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ANALYSIS REFERENCE Chapter 5. Algorithm

연립방정식 해법

연립방정식의 해법(system of equation solver)은 식 (5.1.1)과 같은 선형 행렬식의 해 u 를 구하는 방법이다.

Ku = p (5.1.1) 연립방정식 해법은 선형정적 구조해석뿐만 아니라, 고유치 해석, 동적 해석, 비선형 해석 등 모든 해석에 이용되며, 일반적으로 가우스 소거법(Gauss elimination) 또는 LU 분해법에 기반한 직접해법(direct solver)과 반복 계산을 통해 오차를 최소화하는 해로 수렴시켜 가는 반복해법(iterative solver)이 있다. 직접해법은 행렬의 수치적 특성에 영향을 받지 않고 안정적으로 해를 구할 수 있어 구조해석에 일반적으로 많이 사용되고 있으나 문제의 규모가 커지는 경우 기억용량과 계산량이 급격하게 증가하는 경향이 있다. 따라서 대형 문제의 경우에는 상대적으로 기억용량이 적게 요구되는 반복해법을 적용하는 것이 좋다. 그러나 구조해석의 경우 반복해법은 행렬의 수치적 특성으로 인하여 원하는 해를 얻을 수 없거나, 수렴된 해를 얻기 위한 반복 계산이 많아질 수 있음에 주의해야 한다. midas Plant 에서는 해석하고자 하는 문제의 규모에 따라 직접해법과 반복해법을 자동으로 결정해 주는 기능을 제공하고 있다. 직접해법에서는 연립방정식의 해를 두 단계에 걸쳐 구하게 된다. 첫 번째 단계는 행렬 분해 (decomposition) 이고, 두 번째 단계는 전-후진 대입(forward-backward substitution: FBS) 과정이다. 일반적인 비대칭 행렬에 적용되는 LU 분해법은 유한요소 해석 과정에서 발생되는 대칭 강성행렬 K 의 경우 다음과 같은 형태의 행렬 분해로 적용될 수 있다.

T =LL u p or T =LDL u p (5.1.2)

L : 하삼각 행렬(lower triangular matrix)

D : 대각 행렬(diagonal matrix)

일반적으로 D 가 포함된 행렬 분해법은 강성행렬이 양의 정부호(positive definite)가 아닌 경우에 필요하다. midas Plant 에서는 선형정적 구조해석의 경우 TLL 형태의 행렬 분해법(Cholesky 분해법)을 사용하고

고유치 해석 또는 비선형 해석의 경우는 양의 정부호를 보장할 수 없기 때문에 TLDL 형태의 행렬 분해법을 사용한다. 직접해법 적용 시 중요한 점은 행렬의 희소성(sparsity)을 적절히 이용해야 하는 것이다. 일반적으로 유한요소해석 시에 발생하는 강성행렬 K 는 행렬 내에 다수의 '0'이 존재하는 희소행렬(sparse matrix)이며, 이 희소성을 활용하는 방법에 따라 계산량과 요구되는 기억 용량이 현저하게 달라진다. 따라서 midas

Section 1

Section 1. 연립방정식 해법 | 107

Chapter 5. Algorithm

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Plant 에서는 행렬의 희소성을 활용하지 않는 일반적인 조밀행렬(dense matrix)에 대한 직접해법(direct solver) 외에 행렬의 희소성을 적절히 활용해 계산량과 기억 용량을 획기적으로 줄일 수 있는 다중프런트 해법(multi-frontal solver)을 기본 직접해법으로 지원하고 있다. 다중프런트 해법에서는 행렬의 희소성을 활용해 계산량과 기억용량을 최소화하기 위해 자유도의 재배치(ordering)가 필요하며 이렇게 재배치된 정보에 따라 행렬을 여러 개의 프런트 행렬로 분리하여 행렬 분해를 수행한다. 그림 5.1.1은 자유도의 재배치에 의한 직사각형 요소망에서의 효과적인 계산 순서를 도식적으로 표현한 것이다. 자유도 재배치를 구현하기 위한 알고리즘은 재귀 이분할법(recursive bisection)을 이용하며, 전진 대입은 행렬의 분해와 같은 순서로, 후진 대입은 그 역순으로 계산하게 된다.

midas Plant 에서 사용하는 다중프런트 해법은 전체 영역에 대한 강성행렬을 따로 조립하여 저장하지 않음으로써 일반적인 다중프런트 해법에 비해 기억용량을 더 적게 필요로 하며, 대형 문제의 해결을 위해 메모리가 부족한 경우 자동적으로 하드디스크를 추가로 활용해서 계산을 진행할 수 있도록 하는 out-of-core 해석 기능을 지원하고 있다. 또한, 다중프런트 해법의 구현에 있어서 그래픽 처리 장치(Graphics Processing Unit: GPU)의 연산 능력을 활용하여 계산을 진행할 수 있도록 하였다. 최근 초대형 문제에 대한 수요가 많아짐에 따라 유한요소 해석의 가장 중심이 되는 연립방정식 해법의 성능에 대한 중요성이 더욱 부각되고 있다. GPU 는 매우 많은 수의 계산 단위(core)로 이루어져 있으며 CPU 에 비해 매우 높은 연산 성능을 제공한다. 이러한 GPU 의 높은 성능을 활용하여 가장 많은 연산시간을 차지하는 실수 행렬분해(real matrix decomposition) 과정에 대하여 적용하여, 전체적으로 개선된 연산 성능을 제공한다. 반복해법은 반복적인 계산에 의해 근사해의 오차를 줄여 수렴시켜 나가는 방법으로서 적은 반복계산으로 수렴 오차를 빠르게 줄이는 것이 매우 중요하다. 일반적으로 반복계산의 횟수는

1 2 1 4 1 2 1

1 2 1 1 2 1

3 3

그림 5.1.1 다중프런트 해법의 행렬 분해 순서 예시

108 | Section 1. 연립방정식 해법


전제조건화(preconditioning) 기법에 의해 좌우된다. midas Plant에서는 요소의 형상에 관계 없이 안정적인 전제조건화 기법으로 알려진 SA(smoothed aggregation) AMG(algebraic multi-grid)1 방법을 이용한다. AMG 방법은 다중격자(multi-grid)를 활용하기 때문에 반복횟수가 자유도 개수의 영향을 크게 받지 않으며, shell 요소와 같이 절점 당 자유도가 변위와 회전으로 이루어진 요소를 사용하는 경우에도 안정적인 수렴성을 보인다. AMG 방법을 이용한 반복해법에서는 다중격자가 자동으로 구성되며, 이는 인접한 절점들의 집합과 각 절점 집합을 대표하는 자유도에 의해 만들어진다. 그림 5.1.2 는 다중격자를 구성하는 절점 집합의 예를 보여주고 있다.

앞서 설명한 바와 같이 직접해법과 반복해법은 해석하고자 하는 문제의 규모에 따라 그 성능이 달라지기 때문에 midas Plant에서는 이를 자동으로 결정해 주는 기능을 제공한다. 방정식 해법의 자동선택 기능을 사용하는 경우에는 소규모의 문제에 대해서는 조밀행렬을 이용한 직접해법, 중규모의 문제에 대해서는 다중프런트 해법, 그리고 대규모 문제에 대해서는 AMG 반복(해)법을 문제 규모에 따라 자동으로 선택하여 사용한다. 자동 선택의 기준은 다음 사항을 고려하여 결정된다. ► 경험적인 조건을 알고 있는 경우 : 사용자가 입력한 절점 또는 요소개수를 기준으로 결정 ► 경험적인 조건을 모르는 경우 : 모델의 자유도 개수와 시스템 메모리 크기를 기준으로 프로그램 내에서 결정

1 Vanek, P., Mandel, J. and Bresina, M.,”Algebraic Multigrid by Smoothed Aggregation for Second and Fourth

order Elliptic Problems,” Computing, Vol. 56, 1996

그림 5.1.2 다중격자 구성을 위한 절점 집합의 예시

Section 1. 연립방정식 해법 | 109


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고유치 추출법

고유치의 추출(eigenvalue extraction)은 모드 해석(normal mode analysis)과 좌굴 해석(buckling analysis) 의 핵심 알고리즘이며, 고유치 추출 문제의 형태는 다음과 같다.

(no summation)i i iφ λ φ− =K B 0 (5.2.1)

K : 강성 행렬

B : 모드 해석 시 - 질량 행렬 ( M ) : 좌굴 해석 시 – 기하 강성 행렬 ( gK )

midas Plant 좌굴해석의 경우에는 강성 행렬에 고정적으로 반영하거나 기하 강성 기여분을 조정할수 있도록 하기 위해 다음과 같이 하중세트별로 기하강성을 다르게 적용할 수 있도록 하였다.

( ) ( ) (no summation for )n n m mg i i g i iα φ λ α φ+ − =∑ ∑K K K 0 (5.2.2)

nα : 강성 행렬에 고정적으로 더해지는 하중세트의 기하강성 기여 계수 mα : 좌굴계수에 따라 가변적으로 더해지는 하중세트의 기하강성 기여 계수

midas Plant에서는 연립방정식 해법에 따라 고유치 추출 방법이 연동하여 바뀌게 된다. 연립방정식 해법의 기본값인 다중프런트 해법에서는 Lanczos 반복법을 사용하며, 조밀행렬 해법을 선택하게 되면 고유치 추출 또한 조밀행렬을 이용한 직접법을 사용한다. 각각의 방법은 다음과 같은 특징을 가지고 있다. • Lanczos 반복법 ► 대규모 문제에 적합하다. ► 고유치가 누락될 수 있으므로 Sturm sequence check 옵션을 사용하는 것이 좋다. • 조밀행렬을 이용한 직접법 ► 자유도 개수가 310 수준에서 급격히 성능이 저하될 수 있으므로 작은 규모의 테스트 모델에 적합하다. ► 고유치가 누락되지 않는다.

Section 2

2.1 고유치 추출법

110 | Section 2. 고유치 추출법


Lanczos 반복법은 Krylov 부분공간(subspace) 1, 2( ,..., )kspan V V V 을 생성하는 과정을 통하여 발생하는 삼중

대각행렬을 이용하여 고유치의 근사값을 구하는 방법 2이다. 효과적인 고유치 계산을 위하여 블록 삼중대각행렬 3을 이용하기도 하며, 삼중대각행렬(tridiagonal matrix) 의 크기가 구하고자 하는 고유치 개수의 수준과 비슷하게 유지되므로 계산 속도가 매우 빠르고 대규모 문제에 적합하다. 그러나 고유치의 누락이 발생할 수 있기 때문에 이를 확인하는 옵션을 사용하는 것이 좋다. 조밀행렬을 이용한 직접법은 강성행렬의 분해, 삼중대각행렬 생성, 고유치 계산 과정을 거치게 된다. 삼중대각행렬 생성과 고유치 계산을 전체 행렬에 대해 수행하므로 고유치의 누락은 발생하지 않으나, 대규모 문제를 푸는 데는 부적합하다. 고유치의 계산범위 일반적으로 모드해석 시의 고유치 개수 및 범위는 모드 참여계수(modal participation factor)(식 5.3.1) 또는 모드 유효 질량(modal effective mass)(식 5.3.3)을 고려하거나 관심 주파수 영역을 기준으로 결정할 수 있다. 이와 같이 계산하고자 하는 고유치의 개수와 범위를 결정하게 되면, 다음과 같은 입력을 통하여 이를 설정할 수 있다.

변수 설정 ( 1v , 2v , N 입력 또는 미입력) 고유치 범위 고유치 개수

1v , 2v , N 1 2v v v< < 최대 N 개

1v , 미입력, N 1v v< 최대 N 개 미입력, 2v , N 2v v< 최대 N 개

미입력, 미입력, N v−∞ < < ∞ 최대 N 개

1v , 2v , 미입력 1 2v v v< < 모든 고유치

1v , 미입력, 미입력 1v v< 모든 고유치 미입력, 2v , 미입력 2v v< 모든 고유치

미입력, 미입력, 미입력 v−∞ < < ∞ 모든 고유치 위의 입력에서 1v , 2v 는 모드 해석에서 주파수(Hz)이다. 고유치 계산 결과 고유치 문제의 결과인 고유벡터는 그 크기가 바뀌어도 식 (5.2.1)을 만족한다.

( )i i i i i i

i i

aa

φ λ φ ϕ λ ϕϕ φ

− = − =

=

K B K B 0 (5.2.3)

2 Hughes, T.J.R., The Finite Element Method, Prentice-Hall International, Inc., New Jersey, 1987 3 Cullum, J. and Donath, W., “A Block Lanczos algorithms for computing the q algebraically largest

eigenvalues and a corresponding eigenspace of large real symmetric matrices,” Proc. 1974 IEEE Conference

on Decision and Control, IEEE Computer Society, 1974

표 5.2.1 고유치 개수와 범위의 설정 방법

Section 2. 고유치 추출법 | 111


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그러므로 계산된 고유벡터의 크기를 일관적으로 표현하는 방법이 필요하게 되며, midas Plant에서는 해석 종류에 따라 다음의 식을 만족하도록 고유벡터의 표준화(normalization) 과정을 적용하고 있다.

1Ti iφ φ =M (5.2.4)

고유치 계산 알고리즘은 조밀행렬에 의한 직접법을 사용하더라도 근사해에 불과하기 때문에 그 정확도를 보장할 수 없다. 그러므로 midas Plant 에서는 계산된 고유치와 고유벡터의 정확도를 확인할 수 있도록 다음과 같은 값들을 고유치 계산 결과로 채택하였다.

결과 항목 계산 방법

Generalized mass Ti i ib φ φ= B

Generalized stiffness Ti i ik φ φ= K

Orthogonality loss 1 1max( , )T Ti i i i

ii ik b

φ φ φ φδ − −=K B

Error measure i i ii

i

eφ λ φ

φ−

=K B

K

모드 해석에서는 질량 참여율을 특정 비율(보통 80~90%이며, 내진기준에서는 90%)을 만족하는 만큼의 고유치를 추출하는 경우가 있다. midas Plant는 고유치 개수를 늘려가며 선택된 자유도들의 질량 참여율을 만족하는 최소의 고유치 개수를 자동으로 구하는 기능을 제공한다 (질량 참여율 개념은 section 3참고). 분해된 강성 행렬을 재활용하여 고유치를 추가로 구하기 때문에, 수동으로 반복하는 것보다 효율적일 수 있다. 사용자가 입력한 모드개수를 초기값으로 시작하여, 추가로 구한 모드개수 대비 질량 참여율 증가분의 비율을 기준으로 모드개수를 늘려가면서 질량 참여율을 만족할 때까지 반복하는 방식을 사용했다.

1= ii

i

PNN+

∆∆

∆ (5.2.5)

1iN +∆ : 추가로 구해야 할 고유치 개수 iN∆ : 이전 반복 계산시(i 번째) 추가된 고유치 개수

iP∆ : 이전반복 계산시 증가한 최소 질량 참여율(선택된 자유도 방향) 이 방법을 사용하는 경우는 고유치를 추가적으로 추출하기 위한 반복 때문에 별도의 고유치 누락을 위한 반복은 수행하지 않게되며, 초기값은 마지막으로 사용자 입력한 모드개수가 사용된다. 초기값이 너무 작은 경우는 반복을 그만큼 더 많이하게 되므로, 가능한한 모델의 자유도 개수나 복잡도, 규모대비 높이 등을 고려하여 초기값을 입력하면 훨씬 효율적으로 계산할 수 있게 된다.

표 5.2.2 고유치와 고유벡터 이외의 계산 결과

2.2 자동 추출법



참고 사항 1. 조밀행렬 해법이 선택된 경우에는 구할 수 있는 모든 모드를 한번에 구하고, 질량 참여율을 만족하기 위해 필요한 최소 모드 개수만을 선택하는 방식을 따르고 있다. 2. 일반적으로 내진해석시 기준이 되는 질량참여율 제한값은 구속된 질량을 제외한 비율을 의미한다. 3. 목표 질량 참여율이 모든 모드를 사용했을 때의 질량 참여율에 너무 근접한 경우, 너무 비효율적인 계산이 될 수 있으므로, 경고메시지를 주고 목표 질량 참여율을 자동으로 줄여서 계산을 진행한다.



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1) 핀 구속된 십자형 구조

REFERENCE NAFEMS1 ELEMENTS Beam elements MODEL FILENAME Eigen01.mpb

아래 그림은 4 개의 보가 십자형으로 교차되는 2D 모델로 각 팔의 끝은 핀구속되어있다.

Material data Elastic modulus Mass density

E = 200 GPa ρ = 8000 kg/m3

Section property Square cross-section 0.125 m x 0.125 m

Mass option Coupled mass

Y

X

5 5

5

5

0.125

0.125

Units : m

2.3 모드해석 검증 예제

Figure 2.3.1.1 Pin-ended cross model



Table 2.3.1.1 Natural frequencies in Hz obtained using beam elements

Mode 1 Mode 2&3 Mode 4


Figure 2.3.1.2 Vibration mode shapes

Mode Number 1 2, 3 4 5 6, 7 8

Reference 11.336 17.709 17.709 45.345 57.390 57.390

Element type

Number of

elements

Beam-2 4 per arm 11.336 17.687 17.716 45.486 57.382 57.702



ANALYSIS REFERENCE

2) 정사각형 프레임


아래 그림은 구속조건이 없는 2차원 정사각형 프레임 모델을 나타낸다. 각 변은 4개의 보요소를 사용하여 모델링 하였다. 3 개의 강체모드를 제외하고, 4~11 차 모드에 대한 결과를 비교하였다.

Material data Elastic modulus Poisson’s ratio Mass density

E = 200 MPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

Section property Area, shear area Moment of inertia

A = As = 0.0625 m2 Ix =Iy = 0.000326 m4


Y

X

10

10 0.25

0.25

Units : m

Figure 2.3.2.1 Free square frame model





Mode Number 4 5 6,7 8 9 10,11

Reference 3.261 5.668 11.136 12.849 24.570 28.695

Element type

Number of

elements

Beam-2 4 per arm 3.262 5.666 11.135 12.802 24.628 28.720



ANALYSIS REFERENCE

3) 이격된 질량이 있는 켄틸레버보


아래 그림은 켄틸레버보 자유단 끝에 두 개의 이격된 절점질량이 있는 모델을 나타낸다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

Section property Circular cross-section R = 0. 25 m


Y

X

10

Units : m

2

2

0.5

M1

M2

M1 = 10000 kg (along X, Y, Z)M2 = 1000 kg (along X, Y, Z)

Figure 2.3.3.1 Cantilever with off-center point masses model




Mode 4 Mode 5 Mode 6


Y

X X

ZY

X

ZY

Y

X

Y

XX

ZY


Mode Number 1 2, 3 4 5 6, 7 8

Reference 11.336 17.709 17.709 45.345 57.390 57.390

Element type

Number of

elements

Beam-2 5 11.338 17.689 17.717 45.483 57.371 57.690



ANALYSIS REFERENCE

4) 깊은 보

REFERENCE NAFEMS2 ELEMENTS Beam elements, solid elements MODEL FILENAME Eigen04.mpb

아래 그림은 단순지지된 깊은보를 나타낸다. 3 차원 상태의 모드를 다 고려하기 때문에 경계조건에 유의해서 모델링해야 한다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

Section property Square cross-section 2.0 m x 2.0 m

Mass option Coupled mass Table 2.3.4.1 Natural frequencies in Hz obtained using beam elements

10

Units : m

2

2X

Z

Y

x = y = z = RX = 0 at A, y = z = 0 at B

A B

Figure 2.3.4.1 Deep simply-supported beam model

Mode Number 1, 2 3 4 5, 6 7 8, 9

Reference 42.649 77.542 125.00 148.31 233.10 284.55

Element type

Number of

elements

Beam-2 5 42.675 77.841 125.51 150.43 241.24 300.10



Table 2.3.4.1 Natural frequencies in Hz obtained using solid elements

Mode 1&2 Mode 3 Mode 4

Mode 5&6 Mode 7 Mode 8&9

Y

X

Y

X

Y

XFLEXURAL TORSIONAL EXTENSIONAL

Y

X

Y

X

Y

X

FLEXURAL TORSIONAL FLEXURAL


Mode Number 1 2 3 4 5

Reference 38.200 85.210 152.23 245.53 297.05

Element type

Number of elements

TETRA-4 282 46.381 95.982 179.77 292.81 325.68

PENTA-6 60 39.317 85.659 158.54 264.38 298.68

HEXA-8 10x1x3 38.277 83.952 157.57 264.92 298.33



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5) 원형 링


아래 그림은 구속조건이 없는 원형 링 모델이다. 6 개의 강체모드를 제외하고 7~18 차 모드에 대한 결과를 비교하였다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

Section property Circular cross-section R = 0.05 m


Units : m

ZX

Y

1 0.1

Figure 2.3.5.1 Circular ring model




Mode 7&8 Mode 9&10 Mode 11&12

Mode 13&14 Mode 15&16 Mode 17&18

OUT OF PLANE IN PLANE OUT OF PLANE

IN PLANE OUT OF PLANE IN PLANE


Mode Number 7, 8 9, 10 11, 12 13, 14 15, 16 17, 18

Reference 51.849 53.382 148.77 150.99 286.98 289.51

Element type

Number of

elements

Beam-2 20 52.213 53.777 148.93 151.27 285.38 288.19



ANALYSIS REFERENCE

6) 얇은 정사각형 켄틸레버 판

REFERENCE NAFEMS1 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Eigen06.mpb

아래 그림은 왼쪽이 고정구속된 얇은 정사각형 켄틸레버 판을 나타낸다. 상하 대칭성을 이용하여 아래쪽 반만 모델링하였다. 대칭경계부분의 구속조건에 따라 Case A 는 대칭모드형상만을, Case B 는 비대칭 모드형상만을 나타낸다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

Section property Thickness t = 0.05 m


Units : m

YX

10

t = 0.05

10 CL

Z

x = y = Rz = 0 at all nodes,z = Ry = Rx = 0 along y-axis

x = y = Rz = 0 at all nodes,z = Ry = Rx = 0 along y-axis, Rx = 0 along y = 5mcase A

case B

Figure 2.3.6.1 Thin square cantilever plate model



Table 2.3.6.1 Natural frequencies in Hz obtained using shell elements – Case A



CLCLCL

CL CL CL



CLCLCL

CL CL CL

Figure 2.3.6.2 Vibration mode shapes (Case A)

Figure 2.3.6.3 Vibration mode shapes (Case B)

Mode Number 1 2 3 4 5 6

Reference 0.421 2.582 3.306 6.555 7.381 11.402

Element type

Number of

elements

TRIA-3 64 0.418 2.623 3.362 6.931 7.963 13.160

QUAD-4 8x4 0.418 2.615 3.337 6.752 7.905 12.681



ANALYSIS REFERENCE

Table 2.3.6.2 Natural frequencies in Hz obtained using solid elements – Case A

Table 2.3.6.3 Natural frequencies in Hz obtained using shell elements – Case B

Table 2.3.6.4 Natural frequencies in Hz obtained using solid elements – Case B


Reference 0.421 2.582 3.306 6.555 7.381 11.402

Element type

Number of

elements

HEXA-8 8x4x1 0.419 2.656 3.353 6.747 8.251 12.654


Reference 1.029 3.753 7.730 8.561 N/A N/A

Element type

Number of

elements

TRIA-3 64 1.027 3.841 8.263 9.303 12.417 18.118

QUAD-4 8x4 1.026 3.807 8.220 9.194 11.974 18.004


Reference 1.029 3.753 7.730 8.561 N/A N/A

Element type

Number of

elements



HEXA-8 8x4x1 1.029 3.840 8.356 9.416 11.977 18.248



ANALYSIS REFERENCE

7) 얇은 정사각형 켄틸레버 판 – 불균형 메쉬

REFERENCE NAFEMS1 ELEMENTS Shell elements MODEL FILENAME Eigen07.mpb

아래 그림은 얇은 정사각형 켄틸레버 판 모델로 메쉬가 불규칙적인 경우의 응답변화를 확인하기 위한 문제이다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3



Y

X

10

10

Test 1 Test 2

Units : m

Cantilevered

Figure 2.3.7.1 Thin square cantilever plate model



Table 2.3.7.1 Natural frequencies in Hz obtained using shell elements

* obtained using shell element formulations with 6-dof per node.


Reference 0.421 1.029 2.582 3.306 3.753 6.555

Element type

Mesh

QUAD-4 Regular

0.418 0.417*

1.044 1.009*

2.756 2.666*

3.505 3.465*

4.199 3.829*

7.483 6.870*

Distorted 0.418 0.417*

1.043 1.007*

2.789 2.679*

3.539 3.485*

4.192 3.857*

7.515 6.965*



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8) 두꺼운 정사각형 단순지지 판


아래 그림은 두꺼운 정사각형 판 모델로 4 변이 단순지지 되어있다. Case A 의 경우 X 축에 평행한 위아래 경계선은 X 축 회전, Y 축에 평행한 좌우 경계선은 Y 축 회전을 추가로 구속한 경우이다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

Section property Thickness t = 1 m


Y

X

10Units : m

t = 1

10

Z

x = y = Rz = 0 at all nodes,z = 0 along all 4 edges

x = y = Rz = 0 at all nodes,z = 0 along all 4 edgesRx = 0 along Y-axis at x=0,10Ry = 0 along X-axis at y=0,10

case A

case B

Figure 2.3.8.1 Simply-supported thick square plate model




* QUAD-4 has additional 3by3 mode shape between 8 and 9th modes.


Mode 5&6 Mode 7&8 Mode 9&10


Mode Number 1 2,3 4 5,6 7,8 9,10

Reference 45.897 109.44 167.89 204.51 256.50 336.62

Element type

Number of

elements

BC type

TRIA-3 128 A 47.386 117.76 188.58 233.57 305.04 394.14

B 46.215 116.00 184.46 231.42, 231.90

299.70 392.87

QUAD-4 8x8 A 46.493 114.46 176.33 226.93 280.64 383.73

B 45.128 112.60 172.20 225.22, 225.45

276.10 382.57



ANALYSIS REFERENCE

9) 정사각형 켄틸레버 막


아래 그림은 왼쪽끝선이 구속된 정사각형 켄틸레버 구조를 나타낸다. Z 방향을 구속하여 면내 거동만을 구하는 문제이다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3



Y

X

10 Units : m

10

Z

z = 0 at all nodesx = y = 0 along y-axis

Figure 2.3.9.1 Cantiilevered square membrane model








Reference 52.404 125.69 140.78 222.54 241.41 255.74

Element type

Number of

elements

TRIA-3 128 53.788 126.28 144.45 234.70 249.57 263.48

QUAD-4 8x8 52.726 126.06 142.76 226.95 247.22 259.43



ANALYSIS REFERENCE

10) 변단면 켄틸레버 막


아래 그림은 자유단으로 갈수록 원래 단면의 90 도만큼 꼬여있는 보 모델이다. 왼쪽 끝은 고정경계조건으로 구속되어있다. 오른쪽 끝단에 방향별로 단위하중이 가해질 때 각각 요소의 면내/외 방향 거동에 대한 성능을 하중이 가해지는 점에서의 변위로 확인하는 문제이다.


E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3



10

2.5Y

X

Z1.0

Units : mz = 0 at all nodesx = y = 0 along y-axis

Figure 2.3.10.1 Cantilevered tapered membrane model




* obtained using shell element formulations with 6-dof per node.





Reference 44.623 130.03 162.70 246.05 379.90 391.44

Element type

Number of

elements

TRIA-3 256 45.643 44.725*

134.53 130.60*

162.92 162.89*

258.37 247.94*

393.48 384.41*

404.95 393.13*

QUAD-4 16x8 44.647 44.628*

131.04 130.20*

162.80 162.72*

250.33 246.82*

391.54 382.03*

393.10 392.84*



ANALYSIS REFERENCE

11) 켄틸레버 보 – 불규칙 메쉬


아래 그림은 왼쪽끝이 구속된 2 차원 평면에서의 켄틸레버 보를 나타낸다. 그림에서 a, b 는 각 요소의 길이를 나타내는데, 길이비의 변화에 따른 결과의 변화 양상을 확인하는 문제이다.


E = 200 GPa ρ = 8000 kg/m3

Section property Square cross-section 0.125 m X 0.125 m


10

Units : m

A

0.125

0.125X

Y

aa a b b b b a

x = y = Rz = 0 at A

Figure 2.3.11.1 Cantilever beam model





Reference 1.010 6.327 17.716 34.717 57.390 85.730

Element type

Length ratio

Beam-2

a = b 1.010 6.323 17.698 34.694 57.470 86.230

a = 10b 1.010 6.327 17.796 34.873 60.626 101.694

a = 100b 1.010 6.330 17.824 35.080 64.766 104.671



ANALYSIS REFERENCE

12) 다이아프렘이 있는 실린더

REFERENCE Soedel3 ELEMENTS Shell elements MODEL FILENAME Eigen12.mpb

아래 그림은 다이아프레임이 있는 실린더로, 대칭성을 이용해 1/4 만 모델링 하였다. 대칭 경계조건을 부여하여 대칭 모드형상만 확인하는 문제이다.


E = 2.06×1045N/mm2 ν = 0.3 ρ = 7.85×10-9 kg/mm3

Section property Thickness t = 2 mm

Mass option Lumped mass

Element setting Unique shell normal generation

Off

Units : mm

R = 100

200

Y

ZX

Rigid Diaphragm

Rigid Diaphragm

Figure 2.3.12.1 Cylindrical shell model with rigid diaphragms





Mode 4 Mode 5


Mode Number 1 2 3 4 5

Reference 1342.5 1464.8 1725.9 1892.4 2493.1

Element type

Number of elements

TRIA-3 400 1366.0 1495.2 1745.0 1942.0 2580.8

QUAD-4 10x20 1343.5 1470.0 1728.8 1910.8 2535.3



ANALYSIS REFERENCE

13) 탄성지지된 보

REFERENCE Timoshenko et al.4 ELEMENTS Beam elements, mass, spring MODEL FILENAME Eigen13.mpb

아래 그림은 스프링으로 구속된 보에 집중질량이 매달려 있는 2 차원 모델을 나타낸다. 집중질량에 의한 효과만을 보기 위해 보요소는 자체의 질량은 무시하고 강성만 고려한다.

Material data Elastic modulus Mass Spring constant

E = 3.0 X 107 psi M = 1000/386 lbm K = 300 lbf/in

Section property Moment of inertia Ix = 1.0 in4

84 Units : in

MX

Z

36

KK

Figure 2.3.13.1 Simple beam with a lumped mass supported on two springs



Table 2.3.13.1 Natural frequencies in Hz

Mode Number 1

Reference 1.875

Element type Number of elements

Beam-2 2 1.875



ANALYSIS REFERENCE

References

1 NAFEMS, "Selected Benchmarks for Natural Frequency Analysis", Issue 2, NAFEMS, Glasgow, 1987

2 NAFEMS, "The Standard NFAFEMS Benchmarks ", Rev.3, NAFEMS, Glasgow, 1990 3 W. Soedel, “Vibrations of Shells and Plates”, 2nd Edition, Marcel Dekker, New York,

1993 4 Timoshenko, Young and Weaver, "Vibration Problems in Engineering”, 4th Edition



1) 기둥 좌굴

REFERENCE Gere et al1 ELEMENTS Beam elements, shell elements, solid elements MODEL FILENAME Buckling01.mpb

아래 그림은 기둥모델로 경계조건에 따른 좌굴모드 양상을 확인하기 위한 문제이다.

Material data Elastic modulus E = 10000 tonf/m2

Section property Rectangular cross-section No shear deform

0. 25 m x 1.0 m

Y

X

15

Units : mTop : RollerBottom : Pin

Top : FreeBottom : Fixed

Top : Laterally guidedBottom : Fixed

Top : RollerBottom : Fixed

1 tonf 1 tonf 1 tonf 1 tonf

1

0.25

2.4 좌굴해석 검증 예제

Figure 2.4.1.1 Column model



ANALYSIS REFERENCE

Table 2.4.1.1 Critical loads in tonf obtained using beam elements

Table 2.4.1.2 Critical loads in tonf obtained using shell elements

Case 1 Case 2 Case 3 Case 4

Figure 2.4.1.2 Buckling mode shapes

Case 1 2 3 4

Reference 0.5712 0.1428 2.2846 1.1684


Beam-2 15 0.5714 0.1428 2.2847 1.1685

Case 1 2 3 4

Reference 0.5712 0.1428 2.2846 1.1684


TRIA-3 30 0.5741 0.1430 2.3323 1.1812

QUAD-4 15 0.5736 0.1429 2.3245 1.1790



Table 2.4.1.3 Critical loads in tonf obtained using solid elements

Case 1 2 3 4

Reference 0.5712 0.1428 2.2846 1.1684


HEXA-8 15 0.5747 0.1430 2.3421 1.1841



ANALYSIS REFERENCE

2) 포틀 프레임

REFERENCE Timoshenko et al2 ELEMENTS Beam elements MODEL FILENAME Buckling02.mpb

아래 그림은 포틀 프레임 형태의 2 차원 라멘구조모델로 수직하중에 대해서 요소개수에 따라 좌굴하중이 어떻게 바뀌는지 확인하기 위한 문제이다.

Material data Elastic modulus E = 1 x 106 psi

Section property Area Moment of inertia

A = 1.0 in2 Ix = 1.0 in4

YX

100

Units : in

100

1 lbf 1 lbf

①

②

③ ④

⑤

⑥




Table 2.4.2.1 Critical loads in tonf obtained using beam elements

Reference 737.9


Beam-2

2 per member 739.8

4 per member 737.6

8 per member 737.5




ANALYSIS REFERENCE

3) 고정구속된 정사각형 판

REFERENCE Chajes3 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Buckling03.mpb

아래 그림은 면내 압축을 받는 정사각형 판모델을 나타낸다. 대칭조건을 이용하여 1/4 만 모델링하였다.

Material data Elastic modulus Poisson’s ratio

E = 11.164 x 106 psi ν = 0.3

Section property Thickness T = 0.01 in

Y

X

1

1.0

Units : in.

P = 1.0 lbf/in. P

t = 0.01

Figure 2.4.3.1 Clamped square plate model



Table 2.4.3.1 Critical loads in lbf obtained using shell elements

Reference 100.7


TRIA-3 32 111.7

QUAD-4 16 107.3

Table 2.4.3.2 Critical loads in lbf obtained using solid elements

Reference 100.7


HEXA-8 16 98.0




ANALYSIS REFERENCE

4) 직사각형 판의 면내좌굴

REFERENCE Timoshenko et al2 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Buckling04.mpb

아래 그림은 면외 방향으로는 단순지지로 구속되어있고 면내로는 아래쪽 변이 Y 방향으로 구속되어있는 판모델을 나타낸다. 판 위쪽 중앙지점(E)에 집중하중이 가해졌을 때 면내좌굴 하중을 확인하기 위한 문제이다.


E = 200 GPa ν = 0.3

Section property Thickness t = 0.01 mm

Y

XZ A

B C

D

E

P = 1 kN

2

1

Units : mm

t = 0.01

Figure 2.4.4.1 Clamped square plate model



Table 2.4.4.1 Critical loads in kN obtained using shell elements

Reference 330


TRIA-3 144 342

QUAD-4 72 327

Table 2.4.4.2 Critical loads in kN obtained using solid elements

Reference 330


HEXA-8 72 298



ANALYSIS REFERENCE

5) 축압축력을 받는 실린더

REFERENCE Simo et al.4 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Buckling05.mpb

아래 그림은 축압력을 받는 실린더 모델로 양단의 횡방향으로 고정구속되어있다. 대칭성을 이용하여, 실린더 축방향으로 1/2 과 평면의 원형에 대해서는 1/4 만 모델링하였다.


E = 567 Pa ν = 0.3


P = 0.209 N/m

ClampedR = 100

L = 35.95

Units : m

Figure 2.4.5.1 Axially compressed cylinder model



Table 2.4.5.1 Critical load factor obtained using shell elements

Reference 1.0833


TRIA-3 840 1.2016*

QUAD-4 420 1.0734

* obtained from 10th buckling mode Table 2.4.5.2 Critical load factor obtained using solid elements

Reference 1.0833


HEXA-8 420 1.0631




ANALYSIS REFERENCE

6) L 형 브라켓

REFERENCE Simo et al.4 and Argyris et al.5 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Buckling06.mpb

아래 그림은 L 형 브라켓 판 모델로 면내방향 하중을 받는 모델이다. 면내방향 모멘트에 대해서 횡좌굴이 발생하는 현상을 확인하기위한 문제이다.


E = 71.24 GPa ν = 0.3

Section property Thickness t = 0.6 mm

240

240

30

Units : mm

t = 0.6XY

P = 1 N

Figure 2.4.6.1 L-bracket plate model




Table 2.4.6.1 Critical loads in N obtained using shell elements

Reference 1.137 (Simo et al.), 1.155 (Argyris et al.)


TRIA-3 136 1.187

QUAD-4 68 1.199

Table 2.4.6.2 Critical loads in N obtained using solid elements

Reference 1.137 (Simo et al.), 1.155 (Argyris et al.)


HEXA-8 68 1.198



ANALYSIS REFERENCE

References

1 J.M. Gere and S.P. Timoshenko, “Mechanics of Materials”, 2nd Edition, Thomson Brooks/Cole, California, New York, 1984

2 S.P. Timoshenko and J.M. Gere, “Theory of Elastic Stability”, 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1961

3 A. Chajes, “Principles of Structural Stability Theory”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J, 1974

4 J.C. Simo, D.D. Fox and M.S. Rifai, “On a Stress Resultant Geometrically Exact Shell Model. Part III: The Computational Aspects of the Nonlinear Theory”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 79, pp.21-70, 1990

5 J.H. Argyris, H.Balmer, J.St. Doltsinis, P.C. Dunne, M. Haase, M. Kleiber, G.A. Malejannakis, H.P. Malejenek, M. Muller and D.W. Scharpf, “Finite Element Method – Ther natural approach”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, VOl. 17/18, pp. 1-106, 1979



유효질량과 모드중첩법

모드 해석을 통하여 고유진동수(natural frequency), 고유주기(natural period) 그리고 모드 형상을 계산하고 나면 이들을 이용하여 모드 유효질량 또는 모드 참여계수 등의 유용한 정보를 산출할 수 있다. i 번째 모드의 방향별 참여계수는 iαΓ 로 표기하며 다음과 같이 계산한다.

1 , 1, 2,3, 4,5,6 (no summation)

(generalized mass)

Ti i

iT

i i i

m

m

α αφ α

φ φ

Γ = =

=

MT

M (5.3.1)

α : 자유도 방향 ( 1~3 : 변위, 4~6 : 회전)

여기서 αT 는 방향별 강체 거동의 크기를 나타내는 행렬이며, 각각의 절점에 대해 다음과 같은 성질을 가지도록 정의한다.

10 0

20 0

30 0

4

5

6

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

,0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

ez z y yez z x xey y x x

eeee

β αβδ

− − − − − − =

(5.3.2)

0 0 0, ,x y z 는 회전 중심을 의미하는데, midas Plant에서는 회전 중심을 구속절점의 질량까지 포함한 전체 모델의 질량 중심으로 사용한다. 모드 유효질량 역시 방향별 값으로 정의되며 모드 참여계수를 이용하여 다음과 같이 간단하게 계산할 수 있다.

2( )effi i im mα α= Γ (5.3.3)

구속된 자유도는 모드형상이 항상 0 이므로, 모든 모드에 대한 유효질량을 더하면 구속조건이 부여된 절점을 제외한 모델 전체의 질량과 같아지게 된다. 즉, 모든 모드를 구해도 구속절점의 질량이

Section 3

3.1 유효 질량

Section 3. 유효질량과 모드중첩법 | 157


ANALYSIS REFERENCE

참여율에서만 제외되기 때문에 질량참여율이 100%보다 작은 경우가 발생한다. 따라서, 질량 참여율을 계산할 때의 전체 질량은 구속자유도의 질량을 제외하는 것이 일반적이다. midas Plant에서는 동적응답의 해석에 모드 중첩법(mode superposition)을 적용할 수 있다. 모드 중첩법은 다음 식과 같이 주어지는 선형 동적 평형 방정식을 직접 푸는 대신 고유치 해석을 통해 구한 고유모드 형상을 이용하여 문제의 크기를 축소시킨 모드 평형 방정식을 푸는 방법이다.

( ) ( ) ( ) ( )t t t t+ + =Mu Cu K u f (5.3.4) 고유모드 형상 Φ를 이용하여 공간 좌표계의 변위 ( )tu 를 모드 변위 ( )tξ 의 조합으로 나타내면 다음과 같다.

( ) ( ) [ ]1 2, ... Nt t φ φ φ= =u Φξ Φ (5.3.5) 이를 이용하여 동적 평형방정식 식 (5.3.4)를 모드 좌표계에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )T T T Tt t t t+ + =Φ MΦ ξ Φ CΦ ξ Φ KΦ ξ Φ f (5.3.6) 일반적으로 모드 중첩법을 적용하는 경우, 고유모드 형상 Φ를 구성하기 위해 고차 모드를 제외한 주요 저차 모드 일부만을 사용하기 때문에 식 (5.3.6)은 식 (5.3.4)에 대한 근사식에 해당된다. 따라서 실제 물리적인 변위를 잘 표현할 수 있을 정도의 충분한 개수의 고유모드를 포함하여 계산하지 않으면 계산 결과의 정확도가 많이 떨어질 수 있음에 주의해야 한다. 모드 평형 방정식 식 (5.3.6)은 모드 감쇠행렬 TΦ CΦ 이 '0'인 경우 다음과 같이 각각의 모드에 대해 독립적으로 표현된다.

( ) ( ) ( )i i i i im t k t p tξ ξ+ = (5.3.7)

im : i번째 모드 질량 ip : i번째 모드 하중

ik : i번째 모드 강성 iξ : i번째 모드 변위 이와 같이 모드 중첩법을 이용하면 평형 방정식을 계산된 고유모드 개수만큼의 미지수를 가지도록 축소시킬 수 있으며, 특히 모드 평형 방정식이 모드 간에 완전히 분리되는 경우 매우 효율적으로 해석을 수행할 수 있다. 감쇠항의 처리

3.2 모드 중첩법

158 | Section 3. 유효질량과 모드중첩법


고유모드를 이용해 축소된 모드 평형 방정식 (5.3.6)은 모드 감쇠행렬 TΦ CΦ 이 대각화되어 연성(coupling)이 제거되면 식 (5.3.7)의 경우와 마찬가지로 각각의 모드에 대해 분리하여 표현할 수 있다.

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i im t b t k t p tξ ξ ξ+ + = (5.3.8)

ib : i번째 모드 감쇠

또는 다음과 같이 표현하기도 한다.

2 1( ) 2 ( ) ( ) ( )ii i i i i i

i

t t t p tm

ξ ζ ωξ ω ξ+ + = (5.3.9)

( )2i i i ib mζ ω= : 모드 감쇠비

2i i ik mω = : 모드 주파수

midas Plant 에서는 모드별 감쇠값을 모드에 따라 다르게 입력할 수 있는데, 이 경우 모드 감쇠(modal damping)값은 질량비례감쇠(mass-proportional damping) 및 강성비례감쇠(stiffness-proportional damping) 등 다른 일반적인 감쇠값들로부터 구성된 모드 감쇠행렬 TΦ CΦ에 더해진다. 따라서 모드 평형 방정식의 모드별 분리가 가능한 경우는 모드감쇠행렬 TΦ CΦ가 대각행렬인 경우이며, 이는 각 비례감쇠계수와 구조감쇠가 모든 요소에서 일정하고 감쇠요소(spring, damper)가 없는 경우에 해당한다. 그렇지 않은 경우는 대각화되지 않은 모드 감쇠항으로 인한 각 모드별 평형 방정식 간의 연성(coupling)을 고려하여 계산해야 한다. 강제 운동(Enforced motion) 모드 중첩법에서 강제 운동이 주어지는 경우, 이를 직접적으로 모드 평형방정식에 적용할 수 없으므로 midas Plant에서는 다음과 같은 과정을 통해 강제 운동을 적용한다. 먼저 평형 방정식 식 (5.3.4)를 강제 운동이 주어진 자유도와 그렇지 않은 자유도로 분리한다.

11 12 1 11 12 1 11 12 1 1

21 22 2 21 22 2 21 22 2 2

+ + =

M M u C C u K K u fM M u C C u K K u f

(5.3.10)

1u : 구속되지 않은 자유도의 변위

2u : 강제 운동으로 구속된 자유도의 변위

1f : 구속되지 않은 자유도에 작용하는 하중

2f : 강제 운동으로 구속된 자유도에 작용하는 구속력

이 식에서 강제 운동으로 구속되지 않은 변위 1u 을 다음과 같이 준정적(quasi-static) 변위 1qsu 와 동적

상대변위 y 로 분리하면 다음과 같다.

Section 3. 유효질량과 모드중첩법 | 159


ANALYSIS REFERENCE

1 11

1 11 12 2

qs

qs −

= +

= −

u u yu K K u

(5.3.11)

동적 상대변위 y 에 대해서 정리하면 다음과 같이 표현된다.

( )111 11 11 1 11 11 12 12 2

−+ + = + −M y C y K y f M K K M u (5.3.12)

이 식에서 우변의 감쇠 관련 항은 무시하였다. 모드 중첩법을 적용하여 ( ) ( )11t t=y Φ x 인 모드 상대변위

x로 방정식을 표현하면 다음과 같다.

( )111 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1 11 11 12 12 2

11 1 11 12 2 11

T T T T

qs

−

−

+ + = + − = + = − +

Φ M Φ x Φ C Φ x Φ K Φ x Φ f M K K M u

u u y K K u Φ x

(5.3.13)

구조물에 강체운동 모드(rigid-body mode)가 존재함으로 인하여 11K 이 특이성을 가지는 경우에는

강성행렬 11K 을 질량행렬 11M 을 이용하여 적절히 이동(shift)시켜 줌으로써 특이성을 제거할 수 있다. 잔차 벡터 (Residual vector) 모드 중첩법을 사용하는 경우 앞서 언급한 바와 같이 고유모드 형상 Φ에 포함되지 않은 고차 모드로 인해 오차가 발생하게 되는데 midas Plant 에서는 이러한 오차를 줄이기 위해 다음과 같이 질량행렬 M 및 강성행렬 K 에 대해 기존 고유모드와 수직이 되게 구성되는 잔차 벡터 R 를 사용한다.

1( )T−= −R K I MΦΦ F (5.3.14) 여기서 F 는 일반적으로 하중벡터로 구성되며, 감쇠요소가 있는 경우 감쇠력을 포함한다. midas Plant에서는 Dickens4 등이 제안한 방법을 이용하여 잔차 벡터 R 로부터 서로 수직이 되는 부가 모드 형상(augmented mode shape)들을 구한 다음 이를 기존의 고유모드 형상 Φ에 추가하여 모드 중첩법을 적용한다.

4 J.M. Dickens, J.M. Nakagawa, and M.J. Wittbrodt, “A Critique of Mode Acceleration and Modal Truncation

Augmentation Methods for Modal Response Analysis” Computers & Structures, Vol 62, No. 6, 1997, pp.

985-998

160 | Section 3. 유효질량과 모드중첩법


동적응답 해법

midas Plant 에서는 식 (5.3.4)와 같이 주어지는 선형 운동방정식에 대한 과도응답을 얻기 위해 직접 시간적분법(direct time integration)과 모드 중첩법(mode superposition)을 사용할 수 있다. 선형문제에 대한 직접 시간적분법은 내연적(implicit) 방법을 사용한다. 내연적 직접 시간적분법 midas Plant에서는 내연적 직접 시간적분법(implicit direct integration)으로 Hilber, Hughes, Taylor가 제안한 α 방법( HHT α− )１을 사용한다. HHT α− 는 Newmark 방법 ２의 일반화된 형태이며, 조절 가능한 수치적 감쇠효과를 갖는다. 이를 통해 고주파 노이즈를 제어할 수 있으며, Newmark 방법과 동일하게 시간스텝에 대하여 2차 정확도를 갖는다. HHT- α 방법은 다음과 같은 수정된 형태의 동적 평형방정식을 사용한다.

1 1 int, 1 , 1 int, ,(1 )n n n ext n n n ext nH Hα α+ + + + + + + − − + − = Ma Cv f f Cv f f 0 (5.4.1)

여기서 1n+a 과 1n+v 는 각각 1n + 번째 시간스텝에서의 가속도와 속도 벡터를 의미하며, [ 1 3,0]Hα ∈ −

는 수치적 감쇠효과를 결정짓는 계수이다. 재료의 열팽창과 같은 비역학적(non-mechanical) 변형률에 의한 효과, 그리고 초기응력과 간극수압에 의한 내력을 고려했을 때, 선형해석의 내력은 강성행렬과 자유도의 곱을 포함한 다음의 식으로 표현된다.

int, 1 1 nonmech, 1 int,0n n n+ + += − +f Ku f f (5.4.2) Newmark 방법에 의한 시간 차분식을 도입하면, 시간스텝 , 1n n + 에서의 속도, 변위 및 가속도는 다음과 같은 관계식으로 표현된다.

１ H.M Hilber, T.J.R. Hughes, and R.L. Taylor, “Improved Numerical Dissipation for Time Integration

Algorithms in Structural Dynamics,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 5, No. 3, 1977, pp.

283-292 ２ .M. Newmark, “A Method of Computation for Structural Dynamics,” ASCE Journal of the Engineering

Mechanics Division, Vol. 5, No. EM3, 1959, pp. 67-94

Section 4

4.1 시간 적분법

Section 4. 동적응답 해법 | 161


ANALYSIS REFERENCE

1 1

1 2 1

(1 )

1 2 (1 2 )2

n n n n

n n n n n

t

t t

γ γ

β β

+ +

+ +

= + ∆ + −

= + ∆ + ∆ + −

v v a a

u u v a a (5.4.3)

식 (5.4.2) 과 식 (5.4.3)을 이용하여 평형 방정식 (5.4.1)을 재구성하면, 시간 1n + 에 변위를 미지수로 하는 연립 방정식 형태로 다음과 같이 정리할 수 있다.

1

2

int,0 , 1 , 1 , ,

2

(1 )1 (1 ) ,

(1 )

1 1 1 12

(1 ) (1 ) 1 (1 ) 12

eff effn

eff HH

eff ext n nonmech n ext n nonmech nH H

n n n

n nH HH

t t

t t

tt

α γ αβ β

α α

β β β

α γ α γ γαβ β β

+

+ +

=

+= + + +

∆ ∆

= − + + + − + +

+ + − + ∆ ∆

+ ++ − + ∆ + − ∆

K u f

K M C K

f f f f f f

M u v a

C u v n nHα

+

a Ku

(5.4.4)

식 (5.4.4)에서 우변 efff 은 외력 및 시간스텝 n 에서 이미 계산된 변위, 속도, 가속도에 의하여 결정된다.

우변이 결정되면 앞 절에서 설명된 연립 방정식 해법을 이용하여 1n + 에서의 변위 벡터 1n+u 을 계산할

수 있으며, 계산된 변위를 Newmark 차분식 (5.4.3)에 대입하여 1n + 에서의 속도와 가속도를 얻을 수 있다. 구조물의 과도응답은 이러한 일련의 과정을 반복하는 시간적분 과정을 통해서 계산된다. 식 (5.4.4) 좌변의 유효강성 행렬( effK )은 시간스텝이 일정하게 유지되는 경우 한 번 분해된 행렬을 재활용하여 전후진 대입과정만을 반복함으로써 효과적인 해석이 가능하다. HHT α− 시간적분법은 (1 2 ) / 2Hγ α= − , 2(1 ) / 4Hβ α= − 의 경우 무조건적 안정성(unconditional

stability)을 갖으며, 0Hα = 인 경우 평균 가속도(average acceleration)를 사용하는 Newmark 방법으로

특수화된다. midas Plant 에서는 0.05Hα = − 를 기본값으로 사용한다. 감쇠(Damping) 효과 midas Plant 에서 고려하는 감쇠의 종류로는 질량비례감쇠(mass-proportional damping)과 강성비례감쇠(stiffness-proportional damping)가 있다. 그리고 5.3.2절에서 언급된 바와 같이 모드 중첩법의 경우에만 적용되는 모드 감쇠가 있다. 선형 시간이력 해석에서 감쇠의 효과는 다음과 같은 형태로 감쇠행렬 C 에 적용되게 된다.

162 | Section 4. 동적응답 해법


e e e ej j j jα β= + +C M K B (5.4.5)

ejα : j번째 요소에 대한 요소 질량비례 감쇠계수 ejβ : j번째 요소에 대한 요소 강성비례 감쇠계수 ejM : j번째 요소의 요소 질량행렬

ejK : j번째 요소의 요소 강성행렬

B : 감쇠 요소(damper)로 인한 감쇠행렬

모드 중첩법의 적용 모드 중첩법을 이용한 시간적분을 사용하기 위해 모드 평형 방정식 식(5.3.6)의 질량을 '1'로 맞춤으로써 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

iiji j i i i i

Tij ij ij

pt C t t p t p t t tt

C

ξ ξ ω ξ ∆+ + = = − ∆ +

∆= =C Φ CΦ

(5.4.6)

모드 중첩법을 이용한 시간적분은 모드 감쇠행렬 ijC 의 연성 상태에 따라 다음과 같이 두 가지로 구분되어 적용된다. ① 비연성 감쇠계 (uncoupled system)

모드 감쇠행렬 ijC 이 대각화되어 연성이 제거되면 응답이 모드마다 독립적으로 해석되며, 각 시간스텝에서의 변위와 속도는 이전 시간스텝에서의 변위와 속도에 의해 다음 식과 같이 결정된다. i번째

모드에 대한 모드별 적분계수 iaαβ , ibαβ 는 (5.4.6)의 특이해(particular solution)와 일반해(homogeneous solution)를 구하여 초기조건(이전 시간스텝에서의 변위와 속도)을 적용하면 얻을 수 있다.

111 12 11 12

1 121 22 21 22

n n ni i i ii i in n ni i i ii i i

pa a b bpa a b b

ξ ξξ ξ

+

+ +

= + (5.4.7)

② 연성감쇠계 (coupled system) 모드 감쇠행렬의 연성이 제거되지 않는 경우 모드 간 연성을 고려해야 하므로 앞에서처럼 모드마다 독립적으로 해석할 수가 없다. 이런 경우 midas Plant 에서는 모드 감쇠행렬을 다음과 같이 대각

성분( diagC )과 비대각 성분( offC )으로 나누어서 비대각 성분으로 인한 감쇠력을 외부 하중으로 취급하여 해석한다.



ANALYSIS REFERENCE

diag off= +C C C (5.4.8) 이 경우에는 모드 변위는 독립적이고 모드 속도는 연성되어 다음과 같이 연립방정식이 구성되고, 시간스텝이 고정이면 직접 시간적분법과 마찬가지로 행렬 재분해를 하지 않고 풀 수 있다.

112 11 12 11 12

1 121 22 21 22220

( ), ( )

T Tn n n noff offn nT n

off

i idiag a diag bαβ αβ αβ αβ

+

+ +

− = + + = =

I B C A A B Bξ ξ p C ξA A B Bξ ξ pI B C

A B

(5.4.9)

모드 중첩법에서의 초기조건 (Initial condition)

초기 변위와 초기 속도가 주어졌을 때 모드 좌표계에서의 초기 변위 0iξ 와 초기 속도 0

iξ 는 다음과 같이

정의된다. 모든 모드를 사용하면 등식이 성립하며 모드의 일부가 사용되면 근사 관계식이 된다.

00

00

1

1

Ti i

i

Ti i

i

m

m

ξ φ

ξ φ

=

=

Mu

Mv (5.4.10)

iφ : i번째 고유모드 형상

0u : 초기 변위

0v : 초기 속도

주파수 응답 해석은 일정한 주기(주파수)로 진동하는 하중에 대한 구조물의 응답을 계산하는 방법이다. 주로 특수 장비들에 대한 진동해석에 사용된다. 주파수 응답 해석에서 모든 하중은 주파수 영역에서 정의되며 가진 주파수(excitation frequency)에 따른 함수로 표현된다. 즉, 회전 가진 주파수(angular excitation frequency)가 ω 일 때 주파수 응답 해석에서의 하중은 다음과 같이 복소 조화함수를 이용해 나타낼 수 있으며

( ) ( ) i tt e ωω=f f (5.4.11) 그에 따른 응답 역시 같은 형태로 표현할 수 있다.

4.2 주파수 응답



( ) ( ) i tt e ωω=u u (5.4.12) 이를 이용하면 운동방정식은 다음과 같은 형태로 표현이 된다.

( ) ( )2 iω ω ω ω − + + = M C K u f (5.4.13)

여기서 하중과 변위는 모두 복소수로 표현이 된다. 복소수 값을 크기/위상각으로 표현하는 경우 크기는 해당 하중 또는 변위의 진동주기 내에서의 최대값을 나타내고, 위상각은 진동주기 내에서 최대값이 나타나는 위치(각)를 나타내게 된다. 반면 실수부/허수부로 복소수 값을 표현하는 경우 실수부는 진동주기 시작점에서의 해당 하중 또는 변위의 크기가 되며 허수부는 1/4 주기( / 2π )가 지났을 때의 하중 또는 변위가 되어 진동주기에 따라 그 값이 변화하게 되는 것을 나타낸다. 크기/위상각과 실수부/허수부의 관계를 식으로 나타내면 다음과 같다.

2 2r iu u u= + : 크기(magnitude)

1tan ( / )i ru uθ −= : 위상각(phase angle)

cosru u θ= : 실수부(real component)

siniu u θ= : 허수부(imaginary component)

직접법에 의한 주파수 응답 해석 (Direct frequency response analysis) 주파수 응답 해석을 위해 직접법을 이용하는 경우 식 (5.4.13)을 그대로 연립방정식으로 풀면 주파수 응답

( )ωu 을 구할 수 있다. 감쇠가 없는 경우 식 (5.4.13)은 실수 연립방정식이 되지만 감쇠가 있는 경우에는

복소수 연립방정식을 풀어야 한다. 직접법을 사용하는 경우 해는 정확하게 구할 수 있지만 매 가진 주파수마다 연립방정식을 다시 구성해서 풀어야 하므로 문제가 조금 크거나 가진 주파수가 많은 경우에는 계산이 매우 비효율적이 된다. 응답 스펙트럼 해석(response spectrum analysis)은 기반운동(base motion: 경계조건으로 구속된 절점들의 동일한 흔들림), 특히 지진에 의한 구조물의 응답을 평가하기 위한 방법 중 하나로 내진설계에 가장 보편화된 해석방법이다. 이 방법은 시스템의 응답을 선형으로 가정하여 최대 응답만을 평가하는 기법이기 때문에 비선형성이 지배적이거나 특정 시간스텝의 동시성을 고려한 결과가 중요한 문제에 대해서는 4.4.1절이나 7.1 절의 시간적분법을 이용한 해석이 적절하다. 최대응답은 미리 정의된 스펙트럼 함수에 상응하는 모드별 응답에 모드 참여율을 반영한 모드조합으로 평가된다. 여기서, 모드별 최대응답의 동시성은 고려하지 않고 모드별 응답의 최대값을 조합방법을 통하여 최대응답을 계산하기 때문에 응답 스펙트럼 해석결과는 시간적분법에 대한 근사해라고 볼 수 있다. 따라서, 스펙트럼 함수를 특정 가진 가속도 혹은 특정 지진파에 대해서 정의한다면 응답 스펙트럼 해석의 결과는 해당 입력 가속도에 대한 선형 과도응답 해석(선형 시간이력 해석) 결과의 근사 최대값을 얻을 수

4.3 응답 스펙트럼



ANALYSIS REFERENCE

있다. 하지만, 설계 응답 스펙트럼(특정지역이나 국가에 발생한 역사지진파를 통계하여 만들어짐)을 사용하여 내진설계를 위한 해석결과를 얻는 경우가 더 일반적이다. 모드별 스펙트럼 응답 응답 스펙트럼 해석을 위한 동적 평형방정식은 식 (5.3.6)과 같으며, 모드별 최대응답은 스펙트럼 데이터를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.

[ ] ( )( )( )

max

max

max

max ( ) ,

max ( ) ,

max ( ) ,

i i i D i i

i i i V i i

i i i A i i

t S

t S

t S

ξ ξ ω ζ

ξ ξ ω ζ

ξ ξ ω ζ

= = Γ

= = Γ = = Γ

(5.4.14)

( ),D i iS ω ζ : 변위 스펙트럼 데이터

( ),V i iS ω ζ : 속도 스펙트럼 데이터

( ),A i iS ω ζ : 가속도 스펙트럼 데이터

iΓ : i번째 모드의 참여계수

식 (5.4.14)를 식 (5.3.5)에 대입하면 모드별 변위, 속도, 가속도 최대값 기여도를 스펙트럼 데이터에 대한 식으로 표현할 수 있다.

( ) ( )( ) ( )( )

max 2

max

max

, , /

, , /

,

i i i D i i i i A i i i

i i i V i i i i A i i i

i i i A i i

u S S

v S S

a S

φ ω ζ φ ω ζ ω

φ ω ζ φ ω ζ ω

φ ω ζ

= Γ = Γ

= Γ = Γ

= Γ

(5.4.15)

스펙트럼 데이터의 한 점은 고유주기(혹은 고유주파수)에 대한 모드별 절대 최대응답값으로 정의되며, 모드 감쇠비에 따른 영향을 포함한다. 특정 가속도 이력에 대한 응답 스펙트럼은 주기별 최대응답의 크기가 매우 다양하기 때문에 매우 복잡한 형태의 그래프로 표현되지만, 설계 응답 스펙트럼의 경우에는 그림 5.4.1 처럼 로그 스케일상에서 단순한 직선의 조합형태로 표현되는 것이 일반적이다. 따라서, 테이블에 정의되지 않은 고유주기에 대해서 스펙트럼 데이터를 보간할 때는 로그스케일(Logarithm)을 사용하는 것이 일반적이다.

그림 5.4.1 가속도 응답 스펙트럼 예



Period(sec)

Pse

udo

Acc

eler

atio

n,AS

210− 010 11030

100

500

110−

200

300

50

70

0.02ζ =0.05ζ =0.10ζ =

모드조합(Modal combination) 방법

모드별 최대 물리량(변위, 응력, 부재력, 반력 등의 각 성분별 최대값)을 maxiR 라고 하고, 실제 물리량의

최대값이 각 모드의 최대값의 합이라고 가정한다면 각 모드의 최대값을 더하면 되겠지만, 각 모드의 최대값이 동일한 시간스텝에서 발생한다는 보장이 없기 때문에 단순 선형 중첩만으로는 최대값을 구할 수 없다.

maxmax

1

N

ii

R R=

≠ ∑ (5.4.16)

따라서, 근사적으로 최대값을 평가할 수 있는 모드조합 방법의 도입이 필요하다. 모드 간의 간섭 특성이나 감쇠의 영향 등을 고려한 여러 가지 모드조합 방법이 제안되었지만 모든 경우에 대해서 적절한 근사값을 주는 방법은 없기 때문에 제안된 여러 가지 모드조합 방법들의 특성을 잘 파악할 필요가 있다. ① Summation of the absolute value (ABS)

maxmax

1

N

ii

R R=

=∑ (5.4.17)

이 방법은 모든 모드별 응답이 동일한 위상을 가진다는 가정으로 모드별 절대 최대값이 모두 동일한 시간에 발생한다고 판단하므로 가장 큰 값을 제공한다. ② Square root of the summation of the squares (SRSS)



ANALYSIS REFERENCE

( )2maxmax

1

N

ii

R R=

= ∑ (5.4.18)

이 방법은 각 모드가 충분히 분리되어 있는 경우에 적절한 결과를 제공한다. ③ Naval research laboratory method (NRL)

( )2max maxmax

1,

N

m ii i m

R R R= ≠

= + ∑ (5.4.19)

이 방법은 SRSS 방법에서 절대 최대값을 가지는 모드( m ) 하나만 분리한 형태이다. SRSS 방법과 마찬가지로, 각 모드가 충분히 분리되어있는 경우에 적절한 결과를 제공한다. 위의 방법들은 모드가 인접되어 있지 않고 충분히 분리되어 있는 경우에만 유효하므로, 미국 원자력 규제 위원회 (NRC)의 regulatory guide 1.92(1976)에서는 여러 모드가 인접한 경우에 대해서도 최대값을 적절하게 평가할 수 있는 방법들을 제안하고 있다. ④ Ten percent method (TENP)

12

max1 1

2N i

i i ji j

R R R R−

= =

= +

∑ ∑ (5.4.20)

이 방법은 SRSS 방법에 10% 이내로 인접한 주파수의 모든 모드들에 대한 영향을 포함시킨 방법이다. 여기서 두 모드 , ( )i j j i< 의 주파수가 다음을 만족하면 두 모드가 주파수 10% 이하로 인접해 있다고 판단한다.

0.1i j

i

ω ωω−

≤ (5.4.21)

⑤ Complete quadratic combination method (CQC)

max1 1

N i

i ij ji j

R R Rρ= =

= ∑∑ (5.4.22)



여기서, ijρ 는 모드간 상관계수(cross-correlation coefficient)로 다음과 같이 정의된다.

3 2

2 2 2 2 2 2

8 ( )(1 ) 4 (1 ) 4( )

i j i ij m ijij

ij i j ij ij i j ij

r rr r r r

ζ ζ ζ ζρ

ζ ζ ζ ζ+

=− + + + +

(5.4.23)

ijr : 주파수 비율 ( /j iω ω ), j iω ω<

식 (5.4.23)에서 i j= 이면, 감쇠비에 관계 없이 1ijρ = 이 되고, 감쇠비가 '0'인 경우 모든 모드에 대해

1ijρ = 이 되어 SRSS 의 결과와 동일하게 된다. 두 모드의 감쇠비가 동일한 경우는 식 (5.4.24)으로 간략화할

수 있다.

2 3 2

2 2 2 2

8 (1 )( )

(1 ) 4 (1 )ij ij

ij i jij ij ij

r rr r rζ

ρ ζ ζ ζζ+

= = =− + +

(5.4.24)

이 조합방법은 모드간 상관성을 모든 모드에 대해서 고려 하여 정확한 방법이기는 하지만, 계산량이 모드 개수의 제곱에 비례하는 형태로 증가하는 단점이 있다. 모드조합 결과의 부호 모드조합 방식이 모드 결과의 절대값의 형태로 나타나기 때문에 응답 스펙트럼의 모든 결과는 항상 양(+)의 값을 가지게 된다. 하지만 반력이나 변형 형상 등 방향성을 가지는 결과에 대해서는 적절한 부호를 가질 필요가 있다. 조합된 결과의 부호를 결정하는 방법 중에 가장 보편적인 방법은 주요모드(major mode)의 부호를 따라가는 것이다. 주요모드는 방향 성분 별로 질량참여율이 가장 큰 모드들 중에서 스펙트럼이 정의된 방향(하중방향)과 가장 근접한 방향에 해당하는 모드로 정의된다. 이외에 절대 최대값 기준은 해당 성분별로 절대 최대값인 모드의 부호를 따르고, 최대 전체 변형율 에너지는 모든 요소의 변형율 에너지 합이 최대인 모드의 부호를 따르는 방법이다. 스펙트럼 데이터의 보정 스펙트럼 데이터는 식 (5.4.14)에서도 알 수 있듯이, 고유 주파수와 모드 감쇠비에 대한 함수형태이다. 하지만, 사용자가 해석을 수행하기 전에 주파수를 알 수 없기 때문에 스펙트럼 데이터는 일정한 간격을 가진 테이블 형태로 정의된다. 따라서, 구조물의 해당 주파수나 주기에 해당하는 스펙트럼값을 읽을 때는 보간(interpolation) 방법을 사용하게 되는데 고유주기 변화에 대한 스펙트럼 응답을 가장 잘 표현하는 로그선형보간(linear interpolation on a logarithmic scale)을 사용하는 것이 일반적이다. 스펙트럼 데이터를 여러 감쇠비에 대해서 작성하여 입력한 경우도 구조물의 모드 감쇠비에 대해서 고유 주파수와 동일한 방법으로 로그선형보간을 수행한다. 하지만, 스펙트럼 데이터를 한 개의 감쇠비에 대해서만 작성한 경우에는 보간할 수 있는 데이터가 없기 때문에, 한 개의 감쇠비에 대한 특별한 보정 방법이 필요하다.



ANALYSIS REFERENCE

일본도로교시방서(2002)에서는 식 (5.4.25)과 같이 감쇠비에 대한 보정계수(correction factor)를 제안하고 있다.

( ) 1.5 0.540 1DC ζζ

= ++

(5.4.25)

Damping ratio, ζ

Cor

rect

ion

fact

or,

DC

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0

0.5

1.0

1.5

2.0

( )0.05,1.0A

( ) 1.5 0.540 1DC ζζ

= ++

감쇠비가 '0.05'일 때 1DC = 이므로(점 A ), 식 (5.4.25)는 스펙트럼 데이터의 감쇠비가 '0.05'일때의

보정계수임을 내포하고 있다. 따라서, 스펙트럼 데이터의 감쇠비( spectrumζ )가 '0.05'가 아닌 경우에는 식

(5.4.26)처럼 각 감쇠에 해당하는 보정계수의 비율을 최종 감쇠 보정계수로 적용한다.

( )( )

max maxD ii i

D spectrum

CR R

Cζ

ζ= (5.4.26)

가진 방향의 선택 지진의 가진 방향은 정해져있지 않기 때문에, 내진설계시 두 개의 직교방향 가진에 대해서 조합해서 설계하게 된다. 하지만 동일 크기의 지진이라도 가진 방향에 따라 구조물이 받는 피해규모가 달라질 수 있다. midas Plant 는 GCS 기준으로 X, Y 두 가진 방향 이외에 XY 평면 상에서 구조물에 가장 불리한 가진방향을 찾는 기능을 제공한다. GCS 기준 Z 축을 중심으로 0~180 도 내에서 모드별 반력합의 조합이 가장 큰 경우나, 모드별 전체 변형 에너지합의 조합이 가장 큰 경우를 구조물 전체적으로 가장 불리한 가진방향이라고 판단할 수 있다.

그림 5.4.2 감쇠계수별 보정계수



1) 단순 지지된 깊은 보

REFERENCE NAFEMS1 ELEMENTS Beam elements, solid elements MODEL FILENAME LinearDynamic01.mpb

아래 그림은 단순지지된 깊은 보 모델로 등분포하중을 받고있는 구조이다. 시간에 따른 가진 형태를 다르게 했을 때, A 지점에서의 변위와 응력을 구하는 문제이다.

0 30 60 90 120 150 180 Excitation Angle

Reaction Sum.

Total Strain Energy

X

Z

10

Units : m

2

2

F0=106 N/m

A

그림 5.4.3 가진방향에 따른 응답변화 예시

4.4 선형 동적해석 검증 예제

Figure 4.4.1.1 Simply supported deep beam model



ANALYSIS REFERENCE

Material data Elastic modulus Poisson's ratio Mass density Mass proportional damping Stiffness proportional damping Modal damping

E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3

α = 5.36 sec-1

β = 7.46×10-5sec

ξ = 0.02

Section property Squre cross-section 2 m x 2 m Forcing functions (1) Harmonic

(2) Periodic (3) Transient

0 sinF F tω= ( where 2w fπ= )

( )0 sin sin 3F F t tω ω= − ( where 2 , 20w f f Hzπ= = )

0F F= , 0t > * Rayleigh damping coefficients, α and β are chosen to give 0.02 damping in the

dominant first mode.



Table 4.4.1.1 Peak responses and frequency of beam subjected to harmonic load

Table 4.4.1.2 Peak responses of beam subjected to periodic forcing function

Peak AZu [mm] Peak Aσ [MPa] Peak Frequency [Hz]

Reference 13.45 241.9 42.65

Element type

Number of elements

Direct Modal Direct Modal Direct Modal

BEAM-2 10 13.51 13.51 244.4 244.3 42.60 42.60

HEXA-8 10 13.09 13.09 236.5 236.5 43.40 43.40

PENTA-6

10×4 12.22 12.23 235.2 235.5 44.75 44.75

Peak AZu [mm] Peak Aσ [MPa]

Reference 0.951 17.1

Element type

Number of elements

Direct Modal Direct Modal

BEAM-2 10 0.955 0.955 17.5 17.4

HEXA-8 10 0.962 0.962 17.5 17.3

PENTA-6

10x4 0.964 0.965 17.3 18.1



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.1.3 Peak responses of beam subjected to transient step load

Peak AZu [mm] Peak time [sec] Peak Aσ

[MPa] Static A

Zu [mm]

Reference 1.043 0.0117 18.76 0.538

Element type

Number of elements

Direct Modal Direct Modal Direct Modal Direct Modal

BEAM-2 10 1.044 1.043 0.0117

0.0116 18.51 18.51 0.537 0.537

HEXA-8 10 1.012 1.1012

0.0116

0.0116 18.03 18.03 0.521 0.521

PENTA-6

10x4 0.946 0.945 0.0112

0.0112 17.40 17.31 0.487 0.487



2) 단순 지지된 얇은 정사각형 판

REFERENCE NAFEMS1 ELEMENTS Shell elements MODEL FILENAME LinearDynamic02.mpb

아래 그림은 단순 지지된 얇은 정사각형 판모델로 면에 수직방향으로 등분포 압력이 작용하는 구조이다. 시간에 따른 가진 형태를 다르게 했을 때, A 지점에서의 변위와 응력을 구하는 문제이다.

Material data

Elastic modulus Poisson's ratio Mass density Mass proportional damping Stiffness proportional damping Modal damping

E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3 α = 0.229 sec-1

β = 1.339x10-3 sec

ξ = 0.02 Section property

Thickness t = 0.05 m

z

Y

X

10.0

10.0

x = y = Rz = 0 at all nodesRx = Ry = 0 along 4 edges

Units: m

F0=100 N/m2

A

Figure 4.4.2.1 Simply supported thin plate model



ANALYSIS REFERENCE

Forcing functions

(1) Harmonic (2) Periodic (3) Transient

0 sinF F tω= ( where 2w fπ= ) ( )0 sin sin 3F F t tω ω= −

( where 2 , 1.2w f f Hzπ= = )

0F F= , 0t > * Rayleigh damping coefficients, α and β are chosen to give 0.02 damping in the dominant first mode. Table 4.4.2.1 Peak responses and frequency of thin plate subjected to harmonic load

Table 4.4.2.2 Peak responses of thin plate subjected to periodic forcing function

Table 4.4.2.3 Peak responses of thin plate subjected to transient step load


Reference 45.42 30.03 2.377

Element type

Number of elements


QUAD-4 8×8 45.12 45.15 31.68 31.70 2.415 2.415

TRIA-3 128 43.59 43.63 30.38 30.41 2.455 2.455



Element type

Number of elements


QUAD-4 8×8 2.913 2.914 2.073 2.075

TRIA-3 128 2.883 2.884 2.037 2.039



Peak AZu [mm] Peak time [sec] Peak Aσ [MPa] Static A

Zu [mm]

Reference 3.523 0.210 2.484 1.817

Element type

Number of elements


QUAD-4 8×8 3.474 3.487 0.210 0.212 2.382 2.435 1.770 1.770

TRIA-3 128 3.355 3.368 0.206 0.206 2.282 2.325 1.709 1.709



ANALYSIS REFERENCE

3) 단순 지지된 두꺼운 정사각형 판

REFERENCE NAFEMS1 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME LinearDynamic03.mpb

아래 그림은 단순 지지된 두꺼운 정사각형 판모델로 면에 수직방향으로 등분포 압력이 작용하는 구조이다. 시간에 따른 가진 형태를 다르게 했을 때, A 지점에서의 변위와 응력을 구하는 문제이다.

z

Y

X

10.0

10.0

x = y = Rz = 0 at all nodesRx = Ry = 0 along 4 edges

Units: m

F0=106 N/m2

A

Material data

Elastic modulus Poisson's ratio Mass density Mass proportional damping Stiffness proportional damping

E = 200 GPa ν = 0.3 ρ = 8000 kg/m3 α = 5.772 sec-1

β = 6.929x10-5 sec

ξ = 0.02

Figure 4.4.3.1 Simply supported thick plate model



Modal damping

Section property

Thickness t = 1 m

Forcing functions

(1) Harmonic (2) Periodic (3) Transient

0 sinF F tω= ( where 2w fπ= ) ( )0 sin sin 3F F t tω ω= −

( where 2 , 1.2w f f Hzπ= = )

0F F= , 0t > * Rayleigh damping coefficients, α and β are chosen to give 0.02 damping in the dominant first mode. Table 4.4.3.1 Peak responses and frequency of thick plate subjected to harmonic loads

Table 4.4.3.2 Peak responses of thick plate subjected to periodic forcing function



Element type

Number of elements


QUAD-4 8×8 5.300 5.303 72.53 72.59

TRIA-3 128 5.428 5.431 73.54 73.60

HEXA-8 96 5.341 5.344 70.96 71.01


Reference 58.33 800.8 45.90

Element type

Number of elements


QUAD-4 8×8 60.00 60.00 809.7 809.7 46.50 46.50

TRIA-3 128 57.77 57.80 773.7 774.1 47.35 47.35

HEXA-8 96 59.15 59.16 777.2 777.3 46.80 46.80



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.3.3 Peak responses of thick plate subjected to transient step load

Peak AZu [mm] Peak time [sec] Peak Aσ [MPa]

Static AZu

[mm]

Reference 4.524 0.0108 62.11 2.333

Element type

Number of elements


QUAD-4 8×8 4.565 4.545 0.0107 0.0105 59.03 59.58 2.339 2.339

TRIA-3 128 4.398 4.380 0.0106 0.0105 56.11 56.07 2.253 2.253

HEXA-8 96 4.505 4.489 0.0108 0.0109 56.66 57.05 2.310 2.310



4) 단순 지지된 보의 응답스펙트럼 해석

REFERENCE Biggs, J.M.2 ELEMENTS Beam elements, shell elements, solid elements MODEL FILENAME LinearDynamic04.mpb

아래 그림은 직사각형 단면을 가지는 단순지지된 보 모델을 나타낸다. 스펜 중앙에서의 변위, 모멘트, 응력을 응답스펙트럼해석을 통해 구하는 문제이다.

Material data Elasitic modulus Mass density

E = 206.8 GPa ρ = 1.0473×105 kg/m3

Section property Rectangular cross-section

37.0 mm × 37.0 mm

Mass option Lumped mass

A B X

Z

Y

6096

Units : mm

x=y=z=Rx=0 at A, y=z=0 at B

37.0

355.6Y

Z

Figure 4.4.4.1 Simply supported beam model



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.4.1 Response spectra definition (unit: m)

Table 4.4.4.2 Response spectrum analysis results obtained using beam elements

Table 4.4.4.3 Response spectrum analysis results obtained using shell elements

Frequency [Hz] 5.000 6.000 6.098 7.000 8.000

Period [sec] 0.2000 0.1667 0.1640 0.1429 0.1250

Type (scale factor)

Displacement(1.0) 0.0199 0.0115 0.0110 0.0072 0.0056

Velocity(1.0) 0.6248 0.4339 0.4201 0.3188 0.2837

Acceleration(0.5) 39.258 32.716 32.190 28.042 28.521

Result at mid-span Displacement [mm]

Stress [MPa]

Moment x105 [Nm]

Reference 14.2 140.4 1.095

Element type Spectra type

BEAM-2

Displacement 14.2 138.4 1.079

Velocity 14.1 138.1 1.077

Acceleration 14.1 138.1 1.077


Stress [MPa]



QUAD-4 Displacement 13.8 132.4

Velocity 13.7 132.0



Table 4.4.4.4 Response spectrum analysis results obtained using solid elements

Acceleration 13.7 132.0

TRIA-3

Displacement 13.9 134.6

Velocity 13.9 134.2



Stress [MPa]



HEXA-8

Displacement 13.7 132.3

Velocity 13.7 131.9




ANALYSIS REFERENCE

5) 트러스 구조의 선형동해석 비교

REFERENCE Chopra, A.K.3 ELEMENTS Truss elements, shell elements, solid elements MODEL FILENAME LinearDynamic05.mpb

아래 그림은 축방향 거동만을 받는 트러스 구조를 나타낸다. A 지점의 가속도나 D 지점의 하중이 가해졌을 때 여러가지 선형동해석결과를 비교하는 문제이다.

Material data

Elastic modulus Mass density

E = 5 Pa ρ = 1/90 kg/m3

Section property

Cross-section Area A = 2.0 m2

Analysis condition

Modal transient with tip load Modal transient with base acceleration Modal frequency with tip load Response spectrum

F = 10 N, 10% damping xR =1.0m/sec2,10% damping F = 10 N, 10% damping displacement spectra, 2% damping

A D

30

Units : mX=y=z=Rx=0 at A, y=z=0 at B/C/D

B C

X

Z Y

Figure 4.4.5.1 Simply supported beam model



Table 4.4.5.1 Displacement and acceleration at point D using modal transient analysis with tip load

Table 4.4.5.2 Total displacement at point D using modal transient analysis with base acceleration

Pse

udo

Dis

plac

emen

t (m

)

Frequency

Figure 4.4.5.2 Displacement response spectra

Result type Displacement [m] Acceleration [m/sec2]

Time step [sec] 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3

Reference 0.4387 1.686 3.598 81.42 66.71 48.06

Element type

TRUSS-2 0.4387 1.686 3.598 81.42 66.71 48.06

QUAD-4 0.4387 1.686 3.598 81.42 66.71 48.06

HEXA-8 0.4387 1.686 3.598 81.42 66.71 48.06

Result type Displacement [m]

Time step [sec] 0.1 0.2 0.3

Reference 0.244x10-4 1.965x10-4 6.692x10-4

Element type

TRUSS-2 0.244x10-4 1.965x10-4 6.692x10-4



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.5.3 Stress of element 1 and reaction force at point A using modal frequency analysis with tip load

Table4.4.5.4 Peak displacement at point D using response spectrum analysis with 2% modal damping ratio

QUAD-4 0.244x10-4 1.965x10-4 6.692x10-4

HEXA-8 0.244x10-4 1.965x10-4 6.692x10-4

Result type Displacement [m] Acceleration [m/sec2]

Time step [sec] 0.01 0.175 0.477 0.01 0.175 0.477

Reference 2.51 15.50 3.988 5.019 31.00 7.977

Element type

TRUSS-2 2.51 15.49 3.993 5.019 30.97 7.987

QUAD-4 2.51 15.49 3.993 5.019 30.97 7.987

HEXA-8 2.51 15.49 3.993 5.019 30.97 7.987

Result type Displacement [m]

Combination method

ABS SRSS TENP NRL CQC

Reference 2.902 2.248 2.248 2.767 2.246

Element type 2.902 2.248 2.248 2.767 2.246

TRUSS-2 2.902 2.248 2.248 2.767 2.246

QUAD-4 2.902 2.248 2.248 2.767 2.246

HEXA-8 2.902 2.248 2.248 2.767 2.246



6) 지진하중을 받는 기둥

REFERENCE Hilber, H.M. et al4, Hurty, W.C. et al5 ELEMENTS Truss elements, shell elements, solid elements MODEL FILENAME LinearDynamic06.mpb

아래 그림은 고정단에 지진하중 모사를 위한 지반 가속도를 강제 가속도로 주어진 기둥모델을 나타내다. 시간이력해석의 최대값을 기준값으로 보고, 응답스펙트럼 해석의 조합방법에 따른 결과차이를 비교하는 문제이다. 또한, 지반 가속도의 기준선 조정방법을 적용하기 전후의 결과양상을 알아본다.


E = 206.8 GPa ρ = 7780 kg/m3

Section property Rectangular cross-section 50.8 mm x 25.4 mm

7620

Units : mm

25.4

50.8

X

Y

X

Z Y




ANALYSIS REFERENCE

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Nor

mal

ized

acc

eler

atio

n

Time [sec]

1.0E-03

1.0E-02

1.0E-01

1.0E+00

1.0E+01

1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01

Dis

plac

emen

t [in

]

Period [sec]

Figure 4.4.6.2 El Centro N-S acceleration history

Figure 4.4.6.3 Displacement spectra for the period range 0.03~10 sec



1.0E-01

1.0E+00

1.0E+01

1.0E+02

1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01

Velo

city

[in/

sec]

Period [sec]

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tota

l dis

plac

emen

t [m

m]

Time [sec]

corrected

original

Figure 4.4.6.4 Velocity spectra for the period range 0.03~10 sec

Figure 4.4.6.5 Absolute displacement of the cantilever’s tip with and without baseline correction



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.6.1 Maximum displacement and velocity at the top of the column provided by transient analysis (relative to base)

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dis

plac

emen

t [m

m]

Time [sec]

corrected

original

Figure 4.4.6.6 Base displacement with and without baseline correction

Result type Displacement [mm] Velocity [m/sec]


Analysis type Number of elements

Direct transient

10 58.9 0.439

20 58.9 0.438

50 58.9 0.438

Modal transient

10 59.2 0.512

20 59.1 0.515

50 59.1 0.516



Table 4.4.6.2 Maximum displacement and velocity at the top of the column provided by response spectrum analysis (relative to base)

Result type Displacement [mm] Velocity [m/sec]


Number of elements

Spectrum type

Combination method

10

Displacement ABS 67.2 0.639

SRSS 57.0 0.392

Velocity ABS 70.8 0.640

SRSS 61.0 0.395

20


SRSS 57.0 0.392


SRSS 61.0 0.395

50


SRSS 57.0 0.392


SRSS 61.0 0.395



ANALYSIS REFERENCE

7) 잔류 모드를 이용한 모드기반 주파수 응답

REFERENCE Dickens et al6 ELEMENTS Elastic link elements, mass elements MODEL FILENAME LinearDynamic07.mpb

아래 그림은 모드기반 주파수 응답해석에서 잔류모드를 이용한 모드중접의 정확도 향상 효과를 보기위한 스프링-질량 시스템이다. 총 4 개 DOF 이기 때문에, 4 개모드를 다 사용한 경우의 응답을 기준값으로 보고 결과 향상정도를 파악한다.

Material data

Lumped mass Link stiffness Modal damping

m = 1.0 kg k = 10000 N/m ξ = 0.02

1 2 3 4

k k k

m m m 0.5m

F

k k

u3 u4u1 u2

Figure 4.4.7.1 Spring-mass system



1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

3 45

Dis

plac

emen

t res

pons

e

Frequency [Hz]

All modeswith residual modeswithout residual modes

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

3 45

Acce

lera

tion

resp

onse

Frequency [Hz]

All modeswith residual modeswithout residual modes

Figure 4.4.7.2 Displacement amplitude response for DOF 3

Figure 4.4.7.3 Acceleration amplitude response for DOF 1



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.7.1 Displacement and percentage error at 3 Hz

Table 4.4.7.2 Acceleration and percentage error at 3 Hz

DOF 1 DOF 2 DOF 3 DOF 4

Reference 4.52E-05 8.89E-05 1.29E-04 6.53E-05

All Modes % error

4.52E-05 0.0%

8.89E-05 0.0%

1.29E-04 0.0%

6.53E-05 0.0%

with residual modes % error

4.54E-05 0.3%

8.89E-05 0.0%

1.29E-04 0.0%

6.51E-05 -0.3%

without residual modes % error

6.60E-05 31.5%

1.05E-04 15.5%

1.01E-04 -27.5%

5.65E-05 -15.5%

DOF 1 DOF 2 DOF 3 DOF 4

Reference 1.61E-02 3.16E-02 4.60E-02 2.32E-02

All Modes % error

1.61E-02 0.0%

3.16E-02 0.0%

4.60E-02 0.0%

2.32E-02 0.0%

with residual modes % error

1.61E-02 0.3%

3.16E-02 0.0%

4.60E-02 0.0%

2.31E-02 -0.3%

without residual modes % error

2.35E-02 31.5%

3.74E-02 15.5%

3.61E-02 -27.5%

2.01E-02 -15.5%



8) 판요소의 정상상태 응답

REFERENCE Thomson7 ELEMENTS Shell elements MODEL FILENAME LinearDynamic08.mpb

아래 그림은 왼쪽변이 구속된 2 차원 판모델의 오른쪽 변에 면내방향 압력이 주어진 모델을 나타낸다. 주파수응답의 두 가지 기법인 직접법과 모드법의 결과 연속성을 확인하기 위한 문제이다.

Material data

Elastic modulus Poisson’s ratio Mass Density Mass proportional damping Stiffness proportional damping

E = 2.0×107 Pa v = 0.0 ρ = 8000 kg/m3 α = 5.36 sec-1 β = 7.46×10-5 sec

Section property

Thickness t = 1m

L = 1.0 m

A B

CD

L = 1.0 m

A B

D C

F = 30000 N/m

Figure 4.4.8.1 2D steady state dynamics model



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.8.1 Preak displacement and stress at resonant frequency

Peak u [mm] Peak σ [MPa] Frequency [Hz]

Reference 16.94 0.478 12.16



QUAD-4 2×2 16.94 16.94 0.478 0.478 12.16 12.16

TRIA-3 2×(2×2) 17.56 17.56 0.476 0.467 12.07 12.07



9) 집중질량이 있는 타워

REFERENCE Paz8 ELEMENTS Bar elements MODEL FILENAME LinearDynamic09.mpb

아래 그림은 꼭대기에 질량이 있는 타워모델을 나타낸다. 타워부는 간략화 과정을 통해 유효한 강성을 가지는 보요소로, 상부의 질량은 집중질량으로 모델링하였다. 시간에 따른 타워 꼭대기의 횡변위를 구하는 문제이다.

Model data Spring constant Mass

K = 2.0×107 Pa m = 100 lbm

Equivalent material data

Elastic modulus Poisson’s ratio

E = 2.0×106 psi v = 0.3

Section property

Square cross-section A = 1.0 In2


m

K

5

( ) sin

10o

o

F t F t

F lbf

ω=

=

Units: in

L =100 in

1

1E

m

Figure 4.4.9.1 A tower model subjected to sinusoidal force



ANALYSIS REFERENCE

Table 4.4.9.1 Horizontal displacement at t=0.1, 0.2 and 0.3 seconds

Table 4.4.9.2 Horizontal velocity at t=0.1, 0.2 and 0.3 seconds

Table 4.4.9.3 Horizontal acceleration at t=0.1, 0.2 and 0.3 seconds

References

Time 0.1 0.2 0.3

Reference 1.6076 -3.1865 4.7420

Method Direct 1.6079 -3.1843 4.6982

Modal 1.6082 -3.1848 4.6992

Time 0.1 0.2 0.3

Reference 2.9379 -11.6917 26.0822

Method Direct 3.3498 -13.3339 29.7521

Modal 3.3439 -13.3084 29.6941

Time 0.1 0.2 0.3

Reference -1466.51 2907.53 -4298.04

Method Direct -1447.58 2867.97 -4231.91

Modal -1449.45 2870.58 -4235.68



1 NAFEMS, "Selected Benchmarks for Forced Vibration", Ref. R0016, NAFEMS, Glasgow, 1993

2 Biggs, J.M. “Introduction to Structural Dynamics”, McGraw-Hill, Inc., New York, 1964

3 Chopra, A.K., Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995

4 Hilber, H.M., Hughes T.J.R. and Taylor R.L., “Improved Numerical Dissipation of Time Integration Algorithms in Structural Dynamics”, Earthquate Engineering and Structural Dynamics, Vol. 5, pp. 283-292, 1977

5 Hurty, W.C. and Rubinstein M.F., “Dynamics of Structures”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964

6 Dickens, J.M., Nakagawa and Wittbrodt, M.J., “A Critique of Mode Acceleration and Modal Trucation Augmentation Methods for Modal Response Analysis,” Computers & Structures, Vol. 62, pp.985-998, 1997

7 Thomson, W.T., “Theory of Vibration with Application”, 4th Edition, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1993

8 Paz, M., “Structural Dynamics: Theory and Computation”, 4th Edition, Chapman & Hall, International Thomson Publishing, 1997



ANALYSIS REFERENCE

Section 5

비선형 유한요소 해법

비선형 유한요소 해법은 요소의 재료나 기하학적 비선형성을 고려하기 위한 방법으로, midas Plant에서는 비선형 탄성특성이나, P-delta효과를 고려 하기위해 사용된다. 선형 반복계산의 누적 증분해(incremental solution)가 정해에 수렴하도록 하는 방법이며 그림 5.5.1에서 그려진 바와 같은 방식으로 진행된다.

그림에서, t

extf 와 t text

+∆ f 는 각각 시간 t 와 시간 t t+ ∆ 에서의 외력을 의미하고, 시간 t 와 시간 t t+ ∆ 사이에서의 해와 증분해는 다음과 같은 관계로 표시될 수 있다.

t t t+∆ = + ∆u u u (5.5.1)

∆u : 시간 증분 t∆ 사이에 발생하는 증분해

시간 증분 t∆ 구간에서 비선형 해석을 위한 반복계산이 이루어지면 증분해의 누적은 다음과 같다.

1 11

orn

i i i iiδ δ+ +

=

∆ = ∆ = ∆ +∑u u u u u (5.5.2)

i∆u : i 번째 반복계산까지 발생한 누적 증분해

1iδ +u : 1i + 번째 반복계산에서 발생한 증분해

u

f

1i+∆u

i∆u 1iδ +u

t u t t+∆ u

ig

textf

t text

+∆ f

int,if1i+K

Section 5

5.1 비선형 해법

그림 5.5.1 누적 증분해와 비선형 유한요소법의 수렴 과정

200 | Section 5. 비선형 유한요소 해법


1iδ +u 는 접선강성행렬 (tangential stiffness matrix) 1i+K 을 사용하여 다음과 같이 선형 연립방정식을 통해

계산된다.

11 1i i iδ −+ +=u K g (5.5.3)

ig : 불평형력 (residual force, unbalance force)

불평형력 ig 는 다음과 같이 외력 t t

ext+∆ f 과 내력 ,int if 의 차이로 표현된다.

,

t ti ext int i

+∆= −g f f (5.5.4) 식(5.5.2)-(5.5.4)는 사용자가 지정한 수렴조건(convergence criteria)을 만족할 때까지 반복 계산되며, 수렴조건은 부재력, 변위 또는 에너지 등의 변화량으로 판단한다. 선탐색 (Line search) midas Plant 에서는 위에 설명된 기본적인 반복해법의 성능 향상을 위하여 선탐색 기능을 제공한다. 선탐색의 기본적인 개념은 식 (5.5.3)에서 계산된 증분해 1iδ +u 를 누적 증분해에 더하는 과정에서, 스칼라 값 η 를 도입하여 정확도를 향상시키는데 있다. 이러한 경우 누적 증분해는 다음과 같은 방식으로 계산된다.

1 1i i iηδ+ +∆ = ∆ +u u u (5.5.5) 위 식에서 계산된 1i+∆u 가 평형상태를 만족한다고 가정했을 경우, 평형상태에서 총 포텐셜 에너지가 고정된다는 원리(principal of stationary total potential energy)을 이용하면, 선탐색 문제는 총 포텐셜 에너지의 η 에 대한 미분값이 '0'이 되는 η 를 찾는 문제로 귀결된다.

1( ) ( ) 0Tis η δ η+= =u g (5.5.6)

그림 5.5.2 선탐색 알고리즘의 개념도

Section 5. 비선형 유한요소 해법 | 201


ANALYSIS REFERENCE

에너지의 미분값 ( )s η 가 η 에 대해 선형으로 변화한다고 가정했을 때, 식 (5.5.6)을 만족하는η 는 다음과 같이 계산된다.

( 0)( 1) ( 0)

ss s

ηηη η− =

== − =

(5.5.7)

여기서η 가 '0'인 경우와 '1'인 경우의 기울기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1

1 1

( 0)

( 1)

Ti i

Ti i

s

s

η δ

η δ+

+ +

= =

= =

u g

u g (5.5.8)

실제로 선탐색 알고리즘을 위해 가정한 것들이 정확히 만족되지 않기 때문에, 식 (5.5.7)에 의해 계산된

( )s η 는 일반적으로 '0'이 아니다. midas Plant 에서는 ( ) / ( 0)js sη η = 값이 사용자가 지정한 일정 값

미만으로 계산될 때까지 반복적으로 위에서 설명된 절차가 적용된다. 초기 강성법(Initial stiffness), 뉴튼 랩슨법(Newton Raphson), 수정(Modified) 뉴튼 랩슨법 비선형 해석에서의 반복법은 접선강성의 계산 시점에 따라 초기 강성법, 뉴튼 랩슨법, 수정 뉴튼 랩슨법 등으로 분류할 수 있다. 초기 강성법에서는 해석 시작 시점에서 계산된 접선강성을 계속 유지하고, 뉴튼 랩슨법에서는 매 반복 계산마다 접선강성을 재계산하며, 수정 뉴튼 랩슨법은 외력의 변화가 발생하는 시점에서 접선강성을 계산한다. 접선강성행렬의 계산 및 행렬분해는 많은 계산시간을 요구하므로 초기 강성법과 수정 뉴튼 랩슨 법을 활용할 경우, 수렴 과정에 문제가 발생하지 않는다면 뉴튼 랩슨 법에 비해

η

Pot

entia

l ene

rgy

Exact solution1 ( ) 0T

iδ η+ =u g

1tan ( ( ))s η− −

Acceptable range



빠른 계산 속도를 얻을 수 있다. midas Plant 에서는 초기 강성법 또는 뉴튼 랩슨법 등을 명시적으로 구분하지 않고, 접선강성의 재계산 시점을 정의함으로써 모든 반복법의 효과를 얻을 수 있다.

자동 강성행렬 재계산 해석하고자 하는 모델의 비선형 정도, 수렴해의 평탄함 정도 등 해당 문제 특징에 따라 적절한 접선강성의 계산 시점을 선택하는 것이 중요하다. midas Plant 에서는 비선형 유한요소 해법으로 해당 비선형 문제의 특징, 즉 반복계산 시의 수렴특징, 발산여부 등을 종합적으로 판단하여 적절한 시점에 강성행렬을 재계산하는 자동 강성행렬 재계산 방법(automatic tangential stiffness update)을 제공한다. 기본적으로 다음과 같은 몇 가지 조건이 만족되는 경우 강성행렬 재계산이 수행된다. ► 사용자가 지정한 최대 반복계산 횟수보다 예상되는 반복계산 횟수가 많은 경우 ► 해가 발산하는 것으로 판정된 경우 수렴조건 반복법에서 해의 수렴여부는 부재력 기준(force norm), 변위 기준(displacement norm), 그리고 에너지 기준(energy norm) 으로 판정한다.

int, int,

Force norm ratio T

i i

Ti i

=∆ ∆

g g

f f (5.5.9)

Displacement norm ratio T

i i

Ti i

δ δ=

∆ ∆

u u

u u (5.5.10)

int,

Energy magnitude ratio T

i iT

i i

δ=∆ ∆

u gu f

(5.5.11)

일반적인 비선형 시스템은 모든 수렴기준이 동시에 작아지면서 수렴에 도달하게 된다. 특히 부재력 기준은 불평형력의 크기를 의미하므로 비선형 방정식의 만족 정도와 가장 밀접한 관계를 갖는다. 한편, 변위 기준은 증분해의 크기를 뜻하며, 벌칙법(penalty method)을 사용하는 경우와 같이 국부적으로 강성이 매우 큰 문제에 대해 단독 수렴조건으로 사용하는 것은 적합하지 않다. midas Plant 에서는 이 세 가지 기준 중 하나 또는 다수의 기준에 대하여 사용자가 제공하는 허용치와의 비교를 통해 수렴여부를 판단한다. 발산 판정 및 하중 이등분(load bisection)

해의 발산 여부는 자동 강성행렬 재계산 방법에서 중요한 기준으로 사용되며, 발산율(divergence rate) iE

을 기초로 결정한다.



ANALYSIS REFERENCE

1

Ti i

i Ti i

E δδ −

=u g

u g (5.5.12)

발산율의 절대값이 '1'보다 큰 경우( 1iE ≥ ), 비선형 해석의 해는 발산의 위험이 있다고 판단할 수 있으며, 강성행렬 재계산 또는 하중 이등분 등의 알고리즘 상 필요한 조치가 취해진다. 하중 이등분은 해가 발산하거나 수렴을 위한 반복계산 횟수가 사용자가 지정한 최대 횟수보다 많아지는 등, 현재 하중단계의 증분이 수렴해를 얻기에 너무 크다고 판정되는 경우에 적용된다. 기존 하중 증분을 이등분하여 반복계산을 재시작함으로써, 부적절한 하중 증분 크기에 대해 유연하게 대처할 수 있다. midas Plant에서는 사용자가 지정하는 최대 이등분 단계(maximum bisection level)에 도달할 때까지 필요에 따라 하중 이등분을 자동 수행하게 된다. 시간 증분 자동조절 비선형 해석의 효율성을 증가시키기 위하여, midas Plant에는 시간 증분의 크기를 비선형 해석의 수렴성을 기초로 자동 조절하는 기능을 포함한다. 기본이 되는 시간 증분 크기와 최대 증분 크기는 사용자의 입력에 의하여 결정된다. 비선형 해석에서 시간증분 자동 조절 기능을 사용할 경우, 이전 증분단계에서 수렴하는데 필요로 하는 반복계산 횟수를 기초로 다음 단계의 시간 증분크기는 증가 또는 감소된다.

1,max(1 )i i

s s st n t n n+∆ = ∆ ≤ ≤ (5.5.13) 여기서 증분 조정계수 ( sn )는 자연수로 국한시켜 사용자가 의도한 시점 또는 하중 크기에서 비선형 해를 최대한 얻을 수 있도록 하였다. 증분 조정계수는 초기 증분량을 의미하는 '1'을 최소로, 사용자가 제공하는 값( ,maxsn )을 최대로 하는 범위를 갖는다. 준-뉴튼(Quasi-Newton) 방법 준-뉴튼(Quasi-Newton) 방법은 할선(secant) 방법의 일반화 된 형태로 비선형 해법의 한 종류이다. 비선형 유한요소 해법 중 하중 증분이 있는 경우에만 강성행렬을 재구성하는 수정 뉴튼 랩슨법의 장점을 유지하면서, 단점인 낮은 수렴성을 개선하는 방법이다. 즉, 강성행렬을 반복계산 도중 재구성하는 비용이 들지 않고, 분해된 강성행렬을 이용한 효율적인 계산이 가능하다는 장점을 유지하는 동시에 수렴도 및 전반적은 성능을 향상시키기 위하여 활용 가능한 방법이다. midas Plant 에서는 준-뉴튼방법의 하나인 BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) 방법을 사용한다 7. 비선형 유한요소 해석에서 반복계산 중 강성행렬의 역행렬은 다음과 같은 BFGS 업데이트 과정을 통해 수정된다.

7 Matthies, H. and Strang, G., “The solution of nonlinear finite element equations,” International Journal for

Numerical Methods in Engineering, Vol. 14, Issue 11, pp. 1613-1626, 1979



1 1

1T T

j j j j j j jz− −−= +K Γ K Γ δ δ (5.5.14)

여기서 j 는 BFGS 업데이트 인덱스를 의미하며, 행렬 jΓ 와 스칼라 jz 는 다음과 같이 표현된다.

1

Tj j j j

j Tj j

z

z

= −

=

Γ I γ δ

δ γ (5.5.15)

그리고, 준-뉴튼 벡터(quasi-Newton vector) jδ 와 jγ 는 i 번째 반복계산 중 선탐색 계수 η 가 반영된

증분해 iδu 와 반복계산 중 불평형력의 차이로 다음과 같이 표현된다.

1

1

j i i i

j i i

ηδ−

−

= ∆ − ∆ =

= −

δ u u uγ g g

(5.5.16)

반복계산 중 i 번째 증분해는 j 번째 BFGS 업데이트된 강성행렬과 불평형력을 이용하여 계산되며, 다음과 같이 표현된다.

1 1 1 1 11

i i T i T ij j j j j j jzδ − − − − −

−= = −u K g Γ K Γ g δ δ g (5.5.17)

BFGS 업데이트 과정을 통하여 실제로 강성행렬의 역행렬이 수정되는 것은 아니며, 재귀적(recursive) 방법으로 반복계산 중 증분해를 계산한다. 즉 BFGS 업데이트가 안된 최초의 강성행렬을 분해한 형태로 유지하며, 단순한 벡터연산을 재귀적으로 반복하여 증분해를 얻을 수 있다. 이러한 연산을 위하여 준-뉴튼 벡터는 저장되며, 저장된 벡터는 증분 해석이 수렴되어 강성행렬이 재구성되면 삭제된다.

호장법(Arc-length method) 그림 5.5.3은 불안정한 평형상태(unstable equilibrium)를 포함한 다양한 변위 하중 경로를 보여준다. 이러한 현상에 대해 정적 비선형 해석을 수행하는 경우 일반적인 하중 제어 방식(load controlled)의 비선형 해법을 사용하면 극한점(limit point) 이후의 불안정한 정적 평형 상태에 대한 해석이 불가능하다. 즉, 일반적으로 비선형 해법은 극한점을 넘는 순간 더 이상 수렴해를 찾지 못하는 현상을 나타낸다. 변위 제어(displacement controlled) 방식을 이용할 경우 해결할 수 있는 영역이 국한적이나마 증가하지만, 이 또한 일반적인 해결법이 아니고, snap-back 현상에 등은 추적이 불가능하다. 이러한 경우 호장법(arc-length method)을 활용할 수 있다. 호장법은 정적 평형 상태가 불안정한 영역을 포함한 경우에도 성공적으로 평형경로를 추적할 수 있다.



ANALYSIS REFERENCE

호장법에서 외력은 기본적으로 독립적인 스칼라 변수인 하중 파라미터 λ 에 비례한다고 가정한다. 따라서 호장법은 본질적으로 유한요소 문제의 자유도 수를 '1'개 증가시킨다고 볼 수 있다. 하지만 파라미터 λ 는 누적 증분해와 함께 호장구속(arc-length constraint) 조건을 만족하도록 알고리즘이 구성되어 있으므로, 최종적인 자유도 수는 유지된다. 하중 파라미터를 포함한 불평형력은 다음과 같이 표현된다.

,( , )i i i i ext int iλ λ= −g u f f (5.5.18) 여기서 증분해 1iδ +u 와 증분 하중 파라미터 1iδλ + 에 의해 1i + 번째 반복계산에서 발생한 불평형력이 0이

된다는 조건을 선형화하면, 증분해와 증분 하중 파라미터의 관계식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

11 1 1( )i i i i extδ δλ−+ + += +u K g f (5.5.19)

이를 이용하면 1i + 번째 반복계산에서 발생한 누적 증분해는 다음과 같다.

1 1i i i Tδ δλ+ +∆ = ∆ + +u u u u (5.5.20) 1

1i iδ −+=u K g : 불평형력에 대한 증분해

11T i ext−

+=u K f : 총 외력에 대해 발생한 변위

Displacement Displacement

Displacement Displacement

Load

Load

Load

Load

Snap-through Snap-back

Brittle failure Ductile failure

그림 5.5.3 다양한 불안정한 평형 경로(equilibrium path)



midas Plant 에서는 Crisfield, Riks, 또는 Modified Riks 방식의 호장 구속조건을 사용하고 있으며, 이중 Crisfield 방식 8을 기본 구속조건으로 활용한다.

21 1T

i i l+ +∆ ∆ = ∆u u (5.5.21)

l∆ : 호장 (arc-length)

위 식을 통해 증분 하중 파라미터 1iδλ + 를 계산할 수 있으며, 이를 대입하여 1i + 번째 반복계산의 해를 계산할 수 있다. 일반적인 비선형 해법과 마찬가지로 이러한 과정은 사용자가 지정한 수렴조건(convergence criteria)을 만족할 때까지 반복되며, 수렴조건은 일반 비선형 해법과 동일하다. 즉, 부재력, 변위 또는 에너지 등의 변화량으로 수렴여부를 판단한다. 호장법을 사용할 때, 하중 증분량은 사용자에 의해 제어될 수 없고 호장 구속조건에 의하여 결정되므로 원하는 하중 상태에 대한 정확한 계산에 어려움이 따른다. 따라서 호장법의 적용 범위는 불안정한 평형상태에 대한 추적이 필요한 문제에 국한되며, 일반적인 비선형 문제에 대해 추가적인 장점은 없다.

8 Crisfield, M.A., “An arc-length method including line searches and accelerations,” International Journal for

Numerical Methods in Engineering, Vol. 19, Issue 9, pp 1269-1289, 1983



ANALYSIS REFERENCE

P-Delta효과

P-Delta 효과는 요소의 횡력과 축력을 동시에 받을 때 2 차적인 구조적 거동을 고려하기 위해 좌굴 문제를 수치해석적인 방법으로 해를 구할 때 사용되는 개념을 응용한 것으로써, 먼저 주어진 하중조건에 대해 정적해석을 수행한 다음, 각 요소에 발생한 응력을 이용하여 기하강성행렬을 만들고 수정된 강성행렬을 사용하여 주어진 주건을 만족할때 까지 해석을 반복 수행하게 된다. 이때 사용되는 정적 평형 방정식은 다음과 같다.

g+ =Ku K u f (5.6.1)

K : 강성 행렬

gK : 축력에 의한 기하 강성 행렬

u : 변위

f : 하중 벡터

P-Delta효과의 정의 외력에 의해 횡방향으로 모멘트와 전단력을 받을때 인장력은 횡방향 거동에 대한 강성을 증가시키고, 반면에 압축력은 강성을 감소 시키는 효과를 가진다. 그림 5.6.1 에서 인장력과 횡력을 동시에 받는 경우 P-Delta 효과를 고려하지 않을때 모멘트는 상단의

0M = 에서 부터 하단의 M VL= 까지 선형으로 증가한다. 그러나 실제의 경우 횡력에 의해 변위가 발생하고, 이 횡변위가 인장력에 의해 모멘트가 감소하게 된다. 반대로 압축력과 횡력을 동시에 받는 경우는 모멘트가 증가하게 되고 그 결과 횡방향 강성이 감소한 것과 같은 영향을 나타나게 된다.

Section 6

6.1 P-Delta 고려방법

208 | Section 6. P-Delta 효과


P

Vu

L

Pu

P

V

VL

P

Vu

L

PuVL

P

V

그림 5.6.1 P-Delta 효과 개념도


ANALYSIS REFERENCE

1) 켄틸레버 기둥

REFERENCE Livesley, R. K., and Chandler1 ELEMENTS Bar elements MODEL FILENAME PDelta01.mpb

아래 그림은 켄틸레버 기둥 모델로 하중과 경계조건에 따른 p-delta 효과의 차이를 확인하기 위한 문제이다.


E = 2.9x107 psi ν = 0.0

(a) Units : lbf, in

1191.5

1

2431.5 298

Δ

100100 100

1

100

(b) (c)

6.2 P-Delta검증 예제

Figure 6.2.1.1 Structural geometry and analysis models (a) Pure sway, (b) No sway, (c) No shear



Table 6.2.1.1 Comparison of pure sway model result

Table 6.2.1.2 Comparison of no sway model result

Table 6.2.1.3 Comparison of no shear model result

Result Reference midas Plant

Lateral displacement at the top 6.849 6.820

Bending moment at th bottom 9084.0 9062.8



Bending moment at th bottom -102.0 -101.2

Shear force at th bottom -202 -201

Rotational displacement at the top

0.00170 0.00168



Bending moment at th bottom 225.2 225.1


ANALYSIS REFERENCE

2) 2차원 포틀 프레임

REFERENCE Livesley, R. K., and Chandler1 ELEMENTS Bar elements MODEL FILENAME PDelta02.mpb

아래 그림은 2 차원 포틀 프레임모델로 하중 위치에 따른 p-delta 효과의 차이를 확인하기 위한 문제이다.


E = 2.9x107 psi ν = 0.0

Units : lbf, in

1

1

(a) (a)

100

50 50 75251000 1000

A

B

D

C

A

B

A

B

Figure 6.2.2.1 Structural geometry and analysis models (a) Symmetric load case, (b) Eccentric load case



Table 6.2.2.1 Comparison of symmetric load case result

Table 6.2.2.2 Comparison of eccentric load case result

Result P-Delta effect analysis Conventional analysis

Reference midas Plant Reference midas Plant

Rotation at B 0.09192 0.09179 0.08620 0.08621

Moment at A 4606.6 4588.9 4166.7 4166.5

Moment at B 8254.0 8260.3 8333.3 8333.2

Shear force at A 128.6 128.5 125.0 125.0

Result P-Delta effect analysis Conventional analysis

Reference midas Plant Reference midas Plant

Lateral displacement at B

1.893 1.893 1.385 1.385

Rotation at B 0.1013 0.1014 0.0924 0.0924

Rotation at C 0.0367 0.0367 0.0369 0.0370

Moment at A 2544.9 2551.2 2455.4 2455.6

Moment at B 6088.6 6183.4 6919.6 6919.2

Moment at C 6153.0 6125.0 5580.4 5580.7

Moment at D 4456.9 4503.5 3794.6 3794.1

Shear force at A 101.4 101.6 93.75 93.75


ANALYSIS REFERENCE

References

1 Livesley, R. K., and Chandler, D. B., “Stability Functions for Structural Frameworks”, Manchester University Press, UK, 1956.



비선형 동적응답 해법

midas Plant 는 요소의 비선형 탄성 특성을 포함한 비선형 시간이력 해석을 지원하며, 내연적 시간 적분법(implicit time integration)을 기초로 한다. 비선형 시간이력 해석에서의 동적 평형 방정식은 선형 시간이력 해석과 같이 HHT α− 방법을 내연적 시간 적분법으로 사용하며, 다음과 같이 수정된 형태의 평형 방정식을 사용한다.

( )1 1 int, 1 , 1 int, ,(1 )n n n ext n n n ext nH Ht

α α+ + + +∂ + + + − − + − = ∂Mv Cv f f Cv f f 0 (5.7.1)

비선형 시간이력 해석에서는 기하학적 비선형성에 의한 질량행렬의 회전으로 인한 효과를 고려한다. 절점의 유한회전에 따라 질량행렬의 회전 관성부분이 매 반복 계산마다 수정되고, 질량행렬의 변화율로부터 발생하는 관성력이 해석에 고려된다. 비선형 시간이력 해석은 5.5 장의 비선형 유한요소 해법을 사용하여 각 시간스텝에서의 수렴해를 계산하는 방식으로 진행된다. 불평형력은 식 (5.7.1)으로부터 다음과 같이 표현된다.

( )1 1 1 1 int, 1 , 1 1 int, ,1 (1 )n n n n n ext n n n n ext n

n H Htα α+ + + + + + +

+∂ = + + + − − + − ∂

g M v C v f f C v f f (5.7.2)

접선 강성행렬은 불평형력에 속도와 가속도의 Newmark 방법에 의한 시간차분식(식 5.4.3)을 적용하고 변위 자유도에 대한 미분을 통해 구할 수 있으며 다음과 같다.

int, 1 , 11 1 1

2(1 )1 (1 ) (1 )

n ext nn n nH

H Ht t tα γγ α α

β β β

+ ++ + ++ ∂ ∂

= + + + + − +∆ ∆ ∆ ∂ ∂

f fA M M Cu u

(5.7.3)

여기서 선형 시간이력 해석과 마찬가지로 0.05Hα = − 를 기본값으로 사용한다. 또한 무조건적 안정성을

확보하기 위하여 다음 값을 사용한다: (1 2 ) / 2Hγ α= − , 2(1 ) / 4Hβ α= − 각속도 및 각가속도

Section 7 7.1 내연적 시간 적분법

Section 7. 비선형 동적응답 해석 | 215


ANALYSIS REFERENCE

비선형 시간이력 해석에서 기하학적인 비선형성을 고려하는 경우, 물체축(body axis system)의 회전에 의한 효과를 반영하여 각속도(angular velocity)와 각가속도(angular acceleration)를 업데이트 해야 한다. 유한회전이 발생하는 물체축을 φ 라고 할 때, 물체축에 대한 좌표계에서의 Newmark 차분식은 다음과 같다.

1 1 (1 )n n n ntφ φ φ φγ γ+ + = + ∆ + − ω ω α α (5.7.4)

φω , φα : 물체축 φ 에 대한 각속도와 각가속도

물체 축에 대한 직교 기저벡터 φe 를 사용하여, 위 식을 전역 좌표계에 대해 나타낼 수 있다.

( )1 1 1 (1 )n n n n n nt tφ φγ γ+ + + = ∆ + + ∆ − ω α e e ω α (5.7.5)

식 (5.7.5)에 나타난 직교 기저벡터의 곱은 다음 식으로 구해진 증분회전행렬과 같다.

ˆexp( )θ∆ = ∆C (5.7.6)

θ̂∆ : 회전량 증분에 대한 교대대칭(skew symmetric)행렬

증분회전행렬을 사용하여 회전량 증분을 Newmark 방법으로 표현하면 다음과 같다.

2 1 2 12

n n nt t tβ β+ ∆ = ∆ + ∆ ∆ + ∆ − θ α C ω α (5.7.7)

식 (5.7.7)을 각속도와 각가속도에 대해 정리하여 식 (5.7.5)에 대입하면, 각각 각속도와 각가속도를 업데이트하는 식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

1

12

1 12

1 1 112

n n n

n n n

tt

t t

γ γ γβ β β

β β β

+

+

= ∆ + ∆ − + ∆ − ∆

= ∆ + ∆ + − ∆ ∆

ω θ C ω α

α θ C ω α (5.7.8)

감쇠(Damping) 효과 비선형 시간이력 해석에서는 선형 시간이력 해석과 동일하게 질량비례감쇠, 강성비례감쇠를 고려한다. 이 경우 감쇠행렬은 식 (5.4.5)와 유사하게 구성된다. 비선형 시간이력해석에서 감쇠행렬 계산시 사용되는

216 | Section 7. 비선형 동적응답 해석


질량행렬은 유한회전에 의한 회전 효과가 고려된 질량행렬을 사용하고, 강성행렬은 재료 비선형에 의한 강성행렬만을 사용한다.

,e e e ej j j mat jα β= + +C M K B (5.7.9)

matK : 재료 비선형에 의한 강성행렬

Section 7. 비선형 동적응답 해석 | 217


ANALYSIS REFERENCE

크레인 이동하중 해법

midas Plant는 이동하중 해석 기능은 크레인 거더의 해석 결과를 산출하고 지지점에서의 반력을 구조물의 설계시 정적 크레인 이동하중(Static Crane Moving Load) 조건으로 반영하는데 사용되며 주요한 기능은 다음과 같다. • 이동하중에 따른 처짐, 부재내력, 지지점반력 등에 대한 영향선의 산출

• 산출된 영향선과 크레인의 재하 조건을 사용하여 최대 및 최소 변위, 부재내력 및 반력 산출 구조물에 대한 이동하중 해석은 크레인이 이동하면서 유발하는 하중에 대한 해석을 수행하는 것으로 크레인의 이동경로 전체에 대한 해석을 수행하여 최대, 최소값을 계산하여 이동하중 결과로 사용한다. midas Plant 의 이동하중 해석은 전체 구조물에 대해여 수행하는 것이 아니라 선언된 크레인 거더만을 모델링하여 크레인 거더의 부재력, 스팬내부 절점 변위, 지지점에서의 반력을 계산한다. 전체 구조물에 대한 크레인 하중에 대한 해석은 크레인 이동하중에 의한 지지점반력을 정적 절점하중으로 변환하여 계산한다. 양중하중의 재하위치나 하중의 유무에 따른 해석 결과들을 분리하여 출력한다. 일반적인 크레인은 두개의 크레인 거더를 레일로 하여 이동하고 양중하중은 두 크레인 거더 사이를 이동한다. 크레인의 진행 방향에 따른 하중 재하는 크레인 거더상의 절점을 기준으로 경우의 수가 산정이 되므로 적절한 개수의 절점을 갖도록 분할해 주어야 한다. 두 거더 사이에서의 양중하중의 이동은 최대값이 발생할 수 있도록 각 크레인 거더에 최대로 접근할 수 있는 위치를 고려한다. 그리고 지진하중과의 조합을 위하여 양중하중이 없는 경우에 대한 계산도 포함한다. 양중하중의 횡방향 이동에 의한 효과나 크레인의 가동 및 제동 상태를 묘사하기위한 하중도 반영한다. 크레인의 이동에 따른 해석결과는 다음과 같이 여섯가지로 구분된다.

► Max. Crane Load(Max) 양중하중이 해당 거더에 최대로 근접한 상태에서 발생하는 해당 거더의 최대값 ► Max. Crane Load(Min) 양중하중이 해당 거더에 최대로 근접한 상태에서 발생하는 해당 거더의 최소값 ► Min. Crane Load(Max) 양중하중이 상대 거더에 최대로 근접한 상태에서 발생하는 해당 거더의 최대값 ► Min. Crane Load(Min) 양중하중이 상대 거더에 최대로 근접한 상태에서 발생하는 해당 거더의 최소값 ► Empty Crane Load(Max)

Section 8

8.1 크레인 이동하중 해석

218 | Section 8. 크레인 이동하중 해법


양중 하중이 없는 상태에서 트롤리가 해당 거더에 최대로 근접한 상태에서 발생하는 해당 거더의 최대값으로 반력에 대한 결과만 계산 ► Empty Crane Load(Min) 양중 하중이 없는 상태에서 트롤리가 상대 거더에 최대로 근접한 상태에서 발생하는 해당 거더의 최대값으로 반력에 대한 결과만 계산

크레인 하중에 대한 해석 과정을 정리하면 다음과 같다. 1. 선언된 크레인 거더내의 절점들에 단위하중을 재하하여 영향선 해석을 수행한다. 2. 크레인 이동하중의 입력과 영향선 결과들을 사용하여 재하 가능한 크레인의 위치에 대하여 이동하중해석을 수행하고, 최대 및 최소값을 산정하여 절점 변위, 거더의 부재력, 지지점 반력을 산출한다. 거더의 부재력과 지지점 반력은 설계 목적을 위하여 동시에 발생하는 다른 성분값들도 계산할 수 있다.

3. 지지점 반력을 사용하여 크레인 정적하중을 생성하여 전체 구조물에 대한 해석을 수행한다. midas Plant에서의 크레인하중은 그림 8.2.1과 같이 일정한 간격을 갖는 연속하는 집중하중으로 모사된다. 수직하중은 크레인의 자중, 트롤리와 호이스트 자중, 그리고 최대 양중하중으로 결정되고 횡방향이나 종방향 하중들은 수직하중의 비율로 결정된다. 횡방향 하중은 트롤리의 횡방향이동에 의해 발생하는 하중을 의미하고 가동 또는 제동하중은 크레인의 진행을 시작하거나 멈출 때 발생하는 하중들이다. 가동이나 제동하중은 모든 크레인의 바퀴에 작용하는 것이 아니라 가동이나 제동축의 바퀴에만 적용된다. 수직하중은 크레인 하중이 항상 중력방향으로 작용한다고 가정되기 때문에 전체좌표계의 Z 축을 기준으로 재하되고, 횡방향 하중은 크레인의 진행방향에 직각인 방향, 종방향 하중은 크레인의 진행방향으로 재하된다. 횡방향과 종방향 하중은 각 방향별 “+” 와 “-”방향 모두를 고려한다. 동시발생 부재력 및 반력을 계산하기 위한 하중들의 조합은 다음과 같이 7 가지 경우가 고려된다.

1. 수직 하중 2. 수직 하중 + 수평하중(크레인의 진행방향의 왼쪽 직각 방향) 3. 수직 하중 + 수평하중(크레인의 진행방향의 오른쪽 직각 방향) 4. 수직 하중 + 가동하중(크레인의 진행방향) 5. 수직 하중 + 가동하중(크레인의 진행 반대 방향) 6. 수직 하중 + 제동하중(크레인의 진행방향) 7. 수직 하중 + 제동하중(크레인의 진행 반대 방향)

8.2 크레인 이동의 모사

그림 8.2.1 크레인 하중의 모사

Section 8. 크레인 이동하중 해법 | 219


ANALYSIS REFERENCE

크레인 이동하중 해석에서 생성하는 결과는 Max. Crane 과 Min. Crane 으로 구분한다. Hoist 를 포함한 양중하중이 해석하고자 하는 크레인 거더에 가장 근접했을 경우와 가장 멀리 떨어졌을 경우를 구분하여 크레인 거더의 변위, 반력, 부재력등의 결과를 계산한다. 가장 근접했을 때의 계산 결과를 Max. Crane 의 결과로 하고 가장 멀리 있을 경우를 Min. Crane 의 결과로 정리한다. 이 구분에 따라 Max. Crane 과 Min. Crane 의 수직하중은 다르게 적용되고, 수평하중은 양중의 위치와 무관하게 작용하기 때문에 모든 경우에 일정한 하중값을 갖게된다. 시동 하중이나 제동 하중은 수직하중에 비례하여 작용한다. 크레인 하중을 구성하는 하중들과 주요 입력 데이터는 아래의 테이블과 같고 Max. Crane 과 Min. Crane 의 수직하중 간단한 계산식으로 구할 수 있다. Crane Information

Capacity (A) 양중 하중

Crane total weight (B) 크레인의 자중

Trolly & Hoist weight (C) Trolly 와 Hoist 무게

Crane span (D) 크레인 거더 사이의 거리

Hook approach (E) 양중 하중과 크레인 거더와의 최소 거리

Number of wheel (N) 크레인 Wheel 개수

Factor of horizontal load(F) 수평하중의 수직하중에 대한 비율

Crane Wheel Load

Max. Crane Vertical Load ( )( )1

2B C D EA

N D+ −

+

Crane Girder

Vertical LoadHorizontal Thrust

Braking ForceTractive Force



Min. Crane Vertical Load ( )1

2B C EA

N D+

+

Horizontal Load 12

A B C FN

+ + ×

midas Plant 에서의 영향선은 크레인이 이동하는 거더상에 단위하중을 재하하여 발생하는 결과들을 거더상에 표현하는 것으로 단위하중 재하점 사이의 결과값들은 선형보간하여 얻어지므로 재하점이 많을수록 정밀한 영향선을 얻을 수 있다. 영향선 생성을 위한 단위 하중의 재하 방향은 수직, 횡방향, 종방향 하중 재하를 반영하기 위하여 요소좌표계 x, 요소좌표계 y 와 전체좌표계 –Z의 세가지 방향으로 적용된다. 실제 크레인하중에 의한 결과는 크레인 하중의 크기와 구하고자하는 크레인의 위치에서의 영향선값의 크기를 곱한 것으로 구해진다. 그림 8.3.1 은 단순지지된 거더의 중앙부 전단력에 대한 영향선과 크레인이동하중에 대한 최대값 계산 방법을 표현한 것이다. 단위하중을 재하하여 생성한 영향선에서 크레인 이동하중의 위치에 따른 영향값들을 보간하여 실제 크레인 하중 값과 곱하여 결과를 얻는다. 아래의 경우에는 크레인 하중 100 과 크레인 바퀴의 위치에서의 영향선 값의 곱으로 125 의 결과를 얻게 된다.

100 100 100 100

0.5

-0.5

Shear force = 100 x (0.125 + 0.25 + 0.375 + 0.5) = 125

0.1250.25

0.375

8.3 영향선 해석과 이동하중 결과 계산

그림 8.3.1 크레인 하중의 재하 및 결과 계산 방법



ANALYSIS REFERENCE

1) 크레인 이동하중 해석

ELEMENTS Beam elements

MODEL FILENAME Crane_01.mpb

그림 8.4.1 은 일반적으로 사용되는 크레인 거더 구조물을 나타내고 있다. 기둥요소로 모델링되는 크레인의 지점부는 단순지지 경계로 변환되어 해석에 적용된다. 크레인 거더 설계의 주요 관심 사항인 스팬의 중앙부 B 점 에서의 처짐, 전단 모멘트 부재력 그리고 A 의 지점부에서의 반력 결과들을 정확해와 비교한다. 크레인 거더에 재하되는 크레인은 그림 8.4.1 의 오른쪽 하부의 그림과 같이 연속하는 집중하중으로 가정한다. Table 8.4.1 에 크레인 이동하중 해석 결과와 수치해석을 통한 정확해와의 결과를 나타낸다. 변위를 제외한 모든 결과가 일치하는 것을 알 수 있다. 변위의 경우는 대략 1.5% 정도의 차이를 보이고 있는데 이는 영향선을 사이의 변위값을 선형으로 가정하야 계산하기 때문이다. 스팬사이의 요소의 개수를 늘리면 영향선 개수가 많아지기 때문에 좀 더 정확한 결과를 얻을 수 있다. 테이블 8.4.1 의 결과는 스팬당 8 개의 요소를 사용하여 모델링 한 것이다.

A B

P P P P1 1 1

Units : [email protected]

X

Z P P P P Left Beam end Release on DOF X

8.4 크레인 이동하중 검증 예제

그림 8.4.1 크레인 하중이 재하된 크레인거더 구조물




E = 205GPa ν = 0.3

Section property

Area Shear Area Moment of Inertia

A = 3886 mm2

As = 1882 mm2 Ix = 23591960 mm4

Crane

Capacity(A) Crane total weight(B) Trolly & hoist weight(C) Crane span (D) Hook approach(E) Number of wheel(N) Factor of horizontal load

100 kN 100 kN 10 kN 10 m 1 m 4 0.1

Wheel load Max. crane vertical Min. crane vertical Horizontal

37.25 kN 15.25 kN 2.625

Table 8.4.1 Results of crane moving load analysis at point A and B

Max. Crane Case Crane moving analysis Exact

Vertical reaction at point A(kN) 134.1 134.1

Horizontal reaction at point A(kN) 9.45 9.45

Displacement at point B (mm) 0.591 0.60

Moment at point B(kN-m) 298 298

Shear at point B(kN) 52.15 52.15

Min. Crane Case Crane moving analysis Exact

Vertical reaction at point A(kN) 54.9 54.9

Horizontal reaction at point A(kN) 9.45 9.45

Displacement at point B (mm) 0.242 0.246

Moment at point B(kN-m) 122 122

Shear at point B(kN) 21.35 21.35


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