semana 9 · 2019. 6. 14. · cios cios cios cios cios cios universidad del pac !co manual de imagen...
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Universidad del Pací!coManual de imagenLogotipo institucional
Solucionario de la Lista de Ejercicios 3
Matemáticas para los Negocios Semestre 2018-2
Semana 91. Un fabricante debe decidir sobre las cantidades de producción x e y para dos artículos A y B respectiva-
mente. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra como máximo. Cada productoA requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de mano de obra, mientras que cada producto B requiere8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. Si el fabricante prometió construir por lo menos dosartículos del producto A y el margen de utilidad para ambos artículos es de 5 dólares,
a) determine la Utilidad en función de las cantidades de producción, indicando y graficando su dominio.
Solución. Claramente la función de utilidad tiene la regla de correspondencia U(x, y) = 5x+ 5y.Por otro lado, a partir de las restricciones del problema vemos que el dominio es
Dom(U) ={
(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, 12x+ 8y ≤ 96, 6x+ 12y ≤ 72, x ≥ 2}
Graficando la región se tiene
Y
X
5
2 8
y = 12− 1.5x
y = 6− 0.5x
x = 2
b) Use el gráfico de la parte a) para responder a las preguntas: ¿Se podrán producir 5 unidades delbien B si se producen 4 unidades del bien A?. En caso afirmativo, ¿Cuál será el valor de la Utilidad?
Solución. El punto (4, 5) no pertenece a la región (el dominio) entonces la respuesta es NO.
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2. Un comprador debe seleccionar las combinaciones de las cantidades x e y en onzas, de dos alimentosA y B respectivamente. Se debe cumplir con ciertos requerimientos vitamínicos, los cuales son comomáximo 40 unidades de vitaminas W , por lo menos 50 unidades de vitamina X y por lo menos 49unidades de vitaminas Y . Cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W , 10 unidadesde vitamina X y 7 unidades de vitamina Y , mientras que cada onza de alimento B proporciona 10unidades de vitamina W , 5 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y . Si el alimento A cuesta5 centavos/onza y el alimento B cuesta 8 centavos/onza,
a) determine el Costo en función de las cantidades x e y, indicando y graficando su dominio.
Solución. Claramente la función de costo tiene la regla de correspondencia C(x, y) = 5x + 8y.Por otro lado, a partir de las restricciones del problema vemos que el dominio es el conjunto:
Dom(C) ={
(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, 4x+ 10y ≤ 40, 10x+ 5y ≥ 50, 7x+ 7y ≥ 49}
Graficando la región se tiene
Y
X7 10
2 y = 4− 0.4x
y = 10− 2x
y = 7− x
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b) Use el gráfico de la parte a) para responder a las preguntas: ¿Se podrá comprar 1 onza del alimentoB si se compran 6 onzas del alimento A?. En caso afirmativo, ¿Cuál será el valor del Costo?
Solución. El punto (6, 1) pertenece a la región, luego la respuesta es SI. En ese caso el costo tendríaun valor de 38 centavos.
3. Determine la veracidad de las siguientes proposiciones
a) Si f(x, y) =x
y, entonces para todo k ∈ R, se tiene que Nf (k) 6= ∅.
b) Todas las curvas de nives de f(x, y) = x2 − y2 son hipérbolas.
Solución.
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a) Verdadero. Para cada k ∈ R, basta considerar (k, 1) ∈ R2, entonces f(k, 1) = k, es decir (k, 1) ∈Nf (k).
b) Falso.Nf (0) = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = 0} = {(x, y) ∈ R2 : y = x ∨ y = −x}
Esto no es una hiṕerbola.
4. Grafique el dominio de las siguientes reglas de correspondencia
a) f(x, y) = x√x+ y
b) f(x, y) =x√
x2 − y2.
c) f(x, y) =1
x2 − xy .
d) f(x, y) =1
1−máx{1, x} .
Solución.
a) dom(f) ={
(x, y) ∈ R2 : x+ y ≥ 0}. La gráfica de A es:
Y
X
y = −x
b) dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 > 0} = {(x, y) ∈ R2 : (x− y)(x+ y) > 0}
x
y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
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-1
-2
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losNe
gocio
sMa
temáti
caspa
ralos
Nego
cios
c) dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 − xy 6= 0} = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ x 6= y}
x
y
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
d) dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : máx{x, 1} 6= 1}
x
y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
5. En cada caso, grafique Nf (k), para cada valor de k dado.
a) f(x, y) = x√x+ y, para k = 0 y k = 1.
b) f(x, y) =x√
x2 − y2, para k = −1 y k = 5
4.
c) f(x, y) =1
x2 − xy , para k = −1 y k = 1.
d) f(x, y) =1
1−máx{1, x} , para k = −1 y k = 1.
Solución.
4
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Matem
áticas
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losNe
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s
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x
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1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Nf (1)
Nf (0)
b)
x
y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Nf (−1)
Nf
(5
4
)
c)
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y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Nf (−1)Nf (1)
d) Nf (1) = ∅. Luego
x
y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Nf (−1)
6. Sea f : R2 → R una función de dos variables definida por f(x, y) = x2 − 4x+ 4y2
a) Grafique Nf (0) y Nf (−4).b) Grafique, en el plano Y Z, la curva z = f (1, y).c) Grafique, en el plano XZ, la curva z = f (x, 1).
7. Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas en millones de unidades en el instante detiempo t, al invertir una cantidad de dinero A en la campaña publicitaria, se expresa como una funciónV : R+ × R+ → R con regla de correspondencia:
V (t, A) = 50
(1 + t(1 +
√A)
1 + t
),
con t medido en meses y A en miles de dólares.
6
-
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losNe
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s
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sMa
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cios
a) Determine el volumen de ventas en el noveno mes con una inversión de publicidad de 25 000 dólares.
b) Sea V0 el volumnen de ventas calculado en la parte a), la curva de nivelNV (V0) define implicitamentela cantidad invertida en la campaña publicitaria (A) en función del tiempo (t), calcule la razón decambio instantánea de A con respecto al tiempo en el noveno mes con una inversión publicitaria de25 000 dólares. Interprete el resultado.
Solución.
a)
V (9, 25) = 50
(1 + 9(1 +
√25)
1 + 9
)= 275
El volumen de ventas es de 275 millones de unidades.
b)
50
(1 + t(1 +
√A)
1 + t
)= 275
50(
1 + t(1 +√A))
= 275(1 + t)
50
(1 +√A+ t
(A′(t)
2√A
))= 275
En (t, A) = (9, 25), se tiene A′(9) = −59.
8. Una conocida empresa de hamburguesas tiene como función de producción Q(K,L) = 3K1/3L2/3 paraK,L ≥ 0, dondeK es el capital invertido y L es la fuerza laboral, medidos en miles de soles y trabajadores-hora (trab-h), respectivamente.
a) Grafique la isocuanta cuando el capital invertido es de 125 000 soles y la fuerza laboral es de 250traba-h.
b) La isocuanta de la parte a) define el capital invertido en función de la fuerza laboral, determine laelasticidad puntual del capital invertido con respecto de la fuerza laboral. Interprete el resultado.
Solución.
Q(K,L) = 3(125)1/3(216)2/3 = 540
Luego, Si Q(125, 216) = 540, entonces K =1803
L2.
7
compuelectricRectángulo
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L
K
La elasticidad es dado por
η =L0K0· dKdL
=L0K0· −2 · 180
3
L30=L0K0· 180
3
L20· −2L0
=L0K0·K0 ·
−2L0
= −2
donde (K0, L0) = (125, 216).Si la fuerza laboral se incrementa en 1 %, entonces el capital se debe reducir en 2 % para que el nivel deproducción se mantenga constante.
9. Se sabe que la cantidad de latas de atún producidas Q(x, y), medida en soles, de una empresa del norteperuano está relacionada con las toneladas de pescado, x, y el volumen y de conservantes, medido enlitros, mediante la siguiente relación
Q(x, y) =20x
12 y
12
1− ex .
Determine la variación aproximada del volumen de conservantes , respecto a la variación de la cantidadde pescado cuando se está en la curva de indiferencia correspondiente a 20000 latas de atún.
Solución. Como debemos estar en la curva de indiferencia correspondiente a Q(x, y) = 20, se deduceque √xy = 1−ex, luego xy = (1−ex)2 = e2x−2ex+1 de donde, derivando implícitamente, se desprendeque
y + xy′ = 2e2x − 2ex → y′ = 2e2x − 2ex − y
x.
Por lo tanto aproximadamente4y4x '
2e2x − 2ex − yx
10. Determine una expresión de la función de utilidad de una empresa que produce tres bienes con unos costosunitarios de 12,20 y 30 soles y unos precios de venta por unidad de 20,40 y 60 soles respectivamente.Determine el dominio natural de definición de la función.
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Solución.Sean:x =número de unidades del primer bieny =número de unidades del segundo bienz =número de unidades del tercer bienLa función utilidad vendrá determinada por:
U(x, y) = I(x, y, z)− I(x, y, z) = 20x+ 40y + 60y − (12x+ 20y + 30z) = 8x+ 20y + 30z
Como el número de unidades producidas es una cantidad no negativa, el dominio de la función es:
Dom(U) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, y = 0, z = 0}
11. Sea la función de utilidad U(x, y) = x13 y
23 con x, y > 0, compruebe que sus curvas de nivel son decre-
cientes y convexas.
Solución.Dado k ∈ R, la curva de nivel de U en k es:
NU (k) = {(x, y) ∈ R2 : x13 y
23 = k}
Aplicamos derivación implícita a la ecuación x13 y
23 = k obtenemos que dydx = −
y2x < 0. Además, aplicando
una vez mas derivación implícita se obtiene que d2ydx2 =
3y4x2 > 0. Los resultados obtenidos conllevan a
concluir que las curvas de nivel son decrecientes y convexas.
12. (a) Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate oscuro. El costo de material y mano de obrapor producir un kilo del chocolate blanco es 6 soles y el del oscuro es 5 soles. Suponga que la empresatiene costos fijos semanales de 1200 soles. Encuentre el costo semanal como función de la cantidadde kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana. Suponga que la pastelería vende el kilode chocolate blanco a 10 soles y el oscuro a 8 soles. Obtenga la función utilidad mensual comofunción del número de kilos de cada tipo producidas y vendidas a la semana.
(b) Una heladería ofrece tinitas y barquillas. Se ha estimado que si se vende la tinita a p1 soles y labarquilla a p2 soles, la ecuación de demanda de la tinita está dada por
D1(p1, p2) = 300− 5p1 + 10p2y la ecuación de demanda de la barquilla por
D2(p1, p2) = 200 + 7p1 − 5p2al día. Exprese el ingreso diario de la compañía en función de p1 y p2.
Solución.
(a) El costo de material y manos de obra por producir q1 kilos de chocolate blanco y q2 kilos de chocolateoscuro están dado por 6q1 y 5q2 respectivamente. El costo conjunto en este caso esta dado por
C(q1, q2) = 6q1 + 5q2 + 1200.
Primero obtendremos la función de ingreso conjunto. Es claro que
I(q1, q2) = 10q1 + 8q2
Finalmente obtenemosU(q1, q2) = 4q1 + 3q2 − 1200.
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(b) El ingreso diario lo podemos calcular a partir de
Ingreso conjunto = Ingreso por la venta de tinita + ingreso por la venta de barquillas
I(p1, p2) =p1(300− 5p1 + 10p2) + p2(200 + 7p1 − 5p2)=300p1 + 200p2 + 17p1p2 − 5p21 − 5p22
13. (a) Isabel piensa comprar 25 unidades de un bien y 6 de un segundo bien. Si la función de utilidad deconsumo de Isabel está dada por
U(x, y) = y√x
donde x representa el número de unidades a comprar del primer bien. Represente geométricamenteotras alternativas de consumo que le dan el mismo nivel de utilidad.
(b) La función de costos conjuntos por la fabricación de q1 artículos de tipo 1 y de q2 artículos de tipo2 está dado por
C(q1, q2) = q21 + q
22 + 4q1 + 60.
Grafique la curva de nivel C(q1, q2) = 100 (Curva de isocosto).
Solución.
(a) U(25, 6) = 30, graficando y√x = 30↔ y = 30√
x
U(x, y) = 30
(25, 6)
x
y
(b) Completando cuadrados q21 + (q2 + 2)2 = 36
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C(q1, q2) = 100
(0,−2)
(0, 4)
q1
q2
Semana 101. Sea f : R2 → R con regla de correspondencia dada por
f(x, y) =
xy√x2 + y2
+ ex + ey si (x, y) 6= (0, 0)
2 si (x, y) = (0, 0)
Calcule∂f
∂x(0, 0).
Solución. Por definición:
∂f
∂x(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)h
= ĺımh→0
h · 0√h2 + 02
+ eh + e0 − 2
h= ĺımh→0
eh − 1h
= 1
El límite anterior puede ser calculado por L’Hospital, o también notar que es el valor de la derivada dela función exponencial en 0.
2. En cada caso, calcule las derivadas parciales de f : R2 → R
a) f(x, y) =(x2y − xy2
)ey
2−x2
b) f(x, y) =xy2
y2 + x2 + e
c) f(x, y) =(x2 + 1
)y2+1d) f(x, y) =
(x3y + xy2
)ln (y2 + x2 + 1)
e) f(x, y) =√x2y4 + ex−y+1
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Solución.
a)∂f
∂x=(2xy + 2x2y2 − y2 − 2x3y
)ey
2−x2 ,∂f
∂y=(x2 + 2x2y2 − 2xy − 2xy3
)ey
2−x2 .
b)∂f
∂x=y4 − x2y2 + ey2(y2 + x2 + e)2
,∂f
∂y=
2x3y + 2exy
(y2 + x2 + e)2.
c)∂f
∂x= (2xy2 + 2x)
(x2 + 1
)y2+1, ∂f∂y
= 2y(x2 + 1
)y2+1ln(x2 + 1).
d)∂f
∂x= (3x2y+y2) ln (y2 + x2 + 1)+
2x4y + 2x2y2
y2 + x2 + 1,∂f
∂y=(x3 + 2xy
)ln (y2 + x2 + 1)+
2x3y2 + 2xy3
y2 + x2 + 1.
e)∂f
∂x=
2xy4 + ex−y+1
2√x2y4 + ex−y+1
,∂f
∂x=
4x2y3 − ex−y+12√x2y4 + ex−y+1
.
3. Dado z = Ax4 + 2Bx2y2 + Cy4, verifique que xzx + yzy = 4z
Solución.Se tiene que:
zx = 4Ax3 + 4Bxy2, zy = 4Bx
2y + 4Cy3
Con lo cual:
xzx + yzy = 4Ax4 + 4Bx2y2 + 4Bx2y2 + 4Cy4 = 4Ax3 + 8Bx2y2 + 4Cy4 = 4z
4. Use las reglas de correspondencia de f(x, y), x(r, s), y(r, s) dadas en los siguientes items para calcular
las derivadas parciales∂F
∂ry∂F
∂s, donde F (r, s) = f(x(r, s), y(r, s)).
a) f(x, y) =√x+√y, x(r, s) = (r + 1)2 + s2, y(r, s) = r2 + s4.
b) f(x, y) = exy + x2y, x(r, s) = r + s2, y(r, s) = r − s2.c) f(x, y) = ln(
√x2 + y2 + 1), x(r, s) = res, y(r, s) = re−s.
Solución. Recordemos la regla de la cadena:
r
x
??
��s
f
??
��
r
y
??
��s
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