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3Segmentos
Dividir um segmento dado em um número qualquer de partes iguais é uma das construções básicase frequentemente vamos precisar usá-la. Neste sentido, iniciamos abordando o caso mais geral,
ou seja, o de dividir um segmento em partes proporcionais à segmentos dados.Destacamos que deste capítulo em diante será permitido o uso de esquadros para o traçado de
perpendiculares e paralelas. Também reforçamos que a graduação da régua continuará sendo utilizadaapenas para colocar dados no papel e para medir possíveis respostas.
3.1Divisão Gráfica de Segmentos
3.1.1 Divisão de Segmentos em Partes Proporcionais
Vamos dividir um segmento AB em partes proporcionais a dois segmentos de medidas 2 e 3.
1. Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (por exemplo,por A;
2. Adota-se uma unidade u, arbitrária e conveniente, e marca-se, sobre r, os os pontos P1 e P2 taisque AP1 = 2u e P1P2 = 3u;
3. Traça-se a reta que contém P2B e, por P1, a paralela a ela, a qual intersecta AB em Q1.
4. O ponto Q1 divide AB nas partes desejadas.
De forma geral, temos os seguintes processos:
1. Considere um segmento AB e vamos dividi-los em segmentos proporcionais aos números a1, a2,. . ., an.
(a) Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (porexemplo, por A;
(b) Adota-se uma unidade u, arbitrária e conveniente, e marca-se, sobre r, os os pontos P1, P2,. . ., Pn tais que AP1 = a1u, P1P2 = a2u, Pn−1Pn = anu;
(c) Traça-se a reta que contém PnB e, por Pn−1, . . ., P2 e P1, paralelas a ela, as quaisintersectam AB em Qn−1, . . ., Q2 e Q1.
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Capítulo 3. Segmentos
Figura 3.1: Divisão do Segmento AB em Partes Proporcionais a 2 e 3
A B
u
u
u
u
u
P1
P2
Q1
Fonte: Autor
(d) O ponto Q1, Q2, . . ., Qn−1 dividem AB nas partes desejadas.
2. Considere um segmento AB e vamos dividi-los em segmentos proporcionais a segmentos decomprimentos a1, a2, . . ., an.
(a) Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (porexemplo, por A;
(b) Marca-se, sobre r, os os pontos P1, P2, . . ., Pn tais que AP1 = a1, P1P2 = a2, Pn−1Pn = an;(c) Traça-se a reta que contém PnB e, por Pn−1, . . ., P2 e P1, paralelas a ela, as quais
intersectam AB em Qn−1, . . ., Q2 e Q1.(d) O ponto Q1, Q2, . . ., Qn−1 dividem AB nas partes desejadas.
Esses processos estão fundamentados no seguinte resultado:
Teorema 3.1.1: Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Se uma reta, paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então ela osdivide na mesma razão.
3.1.2 Divisão de Segmentos em Partes Iguais
1. 1o Método:
(a) Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (porexemplo, por A;
(b) Adota-se uma unidade u, arbitrária e conveniente, e marca-se, sobre r, os os pontos P1, P2,. . ., Pn;
(c) Traça-se a reta que contém PnB e, por Pn−1, . . ., P2 e P1, paralelas a ela, a qual intersectaAB em Qn−1, . . ., Q2 e Q1.
(d) O ponto Q1, Q2, . . ., Qn−1 dividem AB nas partes desejadas.
2. 2o Método:
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3.1. Divisão Gráfica de Segmentos
(a) Traçamos por A e B retas paralelas: AC ‖ BD;(b) Adota-se um unidade u, abitrária e conveniente, e marca-se em AC n pontos P1, P2, . . .,
Pn tais que AP1 = P1P2 = Pn−1Pn;(c) Com a mesma unidade, marca-se em BD n pontos Q1, Q2, . . ., Qn tais que BQ1 = Q1Q2 =
Qn−1Qn;(d) Unindo os pontos A − Q1, P1 − Qn−1, . . ., Pn−1 − Q1 e Pn − B obtemos a divisão do
segmento AB.
O segundo método é justificado através do resultado:
Teorema 3.1.2
Suponha que três retas paralelas, a, b e c, cortam as retas m e n nos pontos A, B e C e nospontos A′, B′ e C ′, respectivamente. Se o ponto B encontra-se entre A e C, então o ponto B′encontra-se entre A′ e C ′. Se AB = BC, então também têm-se A′B′ = B′C ′.
3.1.3 Quarta Proporcional
Definição 3.1.1. Chama-se quarta proporcional entre os segmentos a, b e c, citados nesta ordem,o segmento x que se obtém na proposição:
a
b= c
x
Encontra-se também na literatura a seguinte notação para a proposição a
b= c
x:
a : b :: c : x
Determinação Gráfica da Quarta Proporcional
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Capítulo 3. Segmentos
3.1.4 Terceira Proporcional
Determinação Gráfica da Terceira Proporcional
3.2Operações com Segmentos
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3.2. Operações com Segmentos
Média Geométrica entre Dois Segmentos
Raiz Quadrada de um Segmento
No procedimento da média geométrica, tomamos AB = a e b = 1.
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Capítulo 3. Segmentos
3.3Divisão Áurea
Também conhecida como Divisão na Média e Extrema Razão.
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3.3. Divisão Áurea
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Capítulo 3. Segmentos
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