semana 8 movimiento armonico simple
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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Lic. Fis. Carlos Lévano Huamacto
FISICA I
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-Introducción-La proyección de un movimiento armónico simple-Elementos del Movimiento Armónico Simple-Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple-Ley de Hooke-Periodo de Oscilación-Energía del Oscilador
CONTENIDOS TEMÁTICOS
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INTRODUCCIÓN
Movimiento periódico: se repiten a intervalos iguales de tiempo. Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central, llamada posición de equilibrio.
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Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si
en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto
del espacio siempre con las mismas características de
posición velocidad y aceleración.
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LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR SOBRE UN EJE
RADIO VECTOR
Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo que forma el radio con el eje x va cambiando . Este radio se puede proyectar sobre el eje Y.
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ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLEPeriodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa.
Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones f = 1/Tcompletas efectuadas en la unidad de tiempo.
Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio.Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación.
Frecuencia angular(): = 2ƒ
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Movimiento Armónico Simple
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Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
ω t + :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN
: es la fase inicial (t = 0)
x = A cos( t +)
x = A sin( t +)
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Ecuaciones de la posición del Mov. MASSi x = A sin ωtv= dx/dt = A ω cos
ωt a= dv/dt= -A ω2 sin ωt
a = - 2 x
22 xAv
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Para x>0, F =-kx Para x<0, F =kx
LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico.
La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación.
Fm = -k x
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Periodo de las Oscilaciones
Tomando a= -x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y PERIODO son respectivamente:
El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones.
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:
Fm = m a - k x = m a
T = 2 m / kmk
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ENERGIA CINETICA
Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento.
Ec = 1/2 mv2
Ec = 1/2 k (A2 –x2 )
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La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza un muelle no depende del camino seguido.
FUERZAS CONSERVATIVAS
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Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema.En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía.
ENERGIA POTENCIAL
Epelástica = ½ K x2
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ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR ARMONICO
xdxwmFdxEB
A
B
Ap2
B
A
B
A
xmwxdxmw
2
222
22
22ab
pxKxKE
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REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL
Se toma como referencia, energía potencial cero
aquella donde x = 0
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ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
22
21
21 kxmvET
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M.A.S. angular
La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por:
Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio. = -K Θ
El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)
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Movimiento Periódico Movimiento Armónico
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POSICIÓN VERSUS TIEMPO
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VELOCIDAD VERSUS TIEMPO
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ACELERACION VS TIEMPO
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Posición, velocidad y aceleración vs tiempo
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Descripción del Movimiento Armónico Simple
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M.A.S. verticalColgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el sistema alcanza el equilibrio.
Fuerza recuperadora -> F=kl
En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl k=mg/l -> f= 1/2 k/m
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Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple
x = A cos (t + φ) = A cos (2ƒt + φ)x = A sen(t + β) = A sen (2ƒt + β)
Periodo del péndulo:
T = 2 L / |g|
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(grado
s)
(radian
es)
Sen Diferencia (%)
0 0,0000 0,0000 0,00
2 0,0349 0,0349 0,00
5 0,0873 0,0872 0,11
10 0,1745 0,1736 0,52
15 0,2618 0,2588 1,15
20 0,3490 0,3420 2,01
25 0,4363 0,4226 3,14
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EJERCICIOS 1.Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un
periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su aceleración máxima.
Datos Fórmulasr = 0.15 m F = 1/TT = 4 seg a) Y = r cos 2 π F ta) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V máx = ¿ d) a max = - 4 π 2F2 Ymáx
d) a máx= ¿
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Sustitución y resultados:
F = ¼ s = 0.25 ciclos/sa) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65
radianes. 5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°. cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073 Y 3.6 s = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.b) V 3.6 s = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 323.86° sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901. V 3.6 s = -0.236 m/s x – 0.5901 = 0.14 m/sc) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/sd) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m) = - 0.37 m/s2.
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2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm,
Datos Fórmulas Sustitución
l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/ 9.8 m/s2T = 1.27 s
F = 1/T F = 1/1.27 s = 0.79 ciclos/sg = 9.8 m/seg2.T = ¿F = ¿
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GRACIAS