semana 2 integral definida
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integrales definida segundo teorema del calculo y su aplicabilidad en la ingeniería y sus característicasTRANSCRIPT
INTEGRAL DEFINIDA
Integral definida. El problema del área .Sea f(x) una función continua en el intervalo I [a, b]. Queremos calcular el área
comprendida entre la gráfica de la función, el eje OX, la recta x=a y la recta x=b.
Dividimos el I [a, b] en "n" particiones iguales y le llamamos Δx a la longitud de cada partición.
Llamamos S a la suma de todos los rectángulos grandes de la figura.
S= Δx · f(x0) + Δx · f(x1) +... + Δx · f(xn-1) = Δx · f(xi)
Llamamos s a la suma de las áreas de los rectángulos pequeños.
s= Δx · f(x1) + Δx · f(x2) +... + Δx · f(xn) = Δx · f(xi)
El área pedida A está entre ambas: S<A<s.Cuando el número de particiones se hace muy grande (n ∞) la longitud Δx se hace
muy pequeña y el A buscada se puede aproximar a “S” o a “s” con lo que podemos poner A =
Δx f(xi) .
Pues precisamente a este A se le denomina integral definida entre a y b de la f(x) =
f(x)dx.
Propiedades de la Integral Definida
1. - f(x)dx = - f(x)dx.
1
2. - f{x)dx = f(x)dx + f(x)dx
3. - [f (x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx
4. - k · f(x)dx = k· f(x)dx
5. - f(x)dx ≥ 0 si f(x)=0 xє [a,b]
Teorema del valor medio del cálculo integral:
Si f(x) es una función continua en [a, b] existe al menos una punto c perteneciente a dicho
intervalo tal que la f(x)dx = f(c)(b-a) cє [a,b]
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Sea M y m el máximo y mínimo de la función en dicho intervalo:
m(b-a) A M(b-a) ¡vi
m(b-a) f(x)dx M(b-a)
Por ser la función continua en [a, b] podemos asegurar un
= f(c) = f(c)(b-a)
Interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral.
Geométricamente este teorema nos dice que se puede encontrar un punto c
perteneciente al I[a, b] de tal forma que el rectángulo de altura f(c) tiene por área A.
M
m
3
= f(c)(b-a)
4
Teorema fundamental del cálculo integral. Reala de Barrow.
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A(x) =
6
Vamos a demostrar que el A(x) así definida es una primitiva de f(x), es decir, queremos demostrar: A'(x)=f(x).
A'(x) = = = = T. V. M. =
= = = f(x)
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Regla de Barrow.Como A(x)=F(x)+c
A(a) = = 0
F(a) + c = 0; c = -F(a) A(a)= F(a) + c
A(b) = = 0
= F(b) + c = F(b) – F(a)
A(b) = F(b) + cAplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas
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A=
A=
A= +
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10
Área comprendida entre las gráficas de dos funciones:
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A=
A=
A=
A= porque y1= f(x) + k; y2= g(x) + k
A= =
A=
Funciones primitiva
Sean dos funciones f(x) y F(x), tales que : F'(x)=f(x) , es decir la derivada de F(x), es f(x). A
cualquier función F(x)+k, donde k es una constante, se la llama función primitiva de f(x). Por
ejemplo si f(x)=x, la función primitiva será cualquier función de la forma:
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Teorema Fundamental del Cálculo.
El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales
definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.
Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando
que ambos procesos son mutuamente inversos.
Teorema fundamental del cálculo:
Sea f una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:
i) F es continua en [a, b]
ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho
punto, y F'(c) = f(c).
El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área
limitada por la gráfica de una función continua f(x).
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A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área Tc.
Si calculamos la derivada de esa función:
Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]
Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes.
La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un
punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integracióncorresponde a un
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proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que
ambos procesos son inversos el uno del otro.
Regla de Barrow.
Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función
primitiva de f(x) en [a, b], es decir:
F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:
La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite
calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego
calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo
Diferencial y el Cálculo Integral.
Generalización. Regla de la cadena:
Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función primitiva
de f(x) en [a, b], sea g(x) una función diferenciable, entonces:
Integral impropia
Introducción
"Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la
forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
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Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la
parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede
existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos
valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral
puede interpretarse como
pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal
manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞).
Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no
sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que
Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de
números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral
definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el
debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de
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Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si
sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar
de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento
teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la
recta real.
Definición de integral impropia:
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas
(integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o
ambos presentan ciertas particularidades.
si los límites existen.
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Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es
convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.
Carácter y valor de las Integrales Impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el
cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente
o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:
1-Primera especie
Son del tipo:
ó
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso
de primera especie, con el segundo es equivalente):
Si existe el
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y es finito y en ese caso
entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es
divergente si
es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.
2-Segunda Especie
Son del tipo:
y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto
conflictivo se encuentra en x = a):
Si el
existe y es finito y en este caso
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entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es
divergente en cualquier otro caso.
3-Tercera Especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de
integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera
especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para
determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de
primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier
otro caso, diverge.
Ejemplos de Integrales impropias
Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva la recta y el
eje
Como la curva es siempre positiva
Area
Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se vuelve
asíntotica al eje ``rapidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la curva y el eje
se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.
Integral impropia de 1ra clase. (divergente)
Ejemplo 2: Mirar si es convergente
luego es
convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir que éste
valor es el área bajo la curva
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Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva con
Como para Area =
Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.
2)
Se toma un valor para calcular y luego se hace tender hacia - Es decir
Ejemplo 4: La región limitada por la curva el eje , el eje rota alrededor del eje ;
encontrar el volumen del sólido obtenido.
Utilizando discos
Volumen =
Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente
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utilizando fracciones parciales
=
Como es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la indeterminación
Así :
3)
Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores
Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea
impropia en uno solo de los límites de integración
Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva y el eje
Por lo que la curva es siempre positiva Area= . Pero como la curva es simétrica con
respecto al eje
Area =222
Ejemplo 7: Determinar si converge o diverge
como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si existe
por lo tanto
Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente podía
haber sido divergente y el resultado no da cero.
<U< INTEGRANDOS CON>Si es una función contínua en un intervalo
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existe
Si es discontínua en se hace y si este límite existe se dirá
que la integral es convergente si no que es divergente.
Si es discontínua en se hace con la misma observación
anterior
Si es discontínua en algún número pero contínua en todos los demás valores
aplicándose sobre el número lo que se describió
Integral impropia de 2da clase.(convergentes)
Ejemplo 8: Decir si la integral converge o diverge
El integrando es discontínuo en 0 entonces
Como siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva
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Ejemplo 9: Decir si la integral es convergente o divergente
El integrando es discontínuo en luego la integral
diverge
Ejemplo 10: Decir si converge o diverge
Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo !!!
Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!
Como es discontínua en 0
Como la región es simétrica con respecto al eje si converge también;
luego es divergente
Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una circunferencia de radio es
La ecuación de una circunferencia de centro en y de radio es
El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.
El integrando es discontínuo en (el denominador se hace );
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En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que
hacer uso de integrales impropias.
Integrales Impropias especiales
FUNCIÓN GAMMA
Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma , la cual es de gran
importacia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una integral
impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales.
Definición [Función Gamma]
La función dada por
se conoce como la función gamma. Su gráfica se muestra en la figura 1.9.
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Figura 1.9
El siguiente teorema establece una de las propiedades más importantes de la función gamma.
Teorema [Recursividad de gamma]
Para toda se tiene que
Demostración
Integrando por partes
Ejemplo
Calcule .
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Solución
El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.
Corolario [Recursividad de Gamma]
Para , y se tiene que
Observación: de los resultados anteriores obtenemos que , por esta razón se
conoce a esta función como el factorial generalizado.
Ejemplo
Calcular los valores de , , .
Solución
Usando la propiedad recursiva, tenemos que
Para :
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Para :
Para :
De donde
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CÁLCULO FRACCIONARIO
La n-ésima derivada de axb (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:
Como n! = Γ(n + 1) entonces donde n puede ser
cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.
De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una
constante c = cx0:
FUNCION BETA
A siguiente integral
se conoce como la función beta.
El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la función Beta.
Teorema [Propiedades de la función beta]
1. La función converge para , .
2. .
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3. Para , se tiene que
4. Para , se tiene que
5. Para , se tiene que
Demostración
1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes
Ahora, observe que la primera integral convwerge si
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y de igual manera, la segunda integral converge si
2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable
3. Haciendo el cambio de variable
tenemos que
4. Haciendo el cambio de variable
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tenemos que
5. La demostración de este resultado es un tanto más compleja y se sale de los objetivos
del curso, por esta razón no la haremos.
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solución
Usando los resultados del teorema anterior
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Observe que cuando es muy grande es extremadamente difícil calcular , aún con la ayuda
de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el número de posibles formas de barajar un
maso de cartas podría tomar mucho tiempo, pues involucra el cálculo de . El siguiente
teorema establece que es una buena aproximación de , cuando es muy
grande.
Teorema [Fórmula de Stirling]
Observación: del la fórmula de Stirling1.4 tenemos que
Y por último el siguiente teorema expresa la relación entre la función y la transformada.
Equivalencia entre la función Gamma y Beta
La función beta[1] fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue dado por Jacques
Binet.
En matemática, dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x)
y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene
Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para x e
y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):
Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de
variables t = u2 y s = v2:
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Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble arroja
Haciendo t = r2 obtenemos
Definiendo la función beta
se obtiene
o
Propiedades
1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
2. La función beta es simétrica
3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta
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Derivadas
Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las
funciones poligamma
donde ψ(x) es la función digamma.
Aplicación
Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad
enunciada que
de donde .
Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular
Entonces podemos[2]
Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos
De manera que
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