segunda parte del portafolio de io

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Segunda y Tercera Parte del Portafolio Encontrar el óptimo de un problema de optimización, es solo una parte del proceso de solución. Muchas veces nos interesa saber cómo varía la solución si varía alguno de los parámetros del problema que frecuentemente se asumen como determinísticos, pero que tienen un caracter intrínsicamente aleatorio. Más específicamente nos interesa saber para qué rango de los parámetros que determinan el problema sigue siendo válida la solución encontrada. Otro aspecto interesante es el tema de dualidad. Dualidad resulta de buscar relaciones que permitan obtener información adicional de un problema de optimización general. Esto, traducido a PL nos conduce a relaciones primal-dual.

Javier Quiroz 17/06/2013

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE CHIRIQUÍ

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL LICENCIATURA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PORTAFOLIO ESTUDIANTIL

PROFESORA RUBIELA DÍAZ

REALIZADO POR: JAVIER QUIROZ

4-760-1998

CUARTO AÑO

VIERNES, 19 DE JULIO DE 2013

CONTENIDO

Corrección del Parcial I

Problemas de práctica del libro de Taha

Práctica en Clases. Problemas de programación Lineal Mixta

Práctica en Clases. Casos especiales de Programación Lineal

Práctica en Clases. Problemas de Redes

Práctica de Problemas para el parcial II

Práctica de Problemas de Flujo Máximo

Material de Apoyo

Portafolio Estudiantil II Jqm| Investigación de Operaciones

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Corrección del Parcial I I. Parte. Desarrollo.

1) ¿Qué es la Investigación de Operaciones y cuándo y cómo nace? Es una rama de las matemáticas que consiste en el uso de modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos con el objetivo de realizar un proceso de toma de decisiones. La IO nace en Inglaterra durante la segunda guerra mundial cuando un equipo de científicos empezó a tomar decisiones con respecto a la mejor utilización del material bélico. Después de la guerra las ideas formuladas en operaciones militares se adaptaron para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil.

2) Importancia de la IO en la formación de Ing. Industrial. La IO permite al ingeniero Industrial tomar las decisiones de manera acertada en cuanto a optimización de recursos dentro de un ambiente real.

3) ¿Qué es un modelo, cómo se clasifican y cuál es su importancia para la IO? Un modelo es la representación de un sistema real, se clasifican en modelos matemáticos, modelos de simulación, modelos formales, modelos probabilísticos. Los modelos son importantes en la IO porque permite representar una situación real utilizando variables solución que a partir de cálculos se puede determinar una solución óptima.

4) En qué consiste el modelo de PE y cuáles son los tipos de modelos de PE y cuándo se utiliza cada uno. El Análisis de PE determina cuanto debe venderse de un producto o servicio de tal modo que exista un punto en el que los ingresos y los gastos sean iguales. Existen tres tipos de análisis de PE: Lineal, No lineal y de Productos múltiples.

5) En qué consiste el modelo de PL, para que tipo de problemas se puede utilizar este modelo. Un modelo de PL consiste en procedimientos o algoritmo matemáticos mediante el cual se resuelve un problema, formulado a través de ecuaciones lineales optimizando la función objetivo. Los modelos de PL se pueden utilizar en problemas tales como: Factible, Optimo finito, Optimo infinito, Región Factible no acotada (optimo finito), Región Factible Vacía.

6) ¿Cuáles son los componentes de un modelo PL y cuáles son los métodos que pueden ser utilizados para solucionarlo y cuando es recomendable el uso de cada método? Los componentes de un modelo de programación lineal son: Las variables de decisión, las restricciones en función de las variables, la función objetivo. Los métodos que se emplean para solucionarlo son: Método Grafico y Método Simplex. El método grafico es cuando las restricciones son inecuaciones todas, en tanto el método simplex se aplica iterando para tener mayor sensibilidad en la solución optima y no depende el tipo de restricción.

II. Parte. Resuelva de acuerdo a los lineamientos discutidos en clases.


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1) Una agencia de viajes tiene u paquete de excursión que vende en . Los costos fijos son , con un volumen de clientes los costos variables totales son de . ¿Cuál es el punto de equilibrio para esta empresa? Muestre gráficamente. SOLUCIÓN:

Unidades 50 100 200 300 400 426.667 500 Costo 812500 825000 850000 875000 900000 906667 925000 I(t) 106250 212500 425000 637500 850000 906667 1062500 Precio 2125 2125 2125 2125 2125 2125 2125 P.e. 426.667 426.667 426.667 426.667 426.667 426.667 426.667

2) Una compañía fabrica y vende un producto, el precio depende de la demanda y es igual a . el costo fijo es de y el variable por unidad producida. ¿Cuál es el punto de equilibrio para esta empresa? ¿Qué cantidad de unidades produce la ganancia máxima? Muestre gráficamente. SOLUCIÓN:


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Unidades 182.360949 45000 90000 140000 190000 240000 300000 479817.639 480000

Ingresos 182294 40950000 73800000 100800000 117800000 124800000 120000000 19367705.5 19200000

Ct 182294 1975000 3775000 5775000 7775000 9775000 12175000 19367705.6 19375000

Utilidad 0 38975000 70025000 95025000 110025000 115025000 107825000 0.0 -175000

La ganancia máxima de 115025000 se da cuando se produce 24 000 unidades. 3) Se va a organizar un taller de automóviles donde va a trabajar mecánicos generales y

electromecánicos. Por necesidades del mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electromecánicos y 30 mecánicos para escoger. El beneficio de la empresa por jornada es de por mecánicos y por electromecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse? Resuelva utilizando el Método Simplex. SOLUCIÓN: Variables Función Objetivo Restricciones


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TABLEAU #1 Cj 200 150 0 0 0 0 -1000

Cb Variables Básicas

X1 X2 S1 S2 S3 S4 A1 Recursos Prueba Sale

-1000 A1 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 A1

0 S1 1 -2 0 1 0 0 0 0 0

0 S2 1 0 0 0 1 0 0 30 NO

0 S3 0 1 0 0 0 1 0 20 20

Zj -1000 1000 1000 0 0 0 -1000 0

Cj - Zj 1200 -850 -1000 0 0 0 0

Entra X1

TABLEAU #2 Cj 200 150 0 0 0 0 -1000



200 X1 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0

0 S1 0 -1 1 1 0 0 -1 0 0 S1

0 S2 0 1 1 0 1 0 -1 30 30

0 S3 0 1 0 0 0 1 0 20 20

Zj 200 -200 -200 0 0 0 200 0

Cj - Zj 0 350 200 0 0 0 -1200

Entra X2

TABLEAU #3 Cj 200 150 0 0 0 0 -1000



200 X1 1 0 -2 -1 0 0 2 0 0

150 X2 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0

0 S2 0 0 2 1 1 0 -2 30 15 S2

0 S3 0 0 1 1 0 1 -1 20 20

Zj 200 150 -550 -350 0 0 550 0

Cj - Zj 0 0 550 350 0 0 -1550

Entra S1


8

TABLEAU #4 Cj 200 150 0 0 0 0 -1000



200 X1 1 0 0 0 1 0 0 30 NO

150 X2 0 1 0 -0.5 0.5 0 0 15 -30

0 S1 0 0 1 0.5 0.5 0 -1 15 30

0 S3 0 0 0 0.5 -0.5 1 0 5 10 S3

Zj 200 150 0 -75 275 0 0 8250

Cj - Zj 0 0 0 75 -275 0 -1000

Entra S2

TABLEAU #5 Cj 200 150 0 0 0 0 -1000



200 X1 1 0 0 0 1 0 0 30

150 X2 0 1 0 0 0 1 0 20

0 S1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 S2 0 0 0 1 -1 2 0 10

Zj 200 150 0 0 200 150 0 9000

Cj - Zj 0 0 0 0 -200 -150 -1000

Entra

4) Una compañía posee dos minas: La Mina A produce cada día una tonelada de hierro de alta

calidad, tres toneladas de calidad media y cinco de calidad baja. La Mina B produce cada día dos toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de en cada mina ¿Cuántos días debe trabajar cada mina? SOLUCIÓN: Variables

MINA A MINA B CAPACIDAD Alta Calidad 1 2 80 Media Calidad 3 2 160 Baja Calidad 5 2 200 Función Objetivo:


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Restricciones:

Evaluando en la Función Objetivo: A. B. C. D. Para minimizar los costos la mina A debe trabajar 40 días y la mina B debe trabajar 20 días.

Región Factible


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PROBLEMAS DE LA SECCION DE EJERCICIOS 2,5 DEL LIBRO DE TAHA

1. Shale Oil, en la isla de Aruba, tiene una capacidad de 600,000 barriles diarios de crudo. Entre

sus productos hay dos clases de gasolina sin plomo: regular y premium. El proceso de refinación abarca tres fases: 1) una torre de destilación que produce gasolina cruda y pesados, entre otros productos; 2) una unidad de desintegración que produce gasolina a partir de una parte de los pesados de la torre de destilación, y 3) una unidad mezcladora que mezcla la gasolina cruda y la desintegrada. La gasolina regular y la premium se pueden mezclar a partir de la gasolina cruda o la desintegrada, a distintos costos de producción. La compañía estima que la utilidad neta por barril de gasolina regular es de , y de , dependiendo de si se produce a partir de la gasolina cruda o de la desintegrada. Los valores correspondientes para la calidad premium son y . En las especificaciones de diseño se requieren 5 barriles de crudo para producir 1 barril de gasolina cruda. La capacidad de la unidad de desintegración es 40,000 barriles de pesados por día. Todo el pesado que resta se usa en forma directa en la unidad de mezcla para producir gasolina final al consumidor. Los límites de demanda de gasolina regular y premium son 80,000 y 50,000 barriles diarios, respectivamente. a) Desarrolle un modelo para determinar el programa óptimo de producción en la refinería. b) Suponga que se puede aumentar la capacidad de la torre de destilación a 650,000 barriles

de crudo por día, con un costo inicial de y un costo diario de mantenimiento de . ¿Recomendaría usted la ampliación? Defina las hipótesis que se puedan necesitar para llegar a esa decisión.

SOLUCIÓN Variables

Gasolina cruda Gasolina desintegrada Capacidad

Gasolina Regular Utilidad

Gasolina Premium Cap. De Crudo Función Objetivo Maximizar Utilidad Restricciones


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Solución en Excel Variables Función

Objetivo X1 X2 X3 X4 1 1 1 1 B/. 7.70 B/. 5.20 B/. 10.40 B/. 12.30 = B/. 35.60 Restricciones

5 5 5 5 20 ≤ 600000 0 1 0 1 2 ≤ 40000 1 1 0 0 2 ≤ 80000 0 0 1 1 2 ≤ 50000

Aplicando Solver Variables Función

Objetivo X1 X2 X3 X4 70000 0 10000 40000 B/. 7.70 B/. 5.20 B/. 10.40 B/. 12.30 = B/. 1,135,000.00 Restricciones

5 5 5 5 600000 ≤ 600000 0 1 0 1 40000 ≤ 40000 1 1 0 0 70000 ≤ 80000 0 0 1 1 50000 ≤ 50000

La refinería para optimizar sus recursos debe producir sólo 70 000 barriles de gasolina regular cruda, 10 000 barriles de gasolina premium cruda y 40 000 barriles de gasolina premium desintegrada.

2. El Ingenio Dulce produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, a partir de

guarapo concentrado. La empresa compra 4000 toneladas semanales de ese guarapo, y se le contrata para entregar al menos 25 toneladas semanales de cada clase de azúcar. El proceso de producción comienza fabricando azúcar morena y melaza, a partir del guarapo. Una tonelada de guarapo concentrado produce 0.3 tonelada de azúcar morena y 0.1 tonelada de melaza. A continuación se produce el azúcar blanco procesando el azúcar morena. Se necesita 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 tonelada de azúcar blanca. Por último, el azúcar glas se produce a partir de azúcar blanca mediante un proceso especial de molienda que tiene una eficiencia de producción de 95% (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 tonelada de azúcar glas). Las utilidades son $150, $200, $230 y$35 por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, respectivamente. a) Formule el problema en forma de programa lineal, y determine el programa semanal de

producción. b) Investigue la factibilidad económica de aumentar la capacidad de procesamiento de la

empresa a más de 4000 toneladas semanales de guarapo. SOLUCIÓN: Variables


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Capacidad Demanda Utilidades Función Objetivo Maximizar Utilidades Restricciones Solución en Excel

Variables Función Objetivo

X1 X2 X3 X4 1 1 1 1

B/. 150.00 B/. 200.00 B/. 230.00 B/. 35.00 = B/. 615.00

Restricciones 1 0 0 0 1 ≥ 25 0 1 0 0 1 ≥ 25 0 0 1 0 1 ≥ 25 0 0 0 1 1 ≤ 400

0.76 0.95 1 0 2.71 ≤ 912 Aplicando Solver


X1 X2 X3 X4 25 25 869.25 400

B/. 150.00 B/. 200.00 B/. 230.00 B/. 35.00 = B/. 222,677.50

Restricciones

1 0 0 0 25 ≥ 25 0 1 0 0 25 ≥ 25 0 0 1 0 869.25 ≥ 25 0 0 0 1 400 ≤ 400

0.76 0.95 1 0 912 ≤ 912


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El Ingenio de dulce debe tener un programa semanal de producción que conste de producir 25 toneladas de azúcar morena 25 toneladas de azúcar blanca 869 toneladas de azúcar galas y 400 toneladas de melaza para poder optimizar sus recursos.

3. Empresas Fox planea seis proyectos de construcción posibles durante los 4 años siguientes. En la tabla siguiente se muestran los ingresos esperados (a valor presente) y los desembolsos en efectivo para esos proyectos. A Fox se le autoriza emprender cualquiera de los proyectos, en forma parcial o total. Una terminación parcial de un proyecto tendrá ingresos y desembolsos proporcionales.

a) Formule el problema como programa lineal y determine la (mezcla) proporción óptima de

proyectos que maximicen los ingresos totales. No tenga en cuenta el valor del dinero a través del tiempo. SOLUCIÓN:


X1 X2 X3 X4 X5 X6

1 1 1 1 1 1 B/. 32.40 B/. 35.80 B/. 17.75 B/. 14.80 B/. 18.20 B/. 12.35 = B/. 131.30

Restricciones 1 0 0 0 0 0 1 ≥ 1 1 1 0 0 0 0 2 ≥ 1 1 1 1 0 0 0 3 ≥ 1 1 1 1 1 0 0 4 ≥ 1 1 1 1 1 1 0 5 ≥ 1 1 1 1 1 1 1 6 ≥ 1

10.5 8.3 10.2 7.2 12.3 9.2 57.7 = 60 14.4 12.6 14.2 10.5 10.1 7.8 69.6 = 70

2.2 9.5 5.6 7.5 8.3 6.9 40 = 35 2.4 3.1 4.2 5 6.3 5.1 26.1 = 20


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Aplicando Solver Variables Función

Objetivo

X1 X2 X3 X4 X5 X6 2 2 0 0 1 0

B/. 32.40 B/. 35.80 B/. 17.75 B/. 14.80 B/. 18.20 B/. 12.35 = B/. 166.04

Restricciones 1 0 0 0 0 0 2.16239299 ≥ 1 1 1 0 0 0 0 4.14375588 ≥ 1 1 1 1 0 0 0 4.14375588 ≥ 1 1 1 1 1 0 0 4.14375588 ≥ 1 1 1 1 1 1 0 5.51963395 ≥ 1 1 1 1 1 1 1 5.51963395 ≥ 1

B/. 10.50 B/. 8.30 B/. 10.20 B/. 7.20 B/. 12.30 B/. 9.20 B/. 56.07 = B/. 60.00 B/. 14.40 B/. 12.60 B/. 14.20 B/. 10.50 B/. 10.10 B/. 7.80 B/. 70.00 = B/. 70.00

B/. 2.20 B/. 9.50 B/. 5.60 B/. 7.50 B/. 8.30 B/. 6.90 B/. 35.00 = B/. 35.00 B/. 2.40 B/. 3.10 B/. 4.20 B/. 5.00 B/. 6.30 B/. 5.10 B/. 20.00 = B/. 20.00

B/. 29.50 B/. 33.50 B/. 34.20 B/. 30.20 B/. 37.00 B/. 29.00 Los resultados me indican que en los proyectos 3, 4, 6 no debo invertir en ningún año, porque

los ingresos que obtendría serian menores que las inversiones que realizaría. No obstante en los proyectos 1, 2, debería invertir el doble en cada año porque estos maximizarían mis ingresos. Y en el proyecto 5 debo invertir pero solo en los dos primeros años porque me proporcionaría un ingreso proporcional de allí en adelante obtendría pérdida. b) En cuanto al modelo original, ¿vale la pena pedir dinero prestado en el año 4?

NO. No vale la pena pedir dinero prestado en el año 4, esto disminuiría significativamente mis ingresos.


X1 X2 X3 X4 X5 X6

2 1 0 0 2 0 B/. 32.40 B/. 35.80 B/. 17.75 B/. 14.80 B/. 18.20 B/. 12.35 = B/. 158.38

Restricciones 1 0 0 0 0 0 2.21663206 ≥ 1 1 1 0 0 0 0 3.58646986 ≥ 1 1 1 1 0 0 0 3.58646986 ≥ 1 1 1 1 1 0 0 3.58646986 ≥ 1 1 1 1 1 1 0 5.64790967 ≥ 1 1 1 1 1 1 1 5.64790967 ≥ 1

B/. 10.50 B/. 8.30 B/. 10.20 B/. 7.20 B/. 12.30 B/. 9.20 60 = B/. 60.00 B/. 14.40 B/. 12.60 B/. 14.20 B/. 10.50 B/. 10.10 B/. 7.80 70 = B/. 70.00

B/. 2.20 B/. 9.50 B/. 5.60 B/. 7.50 B/. 8.30 B/. 6.90 35 = B/. 35.00 B/. 2.40 B/. 3.10 B/. 4.20 B/. 5.00 B/. 6.30 B/. 5.10 22.5534849 ≥ B/. 20.00


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c) Suponga, en el modelo original, que los fondos anuales disponibles para cualquier año se

pueden exceder, si es necesario, pidiendo prestado a otras actividades financieras dentro de la empresa. Sin tener en cuenta el valor actual del dinero, reformule el modelo de programación lineal, y determine la solución óptima. ¿Requeriría la nueva solución préstamo en alguno de los años? En caso afirmativo, ¿cuál es la tasa de retorno del dinero prestado?


X1 X2 X3 X4 X5 X6

16 0 0 0 0 0 B/. 32.40 B/. 35.80 B/. 17.75 B/. 14.80 B/. 18.20 B/. 12.35 = B/. 515.45

Restricciones 1 0 0 0 0 0 16 ≥ 1 1 1 0 0 0 0 16 ≥ 1 1 1 1 0 0 0 16 ≥ 1 1 1 1 1 0 0 16 ≥ 1 1 1 1 1 1 0 16 ≥ 1 1 1 1 1 1 1 16 ≥ 1

B/. 10.50 B/. 8.30 B/. 10.20 B/. 7.20 B/. 12.30 B/. 9.20 B/. 167.05 ≥ B/. 60.00 B/. 14.40 B/. 12.60 B/. 14.20 B/. 10.50 B/. 10.10 B/. 7.80 B/. 229.09 ≥ B/. 70.00

B/. 2.20 B/. 9.50 B/. 5.60 B/. 7.50 B/. 8.30 B/. 6.90 B/. 35.00 ≥ B/. 35.00 B/. 2.40 B/. 3.10 B/. 4.20 B/. 5.00 B/. 6.30 B/. 5.10 B/. 38.18 ≥ B/. 20.00

B/. 29.50 B/. 33.50 B/. 34.20 B/. 30.20 B/. 37.00 B/. 29.00 Sí requiere pedir préstamo, según los resultados obtenidos del modelo, la empresa debe pedir

préstamos en los años 1, 2, 4 para obtener in ingreso total máximo de 515.45 mil dólares pero para lograr esto todo su recurso debe invertirlo en el proyecto 1. 4. Manufacturera Acme recibió un contrato para entregar ventanas de vivienda durante los 6

meses siguientes. Las demandas sucesivas para los seis periodos son 100, 250, 190, 140, 220 y 110, respectivamente. El costo de producción por ventana varía de un mes a otro, dependiendo de los costos de mano de obra, materiales y servicios. Acme estima que el costo de producción por ventana, durante los 6 meses siguientes, será $50, $45, $55, $48, $52 y $50, respectivamente. Para aprovechar las fluctuaciones en el costo de manufactura, Acme podría optar por producir más de lo necesario en determinado mes, y guardar las unidades excedentes para entregar en meses posteriores. Sin embargo, eso le ocasionará un costo de almacenamiento de $8 por ventana y por mes, evaluado con el inventario levantado en el fin de mes. a) Desarrolle una programación lineal para determinar un programa óptimo de producción

para Acme. b) Resuelva el problema suponiendo que Acme tiene un inventario inicial de 25 ventanas al

principio del primer mes.


16

c) De acuerdo con la solución con TORA, los precios duales en los periodos 1, 2, 4 y 5 son exactamente iguales a los costos unitarios de manufactura durante los mismos periodos, mientras que el del periodo 3 es distinto. Explique por qué.

d) Si el costo de almacenamiento por ventana y por mes aumenta a $9, ¿cambiará la solución óptima del punto a)? SOLUCIÓN: Variables

X1 X2 X3 X4 X5 X6

Demanda 100 250 190 140 220 110 Costos de Prd. 50 45 55 48 52 50 Costo de Alm. 8 8 8 8 8 8

Función Objetivo

SOLUCIÓN:


X1 X2 X3 X4 X5 X6

1 1 1 1 1 1 B/. 90.00 B/. 77.00 B/. 79.00 B/. 64.00 B/. 60.00 B/. 50.00 = -B/. 20,136.00

Restricciones 1 0 0 0 0 0 1 ≥ 100 1 1 0 0 0 0 2 ≥ 350 1 1 1 0 0 0 3 ≥ 540 1 1 1 1 0 0 4 ≥ 680 1 1 1 1 1 0 5 ≥ 900

1 1 1 1 1 1 6 = 1010 Solución en Excel


X1 X2 X3 X4 X5 X6

100 440 0 140 220 110 B/. 90.00 B/. 77.00 B/. 79.00 B/. 64.00 B/. 60.00 B/. 50.00 = B/. 49,984.00


17

Restricciones 1 0 0 0 0 0 100 ≥ 100 1 1 0 0 0 0 540 ≥ 350 1 1 1 0 0 0 540 ≥ 540 1 1 1 1 0 0 680 ≥ 680 1 1 1 1 1 0 900 ≥ 900 1 1 1 1 1 1 1010 = 1010

a) Acmé para minimizar sus costos debe optar por producir las ventanas del mes 3 en el mes 2 al hacer esto se ahorraría 376 dólares.

b) Suponiendo que Acmé tiene de inventario 25 ventanas ya fabricadas, lo que restaría por producir sería 985 unidades lo que reflejaría un costo de producción inferior de 47734 dólares.


X1 X2 X3 X4 X5 X6

75 440 0 140 220 110 B/. 90.00 B/. 77.00 B/. 79.00 B/. 64.00 B/. 60.00 B/. 50.00 = B/. 47,734.00

Restricciones 1 0 0 0 0 0 75 ≥ 75 1 1 0 0 0 0 515 ≥ 325 1 1 1 0 0 0 515 ≥ 515 1 1 1 1 0 0 655 ≥ 655 1 1 1 1 1 0 875 ≥ 875 1 1 1 1 1 1 985 = 985

Si el costo de almacenamiento aumentara a 9 dólares esto implicaría una reformular mi función objetivo quedando de la siguiente manera: Función Objetivo:


X1 X2 X3 X4 X5 X6

1 1 1 1 1 1 B/. 95.00 B/. 81.00 B/. 82.00 B/. 66.00 B/. 61.00 B/. 50.00 = -B/. 22,695.00

Restricciones 1 0 0 0 0 0 1 ≥ 100 1 1 0 0 0 0 2 ≥ 350 1 1 1 0 0 0 3 ≥ 540 1 1 1 1 0 0 4 ≥ 680 1 1 1 1 1 0 5 ≥ 900 1 1 1 1 1 1 6 = 1010


18


X1 X2 X3 X4 X5 X6

100 440 0 140 220 110 B/. 95.00 B/. 81.00 B/. 82.00 B/. 66.00 B/. 61.00 B/. 50.00 = B/. 50,170.00

Restricciones 1 0 0 0 0 0 100 ≥ 100 1 1 0 0 0 0 540 ≥ 350 1 1 1 0 0 0 540 ≥ 540 1 1 1 1 0 0 680 ≥ 680 1 1 1 1 1 0 900 ≥ 900 1 1 1 1 1 1 1010 = 1010

Al haberse incrementado el costo de almacenamiento, a la empresa Acme le aumentaran los costos significativamente, pero la solución optima seria la misma del inciso a.


19

Práctica de Laboratorio Programación Lineal Mixta 1. Un grupo de estudiantes universitarios debe caminar varias millas y todo lo que lleve debe ser empacado en una mochila. Se han identificado ocho artículos que pudieran llevarse para el viaje La siguiente tabla indica los artículos, el peso y la utilidad Artículo 1 2 3 4 5 6 7 8 Peso 8 1 7 6 5 12 5 14 Utilidad 80 20 50 55 50 75 30 70 Debido a lo largo de la caminata se decidió que el peso Max que debe llevarse es de 35 libras. Formule este problema como un problema de programación lineal y resuelva. SOLUCIÓN: s. a

Los estudiantes universitarios no deben llevar en su mochila los artículos 6 y 8.


20

2. Una empresa está evaluando el negocio de construir casas, sean identificado 8 lujares potenciales para construir viviendas unifamiliares. Está claro que no se puede construir en todos los lugares porque solo se cuenta con un presupuesto de inversión de 300000. La tabla a continuación muestra los lugares así como los costos y utilidades para cada caso. Localizaciones Costos Utilidades 1 60000 5000 2 50000 6000 3 82000 10000 4 101000 12000 5 50000 8000 6 41000 3000 7 80000 9000 8 60000 10000 Formule el problema como programación lineal por Excel o QM. SOLUCION

S. a

La empresa no debe invertir en los proyectos localizados en 1, 2, 6, 7.


21

3. Una empresa abastece de electricidad a tres ciudades utiliza un generador principal que elabora 24 horas al día, los otros tres generadores están disponibles para proveer energías adicional cuando se requiere se incurre en un costo de arranque de 6000 para el generador 1, 5000 del generador 2 y 4000 del generador 3. Se utilizan estos generadores de esta manera uno puede ser puesto en operación 6 am y puede funcionar 8 o 16 horas; o puede comenzar a las 2 pm y funcionar hasta las 10pm. Todos los generadores 1 2 3 son apagados a las 10 pm. Los pronósticos indican la necesidad de contar con 3200 MW adicionales a lo que genera el generador principal hasta las 2 pm. Y se eleva hasta 5700 MW entre las 2 pm -10 pm. El generador 1 tiene capacidad de generar 2400, el 2 hasta 2100 y el 3 hasta 3300. El costo por MW utilizado durante un periodo de 8 horas es de $8 generador 1, $9 para el 2 y $7 para el 3.Formule el problema como PL y resuelva. Variables:

S. a


22

Solo deben arrancar los generadores 1 y 3 para poder minimizar los costos y satisfacer la demanda.


23

CASOS ESPERCIALES DE PROGRAMACION LINEAL 1. Problemas de asignación 2. Problemas de transporte 3. Problemas de transporte y trasbordo 4. Modelo de ruta más corta Los problemas de asignación como su nombre lo dice son utilizados cuando deseamos realizar análisis de asignar personal a puestos, trabajos a maquinas. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima minimizando los costos, es un caso especial de modelo de transporte. De forma manual se puede resolver este tipo de problemas utilizando el método húngaro. Ejemplo: Una empresa desea asignar a tres graduados a áreas de ventas regionales. Los costos se presentan en la siguiente tabla:

Vendedor por Región

A B C

1 800 1100 1200 2 500 1600 1300 3 500 1000 2300

SOLUCIÓN: VARIABLES: FUNCIÓN OBJETIVO Paso para resolver el modelo usando el método húngaro: 1. Elaborar la tabla de costo del problema 2. Encontrar el costo de oportunidad restando el número más pequeño de cada fila de cada

número en ella. 0 300 400 0 1100 800 0 500 1800


24

3. Encontrar el costo de oportunidad restando el número más pequeño de cada fila de cada número de las columnas.

A B C 1 0 0 0 2 0 800 400 3 0 200 1400

4. Probar la tabla de costos de oportunidad para ver si es posible hacer asignaciones optimas

tranzando las líneas mínimas posibles en las columnas o filas de modos que todos los ceros queden cubiertos. Si el número de líneas es igual al número de filas y columnas se ha llegado a una solución óptima, si es menor, no hay solución optima.

5. Si no hay solución se debe restar el número más pequeño no cubierto por una línea y sumarse a las intersecciones de las líneas.

A B C 1 200 0 0 2 0 600 400 3 0 0 1400

Ejemplo2: Asignación de 4 profesores a 4 materias. El cuadro muestra los puntajes de las evaluaciones de cada profesor en cada curso, encuentre la mejor asignación de profesor a los cursos para maximizar la evaluación de enseñanza total.

Profesores Estadística Administración Finanzas Economía A 90 65 95 40 B 70 60 80 75 C 85 40 80 60 D 55 80 65 55

Pasos para maximizar en problemas de Asignación: 1. Convertir la tabla en una tabla de minimización de costos de oportunidad:


2. Restar el número más pequeño de cada fila de cada número en ella.


Profesores Estadística Administración Finanzas Economía

A 5 30 0 50 B 10 20 0 0 C 0 45 5 20 D 25 0 15 20


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PRÁCTICA EN CLASES: PROBLEMAS DE REDES

1. Una empresa fabrica acondicionadores de aire para habitaciones en plantas localizadas en

Houston, Phoenix Memphis. Los aparatos se envían a distribuidores regionales localizados en Dallas, Atlanta y Denver. Los costos de envió varían y a la compañía le gustaría encontrar la forma de minimizar sus costos para satisfacer la demanda de cada uno de los centros de distribución. Dallas requiere 800 acondicionadores al mes, Atlanta 600 y Denver 200. Houston tiene 850 acondicionadores de aires disponibles al mes, Phoenix 650 y Memphis 300. El costo de envió por unidad de Houston a Dallas es de $8, a Atlanta de $14 y a Denver $9. El costo por unidad de Memphis a Dallas es de $11, a Atlanta de $8 y a Denver de $12. ¿Cuántas unidades deberán ser enviadas de cada planta a cada centro de distribución regional? ¿Cuál es el costo total de esta operación? SOLUCIÓN: Variables: X11= Cantidad de acondicionadores enviados desde Houston hasta Dallas X12= Cantidad de acondicionadores enviados desde Houston hasta Atlanta X13= Cantidad de acondicionadores enviados desde Houston hasta Denver X21= Cantidad de acondicionadores enviados desde Phoenix hasta Dallas X22= Cantidad de acondicionadores enviados desde Phoenix hasta Atlanta X23= Cantidad de acondicionadores enviados desde Phoenix hasta Denver X31= Cantidad de acondicionadores enviados desde Memphis hasta Dallas X32= Cantidad de acondicionadores enviados desde Memphis hasta Atlanta X33= Cantidad de acondicionadores enviados desde Memphis hasta Denver Función Objetivo: Minimizar Z= $8X11 + $10X12 + $11X13 + $12X21 + $14X22 + $8X23 + $10X31+ $9X32 + $12X33 Sujeto a: X11+ X12+ X13 = 850 Restricciones de capacidad por planta X21+ X22+ X23 = 650 Restricciones de capacidad por planta X31+ X32+ X33 = 300 Restricciones de capacidad por planta X11+ X21+ X31 >= 800 Restricciones de demanda por distribuidor X12+ X22+ X32 >= 660 Restricciones de demanda por distribuidor X13+ X23+ X33 >= 200 Restricciones de demanda por distribuidor


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2. El administrador de hospital general St. Charles debe nombrar jefas de enfermeras para cuatro

departamentos recién establecidos: urología, cardiología, ortopedia y obstetricia. Anticipándose a su problema de personal, había contratado a cuatro enfermeras: Hawkins, Condriac, Bardot, Hoolihan. Debido a que creía en el método de análisis cuantitativo para resolver problemas, entrevistó a cada enfermera, considero sus antecedentes, personalidad y talento, y desarrolló una escala de costos que van desde 0 a 100 para utilizarla en la asignación. Un 0 para la enfermera Bardot asignada para la unidad de cardiología implica que sería perfectamente adecuada para la tarea. Un valor próximo a 100, por otra parte, implicaría que no es apta para dirigir esa unidad. La tabla adjunta muestra el conjunto completo de cifras de costos que el administrador del hospital piensa que representan todas las asignaciones posibles. ¿Cuál enfermera deberá ser asignada a cada unidad?

Enfermera Urología Cardiología Ortopedia Obstetricia Hawkins 28 18 15 75 Condriac 32 48 23 38 Bardot 51 36 24 36 Hoolihan 25 38 55 12

SOLUCIÓN: Variables: X11= Posible asignación de la enfermera Hawkins al departamento de Urología X12= Posible asignación de la enfermera Hawkins al departamento de Cardiología X13= Posible asignación de la enfermera Hawkins al departamento de Ortopedia X14= Posible asignación de la enfermera Hawkins al departamento de Obstetricia X21= Posible asignación de la enfermera Condriac al departamento de Urología X22= Posible asignación de la enfermera Condriac al departamento de Cardiología X23= Posible asignación de la enfermera Condriac al departamento de Ortopedia X24= Posible asignación de la enfermera Condriac al departamento de Obstetricia X31= Posible asignación de la enfermera Bardot al departamento de Urología X32= Posible asignación de la enfermera Bardot al departamento de Cardiología X33= Posible asignación de la enfermera Bardot al departamento de Ortopedia X34= Posible asignación de la enfermera Bardot al departamento de Obstetricia X41= Posible asignación de la enfermera Hoolihan al departamento de Urología


27

X42= Posible asignación de la enfermera Hoolihan al departamento de Cardiología X43= Posible asignación de la enfermera Hoolihan al departamento de Ortopedia X44= Posible asignación de la enfermera Hoolihan al departamento de Obstetricia Función Objetivo: Minimizar Z= $28X11 + $18X12 + $15X13 + $75X14 + $32X21 + $48X22 + $23X23+ $38X24 + $51X31 + $36X32 + $24X33+ $36X34 +$25X41 + $38X42+ $55X43 + $12X44

Sujeto a: X11 + X12 + X13 + X14 + X21 + X22 + X23+ X24 + X31 + X32 + X33+ X34 +X41 + X42+ X43 + X44= 4 Total de enfermeras que aplican X11+ X12+ X13 + X14 = 1 La enfermera solo Hawkins puede aplicar a uno de los departamentos X21+ X22+ X23 + X24 = 1 La enfermera solo Condriac puede aplicar a uno de los departamentos X31+ X32+ X33 + X34 = 1 La enfermera solo Bardot puede aplicar a uno de los departamentos X41+ X42+ X43 + X44 = 1 La enfermera Hoolihan solo puede aplicar a uno de los departamentos X11+ X22+ X33 + X44 = 1


28

FUJO MÁXIMO

Pasos: 1. Definir Variables: Cantidad de flujo que puede transitar entre los nodos.

X12 X13 X14 X23 X25 X34 X35 X43 X45

2. Función Objetivo: Maximizar Z= X12 + X13 + X14 + X23 + X25 + X34 + X35 + X43 + X45

3. Restricciones Nodo 1: X12 + X13 + X14 = 60 Nodo 2: - X12 + X23 + X25 = 70 Nodo 3: - X13 – X23 - X43 + X43 + X35 = -30 Nodo 4: -X14 – X34 + X45 + X43 = -25 Nodo 5: -X45 - X25 - X35 = -70

Problema: Resuelva la siguiente red, Usando Qm y luego PL: La red muestra la red de una pequeña ciudad para minimizar la circulación vehicular en el centro. Se desea determinar el número máximo de automóviles que pueden fluir por la ciudad de oeste a este. Las calles están indicadas por sus respectivos nodos. Los números cercanos a los nodos indican el número máximo de automóviles en cientos que pueden fluir desde los varios nodos. El trafico puedes fluir en ambas direcciones por una calle. SOLUCIÓN:

1

2 3

4

5

20

0

1

0 0

10 20

0

0 40

30 0

10 30

20

0

5


29

Lo máximo que puede fluir al nodo 5 es 25 autos.


30

PROBLEMAS DE PRÁCTICA PARA EL PARCIAL

1. En dos máquinas se procesan 4 productos de forma secuencial. La siguiente tabla muestra los

datos pertinentes: Tiempo de manufactura en horas por unidad

Máquinas Costo por hora ($)

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Capacidad

1 10 2 3 4 2 500 2 5 3 2 1 2 380

Precio de venta unitaria 75 70 55 45

Formule como un modelo de PL y determine la solución óptima. SOLUCIÓN: Variables: P1= Producto 1 P2= Producto 2 P3= Producto 3 P4= Producto 4 Función Objetivo Maximizar utilidad Utilidad = Precio de venta – Costo de Manufactura Maximizar Z= 40P1+30P2+20P3+15P4 S.a: 2P1+3P2+4P3+2P4 =< 500 3P1+2P2+1P3+2P4 =< 380

La solución óptima para la empresa es: 28 unidades del producto 1 y 128 del producto 2 para maximizar sus utilidades a $5560.

2. Una fábrica produce tres modelos I, II, III, de cierto producto, usando las materias primas A y B. la tabla siguiente muestra los datos para el problema. Requerida por unidad Materia Prima Modelo I Modelo II Modelo III Disponibilidad

A 2 3 5 4000


31

B 4 2 7 6000 Demanda Mínima 200 200 150 Utilidad por unidad 30 20 50

El tiempo de mano de obra para modelo I es el doble que para el modelo II y el triple para el modelo III. Todo el personal de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo I. Las necesidades del mercado especifican las relaciones 3:2:5 de las producciones de los tres modelos respectivos. Formule el problema como modelo de programación lineal y resuelva. SOLUCIÓN: M1=Modelo 1 M2=Modelo II M3=Modelo III Función Objetivo Maximizar Z= 30M1+20M2+50M3 S.a: M1>= 200 M2>= 200 M3>= 150 M1+1/2M2+1/3M3=<1500 2M1-3M2=0 5M2-M3=0 2M1+3M2+5M3=< 4000 4M1+2M2+7M3=< 6000

La fábrica debe producir 324 unidades del modelo I, 216 unidades del modelo II, 540 unidades del modelo III, para maximizar sus utilidades a $41040.


32

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El Rey del Helado, se dedica a la fabricación de helados de diferentes sabores ya sean a base de

agua o a base de leche. Actualmente cuentan con un problema en la elaboración de los helados a

base de agua por lo que sólo puede producir helados a base de leche: helado de chicle, banano,

fresa, vainilla y chocolate. Los ingredientes que utilizan para fabricar estos helados a base de

leche son: leche grado A, azúcar blanca y crema. Según el tipo de helado entonces, esencia

saborizante a chicle, banana, fresa, vainilla y chocolate.

Estos helados se elaboran en una maquina especial que al estar en funcionamiento cuesta $ 12 por

hora y cada galón de helado demora 25 minutos; la máquina solo está disponible 5 horas por día

3 días por semana. Por otro lado las operarias encargadas de fabricar los helados cobran $ 4

dólares por cada galón de helado producido debido a que las recetas de los helados son de ellas.

La empresa, tratando de reducir sus costos en la adquisición de materia prima hizo varias

cotizaciones y determino los mejores precios en el mercado de cada uno de sus ingredientes, cada

libra de azúcar cuesta $ 0.65, cada galón de leche grado A cuesta $ 4.15 y cada galón de crema

cuesta $ 4.75. Cada una de las esencias de 500 ml cuesta $3.75.

La empresa luego de realizar un presupuesto determino que para la fabricación de los helados el

próximo mes sólo puede comprar 200 galones de leche grado A, 100 libras de azúcar blanca, 12

galones de crema y 5 esencias de cada tipo. Según las operarias la fabricación de cada galón de

los distintos helados consume, según los datos mostrados a continuación:

Helados Leche (gl) Azúcar (Lb) Crema (gl) Esencia(mL)

Chicle 0.7 0.5 0.1 100

Banana 0.7 0.6 0.3 100

Fresa 0.7 0.6 0.3 100

Vainilla 0.7 0.3 0.2 100

Chocolate 0.7 0.4 0.2 100

La empresa puede obtener 25 unidades de helados (helado cono) por cada galón y lo vende a

$1.75 cada unidad sabiendo que cada cono cuesta $0.25, desea producir al menos 10 galones de

cada helado para mantener satisfechos a sus clientes durante el próximo mes. Sabiendo que esto

le generara costos adicionales, la empresa desea maximizar su utilidad para mantenerse.

Suponiendo que todos los helados producidos durante el mes se consumen, ¿Qué cantidad de

cada tipo de helado debe producir?

SOLUCIÓN:

Variables:

X1= Galones de Helados de Chicle

X2= Galones de Helados de Banana

X3= Galones de Helados de Fresa

X4= Galones de Helados de Vainilla

X5= Galones de Helados de Chocolate

Función Objetivo:

Maximizar Utilidad Utilidad= Ingreso Total - Costos totales

Detalles:

Ingresos= Un galón produce 25 unidades de helados cono y los vende a $ 1.75 cada uno

por lo que:


33

*Costo real de la unidad (porción) de helado = $ 1.50

* Unidades Producidas = 25

Ingresos= ($ 1.50)*(25)= $ 37.50 Ingreso por galón de helado vendido

Costos Totales

Costo de Producir un Galón de Helado de Chicle:

0.7 gl de leche a un costo de $4.15 por gl= (0.7 gl)*($4.15/gl) = $ 2.91

0.5 Lb de azúcar a un costo de $ 0.65 por Lb = (0.5 Lb)*( $ 0.65 /Lb) = $ 0.33

0.1 gl de crema a un costo de $ 4.75 por gl = (0.1 gl)*( $ 4.75/gl) = $ 0.48

100 ml de esencia a un costo d $3.75 por 500 ml = (100 ml)*( $3.75 /500 ml) = $ 0.75

Costos de Mano de Obra Directa $ 4.00

Costo de Tiempo de Fabricación en la máquina $ 5.00

0.7 gl de leche $ 2.91

0.5 Lb de Azúcar $ 0.33

0.1 gl de Crema $ 0.48

100 ml de Esencia $ 0.75

Total $ 13.47

Costo de Producir un Galón de Helado de Banana:






Costo de Tiempo de Fabricación $ 5.00





Total $ 14.48

Costo de Producir un Galón de Helado de Fresa:











Total $ 14.48


34

Costo de Producir un Galón de Helado de Vainilla:











Total $ 13.81

Costo de Producir un Galón de Helado de Chocolate:











Total $ 14.87

Utilidad = ($ 37.50 - $ 13.47) X1 + ($ 37.50 - $ 14.48) X2 + ($ 37.50 - $ 14.48) X3 + ($ 37.50 - $

13.81) X4 + ($ 37.50 - $ 14.87) X5

Maximizar Z = $24.03X1 + $23.02X2 + $23.02X3 + $23.69X4 + $22.63X5

Restricciones:

X1 >= 10 Galones

X2 >= 10 Galones

X3 >= 10 Galones

X4 >= 10 Galones

X5 >= 10 Galones

100X1 =< 2 500 ml de esencia saborizante de chicle

100X2 =< 2 500 ml de esencia saborizante de banana

100X3 =< 2 500 ml de esencia saborizante de fresa

100X4 =< 2 500 ml de esencia saborizante de vainilla

100X5 =< 2 500 ml de esencia saborizante de chocolate


35

0.42X1 + 0.42X2 + 0.42X3 + 0.42X4 + 0.42X5 =< 65 Horas disponibles de la maquina por mes 0.7X1 + 0.7X2 + 0.7X5 + 0.7X4 + 0.7X5 =< 200 Disponibilidades de Galones de Leche

0.5X1 + 0.6X2 + 0.6X5 + 0.3X4 + 0.4X5 =< 100 Disponibilidades de libras de azúcar

0.1X1 + 0.3X2 + 0.3X5 + 0.2X4 + 0.2X5 =< 12 Disponibilidades de Galones de Crema


36

INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE QM

Formulación en Qm

Resultados

La empresa para maximizar su utilidad debe producir y vender 20 galones de helados de Chicle,

10 galones de helado de banana, 10 galones de helado de fresa, 10 galones de helado de vainilla,

10 galones de helado de chocolate. Para obtener una utilidad neta de $ 1 404.20.


37

MATERIAL DE APOYO

ANALISIS POSOPTIMO O DE SENSIBILIDAD La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra est entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original. Dualidad resulta de buscar relaciones que permitan obtener información adicional de un problema de optimización general. Esto, traducido a PL nos conduce a relaciones primal-dual. Todo problema de optimización (primal), tiene un problema asociado (dual) con numerosas propiedades que los relacionan y nos permiten hacer un mejor análisis de los problemas. El Precio dual de una restricción es la mejora del valor óptimo si se agrega una unidad adicional al lado derecho de dicha restricción. Construcción del Problema Dual Para encontrar el dual de un problema lineal: 1. Si es problema de minimización el dual sería de maximización y viceversa. 2. En el dual habrá tantas variables como restricciones 2 en el primal. 3. En el dual habrá tantas restricciones como variables en el primal. 4. Los coeficientes de la función objetivo del dual vendrán dados por los coeficientes del lado derecho de las restricciones del primal. 5. Los coeficientes del lado derecho del dual vendrán dados por los coeficientes de la función objetivo del primal. 6. Los coeficientes que acompañarán a las variables en una restricción del dual corresponderán a aquellos coeficientes que acompañan a la variable primal correspondiente a la restricción dual 3.

Sobre el análisis de sensibilidad: Al cambiar los coeficientes de la función objetivo, ésta puede cambiar su pendiente. El cambio de la pendiente puede afectar a la solución óptima y al valor óptimo.

El cambio en el valor del lado derecho de una restricción equivale gráficamente a un desplazamiento paralelo de la restricción. Esto puede afectar tanto a la solución óptima como al valor óptimo. El efecto dependerá de qué restricción se haya cambiado y en qué medida.

Estrechar una restricción de desigualdad significa hacerla más difícil de satisfacer. Para una restricción esto significa aumentar el lado derecho. Para una restricción significa disminuirlo.

Relajar una restricción de desigualdad, o bien crece el conjunto factible o posiblemente queda inalterado.


38

Estrechar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto factible posiblemente quede inalterado.

Una restricción es redundante si al ser retirada no cambia la región factible.

Es muy importante considerar que una restricción puede ser redundante para un conjunto dado, no lo sea cuando se cambian algunos datos.

En cualquier modelo de programación lineal, para un conjunto fijo de datos, las restricciones inactivas pueden ser retiradas sin afectar la solución óptima. La solución óptima depende por completo de las restricciones activas.

Al eliminar las restricciones la región factible queda inalterada o aumenta.

La adición de restricciones hace que la región factible quede inalterada o se reduzca.

La adición de restricciones a un modelo o bien empeora el valor óptimo o lo deja inalterado. La eliminación de restricciones o bien mejora el valor óptimo o lo deja inalterado. Dado que el precio dual de una restricción es la mejora del valor óptimo, esta mejora va a depender si el modelo es de maximizar o minimizar la función objetivo. Si el objetivo es maximizar, entonces la mejora significará un aumento del valor óptimo. Si el objetivo es minimizar, entonces la mejora significará una disminución del valor óptimo. Costo Reducido: El costo reducido de una variable en el modelo de programación lineal es la cantidad en que debe cambiar el coeficiente de esa variable en la función objetivo para que en la solución óptima dicha variable tenga un valor positivo. También se interpreta como el valor que disminuye la función objetivo cuando esta variable cuyo valor óptimo es cero, es forzada a entrar en una unidad.

segunda parte del portafolio de io

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