Semántica topológica para lógicasno clásicasDavid Fernandez Duque

Universidad de SevillaGrupo de Investigacion en Logica, Lenguaje e Informacion

Semantica topologica para logicas no clasicas – p.1/37

IntroducciónLa interpretación ‘estándar’ de la lógica proposicional

asigna uno de dos valores (digamos ‘0’ y ‘1’) in-

terpretados como ‘falso’ y ‘verdadero’, a cada vari-

able proposicional. A fórmulas más complejas se les

asigna también uno de estos dos valores, siguiendo las

bien conocidas tablas de verdad para los operadores

booleanos.

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IntroducciónBajo esta interpretación, una fórmula es válida (es de-

cir, obtiene el valor de 1 independientemente de la

asignación de valores a las variables proposicionales)

sí y sólo sí es un teorema de la lógica clásica proposi-

cional.

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Interpretaciones enP(X)

Una generalización posible es asignar a cada fórmulaun subconjunto de algún conjunto dadoX; es decir, acada variable proposicionalp se le asigna un conjuntoV (p) ⊂ X, y extendemosV a fórmulas máscomplejas con las reglas

V (α ∨ β) = V (α) ∪ V (β)

V (α ∧ β) = V (α) ∩ V (β)

V (α → β) = (X \ V (α)) ∪ V (β).

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Interpretaciones enP(X)

Sin embargo, esta generalización no parecedemasiado útil, ya que el conjunto de fórmulas válidases exactamente el mismo que si utilizamos nuestrainterpretación de ‘0’ y ‘1’.

Una variante de la interpretación enP(X) es utilizar

no todos los subconjuntos deX, sino alguna subfa-

milia de P(X); digamos, una topologíaT sobreX.

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La lógica intuicionística proposicional (IP)

La semántica topológica de la lógica intuicionística

proposicional se define de manera semejante a la

semántica de la lógica clásica enP(X). Sin embargo,

ahora exigimos que todos los valores que obtieneV

sean conjuntos abiertos.

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La lógica IPEn la interpretación topológica de la lógicaproposicional, a cada variablep le asignamos unconjunto abiertoV (p).Dado que las uniones arbitrarias e interseccionesfinitas de conjuntos abiertos son abiertas, podemoscontinuar definiendo

VI(α ∨ β) = VI(α) ∪ VI(β)

VI(α ∧ β) = VI(α) ∩ VI(β).

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La lógica IPSin embargo, en nuestra forma de interpretar→pueden aparecer conjuntos que no son abiertos ya que,en general,T no es cerrada bajo complementos.Remediamos esto reemplazando a dicho conjunto porsu interior:

VI(α → β) = ((X \ VI(α)) ∪ VI(β))◦ .

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Modelos topológicosSiguiendo la interpretación anterior, definimos unmodelo topológicopara la lógica intuicionística comouna tercia

M = 〈X,T , V 〉 .

EscribimosM |= ϕ si V (ϕ) = X. Análogamente,

escribimos|= ϕ si, para todo modelo topológicoM,

M |= ϕ.

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CompletitudPara la interpretación topológica de la lógicaintuicionística obtenemos el siguiente resultado:Teorema 1.Una formula proposicional es un teoremade la logica intuicionıstica sı y solo sı es valida entodo modelo topologico; es decir,

⊢I ϕ ⇔|= ϕ.

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Refutación del tercero excluidoLa diferencia esencial entre las lógicasproposicionales clásica e intuicionística es que estaúltima no acepta el principio del tercero excluido; esdecir, 6⊢I p ∨ ¬p.Consideremos el modeloM = 〈R, V 〉, dondeV (p) = (0,∞).Entonces,V (¬p) = (−∞, 0), y

V (p ∨ ¬p) = R \ {0} .

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La lógica modalS4Hemos hablado de la lógica intuicionística, la cual

utiliza exclusivamente conjuntos abiertos en la inter-

pretación de sus fórmulas. Otro sistema interesante

surge cuando nos permitimos denotar tanto a conjun-

tos arbitrarios como conjuntos abiertos con fórmulas

de nuestro lenguaje.

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La lógica modalS4Consideremos el lenguaje de la lógica modal, la cualagrega al lenguaje proposicional un operador modal�(y su dual,♦, definido por¬�¬). Ahorainterpretaremos los operadores booleanos en elsentido clásico, pero definiremos

V (�α) = V (α)◦.

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El sistema deductivo deS4S4 tiene por axiomas todas las tautologías clásicasproposicionales y la regla modus ponens, además delos axiomas modales

�α → α

�α → ��α

�α ∧ �β → �(α ∧ β)

y la reglaα

�α.

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Interpretación de IP enS4Es claro que la lógica clásica proposicional es unsubsistema de la lógica modal. La lógicaintuicionística, por otro lado, también puede serinterpretada gracias a la traducción de Gödel y Tarski.Ésta consiste en añadirle� a cada subfórmula de unafórmula dadaϕ; por ejemplo, siϕ esp ∨ ¬p, entonces

ϕ� = �(�p ∨ �¬�p).

Esta traducción satisface

⊢I ϕ ⇔⊢ ϕ�.

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Una traducción inversaEn el árticuloA Polynomial Translation ofS4 into In-

tuitionistic Logic, presento una traducción en el sen-

tido inverso que puede ser obtenida en tiempo poli-

nomial (tantoS4 como la lógica intuicionística son

P − SPACE completos, así que en principio era

sabido que dicha traducción debía existir). Sin em-

bargo, ésta no tiene la naturalidad de Gödel Tarski, y

en general consideraremos a la lógica intuicionística

como un subsistema deS4 y no viceversa.

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Interpretaciones de KripkeQuizá mejor conocida que la interpretación topológicapara las lógicas intuicionística y modal es lainterpretación de Kripke.

Ahora, en vez de espacios topológicos consideramos

marcos. Unmarco consiste en una pareja〈W,4〉,

dondeW es un conjunto y4 es un preorden sobreW .

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Interpretaciones de KripkePara interpretar fórmulas necesitamos, como antes,una valuaciónV que asigna a cada variableproposicionalp un conjuntoV (p) ⊂ W . Losoperadores booleanos se interpretan de la mismamanera, y ahora definimos

V (�α) = {w ∈ W : ∀v 4 w, v ∈ V (α)} .

La semántica de Kripke también es completa para la

lógica intuicionística yS4.

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Kripke vs. interpretaciones topológicas

¿Qué relación hay entre estas dos interpretaciones?

En realidad, la interpretación de Kripke se puede ver

como un caso particular de la semántica topológica.

Esto se relaciona con losespacios de Aleksandroff,

los cuales son espacios topológicos donde las intersec-

ciones arbitrarias (no sólo finitas) de conjuntos abiertos

son abiertas.

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Kripke vs. interpretaciones topológicas

Para ver esto, supongamos que tenemos un marco

〈W,4〉. Definamos una topologíaT sobreW diciendo

que un conjuntoU es abierto sí y sólo sí, siempre que

w ∈ U y v 4 w, se sigue quev ∈ U . La interpretación

de fórmulas usando4 o usandoT es exactamente la

misma, y el espacio resultante es una topología de

Aleksandroff.

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Kripke vs. interpretaciones topológicas

Por otro lado, supongamos que tenemos un espaciocon una topología Aleksandroff,〈X,T 〉. Dado unpuntox, consideremos el conjunto

Ux =⋂

{U : x ∈ U ∈ T } .

El conjuntoUx es abierto, ya que el espacio es Alek-

sandroff, y de hecho es la vecindad más pequeña dex.

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Kripke vs. interpretaciones topológicas

Definamos un preorden,4, por

y 4 x ⇔ y ∈ Ux.

Esto nos da un marco de Kripke, y de nuevo uno

puede verificar que las interpretaciones topológicas y

de Kripke de cada sentencia coinciden.

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Lógica topológica y topologíaA pesar de que la semántica de Kripke se puede vercomo un caso particular de la semántica topológica,S4 también es completo para los marcos de Kripke ypor lo tanto la semántica topológica no es necesariapara entender la lógica intuicionística niS4, en lasversiones que hemos presentado.

Nos podríamos preguntar, por otro lado, qué es lo

que S4 o la lógica intuicionística nos pueden decir

acerca de los espacios topológicos más utilizados en

matemáticas, por ejemplo, la recta de los reales.

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S4(R)Un teorema de Tarski y Banach nos muestra que elpoder expresivo deS4 no es capaz de distinguir a losreales de otros espacios topológicos:Teorema 2(Tarski, Banach). Toda formulasatisfacible deS4 puede ser satisfecha en un modelotopologico basado enR.

Esto nos indica que para expresar alguna propiedad no

trivial de la topología de los números reales es nece-

sario aumentar el poder expresivo. Afortunadamente

no tenemos que aumentarlo demasiado para comenzar

a encontrar resultados interesantes.

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El sistemaS4CArtemov et. al. introdujeron una extensión deS4 parahablar no de espacios topológicos a secas, sino deespacios dinámicos topológicos; éstos consisten enuna pareja〈X, f〉 formada por un espacio topológicoX y una funciónf : X → X.

En general supondremos quef es una función continua

arbitraria, pero también podríamos considerar el caso

en quef fuera un homeomorfismo, por ejemplo.

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El sistemaS4CAl lenguaje deS4 le agregaremos una nuevamodalidad,©. La interpretación de© está dada por

V (©α) = f−1V (α).

Esto quiere decir que un puntox ∈ X satisface©α sí

y sólo síf(x) satisfaceα.

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Marcos dinámicos de KripkeDe nuevo podemos considearar el caso en que elespacio topológico sea presentado como un marco deKripke, 〈W, f〉. En este caso el quef sea continua esequivalente a que sea no decreciente; es decir,f escontinua sí y sólo síf(w) 4 f(v) siempre quew 4 v.

Una vez mas tenemos un teorema de completitud; una

fórmula es válida sí y sólo sí es válida en todo marco

dinámico de Kripke.

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S4C(R)

Por otro lado, el teorema de Tarski-Banach no segeneraliza aS4C.Consideremos la siguiente fórmula:

ϕ = (©p → � © p) ∨ (� © q → ©♦�q).

Esta fórmula no es válida en general, pero sí lo es en

los reales.

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(©p → � © p) ∨ (� © q → ©♦�q)

Para ver queϕ es válida enR, notemos que dada unafunción continuaf : R → R, podemos clasificar atodos los reales en dos categorías:

• los puntosx tales quef es constante cerca dex;• los puntosx tales que para toda vecindadU dex,

f(U) contiene un intervalo abierto.

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(©p → � © p) ∨ (� © q → ©♦�q)

Si f es constante cerca dex y x ∈ V (©p), podemostomar una vecindadU dex tal quef es constante enU , y entonces para today ∈ U , f(y) = f(x) ∈ V (p);es decir,x ∈ V (� © p).

Por otro lado, si para toda vecindadU de x, f(U)

contiene un intervalo abierto yx ∈ V (� © q),

podemos ver quef(V (q)) contiene un intervalo abierto

en cuya cerradura se encuentraf(x); por lo tanto,

x ∈ V (©♦�q).

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S4C(

R2)

Ahora la pregunta natural es qué sucede siconsideramos un espacio euclideano de mayordimensión. En este caso tenemos el siguiente teorema:Teorema 3(DFD). Una formulaϕ deS4C essatisfacible sı y solo sı es satisfacible en un modelobasado enR2.

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DT LS4C aún no tiene suficiente poder expresivo paradistinguir entre marcos de Kripke y espaciostopológicos generales.

La razón es que en ningún momento aparecen intersec-

ciones infinitas de conjuntos abiertos en las interpreta-

ciones de fórmulas.

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DT LLa Lógica Dinámica Topológica(DT L) altera estoañadiendo un operador infinitario,∗.La interpretación de dicho operador es

V (∗α) =⋂

n≥0

f−nV (α),

es decir, un puntox satisface∗α sí y sólo sí todos lospuntos de su órbita

{

x, f(x), f 2(x), ...}

satisfacenα.

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DT L y marcos de KripkeEnDT L, la satisfacibilidad de fórmulas ya no sepuede reducir a la satisfacibilidad en marcos deKripke. Para ver esto, consideremos la siguientefórmula:

ϕ = ∗�p → � ∗ �p.

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∗�p → � ∗ �p

A la izquierda tenemos∗�p, la cual se interpreta por⋂

n≥0

f−nV (p)◦,

lo cual en cualquier espacio de Aleksandroff es un con-

junto abierto. Así que un puntox que satisface∗�p

también satisfarcerá� ∗ �p, ya que el interior de un

conjunto abierto es el mismo conjunto.

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Un contraejemplo enR

Por otro lado, esta fórmula no es válida enR.Consideremos el modelo

M = 〈R, 2x, V 〉

dondeV (p) = (−1, 1).

Entonces,0 |= ∗�p, pero0 6|= � ∗ �p, y concluimos

queϕ no es válida en general.

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BibliografíaD. Fernández; Dynamic Topological Completenessfor R

2; Logic Journal of IGPL 2007; doi:10.1093/jigpal/jzl036.

Kripke, Saul, Semantical analysis of intuitionisticlogic I, Crossley Formal Systems And RecursiveFunctions, 1965, 92-130

Tarski, Alfred; Der Aussagenkalkul und die Topolo-

gie, Fundamenta Mathematica, 31, 1938, 103-134

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