seminar 9: pöördkehad (silinder, koonus, kera) · koonus koonuse tipust pohjani t~ommatud...
TRANSCRIPT
![Page 1: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/1.jpg)
Seminar 9: Poordkehad(silinder, koonus, kera)
07.04.2017
![Page 2: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/2.jpg)
Silinder (uldine definitsioon)
Silindriliseks pinnaks nimetatakse pinda, mis tekib sirge liikumiselruumis nii, et ta jaab iseendaga paralleelseks ning labib antudtasandilist koverat. Sirget nimetatakse silindrilise pinnamoodustajaks, tasandilist koverat aga juhtjooneks. Kuisilindrilise pinna juhtjoon on kinnine kover, siis silindrilise pinnaloikamisel kahe paralleelse tasandiga tekib nende vahel keha, midanimetatakse silindriks. Silindrit nimetatakse kas pust- voikaldsilindriks vastavalt sellele, kas moodustaja on pohjaga risti voikaldu.
![Page 3: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/3.jpg)
Silinder
Pustsilindrit nimetatakse ringsilindriks, kui tema pohjaks on ring.Sellist silindrit voib vaadelda ka kui keha, mis tekib ristkulikupoorlemisel umber oma uhe kulje. Kulge, umber mille toimubpoorlemine, nimetatakse silindri teljeks.
Sp = πr2
Sk = 2πr · h
V = Sp · h
![Page 4: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/4.jpg)
Koonus (uldine definitsioon)Kooniliseks pinnaks nimetatakse pinda, mis tekib sirge liikumiselruumis nii, et ta uks punkt jaab paigale ja sirge labib antudtasandilist koverat. Liikuvat sirget nimetatakse koonusemoodustajaks, tasandilist koverat aga juhtjooneks ja paigalejaavat punkti koonilise pinna tipuks. Kui koonilise pinna juhtjoonon kinnine kover, siis saab raakida koonusest – keha, midapiiravad uhel pool tippu asuv koonilise pinna osa ja tasand, misloikab koiki moodustajaid uhel ja samal pool tippu.
![Page 5: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/5.jpg)
Koonus
Koonuse tipust pohjani tommatud ristloiku nimetatakse koonusekorguseks. Koonust nimetatakse pustringkoonuseks, kui temapohi on ring ja korguse aluspunkt on pohja keskpunktis.Pustringkoonuse korgust nimetatakse ka tema teljeks. Sellistkoonust voib vaadelda ka kui keha, mis tekib taisnurkse kolmnurgapoorlemisel umber oma uhe kaateti. Koonuse pohja ja pohjagaparalleelse loike vahelist osa nimetatakse tuvikoonuseks.
Sp = πr2
Sk = πrm
V =1
3Sph
![Page 6: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/6.jpg)
Koonuse kulgpindala
Olgu koonuse pohja raadius r ja koonuse moodustaja m, siis pohjaumbermoot on 2πr . Vaatleme ringi raadiusega m, selle umbermooton 2πm. Koonuse kulgpindala moodustab vaadeldava ringipindalast r/m osa, seega koonuse kulgpindala on
Sk =r
m· πm2 = πrm.
2πr
2πm
![Page 7: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/7.jpg)
Kera
Sfaariks nimetatakse punktihulka, mille iga punkti kaugus uhestkindlast punktist on jaav. Seda kindlat punkti nimetatakse sfaarikeskpunktiks ja sfaari mistahes punkti kaugust sfaari keskpunktistsfaari raadiuseks. Sfaar on pind.
Keraks nimetatakse sfaari ja sfaariga piiratud ruumi osa. Kera igatasandiline loige on ring. Kui loige labib kera keskpunkti, siisnimetatakse loiget suurringiks. Kera pindala vordub neljasuurringi pindalaga, S = 4πr2, ja uhtlasi ka teda umbritsevasilindri kulgpindalaga. Kera ruumala vordub kera pindala ja uhe
kolmandiku raadiuse korrutisega, V =4
3πr3.
![Page 8: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/8.jpg)
Kera pindala = silindri kulgpindala
Naitame, et punasesilindrilise pinnaja vastava rohelisekera voo pindaladon vordsed.Punase pinna pindalaon 2π|OP||PQ|.Kera voo pindalaon ligikaudu vastavatuvikoonuse kulgpindala, mille moodustajaks on loik PR (kaare PRpikkus on ligikaudu loigu PR pikkus). Tuvikoonuse kulgpindala onπ(|NP|+ |N ′R|)|PR|.
Ligikaudu kehtib PR ⊥ OP, seega 4PQR ∼ 4PNO, millest|OP||PQ| ≈ |NP||PR|. Ligikaudu kehtib ka PR ⊥ OR, seega4PQR ∼ 4RN ′O ning |OR||PQ| ≈ |N ′R||PR|. Kokkuvottesπ(|NP|+ |N ′R|)|PR| ≈ 2π|OP||PQ|.
![Page 9: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/9.jpg)
Kera pindala integraali abil
Vaatleme ulemist poolringi y =√
r2 − x2, x ∈ [−r , r ], mis poorlebumber x-telje. Argumendi x muudule dx vastav kaarepikkus dsarvutatakse kui
ds =√
dx2 + dy2 =
√1 +
(dy
dx
)2
dx =√1 + (y ′)2dx =
=
√1 +
(−2x
2√r2 − x2
)2
dx =
√1 +
x2
r2 − x2dx =
r√r2 − x2
dx
dx
dy
ds
![Page 10: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/10.jpg)
Kera pindala integraali abil
Skera =
∫ r
−r2πy ds =
∫ r
−r2π√
r2 − x2r√
r2 − x2dx = 2πr x
∣∣r−r = 4πr2
y =√r2 − x2,
x ∈ [−r , r ]
ds =r√
r2 − x2dx
![Page 11: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/11.jpg)
Kera ruumala integraali abil
V =
∫ r
−rπy2 dx =
∫ r
−rπ(r2 − x2)dx = πr2 x
∣∣r−r − π
x3
3
∣∣∣∣r−r
=
= 2πr3 − 2
3πr3 =
4
3πr3
y =√r2 − x2,
x ∈ [−r , r ]
![Page 12: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/12.jpg)
Kera pindala
Skera = 4πr2 = 2πr · 2r = Sk,silinder
![Page 13: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/13.jpg)
Kera ruumala
Vkera =4
3πr3 =
1
3(4πr2)r =
1
3· Skera · r
![Page 14: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/14.jpg)
Kera ruumala
Vkera =4
3πr3 =
2
3(πr2) · 2r = 2
3· Vsilinder
![Page 15: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/15.jpg)
Koonuse, kera ja silindri ruumalad
![Page 16: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/16.jpg)
Ulesanded
Lahendame ulesanded 1, 2, 7, 8, 16, 17 ja 18ulesannete kogust lk 17–18.
![Page 17: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Seminar 9: Pöördkehad (silinder, koonus, kera) · Koonus Koonuse tipust pohjani t~ommatud ristl~oiku nimetatakse koonuse k~orguseks. Koonust nimetatakse pustringk oonuseks, kui](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041422/5e1fb79ca9cbb10f14382e71/html5/thumbnails/24.jpg)
Kodutoo koigile
Lahendage labi ulesanded 1, 2, 7, 8, 16, 17 ja 18 ulesannete kogustlk 17–18. Esitada ei ole vaja. Lakoonilised lahendused on eespoololemas.