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SEDE PUERTO MONTT
ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICAS
PROPUESTA DE UNA SECUENCIA METODOLÓGICA PARA LA
ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS.
Tesis para optar al Título de Profesora de Matemáticas
Profesor Patrocinante: Dr. Francisco Cala Rodríguez
Profesor (a) Co-Patrocinante: Paola Mendoza Bello
YOURMERY MARIBETH SOTO BARRÍA
Puerto Montt, Chile
2015
ii
HOJA DE CALIFICACIÓN En Puerto Montt, el ____ de ___________ de _____, los abajo firmantes dejan
constancia que la estudiante Yourmery Maribeth Soto Barría, de la carrera de
Pedagogía en Matemáticas ha aprobado la tesis para optar al título de Profesor
de Matemáticas, con una nota de ____.
Dr. Francisco Cala Rodríguez
Ing. Paola Mendoza Bello
Dr. Julio Sáez Gallardo
INFORME TRABAJO DE TITULACIÓN
Dr.
Francisco Cala Rodríguez
Director Escuela Pedagogía en Matemáticas
Universidad Austral de Chile
Sede Puerto Montt
Tengo el agrado de remitir a Ud. el Informe de la Tesis “Propuesta de una secuencia
metodológica para la enseñanza y el aprendizaje de los números complejos”, elaborada
por la alumna Yourmery Maribeth Soto Barría, de la Carrera de Pedagogía en
Matemáticas.
1.- Concordancia entre el desarrollo del tema y los objetivos propuestos.
Existe una total correspondencia entre los aspectos indicados.
Nota: 7.0 Ponderación: 20%= 1,4
2.- Fundamentos teóricos y metodológicos.
Los fundamentos teóricos y metodológicos del tema trabajado por el estudiante,
poseen una base histórica sustancial, de acuerdo a los estudios realizados en esta
materia y la propuesta metodológica se ha realizado considerando sus posibilidades
reales de implementación.
Nota: 7.0 Ponderación: 25%= 1,75
3.- Capacidad de análisis y síntesis.
A juicio de este evaluador, la estudiante demuestra capacidad de análisis y síntesis.
Nota: 7.0 Ponderación: 25%= 1,75
4.- Utilización de fuentes bibliográficas y capacidad de enfoque personal.
Se utilizan las fuentes bibliográficas fundamentales en la contemporaneidad en que se
realiza este trabajo y se observa con claridad el enfoque personal de la estudiante.
Nota: 7.0 Ponderación: 15%= 1,05
5.- Manejo del lenguaje y presentación formal (redacción). Incluye el seguimiento de
la pauta de presentación indicada por la Dirección de la Escuela.
La estudiante utiliza un lenguaje sencillo; pero a la vez riguroso, en correspondencia
con las características del tema, dada su profundidad científica y sus niveles de
complejidad respecto a los contenidos que se tratan.
Nota: 7.0 Ponderación: 15%= 1,05
6.- CALIFICACION PONDERADA FINAL: 7.0
Atentamente,
…………………………………………………………………………………..
Dr. Francisco Cala Rodríguez
Profesor Patrocinante
Puerto Montt, 28 de diciembre de 2015.
INFORME TRABAJO DE TITULACIÓN
Dr.
Francisco Cala Rodríguez
Director Escuela Pedagogía en Matemáticas
Universidad Austral de Chile
Sede Puerto Montt
Tengo el agrado de remitir a Ud. el Informe de la Tesis “Propuesta de una secuencia
metodológica para la enseñanza y el aprendizaje de los números complejos”, elaborada
por la alumna Yourmery Maribeth Soto Barría, de la Carrera de Pedagogía en
Matemáticas.
1.- Concordancia entre el desarrollo del tema y los objetivos propuestos.
Nota: 7.0 Ponderación: 20%= 1,4
2.- Fundamentos teóricos y metodológicos.
Nota: 7.0 Ponderación: 25%= 1,75
3.- Capacidad de análisis y síntesis.
Nota: 7.0 Ponderación: 25%= 1,75
4.- Utilización de fuentes bibliográficas y capacidad de enfoque personal.
Nota: 7.0 Ponderación: 15%= 1,05
5.- Manejo del lenguaje y presentación formal (redacción). Incluye el seguimiento de
la pauta de presentación indicada por la Dirección de la Escuela.
El trabajo presenta leves detalles ortográficos, pero persistentes.
Nota: 6.8 Ponderación: 15%= 1,02
6.- CALIFICACION PONDERADA FINAL: 6.97
Atentamente,
…………………………………………………………………………….
Ing. Paola Mendoza Bello
Profesora Co-patrocinante
Puerto Montt, 28 de diciembre de 2015.
INFORME TRABAJO DE TITULACIÓN
Dr.
Francisco Cala Rodríguez
Director Escuela Pedagogía en Matemáticas
Universidad Austral de Chile
Sede Puerto Montt
Tengo el agrado de remitir a Ud. el Informe de la Tesis “Propuesta de una secuencia
metodológica para la enseñanza y el aprendizaje de los números complejos”, elaborada
por la alumna Yourmery Maribeth Soto Barría, de la Carrera de Pedagogía en
Matemáticas.
1.- Concordancia entre el desarrollo del tema y los objetivos propuestos.
Este punto ha sido cumplido en forma parcial por la Srta. Soto. Algunos objetivos
específicos como el número 1 y 2 no se encuentran totalmente desarrollados en el
cuerpo del trabajo.
Nota: 5.5 Ponderación: 20%= 1.1
2.- Fundamentos teóricos y metodológicos.
La autora de la monografía sustenta teóricamente su trabajo en un marco referencial
adecuado y pertinente. Sin embargo, no aporta una revisión del estado del arte relativo
al estudio empírico de su objeto de estudio, sobre todo sustentado en investigaciones
actuales en la realidad educacional chilena. En lo metodológico, el diseño y las técnicas
de investigación propuestos son muy adecuadas para la consecución de los objetivos
planteados.
Nota: 6.0 Ponderación: 25%= 1.50
3.- Capacidad de análisis y síntesis.
La propuesta didáctica desarrollada por la autora contiene un tratamiento analítico
muy riguroso y sistemático, lo que la convierte en un producto pedagógico interesante
para los profesores de matemáticas en ejercicio. En las conclusiones realiza una
adecuada labor de síntesis.
Nota: 7.0 Ponderación: 25%= 1.75
4.- Utilización de fuentes bibliográficas y capacidad de enfoque personal.
Las fuentes bibliográficas han sido las suficientes para la sustentación documental del
trabajo de tesis de la autora. El enfoque personal , en primer lugar, en este trabajo está
en haber elegido un tema de estudio que emerge del diagnóstico de la realidad escolar
en la cual la autora realiza su práctica profesional y, en segundo lugar, radica en la
propuesta de secuencias didácticas con fines de abordaje de los números complejos.
Nota: 7.0 Ponderación: 15%= 1.05
5.- Manejo del lenguaje y presentación formal (redacción). Incluye el seguimiento de
la pauta de presentación indicada por la Dirección de la Escuela.
La autora usa un lenguaje sencillo, sin muchos tecnicismos. Lo anterior, le otorga
agilidad y comprensibilidad al texto. Sin embargo, se observan algunos errores de
ortografía acentual y de redacción textual, erratas que serán comunicadas a la autora
para su enmienda. Por otro lado, sigue en forma adecuada la Pauta de presentación de
tesis indicada por la Escuela.
Nota: 6.4 Ponderación: 15%= 0.96
6.- CALIFICACION PONDERADA FINAL: 6.36
Atentamente,
Dr. Julio Sáez Gallardo
Profesor Informante
Puerto Montt, 29 de diciembre de 2015.
ix
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a Dios por bendecirme con una familia maravillosa, también
quisiera agradecer a mi novio y a mi hija por toda la paciencia que me han
tenido apoyándome y dándome todas las fuerzas para seguir adelante.
Agradecer, también a los tres maestros que han participado en la
realización de este trabajo, al Dr. Francisco Cala Rodríguez, al Dr. Julio Sáez
Gallardo y a la Ing. Paola Mendoza Bello.
Muchas gracias por todo su Apoyo y Colaboración.
10
Tabla de contenido
Resumen .......................................................................................................... 12
Abstract ........................................................................................................... 12
Introducción .................................................................................................... 13
Capítulo I: Antecedentes del Problema ........................................................ 15
Formulación del problema ........................................................................................ 16
Justificación e importancia de la investigación ......................................................... 17
Delimitación y Limitaciones ...................................................................................... 18
Estado del arte ......................................................................................................... 19
Preguntas de Investigación ...................................................................................... 20
Objetivo General ...................................................................................................... 21
Objetivos Específicos ............................................................................................... 21
Capítulo II: Marco Teórico ... ........................................................................... 22
Las Matemáticas y Los Números Complejos ............................................................ 23
Capítulo III: Metodología ................................................................................ 30
Tipo de investigación................................................................................................ 31
Metodología elegida ................................................................................................. 31
Paradigmas y perspectivas filosóficas que las sustentan ......................................... 32
Descripción de las técnicas e instrumentos .............................................................. 32
Criterios de credibilidad utilizados ............................................................................ 33
Capítulo IV: Análisis y Discusión de Resultados ......................................... 34
Exposición de resultados por categorías .................................................................. 35
Análisis de los resultados ......................................................................................... 35
Secuencia Metodológica .......................................................................................... 37
Discusión de los resultados en base al marco teórico .............................................. 71
Capítulo V: Conclusiones y Sugerencias ..................................................... 72
Bibliografía ...................................................................................................... 74
11
Anexo A1 ......................................................................................................... 76
Trabajo en el Laboratorio de computación ............................................................... 76
Glosario ........................................................................................................... 80
12
Resumen
En esta investigación se entrega a los docentes una secuencia metodológica para la introducción del Conjunto de los Números Complejos y el posterior desarrollo del Dominio de los números Complejos en la enseñanza media. El resultado de la investigación se espera sea una herramienta que contribuya a subsanar la carencia de metodologías dispuestas para la enseñanza en los niveles de educación media con relación a los conjuntos numéricos. Para cumplir con este objetivo se elaboró una secuencia de 15 clases correspondiente a la primera Unidad de Aprendizaje: “Números Complejos” en Tercer año de Educación Media. Palabras Claves: Números Complejos, Secuencia Metodológica, Metodologías.
Abstract
This research provide a methodological sequence for introducing and developing the complex number domain in Secondary School. It is expected that the result of the research will become a tool to help overcome the lack of methodologies for teaching Mathematics, particularly, in the case of set of complex numbers in Secondary School. For achieving this objective, a sequence of 15 classes corresponding to the first Learning Unit was developed: The "Complex Numbers", in the third year of Secondary School. Keywords: Complex numbers, Methodological sequence, Methodologies.
13
Introducción
En la diversa revisión bibliográfica se ha encontrado que la formalización
de los distintos conjuntos numéricos se desarrolló durante largos periodos en la
historia, llevándose a cabo luego de la unión de trabajos de destacados
representantes matemáticos.
En la enseñanza de las matemáticas nos encontramos con los distintos
conjuntos numéricos desplegados a lo largo de la educación básica y media los
cuales se ven introducidos y desarrollados en su totalidad. Dentro de estos
conjuntos numéricos nos encontramos en la educación chilena con el conjunto
de los números complejos, siendo el último presentado a los alumnos, que se
estudia en el tercer nivel de enseñanza media.
Los docentes del departamento de matemáticas de los establecimientos
en donde se cursan estos niveles, desarrollan los contenidos con pocos
recursos metodológicos que apoyen el desarrollo de sus clases; implicando
escasos logros de aprendizaje en los estudiantes.
Por lo tanto se hace presente la necesidad de crear nuevas herramientas
que faciliten la labor docente mejorando el aprendizaje en los alumnos.
Esta ha sido una de las razones por las que se ha seleccionado este
tema para desarrollar la investigación y proponer una secuencia metodológica
para la introducción y la enseñanza-aprendizaje de los números complejos,
pudiendo entregar a los docentes como producto resultante de esta
14
investigación una guía de apoyo para la introducción y posterior desarrollo del
conjunto de los números complejos en el tercer nivel de la enseñanza media.
15
Capítulo I: Antecedentes del Problema
16
Formulación del problema
El desarrollo de la epistemología de las matemáticas nos ha dado pautas
e incluso modelos metodológicos de enseñanza de los conjuntos numéricos
para la educación media, con miras a optimizar la transmisión de conocimientos
en la enseñanza de las matemáticas en general. Sin embargo, en el caso
particular del conjuntos de los números complejos, se ha observado durante el
transcurso de los diferentes tipos de prácticas que ha tenido la carrera-
observación, vinculante y pre-profesional- y en conversaciones con docentes en
ejercicio de la enseñanza de las matemáticas, que la utilización de los métodos
conocidos no han sido eficientes para la comprensión de conceptos y el
desarrollo de habilidades en el caso del conjuntos de los números complejos.
En la actualidad, a los profesores se les entrega un texto escolar como
guía en cada nivel educativo en el cual se proporcionan orientaciones para
introducir y desarrollar los temas de cada unidad. También se entregan algunos
enlaces de apoyo en internet para el desarrollo de las clases. Esta guía
didáctica para el docente, entrega sugerencias para iniciar el camino de la
enseñanza-aprendizaje de las nuevas unidades a los alumnos.
En el libro de tercero medio entregado por el Ministerio de Educación, en
la primera unidad se aborda un nuevo ámbito numérico para los alumnos. Esta
unidad recibe el nombre de “Números Complejos”, iniciando con el contenido de
unidad imaginaria, para luego trabajar con los números complejos y su
operatoria correspondiente.
17
La metodología aplicada por los docentes para la presentación de los
primeros conjuntos numéricos se ve facilitada dado que la existencia de éstos
partió de necesidades humanas básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir,
operatorias que se presentan en los hogares en el pago de cuentas, en las
compras mensuales de comestibles y los alumnos las pueden identificar de
manera más concreta y didáctica. Pero al contrario, el conjunto de los números
complejos surge de la necesidad de dar respuesta a problemas propios del
cálculo avanzado que se ven desarrollados en áreas como la aerodinámica, en
los circuitos eléctricos o en señales electrónicas.
Justificación e importancia de la investigación
Los conjuntos numéricos referidos a los números enteros, racionales,
irracionales y reales, se ven regidos por operaciones aritméticas que son
compatibles entre ellas, pero cuando surge la necesidad de solucionar
problemas que ya estos conjuntos no pueden resolver, como es el caso de
resolver la ecuación �� + 1 = 0 ó calcular el valor de una raíz cuadrada con una
cantidad subradical negativa. Se produce la necesidad de extender el campo de
los conjuntos numéricos, procurando que las operaciones definidas hasta el
momento sean compatibles con este nuevo campo de manera que la
ampliación de los conjuntos, permita tal consistencia que se mantenga toda la
estructura algebraica de los conjuntos numéricos ya estudiados. Por ejemplo, el
conjunto de los números racionales que aparece frente a la necesidad de
agrupar divisiones de dos o más números enteros se produce de tal manera
que el conjunto de los números enteros resulta ser un subconjunto en el que
todo elemento se puede expresar de esa forma y, por tanto, verificar que un
número entero pertenece a un subconjunto de los números racional.
18
Por lo tanto, ésta investigación está basada en la elaboración de la
propuesta de una secuencia metodológica que ofrezca una respuesta adecuada
a las dificultades observadas en la introducción y el desarrollo de habilidades en
el trabajo con el conjunto de los números complejos en la enseñanza media,
que permita a los alumnos conectar los números complejos con los conjuntos
numéricos estudiados en los niveles anteriores. Así, el docente encontrará en
esta propuesta, una herramienta apropiada para lograr mejoras en la
enseñanza y el aprendizaje del dominio de los números complejos desarrollado
en el tercer nivel de educación media en Chile.
Delimitación y Limitaciones
La investigación se diseñó para servir como apoyo a la labor docente,
siendo la propuesta de una secuencia metodológica para la enseñanza y el
aprendizaje de la Unidad de los números complejos, en donde se pretende
incorporar una secuencia de clases desde los contenidos básicos hasta los
contenidos más avanzados observados en la Educación Media y que están
presentes dentro de una secuencia de clases en la cual se ve planificada la
primera unidad de tercer año de enseñanza media.
Luego de realizada una revisión bibliográfica en textos, artículos y
documentos de sitos Web, relacionados con la construcción de conocimientos y
la introducción del conjunto de los números complejos en la Enseñanza Media,
hemos concluido que la presente investigación no posee limitaciones.
19
Estado del arte
En trabajos previos (Martínez & Antonio, 2009) se da a conocer una
alternativa para la construcción del significado del número complejo, bajo la
hipótesis de que estos números pueden ser construidos a través del proceso de
convención matemática, utilizado en los llamados “procesos de convección y
articulación matemática” (Martínez, 2005).
Un proceso de convección matemática puede ser entendido como un
proceso de búsqueda de consensos en la comunidad que trabaja en dar
unidad y coherencia a un conjunto de conocimientos. La producción de
consensos es posible debido a que en esta comunidad existe la práctica
de integración sistémica de los conocimientos, es decir, existe una
normativa de la actividad, para relacionar diversos conocimientos y
articularlos en un todo coherente e interrelacionado. Por su naturaleza, esta
práctica se encuentra en el plano de la teorización matemática, entendiendo por
esto, la elaboración de conceptos interrelacionados que intentan describir y
explicar un objeto de estudio, el cual es, en este caso, el sistema de
conocimientos aceptado. Este proceso de síntesis conlleva el surgimiento de
propiedades emergentes no previstas por los conocimientos anteriores
(Martinez, 2003).
A partir de un análisis histórico-epistemológico de la búsqueda de la
solución general de ecuaciones de tercer grado, se afirmó que el significado del
número complejo, en un plano algebraico, puede ser interpretado como
20
elemento unificador entre el grado de la ecuación y sus soluciones (Martínez &
Antonio, 2009).
También en trabajos como “La Enseñanza y el Aprendizaje de los
Números Complejos: Un Estudio en el Nivel Universitario” (Pardo & Gómez,
2007) se reúne información para entregar sugerencias de intervención en las
pautas educativas, en relación con los números complejos, entregando un
modelo de herramienta en donde se pone de manifiesto que los alumnos
presentan dificultades e inconsistencias en el aprendizaje de los números
complejos.
Preguntas de Investigación
Dadas las constataciones referidas al problema de investigación que se
aborda en este trabajo, nos planteamos las siguientes interrogantes a dilucidar
en esta aproximación.
¿Qué características debieran considerarse en una propuesta de
tratamiento metodológico para la introducción y el desarrollo de los números
complejos, de manera que se logre el aprendizaje en los alumnos de Tercero
Medio? ¿Cómo se aborda el trabajo metodológico para el tratamiento de los
números complejos en la enseñanza media? ¿Qué otras áreas de las
matemáticas contribuyen a lograr el aprendizaje riguroso del concepto de
número complejo y el desarrollo de habilidades en su tratamiento educacional?
21
Objetivo General
Construir una propuesta metodológica para la introducción del Conjunto
de los Números Complejos y el posterior desarrollo del Dominio de los números
Complejos en la enseñanza media, a través de la elaboración de una secuencia
de clases correspondiente a la Unidad de Aprendizaje: “Números Complejos” en
Tercer año de Educación Media.
Objetivos Específicos
• Identificar la metodología dispuesta para la enseñanza del conjunto de
los números complejos en la enseñanza media.
• Determinar las diferentes áreas que contribuyen a lograr el aprendizaje
riguroso del concepto de número complejo.
• Elaborar una secuencia didáctica para el abordaje de la primera unidad
de números complejos en Tercer año de la Educación Media.
22
Capítulo II: Marco Teórico
23
Las Matemáticas y Los Números Complejos
Con respecto a la Ley de Educación en Chile (Ley 18.956, Decreto
254),(Ministerio de Educación, 2009), el propósito formativo del sector de
Matemáticas, es enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección
de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del
pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes, sean cuales fuesen
sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar.
Aprender Matemáticas proporciona herramientas conceptuales para
analizar la información cuantitativa presente en las noticias, opiniones,
publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de
comunicación, razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del
pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática. Además, contribuye a que los y
las estudiantes valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir
estrategias personales para la resolución de problemas y el análisis de
situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad
matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación
y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante
evidencias, la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de
caminos y soluciones.
Las Matemáticas ofrecen un conjunto amplio de procedimientos de
análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social,
que permite establecer relaciones entre los más diversos aspectos de la
realidad. Estas relaciones son de orden cuantitativo, espaciales, cualitativos y
predictivos.
24
El conocimiento matemático forma parte del acervo cultural de la
sociedad; es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la
necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los
más variados ámbitos, tanto de las Matemáticas mismas como del mundo de
las ciencias naturales, sociales, del arte y la tecnología; su construcción y
desarrollo es una creación del ser humano, ligada a su historia y a su cultura.
El currículum presente en la educación chilena enfatiza los aspectos
formativos y funcionales de las Matemáticas. Consecuentemente, considera
que el aprendizaje de las Matemáticas debe buscar consolidar, sistematizar y
ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas
poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los
niveles que le precedan.
Se promueve:
• El desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los
y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así
profundizar su comprensión acerca de ella
• El desarrollo de la confianza en las capacidades propias para aprender
• La generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de las
Matemáticas
• La apropiación de formas de razonar matemáticamente
• La adquisición de herramientas que les permitan reconocer, plantear y
resolver problemas
25
• El desarrollo de la confianza y la seguridad en sí mismos, al tomar
conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.
Los aprendizajes y el conocimiento matemático que conforman los Objetivos
Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del sector de Matemáticas,
fueron organizados de acuerdo a una progresión ordenada, en cuatro ejes que
articulan la experiencia formativa de alumnas y alumnos a lo largo de los años
escolares.
El primer eje desarrollado en la Enseñanza Media y que se relaciona con
el aprendizaje de los conjuntos numéricos, es “Números”. Este eje constituye el
centro del currículo matemático para la enseñanza básica y media. Incluye los
aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas,
los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas
provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática
misma.
Organizándose en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos,
avanza en completitud, abstracción y complejidad, desde los números naturales
hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se
busca que los alumnos y alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas
permite abordar problemas que los precedentes dejaron sin resolver.
Simultáneamente, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra
sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes. Así,
la operación inversa a la suma, motiva la existencia de los negativos y el cero.
El cuociente y la medición, implanta a los números racionales; la extracción de
la raíz cuadrada, motiva la entrada de los números irracionales y con ellos, los
reales, dando paso a la introducción en la enseñanza de los números
complejos. De este modo, se relacionan números, operaciones y campos de
aplicación de las Matemáticas, permitiendo avanzar en el sentido de la
26
cantidad, en el razonamiento matemático y la precisión de la forma en que las
Matemáticas contribuyen a la descripción y comprensión de la realidad.
Considerando la evolución histórica del concepto de número, se
presentan los diferentes conjuntos de números de una manera didáctica en la
Educación, planteando problemas tales, que su solución introduzca a la
construcción de un nuevo conjunto de números que constituya una ampliación
de los anteriores. Esta construcción de los conjuntos numéricos comienza con
el conjunto de los números naturales los que se presentan y desarrollan desde
la Enseñanza Básica.
Durante la Enseñanza Media se presentan distintos problemas que
permiten la extensión de los conjuntos numéricos, por ejemplo, considerando
como “universo numérico” el conjunto de los números naturales ℕ, la ecuación
� + � = con � > desarrollada en cursos de nivel medio, no tiene solución
existente en el conjunto numérico conocido por lo que se debe ampliar al
conjunto ℤ, de números enteros. Luego, la ecuación � ∙ � = con a no divisor
de b no tiene solución en este nuevo conjunto, apareciendo el conjunto ℚ, de
números racionales. Y resulta que el número π (longitud de la
semicircunferencia de radio r =1), o el número √2 (que es la diagonal del
cuadrado de lado l =1), no son números racionales, provocando la ampliación
de los conjuntos numéricos ya conocidos, al conjunto ℚ�, de los números
irracionales, generalizándose con ellos las expresiones algebraicas trabajadas
desde el primer conjunto numérico ocupado en la Educación Básica, formando
así desde el conjunto ℝ de los números reales: de tal modo que el conjunto ℝ
contiene a los conjuntos ℚ y ℚ′ (ℝ ≔ ℚ � ℚ′ ).
Uno de los últimos conjuntos numéricos que se presentan en la
Enseñanza Media es el conjunto ℂ de los números complejos, el que aparece
para dar solución a diferentes problemas a los que el conjunto ℝ no da solución,
27
entre ellos a la ecuación �� + 1 = 0, ocurriendo de este modo, la última
extensión de los conjuntos numéricos y de sus estructuras algebraicas.
Las concepciones epistemológicas de los números complejos, se
caracterizan por cuatro grandes etapas: algebraica, analítica, geométrica y
formal (Pardo & Gómez, 2005).
La etapa algebraica busca representar las primeras apariciones de las
raíces cuadradas de cantidades negativas, la etapa analítica desarrolla la
aceptación y generalización del uso de las expresiones imaginarias utilizando el
trabajo desarrollado con los cálculos infinitesimales.
La etapa geométrica introduce un eje de imaginarios en el plano
cartesiano, que tiene asociado √−1 como unidad perpendicular a 1,
considerando el resultado de la operatoria con los números complejos, como
vectores en el plano. Así, en el plano de los ejes real e imaginario, un vector
queda representado por � + � e � = √−1 actúa como la unidad del eje de
ordenadas, perpendicular al eje de abscisas.
En la etapa formal se entrega una formalización de los números
complejos y se identifican, geométricamente, a través de pares ordenados de
números reales.
El concepto de “número complejo” no surge como una necesidad real del
hombre para conocer y observar el universo; sino de una necesidad puramente
algebraica producto de la abstracción, para lograr la resolución de ciertas
ecuaciones.
28
Si bien el desarrollo de la “Teoría de Números Complejos” y la “Teoría de
Funciones Complejas” tienen en la actualidad numerosas aplicaciones en la
Física y la Ingeniería (por ejemplo, para describir circuitos eléctricos y ondas
electromagnéticas, en la ecuación de onda de Schrödinger, fundamental en la
teoría cuántica del átomo; en el diseño de alas de avión, entre otros).
El primero en introducir los números complejos fue Cardano, quien en el
año 1545 publicó su obra Ars Magna, en la que explica cómo resolver los
diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas.
En 1637, Descartes, en el apéndice “La geometrie” de su obra “Discourse
de la methoda”, afirma: “Ni las raíces verdaderas ni las falsas son siempre
reales; a veces son imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar
tantas raíces de cada ecuación como grado haya asignado, no siempre hay una
cantidad definida que corresponda a cada raíz imaginada.”
Descartes bautiza como “imaginarias” las expresiones que contienen
raíces cuadradas de números negativos. Pero a pesar de que los algebristas
parecen dispuestos a admitir la existencia de éstos, lo cierto es que, los
números “imaginarios” tienen muchos detractores.
El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números
complejos en las Matemáticas se debió a Euler (1707–1783). Este definió un
nuevo número, al que llamo i (imaginario): � = √−1 y le dio el mismo estatus de
existencia que a los números reales. Del número i, afirmó que no era ni mayor,
ni menor, ni igual, a ningún número real, y definió las reglas de suma y
multiplicación de este número que hoy conocemos y utilizamos con extrema
frecuencia y seguridad. En particular, la conocida expresión �� = −1.
29
Como ocurre con cualquier concepto matemático avanzado, hay una
distancia considerable entre la manera en que estos conceptos han
evolucionado en la comunidad matemática durante un largo período histórico, la
manera en que son formalizados y presentados en los procesos habituales de
enseñanza y la manera en que se organizan y estructuran cognitivamente
(Romero & Rico, 1999).
Si pretendemos que el concepto de número complejo se asimile de forma
significativa, hemos de contar con un proceso cognitivo adecuado, ya que los
alumnos han de integrar las diferentes operatorias del conjunto numérico, por
ejemplo, su forma, su representación en el plano cartesiano o su módulo, para
esto se deben entregar a los alumnos y docentes diversas herramientas para la
entrega de enseñanzas y la captación de aprendizajes. Estableciendo
secuencias metodológicas que favorezcan el estudio de los conjuntos
numéricos, en particular, el conjunto de los números complejos.
En la actualidad el Ministerio de Educación se limita a entregar
herramientas a los docentes, basados en los contenidos mínimos obligatorios
dispuestos en los planes y programas de estudios de los distintos niveles de
Enseñanza Media, siguiendo el método de la “Escuela activa”.
En el curso de tercer año de Enseñanza Media la primera unidad de
números complejos es entregada a los alumnos siguiendo una metodología de
razonamiento deductiva, organizando la materia con base en una lógica
tradicional y entregando los contenidos desde lo más sencillo de comprender a
los más complejo de trabajar.
Las clases se ven desarrolladas únicamente por medio del lenguaje
escrito u oral, acentuándose en la salas de clases la actividad del profesor,
permaneciendo los alumnos en forma pasiva.(Mineduc, 2015).
30
Capítulo III: Metodología
31
Tipo de investigación Este trabajo se desarrollo debido a la actual carencia de propuestas
metodológicas para la introducción y posterior desarrollo del conjunto de los
números complejos en el tercer nivel de la Educación Media
Siendo esta la problemática a resolver, el tipo de investigación presente en el
trabajo es exploratoria, no encontrándose variado material de apoyo en la
elaboración de la propuesta.
Metodología elegida
En la secuencia metodológica se desarrolla el Método de la “Escuela
Activa” que utiliza la suma de varios métodos de enseñanza para un
aprendizaje optimo, este método de enseñanza se ha ido adaptando e
incorporando desde el siglo XV (Educarchile, 2013).
El Método de la “Escuela Activa” o “Pedagogía Progresista” instituido por
John Dewey (1859- 1952), del cual no solo su contribución son escritos, sino la
creación de un compromiso practico, moral y ciudadano, consagrado en la
reforma social y educativa. Él demuestra que se puede compatibilizar el trabajo
teórico e investigar con la practica social lucida y abierta (Giménez, 2015).
Este método permite a los establecimientos trabajar los contenidos desde
distintos puntos de vista o utilizando múltiples metodologías, éstas, a su vez, se
dividen en métodos, en cuanto a forma de razonamiento, a la organización de la
materia, a su relación con la realidad, a las actividades externas del alumno, a
sistematización de conocimientos y a la aceptación de lo enseñado.
32
Los métodos utilizados en la secuencia metodológica son el Método
inductivo, el Método basado en la lógica de la tradición o de la disciplina
científica, el Método simbólico o verbalístico, el Método pasivo, entre otros. Los
cuales permiten a los docentes incorporar esta nueva unidad pedagógica
utilizando distintos puntos de vista para lograr los aprendizajes esperados.
Paradigmas y perspectivas filosóficas que las sustentan
Esta propuesta metodológica se basa en un paradigma interpretativo, ya
que el objetivo principal del trabajo es buscar y profundizar el conocimiento y
comprensión que poseen los alumnos con respecto a los conjuntos numéricos
para luego introducir y desarrollar de mejor manera un nuevo conjunto
numérico.
Descripción de las técnicas e instrumentos
Para establecer la creación de la secuencia metodológica se realizó una
revisión bibliográfica haciendo referencia a diversas propuestas, en particular, a
propuestas metodológicas para la construcción de conocimientos.
Se investigo en que periodo de la Educación se presenta el contenido de
Números Complejos, presentándose la necesidad de estudiar la literatura
existente al respecto y la literatura que se entrega por el Ministerio de
Educación a los docentes.
Se investigo el Marco Curricular existente, examinando los Planes de
Estudios y considerando los Mapas de Progresos se realizo la búsqueda de
estrategias metodológicas para el adecuado trabajo con los alumnos en el
desarrollo de la primera unidad del Tercer nivel de Educación Media.
33
Indagando en la experiencia docente y utilizando la experiencia adquirida
en el desarrollo de las prácticas se crea la propuesta de una secuencia
metodológica, en la cual se desarrolla el contenido, basado en la primera
unidad del Tercer año de Educación Media, los “Números Complejos”. Esta
secuencia metodológica se desarrolla en un periodo de 15 clases, con un total
de 23 horas pedagógicas.
Criterios de credibilidad utilizados
Esta investigación se hace presente debido a la necesidad de crear
nuevas herramientas que faciliten la labor docente mejorando el aprendizaje en
los alumnos, debido a los cambios y ajustes curriculares ocurridos en la
actualidad (Mineduc, 2015), ya que luego de la revisión en distintas propuestas
metodológicas para la construcción de conocimientos(Churchill & Brown, 1988),
(Martínez & Antonio, 2009) y en la preparación para el desarrollo de las clases
en Tercer año de Educación Media, los docentes se encuentran limitados en
tiempo y recursos para entregar a los alumnos los conceptos de números
imaginarios y el de números complejo desarrollados como la primera unidad del
Tercer Nivel de Educación Media.
Esta investigación entrega a los docentes una secuencia metodológica
para poder introducir y desarrollar los números complejos en la Educación
Media, facilitando a los docentes la planificación de la primera unidad
desarrollada en matemáticas del Tercer Nivel de la Educación Media,
otorgando a las docentes más tiempo para la organización de las otra unidades
didácticas a desarrollar durante el año escolar.
34
Capítulo IV: Análisis y Discusión de Resultados
35
Exposición de resultados por categorías
La propuesta de una secuencia metodológica está compuesta por
diversos cuadros de texto en donde se especifica, según cada clase, la
Asignatura, el Nivel del curso, el Semestre que se está cursando, el nombre de
la Unidad Didáctica y las Horas Pedagógicas a realizar por día. Luego se
presenta otro recuadro que contiene el Objetivo de Aprendizaje, la (s) Habilidad
(es), la (s) Actitud (es) a formar en cada clase, los Conocimientos Previos de los
estudiantes para desarrollar la unidad y el Objetivo o las Actividades Especificas
de cada una de las clases.
Por último en la propuesta se da a conocer el Contenido a desarrollar en
cada clase y la Secuencia Didáctica en donde se incluye el inicio de la clase, el
desarrollo y el cierre de cada clase, indicando también en la propuesta
metodológica los Recursos de Aprendizaje y los Indicadores de Evaluación o
Logros.
Análisis de los resultados
Algunos de los Objetivos o Actividades Específicas que se pueden
encontrar en la secuencia metodológica son:
• Reconocer una raíz cuadrada negativa como numero imaginario donde
la √−1 será denotado por “i”.
• Descomponer raíces cuadradas utilizando la propiedad de la
multiplicación.
• Determinar si la solución de la ecuación cuadrática dada, pertenece al
conjunto de los números reales o al conjunto de los números complejos.
• Reconocer el uso de los números complejos y su forma binómica
36
• Determinar el opuesto de un número complejo y su conjugado
• Analizar la operatoria con los números complejos en su forma binómica
• Ejercitar adición y sustracción con los números complejos en su forma
binómica.
• Analizar operatoria con los números complejos en su forma binómica.
• Ejercitar multiplicación y división de números complejos en su forma
binómica.
• Ejercitar las cuatro operaciones con números complejos, incluyendo el
tratamiento con el conjugado de números complejos.
• Identificar y Analiza el número complejo como un par ordenado.
• Representar el número complejo en el plano cartesiano.
• Identificar y Representar el módulo de un número complejo
• Ejercitar la obtención del módulo de un número complejo y su
representación en el plano cartesiano.
• Utilizar software para graficar los números complejos en el plano
cartesiano.
• Graficar números complejos y su módulo en el software presentado.
• Representar un número complejo en su forma polar.
• Reconocer la Formula de Moivre.
• Calcular la potencia de un número complejo.
Estos objetivos propuestos para cada clase en particular muestran las
distintas metodologías utilizadas para enriquecer cada una de las clases que
serán realizadas por los docentes en donde se presentan herramientas, como el
GeoGebra, para trabajar con los números complejos, también se hace presente
la Fórmula de Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre (1667 - 1754)
matemático y estadístico, que entrega otra denominación para los números
complejos pudiendo ser utilizado para la obtención de potencias y raíces de los
números complejos escritos en la forma polar (Molinas & Martínez, 2010).
Secuencia Metodológica
Planificación de clase 1
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Reconocer a los números complejos como una extensión del campo numérico de los
números reales
Resolver problemas con un campo numérico más amplio.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Raíces enésimas.
• Propiedades de las raíces enésimas.
• Reconocer la raíz cuadrada de un número negativo, como un número complejo, donde √−1
será denotado por “i”. • Descomponer raíces cuadradas
utilizando la propiedad de la multiplicación.
• Determinar si la solución de la ecuación cuadrática pertenece, en todo los casos, al conjunto de los números reales o si en algunos casos pertenece a un
38
“nuevo” conjunto numérico, denominado conjunto de los
números complejos.
Contenido (s)
Números Imaginarios
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Presentación de la Unidad
“Números Complejos”. • Explicar que en el transcurso
de las clases se analizarán las estructuras algebraicas y
geométricas del conjunto de los números complejos.
• Comentar la historia de los números complejos y sus
principales aplicaciones en la actualidad.
Pizarra
Plumones
Apuntes sobre número imaginario puro “i”
• Determinan a qué tipo de conjunto pertenece la solución de una ecuación cuadrática.
Desarrollo:
• Definir el número complejo y su conjugado.
• Dar ejemplos de números complejos (raíz cuadrada de
magnitudes negativas). • Entregar notación para las
raíces cuadradas de magnitudes negativas.
• Ejercitar la descomposición de
• Relacionan la unidad imaginaria “i” con la solución de la ecuación �� + 1 = 0.
39
raíces cuadradas de magnitudes negativas.
• Dada una ecuación cuadrática, determinar si sus soluciones
son reales o complejas. • Recordar que en la solución de
una ecuación cuadrática, se obtienen dos soluciones o raíces las que pueden ser
ambas reales (incluyendo el caso de raíces dobles) o
ambas complejas (conjugadas entre sí).
• Potencias de la unidad imaginaria: �� = −1
�� = −√−1
�� = 1
�� = √−1
Cierre:
Retroalimentación de la clase: destacar que se está trabajando con un nuevo conjunto numérico, resultante de la
extensión del conjunto de los números reales el cual permite dar solución a todas las ecuaciones cuadráticas.
40
Planificación de clase 2
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Conocer propiedades de los números complejos como una extensión del campo
numérico de los números reales
Trabajar con números complejos, haciendo uso de la extensión de operaciones
formalizadas en el conjunto de los números reales.
Trabajo en equipo, en forma responsable y proactiva en la solución de problemas en contextos diversos.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Raíces enésimas.
• Propiedades de las raíces enésimas. • Concepto de número complejo,
opuesto y conjugado.
• Identificar la forma binómica de los números complejos y utilizarla en el cálculo de operaciones aritméticas.
• Determinar el opuesto de un número complejo y el
conjugado.
Contenido (s)
Números complejos en su forma binómica
41
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Recordar los conceptos fundamentales estudiados en la
clase anterior.
Pizarra
Plumones
Apuntes del número imaginario “i”
• Determinan a qué tipo de conjunto pertenece la solución de una ecuación cuadrática, mediante, la propuesta de solución de un ejemplo.
Desarrollo:
• Comentar la historia de los números complejos
• Mencionar algunos ejemplos de la utilidad de los números complejos.
• Desarrollar habilidades en la operatoria con números complejos
en su forma binómica. • Consolidar los conceptos de
opuesto y de conjugado, de un número complejo.
• Relacionan la unidad imaginaria “i” con la solución de la ecuación �� + 1 = 0.
Cierre:
Retroalimentación de la clase: Identificar algunas utilidades de los números
42
complejos.
Controlar, mediante preguntas dirigidas, la apropiación de los conceptos de opuesto y
conjugado de un número complejo.
43
Planificación de clase 3
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Resolver problemas aplicando las operaciones con números complejos.
Resolver problemas básicos en el conjunto de los números complejos.
Realizar cálculos en forma mental, escrita y con calculadora.
Trabajar en forma individual, y en equipo de manera responsable y
proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o ac tividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.
• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Comprender la operatoria con los números complejos en su
forma binómica • Ejercitar la adición y la
sustracción de números complejos en su forma binómica
44
Contenido (s) Operatoria con números complejos
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Recordar la forma binómica de un número complejo
• Revisar ejercicios para la obtención del opuesto y el conjugado de números
complejos.
Pizarra
Plumones
Apuntes del número imaginario “i”
Colección de problemas
• Muestran habilidad en la suman y la sustracción de
números complejos.
Desarrollo:
• Trabajar en las operaciones de sustracción y adición de los números
complejos en su forma binómica. • Resolver ejercicios de una “Colección de
Problemas” propuesta por el (la) profesor (a).
Cierre:
Retroalimentación de la clase:
A partir de los ejercicios resueltos, se hace un resumen de las características de las operaciones
estudiadas y se destacan los errores fundamentales observados en la clase.
45
Planificación de clase 4
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Continuar resolviendo problemas, aplicando las operaciones con números complejos.
Resolver problemas en el conjunto de los números complejos aumentando el grado de
dificultad que presentan.
Trabajar en forma individual, responsable.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.
• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones de adición y sustracción con números complejos.
• Ejercitar la adición y la sustracción con números complejos en su forma
binómica.
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Contenido (s) Operatoria con números complejos
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Continuar desarrollando habilidades en la realización de la adición y la diferencia de números complejos.
Pizarra
Plumones
Apuntes del número imaginario “i”
Colección de problemas
• Consolidar las operaciones de suma y resta con números
complejos
Desarrollo:
• Describir por medio de ejemplos la suma y resta de números complejos
en su forma binómica. • Concluir el trabajo con la “Colección
de Problemas” sobre suma y diferencia de números complejos,
combinando el uso de los conceptos de “opuesto” y “conjugados”.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Seleccionar uno de los ejercicios resueltos en clases, en el que los
estudiantes mostraron algún tipo de dificultad, tanto desde el punto de vista conceptual como práctico.
47
Planificación de clase 5
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Resolver problemas aplicando las operaciones de multiplicación y división con números
complejos.
Resolver problemas mediante la utilización de las operaciones de multiplicación y/o división, con números complejos en su forma binómica.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.
• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones de adición y sustracción con números complejos.
• Realizar operaciones de multiplicación y división con
números complejos en su forma binómica.
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Contenido (s)
Operatoria con números complejos
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Realizar un breve esbozo de las operaciones de multiplicación y división en el conjunto de los
números reales, así como de las propiedades asociadas al
“tecnicismo algebraico” estudiados en cursos precedentes.
Pizarra
Plumones
Apuntes
Colección de problemas
• Ponderan y multiplican números complejos, según
corresponda.
Desarrollo:
• Introducir las operaciones de multiplicación y división de números complejos, destacando las técnicas
fundamentales: producto de binomios y multiplicación por “la
conjugada”. Identificar la nominación de “producto por la conjugada”, en base al concepto de conjugado de
un número complejo. • Proponer ejemplos para ser
resueltos por los alumnos. • Revisar en la pizarra los ejemplos
propuestos. • Entregar una “Colección de
Problemas” como base para la ejercitación de la división y la
• Dividen números complejos.
49
multiplicación de números complejos asegurando que contengan
conjugados y opuestos de números complejos.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Revisar ejercicios que hayan presentados dificultades para resolverlos, destacando los
algoritmos que deben seguirse para la multiplicación y para la división de
números complejos.
50
Planificación de clase 6
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Consolidar los aspectos teóricos y desarrollar habilidades en los estudiantes, respecto al uso de las operaciones de multiplicación y división
de números complejos.
Resolver problemas en el conjunto de los números complejos que involucren las
operaciones de multiplicación y división entre ellas.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objeti vo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.
• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Ejercitar operaciones básicas con números complejos,
incluyendo el tratamiento con el conjugado de un número
complejo y con el opuesto de un número complejo.
51
Contenido (s)
Operatoria con números complejos
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Recordar el trabajo realizado hasta el momento con los números
complejos
Pizarra
Plumones
Colección de problemas
• Suman y restan números complejos.
Desarrollo:
• Concluir la revisión de la solución de los ejercicios de la “Colección de Problemas” entregada en la clase
anterior y proponer una nueva “Colección de Problemas”.
• Multiplican números complejos.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Hacer participar a los alumnos pasando a la pizarra para resolver
algunos ejercicios caracterizando los aspectos esenciales de los
conceptos y las operaciones con números complejos que han
estudiado.
• Dividen números complejos.
52
Planificación de clase 7
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Evaluar si se han logrado los aprendizajes esperados con los conceptos básicos y la
operatoria elemental con números complejos.
Resolver problemas considerando como universo numérico, el conjunto de los números
complejos
Trabajar en forma individual, responsable.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.
• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Evaluar aprendizajes adquiridos sobre el conjunto de los
números complejos.
53
Contenido (s)
Evaluación
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Distribución de la prueba para su
realización de forma individual y desarrollo las instrucciones de carácter general y/o particular.
Materiales escolares personales de los estudiantes.
• Describen los conceptos que correspondan, respecto al conjunto de los números
complejos.
Desarrollo:
• Trabajo individual de cada estudiante
• Realizan las operaciones indicadas, dentro del conjunto
de los números complejos.
Cierre:
Las características de la actividad determinan que no se realizaran acciones de “cierre” de la clase.
54
Planificación de clase 8
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Reconocimiento de la representación gráfica de los números complejos.
Identificar la relación que existe entre el conjunto de los números complejos y el
conjunto de los números reales como pares ordenados que representan puntos en el
plano.
Trabajo en equipo en la solución de problemas en contextos diversos.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números
reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de
exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Identificar un número complejo como un par ordenado de
números reales. • Representar un número complejo en el plano cartesiano.
55
Contenido (s)
Representación de números complejos a través de pares ordenados de números
reales.
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Recordar el plano cartesiano utilizado del conjunto de los
números reales, en los estudios precedentes, e identificar el nuevo plano cartesiano a utilizar para la
ubicación de los números complejos.
Pizarra
Plumones
Apuntes
• Representan gráficamente números complejos.
Desarrollo:
• Introducir la correspondencia
biunívoca entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de
los números reales. • Mostrar, a través de ejemplos, la
representación grafica de números complejos, destacando los
conceptos de Modulo y Argumento (desde el punto de vista
geométrico). • Ejercitar, con la participación de los
estudiantes, la representación grafica de los números complejos.
• Retroalimentación de la clase:
56
Cierre:
Destacar los aspectos
fundamentales de la representación grafica de números complejos.
57
Planificación de clase 9
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Reconocer la representación grafica de un número complejo como un vector en el plano cartesiano de los números reales, destacando
las propiedades que le resultan comunes, especialmente el módulo de un vector como módulo de un número complejo asociado.
Resolver problemas en el conjunto de los números complejos.
Trabajo en equipo en forma responsable y proactiva.
Conocimiento (s) p revio (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano.
• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Representar números complejos en el plano
cartesiano. • Identificar geométricamente la
posición y el cálculo del módulo de un número complejo.
Contenido (s)
Números complejos en el plano cartesiano
58
Módulo de un número complejo
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de eval uación o
logros
Inicio:
• Establecer un dialogo con los estudiantes, de modo que a través
de preguntas se retomen los conceptos fundamentales
estudiados en la clase anterior.
Pizarra
Plumones
Apuntes del plano cartesiano
• Calculan el módulo de números complejos.
Desarrollo:
• Ejercitar la ubicación de números complejos en el plano cartesiano.
• Definir el módulo de un número complejo.
• Ubicar de forma gráfica el vector asociado cuyo módulo representa el
módulo del número complejo asociado.
• Proponer ejemplos para ser resueltos en la clase y para el
estudio individual.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Se realizara una ronda de preguntas previamente elaboradas para la
ocasión.
59
Planificación de clase 10
Asignatura: Matemáticas Nivel : Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Reconocer la existencia de los números complejos y de objetos relacionados,
particularmente el módulo de los números complejos.
Resolver problemas en el conjunto de los números complejos.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.
• Ejercitar el cálculo del módulo de un número complejo y su representación en el plano
cartesiano.
Contenido (s)
Módulo de un número complejo
60
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Establecer un dialogo con los estudiantes, de modo que a través
de preguntas se retomen los conceptos fundamentales
estudiados.
Pizarra
Plumones
Colección de problemas
• Ubican número complejo en el plano cartesiano.
Desarrollo:
• Calcular ejemplos del módulo de números complejos
• Proponer “Colección de Problemas” para la obtención del módulo de
números complejos.
• Resuelve el modulo de un número complejo.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Hacer participar a los alumnos pasando a la pizarra para resolver
algunos ejercicios propuestos caracterizando los aspectos esenciales de los conceptos
estudiados.
61
Planificación de clase 11
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Reconocer los números complejos como conceptos de la geometría en el plano y su representación grafica aplicando técnicas informáticas (GeoGebra) para su estudio.
Desarrollar habilidades en la solución de problemas donde intervienen los números
complejos en su vinculación con su representación geométrica, mediante el uso
de técnicas informáticas.
Trabajar en forma individual y en equipo de manera responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.
• Utilizar software para graficar los números complejos en el
plano cartesiano.
Contenido (s)
Números complejos graficados en Geogebra
62
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Explicar que en el desarrollo de lo que resta la unidad de estudio se utilizará el software GeoGebra,
frente al que los estudiantes actuarán como “usuarios”, contando con la tutoría del profesor del curso.
• Informar que se evaluará un trabajo en el laboratorio de computación
(comunicar la fecha de entrega del trabajo).
• Entrega de instructivo para el trabajo en el laboratorio de computación.
Pizarra
Plumones
Laboratorio de computación
Software
Instructivo de trabajo (Anexo A1)
• Como usuarios del software GeoGebra:
Representan números complejos en el plano
cartesiano
Desarrollo:
• Proponer una actividad para
introducir el uso del software GeoGebra que se va a utilizar.
• Apoyar a los alumnos de forma individual en su trabajo en el
laboratorio.
Escriben números complejos
en su forma vectorial
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Conocer las dificultades presentadas por los alumnos y
resolverlas en forma grupal.
63
Planificación de clase 12
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de A prendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Reconocer los números complejos como conceptos de la geometría en el plano y su representación grafica aplicando técnicas informáticas (GeoGebra) para su estudio.
Desarrollar habilidades en la solución de problemas donde intervienen los números
complejos en su vinculación con su representación geométrica, mediante el uso
de técnicas informáticas.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.
• Utilizar software para graficar los números complejos
• Graficar módulo de números
complejos en el software presentado.
Contenido (s)
Números complejos graficados en Geogebra
64
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Explicar que en el desarrollo de lo que resta la unidad de estudio se utilizará el software GeoGebra,
frente al que los estudiantes actuarán como “usuarios”, contando con la tutoría del profesor del curso.
• Informar que se evaluará un trabajo en el laboratorio de computación
(comunicar la fecha de entrega del trabajo).
• Entrega de instructivo para el trabajo en el laboratorio de computación.
Pizarra
Plumones
Apuntes con instrucciones
• Como usuarios del software GeoGebra:
Representan números complejos en el plano
cartesiano
Desarrollo:
• Proponer una actividad para introducir el uso del software
GeoGebra que se va a utilizar. • Apoyar a los alumnos de forma
individual en su trabajo en el laboratorio.
Escriben números complejos
en su forma vectorial
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Conocer las dificultades presentadas por los alumnos y
resolverlas en forma grupal.
65
Planificación de clase 13
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Introducir al concepto de forma polar de un número complejo.
Realizar operaciones con números complejos en su forma polar.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.
• Representar un número complejo en su forma polar.
• Reconocer la Formula de Moivre y aplicarla en la solución
de problemas sencillos.
Contenido (s)
Números complejos en su forma polar
66
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Mediante preguntas a los estudiantes, se trabaja el concepto
de forma polar de un número complejo.
Pizarra
Plumones
Apuntes sobre la forma polar de un numero complejo
• Representar en forma polar un número complejo.
Desarrollo:
• Trabajar colecciones de ejercicios que aborden la forma polar de un
número complejo. • Desarrollar ejemplos en la pizarra,
donde los alumnos puedan comprender el concepto de potencia
de un número complejo.
• Calcular la potencia de un número complejo.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Enfatizar en los aspectos fundamentales y las dificultades observadas en el aprendizaje del concepto de “forma polar de un
número complejo”.
67
Planificación de clase 14
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didáctica: Números Horas: 45 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Introducir al concepto de forma polar de un número complejo
Realizar operaciones con números complejos en su forma polar.
Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.
Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.
• Forma polar de un número complejo.
• Representar un número complejo en su forma polar.
• Reconocer la Formula de Moivre y aplicarla en la solución
de problemas sencillos.
• Calcular la potencia de un número complejo.
Contenido (s)
Potencia de un número complejo
68
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Mediante preguntas a los estudiantes, se trabaja el concepto
de forma polar de un número complejo.
Pizarra
Plumones
Guía de ejercitación
• Representar de forma polar un número complejo.
Desarrollo:
• Trabajar colecciones de ejercicios que aborden la forma polar de un
número complejo. • Desarrollar ejemplos en la pizarra,
donde los alumnos puedan comprender el concepto de potencia
de un número complejo.
• Calcular la potencia de un
número complejo.
Cierre:
• Retroalimentación de la clase:
Enfatizar en los aspectos fundamentales y las dificultades observadas en el aprendizaje del concepto de “forma polar de un
número complejo”.
69
Planificación de clase 15
Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre
Unidad Didác tica: Números Horas: 90 minutos
Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)
Evaluar si se han logrado los aprendizajes esperados con la representación de un
número complejo como par ordenado, la obtención de su módulo y el desarrollo de problemas sencillos con la utilización de la
forma polar de un número complejo.
Resolver problemas considerando como universo numérico el conjunto de los números
complejos.
Trabajar en forma individual y responsable.
Conocimiento (s) previo (s) Objet ivo o actividad (es) especifica(s)
• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,
opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.
• Operaciones básicas con números complejos.
• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.
• Forma polar de un número complejo.
• Evaluar los aprendizajes adquiridos sobre el conjunto de
los números complejos.
Contenido (s)
Evaluación
70
Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o
logros
Inicio:
• Distribución de la prueba para su realización en forma individual,
dando a conocer las instrucciones de carácter general.
Materiales escolares personales de los estudiantes.
• Representan en la forma polar un número complejo.
Desarrollo:
• Trabajo individual de cada estudiante.
• Calculan la potencia de un
número complejo.
Cierre:
Las características de la actividad determinan que no se realizaran acciones de “cierre” de la clase.
• Aplican la fórmula de Moivre a la resolución de problemas
que se hayan indicado.
71
Discusión de los resultados en base al marco teórico
En esta propuesta de una secuencia metodológica se cumple con el
propósito formativo del sector de Matemáticas, enriqueciendo la comprensión
de la realidad, facilitando la selección de estrategias para la resolución de
problemas y contribuyendo al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo de
los estudiantes.
A su vez se proporcionan herramientas para analizar la información
presente en noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al
desarrollo de diversas habilidades o capacidades de los alumnos.
Esta propuesta metodológica se centra en el primer eje desarrollado en
la Educación Media que se relaciona con los conjuntos numéricos. Este eje
constituye el centro del currículo matemático para la Enseñanza Básica y
Media, por lo que es prioridad que los alumnos logren aprendizajes
significativos en esta etapa de la enseñanza.
La secuencia metodológica propuesta permite mejorar la manera en que
se formalizan o presentan los contenidos en el Tercer Nivel de la Educación
Media, logrando un proceso cognitivo adecuado e integrando las diferentes
operatorias, asimiladas en el conjunto de los números reales, en el conjunto de
los números complejos.
En esta secuencia metodológica se entregan herramientas basados en la
educación tradicional siguiendo con los Planes y Programas propuestos por el
Ministerio de Educación y a su vez se integra el uso de las Tecnologías de la
Información y la Comunicación (TIC), impulsándose su uso particularmente en
la representación de este nuevo conjunto numérico.
72
Capítulo V: Conclusiones y Sugerencias
73
Se logro identificar que no existen variadas metodologías dispuestas
para la enseñanza del conjunto de los números complejos en la enseñanza
media.
Se determinaron las áreas que contribuyen a lograr el aprendizaje
riguroso del concepto de número complejo, aunque estas no se presentan en la
actualidad a los alumnos de educación media, ya que son áreas muy
especificas de la Física, en la secuencia metodológica entregada como
producto de esta investigación se otorgan espacios en las clases para que el
docente de a conocer estas áreas e incluso puede presentar algún tipo de
problema en el cual se puedan reflejar operaciones con números complejos.
Ésta investigación se basa en entregar a los docentes más apoyo en la
elaboración de sus clases ya que se han realizados cambios y ajustes
curriculares que han modificado los Contenidos Mínimos Obligatorios en
distintos niveles de la Educación Básica y Media por lo que los docentes han
tenido que buscar nuevas herramientas para la realización de las clases
logrando aprendizajes significativos.
Se sugiere, dada la necesidad detectada y los aportes de esta propuesta,
que el Ministerio de Educación, desarrolle esfuerzos para apoyar a los docentes
de Matemáticas del país en el desarrollo de estrategias didáctico-metodológicas
para cubrir el contenido de los Números Complejos en la Educación Media,
específicamente en Tercero Medio. Esta contribución didáctica que elaboramos
puede ser un punto de partida en esa dirección.
Por último, nos parece relevante proponer que las Universidades, en sus
carreras pedagógicas, vinculen sus esfuerzos investigativos con la realidad
cotidiana del trabajo del profesor para así, desarrollar investigaciones teórico-
aplicadas que vayan en la línea de proponer distintos apoyos metodológicos
para la enseñanza-aprendizaje de contenidos y habilidades que son muy
relevantes en el currículum de las matemáticas.
74
Bibliografía
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75
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Ocampo, L. (2011). Apuntes sobre los conceptos de método y metodología. Recuperado el 2015, de http://www1.educ.usherbrooke.ca/cours/maestria/doc/metodo_metodologia.PDF
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Santiago, A., & Santiago, M. J. (2013). El análisis complejo y su historia. Madrid: Liber Factory.
Valdez. (2008). Los conjuntos numéricos a través de la historia. Buenos Aires.
Anexo A1
Trabajo en el Laboratorio de computación
Instrucciones:
• Los alumnos deben ubicarse de manera individual o de a dos por
computador.
• Cada grupo o alumno debe verificar si el computador posee el software
“GeoGebra” instalado en el servidor, de lo contrario d
el siguiente enlace:
En el GeoGebra
¿Cómo graficar un punto?
76
Trabajo en el Laboratorio de computación
Los alumnos deben ubicarse de manera individual o de a dos por
computador.
Cada grupo o alumno debe verificar si el computador posee el software
“GeoGebra” instalado en el servidor, de lo contrario d
el siguiente enlace: http://geogebra.softonic.com/descargar
¿Cómo graficar un punto?
Los alumnos deben ubicarse de manera individual o de a dos por
Cada grupo o alumno debe verificar si el computador posee el software
“GeoGebra” instalado en el servidor, de lo contrario debe descargarlo en
http://geogebra.softonic.com/descargar
Eje Y
Barra de
Herramientas
Eje X
• De la Barra de Herramientas escoge PUNTO (señalado en un círculo
rojo)
• Luego ubica en el plano cartesiano según las coordenadas respectivas
de cada eje
¿Cómo graficar un vector?
¿Cómo insertar textos?
Presiona para obtener
más opciones
Presiona la opción de crear
un vector
77
De la Barra de Herramientas escoge PUNTO (señalado en un círculo
uego ubica en el plano cartesiano según las coordenadas respectivas
¿Cómo graficar un vector?
¿Cómo insertar textos?
Presiona para obtener
más opciones
Presiona la opción de crear
un vector
De la Barra de Herramientas escoge PUNTO (señalado en un círculo
uego ubica en el plano cartesiano según las coordenadas respectivas
78
79
Actividad:
1. Ubicar el número complejo 2 + 3� como par ordenado en el plano
cartesiano del GeoGebra
2. Llamar a este punto C y modificar su color y estilo.
3. Trazar un vector desde el origen al punto C.
4. Graficar en una nueva ventana del GeoGebra las siguientes sumas y
restas de números complejos, recordando la forma de par ordenado,
sabiendo que:
�� = 2 − 3� �� = 4 + 2� �� = 1 − 3�
a) �� + ��
b) �� − ��
c) �� + ��
d) �� − ��
5. Obtener el módulo de los siguientes números complejos dados, graficar
en el GeoGebra cada número complejo e insertando en forma de texto el
valor de su módulo:
� = 5 + 2� �� = 1 − � �� = 3 + 2� �� = 4 + 3�
80
Glosario
− Método: Modo de decir o hacer con orden una cosa. La idea del método
transciende de la ciencia y se aplica en general a la vida que llamamos
metódica, en cuanto se produce siguiendo una ley fija, un camino
ordenado o una regla adecuada para que resulte una obra de arte.
Podemos, pues, referir la idea general del método a la aplicación
ordenada de los medios adecuados para el cumplimiento de un fin o la
relación del medio al fin.
El método enseña la marcha que debe seguir el pensamiento para
constituir la ciencia; es, por tanto, el método a la ciencia lo que el medio
al fin; es, en una palabra, el instrumento de la ciencia. (Ocampo, 2011).
− Metodología: Ciencia del método. La Metodología, asunto propio de la
Lógica, no estudia sólo la actividad intelectual, sino su relación con el fin
a que ha de dirigirse (formación del conocimiento) y los medios según los
cuales ha de ejercitarse (método).
El término Metodología fue empleado la primera vez por Kant. Según
éste, la Lógica se divide en dos partes: la primera llamada doctrina de los
principios, tiene por objeto el estudio de las condiciones del
conocimiento; y la segunda, la Metodología general de toda ciencia y la
manera de proceder en toda construcción científica (Ocampo, 2011).
− Conjunto de los números complejos: es el conjunto de los elementos de
la forma � + �, donde �, # ℝ e “i” satisface la condición �� = −1. Se
denota por la letra ℂ.
Particularmente, un disco D de centro en � # ℂ y radio ℇ > 0 se denota
%(� ; ℇ) y se define por:
%(� ; ℇ) = )� # ℂ: |� − � | < ℇ-
(Churchill & Brown, 1988).
81
- Estructuras algebraicas: Cuando dotamos a un conjunto de una o más
leyes de composición “cerradas” (el resultado de las operaciones es
también un elemento del conjunto), estamos dando a dicho conjunto
cierta estructura (espacio vectorial, grupo, anillo, cuerpo, entre otros).
Una estructura, por consiguiente, queda definida por los axiomas que
rigen las relaciones y las operaciones entre sus elementos. En lo que
sigue estudiaremos, brevemente, las estructuras fundamentales del
álgebra: grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales (González,
2010).
- Cantidad subradical: Nos referimos a todas aquellas expresión que se
encuentra o se ubica dentro del símbolo de raíz (√) (Buscaaqui809,
2006).
− Compatible: Dos o más conjuntos numéricos son compatibles si se
demuestra que las características estructurales que poseen son similares
(Guevara, 2014).