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1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
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MATEMÁTICA
SEMANA 8
FUNCIONES PARTE III
2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
3 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
ÍNDICE
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 4
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4
FUNCIÓN INYECTIVA ........................................................................................................................... 5
FUNCIÓN SOBREYECTIVA .................................................................................................................... 9
FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA ........................................................................................ 11
ÁLGEBRA DE FUNCIONES .................................................................................................................. 15
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ......................................................................................................... 17
COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 21
REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 22
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FUNCIONES (PARTE III)
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicar el álgebra de funciones para operarlas.
Determinar la función compuesta entre dos funciones.
Reconocer las condiciones que permiten definir la función inversa.
INTRODUCCIÓN
Las funciones son expresiones tales que al evaluar un número del dominio se obtiene un número
real, luego algunas de las operaciones estudiadas en el conjunto de los números reales se pueden
definir también en las funciones es así que se definirán: la suma, el producto y la división de
funciones. Por otro lado, se estudiará la composición de funciones, la cual de algún modo significa
operar sobre un resultado ya existente.
Se observará en la presente semana que bajo ciertas condiciones se puede invertir el proceso de la
función definida, con esto se obtendrá la función inversa.
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FUNCIÓN INYECTIVA
Una función YXf : es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones
equivalentes:
212121 :, xxxfxfXxx o lo que es lo mismo, 21 xxf siempre que
21 xx (Stewart, 1999, p. 65).
En matemáticas, una función YXf : es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la imagen de
f le corresponde un único elemento en el dominio. Es decir una imagen no debe estar relacionada
con más de un elemento del dominio.
Por ejemplo, la función de números reales RRf : , dada por 2)( xxf no es inyectiva, ya
que, por ejemplo, la imagen 9 está relacionada con el 3 y el -3, es decir
9)3(3933 22 fyf .
Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función RRg : se tiene una función inyectiva.
Ejemplo de función inyectiva:
1)
2) 32)( xxf
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Ejemplo de función no inyectiva:
1)
2) 4)( 2 xxf
Para observar gráficamente si una función es inyectiva se debe graficar la función, luego se grafica
una recta horizontal sobre la gráfica de la función y si esta corta en más de un punto, entonces, no
es inyectiva.
Ejercicios:
1) Determine si la siguiente función es inyectiva:
Solución:
Se grafica una recta horizontal sobre el gráfico de la función:
7 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
Luego, según la definición, se observa que la función no es inyectiva, ya que esta recta horizontal
corta en más de un punto a la gráfica de la función.
2) Determine las condiciones para que 242)( 2 xxxf sea inyectiva.
Solución:
Primero se busca el vértice, esto es:
42422)1(4)1(2)1(
122
4
2
fy
x
El valor de a (coeficiente del 2x ) es 2, luego la gráfica es:
Luego no es inyectiva, por lo tanto para restringirla se debe cortar el dominio, luego se pueden
considerar dos funciones inyectivas, estas son:
8 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
1) Determine si la siguiente función es inyectiva:
2) Determine las condiciones para que 44)( 2 xxxf sea inyectiva.
242)(;,1:
242)(;1,:
2
22
2
11
xxxfRf
xxxfRf
Ejercicios propuestos
A continuación, se sugiere revisar los videos n° 1 y n° 2 de la semana, que aparece en el apartado
de “Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios:
9 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Una función BAf : se dice epiyectiva o sobreyectiva si y solo si todo elemento de B es
imagen de algún elemento de A (Carreño, 2008, p. 175)
Formalmente, yxfAxBy ,:
Ejemplos:
1)
2) 2)( 2 xxf
Para que una función se convierta en sobreyectiva se debe calcular el recorrido y definirla sobre su
recorrido.
Ejemplo
Dada la función 242)(;: 2 xxxfRRf , determine condiciones para que sea
sobreyectiva.
Solución:
Primero se busca el vértice, esto es:
42422)1(4)1(2)1(
122
4
2
fy
x
El valor de a es 2, luego la gráfica es:
10 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
1) Determine la condición para que 44)( 2 xxxf sea sobreyectiva.
Por lo tanto, el recorrido es ,4 , ya que en el eje “y” esos son los valores que tienen asociados
una preimagen. Luego, la función 242)(;,4: 2 xxxfRf es sobreyectiva. Si la
función se considera 242)(;: 2 xxxfRRf no es sobreyectiva.
Ejercicio propuesto
A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de
“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio:
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FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA
Una función BAf : se dice biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva (Carreño, 2008,
p. 175).
1)
2) 1)( 3 xxf
En los ejemplos siguientes las funciones no son sobreyectivas y no son inyectivas, por lo tanto no
son biyectivas.
1)
2) 24)( xxf
Dada la función BAf : , se define la función inversa ABf :1 , donde xxff ))(( 1 y
xxff ))((1 .
No siempre existe la función inversa, el siguiente teorema entrega la condición que se requiere
para que exista la inversa.
Teorema: Si es una función f es biyectiva, entonces su función inversa 1f existe y también es
biyectiva.
Ejercicios:
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1) Demuestre que existe la función inversa de 96)( xxf y encuéntrela.
Solución:
La función es lineal, luego su gráfica es:
Luego, la función es lineal en todo su dominio, es decir R , además el recorrido es R . Por lo tanto,
RRf : es biyectiva, luego tiene inversa. Para determinar la inversa se efectúa el siguiente
proceso:
6
9
96
96
yx
yx
yx
Entonces, 6
9)(;: 11 y
yfRRf
2) Determine las condiciones para que la función 23
7)(
x
xxf
tenga inversa.
Solución:
Primer paso: determinar el dominio.
3
2)( RfDom , pues se debe exigir que 023 x , lo que implica:
3
2
23
023
x
x
x
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Segundo paso: determinar el recorrido.
3
1)(Re Rfc , esto se obtiene del siguiente proceso:
Se pasa multiplicando el denominador a la derecha.
Se multiplica y por cada término del paréntesis.
Se trasladan los términos que poseen x y se despejan.
Se factoriza por x .
Se despeja x .
Tercer paso: se determina si la función es inyectiva.
Se multiplica cruzado.
Se multiplica término a término y se reduce.
Luego, la función es inyectiva.
3
1
3
2: RRf es inyectiva y biyectiva, luego por teorema es biyectiva, lo que
implica que posee inversa.
3
2
3
1:1 RRf (esto se obtiene al invertir la información de la función f ).
14 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
1) Determine la condición para que 44)( 2 xxxf tenga inversa y determine la
inversa.
y
yyf
31
72)(
(Esto se obtiene del cálculo de recorrido)
Ejercicio propuesto A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de
“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio:
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ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Las funciones algebraicas son aquellas que pueden expresarse en términos de un número finito de
sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces.
Ejemplo:
32)( xxf
523)( 2 xxxf
1
23)(
x
xxf
2)( xxf
Muchas funciones variadas y complejas se pueden formar a partir de funciones más sencillas:
Supóngase que f y g son funciones y C un número real cualquiera, estas funciones se pueden
combinar de varios modos para crear nuevas funciones como:
)())(( xCfxCf Función escalar
)()())(( xgxfxgf Función suma
)()())(( xgxfxgf Función diferencia
)()())(( xgxfxgf Función producto
0)(,
)(
)()( xgcon
xg
xfx
g
f Función cociente
Ejemplos:
1) Sean 2)( 2 xxf y 3)( xxg , entonces:
a) 63)2(3)(3))(3( 22 xxxfxf
b) 1)3()2()()())(( 22 xxxxxgxfxgf
c) 5)3()2()()())(( 22 xxxxxgxfxgf
d) 623)3)(2()()())(( 232 xxxxxxgxfxgf
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e) 3,3
2
)(
)()(
2
x
x
x
xg
xfx
g
f
2) Sean 1
3)(
x
xxf
, 7)( xxg
calcular:
a) )3)(( gf
Solución:
13
103
102
6
7313
33
33)3)((
gfgf
b) )1)(( gf
Solución:
6
61
62
2
7111
31
11)1)((
gfgf
17 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
c) 0
g
f
Solución:
7
3
7
3
7
1
3
70
10
30
0
00
g
f
g
f
Otra manera de combinar funciones es mediante la composición de funciones:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas dos funciones, f y g , la función dada por ))(())(( xgfxgf , se llama función
compuesta de f con g .
Ejemplo:
Sean 32)( xxf y 1)( 2 xxg , entonces:
123)1(2)1())(())(( 222 xxxfxgfxgf
101241)32()32())(())(( 22 xxxxgxfgxfg
18 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
Observación:
El dominio de ))(( xgf es el conjunto formado por todos los elementos del
dominio de g , tales que )(xg está en el dominio de f .
))(())(( xgfxgf existe si y solo si fcgDom Re
a) La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:
))(())(( xfgxgf
b) La composición de funciones es asociativa, es decir:
c) La inversa de la composición de dos funciones es:
d) La composición de una función y su inversa es la identidad:
Ixffxff ))(())(( 11
Ejercicio
Sean RRf : ; RRAg : definidas por:
301
01
342
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf ; xx
xxg
4
45)(
3
2
Determine:
a) Dom )(g
b) La gráfica de f
c) )1)(()0)(( gffg o
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Solución:
a) Puesto que 045 2 x , solo se debe exigir que:
2,00)4(04 23 xxxxxx
d) Luego el Dom )(g = R-{0,-2,2}
b) La gráfica de
301
01
342
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf es:
c) 03
30
3
3)1()1()1()1()1())0(()1)(()0)((
gfggffggffg
20 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
1) Si :determine23x-)(,1
1)(quetal: 2
xxg
xxfRRDf
a) ))(( xgf
b) ))(( xgf
c) ))(/( xgf
d) ))(( xfof
2) Dadas las funciones:
35
312)(
2
xx
xxxxf
13
2
11
;
xx
xx
xg
Calcular:
a) 2 gf
b) 17gof
Ejercicios propuestos:
A continuación, se sugiere revisar el video n° 3 de la semana que aparece en el apartado de
“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios:
21 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
COMENTARIO FINAL
En esta semana se entendió que una función tiene inversa si y sólo si es biyectiva, por lo tanto es
necesario aprender los conceptos de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Por otro lado, se
observó que las funciones se pueden operar y que en esencia dichas operaciones se realizan con
las imágenes.
22 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8
REFERENCIAS
Carreño, X. y Cruz, X. (2008). Álgebra. Chile: McGraw-Hill.
Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.
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