semana 5 b vectores.pdf
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Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo
Ar
Br
Cr
CBArrr
==
El vector resultante es aquel que vector que va
desde el origen del primer vector hasta el extremo del
ultimo
Ar
Br
Entonces si se tiene los siguientes vectores
Cr
Dr El vector resultante
de la suma de todos ellos será:
Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
A
Opuesto-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario AAr
r
=µ
µµ= ˆAA
rr
Ley Conmutativa
ABBAR +=+=
Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de
VectoresVectores
Ley Asociativa
C)BA)CBARrrrrrrr
++=++= ((
Diferencia
B-ARrrr
=
)B(-ARrrr
+=A B A
-BR
Ley conmutativa
BR = A+B
A
B R = B+A
(Método paralelogramo)
B R = A+B
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
Multiplicación de un vector por un escalar
ByArr
Dado dos vectores
BArr
α=Se dicen que son paralelos si
BAsirr
↑↑> 0α
BAsirr
↑↓< 0αBAsirr
==1α
Vectores unitarios en el plano
y
j ix
ij
Vector unitario en la dirección del eje x+
Vector unitario en la dirección del eje y+
RepresentaciRepresentacióón n de un vectorde un vector
x
y
z
θ
ϕ
A
Ax
Ay
Az
θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=
θcosAAz =222zyx AAAAA ++==
r
kAjAiAA zyx
rrrr++=
Observaciones:
Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
4u
3uAr B
r
BARrrr
+=
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla
yy BArr
+xx BArr
+10u
5u
yyxx BABARvrrrr
+++=
Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante
uR 55510 22 =+=
(x2,y2,z2)
x
(x1,y1,z1)
Ar
Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por
z
y
Producto Producto escalar de dos escalar de dos
vectoresvectoresθABBA cos=⋅
rr
cosθAAB =Proyección de A sobre B
cosθBBA =
Proyección de B sobre A
1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj
0ˆˆ =⋅ ji
0ˆˆ =⋅kj0ˆˆ =⋅ki
1ˆˆ =⋅kk
xAiA =⋅ ˆr
yAjA =⋅ ˆr
zAkA =⋅ ˆrZZYYXX BABABABA ++=⋅
rr
Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos
vectoresvectores BACrrr
×=
θABC sen=
0iir
=× 0ˆˆ r=× jj
0ˆˆ r=×kk
kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×
jik ˆˆˆ =×
Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ ++=r
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=r
kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=r