semestre 1 - iogs
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FormationContinue
Libres savoirsSite pédagogique de SupOptique
Continuingeducation
503Centresdâentrepreunariat &dâinnovation
IngénIOGS
Présentations de projets étudiants
LEnsELaboratoire dâEnseignementExpĂ©rimental
CFASupOptiqueFiliĂšre par lâapprentissage
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Travaux Pratiques dâOptiqueSemestre 1
Annexe Les incertitudes de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1TP 1 & 2 Mesures optiques visuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15TP 3 & 4 ContrÎles interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TP 5 & 6 InterféromÚtre de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Cycle Ingénieur - 1Úre année - PalaiseauAnnée 2016-2017
Version du 15 juillet 2016
ii
RĂšgles de fonctionnementdu LEnsE
Absences
La prĂ©sence des Ă©tudiant·e·s Ă toutes les sĂ©ances de travaux pratiquesprĂ©vues Ă lâemploi du temps est obligatoire et impĂ©rative. En cas de diffi-cultĂ© majeure, si un membre dâun binĂŽme est toutefois absent, lâautredoit venir Ă la sĂ©ance et faire le TP. Et, en Optique, chacun des membresdu binĂŽme rendra un compte-rendu individuel.
Absence excusĂ©e. Justificatif Le justificatif dâabsence doit ĂȘtre dĂ©-posĂ© au secrĂ©tariat, les Ă©lĂšves concerné·e·s doivent aussi prĂ©venirdirectement les responsables du LEnsE du motif de lâabsence (Ă lâavance, si lâabsence est prĂ©visible).
Absence excusĂ©e. Rattrapage LâĂ©lĂšve doit impĂ©rativement prendrecontact avec les enseignant·e·s de TP pour Ă©tudier la possibilitĂ© derattrapage (suivant la disponibilitĂ© des enseignant·e·s, du matĂ©rielet des salles). LâĂ©lĂšve rattrape alors le TP et :
En optique, lâĂ©lĂšve rĂ©dige un CR qui sera notĂ©. Sâil nâest pas pos-sible de trouver une date de rattrapage suite Ă une impossibilitĂ©du service des TP, le TP ne sera ni rattrapĂ© ni notĂ© (la moyennesera faite sur les notes restantes). Ce TP restera nĂ©anmoins auprogramme de lâexamen et lâĂ©tudiant·e pourra ĂȘtre interrogé·esur ce TP lors de lâexamen de TP.
En ETI et ProTIS, la synthÚse du thÚme concerné, rédigée par lebinÎme, devra contenir des résultats des deux séances indivi-duelles (la séance normale et celle de rattrapage).
Si lâĂ©lĂšve refuse la date de rattrapage proposĂ©e, il ou elle sera consi-dĂ©ré·e comme absent·e non excusé·e.
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iv
Absence non excusĂ©e Toute absence non justifiĂ©e entraĂźne :En optique, un zĂ©ro pour la sĂ©ance et lâimpossibilitĂ© de travailler
sur ce TP avant la pĂ©riode de rĂ©vision. En cas dâabsences rĂ©-pĂ©tĂ©es, le responsable dâannĂ©e interdira Ă lâĂ©tudiant·e de passerlâexamen en fin dâannĂ©e.
En ETI et ProTIS, un zéro pour la note de synthÚse concernée.
Retards
Aucun retard nâest acceptable et en cas de retard important (ou de re-tards frĂ©quents) dâun·e Ă©tudiant·e, celui-ci ou celle-ci se verra refuser lâac-cĂšs au laboratoire. Les consĂ©quences en seront identiques Ă celles dâuneabsence non excusĂ©e (voir plus haut).
Plagiats
Le plagiat est le fait de sâapproprier un texte ou partie de texte, image,photo, donnĂ©es... rĂ©alisĂ© par quelquâun dâautre sans prĂ©ciser quâil ne sâagitpas de son travail personnel. On plagie quand on ne cite pas lâauteur dessources que lâon utilise. Exemples de plagiat :
â Copier textuellement un passage dâun livre ou dâune page Web sansle mettre entre guillemets et/ou sans en mentionner la source.
â InsĂ©rer dans un travail des images, des graphiques provenant desources externes (hors Ă©noncĂ© du TP) sans en indiquer la prove-nance.
â Utiliser le travail dâun·e autre Ă©lĂšve et le prĂ©senter comme le sien(et ce, mĂȘme si cette personne a donnĂ© son accord !).
â RĂ©sumer lâidĂ©e originale dâun auteur en lâexprimant dans ses propresmots, mais en omettant dâen indiquer la source.
â Traduire partiellement ou totalement un texte sans en mentionnerla provenance.
Tout binÎme convaincu de plagiat dans un compte-rendu ou une syn-thÚse de TP se verra attribuer la note de 0/20 à ce TP ou cette synthÚse etencourt les sanctions disciplinaires prévues au rÚglement intérieur.
Respect du matériel et des locaux
Le LEnsE met à votre disposition une trÚs grande quantité de matérielscientifique.
Ces matĂ©riels sont trĂšs fragiles, sensibles Ă la poussiĂšre, aux traces dedoigts, aux rayures, etc. Merci dâen prendre le plus grand soin.
v
Il est donc formellement interdit dâapporter de la nourriture oudes boissons dans lâensemble du service (couloirs compris). Mercide veiller aussi Ă laisser les locaux particuliĂšrement propres (si vos chaus-sures sont sales, retirez-les et laissez-les Ă lâentrĂ©e !)
Pour toute demande dâaccĂšs en dehors des sĂ©ances de TP, vous devezimpĂ©rativement (et Ă lâavance) vous adresser au responsable technique duLEnsE, Thierry AVIGNON ou Ă CĂ©dric LEJEUNE (bureau S1.18).
vi
Ăvaluation
TP & compte-rendusBarĂšme indicatif sur 20 points :
Si la prĂ©sentation oralenâa pu avoir lieu :
Habilité en manipulation 5 5Compte-rendu 10 15Présentation orale 5
Comptes-rendus :Sauf indication contraire, les comptes-rendus doivent ĂȘtre dĂ©posĂ©s sur
le site Libres Savoirs une semaine aprÚs la séance. Merci de respecter lesconsignes suivantes :
â Certifiez lâoriginalitĂ© de votre travail en faisant figurer la mention :Nous attestons que ce travail est original, que nous citons en rĂ©fĂ©-rence toutes les sources utilisĂ©es et quâil ne comporte pas de plagiat.
â VĂ©rifiez que vos noms et le numĂ©ro de votre binĂŽme figurentsur la premiĂšre page de votre compte-rendu avant de la trans-former en .pdf.
â Renommez le fichier .pdf selon le format :G4B05DupondEtDupontTP.pdf avant de le dĂ©poser sur le site.
Attention : un point de moins par jour de retard !
Chaque vendredi, la liste des éventuels compte-rendus manquants estaffichée sur le panneau du LEnsE, pensez à la vérifier !
Présentation orale :La présentation orale a plusieurs objectifs :
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viii
â elle nous permet de vĂ©rifier si vous avez compris les points essentielsdu TP, si vous ĂȘtes capable de prendre du recul par rapport auxmanipulations effectuĂ©es.
â elle nous permet de corriger les points que vous auriez mal compris.â elle vous entraĂźne Ă prĂ©senter oralement un travail expĂ©rimental
de maniĂšre synthĂ©tique. Câest une situation que vous rencontrerezsouvent dans votre vie professionnelle.
La présentation orale aura lieu durant le TP, sa durée est de 5 minutespour un binÎme, 7 minutes pour un trinÎme, pendant lesquelles chaquemembre du binÎme ou trinÎme doit intervenir.
Elle sâadresse Ă un "opticien de passage" (par exemple un ancien Ă©lĂšvede SupOptique sorti il y a plus de 5 ans) qui a priori ne connaĂźt rien Ă lamanipulation. Vous pouvez choisir le plan qui vous semble le mieux adaptĂ©,utiliser le matĂ©riel du TP et montrer les rĂ©sultats obtenus.
Seront Ă©valuĂ©es :â les qualitĂ©s pĂ©dagogiques (clartĂ©, prĂ©cision, enthousiasme,. . . )â les capacitĂ©s de synthĂšse,â la qualitĂ© scientifique de la prĂ©sentation,â la gestion du temps.DĂ©fauts Ă Ă©viter absolument :â faire un rĂ©sumĂ© « historique et linĂ©aire » du dĂ©roulement de la sĂ©ance,â nous prĂ©senter des points de dĂ©tails (que nous vous avons justement
expliquĂ©s pendant la sĂ©ance parce quâils Ă©taient dĂ©licats),â utiliser des termes trop spĂ©cialisĂ©s sans les expliquer.
Examen
Lâexamen de fin dâannĂ©e en 1A et 2A se dĂ©roule de la façon suivante(tous les documents sont autorisĂ©s) :
â LâĂ©lĂšve tire un sujet au hasard. Celui-ci tient en quelques phrases :caractĂ©riser les aberrations dâun objectif (2A), mesurer le bruit dâunsystĂšme de dĂ©tection (2A),...Le sujet est trĂšs proche dâun TP de lâan-nĂ©e (premier ou deuxiĂšme semestre).
â LâĂ©lĂšve a ensuite 2 heures pour :â rĂ©flĂ©chir Ă la meilleure façon de rĂ©aliser la mesure qui lui est
demandĂ©e,â effectuer le montage et le rĂ©glage de la manipulation,â effectuer les mesures,â Ă©valuer les incertitudes sur ses mesures,â analyser les rĂ©sultats,â et prĂ©parer la prĂ©sentation orale.
ix
â Au bout des deux heures, lors dâun exposĂ© oral dâenviron 10 minutes,lâĂ©lĂšve explique :â comment il a effectuĂ© la mesure qui lui Ă©tait demandĂ©e,â quelles sont les prĂ©cautions particuliĂšres Ă prendre,â dans quel ordre faire les rĂ©glages,â et il commente les mesures effectuĂ©es.
â Les enseignants du jury posent ensuite des questions permettant deprĂ©ciser ou dâapprofondir le travail rĂ©alisĂ© par lâĂ©lĂšve.
En prĂ©paration de cet examen final, en plus du soin apportĂ© aux comptes-rendus pendant lâannĂ©e et Ă votre participation active pendant les sĂ©ances,nous ne pouvons que vous conseiller fortement de rĂ©viser bien Ă lâavanceles travaux pratiques des deux semestres.
x
Les incertitudes demesure en travauxpratiques.
On mesure lâintelligence dâun individuĂ la quantitĂ© dâincertitudes quâil est capable de supporter.
Emmanuel Kant
Lâhumour : lâivresse de la relativitĂ© des choses humaines ;le plaisir Ă©trange issu de la certitude quâil nây a pas de certitude.
Milan Kundera
Sommaire1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Présenter un résultat de mesures . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Ăvaluation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1 Vocabulaire et dĂ©finitions . . . . . . . . . . . . . . 33.2 MĂ©thode A : Ă lâaide de mesures multiples . . . . . 53.3 MĂ©thode B : analyse "thĂ©orique" . . . . . . . . . . . 8
4 Propagation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 IntroductionMesurer des grandeurs identifiées est une activité fondamentale dans
les laboratoires de recherche scientifique et dans lâindustrie. Câest aussifondamental dans de nombreuses activitĂ©s quotidiennes comme le pesagedans les commerces, les analyses biologiques, la mesure de vitesse avec unradar, . . .
1
2
Il est nĂ©cessaire dâĂ©tablir la confiance dans les rĂ©sultats fournis lors deces mesures.
Mesurer une grandeur (intensitĂ© dâun courant, tension, longueur,. . .),nâest donc pas simplement rechercher la valeur de cette grandeur maisaussi lui associer une incertitude afin de pouvoir qualifier la qualitĂ© de lamesure.
Déterminer une incertitude de mesure est une opération difficile etcomplexe, mais néanmoins indispensable (et pas seulement en TP, biensûr).
Lorsque vous ĂȘtes verbalisĂ© Ă 95 km/h pour une vitesse maximale autorisĂ©e de90 km/h, vous ĂȘtes en droit de supposer que le radar a mesurĂ© la vitesse de votre vĂ©-hicule Ă 95±3 km/h. Donc, si lâincertitude est donnĂ©e pour un intervalle de confiancede 99, 7% (+/- 3 Ă©cart-types), votre vĂ©hicule roulait entre 92 et 98 km/h (avec une pro-babilitĂ© de 99, 7 % ). Pas de chance !
Quoi quâil en soit, en Travaux Pratiques, vous ne devrez jamais donnerun rĂ©sultat de mesure sans lâaccompagner de son incertitude,. . .sous peinedâĂȘtre "verbalisĂ©s".
2 Présenter un résultat de mesures
2.1 Des exemplesVous mesurez lâangle dâun prisme. Le rĂ©sultat doit ĂȘtre donnĂ© sous la
forme :A = 5958âČ45âČâČ Â± 15âČâČ
Vous mesurez la focale dâun systĂšme optique :
f = 51, 0 mm±1, 5 mm
Ou encore une résistance :
R = 101 Ω±5 Ω
2.2 Chiffres significatifsDonnez toujours les résultats avec un nombre raisonnable de chiffres
significatifs et en accord avec lâincertitude. Surtout PAS de :
R = 101, 6598 Ω±5 Ω
3. ĂVALUATION DES INCERTITUDES 3
Attention, en particulier, avec les tableaux Excel dans lesquels vous de-vez choisir le nombre de chiffres affichĂ©s, sous peine lĂ encore de donnerlâimpression dâavoir obtenu des prĂ©cisions hors Ă©chelle !
Si vous mesurez la distance focale dâun systĂšme par la mĂ©thode simpleyâČ/ tan(Ξ) et que vous donnez le tableau suivant :
Ξ Ξ () yâČ (mm) f âČ = yâČ/ tan(Ξ) (mm)
250âČ45âČâČ 2, 845833333 9, 8 197, 143412
TABLE 1 â Exemple A NE PAS suivre !
Vous prétendez alors mesurer la focale avec une précision nanomé-trique !
Préférez ce tableau :
Ξ Ξ () yâČ (mm) f âČ = yâČ/ tan(Ξ) (mm)
250âČ45âČâČ 2, 85 9, 8 197
TABLE 2 â Exemple Ă prĂ©fĂ©rer !
Et dans tous les cas, le rĂ©sultat final de la mesure effectuĂ©e donneralâincertitude, par exemple :
f âČ = 197± 5 mm
Lâincertitude a au plus 2 chiffres significatifs et est toujours arrondiepar valeur supĂ©rieure. Et pour la valeur mesurĂ©e, le dernier chiffre signi-ficatif a le mĂȘme rang que celui de lâincertitude.
3 Ăvaluation des incertitudes
3.1 Vocabulaire et dĂ©finitionsMesurage (ou mesure). On appelle mesurage (ou mesure) lâensembledes opĂ©rations permettant de dĂ©terminer expĂ©rimentalement une ou plu-sieurs valeurs que lâon peut raisonnablement attribuer Ă une grandeur.
La valeur vraie. Lorsque lâon fait une mesure, câest, bien sĂ»r, que lâonne connaĂźt pas la valeur vraie. La valeur vraie est inconnaissable.
4
Dans un compte rendu, vous ne pouvez donc pas Ă©crire que vous avezeffectuĂ© une « bonne » mesure, car le rĂ©sultat de mesure est « proche dela vraie valeur » ! Il est prĂ©fĂ©rable de donner lâĂ©cart Ă la valeur tabulĂ©e(ou trouvĂ©e dans le Hand Book, ou donnĂ©e dans le polycopiĂ©,. . . , et quielle aussi est, en principe, donnĂ©e avec son incertitude) est de tant, ou detant de % en valeur relative. On peut ensuite comparer cet Ă©cart Ă votreĂ©valuation de lâincertitude sur votre mesure.
RĂ©pĂ©tabilitĂ© : les rĂ©sultats de mesures successives dâune mĂȘme gran-deur sont obtenus par la mĂȘme mĂ©thode, par le mĂȘme opĂ©rateur, avec lesmĂȘmes instruments de mesure, dans le mĂȘme laboratoire, et Ă des inter-valles de temps assez courts.
ReproductibilitĂ© : les rĂ©sultats de mesures successives dâune mĂȘmegrandeur sont obtenus par mĂ©thodes diffĂ©rentes ou au moyen de diffĂ©rentsinstruments de mesure, par diffĂ©rents opĂ©rateurs dans diffĂ©rents labora-toires.
Erreur systĂ©matique : Par dĂ©finition, lâerreur systĂ©matique est lâecartmoyen Ă la valeur vraie : M â ValeurVraie. En toute rigueur, M est lamoyenne qui rĂ©sulterait dâun nombre infini de mesurages de la mĂȘme gran-deur, effectuĂ©s dans les conditions de rĂ©pĂ©tabilitĂ© et de reproductibilitĂ©. Lavraie valeur Ă©tant inconnaissable, il en est de mĂȘme pour lâerreur systĂ©-matique. En revanche, si elle est dĂ©tectĂ©e, une erreur systĂ©matique, doitĂ©videmment ĂȘtre corrigĂ©e.
Ces définitions sont illustrées sur le graphique de la figure 1.
3. ĂVALUATION DES INCERTITUDES 5
Grandeur inconnueĂ mesurer
Valeurvraie
RĂ©sultat desmesures successives
m1,m2, . . .mN
-M
Erreursystématique
Ăcart type :rĂ©pĂ©tabilitĂ© oureproductibilitĂ©
-
-
-
-
m1
m2
m3
m4
Processus de mesure
Processus analogueĂ la " planche de Galtonâ
(voir figure 2)
Résultat affiché
M = 1N
ââNi=1mi
FIGURE 1 â Illustration du processus de mesure.
3.2 MĂ©thode A : Ă lâaide de mesures multiples
Lorsquâon rĂ©pĂšte plusieurs fois la mesure dâune grandeur physique, onobtient gĂ©nĂ©ralement diffĂ©rentes valeurs plus ou moins dispersĂ©es :
m1,m2, . . . ,mn
Dans la plupart des cas, ces résultats de mesure suivent une distributionnormale (ou Gaussienne). Ceci provient du fait que plusieurs sources in-dépendantes contribuent généralement à cette erreur (ThéorÚme CentralLimite , cf. cours 1A Maths et signal et illustration de la figure 2).
6
FIGURE 2 â Illustration de lâimportance du modĂšle Gaussien des phĂ©no-mĂšnes alĂ©atoires par lâexpĂ©rience de la planche de Galton. La planche estinclinĂ©e. Les billes tombent et heurtent au hasard les clous (grand nombrede processus alĂ©atoires) et se rĂ©partissent selon. . . . une loi Gaussienne.CrĂ©dit WikipĂ©dia
A partir de ces résultats de mesures, on va pouvoir donner, la meilleureestimation du résultat de la mesure par la moyenne arithmétique :
M =1
N
Nân=1
mn pour N mesures
Et lâĂ©cart type expĂ©rimental :
Ï =
ââââ 1
N â 1
Nân=1
(mn âM)2
LâĂ©cart type expĂ©rimental pour une infinitĂ© de mesures de distributiongaussienne permet de calculer lâincertitude correspondant un intervalle deconfiance. On affichera une incertitude de :
â âm = 2Ï pour un intervalle de confiance Ă 95%â âm = 3Ï pour un intervalle de confiance Ă 99,7 %.
Ces "confiances à XX%" sont des probabilités, illustrées par les courbes dela figure 3 :
3. ĂVALUATION DES INCERTITUDES 7
x
p(x) = 1â2ÏÏ
eâx2
2Ï2
Ï
68, 3%
x
p(x)
2Ï
95%
FIGURE 3 â Distribution Gaussienne et intervalles de confiance
Un nombre limitĂ© de mesures ne permet que dâestimer cet Ă©cart-typeexpĂ©rimental Ï mais la loi de Student (tableau ci-dessous) permet le calculde lâincertitude.
Niveau deconfiance
5 mesures 10 mesures 20 mesures > 100 me-sures
50 % 0, 73 · Ï 0, 70 · Ï 0, 69 · Ï 0, 67 · Ï
68 % Ï
70 % 1, 16 · Ï 1, 09 · Ï 1, 06 · Ï 1, 04 · Ï
87 % 1, 5 · Ï
90 % 2, 02 · Ï 1, 81 · Ï 1, 73 · Ï 1, 65 · Ï
95 % 2, 57 · Ï 2, 23 · Ï 2, 09 · Ï 1, 96 · Ï
99 % 4, 03 · Ï 3, 17 · Ï 2, 85 · Ï 2, 56 · Ï
99,7 % 3 · Ï
99,9 % 6, 87 · Ï 4, 59 · Ï 3, 85 · Ï 3, 28 · Ï
99,999 9998 %
6 · Ï
TABLE 3 â Loi de Student : Ă©cart type et niveau de confiance
En travaux pratiques, on prendra simplement :
âm = 2Ï ou 3Ï
Ce qui, à partir de 10 mesures, correspond à un intervalle de confiancesupérieur à 90%.
8
3.3 MĂ©thode B : analyse "thĂ©orique"Si vous ne faites quâune seule mesure (ou seulement quelques mesures),
lâapproche statistique nâa pas de sens. Seule une analyse rigoureuse dessources dâincertitude est possible. Câest ce qui est dĂ©signĂ© par une Ă©valua-tion de type B de lâincertitude.
On doit essayer dans ce cas dâidentifier toutes les sources dâincertitudedans le processus de mesure et dâĂ©valuer leur importance. Câest en gĂ©nĂ©ralla partie de loin la plus dĂ©licate du problĂšme.
Exemple des pointés longitudinaux
Par exemple lorsquâon effectue le pointĂ© longitudinal du foyer imagedâun systĂšme optique sur un banc Ă lâaide dâun viseur Ă frontale fixe, onidentifie au moins trois sources dâincertitude : Lâincertitude des pointĂ©slongitudinaux est due en principe Ă 3 facteurs :
â la diffraction,â la profondeur dâaccomodation,â et lâincertitude de lecture.
La diffraction Le diamĂštre de la tache de diffraction est Ί = 2.44λn sin(αâČ) , oĂč
λ dĂ©signe la longueur dâonde, ce qui entraĂźne une incertitude sur le pointĂ©de :
âzdiff âΊ
2 tan(αâČ)â λ
(αâČ)2
(voir schéma de la figure 4).
2âzDiff
Ί
FIGURE 4 â Ăvaluation de lâincertitude de pointĂ© due Ă la diffraction
Profondeur dâaccomodation Cette incertitude correspond Ă lâerreurfaite si lâĆil accomode Ă la distance minimale (câest Ă dire 250 mm pourun·e jeune Ă©tudiant·e) par rapport au fonctionnement normal de lâoculairecâest Ă dire sans accomodation, image Ă lâinfini.
3. ĂVALUATION DES INCERTITUDES 9
AâČ Foc|
Objectif viseur Oculaire viseur
A
FIGURE 5 â Ăvaluation de lâincertitude de pointĂ© due Ă lâaccomodation. Aulieu de viser lâinfini, lâĆil vise AâČ. Lâimage de la mire est placĂ©e en A au lieudâĂȘtre placĂ©e au foyer objet de lâoculaire.
Le viseur est donc mal placĂ©, le dĂ©calage est âzacc = AFoc(gy)2 car le gran-
dissement longitudinal de lâobjectif du viseur est (gy)2. Or par la formulede Newton :
F âČocAâČ Â· FocA = âf2
oc
Or F âČocAâČ = 250 mm ( si lâ Ćil est placĂ© au niveau du plan focal image), onpeut donc Ă©crire :
âzacc =f2oc
(gy)2 · 250
(Et la focale de lâoculaire est foc = 25 mm si le grossissement commercialest de 10.)
Lâincertitude de lecture :
âzlect = 0.02 mm
sur les rÚgles numériques en TP.
La variance dâune somme dâincertitudes se calcule aisĂ©ment quand celles-ci sont dĂ©corrĂ©lĂ©es (fig.5). Dans la pratique, heureusement, les sourcesdâincertitudes sont le plus souvent indĂ©pendantes, donc dĂ©corrĂ©lĂ©es. AprĂšsavoir identifiĂ© les sources dâincertitude et leur valeur, il faut vĂ©rifier si cessources sont corrĂ©lĂ©es ou non corrĂ©lĂ©es. Dans lâexemple prĂ©cĂ©dent (commedans la plupart des cas), elles sont indĂ©pendantes, on obtient alors lâincer-titude globale en effectuant la somme quadratique des termes Ă©valuĂ©s (cf.Cours Maths et Signal 1A).
âzpointĂ© longitudinal =â
âz2diff + âz2
acc + âz2lect
10
Il est trĂšs important de noter que si une source dâincertitude est plusfaible que les autres (par exemple 3 fois plus faible), son influence seranĂ©gligeable (9 fois plus faible que les autres sources dans ce cas) sur lâin-certitude globale.
Dans lâexemple prĂ©cĂ©dent des pointĂ©s longitudinaux, dans le cas oĂč :
âzdiff = 0.05 mm
âzacc = 0.06 mm
âzlect = 0.02 mm
Lâincertitude totale est alors :â
âz2diff + âz2
acc + âz2lect â
ââz2
diff + âz2acc
âzpointĂ© longitudinal = 0.08 mm
Lâincertitude de lecture est nĂ©gligeable et il est inutile de la prendre encompte.
Il est donc toujours trĂšs important dâessayer dâidentifier les sources dâin-certitudes les plus grandes. On nĂ©glige ensuite le plus souvent les sourcesdont lâinfluence est nĂ©gligeable.
Sur les incertitudes de lecture
Appareil Ă affichage numĂ©rique : Lâincertitude dâune mesure rĂ©alisĂ©eĂ lâaide dâun appareil Ă affichage numĂ©rique NâEST PAS donnĂ©e par le der-nier chiffre affichĂ©. Il est nĂ©cessaire de connaĂźtre les caractĂ©ristiques delâappareil de mesure pour pouvoir lâĂ©valuer. La documentation de lâappa-reil stipule gĂ©nĂ©ralement deux grandeurs sous la rubrique « prĂ©cision ».La premiĂšre valeur est une incertitude en pourcentage de la valeur lue,la deuxiĂšme est un nombre de digits qui correspond Ă lâincertitude sur ledernier chiffre affichĂ© (attention : cette derniĂšre correspond donc Ă uneincertitude en pourcentage de la pleine Ă©chelle !).
Exemple : quelle est lâincertitude sur la valeur de 400.00 mA affichĂ©epar un ampĂšre-mĂštre ? La documentation de lâampĂšre-mĂštre indique uneprĂ©cision de :
±0, 05%± 4d
Alors le rĂ©sultat de la mesure du courant est : 400.00 ± 0.24 mA , que lâonpeut rĂ©Ă©crire avec une lĂ©gĂšre surestimation de lâincertitude : 400.0±0.3 mA.
Mais, si la valeur affichĂ©e est 001.12 mA, le rĂ©sultat de la mesure ducourant sera : 001.12 ± 0.04 mA soit une incertitude relative trĂšs mĂ©diocrede 3,6 % (il faut bien Ă©videmment changer de le calibre si câest possible ! ).
4. PROPAGATION DES INCERTITUDES 11
Lecture de graduations Sur un vernier ou un rĂ©ticule, comme sur lafigure 6, lâincertitude est donnĂ©e par lâĂ©cart entre 2 graduations, âGrad.
RĂ©ticule
Mire Ă mesurer
FIGURE 6 â Vernier de vis micromĂ©trique et rĂ©ticule dâoculaire
Le vernier des vis micrométriques est gradué au 2/100 de mm. Il estprudent de faire confiance au constructeur et prendre une incertitude delecture de ±0, 02 mm.
Autre exemple, un rĂ©ticule dâoculaire vous permet de mesurer la dimen-sion de lâimage dâune mire graduĂ©e. Lâespacement entre deux graduationsest de 0.1 mm. On lit :
yâČ (9 graduations de la mire) = 2, 3 mm±0.1 mm
soit une prĂ©cision relative de 4,3%. Utiliser un maximum de graduationsdu rĂ©ticule permet de diminuer cette incertitude de lecture. Si on utilise les100 graduations disponibles du rĂ©ticule de 10 mm, lâincertitude de lecturerelative sera Ă sa valeur minimale de lâordre de 1%.
4 Propagation des incertitudesCette partie est parfois curieusement dĂ©nommĂ©e calcul dâincertitude.
Câest de loin la partie la plus simple de toute cette annexe. Par exemple,vous cherchez Ă Ă©valuer lâincertitude sur une grandeur y qui dĂ©pend dâuneautre grandeur x, (y = f(x)) et vous avez Ă©valuĂ© lâincertitude sur x. LâoutilmathĂ©matique diffĂ©rentiel (ou dĂ©rivĂ©e) vous donne immĂ©diatement le rĂ©-sultat. Ce que vous cherchez est lâinfluence dâune faible variation de x surla grandeur y (voir figure 7). Et si vous avez peur de vous tromper dans lecalcul formel de la dĂ©rivĂ©e, un calcul numĂ©rique Ă lâaide dâun tableau Excel(ou nâimporte quel autre outil de calcul numĂ©rique, calculette, Matlab,. . . )vous permet tellement simplement de vous passer du calcul formel de cettedĂ©rivĂ©e. Lâincertitude sur y est :
ây =
âŁâŁâŁâŁ dfdx (xmesurĂ©)
âŁâŁâŁâŁ ·âx
12
x
y = f(x)
âą
Xm
Ym
Ïx
Ïydfdx
Ïy =âŁâŁâŁ dfdx (Xm)
âŁâŁâŁ · Ïx
FIGURE 7 â Influence de lâĂ©cart-type dâune variable x sur la variable y =f(x).
Si y dépend de plusieurs autres grandeurs selon :
y = f(x1, x2, x3, . . . )
et que vous connaissez lâincertitude de chacune de ces grandeurs, câest lâou-til diffĂ©rentiel qui permet dâobtenir lâincertitude rĂ©sultante sur la grandeury. Les Ă©tapes du raisonnement :
Le calcul de la diffĂ©rentielle totale exacte permet tout dâabord dequantifier lâinfluence dâune faible variation de chacun des paramĂštresx1, x2, x3, . . . sur la valeur de la grandeur y :
dy =âf
âx1(x1m)dx1 +
âf
âx2(x2m)dx2 +
âf
âx3(x3m)dx3 + . . . (1)
Dans le cas dâune fonction f sâexprime sous forme de produits et dequotients, il est plus utile de dĂ©terminer la dĂ©rivĂ©e logarithmique.Par exemple dans le cas y =
x21x2
x3on obtient directement :
dy
y= 2
dx1
x1+dx2
x2â dx3
x3
La prise en compte de la somme des effets des incertitudes de cha-cune des variables est réalisé facilement si les grandeurs x1, x2, x3, . . .
4. PROPAGATION DES INCERTITUDES 13
sont toutes dĂ©corrĂ©lĂ©es les unes des autres. Dans ce cas, câest unesomme quadratique qui permet dâobtenir lâincertitude rĂ©sultante :
ây =
â(âf(x1m)
âx1âx1
)2
+
(âf(x2m)
âx2âx2
)2
+
(âf(x3m)
âx3âx3
)2
+ . . .
(2)Dans le cas dâune fonction f sous forme de produits ou de quotients,on exprime des incertitudes relatives plutĂŽt quâabsolues directementĂ partir de la dĂ©rivĂ©e logarithmique, pour lâexemple prĂ©cĂ©dent :
ây
y=
â4
(âx1
x1
)2
+
(âx2
x2
)2
+
(âx3
x3
)2
Pourquoi une somme quadratique ? LâĂ©quation (1) dĂ©crit une varia-tion dy comme une somme pondĂ©rĂ©e des variations dx1, dx2, . . . . Chacunede ces variations est modĂ©lisĂ©e par une variable alĂ©atoire. La variable alĂ©a-toire dy sâĂ©crit donc comme la somme de plusieurs variables alĂ©atoires.Lâincertitude est proportionnelle Ă lâĂ©cart-type de cette variablealĂ©atoire, câest Ă dire Ă l"amplitude moyennĂ©e" des variations. Dans le casde variables alĂ©atoires dx1, dx2, . . . dĂ©corrĂ©lĂ©es, on sait que "la variance dela somme est Ă©gale Ă la somme des variances", dâoĂč la somme quadratiquedes Ă©cart-types et donc des incertitudes de lâĂ©quation (2). La figure 8 donnelâallure de la densitĂ© de probabilitĂ© dâune somme de variables alĂ©atoiresgaussiennes decorrĂ©lĂ©es.
x
pA1(x), pA2(x)
Ï1 Ï2
|
MA1
|
MA2
x
pA1+A2(x)
Ï
|
MA1+MA2
Ï =âÏ2
1 + Ï22
FIGURE 8 â Somme de deux variables alĂ©atoires dĂ©corrĂ©lĂ©es A1 et A2.Ăcart-type rĂ©sultant
14
Si la dĂ©rivĂ©e est laborieuse Ă calculer, un calcul numĂ©rique avec Ex-cel ou tout autre outil peut ĂȘtre utilisĂ©. Par exemple, la mesure de lâindicen par le minimum de dĂ©viation dâun prisme est obtenue par la formule :
n =sin(A+Dm
2
)sin(A2
)Dm est lâangle minimum de dĂ©viation et A ... Lâincertitude sur lâindice ndĂ©pend des incertitudes sur A et Dm (âA et âDm). Avec un outil informa-tique de calcul, il est facile de calculer les deux grandeurs suivantes :
n+ ânDm =sin(A+Dm+âDm
2
)sin(A2
) et n+ ânA =sin(A+âA+Dm
2
)sin(A+âA
2
)Lâincertitude sur lâindice n sera donnĂ©e par par la somme quadratique des2 termes, en supposant les incertitudes sur A et Dm non corrĂ©lĂ©es (elles lesont si elles sont statiquement indĂ©pendantes) :
ân =â
ân2Dm
+ ân2A
Mesures optiquesvisuelles.Pointés longitudinaux et transversaux.Focales et frontales de systÚmes optiques.Rayons de courbure.
Le TP se déroule sur deux séances. Le compte rendu global est à rendreà la fin de la deuxiÚme séance.
Les questions P1 et P2 doivent ĂȘtre prĂ©parĂ©es avant la sĂ©ance.
SommaireIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Conseils pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Rappels dâoptique paraxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Mesures rapides de focale . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1 Dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 PremiÚre étude : Doublet . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille di-
vergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Mesure de focale par la méthode de Cornu . . . . . . 21
6.1 Principe de la méthode de Cornu . . . . . . . . . . . 216.2 Alignement du banc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Analyse de la précision des pointés longitudinaux. 256.4 Mesures et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Mesures de rayons de courbure . . . . . . . . . . . . . 277.1 Principe de la mesure par autocollimation . . . . . 277.2 Précision de pointé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3 Mesures et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15
16
IntroductionCes deux séances de Travaux Pratiques sont une premiÚre occasion de
mettre en Ćuvre des principes de lâoptique instrumentale et de mesuresoptiques Ă©tudiĂ©s en cours en premiĂšre annĂ©e, dâapprendre Ă faire des me-sures prĂ©cises et rigoureuses et dâĂ©valuer soigneusement la prĂ©cision deces mesures. Ces mesures permettront de dĂ©terminer la distance focale etles frontales avant et arriĂšre de systĂšmes optiques, ainsi que des rayons decourbure de miroirs ou de dioptres. Le TP se dĂ©roule sur deux sĂ©ances. Aucours des deux sĂ©ances vous allez mesurer :
â la focale et la position des Ă©lĂ©ments cardinaux dâun objectif vidĂ©o,â la focale dâun doublet convergent et dâune lentille divergente,â le rayon de courbure dâun miroir non aluminĂ©,â les rayons de courbures des deux dioptres dâun condenseur.A lâissue de ces deux sĂ©ances vous serez capables de :â concevoir le protocole de mesure des grandeurs gĂ©omĂ©triques dâun
systĂšme optique,â choisir les instruments et mettre en Ćuvre de telles mesures,â Ă©valuer les incertitudes.
Conseils pratiquesMesures Utiliser correctement les rĂ©ticules afin dâobtenir les mesuresles plus prĂ©cises possibles, câest Ă dire le plus grand nombre de gradua-tions. Toujours noter les conditions de mesures (objectif de viseur utilisĂ©,nombre de graduations,. . .) On donnera systĂ©matiquement toutes les me-sures brutes (nombre de graduations,. . .), puis lâanalyse de ces mesures,de façon Ă permettre de revenir rapidement sur des incohĂ©rences et iden-tifier sâil sâagit dâerreurs de calcul ou de mesure.
Incertitudes Il vous est demandĂ© dâĂ©valuer les incertitudes de mesuresavec soin, lâannexe Les incertitudes de mesure en Travaux Pratiques donnedes Ă©lĂ©ments pour vous y aider.
Rappels dâoptique paraxialeDans le cadre de lâapproximation paraxiale, tout systĂšme optique (Ă
lâexception des systĂšmes afocaux) peut ĂȘtre modĂ©lisĂ© par ses plans prin-cipaux (objet et image) et ses foyers (objet et image). La distance focaleimage est f âČ = H âČF âČ. Si les milieux de part et dâautre du systĂšme ont lemĂȘme indice, la distance focale objet HF est f = âf âČ ( fn = â f
âČ
nâČ sinon ).La focale f âČ dĂ©termine la dimension de lâimage dâun objet situĂ© Ă lâinfini,
câest Ă dire yâČ = âf tan(Ξ) = f âČ tan(ΞâČ), oĂč Ξ est la dimension angulaire dâun
5. MESURES RAPIDES DE FOCALE 17
objet situĂ© Ă lâinfini et yâČ la dimension de son image par le systĂšme optiqueĂ©tudiĂ© comme reprĂ©sentĂ© sur la figure 9.
H H âČ
F âČF ||
ΞΞâČ
yâČ
FIGURE 9 â SchĂ©ma de la configurationâ - Foyer dâun systĂšme optique. Lataille yâČ de lâimage dâun objet de dimension angulaire Ξ est yâČ = f âČ tan(ΞâČ)
P1 Dans quel cas a-t-on Ξ = ΞâČ ?
5 Mesures rapides de focale par la mesure dela taille de lâimage (pointĂ©s transversaux).
Les mĂ©thodes de mesures de la focale que nous allons Ă©tudier sont trĂšsimportantes pour un ingĂ©nieur-opticien. Il apparaĂźt souvent que la focalerĂ©elle dâun systĂšme optique achetĂ© dans le commerce diffĂšre de 2 Ă 5% de lavaleur donnĂ©e en catalogue ou gravĂ©e sur la monture mĂ©canique. Cette dif-fĂ©rence peut compromettre le bon fonctionnement dâun instrument conçusans avoir vĂ©rifiĂ© les valeurs donnĂ©es en catalogue.
La mĂ©thode la plus directe pour mesurer une distance focale est doncde mesurer la dimension de lâimage dâun objet situĂ© Ă lâinfini et dont onconnaĂźt la dimension angulaire. Cette approche est parfois appelĂ©e : "mĂ©-thode yâČ/ tan(Ξ)".
5.1 Dispositif de mesureEn pratique, une mire graduée, Mc, placée au foyer du collimateur joue
le rĂŽle dâobjet Ă lâinfini dont la dimension angulaire est connue. La mesurede la dimension angulaire de la mire Mc a Ă©tĂ© effectuĂ©e soigneusement Ă lâaide dâun goniomĂštre. Elle est inscrite sur le collimateur en degrĂ©s, mi-nutes (1/60) et secondes dâarc (1/3600).
La mesure de la dimension transversale, yâČ, de lâimage de la mire gra-duĂ©e Mc, par le systĂšme optique Ă Ă©tudier permet donc dâobtenir simple-
18
ment la focale dâun systĂšme optique. Cette mesure sera rĂ©alisĂ©e avec prĂ©-cision Ă lâaide dâun viseur Ă frontale fixe (câest-Ă -dire un microscope).
Objectif étudié
H H âČ
F âČ
F ||
Foye
rim
age
delâo
bjec
tifé
tudi
Ă©
Foc
|
Foye
rob
jet
delâo
cula
ire
RĂ©t
icul
e
Objectif viseur Oculaire viseurCollimateurMc yâČ yâČâČ
FIGURE 10 â SchĂ©ma complet du montage
Deux protocoles sont possibles pour mesurer cette dimension yâČ :
1. la mesure de la dimension yâČâČ, image de yâČ par lâobjectif de viseur surle rĂ©ticule de lâoculaire,
2. la mesure directe de la dimension yâČ par dĂ©placement transversaldu viseur.
P2 Faire un schĂ©ma clair du montage sur le document fourni en annexe(et disponible sur LibresSavoirs). Tracer le cheminement dâun faisceau derayons (au moins 2 rayons donc !) pour un point objet de la mire graduĂ©edu collimateur hors dâaxe.
5.2 PremiĂšre Ă©tude : Doublet
Alignement du banc et réglage du viseur
La hauteur de lâaxe optique est ici fixĂ©e par la hauteur du mandrin autocentreur (puisque celui-ci nâet pas rĂ©glable). De mĂȘme, la mĂȘme positionlatĂ©rale de lâaxe est imposĂ©e par le collimateur si celui ci nâest pas rĂ©glable.
5. MESURES RAPIDES DE FOCALE 19
Placer tous les éléments nécessaires sur le banc en vérifiant attenti-vement que tous les éléments sont bien centrés, à la hauteur du mandrinet bien alignés.
Prendre soin de placer le doublet convergent dans le bon sens dâutili-sation.
RĂ©gler lâoculaire Ă votre vue. Pour cela, dĂ©visser le verre dâĆil puis lerevisser progressivement jusquâĂ voir le rĂ©ticule net, tout en gardant ledeuxiĂšme Ćil ouvert afin dâĂ©viter dâaccommoder.
Monter lâobjectif de grandissement x2.5 sur le viseur.
Protocole 1. Mesure de yâČâČ
On souhaite donc mesurer lâimage agrandie de la mire, yâČâČ, par lâobjectifdu viseur Ă lâaide du rĂ©ticule de lâoculaire (pointĂ© transversal). Le rĂ©ticuledes oculaires de longueur 10 mm est graduĂ© en 1/10Ăšme de millimĂštre (100graduations). Dans ce cas, il est nĂ©cessaire de dĂ©terminer avec prĂ©cision legrandissement de lâobjectif du viseur Ă lâaide dâune mire objet, graduĂ©e elleaussi au 1/10Ăšme de millimĂštre. 1
Ătalonnage de lâobjectif du viseur
Placer la mire objet, Ă©clairĂ©e par la lampe de bureau et observer avecle viseur lâimage de cette mire.
Mesurer Ă lâaide du rĂ©ticule de lâoculaire la taille de cette image. Pourcela il peut ĂȘtre nĂ©cessaire de dĂ©placer le viseur transversalement afindâaligner une graduation de lâimage de la mire Ă©talon avec une graduationdu rĂ©ticule de lâoculaire. Prendre le plus grand nombre de graduations pourdiminuer les incertitudes de mesures.
Q1 DĂ©duire de cette mesure le grandissement du viseur.
Q2 Quelle est lâincertitude de cette mesure si on suppose que la prin-cipale source dâincertitude est lâerreur de lecture dâune graduation sur lerĂ©ticule de lâoculaire ?
1. On ne peut se fier aux valeurs de grandissement données par le constructeur car leslongueurs de tubes utilisés pour nos viseurs ne correspondent pas assez précisément auxvaleurs standards des tubes de microscopes commerciaux (cf. cours et TP sur le microscope)
20
Mesure de focale et incertitudes
Mesurer la focale du doublet (Clairaut). RĂ©pĂ©ter plusieurs fois la me-sure (une dizaine de mesures). Indiquer lâincertitude de mesure expĂ©ri-mentale. Se rĂ©fĂ©rer Ă lâannexe sur "les incertitudes de mesures en TP".
Q3 Quelle est lâincertitude attendue ? Est-elle cohĂ©rente avec celle mesu-rĂ©e par rĂ©pĂ©tabilitĂ© ?
Protocole 2 : utilisation de la vis de déplacement transversal
Une autre mĂ©thode consiste Ă mesurer yâČ directement, par dĂ©placementtransversal du viseur (pointĂ© transversal). Une graduation du rĂ©ticule delâoculaire sert de repĂšre pour cette mesure. Le dĂ©placement est lu Ă lâaidedu vernier de la vis micromĂ©trique fixĂ© sur le support viseur. Ce vernierest graduĂ© en 2/100 de millimĂštre (25 graduations pour 1 tour = 0.5 mm).
Mesurer la focale du doublet (Clairaut) par cette deuxiÚme méthode.
Q4 Ăvaluer les incertitudes sur cette mesure. Comparer les rĂ©sultats ob-tenus par les deux mĂ©thodes.
Mesure de frontale
Mesurer la frontale arriĂšre du Clairaut (SâČF âČ : distance dioptre de sor-tie du systĂšme- foyer image). Pour cela :
â dĂ©poser dĂ©licatement quelques poussiĂšres de talc sur le sommet dela lentille Ă lâaide de la pointe dâun crayon,
â placer le viseur dans la position oĂč il image le foyer image du dou-blet, mettre Ă zĂ©ro le vernier numĂ©rique longitudinal,
â dĂ©placer le viseur jusquâĂ ce que lâimage du talc soit nette,â la valeur de la frontale se lit ainsi directement sur le vernier.
Q5 Comparer Ă sa focale.
Focale et frontale avant
Utiliser lâobjectif Ă Ă©tudier dans lâautre sens et mesurer Ă nouveau lafocale (par les 2 mĂ©thodes) et la frontale du systĂšme optique.
Q6 Commenter et faire un schéma du systÚme.
6. MESURE DE FOCALE PAR LA MĂTHODE DE CORNU 21
Remplacer lâobjectif du viseur par lâobjectif de grandissement x6.3.
Mesurer Ă nouveau la focale du doublet par le premier protocole.
Q7 Commenter. Comment choisir lâobjectif du viseur ?
5.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille di-vergente
Placer maintenant lâobjectif vidĂ©o, dans le sens habituel dâutilisation,dans le mandrin autocentreur.
Q8 Expliquer votre choix pour lâobjectif du viseur.
Effectuer une mesure prĂ©cise de la focale de lâobjectif vidĂ©o par lesdeux protocoles.
Mesurer sa frontale arriĂšre.
Q9 Comparer Ă la focale. OĂč se trouve le plan principal image ?
Utiliser lâobjectif dans lâautre sens et mesurer Ă nouveau la focale (1erprotocole) et la frontale du systĂšme optique.
Q10 Tracer avec soin, Ă lâĂ©chelle, le schĂ©ma paraxial de lâobjectif Ă©tudiĂ©(plans principaux, foyers et faces dâentrĂ©e et de sortie de lâobjectif).
Mesurer enfin par la mĂ©thode de votre choix la focale dâune lentilledivergente.
Q11 Expliquer le choix de lâobjectif du viseur, et donner lâincertitude devotre mesure.
6 Mesures de focale de systÚmes optique parla méthode de Cornu (pointés longitudinaux)
6.1 Principe de la méthode de CornuCette méthode permet de déterminer la focale du systÚme par appli-
cation de la formule de Newton, en prenant pour objets les sommets des
22
dioptres dâentrĂ©e et de sortie du systĂšme. De plus, elle permet de mesurerles frontales avant et arriĂšre et de placer les plans principaux et les foyersdu systĂšme (modĂ©lisĂ©s en optique paraxiale).
Objectif étudié
F âČ
BA AâČ |
Foc
|
Objectif viseur Oculaire viseurCollimateur
FIGURE 11 â MĂ©thode de Cornu. Deux premiĂšres mesures : F âČB et F âČAâČ
Le viseur est dĂ©placĂ© longitudinalement le long du banc de maniĂšreĂ pointer (nettetĂ© simultanĂ©e et sans parallaxe du rĂ©ticule et de lâimageobservĂ©e) :
â les graduations de lâimage de la mire graduĂ©e du collimateur situĂ©edans le plan focal image F âČ du systĂšme,
â le sommet du dioptre de sortie B,â lâimage Aâ du sommet du dioptre dâentrĂ©e A Ă travers le systĂšme
Ă©tudiĂ©,On retourne le systĂšme optique et on effectue des pointĂ©s analogues quifournissent les lectures F , A, BâČ :
Objectif étudié
F
B ABâČ |
Foc
|
Objectif viseur Oculaire viseurCollimateur
FIGURE 12 â MĂ©thode de Cornu. Mesures 3 et 4 : FA et FBâČ
6. MESURE DE FOCALE PAR LA MĂTHODE DE CORNU 23
On en déduit la focale du systÚme par les formules de Newton :
f · f âČ = FA · F âČAâČ = F âČB · FBâČ
Les deux valeurs ainsi obtenues permettent un contrĂŽle des valeurs mesu-rĂ©es. Connaissant la focale et la position des foyers par rapport aux sur-faces terminales du systĂšme, il suffit de mesurer lâĂ©paisseur de ce dernierau palmer pour pouvoir placer tous les Ă©lĂ©ments paraxiaux (H, H âČ, F , F âČ).
6.2 Alignement du banc
La mesure de la focale par la mĂ©thode de Cornu utilise diffĂ©rents poin-tĂ©s longitudinaux le long du banc. Pour obtenir des mesures prĂ©cises, lecollimateur, le systĂšme optique Ă©tudiĂ© et le viseur doivent avoir leur axeoptique parallĂšle Ă lâaxe de coulissage du banc de mesure. RĂ©gler prĂ©cisĂ©-ment un banc dâoptique, câest amener les axes optiques des divers systĂšmesĂ ĂȘtre confondus entre eux (ce qui dĂ©finit lâaxe optique du montage) et pa-rallĂšles Ă lâaxe de coulissage du banc. Vous allez rĂ©aliser ce rĂ©glage par unalignement laser. Le faisceau dâune petite diode laser rouge va permettrede matĂ©rialiser lâaxe de coulissage du banc et dâeffectuer les positionne-ments des Ă©lĂ©ments par autocollimation.
Les étapes de ce réglage rapide sont décrites dans les paragraphes sui-vants.
Alignement du laser sur lâaxe du banc
On dispose dâune diode laser suivi dâun dispositif Ă deux miroirs planstrĂšs astucieux, dit "tabouret optique". Ce dispositif utilise la propriĂ©tĂ© se-lon laquelle 2 miroirs sont nĂ©cessaires et suffisants pour aligner un fais-ceau laser sur une droite quelconque. Ce systĂšme permet un rĂ©glage in-dĂ©pendant de la translation et de la rotation du faisceau dans les deuxdirections, horizontale et verticale, comme indiquĂ© sur les figures 13 et14. Les translations du faisceau sont utilisĂ©es pour les rĂ©glages du trou Ă faible distance, les rotations pour les rĂ©glages Ă grande distance.
24
Diode Laser
Rotation du miroir M2
â rĂ©glage de rotation du faisceau
Rotation du support
â rĂ©glage de la translation du faisceau
FIGURE 13 â SchĂ©ma de principe du "tabouret optique"
FIGURE 14 â Tabouret optique
Aligner le faisceau laser avec lâaxe du banc. Pour cela :â Fixer un trou dans le mandrin auto-centreur (vĂ©rifiez que le man-
drin est centré sur le banc pour que le trou le soit aussi !) et le dé-placer au bout du banc,
â RĂšgler la rotation du faisceau Ă lâaide du "tabouret optique" afin quele faisceau laser traverse ce trou,
â RepĂ©rer la position de ce trou Ă lâaide dâun Ă©cran percĂ© dâun trou,â DĂ©placer ce carton perforĂ© Ă lâautre extrĂ©mitĂ© du banc (trĂšs proche
du "tabouret optique"),
6. MESURE DE FOCALE PAR LA MĂTHODE DE CORNU 25
â Translater le faisceau laser Ă lâaide du "tabouret optique" afin quele faisceau laser traverse ce trou,
â Enfin, corriger la rotation du faisceau afin quâil traverse les deuxtrous, aux deux extrĂ©mitĂ©s du banc.
Le faisceau laser est alors parfaitement parallĂšle Ă lâaxe de coulissage dubanc et matĂ©rialise lâaxe optique du montage. Le trou mĂ©tallique peut ĂȘtreĂŽtĂ© du mandrin.
Réglage des autres éléments
LâĂ©cran percĂ© dâun trou permet de visualiser les taches qui rĂ©sultent desrĂ©flexions sur les diffĂ©rents dioptres.
Centrer rapidement le collimateur sur lâaxe optique, pour cela sâassu-rer que lâon a une seule tache. Puis le basculer pour que le dioptre soitperpendiculaire Ă lâaxe optique (obtention dâune tache centrĂ©e).
Orienter trĂšs prĂ©cisĂ©ment lâobjectif Ă Ă©tudier dans le mandrin autocen-treur. Attention Ă ne pas toucher au dĂ©placement transversal du mandrinqui a servi Ă dĂ©finir lâaxe optique !
RĂ©gler rapidement lâorientation du tube du viseur.
6.3 Analyse de la précision des pointés longitudinaux.La précision des mesures dans cette méthode dépend de la précision
des pointĂ©s longitudinaux.â Lâaxe de lâobjectif doit ĂȘtre placĂ© le plus prĂ©cisĂ©ment parallĂšle Ă lâaxe
de coulissage (alignement laser).â La qualitĂ© du pointĂ© longitudinal est amĂ©liorĂ©e en utilisant le phĂ©-
nomĂšne de la parallaxe entre le rĂ©ticule de lâoculaire et lâimage ob-servĂ©e.
â Et enfin, la prĂ©cision des pointĂ©s longitudinaux augmente avec lâou-verture effective du montage.
Ce dernier point est dĂ©pendant de lâobjectif du viseur.
Choix de lâobjectif du viseur
Lâouverture numĂ©rique objet du viseur utilisĂ©, ONv = n · sin(αv), doitdonc ĂȘtre choisie supĂ©rieure Ă lâouverture numĂ©rique image du systĂšmeoptique Ă©tudiĂ©. Autrement dit, la pupille du montage doit ĂȘtre, si cela estpossible, la pupille du systĂšme Ă©tudiĂ©.
26
ΊPE
Objectif étudié
H H âČ
αâČαv
F âČ
|
Foc
|
Objectif viseur Oculaire viseur
FIGURE 15 â Lâouverture numĂ©rique sin(αv) de lâobjectif du viseur doit ĂȘtresupĂ©rieure Ă celle du systĂšme Ă mesurer.
Pour les objectifs de microscope, lâouverture numĂ©rique objet, ON =n · sin(α), est gravĂ©e sur la monture.
Pour les autres objectifs, photo, vidĂ©o , de projection ou dâagrandis-seur, câest Ă dire pour tous les systĂšmes qui sont habituellement utilisĂ©s enconjugaison infini-foyer, câest le nombre dâouverture, dĂ©fini par N = f âČ
ΊPE,
du systĂšme optique qui est indiquĂ© sur la monture. En vertu de la relationdâAbbe (ou Relation Fondamentale des SystĂšmes Optiques dâImagerie) :
sin(αâČ) =ΊPE2f âČ
=1
2N
Q12 Quel objectif de viseur choisissez-vous pour la mesure de la focaledu doublet ? Le critĂšre sur lâouverture numĂ©rique est-il le seul Ă prendreen compte ici ?
Analyse en répétabilité
Avec lâobjectif de viseur choisi, chaque manipulateur fera un test de prĂ©-cision de pointĂ© sur le foyer F âČ. Ce test est destinĂ© Ă comparer la prĂ©cisionestimĂ©e et la prĂ©cision rĂ©elle de pointĂ© (qui est propre Ă chaque expĂ©rimen-tateur).
Effectuer 10 pointĂ©s successifs chacun du plan focale image, F âČ, endĂ©focalisant largement entre chaque pointĂ©. PrĂ©senter les rĂ©sultats aveclâĂ©cart type.
Effectuer la mĂȘme expĂ©rience avec un objectif de viseur beaucoup plusfermĂ© et comparer les prĂ©cisions de pointĂ©.
7. MESURES DE RAYONS DE COURBURE 27
Analyse théorique
Lâincertitude des pointĂ©s longitudinaux est due en principe Ă 3 facteurs :â la diffraction,â la profondeur dâaccomodation,â et lâincertitude de lecture.
Q13 Calculer la valeur de ces incertitudes et comparer à votre analyseen répétabilité.
6.4 Mesures et incertitudes Mesurer avec la meilleure prĂ©cision possible les grandeurs FA, F âČAâČ,F âČB, FBâČ. Effectuer 10 mesures successives, en dĂ©focalisant largemententre chaque pointĂ©.
Q14 En déduire la focale et les frontales du systÚme optique.
Q15 Déterminer la précision de mesure de ces valeurs.
Q16 Comparer bien sûr ces résultats avec ceux obtenus dans la partie 5.
7 Mesures de rayons de courbure
7.1 Principe de la mesure par autocollimationCette mĂ©thode sâapplique Ă la mesure des rayons de courbure de sur-
faces optiquement polies. Il existe pour un miroir sphĂšrique, deux posi-tions pour lesquelles lâimage obtenue par rĂ©flexion et lâobjet sont confon-dus : lorsque lâobjet est au centre de courbure et lorsque lâobjet coĂŻncideavec la surface. La distance entre ces deux positions est Ă©gale au rayonde courbure. Pour pointer le sommet et le centre du miroir, on utilise unmicroscope autocollimateur (ou viseur autocollimateur). Le schĂ©ma de ceviseur Ă rĂ©ticule Ă©clairĂ© est donnĂ© sur la figure 16, page 29.
MĂ©thode de rĂ©glage :â On rĂšgle rapidement le miroir Ă Ă©tudier sur lâaxe du banc en utili-
sant le faisceau de la diode laser dâalignement,â puis pointer un sommet, ce qui est facile puisque lâon connaĂźt ap-
proximativement le plan de visĂ©e du viseur autocollimateur (on connaĂźtla distance frontale de lâobjectif),
28
â retirer lâoculaire et translater le viseur en direction du centre en ob-servant attentivement la tache lumineuse que forme, dans la pupillede lâobjectif, le faisceau rĂ©flĂ©chi.
â En gĂ©nĂ©ral, plus on sâĂ©loigne du sommet plus la tache sâĂ©loigne ducentre de la pupille. On agit alors sur lâorientation du miroir pourmaintenir cette tache au centre de la pupille.
â Quand on se trouve au voisinage du centre de courbure, la pupilledoit Ă nouveau ĂȘtre complĂštement Ă©clairĂ©e. On replace lâoculaire eten oscillant autour de cette position, on doit trouver le centre decourbure. On lit lâabscisse du centre.
â Translater le viseur pour viser le sommet correspondant Ă la direc-tion de lâaxe. On lit lâabscisse du sommet.
Remarque Pour vĂ©rifier que lâon a bien pointĂ© le sommet et le centre decourbure de la "bonne" face, on peut par exemple souffler de la buĂ©e surlâautre face ; lâimage ne doit pas disparaĂźtre.
7.2 PrĂ©cision de pointĂ©Il sâagit lĂ encore de pointĂ©s longitudinaux. La prĂ©cision des pointĂ©s
longitudinaux augmente avec lâouverture effective du montage. Lâouver-ture numĂ©rique objet du viseur utilisĂ© doit donc ĂȘtre choisie supĂ©rieure Ă lâouverture numĂ©rique du miroir Ă©tudiĂ©. Autrement dit, dans la mesure dupossible, la pupille du montage doit ĂȘtre le miroir.
Q17 Expliquer comment choisir lâobjectif de microscope du viseur auto-collimateur pour obtenir la meilleure prĂ©cision de pointĂ© longitudinal.
7.3 Mesures et incertitudes Mesurer le rayon de courbure du miroir concave placé dans une mon-ture beige et évaluer la précision de cette mesure. Faire une étude de ré-pétabilité.
Q18 Comparer Ă lâerreur de pointĂ© estimĂ©e.
On Ă©tudie ensuite un condenseur. Il sâagit dâune lentille Ă©paisse plan-convexe. On place la face convexe vers le viseur autocollimateur.
Q19 Expliquer pourquoi on doit obtenir une image Ă lâaide du viseur au-tocollimateur pour 4 positions.
7. MESURES DE RAYONS DE COURBURE 29
Mesurer les positions des images obtenues et dĂ©duire le rayon de cour-bure du dioptre, la focale du condenseur, lâindice du verre et lâĂ©paisseur ducondenseur.
Q20 Calculer lâincertitude sur la focale, lâindice du verre et lâĂ©paisseur Ă partir des incertitudes sur les pointĂ©s.
Mesurer lâĂ©paisseur avec le palmer.
Q21 Cette mesure est-elle compatible avec la mesure obtenue à partirdes pointés ?
FIGURE 16 â SchĂ©ma de principe du viseur autocollimateur
30
Annexe. Schéma.
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CONTRĂLES INTERFĂROMĂTRIQUES Version 2016-Ââ2017
Analyses de franges d'Ă©gale Ă©paisseur
TP 1 : InterféromÚtre de Fizeau Analyse visuelle
Analyse par dĂ©modulation dâune porteuse spatiale
TP 2 : InterféromÚtre de ZYGO
Analyse par dĂ©calage de phase (phase-Ââshift) PrĂ©paration du TP : -Ââ Lire lâintroduction qui prĂ©sente des rappels dâinterfĂ©romĂ©trie optique et les 3 mĂ©thodes de mesures de contrĂŽles interfĂ©romĂ©triques utilisĂ©es au cours de ces deux sĂ©ances. -Ââ Il est impĂ©ratif rĂ©pondre aux questions de prĂ©paration avant la sĂ©ance. Les rĂ©ponses seront vĂ©rifiĂ©es par lâenseignant·âe responsable de la sĂ©ance. Le compte rendu est Ă rendre une semaine aprĂšs la 2Ăšme sĂ©ance.
Il devra prĂ©senter en plus des rĂ©ponses aux questions posĂ©es, une synthĂšse des mesures prĂ©cises des dĂ©fauts des Ă©chantillons obtenues pendant les 2 sĂ©ances (illustrĂ©es par quelques interfĂ©rogrammes bien choisis). On analysera prĂ©cisĂ©ment dans tous les cas lâincertitude de mesures sur les dĂ©fauts et la cohĂ©rence des de ces mesures. Le CR ne devra pas excĂ©der 8 pages.
Attention : Sur les images dâinterfĂ©rogrammes que vous obtiendrez et prĂ©senterez dans le rapport, lâĂ©cart entre deux franges peut correspondre Ă une variation dâĂ©paisseur ou de hauteur de l/2, l/2n, l/2(n-Ââ1),âŠExpliquez et Justifiez
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à chaque fois trÚs clairement la valeur de cet écart (le choix du « wedge factor »
Introduction Ces deux séances de travaux pratiques ont pour but de présenter quelques
mĂ©thodes dâinterfĂ©romĂ©triques couramment utilisĂ©es pour caractĂ©riser la qualitĂ© de composants optiques usuels (lames Ă faces parallĂšles, miroirs plans, miroirs de tĂ©lescope, systĂšmes optiques âŠ). Ces techniques permettent de quantifier la qualitĂ© des composants optiques finis ou en cours de la fabrication.
1. La qualité d'un miroir plan, sphérique ou asphérique est caractérisée
par l'écart entre sa surface réelle et la surface souhaitée
2. La qualitĂ© d'une lame Ă faces parallĂšles est dĂ©terminĂ©e dâune part par l'Ă©cart Ă la planĂ©itĂ© âparfaiteâ de ses deux faces et dâautre part par son dĂ©faut dâĂ©paisseur de (lâĂ©paisseur Ă©tant donnĂ©e localement par e0+de).
3. La qualitĂ© dâun systĂšme optique (objectif, lunette afocale,âŠ) est caractĂ©risĂ©e par l'Ă©cart entre sa surface dâonde rĂ©elle dans la pupille de sortie du systĂšme et la surface dâonde souhaitĂ©e.
a) Ces Ă©carts sont souvent exprimĂ©s en longueur dâonde (en gĂ©nĂ©ral, la longueur dâonde de rĂ©fĂ©rence est celle de He-ÂâNe, câest-ÂâĂ -Ââdire 632.8 nm). Ils peuvent aussi ĂȘtre exprimĂ©s en microns ou nanomĂštres.
b) Les valeurs de ces Ă©carts sont donnĂ©es, soit par leur valeur crĂȘte Ă crĂȘte (Peak-Ââto-ÂâValley, PV), soit par leur Ă©cart type (Root Mean Square ou RMS ou Ă©cart type).
c) Remarque trĂšs importante : si la distribution des dĂ©fauts est proche dâune distribution « normale » (ou distribution Gaussienne), alors la valeur PV est environ 5 Ă 6 fois supĂ©rieure Ă lâĂ©cart type. Il est donc trĂšs important de bien prĂ©ciser si la valeur mesurĂ©e est une valeur PV ou RMS. Une optique dont le PV est de 1 l est de bonne qualitĂ© alors quâune optique de 1 l RMS est trĂšs mauvaise.
Site à consulter pour ces méthodes interférométriques :
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[1] Cours de Pascal Picard dans le site Optique pour lâIngĂ©nieur, abondamment utilisĂ© pour ce texte de TP http://www.optique-Ââingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M02_C06/co/Contenu_10.html Article de rĂ©fĂ©rence pour les mĂ©thodes de Phase-ÂâShift : [2] Chapitre « Phase Shifting interferometry » de J.E. Greivenkam and J.H. Bruning (page 501) du livre Optical Shop Testing, Ă©ditĂ© par Daniel Malacara (1992 John Wiley & Sons, Inc.)
1. Rappels gĂ©nĂ©raux sur lâinterfĂ©romĂ©trie optique
Un grand nombre de techniques de mesures optiques reposent sur le phénomÚne d'interférences à deux ondes.
Par exemple, une onde plane rĂ©flĂ©chie par les deux faces dâune lame Ă
faces quasi-ÂâparallĂšles (fig. 1.a) donne deux fronts dâonde quasi-ÂâparallĂšles. Le dĂ©phasage, j (x,y), entre ces deux ondes varie localement en fonction de la variation dĂ©faut dâĂ©paisseur de la lame. On observe une figure de franges dâinterfĂ©rence (appelĂ©e couramment interfĂ©rogramme) qui permet de mesurer le dĂ©faut dâĂ©paisseur de lame.
En effet, si localement les deux ondes ont en phase, câest-ÂâĂ -Ââdire j (x, y) = 0 (mod 2p ), on obtiendra une frange brillante. Au contraire, si elles sont en opposition de phase, câest-ÂâĂ -Ââdire j (x, y) = p (mod 2p), on obtiendra une frange sombre.
Fig.1 : Principe de mesure des dĂ©fauts dâĂ©paisseur (a) et de surface Ă lâaide dâun plan Ă©talon (b).
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Ces franges sont appelĂ©es « franges dâĂ©gale Ă©paisseur » (comme les franges du coin dâair Ă©tudiĂ©es pendant le TP Michelson). Ces franges permettent de mesurer des variations dâĂ©paisseur de l'Ă©chantillon car les verres actuels, sauf exceptions, sont trĂšs homogĂšnes et les dĂ©fauts observĂ©s sont dus Ă des variations d'Ă©paisseurs et non Ă des variations dâindice.
De maniÚre générale, pour un éclairage parfaitement cohérent (ce qui
sera toujours le cas lors ces deux sĂ©ances de TP), lâĂ©clairement dans le plan des franges est donnĂ© par :
đž đ„, đŠ = đž! đ„, đŠ + đž! đ„, đŠ + 2 đž!(đ„, đŠ) đž!(đ„, đŠ) cos(đ(đ„, đŠ))
qui peut sâĂ©crire :
E(x, y) = (E1(x, y)+ E2 (x, y))(1+2 E1(x, y) E2 (x, y)E1(x, y)+ E2 (x, y)
cos(Ï(x, y))
E(x, y) = E0 (x, y)(1+C(x, y)cos(Ï(x, y))
oĂč C est le taux de modulation des franges : max min
max min
E ECE E
â=
+
C se déduit facilement des amplitudes relatives des 2 ondes qui interfÚrent et la phase, j (x,y), est directement reliée à la différence de marche entre les 2 ondes :
2 ( , )( , ) x yx y
ÏÏ
λÎ
=
P1 : Donnez lâexpression de la diffĂ©rence de marche, D, entre les rayons rĂ©flĂ©chis par chacune des faces en fonction de, n, lâindice du verre, de, e, lâĂ©paisseur, le, de, le dĂ©faut dâĂ©paisseur et de r, lâangle de rĂ©fraction par le dioptre air-Ââverre. Donnez le sens de variation de D en fonction de lâangle dâincidence, i. En incidence normale, Ă quelle variation dâĂ©paisseur, de, correspond lâĂ©cart entre deux franges brillantes ou sombre consĂ©cutives? P2 : On rappelle facteur de rĂ©flexion, R = Frefl / Finc, pour un dioptre air-Ââverre (ou verre-Ââair) en incidence normale vaut 4 %. Calculez le taux de modulation pour des franges dâinterfĂ©rence entre les deux ondes rĂ©flĂ©chies par une lame de verre.
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2. Méthodes de contrÎle interférométrique.
1. Analyse visuelle des interférogrammes.
Les franges que lâon observe sont toujours des franges dâĂ©gale Ă©paisseur. Ces franges sont donc analogues Ă des lignes de niveaux sur une carte topographique (carte IGN).
Fig 2 : Interférogramme et lignes de niveau (crédits [1] et IGN) La variation de différence de marche entre une frange et la suivante est
toujours Ă©gale Ă l. L'analyse visuelle permet facilement dâobtenir la valeur PV du dĂ©faut du front dâonde (il suffit de compter les lignes de niveau !). Par contre, elle ne donne pas le signe de ce dĂ©faut. Par exemple, sur la figure 2, on voit un dĂ©faut de front trĂšs localisĂ© de PV environ 3 l. Mais on ne peut pas savoir sâil sâagit dâune bosse ou dâun creux.
Lâanalyse visuelle est une premiĂšre dĂ©marche expĂ©rimentale indispensable qui permet de donner la valeur approchĂ©e et la forme du dĂ©faut, mais elle devra, si câest possible, ĂȘtre complĂ©tĂ©e par une mĂ©thode de dĂ©modulation de phase spatiale ou temporelle.
1. DĂ©modulation de phase spatiale ou temporelle.
On cherche Ă mesurer 2 ( , )( , ) x yx y
ÏÏ
λÎ
= dans lâexpression de
lâĂ©clairement :
đž đ„, đŠ = đž! đ„, đŠ + đž! đ„, đŠ + 2 đž!(đ„, đŠ) đž!(đ„, đŠ) cos(đ(đ„, đŠ))
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Le principe gĂ©nĂ©ral est dâajouter une porteuse (un signal modulĂ©) Ă cette phase ( , )x yÏ que lâon souhaite mesurer. Cette porteuse peut ĂȘtre, soit temporelle dans le cas des mĂ©thodes de dĂ©calage de phase, soit spatiale. Pour ajouter une porteuse spatiale, il suffit dâintroduire un angle (on dit souvent un « tilt ») entre la surface mesurĂ©e et la surface de rĂ©fĂ©rence. On obtient alors des franges Ă peu prĂšs parallĂšles.
2. Analyse dâinterfĂ©rogrammes par dĂ©modulation dâune porteuse spatiale :
En effet, si lâon introduit un tilt entre la surface mesurĂ©e et la surface de rĂ©fĂ©rence, il apparait des franges parallĂšles (comme pour les franges du coin dâair dans le TP Michelson).
LâĂ©clairement dans lâinterferogramme est dans ce cas :
đž đ„, đŠ = đž! đ„, đŠ + đž! đ„, đŠ+ 2 đž!(đ„, đŠ) đž!(đ„, đŠ) cos(đ đ„, đŠ + 2đđą!đ„ + 2đđŁ!đŠ)
đž đ„, đŠ = đ đ„, đŠ + đ đ„, đŠ cos(đ đ„, đŠ + 2đđą!đ„ + 2đđŁ!đŠ) OĂč u0 et v0 sont les frĂ©quences de la modulation (ou porteuse) spatiale
selon les directions x et y.
Ou, en introduisant la notation complexe et en posant : ( , )( , ) ( , ) i x yc x y b x y e Ï= :
0 0 0 02 ( ) 2 ( )( , ) ( , )1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2i u x v y i u x v yi x y i x yE x y a x y b x y e e b x y e eÏ ÏÏ Ï+ â +â= + +
0 0 0 02 ( ) 2 ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )i u x v y i u x v yE x y a x y c x y e c x y eÏ Ï+ â += + +
Si maintenant on calcule la TransformĂ©e de Fourier Ă deux dimensions de lâĂ©clairement, on obtient :
!E(u,v) = !A(u,v)+ !C(uâu0 ,v â v0 )+ !C(uâu0 ,v â v0 )
Il apparait donc dans le plan de Fourier deux lobes latĂ©raux bien sĂ©parĂ©s (fig.3) aux frĂ©quences spatiales 0 0( , )u v et 0 0( , )u vâ â qui contiennent lâinformation de phase recherchĂ©e.
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Fig 3 : Interférogramme avec porteuse spatiale et sa TF
Lâun des lobes peut ĂȘtre filtrĂ© dans lâespace des frĂ©quences puis ramenĂ© Ă la frĂ©quence zĂ©ro.
On effectue, successivement, la suppression de lâordre zĂ©ro et la recherche de la position dâun des deux lobes latĂ©raux. Puis, ce pic est filtrĂ© et ramenĂ© Ă la frĂ©quence zĂ©ro (fig. 4).
Fig 4 : Filtrage dâun des lobes latĂ©raux
On ne conserve ainsi que la composante spectrale : !C(u,v) , dont on prend la transformée de Fourier inverse.
( , )1( , ) ( , )2i x y
fc x y b x y e Ï=
Soit : Ï(x, y) = arctan(â(c(x, y)â(c(x, y)
) modulo 2p
Il reste enfin Ă supprimer les sauts de phase et le tilt (câest-ÂâĂ -Ââdire lâangle entre les deux surfaces dâonde qui interfĂšrent).
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Fig 5 : DĂ©roulement de la phase et suppression du tilt
Cette méthode de démodulation de la phase sera utilisée sur les interféromÚtres de Fizeau décrits dans la suite du TP.
2. Analyse dâinterfĂ©rogrammes par dĂ©calage de phase :
Les interfĂ©romĂštres Ă dĂ©calage de phase, comme le Zygo que vous utiliserez pendant ce TP, sont Ă©quipĂ©s dâun dispositif qui permet de translater le plan de rĂ©fĂ©rence de quelques fractions de longueur dâonde de maniĂšre contrĂŽlĂ©e et trĂšs prĂ©cise. Dans le cas, dâun interfĂ©romĂštre Ă 2 ondes, au cours de cette translation, lâĂ©clairement, en tout point de lâinterfĂ©rogramme, varie sinusoĂŻdalement (fig. 3).
Plan de référence Surface étudiée
z
y
l
h(x,y)onde planeincidente
O
ondes réfléchies Ύ déplacement du plan de réf.
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Fig. 3 DĂ©calage de phase : interfĂ©rogrammes et suivis de lâĂ©clairement
en un point La phase de la sinusoĂŻde en tout point lâinterfĂ©rogramme est liĂ©e
directement Ă la diffĂ©rence de marche entre le plan Ă©talon et la surface Ă©tudiĂ©e. Des quantitĂ©s dâalgorithmes diffĂ©rents permettent, Ă partir de 3 images ou plus, de retrouver cette phase.
On donne ici lâexemple dâun algorithme de dĂ©calage de phase Ă 4 images (interfĂ©rogrammes de la figure 2 et 4). On a dĂ©calĂ© la phase du front dâonde de rĂ©fĂ©rence de 0, p/2, p, 3p/2.
TP Fizeau -Ââ Zygo Page 40
Fig 4 : les 4 Interférogrammes obtenus par décalage de phase (crédits [1])
Pour le mĂȘme pixel de coordonnĂ©es (x,y) de lâinterfĂ©rogramme,
lâĂ©clairement numĂ©risĂ© par la carte dâacquisition pour les 4 images sont :
1 0
2 0
3 0
4 0
( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ))( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) / 2)( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) )( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) 3 / 2)
E x y E x y C x y x yE x y E x y C x y x yE x y E x y C x y x yE x y E x y C x y x y
Ï
Ï Ï
Ï Ï
Ï Ï
= +
= + +
= + +
= + +
Il est facile de montrer que la phase j (x, y) peut ĂȘtre obtenue (modulo
2p) par lâexpression suivante :
4 2 4 2
3 1 3 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )tan( ( , )) et ( , ) atan( ) 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )
E x y E x y E x y E x yx y x y kE x y E x y E x y E x y
Ï Ï Ïâ â
= = +â â
Lâalgorithme Ă 5 images (Hariharan):
Câest lâalgorithme utilisĂ© dans les programmes Matlab, Zygo_GUI, dĂ©diĂ©s au Zygo 1992 et au Zygotto (phase shift technology rĂ©novĂ© et dĂ©veloppĂ© au LEnsE lors de stages et projets Ă©tudiants). Cet algorithme Ă 5 images permet aussi de mesurer la phase entre chaque image. Le dĂ©faut de la surface est donnĂ© pour un « phase-Ââshift » entre chaque image de p/2 par :
)2
)(2tan(),( 153
42
IIIIIayxââ
â=Ï
Lâangle de phase-Ââshift peut ĂȘtre calculĂ© par :
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1 5 1
4 2
1 cos ( )2I II I
α â â=
â
Cette formule permet de vérifier ou de calibrer le déplacement du plan de référence.
3. Déroulement de la phase Tous les algorithmes de traitement des interférogrammes déterminent
la phase entre -Ââ Ï et + Ï. Ensuite, une opĂ©ration de dĂ©roulement de la phase (unwrapping) est nĂ©cessaire pour supprimer les sauts de phase de 2Ï. Tous les algorithmes de dĂ©roulement de la phase cherchent Ă rendre la phase continue. Ils ne peuvent fonctionner si la surface mesurĂ©e ne prĂ©sente pas de discontinuitĂ©. Les figures 5 et 6 prĂ©sentent le dĂ©roulement dâune phase obtenue expĂ©rimentalement.
Fig 5 : DĂ©roulement de la phase Ă une dimension
Fig 6 : Déroulement de la phase à 2 dimensions (crédits [1])
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TP 1 : InterféromÚtre de Fizeau Analyse visuelle
Analyse par dĂ©modulation dâune porteuse spatiale
Description du montage
Fig 7 : SchĂ©ma de lâinterfĂ©romĂštre de Fizeau
Les rayons (en ligne continue) reprĂ©sentent le faisceau dâĂ©clairage. Les rayons (en ligne discontinue) montre la voie dâimagerie, câest-ÂâĂ -Ââdire la conjugaison entre le plan de lâĂ©chantillon (qui est aussi approximativement le plan de localisation des franges) et le capteur CMOS de la camĂ©ra (ou la rĂ©tine de lâobservateur lors dâune observation visuelle).
A lâintĂ©rieur du bĂąti mĂ©canique, le faisceau de la diode laser (diode Laser rouge : l = 670 nm) est collimatĂ© par la lentille L1 et rĂ©flĂ©chi par une lame semi-Ââ
plan etalon
Ă©chantillon
vis A vis B
collimateur L 2
Fâ2 '
L 1
lame semi- réflechissante
camĂ©ra munie dâun zoom et dâun polariseur
Diode Laser
Les 3 vis A à 120° agissent uniquement sur le plan étalon. Les vis B à 120° agissent sur l'ensemble échantillon plan étalon.
F1
lame semi- réflechissante
Fâ2
F2
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rĂ©flĂ©chissante Ă 45°. Cette onde plane Ă©claire lâĂ©chantillon Ă mesurer en incidence quasi-Âânormale. LâĂ©chantillon est orientĂ© Ă peu prĂšs horizontalement Ă lâaide des 3 vis B. Les faisceaux rĂ©flĂ©chis par lâĂ©chantillon et/ou le plan Ă©talon traversent la lame semi-ÂârĂ©flĂ©chissante et sont focalisĂ©s par la lentille L2 en Fâ2.
Une deuxiĂšme lame semi-ÂârĂ©flĂ©chissante Ă 45° permet dâobtenir simultanĂ©ment une image visuelle et sur la camĂ©ra noire et blanc CMOS (la pupille de lâĆil ou la pupille de lâobjectif de camĂ©ra sont placĂ©es sur Fâ2). Un ordinateur permet dâacquĂ©rir lâimage et de traiter les interfĂ©rogrammes (images des franges) obtenus.
Travail demandĂ© : Une boĂźte dâĂ©chantillons numĂ©rotĂ©e est confiĂ©e Ă chaque binĂŽme ou
trinĂŽme. Elle comprend un miroir plan, une lame Ă faces parallĂšles et une lame prĂ©sentant un angle plus important entre les deux faces. Le numĂ©ro des Ă©chantillons sera reportĂ© clairement dans compte rendu. Les dĂ©fauts de chaque Ă©chantillon (planĂ©itĂ© pour le miroir, dĂ©faut dâĂ©paisseur et planĂ©itĂ© des faces pour les lames) seront mesurĂ©s le plus prĂ©cisĂ©ment possible pendant les 2 sĂ©ances de TP sur les deux interfĂ©romĂštres Ă lâaide de toutes les mĂ©thodes de mesures possibles.
On prendra bien soin de noter lâorientation des Ă©chantillons mesurĂ©s. Les mesures seront comparĂ©es entre elles et commentĂ©es. Il est
indispensable dâorienter les lames de la mĂȘme maniĂšre lors des mesures sur les deux interfĂ©romĂštres (Fizeau ou Zygo) afin de comparer clairement les rĂ©sultats. On se rĂ©fĂ©rera toujours Ă lâobservation visuelle de lâinterfĂ©rogramme. On donnera toujours les rĂ©sultats avec leur incertitude.
1. Etude des dĂ©fauts dâĂ©paisseur dâune lame avec un Fizeau : F RĂ©glage de lâinterfĂ©romĂštre: Le rĂ©glage de lâinterfĂ©romĂštre est trĂšs simple et se fait par autocollimation.
F Placer la lame Ă©chantillon au centre du plateau et noter bien lâorientation de la lame (Ne pas utiliser le plan Ă©talon pour cette manipulation). F LâĂ©cran dĂ©poli (avec une croix) en sortie de lâinterfĂ©romĂštre permet de centrer lâimage de la diode laser sur la croix en jouant sur les vis de basculement. F Observer visuellement les franges. VĂ©rifier bien lâorientation de la lame sur lâimage obtenue.
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F Initialisez ensuite la camĂ©ra IDS en utilisant le logiciel uEye Cockpit (un mode dâemploi est disponible Ă cĂŽtĂ© du PC). F RĂ©glez dans les paramĂštres de la camĂ©ra le temps dâintĂ©gration. Utilisez les profils sur lâimage.
Q1 : VĂ©rifier que le taux de modulation des franges est voisin de 1. Pourquoi ? (Il sâagit de la question de prĂ©paration P2).
Q2 : A quelle variation dâĂ©paisseur, de, correspond lâĂ©cart entre deux franges consĂ©cutives (on prendra lâindice du verre, n=1,5) ? Expliquer (Il sâagit de la question de prĂ©paration P1).
F Analyse visuelle : Q3 : Quel est le dĂ©faut dâĂ©paisseur « peak to Valley » de votre Ă©chantillon ? Donner le rĂ©sultat en l , puis en microns et lâincertitude de mesure. On rappelle que la longueur dâonde de la diode Laser rouge est 670 nm.
F DĂ©termination du sens du dĂ©faut dâĂ©paisseur: On cherche dĂ©sormais Ă dĂ©terminer le sens du dĂ©faut dâĂ©paisseur (la
lame est-Ââelle plus Ă©paisse au centre ou au bord ?). Il est possible d'obtenir des informations sur l'ordre relatif d'interfĂ©rence en modifiant l'angle d'incidence du faisceau d'Ă©clairage Ă lâaide dâune vis de basculement de lâĂ©chantillon et en suivant le dĂ©placement des franges dâĂ©gale Ă©paisseur.
Q4 : Montrer quâen un point de lâĂ©chantillon, si on augmente lĂ©gĂšrement lâangle dâincidence, la diffĂ©rence de marche diminue entre les deux fronts dâonde qui interfĂšrent.
Si on augmente lâangle dâincidence, les franges se dĂ©placent-Ââelles vers les zones de plus petite ou de plus grande Ă©paisseur de lâĂ©chantillon?
DĂ©duire dans quelle zone lâĂ©chantillon est le plus Ă©pais (au centre ou sur le bord ?).
En dĂ©duire aussi un moyen de rĂ©gler prĂ©cisĂ©ment lâĂ©chantillon Ă lâincidence normale.
Q5 : RĂ©sumer les conclusions de votre Ă©tude : dĂ©faut dâĂ©paisseur de la lame (PV), forme du dĂ©faut, signe du dĂ©faut (on fera des schĂ©mas clairs en indiquant bien lâorientation de la lame).
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On donnera aussi le profil du défaut en épaisseur selon un plan de coupe horizontal et vertical.
2. Etude des défauts de planéité des faces de la lame de verre:
Pour mesurer les dĂ©fauts de planĂ©itĂ© de chaque face de la lame de verre, il faut ajouter un plan Ă©talon (ou plan de rĂ©fĂ©rence) permettant dâobtenir une rĂ©fĂ©rence dâonde plane. Les ondes qui interfĂ©rent sont dues Ă la rĂ©flexion sur la surface supĂ©rieure de la lame et la rĂ©flexion sur surface dâun plan Ă©talon en regard avec la lame (voir fig.1 (b)).
F Pour se dĂ©barrasser de la rĂ©flexion sur la deuxiĂšme face de la lame qui peut provoquer un systĂšme de franges parasites, on peut vaporiser de la laque sur lâautre face de la lame ou la couvrir de dâencre de feutre. La laque ou lâencre rend la surface suffisamment rugueuse pour diminuer fortement la rĂ©flexion spĂ©culaire sur cette face. F Notez bien la face Ă©tudiĂ©e et placez la lame Ă©chantillon au centre du support avec la mĂȘme orientation que pour lâĂ©tude prĂ©cĂ©dente. F Ajoutez, avec prĂ©caution, un plan Ă©talon au-Ââdessus la lame Ă©tudiĂ©e. Le plan Ă©talon doit ĂȘtre orientĂ© dans le bon sens (la surface de rĂ©fĂ©rence dirigĂ©e vers la surface Ă©tudiĂ©e de lame, donc vers le bas). F RĂ©glez par autocollimation le plan Ă©talon parallĂšle avec la surface Ă©tudiĂ©e (superposez les deux taches de rĂ©flexion, puis centrez ces taches sur la croix.) . F Observez et analysez les franges obtenues. Q6 : Expliquez lâallure du systĂšme de franges observĂ©es ? Quelle est la variation de distance entre la surface Ă©tudiĂ©e et la surface de rĂ©fĂ©rence lorsque lâon passe dâune frange sombre ou brillante Ă la suivante. ? Proposez une mĂ©thode simple pour vĂ©rifier si cette face est concave ou convexe (non ! Il nây pas besoin de basculer lâĂ©chantillon cette fois !!!). Q7 : Mesurez, en analysant lâinterfĂ©rogramme, le dĂ©faut de planĂ©itĂ© PV de la surface (donnez la valeur en λ et en microns) et lâincertitude sur la mesure. Tracez le profil du dĂ©faut selon un plan de coupe que vous choisirez.
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3. Etude des dĂ©fauts de planĂ©itĂ© par dĂ©modulation dâune porteuse spatiale :
Mode dâemploi du systĂšme dâacquisition et dâanalyse dâimages sur les interfĂ©romĂštres Fizeau :
Ă Lancer Matlab R2016a. La fenĂȘtre ci-Ââdessous devrait alors sâouvrir automatiquement. Si ce nâest pas le cas, entrer la commande « TF_demodulator». Sur la fenĂȘtre qui sâaffiche, cliquer sur « Initialisation » pour initialiser la camĂ©ra.
La camĂ©ra passe alors en mode « live » et un menu apparaĂźt en haut Ă droite de la fenĂȘtre.
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Pour enregistrer une image, cliquez sur « Sauver lâimage ». Les images sont automatiquement sauvegardĂ©es sur le Bureau dans le dossier Images TP Fizeau.
Le bouton « ParamĂštres camĂ©ra » permet de rĂ©gler le temps dâintĂ©gration de la camĂ©ra.
Le bouton « Calcul TF » permet dâafficher en temps rĂ©el la transformĂ©e de Fourier (FFT 2D) de lâinterfĂ©rogramme. Ce mode permet dâajuster lâangle entre le plan Ă©talon et la surface Ă©tudiĂ©e (le tilt). Les deux lobes symĂ©triques, correspondant Ă la porteuse sinusoĂŻdale, devront ĂȘtre situĂ©s au voisinage des deux croix rouges pour la suite du traitement.
Ă AprĂšs avoir rĂ©alisĂ© ce rĂ©glage, cliquer sur « Utiliser lâimage » pour passer Ă la suite.
La fenĂȘtre « Choix du masque » sâouvre et vous pouvez alors rĂ©gler le masque dĂ©limitant lâinterfĂ©rogramme Ă analyser de maniĂšre automatique (seuillage pour dĂ©tecter la zone dâinterfĂ©rence) et/ou manuelle :
Masque automatique : Le curseur en dessous de lâimage de gauche permet dâajuster le seuil pour le masque automatique. Il est en outre possible de limiter la rĂ©gion du masque automatique en ajoutant un masque manuel.
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Masque manuel : Les trois boutons « Cercle », « Polygone » et « Rectangle » permettent en fonction de lâĂ©chantillon observĂ©, de choisir le masque. Le bouton « Annuler » permet dâenlever le masque manuel.
RĂ©glage du zoom : Ce menu permet de zoomer sur lâinterfĂ©rogramme.
à AprÚs avoir bien réglé le masque, cliquer sur « Je choisis ce masque » pour passer à la suite.
Ă Une figure sâouvre alors et permet de choisir le lobe de modulation Ă filtrer dans lâespace de Fourier.
Ă Enfin, la fenĂȘtre des rĂ©sultats qui dĂ©crit les diffĂ©rentes Ă©tapes du traitement sâaffiche.
Le menu « RĂ©glage filtrage lobe » permet de redĂ©finir le lobe Ă filtrer et dâajuster le seuil du filtre audessus duquel les frĂ©quences spatiales du lobe dans lâespace de Fourier sont considĂ©rĂ©es. (NB : la valeur du seuil affichĂ©e est en unitĂ© de lâĂ©cart-Ââtype du bruit dans les hautes frĂ©quences spatiales)
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La mĂ©thode de dĂ©modulation par TF ne permettant pas de dĂ©terminer le sens du dĂ©faut (creux ou bosse), le bouton « Inverser la figure » permet de changer le sens du dĂ©faut calculĂ© pour quâil soit cohĂ©rent avec le sens de dĂ©faut attendu. Les boutons « Afficher la figure 3D » et « Afficher les Ă©tapes du traitement » permettent dâafficher dans une nouvelle fenĂȘtre les diffĂ©rents rĂ©sultats de maniĂšre plus dĂ©taillĂ©e.
Q8 : En vous aidant de lâintroduction ou dâautres sources, rĂ©sumez les Ă©tapes du traitement de lâinterfĂ©rogramme par dĂ©modulation de porteuse spatiale.
Q9 : Mesurez par cette mĂ©thode le dĂ©faut de planĂ©itĂ© PV de la surface (donnez la valeur en λ et en microns). En faisant plusieurs mesures diffĂ©rentes Ă©valuez lâincertitude sur la mesure du PV et du RMS de la surface Ă©tudiĂ©e.
Q10 : Comparez avec soin cette mesure avec lâanalyse visuelle de lâinterfĂ©rogramme.
Q11 : Pourquoi cette mĂ©thode, par dĂ©modulation de porteuse spatiale, nâest-Ââelle pas utilisable en gĂ©nĂ©ral pour la mesure du dĂ©faut dâĂ©paisseur ?
Q12 : Reprenez ces études pour la deuxiÚme face (analyse visuelle et démodulation).
Q13 : Comparer les dĂ©fauts des deux surfaces et le dĂ©faut dâĂ©paisseur de la lame. Ces mesures concordent-Ââelles. Quelle que soit la rĂ©ponse, expliquez pourquoi ? LĂ encore vous ferez des schĂ©mas clairs pour expliquer vos raisonnements.
Q14 : Faites une synthÚse des résultats obtenus sur cet échantillon.
Q15 : Reprenez la mĂȘme Ă©tude avec la deuxiĂšme lame Ă face parallĂšle.
4. Etude des dĂ©fauts dâun miroir plan : F Pour cette application, on utilise sur le Fizeau un plan Ă©talon traitĂ© semi-ÂârĂ©flĂ©chissant.
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Dans ce cas, on observe un systĂšme dâinterfĂ©rence a ondes multiples (interfĂ©romĂštre de Fizeau). Q16 : Expliquez pourquoi il est prĂ©fĂ©rable dâutiliser un plan Ă©talon traitĂ© plutĂŽt quâun plan Ă©talon non traitĂ©. Expliquez pourquoi les franges ne sont plus sinusoĂŻdales. ? (Il sâagit de la question de prĂ©paration P2).
Q17 : Par une analyse visuelle de lâinterfĂ©rogramme, mesurez le dĂ©faut de surface du miroir (amplitude et sens).
Q18 : Par la mĂ©thode de dĂ©modulation, mesurez le dĂ©faut de surface du miroir (amplitude et sens). Expliquez lâapparition de lobes supplĂ©mentaires. Sont-Ââils gĂȘnants pour la mesure ?
Q19 : Faites une synthÚse claire des résultats de mesures et des incertitudes sur la mesure du miroir étudié par les deux méthodes.
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TP 2 : InterféromÚtre de ZYGO
Analyse par dĂ©calage de phase (phase-Ââshift)
Description du ZYGO :
Fig 8 : SchĂ©ma de lâinterfĂ©romĂštre « Zygo » Ou « Zygoto »
Les interfĂ©romĂštres de ZYGO ou Zygoto utilise un Laser He-ÂâNe de
longueur dâonde, 632,8 nm, monomode, de trĂšs grande longueur de cohĂ©rence (« infiniment ! » cohĂ©rent). Un systĂšme dâĂ©puration laser (un filtre spatial, objectif de microscope + petit trou, qui sera vu en TP1A 2S « Diffraction et filtrage ») suivi dâun systĂšme de lentille permet dâobtenir un faisceau uniforme et parfaitement collimatĂ© de 100 mm de diamĂštre Ă la sortie de lâinstrument.
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Plan Ă©talon :
Le plan Ă©talon est placĂ© sur un support rĂ©glable en orientation. Ce support peut ĂȘtre translatĂ© grĂące Ă un actionneur piĂ©zoĂ©lectrique pilotĂ© par lâordinateur. Ce dispositif permet dâeffectuer un glissement de phase ou une modulation temporelle de la phase. Le plan Ă©talon est prismatique pour Ă©viter les franges parasites dâĂ©gale Ă©paisseur entre les deux faces. La face interne est traitĂ©e antireflet.
La face externe est non traitée et sert de surface de référence. Sa
surface est plane Ă qques l/100 en Peak to Valley. Attention : Câest la piĂšce la plus fragile de lâinterfĂ©romĂštre ! TrĂšs
prĂ©cieuse et trĂšs onĂ©reuse (10kâŹ) !!! Soyez toujours trĂšs prudent ! Nâapprochez jamais rien de sa surface ! Ne le touchez jamais ! Et remettez toujours le cache en plastique aprĂšs utilisation.
Voie de rĂ©glage : La piĂšce optique (par exemple un miroir plan non traitĂ©) Ă Ă©tudier est placĂ©e simplement devant le faisceau laser et maintenu par un support rĂ©glable. Les rĂ©glages se font par autocollimation (99% des rĂ©glages en optique sont des rĂ©glages par autocollimation) grĂące Ă la voie dâalignement (bouton sur Align : miroir escamotable enlevĂ©). La mire dâalignement est visualisĂ©e sur le moniteur vidĂ©o. On oriente le plan Ă©talon et lâĂ©chantillon Ă©tudiĂ© de maniĂšre Ă ce que les taches de retour soient toutes les deux exactement au centre de la croix noire. Ce rĂ©glage trĂšs rapide permet tout de suite dâobtenir des franges bien visibles sur la voie de visualisation.
Voie de visualisation : On replace le miroir escamotable (bouton sur View) et les franges doivent apparaĂźtre sur le moniteur. Ces franges sont projetĂ©es sur un dĂ©poli tournant pour Ă©viter le phĂ©nomĂšne de speckle (« tavelures ») (cours optique physique de 2Ăšme annĂ©e). Une lentille permet de conjuguer lâĂ©chantillon et ce dĂ©poli tournant (bouton CAM ou FOCUS). Un objectif Ă focale variable (zoom) permet dâagrandir au mieux lâinterfĂ©rogramme Ă©tudiĂ© (bouton Zoom). On rĂšgle toujours lâorientation de lâĂ©chantillon Ă©tudiĂ© pour ĂȘtre le plus prĂšs possible de la teinte plate (c'est-ÂâĂ -Ââdire obtenir un interfĂ©rogramme avec le minimum de franges).
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1. Etude des dĂ©fauts dâĂ©paisseur dâune lame avec le Zygo : Vous allez dans cette partie faire une mesure prĂ©cise des dĂ©fauts dâĂ©paisseur de la lame en plaçant celle-Ââci entre le plan Ă©talon du Zygo et un plan de rĂ©fĂ©rence (2Ăšme plan Ă©talon) que vous allez Ă©tudier dans un premier temps Ă lâaide du Zygo. F Lâenseignant·âe vous montrera comment utiliser cet interfĂ©romĂštre et le logiciel de mesure de fronts dâonde.
Fig.2 : Principe de mesure des dĂ©fauts dâĂ©paisseur dâune lame avec le Zygo
MTrĂšs important :
Le plan Ă©talon du ZYGO est dâexcellente qualitĂ© (quelques l/100 Peak-Ââto-Ââ Valley ! !). Mais il est Ă©videmment extrĂȘmement fragile et onĂ©reux. C'est la piĂšce extrĂȘmement fragile du ZYGO. Prenez-Ââen le plus grand soin ! Placez toujours les autres supports suffisamment loin de lâinstrument pour ne prendre aucun risque! Ne le touchez jamais ! Replacez TOUJOURS le cache aprĂšs utilisation.
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1. Mesure de planĂ©itĂ© du plan de rĂ©fĂ©rence : On commencera par lâĂ©tude dâun miroir plan non aluminĂ© (2Ăšme plan Ă©talon sur la figure 2) qui se trouve dans la boĂźte en bois contenant des miroirs Ă©talons. F Apprenez Ă rĂ©gler le Zygo dans ce cas de figure trĂšs simple. F RĂ©glez les deux plans Ă©talons parfaitement parallĂšles. F Analysez lâinterfĂ©rogramme obtenu. Q1 : Expliquez pourquoi les franges sont bien contrastĂ©es.
Q2 : Expliquez clairement pourquoi les franges observées sont des lignes de niveaux du miroir étudié.
Q3 : Proposez une méthode simple pour vérifier si ce plan étalon est en creux ou bosse (concave ou convexe).
Q4 : Expliquez pourquoi la diffĂ©rence de hauteur de la surface de lâĂ©chantillon associĂ©e Ă un interfrange est λ/2.
Ce coefficient qui vaut ici 1/2, est appelĂ© en anglais, le « Wedge Factor » (facteur dâĂ©chelle). On vĂ©rifiera toujours que ce facteur est correctement renseignĂ© dans le logiciel du Zygo pour chaque application du TP.
F Effectuez la mesure de planĂ©itĂ© du plan de rĂ©fĂ©rence Ă lâaide du logiciel de Zygo ou Zygoto.
Q5 : En vous aidant de lâintroduction ou dâautres sources dâinformation, rĂ©sumez les Ă©tapes du traitement de lâinterfĂ©rogramme par dĂ©calage de phase utilisĂ© par le Zygo.
Q6 : Donnez la valeur du défaut en PV et RMS. Comparez ces deux valeurs et commenter.
Résumez les conclusions de votre étude sur la qualité optique du plan de référence.
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2. Mesure des dĂ©fauts dâĂ©paisseur de la lame avec le Zygo : On place maintenant entre les deux plans Ă©talons parfaitement parallĂšles (plan Ă©talon du Zygo et miroir plan non aluminĂ©) la lame de verre dont on veut Ă©tudier les dĂ©fauts dâĂ©paisseur (voir figure 2). On Ă©tudie ainsi les variations de la diffĂ©rence de marche entre les deux miroirs de rĂ©fĂ©rence (distants de L) ce qui permet de mesurer les variations dâĂ©paisseur, ÎŽe, de la lame (les miroirs Ă©tant supposĂ©s parfaitement plans et rĂ©glĂ©s parfaitement parallĂšles). Q7 : Exprimez cette diffĂ©rence de marche en fonction de e, ÎŽe, n et L. En dĂ©duire la variation dâĂ©paisseur de la lame (en l) entre deux franges brillantes successives de lâinterferogramme? Quel est « le wedge factor » Ă introduire pour cette mesure ? Comparez le nombre de franges observĂ©es pour cet Ă©chantillon sur le Fizeau et sur le Zygo. Expliquer.
Q8 : Dans quel sens se dĂ©place les franges lorsquâon pousse trĂšs lĂ©gĂšrement sur le support du 2Ăšme plan Ă©talon vers la lame ? En dĂ©duire si la lame est plus Ă©paisse au centre ou au bord. Expliquez le raisonnement Ă lâaide dâun schĂ©ma clair. Comparez, comme toujours, avec le rĂ©sultat obtenu sur le Fizeau.
F Effectuez la mesure de dĂ©faut dâĂ©paisseur de la lame avec le Zygo.
âą Donnez lâamplitude maximale du dĂ©faut dâĂ©paisseur de la lame (on donnera la valeur en unitĂ© de l et en microns). On rappelle que la longueur dâonde du Laser He-ÂâNe est 632.8 nm.
âą Comparez les conclusions de mesures au Zygo et au Fizeau : amplitude maximale du dĂ©faut dâĂ©paisseur de la lame, forme du dĂ©faut, signe du dĂ©faut (on fera des schĂ©mas clairs).
2. Etude des défauts de planéité des deux faces de la lame de verre :
F Remplacez le support du miroir plan par un autocentreur pour tenir la lame à mesurer. F Placez la surface de la lame échantillon à étudier face au plan étalon du Zygo et réglez cette surface parallÚle au plan étalon par autocollimation.
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F En observant lâinterfĂ©rogramme, cherchez Ă obtenir le meilleur parallĂ©lisme possible entre les deux surfaces. F Trouvez un moyen simple pour dĂ©terminer le sens du dĂ©faut. F Effectuez la mesure au Zygo aprĂšs avoir vĂ©rifiĂ© le Wedge Factor utilisĂ©.
Remarque : Importance de la soustraction du tilt : Lorsque lâon soustrait le « tilt », le logiciel calcule lâĂ©quation du plan le plus proche, au sens des moindres carrĂ©s, de la surface mesurĂ©e et le soustrait Ă la surface mesurĂ©e : on a bien ainsi accĂšs Ă lâĂ©cart de la surface par rapport Ă un plan parfait. Vous pouvez rĂ©aliser diffĂ©rentes mesures en inclinant lĂ©gĂšrement la lame pour faire apparaĂźtre quelques franges et vĂ©rifiez quâen soustrayant le « tilt » on mesure bien le dĂ©faut de surface par rapport Ă un plan parfait. Cette mĂ©thode permet aussi de faire une Ă©tude de rĂ©pĂ©tabilitĂ© pour Ă©valuer lâincertitude sur le RMS et le PV mesurĂ©. Q9 : VĂ©rifiez que le dĂ©faut de planĂ©itĂ© mesurĂ© par le Zygo est en accord avec la mesure Ă le Fizeau (sens, forme et amplitude du dĂ©faut).
âą RĂ©sumez les conclusions de votre Ă©tude sur la planĂ©itĂ© de cette surface. âą Effectuez la mĂȘme Ă©tude sur lâautre face de la lame. âą Comparez les mesures de planĂ©itĂ© de chaque face avec la mesure de
défaut en épaisseur de la lame.
Q10 : Les dĂ©fauts de surface de chaque face mesurĂ©s sont-Ââils compatibles avec les dĂ©fauts dâĂ©paisseur de la lame caractĂ©risĂ©s prĂ©cĂ©demment (faire des dessins clairs). Quelle information manque-Âât-Ââil si lâon veut dĂ©terminer les dĂ©fauts dâĂ©paisseur Ă partir des dĂ©fauts de surface mesurĂ©s avec cette mĂ©thode ?
Q11 : Reprenez la mĂȘme Ă©tude avec la deuxiĂšme lame Ă face parallĂšle.
3. Etude des dĂ©fauts dâun miroir plan aluminĂ© : F Sur le Zygo, pour Ă©tudier un miroir aluminĂ©, on ajoute juste devant lâĂ©chantillon « un drap Ă maille serrĂ©e » qui joue le rĂŽle de rĂ©seau 2D et on diminue ainsi fortement lâamplitude de lâonde provenant du miroir aluminĂ© dans lâordre 0 de la figure.
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Q12 : Expliquez pourquoi on amĂ©liore ainsi le contraste des franges Ă lâaide du rĂ©seau. Pourquoi ne pas utiliser tout simplement une densitĂ© (lame absorbante) placĂ© devant le miroir ?
Q13 : Par une analyse visuelle de lâinterfĂ©rogramme, mesurez le dĂ©faut de surface du miroir (amplitude et sens).
Q14 : Effectuez une mesure prĂ©cise de planĂ©itĂ© de lâĂ©chantillon « miroir plan aluminĂ© » avec le Zygo. Evaluez lâincertitude de mesure.
Q15 : Faites une synthÚse claire des résultats de mesures et des incertitudes sur la mesure du miroir étudié par les deux méthodes (visuelle, décalage de phase).
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TP 1A premier semestre InterféromÚtre de Michelson (2016)
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L'interféromÚtre de Michelson
Table des matiĂšres
I. INTRODUCTION ..................................................................................................................................... 60
II. DESCRIPTION THĂORIQUE (RAPPELS...) ...................................................................................... 61 1. SchĂ©ma simplifiĂ© .............................................................................................................................................. 61 2. InterfĂ©rences pour une source ponctuelle et monochromatique ................................................... 62 a. Expression gĂ©nĂ©rale ........................................................................................................................................................ 62 b. Contraste des interfĂ©rences ......................................................................................................................................... 62
3. Cohérence temporelle et spatiale .............................................................................................................. 62 a. Considérations générales .............................................................................................................................................. 62 b. Cohérence temporelle .................................................................................................................................................... 63 c. Cohérence spatiale ........................................................................................................................................................... 63
4. Ătude des franges ............................................................................................................................................ 63 a. Anneaux dâĂ©gale inclinaison ........................................................................................................................................ 63 b. Franges dâĂ©gale Ă©paisseur ............................................................................................................................................ 64
III. RĂGLAGES ............................................................................................................................................. 65 1. SchĂ©ma descriptif ............................................................................................................................................ 65 2. RĂ©glages du Michelson .................................................................................................................................. 66 a. RĂ©glages gĂ©omĂ©triques trĂšs grossiers ..................................................................................................................... 66 b. RĂ©glages grossiers ........................................................................................................................................................... 66 c. RĂ©glages fins ....................................................................................................................................................................... 66
3. Obtention de la teinte plate (lame dâair) ................................................................................................. 67 IV. ĂTUDES Ă RĂALISER .......................................................................................................................... 68 1. Ătude des anneaux dâĂ©gale inclinaison .................................................................................................... 68 2. CohĂ©rence temporelle de la source ........................................................................................................... 68 3. Franges du coin dâair et cohĂ©rence spatiale de la source .................................................................. 69 4. Mesure dâun intervalle spectral ................................................................................................................. 69 5. Franges en lumiĂšre blanche ........................................................................................................................ 70 6. CohĂ©rence spatiale et temporelle : cas de bras dissymĂ©triques ..................................................... 71 a. CohĂ©rence temporelle .................................................................................................................................................... 71 b. CohĂ©rence spatiale .......................................................................................................................................................... 71 c. Travail expĂ©rimental demandĂ© .................................................................................................................................. 72
TP 1A premier semestre InterféromÚtre de Michelson (2016)
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L'interféromÚtre de Michelson
I. INTRODUCTION
L'interfĂ©romĂštre de Michelson est un interfĂ©romĂštre Ă deux ondes, dont les deux faisceaux sont sĂ©parĂ©s (division dâamplitude), et qui permet de nombreuses configurations intĂ©ressantes. Albert Michelson fit en 1887 avec Edouard Morley une expĂ©rience restĂ©e cĂ©lĂšbre en faisant tourner un interfĂ©romĂštre de ce type montĂ© sur une dalle de grĂšs flottant dans un bain de mercure. Lâobjectif Ă©tait de dĂ©montrer la prĂ©sence dâun « Ă©ther », une sorte de matiĂšre prĂ©sumĂ©e qui devait servir de support Ă la propagation des ondes lumineuses, de la mĂȘme maniĂšre que lâair est nĂ©cessaire Ă la propagation des ondes sonores. LâinterfĂ©romĂštre crĂ©Ă© devait permettre de dĂ©tecter un infime changement de la vitesse de la lumiĂšre, dĂ» Ă la composition de la vitesse de la lumiĂšre et de la vitesse de la Terre, sur laquelle avait lieu la mesure. La stabilitĂ© de la position de la frange centrale en lumiĂšre blanche vĂ©rifiĂ©e expĂ©rimentalement Ă quelques centiĂšmes de frange prĂšs sur des trajets optiques de 10 m de longueur plongea les auteurs et toute la communautĂ© des physiciens dans la perplexitĂ©. LâĂ©ther nâexistait pas. Un doute fut ainsi introduit dans lâĂ©difice de la physique classique pourtant aurĂ©olĂ© de tant de succĂšs au XIXe siĂšcle. Cette expĂ©rience nĂ©gative est Ă l'origine de la thĂ©orie de la relativitĂ© Ă©tablie quelques annĂ©es plus tard par Albert Einstein.
En 1892, A. Michelson vient construire à SÚvres un interféromÚtre spécifique pour comparer
la longueur d'onde de la radiation rouge d'une lampe Ă cadmium au Prototype International du mĂštre en platine iridiĂ© (Pt0.9Ir0.1). Cette mesure reprise par Charles Fabry (plus tard premier directeur de lâInstitut dâOptique !) au Conservatoire des Arts et MĂ©tiers conduira d'abord Ă la dĂ©finition de l'Ă ngström, puis en 1960 Ă la premiĂšre dĂ©finition atomique du mĂštre fondĂ©e sur la longueur d'onde dans le vide de la radiation orangĂ©e du krypton 86, et enfin Ă la dĂ©finition actuelle du mĂštre, fondĂ©e sur la vitesse de la lumiĂšre dans le vide et lâĂ©talon de temps, qui date d'octobre 1983. Albert Michelson a reçu le prix Nobel de physique en 19071.
On Ă©tudiera dans cette manipulation deux types de franges : les franges d'Ă©gale inclinaison
formĂ©es Ă l'infini lorsque les miroirs sont parallĂšles et les franges d'Ă©gale Ă©paisseur formĂ©es au voisinage des miroirs par un coin d'air de petit angle entre les miroirs. Dans le cadre de votre travail expĂ©rimental, la source de lumiĂšre est rejetĂ©e Ă lâinfini par un collimateur. La plupart des manipulations se font avec la raie verte dâune lampe Ă vapeur de mercure, soit autour de λ = 546,1 nm.
Deux aspects de la cohérence de la lumiÚre seront également étudiés : la cohérence temporelle ou finesse spectrale de la source, et la cohérence spatiale liée à son étendue géométrique.
Le TP se déroule sur deux séances. La partie théorique est à étudier avant la premiÚre
sĂ©ance et sera relevĂ©e par lâenseignant au dĂ©but de la deuxiĂšme sĂ©ance (1 copie double manuscrite maximum). NB : cette partie reprend des rĂ©sultats vus en cours et en TD dâoptique physique. On ne vous demande donc pas de longues dĂ©monstrations mais un juste un rappel succinct des propriĂ©tĂ©s essentielles ! 1 "for his optical precision instruments and the spectroscopic and metrological investigations carried out with their aid", http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1907/
TP 1A premier semestre InterféromÚtre de Michelson (2016)
61
II. DESCRIPTION THĂORIQUE (RAPPELS...)
1. Schéma simplifié
Figure 1 : Principe de lâinterfĂ©romĂštre de Michelson
La figure 1 reprĂ©sente schĂ©matiquement le Michelson, oĂč une lame (la sĂ©paratrice) sĂ©pare en deux le faisceau incident puis le recombine aprĂšs les rĂ©flexions sur les deux miroirs M1 et M2. Le faisceau issu de la source lumineuse est collimatĂ© et arrive avec une incidence moyenne quasi-normale sur les miroirs et une ouverture angulaire Ξs donnĂ©e par le diamĂštre du trou source (pour simplifier lâinterfĂ©romĂštre est reprĂ©sentĂ© avec une incidence normale sur des miroirs parfaitement perpendiculaires).
Figure 2 : lame dâair Ă©quivalente dans le cas oĂč le
faisceau Ă une incidence đ â 0, i reste trĂšs petit devant 1.
Comme indiquĂ© sur la figure 2, cet interfĂ©romĂštre est en fait Ă©quivalent Ă une lame dâair dâĂ©paisseur moyenne e, avec un angle α, dans le cas gĂ©nĂ©ral, entre les deux miroirs. Lâincidence i variant entre 0 et Ξs.
TP 1A premier semestre InterféromÚtre de Michelson (2016)
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2. Interférences pour une source ponctuelle et monochromatique
a. Expression générale
Examinons le cas oĂč la source peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme ponctuelle et monochromatique. Dans ce cas les deux faisceaux recombinĂ©s E1 et E2 ont une relation de phase parfaitement dĂ©finie et sâĂ©crivent :
âŹ
E1 = I1 exp( jÏ1) et E2 = I2 exp( jÏ2)
OĂč Ï1 et Ï2 correspondent aux dĂ©phasages accumulĂ©s sur les 2 trajets. Si ÎŽ correspond Ă la diffĂ©rence de marche, on rappelle que : ÎÏ =Ï1 âÏ2 = 2Ï ÎŽ λ .
A la sortie du Michelson, lâintensitĂ© totale (
âŹ
I = E 2= E1 + E2
2 ) vaut ainsi, en introduisant
lâordre dâinterfĂ©rence p=ÎŽ/λ :
âŹ
I = I1 + I2 +2 I1I2 cos(ÎÏ) = I1 + I2 +2 I1I2 cos(2Ïp)
b. Contraste des interférences
LâintensitĂ© totale est une fonction sinusoĂŻdale de lâordre dâinterfĂ©rence p. Un paramĂštre essentiel pour caractĂ©riser un systĂšme de franges d'interfĂ©rence Ă deux ondes est le facteur de visibilitĂ©, ou contraste :
max min
max min
âI ICI I
=+
Q1 : Rappeler lâexpression de C dans le cas gĂ©nĂ©ral en fonction du rapport, I1/I2 . Montrer que lâon peut mettre lâintensitĂ© totale sous la forme
âŹ
I = I0 1+Ccos(2Ïp)[ ]. Que vaut C=Ccoh pour le Michelson dans le cas dâune source parfaitement ponctuelle et monochromatique (quelles que soient les valeurs du facteur de rĂ©flexion R et du facteur de transmission T de la lame sĂ©paratrice) ?
Remarque : Un autre systÚme de franges est observable dans la direction de la source avec une lame semi-réfléchissante. S'il n'y a pas d'absorption sur la séparatrice (conservation de l'énergie, R + T = 1), ce deuxiÚme systÚme est complémentaire du premier et son facteur de visibilité n'est égal à l'unité que si R = T.
3. Cohérence temporelle et spatiale
a. Considérations générales
Si les interfĂ©rences sont parfaitement contrastĂ©es dans le cas idĂ©al dâune source parfaitement monochromatique et ponctuelle (si vous nâavez pas trouvĂ© Ccoh=1 Ă la question prĂ©cĂ©dente, reprenez votre calcul !!!), les choses se compliquent pour une source rĂ©elle. En effet les sources lumineuses ont une certaine largeur naturelle en frĂ©quence (cohĂ©rence temporelle) et une certaine extension spatiale (cohĂ©rence spatiale). En un point M donnĂ© de la figure dâinterfĂ©rence, chaque frĂ©quence et chaque point source crĂ©ent leur propre systĂšme de franges quâil faut sommer. Si lâordre
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dâinterfĂ©rence p au point M a une variation de lâordre de lâunitĂ©, maxima et minima se mĂ©langent pour faire disparaĂźtre les franges et le contraste s'annule trĂšs rapidement.
On Ă©crit alors habituellement le contraste sous la forme C = CcohĂ V, oĂč la visibilitĂ© V des
franges rend compte de la cohĂ©rence de la source. Une partie importante de ce TP est consacrĂ© Ă lâĂ©tude de ces notions de cohĂ©rence. Q2 : Rappeler lâexpression de V dans le cas oĂč lâintensitĂ© est uniforme sur un intervalle de largeur
Îp autour de lâordre dâinterfĂ©rence moyen p0.
âŹ
pâ p0 âÎp2, p0 +
Îp2
âĄ
⣠⹠â€
⊠℠â
â â
â
â â et nulle en dehors de cet
intervalle. VĂ©rifiez que la premiĂšre annulation du contraste correspond Ă Îp=1. Rappeler le critĂšre qualitatif pour obtenir des interfĂ©rences bien contrastĂ©es (V > 0.8).
b. Cohérence temporelle
La cohĂ©rence temporelle est liĂ©e au brouillage des franges dĂ» Ă la largeur naturelle en frĂ©quence ÎÎœ de la source. On sâintĂ©resse donc Ă la variation de lâordre dâinterfĂ©rence p, en fonction de la frĂ©quence n de la source lumineuse.
Q3 : Relier Îp Ă ÎÎœ. En supposant un profil de raie rectangulaire 0 0,2 2Îœ Îœ
Îœ Îœ Îœâ Î Î â⥠â€â â +â ââą â„⣠âŠâ â
,
retrouver lâexpression de la longueur de cohĂ©rence qui correspond Ă la premiĂšre annulation du contraste en fonction de ÎÎœ puis de Îλ et λ.
c. CohĂ©rence spatiale Pour une source ponctuelle, les franges sont observables dans tout l'espace oĂč se superposent
les faisceaux (à condition bien sûr que la différence de marche soit inférieure à la longueur de cohérence temporelle). On dit que les franges ne sont pas localisées.
En revanche, lorsque la source est étendue, les couples de rayons provenant de différents
points de la source ne prĂ©sentent pas, en gĂ©nĂ©ral, le mĂȘme ordre d'interfĂ©rence au point dâobservation. La variation de cet ordre dâinterfĂ©rence avec la position du point source est liĂ©e Ă la notion de cohĂ©rence spatiale. En gĂ©nĂ©ral, la variation de cet ordre d'interfĂ©rence devient rapidement de lâordre de l'unitĂ© (Îp â 1) lorsque lâon Ă©largit la source, si bien que les franges disparaissent tout aussi rapidement.
NĂ©anmoins, il existe des rĂ©gions de lâespace oĂč l'ordre d'interfĂ©rence ne dĂ©pend pas, ou trĂšs
peu, de la position de la source. En ces points les franges restent observables avec une source relativement étendue; on parle de franges localisées. Q4 : Rappeler le théorÚme de localisation des franges.
4. Ătude des franges
a. Anneaux dâĂ©gale inclinaison On sâintĂ©resse ici au cas oĂč les miroirs sont parfaitement parallĂšles (lame dâair, α = 0).
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Q5 : OĂč sont localisĂ©es les franges ? Rappeler lâexpression de lâordre dâinterfĂ©rence p en fonction de lâĂ©paisseur e et de lâincidence i (voir Fig1.(b)). Retrouvez lâexpression des incidences correspondant aux anneaux observĂ©s (on supposera pour simplifier que lâincidence normale i=0 correspond Ă un ordre dâinterfĂ©rence p0 entier). Expliquez pourquoi ces anneaux restent contrastĂ©s quelle que soit lâouverture angulaire de la source.
b. Franges dâĂ©gale Ă©paisseur On sâintĂ©resse maintenant au cas oĂč les miroirs sont lĂ©gĂšrement inclinĂ©s (coin dâair α â 0).
Q6 : OĂč sont localisĂ©es les franges ? On rappelle que la diffĂ©rence de marche sâĂ©crit lĂ aussi
âŹ
ÎŽ = 2ecosi . Donner lâinterfrange en Ă©paisseur Îe pour une incidence normale (i=0). Comment caractĂ©riser lâangle du coin dâair ?
Ces franges dâĂ©gale Ă©paisseur sont dites localisĂ©es dans le sens oĂč elles « rĂ©sistent » le mieux possible Ă lâeffet de brouillage des franges dĂ» Ă lâĂ©tendue angulaire de la source. Toutefois, contrairement aux anneaux dâĂ©gale inclinaison, cette rĂ©sistance nâest pas infinie ! Câest lâobjet de la question suivante... Q7 : On considĂšre lâouverture angulaire Ξs de la source autour de la normale (voir Fig.1(a)). Rappeler lâexpression de Îp en fonction de Ξs et e. Si on considĂšre une rĂ©partition uniforme de lâĂ©nergie lumineuse en fonction de lâangle dâincidence, donner lâexpression du contraste en fonction de Ξs (on utilisera le rĂ©sultat de Q2 !). Finalement donner lâexpression de Ξs correspondant Ă la premiĂšre annulation du contraste.
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III. RĂGLAGES
1. Schéma descriptif
Figure 3 : SchĂ©ma dĂ©taillĂ© de lâinterfĂ©romĂštre de Michelson. La lame sĂ©paratrice divise l'onde incidente en deux faisceaux qu'elle envoie dans les deux bras
de l'interféromÚtre. L'angle d'incidence est souvent 45° pour que les bras soient perpendiculaires, mais on peut envisager une incidence plus faible pour réduire la largeur de la lame séparatrice ou plus forte pour annuler, avec une polarisation convenable, les réflexions sur la face non traitée (incidence de Brewster).
Un des bras de l'interféromÚtre inclut l'épaisseur de verre de la lame séparatrice. Une lame
compensatrice est placĂ©e dans l'autre bras pour rĂ©tablir l'Ă©quilibre des chemins optiques. La lame compensatrice doit ĂȘtre bien parallĂšle Ă la lame sĂ©paratrice, de mĂȘme Ă©paisseur, de mĂȘme indice.
Les deux miroirs M1 et M2 sont équipés chacun de deux réglages en rotation autour de deux
axes perpendiculaires. L'un des miroirs au moins (M2) est mû en translation sur ses glissiÚres par une vis micrométrique, et possÚde deux réglages fins de rotation supplémentaires. La différence de marche Ύ est égale au double de la translation de M2 depuis le contact optique ou différence de marche zéro.
En réglant l'interféromÚtre, on peut observer des franges d'égale inclinaison (anneaux localisés à l'infini) avec l'image M'2 de M2 donnée par la lame séparatrice parallÚle à M1, ou des franges d'égale épaisseur (localisées sur les miroirs) en formant un diÚdre de petit angle (quelques milliÚmes de radian).
Matériel : ⹠interféromÚtre avec collimateur. ⹠lampe à mercure basse pression. ⹠lame semi-réfléchissante. ⹠spectroscope de poche. ⹠lentilles, pieds, tiges, noix et verre dépoli pour observation en projection.
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âą un Ă©chantillon de verre Ă©pais Ă Ă©tudier
Les piÚces optiques sont de qualité interférentielle. La mécanique est de précision. Le coût de ce matériel est élevé. Il est à manipuler avec précautions.
2. RĂ©glages du Michelson
a. Réglages géométriques trÚs grossiers
VĂ©rifier que :
Ă° les miroirs sont correctement Ă©clairĂ©s (lampe dans lâaxe et pas trop loin du collimateur) Ă° les miroirs sont disposĂ©s Ă Ă©gale distance de la sĂ©paratrice (cf. cohĂ©rence temporelle de la
source...). Ă° les mouvements fins du miroir M2 sont Ă mi-course.
b. RĂ©glages grossiers
Tous les Michelson en TP sont Ă©quipĂ©s de trous sources au foyer dâun collimateur. Lâaxe du
collimateur est fixe et sert de référence aux réglages qui suivent (trou source centré sur cet axe, miroirs M1 et M2 perpendiculaires à cet axe). Ces réglages se font par autocollimation : superposition du trou source et de son image par le collimateur et un miroir plan :
Ă° Servez-vous de la lame semi-rĂ©flĂ©chissante comme dâun miroir entre la lampe et le collimateur de façon Ă pouvoir observer confortablement par le dessus ou sur le cĂŽtĂ© le trou source (de diamĂštre 10 mm environ) et son image (par M1 et/ou M2).
Ă° Plaquer un grand miroir sur lâobjectif du collimateur pour rĂ©gler la position du trou source sur lâaxe du collimateur.
ð Masquer le miroir M2 et superposer le trou source et son image par M1 en réglant son orientation.
Le miroir M1 est maintenant orthogonal Ă lâaxe optique du collimateur. Lâimage du trou source renvoyĂ©e par M1 va maintenant servir de rĂ©fĂ©rence pour les autres rĂ©glages.
c. RĂ©glages fins
Ă° Choisir le plus petit trou source. Placez-vous en face du Michelson et observer les images
données par les miroirs M1 et M2, ainsi que les images parasites dues à la compensatrice. Superposer soigneusement toutes ces images en jouant sur M2 et sur la compensatrice.
Ă° Placer un grand trou source pour observer les anneaux. Si les anneaux sont trop serrĂ©s et peu contrastĂ©s dĂ©placer longitudinalement le miroir M1 jusqu'Ă obtenir 3 ou 4 anneaux. Centrer ensuite ces anneaux en jouant sur lâorientation de M2.
Q8 : Pourquoi les anneaux peuvent-ils ĂȘtre observĂ©s directement « Ă lâĆil nu » ?
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3. Obtention de la teinte plate (lame dâair) Pour obtenir la teinte plate (parallĂ©lisme des miroirs M1 et M2â), deux mĂ©thodes sont
possibles. La premiĂšre se fait par lâobservation des franges dâĂ©gale Ă©paisseur. La seconde, directement par lâobservation des anneaux.
a. PremiĂšre mĂ©thode : MĂ©thode du coin dâair
Cette mĂ©thode sâapplique lorsque lâon est encore loin des rĂ©glages. A lâĆil nu on ne voit que
des franges rectilignes assez serrĂ©es. La mĂ©thode consiste Ă rĂ©gler le parallĂ©lisme des miroirs en observant confortablement des franges dâĂ©gale Ă©paisseur. Le but est alors dâobtenir une teinte uniforme pour rĂ©gler lâorientation du miroir M2.
Ă° Pour observer ces franges dâĂ©gale Ă©paisseur, diminuer le diamĂštre du trou source et placer la loupe (focale dâenviron 300 mm pour la plupart des montages...) sur le Michelson. En utilisant les mouvements fins du miroir M2, augmenter lâinterfrange jusqu'Ă obtenir une figure uniforme : câest la teinte plate.
Q9 : Ă partir de la question Q6, expliquer pourquoi lâon peut visualiser ces franges Ă lâĆil nu Ă travers la lentille. Pourquoi choisir un petit trou source ? OĂč doit-on placer son Ćil pour collecter tous les faisceaux issus de la source ? Q10 : Estimer la prĂ©cision du rĂ©glage sur lâangle α en supposant que lâon peut ĂȘtre prĂ©cis Ă une demi-frange prĂšs.
b. DeuxiÚme méthode : Méthode de la « respiration des anneaux »
Cette méthode est beaucoup plus précise que la précédente. Mais pour pouvoir la réaliser, il
faut dĂ©jĂ observer une figure dâanneaux. Si câest le cas, il est inutile de commencer par la premiĂšre mĂ©thode. On observe ici, Ă lâĆil nu, les anneaux dâĂ©gale inclinaison Ă lâinfini.
Ă° DĂ©placer votre Ćil dans le champ dâobservation des interfĂ©rences et regarder si le centre des
anneaux reste dans le mĂȘme Ă©tat interfĂ©rentiel. Si ce nâest pas le cas, utiliser les mouvements fins du miroir M2.
Q11 : En Ă©tudiant le trajet des rayons lumineux collectĂ©s par votre oeil, interprĂ©tez les observations prĂ©cĂ©dentes. Q12 : Estimez la prĂ©cision sur lâangle α.
c. Remarques
Si les rĂ©glages dâauto collimation ont Ă©tĂ© correctement effectuĂ©s, les anneaux sont bien centrĂ©s sur le trou source. Dans tous les cas le centre des anneaux matĂ©rialise lâincidence normale sur les miroirs. Si les anneaux ne sont pas bien centrĂ©s dans lâimage du trou source, câest que le trou source est mal rĂ©glĂ©. Vous pouvez alors reprendre le rĂ©glage de la position du trou source pour centrer lâimage du trou sur la figure dâanneaux
Il est essentiel de comprendre et dâassimiler cette succession prĂ©cise de rĂ©glages de lâinterfĂ©romĂštre. Lâensemble ne doit pas prendre plus dâune dizaine de minutes.
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IV. ĂTUDES Ă RĂALISER
Les expĂ©rimentations et les mesures demandĂ©es peuvent se faire dans un ordre quelconque. Lâensemble est rĂ©parti sur 2 sĂ©ances de 4 h 30.
Un seul compte rendu rassemblera lâensemble de vos rĂ©sultats et de vos remarques. Il est
indispensable dâeffectuer les quelques calculs demandĂ©s en cours de TP. Vous prendrez soin de noter et dâinterprĂ©ter le plus clairement possible vos observations. Par contre le rappel de la procĂ©dure de rĂ©glage nâest pas indispensable (rĂ©pondez toutefois aux questions posĂ©es !). Tous les rĂ©sultats doivent bien-sĂ»r ĂȘtre donnĂ©s avec leur incertitude. Une correction de la premiĂšre partie (Ă©tude des anneaux) est disponible sur « Libres Savoirs » et doit servir de guide pour le format de votre compte rendu.
1. Ătude des anneaux dâĂ©gale inclinaison
Les anneaux sont obtenus pour les deux miroirs parallĂšles (parallĂ©lisme vĂ©rifiĂ© avec lâune des mĂ©thodes dĂ©crites dans la partie « RĂ©glages ») et un trou source de diamĂštre 10 Ă 15 mm. On placera devant le trou source un filtre vert et un dĂ©poli afin de lâĂ©clairer uniformĂ©ment.
On pourra observer Ă lâĆil nu ou, plus confortablement, en utilisant une camĂ©ra vidĂ©o, munie dâun zoom. VĂ©rifier que vous voyez bien le contour du trou source avec la camĂ©ra. Q13 : InterprĂ©ter le mouvement des anneaux lorsquâon diminue lâĂ©paisseur de la lame dâair, câest-Ă -dire lorsque lâon se rapproche du contact optique (cf Q5).
Q14 : RepĂ©rer la position du miroir M2 pour laquelle vous estimez ĂȘtre au contact optique. En rĂ©alisant des mesures de rĂ©pĂ©tabilitĂ©, estimez la prĂ©cision de ce rĂ©glage. Q15 : Relever les positions du miroir M2 pour lesquelles le nombre des anneaux est 1, 2,..., 10,... et montrer que le nombre dâanneaux est bien proportionnel Ă e, dĂ©placement du miroir M2. Q16 : Le nombre dâanneaux observĂ©s dĂ©pend bien sĂ»r du diamĂštre du trou source choisi. Mesurer rapidement (Ă la rĂšgle) ce diamĂštre ainsi que la focale du collimateur. VĂ©rifier que vos mesures sont cohĂ©rentes avec le rĂ©sultat thĂ©orique attendu.
Le contraste des anneaux dâĂ©gale inclinaison est a priori insensible Ă lâĂ©tendue gĂ©omĂ©trique
de la source. Toutefois ceci nâest vrai que pour des miroirs strictement parallĂšles. En effet, si lâĂ©paisseur de la lame dâair varie lĂ©gĂšrement, lâĂ©tat interfĂ©rentiel des anneaux (qui reste bien dĂ©fini si on isole les faisceaux provenant dâune zone localisĂ©e du miroir) varie en fonction de la position dâincidence sur le miroir.
2. Cohérence temporelle de la source
Le filtre vert permet dâisoler la raie verte de la lampe Ă mercure basse pression.
Ă° Augmenter la diffĂ©rence de marche en observant les anneaux Ă lâĆil nu.
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Q17 : Est-il possible dâobserver une annulation franche du contraste ? Pourquoi ? A lâaide du critĂšre V > 0.8, donner une estimation de la longueur de cohĂ©rence de la raie verte (λ = 546,1 nm). En dĂ©duire sa largeur spectrale et sa finesse (cf Q3). Avec quelle incertitude donnez-vous ce rĂ©sultat ? Q18 : Expliquer comment, en utilisant un interfĂ©romĂštre de Michelson, on peut en principe dĂ©terminer le profil spectral de la raie.
3. Franges du coin dâair et cohĂ©rence spatiale de la source
On va Ă©tudier dans cette partie la visibilitĂ© des franges de coin dâair en fonction de la taille de la source. On constatera que pour un coin dâair dâĂ©paisseur e non nulle, les franges ne sont bien visibles que si la source est suffisamment petite (« suffisamment cohĂ©rente spatialement »). On placera le filtre vert devant la lampe Ă mercure.
Ă° Ramener les miroirs parallĂšles entre eux. Revenir au contact optique et repĂ©rer sa position. Ă° Placer la lentille de maniĂšre Ă pouvoir observer les franges dâĂ©gale Ă©paisseur Ă lâĆil nu.
Q19 : Estimer la qualité des optiques du Michelson en étudiant la qualité de la teinte plate (cf Q6).
* Dérégler le miroir M2 pour faire apparaßtre une dizaine de franges.
Q20 : Estimer lâangle entre les deux miroirs (on pourra mesurer le diamĂštre des miroirsâŠ). Quelle est votre prĂ©cision ? Q21 : Constater quâau voisinage du contact optique, les franges sont observables mĂȘme avec une source Ă©tendue. Pourquoi ?
Ă lâaide dâune deuxiĂšme lentille, projeter les franges sur un Ă©cran dĂ©poli (utiliser un pied en fonte, des noix, etc.). Vous devez placer lâĂ©cran de maniĂšre Ă voir les franges les plus nettes possible. Choisissez un trou source de diamĂštre moyen : 5 Ă 15 mm et faites attention Ă ce que le trou soit Ă©clairĂ© de maniĂšre uniforme. Les observations suivantes se font plus facilement avec typiquement 4 Ă 6 franges.
* Observer attentivement la visibilité des franges lorsque vous translatez le miroir M2 de part
et dâautre du contact optique. Q22 : Constater lâinfluence du diamĂštre du trou source sur la position des annulations de contraste. RepĂ©rer les positions de ces annulations de contraste de chaque cĂŽtĂ© du contact optique. Q23 : Placer le miroir M2 Ă la premiĂšre annulation de contraste, enlever les lentilles et le dĂ©poli et observer les anneaux Ă lâinfini aprĂšs avoir rĂ©glĂ© convenablement lâorientation de M2. Combien dâanneaux observez-vous ? En vous aidant des questions Q5 et Q7, interprĂ©ter et commenter ce rĂ©sultat.
4. Mesure dâun intervalle spectral
Revenir en configuration lame d'air (observation des anneaux d'Ă©gale inclinaison). Un filtre orangĂ© permet dâisoler le doublet jaune du mercure (on a environ λ1 ~ 577 nm , λ1 ~ 579 nm).
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Lâobjectif de lâexpĂ©rience ici est de mesurer avec une grande prĂ©cision (Ă dĂ©terminer !) lâĂ©cart spectral entre les deux longueurs dâonde.
Q24 : Observer et expliquer la prĂ©sence de coĂŻncidences et dâanticoĂŻncidences. Montrer que la distance d entre 2 anticoĂŻncidences est donnĂ©e par 2dÎÏ =1 (avec Ï = 1/λ).
* En partant d'une position oĂč les coĂŻncidences et anticoĂŻncidences sont bien visibles, relever les positions successives des 10 premiĂšres anticoĂŻncidences.
Q25 : Mesurer la distance d entre deux anticoĂŻncidences successives et Ă©valuer lâincertitude de la mesure. Comment avoir une mesure plus prĂ©cise ? Donner une nouvelle mesure de d ainsi que la nouvelle incertitude en utilisant vos relevĂ©s.
Q26 : Quelle prĂ©cision relative obtiendrait-on si lâon comptait 100 anticoĂŻncidences ? Proposer une mĂ©thode pour compter facilement un grand nombre de coĂŻncidences. Q27 : DĂ©terminer le plus prĂ©cisĂ©ment possible lâĂ©cart spectral entre les 2 composantes du doublet du mercure. Avec quelle incertitude pouvez-vous donner ce rĂ©sultat ?
5. Franges en lumiĂšre blanche
* Revenir aussi prÚs que possible de la différence de marche nulle. * Remplacer la lampe à mercure par la lampe de bureau. On n'observe en général rien, parce
que la cohérence temporelle de cette source est trÚs faible. Elle ne dépasse pas quelques micromÚtres.
* Régler le spectroscope de poche sur la lampe à mercure (ou une lampe « économique » du couloir) avec une fente fine, puis observer la lumiÚre blanche issue de l'interféromÚtre.
* Analyser avec le spectroscope la lumiĂšre provenant du Michelson. Avec un peu de chance et si vous ĂȘtes suffisamment prĂšs de la diffĂ©rence de marche nulle, vous devez voir des cannelures plus ou moins serrĂ©es. Changer le pas des cannelures en agissant dĂ©licatement sur la translation de M2. Si la diffĂ©rence de marche est trop grande, les cannelures sont trop serrĂ©es pour que l'on puisse les rĂ©soudre dans le spectroscope.
Q28 : Expliquer la prĂ©sence de ces cannelures dans le spectre. Pourquoi les cannelures sâĂ©largissent-elles lorsque lâon diminue la diffĂ©rence de marche ?
* Agir sur la position de M2 pour obtenir les cannelures les plus larges. Observer alors
directement dans l'interféromÚtre les couleurs d'interférence. * Former un coin d'air de petit angle pour observer quatre ou cinq franges sur les miroirs.
Q29 : Combien de franges pouvez-vous observer ? Quel est l'état interférentiel de la frange centrale ?
Q30 : Observer les couleurs des franges et comparer Ă lâĂ©chelle de teintes de Newton (en annexe du TP). Vous retrouverez ces teintes de Newton au cours des TP Polarisations. Ă partir de votre comparaison avec lâĂ©chelle des teintes de Newton, estimer la longueur de cohĂ©rence de la lampe.
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Il est intĂ©ressant de remarquer que lâon peut changer lâĂ©tat de la frange centrale. Pour cela on pourra modifier le rĂ©glage du parallĂ©lisme de la sĂ©paratrice et de la compensatrice, tout en rattrapant la position de M2 pour garder les franges les plus contrastĂ©es au centre de la figure. NB : Deux Ă©chelles de teintes sont donnĂ©es : dâune part, lâĂ©chelle Ă centre blanc : on a la premiĂšre Ă©chelle des teintes de Newton autour dâune frange blanche et dâautre part lâĂ©chelle Ă centre noir : on a la deuxiĂšme Ă©chelle des teintes de Newton autour dâune frange noire.
6. CohĂ©rence spatiale et temporelle : cas de bras dissymĂ©triques Ne faites cette partie que sâil vous reste suffisamment de temps.
Nous allons dans cette partie insĂ©rer une lame de verre Ă©paisse sur lâun des bras du Michelson. La lame Ă tester est Ă disposer sur l'un des bras de l'interfĂ©romĂštre aprĂšs le rĂ©glage en teinte plate. Elle introduit donc sur le bras correspondant du Michelson une diffĂ©rence de marche moyenne Ă©gale Ă 2 ( 1)e nÎŽ = â , n et e Ă©tant respectivement l'indice et l'Ă©paisseur de la lame.
En analysant les franges dâĂ©gale Ă©paisseur observĂ©es, il serait possible dâobtenir des
informations sur la qualitĂ© optique de cette lame. Toutefois ces franges ne sont bien contrastĂ©es que si lâon utilise une source suffisamment cohĂ©rente spatialement et temporellement. Le but de cette partie est dâĂ©tudier prĂ©cisĂ©ment les contraintes liĂ©es Ă ces deux sources de dĂ©cohĂ©rence et de montrer pourquoi elles sont pas forcĂ©ment conciliables.
a. Cohérence temporelle
Q : Retrouver lâexpression de ÎŽ0. Pour une source de longueur de cohĂ©rence Lc, quelle est lâĂ©paisseur tolĂ©rable maximale pour obtenir des franges suffisamment contrastĂ©es au centre (incidence nulle) (on prendra le critĂšre usuel Îp <1/4) ? Dans quel sens et de combien doit-on dĂ©placer le miroir pour rĂ©soudre le problĂšme de la cohĂ©rence temporelle ?
b. Cohérence spatiale
Vous avez Ă©tudiĂ© prĂ©cĂ©demment lâĂ©volution du contraste des franges dâĂ©gale Ă©paisseur en
fonction de lâĂ©tendue de la source et de lâĂ©paisseur de la lame dâair effective. Dans le cas prĂ©sent, ces considĂ©rations restent valables sauf que lâintroduction de lâĂ©chantillon modifie lâĂ©paisseur de cette lame dâair Ă©quivalente.
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Q : Retrouver que l'image du miroir par la lame est avancĂ©e de la quantitĂ© e(1-1/n) (voir figure ci-dessus). OĂč doit-on placer le miroir Mâ1 pour minimiser la perte de contraste ? Pourquoi ? En particulier dans quel sens doit-on dĂ©placer le miroir ? Est-ce conciliable avec la contrainte sur la cohĂ©rence temporelle ?
c. Travail expérimental demandé
* Régler le Michelson en teinte plate et au contact optique sans l'échantillon (e=0, α=0). On
utilisera ici un grand trou source. * Placer maintenant l'Ă©chantillon et observer les franges dâĂ©gale Ă©paisseur sur la lame.
Q : Que se passe-t-il sur le contraste ? Comment peut-on améliorer celui-ci ?
* Enlever la lentille et regarder les franges dâĂ©gale inclinaison.
Q : DĂ©placer le miroir de maniĂšre Ă diminuer au maximum le nombre dâanneau. VĂ©rifier que le dĂ©placement est compatible avec la valeur e(1-1/n) trouvĂ©e ci-dessus. Q : En replaçant la lentille que constatez-vous sur le contraste des franges ? Que se passe-t-il pour le contraste lorsque vous changez la taille du trou ? Expliquez.
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Ăchelle des teintes de Newton
ÎŽ en nanomĂštres Ă©chelle Ă centre blanc Ă©chelle Ă centre noir
0 blanc noir 40 blanc gris de fer 97 blanc jaunĂątre gris lavande
158 blanc jaunùtre bleu gris 218 brun jaune gris plus clair 234 brun blanc verdùtre 259 rouge clair blanc 267 rouge carmin blanc jaunùtre 275 brun rouge sombre jaune paille pùle 281 violet sombre jaune paille 306 indigo jaune clair 332 bleu jaune vif 430 bleu gris jaune brun 505 vert bleuùtre orangé rougeùtre 536 vert pùle rouge chaud 551 vert jaunùtre rouge plus foncé 565 vert plus clair pourpre 575 jaune verdùtre violet 589 jaune d'or indigo 664 orangé bleu de ciel 728 orangé brunùtre bleu verdùtre 747 rouge carmin clair vert 826 pourpre vert plus clair 843 pourpre violacé vert jaunùtre 866 violet jaune verdùtre 910 indigo jaune pur 948 bleu sombre orangé 998 bleu verdùtre orangé rougeùtre vif
1101 vert rouge violacé foncé 1128 vert jaunùtre violet bleuùtre clair 1151 jaune sale indigo 1258 couleur chair bleu (teinte verdùtre) 1334 rouge brun vert de mer 1376 violet vert brillant 1426 bleu violacé grisùtre jaune verdùtre 1495 bleu verdùtre rose (nuance clair) 1534 bleu vert rouge carmin 1621 vert terne carmin pourpre 1658 vert jaunùtre gris violacé 1682 jaune verdùtre bleu gris 1711 jaune gris vert de mer 1744 mauve gris rouge vert bleuùtre 1811 carmin beau vert 1927 gris rouge gris vert 2007 bleu gris gris presque blanc 2048 vert rouge clair 2338 rose pùle vert bleu pùle 2668 vert bleu pùle rose pùle