMg(X),entonces: P < CMe(X) y por tanto: B(X, P ) < 0.

�



Ejercicio 13(d)Falsa: La respuesta C es verdadera.

�



Ejercicio 14(a)Verdadera: La tecnologıa presenta rendimientos constantes a escala

ya que la funcion de produccion es Cobb-Douglas y la suma de las elas-ticidades producto-trabajo (εx,L = 1) y producto-capital (εx,K = 1/2)es igual a la unidad (εx,L + εx,K = 1). Por ello, los costes a largo plazoson proporcionales al nivel de produccion. La funcion de costes es lin-eal y los costes medios y marginales a largo plazo son constantes eiguales para todo nivel de produccion.

�



Ejercicio 14(b)Veradera: La senda de expansion de la tecnologıa esta formada por

las combinaciones (L, K) que satisfacen: |RMSTK,L| =w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

K

L, la senda de expansion vendra dada por:

K

L=

w

r→ K =

w

rL, que es una lınea recta.

�



Ejercicio 14(c)Verdadera: La senda de expansion de la tecnologıa esta formada

por las combinaciones (L, K) que satisfacen: |RMSTK,L| =w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

K

L, y

w


dada por:K

L= 1 → K = L.

�



Ejercicio 14(d)

Falsa: Por definicion: PMgL =∂X(L,K)

∂L=

K1/2

2L1/2, que es decre-

ciente respecto del trabajo(

∂PMgL

∂L= −K1/2

4L3/2< 0

)de manera no

lineal(

∂2PMgL

∂L2=

3K1/2

8L5/2> 0

).

�



Ejercicio 15(a)Verdadera: Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 =

F (L0,K0), el incremento en la escala de uso de los factores (L1 =tL0, K1 = tK0, con t > 1) generara un nivel de produccion Y1 =F (L1,K1) = λF (L0,K0) = λY0. Si λ > t (< t,= t) los rendimientosson crecientes (decrecientes, constantes) a escala. Como (L0,K0, Y0)=(5, 10, 15) y (L1,K1, Y1)= (10, 20, 40), entonces t = 2 que es menora λ = 2,666, luego los rendimientos son crecientes a escala.

�



Ejercicio 15(b)Falsa: Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 = F (L0,K0),

el incremento en la escala de uso de los factores (L1 = tL0, K1 = tK0,con t > 1) generara un nivel de produccion Y1 = F (L1,K1) =λF (L0,K0) = λY0. Si λ > t (< t, = t) los rendimientos son cre-cientes (decrecientes, constantes) a escala. Como (L0,K0, Y0)= (5,10, 15) y (L1,K1, Y1)= (10, 20, 40), entonces t = 2 que es menor a λ= 2,666, luego los rendimientos son crecientes a escala.

�



Ejercicio 15(c)Falsa: Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 = F (L0,K0),

el incremento en la escala de uso de los factores (L1 = tL0, K1 = tK0,con t > 1) generara un nivel de produccion Y1 = F (L1,K1) =λF (L0,K0) = λY0. Si λ > t (< t, = t) los rendimientos son cre-cientes (decrecientes, constantes) a escala. Como (L0,K0, Y0)= (5,10, 15) y (L1,K1, Y1)= (10, 20, 40), entonces t = 2 que es menor a λ= 2,666, luego los rendimientos son crecientes a escala.

�



Ejercicio 15(d)FALSA: Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 =

F (L0,K0), el incremento en la escala de uso de los factores (L1 =tL0, K1 = tK0, con t > 1) generara un nivel de produccion Y1 =F (L1,K1) = λF (L0,K0) = λY0. Si λ > t (< t,= t) los rendimientosson crecientes (decrecientes, constantes) a escala. Como (L0,K0, Y0)=(5, 10, 15) y (L1,K1, Y1)= (10, 20, 40), entonces t= 2 que es menor aλ = 2,666, luego los rendimientos son crecientes a escala.

�



Ejercicio 16(a)Verdadera: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r.

Como: |RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

12L1/2

, yw

r=

14, la senda de

expansion vendra dada por: L = 4, que determina directamente lademanda condicionada de trabajo.

�



Ejercicio 16(b)Verdadera: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r.


PMgK=

12L1/2

, yw

r=

14, la senda de

expansion vendra dada por: L = 4, que determina una demandacondicionada de trabajo independiente de la cantidad producida.

�



Ejercicio 16(c)Verdadera: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r.


PMgK=

12L1/2

, yw

r=

14, la senda de

expansion vendra dada por: L = 4. Incorporando la senda de ex-pansion en la funcion de produccion obtenemos la demanda condi-cionada de capital: K(X) = X − 2. La funcion de costes viene dadapor: C(X) = wL(X) + rK(X) = 4w + 4w(X − 2) = 4w(X − 1).

�



Ejercicio 16(d)Falsa: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

12L1/2

, yw

r=

14, la senda de expansion

vendra dada por: L = 4. Incorporando la senda de expansion en lafuncion de produccion obtenemos la demanda condicionada de capital:K(X) = X − 2. La funcion de costes viene dada por: C(X) =wL(X) + rK(X) = 4w + 4w(X − 2) = 4w(X − 1), y la funcion decoste marginal por: CMg(X) = 4w.

�



Ejercicio 17(a)Verdadera: En una funcion Cobb-Douglas los rendimientos a escala

pueden calcularse mediante la suma de las elasticidades del productorespecto de los factores productivos, trabajo (εx,L = 1/3) y capital(εx,K = 2/3). Como (εx,L + εx,K = 1), los rendimientos a escala sonconstantes.

�



Ejercicio 17(b)Falsa: En una funcion Cobb-Douglas los rendimientos a escala


�



Ejercicio 17(c)Falsa: En una funcion Cobb-Douglas los rendimientos a escala


�



Ejercicio 17(d)Falsa: En una funcion Cobb-Douglas los rendimientos a escala


�



Ejercicio 18(a)Verdadera: Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 =

F (L0,K0), el incremento en la escala de uso de los factores (L1 =tL0,K1 = tK0, con t > 1) generara un nivel de produccion Y1 =F (L1,K1) = λF (L0,K0) = λY0. Si λ > t (< t, = t) los rendimientosson crecientes (decrecientes, constantes) a escala. Como (L0,K0, Y0)= (2, 3, 9) y (L1,K1, Y1) = (12, 18, 36), entonces t = 6 que es mayorque λ = 4, luego los rendimientos son decrecientes a escala.

�



Ejercicio 18(b)Falsa:Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 = F (L0,K0),

el incremento en la escala de uso de los factores (L1 = tL0,K1 =tK0, con t > 1) generara un nivel de produccion Y1 = F (L1,K1) =λF (L0,K0) = λY0. Si λ > t (< t, = t) los rendimientos son crecientes(decrecientes, constantes) a escala. Como (L0,K0, Y0) = (2, 3, 9) y(L1,K1, Y1) = (12, 18, 36), entonces t = 6 que es mayor que λ = 4,luego los rendimientos son decrecientes a escala.

�



Ejercicio 18(c)Falsa:Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 = F (L0,K0),


�



Ejercicio 18(d)Falsa:Dados (L0,K0) que generan un nivel de output Y0 = F (L0,K0),


�



Ejercicio 19(a)Falsa: Como existen rendimientos constantes a escala, con el pro-

ceso 1 podemos obtener 100 uds de producto utilizando 200 uds decapital y 100 de trabajo y con el proceso 2 usando 100 de capital y200 de trabajo. Una combinacion lineal de los procesos 1 y 2 con pon-deraciones del 60% y 40%, respectivamente, necesitarıa utilizar 160uds de capital y 140 de trabajo para obtener 100 uds de producto.Por tanto, el proceso 3 es ineficiente en el uso de trabajo respecto deun proceso mixto de 1 y 2.

�



Ejercicio 19(b)Verdadera: Como existen rendimientos constantes a escala, con el

proceso 1 podemos obtener 100 uds de producto utilizando 200 udsde capital y 100 de trabajo y con el proceso 2 usando 100 de capitaly 200 de trabajo. Una combinacion lineal de los procesos 1 y 2 conponderaciones del 60% y 40%, respectivamente, necesitarıa utilizar160 uds de capital y 140 de trabajo para obtener 100 uds de producto.Por tanto, el proceso 3 es ineficiente en el uso de trabajo respecto deun proceso mixto de 1 y 2.

�



Ejercicio 19(c)Falsa: Como existen rendimientos constantes a escala, con el pro-


�



Ejercicio 19(d)Falsa: Como existen rendimientos constantes a escala, con el pro-


�



Ejercicio 20(a)Verdadera: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r.


PMgK=

K

L, y

w

r= 4, la senda de expansion

vendra dada por: K = 4L. Sustituyendo esta expresion en la tec-nologıa de produccion permite obtener las demandas condicionadas

de factores: L(X) =X

2y K(X) = 2X. La funcion de costes queda,

por tanto: C(X) = wL(X) + rK(X) = 20X + 20X = 40X.�



Ejercicio 20(b)Falsa: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

K

L, y

w


dada por: K = 4L. Sustituyendo esta expresion en la tecnologıa deproduccion permite obtener las demandas condicionadas de factores:

L(X) =X

2y K(X) = 2X. La funcion de costes queda, por tanto:

C(X) = wL(X) + rK(X) = 20X + 20X = 40X.�



Ejercicio 20(c)Falsa: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

K

L, y

w



L(X) =X


C(X) = wL(X) + rK(X) = 20X + 20X = 40X.�



Ejercicio 20(d)Falsa: En el equilibrio de largo plazo: |RMSTK,L| =

w

r. Como:

|RMSTK,L| =PMgL

PMgK=

K

L, y

w



L(X) =X


C(X) = wL(X) + rK(X) = 20X + 20X = 40X.�



Ejercicio 21(a)Verdadera: Con rendimientos primero crecientes y despues decre-

cientes, la funcion de coste total es concava (respecto del eje de canti-dades) hasta un determinado nivel de produccion y convexa a partirde dicho nivel:

Los rendimientos son crecientes a escala hasta el nivel de pro-



duccion en que el rayo vector trazado desde el origen de coordenadasse hace tangente a la curva (X0). A partir de dicho nivel de producto,los rendimientos son decrecientes a escala.

�



Ejercicio 21(b)Verdadera: Con rendimientos crecientes a escala: F (tL0, tK0) >

tF (L0,K0). Siendo Y0 = F (L0,K0) y Y1 = F (L1,K1) = t F (L0,K0),bajo rendimientos crecientes a escala: L1 < t L0 y K1 < t K0.

Por tanto, CT (Y1) < t CT (Y0), y ademas:CT (Y1)

tY0<

t CT (Y0)tY0

→CMe(Y1) < CMe(Y0).

�



Ejercicio 21(c)Verdadera: Con rendimientos primero crecientes y despues decre-

cientes, la funcion de coste medio tiene forma de U . El CMg cruza alCMe cuando este alcanza su valor mınimo, y esto ocurre en el tramocreciente del CMg, es decir, a la derecha de su mınimo.

�



Ejercicio 21(d)Falsa: Con rendimientos primero crecientes y despues decrecientes,

la funcion de coste medio tiene forma de U . El CMg cruza al CMecuando este alcanza su valor mınimo, y esto ocurre en el tramo cre-ciente del CMg, es decir, a la derecha de su mınimo.

Por tanto, existe un tramo en que el CMg esta creciendo y los



rendimientos son crecientes a escala.�



Ejercicio 22(a)Verdadera: Con rendimientos constantes a escala, F (tL0, tK0) =

tF (L0,K0). Siendo Y0 = F (L0,K0) y Y1 = F (L1,K1) = t F (L0,K0),bajo rendimientos constantes a escala: L1 = t L0 y K1 = t K0. Portanto: CT (Y1) = t CT (Y0), lo que da origen a una funcion de costescon pendiente constante.

�



Ejercicio 22(b)Verdadera: Siendo K∗ el tamano de planta optimo para obtener el

nivel de produccion Y ∗, se verifica que CMeC(Y ∗,K∗) = CMeL(Y ∗)y que CMeC(Y, K∗) > CMeL(Y ), ∀Y 6= Y ∗. Es decir, que la curvade costes medios de corto plazo es tangente a la de largo plazo parael nivel de produccion optimo, y discurre por encima de la de la delargo plazo para los niveles de produccion no optimos.

Con rendimientos constantes a escala, la funcion de coste total esuna lınea recta que parte del origen y el coste medio de largo plazoes constante para cualquier nivel de produccion, es decir, es una lıneahorizontal paralela al eje de las cantidades. Por tanto, la tangenciade las curvas de corto plazo con la de largo plazo (para los nivelesde produccion optimos) se produce necesariamente en el mınimo delas curvas de coste medio de corto plazo, ya que es el unico valor deproduccion en que la tangente a la curva de corto plazo es horizontal(ver grafico).

�



Ejercicio 22(c)Verdadera:Con rendimientos constantes a escala, F (tL0, tK0) = tF (L0,K0).

Siendo Y0 = F (L0,K0) y Y1 = F (L1,K1) = t F (L0,K0), bajorendimientos constantes a escala: L1 = t L0 y K1 = t K0. Por tanto:CT (Y1) = t CT (Y0), lo que da origen a una funcion de costes de pen-diente constante, y por tanto tambien es constante el coste marginal.Ademas, la pendiente del rayo vector coincide con la pendiente de lafuncion de costes en cada punto, verificandose la coincidencia entrecoste medio y coste marginal.

�



Ejercicio 22(d)Falsa:Para demostrar que la proposion no es cierta, usamos un contrae-

jemplo. Supongamos la tecnologıa X(L,K) =√

LK, que presentarendimientos constantes a escala. Suponemos tambien precios unitar-ios para los factores.

Si en el corto plazo la cantidad disponible de factor capital es 4, la

tecnologıa queda: X(L, 4) = 2√

L y la demanda de trabajo: L =X2

4.

La funcion de costes de corto plazo queda: CTC(X) = wL + rK =X2

4+4 y la funcion de coste marginal de corto plazo: CMgC(X) =

X

2,

que tiene pendiente positiva.�



Ejercicio 23(a)Verdadera: Las funciones de costes medios, marginales y variables

medios en forma de U se relacionan entre sı de la siguiente forma:

El mınimo del coste marginal (X1) se produce en el tramo decre-ciente de los costes medios totales y variables.

�



Ejercicio 23(b)Verdadera: Las funciones de costes medios, marginales y variables


El mınimo de los costes variables medios (X2) se produce a laizquierda del mınimo de los costes medios (X3).

�



Ejercicio 23(c)Falsa: Las funciones de costes medios, marginales y variables medios

en forma de U se relacionan entre sı de la siguiente forma:

El mınimo de los costes medios (X3) se produce a la derecha delmınimo de los costes marginales (X1). Por tanto, hay niveles de pro-duccion para los que el coste marginal esta creciendo y los costestotales medios decrecen. �



Ejercicio 23(d)Verdadera: Las funciones de costes medios, marginales y variables


El mınimo de los costes medios (X3) se da a la derecha del mınimode los costes marginales (X1) y variables medios (X2).

�



Ejercicio 24(a)Falsa: La situacion inicial (I) es de no tangencia: la pendiente de

la isocuanta (X) es menor que la de la curva isocoste (IC1).

Como el producto marginal del trabajo en terminos del producto



marginal del capital (|RMSTK,L|) es menor que el coste del trabajoen terminos del coste del capital (PL/PK), lo optimo es reducir el usode trabajo y aumentar el de capital, pasado a la situacion de equilibrio(O). Ello nos permite reducir el coste, ya que pasamos de la curvaisocoste IC1 a la IC2, mas cercana al origen.

�



Ejercicio 24(b)Verdadera: La situacion inicial (I) es de no tangencia: la pendiente

de la isocuanta (X) es menor que la de la curva isocoste (IC1).





�



Ejercicio 24(c)Falsa: La situacion inicial (I) es de no tangencia: la pendiente de






�



Ejercicio 24(d)Falsa: La situacion inicial (I) es de no tangencia: la pendiente de






�


seccion 1: cap´ıtulo x 1 1. cap´ıtulo x: produccion y...

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