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Leccin3.ElGrupoAlternante

Definicin2.Para ,losciclosdelongitud de seconocencomotransposiciones.

Teorema3.Cadapermutacinde esrepresentablecomounproductofinitodetransposiciones.

Demostracin.Puestoquecadapermutacionesrepresentablecomounproductodeciclosdisyuntosentoncesessuficientedemostrarelteoremaparacadaciclo.Sea un ciclo.Si

entonces y .Seapues .Nteseque.

Observacin1.1)Adiferenciadelteoremadelaleccinanteriorlarepresentacindeunapermutacinenproductodetransposicionesnoesnica

.

2)Segnelteoremaanterior,cadapermutacin de esrepresentablecomounnmerofinito detransposicionesademsseviquedicharepresentacinnoesnica.Detalmaneraquepadrapresentarselaposibilidaddequeenunadescomposicin seaparyenotra seaimpar.Sinembargo,lasiguienteproposicinmuestraquetalsituacinesimposible.

Proposicin2.Sea unapermutacinde lacualtienedosdescomposicionesenproductode ytransposiciones.Entonces, esparsiyslosi espar.

Demostracin.Sea unapermutacinde paralacualtienedosdescomposicionesenproductodetransposiciones .Consideremoselnatural

(Porejemploparan=4setieneque ).

Sea unapermutacincualquierade Definamoslaaccinde sobre como

Nteseque esunentero(nonecesariamentepositivocomo )losfactores queconforman sondiferenciasdeelementosde yadems .Enefecto,demostraremosquesiendo ,dondecada , ,esunatransposicin,entonces

a)sea unatransposicincon .Losfactores de enloscualesnointervienenni

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ni nocambianalaplicar .Consideremospuesaquellosfactoresdondeaparescacan o oambos.Sepresentanentonceslassiguientesposibilidades.

i)Factoresdondeaparece perono :

Alaplicar alosfactoresdelaprimerafilaobtenemos

ynohaycambiosdesigno.

Alaplicar alosfactoresdelasegudafilaobtenemos

yhaycambiosdesigno.

ii)Losfactoresdondeaparece perono

Aplicando alosfactoresanterioresobtenemos

sepresentaenestecaso cambiosdesigno.

iii)Factordondeaparece y :

Alaplicarfobtenemos yhayuncambiodesigno.

Entotalalaplicar a seefectuan cambiosdesignosyas tienesignomenos.

Ntesequelosfactoresdei)mediante seconviertenenlosfactoresdeii)conalgunossignoscambiados,yasuvezlosdeii)enlosdei)conalgunossignoscambiados.Deloanteriorsedesprendeque

b)Siendo unproductode transposicionesentonces

c)

Segnlaproposicinanteriorsepuedendistinguiraquellaspermutacionesquesonproductodeunnmeropardetransposiciones.

Teorema4.Sea y esproductodeunnmeropardetransposiciones .Entonces, ysedenominaelgrupoalternanteogrupodepermutacionespares.Adems,\

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.

Demostracin.Claramente .Adems,segnlaproposicinanteriorelproductodedospermutacionesparesesparconlocual ( esfinito).

Probemosahoraque esnormalen .

Consideremoslafuncinsigno

esunhomomorfismo:Sean .Entoncessepresentanlassiguientesposibilidades:

y pares:entonces esparyas

espary esimpar:entonces esimparyas

esimpary espar:anlogoalanterior.

y impares:entoncesfgesparyas

esunafuncinsobre:

Segnelteoremafundamentaldehomomorfismo

pero ,aspues, .Noteseademsque .