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Facoltà di Psicologia
Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°:
Titolo: Attività n°:
Docente:
© 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004
Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]
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SEMINARIO: LA RICERCA EMPIRICA E LA STATISTICA DESCRITTIVA
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INTRODUZIONE AL CORSO:
L’UTILITà DELLA PSICOMETRIA
• Psicodiagnosi
• Aggiornamento
• Analisi bibliografica della tesi di laurea
• Analisi dei dati (tesi, valutazione dell’efficacia
dell’intervento psicologico, ecc.)
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CONSIGLI PER LO STUDIO
• Leggere il programma più volte focalizzandosi
sulla comprensione e non sulla
memorizzazione
• Creare esercizi in autonomia
• Autosomministrarli estrapolati dal contesto di
spiegazione
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LA PSICOMETRIA E LE ALTRE DISCIPLINE
Metodologia della ricerca
Statistica è usata dalle discipline che usano il
procedimento scientifico per la verifica delle ipotesi
Descrivere - predire - spiegare
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L’INDAGINE EMPIRICA
1. quesito ipotesi di ricerca
(affermazione che mette in relazione due variabili: se x allora y)
2. COSTRUTTI TEORICI (VARIABILI LATENTI)
OPERAZIONALIZZAZIONE
INDICATORI OSSERVABILI (VARIABILI MANIFESTE) (variabile qualsiasi caratteristica che cioè che può assumere valori diversi)
3. MISURAZIONE
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DEFINIRE LE VARIABILI
ESAUSTIVITA’: devono essere classificati tutti i casi
ESCLUSIVITA’: ogni caso deve essere assegnato ad una sola categoria
QUALITATIVE: caratterizzate da categorie (nominali e ordinali)
QUANTITATIVE: caratterizzata da valori che variano in grandezza
(a intervalli e a rapporti)
CONTINUE: possono assumere qualsiasi valore in un insieme continuo
DISCRETE O DISCONTINUE: prevedono categorie distinte e possono
assumere solo valori interi
INDIPENDENTE: manipolata dallo sperimentatore o dagli eventi
DIPENDENTE: ciò che consegue alla manipolazione
D’ERRORE/INTERVENIENTI: che producono errori (casuali o sistematici)
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RELAZIONI TRA VARIABILI
E LIVELLI DI INDAGINE EMPIRICA
1) L’INDAGINE DESCRITTIVA: dare una rappresentazione
2) L’INDAGINE CORRELAZIONALE: si ipotizza una compresenza
sistematica, senza alcuna relazione di causa ed effetto
3) L’INDAGINE SPERIMENTALE: ha l'obiettivo di spiegare il
comportamento y in funzione di una causa x; ipotizza una relazione
di causa ed effetto tra x e y
4) L’INDAGINE QUASI SPERIMENTALE: i soggetti da assegnare
alle diverse condizioni sono selezionati da gruppi già esistenti
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LA MISURAZIONE
Misurare significa costruire un omomorfismo (f) tra un
sistema relazionale empirico (E) e un sistema relazionale
numerico (N)
[la funzione f di omomorfismo rappresenta la regola sistematica che
consente l'assegnazione dei numeri (N) a oggetti ed eventi (E)]
Si distinguono diversi livelli di misura a seconda delle
proprietà che caratterizzano il sistema empirico e il sistema
numerico.
[In psicologia ci sono quattro livelli di misura: la scala nominale,
la scala ordinale, la scala ad intervalli e la scala a rapporti.]
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SCALA NOMINALE
sistema empirico classificatorio: sistema in cui
esiste solamente la suddivisione in categorie distinte,
esaustive e mutualmente escludentesi (classi di
equivalenza).
sistema numerico classificatorio ha la sola proprietà
di simbolo ragion per cui si potrebbero usare altrettanto
bene le lettere dell'alfabeto o altri sistemi simbolici
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CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA NOMINALE
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SCALA NOMINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione numerica che stabilisca una corrispondenza biunivoca tra sistema
relazionale empirico e sistema relazionale numerico
ESEMPIO: A (colori) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (rosso) = {a, b, c}, C (verde) =
{d, e}, D (giallo) = {f, g, h, i}
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SCALA ORDINALE
sistema empirico ordinato : gli elementi componenti
godono della stessa caratteristica ma in quantità o grado
diverso, ordinabile rispetto a tale grado
sistema numerico ordinato : indica la posizione
reciproca degli elementi quindi i numeri non implicano
alcuna nozione di grandezza ma l’assegnazione non è
arbitraria come nella scala nominale (graduatoria).
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LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA ORDINALE
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SCALA ORDINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione monotòna crescente ossia qualsiasi modificazione che preservi
l’ordine tra i membri.
ESEMPIO: A (stadi piagettiani) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (sensomotorio) = {a, b,
c}, C (preoperatorio) = {d, e}, D (operatorio concreto) = {f, g}, E (operatorio
formale) = {h, i, l}
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SCALA A INTERVALLI
sistema empirico delle differenze: è possibile stabilire un'unità di misura
sistema numerico delle differenze: l’unità di misura indica l'entità delle
differenze di intensità della caratteristica
parte da uno 0 che non è assoluto, ma arbitrario
possiamo fare rapporti tra intervalli, che rimangono costanti, non
possiamo fare rapporti diretti tra valori, ovvero dire che un valore e il doppio,
metà, un quarto dell’altro.
ESEMPIO:
Agli elementi A, B, C, D, E, sono associati rispettivamente i numeri 4, 6, 12, 14, e 18.
Possiamo affermare che la differenza di caratteristica associata ad A e B è uguale a
quella associata a C e D, e inoltre che la differenza di intensità di caratteristica tra B e C
e tripla di quella tra A e B o tra C e D.
NON possiamo però dire che il valore di C è doppio rispetto a quello di B.
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LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A INTERVALLI
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SCALA A INTERVALLI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 (coefficiente angolare a maggiore
di 0): funzione monotòna crescente e lineare o trasformazione lineare
positiva (aggiunta di una costante, moltiplicazione per una costante positiva).
ESEMPIO: Si consideri la prestazione in un test di vocabolario composto da 20 parole per
ognuna delle quali bisogna scegliere il sinonimo fra 5 alternative. Anche se un soggetto desse 0
risposte corrette, questo non significa che ha una conoscenza del vocabolario pari a 0. Quale
unità di misura si sceglie una differenza pari a 1 risposta corretta.
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SCALA A RAPPORTI
sistema empirico additivo: è possibile stabilire
un'unità di misura e un elemento di intensità nulla
sistema numerico additivo : godrà di tutte le
proprietà dei numeri reali
il valore 0 è assoluto
la regola di trasformazione potrà comprendere anche l'uguaglianza
del rapporto diretto tra valori
la scala non può assumere valori negativi
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LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A RAPPORTI
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SCALA A RAPPORTI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 e b (intercetta) = 0
Sono dette anche similitudini dirette o trasformazioni moltiplicative
(moltiplicazione per una costante positiva).
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IDENTIFICARE IL LIVELLO DI MISURA
La conoscenza del tipo di scala su cui sono misurati i dati è importante
perché non si arrivi a conclusioni sbagliate
Differenza tra livello teorico e uso pratico: le scale Likert
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RELAZIONI TRA SCALE E QUANTITA’ DI INFORMAZIONE
Ogni scala di livello superiore ha le caratteristiche
della scala precedente con l'aggiunta di una propria
peculiare caratteristica.
È sempre possibile trasformare le misure ottenute su
una scala superiore in misure su scale inferiori
sopportando una inevitabile perdita di informazione;
non è mai possibile compiere l'operazione inversa
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STATISTICA
Una statistica è una qualunque funzione che
associa un numero reale, chiamato statistica, a un
sistema relazionale numerico.
Quindi, dato un sistema numerico, una statistica associa
(secondo qualche regola) a ogni insieme di numeri n
tratto dal sistema numerico un numero reale.
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STATISTICA DESCRITTIVA
Lo scopo è di descrivere e riassumere i dati attraverso un numero
limitato di indici, senza dover elencare tutti i casi che lo costituiscono
Popolazioni parametri (lettere dell’alfabeto greco)
Campioni indici statistici o statistiche (lettere dell’alfabeto latino).
Distribuzione di frequenza,
tabelle di frequenza
rappresentazioni grafiche
indici di tendenza centrale
Tre classi di misure riassuntive: indici di variabilità/dispersione
indici di posizione
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STATISTICA DESCRITTIVA
indici di tendenza centrale: statistiche che esprimono la tendenza
prevalente o principale che emerge da un campione di dati. i dati non si
presentano uniformemente distribuiti in tutte le classi in cui possono
cadere, ma hanno la tendenza a comparire con frequenze più elevate al
centro della distribuzione.
indici di variabilità/dispersione: descrivere quantitativamente la
dispersione rispetto al valore di tendenza centrale; indicano quindi se i dati
di un campione sono molto diversi o molto simili tra loro.
indici di posizione: consentono di individuare la posizione di un
punteggio in relazione agli altri presenti nella distribuzione
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SCALA NOMINALE
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
È una funzione, che ad ogni classe di equivalenza di un sistema
relazionale (empirico o numerico) associa – tramite un’operazione di
classificazione – il numero (detto frequenza) degli elementi che
appartengono alla classe stessa
L’insieme delle frequenze nelle varie classi da origine appunto ad
una distribuzione di frequenze.
La sommatoria (Σ) di tutte frequenze (f) delle classi (i) è uguale a N
N=f
k
1=i
i∑
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SCALA NOMINALE
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA ESEMPIO
Sistema relazionale numerico
A = {1, 7, 4, 2, 1, 4, 4, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 7, 2, 1, 4, 2}.
La sua distribuzione di frequenza è rappresentata dalle 4 classi di equivalenza 1,
2, 4, 7 e dal numero di elementi appartenenti a ciascuna di esse
La sommatoria di tutte le frequenze delle 4 classi è uguale a 18:
182556=f=f4
1=i
i
k
1=i
i =+++∑∑
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SCALA NOMINALE
TABELLE DI FREQUENZA
1. Tabella semplice o a entrata singola
2. Tabella o tavola di contingenza detta anche
tabella a doppia entrata
3. Tabella ad entrata plurima o multipla
La scelta dipende dal numero delle variabili
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SCALA NOMINALE
FREQUENZE RELATIVE E PERCENTUALI
Per attuare dei confronti tra distribuzioni.
Confronto non eseguibile direttamente se il numero delle osservazioni
all'interno delle distribuzioni è differente.
Percentuale: proporzione moltiplicata per 100
• somma delle proporzioni = 1; somma delle percentuali = 100
• non si calcolano le percentuali se la frequenza nelle classi è molto bassa (20)
• riportare il valore di proporzioni e percentuali assieme al valore assoluto della frequenza
• calcolabili sui marginali di riga, di colonna o totali
N
fk
100xN
fk
Proporzione (o frequenza relativa): rapporto tra la
frequenza di una classe o categoria (fk) e il numero totale
delle osservazioni compiute (N)
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SCALA NOMINALE
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Diagramma a barre (semplice, complesso, composto)
Grafico a torta (semplice,fetta esplosa, torta esplosa)
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SCALA NOMINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MODA
Mo o Md: classe che compare con frequenza più alta all’interno
della distribuzione
Distribuzioni: unimodale, bimodale, multimodale/plurimodale, amodale.
È utile accompagnare la moda con la sua frequenza percentuale
ESEMPIO:
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SCALA NOMINALE
INDICE DI DISPERSIONE: NUMERO DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA
NdE: statistica che associa ad un insieme di elementi
il numero di categorie in cui viene ripartito il sistema
Non permette di capire se i dati sono distribuiti in modo uniforme nelle varie classi o se
si concentrano quasi tutti in una o in poche classi.
Ogni classe di equivalenza deve contenere almeno un elemento; non si contano le
categorie vuote
ESEMPIO:
Facoltà di Psicologia
Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°:
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© 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004
Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]
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SCALA NOMINALE
INVARIANZE
Mo o Md: di riferimento
NdE: assoluta
ESEMPIO:
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SCALA ORDINALE
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E TABELLE
Le classi di equivalenza sono disposte secondo il loro giusto
ordine di successione, monotono, crescente ESEMPI:
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SCALA ORDINALE
FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE
Proporzione (o frequenza relativa)
Percentuale
Frequenze cumulate (fc) indicano quante frequenze si accumulano
fino a una certa misura, comprendendo la misura stessa
- La somma delle frequenze deve coincidere con la frequenza cumulata dell'ultima categoria
ESEMPIO:
N
fk
100xN
fk
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SCALA ORDINALE
FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE
Frequenze cumulate relative (fc relative) non sono altro che le
frequenze cumulate espresse in proporzione. Si calcolano dividendo la
frequenza cumulata per il totale N dei casi osservati
Frequenze cumulate percentuali non sono altro che le
frequenze cumulate espresse in percentuale (fc %). Si calcolano
moltiplicando la frequenza relativa cumulata per 100.
N
fc
100xN
fc
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SCALA ORDINALE
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Istogramma: (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)
l’ordine delle barre deve rispettare l’ordine implicito nella variabile
poligono cumulativo o ogiva (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI DISPERSI
Me o Mdn: è la misura che occupa la posizione centrale in un
campione di dati disposti in ordine crescente in base al loro valore.
Divide la distribuzione di frequenza a metà in modo tale che il 50% dei
casi cadono al di sotto e il 50% al di sopra di esso.
Quando n è dispari, rango Mdn = posizione
Quando n è pari, posizione < rango Mdn < posizione
2
1+n
2
n 1+2
n
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI DISPERSI
Quando n è dispari, rango Mdn = posizione
ESEMPIO
I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 8, 2} con n = 13,
I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8}
Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8) = 4
Quando n è pari, posizione < rango Mdn < posizione ESEMPIO
I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12,
I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}
Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7) 3<Mdn<4.
2
1+n
2
n1+
2
n
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI IN CLASSI
Nel caso in cui l’insieme sia costituito da un numero elevato di osservazioni, per trovare la posizione mediana della distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate
ESEMPI O: n è pari
La posizione della mediana è tra e , cioè tra e
20=2
4021=1+
2
40
2
n1+
2
n
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI IN CLASSI
ESEMPI O: n è dispari
Il rango della mediana è 25=2
1+49=
2
1+n
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA MEDIANTE fc%
Tramite tabella di dati Tramite ogiva
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI
Consentono di:
individuare la posizione di un punteggio in relazione agli altri presenti nella
distribuzione
confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro due diverse
distribuzioni
confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni
Rango R: numero che indica la posizione che quell'osservazione occupa nell'insieme ordinato a cui appartiene
Se all'interno di una distribuzione ci siano dei punteggio uguali fra loro il loro rango corrisponde al rango medio dei valori uguali.
Il rango è strettamente dipendente del numero delle osservazioni della distribuzione
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI
ESEMPIO
I = {27, 12, 14, 19, 13, 17, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 18, 16, 20} con n = 15
I = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27}
ESEMPIO
I = {27, 12, 12, 19, 13, 22, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 22, 16, 20} con n = 15
I = {11, 12, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 26, 27}
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI
Sono indici statistici di posizione e vengono individuati relativamente al numero di frequenze che si trovano al di sotto della loro posizione in un insieme di misure disposte in ordine crescente
Terzili, quartili, quintili, decili, centili (o percentili)
CALCOLO (stesso procedimento usato per la mediana):
DATI DISPERSI: disporre i dati in ordine crescente
DATI IN CLASSI: calcolare le frequenze cumulate.
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI
Primo quartile (Q1): rango
Secondo quartile (Q2): posizione
Terzo quartile (Q3): rango
Se n+1 non è multiplo di 4 si considera la misura immediatamente inferiore
alla posizione calcolata ovvero si effettua un’operazione di troncamento
alla parte intera del numero.
ESEMPIO
con n = 5, = 1.5 e = 4.5; si considerano le posizioni 1 e 4.
4
1+n
4
)1+n(2
4
)1+n(3
4
1+n
4
)1+n(3
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI DATI DISPERSI
ESEMPIO
I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12.
I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}.
Q1. = 3.25, Q1 = 2 la misura che occupa la 3°
posizione nella distribuzione.
Q2. = = 6.5, Q2 = 3 la misura che occupa il 6°
rango nella distribuzione.
Q3. = 9.75, Q3 = 5 la misura corrispondente
alla posizione 9 all’interno dell’insieme ordinato.
4
1+12=
4
1+n
4
)1+12(2
4
)1+n(2
4
)1+12(3=
4
)1+n(3
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI DATI IN CLASSI
Come per la Mdn, nel caso in cui l’insieme sia costituito da un numero elevato di osservazioni, per trovare la posizione dei quartili nella distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate
ESEMPI O
Q3. = 225.75 il soggetto in posizione 225 cade all’interno della
classe di equivalenza 6 quindi Q3 = 6. 4
1+300=
4
)1+n(3
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI MEDIANTE fc%
Tramite ogiva
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI
È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione
Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo.
Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI
Le procedure di calcolo si differenziano ancora una volta a seconda che i dati siano:
1. dispersi
2. raggruppati in classi
- rango medio
- frequenza cumulata
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SCALA ORDIINALE
INDICE DI DISPERSIONE: RANGE E DIFFERENZA INTERQUARTILE
1. Range o intervallo interquartile (IQ): all’intervallo di punteggi compreso tra Q3 e Q1.
2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 – Q1
3. Semidifferenza interquartile:
2
1Q3Q=
2
DIQ=SIQ
-
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SCALA ORDINALE
INVARIANZE
Mo o Md: di riferimento e di confronto
Mdn: di riferimento e di confronto
NdE: assoluta
Quantili: di riferimento e di confronto
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SCALA A INTERVALLI
Importanza delle trasformazioni lineari positive che rendono i dati più agevoli da usare
Importante distinguere i casi in cui i dati sono realmente discreti oppure sono continui o sottendono una caratteristica di tipo continuo
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SCALA A INTERVALLI
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
Costruzione degli intervalli di classe (con perdita di informazione)
• limite tabulato inferiore e limite tabulato superiore
• limite esatto (o reale) inferiore e limite esatto (o reale) superiore
• valore centrale;
La classe è chiusa a sinistra e aperta a destra
Le frequenze relative ad ogni punteggio vanno considerate come
uniformemente distribuite all’interno dell’intervallo
Se si raccolgono in intervalli di classi i dati di una variabile discreta
(purché misurata su scala a intervalli o a rapporti), la variabile andrà
considerata come se fosse continua.
E’ possibile anche costruire intervalli di classe di ampiezze diverse
tra loro
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SCALA A INTERVALLI
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
ESEMPIO 68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
98 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 98 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77
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SCALA A INTERVALLI
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Istogramma (con dati raggruppati in classi uguali o di diversa ampiezza)
poligoni di frequenza (semplice, cumulata, cumulata percentuale)
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SCALA A INTERVALLI
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Grafici a dispersione o Scatterplot
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI NON RAGGRUPPATI (n pari):
media aritmetica dei due valori che occupano la posizione e la posizione
DATI RAGGRUPPATI DISCRETI:
Stesso procedimento visto per dati ordinali
DATI RAGGRUPPATI CONTINUI:
metodo dell’interpolazione lineare
Mdn = Limite reale inferiore classe mediana + x A
Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale
2
n 1+2
n
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA
Media del campione o media campionaria:
Media del campione o media campionaria con dati raggruppati:
Media della popolazione:
n
n
n
=i
i
=n
x+...+x+x+xx 3211
∑=MX
n
nnx+...+fx+fx+fxf==
3322111
n
xfn
=i
ii∑MX
N
xn
=i
i∑1µ =
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Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°:
Titolo: Attività n°:
Docente:
© 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004
Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA
1) È possibile calcolare le media di un gruppo ottenuto dall’unione di due gruppi distinti senza ricorrere alle distribuzioni iniziali dei dati.
2) La media è influenzata inoltre dalla grandezza dei dati ossia sfrutta le caratteristiche quantitative dei dati. Come conseguenza la media è molto più influenzata dai valori estremi della distribuzione rispetto alla mediana.
3) La media può essere definita come il centro di gravità (o baricentro) della distribuzione dei dati. Per forza di cose, non può quindi essere inferiore al valore minimo né superiore al valore massimo.
4) Scarto di un dato xi dalla media M o deviazione: xi – M
Positivo significa che il numero è maggiore del valore medio; negativo significa che il
numero è inferiore al valore medio.
La somma di tutti gli scarti dalla media è zero 0=M)(1
∑n
=i
i -x
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SCALA A INTERVALLI
INVARIANZE INDICI DI TENDENZA CENTRALE
Mo o Md: di riferimento
Mdn: di riferimento
M: di riferimento
1) Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per uno
stesso numero positivo a, la moda, la mediana e la media vengono
anch’esse moltiplicate per lo stesso numero
2) Se a tutti i dati di una distribuzione viene aggiunta una costante b,
la moda, la mediana e la media vengono tutte aumentate o diminuite di
una quantità b a seconda che b sia positivo o negativo.
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SCALA A INTERVALLI
IDICI DI TENDENZA CENTRALE E FORMA DELLA DISTRIBUZIONE
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI
La definizione tiene conto dei rapporti di distanza intercorrenti tra i dati e delle caratteristiche di continuità
CALCOLO DATI DISPERSI (stesso procedimento usato per la mediana):
1. disporre i dati in ordine crescente
2.
3. Se la cifra ottenuta è un numero intero si procede individuando nella distribuzione
il valore relativo alla posizione trovata.
Se la cifra ottenuta è un numero decimale si procede individuando nella
distribuzione il valori inferiore (valinf) e il valore superiore (valsup) alla posizione trovata.
Infine si calcolerà il quantile in base alla formula:
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INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI
CALCOLO DATI DISCRETI RAGGRUPPATI (stesso procedimento usato
per la scala ordinale)
CALCOLO DATI CONTINUI RAGGRUPPATI (stesso procedimento delle mediana)
metodo dell’interpolazione lineare
Quantile = Limite reale inferiore classe del quantile + x A
Possibile individuarli mediante ogiva come su scala ordinale
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INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI
È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione
Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo.
Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:
Con dati raggruppati in classi
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INDICI DI DISPERSIONE
1. Range o intervallo interquartile (IQ): all’intervallo di punteggi compreso tra Q3 e Q1.
2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 – Q1
3. Semidifferenza interquartile:
4. Campo di variazione (range, gamma, intervallo di variazione): Range = xmassimo – xminimo
5. Scostamento semplice medio (SSM) o scarto semplice medio o deviazione media:
2
1Q3Q=
2
DIQ=SIQ
-
n
M
=SSM 1
∑n
=i
i -x
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INDICI DI DISPERSIONE
6. Varianza (s2 o MS nel campione e σ2 - sigma quadro - nella popolazione)
Devianza: Formula abbreviata =
∑n
i
i Mx1=
2) -( =ss
n
ss=
n
) -(
=s 1=
2
2
∑n
i
i Mx
2
n
=i
2
i
M-
x
n=s 12
∑
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INDICI DI DISPERSIONE
Varianza con dati raggruppati Formula abbreviata =
n
M)(
=s 1
2
2
∑n
=i
i i -xf
21=2 -n
=s M
xfn
i
2
ii∑
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INDICI DI DISPERSIONE
7. Deviazione standard o standard deviation o scarto quadratico medio (s o DS o SD nel campione e σ - sigma - nella popolazione) =
radice quadrata della varianza.
Formula abbreviata =
n
M) -(x
s
n
1=i
2i
2
∑s
2
n
=i
2
i
M-
x
n=s 1
∑
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INDICI DI DISPERSIONE
Deviazione standard con dati raggruppati Formula abbreviata =
n
M)(
=s 1
2∑n
=i
i i -xf
2
n
i
2i
M
fx
-n
=s1 =
∑
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INDICI DI DISPERSIONE La variabilità di un campione è sempre minore della variabilità della popolazione dalla quale il campione è stato estratto
Denominatore formule per il calcolo della varianza e della deviazione standard:
- nei campioni = n – 1
- nella popolazione = n
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DEVIAZIONE STANDARD E DISTRIBUZIONE NORMALE
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INDICI DI DISPERSIONE
8. Coefficiente di variazione (CV) Talvolta viene espresso mediante percentuale
Consente di confrontare :
distribuzioni di dati relativi a variabili che hanno unità di misura diverse
la variabilità nei punteggi ottenuti su una stessa prova da gruppi diversi di soggetti
M
s=CV
100×M
s=CV
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LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z
Le distanze dalla media hanno un significato diverso a seconda della variabilità della distribuzione dei dati
Serve una statistica che tiene conto degli scarti dalla media in funzione della variabilità usa la deviazione standard come nuova unità di
misura
Se esprimiamo tutti i valori della distribuzione secondo i punti z otteniamo una distribuzione standard, che è omomorfa a quella originale e ha media 0 e deviazione standard 1
sM -x
z =σ
μ-xz =
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LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z
Formule inverse: per ricavare il valore di x a partire dal valore di z (media e la deviazione standard del campione o della popolazione devono essere note)
zsMx = zσμx =
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LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: ALTRI INDICI
Trasformazione lineare dei punti z
Nella costruzione di tali scale si parte quindi sempre dai punti z ottenuti dai punteggi originali
Punti T. M = 50 e S = 10 T = 50 + 10 ▪ z
Sten (da standard ten). M = 5.5 e S = 2 Sten = 5.5 + 2 ▪ z
Stanine (da standar nine). M = 5 e S = 2 Stanine = 5 + 2 ▪ z
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INVARIANZE: INDICI DI POSIZIONE E DISPERSIONE
Ranghi percentili: invarianza assoluta
Punti z: invarianza assoluta
DIQ: invarianza di confronto
Campo di variazione: invarianza di confronto
Varianza e deviazione standard: invarianza di confronto
Se si aggiunge una costante a tutti i dati di una distribuzione, il campo
di variazione, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard
rimangono invariati.
Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per una costante
positiva, la gamma, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard
risultano moltiplicati per lo stesso numero positivo.