semelhança em figuras planas
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Geometria - Ensino FundamentalTRANSCRIPT
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SEGMENTOS, RETAS E RELAÇÕES DE PROPORCIONALIDADE
• Razão de segmento
A razão entre dois segmentos e é a divisão de suas medidas, tomadas na mesma unidade.
Sejam os segmentos e , a razão entre eles é , ou seja: é 3/5 de .
AB CD
AB CD
3
5
AB
CDAB CD
2
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
• Se quatro segmentos formam a proporção ,dizemos que e
são proporcionais a e
AB EF=
CD GH
2 4=
3 6
, , ,AB CD EF GHAB CD
EF GH
AB EF=
CD GH
3
Feixes de retas e reta transversal
Feixes de paralelas
• Um conjunto de retas de um plano, todas paralelas entre si, é chamado de feixe de retas paralelas.
• Temos que:
•
Reta transversal
t r s
• A reta que concorre (corta) o feixe de paralelas é chamada reta transversal. Temos que: e a reta t é a transversal.
q r s
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TEOREMA DE TALES• Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas
retas transversais, os segmentos de reta determinados sobre uma são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados sobre outra.
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Exemplos: Teorema de Tales• Exemplo 1: Consideremos o feixe de paralelas abaixo, cortado por duas retas
transversais.
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Exemplo 2
São observadas as seguintes proporções:
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Exemplo de aplicação do Teorema de Tales.
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SEMELHANÇA EM FIGURAS PLANAS
Ampliação, redução, homotetia
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Ampliação e Redução
Ampliação: a figura II foi obtida a partir de ampliação da figura I
Redução: a figura II foi obtida a partir de redução da figura I
I
II
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Relações entre as medidas das figuras
Relação entre os lados
• Considerando a1, b1 e c1 os lados da figura I e h1 a sua altura.
• Considerando a2, b2 e c2 os lados da figura II e h2 a sua altura temos:
Assim temos que
Verificando a mesma relação em a1,b1
e a2, b2 , verificamos que as figuras são proporcionais, onde
h1 = ½ h2 ou h2 = 2 h1
e semelhantemente aos outros lados.
Relação entre os ângulos
1 1
2 2
1 2 1;
2 4 2
h c
h c
1 1
2 2
h c
h c
• Considerando a figura I, e seus respectivos ângulos:
• Considerando a figura II e seus respectivos ângulos:
• Usando um instrumento para medir ângulos, verificamos que:
• =
• Assim, em uma ampliação ou redução, os lados correspondentes aumentam proporcionalmente, e os ângulos são congruentes (iguais).
, ,
,́ ', '
, , ,́ ', '
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TRIANGULOS SEMELHANTES
Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos congruentes.
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Figuras semelhantes e não semelhantes
• Qual das figuras é semelhante ao modelo?
• As figuras A e C tem características semelhantes ao modelo, porém não são consideradas semelhantes pois não possuem formas iguais e dimensões proporcionais.
Identifica a figura semelhante ao modelo e indica a razão de semelhança.
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Homotetia: transformação de figuras planas
• A partir de um ponto O, traçamos retas que passam em cada um dos pontos A, B, C e D da figura original . Depois, em cada reta traçada, marcamos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que OA’ = k OA , onde k é a constante de proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os demais pontos.
• O ponto O é denominado centro de homotetia.• As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes.
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Centro de homotetia• O ponto H é o centro de
homotetia.• As figuras são
semelhantes.
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Relação entre perímetro e área de polígonos semelhantes.
• Consideremos os polígonos abaixo:
I) São semelhantes, com constante de proporcionalidade igual a k.
II) Temos então que a= k a’, b = k b’ e sucessivamente.
• O perímetro da figura abcde é a+b+c+d, e o perímetro da figura
a’b’c’d’e’ é a’+b’+c’+d’+e’.
Assim, a razão entre os perímetros é :
Da afirmação II, concluímos que:
Assim:
Concluímos então que os perímetros são proporcionais.
' ' ' ' '
a b c d e
a b d e
( ' ' ' ' ')a b c d e k a b c d e
' ' ' ' '
a b c d ek
a b d e
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Área de figuras semelhantes• Consideremos os retângulos R1 e
R2, semelhantes:
• Sejam a, b, c e d o lados de R1, e a’, b’, c’ e d’ os lado de R2.
• Temos que:
• A área de R1 é :
• A área de R2 é:
9 33; 3
' 3 ' 1
a b
a b
A a b
2 ' 'A a b
• A razão entre as áreas é:
Como: a = 3 a’,
b = 3b’
então:
Assim:
2 ' '
A a b
A a b
2
2
3 ' 3 ' 3 ' '
' ' ' ' ' '
A a b a b a b
A a b a b a b
22
2
2
3; 3
1
AA A
A
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Razão entre perímetro e área de figuras semelhantes
• Perímetro: a razão entre seus perímetros é igual à razão entre quaisquer dois lados correspondentes
• Área: a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão entre quaisquer
dois lados correspondentes.
1
2
Pk
P
21
2
Ak
A
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Posições relativas de duas retas
• Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço:
• Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.
•
• Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.
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Posições relativas de duas retas
• Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.
• Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem
ponto em comum formando um ângulo de 90° .
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Ângulos opostos pelo vértice
• Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.
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Ângulos opostos pelo vértice
• Dois ângulos opostos pelo vértice tem a mesma medida.
• Considerando os ângulos: x, y, z e k, temos:
• x = z; y = k
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Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal
Consideremos as retas e ângulos abaixo:
• Temos que r e s são paralelas .
• Os ângulos a, e, c e g são congruentes.
• Os ângulos b, d, f e h são congruentes.
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Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
• Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180° .
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Triângulos
• Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e também os três ângulos.
• Triângulo isósceles: possui dois lados iguais. Os ângulos correspondentes aos lados iguais também são iguais.
• Triângulo escaleno: possui os três lados distintos. Os ângulos também são distintos.
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS• Dois triângulos são semelhantes quando tem os
ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
• Indicamos: ' ' 'ABC A B C
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PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro.
• Consideremos Pelo Teorema de os triângulos Tales:
CAB e CEF, temos:
Assim:
ˆˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
CEF CAD
CFE CBA
ECF ACB
CE CF EF
CA CB AB
CAB CEF 27
Casos de semelhança de triângulos
• AA (ângulo – ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.
• LAL (lado – ângulo – lado): Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes.
• LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos tem os tres lados correspondentes proporcionais, eles são semelhantes.
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LAL (lado – ângulo – lado)
Dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente.
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AA (ângulo – ângulo)
Os ângulos correspondentes são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
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LLL (lado – lado – lado)
Os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos são semelhantes.
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Relações métricas no triângulo retângulo
• Triângulo Retângulo: possui um ângulo de 90° .
• Seja ABC o triângulo retângulo
• Os elementos de um triângulo recebem denominações especiais:
• O lado a, oposto ao ângulo reto é a hipotenusa;
• Os lados b e c, são os catetos.
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b
c
h
Relações métricas no triângulo retângulo
No triangulo retângulo ABC temos:
• Hipotenusa: a
• Catetos b e c
Ao traçarmos a altura AD, relativa à hipotenusa, obtemos
• h: medida da altura relativa à hipotenusa;
• m: medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa;
• n: medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa.
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Relações métricas no triângulo retângulo • Seja o triangulo retângulo
ABC.• Os triângulos EBA e EAC
são semelhantes.
Concluímos também que os triângulos EBA, EAC e ABC são semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
• Explorando a semelhança dos triângulos temos:
• (1)
• (2)
• (3)
• Das relações (1) e (2) e em seguida usando a (3) obtemos:
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2BC AB a cABC EBA c a n
AB BE c n
2BC AC a bABC EAC b a m
AC EC b m
2AE BE h nEBA EAC h m n
EC AE m h
a h b c
Relações métricas no triângulo retângulo
• Somando membro a membro as relações (1) e (2) e observando que m+n = a, obtemos:
• Assim num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, temos:
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2
2 2 2 2 2 2 2
2( )
a
b a mb c a m a n b c a m n b c a
c a n
2 2 2a b c
TEOREMA DE PITÁGORAS• “Em qualquer triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”
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2 2 2a b c
Demonstração do Teorema de Pitágoras
• O vídeo representa uma demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras:
38
Relações métricas no triângulo retângulo
• Quadro resumo:
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• Da semelhança de triângulos temos as seguintes relações:
2
2
2
2 2 2
c a n
b a m
h m n
a h b c
a m n
a b c