semana nº 09
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Ecuaciones diferencialesTRANSCRIPT
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M.Sc. Edinson Idrogo Burga 1
DOCENTE: EDINSON IDROGO BURGA
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TRANSFORMADA INVERSA Sea una funcin seccionalmente continua y de orden
exponencial, entonces esta garantizada la existencia de
Luego como:
A esta expresin se le conoce como transformada inversa de laplace.
Ejemplos: Cual ser la transformada inversa de:
Rf ,0[:
0
)()()}({ sFdttfetf st
)}({)( )()}({ 1 sFtfsFtf
3
4)( )1(
s
sF9
6)( )2(
2 s
sF
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PROPIEDADES
1) Propiedad de linealidad: Dadas las constantes . Entonces:
Ejemplo: Calcular
2) Propiedad de traslacin: Si
Ejemplo: Calcular
Rba ,
)()()}({)}({)}()({ 111 tbgtafsgbsfasbgsaf
4
2
7
3423
1
ss
s
s
)()}({ )()}({ 11 tfeasftfsf at
9)3(
62
1
s
s
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE POR EL
MTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES
Las funciones racionales donde P(s) y Q(s) son polinomios en las
cuales el grado de p(s) es menor que el grado de Q(s), pueden
expresarse como una suma de funciones racionales simples, aplicando
el criterio de descomposicin estudiado en el caso de las integrales de
funciones racionales .
Ejemplos: Calcular
)(
)(
sQ
sP
)3)(1)(2(
3719 )1( 1
sss
s
ss
s3
1 12 )3(
6420
2416 )2(
24
31
ss
ss
)1)(1(
1 )4(
2
1
ss
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CONVOLUCIN: Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en . La
Convolucin de f(t) y g(t), denotada por f*g, se define mediante:
Ejemplo:
Encontrar la Convolucin de las siguientes funciones:
TEOREMA DE CONVOLUCIN PARA LA TRANSFORMADA INVERSA
Suponiendo que:
y
Entonces:
Donde F*G es la Convolucin de F y G
,0[
t
duutguftgf0
)()())((
2)( ,)( ttgttf
)()}({1 tFsf )()}({1 tGsg
t
GFduutGuFsgsf0
1 )()()}().({
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Ejemplos: Utilice el teorema de Convolucin para encontrar:
22
1
)1(
1 )1(
s
)1()1(
1 )2(
2
1
ss
42
21
)1( )3(
s
s
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APLICACIONES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A LA
RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ecuacin Diferencial
Ecuacin de la T.L
Resolucin de la ecuacin de T.L
Solucin de la ecuacin diferencial
1
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Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
3)0( ,0)0( ,3 182 )12
2
yytseneydt
dy
dt
yd t
0)0( ,0)0( ,3)(16)(8(t)y )2 yytytyt
3)0( ,0)0( ,0)0( ,cos10254 )32
2
3
3
yyytydt
dy
dt
yd
dt
yd
1)0( ,3)0( ,2cos6d
4)2
2
xxtxdt
x
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5) Un qumico desea enfriar desde 80C hasta 60C una sustancia
contenido en un matraz se coloca el dispositivo en un recipiente amplio
por el que circula agua a 15C. Se observa que despus de 2 minutos la
temperatura ha descendido a 70C. Estimar el tiempo total de
enfriamiento.
6) Un peso de 8 lb se sujeta a un resorte suspendido del techo. Cuando el
peso llega al reposo en equilibrio, el resorte ha sido estirado 2 pies. La
constante de amortiguamiento b del sistema es 1 lb- pie/seg. Si el peso
se eleva 6 pulgadas sobre la posicin de equilibrio y se le aplica una
velocidad inicial dirigida hacia arriba de 1 pie/seg, encuentre la ecuacin
del movimiento del peso. Cul es el desplazamiento mximo que
alcanzara el peso arriba del punto de equilibrio?
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