Secciones

Cónicas

SE LLAMAN SECCIONES CÓNICAS PORQUE PROVIENEN DE LA INTERSECCIÓN DE UN CONO CON UN PLANO.

1. CIRCUNFERENCIA:Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto llamado CENTRO es constante, a dicha distancia se llama RADIO.

Ecuación de la circunferenciaFORMA REDUCIDA.- Para una circunferencia de centro (h,k) y radio r es:

FORMA DESARROLADA.- Para una circunferencia de centro (a,b) y radio r es:

0222 rkyhx

022 FEyDxyx

OPERA

NDO

Ecuación reducida. 0222 rkyhx

022 FEyDxyxEcuación desarrollada.

2,

2),(

EDkhCentro

FED

rRadio 44

22

Ejercicio:Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene centroen el punto C=(3,0) y cuyo radio mide 3cm.

LA RUEDA: LA NORIA:

EL ANILLO: DISCO DURO:

LA POLEA:

2. PARÁBOLA:Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

),(),( dPdFPd

Simplificando esta ecuación queda:

22

22 p

yp

yx

Los puntos de la parábola cumplen:

pxx 22

La parábola en otros casos:

Ejercicio:Ejercicios 13y 14 pag 145.

Ejercicios 36,37,38,39,40 pag 152 y153.

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3. ELIPSE:Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

Ecuación fundamental de la elipse:

aPFPF 2'

La elipse cumple que la suma de las distancias de cada foco al punto P es siempre la misma:

222 cba

La excentricidad de la elipse es:

a

ce

Si e=0 es una circunferenciaSi e= 1 es una rectae SIEMPRE ESTÁ ENTRE 0 Y 1

Elipse Horizontal

Ecuación Canónica de la Elipse

Elipse Vertical

Ecuación Canónica de la Elipse

Ecuación General de la Elipse

Donde: A ≠ 0, B ≠ 0.

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Condición NecesariaLa ecuación cuadrática represente a una Elipse si los coeficientes A y B tienen igual signo, pero diferente valor.

Ejercicio:Determine la forma canónica de la ecuación4x2 + 9y2 - 8x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, encuentre su centro, sus focos y sus vértices.

Resp.: Centro O(1, -1); a = 3 y b = 2.

El anfiteatro de Pompeya.

ANFITEATROS:

Plaza elíptica.

LA CASA BLANCA:

Determina la velocidad de los planetas.

LEY DE KEPLER:

1571-

1630

Arte en las calles de Chicago.

CLOUD GATE ELIPSE

Arte y geometría.FELICE VARINI

4. HIPÉRBOLA:Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

Ecuación fundamental de la hipérbola:

aPFPF 2'

En este caso:

222 bac

La excentricidad de la elipse es:

a

ce Si e= 1 es una recta

e SIEMPRE ES MAYOR QUE 1

Las asíntotas de la hipérbola son:

xa

by x

a

by

Las dimensiones de este rectángulo son 2a y 2b; geométricamente, las diagonales de esta figura plana forman parte de las asíntotas

Hipérbola Horizontal

Ecuación Canónica de la Hipérbola

Ecuación de las Asíntotas de la Hipérbola

Ecuación Canónica de la Hipérbola

Ecuación Canónica de la Hipérbola

Ecuación de las Asíntotas de la Hipérbola

Ecuación General de la Hipérbola

Donde: A ≠ 0, B ≠ 0.

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Condición NecesariaLa ecuación cuadrática representa a una Hipérbola si los coeficientes A y B tienen signo diferentes.

Ejercicio:Encuentre la forma canónica de la ecuación de la hipérbola x2 - y2 + 2x + 4y - 12 = 0.Determine su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.

Resp.: Centro O(4, 2); a = √ 6y b = 3c = √15,

Aeropuerto de Barcelona.TORRE DE AERPUERTO

CHIMENEAS EN CENTRALES TÉRMICAS

INTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUA