- SEMINAR VELIKE I MALE VODE -

Prof.dr.sc. Nevenka Oani

Zagreb, 1. i 2. travnja 2004.

S A D R A J:

1. 2.

UVOD NIZOVI PODATAKA 2.1. 2.2. 2.3. Najei tipovi ulaznih podataka Sustavne i sluajne greke Izbor i provjera nizova podataka

3.

STATISTIKA OBRADA NIZOVA PODATAKA 3.1. 3.2. Osnovne statistike Reprezentativnost serije i greke procjene

4.

OSNOVE VJEROJATNOSTI 4.1. 4.2. 4.3. Empirijske funkcije raspodjele Teorijske funkcije raspodjele 4.2.1. Funkcije raspodjele za diskretnu sluajnu promjenjivu 4.2.2. Funkcije raspodjele za kontinuiranu sluajnu promjenjivu Testiranje dobrote prilagoavanja funkcija raspodjele 4.3.1. HI -kvadrat test 4.3.2. Kolmogorov-Smirovljev test

5.

PRIMJER PRORAUNA VELIKIH VODA PRIMJENOM STATISTIKIHMETODA

5.1. Empirijska funkcija vjerojatnosti 5.2. Odreivanje osnovnih statistikih parametara 5.3. Proraun vjerojatnosti pojave velikih voda izborom nekoliko teorijskih funkcija raspodjele 5.3.1. Gaussova raspodjela 5.3.2. Gumbelova raspodjela 5.3.3. Pearson 3 raspodjela 5.3.4. Logaritamska Pearson 3 raspodjela 5.3.5. Logaritamska normalna ( Galtonova ) raspodjela 5.3.6. Usporedba dobivenih rezultata 5.4. Komentar rezultata statistikih analiza 6. 7. REGIONALIZACIJA VELIKIH VODA HIDROLOKI PRORAUNI VELIKIH VODA UNUTAR HIDROMELIORACIJSKIH SUSTAVA 7.1. Uvodno

7.2. Proraun maksimalnih protoka melioracijskih podruja po D. Srebrenoviu (1970.) 7.3. Proraun maksimalnih protoka po V. T. Chowu (1960) prireeno u Bonacci i Rogli (1985.) 7.4. Proraun maksimalnih dotoka na crpne stanice po Z. Srebrenoviu (1987.) 8. 9. ZAKLJUAK LITERATURA

prof.dr.sc. Nevenka Oani,dipl.ing.gra., Sveuilite u Rijeci Graevinski fakultet Rijeka, V.Cara Emina 5, 51000 Rijeka, nozanic@gradri.hr tel: 051/352-146 SAETAK U radu je prikazana analiza problematike pojave i prorauna velikih voda s dva hidroloka pristupa s jedne strane s aspekta upotrebe osnovnih statistikih metoda obrade i analize vjerojatnosti pojave, a s druge strane s aspekta koritenja parametarskih metoda pri proraunu ocjeni maksimalnih protoka na hidromelioracijskim sustavima. Na jednom su mjestu ukratko i sustavno razmatrane osnove primjene matematiko-statistikih metoda, a dan je i prikaz osnovnih pojmova vezanih uz takvu obradu, primjer provedenog prorauna, kao i upute o tome gdje se u aktualnoj domaoj literaturi iz domene hidrologije moe nai vie informacija o pojedinim dijelovima obrade. U radu se zbog ogranienog opsega nije detaljnije ulazilo u pojedine elemente prorauna, ve se uz uvodne metodoloke napomene upuuje na izvornu literaturu. Kljune rijei: 1. UVOD statistike obrade, hidrometeoroloki podaci, vremenske serije, funkcije razdiobe, hidromelioracijski sustavi

U danom radu proanalizirana je problematika pojava velikih voda s naoko dva razliita hidroloka pristupa s jedne strane s aspekta upotrebe osnovnih statistikih metoda obrade i analiza vjerojatnosti pojave, a s druge strane s aspekta koritenja parametarskih metoda pri proraunu ocjeni maksimalnih protoka na hidromelioracijskim sustavima. No, iako je u sluaju prorauna maksimalnih protoka hidromelioracijskih sustava rije o parametarskom pristupu, ni te se metode ne mogu primjenjivati bez rezultata osnovnih statistikih obrada, samo to se zbog uglavnom nemjerenih podataka o protokama analiziraju (obino u nekim separatnim prethodnim analizama) razmjerno dostupniji podaci o znaajkama kratkotrajnih jakih oborina. Pri tome se primjenjuju sve postavke koje se odnose na formiranje nizova, njihovu reprezentativnost, homogenost, kao i metode neposredne obrade. Motivi za takav pristup mogli bi se saeti u tvrdnju da je prisutnim prestrogim podjelama na stohastike (statistike) i parametarske metode obrade zanemarena sr hidrologije kao znanstveno-istraivake discipline, a to su mjereni podaci koji su osnova i jednog i drugog pristupa, i kojima su i osnovne metode obrade u biti vrlo bliske. Pri odabiru teme danog rada rukovodilo se okolnou da je seminar prije svega orijentiran na mlae hidrologe i strunjake koji se namjeravaju baviti hidrologijom ili im je hidrologija bliska disciplina, te da ve dugo na jednom mjestu ukratko i sustavno nisu razmatrane osnove primjene matematskostatistikih metoda. Dani rad sadri prikaz osnovnih pojmova vezanih uz takvu obradu, primjer provedenog prorauna, kao i upute o tome gdje se u aktualnoj domaoj literaturi iz domene hidrologije moe nai vie informacija o pojedinim segmentima obrade. Naime, iz

vlastite pedagoke prakse uoeno je da je, unato dostupnosti raunarskih programa s gotovim algoritmima obrade, za razumijevanje principa pojedinih hidrolokih obrada nuno da korisnik, samostalno koristei strunu literaturu pa i klasine tablice, ue u metodologiju prorauna na nain da pjeke proe sve faze obrade. Kasnije proraune sasvim sigurno nee provoditi na taj nain nego uglavnom koristei neke gotove programske pakete, no ne na ablonski - mehaniki nain, ve razumijevajui pojedine korake tako provedenih obrada. Motiv da se kao naelna metodoloka suprotnost statistikim obradama (koja, kako je to prethodno izloeno, ba i nije tako izrazita) u istom radu analiziraju parametarske metode prorauna velikih voda na hidromelioracijskim sustavima, je aktualnost problematike ureenja hidromelioracijskih sustava. Proklamirani zaokret dravne politike u smislu njezinog aktivnog odnosa prema osiguranju navodnjavanja poljoprivrednih povrina pretpostavlja i ureene sustave odvodnje hidromelioracijskih sustava na kojima e se vriti navodnjavanje. U tom e smislu biti nuno preispitati takve sustave na hidroloke pojave velikih voda, pri emu dani metodoloki pristupi, na osnovu kojih je i provedeno dimenzioniranje nekih od postojeih sustava, mogu posluiti kao polazna osnova. U radu, zbog njegova ograniena opsega, nije provedeno detaljnije ulaenje u pojedine elemente takvih prorauna, ve su uz uvodne metodoloke napomene polaznici seminara upueni na izvornu literaturu. Suvremeni pristupi obradama velikih voda podrazumijevaju koritenje razliitih tipova matematikih modela. Oni u danom radu takoer nisu posebno analizirani jer su predmet obrada dvaju radova u okviru ovoga seminara i to: Dedu - Suvremeni sustavi predvianja poplavnih valova i ajavec - Mike Basin. Dio problematike vezan uz analize oblika vodnih valova kao i matematikog modeliranja velikih voda obraen je i u radu Hidrogrami velikih vodnih valova (Oani, 2003), publiciranom u knjizi 1 III kola Prirunika za hidrotehnike melioracije, pripremljenog u okviru znanstvenog projekta Znanstvene osnove za razvoj natapanja u Republici Hrvatskoj, kojega je Graevinski fakultet u Rijeci, a suizdavai jo i Hrvatsko drutvo za odvodnju i navodnjavanje te Hrvatsko hidroloko drutvo. 2. 2.1. NIZOVI PODATAKA Najei tipovi ulaznih podataka

U statistikoj se hidrologiji praktino sve analize provode na temelju sluajnog uzorka, odnosno sluajnog kronolokog niza podataka u kojem su svi lanovi meusobno neovisni, odnosno takvi bi trebali biti. Meteoroloke i hidroloke podloge sainjavaju podaci dobiveni motrenjem i mjerenjem. Od prikupljenih podataka sastavlja se slijed podataka, koji predstavlja podatke poredane redoslijedom kojim su bili opaeni ili izmjereni. Primjeri nizova podataka koji se najee koriste pri analizi velikih voda su: oborine kratkotrajnih intenziteta, vodostaji i protoke (esto i razine vodnih lica), te oblici i volumeni vodnih valova. Formiranje nizova karakteristinih vrijednosti intenzivnih oborina za razliita trajanja moe se provesti na vie naina (Arneell i dr., 1984. preuzeto iz Bonacci, 1994.), i to kao: - nizovi godinjih ekstrema (standardni pristup izdvajanja ekstremnih godinjih vrijednosti oborina /intenziteta/ odreenih trajanja), - nizovi prekoraenja, odnosno pikova iznad odreenih pragova POT serije (peaks over treshold), - modelirani nizovi ekstrema (koliko je poznato u domaoj praksi do sada nisu koriteni, a i inae se rijetko koriste zbog toga to modeli za simuliranje ekstremnih oborina nisu jo u dovoljnoj mjeri pouzdani).

Podaci hidrolokih opaanja vodostaja i protoka sreuju se u vremenske nizove. Serija npr. ekstremnih vrijednosti ukljuuje najvee ili najmanje vrijednosti od kojih je svaka izabrana iz jednakih vremenskih intervala. Obino je osnovni vremenski interval hidroloka ili kalendarska godina, pa se takva serija naziva nizom godinjih maksimuma ili minimuma. Tada se teko moe pretpostaviti da niz nije sastavljen od sluajnih varijabli. Postoji, osim toga, i formiranja niza prekoraenja u koji ulaze lanovi vei (analiza velikih voda) ili manji (prouavanje malih voda) od neke osnovne vrijednosti. Kad je takva serija formirana tako da je broj podataka u nizu jednak broju godina, takva se serija naziva godinjim nizom prekoraenja. Kada se u niz ukljuuju dvije ili vie vrijednosti iz iste godine, odabrani podaci mogu biti optereeni nesluajnim pojavama, jer jedan hidroloki dogaaj moe utjecati na drugi kad on slijedi ubrzo nakon prvog. Ispitivanje odnosa izmeu povratnih perioda dobivenih pomou niza godinjih prekoraenja Pp i niza godinjih ekstremnih vrijednosti Pe proveo je V.T. Chow, te je postavio relaciju: 1 Pp = ln Pe ln( Pe 1) Dobije se da je Pp priblino jednako Pe kad je povratni period dovoljno dug (P>10godina), te prema tome ne bi trebala postojati dilema pri odabiranju metode za oblikovanje nizova. Uobiajeno je da se protoke dobivaju na osnovu podataka o vodostajima. No, u odreenim je sluajevima mogue i obrnuto. Naime, rijena su korita, naroito korita bujinih vodotoka, podlona promjenama tijekom godina. Mogue znaajne promjene u koritu ili pak promjene kote nule vodokaza mogu u velikoj mjeri oteati ili ak onemoguiti analizu velikih voda preko maksimalnih vodostaja. Na to u prvom redu mogu ukazati meusobno razliite protone krivulje unutar dueg vremenskog razdoblja. U takvim je sluajevima bolje umjesto niza maksimalnih vodostaja razmatrati niz maksimalnih protoka koji je preko odgovarajuih protonih krivulja izveden iz maksimalnih vodostaja. Postoji li pouzdaniji nain odreivanja protoke (npr. preko podataka dobivenih iz rada hidroelektrana i sl.), mogu se, ukoliko se to pokae potrebnim u pojedinim analizama, iz maksimalnih protoka odrediti maksimalni vodostaji razliita reda pojavljivanja. Moramo napomenuti da je kod formiranja nizova podataka neophodnih za analizu velikih voda potrebno ispitati i da li se unutar promatranoga vremenskog razdoblja pojavila barem jedna reprezentativna velika voda. Naime, mogue je da su unutar razdoblja motrenja bile zabiljeene samo razmjerno male velike vode, a da su se izvan toga razdoblja pojavljivale znatno vee vrijednosti. Njih bi svakako trebalo uzeti u obzir, jer bi u suprotnom izraunane vrijednosti velikih voda sasvim sigurno bile preniske. Provjeru da li su u razdoblju opaanja bile zapaene dovoljno velike vrijednosti velikih voda, moe se izvriti preko odgovarajuih dijagrama na koje su naneseni najvei opaeni specifini dotoci razliitih slivova u funkciji povrina slivova. Vrlo vani i esto neophodni podaci pri analizi velikih voda su oblici i volumeni vodnih valova razliitih povratnih razdoblja. Na manjim bujinim slivovima, gdje vodni valovi esto nastaju kao posljedica djelovanja jakih kia, moe se kroz dui niz godina prikupiti zadovoljavajui broj vodnih valova nastalih povrinskim otjecanjem. Ako su hidrogrami vodnih valova po oblicima slini, korisno je statistiki obraditi njihove volumene. Naime, volumeni vodnih valova su izravno povezani s oborinama palim na sliv i oni su kao pokazatelji mnogo ilustrativniji nego sami maksimalni protoci, koji su izvedeni iz vodostaja i prikazuju zapravo trenutno djelovanje, odnosno samo veliine vrhova vodnih valova. Volumeni i oblici velikih vodnih valova puno vie govore o ekstremno velikom otjecanju i

njihovom se daljnjom analizom mogu dobiti glavni pokazatelji za obranu od poplave, pogotovo za dimenzioniranje akumulacijskih jezera, evakuacijskih organa i sl. 2.2. Sustavne i sluajne greke

Svako mjerenje, a posebno ono u prirodi, optereeno je sluajnom ali i sustavnom grekom (Bonacci, 1994.). Sluajne greke uvijek imaju razliite ili bolje reeno oba predznaka i moraju biti uzete u obzir iskljuivo statistiki. Odnose se uglavnom na greke opaaa (motritelja) pri oitanju mjerene veliine, njenom upisivanju i sl. Za procjenu sluajne greke neophodno je raspolagati s odreenim veim brojem neovisnih mjerenja izvrenih odgovarajuom metodom. Za razliku od sluajne greke, sustavna greka npr. pri mjerenju oborina uvijek nosi isti predznak. Sustavne greke nastaju pod uzajamnim utjecajem mjernog instrumenta, metode mjerenja i opaaa koji mjerenje vri. One su brojne, a vezane su i s nepravilnim instrumentom i/ili netonim rukovanjem. Radi se npr. o oteenjima (rupama) na kantici ili prijemnom otvoru, neispravnom odnosno kosom poloaju otvora, izlijevanju dijela vode pri mjerenju, i dr. Ove se greke mogu i moraju barem veim dijelom izbjei pravilnom instalacijom instrumenata, odravanjem i rukovanjem. Tako su oborine izmjerene u toci, koritenjem mjernih instrumenata, uvijek manje od onih koje su stvarno pale na povrinu tla. Naime, kut nagiba padanja oborina uglavnom je vie ili manje iskoen, pa standardni Helmanovi kiomjeri ne uspijevaju izmjeriti cjelokupnu palu koliinu oborina. Sustavna greka kod mjerenja oborina u toci sa kiomjerima (osim navedenog kuta nagiba) javlja se i zbog slijedeih est razloga (Sevruk, 1979.): Aerodinamikog efekta deformacije polja vjetra zbog poloaja, oblika i dimenzija kiomjera. Radi se o najznaajnijoj greki iji udio u ukupnoj sustavnoj greki moe iznositi i do 95%. Vlaenja unutranjih stijenki instrumenata i posude za sakupljanje oborina Isparavanja akumulirane vode iz posude za sakupljanje oborina Nemogunosti potpunog pranjenja iste posude Isprskavanja kapi oborine iz instrumenta Otpuhivanje krutih oborina primarno snijega sa instrumenta.

Iz do sada iznesenog, vidljiv je karakter moguih greaka u procjeni stvarne vrijednosti neke meteoroloke ili hidroloke veliine ak i u sluaju kada se neposredno mjeri taj analizirani parametar. Slini problemi, a ponekad i vei, javljaju se kada se pojedini parametri ne mjere neposredno, ve ih je potrebno odrediti na osnovu obrade rezultata mjerenja drugih parametara, a koji su esto puta i meusobno uvjetovani (odreivanje vrijednosti rezultata vodomjerenja na osnovu mjerenja brzine vode u pojedinim tokama vodomjernog profila i geometrije profila, npr. odreivanje protoke na hidrolokoj postaji na osnovu mjerenja vodostaja i obrade podataka vodomjerenja, odreivanje pronosa nanosa na osnovu i podatka o protoci i koncentracije suspendiranog nanosa u profilu i sl.).

2.3.

Izbor i provjera nizova podataka

Slijed se podataka (meteorolokih ili hidrolokih) moe prihvatiti kao niz ili niz vrijednosti sluajne varijable, koji predstavlja podatke o nekim pojavama po redoslijedu (kronoloki) ili veliini i na njega se mogu primijeniti metode matematike statistike ako su ispunjeni slijedei uvjeti (ugaj, 2000.): 1. 2. 3. 4. 5. lanovi niza su sluajne veliine lanovi niza su meusobno neovisni Niz mora biti homogen lanovi niza moraju biti stacionarni Niz mora biti dovoljno dug

Nastavno e biti obrazloeni navedeni uvjeti: 1. lanovi niza su sluajne veliine. Meteoroloke i hidroloke podatke moemo smatrati sluajnim veliinama zbog velikog broja razliitih utjecaja o kojima oni ovise. 2. lanovi niza su meusobno neovisni. lan kronolokoga niza ne smije utjecati na veliinu lana koji slijedi. Primjerice, za godinje ekstremne vrijednosti u hidrolokim godinama redovito se moe usvojiti da su meusobno neovisne. Pri analizi hidrolokih vremenskih serija primjenom teorije matematike statistike, neophodan uvjet je da lanovi serija budu meusobno neovisni, tj. da predstavljaju sluajne veliine. Za provjeru neovisnosti moe se primijeniti vie testova. Slijedi prikaz nekoliko najkoritenijih: Test kvadrata uzastopnih razlika U uvjetima nulte hipoteze H0: serija je niz neovisnih elemenata, moe se pokazati da je statistika: d2 2 1 2 u= n2 n2 1 priblino raspodijeljena po N(0,1) raspodjeli, gdje je: 1 n 1 d2 = (xi +1 xi )2 n 1 i =1 Podruje prihvaanja hipoteze je u / 2 < u < u 1 / 2 ili za = 0.05, budui da u ima normalnu N(0,1) raspodjelu -1.96 < u 30) i Studentov t-test (ako je n1, n2 < 30).- Normalni Z-test

Pretpostavka je da je sluajno promjenjiva X normalno rasporeena i da su lanovi serije meusobno neovisni. Kriterij testa je statistika:

z =

X1 X 2 X1X 2 x12

gdje je : + n1 n2 koja ima N(0,1) raspodjelu, pa se nulta hipoteza prihvaa ako je: z / 2 < z < z1 / 2- Studentov t-test

X1 X 2 =

x2

2

Pretpostavljeno je da sluajno promjenjiva X = Q slijedi normalnu razdiobu i da su varijance dva uzorka jednake ( x1 = x 2 = x ) . Kriterij za provjeru srednjih vrijednosti je statistika:t= n 1 n 2 ( n 1 + n 2 2) X1 X 2 2 2 n1 + n 2 n 1 x1 + n 2 x 2

koja ima Studentovu S ( t ) sa 1 = n 1 + n 2 2 stupnjeva slobode. Hipoteza se prihvaa ako je t / 2 < t < t 1 / 2 Kritine vrijednosti za Studentovu raspodjelu u literaturi su najee dane u tablici.

Testiranje disperzije dva uzorka Fischerov test

Uvjet za primjenu ovog testa je da su elementi populacije neovisni, da su dva uzorka normalno rasporeena i da parametri populacije nisu poznati. Nulta hipoteza je x1 x 2 Kriterij za jednakost dviju disperzija je statistikaF= x1 x 22 2

(

x1

> x 2

)

koja ima Fischerovu raspodjelu sa 1 = n 1 1 stupnjeva slobode. Hipoteza se prihvaa ako je: F < F1 ( 1 , 2 ) Kritine vrijednosti za F- raspodjelu za = 0.05 u literaturi najee su dane u tablici.Testiranje homogenosti funkcije raspodjele inverzni test Wilcoxona

Ako dva uzorka opsega n1 i n2 pripadaju istoj nepoznatoj populaciji, nulta hipoteza je:H0 : F(X i ) = F(X j )

Formira se zajedniki niz obima n = n1 + n2 ureen po rastuim vrijednostima. Odreuje se ukupan broj inverzija koji prethodi svakom lanu jednog i drugog niza u1 i u2. Teoretski je dokazano da je kod homogenih vremenskih serija broj inverzija priblino rasporeen po normalnom zakonu sa: -srednjom vrijednosti n n u= 1 2 2 -i disperzijom n n 2 u = 1 2 (n 1 + n 2 + 1) 12 Nulta hipoteza se prihvaa ako je ispunjen uvjet: u z u < u 1, 2 < u + z u 4. lanovi niza moraju biti stacionarni. Razliite promjene uzrokuju nestacionarnost koja se moe pokazati preko trendova, periodinosti itd. Trend je usmjerivanje (padajue ili rastue) u vremenskim nizovima. On je sustavna i neprekidna pojava koja se protee kroz cijeli vremenski niz. U sklopu vremenskoga niza periodinost predstavljaju pravilni ili promjenjivi oblici koji se dnevno,

sezonski, godinje ili viegodinje pravilno izmjenjuju. Ispituje se razliitim testovima kao npr. Fischerovim testom. 5. Niz mora biti dovoljno dug. Kod hidrolokih obrada i analiza temeljni problem predstavlja procjenjivanje jesu li raspoloivi nizovi osnovnih podataka dovoljno dugi za donoenje pouzdanih zakljuaka. U literaturi se preporuuju razliita minimalna razdoblja motrenja i mjerenja (tablica 1).Tablica 1: Minimalni broj godina opaanja hidrolokih veliina prema razliitim autorima (ugaj, 2000.)Autor V. Jevevi (1956.) D. Srebrenovi (1970.) D. Srebrenovi (1986.) K.N. Mutreja (1986.) V.M. Ponce (1989.) R.S. Gupta (1989.) prema T. Darlympleu (1960.) Minimalni broj godina motrenja srednji protoci: 10 maksimalni protoci: 30 srednji protoci: 10 maksimalni protoci: 30 30 10 ili vie Obino 10 do 15, a ne manje od 5 5 ili vie Napomena za hidroloke obrade za hidroloke obrade za hidroloke obrade za regionalne hidroloke analize za regionalne hidroloke analize za regionalne hidroloke analize

Kada se primjenjuju metode matematike statistike u hidrologiji, preporuljivo je koristiti nizove podataka od najmanje 30 godina. Kako meteoroloke, a pogotovo hidroloke stanice rade najee krae od 30 godina, pri koritenju kraih nizova podataka neophodno je ispravno ocijeniti realnost rezultata i pouzdanost dobivenih zakonitosti ovisno o svrsi obrade. Na kraju se moe zakljuiti da ako vremenski niz zadovoljava navedenih pet uvjeta, na njegove se podatke mogu primijeniti metode matematike statistike. est je meutim sluaj da nizovi ne zadovoljavaju postavljene uvjete (npr. niz nije dovoljno dug), pa se u sluaju primjene statistikih obrada dobiveni rezultati uzimaju s rezervom.3. 3.1. STATISTIKA OBRADA NIZOVA PODATAKA Osnovne statistike

Za pouzdanu analizu ponaanja nekog hidrolokog procesa neophodno je prikupiti to vie hidrolokih i meteorolokih podataka (mjerenja oborina, vodostaja, protoka i dr.). Iz ovoga proizlazi da se hidroloke obrade i analize zasnivaju na velikom broju podataka, odnosno na velikim uzorcima sluajne hidroloke promjenjive. Pri tome pod hidrolokom obradom i analizom podrazumijevamo proceduru pomou koje se iz velikog uzorka odreuju neke numerike karakteristike sluajne promjenjive koje ukazuju na ponaanje uzorka. U nastavku e biti spomenute najee koritene numerike karakteristike uzoraka.Aritmetika sredina ili kako se esto naziva srednja vrijednost je najtipiniji broj u skupu vrijednosti, to nikako ne znai da i sama srednja vrijednost mora biti jedna od vrijednosti sluajne promjenjive X.

Ako je dan niz vrijednosti sluajne promjenjive X x1, x2, ..., xi, ..., xn

Tada se pod srednjom vrijednou (aritmetikom sredinom) podrazumijeva slijedei izraz:x= x1 + x 2 + ... + xi + ... + x n 1 n = xi n n i =1

to ujedno predstavlja i prvi centralni moment. Moment drugog reda nazivamo varijancom. To je suma kvadrata odstupanja svakog lana xi od aritmetike sredine niza x pomnoena s odgovarajuom uestalosti, te podijeljena s brojem elemenata uzorka. Obino ju nazivamo i srednje kvadratno odstupanje odnosno simbolom 2 . Drugi korijen iz varijance tj.

=

1 n 2 f i (x i x ) N i =1

naziva se standardna devijacija. Iz samog je izraza evidentno da varijanca ili standardna devijacija kao njena modifikacija slue kao mjera rasprostranjenosti (disperzije ili variabiliteta podataka) lanova ili jedinica xi od prosjene vrijednosti. Apsolutna uestalost sluajne promjenjive oznaena je sa fi. Standardna devijacija ili odstupanje moe se izraziti i obinim momentom:

=

1 N

f (xi =1 i

n

2 i

x2)

dakle u obliku koji moe pojednostaviti raunanje. Ponekad se u raunima koristimo s pojmom srednje devijacije sd =

(x x )N

To je, dakle, sredina apsolutnih devijacija vrijednosti od njihove aritmetike sredine. Ovaj parametar sve vie zamjenjuje standardnu devijaciju. Nema sumnje da standardna devijacija ima iste mjerne vrijednosti kao i veliina xi. elimo li tu mjeru disperzije bezdimenzionalno izraziti, tada to moemo uiniti putem novog pojma koeficijenta varijacije CvCv = x

Kao to se vidi koeficijent varijacije je odnos standardne devijacije i prosjene vrijednosti. Naravno da standardna devijacija i koeficijent varijacije postiu identine veliine, kad se lanovi xi izraavaju modulnim koeficijentima ki. U tom sluaju e biti:

= Cv =

1 n 2 (k i 1) N i =1

Za odreivanje stupnja simetrinosti i spljotenosti krivulje uestalosti slue momenti vieg reda ili adekvatne mjere disperzije vieg reda. Tako je koeficijent asimetrije (moment treeg reda):

Cs = 3 = 3n

f (xi =1 i

n

i

x)

3

N 3

ili izraen u modulnim koeficijentima ki:Cs =

(ki =1

i

1)3

3

N Cv

Kada je krivulja uestalosti simetrina onda je Cs = 0. Razumljivo je da sa porastom Cs nesimetrinost krivulje raspodjele raste. Postoje u tom smislu izvjesne klasifikacije, pa se kae: 0 < Cs < 0.10 0.10 < Cs < 0.25 0.25 < Cs 0.5 da praktino nema asimetrinosti asimetrinost je mala, asimetrinost je srednja, asimetrinost je velika.

U primjerima koji se javljaju u hidrologiji asimetrinost je prema toj klasifikaciji obino srednja, a veoma esto velika. Nisu izuzetni sluajevi da koeficijent asimetrije dosegne i vrijednost od 2, 3 i vie. Meutim javljaju se i negativne vrijednosti za Cs, pa taj parametar moe karakterizirati krivulju uestalosti kako je to pokazano na slici 1.

Slika 1:

Prikaz koeficijenta asimetrije (Srebrenovi, D., 1970.)

Dakle ukoliko je vrijednost Cs negativna (Cs < 0) tada je mod vei od prosjene veliine. Za pozitivnu veliinu Cs (Cs > 0) vrijedi, naravno, obrnuto. Moramo naglasiti da se potonji sluaj ee javlja u hidrologiji, jer su odstupanja od prosjeka u pravcu minimuma obino manja ali zato uestalija.

3.2.

Reprezentativnost serije i greke procjene

Polazei od pretpostavke da npr. serija maksimalnih protoka predstavlja realizaciju stohastikoga procesa, prije praktikog koritenja iste neophodno je prethodno ispitati njenu statistiku strukturu u smislu identifikacije razdoblja pojavljivanja veih ili manjih velikih voda maksimalnih protoka. Pri tome se koristi najjednostavnija procedura definiranja modulnih odstupanja od srednje vrijednosti, ili se praktino primjenjuje spektralna teorija sluajnih procesa. Za duinu reprezentativne serije usvaja se ono razdoblje koje obuhvaa barem dva ili vie puna ciklusa. Pri tome treba imati u vidu da jedan pun ciklus obuhvaa oba razdoblja suno i kino. S druge strane reprezentativna vremenska serija mora biti takve duine da sadri pouzdane statistike parametre. Neophodno je da relativna srednja kvadratna odstupanja statistikih parametara ne budu vea od 10 %, to se rauna: za srednju vrijednost

Q =-

n

*100

za koeficijent varijacijeC = v

cv 1 + 3c v2 2(n 1)

*100

-

za koeficijent asimetrijeC =s

n

(1 + 6cv2 + 5cv4 ) *100

gdje su:Q

Cv Cs n4.

= srednja vrijednost serije maksimalnih godinjih protoka Qmax = standardna devijacija serija Qmax = koeficijent varijacije serija Qmax = koeficijent asimetrije serije Qmax = ukupan broj lanova serije Qmax

OSNOVE VJEROJATNOSTI

Vjerojatnost je matematiki pojam kojim se kvantitativno (brojano) opisuje sluajnost pojavljivanja uoenog dogaaja. Prihvaajui mogunost prezentiranja hidrolokih veliina sluajnim varijablama, uvodimo vjerojatnost u hidrologiju, iji se osnovni pojmovi mogu poistovjetiti s spoznajama o statistikoj uestalosti i trajnosti.

4.1.

Empirijske funkcije raspodjele

Empirijska funkcija raspodjele P*(x) sluajno promjenjive X, predstavlja zakon promjene uestalosti dogaaja X>x u razmatranom sluajnom uzorku:P * ( x ) = p * ( X > x) = p*; a p* = m N

gdje je: p* = uestalost dogaaja empirijske funkcije X>x m = broj elemenata u sluajnom uzorku koji zadovoljavaju uvjet X>x N = ukupna veliina uzorka Empirijska funkcija raspodjele rauna se neposredno na osnovu kronolokog niza podataka (lanova vremenske serije) koji su meusobno neovisni. U praksi je uobiajeno da se lanovi vremenske serije najprije poredaju po opadajuim vrijednostima. Za proraun empirijske vjerojatnosti u hidrolokoj se praksi koriste pribline formule, od kojih su u nastavku dane samo neke: Weibullm N +1

* Pm =

- Hazen* Pm =

m 0,5 N

- egodajev* Pm =

m 0,3 N + 0,4

-

Gringorten

m 0,44 N + 0,12 Generalno se sve ove formule mogu izraziti preko slijedeeg obrasca:* Pm =* Pm =

ma N + 1 2a

gdje je: m redni broj (poloaj) sluajne promjenjive u ureenom uzorku, N ukupni broj elemenata uzorka, A korekcijski faktor koji ima svrhu omoguiti ispravniju procjenu empirijske vjerojatnosti najveih i najmanjih vrijednosti sluajne promjenjive.

Povratni period m-tog lana u nizu izrauna se:

Tm =

1 * Pm

Dimenzija povratnoga razdoblja ovisi o nainu formiranja osnovne serije sluajne promjenjive. Ako je serija formirana koritenjem samo jednoga podatka u godini (npr. maksimalni godinji protok), tada se povratno razdoblje izraava u godinama. Povratno razdoblje oznaava prosjeni interval vremena unutar kojega se, sa vjerojatnou P(x), ocjenjuje da e sluajna promjenjiva X biti jedanput vea od x. Tako npr. ako vjerojatnost sluajne promjenjive X, iznosi P (x) = 0,02, povratno razdoblje je:T ( x) = 4.2.

1 1 = = 50 godina P( x) 0,02

Teorijske funkcije raspodjele

Kada se pokae da za neki empirijski uzorak vrijedi neka teorijska raspodjela, koristiti e se karakteristike te raspodjele u donoenju nekih zakljuaka i za ekstrapolaciju rijetkih dogaaja u pravilu rjeih od opaanog niza. Dakle, teorijska funkcija raspodjele vjerojatnosti je najsaetije predstavljanje neke empirijske raspodjele uestalosti. Odabrana se funkcija u potpunosti ne prilagoava empirijskoj raspodjeli. Dobrota prilagodbe te funkcije ovisi o veliini uzorka, pravilnog izbora funkcije i upotrebe najboljih metoda za procjenjivanje njenih parametara. U teorijskoj statistici postoji itav niz funkcija gustoe raspodjele vjerojatnosti koje se koriste u modeliranju razliitih procesa. Te su funkcije dobro izuene i poznate su njihove karakteristike. U hidrolokoj se praksi koriste samo neke od ovih funkcija, a budui da se obrauju dva tipa sluajne promjenjive, tj. diskretna (prekidna) i kontinuirana, razliite se funkcije primjenjuju na ove dvije vrste sluajnih promjenjivih veliina. Svrha njihove primjene je najee u tome da se, na osnovu hidrometeorolokih veliina opaenih u prolosti, odrede vjerojatnosti sa kojom bi se ove pojave mogle dogoditi u budunosti.4.2.1. Funkcije raspodjele za diskretnu sluajnu promjenjivu

Kod rjeavanja niza praktinih problema u hidrologiji, javljaju se sluajne promjenjive koje mogu poprimiti samo cjelobrojne vrijednosti. Takve su promjenjive npr. broj dana sa kiom (ili bez kie) u razmatranom vremenskom razdoblju, broj dana sa mrazom, broj godina u kojima dolazi do poplava (izlijevanja vode iz korita nekog vodotoka) i sl. Nastavno e biti samo spomenute neke od funkcija raspodjele koje se koriste kod analize vjerojatnosti diskretnih (prekidnih) hidrolokih promjenjivih, ali ih se nee detaljnije opisivati budui da nisu tema ovog rada: - Binomna funkcija raspodjele - Geometrijska funkcija raspodjele - Poissonova funkcija raspodjele

4.2.2. Funkcije raspodjele za kontinuiranu sluajnu promjenjivu - Gaussova ili Normalna funkcija raspodjele

Gaussova (normalna) funkcija (krivulja) raspodjele je karakteristino zvonolika, simetrina i dvoparametarska i vjerojatno je najuobiajenija funkcija raspodjele ne samo u hidrologiji nego i inae. Velike vode, kao i veina hidrolokih pojava, redovito nemaju simetrinu raspodjelu, ali Gaussova se raspodjela, koja zauzima jedinstveno mjesto meu funkcijama raspodjele, esto analizira uz druge raspodjele radi njihove meusobne usporedbe. Definirana je u rasponu < x + , a zbog njene jedinstvenosti grafiki je prikaz, odnosno krivulja raspodjele dana na slici 2.

Slika 2:

Karakteristini izgled Gaussove krivulje raspodjele

Krivulja prikazana na slici 2 moe se opisati pomou dvoparametarske funkcije:p( x) = 1 e1 x 2 2

2

,

< x +

To je opi oblik normalne funkcije raspodjele sa srednjom vrijednou ( = x ) i standardnom devijacijom ( x = ) .- Logaritamsko-normalna ili Galtonova funkcija raspodjele

Mnoge se hidroloke promjenjive kao npr. protoci, pronos nanosa i dr. mjere od nule i nemaju gornju granicu. One se ne mogu modelirati normalnom raspodjelom (protoke ili godinje vrijednosti dnevnih oborina i dr.). Meutim, te se vrijednosti dobro prilagoavaju tzv. Logaritamsko - normalnoj raspodjeli odnosno Galtonovoj raspodjeli. Funkcija vjerojatnosti tada je dana izrazom:p( x) =

1

y 2

e

1 y y 2 y

2

, < y < +

gdje je: y = ln x (x-varijabla) y = sredina od y y = standardna devijacija od y

- Gumbelova funkcija raspodjele

Gumbelova funkcija raspodjele je nesimetrina i dvoparametarska. Ima veliku primjenu u hidrologiji kod analize sluajne promjenjive koja predstavlja neku ekstremnu vrijednost (maksimalni ili minimalni godinji protoci). Vrlo je vana kod analize velikih voda jer serija vrijednosti od kojih svaka predstavlja maksimalni godinji protok imati e raspodjelu prema zakonu ekstremnih vrijednosti. Funkcija raspodjele vjerojatnosti definirana je slijedeim izrazom:p ( x) = 1

exp ( x u ) e ( x u ) , < x < +, > 0, u > 0

[

]

gdje je: = parametar oblika raspodjele i ujedno vrijednost moda, u = parametar mjerila Gama funkcija raspodjele

Gama razdioba je jedna od osnovnih razdioba, to proizlazi iz njene povezanosti s normalnom razdiobom. Upotreba dvo i troparametarske razdiobe u hidrologiji je isto tako uobiajena kao i upotreba log-normalne funkcije raspodjele vjerojatnosti. Naalost, nije lako transformirati mjerilo koordinatnih osi na nain da se sve kumulativne gama raspodjele mogu nanositi kao ravne linije, to njenu upotrebu u hidrolokoj praksi ini manje privlanom. Za kontinuiranu sluajnu promjenjivu koja ima funkciju raspodjele vjerojatnosti u obliku 1 p ( x) = x 1e , 0 x , > 0, > 0 ( ) x

gdje je: = parametar lokacije raspodjele i ujedno vrijednost moda, = parametar mjerila kae se da slijedi dvoparametarsku Gama raspodjelu sa parametrima i . Pearsonove funkcije raspodjele vjerojatnosti

Od 14 Pearsonovih funkcija raspodjele, u hidrologiji se najee koristi trei tip Pearsonove funkcije. Raspodjela Pearson 3 je nesimetrina troparametarska raspodjela. Dobije se tako da se u izraz za funkciju dvoparametarske Gama raspodjele uvede i tei parametar, tzv. Parametar poloaja x0 (udaljenost od koordinatnog poetka do poetka raspodjele najmanja vrijednost analizirane hidroloke veliine), tako da je x0 x . Funkcija raspodjele vjerojatnosti definirana je slijedeim izrazom: 1 p ( x) = ( x x0 ) 1 e ( ) x x0

, x0 < x <

gdje je: = parametar oblika raspodjele i ujedno vrijednost moda, = parametar mjerila x0 = parametar poloaja

Budui da je izvorni oblik ove raspodjele, kako se vidi, dosta sloen, a rad sa njime dugotrajan, u hidrolokoj praksi se upotrebljava modificirani oblik prema Foster-Ribkinu. Ako pak logaritmi sluajne promjenjive X slijede spomenutu Pearson 3 razdiobu, tada se kae da promjenjiva X slijedi Log Pearson 3 razdiobu. Funkcija vjerojatnosti tada je dana izrazom: 1 p ( x) = ( y y0 ) 1 e ( ) y y0

, y0 < y <

gdje je: y = ln x (x-varijabla) () kompletna gama funkcija Primjer prorauna maksimalnih protoka razliitih povratnih razdoblja prema razliitim raspodjelama dani su u poglavlju 5 ovog rada.4.3. Testiranje dobrote prilagoavanja funkcija raspodjele

Koji se od zakona raspodjele najbolje prilagoava opaenim vrijednostima, moe se utvrditi usporedbom parametara raspodjele, a kao inicijalna informacija i grafiki - nanoenjem na dijagram vjerojatnosti. Kada grafika metoda ne daje sigurnu smjernicu za izbor zakona razdiobe, potrebno je izvriti razdiobu po vie zakona i odabrati onu funkciju raspodjele koja testiranjem pokae najbolju prilagodbu. Testiranje dobrote prilagoavanja teorijskih funkcija raspodjele provodi se nekim od standardnih testova npr. HI kvadrat testom ( 2) ili Kolmogorov Smirnovljev testom kada se raspolae sa uzorkom iji je opseg mali.4.3.1. HI -kvadrat test

Za ispitivanje istinitosti pretpostavke hipoteze H o funkciji raspodjele osnovnog skupa primjenjuje se 2 - test na osnovu uzoraka (Hrelja, 2000.). Neka je iz osnovnog skupa sluajno izvuen uzorak od n elemenata x1, x2, , xn koji se grupiraju u k klasa (grupnih razreda) (k < n). Ako se sa fei oznai broj elemenata i-te klase, onda je zbroj svih uestalosti (frekvencija). f e1 + f e 2 + L + f ei + L + f ek = n Ako je n veliki broj, a hipoteza H istinita, moe se oekivati da e se empirijske frekvencije fei podudarati sa teorijskim fti. Izraz: =2 0 i =1 k

(f ei f ti )2f ti

predstavlja mjeru odstupanja empirijskih frekvencija fei od teoretskih fti. to su odstupanja 2 manja, to je i 0 manji.2 Moe se pokazati da sluajna promjenljiva 0 pripada 2 raspodjeli sa = k - - 1

stupnjeva slobode. U izrazu (k) je broj klasa u koje se grupiraju elementi uzorka, a broj

parametara testirane teorijske funkcije raspodjele vjerojatnosti koji se ocjenjuju na osnovu uzorka. Ne uputajui se u matematika objanjenja, broj stupnjeva slobode je za: uzorak od k klasa = k -1 binomnu raspodjelu = k- 2; ( = 1) Poasonovu raspodjelu = k- 2; ( = 1) Normalnu raspodjelu = k- 3; ( = 2) Gumbelovu raspodjelu = k- 3; ( = 2) Pearson 3 raspodjelu = k- 4; ( = 3)

gdje je (k) - broj klasa u koje se grupiraju elementi uzorka.2 2 Za hipotezu je povoljno da je 0 to manje, tj. da je vjerojatnost za 2 > 0 to vea. Ova se2 vjerojatnost izraava povrinom ispod krivulje 2 -kvadrat raspodjele u intervalu ( 0 ,+ ):

P > 2

(

2 0

) = ( )d22 0

2

2 = 0

( )

2 Ako je ( 0 ) > 0,05 = 5% (prag znaajnosti), moe se sigurno zakljuiti da izmeu empirijskih i teorijskih frekvencija razlike nisu prevelike tj. da je hipoteza H tona. To znai da je2 P 2 < 0 < 95%

[

]

2 tj. dobiveni 0 nalazi se u intervalu koji kod normalne funkcije raspodjele odgovara

odstupanju koje nije vee od 2 , a to se u statistici tolerira, jer 2 -kvadrat raspodjela tei normalnoj raspodjeli kada n , tj. uzorak mora biti veliki. Drugim rijeima, ako su razlike (fei-fti) velike, bie veliko i 2 . Uzima se da je 2 preveliko da bi se moglo pripisati sluaju ako padne izvan podruja prihvaanja hipoteze Ho. Nulta hipoteza Ho je ovdje definirana kao tvrdnja (pretpostavka) da uzorak slijedi odreenu teorijsku funkciju raspodjele.

PODRUJE PRIHVAANJA

KRITINO PODRUJE

H0

PODRUJE ODBACIVANJA

H0

Slika 3:

Podruje prihvaanja i odbacivanja hipoteze

Prema tome, ako dobivena vrijednost za 2 i padne u kritino podruje testa, hipoteza Ho se odbacuje (slika 3). Moe se napisati slijedea relacija:2 P 2 > 1 = 2 gdje interval ( 1 , + ) predstavlja podruje odbacivanja hipoteze Ho, odnosno:2 P 2 < 1 = 1

[

]

[

]

2 gdje je interval (0, 1 ) podruje prihvaanja hipoteze Ho.2 1 je dakle kritina vrijednost testa. Kao sto je to ve napomenuto u ovom poglavlju, u hidrolokim statistikim primjenama se obino koristi = 0,05 (5 %).

U mnogim statistikim udbenicima postoje tablice u kojima su obino dane vrijednosti promjenljive 2 za zadatu vjerojatnost F( 2 ) ili ( 2 ) i broj stupnjevi slobode . Postupak prorauna je slijedei: 1. n podataka sluajne promjenljive grupira se u k klasa (grupnih razreda), tako da svaka klasa sadri najmanje 5 podataka i odrede empirijske frekvencije fei (broj pojavljivanja) razmatrane sluajne promjenljive u danoj klasi. To se moe odrediti grafiki na dijagramu vjerojatnosti (slika 4), tako da se u svakoj klasi prebroji broj toaka (realizacija) koje predstavljaju empirijske frekvencije fei (i = 1, 2, 3, ..., k). f e1 = n x / x x 1 f ei = n x / x i 1 x < x iM f ek = n x / x x k 1 M

Slika 4 :

Grafiki dijagram vjerojatnosti

2. Izraunavaju se teorijske frekvencije fti, za svaku klasu, koja zapravo predstavlja oekivani broj elemenata uzorka u svakoj klasi. Ona se moe izraunati preko testirane teorijske funkcije gustoe raspodjele vjerojatnosti f(x) kao: f ti = n f ( x )dxx i 1 xi

gdje su xi-1 i xi donja i gornja granica i - te klase. Obzirom da se u praksi obino raunaju i crtaju kumulativne funkcije raspodjele vjerojatnosti F(x), onda se teorijske frekvencije raunaju kao: f ti = n[F( x i ) F( x i 1 )] 3. Za svaku od klasa izraunava se veliina (fei -fti )2/fti , odnosno suma svih veliina za sve klase2 0 = i =1 k

(f ei f ti )2f ti

2 ( )

4. Ovisno od testirane funkcije raspodjele vjerojatnosti rauna se broj stupnjeva slobode = k - - 1, te za odabrani prag znaajnosti , iz tabela za 2 raspodjelu odreuje2 kritina vrijednost testa, odnosno 1 .

5. Ako je2 2 2 1 0 , 0 ne pada u kritino podruje testa pa se hipoteza Ho (tvrdnja da uzorak slijedi testiranu teorijsku raspodjelu) prihvaa, odnosno na razmatrani uzorak se moe dobro prilagoditi pretpostavljena teorijska funkcija raspodjele sa rizikom a,

2 2 2 1 0 , 0 pada u kritino podruje testa pa se hipoteza Ho odbacuje, odnosno na razmatrani uzorak se ne moe dobro prilagoditi pretpostavljena teorijska funkcija raspodjele.

4.3.2. Kolmogorov-Smirovljev test

Drugi tip neparametarskog testa suglasnosti empirijske funkcije raspodjele Fe(x) i teorijske funkcije raspodjele Ft(x) koji se esto koristi u hidrolokim analizama zove se KolmogorovSmirnovljev test. Prethodno je razmatran 2 - test dobrote prilagoavanja pri emu su brojne vrijednosti sluajne promjenljive X bile razvrstane u k intervala (klasa). esto se raspolae uzorkom iji je opseg mali, pa je praktino nemogue nainiti takve intervale koji bi zadovoljavali sve potrebne uvjete za primjenu 2 - testa dobrote prilagoavanja. U tim sluajevima primjenjuje se Kolmogorov - Smirnovljev test dobrote prilagoavanja (u daljem tekstu test Kolmogorova). Kod primjene ovog testa ne gubi se informacija o svakom pojedinanom lanu uzorka kao to se ini pri razvrstavanju podataka u klasne intervale.

Najkrae reeno, test se zasniva na provjeri da li je maksimalna razlika, ili maksimalno odstupanje izmeu empirijske funkcije raspodjele Fe(x) i teorijske funkcije raspodjele Ft(x) dovoljno malo (naravno uz prihvatljiv stupanj rizika ), to implicira da se teorijska funkcija raspodjele Ft(x) dobro prilagoava uzorku sluajne promjenljive pa se prihvata nulta hipoteza Ho. Pri tome nulta hipoteza Ho tvrdi da uzorak opseg n sa empirijskom funkcijom raspodjele Fe(x) pripada populaciji ija je neprekidna funkcija raspodjele Ft(x). Ukoliko to nije sluaj, tj. ako je ta razlika previe velika, tada se prihvaa alternativna hipoteza Ha, sto znai da se teorijska funkcija raspodjele Ft(x) ne prilagoava danom uzorku sluajne promjenljive. U tom sluaju moe se, kao jedno od rjeenja, konstruirati neki drugi tip teorijske funkcije raspodjele, pa itav postupak testiranja ponoviti. Kriterij suglasnosti kod testa Kolmogorova ne ovisi o broju parametara koji definiraju testiranu teorijsku funkciju raspodjele vjerojatnosti. Ovaj test u stvari, implicitno pretpostavlja da su poznati raspodjela populacije sluajne promjenljive X i numerike vrijednosti njenih parametara. Kako to kod hidrolokih sluajnih promjenljivih nije sluaj, ova okolnost ograniava primjenu testa Kolmogorova u hidrologiji. Kao mjeru odstupanja empirijske funkcije raspodjele Fe(x), od usvojene teorijske funkcije raspodjele Ft(x), Kolmogorov uzima najveu apsolutnu razliku izmeu empirijske i teorijske funkcije raspodjele vjerojatnosti:D n = max Fe ( x i ) Ft ( x i ) i = 1,2, K , n < x <

Raspodjela veliine Dn, ako je ispunjena hipoteza Ho (uzorak opsega n sa empirijskom funkcijom raspodjele Fe(x) pripada populaciji ija je neprekidna funkcija raspodjele Ft(x), i pri dovoljno velikom opsegu uzorka, ne ovisi od oblika funkcije Ft(x) populacije kojoj pripada uzorak /8, 19/. U teoriji statistike (prema Kolmogorovu) postoji teorem da vjerojatnosti sluajne promjenljive D n n nee biti vea od zadanog broja A, tj. ima graninu funkciju raspodjele

(

)

lim Fn () = lim P D n n = F( )n n

(

)

ili lim Fn () = lim P D n = F( ) n n n za svako > 0 , iF( ) =

k =

( 1) ek

2 k 2 2

Kod praktinog rada, testiranja suglasnosti empirijske i teorijske funkcije raspodjele obina se usporeuju vrijednosti Dn = / n i kritina vrijednost D0 = 0 / n tako da je:

P[max Fe ( x ) Ft ( x ) D 0 ] = ili P[D n D 0 ] =

Odnosno, moe se pisati: P[D n D 0 ] = P[D n D1 ] = 1 gdje je podruje prihvaanja nulte hipoteze H0 (D n D1 ) , a kritino podruje (Dn > D1 ) , odnosno podruje prihvaanja hipoteze Ha.

Slika 5:

Podruje prihvaanja i odbacivanja hipoteze

Kada je P[D n D1 ] = 1 , odnosno prihvaa se hipoteza Ho, to implicira da je najvea razlika Dn relativno mala jer je manja od neke kritine vrijednosti Do = D1 za koeficijent rizika = 5% (1,2, 10, ...) (slika 5). Kada je P[D n D1 ] = , odnosno prihvaa se hipoteza Ha, to implicira da je najvea razlika Dn relativno velika budui je vea od neke kritine vrijednosti Do = D1 sa koeficijentom rizika , pa se zakljuuje da se sluajna promjenljiva nedovoljno dobro prilagoava pretpostavljenoj teorijskoj funkciji raspodjele vjerojatnosti Ft(x). U mnogim statistikim udbenicima postoje tablice u kojima su obino dane vrijednosti Do = D1 u funkciji opsega uzorka n. Postupak prorauna, kod testiranja hipoteze Ho (uzorak opsega/duine n sa empirijskom funkcijom raspodjele Fe(x) pripada populaciji ija je neprekidna funkcija raspodjele vjerojatnosti Ft(x), je slijedea: 1. Za niz podataka sluajne promjenljive za svaki lan niza izraunaju se vrijednosti empirijskih vjerojatnosti pojave:0, x < x1 Fe( x ) = Pm , x x m 1, x x n

gdje je m = 1, 2, ..., n rang vrijednosti X, a Pm se rauna prema jednom od obrazaca za empirijsku vjerojatnost. 2. Za svaki lan niza izraunaju se vrijednosti teorijskih vjerojatnosti

Ft ( x ) = P[X x ] ili t ( x ) = P[X x ] , ovisno o tome koja empirijska vjerojatnost je raunata u toki 1. (Fe(t) ili e(x)), odnosno ovisno o tome da li je uzorak ureen tako da se dobije niz kod kojeg vrijednosti elemenata rastu ili opadaju. 3. Za svaki lan niza odrediti apsolutnu vrijednost razlike Fe ( x i ) Ft ( x i ) . 4. Maksimalna vrijednost razlike, tj. statistika Dn = max Fe ( x i ) Ft ( x i ) , usporeuje se sa kritinom vrijednou Do = D1 koja se bira iz tablica za Do za usvojeni prag znaajnosti (signifikantnosti) . 5. Ako je Do = D1 Dn, Dn ne pada u kritino podruje testa, pa se hipoteza Ho (tvrdnja da uzorak slijedi testiranu teorijsku funkciju raspodjele) prihvaa, odnosno na razmatrani uzorak se moe dobro prilagoditi pretpostavljena teorijska funkcija raspodjele sa rizikom , Do = D1 Dn, Dn pada u kritino podruje testa pa se hipoteza Ho odbacuje, odnosno na razmatrani uzorak se ne moe dobro prilagoditi pretpostavljena teorijska funkcija raspodjele.

5.

PRIMJER PRORAUNA VELIKIH VODA PRIMJENOM STATISTIKIHMETODA

Kao to je ve ranije reeno, proraun (procjena) velikih voda primjenom statistikih metoda predstavlja postupak odreivanja mjerodavne funkcije raspodjele na temelju ulaznih podataka dobivenih hidrolokim motrenjima i mjerenjima. Funkcija raspodjele predstavlja nain na koji su uestalosti lanova neke cjeline raspodijeljene prema vrijednostima varijabli koje prikazuju. Nastavno je prikazan primjer prorauna velikih voda primjenom statistikih metoda pri procjeni kapaciteta poniranja Stajnikog polja. Ulazni podaci formirani su na osnovu dinamike promjene volumena vode u ponorskoj zoni i mjerenih (ili u nekim situacijama procijenjenih) dotoka u retencijski prostor ponorske zone. Tako formirani nizovi podataka su ujedno dokaz da analizirani lanovi ne moraju biti izravno opaene veliine, ve i veliine koje su provedenim analizama izvedene iz nekih drugih opaenih veliina (u danom sluaju na osnovu opaanja vodostaja i mjerenja (ili procjene) dotoka). Za proraun velikih voda na raspolaganju je bio 17 godinji niz osmatranja razine vode u Stajnikom polju. Na osnovu tih osmatranja i na osnovu analize promjene dinamike volumena polja odreene su vrijednosti maksimalnih srednje dnevnih protoka (tablica 2). Sve potrebne tablice za provedeni proraun dane su u knjizi (ugaj, 2000.).

Tablica 2:

Osnovni podaci za statistiku analizuGodina 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1989 1990 1991 1992 1993 1997 1998 Qmax ( m/s ) 20,3 20,8 8,7 18,9 20,1 26,0 19,3 16,7 12,3 33,2 12,2 5,7 11,7 13,8 8,2 8,3 8,2 Padajui niz 33,2 26,0 20,8 20,3 20,1 19,3 18,9 16,7 13,8 12,3 12,2 11,7 8,7 8,3 8,2 8,2 5,7

Na osnovu prikazanog niza maksimalnih godinjih vrijednosti dotoka u Stajniko polje, tj. komponente dotoka koja se retencionirala u samome polju, proveden je proraun - procjena maksimalnih vrijednosti tih protoka statistikom metodom.5.1. Empirijska funkcija vjerojatnosti

Maksimalne su godinje protoke poredane po veliini i definirana je empirijska vjerojatnost pojavljivanja svakog pojedinog lana. U analiziranom sluaju usvojena je vjerojatnost pojavljivanja po egodajevu: N + 0,4 m 0,3 gdje su: P.P. povratni period N broj lanova niza m redni broj lana u nizu Prema tome, vjerojatnost pojavljivanja prvog lana (najvee maksimalne godinje protoke) u razmatranom nizu iznosi: m 0,3 1 0,3 = = 0,04 = 4,0 % N + 0,4 17 + 0,4 Vjerojatnost pojavljivanja drugog lana niza: p= 2 0,3 = 0,098 = 9,8 % 17 + 0,4 lanovi niza s odgovarajuim vjerojatnostima pojavljivanja prikazani su u tablici 3, a i grafiki na slici 3. p=

P.P. =

Tablica 3:Redni broj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Vjerojatnost pojavljivanja lanova promatranog nizaQmax ( m/s ) 33,2 26,0 20,8 20,3 20,1 19,3 18,9 16,7 13,8 12,3 12,2 11,7 8,7 8,3 8,2 8,2 5,7 Povratni period 24,9 10,2 6,4 4,7 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 Vjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 4,0 9,8 15,5 21,3 27,0 32,8 38,5 44,3 50,0 55,7 61,5 67,2 73,0 78,7 84,5 90,2 96,0

5.2.

dreivanje osnovnih statistikih parametara

Prije nego se pristupi izraunavanju maksimalnih godinjih protoka razliitih povratnih razdoblja prema krivuljama raspodjele, potrebno je iz analiziranog statistikog niza podataka odrediti osnovne statistike parametre, a to su: aritmetika sredina x , standardna devijacija , koeficijent varijacije cv i koeficijent asimetrije cs. Dobivene su slijedee vrijednosti: aritmetika sredina1 n x i = 15,6 m 3 / s n i =1 gdje su: n broj lanova niza xi i - ti lan niza x=

standardna devijacija = koeficijent varijacijeCv =

(xi =1

n

i

x)

2

n = 0,46 x

= 7,12 m3/s

koeficijent asimetrije

cs =

m3 = 0,73 31 n 3 (x i x ) n i =1

gdje je m3 moment treeg reda: m 3 =

Raunajui relativna srednja kvadratna odstupanja statistikih parametara (greke procjene) dolo se do zakljuka da su odstupanja za srednju vrijednost i za koeficijent asimetrije daleko vea od dozvoljenih, dok se za koeficijent varijacije nalaze u granicama dozvoljenih vrijednosti. Takvi rezultati zbog relativno kratkog niza (n = 17) nisu neoekivani, meutim

postupak prorauna je imao za svrhu prikazati nain odreivanja velikih voda primjenom statistikih metoda, pa je proveden do kraja bez obzira na uoena ogranienja.5.3. Proraun vjerojatnosti pojave velikih voda izborom nekoliko teorijskih funkcija raspodjele

Proraun velikih voda, odnosno njihova procjena, provedena je koritenjem uobiajenih nesimetrinih krivulja raspodjele (Gumbel, Pearson 3, Log Pearson 3, Galton), a radi usporedbe i Gaussovom simetrinom raspodjelom.5.3.1. Gaussova raspodjela

Veliine protoka velikih voda razliitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se iz izraza: Qmax = x + z Prikaz dobivenih rezultata dan je u tablici 4.Procjena maksimalnih godinjih protoka razliitih povratnih razdoblja prema Gaussovoj krivulji raspodjeleVjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 1 2 4 10 20 50 z 2,326 2,054 1,752 1,281 0,842 0 z 16,6 14,6 12,5 9,1 6,0 0 Qmax ( m/s ) 32,1 30,2 28,0 24,7 21,5 15,6

Tablica 4:Povratno razdoblje ( god. ) 100 50 25 10 5 2

5.3.2. Gumbelova raspodjela

Veliine protoka velikih voda razliitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se iz izraza: Qmax = Qm + z Qmax = Qm + z *1 a 1 a

gdje su: Qm mod Gumbelove krivulje: Qm = x 0,577 1 1 parametar Gumbelove raspodjele: = 0,78 a a

Prikaz dobivenih rezultata dan je u tablici 5.

Tablica 5:Povratno razdoblje ( god. ) 100 50 25 10 5 2

Procjena maksimalnih godinjih protoka razliitih povratnih razdoblja prema Gumbelovoj krivulji raspodjeleVjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 1 2 4 10 20 50 z 4,6 3,91 3,2 2,25 1,5 0,37 z1/a 25,5 21,7 17,8 12,5 8,3 2,1 Qmax ( m/s ) 37,9 34,1 30,1 24,8 20,7 14,4

5.3.3. Pearson 3 raspodjela

Veliine protoka velikih voda razliitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se iz izraza:Qmax = (cv * + 1) x

gdje je funkcija definirana kao: = f ( cs , p ) ; vrijednosti funkcije za razliite vjerojatnosti pojavljivanja p i razliite koeficijente asimetrije cs odreujemo iz Foster Ribkinovih tablica. Prikaz dobivenih rezultata dan je u tablici 6.Procjena maksimalnih godinjih protoka razliitih povratnih razdoblja prema raspodjeli Pearson 3Vjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 1 2 4 10 20 50 2,84 2,42 1,98 1,34 0,79 - 0,1 Qmax ( m/s ) 35,8 32,8 29,7 25,1 21,2 14,8

Tablica 6:Povratno razdoblje ( god. ) 100 50 25 10 5 2

5.3.4. Logaritamska Pearson 3 raspodjela

Kod ove raspodjele primjenjuje se logaritamska transformacija sluajne promjenjive varijable, pa su oznake za raspodjelu i njihove veliine slijedee: logaritam maksimalne protoke aritmetika sredina logaritama niza log Qmax q = log Qmaxq= 1 n q = 1,15 n i =1

standardna devijacija logaritama

=

(q q )i =1

n

2

n

= 0,2

koeficijent varijacije

cv =

= 0,1 q

m3 = 0,18 3 1 n 3 gdje je m3 moment treeg reda: m 3 = (q i q ) n i =1 Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka razliita reda pojave dobiju se prema izrazu:koeficijent asimetrije

cs =

q max = (cv * + 1)q

Veliine maksimalnih protoka velikih voda razliitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se anti-logaritmiranjem vrijednosti logaritama maksimalnih protoka, tj. iz izraza:Qmax = 10 qmax Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka prikazane su u tablici 7, a vrijednosti maksimalnih protoka velikih voda za razliita povratna razdoblja u tablici 8.

Tablica 7:

Vrijednosti logaritama maksimalnih protokaGodina 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1989 1990 1991 1992 1993 1997 1998 Qmax ( m/s ) 20,3 20,8 8,7 18,9 20,1 26,0 19,3 16,7 12,3 33,2 12,2 5,7 11,7 13,8 8,2 8,3 8,2 Log Q 1,31 1,32 0,94 1,28 1,30 1,41 1,29 1,22 1,09 1,52 1,08 0,76 1,07 1,14 0,91 0,92 0,91

Tablica 8:

Procjena maksimalnih godinjih protoka razliitih povratnih razdoblja prema logaritamskoj - Pearson 3 raspodjeliVjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 1 2 4 10 20 50 2,26 2,01 1,71 1,27 0,85 0,02 qmax 1,6 1,6 1,5 1,4 1,3 1,1 Qmax ( m/s ) 40,2 35,8 31,1 25,3 20,8 14,1

Povratno razdoblje ( god. ) 100 50 25 10 5 2

5.3.5. Logaritamska normalna ( Galtonova ) raspodjela

Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka razliita reda pojave dobiju se prema izrazu:q max = q + z

Veliine maksimalnih protoka velikih voda razliitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se anti-logaritmiranjem vrijednosti logaritama maksimalnih protoka, tj. iz izraza: Qmax = 10 q max Vrijednosti maksimalnih protoka velikih voda za razliita povratna razdoblja prikazani su u tablici 9.Tablica 9:Povratno razdoblje ( god. ) 100 50 25 10 5 2

Procjena maksimalnih godinjih protoka razliitih povratnih razdoblja prema log normalnoj ( Galtonovoj ) raspodjeliVjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 1 2 4 10 20 50 z 2,326 2,054 1,752 1,281 0,842 0 qmax 1,6 1,6 1,5 1,4 1,3 1,1 Qmax ( m/s ) 41,5 36,6 31,7 25,5 20,7 14,0

5.3.6. Usporedba dobivenih rezultata

U tablici 10 su radi usporedbe prikazane vrijednosti maksimalnih protoka za razliita povratna razdoblja dobivene odabirom razliitih krivulja raspodjele.Usporedna tablica dobivenih rezultata maksimalnih protoka za razliita povratna razdoblja, te za razliite krivulje raspodjeleVjerojatnost pojavljivanja p ( % ) 1 2 4 10 20 50 Gauss ( m/s ) 32,1 30,2 28,0 24,7 21,5 15,6 Gumbel ( m/s ) 37,9 34,1 30,1 24,8 20,7 14,4 Pearson 3 ( m/s ) 35,8 32,8 29,7 25,1 21,2 14,8 Log Pearson 3 ( m/s ) 40,2 35,8 31,1 25,3 20,8 14,1 Galton ( m/s ) 41,5 36,6 31,7 25,5 20,7 14,0

Tablica 10:

Povratno razdoblje ( god. ) 100 50 25 10 5 2

Na slici 6 su grafiki prikazani dobiveni rezultati za razliite krivulje raspodjele, te lanovi opaenog poetnog niza s odgovarajuim vjerojatnostima pojavljivanja.

40,0

Q ( m/s )

Galton Log.- Pearson 3

35,0

Gumbel Pearson 3

30,0

Gauss25,0

20,0

15,0

p(%)10,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Slika 6: 5.4.

Grafiki prikaz dobivenih rezultata

Komentar rezultata statistikih analiza

Iz slike 6 je vidljivo da se ulaznim podacima najbolje prilagodila Galtonova raspodjela funkcije vjerojatnosti, posebno u domeni rijetkih dogaaja koja nam je i najinteresantnija pri analizi pojava velikih voda malih vjerojatnosti pojave. Odluka o mjerodavnoj raspodjeli moe se temeljiti i na primjeni ranije spomenutih testova (poglavlje 4.3), kojima se ispituje prilagodljivost teorijskih raspodjela ulaznim izraunskim podacima. Za analizirani je sluaj koriten Kolmogorov-Smirnovljev test. Mjera odstupanja DN empirijske raspodjele, odnosno raspodjele ulaznih podataka, od teorijske raspodjele je najvea razlika izmeu empirijske i teorijske raspodjele. Za analizirane krivulje raspodjele dobivene su slijedee vrijednosti DN : DN = 15,7 % DN = 11,1 % DN = 10,8 % DN = 11,6 % DN = 12,7 % ili ili ili ili ili DN = 0,157 DN = 0,111 DN = 0,108 DN = 0,116 DN = 0,127 za Gaussovu raspodjelu za Gumbelovu raspodjelu za Pearson 3 raspodjelu za logaritamsku Pearson 3 raspodjelu za Galtonovu raspodjelu

Tablica 11:n

Kritine vrijednosti Do testa A. N. Kolmogorova za razliite brojeve lanova niza n kod razine povjerenja = 0,05 uobiajene u5 0,56 10 0,41 15 0,34 20 0,29 25 0,27 30 0,24 35 0,23 40 0,21 45 0,2 50 0,19 n > 50 1,36 / n

Do

Za razinu povjerenja = 0,05 ( 5 % ) za razliiti broj lanova niza n dane su u tablici 11 kritine vrijednosti Do. Najvea razlika DN se usporeuje s kritinom vrijednou Do , koja se uzima iz tablice br.32 u skladu s usvojenom razinom povjerenja i na temelju broja lanova niza n. Kritina vrijednost za niz od 17 lanova je Do = 0,32, pa po tom kriteriju svih pet raspodjela zadovoljavaju. No ipak, najbolju prilagodbu ulaznim podacima ima Galtonova raspodjela. Radi usporedbe, prilagodljivost teorijskih raspodjela ispitana je i programom DIST preuzetim od Dravnog hidrometeorolokog zavoda koji ima ugraen Smirnov Kolmogorovljev test (SK test), koji je neto kompliciranija verzija prethodnog Kolmogorovljevog testa. Dobiveni rezultati pokazali su da su sve raspodjele statistiki vrlo dobre, imaju prilagodbu blizu 100 %, no to je vjerojatno numerika posljedica malog broja lanova raspoloivog niza, a ne stvarno dobre prilagodbe. Prema provedenom proraunu najbolje prilagodljiva funkcija raspodjele je Pearson 3 (99,66 %), za koju je i mjera odstupanja D najmanja 9.84 %. No ipak je kao mjerodavnu funkciju raspodjele odabrana Galtonovu funkciju jer je kod nje odstupanje kod empirijskih i proraunatih vjerojatnosti kod najvee vrijednosti protoke najmanje, pa smo svakako na strani vee sigurnosti.6. REGIONALIZACIJA VELIKIH VODA

Regionalna analiza je produbljivanje rezultata provedenih obrada i analiza podataka o nekoj regiji (podruju) dobivenih motrenjem i mjerenjem (ugaj, 2003.). Cilj regionalizacije velikih voda je da se na osnovu tokastih podataka, izvedenih na osnovu analize vjerojatnosti mjerenih hidrolokih podataka za odreene lokacije, dobiju ire zakonitosti koje bi se mogle generalizirati na neko ire podruje, te tako dobiti opu informaciju o karakteru pojava velikih voda i za lokacije bez raspoloivih mjerenih podataka. U regionalnim hidrolokim analizama do izraaja dolaze sva tri hidroloka usmjerenja: opisna hidrologija u prouavanju osnovnih hidrolokih znaajki, znanstvena hidrologija u analizama i izvoenju odgovarajuih pravila i zakonitosti, te korisnika hidrologija u primjeni tih zakonitosti u inenjerskoj praksi. Primjenom regionalnih analiza u inenjerskoj su hidrologiji obuhvaena ispitivanja hidrolokih pojava s dva osnovna cilja: 1. definiranje matematikih izraza koji se mogu koristiti unutar razmatrane regije. Tu su obuhvaene informacije dovoljno dugih nizova izmjerenih hidrolokih veliina, tako da su one dovoljno pouzdane za koritenje na susjednim slivnim podrujima s kraim razdobljima opaanja ili na kojima motrenja i mjerenja hidrolokih veliina uope nema; 2. izvoenje iskustvenih (parametarskih) izraza primjenjivih za ira geografska podruja sa slinim glavnim karakteristikama otjecanja vode. U tu se svrhu primjenjuju korelacije uz koritenje vjerojatnosti i statistike, ukljuivo sa sloenom vjerojatnou i analizom uestalosti.

Prema tome, regionalne analize hidrolokih parametara dio su suvremenih usmjeravanja u hidrologiji, koja pokazuju veliku povezanost s trendovima u vodnom gospodarstvu, odnosno vienamjenskom gospodarenju vodama. Prve su regionalnih zakonitosti za slivove u Hrvatskoj (D. Srebrenovi, 1970.) provedene za prosjena godinja otjecanja, a kasnije ih je analizirao i ugaj (1995). Nakon toga Trnini je (1997. i 1998.) izradio regionalnu analizu malih voda u Hrvatskoj. Kao primjer rezultata najnovijih regionalnih hidrolokih istraivanja velikih voda navodi se rad (Biondi i dr., 2002.), gdje su proraunate maksimalne specifine dotoke sa sliva Dunava u Hrvatskoj. Obraeni su podaci iz BHP-a prikupljeni na 100 hidrolokih profila i na osnovu njih su definirane teorijske gornje anvelopne krivulje prema Creageru i Francou-Rodieru. Rezultati takvih regionalnih zakonitosti, osim za ekstrapolaciju saznanja o velikim vodama s pojedinih hidrolokih profila na ira podruja, slue i za naelnu ocjenu prihvatljivosti provedenih hidrolokih prorauna vjerojatnosti pojave s neke postaje iju smo obradu izvrili. Naime, ukoliko rezultati obrada podataka s takve postaje bitnije odstupaju od regionalnih ovisnosti, ili pak od regionalno izvedenih anvelopa, nuno je izvriti dodatne provjere nizova hidrolokih podataka o velikim vodama s kojima smo uli u proraun, kao i sam proraun vjerojatnosti. Suvremeni pristupi obradama velikih voda podrazumijevaju koritenje ne samo osnovnih stohastikih postupaka i analiza vjerojatnosti raspoloivih hidrolokih podataka, kao i njihovu regionalizaciju, ve i koritenje razliitih tipova matematikih modela. Uglavnom se radi o simulacijskim modelima koji pretvaraju oborine u otjecaj, pri emu se koristi daleko vei broj ulaznih nego li kod regionalnih analiza niz klimatolokih podataka, topografske podloge, podloge vezane uz hidrogeoloke znaajke analiziranog podruja, karte pokrovnosti, pa i karte daljninskih snimaka (radarske, aviofotogrametrijske, satelitske ...). Takvi modeli u danom radu takoer nisu posebno analizirani ve su predmet obrada dvaju drugih radova u okviru ovoga seminara i to u radovima Suvremeni sustavi predvianja poplavnih valova (Dedu) i Mike Basin( ajavec).6. 7.1. HIDROLOKI PRORAUNI VELIKIH VODA UNUTAR HIDROMELIORACIJSKIH SUSTAVA Uvodno

Melioracijske povrine, odnosno odvodnja povrinskih voda sa njih je specifina jer su to zapravo mali slivovi s izuzetno malim padom, ali s relativno velikim volumenom. Hidromelioracijski su sustavi najee, ili gotovo u cijelosti, locirani na ravniarskim podrujima te stoga odvodnu kanalsku mreu karakteriziraju, kako je ve reeno, mali padovi, te uslijed toga i relativno velike dimenzije kanala. Jedna od njihovih znaajki je i da su, u hidrolokom pogledu, to uglavnom podruja bez hidrolokih osmatranja koja bi nam na standardan nain mogla posluiti za procjenu velikih voda. Hidroloka motrenja, ako i postoje, su vie orijentirana na praenja razina voda u kanalskoj mrei, ili se pak npr. radi o volumskim praenjima crpljenih koliina voda. Zbog toga e projektanti odvodnje takvih sustava vrlo rijetko doi u priliku da raspolau s podacima o mjerenim protokama velikih voda na koje e moi primijeniti prethodno opisane metode analiza vjerojatnosti pojave velikih voda, ve e uglavnom morati koristiti parametarske metode hidrolokih prorauna. Poseban su sluaj hidromelioracijskih podruja na kojima nije mogua gravitacijska

odvodnja, pa je u tom sluaju potrebno provesti i hidroloki proraun vezan uz dimenzioniranje crpnih postaja. Prema Z. Srebrenoviu (1985.) lokacije melioracijskih podruja koje zahtijevaju mehaniku odvodnju obino zauzimaju nizine uz morsko ili jezersko vodno prostranstvo, ua rijeka, aluvijalne nizine velikih rijeka ili prostrane glacijalne povrine gdje je gravitacijska odvodnja neadekvatna ili nemogua. Katkada, je odvodnja crpljenjem praktinija od poboljanja i adaptiranja postojeeg gravitacijskog sustava, zbog tekoa u njegovoj realizaciji, visokih trokova izgradnje i potrebe sta1nog odravanja odvodnog sustava. Obino je mehanika odvodnja nuna samo u kratkim intervalima vremena kada nastupaju sezonski visoki podzemni i/ili povrinski vodni nivoi na podruju evakuacije voda ili visoki vodostaji uzrokovani povodnjima u vanjskom vodnom reimu. Stoga je u nas najea uporaba kombiniranog gravitacijsko-mehanikog evakuiranja vode iz melioracijskog sustava. U nekim se sluajevima primjena mehanike odvodnje moe postupno planirati i realizirati, ako se u poprenom smjeru rijene doline sukcesivno proteu povrine pokrivene travnatim kulturama ili panjacima na koje se nadovezuju visokovrijedne ku1ture, te urbane ili industrijske aglomeracije, koje se radi zatite od poplava postupno zatvaraju nasipima. Takoer, potreba za mehanikom odvodnjom na postojeim gravitacijskim odvodnim sustavima moe postati poeljna ili ak neophodna kao rezultat smanjenja prirodnih poplavnih povrina na slivu. Time se poveava uestalost pojava i trajanje povodanja, a u skladu s tim se poveavaju i razdoblja zaustavljanja gravitacijske odvodnje. Da bi se smanjio kapacitet crpke, poveala efikasnost mehanike odvodnje, snizili trokovi izgradnje i odravanja pogona nuno je odvojiti sve povrine koje se mogu gravitacijski drenirati od podruja koja su namijenjena crpljenju. Gdje ovo zoniranje terena odvodnje nije mogue, to je u nas vrlo esto, povrinsko otjecanje, koje se javlja u fazi niskih vanjskih vodostaja, mora se odvesti gravitacijski kroz ustave u zatitnom nasipu odvodnjavane povrine, tako dugo dok to dozvoljavaju razine vanjskog reima. Dimenzije glavnog kanala moraju, po mogunosti, biti takve da se njegov kapacitet moe odravati to vie konstantnijom promjenom vodostaja kod crpne stanice. Oito je da kapacitet kanala koji vodi ka crpnoj stanici mora odgovarati potrebama crpke, a maksimalne brzine, koje se javljaju nastupanjem najnie razine kod crpne stanice (razina prestanka rada crpke), ne smiju ugroavati njegovu stabilnost. U nastavku je dan prikaz nekoliko u naoj praksi najee koritenih postupaka odreivanja maksimalnih protoka hidromelioracijskih sustava.7.2. Proraun maksimalnih protoka melioracijskih podruja po D. Srebrenoviu (1970.)

Proraun maksimalnih protoka na melioracijskim podrujima iziskuje poseban metodoloki pristup. Poseban zbog toga to se ovdje javljaju neke nove znaajke povrinskog otjecanja koje imaju presudno znaenje. One su uvjetovane oblikovanjem, ureenjem melioracijske povrine, a daju se kao postulati temeljeni na ekonomskim aspektima. Rije je o gustoi detaljne kanalske mree, sistematizaciji tabele za odvodnju i njenom padu prema sabirnim kanalima. Sve se to u krajnjoj liniji moe, po Srebrenoviu (1970), predstaviti parametrom: duina dopustivog plavljenja nakon prestanka jake kie, ime je vrijeme koncentracije voda do prvog sabirnog kanala donekle odreeno. To je ono vrijeme sakupljanja ( 1 ,) koje se moe odrediti preko egzaktnih hidraulikih postavki.

Na melioracijskim podrujima uobiajeno je raunati sa 96%-tnim sigurnosti zatite od poplava, to znai da se uzima kao mjerodavna za proraun 25-godinja velika voda. U tom e sluaju izraz koji utvruje kine intenzitete u relaciji s trajanjem kie biti: 52.42 H i= mm / sat t 0.76 Koeficijent otjecanja , koji je u ovom sluaju zapravo samo ovisan o kinom intenzitetu i intenzitetu upijanja tla u (odreuje se temeljem odgovarajuih pedolokih istranih radova) odreuje se iz: iu = i odnosno: u t 0.76 = 1 0 52.42 H gdje je : u0 - upijanje u mm u prvom satu od poetka kie - eksponent koji ovisi o pedolokim kvalitetama tla Mjerodavni otjecajni koeficijent bit e naravno u sluaju kada je t= , kao to je i mjerodavni kini intenzitet adekvatan toj pojavi. Prema tome e specifini dotok u l/sec/ha s melioracijske povrine u sabirni kanal biti ( s obzirom da se daje intenzitet u mm/sat): 52.42 145.7 q 0 = 2.78 0.76 H = 0.76 H l / sec/ ha 1 1 gdje je: 1 - u satima H - u metrima Jasno se oituje koliko veliko znaenje u formiranju maksimalnih protoka moe imati oblik (irina) parcele i njen pad prema sabirnom kanalu. Kad se zna doputeno vrijeme odvodnje voda T, te ostali ve spomenuti fizikalni imbenici H, u0 i , tada su uz maksimalnu protoku, naravno, povezane i veliine oblika i pada parcele. Dakle, uz prethodni izraz, uz koji je u izvornoj literaturi dan i nomogram, definirani su maksimalni specifini dotoci velikih voda na melioracijskim podrujima. Ti dotoci odgovaraju 25 - godinjem povratnom periodu, a javljaju se na rubu table uz sabirni kanal. Prema tome, samo se sabirni kanali mogu dimenzionirati na te veliine. Meutim, kod odvodnih kanala vieg reda ti su dotoci manji, jer se radi o pojavi preklapanja vodnih valova. Svakako da je ta pojava to vea to je slivna povrina izduenija. Pojavu retardacije moe se rijeiti na isti nain kao i kod malih slivova. Konano melioracijske povrine tj. mali slivovi s izuzetno malim padom, ali s nekim tono odreenim imbenikom, koji doputaju tonije prilaenje rjeavanju povrinske odvodnje. To se konkretno svodi na proraun vremena teenja du glavnih odvodnih recipijenta ( 2 ), da bi se mogao postaviti konani izraz za maksimalnu protoku: F m3/s Qmax = 14,57 H 1 0 , 76 3 1 + 2,6 F S

gdje je: Qmax H 1 F S

-

-

maksimalna protoka povratnog perioda P = 25 god. (m3/s) godinja oborina sliva (m) vrijeme koncentracije (sati) povrina sliva (km2) prosjeni pad sliva (m/km) koeficijent otjecanja

Mora se naglasiti da po ovom izrazu nije uvijek mogue odrediti maksimalni povrinski dotok. U nekim sluajevima, gdje je brzina upijanja velika, potrebno je drugaije prii rjeenju i to uvoenjem dodatnih parametara, a to su kapacitet tla za vodu i vlaga u tlu raunata u trenutku pojave jake kie. Naime, na veoj melioracijskoj povrini dotok u kanal je manji zbog uinka zakanjenja. Zbog toga veliina specifinih dotoka opada s porastom veliine sliva, s umanjenjem pada sliva i s poveanjem izduenja sliva, tako da e vrijeme koncentracije ( ) biti jednako zbroju vremena teenja po melioracijskoj povrini ( 1 ) i vremenu propagacije po koritu ( 2 ).7.3. Proraun maksimalnih protoka po V. T. Chowu (1960) prireeno u Bonacci i Rogli (1985.)

U radu (Bonacci, Rogli, 1985.) je istaknuto da je problem definiranja hidrolokih veliina neophodnih za definiranje i projektiranje objekata odvodnje (kanala, propusta i sl.) na malim slivovima gotovo svakodnevan inenjerski posao. Pod traenom hidrolokom veliinom najee se podrazumijeva protoka vrha hidrograma, a rjee cijeli hidrogram. U okviru rada je detaljno prikazana jedna od metoda iz literature (V.T. Chow, 1960.) koja je smatrana posebno pogodnom kao osnova za dimenzioniranje osnovne kanalske mree povrinske odvodnje, odnosno za manje prirodne slivne povrine na kojima nema nikakve urbanizacije ili industrijske izgradnje. Objanjen je samo mehaniki postupak prorauna i dan numeriki primjer. Metodom se dobiva samo vrh hidrograma izravnog otjecanja, pa je u okviru numerikog primjera razraeno nekoliko moguih postupaka. Istaknute su sljedee faze rada pri definiranju protoke vrha hidrograma, s tim da se prethodno izabere povratni period na koji e se dimenzionirati kanalska mrea: 1. Iz geomehanike i vegetacijske karte odredi se tip tla, vegetacijski pokrov i povrinska obrada tla na analiziranom slivu. 2. Iz toga se prorauna broj kie (N). 3. Izabere se trajanje kie, a budui da se ponavlja postupak s razliitim trajanjima kie, izbor se mora kretati u granicama od 0,5 do 8 vremena koncentracije (pri tome se podrazumijeva da je vrijeme koncentracije vrijeme potrebno da kap vode doe iz najudaljenije toke sliva do izlaznog profila). Tc = 0,268 A0, 612 (sati) 4. Iz ITP (intenzitet trajanje povratni period) krivulje za zadano se trajanje kie oita bruto kia, a zatim odredi efektivna oborina. Time je ujedno definirana i veliina intenziteta efektivne oborine. 5. Na temelju prethodno provedene regionalne analize uzima se vrijednost klimatskog faktora ili se u sluaju da takve analize nema tretira da je klimatski faktor jednak jedinici. 6. Odredi se vrijeme podizanja trenutanog hidrograma. 7. Izrauna se odnos vremena trajanja kie i vremena podizanja trenutanog hidrograma, te se odredi faktor redukcije vrha hidrograma.

8. Na osnovu svega prethodnog definira se maksimalna protoka. Raun se ponavlja za razna trajanja kie pa se tako definira krivulja odnosa protoka i vremena koja ima maksimum u odreenoj toci.Q = A * X * Y * Z * 16,6 (m3/s)

gdje je: A povrina sliva (km2) X intenzitet kie (mm/min) Z - faktor redukcije vrha hidrograma Taj se maksimum izabire za dimenzioniranje kanala, ali mu je prethodno potrebno dodati i bazno otjecanje. Cijeli je proraun mogue ponoviti i za razliite povratne periode kia. Time se definira cijela porodica krivulja protoka vrha hidrograma izravnog otjecanja u funkciji povratnog perioda i trajanja kie. Metoda je preporuljiva za projektiranje odvodne mree na malim poljoprivrednim povrinama na kojima se u principu ne raspolae s mjerenim hidrometrijskim podacima ve samo mjerenja kia. Takoer je naglaeno da su neki predloeni izrazi preuzeti iz literature, i da se kao takvi ne mogu koristiti u naim klimatskim uvjetima, ve je potrebno za nae pojedine regije mjerenjem utvrditi njihove realnije meuovisnosti.7.4. Proraun maksimalnih dotoka na crpne stanice po Z. Srebrenoviu (1987.)

Mehanika evakuacija voda pomou crpnog pogona, kako je ve ranije reeno, koristi se za odvodnjavanje melioracijskih povrina u sluajevima kada se ne moe postii potpuna, gravitacijska odvodnja zbog neadekvatnih ispusnih objekata ili zbog visokih vanjskih vodnih razina u glavnom recipijentu. Prema (Z.Srebrenoviu, 1987) potrebni kapacitet crpnog pogona moe se odrediti primjenom: - drenanih koeficijenata koritenih u projektiranju kanala i ostalih objekata povrinske i podzemne odvodnje, - empirijskih formula, - studije postojeih instaliranih pogona, - izravnom analizom koritenjem hidrolokih postupaka. Crpke se redovito dimenzioniraju na manju protoku od one koju smatramo mjerodavnom za hidrauliko dimenzioniranje gravitacijske odvodnje, jer je ekonomski nedopustivo da se crpni agregati proraunavaju na maksimalnu protoku Qmax vrnog segmenta vala koji traje relativno kratko vrijeme, naroito kod malih slivova. Stupanj redukcije iznosi:

=

Qc Q max

gdje je Qc -kapacitet crpke ovisan o mnogim iniocima: veliini i padu slivne povrine, fizikim faktorima podruja, intenzitetu, veliini i trajanju oborina i otjecanja, uvjetima povrinske i podzemne retardacije, veliini procjeivanja i sl. Ti se inioci moraju poznavati, ako se kapacitet crpke odreuje hidrolokim postupcima, a dobivaju se na temelju topografskih, meteorolokih i pedolokih podloga.

Za male povrine veliine do 300 ha korist mehanike odvodnje se lako postie, te kapacitet crpke priblino mora odgovarati onom koji bi zahtijevao gravitacijski ispust. Tamo gdje ne postoje lokalna iskustva za definiranje kapaciteta crpke, isti se moe proraunati na malim povrinama s povrinskom odvodnjom primjenom pojednostavljenog hidrolokog prorauna. Taj proraun uvjetuje da je potreban kapacitet crpke identian otjecanju 24-satne oborine odreene frekvencije pojave, za koji se procjenjuje da e dati ekonomian uinak zatite od plavljenja odvodnjavanog podruja. Ovoj veliini obino se dodaje i koliina temeljnog podzemnog teenja, te ju se smanjuje za veliinu raspoloivog povrinskog i podzemnog akumuliranja. U razmatranju ovih potonjih faktora oborinska razdoblja dua od 24 sata se mogu takoer ukljuiti u analizu. Kod odvodnje travnatih povrina obino se usvaja 2-godinja frekvencija, za oranine kulture 3 do 5-godinja, i za specijalne visoko vrijedne kulture (povre) 10 do 20-godinja frekvencija jednodnevne oborine. Kapacitet crpne stanice namijenjene evakuaciji samo podzemnog reima teenja, npr. na navodnjavanim povrinama, moe se odrediti iz projektnog kapaciteta podzemnog drenanog sustava. Kod velikih melioracijskih povrina nuno je analizirati mnogobrojne meusobno povezane faktore povrinskog i podzemnog reima teenja u odreivanju kapaciteta crpne stanice. Budui da su ukljueni visoki trokovi instaliranja, funkcioniranja i odravanja velikih crpnih stanica, te se postie nejednolikost realizacije oekivanih koristi, na velikim povrinama. to je nuno kod odreivanja kapaciteta primijeniti specijalne hidroloko-ekonomske analize temeljene na odnosu trokovi - koristi (cost-benefit). Naime, poveanjem kapaciteta rastu svi trokovi crpnog agregata to je u neskladu s porastom postignutih koristi. Preliminarni proraun potrebnog kapaciteta crpne stanice, koji ne ulazi u ekonomske aspekte, moe se uiniti temeljem priblinog hidrograma unutarnjih voda kod stanice, polazei od tolerantnog vremena plavljenja td retencijskih povrina melioracijskog podruja. Damo li vodnom valu oblik istokranog trokuta s bazom dvostrukog vremena koncentracije tk i s visinom Qmax (za definiranje maksimalnih protoka s ravnih melioracijskih povrina) (slika 7), tada se moe jednostavnim raunskim operacijama definirati:

Slika 7:

Skica hidrograma unutarnjih voda

-kapacitet crpke

Q c = Q max

Q max V tk

-vrijeme intervencije redukcije hidrogramatp = 2V Q max Q c 2V + tp Qc

-vrijeme tolerantnog plavljenja retencijskih povrinatd =

Izraze za Qc i td treba meusobno uskladiti, kako bi se za poznato vrijeme plavljenja td dobio kapacitet crpke Qc i adekvatan volumen retardiranja V. Ovaj potonji bitno utjee na veliinu Qc, takoer i na kolebanje unutranjih vodostaja kod crpne stanice. Stoga se najvei efekti postiu unutarnjim retardiranjem vode u depresijama pod umom, livadama ili panjacima, koji se oituju stabilizacijom unutranjih razina i smanjenjem kapaciteta crpke. Za takve hidroloke procese, redoslijed pojavljivanja vrijednosti u procesu je nepoznat i mogunost njegovog javljanja slijedi odreeni zakon vjerojatnosti u kojemu su promjenjive veliine sasvim sluajne.8. ZAKLJUAK

Prikazana problematika prorauna velikih voda s aspekta statistike obrade osmotrenih nizova podataka i obrade njihove vjerojatnosti pojave dala je osnovni, enciklopedijski prikaz te problematike, te se zainteresirani sudionici seminara upuuju da detaljnije saznaju iz relativno brojne literature prisutne na tom podruju kod nas, a koja nije nuno i hidroloka. To su D. Srebrenovi (1970. i 1986.), Bonacci (1984.), Hrelja (2000.), ugaj (2000.) i dr. No, isto tako sudionici seminara se upuuju da koriste i gotove programske statistike pakete koji se nalaze u komercijalnim programima kao to su MSov EXCEL, STATGRAF, ili pak najkompleksnija STATISTICA. Svaki od tih programa sadri i iscrpan manual gdje e se dobiti dostatne dodatne informacije. to se tie modelskih metoda obrade velikih voda na hidromelioracijskim podrujima, tu se mora konstatirati da, zbog dugogodinjeg opeg zanemarivanja takvih sustava koje se odraavalo ne samo odumiranjem poljoprivredne proizvodnje na njima, nego usporedno s tim i nedostatkom veih projektnih poslova, analiza kao i mjerenja na takvim sustavima koji bi mogli posluiti za kalibraciju takvih modelskih obrada. Naime, u domaoj su se praksi tijekom posljednjih 10-15 godina od hidrolokih matematikih modela uglavnom samo razvijali i primjenjivali modeli vezani uz urbana otjecanja povrinskih voda, jer je ta problematika bila u sreditu interesa. Nadajmo se da e poveanjem opega interesa za razvoj poljoprivrede doi do unapreenja metoda obrada hidrolokih prorauna odvodnje. No, ne smije se zaboraviti da su i tu osnova svega IZMJERENI NIZOVI HIDROLOKIH PODATAKA.

9. LITERATURA

Abbott, M.B. i dr. (1986) An introduction to the European Hydrological System-Systeme Hidrologique Europeen, SHE, 2: Structure of a physically-based distributed modeling system. Jurnal of Hydrology, 87, 61-77 str. Bioni, D., Barbali, D., Petra, J. (2002) Creager and Francou-Rodier's Envelopes of Extrem Floods in Danube River Basin in Croatia, Communications, PUB, Kick-off Workshop of the IAHS Decade on Prediction in Ungauged Basins, Brasilia. Bonacci, O., (1984) Meteoroloke i hidroloke podloge, Prirunik za hidrotehnike melioracije I kolo-Odvodnjavanje, Drutvo za odvodnjavanje i navodnjavanje Hrvatske: 39-130, Zagreb Bonacci, O., (1987) Karst Hydrology, Springer Verlag, Berlin Bonacci, O., Rogli, S. (1981) Odreivanje velikih voda na neizuenim slivovima genetskom metodom. Vodoprivreda 13/74:441-586. Bonacci, O., Rogli, S. (1985) Hidroloki proraun osnovne kanalske mree za povrinsku odvodnju. Prirunik za hidrotehnike melioracije I kolo - Odvodnjavanje, Knjiga 3. Osnovna mrea, Drutvo za odvodnjavanje i navodnjavanje Hrvatske: 63 - 88, Zagreb. Brezak, S. (2000) Hidroloki modeli danas i sutra. Hrvatske vode 8/32:245-251. Burnash, R.J.C. (1973) A Generalized Streamflow Simulation System: Conceptual Modeling for Digital Computers. National Weather Service and State of California Department of Water Resources, March. Cesarec, K. (1987) Hidroloka analiza velikih vodnih valova na podruju Gorskog kotara Fuine Potok pod grobljem i Crni Lug Vela voda. Dokumentacija Hidrometeorolokog zavoda iz Zagreba, Zagreb. Cesarec, K. (1979) Reim Dunava i njegove reperkusije na probleme odvodnje podruja Vuke, Magistarski rad, Geodetski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Zagreb. Chow, V.T., (1964) Handbook of Applied Hydrology, New York Clark, C.O. (1945) Storage and the unit-hydrograph, Amer. Soc. Civ. Engin. 110, 1416-1446 str. Commons, C.G. (1942) Flood hydrographs, Civ. Engin. 12. 571-572 str. Deininger, A.R. (1969) Linear programing for hydrologic analyses. Water resources research, Vol 5, No. 5, 1105-1109 str. Harlin, J. (1991) Development of a process oriented calibration Scheme for the HBV hydrological model. Nordic Hydrology, 22, 13-36 str.

Hrelja, H. (2000) Vjerovatnoa i statistika u hidrologiji, Graevinski fakultet Sarajevo, 299 str. Jevevi, V. (1974) Stohastiki procesi u hidrologiji, Graevinski fakultet Sarajevo, 300 str. Jevevi, V. (1977) Vjerovatnoa i statistika u hidrologiji, Graevinski fakultet Sarajevo. 309 str. Jovanovi, S. (1974) Parametarska hidrologija, Jugoslavensko drutvo za hidrologiju, Beograd Leavesley, G.H. i dr. (1983) Precipitation runoff modeling system, User manual. U.S. Geol. Surv. Water Resour. Invest. Rep. 83-4238 str. Linsley, R.K., Kohler, M.A., Paulhus, J.L.H., (1972) Hydrology for Engineers, McGrawHill, New York Lumb, A.M. i dr. (1990) User's manual for ANNIE, a computer program for interactive hydrologic analyses and data management, U.S. Geol. Surv. Water Resour. Invest. Rep. 89-4080, 236 str. Nash, J.E. (1958) Determining runoff from rainfall, Inst. Civ. Engin. (Ireland) Proc. 10, 163184 str. Nash, J.E., Sutcliffe, J.V. (1970) River flow forecasting through conceptual models, Part I. A discussion of principles. Jurnal of Hydrology, 10, 282-290 str. Oani, N., Mieti, G., Santin, G. (1996) Hidroloki izvjetaj o pojavi velikih voda na podruju Velog Loinja dana 30.10.1995.godine, Fond strune dokumentacije Hrvatskih voda VGO Rijeka, Rijeka. Oani, N., Rubini, J. (1994) Studija mogunosti koritenja voda potoka Kri za vodoopskrbu, Fond strune dokumentacije Hrvatskih voda VGO Rijeka, Rijeka. Reitz, W., Kreps, H. (1943) Naherungsverfahren zur Berechnung des erforderlichen Stauraumes fur Zwecke des Hochwasserschutzes, Deutche Wasserwirtschaft, Vol. 38, Heft 1, 15-17 str. Rubini, J. (2003) Inenjerska obrada kratkotrajnih intenziteta oborina, Seminar Praktina hidrologija, Zbornik radova, Zagreb, 20. i 21. oujak 2003, Hrvatsko hidroloko drutvo, 3760 str. Sherman, L.K. (1932) Streamflow from rainfall by the unitgraph method, Eng. News Record, Vol. 108. Singh, V.P. (1994) Computer models of watershed hydrology, Water Resours Publication, P.O.Box 260026, Highlands Ranch, Colorado 80126-0026, U.S.A. Snyder, F.F. (1938) Sinthetic unit graphs, Amer. Geophys. Union Trans., 19 (1), 447-454 str.

Srebrenovi, D. (1960) Zapremina vodnog vala velikih voda s malih slivnih povrina, Vodoprivreda Jugoslavije III/10, Organ savezne komisije za vodoprivredu, Beograd, 3-18 str. Srebrenovi, D. (1970) Problemi velikih voda. Tehnika knjiga, Zagreb, 271-316 str. Srebrenovi, D. (1986) Primijenjena hidrologija. Tehnika knjiga, Zagreb, 509 str. Srebrenovi, Z. (1985) Elementi dimenzioniranja crpnih stanica. Prirunik za hidrotehnike melioracije I kolo - Odvodnjavanje, Knjiga 3. Osnovna mrea, Drutvo za odvodnjavanje i navodnjavanje Hrvatske: 63 - 88, Zagreb. Sugawara, M. i dr. (1974) Tank model and its application to Bird Creek, Wollombi Brook, Bikin River, Kitsu River, Sanaga River and Nam Mune. Research note of the National Research Center for Disaster Preventation, No. 11. 1-64 str. Trnini, D. (1997) Regional Hydrological Analysis of Low Streamflow in the Republic of Croatia, IXth World Congress, IWRA, Canada, Proceedings, Vol.2, 359-362 str. Trnini, D. (1998) Regionalna analiza malih voda Hrvatske, Hrvatske vode, Vol.6, br.24, 233245 str. U.S. Soil Conservation Service (1964) Hydrology, Section LV, SCS Natl. Engin. Handbook, Washington D.C. Zelenhasi, E., Ruski, M. (1991) Inenjerska hidrologija. Nauna knjiga, Beograd, 562 str. ugaj, R., (1995) Regionalna hidroloka analiza u kru Hrvatske, monografija, Hrvatsko hidroloko drutvo, Zagreb, 139 str. ugaj, R., (2000) Hidrologija, Rudarsko-geoloko naftni fakultet Zagreb, Zagreb ugaj, R., (2003) Regionalna hidroloka analiza, Seminar Praktina hidrologija, Zbornik radova, Zagreb, 20. i 21. oujak 2003, Hrvatsko hidroloko drutvo, 7996 str. Williams, H.M. (1945) Discusion, Military airfrields: Design of drainage facilities, by G.A. Hathaway. Amer. Soc. Civ. Engin. Trans. 110. 820-826 str. Wilson, E.M. (1974) Engineering Hydrology, The MacMillan Press Ltd., London, 232 str. WMO (1994) Guide to Hydrological practices. WMO-No.168 Fifth edition.