SEKILAS TENTANG INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEILDANPERKEMBANGANNYA

UNIVERSITAS GADJAH MADA

Oleh:Prof. Dr. Christiana Rini Indrati, M.Si.

Pidato Pengukuhan Jabatan Guru Besarpada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Gadjah Mada

'.

SEKILAS TENTANG INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL DAN PERKEMBANGANNYA

UNIVERSITAS GADJAH MADA

Pidato Pengukuhan Jabatan Guru Besarpad a Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Gadjah Mada

Disampaikan di depan Rapat Terbuka Dewan Guru BesarUniversitas Gadjah Mada

pada tanggal 29 Maret 2017di Yogyakarta

Oleh:Prof. Dr. Christiana Rini Indrati, M.Si.

Yang terhormat,Ketua, Sekretaris, dan Anggota Majelis Wali Amanat,Ketua, Sekretaris, dan Anggota Dewan Guru Besar Universitas

Gadjah Mada,Ketua, Sekretaris, dan Anggota Senat Akademik Universitas Gadjah

Mada,Rektor dan para Wakil Rektor Universitas Gadjah Mada,Para Dekan, Wakil Dekan, dan Ketua Lembaga di Universitas Gadjah

Mada,Segenap civitas akademika Universitas Gadjah Mada, danPara tamu undangan, sanak saudara, dan hadirin yang saya

muliakan.

Selamat pagi dan salam sejahtera bagi kita semua.

Segala puji dan syukur bagi Allah Yang Maha Esa atas kasihkarunia-Nya sehingga kita diberi kesempatan untuk berkumpul diBalai Senat Universitas Gadjah Mada dalam rangka Rapat TerbukaDewan Guru Besar Universitas Gadjah Mada dalam kondisi sehat.Terima kasih kepada Pimpinan Dewan Guru Besar Universitas GadjahMada atas kesempatan yang diberikan kepada saya untukmenyampaikan pidato ilmiah sebagai bentuk kewajiban dan tanggungjawab akademik saya sebagai guru besar dalam bidang iImuMatematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AIamUniversitas Gadjah Mada, terhitung sejak 1 September 2015 yangdinyatakan dalam Keputusan Menteri Riset, Teknologi, danPendidikan Tinggi Republik Indonesia Nomor 3711A2.3/KP12015,tanggal 7 Oktober 2015.

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

SebeIum saya menyampaikan materi pidato saya, perkenankansaya meminta maaf apabila materi yang disampaikan jauh di Iuarbidang Bapak-Ibu dan Saudara yang datang dari berbagai Iatarbelakang bidang ilmu dan pekerjaan. HaI ini disebabkan keterbatasansaya daIam mencari topik matematika yang tetap menjaga aIur

2

akademik penelitian saya dan masih dapat diterima semua pihak.Izinkan saya menyampaikan perkembangan salah satu bagian ilmumatematika bidang analisis yang merupakan bagian topik penelitiansaya yang berjudul

"SEKILAS TENT ANG INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEILDAN PERKEMBANGANNY A"

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

Pendahuluan

Integral dikenalkan sejak di sekolah menengah atas atau yangsederajat sebagai salah satu materi matematika. Pengenalan integral ditingkat tersebut masih bersifat teknis, yaitu menentukan nilai integralfungsi / pada [a, b], disertai pemakaian integral untuk penghitunganluas daerah di antara dua kurva dan volume benda putaran.Pengenalan secara teori disampaikan di perguruan tinggi bagimahasiswa Matematika untuk integral Riemann. Sementara integralHenstock-Kurzweil hanya dikenal oleh beberapa mahasiswa yangmengambil tugas akhir minat Analisis dengan topik integral yangmemerlukan integral Henstock-Kurzweil. Untuk mendapatkangambaran integral Henstock-Kurzweil, izinkan saya mengenalkansejarah integral dari integral Newton hingga integral Henstock.

Newton mendefinisikan integral fungsi / pada [a, b] melaluipendefinisian fungsi antiderivatif F pada [a,b], yaitu fungsi bernilaireal pada [a,b] dengan F'(x)=f(x)untuk setiap x E[a,b].Berdasarkan antiderivatif tersebut, Newton mendefinisikan F( b) -F(a) sebagai nilai integralrpada [a,b] yang dituliskan

b(N) JI(x) dx = F (b) - F (a) .

a

Setelah perkembangan limit dan derivatif oleh Leibniz,muncullah pendekatan baru untuk integral. Era ini dikenal sebagai eramodern teori integral.

3

Era modem teori integral dimulai dengan pekerjaan Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) dari Prancis yang pada tahun 1823mendefinisikan integral fungsi kontinu pada [a, b] menggunakankonsep limit. Pekerjaan Cauchy dilengkapi oleh Bemhard Riemann(1826-1866) dari Jerman yang pada tahun 1854 mendefinisikanintegral fungsi terbatas pada [a, b]. Kedua integral tersebut ekuivalendan lebih dikenal sebagai integral Riemann (Lee dan Vj'borny, 2000).Pada integral Riemann dikenal jumlahan Riemann fungsi f ataspartisi P = {xo,x1,x2,",xn} pada [a,b], dituliskanS(P,f), yangdidefinisikan sebagai

nS(P,f) = If(ti )(Xi-Xi-I), (1)

i=l

dengan Ij E[xi-},xiJ sebarang, i=1,2,3,··,n.

Dengan mengambil Ilpll = max {xi - Xi -J :i = 1,2,3,···, n}, integral fb

pada [a,b], dituliskan (R)f f(x) dx, didefinisikana

b(R)f f(x)dx = lim S(P,f), (2)

a Ilpll~o

asalkan nilai limit di ruas kanan (2) ada.Berdasarkan sifat-sifat integral Riemann fungsi f pada [a,b],

didefinisikan fungsi bernilai real F pada [a, b], dengan

X

F(x) = (R)f f(t) dt, (3)a

untuk setiap X E [a, b]. Selanjutnya, fungsi F dikenal sebagai fungsiprimitif r pada [a,b]. Dalam hal fungsifkontinu pada [a,b], primitifF merupakan antiderivatif

4

Penyampaian teori integral Riemann pada perkuliahan ProgramSarjana lebih menggunakan integral hasil kerja tahun 1875 olehFrenchman Gaston Darboux (1842-1917) melalui integral atas danintegral bawah fungsi f pada [a, b]. Integral yang dibangun GastonDarboux dikenal sebagai integral Darboux. Integral Darbouxekuivalen dengan integral Riemann (Chae, 1994).

Selain di bidang matematika, integral Riemann sangat populer dibidang fisika dan teknik. Perkembangan jenis-jenis fungsi di fisikadan teknik memberikan dampak adanya fungsi yang tidak terintegralRiemann pada [a,b]. Fungsi Dirichlet f pada [0,1], dengan

{I, XE [0,1] rasional. . .

f(x) = ., tidak tenntegral Riemann pada0, x E [0,1] tak rasional

[0,1]. Selanjutnya, jika untuk setiap bilangan ash n, fungsi interintegral Riemann pada [a,b] dan lim I» = f pada [a,b],

n~ootidaklah selalu berlaku

b blim (R)f fn(x)dx =(R)f f(x)dx.

n~ooa a

(4)

Ada tiga hal terkait pemyataan di (4), yaitu:1. Limit di ruas kiri (4) belum tentu ada.2. Dalam hal limit di ruas kiri (4) ada, fungsi f belum tentu

terintegral pada [a, b] .3. Dalam hal nilai di kedua ruas dari (4) ada, kedua nilai belum

tentu sama.

Henri Lebesgue (1875-1941) mengatasi masalah yang belumterselesaikan di integral Riemann dengan membangun integralberdasarkan ukuran di dalam disertasinya. Fungsi Dirichlet pada[0,1] yang semula tidak terintegral Riemann pada [0,1], dengandefnisi integral yang dibangun Lebesgue menjadi terintegral pada[0,1]. Selanjutnya, integral yang dibangun Henri Lebesgue dikenalsebagai integral Lebesgue. Publikasi Lebesgue pada tahun 1901 telahmembuat harapan baru pada analisis, khususnya teori integral. Integral

5

irn menjadi integral yang sangat populer, utamanya bagimatematikawan profesional. Integral Lebesgue telah memberikanpeluang pengembangan analisis dan aplikasinya. Penghargaan padaLebesgue sangat besar. Prof. Bullen menyampaikan penghargaannyadengan menyatakan "If he did not take us back to the lost Eden, hecertainly led us into the promised land. No field of analysis was notenrich by the insights the Lebesgue brought" (Bullen, 2000).

Integral Lebesgue merupakan integral mutlak, dalam arti jikafungsi f terintegral pada [a, b] maka III terintegral pada [a, b]. Dalampenyelidikan sifat-sifat lanjut pada integral Lebesgue masihditemukan adanya fungsi kontinu F pada [0,1], dengan F' takterintegral Lebesgue meskipun F' berhingga pada [0,1] .

Pada tahun 1912, Arnaud Denjoy mendefinisikan integral yangdapat menyelesaikan permasalahan di integral Lebesgue tersebut.Primitif fungsi terintegral Denjoy terdiferensial hampir di mana-manapada [a, b]. Pada tahun 1916, Hincin mendefinisikan integral denganmengganti syarat primitif pada definisi integral Denjoy menjadiprimitif fungsi yang mempunyai derivatif pada [a, b]. Integral initerkenal dengan integral-DH (Denjoy-Hincin). Selanjutnya, padatahun 1914, Oskar Perron menyampaikan definisi baru denganpendekatan berbeda dari pendekatan Denjoy. Perron mengutamakanpenerapan integralnya pada teori persamaan diferensial dan teoripotensial. Integral yang dibangun Perron juga menyelesaikanpermasalahan di integral Lebesgue (Lee dan Vjborny, 2000). Integralyang dibangun Denjoy dan Perron berturut-turut dikenal denganintegral Denjoy dan integral Perron. Kedua integral tersebut ekuivalendan lebih umum daripada integral Newton, integral Riemann, danintegral Lebesgue. Awal pertama integral Lebesgue dan integralPerron disampaikan, tidak banyak non-matematikawan yangmenggunakannya. Hal ini disebabkan pemakai perlu mempelajari teorimatematika yang lebih banyak.

Pada tahun 1957, Jaroslav Kurzweil, dalam risetnya terkaitpersamaan diferensial, memberikan definisi integral secara berbeda.Integral yang dibangun Kurzewil ternyata ekuivalen dengan integralDenjoy dan integral Perron. Secara terpisah, Ralph Henstock

6

menyampaikan definisi integral yang dikenal dengan integralHenstock (Hen stock, 1968). Integral Henstock temyata ekuivalendengan integral Kurzweil. Selanjutnya, integral Kurzweil atau integralHenstock dikenal juga dengan integral Henstock-Kurzweil atauintegral Kurzweil-Henstock (Lee, 1989; Lee dan Vjborny, 2000).

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

Integral Henstock-Kurzweil dan Perkembangannya di Abad 20dan abad 21

Integral Henstock-Kurzweil dibangun berdasarkan partisi 5-fineyang didefinisikan dengan memodifikasi konstanta positif 5 padaintegral Riemann menjadi fungsi positif 5 . Partisi yang digunakandikenal sebagai partisi S-fine. Diberikan fungsi positif 5pada [a,b].Koleksi pasangan {([Ui, vi]; Xi):i = 1,2,3"", n}, dengan

nU[Ui,viJ = [a,b] dani=1

xi E[Ui,viJC(Xi -5(xi),xi +5(Xi))' i=1,2,3,.··,n, (5)

disebut partisi 5-fine pada [a,b]. Eksistensi partisi 5-fine pada [a,b]dijamin oleh Lemma Cousin (Lee, 1989; Gordon, 1994; Lee danVyborny, 2000).

Fungsi f dikatakan terintegral Henstock-Kurzweil pada [a,b],jika terdapat bilangan real A, dengan sifat untuk setiap bilanganpositif e. terdapat fungsi positif 5pada [a,b], dengan sifat setiap

partisi S-fine {([Ui, viJ; xd:i = 1,2,3,.··, n} pada [a,b], berlaku

nIA- Lf(Xi)(Xi-Xi-l)I<&.

i=l

~Koleksi semua fungsi terintegral Henstock-Kurzweil pada [a,b]merupakan ruang linear. Selanjutnya, berdasarkan sifat-sifat fungsi

7

terintegral Henstock-Kurzweil pada [a, b], telah dibangun fungsiprimitif fungsi terintegral Henstock-Kurzweil pada [a, b] seperti di(3). Berdasarkan karakteristik fungsi primitiftersebut diperoleh bahwasetiap fungsi terintegral Lebesgue pada [a,b] merupakan fungsiterintegral Henstock-Kurzweil pada [a, b] (Gordon, 1994).

Berdasarkan definisi fungsi terintegral Henstock-Kurzweilpada [a, b], terlihat bahwa setiap fungsi terintegral Riemann [a, b]merupakan fungsi terintegral Henstock-Kurzweil pada [a, b].Konstruksi integral Henstock-Kurzweil pada [a, b] mengambil analogikonstruksi integral Riemann. Hal inilah yang menjadi kelebihanintegral Henstock-Kurzweil, yaitu mempertahankan backgroundgeometri integral Riemann, secara teori sederhana, dan mempunyaipower integral Lebesgue (Lee dan Vybomy, 2000).

Apabila di integral Lebesgue terkenal Lemma Fatou, teoremakekonvergenan terdominasi, dan teorema kekonvergenan monoton, diintegral Henstock-Kurzweil terkenal adanya teorema kekonvergenanterkendali. Teorema kekonvergenan terkendali merupakan teoremayang lebih umum daripada teorema kekonvergenan terdominasi danteorema kekonvergenan monoton (Lee, 1989).

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

Pada integral Henstock-Kurzweil berlaku bahwa terintegralnyafungsi f pada [a, b] tidaklah menjamin terintegralnya jj[ pada [a, b] ..Dengan demikian, integral Henstock-Kurzweil merupakan integral takmutlak.

Penelitian integral tak mutlak sejak kuartal ke-2 abad 20berkembang dengan pesat karena termotivasi hasil capaian Denjoypada integral trigonometrik terkait rumus Fourier. Diperhatikan bahwauntuk setiap x E [- n , ff] , deret

00

~ + L ak cos kx + bk sin kx,2 k=l

(6)

8

konvergen, katakan ke j{x), maka barisan koefisien deret di (6)konvergen ke 0 dan semua koefisien ditentukan secara tunggal(Zygmund 1,2002), menurut rumus Fourier,

1 Jrak = - f I(x) cos kx dx, k = 0,1,2,3,.··,dan

Jr -Jr

1 Jr .bk = - f I(x)smkxdx, k = 1,2,3,.··.

Jr -Jr(7)

Jika fungsi I terintegral Riemann, du Bois Reymondmembuktikan integral Riemann dapat digunakan untuk menentukankoefisien-koefisien tersebut (Bull en, 2000). Dalam hal fungsi Iterintegral Lebesgue, de la Vallee-Poussin membuktikan integralLebesgue dapat digunakan untuk menentukan koefisien-koefisientersebut (Bullen, 2000). Pada tahun 1915, Nalli menunjukkan bahwajika I terintegral Denjoy, formula (7) valid (Zygmund, 2002; Nalli1915). Setelah itu sempat terhenti kemajuannya dan baru pada tahun1973, Sklyarenko memberikan contoh deret menggunakan fungsi Iyang terintegral Denjoy-Hincin, tetapi koefisien-koefisien tidak dapatditentukan dalam rumus Fourier; khususnya

1 Jrao "* -(DH) f I(x) dx.

Jr -JrFungsi I yang merupakan limit deret trigonometri (6) belum

tentu terintegral Denjoy atau dalam hal j'terintegral Denjoy, koefisien-koefisien deret (6) belum tentu dapat ditentukan menggunakan rumusFourier.

Diperhatikan bahwa deret (6) yang konvergen ke f, belum tentuderet integralnya konvergen. Idealnya deret yang konvergen ke fungsiI memberikan deret integralnya konvergen ke integral f Hal ini yang~memacu Denjoy mencari pemecahan masalah tersebut. Dalam 5catatan pada tahun 1921, Denjoy menyelesaikan permasalahantersebut dengan menganalisis primitif dari primitif F untuk fungsi f

9

Penjelasan detailnya sebanyak 600 halaman (1941-1949), tetapi tidakdipublikasikan. Apa yang dikerjakan Denjoy juga dikerjakan Perronmenggunakan integral Perron (Bullen, 2000).

Hasil Henstock-Kurzweil, Denjoy, dan Perron menginspirasibanyak peneliti untuk selalu menyelidiki karakteristik lanjut integralHenstock-Kurzweil maupun aplikasinya.

Berdasarkan teori integral Henstock-Kurzweil, McShanemembangun integral dengan memodifikasi partisi cS -fine di integralHenstock-Kurzweil. Selanjutnya, integral yang dibangun McShanedikenal sebagai integral McShane. Integral McShane tersebutekuivalen dengan integral Lebesgue (Gordon, 1994).

Fakta bahwa integral Henstock-Kurzweil merupakan integral takmutlak yang lebih umum daripada integral Lebesgue memberikanmotivasi pada matematikawan yang bekerja di teori integral untukmeneliti lebih jauh tentang integral Henstock-Kurzweil, di antaranyaAye, Bongiorno, Bullen, Celidze, Chew, Darmawijaya, Gordon,Indrati, Lee Peng Yee, Lee Tuo Yeong, Lu Ji Tan, Muldoney,Nakanishi, Pfeffer, Schwabik, Skvortsov, Toh Ti Lam, Milan Tvrdy,Vyborny, dan Ye Guoju.

Generalisasi integral Henstock-Kurzweil pada ruangberdimensi-n dilakukan oleh beberapa peneliti, seperti Lee TuoYeong, Ye Guoju, dan Indrati. Pengembangan integral Henstock-Kurzweil juga dilakukan untuk fungsi bernilai vektor maupun fungsibernilai di ruang bernorma atau ruang Hilbert. Ye Guoju dan StefanSchwabik (2005) telah menyusun buku "Topics in Banach SpaceIntegration". Di dalam buku tersebut, penulis membahas integral darisel di ruang dimensi-n ke ruang Banach. Integral yang dibangundikenal sebagai integral Bochner. Integral ini telah memberi alat padateori persamaan diferensial, khususnya masalah syarat batas (sebagaicontoh masalah Sturm-Liouville).

Selanjutnya, perkembangan integral Riemann menjadi integralHenstock-Kurzweil telah diikuti dengan dibangunnya integral non-linear oleh Chew Tuang Seng di dalam disertasinya di bawahbimbingan Prof. Lee Peng Yee (1989).

Dalam pendefinisian integral nonlinear, Chew menggunakanfungsi </J yang memenuhi 5 (lima) aksioma tertentu untuk membangun

10

integralnya. Diketahui ~ menyatakan koleksi semua interval subset[a,b]. Fungsi r): 9t x.3 ~ 9t memenuhi:

(NI) r)(0,1) = 0,1 E.3.

(N2) r)(.,1) kontinu.(N3) r)(s,/l u/2)=r)(s,1})+r)(s,/2), dengan 11

berdampingan, saling -asing, dan gabungannyainterval.

(N4) Diberikan M> 0, untuk setiap s > 0, terdapat '1> 0

dan 12merupakan

n ndengan sifat "Ir)(Si,li)-"Ir)(li,li)<&' jika

i=1 i=l

ISi - ti 1<'1, hi::;; M, Itil::;;M, I, dan I j saling-asing untuk

i= i ,i,j E {1,2,3,.··,n}.

(N5) Diberikan M> 0, untuk setiap e > 0, terdapat '1> 0 dengann

sifat "Ir)(Si,1i) <s , jika hl::;;M,Iidan Ijsaling-asingi=l

untuk j:l;i,i,jE{I,2,3,···,n},dengan total panjang kurangdari '1.

Pada paper-nya yang berjudul "On Nonlinear Integral", Chewmemberikan tiga tipe integral nonlinear: Denjoy, Perron, danHenstock-Kurzweil, yang ketiganya dibuktikan ekuivalen (Chew,1988). Berdasarkan fakta bahwa setiap fungsi anggota Loo merupakanfungsi terintegral nonlinear terhadap rp, penelitian pada integralnonlinear diikuti dengan ditelitinya teorema representasi untuk fungsianggota Loo. Teorema tersebut dikenal sebagai teorema Drewnowski(Lee, 1989). Pada teorema Drewnowski dinyatakan bahwa fungsionaladitif ortogonal dapat direpresentasikan dalam integral nonlinear.Pembuktian representasi fungsional aditif ortogonal dilakukan

~ menggunakan kernel dan teorema kekonvergenan terkendali yangtelah disesuaikan untuk integral non-linear.

11

Teorema kekonvergenan terkendali tidak menginduksi topologipada ruang Denjoy, yaitu himpunan semua fungsi terintegralHenstock-Kurzweil pada [a, b]. Ruang Denjoy merupakan ruangbemorma terhadap norma

x

Ilfll= sup {f f(t)dt :x E [a,b]}, (8)a

yang selanjutnya dikenal sebagai ruang Sargent. Terhadap norma (8),ruang Sargent bukanlah merupakan ruang lengkap.

Selanjutnya, Lee Peng Yee (2013) mengenalkan versi lemahteorema kekonvergenan terkendali. Versi lemah teorema tersebut,bersama-sama dengan konsep kontinu mutlak teritlak kuat, dinyatakanLee membangun topologi pada ruang Denjoy. Hasil penelitian inimembuka peluang penelitian integral Henstock di segala bagianmatematika dan bidang yang memerlukan matematika.

Versi lemah kekonvergenan terkendali yang dibangun Leemengingatkan pada versi lemah kekonvergenan pada ruang two-normLp, 1~ p ~ 00, khususnya ruang two-norm Loo. Memperhatikan

Loo sebagai ruang two-norm, Indrati (2011) memberikan hasil bahwasetiap fungsional linear kontinu pada Loo dapat direpresentasikansebagai integral dari fungsi anggota L(. Integral yang digunakanadalah integral Henstock-Kurzweil. Jadi L( dan Loo, yang tidaksaling dual (Orlicz 1992 dan Riesz 1968) di ruang bemorma biasa,merupakan dua ruang yang saling dual sebagai ruang two-norm. Halini memberikan peluang merumuskan ulang teorema representasiintegral nonlinear untuk mendapatkan teorema Drewnowskipada Loo sebagai ruang two-norm.

Perkembangan integral Riemann menjadi integral Henstock-Kurzweil diikuti dengan perkembangan integral Riemann-Stieltjesmenjadi integral Henstock-Stieltjes. Pada integral Riemann-Stieltjes,integrator yang digunakan adalah fungsi bervariasi terbatas. Integral

versi Stieltjes menyelesaikan permasalahan f: f dg dilakukan dengan

syarat fungsi g bersifat bervariasi terbatas pada [a, b], telah membawa

12

perkembangan integral pada integral stokastik. Integral stokastikmuncul sebagai bentuk penyelesaian permasalahan integral versiStieltjes yang tidak mampu menyelesaikan kasus saat g merupakanfungsi Brownian motion yang tidak lagi merupakan fungsi bervariasiterbatas. Integral stokastik atau integral Ito telah dikembangkanmenggunakan integral Henstock oleh Prof. Chew Tuang Seng danpara mahasiswa master maupun mahasiswa doktoralnya (Toh danChew, 2003, 2004, 2012; Chew dan Toh, 2009; Chew dkk., 2006;Boonpogkrong, 2004 ).

Fungsi bervariasi terbatas bemilai real pada [a, b], menurutdekomposisi Jordan, dapat dinyatakan sebagai selisih dua fungsi naikmonoton pada [a, b]. Akibatnya, jika fungsi fbervariasi terbatas pada[a,b], maka f(x+) ada untuk setiap xE[a,b) dan f(x-) ada untuksetiap x E (a, b]. Dengan demikian, fungsi bervariasi terbatas pada[a, b] merupakan fungsi teregulasi pada [a, b]. Fakta tersebut telahmenarik perhatian pemerhati integral untuk menyelidiki terintegralnyasuatu fungsi terhadap fungsi teregulasi.

Fungsi teregulasi mempunyai peranan menyelesaikan masalahpersamaan diferensial dengan singularitas (Schwabik, 1992). Padatahun 1996, Tvrdy menggunakan fungsi teregulasi untuk membahasfungsional linear pada ruang fungsi teregulasi regular. Integral yangdigunakan Tvrdy adalah integral Perron. Seiring dengan pembahasanfungsi teregulasi, integral versi Stieltjes untuk integral Henstock-Kurzweil telah memberikan peluang penelitian representasi danaplikasinya di persamaan diferensial dan mekanika (Krejci, 2013).

Aksioma-aksioma fungsi fjJ di dalam integral non-lineardimodifikasi untuk mendapatkan representasi fungsi teregulasi didalam integral Henstock-Stieltjes oleh Khaing-Khaing Aye bersamaLee Peng Yee. Selanjutnya, pada 2015, Made Tantrawanmemodifikasi aksioma-aksioma fungsi fjJ dalam pembahasanrepresentasi fungsi Baire.

Karakteristik fungsi teregulasi dari [a, b] ke 91n dilakukan olehFtaiikova pada tahun 1991. Pada pembahasan ini, tidak dibahas sedikitpun tentang integral. Pada tahun 2009 dan 2012, Indrati

13

menggeneralisasi pengertian fungsi teregulasi bemilai real pada [a, b]menjadi fungsi bemilai real pada sel E di ruang Euclide berdimensi-n.Di dalam ruang Euclide berdimensi-n tidak dikenallimit kiri dan limitkanan. Dengan demikian, generalisasi tidaklah secara langsung.Generalisasi dilakukan dengan memperhatikan karakteristik fungsiteregulasi yang dapat didekati secara seragam oleh fungsi tangga.

Brokate dan Krejci menggeneralisasi fungsi teregulasi bemilaireal ke ruang Hilbert. Mereka menggunakan fungsi bervariasi terbataspada [a,b] ke ruang Hilbert X sebagai integratomya di dalampembahasan integralnya yang bertipe Riemann-Stieltjes. Pada tahun2013, Indrati menggeneralisasi integral yang dibangun Brokate danKrejci dengan mengambil fungsi bervariasi terbatas-p pada [a, b] keruang Hilbert X sebagai integratomya di dalam integral tipe Henstock-Stieltjes yang dibangun.

Dengan memperhatikan bahwa permasalahan persamaandiferensial merupakan permasalahan yang memerlukan integral dalampenyelesaiannya dan permasalahan sering kali muncul di ruangberdimensi-n, maka hasil penelitian fungsi teregulasi di sistem realmemberi peluang untuk membangun integral di ruang Euclideberdimensi-n.

Pentingnya integral Lebesgue dan karakteristik integralHenstock-Kurzweil telah memacu penelitian untuk mengetahui posisiintegral Lebesgue di dalam integral Henstock-Kurzweil yang tidakhanya sekadar melihat integral Henstock-Kurzweil lebih umumdaripada integral Lebesgue.

Pada tahun 1986, Schurle memberikan sifat LSRS (locally smallRiemann sums) yang ekuivalen dengan terintegralnya suatu fungsisecara Perron pada [a,b] (Schurle 1986). Selanjutnya, sifat LSRSdikenakan pada integral Henstock-Kurzweil pada [a, b] (Lee, 1989).Hal ini memberikan hasil bahwa fungsi terukur Jbersifat LSRS pada[a,b] jika dan hanya jikaJterintegral Henstock-Kurzweil pada [a, b].

Selanjutnya, sifat LSRS dikembangkan menjadi sifat GSRS(globally small Riemann sums) untuk integral Henstock-Kurzweilpada [a, b] (Lee, 1989). Berdasarkan sifat GSRS diperoleh

14

karakteristik bahwa "Fungsi terukur Ibersifat GSRS pada [a, b] j ikadan hanya jikaj terintegral Henstock-Kurzweil pada [a,b] dan barisan{Fn(a,b)} konvergen ke F(a,b) , dengan F dan Fn berturut-turutmenyatakan primitifj" dan In pada[ a, b], dengan

{/(X)' I/(x)l:s; n

In (x) = I I untuk setiap n".0, I(x) > n,

Pengembangan sifat GSRS dilakukan menjadi sifat FSRS(functionally small Riemann sums) pada [a, b] oleh Darmawijaya(Darmawijaya, 1995) dan pada sel E di ruang dimensi-n oleh Indrati(Indrati, 2003). Indrati juga menggeneralisasi sifat GSRS pada [a,b]ke sel E di ruang dimensi-n. Lebih lanjut, Indrati (2004/2005)memberikan teorema kekonvergenan integral Henstock-Kurzweilberdasarkan sifat FSRS dan ESRS (essentially small Riemann sums).

Sifat GSRS telah membawa jenis integral di antara integralLebesgue dan integral Henstock-Kurzweil. Sifat GSRS telah menjadialat untuk memberikan posisi integral Lipschitz terhitung yangdibangun berdasarkan kondisi Lipschitz terhitung (Indrati, 2016).Kondisi tersebut merupakan generalisasi kondisi Lipschitz.

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

Kunei pengembangan integral Henstoek-Kurzweil ke ruangabstrak (ruang metrik atau ruang topologi) adalah eksistensipartisi cS - fine. Donatella Bongiorno dan Giuseppa Corrao (2015)menggeneralisasi integral Henstoek-Kurzweil pada [a,b] menjadipada ruang ukuran yang merupakan ruang metrik lengkap. Bongiornodan Corrao mendefinisikan koleksi himpunan tertutup tak kosongyang memenuhi teorema liput Vitali sebagai keluarga Vitali-zz untukmendefinisikan keluarga sel-zz. Eksistensi partisi pada sel ditunjukkandengan bukti reduction ad absurdum yang dilakukan dengan

_ membangun sel susut (nested cell) yang diameternya konvergen ke O.Integral yang dibangun dikerjakan dengan ukuran Radon.

15

Selanjutnya, Efimova pada tahun 2011 menyampaikan integral-Q teritlak (integral-Qg) pada himpunan terukur E. Jika f.1(E) < 00 , jterintegral-Qg pada E if E Qg(E», dan g terintegral Lebesgue pada E,Efimova membuktikan bahwa j + g terintegral-Qg pada E. Lebihlanjut,

Selanjutnya, pada tahun 2015, Efimova meningkatkanhasil penelitiannya di tahun 2011 pada ruang topologi n. dengan

mendefinisikan himpunan L~., yaitu himpunan semua titik non-

integrability fungsijpada E. Jika E ~ n precompact dan f.1(E) < 00,

Efimova menunjukkan bahwa integral jumlahan dua fungsiterintegral-Qg(E) merupakan jumlahan integral-Qg masing-masingfungsi, yaitu

(Qg) fE (f + g) du =(Qg) fE f du +(Qg) fE g du.

Efimova memerlukan waktu untuk menunjukkan bahwa koleksisemua fungsi terintegral-Qg pada himpunan terukur berhingga Emerupakan ruang linear. Pekerjaan Efimova sekaligus mengajarkankepada kita bahwa hal yang sederhana di sistem real tidaklah menjadisesuatu yang mudah di ruang abstrak. Tidak hanya usaha, sering kalikita memerlukan waktu untuk mendapatkan hasil yang maksimal.

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

Meskipun integral Henstock-Kurzweil mempunyai kelebihanmengintegralkan lebih banyak fungsi, integral Henstock-Kurzweilbelum dikenal dengan baik oleh peneliti matematika maupun penelitidi luar matematika yang menggunakan integral. Sejauh yang sayaamati, para pengguna matematika, khususnya di Indonesia, dalampenelitiannya lebih menekankan pada integral Riemann, hanyasebagian peneliti bidang matematika yang menggunakan integral

~ Lebesgue. Hal ini terjadi karena fungsi yang digunakan masih padafungsi kontinu atau fungsinya dibatasi pada fungsi terintegral

16

Lebesgue. Struktur ruang fungsi terintegral Lebesgue yang merupakanruang bernorma lengkap dan teori yang sudah lengkap membuatpengguna nyaman menggunakan integral Lebesgue.

Teori di integral Henstock-Kurzweil belum selengkap teori diintegral Lebesgue. Sejauh ini hasil penelitian di ruang abstrak masihbelum banyak memberikan hasil dan masih benar-benar abstrak untukdapat diterapkan, masih diperlukan penelitian-penelitian lanjut untukmendapatkan teori yang lebih sederhana dan mudah diaplikasikan.Struktur ruang Denjoy yang lengkap menjadi kunci penting padapengembangan teori dan aplikasi. Hasil yang dikerjakan Lee (2013)masih terlalu awal sehingga perlu ditindaklanjuti dengan penelitianlanjut.

Berdasarkan paparan tersebut di atas, diperoleh dua hal utamayang dapat digarisbawahi, yaitu:

1. Perkembangan teori integral tidak pernah terhenti.Perkembangan terjadi dari sisi kepentingan teori integral itusendiri maupun perkembangan matematika dan aplikasinya.

2. Keberhasilan Lee Peng Yee (2013) mengenalkan versi lemahteorema kekonvergenan terkendali dalam membangun topologipada ruang Denjoy membuka peluang penelitian integralHenstock di segala bagian matematika dan bidang yangmemerlukan matematika.

Berdasarkan dua hal tersebut, penelitian di teori integral,khususnya integral Henstock-Kurzweil, tetap menjadi topik yangmenarik di abad 21 dan akan menemukan peluang dikenal dandigunakan seperti integral Lebesgue.

Pimpinan sidang dan hadirin yang saya hormati,

Ucapan Terima Kasih

Izinkanlah saya mengucap syukur ke hadirat Allah Maha Kasihyang telah melimpahkan segala sesuatunya hingga jabatan guru besar

~ ini diberikan kepada saya. Izinkan pula saya menyampaikan terimakasih kepada Menteri Riset Teknologi dan Pendidikan Tinggi, Sekjen

17

dan Dirjen Dikti, Kemendiknas, Rektor, Wakil Rektor, pimpinan dananggota DGB, pimpinan dan anggota Senat Akademik UGM, Dekandan Wakil Dekan FMIP A, Senat FMIP A, Ketua dan SekretarisDepartemen Matematika, dan Tim Penilai Angka Kredit DepartemenMatematika yang telah menilai, memproses, mengusulkan,menyetujui, dan mengesahkan pengangkatan saya sebagai guru besarhingga terbit SK GB terhitung 1 September 2015. Terima kasihkepada Drs. Pekik Nurwantoro, Ph.D., Prof. Dr. Sri Wahyuni, Prof.Dr. Supama, dan Dr. Lina Aryati yang telah mendampingi perjalananpengajuan SK di Universitas. Terima kasih kepada SDM UGM,teman-teman UP FMIP A, dan teman-teman tendik DepartemenMatematika yang telah membantu proses mulai pengusulan hinggaterbitnya SK GB dan SK-SK berikutnya.

Kepada Bapak dan Ibu Guru di SDN I Singopuran, SMPN IKartasura, SMAN Kartasura, serta Bapak dan Ibu Dosen FMIP AUGM, terima kasih atas pendidikan dan ilmu yang telah diberikankepada saya. Bapak dan Ibu telah membantu saya dalam membentukdiri. Terima kasih kepada staf kependidikan FMIP A UGM yang telahmembantu saya selama menjadi mahasiswa maupun selama sayamengabdi di FMIP A UGM. Kasih karunia Tuhan beserta Ibu danBapak semua.

Terima kasih kepada AIm. Drs. B. Susanta dan Almh. Hj. RetnoWikan Tyasning yang telah menjadi pembimbing yang baik bagi sayadan memberikan rekomendasi bagi saya untuk menjadi staf di FMIP AUGM. Terima kasih kepada Prof. Dr. Soepama Darmawijaya yangberkenan membimbing saya baik di S-2 maupun S-3 dan terima kasihtelah berkenan berbagi ilmu dan pembimbingan dengan saya sampaisaya menjadi seperti ini. Kepada Prof. Dr. Bambang Soedijono danProf. Drs. Subanar, Ph.D., terima kasih saya atas perkenan Bapakmembimbing program S-3 saya maupun dalam pelaksanaan tugas sayasebagai dosen. Kepada Prof. P.S. Bullen yang memberi bekal integralpada saya dan terima kasih atas perhatiannya melalui e-mail sampaisaat ini. Terima kasih atas nasihat "hitung berkat satu per satu".Terima kasih saya kepada Prof. Lee Peng Yee dan Mrs. Lee yangselalu membuka pintu untuk saya sejak penyelesaian disertasi hinggasaat ini, terima kasih atas teladan hidup yang diajarkan. Kepada Prof.

18

Dr. Frans Susilo, AIm. Prof. Drs. R. Soemantri, dan AIm. Prof. Dr.Zanzawi Soejoeti, M.Se., terima kasih atas panduannya menjadipengajar yang baik. Terima kasih kepada Prof. Drs. Suryo Guritno,M.Se., Ph.D. dan Drs. Sardjono, M.S. atas segala masukan danperhatian pada keluarga kami. Kepada Prof. Dr. Setiadji, M.S., Dr.Retantyo Wardoyo, M.Se., Dr. AI. Sutj ijana, dan Drs. Yusuf, M.A.,terima kasih telah mengarahkan dan membimbing akademik sayaselama menjalani Program Sarjana Matematika di FMIP A UGM.Terima kasih pada Prof. Dr. Widodo atas pengaIaman organisasi yangdiberikan kepada saya. Terima kasih kepada teman-teman pendidikdan tenaga kependidikan Departemen Matematika atas kerja sama,kebersamaan, dan dukungannya seIama ini.

Kepada Bapak dan Ibu, AIm. C. Sunardi dan Almh. Sugiyarti,tak akan pernah terhenti hormat dan terima kasih Ananda atas segalayang telah Bapak dan Ibu berikan kepada Ananda. Terima kasihTuhan atas beliau berdua. Ananda juga berterima kasih kepada AIm.Bapak Harno Djatiwaseso dan Almh. Ibu Sri Waras yang telahmembagi kasih kepada Ananda. Tuhan berkenan atas beliau berempat.

Doa dan terima kasih atas kebersamaan dan einta kasih darikeluarga Mbak Nanik Rita Ningsih, Mbak Ch. HenyAstonugrahaningrum, Dik Ida Susilowati, dan Dik Tjahjono WisnuBroto dan atas kekeluargaan keluarga Mas Rinto Pramono, DikAhmad Nurdiyono, dan Dik Dewi Sutanti, serta kasih sayangkeponakan-keponakan. Terima kasih kepada semua pihak yang telahmendukung saya sampai sejauh ini.

Penghargaan dan terima kasih kepada Dr. Sindung Tjahyadi,M.Hum. dan Ananda Ciptaningsih yang telah berkenan sabar dan setiamendampingi saya, berbagi motivasi dan semangat, serta mendukungdalam einta kasih keluarga.

Akhirnya, izinkan saya mengakhiri pidato ini dengan memohonrestu para hadirin, kiranya saya diberi kesehatan dan kemampuanmelaksanakan tanggung jawab saya sebagai guru besar daIammengabdikan ilmu saya, khususnya untuk almamater dan umurnnyauntuk bangsa dan negara. Kiranya Allah berkenan melimpahkan

~ rahmat dan kasih-Nya kepada kita sekalian sampai akhir hayat. Amin.

19

DAFTAR PUSTAKA

Aye, K.K. and Lee P.Y., 2004, Orthogonally Additive Functionals onBV, Math. Bohemica, 129,411-419.

Bongiomo, D. and Corrao, G., 2015, An Integral on A CompleteMetric Measure Space, Real Analysis Exchange, Vol. 40(1),2014/2015, pp.157-178.

Bongiomo, D., Di Piazza, L., and Preiss, D., 2000, A ConstructiveMinimal Integral which Includes the Lebesgue IntegrableFunctions and Derivatives, 1. London Math. Society, 62(2000),117-126.

Boonpogkrong, V. and Chew T.S., 2004, Generalized Ito Integral andHenstock- Young Integral, Master Thesis, NUS.

Brokate, M. and Krejci, P., 2012, Duality in the Space of RegulatedFunctions and the Play Operator, Math. Z. (to appear). Accessedin 2012.

Bullen, P.S., 2000, Non-Absolute Integrals in the Twentieth Century,https:/ /www.emis.de/proceedings/Toronto 2OOO/papers/bullen.pdf diakses 2 Maret 2004.

Celidze, V.G. and Dzvarseisvili, A.G., 1989, The Theory of the DenjoyIntegral and Some Applications, (Series in Real AnalysisVolume 3, Translated by P.S. Bullen), World ScientificPublishing Co. Pte. Ltd., Printed in Singapore.

Chae, S.B., 1994, Lebesgue Integration, Second Edition, SpringerVerlag, New York.

Chew T.S., 1988, On Nonlinear Integrals, Proceeding of the AnalysisConference, Singapore 1986, Elsevier Science Publisher B.V.(North-Holland).

Chew T.S., Huang Z., and Wang C.S., 2006, The Non-uniformRiemann Approach to Anticipating Stochastic Integrals, JournalStochastic Analysis and Applications, Volume 22, 2004-Issue 2.

Chew T.S. and Toh T.L., 2009, Henstock's Version of Ito's Formula,Real Analysis Exchange, Volume 35, Number 2 (2009), 375-390.

Darmawijaya, S., 1995, Posisi Integral Lebesgue di dalam IntegralHenstock, Laporan Penelitian, FMIP A UGM, Yogyakarta.

20

Efimova, M.P., 2015, The Sufficient Condition for Integrability of AGeneralized Q-Integral and Points of Integrability. EN (Englishsummary) Translation of Vestnik Moskow. Univ. Ser. I Mat.Mekh. 2015, No. 4, 46-49. Moscow Univ. Math. Bull. 70 (2015),No. 4, 181-184.

Fraiikova, D., 1991, Regulated Functions, Math. Boh. V116, NI, pp.20-59.

Gordon, R.A., 1994, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, andHenstock, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 4, AmericanMathematical Society.

Henstock, R., 1968, A Riemann-Type Integral of Lebesgue Power,Canad. J Math., 20 (1968), M.R., 36, #2754.

Hincin, A., 1916, Sur Une Extension de l'Integrale de M. Denjoy,CR. Acad. Sci. Pari, 162 (1916), 287 - 291.

Indrati, Ch. R., 2003, Convergence Theorems for the HenstockIntegral Involving Small Riemann Sums, Real AnalysisExchange, 29 (1), (2003/2004), 481-488.

-------------------, 2009, The Application of Regulated Function on theMultiplication of Two Henstock Integrable Functions(Proceeding of The 5th IMF - GT ICMSA 2009, June 9-11, TheHills Hotel Bukit Tinggi-Padang).

-------------------, 2011, Two-norm Convergence in the Lp -Space, RealAnalysis Exchange, 36 (2010/2011), 55-64.

-------------------, 2012, Regulated Functions in the n-Dimensional,presented in SEAMS 2011, FMIPA UGM.

-------------------, 2013, Tipe Henstock Integral Young-Stieltjes Fungsidari [a, b] ke Ruang Hilbert X, Prosiding Konferensi NasionalMatematika 16, Unpad, Bandung, 2012.

-------------------, 2014, Regulated Function on A Cell in the n-Dimensional Space to Hilbert Space, International Journal ofMathematical Analysis, Vol. 8,2014, No. 43, 2129-2140.

-------------------, 2016, The Countably Lipschitz Integral, GlobalJournal of Pure and Applied Mathematics, ISSN 0973-1768Vol. 12, No. 5 (2016).

21

Krejci, P., 2013 An Application of Non-smooth Mechanics in RealAnalysis, Work Partially Supported by Grant No. 201/02/1058of the Grant Agency of the Czech Republic, diakses 1 April2013.

Lee P.Y., 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, WorldScientific, Singapore.

Lee P.Y. and Vvborny, R., 2000, Integral: An Easy Approach afterKurzweil and Henstock, Cambridge University Press.

Lee T.Y., 1998, Multipliers for some Non-Absolute Integrals inEuclidean Spaces, Real Analysis Exchange, Vol. 24, No. 1(1998), 149-160.

-------------------, 2009, Bounded Linear Functionals on the Space ofHenstock-Kurzweil Integrable Functions, CzechoslovakMathematical Journal, Vol. 59 (2009), No. 4, 1005-1017.

-------------------, 2011, Henstock -Kurzweil on Euclidean Space, Seriesin Real Analysis Vol. 12, World Scientific Publ. Co. Pte. Ltd,Singapore.

Lu IT., 2003, A Dominated Convergence Theorem in the K-HIntegral, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 7, No. 3, pp.507-512, September 2003.

Nakanishi, S., On Generalized Integrals I-VI, Proc. Japan Acad. , 44(1968), 133-138, 225-280, 904-909; 45 (1969), 86-91,374 -379; 46 (1970),45-46.

Nalli, P., Sulle Serie di Fourier delle Funzione Non AssolutamenteIntegrabili, Rend. Circ. Math. Palermo, 40 (1915), 33-37.

Orlicz, W., 1992, Linear Functional Analysis, World Scientific.Riesz, F. and Sz-Nagy, B., 1968, Lesons Danalyse Fonctionelle,

Gauthier- Villars.Schurle, AW., 1986, A Function is Perron Integrable if It has Locally

Small Riemann Sums, J. Australian Math. Soc (Series A), 41(1986),224-232.

Schwabik, S. 1992, Generalized Differential Equations, WorldScientific, Singapore, 1992.

Sklyarenko, A., 1973, On Denjoy Integrable Sums of EverywhereConvergent Trigonometric Series, English transl.: Soviet Math.Dokl., 14 (1973), 771-775, M.R., 49, #578.

22

Tantrawan, M. and Indrati, Ch. R., 2015, Bounded Baire Function andthe Henstock-Stieltjes Integral, AlP Conference Proceeding Th6th SEAMS-UGM 2015, 1707, 040002 (2016); doi:10.106311.4940831

Toh T.L. and Chew T.S., 2003, The Riemann Approach to StochasticIntegration Using Non-Uniform Meshes, Journal ofMathematical Analysis and Applications, Volume 280, Issue1, 1 April 2003, pages 133-147.

-------------------, 2004, On Belated Differentiation and ACharacterization of Henstock -Kurzweil- Ito Integrable Processes,Mathematica Bohemica, 130 (2005), No. 1, 63-72.

-------------------, 2012, The Kurzweil-Henstock Theory of StochasticIntegration, Czechoslovak Mathematical Journal, September2012, Volume 62, Issue 3, pp 829-848.

Tvrdy, M., 1996, Linear Bounded Functionals on the Space of RegularRegulated Functions, Tatra Mountains MathematicalPublications 8 (1996), 203-210.

Ye, G. and Schwabik, S., 2005, Topics in Banach Space Integration,(Series in Real Analysis Vol. 10), World Scientific Publ. Co.Pte. Ltd.

Zygmund, A., 2002, Trigonometric Series Volumes 1 and 11Combined, Cambridge University Press, Third Edition, UnitedKingdom by Athenaum Press Ltd.

23

Biodata

a. Nama : Christiana Rini Indratib. Tempat dan Tanggallahir :

Sukoharjo, 6 November 1967c. NIP : 196711061991032001d. Pangkat/JabatanlGolongan :

Lektor Kepala/PembinaTk I1IVc

e. Alamat Kantor : Departemen MatematikaFMIPA UGM Sekip Utara,Yogyakarta 55281

Keluarga:

• Suami• Anak

: Sindung Tjahyadi: Ciptaningsih

Riwayat Pendidikan Tinggi

• S-l Matematika: Universitas Gadjah Mada (lulus 1989, Dra.)• S-2 Matematika: Universitas Gadjah Mada (lulus 1995, M.Si.)• S-3 Matematika: Universitas Gadjah Mada (lulus 2002, Dr.)

Riwayat Pekerjaan:

• Stafpendidik FMIPA UGM: 1991-sekarang• Ketua Program Sarjana Matematika: 2016-sekarang• Koordinator Mata Kuliah Bersama Fakultas: 2011• Anggota Senat FMIPA UGM: 2016-sekarang

Pengalaman Organisasi dan Lainnya:

1. Indonesian Mathematical Society (IndoMS):a. Anggota: 2000-sekarangb. Sekretaris: 2002-2006c. Wakil Presiden Bidang Kerja Sama LN: 2008-2012d. Managing Editor of HMS (Journal of the IndoMS): 2002-2006e. Executive Editor of HMS: 2009-2017

24

2. Keluarga Matematika Analisis Indonesia (KAMINDO): anggota3. Anggota Math Reviews USA: 2014-20164. Anggota Tim Seleksi Nasional ON MIP A bidang Matematika:

2003-sekarang5. Anggota Tim Pembina Tk Nasional Mahasiswa Wakil Indonesia

di tingkat International Mathemathics Competition (lMC): 2003-sekarang

6. Anggota Tim Kurikulum Matematika IndoMS: 20137. Anggota Tim Seleksi LPDP: 2015-20178. Sekretaris Eksekutif PHK A3 Matematika UGM: 20059. Direktur EkesekutifPHK A3 Matematika UGM : 2006-200710. Anggota Tim Penilai Buku SD-SMA: 2005-2012

Publikasi (Sebagian publikasi)

1. Ch. Rini Indrati and Lina Aryati, The Countably LipschitzIntegral, Global Journal of Pure and Applied Mathematics.ISSN 0973-1768 Volume 12, Number 5 (2016), pp. 3991-3999.

2. Isnaini Rosyida, Jin Peng, Lin Chen, Widodo, Ch. Rini Indrati,Kiki A. Sugeng, An Uncertain Chromatic Number of AnUncertain Graph Based on a-cut Coloring, Fuzzy OptimDecision Making, DOl 1O.1007/s10700-016-9260-x, Publishedonline 21 December 2016, Springer.

3. Ch. Rini Indrati, Two-Norm Convergence Theorem in the LpSpaces, Real Analysis Exchange, Vol. 36, No.l, 55 - 64,2011.

4. Made Tantrawan dan Ch. Rini Indrati, Bounded Baire Functionand the Henstock-Stieltjes Integral, AlP Conference ProceedingTh 6th SEAMS-UGM 2015, 1707, 040002 (2016); doi:10.106311.4940831

5. Indarsih and Ch. Rini Indrati, Variance Approach for Multi-Objective Linear Programming with Fuzzy Random of ObjectiveFunction Coefficients, AlP Conference Proceeding Th 6th

SEAMS-UGM 2015, 1707, 050007 (2016); doi:10.1063/1.4940839.

25

6. Isnaini Rosyida, Widodo, Ch. Rini Indrati, Kiki A. Sugeng, Ana-Cut Chromatic Number of A Total Uncertain Graph and ItsProperties, AlP Conference Proceeding Th 6th SEAMS-UGM2015,1707,020018 (2016); doi: 10.106311.4940819.

7. Rosyida, 1., Chen, L., Peng, 1., Widodo, Indrati, C.R., A NewApproach for Determining Fuzzy Chromatic Number of FuzzyGraph, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems (JFIS), DOl:1O.3233/IFS-141521, 2015.

8. Firdaus Ubaidillah, Soepama Darmawijaya, dan Ch. Rini Indrati,On the Henstock-Kurzweil Integral of C[A,B]Space-Valued Functions, International Journal of Mathematicsand Its Applications, Hikari, Vol. 9, No. 37-40, 2015, doi:10.12988lijma

9. Palupi, DJ.E, Soepama, Setiadji, Indrati , Ch. R., A CompleteReducible and An Irreducible Continuous Linear Representation,International Journal Mathematical Analysis, Vol. 9, No. 47Oktober 2015.

10. Ch. Rini Indrati, Regulated Function on A Cell in the n-Dimensional Space to Hilbert Space, International Journal ofMathematical Analysis, Vol. 8, 2014, No. 43, 2129-2140,HlKARI Ltd., www.m-hikari.com, http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2014.48233, (2014)

11. Ch. Rini Indrati, Two-Norm Convergence Theorem in the LpSpaces, Real Analysis Exchange, Vol. 36, No. 1,55-64, (2011).

12. M.A. Irnron, Ch. Rini Indrati, dan Widodo, On GeneralizedDifference Double Sequence Space Defined over Class of p-Supremum Bounded Variation Double Sequences, InternationalJournal of Applied Mathematics and Statistics, 1nt. J. Appl.Math. Stat.; Vol 52; Issue No. 8; Year 2014. Ceser Publications,Vo152; Issue No. 8; Year (2014).

13. M.A. Imron, Ch. Rini Indrati, dan Widodo, Some Properties ofClass of p-Supremum Bounded Variation Sequences, Int.Journal of Math. Analysis, Vol. 7, 2013, No. 35, 1703-1713,HlKARI Ltd.