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SECRETARÍA ACADÉMICA
COORDINACIÓN DE POSGRADO
MAESTRÍA EN DESARROLLO EDUCATIVO
La formación de profesoras de educación preescolar en el
área de la geometría a partir de la reflexión sobre sus
creencias y prácticas de enseñanza
Tesis que para obtener el grado de:
Maestra en Desarrollo Educativo, Línea
Educación Matemática
Presenta:
Lic. Martha Patricia Martínez López
Director de tesis
Dra. Alicia Ávila Storer
México D.F. Diciembre de 2012.
1
Dedicatoria
A mis hijos, padre y hermanos por ser testigos de mi andar
por la vida en la que eventualmente hemos coincidido y esto
por sí mismo es un buen principio de incertidumbre.
2
Agradecimientos
Vayan estos agradecimientos a mi querida asesora Alicia Ávila, directora de
esta tesis. Gracias por su mirada, sus aportaciones, sus comentarios y las
reuniones de apoyo que favorecieron no sólo el logro de éste trabajo final,
sino una gran oportunidad de desarrollo personal.
Otras gracias inmensas a Salvador Llinares, por su dirección y aportaciones
a este trabajo de investigación. Gracias por el recibimiento cálido en su país,
y por esos espacios de alegría y de recreación.
A mis lectores Alicia Carvajal, Armando Solares y José Luis Cortina, quienes
no sólo hicieron aportaciones precisas para el enriquecimiento de este
documento, sino que también fueron mis maestros durante mi proceso de
formación. Gracias por compartir conmigo, desde su propio estilo, el ímpetu
y entusiasmo que tienen hacia la educación matemática y hacia México.
Mi agradecimiento a “Gelus” quién con su ánimo y cariño me apoyó para la
realización del taller de formación en su espacio de trabajo. Vaya también mi
gratitud a Vero, Silvia, Karla, Ale, Martha, Martha Gpe, Paty, Moni, Gilda y
Ericka, docentes de educación preescolar que participaron con gran
entusiasmo en este trabajo.
Por supuesto, agradezco a mis amigos y compañeros de la vida que de una
manera u otra estuvieron presentes: Sergio, Liliana, Carmen, Rosario, Tere,
y Alfredo. También a mis compañeros de la maestría: Érica, Claudia, “Eri”,
Fanny y “Porfis”.
Y ahora sí, ya para terminar, mi agradecimiento a todas aquellas mis amigas
amigos y familia que con su presencia virtual y física me han apoyado.
Gracias.
3
Índice
Introducción 7
Capítulo 1 Justificación de la investigación 10
1.1 Identificación del problema 13
1.2 Contratos didácticos en preescolar 14
1.3 La formación de docentes 18
1.4 ¿Qué es la geometría? ¿Qué favorece en los que
la estudian? 20
1.5 La geometría en el Programa de Educación Preescolar 24
1.5.1 Estructura del campo formativo Pensamiento
matemático 25
1.5.1.1Competencias y aprendizajes esperados de
Pensamiento matemático 26
1.5.2 Comentarios al programa 29
1.6 La geometría en lo cotidiano del preescolar 32
Capítulo 2 Marco teórico 39
2.1 La profesionalización de la función docente 39
2.2 El conocimiento profesional en las docentes 41
2.2.1 El contexto en el aprendizaje de la educadora 43
2.3 Las situaciones didácticas en un proceso de formación 46
2.3.1 Tipos de situaciones didácticas 47
2.3.1.1 Situaciones de acción 47
2.3.1.2 Situaciones de formulación 48
2.3.1.3 Situaciones de validación 48
2.3.1.4 Situaciones de institucionalización 49
2.4 La representación y la visualización en el aprendizaje de
4
la geometría 51
2.4.1 Representación 51
2.4.2 Visualización 53
2.5 Objetivos de la investigación 59
Capítulo 3 Diseño de la investigación 61
3.1 Consideraciones institucionales o el contexto de la
investigación 62
3.2 Metodología de investigación 64
3.3 Etapa de diagnóstico 65
3.3.1 Primera etapa de diagnóstico 66
3.3.2 Segunda etapa de diagnóstico 68
3.4 Taller de formación 70
3.4.1 Orientación del taller 70
3.4.2 Participantes en el taller 71
3.4.3 Organización del taller 71
3.4.4 Objetivos del taller 72
3.4.5 Contenidos del taller 72
3.4.5.1 Contenidos geométricos 73
3.4.5.2 Contenidos de procesos cognitivos 74
3.4.5.3 Contenidos pedagógicos 74
3.4.6 Características generales de las actividades 78
3.4.7 Descripción de actividades y situaciones didácticas 79
3.4.7.1 Primera sesión 79
3.4.7.2 Segunda sesión 84
3.4.7.3 Tercera sesión 89
3.4.7.4 Cuarta sesión 92
3.4.7.5 Quinta sesión 94
3.4.7.6 Sexta sesión 97
Capítulo 4 Procedimiento de análisis 101
5
4.1 Codificación de los insumos 102
4.2 Narrativa y cuestionario 104
4.2.1 Narrativa 104
4.2.2 Cuestionario 107
4.3 Videos del taller 109
4.3.1 Análisis de los videos 116
4.3.2 Fase 2 Categorización 112
4.4 Análisis de contenido 116
4.4.1 Idea central. La geometría un conocimiento manual,
sensorial y de magnitud 116
4.4.2 Idea central. Una práctica docente desde una visualización
perceptiva y prototípica 118
4.4.3 Idea central. De una idea tradicional de la función de la
educadora a una reflexión para una nueva función 122
Capítulo 5 Resultados 129
5.1 Aprendizaje puesto de manifiesto por una mayor claridad
en el foco sobre los objetos matemáticos de las maestras:
Transición de la aprehensión perceptiva a la aprehensión
discursiva 129
5.1.1 De la aprehensión perceptiva a la aprehensión
discursiva 129
5.1.2 Conceptualización de los objetos matemáticos 135
5.2 Manifestación de aprendizaje al expresar un discurso que
singulariza dos aspectos en las situaciones de enseñanza y
aprendizaje: el contenido geométrico como contenido de
enseñanza y la forma de cómo dialogar con los alumnos sobre
este contenido 141
5.2.1 El punto de partida 142
5.2.2 Durante el desarrollo del taller 147
6
5.2.3 Conocimientos profesionales reflejados en el diseño de una
situación didáctica 153
Capítulo 6 Conclusiones 157
Referencias ……162
Anexos 166
7
Introducción
Hace algunos años hablar de las finalidades de la educación preescolar se
remitía exclusivamente a hablar de la socialización y el desarrollo de la
psicomotricidad del niño. Conforme las investigaciones con respecto al
desarrollo cognitivo y el aprendizaje del niño han avanzado y se han
incorporado a la discusión de la política educativa en nuestro país, poco a
poco aquellas concepciones se han ido modificando tanto en las autoridades
educativas como en la sociedad en general.
Estas investigaciones, reportan las grandes potencialidades cognitivas y
capacidades de aprendizaje que tienen los niños de entre dos y seis años de
edad y esto, aunado a los cambios sociales, económicos y culturales
presentes en nuestra sociedad, lleva a reconocer, descubrir y potenciar una
nueva faceta formativa de éste nivel educativo.
En este contexto, la concepción que se tiene de la docente de preescolar
también se está modificando paulatinamente; ya no es la “cuidadora de
niños” o la “vice-madre” (Tonucci, 2002). El perfil de la docente como
profesional de educación también se va construyendo poco a poco, tanto
entre ellas mismas, como en el resto de la sociedad, lo cual implica una
revalorización de su práctica docente, pues es en quien recae directamente
el desenvolvimiento de las potencialidades, que se mencionaron
anteriormente, de los alumnos de este nivel.
Es con base en lo mencionado en párrafos anteriores, que se retoma el valor
de realizar un proceso investigativo centrado en indagar acerca de las
características y las posibilidades de aprendizaje que los espacios de
formación continua, en específico con las matemáticas, pueden ofrecer a las
educadoras.
Las matemáticas como ciencia es un conocimiento que se va desarrollando
desde edades tempranas y no desde la educación primaria como se
pensaba anteriormente. Desarrollar el pensamiento matemático y con ello
las competencias matemáticas, requiere de quienes están implicados,
8
actividades de reflexión, de resolución, de argumentación, de comunicación
y de validación de sus saberes, entre otras más.
Esta tesis está centrada en una de las áreas que conforman las
matemáticas: la geometría, que si bien en el programa de educación
preescolar no se nombra de esta forma, sus contenidos se encuentran
comprendidos en el aspecto forma espacio y medida.
La geometría es “el estudio de figuras (tridimensionales y planas, así como
la relación entre estos dos tipos de objetos) y de transformaciones
puntuales, en particular las translaciones, las simetrías, las rotaciones, las
homotecias y las similitudes” (Berdonneau, 2008, p.140), y la importancia de
su estudio radica principalmente en las posibilidades cognitivas que están
implicadas en el trabajo geométrico, en su vinculación con la vida cotidiana y
en las ciencias.
“La geometría, más que otras áreas en matemáticas, puede ser usada para
descubrir y desarrollar diferentes formas de pensamiento. Esta debe ser una
tarea esencial para la enseñanza de la geometría”. (Duval, 2001, p.13).
Desde esta concepción de la enseñanza de la geometría se realiza el
presente trabajo de investigación con docentes de educación preescolar.
En la Educación Preescolar, las matemáticas se encuentran contenidas
dentro del campo formativo “pensamiento matemático”, lo que precisamente
alude al desarrollo de procesos cognitivos de los niños de estas edades.
Para apoyar y favorecer su desarrollo, la educadora requiere entre otros
factores, conocimientos conceptuales de la geometría y conocimientos
pedagógicos de la misma que favorezcan la construcción de su
“conocimiento profesional” (Llinares, 2008).
En el presente trabajo, se presentan los resultados obtenidos con las
docentes de educación preescolar que participaron en un taller de formación
con respecto al aprendizaje de la geometría como contenido disciplinar y
como contenido pedagógico.
Esta memoria está organizada en 6 capítulos. En el primer capítulo, se
presenta la justificación del problema de investigación, en el segundo se
9
describe el marco teórico adoptado para analizar el aprendizaje de las
maestras. En los capítulos 3 y 4 se describen el diseño del taller y los
procedimientos de recogida de datos y la forma en la que estos se han
analizado. En el capítulo 5 se presentan los resultados obtenidos en dos
apartados centrados en la caracterización de (i) mayor claridad en el foco
sobre los objetos matemáticos de las maestras y (ii) la identificación de
manifestaciones de su aprendizaje. Finalmente en el capítulo 6 se presentan
algunas conclusiones.
10
Capítulo 1.
Justificación de la investigación
El 12 de noviembre de 2002 se modificaron los artículos 3º y 31º de la
Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos. A partir de estas
modificaciones, la Educación preescolar pasó a formar parte de la Educación
Básica obligatoria, y se puso en marcha el Programa de renovación
curricular y pedagógica que culminó con la publicación del Programa de
Educación Preescolar 2004.
Más adelante, el 19 de agosto de 2011, se publicó el acuerdo 592 que
establece el Plan y los programas de estudio correspondientes a cada uno
de los niveles educativos que conforman la Educación Básica. Se establece
la Reforma integral de la Educación Básica, la cual propone contar con un
currículo integrado y coherente entre: preescolar, primaria y secundaria por
lo que se reforman los enfoques, asignaturas y contenidos de los otros dos
niveles y se reformula el Programa de Educación Preescolar. En el año
2011, se publica un nuevo Programa de Educación Preescolar llamado
ahora “Programa de estudios 2011” (en adelante PE 2011).
Como parte del equipo de asesores de la Dirección técnica de la Dirección
General de Servicios Educativos Iztapalapa (en adelante DGSEI), tuve la
oportunidad de participar en el diseño, implementación y seguimiento de
esta reforma en los centros escolares de educación preescolar de la
Dirección mencionada.
Este trabajo de asesoría, seguimiento y acompañamiento a las docentes y
directivas me permitió, por un lado, conocer de forma continua y sistemática
las prácticas docentes que se desarrollan en las escuelas de educación
preescolar de la DGSEI y, por el otro, me enfrentó a reconocer mis
limitaciones en la formación continua del personal educativo con el que
trabajo
En el primer aspecto, pude dar cuenta de algunas dificultades de las
educadoras con respecto al conocimiento del contenido matemático
11
necesario para enseñar en este nivel educativo, así como el conocimiento
del contenido matemático como objeto de enseñanza y de aprendizaje en la
educación preescolar.
El trabajo de matemáticas que observé en las aulas de preescolar se centró
en el aspecto de número. La enseñanza de este contenido es lo más
relevante para las educadoras (y los padres de familia), así que diariamente
desde sus concepciones de lo que es favorecer esta competencia, realizan
presentaciones ostensivas de los números, conteos utilizando tanto la serie
numérica oral como escrita, su representación gráfica y otras prácticas de
enseñanza semejantes en las aulas de preescolar
Al respecto Fuenlabrada, (2009) en sus reportes de investigación del
aspecto Número, menciona que una práctica regular de las educadoras es el
reconocimiento, la escritura y la repetición de la serie numérica, por lo que
gran parte del tiempo escolar dedicado a Pensamiento matemático, se
dedica a este tipo de práctica. ¿Qué pasa con los otros contenidos de las
matemáticas? ¿Dónde quedan la geometría, y la medición? El tiempo de
trabajo que se dedica para su enseñanza, es significativamente menor que
para el aspecto de número.
En efecto, el trabajo docente que observé para el aspecto de forma, fue
básicamente de trabajos manuales que adolecían de contenido geométrico;
en general se trataba de lo siguiente: la docente presenta una figura
geométrica, (regularmente inicia con el cuadrado), señala su nombre, los
niños lo repiten, entrega dibujos de polígonos para que los alumnos las
coloreen o los rellenen con bolas de papel de diferente color. Este
procedimiento se repite para los otros contenidos del aspecto Forma.
Todo lo anterior me llevó a considerar la importancia de diseñar un taller
para las educadoras en el que se desarrollaran contenidos geométricos, con
la finalidad de construir instrumentos que apoyaran su competencia en la
enseñanza de la geometría.
Con respecto a mi desempeño como asesora técnica para las docentes de
este nivel educativo, me pregunté acerca de ¿qué tipo de situaciones
12
didácticas podrían favorecer el razonamiento geométrico en las docentes?
¿Cómo orientarlas hacia una enseñanza donde las competencias
matemáticas que señala el programa fueran el propósito educativo principal?
Y finalmente, en un espacio formativo, ¿cuáles serían las evidencias de que
las docentes desarrollaban procesos de aprendizaje?
A partir de lo anterior se diseñó un taller de formación para propiciar en las
docentes aprendizajes de dos tipos: conocimiento disciplinares del contenido
geométrico y aprendizajes del contenido geométrico como objeto de
enseñanza. Este trabajo se sustentó en los planteamientos de formación
docente del Dr. Llinares, la teoría de situaciones didácticas de G. Brousseau
y en las ideas de Raymond Duval con respecto a las aprehensiones
cognitivas que se pueden favorecer a partir de la enseñanza de la
geometría.
Las docentes como profesionales de la educación requieren del desarrollo
de competencias necesarias para el ejercicio de su labor; dentro de estas
competencias, el contenido matemático como objeto de saber y como objeto
de enseñanza es relevante para el planteamiento de situaciones didácticas
que potencien el desarrollo del pensamiento matemático en los niños de tres
a cinco años.
Apoyar el desarrollo del pensamiento matemático es un trabajo que incluye
además de la aritmética, las otras ramas de la matemática como la
geometría. Cuando se minimiza la importancia de la enseñanza de la
geometría y se reducen los espacios para la enseñanza de ésta área, se
“priva a los alumnos de la posibilidad de conocer otro modo de pensar, se
les quita la oportunidad de vivir la experiencia de involucrarse con otras
formas de razonamiento, que son específicas de este dominio” (Itzcovich,
2005. p 10). Por lo que aprender geometría, no se puede reducir al
conocimiento o identificación de las figuras geométricas; saber geometría es
poder visualizar, comparar, comunicar, deducir, inferir, validar, argumentar,
etc., y este tipo de habilidades cognitivas, se pueden y deben desarrollar con
los alumnos de educación preescolar (Berdonneau, 2008; Bressan, Bogisic y
Crego, 2000; García y López, 2008)
13
Diferentes investigaciones como las del “National Association for the
Education of Young children” (NAEYC 2009) muestran la importancia de la
educación matemática en los niños en edad preescolar, debido al gran
potencial de desarrollo cognitivo de esta etapa. Atrás queda la idea de que la
capacidad de aprendizaje de los niños de tres a cinco años, es escasa y lo
relevante para ellos es favorecer espacios de socialización (Moreno, 2005).
A partir de estas consideraciones y mi propia experiencia profesional es que
el trabajo de investigación se realizará con docentes de Educación
Preescolar.
1.1 Identificación del problema
La concepción curricular con respecto a la enseñanza de las matemáticas se
ha ido modificando conforme a los referentes teóricos vigentes en nuestro
país en las distintas épocas. Algunos de estos tuvieron al objeto de
conocimiento –en este caso las matemáticas-, como centro del currículum y
del proceso educativo, otras el desarrollo cognitivo del niño y más
recientemente la interacción del niño con el objeto de conocimiento
matemático (Ávila, 2006; Block, Álvarez, 1999).
En la actualidad, estos diferentes enfoques de enseñanza de las
matemáticas, se pueden observar de manera yuxtapuesta en las aulas. De
tal forma que en el aula se pueden observar avances didácticos con
respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, junto con
prácticas rutinarias o memorísticas (Avila, 2006).
Estas prácticas tienen que ver tanto con el contacto que las docentes
tuvieron con las matemáticas en su rol de estudiantes como la manera en
que ellas han construido su idea acerca de lo que es enseñar y aprender
matemáticas a lo largo de su vida profesional (Llinares, 1998).
Algunas de estas prácticas se centran en la ostensión es decir “la
presentación de los objetos de enseñanza de tal forma que se proporcionan
de un solo golpe todos los elementos y relaciones constitutivas de la noción
prevista (Ávila, 2006). En esta perspectiva, el docente es quien posee el
14
conocimiento y lo muestra a través de una imagen o de una descripción del
contenido de que se trate y el niño, copia, repite o ejercita el contenido.
1.2 Los contratos didácticos en preescolar
Los estudios citados hacen referencia a la escuela primaria, pero mi
experiencia me permite hacer consideraciones similares para el nivel de
preescolar. En el caso de este nivel educativo, otras prácticas son totalmente
rutinarias, como las vinculadas con los hábitos de aseo, prácticas de cortesía
y modales a la hora de comer o actividades manuales que más que un
propósito educativo, su finalidad está en mostrar a los padres de familia el
trabajo que se realizó durante la jornada (Moreno, 2005, p.11). Con base en
esta mezcla de innovación y tradición, ¿Qué tipos de contratos didácticos se
establecen y siguen vigentes en la educación preescolar? Para responder,
vayamos al caso de la geometría.
Con respecto a esta rama de las matemáticas, se tienen actividades
“repetitivas y estereotipadas” (Tonucci, 2002). La educadora entrega a sus
alumnos diseños que ella elaboró previamente, y a ellos sólo les
corresponde colorearlos o rellenarlos. Regularmente estos diseños son
“modelos de fácil realización, estereotipados y pobres: la mariposa con dos
triángulos,… la casa rectangular con el techo triangular” (Tonucci, 2002). En
este tipo de actividades la actividad matemática se ve desplazada por la
actividad manual y estos diseños o representaciones gráficas de las figuras
geométricas se llegan a institucionalizar de tal forma que el alumno le asigna
propiedades que no corresponden a la figura geométrica, por ejemplo la
posición de la figura geométrica en la hoja de papel (Itzcovich, 2005).
Brousseau plantea que un contrato didáctico es “el conjunto de
comportamientos (específicos de los conocimientos enseñados) del maestro
que son esperados por el alumno y el conjunto de comportamientos del
alumno que son esperados por el maestro” (Brousseau en Ávila 2006).
De aquí que la forma en que la docente conciba al alumno influirá en la
forma de actuar de ella y la forma en que el alumno conciba a su docente
influirá en su manera de actuar. Si la concepción que se tiene del niño de
15
preescolar es la de un niño ingenuo, tierno, alegre, con necesidad de ayuda
y apoyo, con pocas posibilidades de expresarse y de comprender, entonces
se requiere de una docente que cuide, proteja, auxilie, ampare, asista, etc.
pero no que su propósito central sea educar y formar a estos niños de entre
tres y cinco años.
En los orígenes de la educación preescolar se pueden observar cómo se
fueron instituyendo este tipo de actitudes y prácticas que a la fecha
prevalecen.
En la década de1920, los niños menores de seis años no podían ni debían
asistir a la escuela elemental porque les perjudicaría “física, intelectual y
moralmente” (Ruíz, 1986). Se consideraba que los niños de esas edades
eran pequeños que por primera vez salían de su hogar, se alejaban de su
madre y lo que ellos necesitaban era socializar. La tarea de aprender las
primeras letras y números correspondía a la escuela elemental o primaria.
En el boletín de la SEP del mes de febrero de 1922, se publicó el reglamento
interior de las escuelas de párvulos o kindergarten; en este reglamento se
hace mención de que el kindergarden o escuela de párvulos no es una
escuela sino un espacio de transición entre la vida del hogar y la escolar.
Desde esta perspectiva se propuso entre otras cuestiones, aprovechar las
tendencias y actividades del niño para favorecer su desarrollo, ofrecer
espacios con carácter maternal en los que las actividades eran las
siguientes: observación de la naturaleza, cantos y juegos, dones y
ocupaciones adecuadas al medio, recitaciones y dramatizaciones, dibujo,
cultivo de plantas y cuidado de animales domésticos (Barrio, 2005). Esta
escuela preescolar surge bajo las ideas de Fiedrich Froebel como una
opción para que a los niños no se les perjudique en su vida social y puedan
asistir a una “institución intermediaria entre el hogar doméstico y la escuela
elemental” (Ruíz, 1986, p. 82)
En la reforma de 1981, las teorías psicogenéticas fueron el referente teórico
con respecto a la construcción del conocimiento, de tal forma que se
reconoce al niño como un sujeto que construye su conocimiento a partir de
la etapa de desarrollo cognitivo en que se encuentre. Para el caso del niño
16
de preescolar es el periodo preoperatorio. Sin embargo, en cada una de las
unidades de trabajo de ese entonces se incluyeron “notas que enfatizaban la
necesidad de trabajar las actividades cotidianas de música y movimiento, de
ejercicio físico y gráfico-plásticas” (Moreno 2005, p.17). Estas actividades
actualmente se han convertido en rutinas que incluso repiten los mismos
temas de programas anteriores como la casa, la familia o las estaciones del
año y siguen caracterizado a la educación preescolar.
En el Programa de Educación Preescolar 1992, el interés se puso en el
“subsistema alumno-saber” (Ávila, 2006), el niño se considera el centro del
proceso educativo y se hace hincapié en su proceso de desarrollo cognitivo;
la docente juega un doble papel, por un lado se le asigna el rol de guía y
promotora del proceso educativo, pero también se le otorga el papel de ser
“el referente afectivo a quien el niño transfiere sus sentimientos más
profundos” (SEP, 1992. p 15).
Es en el Programa de Educación Preescolar 2004 y en el “PE 2011”, en que
se retoma el papel de la docente como un “factor clave” en el diseño de
situaciones didácticas. Se asume que las educadoras a partir del
conocimiento de: las competencias establecidas en el programa; del empleo
de diferentes metodologías, así como del desarrollo cognitivo del niño, ellas
pueden diseñar situaciones didácticas que desarrollen las capacidades del
pensamiento de sus alumnos no sólo a partir de respetar sus intereses, sino
de generar el interés en estos por conocer y saber acerca de cosas
diferentes a su contexto cercano.
Todo lo anterior permite tener una idea de cómo el contrato didáctico que
prevalece en la educación preescolar tiene que ver con considerar que el
alumno posee escasos saberes y tiene poca necesidad de desarrollar sus
potencialidades cognitivas. De esta tarea se responsabilizará la educación
primaria.
En este contrato didáctico, la docente de preescolar juega dos roles
principales. Por un lado más que ser una profesional de la educación, es
considerada una “vice-madre” que se encargará de cuidar y de remplazar en
cierto sentido a la madre que el niño “está perdiendo” por tener que asistir a
17
la escuela (Tonucci, 2002). Por el otro lado es la que sabe y de manera
ostensiva presenta el contenido, explica de forma detallada, e indica lo que
se debe de hacer. El niño se concibe con insuficientes herramientas
cognitivas para desarrollar aprendizajes, habrá que “ayudarlo a madurar”
para que pueda acceder a conocimientos formales, por lo tanto observa,
copia, pega, colorea, repite y así se tienen las evidencias del trabajo en
clase que son los trabajos manuales (Moreno, 2005; véase también
Chamorro, 2008).
Respecto de este tipo de contrato didáctico, basado en la transmisión de
saberes, Brousseau (1986 citado por Ávila 2006) nos dice que se pueden
producir ciertos efectos como el deslizamiento cognitivo que es cuando los
medios de los que se vale la educadora para lograr un conocimiento se
convierten en el fin educativo desplazándose el objetivo original. Un ejemplo:
la educadora va a trabajar las propiedades del triángulo, cuadrado y
rectángulo, y plantea determinada situación tratando de hacer atractivo el
contenido matemático a los alumnos. Así, vinculado con el tema de la
primavera ellos trabajarán estas propiedades. Conforme se desarrolla el
tema, los niños utilizan la mayor parte del tiempo en hablar sobre la
primavera, los animales, los árboles, el clima y terminan la actividad con un
dibujo en el que hacen uso de las figuras geométricas para representar
motivos propios de la primavera (flores, árboles, el campo…). Las figuras
geométricas se utilizan, pero gran parte del proceso de enseñanza se centró
en las características de la primavera y no en descubrir las propiedades
geométricas de las figuras, éstas sólo se utilizaron para hacer una
representación plástica de la primavera. Se perdió el propósito matemático
planteado para la actividad.
Otro efecto que se puede producir en este tipo de contratos es el efecto
Topaze (Brousseau, 1986; cit. Por Ávila, 2006), conforme al cual la docente
hace preguntas de tal simplicidad que van diluyendo el saber hasta que la
respuesta es predeterminada por la pregunta. Un ejemplo de esto es el
siguiente:
18
Mtra: “A ver, ¿Qué figuras geométricas tiene su casa?” (Los niños no
responden). Mtra: Bueno, vamos a dibujar un triángulo arriba de un
rectángulo y ya tenemos nuestra casa (dibuja) ¿Ya vieron cómo quedó
nuestra casa?… ¿Qué figuras tenemos en nuestra casa? (si los niños no
logran producir la respuesta, la educadora se adelanta y dice): Tenemos un
triángulo y un rectángulo. ¿Y estas figuras tienen……..? (nuevo silencio)
¿Tienen tres lados…..? Ns: Sííí… ¿Verdad que fue muy interesante lo que
hicimos” Ns: Siiiii.
En este tipo de contratos didácticos, y las interacciones que de ellos derivan,
el papel del alumno y de la docente se centran en cuestiones que poco
tienen que ver con el desarrollo de las potencialidades cognitivas de los
alumnos del pensamiento geométrico. Su foco de atención es la obtención
de respuestas que en lograr aprendizajes (Ávila, 2006).
1.3 La formación de docentes
Un factor que interviene en las experiencias, con frecuencia limitadas, que
se ofrecen a los niños de preescolar, es la formación de las docentes de ese
nivel educativo. La formación inicial de las docentes de educación
preescolar, como maestras generalistas, es decir, maestras que tienen la
responsabilidad de impartir todos los campos formativos del currículum de
educación preescolar, comprende todos los campos educativos en los que
ellas realizan su intervención educativa. El plan de estudios vigente para la
formación de Licenciadas en educación preescolar, (entró en vigor en el ciclo
escolar 1999-2000)1, contempla en su mapa curricular que en el cuarto
semestre se imparta la asignatura “Pensamiento matemático infantil”. En el
programa y materiales de apoyo para el estudio de esta asignatura, se
presentan sus propósitos generales, los cuales dan prioridad a cuatro
aspectos:
la importancia de la intervención educativa para favorecer procesos
de adquisición de nociones matemáticas,
1Al momento de concluir el presente trabajo, entró en vigencia el Plan de estudios 2012 para la
formación de Licenciadas en Educación preescolar. Sin embargo no se incluyó como referente, por que al momento del diseño de este capítulo, el Plan de estudios vigente era el 2001.
19
la función de los problemas matemáticos.
dar herramientas para seleccionar diseñar y aplicar estrategias
didácticas y
desarrollar la sensibilidad para comunicarse con los niños, reconocer
conocimientos, habilidades y favorecer sus potencialidades.
Asimismo en el documento mencionado, se plantea que de acuerdo al perfil
de egreso de las educadoras, el curso se centrará en aspectos didácticos del
trabajo con las “nociones matemáticas básicas” y no se debe esperar un
curso de “matemática superior” (SEP, 2001).
Por lo que se refiere a los temas que se relacionan en específico con el
aspecto “espacio y geometría” (SEP, 2001, p.12) se busca que las
estudiantes normalistas analicen la vinculación entre las percepciones de los
niños y la elaboración del conocimiento matemático, el reconocimiento de
formas y figuras y el desplazamiento y ubicación de objetos.
En mi opinión, los contenidos planteados son insuficientes para desarrollar
en las futuras docentes, las competencias necesarias para la enseñanza de
las matemáticas. La revisión del programa muestra que sólo se consideran
como objeto de conocimiento aquellos contenidos de orden didáctico y no se
consideran contenidos de conocimiento matemático que ellas deben tener
para enseñar matemáticas a sus alumnos de educación preescolar.
Altet (2010, p. 36) dice que un profesor es “una persona autónoma dotada
de habilidades específicas, especializadas, ancladas en una base de
conocimientos racionales, reconocidos, procedentes de la ciencia
(legitimados por la academia), o de conocimientos explícitos surgidos de
distintas prácticas” La educadora se inició en la profesión a partir de su
formación académica, y su profesionalización la ha ido desarrollado a partir
de las interrelaciones con sus colegas y de los espacios de actualización en
que participa (Ávila, 2006)
El Estudio Internacional sobre Enseñanza y Aprendizaje (TALIS por sus
siglas en inglés), publicó los resultados que obtuvo de encuestas realizadas
a docentes de países miembros de la OCDE. Estos resultados, los publicó
20
en el documento “Creating Effective Teaching and Learning Enviroments”
(2009). La encuesta a la que aquí se hace referencia, tiene que ver con
respecto a la intensidad de participación de los docentes de Educación
Básica en espacios de desarrollo profesional.
México es el país miembro de la OCDE que dedica el mayor número de días
a la capacitación de sus docentes de Educación Básica. Los maestros de
nuestro país, reportaron que en los 18 meses previos a la aplicación de la
encuesta, tuvieron en promedio 34 días de participación en espacios de
desarrollo profesional. (OCDE, 2009, p. 52). Estos resultados, contrastan
con los resultados de países como Australia, Austria y Eslovenia en los que
sus profesores dijeron recibir alrededor de 10 días de desarrollo profesional
en el mismo lapso.
Ante estos reportes vale la pena cuestionar la efectividad de los eventos de
desarrollo profesional a los que asisten los docentes mexicanos.
1.4 ¿Qué es la geometría? ¿Qué favorece en los que la estudian?
La palabra geometría es polisémica. Etimológicamente, significa “medida de
la tierra”. El Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua (2001,
22ª edición) dice que la geometría viene de la palabra latina geometría y es
el estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras tanto en el
plano como en el espacio.
Dentro de un contexto educativo, García y López (2008), dicen que la
geometría es “la ciencia que modela el espacio que percibimos: cuadrados,
rectángulos, círculos, paralelas y perpendiculares son modelos teóricos de
objetos y relaciones que encontramos en nuestro entorno”. Para Berdonneau
(2008) Geometría es “el estudio de figuras (tridimensionales y planas, así
como la relación entre estos dos tipos de objetos) y de transformaciones
puntuales, en particular las translaciones, las simetrías, las rotaciones, las
homotecias y las similitudes”
En el Programa de Educación Preescolar vigente (PE, 2011), en el enfoque
del campo pensamiento matemático, con respecto al aspecto de forma, se
menciona:
21
El desarrollo de las nociones espaciales implica un proceso en el que
los alumnos establecen relaciones entre ellos y el espacio, con los objetos y
entre los objetos, relaciones que dan lugar al reconocimiento de atributos y a
la comparación, como base de los conceptos de forma, espacio y medida
(PE, 2011, p.53).
En los estándares curriculares de el National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), se dice que los niños de las primeras edades
deberían de reconocer y comparar propiedades geométricas de cuerpos
geométricos y figuras planas, así como aprender a construir y representar
formas geométricas, explorar para descomponer y componer formas con el
objeto de crear otras formas (tomado de Alsina, 2011).
Zalman Usiskin educador matemático y miembro del National Council of
Teachers of Mathematics de Estados Unidos de América, plantea que la
geometría es el dominio que:
a) Conecta las matemáticas con el mundo real, físico
(fundamental para numerosos campos.
b) Estudia visualmente las estructuras y los patrones
c) Representa fenómenos cuyo origen no es físico o visual (por
ejemplo los gráficos y las redes. (Usiskin en Sarama,J.
Clements, H. 2009, p.201)
En estas definiciones se encuentran términos que van de una geometría
puramente euclidiana, pasando por una geometría centrada en lo espacial y
finalmente dos posturas que parten del reconocimiento, la construcción y la
representación y su vinculación con el mundo real.
En el nivel de Educación Preescolar en México no están suficientemente
desarrollados los contenidos geométricos que se tienen que trabajar en este
nivel. Sin embargo un referente importante para muchos educadores en
matemáticas es el del NCTM en cuyos estándares se plantean:
En los estándares curriculares de el National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), se dice que los niños de las primeras edades etc.,
deberían de reconocer y comparar propiedades geométricas de cuerpos
22
geométricos y figuras planas, así como aprender a construir y representar
formas geométricas, explorar para descomponer y componer formas con el
objeto de crear otras formas (tomado de Alsina, 2011).
En este trabajo de investigación, nos centraremos en los aspectos de forma
y retomaremos la geometría como la rama de las matemáticas que
comprende el estudio de las diferentes representaciones de las figuras y
cuerpos geométricos: puntos, líneas, figuras abiertas o cerradas polígonos y
cuerpos geométricos, y sus movimientos como las rotaciones o
translaciones. El trabajo geométrico se considera un trabajo cognitivo que
implica procesos tales como la visualización, la construcción y el
razonamiento (Berdonneau, 2008., Duval, 2001).
Conceptualizar la geometría desde el planteamiento anterior, implica
considerar la enseñanza de diferentes nociones de geometrías:
Topológica
Proyectiva
Euclidiana
Métrica2 (Alsina, 2011; Berdonneau, 2008)
Y transitar de un trabajo perceptivo a un trabajo que favorezca el desarrollo
de procesos cognitivos en los alumnos de este nivel educativo.
Por todo lo anterior es pertinente plantear las siguientes preguntas:
¿Cuál es la importancia de trabajar la geometría desde la Educación
Preescolar? ¿Qué contenidos geométricos y de qué forma los deberían
abordar las educadoras? ¿Para qué necesitan saber geometría los niños de
este nivel?
Una mirada a nuestra realidad cercana, permite observar múltiples formas
geométricas en anuncios publicitarios, edificios, avenidas, fábricas; objetos
de uso cotidiano: como globos, cercas, jabones, vasos, donas, aros, platos,
escritorios, espirales, libros, etc.
2 Las clasificaciones geométricas so diferentes según los autores consultados, pero todos mencionan
las que aquí se registran.
23
¿Serán lo mismo un dado que una representación “esqueleto” del mismo
dado? ¿Qué hace que estos objetos sean semejantes o diferentes entre sí?
¿Cuáles de los objetos del párrafo anterior pueden deformarse y no perder
sus propiedades? ¿Cuáles transformaciones conservan las mismas
propiedades de las figuras: paralelismo, número de lados, medida de lados?
Para reconocer estas propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, no
basta con observarlos; es necesario coger, mover, desplazar, girar, rotar,
etc., comparar, y expresar lo que uno visualiza para que a partir de lo
anterior se puedan establecer las propiedades, las semejanzas y las
diferencias entre las diferentes representaciones geométricas.
Considerando lo anterior, en el ámbito de la educación preescolar, el estudio
de la geometría como parte del campo formativo Pensamiento matemático,
debería tener como uno de sus objetivos principales el apoyar el desarrollo
de habilidades cognitivas en los alumnos. Al respecto, Bressan (2000, p. 15)
dice: “La geometría ayuda a estimular y ejercitar habilidades de pensamiento
y estrategias de resolución de problemas. Da oportunidades para observar,
comparar, medir, conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir”.
Si el niño de Educación Preescolar está en plena construcción de las
representaciones de su espacio cercano, es de esperar que la labor docente
busque la interrelación de ese espacio físico con el espacio geométrico, “La
diferencia entre la geometría y el espacio consiste en que la geometría es
una modelización del espacio, mediante figuras y dibujos” (Fuenlabrada,
2005, p 65)
La docente de educación preescolar tendrá que ampliar los conocimientos
geométricos de sus alumnos a partir del diseño e implementación de
situaciones didácticas en las que ellos dibujen, transformen, comparen,
representen, construyan y reconstruyan figuras y cuerpos geométricos,
dialoguen entre ellos de tal forma que a partir de estas situaciones ellos
argumenten y comprueben sus aproximaciones.
Bruno D’ Amore retoma la teoría de los campos conceptuales de G.
Vergnaud y plantea que los campos conceptuales son “Grandes sistemas de
24
situaciones cuyo análisis y tratamiento requiere varios tipos de conceptos
procedimientos y representaciones simbólicas que están conectados unos
con otras”. Si pensamos que el estudio de la geometría es un campo
conceptual que requiere su construcción desde diferentes planos, el
topológico, proyectivo, euclídeo, métrico; su enseñanza no se puede reducir
a la presentación de las figuras o cuerpos geométricos, a la memorización
de su nombre ni a su medición; se trata de poner en juego los conceptos, las
propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, para lograr “el
establecimiento de imágenes, relaciones y razonamientos manejables
mentalmente” (Bressan, 2008, p. 17).
Así pues, la práctica docente con la geometría tendría que ir más allá del
simple conocimiento de los nombres de las figuras y cuerpos geométricos.
En ella se deben favorecer experiencias de carácter formativo que ofrezcan
oportunidades de desarrollo a partir de las experiencias de los niños con el
espacio, del estudio de las propiedades de las figuras, de sus
transformaciones, de sus desplazamientos o de sus proyecciones.
Trabajar la geometría mediante oportunidades interactivas, favorece que los
niños de entre tres y cinco años, vayan estableciendo las bases del
pensamiento geométrico que irán desarrollando a lo largo de su formación
académica.
1.5 La geometría en el Programa de educación preescolar 2011
El PE2011 plantea la misión y los logros para los tres grados de la
Educación Preescolar. Por su carácter nacional establece ocho propósitos
fundamentales que toman en cuenta la diversidad cultural y regional de
nuestro país.
Los propósitos de la educación preescolar, definen los logros que se espera
alcancen los niños al cursar los tres grados de este nivel educativo. Son el
principal componente de articulación entre los tres niveles de la Educación
Básica junto con los rasgos del perfil de egreso establecidos en el Plan de
Estudios 2011. Además tienen una relación directa con las competencias de
los campos formativos.
25
Por el interés central de este trabajo de investigación, la presentación de los
objetivos, estándares, competencias y aprendizajes esperados que aquí se
haga, se centraran en todos aquellos que tengan como referencia al campo
formativo “Pensamiento matemático”.
1.5.1. Estructura del campo formativo Pensamiento matemático
Este campo tiene como propósito que los niños:
Usen el razonamiento matemático en situaciones que demanden
establecer relaciones de correspondencia, cantidad y ubicación entre
objetos al contar, estimar, reconocer atributos, comparar y medir;
comprendan las relaciones entre los datos de un problema y usen
estrategias o procedimientos propios para resolverlos. (SEP, 2011, p.
18)
En este programa educativo, se incluyen estándares curriculares definidos
por la SEP como “descriptores de logro y definen aquello que los alumnos
demostrarán al concluir un periodo escolar”3 (Acuerdo 592). El primer
periodo escolar en el que los alumnos mostrarán sus aprendizajes es al
término del tercer grado de preescolar. Para el aspecto de forma espacio y
medida: se establecen los siguientes estándares curriculares:
Identifica los nombres y las propiedades de algunos objetos
bidimensionales comunes; por ejemplo, un cuadrado.
Usa algunos términos elementales para describir y comparar
características medibles de algunos objetos comunes; por ejemplo,
grande, largo, pequeño, frío, caliente, alto, lleno y vacío.
La presentación de este campo formativo es el punto de partida para el
trabajo matemático, en él se menciona lo que los niños de esta edad pueden
hacer, la importancia del contexto y las habilidades que se pretenden
desarrollar.
3 En toda la educación básica, se establecen cuatro periodos escolares, el tercer grado de preescolar
constituye el primer periodo a evaluar.
26
Por lo que respecta al apartado “Forma espacio y medida” hace referencia a
que:
El desarrollo de las nociones espaciales implica un proceso en el que
los alumnos establecen relaciones entre ellos y el espacio, con los
objetos y entre los objetos, relaciones que dan lugar al reconocimiento
de atributos y a la comparación, como base de los conceptos de
forma, espacio y medida… La construcción de nociones de forma,
espacio y medida en la educación preescolar está íntimamente ligada
a las experiencias que propicien la manipulación y comparación de
materiales de diversos tipos, formas y dimensiones, la representación
y reproducción de cuerpos, objetos y figuras, y el reconocimiento de
sus propiedades”. (SEP, 2011, pp.53 y 54).
Se recomienda el trabajo con el dibujo y las construcciones plásticas
tridimensionales como un recurso fundamental.
1.5.1.1 Competencias y aprendizajes esperados de Pensamiento
matemático
En el PE 11 se reconoce la importancia de favorecer aprendizajes integrales
en los alumnos, pero se hace hincapié en la importancia de identificar
aquellas actividades educativas que pertenezcan primordialmente a cada
uno de los campos formativos. Con esta intención las competencias se
organizan por campo formativo.
Este campo se organiza en dos aspectos: Número y Forma espacio y
medida, con las respectivas competencias a desarrollar en los alumnos.
Campo formativo Pensamiento matemático
Aspectos en los que se organiza el campo
formativo
Número Forma espacio y
medida
27
Co
mp
ete
nci
as
Utiliza los números en
situaciones variadas que
implican poner en juego los
principios del conteo
Construye sistemas de
referencia en relación
con la ubicación
espacial.
Resuelve problemas en
situaciones que le son
familiares y que implican
agregar, reunir, quitar,
igualar, comparar y repartir
objetos.
Identifica regularidades
en una secuencia, a
partir de criterios de
repetición, crecimiento
y ordenamiento.
Reúne información sobre
criterios acordados,
representa gráficamente
dicha información y la
interpreta
Construye objetos y
figuras geométricas
tomando en cuenta sus
características..
Utiliza unidades no
convencionales para
resolver problemas que
implican medir
magnitudes de longitud,
capacidad, peso y
tiempo. Identifica para
qué sirven algunos
instrumentos de
medición.
Cuadro tomado del PE 11 p: 57
Para cada competencia se determinan los aprendizajes esperados, estos se
definen como “los indicadores de logro, que en términos de la temporalidad
establecida en los programas de estudio, definen lo que se espera de cada
alumno en términos de saber, saber hacer y saber ser”.
28
Para la competencia: Construye objetos y figuras geométricas tomando en
cuenta sus características, se presentan los siguientes aprendizajes
esperados:
Hace referencia a diversas formas que observa en su entorno y
dice en qué otros objetos se ven esas mismas formas.
Observa, nombra, compara objetos y figuras geométricas;
describe sus atributos con su propio lenguaje y adopta
paulatinamente un lenguaje convencional (caras planas y
curvas, lados rectos y curvos, lados cortos y largos); nombra
las figuras.
Describe semejanzas y diferencias que observa al comparar
objetos de su entorno, así como figuras geométricas entre sí.
Reconoce, dibuja –con uso de retículas– y modela formas
geométricas (planas y con volumen) en diversas posiciones.
Construye figuras geométricas doblando o cortando, uniendo y
separando sus partes, juntando varias veces una misma figura.
Usa y combina formas geométricas para formar otras
Realiza figuras simétricas mediante doblado, recortado y uso
de retículas (SEP, 2011, p.59)
Los propósitos, los estándares, las competencias y los aprendizajes
esperados, son los referentes curriculares con los que cuenta la educadora
para sustentar y desarrollar las situaciones de aprendizaje para sus
alumnos.
En el siguiente cuadro se concentran los elementos mencionados en el
párrafo anterior, con la finalidad de tener en una sola mirada los elementos
que conforman este aspecto del campo pensamiento matemático.
Cuadro 2
29
1.5.2 Comentarios al programa:
Los contenidos de espacio tienen mayor especificidad en el programa
de Educación preescolar. Por el contrario, lo que se refiere a los
criterios didácticos para el desarrollo y aprendizaje de los contenidos
de forma, quedan diluidos dentro de las observaciones para el
desarrollo de las nociones espaciales. El texto se presenta así:
El desarrollo de las nociones espaciales implica un proceso en
el que los alumnos establecen relaciones entre ellos y el
espacio, con los objetos y entre los objetos, relaciones que dan
lugar al reconocimiento de atributos y a la comparación, como
base de los conceptos de forma, espacio y medida. En estos
Identifica los nombres y las propiedaddes de algunos objetos bidimensionales comunes; por ejemplo un
cuadrado. (estandar)
Construye objetos y figuras geométricas tomando en cuenta sus
características (competencia)
Hace referencia a diversas formas que observa en su
entorno y dice en qué otros objetos se ven esas mismas
formas
Describe semejanzas y diferencias que observa al
comparar objetos de su entorno, así como figuras
geométricas entre sí
Observa, nombra, compara objetos y figuras
geométricas; describe sus atributos con su propio
lenguaje y adopta paulatinamente un lenguaje convencional (caras planas y curvas, lados rectos y curvos,
lados cortos y largos); nombra las figuras.
Construye figuras geométricas doblando o
cortando, uniendo y separando sus
partes, juntando varias veces una
misma figura
Reconoce, dibuja –con uso de retículas– y modela
formas geométricas (planas y con volumen) en diversas
posiciones
Usa y combina formas
geométricas para formar
otras
Realiza figuras simétricas mediante doblado,
recortado y uso de
retículas
Usen el razonamiento matemático en situaciones que demanden
establecer relaciones de correspondencia cantidad y ubicación entre
objetos al contar, estimar, reconocer atributos, comparar y medir;
comprendan las relaciones entre los datos de un problema y usen
estrategias o procedimientos propios para resolverlos. (Propósito)
(SEP, 2011, p. 18)
30
procesos cada vez van siendo más capaces, por ejemplo, de
reconocer y nombrar los objetos de su mundo inmediato y sus
propiedades o cualidades geométricas (forma, tamaño, número
de lados), de utilizar referentes para la ubicación en el espacio,
así como de estimar distancias que pueden recorrer o imaginar.
(PE, 2011, p.53)
La construcción de nociones de forma, espacio y medida en la
educación preescolar está íntimamente ligada a las
experiencias que propicien la manipulación y comparación de
materiales de diversos tipos, formas y dimensiones, la
representación y reproducción de cuerpos, objetos y figuras, y
el reconocimiento de sus propiedades. Para estas experiencias
constituye un recurso fundamental el dibujo, las construcciones
plásticas tridimensionales y el uso de unidades de medida no
convencionales (un vaso para capacidad, un cordón para
longitud).
En estos dos párrafos del programa en que se hace referencia a
cuestiones de geometría. Se `puede advertir que las propiedades o
cualidades geométricas forman parte de las nociones espaciales, lo
cual no es del todo cierto, ya que tanto las nociones espaciales de
ubicación y las nociones de forma son componentes de la geometría.
No basta con ubicarse espacialmente para lograr aprendizajes de
forma.
Los conocimientos espaciales permiten al alumno conocer su posición
en el entorno, desplazarse en él con una dirección determinada. Los
conocimientos de forma tienen que ver con el reconocimiento y
comparación de las propiedades de las figuras y los cuerpos
geométricos.
Alsina (2011) dice que:
31
Para aprender a situarse y desplazarse en el espacio, y para
aprender a representarlo, no basta con reconocer nociones
espaciales básicas y relacionarlas, sino que también son
imprescindibles las operaciones geométricas, llamadas
transformaciones geométricas, que permiten cambiar la
posición como los giros (rotaciones) las simetrías (reflexiones)
o bien las traslaciones (deslizamientos) (2011, p.15).
Con base en este comentario, en mi opinión, es necesario que en el
programa se establezca en los aprendizajes esperados la vinculación
entre estos dos aspectos de la geometría para favorecer las
competencias geométricas de los alumnos.
Al analizar los aprendizajes esperados para favorecer la competencia
referida al aspecto de forma espacio y medida, se puede entrever el
reconocimiento de diferentes geometrías: proyectiva, euclídea y
métrica. (Alsina, 2011; Berdonneau, 2008; Vecino, 2008)
Esto es un gran avance con respecto a considerar para su enseñanza
sólo una geometría, que regularmente era la euclidiana. Sería
conveniente que la geometría topológica, la cual se refiere “al conjunto de
propiedades geométricas que no varían cuando se realiza una
deformación” (Alsina, 2011, p.108) - dentro, fuera, interno, externo,
abierto cerrado - tuviera presencia dentro de los aprendizajes de forma,
ya que se entrevé en los aprendizajes de espacio y ésta junto con la
geometría proyectiva, pueden ser puntos de enlace entre los contenidos
de ubicación y los de forma.
Con la finalidad de tener mayor claridad con respecto al tipo de
interacciones matemáticas que se deben favorecer en la educación
preescolar, sería conveniente presentar con mayor precisión los
contenidos y las implicaciones didácticas de cada geometría.
Las sugerencias didácticas que propone el programa para reconocer
las propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, pueden ser
retomadas por las educadoras como actividades geométricas en las
que lo matemático se diluye por la prioridad sensorial o plástica. Es
32
importante hacer hincapié en la diferencia entre las propiedades
geométricas de un objeto y aquellas propiedades sensoriales o físicas
que también se pueden encontrar en los objetos. Por ejemplo: un
cuadrado independientemente de la posición o del tamaño en que se
haya dibujado no dejará de tener cuatro lados de la misma longitud en
cada caso.
1.6. La geometría en lo cotidiano del preescolar
Las reformas curriculares no se concluyen con la publicación de los nuevos
materiales ni tampoco se puede reducir su significado a la sola publicación
de dichos materiales. Una reforma curricular implica lo que la escuela, las
docentes, alumnos y el contexto hacen con estas modificaciones
curriculares, en ocasiones estos contenidos novedosos se pueden ver
reducidos o reinterpretados radicalmente (Ávila, 2006) a partir de la cultura
del nivel de que se trate. Sacristán nos dice que “El currículum como
proyecto concretado en un plan construido y ordenado hace relación a la
conexión entre unos principios y una realización de los mismos, algo que ha
de comprobarse y que en esa expresión práctica es donde concreta su valor”
(2007, p. 16) el programa de estudios del campo formativo pensamiento
matemático se diseñó y se introdujo en los jardines de niños, su concreción
se da a partir de lo que las educadoras realizan en el aula cuando lo
desarrollan.
La investigación que se desarrollará a partir de la instrumentación de un
taller de geometría tendrá la intención de conocer y reflexionar sobre cómo
aprenden las docentes y de qué manera sus concepciones, y conocimientos
se reflejan en su práctica cotidiana en el aula. La dificultad que esto entraña
reside en poder identificar aquellos elementos de su enseñanza que son
producto de su práctica o los que son de la teoría, así como la manera en
que el contexto influye en la toma de decisiones del qué y cómo enseñar de
la educadora (Llinares, 1996).
Con la finalidad de contar con evidencias documentadas acerca de las
concepciones sobre la geometría que se tienen y el trabajo con los
contenidos geométricos que se realizan en las aulas de educación
33
preescolar, se llevaron a cabo entrevistas a cuatro docentes y ocho alumnos
de educación preescolar. A continuación se registran parte de las entrevistas
que se realizaron con el fin de tener una primera aproximación a las
concepciones de las docentes acerca de lo que es la geometría, para qué la
trabajan y las formas o métodos que utilizan para su enseñanza. En cuanto a
los alumnos la idea es registrar los significados y los sentidos que están
construyendo con respecto a la geometría a partir de su aprendizaje en el
aula. Un ejemplo:
Entrevistador Docente
¿Para qué sirve enseñar geometría? Pues me parece que para identificarlas
[las figuras]
Una identificación. ¿Cómo un primer
acercamiento nada más?
Sí… Bueno… y a lo mejor para
desarrollar la creatividad” (Docente 3º
preesc.)
¿Por qué?
Porque yo lo que hago con los niños [es
que ] parto de la hoja, de doblar la hoja
con diferentes dobleces y entonces ya
vamos obteniendo las figuras del
cuadrado, del triángulo… no sé… y
después con esas figuras ya los pongo a
que formen algo y ya se les ocurre lo que
sea.
En estas respuestas se infiere que la docente considera que su propósito
educativo con la geometría queda cubierto cuando el niño a partir de criterios
perceptivos es capaz de mencionar el nombre de las figuras e identificarlas.
En este caso, el trabajo matemático, que desde la perspectiva de la docente
se está realizando, es similar a una sesión de recorte y pegado que el niño
bien puede realizar en cualquier otro espacio, diferente a la escuela una
sesión de geometría, por ejemplo un taller en el parque de su casa o él
mismo con sus hermanos o amigos.
En la intención didáctica de esta profesora no se observa que los niños
identifiquen características y propiedades de las figuras geométricas como
lados rectos o curvos, largos o cortos, figura abierta o cerrada, etc. o que se
34
den cuenta de que la unión de varios de ellos puede dar lugar a un polígono
diferente.
El trabajo geométrico requiere de comparaciones de una figura con otra,
comunicar y describir a los otros las propiedades que se observan o las que
no se observan, discusiones con respecto a lo observado, manipular y
transformar figuras geométricas y razonar matemáticamente a partir de lo
que sucede, etc., de tal forma que permita a los alumnos, entre otras cosas,
“avanzar en el desarrollo del conocimiento de ese espacio, para que en un
momento dado pueda prescindir de él y manejar mentalmente imágenes de
figuras y relaciones geométricas” (García, 2008: 29).
En las entrevistas a alumnos de Preescolar recibimos las siguientes
respuestas:
Entrevistador Alumnos
Las figuras geométricas para qué sirven Para dibujar una casa
o para hacer pescaditos
¿Y para otra cosa más?
Para un muñeco de nieve (Jesús SMT)
¿Para qué servirá aprenderse cuál es el
triángulo, el rectángulo?
Para pegarlos
Y luego, ¿Cuándo los pegas que haces con
ellos?
Figuras
ENTREVISTA 2
¿Para qué otra cosa servirá? Para saber las figuras geométricas, para
hacer figuras como animales o personas
(niña de cinco años )
35
ENTREVISTA 3
Entrevistadora Alumnos
¿Cómo haces una casita con las
figuras?
El cuadrado, digo el rectángulo lo pongo
abajo y arriba pongo el cuadrado (Dibuja
un cuadrado y un triángulo en la parte
superior del primero) (niño cinco años)
¿Y arriba qué figura tiene? Un rectángulo. (En realidad es un triángulo) (niño cinco años)
ENTREVISTA 4
¿Cómo haces una casita con las figuras? El cuadrado, digo el rectángulo lo pongo
abajo y arriba pongo el cuadrado.
(Dibuja un cuadrado y un triángulo en la
parte superior) (niño cinco años)
ENTREVISTA 5
¿En qué son diferentes el triángulo y el
círculo?
El triángulo se parece al techo de la
casa SMT
Pero mi casa no tiene un techo de
triángulo
La mía sí (niña cinco años)
Oye, ¿por aquí todas las casas tienen
triángulos de techo?
Porque hay unos techos así (junta sus
manos para hacer la forma de pico). Yo
lo tengo así porque un palo está
subiendo un papelito (arriba del techo)
(niño cinco años)
También la mía porque como tenemos
el tambo arriba, nos subimos en una
escalera a ver los aviones el día de la
bandera (niña cinco años ).
Dice Brousseau que: “un medio sin intenciones didácticas es claramente
insuficiente para inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que
se desea que él adquiera (1997, p.31).
La intención didáctica que los niños mencionan con las figuras geométricas
es la elaboración manual de otras figuras: casas, pescaditos o muñecos de
nieve. El reconocimiento de las figuras geométricas - en este caso polígonos
- a partir de repetir el nombre del polígono, o su presentación gráfica por
parte de la maestra, o la elaboración de alguna manualidad a partir de ellos
(prácticas frecuentes en las aulas de educación preescolar), limitan los
alcances matemáticos de la geometría. Estas aproximaciones, son un primer
36
acercamiento al objeto matemático pero no son suficientes para su
aprendizaje.
Las analogías que los niños establecen entre las figuras geométricas y sus
casas, no corresponden a su realidad, ya que las casas de las colonias
donde realicé las entrevistas son casas de una a tres plantas que no tienen
techos inclinados. Sin embargo, los alumnos justifican que su casa cumple
con las características del triángulo porque tienen un objeto (tambo y un
palo) sobre la azotea que posiblemente represente el vértice del triángulo.
Este tipo de dibujos de la “casita”, se han convertido en estereotipos, que
probablemente limitan u obstaculizan el aprendizaje geométrico.
La geometría es un contenido matemático que requiere del desafío, requiere
que los alumnos construyan, visualicen, comparen, transformen, midan,
clasifiquen, discutan, analicen, reflexionen, se aproximen a las propiedades
de las figuras geométricas (Bressan, 2000; García, 2008; Godino, 2011) .
Por sí mismo un trabajo geométrico favorece el desarrollo del pensamiento
deductivo y en este nivel se puede promover la reflexión y el análisis que
finalmente en etapas avanzadas de otros niveles promueven este tipo de
pensamiento; sin embargo al desarrollar un trabajo donde el contenido
matemático se diluye entre actividades plásticas, pierde la oportunidad de
favorecer este tipo de pensamiento en el alumno. (Duval, 2001).
Es importante dejar claro que no se está cuestionando el uso de materiales o
la elaboración de dibujos o trabajos manuales a partir de figuras
geométricas, el punto central es cuestionarse acerca del trabajo matemático
que se realiza con él. Los niños de este nivel requieren del uso de materiales
y de analogías para acercarse a los conocimientos. Los primeros permiten
dar concreción a las ideas, las segundas son un apoyo para construir
significados (esta figura se parece a una maceta, por ejemplo). Los
problemas surgen cuando los materiales se convierten en el fin y no en el
medio y cuando las analogías que se utilizan no corresponden a la realidad
de los niños y ellos tratan de hacerlas corresponder con las figuras que se
trabajan y se llegan a institucionalizar en la escuela.
37
Dorothy Cohen (2001) comenta una experiencia de un niño que recogió
bellotas durante un paseo por el bosque y que al regresar su padre le
pregunta si sabe de donde procedían dichas bellotas. El niño dice que de la
hierba, su padre le explica la procedencia de la bellotas y el niño dice que si
su maestra de este año fuera la que tuvo el año pasado, seguramente se lo
habría explicado, pero la de este año seguramente no lo sabe. Los niños
tienen conciencia de que aprenden y van a la escuela a aprender. Sin
embargo, a menudo las situaciones de aprendizaje que se desarrollan en las
aulas de este nivel, pierden la intención educativa y son sustituidas por
meras situaciones de ostensión o de intercambio de información.
La misma Dorothy Cohen dice “El contenido intelectual se desarrolla en el
jardín de niños por medio de muchas actividades dirigidas por la maestra,
específicamente tendientes a los procesos mentales y a la recolección de
datos, así como mediante el apoyo de los juegos infantiles” (2001, p. 121).
La gran virtud que tienen las matemáticas, y en este caso la geometría, es la
posibilidad concreta de que el niño manipule, observe e identifique algunas
características geométricas a partir de objetos concretos; él puede ver cómo
la unión de dos triángulos forman otra figura llamada cuadrado o rectángulo,
puede notar que los cuerpos geométricos con caras curvas ruedan y los
cuerpos con caras planas se deslizan. Tal como Cohen lo menciona, el
trabajo en el aula tendría que apuntar al desarrollo de habilidades cognitivas
a partir de la intervención docente quien es la responsable directa de diseñar
y coordinar las situaciones didácticas al seleccionar, organizar y tomar
decisiones con referencia a los contenidos y la manera en que los va a
desarrollar.
“Enseñar es una tarea compleja. Quienes están en las aulas
resuelven problemas y toman decisiones todo el tiempo… Es ingenuo
(o erróneo) creer que los alumnos aprenden interactuando con los
recursos sin tener en cuenta las interacciones entre ellos y el papel
central del maestro como conductor del proceso” (Parra, 2008, p.9)
Bajo esta perspectiva es que se considera que en la Educación Preescolar,
el conocimiento del objeto matemático y el conocimiento de este objeto
38
matemático como objeto de enseñanza son dos condiciones relevantes en el
desarrollo de situaciones didácticas que busquen formar a los alumnos y no
sólo informarlos o entretenerlos.
39
Capítulo 2.
Marco teórico
2.1 La profesionalización de la función docente
En la actualidad la sociedad se ha modificado intensamente en lo social,
económico, tecnológico político y cultural. Frente a la intensidad y
velocidad de los cambios, la escuela se encuentra ante una gran
incertidumbre con respecto a cuál es la función y lugar del quehacer
educativo en la sociedad (Coll, 1999., Tedesco, 2010).
Algunas instituciones de investigación educativa, para dar respuesta a los
cambios sociales, han generado diversas propuestas teóricas que
pretenden apoyar el quehacer docente. Esta diversidad de propuestas
acerca de lo que es el quehacer docente o lo que significa o entraña ser
profesional de la educación, se convierte en un desafío para la escuela, al
tener que enfrentarse a una gran variedad de propuestas teóricas,
diferentes entre sí, con respecto a la forma de desarrollar su labor
educativa.
Ante esta situación, ¿cómo apoyar en la construcción de respuestas a
estas nuevas exigencias para el docente del siglo XXI?, ¿qué se entiende
por profesionalizar?, ¿qué caracteriza al profesional de la educación y en
particular a las docentes de preescolar con respecto al conocimiento
matemático en general y del geométrico en particular?
El término educación según la Real Academia Española (en adelante
RAE) viene del verbo educar que significa: dirigir, encaminar doctrinar.
Coll (1999) dice que la educación es un concepto amplio que designa un
conjunto de actividades y prácticas sociales a través de las cuales los
humanos promueven el desarrollo personal y social de los miembros.
Asumiendo que la educación es algo que desborda la escuela, pero que
con el surgimiento de la educación escolar y con él, el del profesional de
la educación; las tareas de formación escolar que se desarrollan
40
específicamente en el aula, recaen en este profesional de la educación.
¿Cómo se desarrolla o forma este profesional de la educación?
En 1994, Perrenoud planteó que la profesionalización es la
“transformación de un oficio en profesión”. Esta transformación en
profesión implica una formación teórica de alto nivel, la confrontación de
los saberes que se tienen y la construcción de esquemas de análisis y
decisión (cf. Perrenoud, 1994). La RAE define el término transformación
como “hacer cambiar de forma a alguien o algo”; por progresivo “que
avanza, favorece el avance o lo procura”. Por lo que ser profesional tiene
que ver con alguien, en este caso la docente de preescolar, que actúa de
manera continua para lograr avances en su profesión.
Cuando esto no sucede y se cae en una práctica rutinaria, en una
ejecución sin reflexión, ocurre lo que Perrenoud llama “proletarización del
profesorado”. El docente aplica el programa y desarrolla las mismas
tareas que desarrolló con grupos de alumnos de cursos anteriores, sin
reparar en las diferencias que puedan existir entre ellos.
Por su parte, Charlier (1992), plantea que un maestro profesional es aquel
que en función de un proyecto definido tiene la capacidad de reconocer y
articular diferentes datos que le permiten valorar la situación de
formación. Prevé, selecciona, pone en práctica de acuerdo a una
planeación y conforme al desarrollo de la situación. Es decir, reflexiona
durante la acción y adapta constantemente su acción.
Por lo anterior, las habilidades de un profesional de la educación, tienen
que ver con aquellas que lo hacen más competente en el desempeño de
su labor educativa. Esta serie de habilidades profesionales se van
desarrollando a lo largo de su vida académica y profesional y son tanto
del orden “cognitivo, afectivo, como del conativo y práctico. Asimismo,
éstas son dobles: de orden técnico y didáctico” (Altet, 2010).
En virtud de lo anterior, diseñar un programa de formación que desarrolle
esas habilidades profesionales se vuelve sumamente complejo. Ya que
los factores que llevan a un docente a decidir entre una u otra actividad
41
tiene que ver con factores de índole cultural, personal o institucional que
subyacen en su acción.
El campo de la formación docente se abre de tal forma que tratar de
posibilitar una formación completa e integral es sumamente difícil, se
debe elegir de entre las posibles, aquellas que hacen competente al
docente en el desempeño de su labor educativa dentro del contexto
actual, reconociendo que la tarea de enseñar no es ni debe reducirse a la
transmisión de contenidos o a la aplicación de un método determinado.
En este trabajo de investigación nos centraremos en el aprendizaje y la
enseñanza de la geometría, en particular con docentes de educación
preescolar. Reconocemos que existen otros factores, como el contexto
del nivel educativo y los propósitos personales de las educadoras, que
son factores potentes que influyen en la práctica docente y que tienen un
poder de determinación importante sobre ella. Sin embargo, aun sabiendo
que no todo se resuelve con ello, en este trabajo nos centraremos en
primer lugar en los conocimientos geométricos que una educadora debe
manejar para impartir esta rama de las matemáticas y en segundo lugar
en el conocimiento pedagógico útil para enseñar estos contenidos
geométricos.
2.2 El conocimiento profesional en las docentes
Profesionalmente, las docentes de educación preescolar se enfrentan a
diversos problemas de orden curricular: uno de ellos es el dominio de los
contenidos de los programas educativos de su nivel y otro los tipos de
conocimientos, habilidades y actitudes que le demandan los cambios
curriculares, así como la relación del preescolar con la educación básica.
Estos contenidos y cambios curriculares les demandan nuevas
competencias que son muy distintas a las que ellas desarrollaron durante
su vida académica. Llinares (2007) plantea que no es factible esperar que
al egresar de la licenciatura, las docentes salgan como expertas en la
enseñanza de las matemáticas. Por esta razón se debe priorizar el
desarrollo de conocimientos de contenido disciplinar (matemático) y
42
pedagógico, y destrezas como la capacidad de construir nuevo
conocimiento acerca de la enseñanza de las matemáticas a partir del
análisis e interpretación de la práctica o la de asumir una postura crítica
con respecto a sus creencias y conocimientos.
El conocimiento de contenido conceptual, se refiere al conocimiento de
las matemáticas como disciplina, el cual tiene un carácter abstracto,
propio de la ciencia matemática; el conocimiento pedagógico es un
conocimiento mucho más concreto, que le permite a la docente adaptar el
contenido conceptual a las necesidades de sus alumnos, se basa en las
concepciones que las educadoras poseen acerca de lo que es la práctica
docente (Azcarate, 1998; Llinares, 1996, 2007; Perrenoud, 1984). Altet
(2005) incluye en este conocimiento pedagógico el conocimiento
necesario para enseñar, es decir la metodología de enseñanza.
Las educadoras han construido el primer tipo de conocimiento (el
matemático) durante su participación en prácticas de aprendizaje de las
matemáticas en su formación inicial; los otros conocimientos los han
construido a partir de las interacciones en su “comunidad de práctica
profesional” (Llinares, 1999. p 110). En esta comunidad asiste a
actividades de formación, comparte e interpreta el currículum con sus
colegas, gestiona procesos de enseñanza y aprendizaje a partir de lo que
el currículum establece y lo que ella considera es la función formativa de
la educación preescolar para sus alumnos.
A estos conocimientos se les conoce como “conocimientos profesionales”
(Llinares, 2005) y se destaca la importancia de estos conocimientos en el
hecho de que a partir de ellos, las educadoras los usan como
instrumentos conceptuales que sirven de referencia para interpretar
diferentes situaciones de su práctica, tales como: la organización del
contenido matemático, la forma en que gestionan el aprendizaje de las
matemáticas, el análisis e interpretación que hacen de las producciones
matemáticas de sus alumnos y la toma de decisiones (Llinares, 1998,
2009).
43
2.2.1 El contexto en el aprendizaje de la educadora
Ya se comentó, que las docentes poseen un determinado conocimiento
profesional que les sirve de referencia en su práctica docente. Es
conveniente ahora plantear la postura que se adoptará en este trabajo de
investigación con respecto a las implicaciones para generar conocimiento
desde un proceso de desarrollo profesional.
Existen teorías del aprendizaje, que consideran que el contexto en el que
se propician los aprendizajes, es sólo un elemento accesorio, pero que no
es determinante e incluso lo consideran neutral con respecto a lo que se
aprende. Investigaciones más recientes, cuestionan esta postura y
plantean que el contexto es una parte integral y fundamental del
aprendizaje (Brown, et al. 1989, Llinares, 1999).
Putnam & Borko (2000), puntualizan la relación que existe entre el
conocimiento que se tiene de algo y el uso que se le da en un
determinado contexto. Ellos mencionan que en los procesos de
aprendizaje, el papel de los otros, va más allá del simple estímulo o el
aliento, y es más un proceso de enculturación, en el que esas
interacciones dadas en un determinado contexto, son las que van a
determinar lo que se aprende y cómo se aprende.
Las docentes de educación preescolar, desarrollan una determinada
práctica docente que es reflejo de la cultura propia de su nivel. Esta
cultura también determina la forma en que las docentes ven y
comprenden su práctica, la manera en que desarrollan determinadas
prácticas, como por ejemplo la organización del contenido matemático, el
tipo de actividades matemáticas o la interacción de ellas con sus alumnos.
Actividad, concepto y cultura son interdependientes”, dice esta
investigadora (Brown, et al., p. 23.1989).
Desde esta mirada de lo que se implica en el aprendizaje, no podemos
reducir el término a la adquisición de conocimientos disciplinares. Al
referirnos al aprendizaje, retomamos el concepto que Llinares (1999) nos
ofrece: “Aprender se ve como la transformación de la persona mediante la
44
participación creciente en prácticas sociales en función de la naturaleza
de las tareas y actividades que resuelven” (p. 9). Es importante tener
entonces claridad con respecto a que los aprendizajes que se pretende
desarrollar en las educadoras van más allá de la adquisición de
“conceptos inermes” y que lo que se busca son el desarrollo de
conocimientos útiles y fuertes. (Brown, et al. 1989). Estos conocimientos
que se consideran necesarios, deberán de favorecerse en contextos que
sean significativos para las docentes,
Al hablar de conocimientos fuertes y útiles nos referimos a que estos
aprendizajes deberán buscar cambios en la manera en que las docentes
participan o desarrollan su práctica docente con respecto a la geometría;
se trata de que ellas comprendan la enseñanza de la geometría y
aprendan a realizar y justificar tareas geométricas valiosas para el
aprendizaje y la formación de sus alumnos.
A estos dos elementos se le llamarán instrumentos conceptuales y
técnicos para la enseñanza de la geometría. Los instrumentos
conceptuales son los que le permiten realizar interpretaciones de lo que
sucede en su práctica y los instrumentos técnicos la proveen de medios
para desarrollar su práctica y su uso en la cotidianeidad, dado que estos
dos instrumentos condicionan las interacciones que se dan en el aula, se
deberán de considerar elementos esenciales en el proceso de aprender a
enseñar geometría (Llinares, 2005, 2007).
Desde esta mirada, el propósito del taller de formación en el que se
sustenta esta tesis, será la de generar ambientes a través de situaciones
didácticas que retomen tanto los conocimientos conceptuales y
pedagógicos del contenido geométrico, como el contexto en el que la
educadora ha construido estos saberes. Esto con el fin de potencializar el
desarrollo profesional de las educadoras procurando que desarrollen la
capacidad de construir nuevos instrumentos conceptuales y técnicos a
partir de su propia práctica.
Llinares (2007) plantea que en un taller de formación, en este caso con
respecto a la geometría, se deben priorizar los siguientes aspectos:
45
subrayar la idea de que la enseñanza de las matemáticas (en nuestro
caso la geometría) es una práctica que debe ser comprendida,
identificar el papel que pueden desempeñar los conocimientos
conceptuales y técnicos en el desarrollo de los procesos de interpretación
de la práctica y
reconocer la relación entre lo social y lo personal en el proceso de
aprendizaje continuo el cual se refleja a través del desarrollo de procesos
e interacción entre las personas.
La intención primordial del programa de formación, será lograr que a partir
de las situaciones didácticas que se propongan en el taller de formación
en geometría, éstas permitan o favorezcan en las participantes la
capacidad de relacionar sus propias concepciones geométricas con los
contenidos conceptuales y metodológicos que se pretende que ellas se
apropien, de tal forma que se logre la transformación de sus
conocimientos y éstos les sirvan como instrumentos en la enseñanza de
la geometría; en la medida en que los instrumentos conceptuales logren
sustituir sus concepciones previas, la práctica del futuro profesor se
aproximará a una dimensión más profesional(Llinares, 2004).
Todo esto se convierte en un fuerte desafío para el diseño del taller de
formación, ya que las propias concepciones de las docentes pueden
limitar u obstaculizar estos aprendizajes. Lo que ellas “creen que saben” y
sus creencias sobre las matemáticas escolares, el aprendizaje, la
enseñanza y el papel de ellas como docentes de la educación preescolar,
se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos
conceptuales.
Lograr el tránsito del discurso conceptual al uso eficaz en el aula de los
instrumentos conceptuales y técnicos, será la diferencia entre sólo
“conocer” y “usar” (Llinares, 2004).
46
2.3 Las situaciones didácticas en un proceso de formación
Recién hicimos algunas consideraciones para plantear un taller de
formación de educadoras con respecto de los saberes geométricos y su
enseñanza, en este apartado abordaremos la estrategia que se seguirá
para diseñar las situaciones problemáticas orientadas al logro del
desarrollo de los instrumentos intelectuales mencionados.
Guy Brousseau en su teoría de las situaciones didácticas plantea que las
situaciones son:
Un modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que
determina a un conocimiento dado como el recurso del que
dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un
estado favorable. Algunas de estas situaciones requieren de la
adquisición “anterior” de todos los conocimientos y esquemas
necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto
para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un
proceso “genético” (Brousseau, 2000).
En esta definición se observa que la interacción es una acción relevante
para la producción del conocimiento. Se entiende por interacción el hacer
recíproco que realizan las participantes en un determinado momento o
situación. La acción corresponde a todas las participantes y lo que cada
una de ellas haga o plantee, afectará a las otras.
Desde un punto de vista constructivista, a la adaptación del sujeto al
medio se adiciona la importancia del hacer recíproco o la interacción que
tiene el sujeto con el medio. En el aula se vive dentro de un contexto de
aprendizaje en el que participan el propio sujeto, sus compañeros, el
docente y los recursos disponibles y dispuestos para la enseñanza. Las
interacciones son diferentes entre sí a causa del rol que se juega en este
contexto. Con sus compañeros el alumno comparte la misma posición
educativa y el docente representa el experto académico.
47
Cada uno de los participantes interactúa con sus propios saberes, los
cuales vienen a ser sus recursos para modificar el medio al que se
enfrenta. Para que esta interacción sea didáctica, es necesario que uno
de los sujetos participantes (el docente), tenga la intención de modificar
los conocimientos del otro participante (el alumno) (Brousseau, 1997). De
esta forma Brousseau recupera el papel esencial del docente en la
adquisición de conocimientos nuevos por parte de los alumnos (Ávila,
2001), por consiguiente, todo aquello que el docente dice, plantea o
realiza en el aula es trascendente para el aprendizaje.
Brousseau (1986, p. 47) plantea que “cuando las propiedades de una
situación capaz de provocar la puesta en acción de un conocimiento
específico se conocen mejor, es posible estudiar las posibilidades que tiene
la primera de hacer evolucionar a la segunda”. El docente, con base en el
tipo de interacciones que observa en sus alumnos, el uso de estrategias y
las respuestas que ellos dan a la situación problemática planteada, puede
modificar la situación y, provocar en el alumno el uso de nuevas estrategias
para lograr conocimientos matemáticos con mayor profundidad.
2.3.1Tipos de situaciones didácticas
Cuando se pretende conocer y apropiarse del medio o situación
problemática, uno realiza diferentes acciones: hablar con los otros, con uno
mismo, garabatear en el papel, representar el problema gráficamente, hacer
primeras aproximaciones a la solución, discutir con el compañero el
procedimiento argumentando su elección, y otras más que tienen que ver
con la necesidad de resolver la situación problemática. Cada una de estas
acciones evidencian el conocimiento que se tiene, pero su manifestación es
distinta. Estas diferentes manifestaciones evidencian características de la
propia situación y Brousseau las clasifica en tres tipos (Brousseau, 1997).
2.3.1.1Situación de acción.
Ante una situación determinada que se le propone a la participante, es ella
quien, a partir de lo que conoce, elige la opción que considera la más
48
adecuada para resolverla, estas decisiones siempre llevan a un resultado
que puede ser favorable o desfavorable con respecto a la resolución.
En la medida en que las participantes vuelven a enfrentar la misma situación
y una “sucesión de situaciones de acción”, en las que se pueden realizar
variantes, la participante reflexiona acerca de los elementos que se
mantienen o que se modifican y, desarrolla estrategias que le permiten
anticipar resultados, relacionar informaciones y afinar su toma de decisiones,
lo cual le lleva a modificar y producir conocimiento. A este proceso se le
llama aprendizaje (Brousseau, 1997).
2.3.1.2 Situación de formulación.
En este tipo de situación, la propia naturaleza de la situación problemática
hace que las participantes tengan la necesidad de que el otro conozca la
estrategia que pensó o utilizó para resolverla. La participante, observó las
estrategias de sus compañeras, o participó en una situación dada; esas
observaciones o acciones es necesario que las explicite a los otros, para lo
cual requiere de poder identificar la estrategia, descomponerla, rehacerla, y
poder comunicarla eficazmente al otro de tal manera que este último
reaccione a lo que se le está comunicando.
La reacción de su compañero puede ser a favor o en contra de lo que el
primero le plantea, pues para resolver una misma situación pueden existir
diferentes procedimientos, entonces la eficacia y eficiencia de la
comunicación de la estrategia de resolución es relevante para lograr acordar
y resolver favorablemente una situación. La evidencia de conocimiento, en
este tipo de situación, tiene que ver con la capacidad que desarrollan las
participantes para hacer uso de “los repertorios lingüísticos diversos”. En la
medida que hacen uso de estos repertorios, se puede hablar de que se
adquieren o modifican sus conocimientos, aunque, ambos procesos son
distintos (Brousseau, 1997).
2.3.1.3 Situación de validación.
Durante el desarrollo de las dos situaciones anteriores se pueden presentar
soluciones análogas pero desde diferente perspectiva, pueden plantearse
49
soluciones contradictorias, o situaciones en las que algunas de las
participantes pueden bloquearse y requieren de la mirada del otro, etc., esto
lleva a diferentes interacciones, entre las participantes, que implican
aceptación, discrepancia o corrección de las estrategias que cada una de
ellas planteó desde su experiencia en la resolución de la situación
problemática; estos planteamientos distan de ser inexpertos, ya que
provienen de la experiencia adquirida durante la interacción con la situación
didáctica en cuestión.
La finalidad de estas discusiones es llegar al saber cultural, por lo que las
posturas de las participantes podrán estar o no estar de acuerdo entre ellas
y se tendrán que debatir sus afirmaciones para responder a las dudas y así
llegar a la construcción de los “saberes establecidos” (Brousseau, 1997, p.
27).
Estas son las tres categorías de situaciones que Brousseau planteó en un
inicio, en estas la acción y la interacción autónoma de los alumnos es lo
principal; sin embargo, posteriormente consideró necesaria otra situación en
la que la acción recae principalmente en el docente: situación de
institucionalización.
2.3.1.4 Situación de institucionalización.
En este tipo de situación, el docente observa las participaciones,
aproximaciones, estrategias, planteamientos y procedimientos de sus
alumnos que le permitan en el cierre de la lección o al término de una
actividad específica, describir lo que sucedió durante la lección,
relacionándolos con el conocimiento en cuestión y así arribar a los “saberes
establecidos”. Esto es a lo que se le llama la institucionalización.
“Las situaciones de institucionalización son aquéllas por las cuales se fija
convencionalmente y explícitamente el estatuto cognitivo de un conocimiento
o de un saber. La institucionalización es interna si un grupo fija libremente
sus convenciones […] Es externa si toma sus convenciones de una cultura:
es la situación más frecuente en la didáctica clásica” (Brousseau, 1986, p.
50
156) de esta forma se asegura que el conocimiento se generalice y deja de
ser exclusivo de un contexto determinado (Brousseau, 1999).
En esta fase de la institucionalización, el docente tiene el rol principal, al ser
quien representa el saber cultural y favorece las interrelaciones de los
alumnos con el medio para lograr la producción de conocimientos que lleven
al saber.
En concordancia con la estructura y los propósitos de este trabajo de
investigación, se propiciará que las docentes participantes enfrenten
situaciones problemáticas que propicien la búsqueda y elección de
alternativas de solución con base en su bagaje de conocimientos. Una vez
que hayan elegido, pasen a la puesta en acción y a partir de los resultados
que obtengan, los analicen con la finalidad de reafirmar o de rectificar su
alternativa de solución (Sadovsky, 2005).
Cuando las participantes tienen la posibilidad de realizar las acciones
mencionadas, también están en posibilidad de modificar sus conocimientos.
Poder lograr esta modificación, requiere que dentro de las situaciones
didácticas, se cubran las siguientes condiciones:
Con respecto al sujeto, es necesario que esté en posibilidad de
producir conocimiento y de validar los procedimientos con que los
obtuvo.
Con respecto al problema se requiere que su planteamiento,
posibilite en el sujeto la validación de sus acciones
La importancia de analizar y plantear situaciones didácticas tiene
relevancia porque si se centra en la sola interacción con el docente, se
priva al alumno de la oportunidad de conocer y “confrontarse” con una
porción de la realidad y que a partir de ésta, él pueda validar sus
respuestas y aprender a partir de la confrontación (Ávila, 2011;
Brousseau, 1986; Sadovsky, 2005).
51
2.4 La representación y la visualización en el aprendizaje de la
geometría
En los últimos 30 años, la investigación que se ha desarrollado en la
educación matemática, ha impactado en el currículum y en las formas de
enseñar las matemáticas. Duval, plantea la importancia de explicar los
procesos de comprensión y aprendizaje de los objetos matemáticos ya que
el aprendizaje de esta ciencia conlleva principalmente el desarrollo de
funciones cognitivas como el análisis, la conceptualización y el razonamiento
entre otras (Duval, 1999). En este trabajo centraremos nuestra atención en
dos procesos cognitivos subyacentes en la actividad geométrica: la
representación y la visualización.
2.4.1 Representación
A diferencia de otros campos del conocimiento en que sus representaciones
son perceptuales y descriptivas, las representaciones semióticas que se
hacen del objeto matemático no tienen una relación directa, similar o
semejante con el propio objeto matemático. Lo anterior dificulta el
aprendizaje del objeto matemático y sin embargo, estas representaciones
externas, del objeto matemático, son la única manera que se tiene para
acceder al conocimiento matemático (Duval, 1999, Panizza, 2009).
La dificultad que entrañan las representaciones, “lingüísticas o no
lingüísticas” es que pueden ser muy diferentes entre sí y sin embargo
representar el mismo concepto, tal es el caso, por ejemplo, del número
cuatro: cuatro es su nombre en español, 4 en escritura árabe, 1+1+1+1
como resultado de una adición o 22 como una potencia. En el campo de la
geometría, un ejemplo puede ser el de una figura geométrica como el
polígono rectángulo:
52
Si la representación de rectángulo utilizada sistemáticamente dice que es un
polígono que tiene dos lados más largos que los otros dos, y que siempre se
ubica sobre uno de sus lados, entonces el polígono dibujado sobre uno de
sus vértices no es un rectángulo, ni aquel polígono que tiene cuatro lados de
la misma medida y cuatro ángulos rectos. ¿Por qué?, porque estas
representaciones no coinciden con la idea del objeto matemático rectángulo.
Desde el punto de vista cognitivo, las distintas formas de evocar y denotar,
es decir, de representar semióticamente un objeto matemático son una de
las principales dificultades para acceder al concepto matemático (Duval,
1999; véase también Panizza, 2009; Vergnaud, 1990).
Duval plantea que, para desarrollar el pensamiento matemático, se requieren
diversos registros de representación semiótica que son las representaciones
que nos permiten conocer la manera en que el sujeto está viendo al objeto
matemático: registros orales, gestuales, registros de escritura (palabras,
gráficas, fórmulas, cálculos…) a la vez que, también nos permiten “ver” las
dificultades que se presentan en el proceso de aprendizaje de los objetos
matemáticos (cf. Duval, 1999).
Si las representaciones semióticas, son las que nos permiten conocer al
objeto matemático, se hace necesario reconocer que para la verdadera
aprehensión de los objetos matemáticos es importante en primer lugar
considerar diferentes registros de representación de dicho objeto y en
segundo, cuáles de estos registros favorecen en mayor medida el desarrollo
del pensamiento matemático.
Los diferentes registros de representación y la capacidad de cambiar de
registro y hacer uso de este conocimiento en contextos diferentes al aula,
muestran los diferentes razonamientos que se hacen a partir del objeto
matemático y llevan a un progreso discursivo, lo cual desde un punto de
vista didáctico es muy relevante (Duval, 1999).
Regresando al objeto matemático rectángulo, y a las diferentes
representaciones semióticas en distintos registros, tendríamos que la
representación gráfica podría ser cualquiera de las siguientes y otras más:
53
Algunas representaciones lingüísticas podrían ser:
Cuadrilátero con cuatro ángulos iguales
Cuadrilátero con diagonales iguales y se cortan en partes iguales
Es importante recapacitar en que las representaciones semióticas no son el
objeto matemático. Designar a la representación semiótica como el objeto
matemático es una mirada reduccionista que no lleva a la verdadera
comprensión y sí lleva a una pérdida de sentido del aprendizaje matemático
ya que los conocimientos así adquiridos o no se recuerdan o no sirven como
herramientas para otro tipo de aprendizajes.
2.4.1 Visualización.
El término visualización, presenta dificultades para su entendimiento, la
revisión de distintos textos académicos, permite observar los diferentes
significados que se dan a esta palabra, o el uso indistinto que se hace del
término visualización con la palabra visión.
Según la RAE, visión es la acción y efecto de ver, la contemplación
inmediata y directa. Duval plantea que la visión se refiere a la “percepción
visual y por extensión a las imágenes visuales, a esto agrega que la
percepción visual es un acto imperfecto ya que los objetos se ven por uno
sólo de sus lados y dado que el mundo es tridimensional, para ver el objeto
de manera completa se requiere o que el objeto se cambie de posición o el
que lo está viendo se mueva para poder ver el objeto completamente (Duval,
1999). En ambas definiciones, la visión es un acto inmediato y directo de la
realidad que sólo nos permite percibir lo visible desde la posición en que nos
encontremos.
Visualización, define la RAE, deriva de la palabra visualizar, la cual significa
formar en la mente una imagen visual de un concepto abstracto. Hershkowitz
(1990) la llama “la habilidad de representar, transformar, generar, comunicar,
documentar y reflexionar sobre la información visual”. Godino (2011) plantea
54
que “La visualización se puede entender como un doble proceso, uno que va
de lo material a lo inmaterial (mental o ideal) (que podemos llamar
visualización ascendente), y el inverso que va de lo inmaterial a lo material
(visualización descendente). La visualización en matemáticas no se reduce a
ver, sino que también conlleva interpretación, acción y relación”.
Por su parte, Duval (1999, 2001) plantea que la visualización implica la
producción de la representación semiótica de un objeto, no es el objeto
físico, sino que es la organización de las relaciones entre las diferentes
unidades de representación donde las unidades son las palabras, los
símbolos (figuras geométricas por ejemplo) o las proposiciones, con las
cuales se representa semióticamente al objeto matemático. Establecer esta
relación de unidades permite “visualizar” al objeto como una configuración,
en la cual lo invisible se hace visible a partir de la aprehensión de estas
relaciones. Por lo que, al hablar de representación semiótica o de
visualización, es necesario hablar de la organización y aprehensión de las
relaciones de dos o más unidades de representación que favorezcan la
aprehensión conceptual del objeto matemático (Duval, 1999).
Duval agrega que el trabajo con la geometría implica necesariamente tres
tipos de procesos cognitivos: la visualización, el razonamiento y la
construcción. Estos tres procesos no dependen entre sí para su desarrollo y
se pueden trabajar de forma separada. Sin embargo para desarrollar la
competencia geométrica se requiere que estos procesos se conecten entre
sí para lograr un resultado más potente que la suma aislada de cada uno de
ellos (Duval, 2001).
55
Gráfica 1
4 2
1
3
5(A)
5(B)
En este diagrama de Duval (2001) se observa en las flechas 1, 3 y 4 cómo
cada uno de los procesos cognitivos apoya al otro proceso pero no
dependen uno de otro ya que la visualización se puede desarrollar
independientemente de cómo haya sido construida la figura geométrica; en
sentido inverso, la construcción está sujeta a las propiedades geométricas y
a los instrumentos geométricos (escuadras, compás, etc.) no a lo que se
visualice y sin embargo ambos procesos se enriquecen mutuamente. El
razonamiento se puede enriquecer con la visualización, sin embargo también
puede ocurrir lo contrario, la flecha punteada 2 lo enfatiza, ya que es posible
Identificación de gestalts y configuraciones en 2D o 3D. Esta
identificación depende de leyes particulares las cuales son
independientes de la forma de construcción o del discurso
Uso de herramientas: regla y compás
disponibles básicos dentro de software
geométricos
Uso de: (A) lengua natural (interna o externa) para nombrar,
describir o argumentar
(B) Proposiciones con el estatus teórico de definiciones,
teoremas… para la organización deductiva del discurso.
Visualización
Razonamiento Construcción
56
que en la visualización, se centre la atención en determinadas
características de la forma geométrica y de esta manera se interfiera con el
conocimiento del objeto geométrico.
Las flechas 5A y 5B indican que los procesos de razonamiento, también
pueden desarrollarse de manera independiente a los otros dos procesos ya
que este proceso cognitivo depende más bien del conocimiento y uso que se
haga de las definiciones, teoremas o axiomas geométricos.
En este momento conviene hacer referencia a los planteamientos con
respecto a la diferencia entre visión y visualización ya que, es en este punto
en el que reside la diferencia entre representar un objeto matemático o un
objeto cualquiera, para lo cual nuevamente se retomaran los planteamientos
de Duval.
Cuando se está “mirando” desde la visión, las representaciones semióticas
que se crean, están sujetas sólo a estas aprehensiones perceptivas visuales;
a lo que se ve desde la posición del que observa o desde donde está el
objeto, y sus representaciones son icónicas, es decir centradas en una
imagen visual (Mesquita, 1998), la representación tiene semejanza con lo
que representa y ésta puede ser cualquier objeto de la realidad. Las formas
geométricas, no son representaciones icónicas por lo cual no se puede
acceder a este objeto matemático a través de la visión o de estas
“aprehensiones perceptivas”. Mirar un objeto matemático desde esta
perspectiva implicaría sólo ver las formas físicas de la forma geométrica y no
todo lo que representa dicha forma. Se requiere desarrollar un trabajo de
visualización que permita “visualizar” las figuras.
Visualizar un objeto matemático implica mirar la forma geométrica como una
configuración de relaciones, poder discriminar aquellas características que
no son relevantes y centrarse en esas propiedades que permiten
“aprehensiones discursivas u operativas” del objeto geométrico. “Esta ancla
discursiva proporciona la puerta de entrada matemática en la configuración
(condición de prueba) (Duval, 2001, p. 3). Lograr cambios de aprehensión
que vayan de lo perceptivo a lo discursivo u operacional y viceversa, es un
trabajo que se debe favorecer no solo en las escuelas de educación
57
preescolar sino en toda la educación básica, nivel educativo en el que con
frecuencia el trabajo geométrico se queda en la aprehensión perceptiva o la
representación icónica de las formas geométricas (Duval, 1999).
Torregrosa (2007) con base en las ideas de Duval afirma que la aprehensión
perceptiva:
Se caracteriza como la identificación simple de una configuración. Es
la primera en ser usada a lo largo de toda la etapa educativa y
también la primera que aparece en el desarrollo cognitivo del alumno
(p. 281).
Con el siguiente ejemplo se pretende clarificar lo que se entiende por
aprehensión perceptiva y aprehensión discursiva.
Al presentar a cualquier persona el siguiente dibujo, aquella construye una
representación que registra a partir de su primera impresión de dicha forma:
Puede decir que es una barda, la parte superior de una mesa de juntas, la
ranura de un buzón de correo, un cuadro de texto en Word o un rectángulo.
Lo nombra a partir de la percepción que tiene del objeto y esta
representación no tiene que ver con las cualidades de la figura geométrica.
Ahora bien, Torregrosa (2010) plantea que la aprehensión discursiva:
Es la acción por la que se produce una asociación de la configuración
identificada con afirmaciones matemáticas (es decir: definiciones,
teoremas, axiomas). Esta asociación puede realizarse de dos
maneras según la dirección de transferencia realizada, ya sea desde
el discurso hacia la configuración o viceversa (cambio de anclaje)
(p.329).
La aprehensión discursiva tiene que ver necesariamente con el darse cuenta
de las “subconfiguraciones” que están presentes en la forma geométrica:
58
El sujeto que logra transitar hacia la aprehensión discursiva, puede decir que
este dibujo representa un polígono de cuatro lados rectos, paralelos dos a
dos, con cuatro ángulos rectos que suman 360º, y/o tiene dos diagonales
iguales que se cortan por el centro. Cuando se es capaz de ver estas y otras
subconfiguraciones en la forma geométrica y relacionarlas con propiedades
geométricas que están presentes en dicha forma, ha ocurrido la
“aprehensión discursiva”. En este tipo de aprehensión, es importante cómo
el sujeto puede centrarse en las subconfiguraciones y no en la configuración
predominante. A este movimiento de aprehensión en ambos sentidos, de la
configuración al discurso y del discurso a la configuración, Duval le llama
cambio dimensional “un proceso cognitivo básico de la forma como uno ve
una representación figural” (Duval, 2001, p.6). Este cambio dimensional o
cambio de anclaje o cambio figural, es necesario para afirmar que se
desarrolla la visualización en geometría.
Por lo que respecta al razonamiento desde un punto de vista cognitivo en
geometría, aquél es un proceso cognitivo que se presenta en tres
situaciones: en un primer momento a partir de una descripción de los pasos
que llevan a la solución de un problema geométrico, proceso discursivo
natural; el segundo que parte de la aprehensión discursiva a la aprehensión
operativa, proceso configural y la tercera situación donde se hace uso de un
discurso deductivo y se da en un registro “estrictamente simbólico”, proceso
discursivo teórico (Duval, 2001; Torregrosa y Quesada, 2007).
Para desarrollar la competencia geométrica en los sujetos, se requiere de un
trabajo didáctico que:
reconozca las representaciones semióticas que se hacen del objeto
geométrico,
compare las diferentes representaciones que se hagan dentro de un
mismo registro,
considere aquellas que son relevantes para el aprendizaje,
59
favorezca el tránsito de un registro a otro y
entienda cómo se desarrolla este proceso de tránsito.
Esto no es una manera habitual de trabajar los contenidos geométricos en el
aula, y es precisamente lo que le da relevancia al trabajo geométrico: el
desarrollo de habilidades cognitivas que van más allá de la visión de figuras
geométricas y requiere de la interpretación, la acción y la relación (Duval,
1999, 2001 y Godino 2011).
2.5 Objetivos de la investigación
Siendo nuestro punto de partida las perspectivas teóricas anteriores, y
considerando que el desarrollo profesional conlleva el desarrollo del
conocimiento de las educadoras a partir del uso de nuevos y mejores
instrumentos conceptuales y técnicos en sus prácticas de enseñanza,
planteamos la siguiente pregunta de investigación:
¿Qué aprendizajes conviene favorecer en un taller de formación en
geometría para profesoras de educación preescolar, de manera que
gestionen tareas desafiantes de geometría en el aula?
Para dar respuesta a esta interrogante y con base en el marco teórico
expuesto, se plantea el siguiente objetivo general:
Caracterizar los procesos de aprendizaje que con respecto a la
geometría lograron las participantes en un espacio de formación
profesional preparado para ello, así como aquellas condiciones e
interacciones que favorecen el logro de dichos aprendizajes.
Y los siguientes objetivos específicos:
60
Poner en evidencia la importancia del conocimiento disciplinar y
pedagógico relacionado con la geometría en el desarrollo del
conocimiento profesional de las educadoras
Participar en situaciones didácticas que posibiliten el tránsito de
la aprehensión perceptiva a la discursiva y que favorezcan la
reflexión sobre las prácticas de enseñanza de la geometría.
Promover la construcción de instrumentos conceptuales que se
reflejen en la práctica de enseñanza de la geometría.
.
61
Capítulo 3.
Diseño de la investigación
En este capítulo se describe el proceso de diagnóstico y de intervención con
docentes de tercer grado de educación preescolar, desde las primeras
entrevistas hasta la constitución del grupo participante en un taller de
formación continua. Así mismo se exponen los principales rasgos
profesionales de las participantes en el taller, las particularidades de las
entrevistas realizadas, la descripción de los contenidos trabajados y cada
una de las seis sesiones de trabajo que se realizaron para el desarrollo del
taller titulado “La geometría: un objeto de aprendizaje conceptual y
pedagógico” y cuyos resultados son los insumos para el presente trabajo de
investigación.
Desarrollar o favorecer la profesionalización de las docentes de educación
preescolar implica partir de reconocer aquellos conocimientos que poseen
por su propia experiencia académica, su formación profesional y su práctica
docente.
Este conocimiento profesional que se tiene y el uso que se le da – en las
prácticas de enseñanza– forma parte de un contexto propio de la comunidad
de práctica profesional de las educadoras. Si se quiere favorecer
aprendizajes fuertes y útiles, es necesario favorecerlos en contextos que
sean significativos para ellas.
Por lo anterior, la estrategia que se retoma para diseñar situaciones que
favorezcan la interacción a partir de los saberes que traen las participantes
es la teoría de las situaciones didácticas, la cual propicia que quienes sean
partícipes de ellas, interactúen: con el objeto de conocimiento, entre ellas
mismas y con la coordinadora de las acciones, a partir de situaciones que le
demanden actuar con el objeto matemático, argumentar y comunicar sus
procedimientos y arribar al saber matemático.
Como ya se explicitó en el primer capítulo, el trabajo con la geometría en
educación preescolar, es un trabajo intuitivo que deja de lado el
62
conocimiento matemático de los objetos geométricos. Por esta razón, se
retoman los planteamientos de Duval (2001) con respecto al desarrollo de
habilidades cognitivas a partir del estudio de la geometría, en donde se
reconoce el carácter mental del objeto geométrico. Por el nivel educativo de
que se trata, nos quedaremos exclusivamente con la habilidad cognitiva de
la visualización que implica el desarrollo de aprehensiones discursivas.
Es un objetivo del taller implementado proponer algunas situaciones
didácticas a partir de las cuales las participantes avancen en su
conocimiento geométrico, yendo de la aprehensión perceptiva de las figuras,
hacia una aprehensión discursiva de las mismas.
Este objetivo, en nuestra opinión, se enmarca en uno más amplio que busca
contribuir, en este aspecto específico al desarrollo profesional de las
docentes que participarán en nuestra propuesta.
Antes de presentar el diagnóstico que le dio sustento al taller y la descripción
del taller mismo, se expondrán las consideraciones y condiciones
institucionales bajo las cuales se diseñaron los procesos mencionados.
3.1 Consideraciones institucionales o el contexto de la investigación
El Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), en su
informe titulado “El aprendizaje en tercero de preescolar en México” (2008)
presenta los resultados de la evaluación que realizó con alumnos del ciclo
escolar 2006 – 2007 a nivel nacional a partir de una muestra con alumnos de
tercero de educación preescolar. La evaluación se realizó con base en el
Programa de Educación Preescolar 2004 y se evaluaron los campos
formativos “Lenguaje y comunicación” y “Pensamiento matemático”. Para el
aspecto Forma espacio y medida de este último campo formativo, en la
competencia “Reconoce y nombra características de objetos, figuras y
cuerpos geométricos”, el INEE elaboró ocho indicadores de evaluación con
base en una columna que lleva el encabezado “se favorece y se manifiesta
cuando…” (SEP, 2004, pp. 76-81). Estos indicadores se clasifican en cuatro
niveles de logro educativo: avanzado, medio, básico y por debajo del básico.
63
El indicador de menor grado de dificultad en el nivel básico es el siguiente:
“Anticipa los cambios que ocurren en una figura geométrica al cortarla”. En
este indicador, el 80 % de los alumnos respondió de forma correcta las
preguntas y tareas planteadas. Para el indicador del segundo nivel con
dificultad media “Identifica los cambios que ocurren en una figura geométrica
al combinarla con otras iguales o diferentes”, el 46% de los alumnos acierta
en las respuestas y en el nivel avanzado, para el indicador “Identifica tres o
más, de cinco figuras geométricas, a partir de la solicitud de identificar todas
las que tienen un número determinado de lados del mismo tamaño”, sólo el
32% de los alumnos respondieron correctamente.
En el apartado de síntesis y conclusiones de la misma publicación del INEE,
se señala que los niños no lograron anticipar la figura geométrica que resulta
al combinarla con otra ni tampoco lograron identificar una figura geométrica
a partir de indicarles el número de lados.
Por último, en este mismo apartado, se enumeran algunas presunciones en
relación a los resultados superiores en el aspecto de Forma, espacio y
medida con respecto a los del aspecto de Número. (INEE, 2010. p. 86-88):
El desarrollo curricular de Número está más detallado que el de
Forma, espacio y medida, lo que implicó que en el Excale-00 se
evaluara un mayor número de indicadores.
Mayor carga conceptual del componente de Número con respecto al
de Forma, espacio y medida.
El componente de Forma, espacio y medida es más vulnerable con
respecto a contenidos novedosos, sutiles o difíciles, debido a que su
definición curricular está menos detallada que el componente de
Número y sus competencias son más heterogéneas.
A partir del análisis de estas aclaraciones, se infiere un trabajo escolar con la
geometría que incluye en menor medida o no incluye una geometría escolar
que:
favorezca las transformaciones geométricas que impliquen
reconocer, relacionar y operar formas y figuras geométricas,
64
se presenten los polígonos en distintas posiciones espaciales y
sobre todo poco trabajo en el desarrollo de habilidades cognitivas
como la visualización desde la cual se “visualiza” a los objetos o
figuras como objetos geométricos que tienen determinadas
propiedades geométricas.
A esto le añadiría la nula vinculación de los contenidos de la competencia
“Reconoce y nombra características de objetos, figuras y cuerpos
geométricos” con los contenidos de la competencia “Construye sistemas de
referencia en relación con la ubicación espacial” esto a pesar de pertenecer
al mismo aspecto Forma espacio y medida del campo formativo
Pensamiento matemático.
3.2 Metodología de investigación
Este trabajo de investigación tiene por objetivo caracterizar los procesos de
aprendizaje que con respecto a la geometría lograron las participantes en un
taller preparado para ello, así como aquellas condiciones e interacciones que
favorecieron el logro de dichos aprendizajes.
La investigación, como he venido señalando y como se ve en sus objetivos,
se basó en la planeación y desarrollo de un taller de geometría al que asistió
un grupo de diez docentes de educación preescolar.
Al ser ésta una investigación de corte cualitativo, se hace necesario
reconocer que en ella “se producen datos descriptivos: las propias palabras
de las personas, habladas o escritas y las conductas que observamos en
ellas” durante el desarrollo del taller (Taylor,S. y Bogdan, R. 2000, p. 20). Se
trata de acercarse, de conocer desde las propias palabras y acciones de las
participantes, sin olvidar el contexto educativo y cultural en el que se
desempeñan.
Por tal razón, las palabras orales y escritas, forman parte substancial de los
insumos para el inicio de la investigación. Las diferentes perspectivas que se
presenten durante los diferentes momentos del proceso de investigación,
serán valiosas en tanto se reconozcan como la muestra de la diversidad de
posturas ante un mismo hecho. No se trata de determinar una verdad, se
65
trata de reconocer a detalle las diferencias que existen y conviven en un
contexto educativo (Taylor, S y Bodgan, R., 2000).
Aun cuando este trabajo de investigación se desarrolló en una zona escolar
de educación preescolar de una región específica de la Ciudad de México,
seguramente los resultados de este proceso podrán ser útiles a otras zonas,
puesto que las condiciones institucionales en el nivel de preescolar – según
mi conocimiento del sistema - son parecidas en las zonas urbanas de ésta y
otras ciudades de la República.
3.3 Etapa de diagnóstico
Con base en la información anterior, y la experiencia laboral personal, se
desarrolló una etapa diagnóstica que permitiera lanzar una mirada de lo que
sucede en algunos planteles de educación escolar en relación con la
enseñanza y el aprendizaje de la geometría. Lo anterior a partir de la
realización de entrevistas a docentes de tercer grado de educación
preescolar y a algunos alumnos de estas docentes.
El diagnóstico es una fase del proceso de investigación que permite
adentrarse en el contexto socio-cultural de las docentes de educación
preescolar, esta fase se interesó en documentar las vivencias, opiniones,
prácticas, e ideas que tienen con respecto a la geometría como objeto de
aprendizaje y como objeto de enseñanza y el reconocimiento de las
prácticas educativas frecuentes en su nivel educativo.
La importancia del diagnóstico radica en la oportunidad que se tiene para
conocer y familiarizarse con el contexto educativo del nivel preescolar, así
como conocer el grupo de educadoras participantes; por tanto es
indispensable documentar esta experiencia a través de registros orales y
escritos, y así poder elegir el camino a seguir.
En esta investigación, el proceso de diagnóstico se desarrolló en dos etapas,
en la primera etapa se entrevistaron docentes que no participarían en el
taller de formación y en la segunda se realizó a través de un cuestionario y
una narrativa escrita con las docentes participantes en el taller. La primera
etapa permitió confirmar en gran medida los planteamientos del INEE que se
66
expusieron antes, y explorar las ideas de educadoras que están frente a
grupo.
3.3.1Primera etapa de diagnóstico
La entrevista, al ser un instrumento que precisa de una interacción directa
entre los interlocutores (en este caso investigadora y docentes), permite
reestructurar las preguntas a partir del clima de confianza o empatía que se
logre generar, o de las respuestas que se vayan obteniendo; todo esto sin
perder de vista el propósito central de la entrevista que en este caso fue
conocer las ideas y concepciones que con respecto a la geometría como
objeto de aprendizaje y de enseñanza tenían las entrevistadas.
Para la aplicación de este instrumento, se solicitó el apoyo de autoridades
directivas de la Dirección General de Servicios Educativos Iztapalapa (en
adelante DGSEI), quienes ofrecieron tiempos y espacios a efecto de
entrevistar a educadoras y alumnos de tercer grado en escuelas del nivel
preescolar de dos de las cuatro regiones administrativas que conforman la
DGSEI. La finalidad de realizar entrevistas en estas dos regiones fue tener
una visión que incluyera a docentes que se desempeñan en contextos
educativos contrapuestas por cuestiones sociales, económicas y culturales.
Las y los participantes fueron cuatro educadoras y ocho alumnos de
tercero de preescolar de cuatro jardines de niños en Iztapalapa, D.F.
Las cuatro docentes son licenciadas en educación preescolar; los ocho niños
son alumnos de las mismas maestras; dos alumnos por cada maestra que
participó en la entrevista.
La directora del plantel fue quien seleccionó a cada una de las docentes
entrevistadas. En dos casos, el motivo de la selección fue el gusto de la
docente por las matemáticas, de los otros dos casos se desconocen los
motivos de selección. Al terminar la entrevista con cada una de las docentes
se le solicitó que permitiera a dos de sus alumnos, uno con facilidad y otro
con dificultad para realizar un breve trabajo con las matemáticas.
67
Con respecto al propósito de la entrevista para las educadoras, se diseñó
una entrevista semiestructurada, a partir de un guión general de los
siguientes temas:
Concepciones de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
en lo general
Concepciones acerca de lo que es la geometría
Para qué se enseña la geometría en educación preescolar
Tipo de apoyos materiales que usan y actividades que plantean para
lograr aprendizajes en sus alumnos
La entrevista se desarrolló más como una conversación en la que ellas
sintieran empatía con la entrevistadora, algunas de las preguntas fueron:
¿Para qué sirven las matemáticas?
¿Cómo se aprenden las matemáticas?
¿Cómo enseña la geometría?
¿Cómo trabaja las figuras geométricas?
¿Qué recursos utiliza para enseñar la geometría?
¿Para qué cree que le servirá a un niño trabajar la geometría en el
preescolar?
Como ya se dijo, dentro de esta primera etapa del diagnóstico, también se
contempló la realización de una entrevista con alumnos de tercero de
preescolar, considerando que era importante conocer las experiencias que
los alumnos tenían con respecto al tipo de situaciones didácticas que sus
maestras les proponían y el tipo de aprendizajes que se lograban con ellas.
En las entrevistas a los alumnos, se procuró generar una atmósfera de
confianza para que los niños pudieran platicar lo más abiertamente posible
de sus experiencias de aprendizaje; se procuró que las preguntas
planteadas fueran lo más cercanas posibles a su vocabulario y en caso de
no ser así, se buscaron sinónimos, analogías o se iniciaba una plática a
partir de la cual tanto los alumnos como la entrevistadora tuvieran claridad
de lo que se estaba dialogando.
68
De igual manera que para las docentes, las preguntas de la entrevista para
los alumnos no fueron predeterminadas; lo que se diseñó fue una entrevista
semi-estructurada a partir de los siguientes temas:
Lo que saben y trabajan en las clases de matemáticas.
Lo que saben y trabajan en geometría.
Las preguntas se fueron elaborando conforme las respuestas de los
entrevistados y los temas predeterminados. Estas entrevistas se audio-
grabaron y posteriormente se transcribieron para su análisis. Algunas de las
preguntas fueron:
¿Has trabajado matemáticas con tu maestra?
¿Has trabajado figuras geométricas?
¿Qué figuras geométricas conocen?
¿En qué son diferentes el triángulo y el rectángulo?
¿Qué hacen con las figuras geométricas?
¿Tu casa a qué figura geométrica se parece?
Haz una casa con figuras geométricas.
3.3.2 Segunda etapa del diagnóstico.
La segunda etapa del diagnóstico se realizó directamente con las
participantes en el taller. Se consideró relevante desarrollar esta segunda
etapa por dos razones principales: la primera razón, fue el contar con
evidencias documentadas de los conocimientos y concepciones que con
respecto a la geometría poseían las participantes y contrastar estas
concepciones con las producciones que se fueran obteniendo a lo largo del
taller de formación; la segunda razón, es que esas concepciones sirvieran
como el punto de partida de las actividades del taller. De esta manera tanto
para las participantes como para la coordinadora del trabajo de
investigación, se tendría mayor conocimiento de lo que se pensaba, decía y
hacía en el aula de clases y los cambios que se pudieran haber logrado
después de culminado el proceso de formación.
69
Se utilizaron dos instrumentos de diagnóstico: la narrativa y el cuestionario.
La narrativa es un instrumento que permite conocer a través de sus palabras
tanto la historia personal como la identidad profesional de las docentes en
una forma flexible y de acuerdo con los significados que ellas fueron
construyendo. La tarea principal fue detectar aquellas frases que
evidenciaran el desarrollo de su identidad profesional con respecto a su
aprendizaje y a la enseñanza de la geometría.
Esta etapa se realizó al inicio del taller de formación con las diez docentes
participantes. Para el desarrollo de la actividad, se insistió acerca del valor
de sus escritos para conocer y tener evidencias con respecto a cómo se
fueron apropiando de la geometría como objeto de conocimiento y de
enseñanza. Por esta razón se requería que miraran hacia atrás de manera
reflexionada y plasmaran cuidadosamente sus experiencias personales, sus
interacciones con sus maestros o con otros maestros centradas en el
contexto educativo (Bjuland, R., Cestari,M. y Borgersen, H. 2012).
Los momentos principales para su elaboración fueron los siguientes:
Preguntar sus conocimientos con respecto a lo que es un texto
biográfico.
Rescatar sus saberes previos de la biografía para aplicarlos en la
elaboración de una “mategrafía” que abarcará desde que iniciaron con
su formación académica: preescolar, primaria, secundaria,
bachillerato hasta la educación profesional y su práctica docente.
Apoyarse en alguna de las siguientes frases:
o Cuando yo iba en la…. las matemáticas….
o A mí las matemáticas…..
El segundo instrumento de diagnóstico fue el cuestionario porque a
diferencia de la narrativa, con este instrumento se planteó una lista de
preguntas abiertas y determinadas por el aspecto que se requiere conocer,
en este caso las ideas y las prácticas de enseñanza de la geometría que las
docentes plantean a sus alumnos. La aplicación de este instrumento
obedeció a la necesidad de profundizar y cotejar sus respuestas con los
70
datos obtenidos de sus narrativas y para orientar o re-orientar las actividades
del taller de formación.
En la redacción y selección de las preguntas, se consideró el uso de un
lenguaje claro y preciso con respecto a la profesión de las educadoras, que
no indujeran la respuesta y que abordaran un solo tema. Las instrucciones
se dieron en forma oral, aclarando dudas que pudieran surgir al momento de
responder las preguntas.
Cuestionario-diagnóstico.
¿Qué ideas le vienen a la cabeza cuando escucha la palabra
geometría?
¿Qué se estudia en geometría?
¿Para qué se estudia la geometría en su nivel y grado?
¿Cómo acostumbra enseñar la geometría?
¿Por qué la enseña así?
Vale la pena mencionar que tanto en el espacio temporal para el desarrollo
del diagnóstico como en el contexto del taller de formación, se procuró un
ambiente de confianza, donde las participantes pudieran abordar o tratar, en
la medida de lo posible, aquellas inquietudes del clima laboral, personal o
académico, que pudieran tener como consecuencia de las reformas
curriculares, que se vivían en ese tiempo principalmente en lo relacionado
con las matemáticas.
3.4 Taller de formación
3.4.1 Orientación del taller
Tanto la reflexión y análisis de los resultados del INEE, así como las
entrevistas que se realizaron a las docentes y a los alumnos, sirvieron de
base para organizar y diseñar, el taller de formación en geometría para
docentes de educación preescolar.
La idea de implementar un taller de formación tiene varias metas; por un
lado que las educadoras participen en situaciones de aprendizaje que
impliquen la producción, discusión y confrontación de sus ideas, por otro, se
71
generen conocimientos de tipo geométrico como objeto de conocimiento
disciplinar y como objeto de conocimiento pedagógico y, finalmente se
favorezca la capacidad de leer y analizar lo que sucede con sus alumnos a
partir de la reflexión sobre su práctica.
3.4.2 Participantes en el taller
La conformación de este grupo de educadoras se logró por el apoyo e
intermediación de la supervisora escolar de una zona educativa, quien
organizó y dio las facilidades administrativas para desarrollar seis sesiones
de cuatro horas de trabajo. Las diez docentes de educación preescolar que
participaron en el taller “Las figuras geométricas: un objeto de aprendizaje
conceptual y pedagógico” son docentes de los grupos de tercer grado de
preescolar de los seis jardines de niños pertenecientes a una zona escolar
de la Dirección General de Servicios Educativos Iztapalapa en el Distrito
Federal.
3.4.3 Organización del taller
El taller se diseñó para seis sesiones de cuatro horas cada una, a impartir
desde el mes de septiembre al mes de diciembre de 2011 y la última sesión
en el mes de enero de 2012. Cada sesión se desarrolló en un jardín de niños
diferente pero perteneciente a la misma zona escolar. Se tenía previsto que
el taller durará veinticuatro horas de trabajo –cuatro horas por sesión– pero
debido a imprevistos administrativos fueron sólo 20 horas de trabajo
efectivas; las aulas donde se trabajó, fueron las aulas de usos múltiples de
cada uno de los jardines, por lo que eran espacios amplios, que se
acondicionaron con mesas, sillas y proyector multimedia.
Realicé personalmente la coordinación de las seis sesiones de taller; tres
personas distintas –cada una en diferente sesión– me apoyaron en la
videograbación de las sesiones de trabajo.
72
3.4.4 Objetivos del taller
Promover aprendizajes matemáticos y didácticos vinculados a las
figuras geométricas en un grupo de educadoras de tercero de
preescolar.
Obtener conclusiones acerca del beneficio que puede aportar a la
formación en geometría de las educadoras, un proceso formativo
como el implementado.
Objetivos específicos del taller
o Caracterizar el desarrollo de los procesos de visualización en
las educadoras e identificar lo que favorece o limita este
desarrollo
o Promover en las educadoras la planificación de situaciones
didácticas para la enseñanza de la geometría en preescolar,
con base en los conocimientos matemáticos y didácticos
construidos en el taller.
o Fortalecer en las educadoras el conocimiento matemático que
poseen de las figuras geométricas.
o Fortalecer en las educadoras el conocimiento pedagógico que
poseen de las figuras geométricas.
3.4.5 Contenidos del taller
La organización de los contenidos de este taller de formación está
fundamentada bajo un marco de orden constructivo, que propicia una
determinada secuencia para su aprendizaje y una estructura interna que los
organiza y relaciona a cada uno de ellos.
Al ser éste un taller de formación continua para docentes de educación
preescolar en servicio, los contenidos que se incluyen se disponen en tres
órdenes: orden matemático- conceptual (propiedades de las figuras
geométricas), orden cognitivo (representación, visualización, aprehensión) y
orden pedagógico (situaciones didácticas, gestión de las situaciones).
73
Los contenidos conceptuales que se proponen recuperan nociones de
geometría topológica –las relaciones geométricas que no varían ante
determinados cambios como el estiramiento o los giros (abierto, cerrado,
adentro fuera, etc.), y geometría métrica –una figura se conserva a pesar de
un cambio de posición– en actividades que impliquen transformar, completar
o construir distintas configuraciones geométricas (Berdonneau, 2008).
En lo pedagógico, se pretende que este espacio sea un lugar de reflexión
para las participantes en el que se propicie el reconocimiento de los
aprendizajes que van logrando y cómo los van logrando, así como la
reflexión sobre su quehacer educativo a fin de que puedan diseñar y aplicar
situaciones didácticas con sus alumnos.
En lo cognitivo se busca reconocer los procesos de aprendizaje - a partir de
los avances logrados en el taller por las educadoras - : de lo visual a la
visualización y de las aprehensiones perceptivas a discursivas.
3.4.5.1 Contenidos geométricos
Formas y figuras geométricas.
o Figuras abiertas, cerradas, con bordes rectos, curvos, o mixtos.
o Formas con caras planas, curvas
Polígonos.
o Características y propiedades de los polígonos.
o Propiedades geométricas de triángulos y cuadriláteros.
o Clasificaciones inclusivas y exclusivas de triángulos y
cuadriláteros
o Transformaciones de polígonos (rotaciones y traslaciones)
Teselaciones.
o Isometrías de rotación y traslación
o El papel de los ángulos en la teselación
o Teselación con una sola figura geométrica
o Teselación con dos o más figuras geométricas.
74
3.4.5.2 Contenidos de procesos cognitivos
o Procesos de visualización: reconocimiento y representación.
o De un recurso intuitivo a un recurso razonado.
o Aprehensión perceptiva.
o Aprehensión discursiva.
3.4.5.3 Contenidos pedagógicos
o La geometría en la educación preescolar.
o El papel de las figuras prototípicas en el aprendizaje de la
geometría.
o El papel del lenguaje geométrico en el aprendizaje de la
geometría.
o Situaciones didácticas de Brousseau.
o Características de las situaciones didácticas.
o Tipos de situaciones didácticas.
o Diseño de situaciones didácticas relacionadas con las
figuras geométricas.
Estos contenidos se desarrollaron a lo largo de las seis sesiones de trabajo
en las que se realizó el taller. Para cada sesión se plantearon los propósitos
a lograr en cada una de ellas, sin embargo, estos se fueron modificando a
partir de los alcances logrados en la sesión precedente, por lo que, como se
observa en la tabla 1, en algunas ocasiones él o los propósitos se retomaron
en la sesión subsecuente. A continuación se presenta una tabla con los
contenidos y los propósitos específicos de cada una de ellas.
Tabla 1
Sesión y contenidos Propósitos
9 de septiembre de 2011
Sesión 1
Diagnóstico de los conocimientos y
creencias sobre las figuras geométricas de
las participantes.
o Concepciones geométricas.
Explicitar las creencias que con
respecto a las matemáticas en
general y a la geometría en
particular tienen las docentes
participantes.
Propiciar el acercamiento de las
docentes a la geometría a partir
75
Formas y figuras geométricas:
o Abiertas, cerradas.
o Lardos rectos y curvos.
o Caras planas, cóncavas o
convexas.
De la visión intuitiva a la visualización:
o Reconocimiento y representación
de formas geométricas.
Situaciones didácticas:
o Primera aproximación al diseño de
situaciones didácticas.
del reconocimiento y
representación de diferentes
formas geométricas.
Favorecer el avance de una
visualización intuitiva a una
visualización que favorezca
aprehensiones perceptivas y
discursivas.
Iniciar un proceso de
acercamiento al diseño de
situaciones didácticas por parte
de las docentes de educación
preescolar.
26 de septiembre de 2011.
Sesión 2
Figuras geométricas:
o Abiertas, cerradas.
Polígonos:
o Convexos, cóncavos,
cruzados.
Cuadriláteros:
o Relación entre el número
de lados y vértices.
o Características de las
diagonales
o Paralelismo dos a dos
o Comparación y
clasificación a partir de
diferentes criterios.
Las figuras prototípicas:
o El uso y sus
consecuencias en la
enseñanza y el
aprendizaje de la
geometría en la
educación preescolar.
De la visión intuitiva a la visualización:
o Reconocimiento y
representación de
cuadriláteros.
o De la aprehensión
perceptiva a la aprehensión
o Reconocer algunos atributos
de las figuras geométricas (lados
rectos o curvos, número de
lados, ángulos).
o Identificar y nombrar
características y algunas
propiedades de los polígonos en
dibujos y en la exploración de
diferentes figuras geométricas.
(figura cerrada, lados rectos,
número de vértices, ejes de
simetría).
o Iniciar la identificación y
descripción de algunas
propiedades de los cuadriláteros
a partir de explorar y clasificar
estos polígonos (cuatro lados,
cuatro vértices, ejes de simetría).
o Favorecer el avance de una
visión intuitiva a una
visualización razonada de los
polígonos como una
configuración matemática.
76
discursiva.
8 de octubre de 2011.
Sesión 3
Triángulos:
o Relación del número de
lados con el número de
vértices.
o Aplicación de
movimientos de
traslación o rotación.
o Construcción de
polígonos a partir de la
visualización de
triángulos.
Las figuras prototípicas :
o El uso y sus
consecuencias en la
enseñanza y el
aprendizaje de la
geometría en la
educación preescolar.
De la visión intuitiva a la visualización:
o Reconocimiento y
representación de
cuadriláteros.
De la aprehensión perceptiva a la
aprehensión discursiva.
Teoría de las situaciones didácticas:
o Situaciones de acción.
o Situaciones de
formulación.
o Situaciones de
validación.
o Situaciones de
institucionalización.
o Reconocer y nombrar
algunos atributos, y propiedades
de los triángulos en dibujos y
construcciones que las
participantes realicen (polígono
con el menos número de lados,
carece de diagonal, número de
vértices).
o Identificar, reproducir y
anticipar configuraciones a partir
de configuraciones más simples.
o Describir posiciones y tipo de
movimientos en diferentes
transformaciones.
o Favorecer el avance de una
visión intuitiva a una
visualización de los polígonos
como una configuración
matemática.
o Reflexionar acerca del
manejo de figuras prototípicas en
la educación preescolar.
o Diseñar una situación
didáctica que considere los
contenidos geométricos y los
cognitivos tales como la
visualización, representación y
configuración de figuras
geométricas; que se abordaron
durante el taller.
4 de noviembre de 2011.
Sesión 4
Teoría de las situaciones didácticas:
o Situaciones de acción.
o Situaciones de
formulación.
o Situaciones de
validación.
o Favorecer un primer
acercamiento a la teoría de las
situaciones didácticas en lo
referente a los momentos y a los
diferentes tipos de situaciones
didácticas.
o Reflexionar y analizar la
teoría de las situaciones
77
o Situaciones de
institucionalización.
Teselados:
o Isometrías de traslación
y rotación.
De la visión intuitiva a la visualización:
o Reconocimiento y
representación de
cuadriláteros.
De la aprehensión perceptiva a la
aprehensión discursiva.
didácticas de Brousseau como
un instrumento de apoyo en la
elaboración de situaciones
didácticas en Preescolar.
o Reconocer las teselaciones
que se pueden construir con las
isometrías de traslación y
rotación.
o Reconocer los atributos y
propiedades métricas de los
polígonos que permiten la
elaboración de teselaciones.
o Deducir propiedades de los
polígonos (medida de ángulos)
que permiten la realización de
teselados.
o Favorecer el desarrollo de la
aprehensión discursiva a partir
de la elaboración de
teselaciones.
6 de diciembre de 2011
Sesión 5
Situaciones didácticas.
o Diseño de situaciones
Teselados:
o Isometrías de rotación y
traslación.
o La medida como elemento
relevante en la teselación.
o Teselación con dos o más
figuras geométricas.
Evaluación y cierre.
o Diseñar una situación
didáctica que considere los
contenidos geométricos tales
como forma o cantidad de lados
de una figura y contenidos
cognitivos como la visualización
y la representación de figuras
geométricas que se abordaron
durante el taller.
o Reflexionar acerca del
manejo de figuras prototípicas en
la educación preescolar.
o Reproducir y diseñar
teselados aplicando las
características de medidas de
lados y ángulos de los polígonos.
o Favorecer el desarrollo de la
aprehensión discursiva a partir
de la elaboración de
teselaciones.
6 de enero de 2012.
Sesión 6
Teselados:
o Identificar las propiedades
de los polígonos que permiten
teselar un plano.
78
o El papel de los ángulos en la
teselación.
o Teselación con una sola figura
geométrica.
o Favorecer el desarrollo de la
aprehensión discursiva a partir
de la elaboración de
teselaciones.
o Reflexionar acerca de los
conocimientos geométricos,
didácticos, y cognitivos que se
lograron a partir de los
contenidos abordados a lo largo
del taller.
3.4.6 Características generales de las actividades
Las actividades planteadas retoman las ideas de Brousseau con respecto a
la teoría de las situaciones didácticas, donde una situación didáctica es: “Esa
situación o ese problema elegido por el docente lo involucra a él mismo en
un juego con el sistema de interacciones del alumno con su medio”
(Brousseau, 1997, p 32). Desde esta perspectiva, las situaciones planteadas
en el taller tienen una intención didáctica: hacer reproducir, identificar,
describir o construir configuraciones (en el sentido de Duval) a partir de un
medio que puede ser un problema, un reto o una consigna a lograr; las
acciones sobre las situaciones se realizarán con reglas o condiciones
determinadas que las obligan a discutir, dialogar y/o argumentar entre las
participantes para el logro de los aprendizajes específicos.
La idea es que las maestras vivan situaciones de aprendizaje, situaciones
diferentes a las que caracterizan comúnmente a la educación preescolar y
con ello lograr los aprendizajes esperados con respecto a la geometría.
Tabla 2
SESION ACTIVIDADES Y SITUACIONES DIDÁCTICAS
1 1.1. Mategrafía.
1.2. Cuestionario.
1.3. Situación didáctica: Reconocimiento y representación de
figuras.
1.4. Diseño de situaciones didácticas.
1.5. Cierre de la sesión.
2 2.1. Situación didáctica: Características y propiedades de
79
polígonos.
2.2. Situación didáctica: Clasificación libre de figuras geométricas.
2.3. Situación didáctica: De las figuras geométricas a los
polígonos.
2.4. Situación didáctica: Características y propiedades de los
cuadriláteros.
2.5. Actividad: Lectura.
3 3.1. Actividad de exploración.
3.2. Situación didáctica: Transformaciones geométricas.
3.3. Actividad: Diseño de situaciones didácticas.
4 4.1. Actividad: Recapitulación de los contenidos desarrollados
hasta la sesión anterior.
4.2. Actividad: Teoría de las situaciones didácticas.
4.3. Situación Didáctica: Las teselaciones.
5 5.1. Actividad: Recapitulación de la sesión anterior.
5.2. Actividad: Diseño de situaciones didácticas.
5.3. Situación didáctica: Deducción y aplicación de las
propiedades medida de lados y de ángulos de los polígonos en la
elaboración de teselados.
6 6.1. Actividad: Recapitulación de los contenidos referentes a la
teselación.
6.2. Actividad: A manera de cierre
3.4.7 Descripción de actividades y situaciones didácticas
En lo que sigue se presenta una descripción detallada de las actividades y
situaciones didácticas planteadas en el taller, así como comentarios
relevantes de lo que sucedió en su implementación. Cabe mencionar que se
anticipo que las razones que darían las participantes podrían ser razones de
índole material (suave, duro, frío) o de índole métrico (grande, chico,
mediano) o de índole topológico (abierto o cerrado).
3.4.7.1Primera sesión.
Propósito:
80
o Explicitar las creencias que con respecto a las matemáticas en
general y a la geometría en particular tienen las docentes
participantes, con la finalidad de analizar la forma en que estas
inciden en su práctica docente
Actividad 1.1. Mategrafía
Organización.
Solicitar a cada una de las participantes, la escritura de un texto en el que se
relate cómo vivieron las matemáticas y la geometría a lo largo de su
formación escolar. Como apoyo para la redacción del texto, se presentan las
siguientes frases:
Recuerdo que cuando empecé a ir a la escuela…
Lo que más trabajábamos en matemáticas era (operaciones,
resolución de problemas, mecanizaciones, comparación o elaboración
de figuras geométricas, etc.), creo que la razón era…
Lo que menos trabajábamos en matemáticas era (operaciones,
resolución de problemas, mecanizaciones, comparación o elaboración
de figuras geométricas, etc.), creo que la razón era…
Para mí lo más importante de las matemáticas es …
Recuerdo que lo que más trabajábamos en geometría era… (tratar de
anotar cinco o más contenidos de geometría)
A mí la geometría me (cansa, enoja, fastidia, encanta, simpatiza,
entusiasma, agrada, inspira, asombra, molesta, sorprende, deprime,
aburre, desaniman, asusta,) porque …
Pienso que la creencia de mis maestros hacia la geometría era de …
Considero que es relevante el estudio de la geometría porque…
Considero que no es relevante el estudio de la geometría porque…
Creo que los principales problemas para la enseñanza de la
geometría son…
Creo que los principales problemas para el aprendizaje de la
geometría son…
81
El nivel escolar en que más recuerdos tengo de las clases de
geometría es… porque…
El propósito de esta actividad fue conocer las creencias y vivencias
estudiantiles que con respecto a las matemáticas y en específico con la
geometría tienen las participantes en el taller, así como una idea aproximada
de lo que ellas realizan en clase con respecto a la geometría y de qué
manera esas experiencias como alumnas, están presentes en su práctica
docente.
Esta actividad duró aproximadamente 30 minutos, después de los cuales se
realizó una sesión plenaria para compartir grupalmente su experiencia y
discutir con respecto a las coincidencias o diferencias que encontraron entre
ellas y como se reflejan en su práctica docente.
Actividad 1.2. Cuestionario.
Organización.
Aplicar en forma individual el siguiente cuestionario:
1. ¿Qué ideas le vienen a la mente cuando escucha la palabra
Geometría?
2. ¿Qué se estudia en geometría?
3. ¿Para qué se enseña la geometría en su nivel y grado?
4. ¿Cómo acostumbra enseñar Geometría?
5. ¿Por qué la enseña así?
Las docentes lo resolvieron en aproximadamente 30 minutos, se recogió el
cuestionario sin dar espacio a los comentarios y se dio paso a la lectura de
fragmentos de las entrevistas realizadas en la fase del diagnóstico a
docentes y alumnos de preescolar. Una vez realizada la lectura de los
fragmentos de entrevistas, se comentó en sesión plenaria sus opiniones,
sensaciones, empatías o diferencias con respecto a la lectura de estos
fragmentos y lo que ellas escribieron en sus “mategrafías”.
1.3. Situación didáctica: Reconocimiento y representación de figuras.
82
Propósitos.
o Propiciar el acercamiento de las docentes a la geometría a partir del
reconocimiento y representación de diferentes formas geométricas.
o Favorecer el avance de la visión a la visualización.
Material.
En forma individual, entregar a cada una de las participantes una bolsa que
no permita ver su contenido. Cada bolsa con el mismo tipo y número de
formas variadas: tiras longitudinales con bordes rectos, curvos, mixtos,
quebradas; figuras cerradas y abiertas; polígonos regulares e irregulares;
cuerpos cóncavos y convexos.
Organización.
En parejas.
Situación de acción.
Consigna
1ª variante (reconocimiento/identificación)
Un miembro de la pareja sacará de su bolsa una de las formas y la
mostrará a su compañero. La otra persona, únicamente con el tacto,
intentará sacar la misma forma que su compañera le mostró.
Cada integrante de la pareja deberá descubrir tres figuras y
posteriormente intercambiar el rol de participación.
Comunicación de resultados.
Consigna
2ª variante (reconocimiento y descripción):
Una de las integrantes meterá su mano a la bolsa, elegirá una forma y
sin sacar la mano de la bolsa, la describirá para su compañera quien
deberá encontrar en su bolsa la misma forma como resultado de la
descripción de su pareja y haciendo uso exclusivo del tacto. Cuando
ambas integrantes consideren que ya tienen la misma forma, ambas
sacarán la mano al mismo tiempo con la forma elegida y verificarán si
lo lograron o no.
83
Después de que hayan logrado descubrir tres figuras, intercambian el
rol de participación.
Situación de formulación.
En reunión plenaria comentaron su experiencia con respecto al tipo de
formas que encontraron, cuáles fueron más fáciles y cuáles más difíciles de
encontrar. Qué características de las formas favorecieron o dificultaron la
actividad.
Institucionalización.
Se plantearon las siguientes preguntas para que las docentes concluyeran la
importancia de visualizar las formas como objetos matemáticos
¿Qué podrían haber preguntado para encontrar determinado
triángulo?
¿Cuál será la diferencia entre ésta (línea quebrada) y el triángulo?
¿Qué características tiene una forma y que no tiene la otra?
Finalmente se discutió con respecto a la viabilidad y el propósito que podrían
tener este tipo de actividad con los niños de educación preescolar.
1.4. Actividad: Diseño de situaciones didácticas
Propósito.
o Iniciar un proceso de acercamiento al diseño de situaciones didácticas
por parte de las docentes de educación preescolar con la finalidad de
reconocer el punto de partida con respecto al diseño de situaciones
didácticas.
Organización.
Las participantes se integran en dos equipos con el propósito de diseñar una
situación didáctica para la enseñanza de la geometría, considerando las
características de los alumnos de tercero de preescolar.
Desarrollo.
84
Un equipo leyó al grupo su producción “Descubriendo las figuras, en
específico, el círculo, el triángulo, el cuadrado y el rectángulo”
1.5. Actividad: Cierre de la sesión.
Se colocaron las siguientes preguntas en hojas de rotafolio. Las
participantes de manera indistinta pasaron a darles respuesta.
¿Qué considero que fue lo más interesante de la sesión?
¿Qué actividades cambiaría a la sesión?
¿Qué aprendizajes considero que me llevo de esta sesión?
¿Cómo se sintió con la actividad?
3.4.7.2 Segunda sesión.
2.1. Actividad. Recuperación de la sesión anterior.
A partir de la evaluación que se registró en las hojas de rotafolio, se
comentaron los pronunciamientos que hicieron las participantes y se les
preguntó si habían puesto en práctica la situación didáctica que se había
diseñado.
2.2. Situación didáctica: Clasificación libre de figuras geométricas.
Propósito.
o Reconocer algunos atributos, de las figuras geométricas
Material.
Por pareja un juego de tarjetas con las siguientes figuras geométricas:
Figuras abiertas con lados rectos.
Figuras abiertas con lados rectos y curvos.
Figuras cerradas con lados rectos.
Figuras cerradas con lados rectos y curvos.
Polígonos convexos.
85
Polígonos con lados iguales (igual medida).
Polígonos con lados desiguales (diferente medida).
Polígonos con ángulos rectos.
Polígonos con ángulos agudos u obtusos.
Diferentes tipos de triángulos.
Ver anexo 1
Organización.
Por parejas.
Situación de acción: Clasificación libre de figuras geométricas.
Consigna.
Observar las figuras y proponer diferentes clasificaciones. Escribir en
una ficha las características de las figuras que tomaron en
consideración para realizar cada una de las clasificaciones.
Exponer al grupo los resultados de sus clasificaciones y los criterios
utilizados para hacerlas.
Situación de formulación.
Exposición de sus clasificaciones con sus respectivas justificaciones.
El resto de las participantes toma una postura argumentada de compartición
o refutación de lo presentado.
Institucionalización.
A partir de la observación de que algunas figuras geométricas podrían estar
en una o en otra clasificación, se llevó la discusión a la importancia de definir
con claridad cuáles eran los criterios de clasificación y que eso es lo que
determinaría la pertenencia a uno u otro grupo.
2.3. Situación didáctica: De las figuras geométricas a los polígonos.
Propósitos.
86
o Identificar y nombrar características y propiedades de los polígonos
en la exploración de diferentes figuras geométricas.
o Favorecer el avance de una visión intuitiva a una visualización
razonada de los polígonos como una configuración matemática.
1ª variante Discriminación de polígonos en un conjunto de figuras
geométricas.
Situación de acción: De las figuras geométricas a los polígonos.
Consigna.
Con las mismas tarjetas de la situación anterior, observar las figuras y
seleccionar aquellas figuras que consideran polígonos argumentando sus
clasificaciones.
Exponer al grupo su clasificación de polígonos y los criterios utilizados
para la selección.
Institucionalización.
Durante la presentación de sus polígonos y la exposición de sus criterios de
selección, se observaron diferencias de criterios. A partir de sus selecciones,
se les presentó una colección que representaba a los polígonos. Las
participantes enunciaron los criterios de selección y llegaron a la
construcción escrita del concepto de polígono.
2ª variante. Clasificación de polígonos.
Material.
Solicitar a los participantes, sustraer de su colección de tarjetas aquellas que
representaran figuras abiertas y con lados curvos. Entregar a cada equipo
otra colección de polígonos:
Polígonos convexos.
Polígonos cóncavos.
Polígonos complejos (Anexo 2).
Situación de acción y situación de formulación.
87
Consigna.
Verificar que las tarjetas sólo tengan polígonos. Ya que estén seguras
de esta condición, hacer tantas colecciones como consideren
definiendo claramente sus criterios y escribirlos en fichas de trabajo.
3ª variante. (Situación de formulación).
Consigna.
Las fichas con los criterios de clasificación, deberán intercambiarlas
con otra pareja con la finalidad de realizar la o las colecciones
siguiendo los criterios de clasificación anotados en la ficha de trabajo
que les entregaron.
Durante la fase de formulación, la tarea de la conductora fue hacer
precisiones con respecto al uso de lenguaje geométrico:
Segmentos.
Líneas.
Ángulos.
Vértices.
Triángulos isósceles, escalenos o equiláteros.
Cuadriláteros, etc.
Institucionalización.
Como consecuencia de los criterios de clasificación que se presentaron, se
reflexionó sobre la ambigüedad de las instrucciones, la imposibilidad de
realizar las colecciones o la precisión de las instrucciones. Esta reflexión,
llevó a discutir sobre la pertinencia del uso del lenguaje geométrico para la
precisión y el entendimiento de las participantes, con la condición de que
tanto una como otra entiendan a que se está refiriendo.
2.4. Situación didáctica: Características y propiedades de los cuadriláteros.
Propósitos.
88
o Iniciar la identificación y descripción de algunas características de los
cuadriláteros a partir de explorar y clasificar estos polígonos.
o Favorecer el avance de una visión intuitiva a una visualización
razonada de los polígonos como una configuración matemática.
Material.
Tarjetas con diferentes clases de polígonos.
Organización.
En parejas.
1ª variante. Selección de cuadriláteros.
Situación de acción.
Consigna.
o Seleccionar sólo las tarjetas que presentaran cuadriláteros y mostrar las
colecciones indicando los criterios que utilizaron para realizar las
clasificaciones.
o Exponer al grupo las clasificaciones y los criterios utilizados.
Comentarios.
Durante la presentación de sus clasificaciones, se observaron diferencias de
criterios y se discutió de la pertinencia de sus clasificaciones.
2ª variante.
Situación de acción.
Cerciorarse de tener exclusivamente cuadriláteros convexos y realizar
clasificaciones de manera libre.
Realizar clasificaciones conforme a los siguientes criterios:
o ángulos rectos, lados de igual medida, lados de igual medida
con ángulos de diferente medida, lados de diferente medida
con ángulos de igual medida.
Institucionalización.
89
Se favoreció el análisis de los criterios de clasificación y se concluyó como
algunos cuadriláteros como el cuadrado o el rombo podrían pertenecer a una
misma clasificación o a otra diferente dependiendo de las características que
se observaran en ellos.
2.5. Actividad: Lectura
Se realizó la lectura comentada de un fragmento del texto: “Invitación a la
geometría” de Alsina, C. (1997) p. 13-15.
Cómo cierre de la sesión se les pidió escribieran individualmente:
Lo que aprendieron hoy.
Para qué les servirá como docente de preescolar.
3.4.7.3 Tercera sesión.
3.1. Actividad de exploración.
Propósitos.
o Reconocer y nombrar algunos atributos y propiedades de triángulos
que forman parte de diferentes configuraciones.
o Reflexionar acerca del manejo de figuras prototípicas en la educación
preescolar.
Material.
Hojas con dibujos de triángulos y figuras parecidas a los triángulos.
Organización.
Individual.
Se entregó a cada participante una hoja con diferente tipo de figuras. Entre
las figuras se encontraban figuras geométricas cerradas con un lado curvo,
triángulos con alturas mínimas, cuadriláteros cóncavos que dieran la
impresión de ser triángulos. Ellas tendrían que elegir aquellas que
90
consideraran eran triángulos y argumentar su selección. Se discutió con
respecto a la representación de triángulo que regularmente se maneja en
preescolar y las consecuencias de aprendizaje con respecto a este tipo de
práctica.
3.2. Situación didáctica: Transformaciones geométricas.
Propósitos.
o Reconocer y nombrar algunos atributos y propiedades de los
triángulos en dibujos.
o Identificar, reproducir y predecir configuraciones a partir de
trasformaciones geométricas.
o Describir posiciones y movimientos en diferentes configuraciones.
Material.
Tarjetas con triángulos de diferente clase:
Equiláteros.
Isósceles rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
Escaleno rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
Organización.
El grupo se organiza en parejas, a cada una de ellas se le entrega un
paquete de tarjetas con las figuras geométricas mencionadas.
Consigna.
1ª variante (transformaciones geométricas)
Elaborar polígonos con dos triángulos iguales o diferentes.
Elaborar polígonos con tres o más triángulos iguales o diferentes.
Tomar nota del tipo de polígono que formaron y la manera en que
colocan los triángulos para formarlo.
Mostrar al grupo sus construcciones junto con sus argumentos y
llenar la siguiente tabla.
91
Situación de formulación.
2ª variante (reconstrucción de configuraciones)
Consigna.
Individualmente presentar al grupo su construcción e indicar su
procedimiento de construcción, para que las compañeras lo
reconstruyan y comparen las construcciones
Discutan sobre la pertinencia y precisión de las instrucciones y sobre
el uso del lenguaje geométrico.
Institucionalización.
Conforme a la presentación de sus configuraciones, se cuestionaron las
instrucciones y las características y propiedades geométricas que
mencionaron para su construcción. Esta actividad llevó al uso y
reconocimiento de las propiedades de los polígonos para el desarrollo de la
aprehensión discursiva.
3.3. Actividad: Diseño de situaciones didácticas.
Propósito.
o Diseñar una situación didáctica que considere los contenidos
geométricos y los cognitivos tales como la visualización, representación
y configuración de figuras geométricas que se abordaron durante el
taller y que sea factible aplicar en preescolar.
Polígono formado Características del
triángulo
Forma de acomodar el
triángulo
Cuadrado
Rombo
Trapecio regular
Romboide
Trapecio irregular
92
En sesión plenaria, se comentan los contenidos geométricos trabajados
hasta ese momento con la finalidad de elegir de entre ellos el contenido
sobre el cual se diseñará la situación didáctica. Únicamente se hacen
comentarios generales, no se avanza en el desarrollo de esta actividad.
3.4.7.4 Cuarta sesión
4.1. Actividad. Recapitulación de los contenidos desarrollados hasta la
sesión anterior.
Material.
Anexo 3: Cuadro de contenidos.
Organización.
Grupal y por parejas.
Se inició con una recapitulación de la parte final de la sesión anterior
(situaciones didácticas y los contenidos que se han abordado hasta este
momento en el taller). A partir de esta recapitulación, organizadas por
parejas se les entregó el anexo 3 con la finalidad de recapitular
sistemáticamente los contenidos del taller.
Por parejas presentan su cuadro (anexo 3) y las demás participantes
completan la información que se presentó.
La siguiente actividad fue la lectura de entrevistas realizadas con alumnos y
docentes de educación preescolar para su discusión y comparación con las
diferentes actividades que se han desarrollado a lo largo del taller.
4.2. Actividad Teoría de las situaciones didácticas.
Propósitos.
o Reflexionar y analizar la teoría de las situaciones didácticas de
Brousseau como un instrumento de apoyo en la elaboración de
situaciones didácticas en Preescolar.
o Favorecer un primer acercamiento a la teoría de las situaciones
didácticas en lo referente a los momentos y a los diferentes tipos de
situaciones didácticas.
93
o Diseñar una situación didáctica que considere los contenidos
geométricos y los cognitivos tales como la visualización, representación y
configuración de figuras geométricas que se abordaron durante el taller.
Material.
Presentación en un power point la Teoría de las situaciones didácticas
Organización.
Grupal.
Desarrollo.
Se presentó la “Teoría de las situaciones didácticas” invitando a las
participantes a discutir con respecto a:
Su papel como docentes,
a lo que hasta ese momento habían experimentado en el taller
con respecto al tipo de conducción y el tipo de participación de
ellas en el taller,
las producciones realizadas hasta ese momento y
el papel de las preguntas en las situaciones didácticas.
Una vez discutido y analizado, se les solicitó que se organizaran en equipos
y diseñaran una situación didáctica a partir de:
Las situaciones didácticas de Brousseau y
Los contenidos trabajados durante el taller.
Cada equipo presentó a la plenaria el diseño de una situación didáctica y las
demás participantes aportaron sugerencias para mejorarla.
4.3. Situación Didáctica: Las teselaciones.
Propósitos.
o Reconocer las teselaciones que se pueden construir con las
isometrías de traslación y rotación.
o Reconocer los atributos y propiedades métricas de los polígonos que
permiten la elaboración de teselaciones.
94
o Deducir propiedades de los polígonos que permiten la realización de
teselados.
o Favorecer el desarrollo de la aprehensión discursiva a partir de la
elaboración de teselaciones.
Se presentaron al grupo diferentes imágenes de teselaciones (anexo 4), las
participantes describirían las características de las imágenes como por
ejemplo: figuras que se repiten, como están acomodadas las figuras,
existencia de espacios vacíos. Para completar sus observaciones, se
hicieron las siguientes preguntas:
¿Qué características poseen estas imágenes?
¿Dónde han visto este tipo de imágenes?
¿Los pisos con mosaicos serán teselaciones?
¿Qué caracteriza a esas imágenes?
¿Cómo movieron la figura para realizar las imágenes?
¿Qué tipos de giros hicieron, para realizar las imágenes?
¿1/4 de vuelta ½ vuelta, vuelta completa? ¿Giros de 90ª, 180ª o 360ª?
La siguiente parte de la situación didáctica, no se pudo realizar en esta
sesión, porque se recibió una noticia que causó desconcierto y preocupación
en el grupo y se decidió no continuar con la actividad. Se continuó en la
siguiente sesión.
3.4.7.5 Quinta sesión
5.1. Actividad: Recapitulación de los contenidos desarrollados hasta la
sesión anterior.
Se inició con una recapitulación de la actividad de diseño de las situaciones
didácticas, conforme se discutió de las dificultades que tienen para diseñar y
definir con claridad la intencionalidad educativa de las situaciones didácticas
que planean, decidí trabajar una actividad llamada “La figura escondida”. En
esta actividad, las participantes tenían que descubrir una figura, a partir de
preguntas a las que sólo se podía responder sí o no. Esta actividad favoreció
95
en primer lugar, la reflexión con respecto al tipo de preguntas que se hacen y
que se pueden hacer a los alumnos de este nivel. La importancia del orden
en que se presentan las preguntas, y las dificultades para que los alumnos
descubran cuáles preguntas son pertinentes para descubrir la figura y cuáles
no lo son.
En segundo lugar, se discutió el manejo de las figuras prototípicas en este
nivel educativo y cuáles son las limitaciones de aprendizaje que se tienen.
5.2. Actividad: Diseño de situaciones didácticas.
Propósitos.
o Diseñar una situación didáctica para educación preescolar, que
considere los contenidos geométricos tales como tipo o cantidad de
lados y contenidos cognitivos como la visualización y la
representación de figuras geométricas que se abordaron durante el
taller.
o Reproducir y diseñar teselados al aplicar las características de
medidas de lados y ángulos de los polígonos.
Organización.
Equipos de tres participantes.
Desarrollo.
A cada equipo se le entregaron las diferentes situaciones didácticas
diseñadas en la sesión anterior. Las participantes discutieron las
observaciones que la conductora realizó a dichas situaciones, con la
finalidad de afinar sus producciones y concluir acerca de la pertinencia en
preescolar.
5.3. Situación didáctica: Teselación por rotación y traslación.
Propósitos.
o Favorecer el desarrollo de la aprehensión discursiva a partir de la
elaboración de teselaciones.
96
o Reconocer propiedades de los polígonos como ángulos y lados que
permiten la teselación
Material
Colección de cuadrados con las siguientes como los siguientes:
Organización.
Equipos de tres integrantes.
Situación de acción.
Se recordaron las imágenes que se observaron en la sesión anterior, así
como las observaciones que hicieron a dichas teselaciones.
Consigna.
1ª variante (teselación libre).
Cubrir una superficie determinada utilizando libremente la colección
de cuadrados que se les entregaron.
Observar las teselaciones de sus compañeras y tratar de
reproducirlas descubriendo las condiciones en que movieron los
cuadrados.
Consigna.
2ª variante (teselación condicionada).
Elegir un sólo tipo de cuadrado y teselar una superficie a partir de las
siguientes condiciones:
o Traslación del cuadrado
o Rotación de 45º del cuadrado
o Rotación de 90º
97
Presentar y describir por escrito la elaboración de sus teselaciones.
3ª variante (teselación con un polígono diferente al cuadrado y con dos o
más diferentes polígonos).
Material.
Colección de diferentes polígonos.
Organización.
Las mismas tríadas.
Consigna.
Realizar una teselación con un solo tipo de polígono e identificar las
propiedades que les permitieron o no les permitieron realizar la
teselación.
Realizar una teselación con dos o más tipos de polígonos y deducir
que propiedades les permitieron o no les permitieron realizar la
teselación.
3.4.7.6 Sexta sesión.
6.1. Actividad: Recapitulación de los contenidos referentes a la teselación.
Se solicitó a las participantes comentaran con respecto a las teselaciones.
Para apoyarles en la recuperación de estos contenidos, nuevamente se les
entregaron polígonos para que los manipularan, teselaran y se recuperaran
las características de los polígonos que permitían la teselación. Se
plantearon las siguientes preguntas para apoyar la recuperación de
contenidos.
¿Qué características tienen estas figuras geométricas?
¿El color de la figura fue algo importante?
¿El tamaño de la figura fue importante? ¿Qué del tamaño?
¿Qué tuvieron que hacerle a la figura para poder teselar el plano?
(doblarla, cortarla, rotarla, trasladarla)
98
Observen alguna de las teselaciones que realizaron y comenten cuál
fue el plan de teselación. ¿Puede haber otra manera de teselar ese
plano con esa misma figura?
“Teselación con figuras diferentes”
(Esta actividad es una recuperación de lo que se trabajó en la sesión anterior
pero no se discutió.)
Propósito.
o Reconocer propiedades de los polígonos como ángulos y lados que
permiten la teselación.
Material.
Diferentes polígonos para teselar.
Actividades:
Muestren aquellas figuras diferentes con las que sí pudieron teselar un
plano.
¿Qué características tienen estas figuras geométricas?
¿El color de la figura fue algo importante?
¿Qué comparten estas figuras que les permite juntarse y teselar un
plano?
¿La posibilidad de teselar, está relacionada con la medida de los
lados?
¿La posibilidad de teselar, está relacionada con la medida de los
ángulos?
¿Qué parejas o triadas de figuras dejaron huecos entre sí y por lo
tanto no se pudo teselar el plano con ellas?
¿Qué tuvieron que hacerle a la figura para poder teselar el plano?
(doblarla, cortarla, rotarla, trasladarla)
Observen alguna de las teselaciones que realizaron y comenten cuál
fue el plan de teselación.
99
¿Qué otras preguntas podrían realizar a sus alumnos para llevarlos a
la reflexión de las propiedades de las figuras?
¿Qué contenidos matemáticos pueden trabajarse a través de estas
actividades?
¿Qué objetivos educativos (o vinculados a la formación intelectual de
los niños) pueden lograrse a través del trabajo con teselados?
Institucionalización
La discusión se dirigió hacia la institucionalización de aquellas
características y propiedades como la medida de los lados y de los ángulos
de los polígonos que permiten la teselación.
6.2. Actividad: A manera de cierre.
Se entregó individualmente un sobre con fragmentos de distintos textos con
referencia a la enseñanza y el aprendizaje de la geometría con la tarea de
seleccionar aquellos fragmentos con los que estén mayormente de acuerdo
y expongan en plenaria las razones de su elección.
Por equipo se entregaron las siguientes tablas.
ACTIVIDADES QUE SE
DESARRROLLAN TRADICIONALMENTE
EN EL AULA DE PREESCOLAR
CONOCIMIENTOS
GEOMETRICOS QUE SE
FAVORECEN
ACTIVIDADES QUE SE
DESARRROLLARON A LO LARGO DEL
TALLER
CONOCIMIENTOS
GEOMÉTRICOS QUE SE
FAVORECEN
100
A partir de lo que se discutió anteriormente, de las tablas de
contenidos elaboradas con anterioridad, así como de su PEP 2011 y
de sus comentarios, completen las siguientes tablas.
Comparen ambas tablas e intercambien comentarios relacionados con: las
implicaciones didácticas, las dificultades educativas, la importancia de la
formación de la docente de preescolar en contenidos geométricos. Por falta
de tiempo esta actividad ya no se desarrolló.
Realicen la evaluación del taller
101
Capítulo 4
Procedimiento de análisis
El presente capítulo tiene la intención de mostrar las diferentes etapas por
las que se transitó durante todo el proceso de análisis.
El proceso de análisis que se realizó en esta investigación, parte de la idea
de “viñeta” que propone Llinares (2007). La RAE define viñeta como cada
uno de los recuadros que conforman una historieta o historia; en un
procesador de texto son las marcas gráficas que permiten enlistar ideas que
se consideran relevantes. En la presente investigación, desde los
planteamientos de Llinares, la viñeta estará constituida por datos que
proceden de los diferentes momentos de la investigación y que conformen
“una historia” que nos permita realizar interpretaciones a partir de ella.
Los primeros datos de las viñetas proceden de las narrativas y cuestionarios
de las participantes en el taller de formación. Los siguientes datos se
obtuvieron de sus acercamientos a la geometría durante las primeras
sesiones del taller; éstos se obtuvieron de los videos de las sesiones y
finalmente se recuperaron aquellas manifestaciones orales o escritas que
dejen observar aprendizaje de la geometría como contenido matemático y
contenido pedagógico.
La tarea de analizar los datos obtenidos, conlleva dos diferentes niveles de
aproximación:
un primer momento en el que se destacan las unidades de significado
o unidades de análisis, y
un segundo momento de identificación de relaciones de significado
entre estas primeras unidades de significado (Llinares, 1992).
De acuerdo con el acercamiento elegido, se concibe como unidades de
análisis a aquellas “frases o conjunto de ellas de las que componen la
comunicación-información procedentes de las fuentes de datos utilizadas en
dicha investigación y que tengan sentido propio en relación al objetivo de la
102
investigación” (Llinares, 1992, p. 79). Dicho de otra manera, son aquellas
porciones de información que tienen sentido en la investigación, en tanto
expresan o manifiestan evidencias relevantes para el proceso investigativo
en función de los objetivos definidos.
Se trata de hacer visibles las posibles relaciones entre los diferentes datos
de que se dispone en la investigación, para poder construir significados que
en una primera lectura no se perciben, pero que a partir de su
procesamiento se pueden identificar.
Con base en el enfoque descrito, se consideraron las expresiones orales y
escritas manifestadas por las docentes, tanto en las producciones que
específicamente se les solicitaron: cuestionarios, narrativas, evaluaciones de
sesiones; así como en las que se produjeron en sus interacciones a lo largo
de las seis sesiones del taller de intervención.
4.1 Codificación de los insumos
Para desarrollar el análisis de los datos obtenidos, fue necesario establecer
una codificación que permitiera organizar e identificar la información a la que
se hace referencia. Esta codificación, permitió sistematizar los
procedimientos de análisis para todas y cada una de las etapas del proceso.
A cada uno de los instrumentos de diagnóstico, los videos o las
producciones de las participantes, se les asignó una letra que corresponde a
la letra inicial del nombre del instrumento.
En la siguiente tabla se muestran los códigos que se establecieron:
Tabla 3
Maestras M1, M2, M3,…M12
Coordinadora C
Narrativas N
Cuestionarios c
Entrevistas E
Audiograbaciones A
103
Pregunta P1, P2, P3, P4 Y P5.
Evaluaciones E
Videograbaciones V1a,V1b,………V6a,…V6j
Número de Sesión S1, S2, S3, S4,S5 Y S6
Tiempo 0:01, 0:02 ………1:30:20 etc.
Cada frase o idea de la narrativa se registró en un determinado espacio
gráfico que se numeró a fin de ubicar específicamente el lugar en que se
encuentra registrada la frase o idea. Las transcripciones del video se
identifican por el momento en que ocurrió el suceso transcrito.
Para codificar una unidad de análisis, se iniciará con la letra que
corresponde al tipo de insumo, en seguida la clave de la participante y por
último el lugar preciso donde se encuentra la frase o unidad de análisis.
Como ejemplo: si se tiene la unidad de análisis NM1.9, significa que N
corresponde a la narrativa, M1 a la clave de la participante y 9 a la unidad de
análisis según el orden dado a las unidades seleccionadas.
NM1.9 Creo que un problema para la enseñanza
de la geometría es que nos da miedo
enfrentar a los niños a situaciones
retadoras de las cuales puedan surgir
cuestionamientos que tal vez no siempre
podamos responder.
El trabajo de análisis comenzó con la exploración de las producciones, su
transcripción y la selección de unidades de análisis, y la constitución de un
primer mapa con categorías determinadas por el marco referencial de la
investigación así como los propósitos de la misma. Este marco fue lo
suficientemente flexible para modificar o incorporar nuevas categorías sin
perder de vista la delimitación del tema a analizar.
104
4.2 Narrativa y cuestionario
La narrativa es un tipo especial de discurso en el que queda plasmada parte
de una experiencia de vida del autor del texto, es un relato biográfico de un
momento o espacio determinado de tiempo que permite a los lectores la
reconstrucción de la vivencia del otro. Dentro de un contexto de
investigación, este texto cobra gran importancia, ya que permite al
investigador la construcción de significados a partir de las vivencias y
sentidos que en este caso, el docente plasma a solicitud del investigador
(Bolivar, 2001).
En el contexto de esta investigación, la narrativa permitió conocer aquellos
significados que los profesores han construido a lo largo de su vida
académica y profesional con respecto a la geometría como asignatura de
aprendizaje y de enseñanza. Para acceder a esos significados y lograr los
propósitos de la presente investigación, en la primera sesión del taller se
solicitó a las participantes elaborar una narrativa y responder un
cuestionario.
Estos dos instrumentos de indagación son complementarios entre sí. La
narrativa permite conocer a través del relato cómo vivieron las participantes
su acercamiento con las matemáticas en lo general, y con la geometría en lo
particular, a lo largo de su vida académica y en su vida profesional; así como
sus intenciones formativas con respecto a la geometría.
Por otro lado, en el cuestionario las participantes responden de manera
puntual y concreta a preguntas en torno a lo que saben y enseñan en
referencia a la geometría como materia de enseñanza. De esta forma, al
analizar ambos documentos, se cuenta con elementos que nos permiten en
lo posible, encontrar regularidades, relaciones, y contrastes, para llegar a
una comprensión contextual que permita realizar un análisis y generar
categorías a partir de estos datos (Llinares, 1992).
4.2.1 Narrativa
Con respecto a la narrativa, se realizó una primera lectura de cada una de
las producciones, se fueron subrayando aquellas frases en las que estuviera
105
presente la palabra geometría; se transcribieron esas frases y junto a ellas
se anotaron ideas o comentarios que surgían al momento en que se
transcribían dichas frases.
A este tipo de comentarios, se les llama notas pre-analíticas. Notas que se
obtienen de los insumos en el momento de la transcripción y selección de
datos y “constituyen reflexiones que añaden significado y clarifican las notas
de las transcripciones” (Llinares, 1992, p 81)). Estas notas fueron el insumo
básico, que en un primer momento, permitieron establecer posibles
conexiones entre las ideas y posteriormente un análisis más fino. En ese
momento del trabajo –transcripción de notas– no se estuvo preocupado en
los detalles, sino en tener insumos que posteriormente se estructurarían
(Roth, 2005).
Continuamente se tomó la precaución de considerar los factores
contextuales de las participantes, ya que finalmente, éstos son elementos
esenciales para dar sentido y estructura a la información. (Llinares, 1992;
Pinto y Gálvez, 1999; Bolívar, 2001). Estas primeras transcripciones, en
conjunto con las notas pre-analíticas, dieron una idea global del contenido de
las narrativas y llevaron a la identificación de afinidades entre los contenidos
de las frases seleccionadas y de esta forma se pudo establecer una primera
codificación bajo los siguientes criterios:
La manifestación de las concepciones y creencias que con respecto a
la geometría tienen las educadoras.
La manifestación de las concepciones y creencias que tienen con
respecto a la enseñanza de la geometría.
Conforme se registraron las unidades de análisis y se anotaron las notas
pre-analíticas, el proceso de relación entre las ideas permitió mejorar su
selección y dar cuenta de aspectos más finos de los propios datos (cf.
Llinares, 1992). Para el caso de la primera categoría se registraron
expresiones de las maestras que incumbieron aspectos más específicos de
sus concepciones con respecto a la geometría, a partir de lo cual se
establecieron las siguientes sub-categorías:
106
Concepciones con respecto a la geometría.
Sus contactos con la geometría.
La siguiente tabla ejemplifica como se organizaron las unidades de análisis
en la categoría y las subcategorías establecidas desde la narrativa.
Tabla 4
La manifestación de las concepciones y creencias que con respecto a la
geometría tienen las educadoras
Conocimiento de
la geometría
como disciplina.
NM2.5…la geometría… me ayuda a moverme de una mejor
manera en mi entorno, además de prever ciertas situaciones
diarias para armar, construir o propiciar que se haga algún diseño
que resuelva el problema (una tabla para registro de datos en
papel; un mueble, una casa, un estanque, etc.).
NM4.14…una herramienta para la resolución de problemas en
cualquier ámbito…la geometría… ayuda a desarrollar nociones
espaciotemporales y a resolver problemas de muchos tipos.
Sus contactos
con la geometría.
NM1.1… [En el] jardín de niños mi maestra me daba figuras
geométricas para armar animales, casas, árboles,…las formas
eran mágicas porque al doblarlas o cortarlas se convertían en
otras figuras y elaboré un álbum con muchas figuras armadas
con formas geométricas.
A mí la geometría me causa agrado, asombro y sorpresa
Lo que menos trabajábamos en matemáticas era me parece que
la geometría precisamente porque me parece que tal vez al
maestro (a) no le gustaba o no lo comprendía o no sabía cómo
enseñarlo.
Para la segunda categoría: Concepciones y creencias sobre la enseñanza
se identificaron expresiones que tuvieron que ver con:
Los obstáculos derivados de la falta de conocimiento matemático y,
sus preocupaciones con respecto a la didáctica de la geometría.
107
Su organización se ejemplifica en la siguiente tabla.
Tab
la 5
Concepciones y creencias sobre la enseñanza
Obstáculos de
conocimiento
matemático.
NM7.28 Quisiera tener claro primero yo que es todo lo que
puedo enseñar.
NM4.15 Creo que los principales problemas… son…el
conocimiento previo del docente.
Sus
preocupaciones
con respecto a la
didáctica de.
NM3.9 Un problema para la enseñanza de la geometría es
que nos da miedo enfrentar a los niños a situaciones
retadoras de las cuales puedan surgir cuestionamientos
que tal vez no siempre podamos responder.
NM7.27 Los principales problemas para la enseñanza de
la geometría… no contar con los conocimientos o las
herramientas para poder llevarlas al aula. Actualmente
utilizamos el tangram y algunas actividades del libro de
preescolar para enseñar geometría, pero no es de una
manera totalmente consciente.
NM7.28…creo que deben haber muchas formas que no
conozco y no sólo aprender y darles algunos usos a las
figuras geométricas.
4.2.2 Cuestionario.
En el caso del cuestionario, el proceso de registro y selección fue de manera
similar al de la narrativa. Por cada participante se registraron cada una de
sus cinco respuestas a las preguntas incluidas, se concentraron las
respuestas por número de pregunta y se fueron haciendo notas pre-
analíticas, para pasar a su organización en las categorías predeterminadas.
Continuando con las categorías predeterminadas y a partir de las notas pre-
analíticas se categorizaron las unidades de análisis del cuestionario. Un
ejemplo de ellas se encuentra en la siguiente tabla.
108
Tab
la 6
La manifestación de las concepciones y creencias que con
respecto a la geometría tienen las educadoras.
Concepciones acerca de
la geometría.
cP2M8 Se encarga de estudiar el volumen
de las figuras geométricas.
cP2M6 Estudia la medida de los objetos.
cP1M8 El conocimiento de figuras
geométricas, el uso de diferentes
instrumentos de trabajo, como compás,
reglas, transportador, etc., la resolución de
problemas (áreas, Perímetro).
cP2M2 Medida y formas de figuras regulares
cP3M7 Para que los niños empiecen a
descubrir que pueden hacer muchas
figuras si saben trazar cuerpos geométricos.
Sus contactos con la
geometría.
cP1M8 El conocimiento de figuras
geométricas, el uso de diferentes
instrumentos de trabajo, como compás,
reglas, transportador, etc…, la resolución de
problemas (áreas, Perímetro).
Concepciones y creencias sobre la enseñanza
Obstáculos de
conocimiento
matemático.
Quisiera tener claro primero yo que es todo
lo que puedo enseñar, creo que deben haber
muchas formas que no conozco y no sólo
aprender y darle algunos usos a las figuras
geométricas, actualmente lo estoy
recordando con mi hijo y sufriendo porque
no sé cómo explicarlo.
La geometría como
objeto de enseñanza.
cPM9 …partir con los niños de que se
ubiquen y hagan uso del espacio para
trabajar con la geometría y que usos tienen
en su vida que sea aplicable.
109
cP3M1 Reconocer espacios, figuras y
realizar expresiones gráfico-plásticas.
cP2M6. Estudia la medida de los objetos.
cP3M3 En tercero de preescolar para que
los pequeños se den cuenta que todo lo que
está a su alrededor tiene una forma.
cP3M5 Considero que pueden ser las bases
del siguiente nivel para ir introduciéndolos en
el tema, que comiencen a ver las bases de
lo que será el siguiente nivel.
Sus preocupaciones con
respecto a la didáctica
de.
cP5M6 Porque no conozco otra forma
intencionada y formal de hacerlo.
cP5M1 Así lo aprendí, pero me doy cuenta
que hay muchas formas y materiales
diversos que nos pueden ayudar, sólo hay
que saberlo usar, aplicarlos a la resolución.
A continuación, estas categorías se conformaron tanto con los datos de la
narrativa como con los del cuestionario, pues la primera producción fue un
texto de orden anecdótico y no necesariamente se encontró información
puntual. El cuestionario al ser un texto del orden informativo permitió
complementar y establecer líneas de coherencia o de contradicción entre
unidades de análisis de una misma categoría y de una misma participante.
4.3 Videos del taller
En la construcción de validaciones, es importante contar con diferentes
insumos que apoyen por un lado la descripción de los sucesos que se dan
durante un proceso investigativo y por otro potencien el análisis crítico de
estos hechos. (Gavilán, García y Llinares, 2007). Para triangular la
información obtenida en los cuestionarios y narrativas, las videograbaciones
de las sesiones de taller ofrecieron datos que posibilitaron un mejor
procedimiento de análisis ya que permitieron dar cuenta de las maneras en
110
que enfrentaron la resolución de las consignas que se les propusieron, de
los desarrollos cognitivos con respecto al aprendizaje de la geometría y el
desarrollo de su conocimiento profesional.
La selección y relación de los fragmentos de video que se recogieron, se
produjo con base en las referencias teóricas de este trabajo de investigación,
es decir desde la perspectiva de los conocimientos profesionales del
docente, una mirada didáctica con el papel que jugaron las situaciones
didácticas y desde una mirada cognoscitiva del aprendizaje de la geometría
como contenido conceptual y pedagógico.
4.3.1 Análisis de videos.
En la primera fase, a la par que se transcribieron las narrativas y el
cuestionario, se realizó una primera mirada de todos los videos grabados
durante las seis sesiones del taller. Fue importante tener una mirada de
todas las sesiones y tratar de no emitir juicios concluyentes con respecto a
cambios conceptuales o de desarrollo, pues estos cambios si es que los
hubo se “desarrollan y emergen a través del tiempo” (Lesh & Lehrer, 2000) y
en ese momento el propósito era una visión global de todas las sesiones
videograbadas.
Por el particular carácter de accesibilidad de este texto visual –videos– una
práctica que realicé fue observarlos en su totalidad en diferentes ocasiones.
Una vez vistos los videos en su totalidad, y con la información global que se
obtuvo de la narrativa y el cuestionario; se miraron otra vez las
videograbaciones de las seis sesiones y se seleccionaron fragmentos o
unidades de análisis que se transcribieron y a la par se generaron notas pre-
analíticas.
Estos fragmentos, se miraron y compararon desde diferentes perspectivas a
fin de tener mayores elementos o criterios para asociar aquellos que se
sucedieron a lo largo de las seis sesiones del taller de formación (Lesh &
Lehrer, 2000).
111
Por razones de logística (memoria de la videograbadora, fallas de
electricidad o fallas técnicas), los videos de las sesiones están
fragmentados, por lo que a cada sesión corresponden hasta diez segmentos
de video. Por ejemplo el video S1V1a es un video del inicio de la primera
sesión y el video S1V1j es un video del final de la primera sesión.
La siguiente tabla ejemplifica la primera selección de unidades de análisis y
sus notas pre-analíticas.
Tabla 7
Sesión 1 S1V1i
Tiempo Comentarios durante el diseño de su
situación didáctica.
Notas pre-analíticas
1.24 M3…¡Que las clasifiquen no!
Las docentes, se
dan cuenta que es
necesario presentar
las figuras en
diferente posición,
pero no tienen
conocimiento
matemático que
permita apoyar a los
alumnos a un
trabajo más
cognitivo.
1.25 M2 Sí, que las clasifiquen, porque por
ejemplo. Yo una vez me di cuenta de
que les enseñaba los cuadrados. Y en
eso, puse uno inclinadito y un niño me
dijo ese no es cuadrado (ella dijo) Sí, si
es cuadrado El niño dijo: No, no es
cuadrado. Es rombo. ¿Cuál es la
diferencia? Fue cuando me preocupe por
decirle lo que es rombo. Pero si no me
hubieran dicho…, me sigo.
1.42 M1 (Con sus manos forma el rombo en
la posición prototípica). Es más…?
1.43 M2 Es más largo.
1.44 M1 Y el cuadrado tiene sus lados
iguales.
1.45 M2 Exactamente
Sesión 3 S3V3b
112
17:40 C. ¿Qué tiene el triángulo rectángulo?
Argumentar su
selección de figuras.
Ya hablan de las
propiedades de un
polígono a partir de
visualizar como
objeto geométrico.
M8 ¿Ángulo recto?
18:07 C. ¿Cómo me doy cuenta que un ángulo
es recto?
18:17 M5 Porque sus líneas son (cruza sus
dedos para formar líneas
perpendiculares)
18:34 C. ¿Cómo se llaman esas?
18:36 M¿? Perpendiculares
20:07 C. ¿Hay algún triángulo que tenga dos
ángulos rectos? Chequen. Busquen
entre todos los triángulos que tienen ahí.
20:41 C A ver en un papel traten de dibujar un
triángulo con dos ángulos rectos.
20:42 M9 No se puede me sale un cuadrado.
Sesión 4 S4V4a
C. ¿Qué encuentran diferente con
respecto al trabajo de figuras
geométricas que está haciendo el niño y
el que estamos haciendo aquí?
Las participantes
hacen un
comparativo de
cómo trabajan
regularmente la
geometría.
Pueden ver
reflexivamente su
práctica.
M6 Que ahí nada más lo está asociando
con los objetos que le rodean.
M7 La casa del cuadrado y el triángulo.
Yo veo que con lo que lo está asociando,
no existe. No existen muchas casas así.
4.3.2 Fase 2. Categorización.
De la misma manera que con las narrativas y el cuestionario, las unidades
de análisis se categorizaron conforme a las categorías determinadas
anteriormente desde los propósitos de la investigación en la narrativa y el
cuestionario. Durante esta selección se observaron evidencias de procesos,
regularidades, contradicciones, o confirmaciones y emergieron detalles entre
113
diferentes fragmentos, que permitieron establecer conexiones para
conformar una nueva categoría enmarcada en las funciones cognitivas:
Desarrollo de aprehensiones perceptivas a aprehensiones discursivas, la
que permitió dar cuenta de la complejidad de los significados en la
construcción de los conceptos geométricos.
En las siguientes tablas, se ejemplifican algunas de las unidades de análisis
y las categorías en que se asentaron.
Tabla 8.
La manifestación de las concepciones y creencias que con respecto a la
geometría tienen las educadoras
Concepciones acerca de
la geometría
V1S1aM6:14.22 El espacio es la base de la geometría
porque todas las formas figuras las vamos a ver a través
del espacio y es a través de eso como nos vamos a dar
cuenta del espacio que nosotras ocupamos y que ocupan
las cosas y los elementos con quienes estamos
interactuando.
Sus contactos con la
geometría
V1S1h(C):10:09 ¿Y si mi Compañero no conoce el
lenguaje geométrico?
(M2) Pues sí, porque yo le dije es un trapecio y me dice
ella ¿cómo es? Ah, entonces ya lo tuve que describir.
(M6) Se corta la comunicación, porque no tenemos el
mismo lenguaje
Concepciones y creencias sobre la enseñanza
Obstáculos de
conocimiento
matemático
VS1b(C):11.17 ¿Creen que esta haya sido fácil de
encontrar? ¿Por qué? (Muestra un aro de metal)
Todas las participantes dicen Sí
(M9) Sí, porque es de otro material, está fría.
VS1aM2:1.25 Sí… que las clasifiquen, porque por
ejemplo. Yo una vez me di cuenta de que les enseñaba
114
los cuadrados. Y en eso, puse uno inclinadito y un niño
me dijo ese no es cuadrado (ella dijo) Sí, si es cuadrado
El niño dijo: No, no es cuadrado. Es rombo. ¿Cuál es la
diferencia? Fue cuando me preocupé por decirle lo que es
rombo. Pero si no me hubieran dicho…, me sigo
VS2aM3:10:43 Hicimos tres una de los lados y los
ángulos rectos, pero luego también dijimos si los que está
como curvos también eran ángulos. Por eso mejor dijimos
lados rectos y curvos.
La geometría como
objeto de enseñanza
VS1aM9:13:52 Yo me acuerdo que en la escuela nos
decían que para poder trabajar la geometría tendríamos
que trabajar el espacio, si no nunca vamos a poder
trabajar geometría. Y más a este nivel de tercero si los
niños no han trabajado y se ubican espacialmente.
Sus preocupaciones con
respecto a la didáctica
de la geometría.
VS1jM64:38 Hay unos prismas y nada más se los damos
para armar y construyen pirámides y todo eso. Pero no le
damos la intencionalidad. No le damos la utilidad, no nos
arriesgamos, arriesgarnos en serio.
Tabla 9.
Funciones cognitivas
Sesión2 v2s2a
Geometría centrada en
las percepciones
visuales.
VS2aM8:9:23 De alguna manera forman… un
¿semitriángulo? Bueno porque no está cerrado.
VS2AC:31:12 ¿Y ustedes cuáles eligieron?
VS2M1:31:13 Primero tuvimos que… cuales eran los
polígonos. Nosotros dijimos que…, que después del
115
cuadrado, la figura que tiene más lados ya es polígono. Y
buscamos las que tuvieran más de cuatro lados y
encontramos éstas.
Paso de las
aprehensiones
perceptivas a las
discursivas.
VS5C:31:10 Por ejemplo: ¿es de color rojo? ¿Sirve esa
pregunta para saber de qué polígono hablo?
M3 No, el color no.
M6 El tamaño tampoco. Si es grande o chico.
Sesión5 V5S5e
Paso de las
aprehensiones
discursivas a las
perceptivas.
M10:8:22 Que el mismo número de lados nos da el
mismo número de vértices. ¿Sí verdad?
Reflexión sobre su
práctica.
M6 Bueno, la relación que yo veo es como hemos
trabajado la geometría es esa. Asociamos con los objetos
que nos rodean y decíamos la otra vez: con colores. Le
ponemos un color al círculo, otro al cuadrado y ya. Los
distinguimos. Y el niño, va asociando con el color y la
forma que le rodea en cuanto a objetos.
Y bueno, ahora lo que he aprendido es que no solamente
nos podemos limitar a enseñar la geometría asociando
objetos sino hablar de las características de las figuras:
los lados, la cantidad de lados, los vértices… Cómo que
nos estábamos limitando, sin darnos cuenta que hay más
que enseñar con respecto a las figuras geométricas.
Vale la pena recordar que la codificación dada a estas unidades de análisis
es una codificación puramente descriptiva, pero que permitió identificar las
estrategias las concepciones, creencias y conocimientos que las
participantes pusieron en juego al resolver las situaciones problemáticas que
resolvieron en el taller.
Una vez realizada esta primera etapa que incluyen las primeras notas pre
analíticas, fue importante realizar una segunda etapa que evite dejar de lado
información relevante y que favorezca la interrelación entre las unidades de
análisis
116
4.4 Análisis de contenido.
Una vez categorizadas las unidades de análisis se realizó un análisis más
fino en el que se seleccionaron unidades de diferentes categorías que
presentan una nueva relación que las conecta a una idea central (Llinares,
1992).
En este nivel de análisis, se encontraron las siguientes ideas centrales.
4.4.1 Idea central. La geometría un conocimiento manual, sensorial y de
magnitud.
A partir de unidades de análisis recuperadas de la segunda parte del
diagnóstico (es decir, de la narrativa, el cuestionario), y en la primera sesión
de trabajo del taller se encontró que el contacto que las participantes
tuvieron con la geometría, tanto en su papel de alumnas como en su papel
de docentes, se dio principalmente en dos direcciones:
Como objeto de aprendizaje en educación preescolar una geometría
centrada en trabajos plásticos y en educación primaria y secundaria
centrada en las magnitudes y la construcción de figuras geométricas.
NM1.1 ..jardín de niños...figuras geométricas para armar animales, casas,
árboles, eran figuras de papel lustre de varios colores y ella me
enseñaba que las formas eran mágicas.
cP1M8 El conocimiento de figuras geométricas, el uso de diferentes
instrumentos de trabajo, como compás, reglas, transportador, etc.,
la resolución de problemas (áreas, perímetro).
117
Como objeto de enseñanza una geometría centrada en percepciones
sensoriales y la elaboración de trabajos plásticos.
1. NM6.21 … rodea encuentro formas útiles, divertidas y a veces
hasta complejas, pero no por ello menos divertidas o
hermosas.
cP3M1 Para reconocer espacios, figuras y realizar expresiones gráfico-
plásticas.
cP3M7 Para que los niños empiecen a descubrir que pueden hacer
muchas figuras si saben trazar cuerpos geométricos.
Sesión1 V1bS1
7:20
(C) ¿A qué crees que se haya debido tu confusión?
(M1) A que… bueno como ella me la mostró, (forma en “L”)
entonces dije ah, es de fomi. Entonces metí la mano y dije es esta
(línea quebrada) porque es de fomi y tiene un piquito. Pero ya que
la saqué y dije ¡ahhh no, no es!
NM1.3 En 4º y 5º aprendí a sacar perímetro y superficie de las figuras con
fórmulas.
cP1M5 Figuras geométricas, un poco de fórmulas, instrumentos de
medición para realizar o trazar las figuras del tangram.
118
9:57 (C) ¿Quién más?
(M6) Con la de fomi.
(Todas) las de fomi
(M6) Porque por ejemplo había una similar a esta (romboide) pero
no. No era igual. Entonces yo nada más me fui por tocar el
material y uno de los lados, pero ya no me percaté de tocar el otro
lado. Entonces la parte de acá (señala uno de los lados largos del
romboide) era… ¿era un trapezoide? No me acuerdo. Debía sacar
ésta (el romboide) pero… se parecen pero no (busca en la bolsa y
saca un trapecio) Entonces yo solamente toqué un lado y me fui
con la finta lo saqué.
En estas unidades de análisis, se observa que el acercamiento sensorial que
las participantes tuvieron en preescolar, es el mismo con el cual ellas se
acercan a reconocer las figuras geométricas que se les planteó en una
situación didáctica del taller en la que tenían que describir y encontrar una
forma geométrica.
Algunas de las formas geométricas que se encontraban en la bolsa tenían
cierto parecido en medidas con la intención de que las educadoras hicieran
uso de las características geométricas de la forma en su descripción; sin
embargo la gran mayoría se centró en el tipo de material y alguno de los
lados de las figuras.
Dos de las participantes mencionan que en lugar de describir, usaron el
nombre de la figura geométrica para identificarla, pero nombrar la figura no
fue suficientemente potente para encontrarla. Su compañera no supo a qué
figura geométrica se refería, es posible que no haya tenido tiempo o no
había reflexionado acerca de las propiedades que implican una figura
geométrica.
Sesión1V1d
119
00:20
(M8) Es un cuadrado…. De fomi … es pequeño
(M10) Pequeño no tengo………..¡Ya!. Uno dos tres. (Saca un rectángulo)
(M8) (Saca un cuadrado).
3:30 (M4) Yo tenía éste (muestra un triángulo equilátero) ella me lo estaba
describiendo. Y yo le pregunté: ¿Es isósceles? Porque yo lo sentí isósceles.
Cómo no me contestó Ella me dijo: ¿ya? Le dije: bueno ya. Y lo sacamos y no
era igual, porque ella tenía un equilátero. Entonces ahí fue donde ya no.
Esta idea se mantuvo con fuerza hasta la segunda sesión, a partir de la
tercera sesión, se observa un avance conciso.
4.4.2 Idea central Una práctica docente desde una visualización
perceptiva y prototípica.
Las siguientes unidades de análisis pertenecen al cuestionario, la primera y
segunda sesión del taller. En estas unidades se registran el tipo de
actividades que las educadoras manifestaron que realizan para enseñar
geometría a sus alumnos. En esas unidades se advierte como las
educadoras proponen a los niños contactos basados en aspectos
perceptivos y asociativos: se aprende cuando los niños conocen el nombre
de la figura y la asocian a algún elemento de la realidad.
cP4M7 _ Cuando enseño las figuras geométricas._ Cuando recortamos el tangram y
formamos figuras de diferentes formas_ Cuando les enseño a los niños que
con figuras geométricas y trazo , pueden dibujar casi todo, cuando
asociamos las figuras con el salón con ventanas etc.
cP4M6 Con figuras geométricas sencillas como nombre del círculo, triángulo,
cuadrado y rectángulo, asociado a los objetos que nos rodean, destacando
su dimensión y ubicación. Horizontal, vertical, curvo, entre otras posiciones.
120
La siguiente unidad de análisis de esta idea central, también lleva a inferir
que estos juegos motores y de mesa tienen que ver con la identificación,
representación o asociación de la figura o cuerpo geométrico. Esto se infiere
por un rasgo propio de la cultura del nivel que tiene que ver con canciones
infantiles como las retahílas que se usan mucho para que los niños
memoricen determinadas palabras o actitudes.
Cuando ellas tienen que resolver, dentro del taller, una situación que
implicaba la descripción de una forma geométrica, las docentes recurren a
estrategias similares a las que plantean a sus alumnos: las percepciones a
través del tacto y la asociación con objetos de la realidad. Incluso hay un
reconocimiento de que la asociación con objetos de la realidad facilita el
acercamiento al conocimiento de la forma geométrica.
cP4M10 Por medio de juegos motores (regularmente rondas con movimientos
corporales) y de mesa con diversos materiales, y con objetos de su entorno.
Sesión 1 Video 1h
Puesta en común acerca de su experiencia de encontrar formas en
una bolsa
00:02 C ¿Para qué se entendieran? ¿Cómo le hicieron?
00:08
00:21
M3 Describiendo las características del objeto, si era en círculo, si estaba
suave, si estaba como con grietitas, si estaba duro.
M4 De qué dimensiones era.
00:29 M2Nosotros lo relacionamos con cosas. Si se parece a un ojo, se parece a
una letra.
00:41
M10 Con nuestro propio lenguaje, tratando de ser más clara para que ella
lograra entenderme. Yo en un momento dado, en el cuadrado, sí pensaba
asociarlo o relacionárselo con una ventana, pero dije. Sí se lo digo, va a
121
En la siguiente unidad de análisis, una docente (M2) reconoce la necesidad
de presentar el cuadrado en diferentes posiciones espaciales y no en la
posición prototípica. El problema es que el conocimiento matemático que ella
tiene no es lo suficientemente potente para poder apoyar a sus alumnos en
la visualización de las propiedades de las figuras.
Lo anterior se puede inferir, cuando otra participante (M1) le pregunta a (M2)
oralmente y formando con las manos una representación prototípica del
rombo si ¿es más…? M2 responde aludiendo a su representación visual del
rombo como la diferencia entre ambos polígonos.
En la unidad de análisis anterior que se retoma de la primera sesión y en la
siguiente unidad de análisis que ya pertenece a la segunda sesión, se
observa que las representaciones de los objetos geométricos, regularmente
son figurativas, prototípicos: una sola representación externa para cada
polígono (Mesquita, 1998). Este tipo de representaciones prototípicas son un
00:58 ser muy fácil para ella, por eso omití esa parte.
M8 Yo creo que con los conocimientos que ya tenemos acerca de los
objetos. Tocarlos, la sensación, la textura.
Sesión 1 Video1i
1.25 M2 Sí, que las clasifiquen, porque por ejemplo. Yo una vez me di cuenta de
que les enseñaba los cuadrados. Y en eso, puse uno inclinadito y un niño me
dijo ese no es cuadrado (ella dijo) Sí, si es cuadrado El niño dijo: No, no es
cuadrado. Es rombo. ¿Cuál es la diferencia? Fue cuando me preocupe por
decirle lo que es rombo. Pero si no me hubieran dicho…, me sigo
1.42 M1 (con sus manos forma el rombo en la posición prototípica). ¿Es más…?
1.43 M2 Es más largo.
1.44 M1Y el cuadrado tiene sus lados iguales.
1.45 M2 Exactamente.
122
obstáculo para poder reconocer representaciones diferentes al prototipo.
Aquí se registran los comentarios con respecto a su representación de
cuadrilátero.
Sesión 2 Video 2d
1:05 C. ¿por qué regularmente esta (figura) no la consideramos
cuadrilátero?
1:10 M10 Porque parece más triángulo
1:11 ¿¿¿??? Cómo que los lados. Cómo que se dividen
1:20 M4 Nosotros cómo que le vimos más lados
1:22 M6 Porque lo asociamos con el triángulo ¿No?
1.26 C¿ La palabra cuadrilátero con que la asocian’
1:28 TODAS Con cuadrado
1:33 C. Y no con el número de lados
4.4.3 Idea central. De una idea tradicional de la función de la educadora
a una reflexión para una nueva función.
En sus primeros escritos, las participantes hacen una reflexión crítica con
respecto al tipo de actividades que proponen a sus alumnos y de cómo éstas
favorecen, en ellos, o no los aprendizajes geométricos. Después de haber
desarrollado las situaciones didácticas que se propusieron en la sesión, ellas
identifican que algo de lo que hacen no es muy claro con respecto al tipo de
aprendizajes que les corresponde desarrollar en sus alumnos. Sin embargo
asumen que no tienen claridad conceptual de qué es lo que se tiene que
enseñar.
123
NM7.28 Quisiera tener claro primero yo qué es todo lo que puedo enseñar, creo
que deben haber muchas formas que no conozco y no sólo aprender y
darle algunos usos a las figuras geométricas.
De la primera sesión del taller, se presenta la siguiente unidad en la que la
participante reconoce que las actividades que plantean a sus alumnos
requieren intencionalidad para analizar las propiedades geométricas de los
prismas con que trabajan, el trabajo se queda en una actividad plástica, en
una maqueta. Esta dificultad para encontrar la intencionalidad educativa en
su profesión se refleja nuevamente cuando dos participantes dialogan sobre
el tipo de cuestionamiento que hacen las docentes de educación primaria a
la labor educativa de las docentes de educación preescolar.
Sesión 1 Video 1j
4.38 M6. Hay unos prismas y nada más se los damos para armar y construyen
pirámides y todo eso. Pero no le damos la intencionalidad. No le damos la
utilidad, no nos arriesgamos, arriesgarnos en serio.
5:47 M6 También ocurre que a pesar de que estemos en el nivel básico:
preescolar, primaria y secundaria. Todavía no lo hemos conseguido (que las
reconozcan como docentes de educación básica). ¿Por qué? Las maestras
de primaria, de primer grado, quieren que nosotros los entreguemos (a los
niños) con cierto perfil, ¡Que ya sepan leer y escribir! Y si no van leyendo y
escribiendo. Dicen: “¡¿pues tú qué hiciste en el jardín?!”
¡Llevan otras bases! Cómo poner atención, el saberse expresar con
seguridad, ser capaces de pararse al frente y exponer. O sea muchas
NM2.7 …no les damos el enfoque o la intención a su estudio o no propiciamos
experiencias o situaciones que hagan el rescate de lo que se puede
aprender.
124
situaciones que le van a permitir leer y escribir sin tropezones, sin parches.
Pero todavía no existe realmente esa…. No sé…
6:33 C ¿Que conozcan más cómo se relacionan con el programa de primaria?
6:34 M6 Y que realmente nuestra función de preescolar, que ellos la entiendan.
Hasta dónde es nuestra función.
6:48 M5 Porque luego dicen: ¿pues qué te enseñó tu maestra de preescolar?
M6 Sí. A mi hijo se lo dicen: “Tu eres hijo de educadora y no sabes nada”
M5 ¡Ah!
6:58 M6 Cuando (sucede que) mi hijo dobla su suéter desde pequeño y lo guarda
en su mochila
En la segunda sesión del taller, las docentes continúan con el trabajo
geométrico vinculado con objetos de la realidad y dentro de ese mismo
diálogo, una docente plantea una situación muy clara de su función
educativa: ¿Cómo se los explicas a los niños? A partir de este
cuestionamiento se puede inferir que a la educadora ya no le basta con que
se nombre o asocie visualmente la figura geométrica con algún objeto de la
realidad.
Sesión 2 S2V2
30:03 M¿¿?? ¿Pero por qué son cóncavos?
30:05 M6 Acuérdate que nos explicó hace rato. Porque… como que la línea
se metía
M ¿¿?? Yo entendí cuando el ángulo es para adentro.
… ¿sí no? cóncavos para adentro.
30:29 M9 Como los niños: Los que me gustan y los que no me gustan.
Ahora, si clasificaran los niños dirían: “estos son cabezas y estos son
brazos” (se refiere a los polígonos cóncavos y convexos).
30:45 M6 O el piquito y la puntita.
30:53 M ¿¿?? ¿¡CÓMO SE LO EXPLICAS A LOS NIÑOS?!
30:59 M¿? Esa es la pregunta, ¿verdad?
125
Para la tercera sesión, una de las participantes parece mostrar cierto
desgano o desánimo. Se le pregunta directamente sobre la sesión de trabajo
de ese día. Ella está en un momento de, llamémosle, “crisis docente”. Este
es un momento en que algunas de las participantes evidencian tener otra
mirada, otros elementos tanto de conocimiento conceptual como pedagógico
con respecto al trabajo de la geometría. Sus conocimientos profesionales
están cambiando
Siguiendo con la reflexión sobre su práctica, las docentes tienen más
elementos para verla desde fuera y al hacerla visible, manifiestan sus
creencias y la vez surge una cierta reflexión sobre ella. Como resultado de
esta reflexión se arriesgan y plantean otras actividades y se sorprenden de
los productos que obtienen de sus alumnos.
Sesión 3 S3V3e
15:07 C. Ya no tuvo interés para ti por…
15:14 M7 (interrumpiendo) No sé a lo mejor yo soy así, me gusta que esté
cambiando.
15:20 M9 No sé, recordar los términos que estuvimos utilizando. ¿Cómo
usarlo con los niños?
15:30 M7 Eso me causa conflicto. Porque son términos que digo: “¡Ay!, ¿sí
los entenderán los niños?
15:48 C. De todo esto que estamos trabajando aquí, ¿qué sí podemos
trabajar con los niños y qué no?
16:01 M7 Es que tu decías que deberíamos saber más que ellos, que es
para nosotras.
16:24 M9 Podemos ver con ellos, lados, líneas rectas.
16:34 M ¿? Que vean las transformaciones que pueden tener las figuras, el
triángulo, el cuadrado…
126
Sesión 4 S4V4a
S4V4a48:05 C. ¿Por qué será que recurrimos a la figura geométrica casi
exclusivamente con el asunto plástico?
48:17 M2 Para que…. Bueno, uno pensaría que así es como manifiestan (los
niños) que sí lo conocen. Aunque no necesariamente. Como que es una
manera de visualizar.
48:48 M7 Yo me imagino que, todavía hay mucha gente que ya le dan el
dibujo hecho al niño, y ahí es donde empieza a quedarse con esas
imágenes. Y también hay quien ahora le permite que haga… de
acuerdo a lo que él cree (el niño) que debe ser la figura. Yo ya no les
hago ningún dibujo.
Sesión S4V4b
00:02 M7 A mí me han tocado las dos partes. Antes le dabas todo y el niño nada más
decoraba, rellenaba y todavía queda mucho de eso.
00:45 M8 Es que así crecimos ¿no?
00:54 M7 Hace poco puse a mis niños a dibujar el croquis del salón. Y me quedé así
(sorprendida) de cómo dibujan las ventanas, las mesas.
Nada que ver con la clásica casa.
8:11 M7 Es que, como que hay que tener muy claro que es lo que quieres que el niño
entienda. Para que a la hora de que estés. Tú lo cuestiones y él te conteste.
Sepas entender.
8:24 M9 Sí y también tener la mente abierta, porque a lo mejor él te está contestando
correctamente. Pero como no es lo que tú querías. Pues no. Cuando si lo piensas
(la respuesta) está bien, no mal.
Esta reflexión de su quehacer docente, también las lleva a revisar lo que la
sociedad espera o ve en ellas: cuidadoras, animadoras y creativas
manuales; y qué tanto tuvo que ver su propia formación como docentes con
esta etiqueta y que ahora les limita en el desarrollo del nuevo currículum.
127
La última unidad de análisis de este bloque, remite a la forma en que una
participante ahora puede visualizar su práctica como consecuencia de una
experiencia colegiada en su jardín de niños.
Sesión4 S4V4e
25:01 M3 Y luego dicen:”Cómo puedo creer que eres maestra y …”
25:08 M6 Como que las de preescolar estamos más limitadas. Nada más nos
encuadramos a esta parte, ese es el nivel que yo debo saber.
25:25 M3 (refiriéndose a lo que le dicen a ella) Pregúntale, ella sabe hacer
muchas cositas, ella tiene mucha creatividad porque es educadora.
25:32 M6 Porque eres más manual, ¿no?
25:35 M3 O en la fiesta: “¡Ay Ella! Ponle los juegos a los niños. Yo sí les digo:
“Pues si no soy animadora”. Soy maestra, pero… eso no es.
26:20 M8 Yo, cuando estaba estudiando para educadora y llegaban mis
sobrinos, mi mamá me decía:”ponles algo para entretenerlos. Como que
nos ubican en esa parte, para cuidarlos, para entretenerlos.
26:50 M6 Y también, yo que estudié en la nacional de educadoras, no sé
ustedes, sí nos limitaron mucho en conocimientos. La verdad, yo así
me siento. De mi generación, soy 90-94.
Y por ejemplo ahorita, que cambia el programa que es un plan de
estudios, que ahora ya pretende que vayan realmente los niños
preparados tanto en conocimientos de: español, matemáticas y de
ciencias. Y yo la verdad digo: “cómo le voy a hacer” ¡No sé enseñarlo!.
No sé cómo y estoy buscando libros y de qué medios me voy a valer. Y
yo estoy en tercero. Entonces me angustia
29:06 M9 A mí me toca la otra parte. Yo en artística estoy así como (con las
manos representa tener poco conocimiento) .No veíamos nada de
técnicas, ni cantos y juegos. O sea.
29:21 M5 Es lo que le digo, yo a lo mejor lo que a nosotros nos hizo falta, ellas
lo tuvieron, tenían incluso la materia de cantos y juegos. Yo siento que
también me faltó esa parte.
M7 A nosotros nos pasó que como grupo, tuvimos que reconocer que
128
36:50 estábamos fallas en el diseño de las situaciones, estábamos
encajonadas en el tradicionalismo. Y tuvimos que buscar, y nos ha
servido mucho. Y de ahí estamos planeando, nos las estamos pasando
entre todas. Y hay situaciones de matemáticas que yo ahora las veo y
digo: “Ay Dios mío, ¿qué hacía yo antes?”
129
Capítulo 5
Resultados
En este capítulo se presentan y describen los resultados del análisis de los
aprendizajes que lograron las educadoras participantes en el taller “La
geometría: un objeto de aprendizaje conceptual y pedagógico”. Este análisis
integró las producciones propias de las situaciones didácticas del taller, las
manifestaciones orales y escritas y el diseño de situaciones didácticas que
las participantes produjeron durante el desarrollo del taller mencionado.
Estos resultados se consideraron indicadores del desarrollo de los procesos
cognitivos de las educadoras a partir del trabajo geométrico y su repercusión
en su conceptualización de la enseñanza de la geometría en el nivel
educativo preescolar.
5.1 Aprendizaje puesto de manifiesto por una mayor claridad en el foco
sobre los objetos matemáticos de las maestras: Transición de la
aprehensión perceptiva a la aprehensión discursiva
5.1.1 De la aprehensión perceptiva a la aprehensión discursiva
El tránsito de la aprehensión perceptiva a la discursiva, se evidencia durante
el trabajo en las situaciones de acción y formulación a las que se enfrentaron
las maestras a lo largo de las sesiones del taller.
Una de las evidencias de la aprehensión perceptiva, según los datos que se
presentaron en el capítulo anterior, se observa durante una situación de
comunicación que requirió que las docentes describieran una forma a su
compañera a partir de las características geométricas de la misma. Lo
anterior con la finalidad de que la compañera, a través del tacto y sin ver,
pudiera identificar dicha forma. La intención de la actividad fue conocer cuál
es el principal referente de las maestras para identificar y reconocer la forma:
si el material del que está hecho o las características geométricas de la
misma.
Inicialmente las maestras tenían dificultades para nombrar las características
130
geométricas de la forma de referencia. Ellas describieron las formas desde
dos perspectivas: percepciones sensoriales –cómo sentían el material– y
analogías –su posible utilidad en relación con su contexto–.
Por ejemplo, en la situación que referí en el párrafo anterior, realizada en la
sesión 1, cuando estaban en la primera puesta en común de la actividad, las
maestras comentaron que recurrieron principalmente a tocar y hablar del
material para encontrar la forma solicitada. Algunas de las pistas que dieron
a su compañera para identificarla fueron del tipo: es suave, está fría, se
parece a una ventana. Todas las maestras afirmaron que el aro de metal fue
el más fácil de encontrar porque “es de otro material”.
En ese momento, la coordinadora pide que para las siguientes
descripciones, no hagan uso del tipo de material con el que está construida
la forma y sí de todas aquellas características que la forma posee
independientemente del material con el que está hecha. Ante este
comentario, las maestras se encontraron con menos posibilidades para
describir la forma. Por ejemplo, la maestra M6 tenía en sus manos una forma
ovalada, la superficie no es plana, tiene superficie cóncava con una medida
aproximada de 8 cms.
A pesar de la instrucción con respecto a las características físicas del
material, la docente continuó usando este elemento para describir la forma a
su compañera:
M6 Es de plástico, ovalada
C Y si no le dijeras el material
M6 ¡Ah!,, ¿de preferencia no?
C No, eso no pertenece a la forma
M6 Mm forma ovalada…
M6 Es rígida. ¿eso no?
M7 No, tampoco. Eso no
M6 Ovalada…
Video 1c minuto 0 al 1
131
Ante la imposibilidad de mencionar el tipo de material, la maestra encontró
dos características –ovalada y no es plana– que no son suficientes para que
su compañera M7 identifique la forma. Al interior de su equipo, la maestra
M6 comentó:
M6 ¿Sabes qué? Ahorita con lo de las formas, como que cuesta
trabajo no decir de qué material es, y además te confundes con las
características… es de plástico y eso no tiene nada que ver
Audiograbación b minuto 5
Al inicio del taller, este tipo de asociación de las formas con objetos de la
realidad (¿es como un huevo?), así como centrarse en las características
sensoriales de las formas, fue una estrategia común entre las maestras.
Durante la sesión plenaria donde se discutió esta actividad, las maestras
compartieron sus estrategias para ejecutar la consigna. Ellas mencionaron la
asociación de la forma con un objeto de la realidad, la descripción de la
forma a partir del material y cuando la forma lo permitió, decir el nombre
geométrico de la forma.
En relación a este aspecto, la maestra M6 menciona en plenaria la
experiencia que vivió con respecto a no poder decir las características del
material de la forma:
M6 Ahorita que escuchaba, nos ocurrió que la primera la descubrimos
así (rápido), pero cuando te acercaste y nos dijiste que eso no era
inherente a la forma, es decir que era de plástico,… Ahí observo (señala
a otro equipo) que dicen que es de plástico, liso. Y al no poder decir es
de plástico, de metal, está frío, caliente, nos limitó. y ya no dimos una.
Video 1h minuto 1 al 2
El tipo de estrategias que las maestras usan para identificar y reconocer las
formas en este momento, tienen que ver con aprehensiones perceptivas,
relacionadas con los referentes personales de cada una de ellas, es decir
que en ese momento mostraron un pensamiento intuitivo en relación a los
objetos geométricos. En este tipo de aprehensiones, lo que para una puede
132
ser suave, no necesariamente lo es para la otra; lo que para una puede
servir como pulsera, para la otra persona puede servir como un aro para
colgar cortinas.
En esta situación, lo matemático inicialmente era vago. Lo que las maestras
percibían de las figuras usadas en la situación didáctica, corresponde a un
producto de la aprehensión perceptiva ya que las maestras realizaban una
identificación desde una “percepción visual” como un dibujo o una forma. Las
aprehensiones que ellas realizan en ese momento no tienen que ver con la
figura como objeto matemático, sino como objeto de la realidad (Duval,
1998, 2000).
En este caso, pasar de una aprehensión perceptiva a una aprehensión
discursiva y viceversa, requiere que las maestras establezcan relaciones
entre representaciones de diferente índole de registro –- de tal manera que
posibilite la definición de las formas como un objeto matemático más que un
objeto de la realidad.
En las siguientes sesiones, las maestras consiguieron desarrollar un proceso
de visualización que les permitió ver las formas o figuras geométricas (objeto
mental) (Mesquita, 1998), como una configuración en la que subyacen
subconfiguraciones. Esto es, en la figura geométrica dada, ellas además de
ver la propia figura y nombrarla, también establecieron relaciones al interior
de la propia figura: “subconfiguraciones” dadas por segmentos o puntos de
la propia figura.
Por ejemplo, el tercer día del taller se planteó una actividad de construcción
geométrica a partir de transformaciones geométricas. La consigna fue
elaborar polígonos valiéndose de una familia de triángulos que se les
entregaron por parejas; ellas deberían de tomar nota del tipo de triángulos
que utilizaron, la manera en que los acomodaron, poner en común sus
procedimientos y elaborar una tabla de registro. Esta fue una actividad de
acción, que implicaba una construcción, y una actividad de formulación, que
demandaba compartir sus saberes acerca del tipo de triángulo que usaban,
así como el tipo de figura geométrica que construían. En esta actividad se
133
puso de manifiesto la manera en la que las maestras empezaron a visualizar
las figuras geométricas como configuraciones geométricas, ya que las
cualidades que tomaron en cuenta para identificar y explicar el polígono
construido, implicaron visualizar subconfiguraciones que les permitieron
construir su figura geométrica.
El siguiente fragmento de la tercera sesión, muestra parte de la puesta en
común de la construcción de polígonos.
C. ¿Con qué triángulos formaron el cuadrado?
M9 Con dos triángulos rectángulos
C. Este también es un triángulo rectángulo (muestra un triángulo
escaleno) Y sin embargo con este no formas un cuadrado. ¿Qué
características tiene ese triángulo rectángulo para que sí forme un
cuadrado?
M9 ¡Que es isósceles!
C. Ellas formaron otro cuadrado. ¿Cómo le hicieron?
M3 y M5 Con cuatro triángulos isósceles?
C. ¿Y rectángulos? ¿Tienen que ser rectángulos? Si no fueran
rectángulos ¿se podría formar un cuadrado?
M6 Yo creo que no
M2 Una característica [del cuadrado es que] son cuatro ángulos
rectos, pues hay que formar los rectos
C. Si no tuviera los ángulos rectos qué formaríamos?
M10 Cuadrilátero
C. Otro cuadrilátero ¿cómo cuál? (Una maestra muestra una figura)
C. Un romboide
C. M3 y M5, ¿ por dónde los unieron para formar el cuadrado?.
M3 Por el vértice
M5 Por el ángulo recto
134
Video b minutos 28 a 35
Según se ve en la viñeta, una de las parejas explica y nombra los triángulos
que utilizaron para construir el cuadrado, esta es una primera evidencia de
aprehensión discursiva. La descripción que utiliza la maestra implica un
“cambio dimensional en la organización perceptiva” (Duval, 1998. p.3) en la
forma de distinguir secciones en la configuración. Esta figura, es ahora una
configuración geométrica, no es el techo de una casa, o la representación de
un pino. M9 dice: “Con dos triángulos rectángulos”; reconoce una propiedad
de esa configuración: un triángulo con un ángulo recto. De este modo, la
maestra realiza una aprehensión discursiva pues observa el triángulo y en él
mira la subconfiguración formada por dos lados del triángulo - el ángulo recto
- y dice: triángulos rectángulos. Es decir, en una configuración (triángulo)
puede ver que ésta está constituida por otras configuraciones (ángulo recto)
determinada por la posición de dos segmentos dados (subconfiguraciones) ..
La coordinadora muestra un triángulo escaleno a la vez que hace una
pregunta al grupo: ¿Qué características tiene ese triángulo rectángulo para
que sí forme un cuadrado?, con la finalidad de que las docentes sean más
precisas en su explicación. Las maestras observan los triángulos e
identifican otra subconfiguración entendida como: la medida igual de los
lados que determina que el triángulo es isósceles, aparte de ser rectángulo
por su ángulo. En esta situación, la maestra pudo ir de una aprehensión
perceptiva a una discursiva ya que observó en el triángulo escaleno –que la
coordinadora le mostró–, propiedades de ese triángulo que no permitían la
construcción de un cuadrado. Además observó en sus triángulos las
características específicas con relación a la medida de dos de sus lados, que
permiten la construcción de un cuadrado.
En el segundo ejemplo de construcción del cuadrado, la pareja M3 y M5
encuentra una forma diferente de construcción; en ésta, al unir los triángulos
rectángulos isósceles por sus ángulos rectos, utilizan dos propiedades: la
perpendicularidad de las diagonales del cuadrado y que las diagonales de
éste se cortan por el centro.
135
Esto muestra lo que Duval menciona respecto de que en una misma figura
geométrica existen varias formas de ver una misma configuración, y en esta
configuración existen “más subconfiguraciones posibles que aquellas que
fueron explícitamente movilizadas para su construcción” (1998).
En la configuración inicial que las maestras ahora ven como objeto
matemático, pueden ver subconfiguraciones que les dan la clave para
resolver la situación: tipos de ángulos, la medida de lados, diagonales, ejes
de simetría. Estos elementos eran invisibles (o al menos cuasi-invisibles) al
inicio del trabajo.
Lo anterior fue provocado por la instrucción de la coordinadora al preguntar
por su procedimiento para formar el cuadrado y aquí las dos integrantes de
la pareja mencionan lo que cada una de ellas vio: M3 Por el vértice; M5 Por
el ángulo recto
Ambas se refieren a una misma subconfiguración, pero cada una la ve
desde una óptica diferente. Una ve el punto de unión de dos lados contiguos
y la otra maestra ve una parte del plano delimitada por las dos rectas que
forman el ángulo recto.
Este cambo dimensional en la manera de ver los objetos, es la evidencia del
“modo matemático de mirar una configuración”, es un cambio de
aprehensión cognitiva.
5.1.2 Conceptualización de los objetos matemáticos
Que las maestras lograran ir de las aprehensiones perceptivas a las
aprehensiones discursivas y viceversa tuvo que ver con el tipo de
actividades significativas que ellas realizaron a partir de la configuración
dada.
En un principio, como estrategia para encontrar una forma, una pareja
mencionó el nombre de un polígono determinado, esto no fue lo
suficientemente potente para que encontraran la misma forma. En este caso
una de ellas toca la forma y dice el nombre de la figura, al mencionarlo, ella
identificó con el tacto algunas características propias del cuadrado: lados
136
iguales, ángulos rectos, etc. Su compañera escucha el nombre de la figura,
pero no relaciona el nombre del polígono con las características del
cuadrado y saca otra forma.
En la geometría como parte de las matemáticas, “las representaciones
semióticas constituyen un aspecto irreductible del conocimiento matemático”
(Duval, 1999, p. 8). El conocimiento que la maestra tiene con respecto al
cuadrado, no es suficiente para la adquisición conceptual del objeto
geométrico cuadrado.
En el siguiente fragmento de la primera sesión, las docentes organizan la
planeación de una situación didáctica con respecto al trabajo con polígonos.
M3 ¡Que las clasifiquen! ¿No?
M2 Sí, que las clasifiquen, porque por ejemplo. Yo una vez me di cuenta
de que les enseñaba los cuadrados. Y en eso, puse uno inclinadito y un
niño me dijo ese no es cuadrado (ella dijo) Sí, si es cuadrado El niño dijo:
No, no es cuadrado. Es rombo. ¿Cuál es la diferencia? Fue cuando me
preocupe por decirle lo que es rombo. Pero si no me hubieran dicho…,
me sigo
M1 (Con sus manos forma el rombo en la posición prototípica). ¿Es
más…?
M2 Es más largo.
M1Y el cuadrado tiene sus lados iguales.
M2 Exactamente
Sesión 1 S1 Video i del minuto 1 al minuto 2
En este caso, la maestra M2 tiene un conocimiento del cuadrado que le
permite concluir que independientemente de la posición en que se presente
el cuadrado sigue siendo un cuadrado, la maestra M1 no tiene el
conocimiento en cuanto a qué propiedades comparten el cuadrado y el
rombo y qué los diferencia. Trata de encontrar la diferencia entre ambos
polígonos y con sus manos forma el rombo, se le dificulta decir las
características del objeto matemático rombo. M2 concluye que el rombo es
137
más largo (aprehensión perceptiva), M1 Comunica su conocimiento del
cuadrado: lados iguales. M2 no relaciona esta propiedad geométrica en
ambos polígonos.
Sus conocimientos necesitan enriquecerse tanto en distintos registros
(gráficos o de lenguaje) como vincularse con situación de resolución de
problemas para avanzar en la adquisición conceptual del objeto matemático
cuadrado (Duval, 2000).
En la siguiente unidad de análisis se presenta a las participantes un
pentágono que no cumple con el prototipo de polígono regular que
regularmente se conoce. Éste pentágono, tiene diferencias tanto en la
medida de sus lados como de sus ángulos. La docente duda en decir si lo
que está viendo es un pentágono o que figura será.
54:10 C. Esto que será M9 Un lápiz
54:16 C. Y cómo figura geométrica M4 Mm quiensabe M ¿? ¿Un pentágono?
Aún cuando pudieron contar los lados de la figura, su primera visión tiene
que ver con una analogía con un objeto e la realidad: Es un lápiz. Sus
conocimientos necesitan enriquecerse con otras representaciones de un
mismo polígono, así como vincularse con situaciones de resolución de
problemas para avanzar en la adquisición conceptual del objeto matemático
cuadrado (Duval, 2000).
En las sesiones siguientes se continúa trabajando clasificación y
construcción de polígonos. En la actividad de clasificación de figuras, las
docentes concluyen la importancia de conocer el criterio de clasificación:
C. ¿Qué les lleva a concluir el hecho de que una figura pudiera estar en
una clasificación de figuras abiertas o en una de lados rectos?
138
M2 Que hay que analizar bajo qué criterio se hizo la clasificación para
poder decir que estuvo bien. Que nos justifiquen el criterio.
Sesión 2 Video 2a minuto 20 al 22
Ellas realizan clasificaciones a partir de criterios que cada equipo plantea
para los otros. En estas clasificaciones se observa cómo enriquecen su
conocimiento. Por ejemplo:
C ¿Quién hizo esa clasificación?
M10. Nos faltó, y cuatro (hacen referencia al uso de la conjunción “y”)
C ¿qué sería, Y u O?
M10 “y” (haciendo referencia a la conjunción)
C Entonces cambia la consigna
M6 Cuatro lados…
C Y
M10 ángulos rectos
M6 ¿cuatro ángulos rectos?
C ¿Y cuatro ángulos rectos o y… cómo?
M10 Y Ángulos rectos
C ¿Pueden ser cinco…no? bueno
M6 No, tiene que coincidir con los lados
C Bien, si hay cuatro lados rectos….
M6 Claro, cuatro ángulos tiene que haber.
C ¿Cuáles serían?
M7 2, 11 y 7 (rectángulo, cuadrado en posición inclinada, rectángulo
alargado)
M5. Cuatro lados y todos sus ángulos rectos
Sesión 2 Video 2c minuto 15 al 17
En este fragmento, es interesante ver que la maestra M6 asocia el número
de lados con el número de ángulos. Enfáticamente le dice a la coordinadora
que no puede haber cinco ángulos pues se plantean cuatro lados.
139
En la siguiente actividad, es la coordinadora quien establece los criterios de
clasificación, ellas notan que el cuadrado puede pertenecer a dos diferentes
clasificaciones ya sea por sus lados o por sus ángulos. Esto genera en ellas
desconcierto.
C Y si yo les pongo figuras con cuatro lados iguales. ¿Quién entra?
(se refiere a cuáles figuras se incluyen)
(silencio)
M8 El rombo
C ¿Nada más?
M8 Y el cuadrado
C Si yo pongo figura con cuatro ángulos rectos. ¿Qué queda?
M2, M6 (silencio largo) El rectángulo y el cuadrado
C ¿Qué les dice eso que acabamos de ver? (silencio largo)
C ¿Qué ven aquí? (Señala el cuadrado)
M4 El cuadrado está en las dos clasificaciones en el de cuatro lados y
en el de cuatro ángulos rectos.
Sesión 2 Video 2e minuto 17 al 20
Duval plantea que el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser
más que conceptual (independientemente de sus representaciones externas)
textualmente dice “los objetos matemáticos hasta los más elementales de la
aritmética y la geometría no son directamente accesibles como los objetos
físicos” (1999, p.8) y, complementa su afirmación diciendo que el acceso a
los objetos matemáticos sólo se da por medio de representaciones
semióticas
Las concepciones que las docentes han construido a lo largo de su vida
académica y profesional, entran en conflicto cuando ante un criterio de
clasificación, observan que el cuadrado puede estar junto con el rombo y a la
140
vez puede estar en los rectángulos.
C. ¿Esto qué nos lleva a concluir? ¿Cómo nos enseñaron la
geometría?
M4 Muy cuadrada no. EL cuadrado nada más es… (Con sus manos
hace ademán de que es algo establecido) El triángulo es… equilátero
y nada más. O sea como que no había… tanta… no veíamos la
variedad o todas las características que podían tener las figuras
C Había sólo un criterio de clasificación
M4 EL modelo. ¡Era el modelo!
M9 Lo que pasó hace rato, O sea decíamos una figura de cuatro
lados, el cuadrado y no veíamos más.
Sesión 2 Video 2e minuto 19 al 21
En la tercera sesión, las maestras están en la puesta en común de una
situación de construcción; el siguiente fragmento corresponde a las maestras
M2 y M1 que son las mismas con las que se inició nuestro comentario sobre
los conocimientos geométricos.
C En el caso del rombo en qué me fijo, en los lados o en los ángulos
M6 M2 En los dos.
C. Pongo sus vértices en una hoja y me doy cuenta que…
C y M¿? No son rectos
C. Miren ésta se pasó (se refiere a que el ángulo del rombo sobrepasa el ángulo recto de la hoja). Vamos a ver el otro, a éste le faltó,
C. Ahora cómo me doy cuenta, que este lado y este lado y este lado son iguales.
M2. Voy girándolos y voy comparando con un lado de referencia.
C. Ya comprobé que es un rombo. ¿por qué es un rombo?
M1 Porque tiene…. Sus ángulos….mm ángulos agudos….ángulos
obtusos
C. ¿Y sus lados?
141
M1 Son iguales.
C. Y los uniste por
M1 Por su lado más largo. (del triángulo)
C. ¿Qué viene a ser?
M6 Su eje de simetría
C. La diagonal, que viene a ser su eje de simetría.
Es cierto, que la coordinadora, va haciendo preguntas precisas para que las
docentes fijen la atención en determinadas características del polígono, sin
embargo, las maestras M2 y M1 pueden ver lo que se les está preguntando.
Utilizan diferentes registros de representaciones semióticas del cuadrado y
del rombo: ángulos rectos, ángulos agudos y obtusos, lados de igual medida,
eje de simetría y pueden vincular sus diferentes registros para resolver una
situación planteada (Duval, 1999).
La construcción de los conceptos matemáticos, dice D’Amore siguiendo a
Duval, depende estrechamente de la capacidad de usar más registros de
representaciones semióticas de dichos conceptos:
1. de representarlos en un dado registro
2. de tratar representaciones al interior de un mismo registro
3. de convertir tales representaciones de un registro dado en
otro registro
(D’Amore, 2005. P.- 33)
Las docentes participantes, tienen ahora la capacidad de ver los dibujos
(representación externa) como figura (representación mental) por lo que ven
configuraciones geométricas en aquellas formas que sólo eran objetos
comunes de la realidad, sus representaciones semióticas se han enriquecido
tanto lingüística como gráficamente, pueden manipularlas y realizar
transformaciones geométricas con las mismas, han logrado transitar de una
aprehensión perceptiva a una discursiva
5.2 Manifestación de aprendizaje al expresar un discurso que
singulariza dos aspectos en las situaciones de enseñanza y
142
aprendizaje: el contenido geométrico como contenido de enseñanza y
la forma de cómo dialogar con los alumnos sobre este contenido.
A lo largo de las sesiones del taller, las participantes hablaron con respecto a
las situaciones de enseñanza y de aprendizaje de la geometría; escribieron,
discutieron y diseñaron situaciones de enseñanza de esta rama de la
matemática que trabajaron o que podrían trabajar con sus alumnos. Estas
manifestaciones verbales las tomamos como evidencia del aprendizaje a lo
largo del taller. En dichas evidencias, se observan avances con respecto a la
forma de mirar el contenido geométrico como objeto de enseñanza y a la
gestión de la comunicación en torno a él en el aula (cf. Llinares, 2008). En lo
que sigue trataré de mostrar estos cambios discursivos
5.2.1 El punto de partida
En la primera sesión del taller, se pidió a las maestras que escribieran una
narrativa con respecto a sus acercamientos académicos y profesionales con
la geometría, así como responder un cuestionario de cinco preguntas en
torno a este tema. Las preguntas fueron las siguientes:
¿Qué ideas le vienen a la mente cuando escucha la palabra
geometría?
¿Qué se estudia en geometría?
¿Para qué se enseña la geometría en su nivel y grado?
¿Cómo acostumbra enseñar Geometría?
¿Por qué la enseña así?
Las siguientes respuestas son representativas de lo que las educadoras
respondieron a la primera pregunta:
El conocimiento de figuras geométricas, el uso de diferentes
instrumentos de trabajo, como compás, reglas, transportador, etc…, la
resolución de problemas (áreas, Perímetro)
143
CP1M8
Figuras con y sin volumen, trazos. Instrumentos para medir
CP1M10
Formas, trazos, líneas, figuras, instrumentos: regla, escuadras,
compás
CP1M7
En estas respuestas, las ideas que se observan con respecto a la geometría
son: como una cuestión de construcción de figuras geométricas a partir del
uso de instrumentos manuales para el trazado geométrico; la relación de la
geometría con la resolución de problemas de medición: área y perímetro y la
mención que hacen de volumen, tiene que ver con medida.
En la segunda pregunta del instrumento de diagnóstico cuestionario: ¿para
qué la geometría en el nivel de preescolar?, las respuestas son del siguiente
tipo:
En tercero de preescolar para que los pequeños se den cuenta que
todo lo que está a su alrededor tiene una forma.
CP3M3
Para el desarrollo de nociones espacio_ temporales
CP3M4
Para que los niños empiecen a descubrir que pueden hacer muchas
figuras si saben trazar cuerpos geométricos. CP3M7
Por lo que estudié en la Nacional, el estudio de la geometría parte de
la ubicación y uso del espacio; es por tanto partir con los niños de que
se ubiquen y hagan uso del espacio para trabajar con la geometría y
qué usos tienen en su vida que sea aplicable
CP3M9
144
Para reconocer espacios, figuras y realizar expresiones gráfico-
plásticas
CP3M1
Toda tarea educativa que se desarrolla en el ámbito escolar, tiene un
propósito que se determina desde el momento en que se planea su
realización, en este caso las docentes determinan el para qué en tres
sentidos: para conocer las formas de su alrededor, para el desarrollo de la
ubicación espacio-temporal y como insumo para elaborar un trabajo plástico.
El primer propósito nos habla de un aspecto de la cultura del nivel de
preescolar que tiene que ver con la consideración de que el jardín de niños
tiene la prioridad de establecer una relación de los conocimientos que se
imparten con el contexto del alumno. Cuando dicen “[Que los niños] se den
cuenta que todo lo que está a su alrededor tiene una forma”, por sí mismo
este propósito se cumple en la experiencia cotidiana del alumno, lo que la
escuela podría aportar es precisamente el hablar de las propiedades
geométricas de esas formas
Lo que se refiere a ubicación espacio temporal es un contenido que no se
considera parte del campo formativo Pensamiento matemático. Para el
aspecto Forma espacio y medida, se requiere de desarrollar conocimientos
geométricos, que efectivamente demanda abordar contenidos que se
relacionan con el espacio, mas no con el espacio temporal.
Desarrollar en los alumnos la habilidad de ubicarse y moverse a través del
espacio y que también lo puedan representar, implica que ellos realicen
“operaciones geométricas, llamadas transformaciones geométricas, que
permitan cambiar la posición, como los giros (rotaciones), las simetrías
(reflexiones) o bien las traslaciones (deslizamientos)” (Alsina, 2011, p. 115).
Sin embargo, no se vislumbran en la respuesta de la participante, elementos
que permitan inferir que están considerando el espacio desde la vinculación
de este con los contenidos de forma.
145
En la cuarta pregunta, las respuestas del cómo enseñan la geometría, son
del tipo:
Básicamente identificando figuras geométricas ya sea formándolas
con popotes, palitos, plastilina o en hojas de papel coloreando o
pintando y usando el tangram, o papel cortado en las formas
geométricas básicas (círculo, triángulo, rectángulo, cuadrado, óvalo)
CP4M2
Con dibujos, rompecabezas, masilla, juegos, observando cosas del
entorno, con actividades de origami, material de construcción,
canciones.
Cuando enseño las figuras geométricas_ cuando recortamos el
tangram y formamos figuras de diferentes formas_ Cuando les enseño
a los niños que con figuras geométricas y trazo, pueden dibujar casi
todo, cuando asociamos las figuras con el salón con ventanas
etcétera.
CP4M7
Estos comentarios reflejan las concepciones con las que las educadoras
iniciaron el proceso formativo. Se observa que el tratamiento pedagógico
que hacen de la geometría es una actividad que desdibuja lo matemático y
pondera la figura geométrica como un objeto cualquiera de la realidad que
se nombra, y presenta ostensivamente. Son figuras estereotipadas que se
utilizan para la realización de un trabajo plástico. Duval plantea que para que
una figura sea considerada un objeto matemático se requiere de mirarla
como una configuración constituida de varias configuraciones y estar
“anclada” a un discurso que plantee determinadas propiedades de la
configuración (Duval, 2001)
En las respuestas registradas, las docentes consideran al contenido
geométrico para la enseñanza a partir de las ideas que han construido a lo
largo de su formación académica o profesional:
146
Finalmente, ante la pregunta ¿Por qué enseña así la geometría?, señalan:
Porque creo que les resulta interesante, divertido y que vean para qué
les va a servir
CP5M9
Por los conocimientos que me dieron en la carrera y por la manera en
cómo he aprendido a lo largo de mi vida de estudiante
CP5M8
Porque no conozco otra forma intencionada y formal de hacerlo
CP5M6
Porque son los medios más cercanos a los alumnos
CP5M4
En el marco teórico, se hizo referencia a como los docentes en general y las
educadoras en específico, han construido sus conocimientos profesionales
durante su participación en prácticas de aprendizaje de las matemáticas y
dentro de las interacciones propias de su “comunidad de práctica
profesional” (Llinares, 1999) y como estos conocimientos son los
instrumentos que le sirven de referencia para interpretar y gestionar el
aprendizaje de las matemáticas (Llinares, 1998, 2009).
En la Educación preescolar de nuestro país, las docentes comparten ciertas
concepciones con respecto a la función de la educación preescolar y como
consecuencia creencias acerca del tipo de actividades que se deben
proponer a los alumnos de este nivel educativo. Éstas giran en torno a
actividades de rutina, manualidades que sean evidencia del trabajo que se
realizó durante la jornada. Y la idea de que el aprendizaje sólo después de
que “el niño esté maduro”, lo que las lleva a considerar que los “aprendizajes
formales” sean tarea de la primaria y no de preescolar (Moreno, 2005).
147
5.2.2 Durante el desarrollo del taller
Al final de la primera sesión de taller, se solicitó que por equipo elaboraran
una situación didáctica. La siguiente unidad de análisis es una de las
situaciones que diseñó uno de los equipos:
CAMPO FORMATIVO Pensamiento Matemático
Competencia: Reconoce y nombra características de objetos,
descubriendo las figuras (círculo, triángulo, cuadrado, rectángulo)
Formar equipos de 6
Describir las características de cada figura geométrica
Manipular diversas figuras geométricas (círculo, triángulo cuadrado)
de fomi y de diferentes tamaños (grande, mediano, pequeño) y de
lados
Seleccionar los objetos de acuerdo con las características que se
indiquen
Juego de la bolsa para interactuar maestra, equipos y después por los
equipos
(Reconocer las figuras de acuerdo a su descripción)
Registrar en una hoja los aciertos y errores por equipo y formar una
gráfica para saber quién obtuvo más puntos.
(Diseño de situación didáctica en la primera sesión)
Cuando las educadoras realizaron el diseño de la situación se había
terminado una actividad que buscaba identificación de figuras geométricas
según sus propiedades geométricas. Esta situación buscaba que las
docentes fijaran su atención en las características geométricas de las figuras
148
para caracterizarlas y que cayeran en cuenta de que las características
materiales no son criterio que las representarlas como objetos matemáticos.
En la actividad de enseñanza que ellas plantearon, lo matemático es
invisible, al menos es demasiado general, no se definen las características
con base en las cuales se sugiere clasificar las figuras (la conclusión del
horario del taller no permitió indagar más).
El mencionar por su nombre a tres polígonos y al círculo, no es
suficientemente potente para hablar de objetos matemáticos ni de generar
aprendizajes matemáticos. Cuando ellas plantean la actividad: Manipular
diversas figuras geométricas (círculo, triángulo cuadrado) de fomi y de
diferentes tamaños (grande, mediano, pequeño) y de lados, es una actividad
en la que se perciben criterios de tipo perceptivo más que de visualización
de configuraciones.
Concebir la enseñanza de la geometría a partir de una mirada intuitiva y de
la asociación con los objetos de la realidad, es un trabajo donde lo
matemático queda de lado y la dimensión perceptiva es la que prevalece.
Este tipo de actividades son útiles para un primer acercamiento y
familiarización con las figuras geométricas, pero no favorecen el desarrollo
del proceso cognitivo de la visualización que se requiere para la aprehensión
del objeto geométrico.
Durante la tercera sesión, se realiza la actividad de construcción de
polígonos a partir de una familia de triángulos. La actividad finaliza con una
sesión plenaria donde se habla con respecto a cómo vivieron la actividad y
sus opiniones acerca del contenido trabajado como contenido de enseñanza.
Durante este intercambio, se cuestiona acerca de cuáles de los contenidos
abordados, hasta este momento en el taller, son pertinentes para trabajarse
con los alumnos de tercero de preescolar.
Unas maestras comentan:
C. De todo esto que estamos trabajando aquí, ¿qué sí podemos
trabajar con los niños y qué no?
149
M7 Es que tu decías que deberíamos saber más que ellos, que es
para nosotras
M9 Podemos ver con ellos, lados, líneas rectas
M¿? Que vean las transformaciones que pueden tener las figuras, el
triángulo, el cuadrado…
Sesión 3 video 3e minuto 15 al 17
En este intercambio de ideas se ven dos cuestiones: a) el papel del lenguaje
y b) qué contenidos trabajar; las docentes comienzan a hablar con respecto
al contenido matemático como objeto de enseñanza, es decir de la relación
que existe entre lo matemático y lo didáctico, no es lo mismo conocer la
geometría como contenido conceptual que conocer la geometría como
objeto de conocimiento pedagógico y esta cuestión lleva a la reflexión de la
docente sobre su papel para favorecer conocimientos en sus alumnos.
El siguiente protocolo, ejemplifica la variable: cómo hablar de matemáticas
con los alumnos.
C. Pero cómo puedo hacerle, ¿qué tipo de preguntas podría hacer?
M6. Hay que estarlos cuestionando. Porque la actividad por sí sola no
va a hacer nada. No va a hacer que haga el análisis y la reflexión.
Siempre debe de ir acompañada de cuestionamientos, de
cuestionamientos. A lo mejor en nuestro plan… de hecho se nos pide
poner los cuestionamientos que nos van a guiar en las
conversaciones. Y de las respuestas de los niños pues ni modo,
también servirán para sacar otro tipo de cuestionamientos. A veces no
lo tenemos previsto, no lo tenemos planeado, pero como decía M7
“me sorprende cómo hicieron el croquis” No se lo esperaba. Y sí,
limitamos a veces el conocimiento de los niños. Creemos que ellos no
pueden dar más. Porque por sí sola la reflexión, no se da.
150
M7 Es que, como que hay que tener muy claro qué es lo que quieres
que el niño entienda. Para que a la hora de que estés. Tú lo
cuestiones y él te conteste. Sepas entender.
M9 Sí y también tener la mente abierta, porque a lo mejor él te esta
contestando correctamente. Pero como no es lo que tú querías. Pues
no. Cuando si lo piensas está bien, no mal (Sesión 4 video 4b min 7 al
9).
Las docentes discuten sobre las implicaciones de su labor docente,
reconocen que es importante favorecer procesos de reflexión, y hacen
referencia a que era algo que ya se les había solicitado por parte de su
programa escolar. Sin embargo el significado no tenía mucho sentido para
ellas. A partir, de este trabajo de intervención, ellas reifican esos conceptos
de reflexión, de su labor como mediadoras del contenido matemático y cómo
hablar con los niños de este contenido matemático (Llinares, 2010).
Para lo referente a qué tipo de contenidos trabajar con sus alumnos, resulta
sumamente relevante cuando una de las maestras dice “que vean las
transformaciones”. En este momento lo matemático se hace visible, pues en
su discurso, habla de cómo el aprendizaje del contenido matemático, que
ella ha desarrollado durante el taller, le permite en este momento, pensar
acerca de las potencialidades didácticas del mismo (Llinares, 2010). No es
más la presentación ostensiva, la asociación con objetos de la realidad o la
analogía, la docente habla de objetos matemáticos.
En la cuarta sesión, se realiza una lectura de la transcripción de una
entrevista a un alumno de tercero de educación preescolar, que se realizó en
la primera etapa de diagnóstico de esta investigación. En ese documento el
niño habla del tipo de actividades que realiza con su maestra cuando trabaja
“figuras”. Él menciona que las figuras las trabaja para hacer casitas y
patines, a lo cual la entrevistadora le pregunta por las figuras que utiliza para
hacer su casa. Oralmente el niño dice que su casa es un rectángulo y un
cuadrado pero al momento de dibujarla, él dibuja un cuadrado y un triángulo
que es la versión prototípica de la representación de una casa.
151
Después de leer esta entrevista, se desarrolla el siguiente diálogo:
C. ¿Qué encuentran diferente con respecto al trabajo de figuras
geométricas que está haciendo el niño y el que estamos haciendo
aquí?
M6 Que ahí nada más lo está asociando con los objetos que le rodean
M7 La casa del cuadrado y el triángulo. Yo veo que con lo que lo está
asociando, no existe. No existen muchas casas así.
M6 Bueno, la relación que yo veo es que como hemos trabajado la
geometría es esa. Asociamos con los objetos que nos rodean. Y
decíamos la otra vez, con colores. Le ponemos un color al círculo,
otro al cuadrado y ya. Los distinguimos. Y el niño, va asociando con el
color y la forma que le rodea en cuanto a objetos.
Y bueno, ahora lo que he aprendido, es que no solamente nos
podemos limitar a enseñar la geometría asociando objetos sino hablar
de las características de las figuras: los lados, la cantidad de lados,
los vértices… Como que nos estábamos limitando, sin darnos cuenta
que hay más que enseñar con respecto a las figuras geométricas.
C. ¿Por qué será que recurrimos a la figura geométrica casi
exclusivamente con el asunto plástico?
M2 Para que…. Bueno, uno pensaría que así es como manifiestan
(los niños) que sí lo conocen. Aunque no necesariamente. Como que
es una manera de visualizar.
M7 Yo me imagino que, todavía hay mucha gente que ya le dan el
dibujo hecho al niño, y ahí es donde empieza a quedarse con esas
imágenes. Y también hay quien ahora le permite que haga… de
acuerdo a lo que él cree (el niño) que debe ser la figura.
Yo ya no les hago ningún dibujo
Sesión 4 video 4b minuto 44 a 49
152
En este fragmento del video se observan cuatro momentos en el diálogo
entre las educadoras:
Cuestionan que la práctica se reduzca a la asociación de las figuras
geométricas con objetos de la realidad
Evidencian una práctica que establece analogías con algo que en la
realidad del contexto no existe de manera frecuente: casas con
techos a dos aguas.
Reconocen una práctica generalizada con respecto a la geometría
Explicitan sus aprendizajes con respecto a la geometría como objeto
de enseñanza.
Lo relevante de todo esto, es la discusión y análisis que las docentes
realizan, sobre una situación de enseñanza. Cuando ellas cuestionan la
práctica que escuchan, lo que hacen es reconocer los conceptos
matemáticos que ahora poseen, y que pueden ser objeto de enseñanza y
aprendizaje; identifican prácticas que responden a una cultura del nivel
educativo y que también eran sus propias concepciones. Ahora, pueden
hablar, reflexionar sobre prácticas docentes que han prevalecido y que han
hecho invisible este contenido matemático.
Una de las docentes habla con respecto a las limitaciones con que
abordaban la geometría. En este comentario, la docente reconoce la
importancia de su papel como profesora, ya que el docente es quien
propone situaciones de enseñanza que bien pueden potenciar o limitar la
competencia matemática de sus alumnos, a partir del tipo de tareas e
interacciones que ellas les propongan (Llinares, 2010)
Si las maestras están en posibilidad de reflexionar, analizar y cuestionar la
práctica, esto implica un aprendizaje con respecto a llegar a ser profesor de
matemáticas pues están haciendo uso de los “instrumentos conceptuales”
que les permite interpretar, a partir de estos saberes, lo que sucede en la
práctica. Por otro lado, poseen herramientas técnicas que les permiten
153
plantear opciones didácticas para el tratamiento del contenido matemático
como objeto de enseñanza (Llinares, 2010)
Hablar sobre el contenido matemático como contenido de enseñanza es
hablar de una de las variables presentes en los procesos de enseñanza y de
aprendizaje.
5.2.3 Conocimientos profesionales reflejados en el diseño de una
situación didáctica
Finalmente, en la quinta sesión del taller, se presenta la siguiente situación
didáctica, en ella se observa tanto un trabajo que se abre a una gran
variedad de figuras geométricas y no sólo a determinados polígonos
estereotipados. Además de que plantean variables didácticas para una
misma situación didáctica.
M6 Para los polígonos lo primero que haríamos es formar equipos, en cada
equipo entregaríamos un juego de cartas. En estas cartas estarían impresos
diferentes polígonos. Desde polígonos convexos, cóncavos
M5 Abiertos
M6 Abiertos y cerrados. No, pero los polígonos tienen que ser cerrados
M5 Ah sí, sí.
M5 Se pondrían figuras abiertas y cerradas. Sin ser polígonos.
M6 Sin ser polígonos Verdad?
M5 Sí .
M6 Sin ser específicamente polígonos. En esas tarjetas pondríamos figuras:
abiertas cerradas, cóncavas, convexas. Figuras, puras figuras.
M6 Les diríamos a los niños que juntaran todas aquellas tarjetas que
tuvieran tres lados rectos y que fueran cerradas.
Otra indicación sería que reunieran las tarjetas con tres vértices.
154
Otra indicación sería que unieran todas las tarjetas con un lado curvo.
Otra indicación con tres lados rectos y abierto.
C. Hasta ahí, hasta ahí. ¿Con esta actividad qué es lo que ustedes están
logrando que los niños identifiquen?
M7 Características de los polígonos.
M3 Figuras ¿no?
C ¿qué va a pasar cuando ellos (los alumnos) seleccionen figuras con tres
lados y figuras con tres vértices? ¿Van a ser diferentes tarjetas o cuáles van
a ser?
M2y M5 Los triángulos, van a ser los mismos.
M10 Que el mismo número de lados nos da el mismo número de vértices.
¿Sí, verdad?
M5 Después de la actividad que hicimos con las tarjetas, pasamos a que es
lo que puede ayudar al enriquecimiento del lenguaje geométrico. Es la
descripción de las figuras y esto sería por parte de los niños.
El segundo momento se trata de que ellos, los niños, sean los que den las
instrucciones. Si en el primer momento nosotras fuimos las que dimos la
indicación: de que junten las tarjetas que tengan las figuras de tres lados,
ahora las de tres vértices.
Ahora van a ser ellos los que den las instrucciones y esto puede ayudar a
que vayan adquiriendo ese lenguaje y las describan de acuerdo a las
características de las figuras.
Y planteamos algunas preguntas. Nos… Creo que puedo hablar por M6. Nos
fue difícil plantear las preguntas. Una de ellas fue: ¿en qué te fijaste para
reunir estas tarjetas? ¿de los grupos que formaste qué figuras se parecen y
en qué se parecen?
155
M5 También nos dimos cuenta que con ese material que nosotras podemos hacer
que son las tarjetas, podemos abarcar mucho
M2 Distintos enfoques ¿no?
M5 ¡Ajá! La perspectiva que tengamos, el enfoque que tengamos podemos hacer
diferentes actividades.
M5 El tercer momento es separar las que tengan líneas rectas y abiertas, líneas
rectas y cerradas y a partir de aquí, nosotras como instructor como…(no encuentra
con que palabra nombrar su función educativa)
C. Como la maestra.
M5 Si, nada más que… (duda en como nombrar lo que hace)
C. Institucionalizamos el saber
M5 Ellos ya vieron lo que es el concepto, ya experimentaron con las tarjetas y a
partir de eso ya les damos el término. Que es el polígono
C. ¿Con esta actividad a dónde los llevan? ¿Cuál es su propósito?
M6 Que hagan una comparación y caigan en cuenta de las características de un
polígono.
C Este es el propósito del tercer momento. ¿Cuál es el propósito de que los niños
den las instrucciones?
M9. Reconozcan las características de las figuras geométricas y comiencen a
llamarlas por su nombre
Video 5 E minuto 2 al minuto 21
Se observa como las docentes poseen otro conocimiento profesional con
mayor claridad conceptual del contenido matemático y también claridad con
respecto a este contenido como conocimiento pedagógico. Esto les permite
hacen uso de otro tipo de lenguaje, diseñar otro tipo de situación didáctica
que da una enseñanza de la geometría desde la cual se desarrollen
156
procesos cognitivo; identificar lo que es relevante en términos matemáticos y
así tomar decisiones de enseñanza adecuadas (Llinares, 2011).
157
Capítulo 6
Conclusiones
Al inicio de este trabajo de investigación se planteó una interrogante que si
bien no se respondió en su totalidad y cabalmente, sí se obtuvieron
resultados que posiblemente orienten el camino de futuras investigaciones.
Las conversaciones, argumentaciones, o reflexiones que se generaron a lo
largo del taller implementado, permitieron de acuerdo al marco teórico
adoptado, la descripción e identificación de los diferentes procesos de
aprendizaje en un grupo de educadoras de la Ciudad de México.
En este apartado, se presentan las conclusiones a las que se arriba después
de la implementación y análisis del trabajo que se realizó. Se pondera el tipo
de conocimiento que se promovió en las educadoras para su desarrollo
profesional, el papel de las situaciones didácticas en su formación y la
importancia de favorecer procesos cognitivos en el aprendizaje de la
geometría.
1 Conocimiento disciplinar y conocimiento pedagógico, dos instrumentos que
conforman el conocimiento y favorecen el desarrollo profesional de las
educadoras.
El nivel educativo de preescolar, es un nivel que recién está recuperando su
carácter educativo y requiere de trabajo serio de investigación.
En esta investigación se mostró, que como consecuencia de un proceso de
reflexión y análisis de los conocimientos disciplinares y pedagógicos con los
que las participantes iniciaron el proceso de formación, las docentes
pudieron ver desde otra perspectiva su práctica docente y comprender la
necesidad de adquirir nuevos conocimientos que les dieran claridad en su
intencionalidad educativa con respecto a la geometría.
En los procesos de formación inicial y continua de las docentes de
Educación Preescolar, la falta del reconocimiento de que para apoyar su
desarrollo profesional es necesario abordar tanto los contenidos de
158
orden disciplinar como los pedagógicos (de la geometría en el caso que
estudiamos), lleva a que, a pesar del gran número de horas de formación
continua que los docentes reportan, estos espacios no logren cabalmente su
propósito y los participantes continúen con imprecisiones didácticas, o con
interpretaciones de los contenidos que poco tienen que ver con la
apropiación de los objetos matemáticos por parte de los alumnos.
La situación didáctica que las docentes propusieron en las últimas sesiones
del taller para desarrollar con sus alumnos, así como la manera en que las
presentaron, muestra un conocimiento más amplio con respecto a lo que
significa ser docente de Educación preescolar. En esa situación didáctica se
identifica la apropiación de dos tipos de conocimiento: la geometría como
conocimiento disciplinar y la geometría como conocimiento pedagógico.
Se puede afirmar, con base en esta experiencia, que para desarrollar y
avanzar en la profesionalización de las docentes, se requiere que en los
espacios de formación continua para docentes frente a grupo, se parta de lo
que ellas ya saben con respecto al contenido y al proceso de enseñanza, e
incluir en el programa de formación contenidos tanto disciplinares como
pedagógicos de la geometría.
Este nuevo conocimiento profesional, permitirá que las situaciones que
propongan a sus alumnos tengan mayor claridad con respecto a su finalidad
educativa y un respaldo teórico que les permita analizar y justificar su
práctica.
2.- Las situaciones didácticas como un instrumento de inmersión en
actividades geométricas que posibilitan la interacción y discusión de los
objetos matemáticos y además como un instrumento didáctico que para su
diseño requiere que las docentes cuenten con mayor conocimiento de orden
disciplinar y de orden pedagógico.
El trabajo con las situaciones didácticas que se implementó en este espacio
de formación, tuvo dos particularidades.
Por un lado las docentes se enfrentaron a situaciones en las que a partir de
resolver una consiga referente al aprendizaje de la geometría, pudieron:
159
Identificar los saberes con los que contaban para resolverlas,
reconocer la necesidad de comunicar sus procedimientos, desde un
lenguaje natural a un lenguaje matemático,
confrontar sus procedimientos con los de sus compañeras y
arribar a nuevos saberes matemáticos.
En algunas de las situaciones implementadas, (como por ejemplo, las
transformaciones de figuras o la identificación de formas geométricas), las
docentes discutieron ampliamente la experiencia educativa que vivieron: en
qué medida estas situaciones fueron un reto que demandó de ellas poner en
juego lo que sabían, la conveniencia de saber escuchar los argumentos y
observar los procedimientos de sus compañeras, la importancia del lenguaje
para la comunicación clara y precisa de sus ideas. En suma, de vivir de
manera diferente, al que regularmente se desarrolla en preescolar, el rol de
alumno. Este nuevo rol de alumno, implica también un rol diferente de
docente en el cual la presentación ostensiva no es una estrategia de
enseñanza pertinente.
Por otra parte, haber participado en situaciones didácticas y conocer
aspectos teóricos generales de esta teoría de G. Brousseau, dio
herramientas a las docentes con respecto a las condiciones didácticas que
están implícitas en el diseño de dichas situaciones.
La solicitud de diseñar una situación didáctica, obligó a las docentes a un
proceso de análisis y de reflexión sobre las condiciones disciplinares y
didácticas que se requieren para su implementación. El producto que
presentaron las docentes recuperó algunas de las situaciones didácticas que
se plantearon en el taller, modificaron esta situación para que fuera viable
desarrollar con alumnos de tercer grado de preescolar y las enriquecieron
con otras actividades.
Diseñar situaciones didácticas en las que se contemplen sus variantes y las
posibles respuestas de los alumnos, demanda en las docentes de preescolar
un mayor conocimiento disciplinar y pedagógico de la geometría.
160
Aunque en este espacio de formación, se dieron los tiempos y contenidos de
orden disciplinar y pedagógico, con respecto a la geometría, para que las
docentes diseñaran sus situaciones didácticas; esto no fue suficiente para un
diseño nuevo; ellas retomaron y ajustaron algunas de las situaciones que se
trabajaron en este espacio de formación. No obstante lo anterior, las
docentes justificaron teórica y didácticamente su diseño renovado, así como
los beneficios y dificultades que ellas podrían vivir en su implementación
tales como las posibles respuestas o cuestionamientos matemáticos que
estos niños de cinco años les pudieran plantear. Con base en todo lo
anterior puede afirmarse que los dos tipos de conocimiento que se buscó
favorecer fueron visibles.
3 La importancia de desarrollar habilidades cognitivas en un trabajo
geométrico en Educación preescolar.
A diferencia de la percepción generalizada de la función de Educación
preescolar centrada en lo asistencial, en este trabajo se evidencia que el
desarrollo de procesos cognitivos es algo viable e importante de la
Educación preescolar
El trabajo cognitivo que se desarrolló en este espacio de formación, ayudó a
cuestionar el trabajo perceptivo y ostensivo como medio de enseñanza que
se remite a presentar y nombrar las figuras. Dicho trabajo implicó conocer
algunas de las propiedades de las figuras geométricas a partir del proceso
cognitivo de la visualización
Una de las prácticas regulares en Educación preescolar con respecto a los
contenidos geométricos, es la presentación ostensiva de determinadas
figuras geométricas como el triángulo, el rectángulo, el cuadrado y el círculo.
Este tipo de representaciones casi únicas y exclusivas de las figuras
geométricas, reducen la riqueza de representaciones semióticas tanto en un
sólo registro como en diferentes registros, y como consecuencia generan
una débil apropiación del objeto geométrico.
161
A partir de este trabajo de formación, las docentes modificaron y se
atrevieron a plantear situaciones de reto a sus alumnos. Como consecuencia
de esto, las respuestas que obtuvieron de sus alumnos las llevó a cuestionar
el tipo de prácticas que regularmente realizaban con ellos, las cuales no
demandan el desarrollo de procesos cognitivos.
Por cuestiones de tiempo en la entrega del presente trabajo de investigación,
no se sistematizó la aplicación que algunas docentes realizaron en su grupo
de alumnos. Sin embargo en los comentarios que ellas hicieron en el taller,
se pudo observar cómo los niños responden de manera muy eficiente y con
razonamientos que pocos docentes podríamos esperar, y que regularmente
no se potencializan por falta de conocimiento matemático y pedagógico de la
geometría.
Por lo anterior se puede concluir que en un trabajo de formación continua, el
trabajo con la geometría es un trabajo rico en experiencias cognitivas que
favorecen el desarrollo del pensamiento matemático en las docentes y esto
desarrolla su conocimiento profesional, lo que lleva (entre otros factores) a
un mejor desarrollo y potenciación de los aprendizajes de los alumnos de
tres a cinco años de edad.
162
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168
ANEXO 1
Figuras abiertas con lados rectos.
Figuras abiertas con lados rectos y curvos
169
Figuras cerradas con lados rectos y curvos
170
Polígonos convexos
171
Anexo 2
Polígonos cóncavos
Polígonos complejos
172
Polígonos con lados iguales (igual medida)
173
Anexo 3
CONTENIDO ASPECTOS RELEVANTES DEL
CONTENIDO
QUE SE PODRÍA TRABAJAR EN PREESCOLAR
Formas
abiertas o
cerradas
Una forma cerrada se puede deformar y aún
así continua siendo cerrada, para que sea
abierta debe de romperse por algún lado.
Figuras
geométricas
Las figuras pueden tener lados rectos o
curvos, para ser figuras geométricas deben
tener los lados rectos
Polígonos
Cuadriláteros
Triángulos
Formación
de polígonos
174
175
Anexo 4