Sejarah Teori Kurva

22. KurvaMudah untuk menggambar kurva. Para seniman selalu melakukannya; arsitek merancang sebuah gambaran bangunan baru di dalam kurva dari sebuah sabit, atau dari suatu yang lebih modern. Seorang pitcher dalam permainan baseball (kasti) melempar sebuah bola yang berliku. Olahragarawan mengarahkan pada belokannya, dan ketika mereka menembak , maka bola mengikuti belokannya tersebut. Tetapi, jika kita bertanya Apakah kurva itu? jawabannya tidak mudah untuk dijelaskan.

Para ahli matematika telah mempelajari tentang kurva selama berabad-abad dan dari berbagai macam pandangan. Hal ini dimulai dari orang Yunani dan kurva yang mereka pelajari sekarang dikenal dengan kurva klasik.Kurva KlasikKeluarga pertama di dalam ranah kurva klasik adalah apa yang kita sebut dengan irisan kerucut. Anggota dari keluarga ini adalah lingkaran, ellips, parabola, dan hiperbola. Irisan kerucut dibentuk dari sepasang kerucut, dua buah kerucut es krim bergabung dimana salah satunya terbalik. Dengan mengirisnya dengan sebuah bidang datar, perpotongan kurva akan menjadi sebuah lingkaran, sebuah ellips, sebuah parabola, atau sebuah hiperbola, tergantung pada kemiringan dari pengirisan bidang ke sumbu vertikal dari kerucut.Kita dapat menganggap sebuah irisan kerucut sebagai proyeksi dari sebuah lingkaran ke layar. Sinar cahaya dari bohlam (bola lampu) yang berada di dalam sebuah penutup lampu berbentuk silinder yang membentuk sepasang sinar kerucut dimana sinar akan mengeluarkan proyeksi dari atas dan bawah celah bundar silinder tersebut. Gambar di langit-langit akan menjadi sebuah lingkaran, tetapi jika kita menyinggung lampunya, maka lingkaran tersebut akan berubah menjadi ellips. Di sisi lain, gambar di dinding akan membentuk kurva dalam dua bagian, yaitu hiperbola.Kerucut juga dapat dijelaskan dari cara perpindahan titik-titik dalam bidang datar. Ini merupakan metode kedudukan yang disenangi oleh orang Yunani, dan tidak seperti definisi proyektif, ini melibatkan panjang. Jika sebuah titik bergerak sehingga jaraknya dari suatu titik tertentu selalu sama, maka kita mendapatkan sebuah lingkaran. Jika sebuah titik bergerak sehingga jumlah jaraknya dari dua titik tertentu (titik fokus) adalah tetap, maka kita mendapatkan sebuah ellips (dimana dua buah titik focus adalah sama, maka ellips menjadi lingkaran). Ellips adalah kunci untuk pergerakan planet-planet. Pada tahun 1609, ahli astronomi jerman, Johannes Kepler, mengumumkan bahwa jalur planet mengelilingi matahari berbentuk ellips, sehingga menolak pemikiran lama yang mengatakan bahwa berbentuk lingkaran.Terdapat suatu titik bergerak sehingga jaraknya dari suatu titik (Titik fokus F) sama dengan jarak tegak lurus titik tersebut dari sebuah garis yang tertentu (garis direkstris). Dalam hal ini kita mendapatkan sebuah parabola. Parabola memiliki sejumlah sifat-sifat yang berguna. Jika sebuah sumber cahaya diletakkan pada titik fokus F, semua sinar cahaya yang dipancarkan sejajar dengan PM. Di sisi lain, jika sinyal televisi dikirim melalui satelit dan mengenai sebuah penerima hidangan yang berbentuk parabola, mereka dikumpulkan bersama-sama pada titik fokus dan diberi makanan ke dalam televisi.Jika sebuah tongkat diputar pada sebuah titik, maka titik-titik pada tongkat tersebut menghasilkan sebuah lingkaran, tetapi jika sebuah titik diperbolehkan untuk bergerak keluar di sepanjang tongkat dalam tambahan untuknya berputar, ini menghasilkan sebuah spiral. Phytagoras menyukai spiral dan kemudian Leonardo da Vinci menghabiskan 10 tahun dalam hidupnya untuk mempelajari berbagai jenis spiral tersebut, sedangkan Rene Descartes menulis risalah tentang spiral. Spiral logaritmik juga disebut sebagai spiral sama sudut karena spiral tersebut memiliki besar sudut yang sama dengan jari-jari dan garis singgung pada titik dimana jari-jari bertemu spiral.Jacob Bernoulli, kaum matematika terkenal dari Swiss, sangat tertarik dengan spiral logaritmik dan ia menginginkan spiral tersebut diukir di atas makamnya di Basle. Manusia Bangkit Emanuel Swedenborg menganggap spiral sebagai bentuk yang paling sempurna. Sebuah spiral tiga dimensi yang mengelilingi sebuah silinder disebut dengan sebuah heliks. Dua dari ini sebuah heliks ganda membentuk struktur dasar DNA.Ada banyak kurva klasik, misalnya limacon, lemniscate dan berbagai macam oval. Kardioida mengambil namanya dari bentuknya yang seperti jantung. Kurva catenary adalah pokok penelitian pada abad ke-18 dan dikenalkan sebagai kurva yang dibentuk oleh sebuah rantai yang tergantung diantara dua titik. Parabola adalah kurva yang terlihat di jembatan gantung menggantung di antara dua tiang vertikal.Salah satu aspek dari penelitian abad ke-19 pada kurva-kurva adalah pada kurva yang dihasilkan oleh batang mekanik. Jenis pertanyaan ini adalah sebuah perpanjangan masalah yang diselesaikan oleh insinyur Skotlandia bernama James Watt yang merancang batang bersendi untuk mengubah gerak melingkar menjadi gerak lurus. Di era uap ini adalah langkah maju yang signifikan.Alat mekanik ini yang paling sederhana adalah tiga batang penggerak, dimana batang tersebut menyatu dengan posisi tertentu pada tiap ujungnya. Jika pasangan batang PQ berpindah dengan cara apapun, kedudukan dari titik di atasnya ternyata menjadi kurva berderajat enam, kurva sextic.Kurva AljabarBerdasarkan Descartes, yang merombak geometri dengan pengenalan koordinat x, y, dan z serta kurva kartesius dinamakan setelahnya, irisan kerucut sekarang dapat dipelajari sebagai persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 1 memiliki persamaan , ini adalah sebuah persamaan berderajat dua, sama halnya dengan semua irisan kerucut lainnya. Sebuah cabang baru dari geometri muncul, yang dikenal dengan geometri aljabar.Di dalam sebuah penyelidikan besar, Isaac Newton mengelompokkan kurva yang digambarkan dengan persamaan aljabar berderajat tiga, atau kurva kubik. Di samping empat dasar irisan kerucut, 78 jenis lagi ditemukan, dan dikelompokkan ke dalam lima kelas. Peningkatan dari jumlah jenis irisan kerucut tersebut berlanjut pada kurva berderajat empat (kurva kuartik), dengan begitu banyak jenis yang berbeda klasifikasi yang lengkap tidak pernah dilakukan.Penyelidikan dari kurva-kurva sebagai persamaan aljabar bukanlah keseluruhannya. Banyak kurva-kurva misalnya catenary, sikloid (kurva yang dibentuk dari sebuah titik di sebuah roda yang bergulir) dan spiral yang tidak dijelaskan dengan persamaan aljabar.DefinisiApa yang matematikawan jelaskan setelah itu adalah definisi dari kurva itu sendiri, bukan hanya contoh-contoh spesifik. Camille Jordan mengusulkan teori kurva yang dibangun pada definisi dari sebuah kurva dalam hal variabel-variabel.Berikut contohnya. Jika kita misalkan dan , maka untuk nilai-nilai t yang berbeda, kita mendapatkan banyak titik-titik dimana kita menuliskannya sebagai koordinat (x,y). Sebagai contoh, jika t=0, kita mendapatkan titik (0,0), t=1 memberikan titik (1,2), dan seterusnya. Jika kita masukkan titik-titik ini ke sumbu x-y dan menghubungkan titik-titik tersebut, kita akan mendapatkan sebuah parabola. Jordan menyaring gagasan ini. Baginya ini adalah definisi dari sebuah kurva.Kurva Jordan dapat menjadi rumit, bahkan ketika itu adalah lingkaran, lingkaran adalah sederhana (tidak memotong dirinya sendiri) dan tertutup (tidak memiliki titik awal ataupun ujung). Teorema terkenal Jordan memiliki arti. Ini menyatakan bahwa sebuah kurva tertutup sederhana memiliki sebuah bagian dalam dan luar. Pandangannya kejelasan adalah sebuah tipuan. Di Italia, Giuseppe Peano menimbulkan sensasi ketika, pada tahun 1890, ia menunjukkan bahwa, menurut definisi jordan, isi dalam persegi adalah sebuah kurva. Ia dapat mengatur titik-titik pada persegi sehingga mereka semuanya dapat ditelusuri dan pada saat yang sama sesuai dengan definisi Jordan. Ini dinamakan ruang-mengisi kurva dan membuat lubang pada definisi Jordan sudah jelas bahwa sebuah persegi bukanlah merupakan kurva dalam pandangan konvensional.Contoh-contoh dari ruang-mengisi kurva dan contoh-contoh pengganggu lainnya menyebabkan para ahli matematika kembali menggambarkan sekali lagi dan berpikir tentang dasar-dasar dari teori kurva. Seluruh pertanyaan tentang membangun sebuah definisi kurva yang lebih baik semakin meningkat. Pada awal abad ke-20, tugas ini membawa matematika ke dalam bidang topologi yang baru.