Geometría

Página 381

SEMANA 8

RELACIONES MÉTRICAS

EN TRIÁNGULOS

1. En el rectángulo ABCD donde

BC = 2AB = 8, calcule “x” si “O”

es el centro del arco ED.

A) 2,6 B) 2,8 C) 3,0

D) 3,2 E) 1,2

RESOLUCIÓN

* MAO :

2 22x 2 2 8 x

x 3,2

RPTA.: D

2. Se tienen 2 circunferencias secantes y congruentes de radio

cuya medida es 8 m y la distancia entre sus centros es 10 m. Calcule la medida de la cuerda

común.

A) 2 13m B) 6 m

C) 2 15m D) 2 39m

E) 39m

RESOLUCIÓN

MN = x

xMH

2

1 2O H HO 5

1MHO :

2

2 2x8 5

2

x 2 39

RPTA.: D

3. En un triángulo acutángulo ABC la

proyección de AB sobre BC mide

la cuarta parte de BC. Calcule BC

si: 2 2

AC AB 8

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 6

RESOLUCIÓN

C

A

B

D

x

E O

M

x

x4

A

B

C

C8

A

B

D

x2M

2

2

x

8

(8-x)

4

o

8 8

M

1O 2

O10

H

N

Geometría

Página 382

* Por Euclides: ( < 90º)

2 2 2 x

AC AB x 2x4

22 2 2 x

AC AB x2

2x8 x 4

2

RPTA.: B

4. En el gráfico, calcule HR, si:

BQ 1 y QC =2

A) 6 B) 6

2

C) 6

3 D)

6

6

D) 6

12

RESOLUCIÓN

* BHC (Thales):

1 x

2 RC RC 2x

* HQC :

22 3x 2x

24x

6

6x

3

RPTA.: C

5. En una circunferencia de diámetro

AB y centro “O”, se traza la

cuerda AC y CH AB .

Calcule la distancia de “O” a AC si

AH = 3 y HB = 4.

A) 7 B) 2 3 C) 3

D) 2 7 E) 5

RESOLUCIÓN

* ACB:

2

2x 4 7

x 7 RPTA.: A

6. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y

la mediatriz de BH que intersecta

a BC en P. Calcule 2 2

AP HP

si AB = 4

A) 16 B) 4 C) 8 D) 12 E) 32

RESOLUCIÓN

Sea: 2 2

x AP HP

B

CAH

Q

R

B

CA

1

xH

2

Q

R

2x

x

C

OH3 4

A B

P

B

A H C

4

Geometría

Página 383

ABP:

2 224 HP AP

2 2

16 AP HP

x =16

RPTA.: D

7. En el rectángulo ABCD de

perímetro 20, se traza CE

perpendicular a BD siendo

AC CE 5 . Calcule BD.

A) 2 15 B) 9 C) 3 10

D) 4 5 E) 2 10

RESOLUCIÓN

* 2a 2b 20 a b 10

2 2a b 10

2 2a b 2ab 100

2x 2 BD.CE 100

2x 2(5) 100

x 90 3 10

RPTA.: C

8. En el trapecio ABCD donde las

diagonales se intersectan

perpendicularmente BC // AD ,

se traza la altura CE siendo

AE = 4, ED = 7 y BC = 2. Calcule CE.

A) 2 3 B) 3 2 C) 2 6

D) 6 E) 5

RESOLUCIÓN

* Se traza CP //BD

* Por paralelogramo BCPD: BC DP 2

mACP mAOD 90º

ACP: 2x AE ED

2x 4 9 x 6

RPTA.: D

9. En el cuadrilátero ABCD donde las diagonales se cortan en “O”,

calcule OP si “P” es el punto

medio de DC , AB= 6 2, BC = 6,

CD = 8 y AD = 10.

A) 5 B) 3 2 C) 4

D) 6 E) 4 2

RESOLUCIÓN

aa

b

b

C

DA

B

x

E

2

XO

EA D P2

CB

4 7

6

10 8

CP

A

62

O

x

D

B

Geometría

Página 384

* Se cumple:

2

2 2 26 10 6 2 8

m DOC 90º

* DOC: DC 8

x 42 2

RPTA.: C

10. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan: la altura BH

y la bisectriz interior AS que se intercectan en “P”. Calcule BP si AS. PS = 36

A) 3 2 B) 3 3 C) 6

D) 4 2 E) 3

RESOLUCIÓN

* BPS: (Isósceles)

PS

BP BS x;PM MS2

* ABS: 2

BS AS HS

2 PSx AS

2

2 AS PS 36x 18

2 2

x 3 2 RPTA.: A

11. En un romboide ABCD se cumple:

2 2

BC AB 4 AC . Calcule la

longitud de la proyección de BD

sobre AC

A) 1 B) 2 C) 2,5

D) 4 E) 1,5

RESOLUCIÓN

* x

EO OF2

* Proyección de la mediana: ABC

2 2a b 2AC EO

4 AC 2 ACx

2

x = 4

RPTA.: D

12. Calcule la medida de la altura de

un trapecio si las bases miden 6 y 8, las diagonales miden 13 y 15.

A) 10 B) 11 C) 11,5 D) 12 E) 10,5

RESOLUCIÓN

* Se traza CE//BD:

* Paralelogramo: BCED:BC=DE=6,

CE = BD = 15 * ACE (Herón):

13 15 14 42p 21

2 2

Ex

a D

b

CaB

b

A

F

O

B

DA

C

15

1513x

6

E8 6

B

S

CHA

P

x

x

Geometría

Página 385

2

x 21 21 13 21 14 21 1514

x= 12

RPTA.: D

13. En un romboide ABCD se trazan las bisectrices de loa ángulos A y

B, que se intersectan en “G”. Calcule GD si GC = 12 ,

AB =10 y BC = 14

A) 2 17 B) 6 2 C) 2 19

D) 4 5 E) 2 21

RESOLUCIÓN

* ABP (Isósceles):

BG GP, AB AP 10

* Trapecio BCDP: (GM mediana):

14 4

GM 92

* GCD (la mediana):

2

22 2 10x 12 2 9

2

x = 2 17

RPTA.: A

14. En el cuadrado ABCD AB = 10

Calcule BP, P: punto de tangencia.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5

3 E)

5

4

RESOLUCIÓN

* Auxiliar

x10 10

2

x = 2

RPTA.: B

15. En el trapecio escaleno ABCD

BC // AD se cumple:

2 2

AC CD m . Calcule el

producto de las longitudes de las bases.

A) m B) m

2 C)

m

3

D) m

4 E)

m

6

P

A D

B C

B

A

10

12

x

10

G

14 C

D

M

4

10

P

P

A D

B C

x/2

Q

10

10

10

10

x/237/2

37/2

Geometría

Página 386

RESOLUCIÓN

* Teorema de Euler:

2 2 2 2

AD BC AB CD

2

2 2 AD BCAC BD 4

2

AD 2 2

BC 2 2

AB CD

2 2

AC BD AD 2

BC2

2AD BC

m

2AD BC 2m m AD BC2

RPTA.: B

16. En el cuadrilátero ABCD m ABC m ADC 90º , las

diagonales se intersecan en “O”. Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y

m<AOB = 60º.

A) 2 10 B) 2 11 C) 4 3

D) 2 13 E) 2 14

RESOLUCIÓN

* Teorema de Euler:

2 2 2 2 2 2 2

AB BC CD AD AC BD 4 MN

2

AC + 2

AC = 22 2

AC BD 4 3

210 210 = 210 2

2x 4 3

2 3 x

RPTA.: D

17. En el gráfico, calcule la medida del

lado del cuadrado ABCD si CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es

el centro del arco BD

A) 10 B) 9 C) 2 13

D) 2 6 E) 9

RESOLUCIÓN

* EP FQ 4 ...(por simetría)

* EHA:

F

E

A H Q D

B C

B

A D

C

AD BC

2

x x

CEx

x

D4 QA H

6

4

B

P

F

C

B

A

D

N

oM260º3

Geometría

Página 387

2 2 2x 6 4

x 2 13 RPTA.: D

18. En la figura: ABCD es un

cuadrado, AP = 3 y PQ = 2.

Calcule QD.

A) 2 B) 1,5 C) 2,5 D) 3 E) 1

RESOLUCIÓN

* APQ: 22 2AQ 2 3

AQ 7

* APT: 2 2 2

2 7 3 PT

QT 3 5 PT

* AQT (T. Mediana):

2

22 2

2 77 3 2x

2

27 9 2x 14

x = 1 RPTA.: E

19. En el romboide ABCD, BE=3EC=9, EF = 3FD = 6, EP = EF. Calcule

EQ.

A) 21 B) 2 21 C) 3 21

D) 4 21 E) 5 21

RESOLUCIÓN

* BPE APD: 6 9

y 8y 12

* AED (Menelao):

y 6 z 6 2 12 z

z 4 * AEQ (Steward):

2 2 214 4 x 12 8 16 12 4 16

x 2 21

RPTA.: B

20. En el triángulo acutángulo ABC de incentro “I”, excentro “ E” relativo

a BC , el inradio mide 2 y el

exradio relativo a BC mide 6.

Calcule 2 2

IE BC

A D

B C

QP

Q

C

E

F

P

B

A

D

2

A D

B C

T7

73

P

Q

3

7

A

B 9

y

3

F

C

x

QzD12

6

6P

2

E

Geometría

Página 388

A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 4

RESOLUCIÓN

En el trapecio IPEQ

* 6 2 4

OH 22 2

* IBEC: (Teorema de Euler):

2 2 2 2 2 2 2

BI BE EC IC BC IE 4 2

2

IE + 2

IE = 2

BC IE 2

4 4

2 2

IE BC 16

RPTA.: D

B E

66

P

mm

2

I

2

O

C

nn

Q

H