Control Systems Toolbox 8.1 UvodOsim osnovnih funkcija, Matlab raspolae dodatnim paketima alata za rjeavanje posebnih klasa problema. Control Systems Toolbox obezbjeuje funkcije koje su od posebne koristi za analizu i sintezu sistema automatskog upravljanja. Naredbom help control iz komandne linije Matlaba, ispisuju se naredbe iz ovog paketa, lime se stie uvid u napredne mogunosti, pogledati Prilog B, str.129.

8.2 Prikazivanje sistema u MatlabuAnaliza i sinteza linearnih sistema automatskog upravljanja zasniva se na rjeavanju i razumjevanju rjeenja obinih linearnih diferencijalnih jednaina, koje u optem obliku mogu da se napiu + ... = ... gdje je , izlazna vrijednost, , (8.1)

ulazna vrijednost. Ako su koeficijenti u jednaini

i realne konstante, radi se o linearnoj diferencijalnoj jednaini sa konstantnim koeficijentima. Jednainom (8.1) moe da se opie bilo koji jednostruko prenosan linearni stacionarni vremenski neprekidan sistem. Sistem opisan jednainom (8.1) moe da se prikae u Matlabu na tri naina: prenosnom funkcijom (tf), u prostoru stanja (ss) i nulama, polovima i pojaanjem (zbk). Predhodna tri naina za prikazivanje sistema postoje i za linearne vremenski diskretne sisteme.

8.2.1 Model u prostoru stanja1

Bilo koji sistem opisan diferencijalnom jednainom -tog reda moe da se prevede na sistem od jednaina prvog reda to je jednostavnije i pouzdanije za numeriko rjeavanje. Na primjer, sistem drugog reda opisan diferencijalnom jednainom (8.2) moe da se, nakon uvoenja smjene

napie kao sistem dvije diferencijalne jednaine prvog reda

Ako se uvede sljedei veektor koji se u teoriji sistema naziva vektor stanja

onda model sistema u prostoru stanja izgleda

gdje su , ,

Naredbe kojom se definie model u prostoru stanja je ss. Naredba ss ima etiri argumenta, matrice A, B, C i D modela u prostoru stanja. Odgovarajui skript : wn = 1; zeta = 0.7; A = [0 1; -wn^2 -2*zeta*wn]; B = [0; wn^2]; C = [1 0]; D = [0]; sistem = ss(A, B, C, D); Ako se iz komandne linije pozove definisani model dobija se >>sistem2

a= x1 x2 x1 0 1 x2 -1 -1.4 b= u1 x1 0 x2 1 c= x1 x2 y1 1 0

d= u1 y1 0 Ako elimo da od sistema preuzmemo matrice A, B, C i D, onda koristimo naredbu [A, B, C, D] = ssdata(sistem)

8.2.2 Prenosna funkcijaPrimjenom Laplasove transformacije na sistem opisan diferencijalnom jednainom pri svim poetnim uslovima jednakim nuli, dobija se prenosna funkcija sistema, u optem obliku

W(s) =

=

(8.3)

Gdje je 0 i m n. Naredbom tf definie se model u obliku prenosne funkcije. Ova naredba ima dva argumenta, vektor iji su elementi koeficijenti polinoma u brojiocu i imeniocu prenosne funkcije sljedstveno. Vektor koji sadri koeficijente brojioca je, odnosno, imenioca prenosne funkcije (8.3) je den = [ Na primjer, prenosna funkcija W(s) =

3

Se definie sljedeim skriptom: num = [2 1]; den = [1 6 11 6]; W = tf (num, den) Dok se u komandnom prozoru Matlaba vidi Transfer function: 2s+1 ---------------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 Koeficijenti polinoma brojioca i imenioca mogu da se izdvoje iz prenosne funkcije naredbom [num, den] = tfdata (W, v) String karakter v ukazuje naredbi da povratne vrijednosti num i den budu vektori vrste. Ako se ovaj argument izostavi, funkcija vraa matricu, koja se koristi kod prezentovanja viestruko prenosnih sistema. Dvije korisne naredbe za rad sa prenosnim funkcijama su pole i zero. Prva naredba izraunava polove (korijene polinoma u imeniocu prenosne funkcije), a druga nule prenosne funkcije (korijene polinoma u brojiocu W(s) ). Na primjer za prenosnu funkciju iz (8.4), polovi = pole(W) nule = zero(W) na ekranu se prikazuje polovi = -3.0000 -2.0000 -1.0000 nule = -0.5000

8.2.3 Nule, polinomi i pojaanjaU optem sluaju, prenosna funkcija moe da se predstavi faktorizovanim polinomima u brojiocu i imeniocu4

W(s) = k Na primjer, prenosna funkcija (8.4) se sljedeim skriptom definie nulama, polovima i pojaanjem W = zpk([-0.5] , [-1 -2 -3] , 2)

8.2.4 Rastavljanje racionalnih funkcijaSvaku racionalnu funkciju, koja je kolinik dva polinoma, mogue je rastaviti na parcijalne inioce. Funkcija [R, P, K] = residue(B, A) Trai rezidijume, polove i direktni lan razvoja u parcijalne razlomke kolinika dva polinoma B(s)/A(s). Na primjer, da bi se odredila prelazna funkcija sistema, pri nultim poetnim uslovima, opisanog slijedeom prenosnom funkcijom: W(s) = Polazi se od kompleksnog lika prelazne funkcije, G(s), G(s) = Na osnovu rezultata slijedee naredbe, >> [r, p, k] = residue ([2] , [1 5 6 0]) r = 0.6667 -1.0000 0.3333 p = -3.0000 -2.0000 0 k = []5

Prelazna funkcija moe da se prikae kao G(s) = + +

Svi parcijalni razlomci u prethodnom izrazu predstavljaju tabline sluajeve Laplasove transformacije, tako da je prelazna funkcija u vremenskom domenu q(t) = { 0.6667 + 0.3333} h(t)

8.2.5 Prevoenje iz jednog oblika modela u drugiModel definisan na jedan od tri objanjena naina je mogue prevesti u druga dva Matlabovim funkcijama ss2tf, tf2ss, zp2tf i zp2ss. Metode konverzije modela koriste Matlabove funkcije za numeriko odreivanje nula polinoma, i zbog toga su podlone numerikim grekama, posebno kod sistema viih redova. Treba napomenuti da Matlabu najvie odgovara model u prostoru stanja, zato to se sistem prevodi u n linearnih diferencijalnih jednaina prvog reda. Zatim slijedi model u obliku prenosne funkcije, a na kraju model u obliku nula, polova i pojaanja.

8.3 Odreivanje odziva sistemaPromena izlaza sistema u toku vremena, izazvana dejstvom ulaza i/ili poetnih uslova je vremenski odziv sistema, ili krae odziv sistema. Odziv sistema je jedna od dinamikih karakteristika sistema. On je rezultat rada sistema i opisuje taj rad. Odnosno, odziv sistema je rezultat prirode sistema, dejstva ulaza i poetnih uslova ( poetnog stanja). On je spoljna reakcija sistema na ova dejstva. Matematiki posmatrano, odziv sistema je reenje diferencijalne jednaine ponaanja tog sistema za zadatu promenuulaza i zadate poetne uslove. Za upoznavanje, utvrivanje i analizu odziva linearnih sistema dovoljno je prouiti njihove odzive na odreene, tipine promene ulaza. Tri najee koriene ulazne veliine za dinamiku analizu sistema su Hevisajdova ili odskona ( u Matlabu step), Dirakova ili mpulsna (impulse) i sinusna funkcija (sin). h(t) jedinina odskona funkcija ( Hevisajdova funkcija). Ova funkcija je definisana sledeim izrazom:

h(t) (8.5)

6

Njen grafik je prikazan na slici 8.1.

Slika 8.1. Jedinina odskona funkcija (Hevisajdova funkcija) Odziv sistema na ovakav ulaz, Hevisajdvu funkciju, naziva se jedinini odskoni odziv ili prelazna funkcija i obeleava se sa g(t):

Hevisajdova funkcija je vrlo znaajna za odreivanje pokazatelja prelaznog procesa kao i stacionarnih osobina sistema (poziciono pojaanje, pozicono statika greka, ...). h(t) odskona funkcija

(8.6) Njen grafik je prikazan na slici8.2. odziv sistema na odskonu

7

Slika 8.2. Odskona funkcija Funkciju se naziva odskoni odziv i obeleava sa (t): (8.7.) (t) jedinina impulsna funckija (Dirakova funkcija) posmatra ju se dve funkcije: i, slika 8.3. njihov algebarski zbir je :

8

Slika 8.3. Funkcije

i

i njihov algebarski zbir

a jedinina impulsna funkcija, Dirakova funkcija, je definisana relacijom :

Geometrijska interpretacija Dirakove funkcije je prikazana na desnoj slici slike 8.3. s obzirom da se radio o graninoj vrednosti kada se beskonano smanjuje, onda puls, pravougaonih stranica i , postaje impuls. Povrina tog impulsa je (ista kao i povrina pulsa) jednaka jedinici, pa se zato ova funkcija koja je u nuli beskonanog intenziteta (ne jedininog) naziva jedinina impulsna funkcija. Samim tim Dirakova funkcija ima osobinu da je

Odziv sistema na dirakovu funckiju je takoetipian (poto je ulaz tipian i odziv je tipian) i naziva se jedinini impulsni odziv i obeleava sa i (t).

Nredbom step odreuje se jedinini odskoni odziv sistema. Najjednostavnija varijanta naredbe step je kada se ne koristi povratna vrednost funkcije. Za model iz poglavlja 8.2.1, sledei skript daje jedinini odskoni odziv sistema. step ( sistem) xlabel ('t') ylabel ('y') title ('jedinicni odskocni odziv') Funkcija automatski odreuje pogodan opseg vremena za koji vri simulaciju i dijagram (slika 8.4). scrtava

9

Jedinicn odskocni odziv 1.4

1.2

1

0.8 y 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4 t (sec)

5

6

7

8

9

Slika 8.4 Jedinini odskoni odziv sistema. Bolja kontrola nad procesom simulacije odvija se ako se definie vremenski opseg i koristi povratna vrednost funkcije. Dakle t= 0:0.1:10; y= step (sistem, t); plot (t, y) U funkciji se pojavljuje drugi argumenat, vektor vremenskih trenutaka simulacije. Funkcija impulsa se koristi na isti nain kao i funkcija step, s razlikom to ona izraunava impulsni odziv sistema. Matlab ne raspolae funkcijama za odreivanje odziva na sve tipine promene ulaznih veliina. Zbog toga postoji funkcija koja odreuje odziv na proizvoljnu sekvencu ulaza, ls im(sys , t) u, gdje je sys sistem koji se razmatra, u vektro iji su elemnti amplitude ulaznog signala u trenucima vremena definisanim veketorom t. Duine vektora u i t moraju da budu iste. Sinusni odziv sistema (8.2) na ulazni signal jedinine amplitude i estanosti 1 rad/s se odreuje skriptom t= 0:0.1:10; u=sin(t); y= lsim(sistem, u, t);10

ako je sistem predstavljen u prostoru stanja, funkcijom initial(sys, x0) vri se simulacija sistema u slobodnom radnom reimu za poetne uslove definisane vektorom x0. Dobijeni rezultati mogu da se iskorsite za crtanje lika (ili portreta) stanja datog sistema. Za sistem (8.2) sledei skript : x0= [-0,5:-0,5]; [y, t, x] = initial (sistem, x0); plot (x(:, 1), x(: , 2)) axis equal grid xlabel ('x_1(t)') ylavel('x_2(t)') title('Lik stanja sistema drugog reda') Daje rezltat na slici 8.5.Lik stanja sistema drugog reda

0.2 0.1 0 x (t) -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5

2

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3 x1(t)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Slika 8.5. Trajektorija stanja kroz x0 = (-0,5 -0,5)T. Ako se ista funkcija primeni za razliita poetna stanja i rezultat prikae na istoj slici, dobje se kompletnija predstava o sistemu (slika 8.6) u slobodnom radnom reimu.

11

Razmatranje u slobodnom reimu rada je interesantno sa stanovita njegove stabilnosti koja se razmatra u Odeljku 8.6. u nastavku se razmatra dinamiko ponaanje upravljanog objekta u prinudnom reimu rada. Osnovni zadatak objekta je da u nominalnim uslovima svog rada ostvari zahtevano dinamiko ponaanje, koje je opisano eljenom promenom totalne vrednosti njegove izlazne veliine, u oznaci Xi(t). U promenljivim uslovima rada objekta zahteva se da njegovo stvarno dinamiko ponaanje bude dovoljno blisko njegovom eljenom dinamikom ponaanju. Drugim reima, razlika (t) izmeu eljenog (Xi(t)) i stvarnog (Xi(t)) dinamikog ponaanja objekta treba da bude u odreenim granicama (podrazumeva se da su intenziteti poremeaja u granicama za koje je dati objekt konstruisan). Greka izlazne veliine objekta je definisana sa (t) = Xi(t) Xi(t). Razlika izmeu stvarnog dinamikog ponaanja objekta i njegovog eljenog dinamikog ponaanja je odstupanje xi(t) izlazne veliine tog objekta: xi(t) = Xi(t) Xi(t), xi(t) = -(t). Velika slova (npr. Xi) oznaavaju totalne vrednosti veliina koje se mere u odnosnu na totalnu nulu. Mala slova (npr. xi) oznaavaju odstupanja. Da bi se definisala zahtjevana bliskost stvarnog dinamikog ponaanja objekta njegovom eljenom ponaanju, tj. da bi se definisala dozvoljena greka (t) njegove izlazne veliine, definiu se osnovni pokazatelji kvaliteta dinamikog ponaanja, koji su prikazani na slici 8.7. - preskok, predstavlja razliku vrijednosti prvog maksimuma prelazne funkcije i njene vrijednosti u stacionarnom stanju. Preskok se izraava u procentima od granine vrijednosti prelazne funkcije kada t + (tj. u procentima od pozicionog pojaanja). Ovaj pokazatelj je mjera stepena relativne stabilnosti sistema.12

d - dinamika greka izlazne veliine, greka koja se javlja u trenutku pojave preskoka . d - trenutak pojavljivanja dinamike greke (preskoka). u - vrijeme uspona je vrijeme koje je potrebno da prelazna funkcija od 10 % dostigne 90% od svoje vrijednosti u stacionarnom reimu kod aperiodinih odziva, a u sluaju oscilatornog odziva, kao to je na slici 8.7, od 0% do 100% stacionarne vrijednosti. Vrijednost vremena uspona karakterie pored brzine odziva i sposobnost sistema da na svom izlazu to vjernije reprodukuje ulazne signale. Pri tome duem vremenu uspona odgovara vee izoblienje u prenosu signala. s vrijeme smirenja je prvi trenutak poslije koga apsolutna vrijednost greke ni u jednom trenutku nije vea od m. Posle tog trenutka moe da se kae da je prelazni proces praktino iezao, bar to se tanost tie.

m najvea (maksimalna) dozvoljena apsolutna vrijednost greke poslije trenutaka s. Ta vrijednost je najee 2 ili 5% od vrijednosti prelazne funkcije u stacionarnom radnom reimu. K pojaanje (poziciono) je granina vrijednost prelazne funkcije g(t) objekta, ako ta granina vrijed nost postoji:

s statika greka (poziciona) je granina vrijednost greke izlazne veliine objekta, ako tagranina vrijednost postoji:

Neupravljani objekt ne moe sam po sebi da ostvari sve eljene pokazatelje. To je osnovni razlog da se objekt upravlja, odnosno da se on spregne sa upravljakim sistemom u sistem automatskog upravljanja. Zadatak upravljakog sistema, tj. upravljanja je da svojim dejstvom na objekat primora taj objekt da ostvari zahtjevane vrijednosti svih navedenih pokazatelja. Razmotrimo u nastavku jedan klasini upravljaki sistem: PID regulator.

13