VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA U NIŠU

STUDIJSKI PROGRAM BEZBEDNOST DRUMSKOG SAOBRAĆAJA

SEMINARSKI RAD

PREDMET: DINAMIKA MOTORNIH VOZILA

TEMA: TEORIJA UDARA I SUDARA VOZILA –UPRAVNI CENTRALNI SUDAR

Profesor: Student:

Tomislav Marinković Stoiljković Nikola BDSs 25/13

SADRŽAJ

1.TEORIJA UDARA I SUDAR VOZILA...........................................................................3

1.1. OSNOVNI POJMOVI.............................................................................................3

1.2.OSNOVNA JEDNAČINA TEORIJE UDARA..........................................................4

1.3 ZAKON O PROMENI KOLIČINE KRETANJA MATERIJALNOG SISTEMA PRI UDARU.........................................................................................................................6

1.4. ZAKON O PROMENI KINETIČKOG MOMENTA MATERIJALNOG SISTEMA PRI UDARU..................................................................................................................9

1.5 UDAR TELA O NEPOKRETNU PODLOGU.KOEFICIJENT USPOSTAVLJANJA PRI UDARU................................................................................................................10

1.6 UDAR TELA O NEPOMIČMU PREPREKU.........................................................14

1.6.1 KOSI UDAR TAČKE O NEPOMIČNU PREPREKE.......................................14

2.UPRAVNI CENTRALNI SUDAR DVA TELA..............................................................16

2.1 OSNOVNI POJAM................................................................................................16

2.2 CARNTONOVA TEOREMA .GUBITAK KINETIČKE ENERGIJE PRI SUDARU DVA TELA..................................................................................................................19

2.4. CENTAR UDARA................................................................................................24

LITERATURA................................................................................................................27

2

1.TEORIJA UDARA I SUDAR VOZILA

1.1. OSNOVNI POJMOVI

Pojava pri kojoj u beskonačno malom intervalu vremena, a usled trenutnog dejstva sila, brzine tačaka tela dobivaju konačne promene naziva se udar, odnosno sudar ako su u pitanju dva materijalna tela.

Udar je vrlo složena pojava i nemoguće ga je definisati u potpunosti bez uvođenja određenih hipoteza o strukturi tela.

Sile koje deluju tokom udara traju veoma kratko i dostižu velike vrednosti. Ovakve sile nazivaju se udarnim ili trenutnim silama.

Pri samom udaru, udarna sila raste od nule do neke maksimalne vrednosti, a zatim opada i postaje jednaka nuli u trenutku prestanka dodira s telom.

Pojava udara je neposredno u vezi sa deformacijom tela u okolini tačke dodira, tako da se ovde moraju uvažiti i elastična svojstva tela. Ovo, naravno, odstupa od osnovne pretpostavke da su tela koja se posmatraju kruta.Pošto se intenzitet udarne sile menja u toku udara, to se u teoriji udara kao mera

uzajamnog delovanja dva tela ne uzima udarna sila F→

ud već udarni impuls I→

ud koji se definiše izrazom:

I→

ud=∫t1

t1+τ

Fuddt ,→

(1.1)

Gde je τ- vreme trajanja udara a F→

ud je udarna sila.

Kako je vreme trajanja udara (sudara)τ  beskonačno mala veličina, a udarna sila vrlo velika, to je udarni impuls konačna veličina.

Slika 1.1 Vremenske primene udarne sile

3

Prema slici 1.1, dva udarna procesa imaće iste udarne impulse ukoliko su

površine ispod krivih  Fud( t ) jednake. To znači da bi za potpuno

izračunavanje udarnog impulsa I→

ud trebalo  poznavati funkciju Fud→

=Fud( t )  .Ovo opšte

nije moguće, pa se u dinamici do integral I→

ud dolazi indirektnim putem.

  1.2.OSNOVNA JEDNAČINA TEORIJE UDARA

 Neka se materijalna tačka M  mase m kreće pod uticajem spoljašnjih sila F→

i ,

čija je rezultantaF→

. Neka u trenutku t1na tačku počinje delovati trenutna udarna sila

F→

ud  ,čije delovanje traje do trenutka t1+τ , slika 1.2.Ovde je τ  beskonačno mala

vremenska veličina u odnosu na vremenski trenutak t1 .

Usled delovanja impulsa udarne sile, brzina tačke M će se promeniti sa ν→

koju je imala pre samog udara, na vrednost brzine .

Promena količine kretanja materijalne tačke M mase za vreme trajanja udara τ određena je izrazom:

(1.2)

S obzirom na to da je interval τ beskonačno mali, to se impuls neudarne rezultantne sile

F→

:

(1.3)

može smatrati beskonačno malom vrednošću u odnosu na impuls udarne sile koja ima mnogo veći intenzitet

(1.4)

Dakle, impuls udarne sile tokom kratkog vremenskog interval τ biće konačna veličina sobzirom na veliki intenzitet udarne sile, odnosno impulsi neudarnih sila u odnosu na impulse udarnih sila mogu se zanemariti.

4

Slika 1.2 prmena količine kretanja pri udaru

Na osnovu predhdn rečenog, jednačina se pisati I u vidu:

(1.5)

što predstavlja zakon o promeni količine kretanja materijalne tačke pri udaru, koji glasi:promena količine kretanja materijalne tačke pri udaru jednaka je udarnom impulsu za tu tačku.Jednačina se može pisati i u obliku:

(1.6)

Prema slici 1.2, tačka nakon delovanja udarne sileF→

ud  odnosno udarnog impulsa

I→

ud menja svoju putanju"a" i nastavlja se kretati po putanji"b". Na mestu udara putanja tačke M se lomi i nastaje takozvana singularna tačka.

Kako se može vidjeti, u osnovnoj jednačini teorije udara (1.4) ili (1.5) sve veličine su date u konačnim iznosima, za razliku od Newtonovih jednačina koje su bile u diferencijalnom obliku.Vektorska jednačina (1.5) se može izraziti i grafički pomoću trougla  ABC  formiranog od vektora veličina koje se pojavljuju u toj jednačini, (slika 1.2)

5

Od tri opšta zakona mehanike u teoriji udara se koriste samo dva - zakon o promeni količine kretanja sistema i materijalne tačke i zakon o promeni kinetičkog momenta sistema materijalnih tačaka.

Zakon o promeni kinetičke energije sistema materijalnih tačaka u klasičnom obliku ne može se primeniti za rešavanje osnovnih zadataka teorije udara, jer se umesto udarnih sila uzimaju udarni impulsi, a takođere se smatra da su tačke sistema za vreme udara Ƭ nepokretne. Ovakva pretpostavka proizilazi iz konstatacije da je brzina tačke za vreme udara konačna veličina, a vreme udara vrlo kratko, pa će pomeranje biti:

(1.7)Iz ovih osnovnih izlaganja o teoriji udara može se zaključiti sledeće:

a) pri definisanju udara, delovanje neudarnih sila se može zanemariti, b) za vrijeme delovanja udarnih sila, pomeranje materijalne tačke je jednako nuli,c) delovanje trenutnih sila ogleda se u promeni brzine tačke, što je dato

osnovnom jednačinom teorije udara.

1.3 ZAKON O PROMENI KOLIČINE KRETANJA MATERIJALNOG SISTEMA PRI UDARU

Posmatraće se sistem od n materijalnih tačaka. Delovanje neudarnih (konačnih) sila zavreme udara se može zanemariti, pa će se kod posmatranja kretanja sistema materijalnih tačaka za vreme udara posmatrati samo impulsi udarnih sila:

Slično podeli sila koje deluju na materijalni sistem na spoljašnje i unutrašnje, mogu se I

udarni impulsi podeliti na udarne impulse spoljašnjih sila i impulse unutrašnjih sila  .

Na osnovu osnovne jednačine teorije udara (15.5), za proizvoljnu materijalnu tačku

materijalnog sistema mase Mi vredi da usled delovanja impulsa i  dolazi do promene količine kretanja u iznosu:

(1.8)

gde je - - brzina tačke na kraju udara, a  - brzina tačke na početku udara.

Jasno je da se može postaviti ovakvih jednačina za svaku od materijalnih tačaka materijalnog sistema.

 Sabiranjem svih n jednačina, dobija se:

6

(1.9)

gde su:

-količina kretanja sistema materijalnih tačaka u trenutku prestanka udara,

- količina kretanja sistema materijalnih tačaka u trenutku početka udara.

Pošto je vektorski zbir unutrašnjih sila materijalnog sistema krutog tela jednak nuli, isti stav vredi i za vektorski zbir unutrašnjih impulsa, odnosno:

(1.10) pa se izraz može napisati u obliku:

(1.11)

Jednačina izražava zakon o promeni količine kretanja materijalnih tačaka pri udaru:promena količine kretanja materijalnog sistema pri udaru jednaka je vektorskom zbiru svih spoljašnjih udarnih impulsa koji deluju na tačke materijalnog sistema.

Projektovanjem na ose pravouglog koordinatnog sistema, vektorska jednačina daje naredne tri skalarne jednačine:

(1.12)

Jednačine pokazuju da je promena količine kretanja materijalnog sistema za neku osu jednaka zbiru projekcija spoljašnjih udarnih impulsa sila koji deluju na tačke materijalnog sistema na tu istu osu.

7

Ako se brzine centra inercije sistema pre i posle udara označe sa  i ,  a količina kretanja sistema materijalnih tačaka izrazi preko celokupne mase materijalnog sistema:

tada se može pisati

odnosno uvrštavanjem u jednačinu dobiće se

(1.13)

Jednačina predstavlja zakon promene (priraštaja) brzine centra inercije materijalnog sistema za vreme udara.

Projektovanjem na ose Descartesovog nepokretnog koordinatnog sistema , vektorska jednačina se može predstaviti preko tri skalarne jednačine oblika:

(1.14)

Jednačine (15.13) predstavljaju promene projekcija brzina centra inercije sistema za ose Descartesovog koordinatnog sistema 0xyz pri udaru.

U slučaju da ne postoje spoljašnji udarni impulsi  dobiće se da je

Iz čega se može izvesti zaključak  da, u slučaju kada na materijalni sistem deluju samo unutrašnji udarni impulsi, količina kretanja sistema materijalnih tačaka se ne menja.

8

1.4. ZAKON O PROMENI KINETIČKOG MOMENTA MATERIJALNOG SISTEMA PRI UDARU

Da bi se odredila promjena kinetičkog momenta sistema materijalnih tačaka pri udaru,odabraćeseprvoproizvoljnatačka 0 u koordinatnom sistemu kao pol. Vektorom pol

ožaja definiše se položaj svake tačke  M materijalnog sistema u odnosu na pol 0.

Ako se vektorom položaja  vektorski sa leve strane pomnoži jednačina, a zatim sabere svih n jednačina, dobiće se

(1.15)

gde su:

-kinetički moment materijalnog sistema za tačku 0 na kraju udara,

- kinetički moment materijalnog sistema za tačku 0 na početku udara,

- glavni moment svih spoljašnjih udarnih impulsa koji deluju namaterijalni sistem za pol 0,

- glavni moment svih unutrašnjih udarnih impulsa koji deluju u materijalnom sistemu za pol 0

Kako je vektorski zbir unutrašnjih sila u materijalnom sistemu jednak nuli, to je i glavn imoment unutrašnjih sila jednak nuli, tako da će izraz) dobiti konačan oblik .

(1.16)Jednačina izražava zakon o promjeni kinetičkog momenta materijalnog

sistema:promena kinetičkog momenta materijalnog sistema za proizvoljno odabranu tačku pri udaru jednaka je geometrijskom zbiru momenata svih spoljašnjih udarnih impulsa, koji deluju na materijalni sistem, za istu tačku.

Vektorska jednačina, projicirana na ose Descartesovog koordinatnog sistema, daje triskalarne jednačine oblika:

9

(1.17) na osnovu kojih se može konstatiratida je promjena (priraštaj) kinetičkog momenta materijalnog sistema za bilo koju osu pri udaru jednaka zbiru svih spoljašnjih momenata udarnih impulsa za tu osu.

Ukoliko ne deluju spoljašnji udarni impulsi, biće

(1.18) pa će jednačina dobiti oblik :

(1.19)

Gornja jednačina ukazuje na to da ako na tačke mateirjalnog sistema deluju samo unutrašnji udarni impulsi, onda se kinetički moment sistema za bilo koju tačku sistema ne menja,odnosno ostaje konstantan.

  1.5 UDAR TELA O NEPOKRETNU PODLOGU.KOEFICIJENT USPOSTAVLJANJA PRI UDARU Pretpostaviće se da se telo mase kreće translatorno po vertikali naniže brzinom , koja je usmerna u pravcu normale na nepomičnu zakrivljenu podlogu, slika  1.3 .Normala povučena u tački udara A na tangencijalnu ravan (dodirnu ravan) naziva se normala ili pravac udara I obeležava se sa On.Tangencijalana ravan u ovom slučaju definiše se vector normale T prirodnog triedra, koji sa vektorom zatvara pravi ugao na konturipreseka slika 1.3a.

Ako su u trenutku sudara težišta tela na osi , onda je udar centralni (upravni), a u protivnom je necentralni. Ukoliko ulazna brzina i brzina nakon udara nisu kolinearne, biće reč o takozvanomkosom udaru

10

Slika 1.3 Udar tela o nepokretnu podlogu

U primeru prikazanom na slici, kugla pada vertikalno i u trenutku udara o

nepokretnu podlogu ima brzinu , koja je kolinearna sa pravcem On, a nakon udara ima brzinu koja takođe ima isti pravac kao normal On.

Kako se težišta tela C i C1  nalaze na zajedničkoj normali, to se ovde radi o centralnom udaru (sudaru).

Udarom kugle u nepokretnu podlogu, javlja se normalna reakcija 

koja stvara udarni impuls I→

ud ,  koji je u slučaju glatke ravni usmeren u pravcu normale On.

 Zakon o promeni količine kretanja kugle u ovom primeru u kojem je reč o centralnom upravnom udaru, glasi

(1.20)

S obzirom na to da postoji samo normalna komponenta impulsa a i obe brzinesu u pravcu normale On, projektovanjem na pravac normale dobija se da je spoljašnji udarni impuls jednak 

(1.21)

U ovoj jednačini je početna brzina  obično poznata i postavlja se pitanje kako

odrediti ostale dve nepoznanice – krajnju brzinu i udarni impuls  . 

11

Newton je generalizirao postavke Villisa i Huygensa, koji su 1668. godine dali osnovne postavke teorije udara, i uveo pojam koeficijenta restitucije (koeficijenta uspostavljanja, koeficijenta udara). Time je uveo dopunsku jednačinu (vezu) i omogućio rešavanje osnovne jednačine teorije udara.

Pojam i veličina koeficijenta udara zasniva se na elastičnim svojstvima tela, što je, kako je većrečeno, odstupanje od osnovne pretpostavke da se posmatraju kruta telo.U samom procesu udara mogu se razlikovati dve faze.

Prva faza podrazumeva onaj deo udara tokom kojeg se telo deformiše sve dotle dok mu brzina ne postane jednaka nuli. U tom periodu kinetička energija tela pretvara se u potencijalnu energiju koja je proporcionalna elastičnoj deformaciji tela, a jedan deo pretvara se u toplotnu energiju usled trenja između elementarnih čestica. Beskonačno mali vremenski interval u kojem se dešava prva faza obeležiće se sa .

U drugoj fazi udara, usled delovanja elastičnih sila, telo se nastoji vratiti u se uprvobitni oblik, što se sve događa u vrlo malom vremenskom intervalu koji će se

označiti sa .

Obe faze udara dešavaju se, kako je već rečeno, u vrlo malom vremenskom

razmaku τ , koji objedinjuje i , odnosno .Ako su deformacije na telu elastično-plastičnog karaktera, pa se deo energije troši na zagrevanje tela posle udara, telo neće dostići prvobitnu kinetičku energiju (osim u idealnom slučaju). 

Nakon završetka udara telo će se odvojiti od nepomične podloge brzinom koja

je različita od brzine  koju je imalo pre udara. Prema objašnjenju koje je dato za prvu

i drugu fazu udara, može se uspostaviti logičan odnos ovih brzina:

Odnos intenziteta brzine tela na kraju udara i intenziteta njegove brzine neposredno pre udara pri pravom (upravnom) udaru o nepomičnu površinu predstavlja koeficijent restitucije I iznosi

(1.21)

Koeficijent uspostavljanja k zavisi od vrste materijala tela koja se sudaraju, a ne zavisi od njihove veličine.Vrednost koeficijenta restitucije k za različite materijale određuje se vrlo jednostavno eksperimentalnim putem. 

Neka kuglica, za koju se treba odrediti koeficijent k, slobodno pada sa visine h1na ravnu nepokretnu podlogu izrađenu od istog materijala, slika . Potrebno je izmeriti visinu do koje kugla odskoči nakon udara.

12

Na osnovu zakona o promeni kinetičke energije, odredi se brzina kojom kuglica udari u podlogu prema formuli

(1.22)

Primenom istog zakona, na putu kuglice od M do M1, dobiće se da je brzina kuglice nakon udara

(1.23)

odakle se prema izrazu ..odredi koeficijent restitucije

(1.24)

Jasno je da je :

(1.25)

U slučaju kada je vrednost koeficijenta restitucije k=1 , reč je o potpuno elastičnom udaru,što je idealan slučaj. Kod elastičnog udara su brzine na

početku i na kraju udara iste, tj.   .Kod potpuno plastičnog udara je k=0, odnosno , što znači da se udar završava

prvom fazom.Kod potpuno elastičnog udara udarni impuls je dva puta veći nego pri plastičnom

udaru

. (1.26)

Koeficijent restitucije za neke materijale iznosi:

Nakon nalaženja vrednosti koeficijenta , moguće je vratiti se na jednačinu (1.24), odakle se koristeći odnos (1.25) može naći udarni impuls:

13

(1.27)ili brzina tačke na kraju udara

(1.28)

Dakle, uvođenje koeficijenta restitucije omogućava rešavanje postavljenih problema korištenjem osnovne jednačine udara. Međutim, treba napomenuti da se pri udaru javlja vrlo složen proces transformiranja energije i da ova teorija još uvek nije dobila egzaktno tumačenje.

1.6 UDAR TELA O NEPOMIČMU PREPREKU

Kada telo udari o nepomičnu ploču, udarna sila koja deluje na telo će biti reakcija ploče,

a njen impuls je .Neka normala na površinu tela u tački dodira prolazi kroz njegovo težište.Takav udar se naziva centralni udar.Ako je vektor brzine težišta usmeren duž normale, udar je upravni, dok je u svim drugim slučajevima kosi.

1.6.1 KOSI UDAR TAČKE O NEPOMIČNU PREPREKE

 Neka materijalna tačka mase m u trenutku t udari o glatku podlogu brzinom  i pod uglom α u odnosu na normalu  . Posle malog vremenskog interval τ , kuglica će se odbiti od nepokretne podloge brzinom pod uglom β slika .

  Na osnovu poznate brzine  koju je kuglica imala pre udara, potrebno je izračunati brzinu nakon udara i odrediti

impuls .

Udarni impuls reakcije podloge u slučaju idealne veze (glatke podloge) imaće samo

jednu komponentu i to normalnu   , dok je tangencijalna komponenta impulsa .

14

Slika 1.4 Kosi udar tačke o nepokretnu podlogu

Projektovanjem osnovne jednačine teorije udara u pravcu normale i tangent , dobijaju se dve jednačine:

(1.29)

Kako se udar dešava samo u pravcu normale , to se koeficijent restitucije može izračunatina osnovu

(1.30)odakle sledi

(1.31)

što kada se uvrsti u (15.26) daje

(1.32)

Prema tome, ako se poznaje   može se odrediti udarni impuls I .Iz jednačine (15.27) sledi,

 što znači da se tangencijalna komponenta brzine pre i posle udara ne menja.

Prema slici1,4, tj. na osnovu odnosa komponentih brzina, mogu se naći i odgovarajući uglovi

15

(1.33)odakle je koeficijent restitucije

(1.34)Intenzitet brzine  nakon udara iznosi:

(1.35)Pošto je za neelastični udar k<1 , prema (15.32) sledi da je , pa se

može reći da je u ovom slučaju odbojni ugao veći od upadnog ugla kuglice.

2.UPRAVNI CENTRALNI SUDAR DVA TELA

2.1 OSNOVNI POJAM

Sudar dva tela je centralni i upravni kada zajednička normala na površini tela u tački dodira prolazi kroz njihova težišta na početku udara imaju pravac zajedničke normale.

Neka se dva tela, koja se kreću translatorno različitim brzinama  duž prave koja spaja njihove centre inercije C1  i C2 , sudare u nekom trenutku vremena.

Normala koja se povuče na tangencijalnu ravan na mestu dodira poklapa se sa pravom koja spaja centre C1 i C2, slika 2.1.Ovakav sudar se naziva upravni centralni sudar.

16

Slika 2.1 Upravni centralni sudar dva tela

Neka brzine tela masa i iznose m1 I m2 iznose pre sudara , a nakon sudara

Zadatak je da se odrede brzine središta masa

nakon sudara, ako su poznate mase tela m1 i m2i , brzine tela pre sudara I koeficijent restitucije k.

Zadatak je da se odrede brzine središta mase nakon sudara, ako su

poznate mase tela m1 i m2 , brzine tela pre sudara brzine I koeficijent restitucije k.Pre samog rešavanja, treba imati na umu neke logične pretpostavke.

Brzina  mora biti veća od   , jer u protivnom ne bi bilo sudara. Sudar je elastičan, pa će tela nakon sudara imati različite brzine. Ukoliko bi sudar bio plastičan, oba tela bi

nakon sudara nastavila kretanje zajedno istom brzinom. Brzina treba biti veća od da bi se tela razdvojeno kretala nakon sudara.  Kod ovakvog upravnog centralnog sudara tela nema spoljašnjih udarnih impulsa, pošto nemani spoljašnjih sila. Udarni impulsi se javljaju kao posledice reakcija tela na mestu dodira, a to su ustvari unutrašnje sile. Na osnovu ovakve konstatacije, primenom zakona o promeni količine kretanja na sistem od dva tela pri sudaru, može se napisati da je

(2.1)odnosno količine kretanja sistema na kraju i na početku sudara su iste.

Izraz u razvijenom obliku glasi

17

(2.2)što projektovanjem na osu x daje. (2.2)

(2.3)

U ovoj jednačini pojavljuju se dve nepoznanice    . Dodatna jednačina će se formirati pomoću Newtonove hipoteze o koeficijentu restitucije k   , koja glasi: 

(2.4)gde su:

relativne brzine tela pre I posle sudara. Ovde je i

 Ako se reše jednačine (2.2) i (2.3) po   , dobiće se:

(2.5)

Na osnovu teoreme o udarnom impulsu, koja će se primeniti samo na prvo telo,

uz pretpostavku da unutrašnji impuls sistema postaje spoljašnji, dobija se , odnosno

(2.6) Uvrštavanjem (15.39) u jednačinu (15.37), dobija se

(2.7)

Jednačine za brzine tela nakon sudara , kao i za udarni impuls ,dobijene su pod pretpostavkom da se tela kreću translatorno u istom smeru.Slične jednačine bi se dobile i u slučaju da se tela kreću translatorno jedno drugom u susret.

18

Za plastičan sudar (k=0),prema već izvedenim jednačinama, dobiće se brzine oba tela u iznosu

(2.8)kao i udarni impulse prema (15.40)

(2.9)

Da bi se oba tela zaustavila nakon plastičnog sudara, mora biti zadovoljen uslov

(2.10)Za elastičan sudar (k=1), prema istim izvedeni jednačinama, dobijaju se brzine tela

(2.11)

I udarni impulsi

(2.12)

Iz gornjih jednačina proizilazi da se odlazna brzina bržeg tela smanjuje, a sporijeg povećava.

U slučaju istih masa tela m1=m2   , iz jednačina proizilazi da će tela međusobno razmeniti brzine:

(2.13)

U slučaju da je jedno telo u stanju mirovanja, a drugo telo u njega udari brzinom  , pri

čemu je m1=m2 , telo koje je bilo u stanju mirovanja prelazi u kretanje brzinom koja je jednaka brzini prvog tela, a prvo telo ostaje u stanju mirovanja:

(2.14) Ako se uporede udarni impulsi za dva ekstremna slučaja koeficijenta k , može se

videti da su udarni impulsi pri elastičnom (idealnom) sudaru dva puta veći.

2.2 CARNTONOVA TEOREMA .GUBITAK KINETIČKE ENERGIJE PRI SUDARU DVA TELA

Kako je već ranije rečeno, kod tijela koja nemaju potpuno elastičan sudar jedan deo kinetičke energije se troši na deformaciju i zagrevanje tela.

19

Postavlja se pitanje koliki je gubitak kinetičke energije pri sudaru dva tela masa m1=m2  , ako se poznaju koeficijent restitucije k i brzine tela pre i posle sudara.Uz pretpostavku da su se dva tela pre sudara kretala translatorno, kinetička energija tela pre sudara iznosi

(2.15)

a nakon sudara

(2.16)Razlika kinetičkih energija sistema (tela) predstavlja gubitak kinetičke energije pri sudaru:

(2.17)

ili

(2.18)

Iz izraza sledi:

(2.19)

Koeficijent restitucije u ovom slučaju je:

(2.20)

Ako se formira odnos

(2.21)

Dobija se

20

(2.22)

Na osnovu izraza …, izraz sa se može napisari u obliku

(2.23)

Što daje

(2.24)

Jednačina (2.24) izražava Carnotovu teoremu koja glasi:Gubitak kinetičke energije pri upravnom centralnom sudaru, koji nije potpuno

elastičan, jednak je 1−k1+k -tom delu kinetičke energije koju bi imao sistem kad bi

se kretao izgubljenim brzinama.

U izrazu (2.24) veličine  nazivaju se izgubljene brzine, jer pokazuju za koliko se smanjila brzina svakog tela pri sudaru.

 2.3 ODREĐIVANJE IMPULSNIH REAKCIJA TELA KOJE SE OBRĆE OKO NEPOKRETNE OSE

Poći će se od pretpostavke da na kruto telo, koje se slobodno obrće oko vertikalne ose 0 z  deluje u tački K spoljašnji udarni impuls , slika 2.2. U osloncima će doći do pojave udarnih (impulsnih) reakcija. Udarni impulsi najčešće su vrlo velikog inteziteta, pa mogu u praksi izazvati oštećenja ležišta i vrlo ozbiljne poremećaje na rotirajućim uređajima.

Osnovni zadatak koji se postavlja ovde je određivanje impulsnih reakcija u ležištima I nalaženje uslova pri kojima će ove reakcije biti izbegnute.

21

Slika 2.2 Određivanje impulsnih reakcija

Pri rešavanju postavljenog zadatka odabraće se pravougli koordinatni sistem Oxyz sa ishodištem u osloncu A koji je kruto je vezan za telo i zajedno se obrće sa njim ugaono

brzinom ϖ Pretpostaviće se da spoljašnji udarni impuls deluje u tački  ,što u osloncima AiB stvara impulsne reakcije.

Brzine središta tela pre i posLe udara su paralelne osi x što proizilazi iz uslova obrtanja tela oko ose Oz .

Delovanjem udarnog impulsa na telo promeniće se brzina središta sistema

(inercije) , a samim tim i kinetički moment sistema.Na osnovu zakona o promeni količine kretanja središta (centra inercije) sistema i zakona o promeni kinetičkog momenta, može se za već postavljeni sistem referencije formirati šest jednačina:

22

(2.25)

Kako je intenzitet brzine  pre udara  , a posle udara  , to će njene projekcije na koordinatne ose iznositi:-pre udara

(2.26)-posle udara

(2.27)

Projekcije na koordinatne ose vektora ugaone brzine tela   pre udara i posle

udara I znose:-pre udara

(2.28)posle udara

(2.29)Uvrstivši vrednosti ugaonih brzina u izraze za kinetičke momente (13.16) i

projektovanju  na odgovarajuće koordinatne ose, dobija se

(2.30)

gde su

  - moment inercije tijela za osu z ,

  - centrifugalni momenti inercije tela za ose  x i z odnosno y i z

Ako se unesu vrednosti projekcija brzina centra inercije C iz (15.53) i kinetičkog momenta iz(15.55) u jednačinu (15.52), kao i udarni impulsi i njihovi momenti, dobiće se:

23

(2.31)

Gde su

komponente sopljašnjeg impulsa, a komponente

reaktivnih udarnih impulsa

 Na osnovu ovih jednačina mogu se odrediti reaktivni impulsi i koji istim intenzitetom,ali suprotnim smerom deluju na samo ležište.

Ovo je u saglasnosti sa Trećim zakonom mehanike, pošto se celo vreme posmatra sistem (telo) oslobođeno od veza. Šesta jednačina u (15.56) ne sadrži reaktivne impulse i pomoću nje se može odrediti priraštaj ugaone brzine.

2.4. CENTAR UDARAPostavlja se zadatak da se odrede uslovi pod kojima se udarni impulsi neće

preneti na oslonce kojima je telo vezano za vertikalnu osu.Ovi uslovi se mogu dobiti iz jednačina (15.56) tako što

će se projekcije impulsnih reakcija  izjednačiti sa nulom, pa se može pisati

(2.32)

Jedan od uslova da impulsne reakcije   budu jednake nuli dobiće se neposredno iz druge i treće jednačine (15.57) u vidu

24

(2.33)Odavde se zaključuje da spoljašnji udarni impuls na tijelo koje se slobodno obrće treba biti usmeren  na ravan koja prolazi kroz obrtnu osu tela i centar inercije, slika 74.  Sada će se razmotriti ostale jednačine.

Uz uslov  može se pisati  , pa prva,četvrta, peta i šesta jednačina uizrazu (15.57) poprimaju oblik:

(2.34)

Pošto je

 , iz druge jednačine (15.59) sledi

Iz treće I četvrte jednačine mogu se naći koordinate tačke u  kojoj treba djelovati spoljašnji udarni impuls da i reaktivni impulsi bili jednaki nuli

,odnosno

(2.35)

Pomoću Huygens-Steinerove teoreme se može napisati da je :

(2.36)

 gde je

 - moment inercije za težišnu osu Cz  Prema izrazu (15.61) dobija se

25

(2.37)

Odavde proizilazi da je  , odnosno napadna tačka spoljašnjeg udarnog impulsa K 1 se nalazi na većem rastojanju od obrtne ose od centra inercije C . Formula (15.62) ima isti oblik kao formula za reduciranu dužinu fizičkog klatna.

 Dakle, uslovi pri kojima će reaktivni impulsi u ležištima biti jednaki nuli su sledeći:

a) centrifugalni moment inercije tijela za obrtnu osu i osu okomitu na ravan koja prolazikroz centar inercije tijela i obrtnu osu mora biti jednak nuli, prema (15.60),

b) koordinate tačke K u kojoj deluje udarni impuls moraju zadovoljiti uslove iz (15.61), dok treća koordinata može imati proizvoljnu vrednost.

Ako se u ležištima obrtnog tela ne pojavljuju reaktivni pritisci (impulsi), onda se tačka

K1u kojoj prava, duž koje deluje spoljašnji udarni impuls , prodire kroz ravan naziva centar udara.Pri tome ravan Oyz  prolazi kroz obrtnu osu i centar inercije C.

Pošto se koordinatni sistem referencije može postaviti proizvoljno, na

primer tako da koordinatni početak leži na obrtnoj osi, a udarni impuls u ravni 

Oxy, tada će biti  .

Iz treće jednačine dobiće se , a pošto je  , to će osa Oz biti glavna osa inercije

Da bi istovremeno i dinamičke reakcije bile jednake nuli, mora težište imati

koordinatu , što bi prema izrazu (15.61) dalo

(2.38)Ovo znači da je nemoguće istovremeno ostvariti da dinamičke i impulsne reakcije

budu jednake nuli.Značenje centra udara može se uočiti pri radu sa čekićem. Naime, ako se ručica

ne drži na određenoj udaljenosti, može se osetiti neugodan reaktivni udarni impuls u ruci.UPRAVNI UDAR U NEPOKRETNU PREPREKUAnaliza upravnog udara tačeke u preprekuTačka A mase m kreće se pravolinijski po pravcu normalno na nepokretnu prepreku.Neposredno pre udara u prepreku brzina tačke je va1.Neposredno posle udara tačka naglo promeni smr brzine (odbija se od prepreke ne menjejući pravac kretanja).Ako se ukloni veza (kruta podloga), na tačku deluje udarni impuls IA u pravcu normale na podlogu.Zakon o promeni količine kretanja u integralnom obliku za trenutak neposredno posle i neposredno pre udara.

26

LITERATURA

[1] Vlado P. Đurković,Dinamika materijalnih sistema,teorija i primeri.

[2] Dušan Vukojević,Elma Ekinović,Dinamika, Mašinski fakultet Zenica 2008

[3] Vlastimir Dedović , Dinamika vozila, Saobraćajni fakultet , Beograd 2004.

27