Ing. Elmo David Leonardo Fabián

CICLO 2011-II Módulo:Unidad: I Semana: 1.1

CALCULO VECTORIAL

NUMEROS REALES

Unidad I

Clasificación de los números reales

CÁLCULO VECTORIAL: CÁLCULO VECTORIAL:

Números realesNúmeros reales

RealesReales

(R)(R)

RacionalesRacionales

(Q)(Q)

Enteros positivos (ZEnteros positivos (Z++))

o Naturales (N)o Naturales (N)

CeroCero

Enteros negativos (ZEnteros negativos (Z--) )

Cocientes enteros Cocientes enteros o Enteros (Z) o Enteros (Z) (división exacta)(división exacta)

Cocientes no enteros Cocientes no enteros (división no exacta)(división no exacta)

PositivosPositivos

NegativosNegativos

IrracionalesIrracionales

(Q’)(Q’)

PositivosPositivos

NegativosNegativos

Enteros positivos Enteros positivos (Z(Z++) o Naturales (N)) o Naturales (N)

CeroCero

Enteros negativos Enteros negativos (Z(Z--) )

Enteros Enteros (Z)(Z)

Enteros positivos (ZEnteros positivos (Z++) o Naturales ) o Naturales (N):(N): Es el conjunto de números que Es el conjunto de números que utilizamos para contar.utilizamos para contar.

Enteros (Z):Enteros (Z):

Enteros negativos (ZEnteros negativos (Z--):):

ZZ++ ó N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} ó N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

ZZ-- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Racionales: Racionales: (Q)(Q)

Cocientes enteros Cocientes enteros o Enteros o Enteros (Z) (Z) (división exacta)(división exacta)

Cocientes no Cocientes no enteros enteros (división no (división no exacta)exacta)

Racionales (Q):Racionales (Q): Es el conjunto de Es el conjunto de números que se pueden expresar de la números que se pueden expresar de la forma forma a/ba/b donde donde a y b son enteros y b es a y b son enteros y b es distinto de cero.distinto de cero.

6/1 = 6 (entero positivo)6/1 = 6 (entero positivo)

0/1 = 0 (cero)0/1 = 0 (cero)

-5/1 = -5 (entero negativo)-5/1 = -5 (entero negativo)

5/4 = 1.25 (cociente no entero positivo)5/4 = 1.25 (cociente no entero positivo)

-3/8 = -0.375 (cociente no entero negativo)-3/8 = -0.375 (cociente no entero negativo)

Reales:Reales: (R)(R)

Racionales Racionales (Q)(Q)

Irracionales Irracionales (Q’)(Q’)

Reales (R):Reales (R): Es el conjunto de números que contiene a los racionales y los irracionales.

6/1 = 6 (entero positivo)6/1 = 6 (entero positivo)

0/1 = 0 (cero)0/1 = 0 (cero)

-5/1 = -5 (entero negativo)-5/1 = -5 (entero negativo)

7/3 = 2.333…..) (cociente no entero positivo)7/3 = 2.333…..) (cociente no entero positivo)

-3/8 = -0.375 (cociente no entero negativo)-3/8 = -0.375 (cociente no entero negativo)

--2 = 1.4142413... (irracional negativo)2 = 1.4142413... (irracional negativo)

= 3.141592... (irracional positivo)= 3.141592... (irracional positivo)

Irracionales (Q’):Irracionales (Q’): Es el conjunto de números que no se pueden expresar de la forma a/b donde a a y b b son enteros y b b es distinto de cero..

2 = 1.4142413... (irracional positivo)

- = 3.141592... (irracional negativo)

NN

ZZQQ

II

RRCC

CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES “N”:

Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito.

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de Conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta. En nuestro caso, cero es considerado un número natural.

Naturales {0,1,2,3,4,5,6,7...}

14

CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS “Z”:

Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones).

Enteros {...3,-2,-1,0,+1,+2,+3...}

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES “Q”:

Se llama número racional a todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros, con el divisor distinto de 0.El conjunto de los racionales se nota por “Q”, o sea "cociente“. Este conjunto de números es superconjunto de los números enteros, de los números decimales, y es un subconjunto de los números reales.

Racionales {...-1/2..0..1/2..1...}

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES “R”

Los números reales son números usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos). Se puede pensar en un número real como una fracción decimal posiblemente infinita, como 3.141592.... Los números reales tienen una correspondencia biunívoca con los puntos en una línea.

I : Irracionales

Expresión decimal infinita no periódica. No son expresables mediante fracciones.

√2 = 1,4142135623715.......

π = 3,1415926535914039.............

φ = (1 + √5)/2 = 1,618033988750540..............

Q : Racionales

Son expresables mediante fracciones. Expresión decimal finita o periódica

0,34; 0,444444.......;  -4/5

Z : Enteros-1, -2, -3, -4, .........

N : Naturales0,1,2,3,4,5......

Números Naturales ( N ) N={0;1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312

SumaSuma PropiedadPropiedad MultiplicaciónMultiplicación

Para todo número real a, b y c se satisface:

Clausura

Conmutativa

Asociativa

Identidad o Neutro

Inverso

Distributiva de la mutiplicación con respecto a la suma

c)ba()cb(a

abba

c)ba()cb(a

a0a

0)a(a

abba

a1a

0acon1)(aa

1

)ca()ba()cb(a

cba cba

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

,2

34 3

7

)4(2

3

usar

Ejemplo de las Propiedades de los números Reales

y para verificar las propiedades de

1. ClausuraAdición o suma Multiplicación

)1

4(

2

3

12

1)3( )4(2

2

)3( )8(

2

11

)4(2

3)

1

4(

2

3

12

)4()3(

2 12

6

,2

34

3

7

2

3)4()4(

2

3

usar

Ejemplo de las Propiedades de los números Reales

y para verificar las propiedades de

2. ConmutatividadAdición o suma Multiplicación

)1

4(

2

3

12

1)3( )4(2

2

)3( )8(

2

11

2

3)4()4(

2

3

)1

4(

2

3

12

)4()3(

2

12

6

)2

3(

1

4

212)4( )3(1

2

)8( )3(

2

11

)2

3(

1

4

21)3()4(

212

6

,2

34

3

7

3

7)4(

2

3

3

7)4(

2

3

usar

Ejemplo de las Propiedades de los números Reales

y para verificar las propiedades de

3. Asociatividad con la Adición

3

7

2

)8(3

3

712

2

3

3

7

2

11

3

5

2

3

6

1433

6

)10(9

6

19

6

19

,2

3 43

7

02

3

usar

Ejemplo de las Propiedades de los números Reales

y para verificar las propiedades de

4. IdentidadEn la Adición o sumala identidad es Cero pues:

En la Multiplicaciónla identidad es el Uno pues:

1

0

2

3

2

021)3(

12

3

2

03

2

3

2

3

,2

3 43

7

2

3

2

3

usar

Ejemplo de las Propiedades de los números Reales

y para verificar las propiedades de

5. Elemento InversoEn la Adición o suma el inversoes el opuesto de cada número.

En la Multiplicación el inversoes el recíproco de cada número.

2

322)3(

)

3

2(

2

3

2

66

2

0

6

6

0

1

,2

34

3

7

3

7

2

3)4(

2

3

3

7)4(

2

3

usar

Ejemplo de las Propiedades de los números Reales

y para verificar las propiedades de

6. Distributividad

6

21

2

12

3

712

2

3

12

)42(72

3

5

2

3

12

30

6

15

6

15

6

15

NÚMEROS DECIMALES

Estos números son racionales ya que Estos números son racionales ya que pueden escribirse como fracción.pueden escribirse como fracción.

• Nota : Se debe memorizar la transformación de números decimales conocidos a fracción. 

 • Ejemplo : •   • Ejemplo: Expresar en fracción común :

• Se lleva a número entero el numerador y se divide por una cantidad de acuerdo a la cantidad de números periódicos existentes y si existen antiperíodico se deben agregar ceros de acuerdo al número de estos. 

• Ejemplo : 

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplos básicos de fracciones (resueltos)

1.Tenía ahorrados 18 €. Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero de mi hucha. ¿Cuánto me ha costado el juguete? Solución:Para resolver problemas hay que leer bien el enunciado hasta enterarnos de lo que nos pide.

En este caso se trata de calcular la fracción de un número. Necesito los 4 / 9 de los 18 € que tengo para el juguete. 4 / 9 de 18 = 8 € me ha costado el juguete. Otra forma: Calcular lo que corresponde a 1 / 9 y multiplicar por 4. 1º: 1 / 9 de 18 = 2 € 2º: 2 X 4 = 8 €

2.2. Hoy he perdido 18 cromos que son 3 / 11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía?

Solución: Solución: Podemos resolverlo calculando los cromos que le Podemos resolverlo calculando los cromos que le corresponden a corresponden a 1 / 11 1 / 11 ..

Dividimos Dividimos 18: 3 = 6 18: 3 = 6 cromos. cromos.

Si a Si a 1 / 11 1 / 11 le corresponden le corresponden 6 6 cromos, a cromos, a 11 / 11 11 / 11 que es la que es la fracción total le corresponderán fracción total le corresponderán 6 x 11 = 66 6 x 11 = 66 cromos. cromos.

3.3. Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo 5 / 12 del total primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo 5 / 12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno? uno? Solución:Solución:1º Reducimos las fracciones m.c.m.: (15, 12) = 60 1º Reducimos las fracciones m.c.m.: (15, 12) = 60

7 / 15 = 28 / 60 7 / 15 = 28 / 60 y y 5 / 12 = 25 / 60 5 / 12 = 25 / 60 El tercero se llevará en fracción: El tercero se llevará en fracción: 60 / 60 - 53 / 60 = 7 / 60 60 / 60 - 53 / 60 = 7 / 60

2º Calculamos la fracción del número que le corresponde a cada uno. 2º Calculamos la fracción del número que le corresponde a cada uno. El primero se llevará los El primero se llevará los 28 / 60 28 / 60 de de 120 = 56 € 120 = 56 € El segundo se llevará los El segundo se llevará los 25 / 60 25 / 60 de de 120 = 50 € 120 = 50 € El tercero se llevará los El tercero se llevará los 7 / 60 7 / 60 de de 120 = 14 € 120 = 14 € 3ºSi 3ºSi observamos los resultadosobservamos los resultados se lleva más el primero que es al que le se lleva más el primero que es al que le corresponde la mayor fracción, después el segundo y por último el tercero corresponde la mayor fracción, después el segundo y por último el tercero que es el que se lleva la menor fracción. que es el que se lleva la menor fracción.

GRACIAS